Jak správně interpretovat ukazatele způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Jak správně interpretovat ukazatele způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu"

Transkript

1 Jak správně interpretovat ukazatele způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu Jiří Michálek Ukazatele způsobilosti a výkonnosti C p, C pk, P p, P pk byly zavedeny ve snaze popsat stav výrobního procesu, resp. chování sledovaného znaku jakosti, pomocí několika čísel bezrozměrného charakteru. Zadáním těchto čísel se vlastně vyjadřuje požadavek na stav procesu, aby očekávaný počet neshodných výrobků odpovídal požadovanému počtu a aby proces byl ve stabilizovaném stavu, tzn. pro praxi v téměř stavu neměnícím se v průběhu času. Nejdříve, asi před 0-5 lety; byly zavedeny do praxe ukazatele způsobilosti C p, C pk, jejichž použití vyžaduje po sledovaném znaku jakosti, aby mohl být popsán normálním rozdělením N(µ,σ ), kde µ, je parametr polohy a σ je rozptyl sledovaného znaku. Pro úplnost, zde je jejich vzorec USL LSL USL µ µ LSL C p =, C pk =,. 6 σ 3 σ 3 σ Jejich zadáním se zcela jednoznačně určuje, jaká má být úroveň tzv. inherentní variability znaku jakosti a dvojrozměrná poloha; tj. střední hodnota sledovaného znaku jakosti, neboť z obou ukazatelů vyplývá pouze míra necentrování procesu od průměru specifikačních mezí, nikoliv to, zdali střední hodnota má být napravo či nalevo od tohoto průměru. Lze tedy zadání dvojice C p, C pk chápat tak, že střední hodnota jakostního znaku se muže pohybovat těmito dvěma krajními polohami, aniž by se hodnota C pk, zmenšovala, protože vždy musí být C p C pk, přičemž rovnost nastává jedině tehdy, když proces je přesně centrován na prostředek specifikačního rozmezí. První problém, se kterým se lze v praxi setkat, je již stanovení hodnot pro C p a C pk od konstruktérů či odběratelů produktů z procesu. Mnohdy bohužel tyto hodnoty jsou velice přísné, takže výrobce není schopen se stávající technologií tyto požadavky splnit, protože to mnohdy jednoduše vůbec nejde. Tento problém se často vyskytuje na,př. u plastových výrobků, kde se objevuje druhý

2 problém, a to jak přesně získat hodnoty sledovaného znaku jakosti. Stanovení požadavků na C p a C pk je jedna strana mince, ale otázka, zdali je vůbec schopen výrobní proces toto splnit, je strana druhá. Aby bylo možno obě strany porovnat. musíme z procesu odebrat nějaké produkty, ty přeměřit a získaná data použít pro zjištění způsobilosti našeho procesu. A to jo třetí problém, protože jsme nuceni zpracovat pouze dílčí informaci obsaženou v odebraných produktech, i kdyby produktů byly tisícovky. Aby nástroje matematické statistiky byly využity adekvátně, je nutno respektovat Splnění některých předpokladů. Je to především normalita získaných dat, kterou je možno ověřit pomocí testů dobré shody a stabilita procesu, což znamená poloha procesu µ (tj. střední hodnota sledovaného znaku) se v čase nemění a rovněž tak i úroveň variability σ lze považovat za stálou v čase. Takovému stavu říkáme, že proces je statisticky zvládnut, což je stav, kterého je možno dosáhnout hlavně aplikací regulačních diagramů. Tento stav je nutný proto, abychom mohli spolehlivě odhadnout parametr polohy procesu µ, nejčastěji pomocí aritmetického průměru či výběrového mediánu, a rovněž tak úroveň variability σ, obvykle pomocí výběrového rozpětí R či výběrové směrodatné odchylky s. Dalším problémem je organizace sběru dat; tj. jak často, zdali jednotlivě či ve skupinách a kolik dat budeme potřebovat pro hodnocení způsobilosti procesu. Některé postupy lze najít v literatuře, např. VDA 4.. kde se hodnotí způsobilost strojního zařízení. pak předběžná způsobilost v simulování hromadné výroby a pak dlouhodobá při hromadné výrobě, která může zahrnout i několik dní. Měla by být učiněna dohoda mezi výrobcem a odběratelem, který požaduje hodnocení způsobilosti procesu, jak se přesně bude postupovat při sběru dat, protože počet a organizace sběru dat silně ovlivňuje hodnocení způsobilosti procesu, pokud je prováděno správným způsobem. Poučenému odběrateli zdaleka nemůže stačit fakt, že odhad Ĉ p je větší nežli požadovaná, hodnota C p, což je požadavek téměř všude od zákazníků vyžadovaný, protože matematická statistika garantuje, že pokud proces skutečně splňuje požadavek, např. C p =, 33, že přibližně 50 % odhadů tohoto ukazatele je sice nad hodnotou,33, ale rovněž druhých 50 % odhadů se musí vyskytovat pod touto hodnotou. Tím, že zákazník

3 požaduje, aby Ĉ p C p, nemá vůbec zajištěno; že způsobilost výrobního procesu je na hodnotě ukazatele C p, kterou on stanovil. Vypočtená hodnota odhadu Ĉ p či Ĉ pk sama o sobě nic neříká, pokud ji nebudeme konfrontovat se stanovenými hodnotami. např. pomocí testování statistických hypotéz. Závěr takového testu silně závisí na stanoveném riziku (tzv. hladině významnosti) a hlavně na počtu dat, s nimiž pracujeme. Pokud jako nulovou hypotézu stanovíme, že proces má být způsobilý např. s C p =,33, stále ještě nezamítnutí této hypotézy proti např. alternativní hypotéze C p =, 50, zdaleka nevylučuje skutečnost, že způsobilost procesu není,33, ale jen zhruba,5. Pokud mulovou hypotézu zamítneme, jsme na tom s věrohodností závěru obvykle lépe. ale opět úroveň této věrohodnosti závisí na počtu dat. Hodnotit způsobilost procesu např. z pěti údajů, je naprostý hazard jak pro výrobce, tak i pro odběratele. Představme si, že chceme, aby výrobní proces byl nejhůře na úrovni způsobilostí C p =,33, což je velice častý požadavek v automobilovém průmyslu. Pro úplnost to znamená, že při stabilitě střední hodnoty µ na prostředku tolerančního rozpětí se požaduje, aby očekávaná neshodnost výrobků byla na úrovni 60 ppm. Postavme otázku testování způsobilosti takto: nulová hypotéza bude, že C p <,33 a alternativní hypotéza, že C p >,33. Nulovou hypotézou tedy je, že náš proces není způsobilý, alternativou je jeho způsobilost nejhůře na úrovni C p =,33. Abychom hypotézu o nezpůsobilosti zamítli a, měli velikou záruku, že náš proces je způsobilý, musí hodnota odhadu Ĉ p ukazatele C P počítaná např. z 0 podskupin o pěti kusech ve skupině při riziku 5 % překročit hodnotu,54. U ukazatele C pk je situace o to komplikovanější, že vstupuje do odhadu Ĉ pk navíc odhad parametru polohy µ. Co se vyžaduje od procesu, aby ukazatel C pk, byl správně chápan? Aplikace tohoto ukazatele vyžaduje nejen, aby úroveň variability byla stálá; ale aby i parametr polohy se v čase neměnil. Jinak totiž nesprávně odhadneme polohu procesu např. pomoci aritmetického průměru ze všech dat. Představme si takovou situaci, kdy během odebírání dat se poloha procesu změnila takovým způsobem (třeba nastavením stroje či použitím jiného materiálu na vstupu procesu), že přibližně polovina dat má parametr polohy

4 USL + LSL µ = + δ, σ > 0, druhá polovina USL + LSL µ = δ, σ > 0, kde přitom δ a δ se prakticky neliší. Když spočítáme celkový aritmetický průměr z dat, ten se nebude významně lišit od středu tolerančního rozmezí USL + LSL, což se projeví v hodnosti odhadu Ĉ pk tím, že ta,to hodnota se nebude významně lišit od hodnoty odhadu Ĉ p a člověk, který si neprohlédne průběh dat se může domnívat, že proces je velice dobře centrovaný. Opět vlastní hodnota odhadu Ĉ pk nám nic neříká, pokud není porovnávána se zadanou hodnotou C pk pomocí testování hypotéz; což má smysl pouze tehdy, když proces je stabilní i v parametru polohy. O tom se lze přesvědčit pomocí statistického nástroje MANOVA. Jedná se vlastně o otázku, zdali všechna data potřebná pro odhad Ĉ pk pocházejí z jediné populace se střední hodnotou µ. Když připustíme, že náš proces může v parametru polohy "dýchat", což znamená, že parametr µ není v průběhu výroby fixní, ale může se pohybovat v jistém rozmezí uvnitř tolerančního pásma, např. USL LSL USL LSL µ δ, + δ, kde δ > 0. V metodice Six Sigma se uvažuje, že δ =,5σ, kde σ je směrodatná odchylka zkoumaného znaku jakosti. Protože parametr µ není pevný, uvažovat použití ukazatele C pk v této situaci je nesprávné, protože odhad celkového aritmetického průměru z dat vůbec nic neříká o chování parametru µ. Samozřejmě ihned se naskýtá problém, jak v této situaci hodnotit způsobilost procesu? Odpověď' není zdaleka jednoznačná, protože především závisí na tom, jak se parametr µ chová ve vymezeném intervalu. Pokud bude jeho chování náhodné, které lze popsat nějakým rozdělením pravděpodobnosti, pak by správně pro hodnocení způsobilosti

5 takového procesu východiskem mělo být rozdělení pravděpodobnosti, které je dáno konvolucí normálního rozdělení N(0,σ ), které charakterizuje zdroj inherentní variability, s rozdělením pravděpodobnosti; které popisuje chování parametru µ. Takováto situace nastává např. při opotřebování nástroje během výrobní operace, kdy se do procesu dostává lineární trend v chování parametru polohy, což koresponduje s rovnoměrným rozdělením na intervalu vymezeném pro pohyb parametru polohy. Dalším případem je taková situace, kdy lze data rozdělit, tj. stratifikovat, do jednotlivých kategorií, které jsou odlišeny různými hodnotami parametru polohy. Tento případ na,stává např. tehdy, když data z jednotlivé kategorie odpovídají novému seřízení stroje či jednotlivým šaržím, kdy nelze přesně dodržet parametr polohy na jednom místě a je nutno počítat s jeho změnou v rámci nějakého intervalu kolem prostředku tolerančního rozmezí. Získaná data potom jsou výsledkem směsi normálních rozdělení nejčastěji se stejnou úrovní inherentní variability, ale s různými středními hodnotami. Pokud dovedeme jednotlivé kategorie dat ve směsi identifikovat podle nějakých příznaků (např. operátor, směna, šarže, seřízení stroje apod.), pak lze hodnotit způsobilost výrobního procesu pomocí ukazatele P pk následovně. Pro každou kategorii dat, tj. pro každou složku směsi spočítáme odpovídající aritmetické průměry a odhad směrodatné odchylky. Pomocí nich spočítáme odhady USL xi Pˆ pku =, i =,, K, k 3 si a odhady xi LSL Pˆ pkl =, i =,, K, k. 3 si Pak má smysl odhadnout ukazatel P pk pro celou směs jako Pˆ pk ( minpˆ pkl, minpˆ pku) = min, i k i k kde k je počet kategorií ve směsi. Takto zavedený odhad má zcela racionální smysl, neboť je založen na složkách směsi, které mají střední hodnoty nejdále od prostředku tolerančního rozmezí. Zatím ale zcela chybí teoretické pozadí, které by dalo odpověď' např. na velikost konfidenčního intervalu či možnost prověřit hodnotu odhadu s požadovanou hodnotou ukazatele C pk.

6 Tento stručný rozbor situace jasně dokazuje, že pokud proces není statisticky zvládnut a sledovaná data nelze popsat normálním rozdělením, pak odhady ukazatelů C p a C pk ; nemusí vůbec nic vypovídat o způsobilosti procesu. Pokud sebraná data nelze vysvětlit normálním rozdělením, může být sledovaný znak jakosti popsatelný jiným typem rozdělení (např. logaritmicko-normální, Weibull, překlopené normální), a to čistě třeba z fyzikálních důvodů (např. rovinnost, ovalita apod.) a nebo se jedná o zcela neidentifikovatelnou směs z normálních rozdělení. Pak samozřejmě formální výpočet odhadů C p a C pk je sice možný, ale nic to neříká, o odhadu neshodných kusů ve výrobním procesu. Jak potom postupovat? Bud' dovedeme najít vhodný tvar rozdělení pravděpodobnosti jako model pro popis sledovaného znaku jakosti, ale toto rozdělení musí být vlastní tvaru procesu v tom smyslu, že každá skupina naměřených hodnot je vysvětlitelná tímto typem rozdělení a definice odpovídajících ukazatelů C p a C pk je založena na kvantilovém rozpětí. Tento přístup má svoji velkou slabost právě v odhadu odpovídajících kvantilů, což vyžaduje relativně velký počet, dat pro získání věrohodných závěrů. Druhá možnost je založena na myšlence původní data pomocí vhodné transformace, samozřejmě jedno-jednoznačné převést na nová data. která lze popsat již normálním rozdělením. Vybranou transformací se získají i nové specifikace pro nová data a pro hodnocení způsobilostí se použijí klasické tvary ukazatelů C p a C pk založené na specifických vlastnostech normálního rozdělení. V praxi se v tomto případě nejčastěji používá bud' Box-Coxova transformace či třída Johnsonových transformací, která nová data převádí přímo na rozdělení N(0, ).V následujícím jsou uvedeny dva příklady, které ukazují, že nerespektování předpokladu normality bud' nadhodnotí úroveň způsobilosti procesu či naopak podhodnotí. Na obr. je provedeno hodnocení způsobilosti procesu bez respektování předpokladu o normalitě dat. Takto získaná hodnota odhadu nemůže nic vypovídat o skutečné situaci ve výrobním procesu. Jeden z možných správných postupů je ukázán na obr., kde je použita vhodná Johnsonova transformace na původní data, která jsou převedena na data, které již požadavek na normalitu dat splňují. Porovnáním obou hodnot odhadů ukazatelů je vidět, že vlastně stav procesu je lepší nežli ukazuje obr..

7 Poznámka: Proces je hodnocen pomocí ukazatelů výkonnosti, které jsou zadefinovány níže, protože se jedná o individuální hodnoty a použitý software Minitab po Johnsonově transformaci ukazatele způsobilosti nepočítá. Process Capability of Warping (using 95,0% confidence) Process Data LSL 0 Target * USL 9 Sample Mean,9307 Sample N 00 StDev(Within),68898 StDev (Ov erall),79048 Observ ed Perf ormance PPM < LSL 0,00 PPM > USL 0,00 PPM Total 0,00 LSL 0,0,5 Exp. Within Perf ormance PPM < LSL 4755,60 PPM > USL 60,35 PPM Total 495,95 3,0 4,5 6,0 Exp. Ov erall Performance PPM < LSL 58,8 PPM > USL 344,38 PPM Total 565,56 7,5 USL 9,0 Within Overall Potential (Within) Capability Cp 0,89 Lower CL 0,76 Upper CL,0 CPL 0,58 CPU,0 Cpk 0,58 Lower CL 0,47 Upper CL 0,68 Ov erall Capability Pp 0,84 Lower CL 0,7 Upper CL 0,95 PPL 0,54 PPU,3 Ppk 0,54 Lower CL 0,44 Upper CL 0,64 Cpm * Lower CL * Obr. Nesprávný odhad ukazatele způsobilosti Process Data LSL 0 Target * USL 9 Sample Mean,9307 Sample N 00 StDev,78597 Shape 0,88908 Shape 0, Location -0,3606 Scale 9,4436 After Transformation LSL* -3,336 Target* * USL* 4,89 Sample Mean* 0,096 StDev* 0, Observed Performance PPM < LSL 0,00 PPM > USL 0,00 PPM Total 0,00 Process Capability of Warping Johnson Transformation with SB Distribution Type 0, ,987 * Log( ( X + 0,33 ) / ( 9,3 - X ) ) (using 95,0% confidence) LSL* transformed data USL* Overall Capability Pp,6 Lower CL,09 Upper CL,44 PPL, PPU,4 Ppk, Lower CL 0,95 Upper CL,8 Exp. Overall Performance PPM < LSL 46,36 PPM > USL,73 PPM Total 48, Obr. Hodnocení procesu po transformaci dat

8 Ne pouze problémy přináší praxe, ale i teorie. Na začátku 90. let se objevují z popudu amerického automobilového průmyslu další dva ukazatele, a to ukazatele výkonnosti P p a P pk. Lze ale říci, že jejich zavedení situaci spíše zkomplikovalo nežli zjednodušilo v tom smyslu, že tyto ukazatelé dodají další užitečnou informaci o průběhu výrobního procesu. Jejich vzorce se od vzorců pro C p a C pk liší pouze v tom, že ve jmenovateli se místo směrodatné odchylky σ inherentní variability objevuje tzv. totální směrodatná odchylka σ TOT. Je doporučováno, aby tyto ukazatele. resp. jejich odhady, byly používány u procesů, které nejsou statisticky zvládnuty. Pokud je proces zvládnut a data normálně rozdělena, tak odhady Ĉ p, a Pˆ p by se neměly příliš lišit, protože rozdíl v odhadech ( ) x xi k n σˆ TOT = i j kn i= j= a R s σ ˆ =, resp. σˆ = d C 4 by za této stabilizované situace měl být malý. Pokud ale proces není stabilní. úloha ukazatelů P p a P pk není jasná, protože nemohou predikovat výkonnost procesu. Problém je v tom, že definice těchto ukazatelů nic nevyžaduje, jakým způsobem vzniká totální variabilita. Tudíž nelze odvodit statistické vlastnosti odhadů těchto ukazatelů a nelze je např. testovat, protože statistika potřebuje model, na jehož základě zkonstruuje přijatelný test. To znamená, že např., pokud nějaký software obsahuje konfidenční intervaly pro tyto ukazatele a není řečeno, z čeho se při jejich výpočtu vycházelo, pak jsou naprosto k ničemu. V monografii [] je silně argumentováno proti používání těchto ukazatelů a je řečeno. že jejich zavedení je krokem zpět v hodnocení způsobilosti výrobního procesu. Bohužel ve. vydání příručky pro dodavatele do amerického automobilového průmyslu z roku 005, viz [], se přímo doporučuje použití všech 4 ukazatelů pro charakterizování výrobního procesů na základě normy ANSI Standard Z z roku 996. Na jednoduchém příkladu si dokažme, že skutečně zavedení ukazatele P p "stojí na vodě".

9 Představme si výrobní proces, kde parametr polohy µ sledovaného znaku jakosti silně závisí na vstupu (např. seřízení stroje, různé dávky vstupního materiálu, různí dodavatelé apod.). Uvažujme, že sledujeme výkonnost procesu po takovou dobu, že výsledná data lze popsat jako směs dvou normálních rozdělení N(µ i, σ ), i =,, tedy hustota směsi je h(x) = αf (x) + (-α)f (x), kde f i ( ) je hustota normálního rozdělení N(µ i, σ ). Předpokládejme, že parametr rozptylu σ je pro jednoduchost konstantní v čase, ale parametry polohy µ a µ a rovněž i parametr směsi α se mohou měnit v čase. Takový proces je zřejmě nestabilní v čase. Jeho střední hodnota a rozptyl jsou E { X} = αµ + ( α) µ, { } = σ + α µ + ( α) µ ( E{ X} ), D X pokud složky směsi budeme považovat za nezávislé, což je v praxi přijatelné. Z tohoto procesu odebereme náhodný výběr x, x,..., x N a budeme sledovat co dělá odhad totální směrodatné odchylky σˆ TOT = N N j= (xi x) Pokud výběr bude složen z podílu [αn] ze složky N(µ, σ ) a zbytek z druhé složky N(µ, σ ) a poměr obou složek bude pro každé N zachována, pak lze ukázat, že σˆ D{ X}. TOT N Na základě toho by ukazatel výkonnosti procesu P p měl mít hodnotu P p USL LSL = 6 D{ X}. Je ale vidět, že jeho hodnota silně závisí α, µ, µ a správně bychom odhadovali jeho hodnotu jedině tehdy, když tyto parametry by byly konstantní v čase a náhodný výběr by respektoval poměr zastoupení složek směsi. Z tohoto jednoduchého příkladu ihned plyne, že vlastně obecně nevíme, co odhad ukazatele P p říká, protože ve statistické analýze se nemůžeme opřít o nějaký konkrétní model, /.

10 pokud proces nevykazuje stabilitu v čase. Kdy lze tedy ukazatele výkonnosti použít? Mají smysl jedině tehdy, když získaná data bez ohledu na podskupiny lze popsat nějakým rozdělením pravděpodobnosti, např. normálním. Tento předpoklad je důležitý proto, aby bylo možno stanovit např. konfidenční interval pro hodnotu ukazatele nebo provést statistický test nějaké hypotézy o hodnotě ukazatele. Pouze vlastní hodnota odhadu ukazatele výkonnosti bez vhodného statistického modelu neříká de facto nic. Literatura: [] Kotz. S., Lovelace C. R.: Process Capability Indices in Theory and Practice. Arnold, London (998). [] AIAG - Chrysler, Ford, General Motors. (QS Statistical Process Control (. vydání, 005). Adresa autora: RNDr. Jiří Michálek, CSc., Ústav teorie informace a automatizace AV ČR Praha, Oddělení stochastické informatiky, Pod vodárenskou věží 4, 8 08 Praha 8. Tato práce byla vytvořena za podpory projektu MŠMT M CQR

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Využití metody bootstrapping při analýze dat II.část Doc. Ing. Olga TŮMOVÁ, CSc. Obsah Klasické procedury a statistické SW - metody výpočtů konfidenčních

Více

SW podpora při řešení projektů s aplikací statistických metod

SW podpora při řešení projektů s aplikací statistických metod SW podpora při řešení projektů s aplikací statistických metod Jan Král, Josef Křepela Úvod Uplatňování statistických metod vyžaduje počítačovou podporu. V současné době je rozšiřována řada vynikajících

Více

Vyhodnocování způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu

Vyhodnocování způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu Vyhodnocování způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu Jiří Michálek CQR 2009 Vyhodnocování způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu Jiří Michálek Centrum pro jakost a spolehlivost ve výrobě CQR

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Regulační diagramy (RD)

Regulační diagramy (RD) Regulační diagramy (RD) Control Charts Patří k základním nástrojům vnitřní QC laboratoře či výrobního procesu (grafická pomůcka). Pomocí RD lze dlouhodobě sledovat stabilitu (chemického) měřícího systému.

Více

STATISTICKÉ ŘÍZENÍ PROCESŮ SE SW PODPOROU

STATISTICKÉ ŘÍZENÍ PROCESŮ SE SW PODPOROU STATISTICKÉ ŘÍZENÍ PROCESŮ SE SW PODPOROU RNDr. Jiří Michálek, CSc. Centrum pro kvalitu a spolehlivost CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AVČR e-mail: michalek@utia.cas.cz Ing. Jan Král ISQ

Více

Statistické řízení jakosti - regulace procesu měřením a srovnáváním

Statistické řízení jakosti - regulace procesu měřením a srovnáváním Statistické řízení jakosti - regulace procesu měřením a srovnáváním Statistická regulace výrobního procesu (SPC) SPC = Statistical Process Control preventivní nástroj řízení jakosti, který na základě včasného

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Výkonnost procesů v případě nenormálně rozděleného znaku kvality. Jiří Michálek

Výkonnost procesů v případě nenormálně rozděleného znaku kvality. Jiří Michálek Výkonnost procesů v případě nenormálně rozděleného znaku kvality Jiří Michálek 1 Hodnocení způsobilosti a výkonnosti výrobních procesů je prováděno především u dodavatelů do automobilového průmyslu, kde

Více

MSA-Analýza systému měření

MSA-Analýza systému měření MSA-Analýza systému měření Josef Bednář Abstrakt: V příspěvku je popsáno provedení analýzy systému měření v technické praxi pro spojitá data. Je zde popsáno provedení R&R studie pomocí analýzy rozptylu

Více

Statistické řízení jakosti. Deming: Klíč k jakosti je v pochopení variability procesu.

Statistické řízení jakosti. Deming: Klíč k jakosti je v pochopení variability procesu. Statistické řízení jakosti Deming: Klíč k jakosti je v pochopení variability procesu. SŘJ Statistická regulace výrobního procesu Statistická přejímka jakosti měřením srovnáváním měřením srovnáváním - X

Více

Přehled metod regulace procesů při různých typech chování procesu

Přehled metod regulace procesů při různých typech chování procesu Přehled metod regulace procesů při různých typech chování procesu Eva Jarošová, Darja Noskievičová Škoda Auto Vysoká škola, VŠB Ostrava ČSJ 7.9.205 Typy procesů (ČSN ISO 2747) Procesy typu A Výsledné rozdělení

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

Analýza způsobilosti. procesu. StatSoft

Analýza způsobilosti. procesu. StatSoft StatSoft Analýza způsobilosti procesu Analýza způsobilosti je jedna z nejběžnějších analýz vyžadovaných v oblasti zpracování průmyslových dat. V tomto článku si představíme indexy způsobilosti a podrobně

Více

SPC v případě autokorelovaných dat. Jiří Michálek, Jan Král OSSM,

SPC v případě autokorelovaných dat. Jiří Michálek, Jan Král OSSM, SPC v případě autokorelovaných dat Jiří Michálek, Jan Král OSSM, 2.6.202 Pojem korelace Statistická vazba mezi veličinami Korelace vs. stochastická nezávislost Koeficient korelace = míra lineární vazby

Více

Rozdíl rizik zbytečného signálu v regulačním diagramu (I,MR) a (xbar,r)

Rozdíl rizik zbytečného signálu v regulačním diagramu (I,MR) a (xbar,r) Rozdíl rizik zbytečného signálu v regulačním diagramu (I,MR) a (xbar,r) Bohumil Maroš 1. Úvod Regulační diagram je nejefektivnější nástroj pro identifikaci stability, resp. nestability procesu. Vhodně

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT STATISTICKÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Seminární práce 1 Brno, 2002 Ing. Pavel

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Sedm základních nástrojů řízení kvality Doc. RNDr. Jiří Šimek,

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel

Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel Korelace Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A2:B84 (viz. obrázek) Prvotní představu o tvaru a síle závislosti docházky a počtu bodů nám poskytne

Více

Návrh a vyhodnocení experimentu

Návrh a vyhodnocení experimentu Návrh a vyhodnocení experimentu Návrh a vyhodnocení experimentů v procesech vývoje a řízení kvality vozidel Ing. Bohumil Kovář, Ph.D. FD ČVUT Ústav aplikované matematiky kovar@utia.cas.cz Mladá Boleslav

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Ekonomické aspekty statistické regulace pro vysoce způsobilé procesy. Kateřina Brodecká

Ekonomické aspekty statistické regulace pro vysoce způsobilé procesy. Kateřina Brodecká Ekonomické aspekty statistické regulace pro vysoce způsobilé procesy Kateřina Brodecká Vysoce způsobilé procesy s rozvojem technologií a důrazem kladeným na aktivity neustálého zlepšování a zeštíhlování

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

Pearsonův korelační koeficient

Pearsonův korelační koeficient I I.I Pearsonův korelační koeficient Úvod Předpokládejme, že náhodně vybereme n objektů (nebo osob) ze zkoumané populace. Často se stává, že na každém z objektů měříme ne pouze jednu, ale několik kvantitativních

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

8/2.1 POŽADAVKY NA PROCESY MĚŘENÍ A MĚŘICÍ VYBAVENÍ

8/2.1 POŽADAVKY NA PROCESY MĚŘENÍ A MĚŘICÍ VYBAVENÍ MANAGEMENT PROCESŮ Systémy managementu měření se obecně v podnicích používají ke kontrole vlastní produkce, ať už ve fázi vstupní, mezioperační nebo výstupní. Procesy měření v sobě zahrnují nemalé úsilí

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Testování hypotéz. Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry

Testování hypotéz. Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry Testování hypotéz Testování hypotéz o rozdílu průměrů t-test pro nezávislé výběry t-test pro závislé výběry Testování hypotéz Obecný postup 1. Určení statistické hypotézy 2. Určení hladiny chyby 3. Výpočet

Více

Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Hustoty rozdělení pravděpodobnosti pro odhady ukazatele C pk

Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Hustoty rozdělení pravděpodobnosti pro odhady ukazatele C pk Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT Jiří Michálek: Hustoty rozdělení

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, 532 10 Pardubice 10. licenční studium chemometrie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT Semestrální práce STATISTICKÁ

Více

LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR

LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR Ve většině případů pracujeme s výběrovým souborem a výběrové výsledky zobecňujeme na základní soubor. Smysluplné

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,25 hodiny

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,25 hodiny Fyzikální praktikum III 15 3. PROTOKOL O MĚŘENÍ V této kapitole se dozvíte: jak má vypadat a jaké náležitosti má splňovat protokol o měření; jak stanovit chybu měřené veličiny; jak vyhodnotit úspěšnost

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

Cvičení 10. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 10. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 10 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické

Více

PRINCIPY ZABEZPEČENÍ KVALITY

PRINCIPY ZABEZPEČENÍ KVALITY (c) David MILDE, 2013 PRINCIPY ZABEZPEČENÍ KVALITY POUŽÍVANÁ OPATŘENÍ QA/QC Interní opatření (uvnitř laboratoře): pravidelná analýza kontrolních vzorků a CRM, sledování slepých postupů a možných kontaminací,

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI SEMESTRÁLNÍ PRÁCE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI SEMESTRÁLNÍ PRÁCE TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekonomická fakulta Studentská 2 461 17 Liberec 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE STATISTICKÝ ROZBOR DAT Z DOTAZNÍKOVÝCH ŠETŘENÍ Gabriela Dlasková, Veronika Bukovinská Sára Kroupová, Dagmar

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Semestrální práce z předmětu Pravděpodobnost, statistika a teorie informace

Semestrální práce z předmětu Pravděpodobnost, statistika a teorie informace České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Semestrální práce z předmětu Pravděpodobnost, statistika a teorie informace Životnost LED diod Autor: Joel Matějka Praha, 2012 Obsah 1 Úvod

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

Číselné charakteristiky

Číselné charakteristiky . Číselné charakteristiky statistických dat Průměrný statistik se během svého života ožení s 1,75 ženami, které se ho snaží vytáhnout večer do společnosti,5 x týdně, ale pouze s 50% úspěchem. W. F. Miksch

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

23. Matematická statistika

23. Matematická statistika Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 23. Matematická statistika Statistika je věda, která se snaží zkoumat reálná data a s pomocí teorii pravděpodobnosti

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) . Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika

Více

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

Národní informační středisko pro podporu jakosti

Národní informační středisko pro podporu jakosti Národní informační středisko pro podporu jakosti STATISTICKÉ METODY V LABORATOŘÍCH Ing. Vratislav Horálek, DrSc. Ing. Jan Král 2 A.Základní a terminologické normy 1 ČSN 01 0115:1996 Mezinárodní slovník

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj.

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj. Uvedeme obecný postup statistického testování:. Formulace nulové H 0a alternativní hpotéz H A.. Volba hladin významnosti α.. Volba testační statistik např... Určení kritického oboru testové charakteristik.

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

ZÁKLADNÍ NÁSTROJE ŘÍZENÍ JAKOSTI

ZÁKLADNÍ NÁSTROJE ŘÍZENÍ JAKOSTI ZÁKLADNÍ NÁSTROJE ŘÍZENÍ JAKOSTI SPŠ na Proseku 4-1 Ing. A. Styblíková, Ing. L. Procházka - pevně stanovený soubor grafických technik napomáhajících při řešení problémů s kvalitou - jedná se o 7 nástrojů

Více

4. Zpracování číselných dat

4. Zpracování číselných dat 4. Zpracování číselných dat 4.1 Jednoduché hodnocení dat 4.2 Začlenění dat do písemné práce Zásady zpracování vědecké práce pro obory BOZO, PÚPN, LS 2011 4.1 Hodnocení číselných dat Popisná data: střední

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více