SIMULACE ZTRÁTY STABILITY ŠTÍHLÉHO PRUTU PŘI KROUCENÍ

Transkript

1 SIMULACE ZTRÁTY STABILITY ŠTÍHLÉHO PRUTU PŘI KROUCENÍ SIMULATION OF STABILITY LOSS OF SLENDER BEAM UNDER TORSION Petr Frantík Abstract Paper deals wth the stablty loss of straght shape of slender deal prsmatc beam under torson. A specal dscrete nonlnear numercal model was used for dynamcal smulaton of the loaded beam. Usage of ths model shows, that ths stablty loss s the supercrtcal ptchfork bfurcaton n terms of the catastrophe theory. Úvod Př modelování mechanckých soustav se ž tradčně setkáváme se dvěma částečně protchůdným přístupy. Prvním přístupem lze nazvat vytváření detalních modelů, druhý přístup klade do popředí tzv. mnmální model. Zvyšování úrovně detalu modelu e typcké pro úlohy, které sou svoí podstatou předvídatelné a relatvně snadno řeštelné. Vystžení podrobností e také často důležté pro praktcké účely, kdy potřebueme spolehlvě obhát funkčnost modelu, například když není k dspozc ověřovací experment. Oprot tomu modely s mnmálním počtem neznámých velčn (stupňů volnost) lze nalézt zeména tam, kde převažue problém výpočetní náročnost. Mnmalzueme-l počet stupňů volnost, pak musíme zastt/ověřt, aby model vykazoval ty evy, které sou pro eho funkčnost významné. Uplatnění takového přístupu lze kromě výpočetní rychlost spatřovat především v teoretcké rovně. Takový model, pokud se e podaří naít, nám může přnést nformac o podstatě modelovaného evu. Za zmínku rovněž stoí získání zkušeností př vytváření a kontrole takového modelu. Jev samotný pak může být přístupněší k nalezení způsobu, ak ho využít nebo ak se mu vyhnout. Kroucení deálního prutu Z hledska hledání mnmálního modelu sou teoretcky zaímavé zeména ty úlohy, př kterých dochází ke skokové ztrátě stablty (tzv. katastrofa, vz []). Všeobecně známou e například úloha vzpěru přímého prutu, kterou vyřešl Leonhard Euler ž v roce 744. Podobným problémem e ztráta stablty př kroucení přímého štíhlého prutu. Obr. : Kroucení volného prutu Ing. Petr Frantík, Ph.D., Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanky, Veveří 33/95, Brno, Česká republka, e-mal: ktnarf@centrum.cz

2 Měme deální prut bez vněších vazeb z dokonale pružného materálu. Prut zatížíme na eho volných koncích dvocí opačných kroutících momentů, echž osa e shodná s osou prutu, vz obr.. Budeme-l zvyšovat velkost kroutícího momentu (označme e M), pak v určtý okamžk přestane být přímý tvar zkrouceného prutu stablním stavem a dode k náhlému příčnému vybočení. Odpovídaící hodnota kroutícího momentu e tzv. krtcká s označením M cr. Model, který e zde popsán, slouží k prvotnímu přblížení k podstatě tohoto evu. 3 Model prutu Předpokládeme velm štíhlý prut s průřezem, který e v kroucení poddaný, schopný velkých přemístění, anž by docházelo k nepružnému přetvoření. Těmto předpokladům vyhovue například tenký dlouhý plátek z pružné ocel. Model vytvoříme tak, že prut po délce rozdělíme na obdélníkové dílce s vntřním pružnam, nahrazuícím normálové a smykové přetvoření. Dílce vzáemně spoíme klouby s rotačním pružnam nahrazuícím ohybové přetvoření, vz obr.. Obr. : Model prutu v obecném tvaru (detal dělení na tř dílce) Působení obou druhů pružn nechť lneárně závsí na velkost ech přetvoření. Normálové a smykové pružny působí slou přímo úměrnou prodloužení pružny, rotační pružny působí momentem přímo úměrným vzáemnému natočení dílců v místě přpoení (kloub). Tyto závslost můžeme popsat vztahy: Fl = kl dl, () M f = k f dϕ, kde F l e síla, kterou lnová pružna (normálová resp. smyková) působí na příponé klouby, k l e tuhost lnové pružny, dl e protažení lnové pružny; M f e moment, kterým rotační pružna působí na přpoené dílce, k f e tuhost rotační pružny a dϕ e natočení dílců v místě přpoení pružny. Pro přetvoření pružn lze užít geometrcky přesného popsu:

3 0 dl, = l, l,, l, = r r u, u cos ( dϕ,, k ) = l l,, k, k ( x, r u x ), = ( x + ( y y ) x ; y + ( z y ; z z ), z ), kde x, y, z sou aktuální souřadnce kloubů, l, e aktuální délka pružny spouící klouby s ndexy a, původní délka nenapaté pružny e l 0, a u, e pomocný vektor daný polohou kloubů,. Použtý způsob dskretzace kontnua se nazývá fyzkální dskretzací, vz []. Takové nahrazení spoté úlohy lze často s výhodou využít př hledání mnmálního modelu. Ukazue se, že může být, vzhledem k výpočetní složtost, velm efektvní, vz [3]. Pro hledání statckých stavů prutu zatíženého kroutícím momenty lze využít buď statcké nebo dynamcké formulace problému. V případě statcké formulace sce šetříme výpočetní čas, ale obevue se nestota ve vlastnostech nalezeného řešení. Řešení totž může být stablní nestablní. Navíc může být nalezené řešení nesprávné ve smyslu průběhu zatěžovacího procesu (stav reálně nebude dosažen). Takové případy mohou nastat, exstue-l více stablních statckých stavů. Z výše popsaných důvodů bylo užto formulace dynamcké. Ta e sce výpočetně náročněší, ovšem na správnost dosažení statckého stavu a eho stabltu se můžeme více spolehnout. Předpokládeme, že hmotnost prutu lze soustředt do kloubů na hranách prutu. Za tohoto předpokladu vznká n hmotných kloubů, na které působí přpoené pružny dle vztahů (). Potom lze psát pohybové rovnce ve tvaru: dx dvx = vx, = ( Rx c m vx ), dt dt m dy dt = v y, dv dt y = ( R m y c m v y ), =,,..., n; dz dvz = vz, = ( Rz c m vz ), dt dt m kde v x, v y, v z sou složky aktuální rychlost -tého hmotného kloubu, R x, R y, R z sou složky aktuální nterakční síly R = f (F l, M f ) působící na hmotný kloub, m e hmotnost -tého hmotného kloubu, c e součntel útlumu -tého hmotného kloubu a t e čas. Dodeme, že popsaný model e nelneární, vz vztahy () a (), a téměř nezávslý na velkost přemístění hmotných kloubů. Jedné omezení e dáno vztahem pro výpočet pootočení dϕ, vz (). Ze vztahu vyplývá dϕ π / ; π /. 4 Smulace Řešení pohybových rovnc e pro účely smulace prováděno dferenční klasckou Runge- Kuttovou metodou, která e pro řešení nekonzervatvního systému tohoto druhu plně postačuící. Výpočet e prováděn následuícím způsobem: Neprve se vytvoří model prutu, t. množna hmotných kloubů vzáemně propoených soustavou pružn. Osa prutu e rovnoběžná s osou x souřadného systému. Počáteční podmínky sou nastaveny tak, že model odpovídá nenapatému prutu v kldu (rychlost hmotných kloubů sou nulové). Na konc prutu páru hmotných kloubů e vložena dvoce nekonzervatvních sl působících kolmo na dílec. Síly tedy sleduí aktuální normály dílce v místě působení. Dvoce sl na ednom konc prutu vytváří kroutící moment opačný, než dvoce sl na druhém konc. Následně e spuštěn výpočet s vhodným časovým krokem. () (3) 3

4 Na obr. 3 sou zobrazeny důležté fáze smulace pro kroutící moment M = 3M cr. Konečným stavem e stablní smyčka těsně před vznkem kontaktu částí prutu. a) počáteční stav b) prut př maxmální rotac c) kldový stav těsně před ztrátou stablty d) probíhá vybočení prutu e) stablní stav Obr. 3: Fáze smulace kroucení prutu př kroutícím momentu M = 3M cr 4

5 5 Bfurkační bod Smulace, eíž důležté fáze sou vdět na obr. 3, ukázala, že model e s to vysthnout destablzac prutu př kroucení. Zaímavostí e příčna ztráty symetre úlohy. Kdyby totž byl model včetně počátečních podmínek přesně symetrcký, nemohlo by k vybočení prutu doít. Původ nesymetre v modelu lze vysledovat k nesymetrcké poloze v souřadném systému, vz obr., a dále k nepřesným operacím s čísly s pohyblvou desetnou čárkou. Z vlastností úlohy e zřemé, že prut může vybočt dvěma směry, ak e vdět na obr. 3c (t. nahoru nebo dolů). Stuace e opět obdobou vzpěru prutu. Tuto možnost vybočení prutu oběma směry potvrdly další smulace s odlšným parametry. Tedy směr, kterým dokonale symetrcký prut vybočí, e za daných okolností typcky nepředpovědtelný. Pro ověření správnost výsledků smulace byl proveden výpočet bfurkačního dagramu, vz obr. 4. Dagram byl sestaven pro proměnlvý kroutící moment M, přčemž se vynášela hodnota vzepětí prutu f. Vzepětím prutu se myslí vzdálenost mez sponcí konců a průřezem v polovně prutu (měřeno v ose). V dagramu e vzepětí přepočítáno do bezrozměrného tvaru (L e délka nazatíženého prutu) f / L M / M cr Obr. 4: Bfurkační dagram f / L M / M cr Obr. 5 Detal zakončení bfurkačního dagramu 5

6 Z bfurkačního dagramu e patrné, že se edná o stený typ bfurkačního bodu ako u vzpěru prutu superkrtckou vdlčkovou bfurkac. V dagramu e kromě tohoto bfurkačního bodu, kde platí M = M cr, eště eden krtcký bod, nalézaící se na konc sponce, kde přblžně platí M = 3.57 M cr. Př dosažení druhého krtckého bodu dochází k další ztrátě stablty. Tento okamžk odpovídá snaze o zavnutí smyčky. Protože ale zvolený model nepodporue kontakt částí prutu, tak překročení tohoto bodu ž nevede k získání stablního statcké stavu. Obrázek 5 ukazue detal dagramu v okolí druhého krtckého bodu. 6 Závěr V článku byl prezentován nelneární model pro výpočet kroucení dokonale symetrckého štíhlého prutu, který dokázal vysthnout ev ztráty stablty. Dle očekávání tato ztráta stablty probíhá obdobně ako v případě vzpěru prutu dochází k superkrtcké vdlčkové bfurkac. Smulací se rovněž prokázalo, že kroucení umožňue vznk stablní smyčky. Autorem dříve studované ednoduché úlohy produkovaly en smyčky nestablní, vz např. [3]. Zaímavým se ukázal proces ztráty stablty. Př plném kroutícím momentu se neprve realzue zkrucování prutu bez příčného vybočení, ke kterému dode až po ustálení pohybu, vz obr. 3. Pohyb prutu (kroutvé kmtání) zřemě zabraňue příčné destablzac. Za zmínění rovněž stoí problematka nanesení nekonzervatvních dvoc sl a dále problém zachycení prutu v prostoru. Dle defnce sl v modelu totž dochází k mírnému porušení podmínky dvoce sl síly nesdílí společnou rovnu. Vlvem tohoto evu těžště prutu mění polohu v prostoru. Nabízeí se dvě možná řešení: nesnadné zachycení prutu pomocí vhodných podpor, nebo zaštění splnění porušené podmínky dvoce sl. Poděkování Článek vznkl za přspění dotace podle rozhodnutí MŠMT č. 530/005 k návrhu výzkumného záměru MSM Lteratura [] Arnold, V. I., TEÓRIA KATASTROF (org. TEORIJA KATASTROF, vydavatelstvo Moskevské unverzty 983), vydavateľstvo Alfa, Bratslava 986 [] Henrych, J., ÚPLNÁ SOUSTAVA FINITNÍCH METOD MECHANIKY A MOŽNOSTI DALŠÍHO ROZVOJE, stude ČSAV 6.85, nakladatelství Akadema, Praha 985 [3] Frantík, P., STABILITY STUDY OF THE ELASTIC LOOP, 5th Internatonal PhD Symposum n Cvl Engneerng, Delft 004, Netherlands 6