Predikátová logika dokončení

Transkript

1 Predikátová logika dokončení Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 1/18

2 Syntaktická analýza Jako ve výrokové logice (syntaktické stromy). Každý list úspěšného stromu je obsazen buď standardní proměnnou nebo funkčním symbolem arity 0 nebo predikátovým symbolem arity 0. Definice (Výskyty standardních proměnných) Máme formuli ϕ jazyka predikátové logiky a její syntaktický strom. 1 List obsazený stand. proměnnou x je výskyt stand. proměnné x ve formuli ϕ. 2 Výskyt stand. proměné x je vázaný, pokud cestou ke kořeni narazíme na x nebo x. V opačném případě je výskyt volný. 3 Formule ϕ je sentence, pokud má všechny výskyty stand. proměnných vázané. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 2/18

3 Definice (α-konverze) Dvě formule, které se liší pouze legálním přejmenováním vázaných proměnných, považujeme za totožné. Legální přejmenování znamená: 1 Přejmenováváme výskyty, vázané daným kvantifikátorem. 2 Po přejmenování se žádný původně volný výskyt nesmí stát vázaným. Důsledek Každou formuli predikátové logiky lze zapsat tak, že každá stand. proměnná má všechny výskyty buď pouze volné nebo pouze vázané. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 3/18

4 Definice (Sentence) Řekneme, že formule ϕ predikátové logiky je sentence, pokud je každý výskyt každé proměnné ve formuli ϕ vázaný. Syntaxe řídí sémantiku: musíme dát význam termům, formulím s volnými proměnnými, pak můžeme pochopit význam sentencí. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 4/18

5 Definice (Interpretace predikátů a funkčních symbolů) 1 Neprázdná množina U: universum interpretace. 2 Přiřazení [[ ]], které 1 Každému predikátu P arity n přiřazuje množinu [[P]] uspořádaných n-tic prvků universa U. 2 Každému funkčnímu symbolu f arity n přiřazuje funkci [[f ]] : U n U. Interpretaci predikátů a funkčních symbolů značíme: U, [[ ]]. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 5/18

6 Definice (Kontext standardních proměnných) Ať U, [[ ]] je interpretace predikátů a funkčních symbolů. Kontext standardních proměnných je funkce ρ : Var U. Jestliže ρ je kontext standardních proměnných, x Var a d U, pak symbolem ρ[x := d] označíme kontext standardních proměnných, který má stejné hodnoty jako kontext ρ, kromě hodnoty d v x. Kontextu ρ[x := d] říkáme update kontextu ρ o hodnotu d v x. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 6/18

7 Definice ( termů predikátové logiky) V interpretaci U, [[ ]] a kontextu ρ mají termy jazyka L následující sémantiku: 1 [[x]] ρ = ρ(x) pro každou standardní proměnnou. 2 Term f (t 1,..., t n ) má sémantiku [[f (t 1,..., t n )]] ρ = [[f ]]([[t 1 ]] ρ,..., [[t n ]] ρ ) Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 7/18

8 Definice ( formulí predikátové logiky) V interpretaci U, [[ ]] a kontextu ρ mají formule jazyka L následující sémantiku: 1 Atomická formule t 1 = t 2 je pravdivá, když platí rovnost [[t 1 ]] ρ = [[t 2 ]] ρ v universu U. 2 Atomická formule P(t 1,..., t n ) je pravdivá, když platí 3 Formule tt je pravdivá. ([[t 1 ]] ρ,..., [[t n ]] ρ ) [[P]] 4 Formule ϕ je pravdivá právě tehdy, když formule ϕ je nepravdivá. 5 Formule ϕ ψ je pravdivá právě tehdy, když jsou obě formule ϕ a ψ pravdivé současně. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 8/18

9 Definice ( formulí predikátové logiky pokrač.) 6 Formule ϕ ψ je pravdivá právě tehdy, když je alespoň jedna z formulí ϕ a ψ pravdivá. 7 Formule ϕ ψ je nepravdivá pouze tehdy, když je formule ϕ pravdivá a současně ψ nepravdivá. 8 Formule ϕ ψ je pravdivá právě tehdy, když jsou buď obě formule ϕ a ψ pravdivé současně nebo když jsou obě formule ϕ a ψ nepravdivé současně. 9 Formule x.ϕ je pravdivá, když je formule ϕ pravdivá v každém kontextu ρ[x := d], kde d je prvek U. 10 Formule x.ϕ je pravdivá, když je formule ϕ pravdivá v alespoň jednom kontextu ρ[x := d], kde d je prvek U. V predikátové logice neexistuje analogie pravdivostní tabulky! Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 9/18

10 Definice (Pravdivost sentence) Sentence ϕ je pravdivá v interpretaci U, [[ ]], když je pravdivá v libovolném kontextu ρ. Definice (Splnitelnost množiny sentencí) Množina M sentencí jazyka L predikátové logiky je splnitelná, když existuje interpretace, ve které jsou všechny sentence z množiny M pravdivé současně. Definice (Sémantická ekvivalence sentencí) Sentence ϕ a ψ jazyka L predikátové logiky jsou sémanticky ekvivalentní (značení ϕ = ψ), pokud mají stejnou pravdivostní hodnotu v každé interpretaci. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 10/18

11 Definice (Tautologie a kontradikce) Sentence ϕ jazyka L predikátové logiky je tautologie, pokud platí ϕ = tt a sentence ϕ je kontradikce, pokud platí ϕ = ff. Definice (Sémantický důsledek) Ať M je množina sentencí a ϕ je sentence jazyka L. Řekneme, že ϕ je sémantickým důsledkem množiny M (značení M = ϕ), pokud pro každou interpretaci U, [[ ]] platí: jestliže jsou všechny sentence z množiny M v interpretaci U, [[ ]] pravdivé, potom je v interpretaci U, [[ ]] pravdivá i sentence ϕ. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 11/18

12 Příklad Popište jazyk L predikátové logiky, ve kterém je řetězec P(z) ( x.p(x)) sentence a ukažte, že nejde o tautologii. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 12/18

13 Příklad Popište jazyk L predikátové logiky, ve kterém jsou řetězce sentence a rozhodněte, zda platí x. y.r(x, y) a y. x.r(x, y) x. y.r(x, y) = y. x.r(x, y) Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 13/18

14 Příklad Dokažte (formalizací ve výrokové logice), že následující dvě české věty Levné jídlo není dobré. Dobré jídlo není levné. znamenají totéž. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 14/18

15 Příklad Zformalizujte v predikátové logice věty: a Pan Hyde je vrah. Doktor Jekyll je pan Hyde. a Podle známé knihy z roku 1886 Podivný případ dr. Jekylla a pana Hyda skotského spisovatele Roberta Louise Stevensona ( ). Stevenson se pravděpodobně inspiroval dvojím životem přes den ctihodného radního města Edinburgh, Williama Deacon Brodieho ( ), který po nocích loupil, aby mohl platit své dluhy z hazardních her. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 15/18

16 Příklad Zformalizujte v predikátové logice větu: a Ulrich je muž bez vlastností. a Ulrich je hlavní postavou románu Muž bez vlastností rakouského spisovatele Roberta Musila ( ). Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 16/18

17 Některé další logiky 1 Intuicionistická logika: zjednodušeně neplatí zákon vyloučeného třetího. 2 Kvantová logika: používaná k popisu situací na kvantové úrovni. (V kvantovém světě obecně neplatí některé zákonitosti klasické logiky.) 3 Modální logika: dvě modality Je nutné, že... Je možné, že... Drastická změna sémantiky: Kripkeho sémantika možných světů. Modality: Po každém provedení výpočetního kroku platí... Po nějakém provedení výpočetního kroku platí... používané v computer science. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 17/18

18 4 Deontická logika: logika normativních tvrzení: Je správné, že... Je morální, že... 5 Temporální a dynamická logika: pravdivost či nepravdivost formulí v čase, např. Jednou bude platit... Platí..., dokud platí, že... Používaná pro analýzu tvrzení o běhu algoritmů. 6 Logika vyššího řádu: povolena kvantifikace predikátů (a vlastností predikátů, vlastností těchto vlastností apod.). V computer science se využívá například při analýze polymorfismu v programování. Podrobněji: předmět X01LOG Neklasické logiky. Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 18/18