ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr"

Transkript

1 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0

2 () Integrace užitím základních vzorců. ( ) d [ + ln C ] ( ) d [ C ] (0 + 5 ) 0 d [ ln 0 ln + 5 ln 5 + C ] 3 + d [ C ] ( ) e) d [ + ln + C ] f) d [ arctg + C ] + 5 sin + 3 cos g) sin d [ 5 cos tg 3 cotg + C ] (NP) Integrace užitím základních vzorců. (3 + ) d [ C ] ( + ) d [ C ] d [ ln + C ] 3 ( ) 3 d [ C ] ( + ) 3 e) d [ ln + C ] () Integrace substituční metodou. (4 3) 4 d [ 0 (4 3)5 + C ] ( 7) d [ 5 8 ( 7) + C ] 4 5 d [ 5 7 arcsin + C ] 49 7 cos d [ ln sin + + C ] sin + e e) e + d [ ln e + + C ]

3 f) g) sin cos 3 d [ 4 cos4 + C ] e sin cos d [ e sin + C ] (NP) Integrace substituční metodou. e arctg e d [ arctg 3 e + e 3 + C ] d [ arccos + C ] sin 6 cos d [ 7 sin7 + C ] e d [ e + C ] cos(ln ) e) d [ sin(ln ) + C ] (3) Integrace metodou per partes. e d [ e e + C ] sin d [ cos + sin + C ] 4 3 e d [ e ( ) + C ] ln d [ ln + C ] e) ln 3 d [ (ln3 3 ln + 3 ln 3 4 ) + C ] f) ln( + ) d [ ln( + )( ) C ] (NP) Integrace metodou per partes. cos sin 3 d [ sin cotg + C ] sinh d [ cosh sinh + C ] 5e 4 d [ 5 4 e e 4 + C ] e cos d [ e (cos + sin ) + C ] 5

4 e) ( + 5)e 4 d [ e ( + 5) + C ] 3 (4) Integrace racionální lomené funkce d [ 3 ln( + + 5) arctg + + C ] d [ ( ln 3 ) arctg 3 + C ] d [ ln ( ) 4 ( 4) 5 ( )( ) ( + 3) 7 + C ] e + e d [ ln e + ln e + C ] e) ( + )( ) d [ 3 ( ) + ln ( )( + ) + C ] (NP) Integrace racionální lomené funkce d [ ln ( ) 4 ( 4) 5 ( )( + 3)( 4) ( + 3) 7 + C ] d 3 + d [ ( + ) ln arctg + C ] 3 3 ( ) d [ 5 ln( ) + 9 arctg C ] 7 7 (5) Integrace goniometrických funkcí. sin cos d [ sin + C ] tg d [ ln cos + C ] sin d [ sin + C ] cos cos cos 3 d [ 3 sin cos + 3 sin + C ] e) cos 3 d [ 3 sin 3 + C ] tg f) cos d [ ln + C ]

5 4 (NP) Integrace goniometrických funkcí. sin 3 cos d [ 4 sin4 + C ] cos 5 sin d [ cos6 + C ] sin cos d [ ln sin + cos C ] sin + cos (6) Integrace iracionálních funkcí. d [ ( ln + ) + C ] ( + )( ) d [ C ] ( 3 6 d [ ) ln ln + + C ] + d [ + ln + + C ] (NP) Integrace iracionálních funkcí. ( ) 3 d + 3 d [ ln C ] 3 d [ ln C ] d [ + + ln + + C ] (7) Výpočet určitého integrálu úpravou d [ ln 5 3 ] 3 d [ 65 6 ] 5 d [ 0 ]

6 5 (8) Výpočet určitého integrálu metoda per partes. π 0 0 sin d [ π ] ln( + ) d [ 3 ln 3 ] arccos d [ π ] e 3 d [ 9 e3 + 9 ] (9) Výpočet určitého integrálu substituční metoda. 4 π 3 π 4 5 π 0 ( + ) d [ ln 3 3 ] sin sin 3 cos d [ 3 ] ln d [ ln 5 ] sin cos d [ 3 ] (NP) Výpočet určitého integrálu π π 4 + d [ 36 ] cosh d [ e e ] d ( + ) 3 d [ 9 ] cos sin d [ ] (0) Vypočtěte obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného křivkami + y =, y =, 0, y > 0. [ π 4 ]

7 6 () Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky y = 4 ln,, 3. [ + ln 3 ] () Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy P kolem osy. P : y = +, y = +. [ 6 5 π ] NP Vypočtěte povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy. P : = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t 0, π, a > 0. [ 6πa ] NP Najděte těžiště homogenní hmotné oblasti omezené křivkami y =, y = +. ( ) 4 + 5π [ T 0; ] 30π 0 NP Stanovte definiční obor dané funkce a načrtněte jej. z = ( + y) z = y + 5 y z = + y y z = arcsin( y ) + arcsin y [ Dz = {(; y) E : y + }; Dz = {(; y) E : y y }; Dz = E {(; y) E : y = y = }; Dz = {(; y) E : + y } ({(; y) E : y > 0} {(; y) E : y < 0}) {(; y) E : y > 0} {(; y) E : y < 0}] (3) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. z = 3y z = (sin ) cos y y z = ye sin πy + y y = ln + y +

8 7 [ z = 3y ( y), z y = 3 ; ( y) z = cos cos y(sin ) cos y, z y = sin y ln sin (sin ) cos y ; z = y( + πy cos πy)z, z y = ( + πy cos πy)z; z = + y, z y = y + y ] NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. ( ) + y z = + arcsin + y y y z = ( + y) +y [ z = y y y + + y, z y = y y y y + + y ; z = [ + ln( + y)]z, z y = [ + ln( + y)]z] (4) Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. z = cos y z = y + y 3 [ = sin + 4 cos, z yy = y z yy = 4 y, 3 z y = y ] cos y 3, z y = NP Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. z = + y z = ln( + y ) sin y ; z = 4y 9 7 3, [ z = y ( + y ), z y = 3y ( + y ), 5 z y = y( y ) ( + y ), 5 z yy = ( + y ) ; ( + y z ) 5 y ( + y ), z yy = y ( + y ) ] (5) Vypočtěte všechny požadované derivace daných funkcí. z = e ln y + sin y ln, yy =?, yyy =? z = y + e y, z y =? =

9 8 [ z yy = e y sin y, z yyy = e y 3 NP Určete d z v bodě A funkce z = f(, y). cos y ln ; z y = + e y y 3 (4 + y ) ] z = sin sin y, A = [ π 4, π ] z = y ln, A = (, ) 4 [ d ddy dy ; d + ddy ] NP Určete d z v bodě A funkce z = f(, y). z = e y, A = [, ] [ 4e d + 6e ddy + e dy ] Taylorova věta pro funkci f(), X = [,,..., n ]: f(x) = f(x o ) +! df(x o) +! d f(x o ) + + n! dn f(x o ) + R n+ (X), kde zbytek R n+ (X) = (n + )! dn+ f( + δh,..., n + δh n ), δ (0, ). (6) Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f(, y) v bodě A. z = e sin y, A = [0, 0], n = 3 z = sin(y), A = [0, π ], n = [ y + y + y 6 y3 ; π + (y π ) ] NP Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f(, y) v bodě A. z = ln( ) ln( y), A = [0, 0], n = 3 [ y + y + y ] Pravidla pro počítání složených funkcí: z = f(, y), = (t) a y = y(t) dz dt = ( ) f d dt + ( ) f dy y dt

10 9 w = f(, y, z), = (u, v), y = y(u, v) a z = z(u, v) ( ) w w u = ( ) w u + y ( ) w y u + y ( ) w w v = ( ) w v + y ( ) w y v + y z u, z v, Obecně: w = f(,..., m ), k = k (t,..., t n ), pro k =,..., m ( ) w w = ( ) w + ( ) w + + m, t i t i t i m t i kde i =,,..., n. (7) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. z = u + v, u = + sin y, v = ln( + y) z = u v v u, u = cos y, v = sin y [ z = + + y ln(+y), z y = cos y+ ln(+y); +y z = 3 sin y cos y(cos y sin y), z y = 3 (sin y + cos y)( 3 sin y cos y) ] NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. z = u v, u = ln( + y), v = e y [ z = vu v y + uv ln v e y y, z y = vuv y + uv ln u e y y ] y (8) Určete první parciální derivace funkce z = f(, y), která je dána implicitně danou rovnicí. cos(a + by cz) = k(a + by cz) + y + z = e z [ z = a c, z y = b c ; z = ( + y + z ) = z y ] NP Vypočtěte první parciální derivace v bodě A funkce z = f(, y), která je dána implicitně danou rovnicí. e z + y + z + 5 = 0, A = [, 6, 0] [ π cos + cos y + cos z = 0, A = 3, π, π ] 6

11 0 [ z (A) = 6, z y(a) =, NP) z (A) =, z y(a) = 0 ] Tečná rovina a normála plochy: Tečná rovina τ a normála n plochy z = f(, y) v bodě B 0 = [ 0 ; y 0 ; z 0 ] jsou dány rovnicemi tvaru: τ : ( 0 ) f (B 0 ) + (y y 0 ) f y (B 0 ) (z z 0 ) = 0 n : 0 f (B 0 ) = y y 0 f y (B 0 ) = z z 0 Je-li plocha dána implicitně F (; y; z) = 0, pak τ : ( 0 ) F (B 0 ) + (y y 0 ) F y (B 0 ) + (z z 0 ) F z (B 0 ) = 0 n : 0 F (B 0 ) = y y 0 F y (B 0 ) = z z 0 F z (B 0 ) Pro normálový vektor n tečné roviny platí n = (F (B 0 ); F y (B 0 ); F z (B 0 )). Normálu si můžeme vyjádřit parametricky ve tvaru: = 0 + tf (B 0 ), y = y 0 + tf y (B 0 ), z = z 0 + tf z (B 0 ); t R. (9) Nalezněte tečnou rovinu a normálu v bodě A plochy z = f(, y) zadané implicitně danou rovnicí. + y + z 49 = 0, A = [, 6,?] (z )yz y 5 = 5, A = [,, ] [ τ : 6y + 3z 49 = 0, n : = + 4t, y = 6 t, z = 3 + 6t, τ : 6y 3z 49 = 0, n : = + 4t, y = 6 t, z = 3 6t ] NP Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f(, y). z = y y, T = [; ;?]. [ τ : 3 + z 4 = o; n : = + 3t, y =, z = + t ] NP Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f(, y). z = y, T = [ ; ;?]. [ τ : 8 + 4y z44 = o; n : = + 8t, y = + 4t, z = 4 t ]

12 NP Určete derivaci ve směru s v bodě A a gradient v bodě A funkce z = f(, y). z = + y y, A = [3; 4], s = (3; 4). [ z (A) = 9, grad z = 7 s 5 5 i 5 j ] NP Určete derivaci funkce z = ln( + y ) v bodě A = [; ]. ve směru tečného vektoru v bodě A ke křivce y =, ve směru, v němž je derivace maimální. [ z s (A) = 3 z ; 5 s (A) = ] 5 (0) Nalezněte lokální etrémy daných funkcí. z = y y z = 3 + y y z = ln + ln y + ln( y) 6 [ [4; 4] - lok.ma.; [ ; ] - není, [0; 0] - lok.min., [ ; ] a [ 5 ; 0] - lok.ma.; [3; 6] - lok.ma. ] NP Nalezněte lokální etrémy daných funkcí. z = y y z = y y + 6y [ [5; ] - lok.min.; [4; 4] - lok.ma. ] () Nalezněte vázané etrémy dané funkce při daných podmínkách. z = + y; podm. + y = 5 z = + y ; podm. + y = [ [; ] - lok.ma., [ ; ] - lok.nim.; [; ] - lok.min. ] NP Nalezněte vázané etrémy dané funkce při daných podmínkách. z = + y; podm. y = z = + y ; podm. + y =

13 [ [; ] - lok.ma., [ ; ] - lok.nim.; [ ; ] - lok.min., [ ; ] - lok.ma. ] () Najděte absolutní etrémy daných funkcí. z = + y 4 + 8y; na obdélníku 0, 0 y z = y + y ; Mje určena nerovnicí + y z = + y + 6y; na oblasti dané nerovnicí + y 5 [ [; ] - abs.ma., [; 0] - abs.nim.; [0; ], [0; ], [; 0], [ ; 0] - abs.ma., [0; 0] - abs.min.; [3; 4] - abs.min., [ 3; 4] - abs.ma.]

14 Reference [] Novotný J.: Matematika I - Základy lineární algebry, CERM, FAST VUT Brno 004. [] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 004. [3] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkcí více reálných promennch, CERM, FAST VUT Brno 004. [4] Tryhuk, V. - Dlouhý, O.: Matematika I, Vybrané části a aplikace vektorového počtu, Modul GA0 M0, studijní opory pro studijní program Geodézie a kartografie s kombinovanou formou studia, Fakulta stavebni, Vysoké učení technické, Brno, 004. [5] Chrastinová, V.: Matematika, Vektorvá algebra a analytická geometrie, Modul 3, studijní opory pro studijní programy s kombinovanou formou studia, Fakulta stavebni, Vysoké učení technické, Brno, 004. [6] Daněček, J. - Dlouhý, O.: Integrální počet I, CERM, FAST VUT Brno 003. [7] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Přibyl, O.: Matematika I, Modul 7, Neurčitý integrál, Akademické nakladatelství CERM, Brno 007. [8] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Přibyl, O.: Matematika I, Modul 8, Určitý integrál, Akademické nakladatelství CERM, Brno 007. [9] Tryhuk, V.: Matematika I - Úvod do matematické logiky a teorie množin, CERM, FAST VUT Brno 994. [0] Tryhuk, V.: Matematika I - Reálná funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 994. [] Veverka, J. - Slatinský E.: Matematika I3 - Diferenciální pocet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 995. [] Novotný J.: Matematika I4 - Lineární algebra, CERM, FAST VUT Brno 995. [3] Horňáková, D.: Matematika I5 - Vektorová algebra, CERM, FAST VUT Brno 995. [4] Horňáková, D.: Matematika I6 - Analytická geometrie, CERM, FAST VUT Brno 995. [5] Voráček, J.: Matematika I7 - Neurčitý integrál, CERM, FAST VUT Brno 995. [6] Voráček, J.: Matematika II - Určitý integrál a jeho užití, CERM, FAST VUT Brno 995. [7] Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II, Modul BA0-M, Neurčitý a určitý integrál, diferenciální počet funkcí více proměnných, diferenciální rovnice, Akademické nakladatelství CERM, Brno 008. [8] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Koutková, H. - Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky I., CERM, FAST VUT Brno 994. [9] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II., CERM, FAST VUT Brno 994. [0] Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky III., CERM, FAST VUT Brno 995. [] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Diferenciální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 00, pocet/. [] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Integrální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 00, pocet/. [3] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 98. [4] Eliaš, J. - Horvát, J. - Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky,. časť, SVTL, Bratislava 965. [5] Černá, B.: Cvičení z lineární algebry, MZLU v Brně, Brno 998. [6] Jelínek, Z. - Samotná O.: Matematika - Integrální počet, Skriptum VŠ zemědělské v Brně, SPN, Praha 985. [7] Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I, SNTL/ALFA, Praha 987. [8] Karásek, J. - Maroš, B.: Integrální počet, Matematika - Metodické pokyny pro cvičení, CERM, FAST VUT Brno

15 4 [9] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokyny, Fakulta strojní VUT, Brno 978. [30] Vosmanská, G.: Matematika, MZLU v Brně, Brno 997. [3] Online verze tetů: Riešené úlohy z matematiky, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, [3] Online verze tetů: Riešené úlohy z matematiky, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, Mgr. Jan Šafařík Typeset by L A TEX

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body

Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body Urèete, kde je unkce rostoucí a kde klesající: Prùbìh unkce a) () =ln 0; e klesající ; e ; + rostoucí b) () =+ [( ; 0) [ (0; ) klesající ; ( ; ) [ (; +) rostoucí] c) () =e jj [ ( ; 0) rostoucí ; (0; +)

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016

Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ. strana ze 36 Šárka Hošková Jaromír Kuben Pavlína Račková Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY

ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY Marie Polcerová Fakulta chemická, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: Zavedení nového samostatného povinného předmětu Počítačová

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Organic Search Traffic

Organic Search Traffic http://forum.matweb.cz http://forum.matweb.cz Matematické forum [DEFAULT] Organic Search Traffic Jan 1, 2012 Dec 31, 2012 % of visits: 86.15% Explorer Site Usage Visits 10,000 5,000 April 2012 July 2012

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Pravidla pro hodnocení a klasifikaci v jednotlivých předmětech a seminářích

Pravidla pro hodnocení a klasifikaci v jednotlivých předmětech a seminářích Pravidla pro hodnocení a klasifikaci v jednotlivých předmětech a seminářích Povinností žáka je napsat seminární práci nejpozději ve 3.ročníku (septima) v semináři (dle zájmu žáka). Práce bude ohodnocena

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 23-41-M/01 Strojírenství STROJÍRENSKÁ TECHNOLOGIE

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 23-41-M/01 Strojírenství STROJÍRENSKÁ TECHNOLOGIE Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 23-41-M/01 Strojírenství STROJÍRENSKÁ TECHNOLOGIE 1. Mechanické vlastnosti materiálů, zkouška pevnosti v tahu 2. Mechanické

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

VÝUKA MATEMATIKY NA STŘEDNÍ A VYSOKÉ ŠKOLE

VÝUKA MATEMATIKY NA STŘEDNÍ A VYSOKÉ ŠKOLE VÝUKA MATEMATIKY NA STŘEDNÍ A VYSOKÉ ŠKOLE Brno 2010 Břetislav Fajmon OBSAH 1 Obsah 1 Matematika na VŠ technického směru 2 2 Středoškolská matematika potřebná pro matematické předměty bakalářského studia

Více

Obchodní akademie, Náchod, Denisovo nábřeží 673

Obchodní akademie, Náchod, Denisovo nábřeží 673 Název vyučovacího předmětu: MATEMATICKÁ CVIČENÍ (MAC) Obor vzdělání: 63-41-M/02 Obchodní akademie Forma vzdělání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 154 (5 hodin týdně) Platnost: od 1. 9.

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

ě á Ř ú ó Á ý á á ú ú ú š ý á ě á á ú á á á á ž ě ě š ů á á á á ý ž á ž á á ě á á ž á ě Á ě á ó ó á ú ěš á ý úě ú ý ň ý ý á ň ň á ň ý ý á É ý á ý á ě á ú Č Š ÝŤ ú ú ú š ý á á á ú á á á á ě ě š ů á á á

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ 1. Mechanické vlastnosti materiálů 2. Technologické vlastnosti materiálů 3. Zjišťování

Více

Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM

Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM Základní informace o výuce předmětu SSK II Metody řešení staticky neurčitých konstrukcí

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

BA03 Deskriptivní geometrie pro kombinované studium

BA03 Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03 Deskriptivní geometrie pro kombinované studium RNDr. Jana Slaběňáková Mgr. Jan Šafařík přednášková skupina P-BK1VS1 učebna D185 letní semestr 2014-2015 Kontakt: Deskriptivní geometrie pro kombinované

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: I. Obor Ekonomické lyceum 78-42-M/002 1. Práce s obhajobou z ekonomiky nebo společenských věd: Témata pro práci s obhajobou budou žáci zpracovávat

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky Gymnázium Rumburk (vyšší stupeň osmiletého gymnázia a čtyřleté gymnázium v Rumburku) Předmět:Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu 1. Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět vzniká Matematika

Více

SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě

SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě Název projektu Zlepšení podmínek vzdělávání SZŠ Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0358 Název školy Střední zdravotnická škola, Turnov, 28.

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

Seznam učebnic pro 1. ročník čtyřletého studia a pro 5. ročník osmiletého studia škol. rok. 2015/16

Seznam učebnic pro 1. ročník čtyřletého studia a pro 5. ročník osmiletého studia škol. rok. 2015/16 Gymnázium, Dašická 1083, Pardubice Seznam učebnic pro 1. ročník čtyřletého studia a pro 5. ročník osmiletého studia škol. rok. 2015/16. 1. Český jaz.: 1/ Sochrová: Český jazyk v kostce pro SŠ, Fragment

Více

Obsah metodiky. Obsah metodiky... 2 Úvod... Cíle využití metody e-learningu ... ... ... 6 Kurz Matematika Svobodová...

Obsah metodiky. Obsah metodiky... 2 Úvod... Cíle využití metody e-learningu ... ... ... 6 Kurz Matematika Svobodová... Metodika aktivity 04 E-learning Matematika v rámci projektu Škola pro praktický život Zpracovala: Mgr. Zdeňka Hudcová Mgr. Martina Svobodová 2010 TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FONDEM

Více

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 2. VNITŘNÍ SÍLY PRUTU 2.1 Úvod * Jak konstrukce přenáší atížení do vaeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány? * Modelování (jednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 1 Prut: konstrukční prvek,

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Vyhláška č. 9DV/2011 děkana FEK ZČU v Plzni Přijímání ke studiu na Fakultu ekonomickou ZČU v Plzni pro akademický rok 2012/2013

Vyhláška č. 9DV/2011 děkana FEK ZČU v Plzni Přijímání ke studiu na Fakultu ekonomickou ZČU v Plzni pro akademický rok 2012/2013 Vyhláška č. 9DV/2011 děkana FEK ZČU v Plzni Přijímání ke studiu na Fakultu ekonomickou ZČU v Plzni pro akademický rok 2012/2013 podle zákona o vysokých školách č. 111/1998 Sb. v platném znění, 48 a 49

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova 5.5 Učební osnovy: Matematika

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova 5.5 Učební osnovy: Matematika Podle těchto učebních osnov se vyučuje ve třídách 1.N a 2.N šestiletého gymnázia od školního roku 2013/2014. Zpracování osnov předmětu Matematika koordinoval Mgr. Petr Spisar Časová dotace : Nižší gymnázium:

Více

Ý ý Č ž ý ž ů ď ý ů ů Ýú ž ž ý ž ý ů ý Š ž Ř ý Š ý ý ý ů ý ů ý ž ý ž Ř Š Š ý ž ý ý Š ý ú ý ů ý ž ý Š ý ý ý ý ů ž ý ú ý ůž ň ůž Š ů Č ž ý ž ý ů ů ý ž ž ý ů ý Ů ý ů ý Ů ý ů ů ý ů ů ú ž Ž Š Č ú ýž ý ž ý ý

Více

Okruhy profilových předmětů maturitní zkoušky třída 4. A, školní rok 2014/2015. Ekonomika

Okruhy profilových předmětů maturitní zkoušky třída 4. A, školní rok 2014/2015. Ekonomika Okruhy profilových předmětů maturitní zkoušky třída 4. A, školní rok 2014/2015 Ekonomika 1. Management 2. Oběžný majetek 3. Finanční trh 4. Bankovní soustava ČR 5. Marketing 6. Podnikání základ tržní ekonomiky

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace.

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Výuka matematiky přispívá k pochopení kvantitativních a prostorových vztahů reálného

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1. Obsahové vymezení předmětu Matematika prolíná celým základním vzděláváním a její výuka vede žáky především předmět Matematika zahrnuje vzdělávací Matematika

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek.

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek. . ABSOLUTNÍ HODNOTA definice absolutní hodnoty reálného čísla a geometrická interpretace, definice absolutní hodnoty komplexního čísla a geometrická interpretace, vzdálenost bodu od přímky (v rovině i

Více