Gymnázium, Kojetín, Sv. Čecha 683

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Gymnázium, Kojetín, Sv. Čecha 683"

Transkript

1 Gymnázium, Kojetín, Sv. Čecha 683 MATEMATIK, FILOZOF Ročníková práce Autor práce: Romana Zapomnětlivá Třída: 2. ročník, sexta Šk. rok: Konzultant: Mgr. XXXX XXXXXX

2 Prohlašuji, že jsem svou práci vypracoval(a) samostatně, použil(a) jsem pouze podklady (literaturu, SW atd.) uvedené v přiloženém seznamu a postup při zpracování a dalším nakládání s prací je v souladu se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) v platném znění. V dne podpis:

3 ANOTACE Práce se zabývá vztahem dvou vědních oborů: filozofie a matematiky, zmiňuje společné kořeny vzniku ve starověku, vymezení obou nauk v době renesance a specifické rysy projevující se zejména od konce 19. století. Součástí práce je i přehled nejvýznačnějších osobností, které se zabývaly oběma vědními obory a zasáhly významnou měrou do jejich vývoje. Samostatné subkapitoly jsou věnovány Pythagorovi a Euklidovi. Klíčová slova: matematika, filozofie, matematik-filozof, algebra, aritmetika, geometrie, starověk, středověk, renesance, osvícenství moderní doba, Pythagoras, Euklides

4 Obsah Obsah... 4 Úvod Vymezení pojmů Matematika a filozofie Matematik, filozof Stručný přehled významných matematiků, filozofů od starověku po 2. polovinu 20. století Starověk Středověk Novověk století století Významné osobnosti filozofů, matematiků Pythagoras Euklides...17 Závěr...20 Seznam literatury:...21 Seznam internetových odkazů:...21 Přílohy:

5 Úvod Téma matematik, filozof jsem si pro ročníkovou práci vybral proto, že mě tato oblast zajímá a rád bych se v tomto směru obohatil o nové poznatky a více pronikl do podstaty věcí. Cílem práce je poukázat na provázanost historického vývoje zdánlivě neslučitelných vědních oborů, jako jsou matematika a filozofie, a blíže představit některé významné osobnosti, jež se v minulosti proslavily jak na poli filozofickém, tak na poli matematickém. Myslím si, že by tato problematika mohla zaujmout i ostatní studenty, protože se v mé práci objevují známá jména, s nimiž se během školní docházky setkává každý gymnazista: např. Pythagoras (autor jednoho z nejznámějších matematických zákonů Pythagorovy věty), Euklides (autor Euklidovy věty), René Descartes (spolu s Fermatem zakladatel analytické geometrie) a Isaac Newton (autor např. binomické řady nebo diferenciálního a integrálního počtu) apod. Práce se dělí do tří kapitol. V první části je uvedena jednak definice vědních oborů matematika a filozofie, jednak stručná obecná charakteristika osobnosti matematika, filozofa a je zde také poukázáno na souvztažnost obou zmiňovaných vědních disciplín. Druhá kapitola obsahuje historický přehled významných osobností matematiky a filozofie. Přehled je v podkapitolách řazen chronologicky od starověku po 2- polovinu 20. století. Třetí, závěrečná kapitola, přiblíží podrobněji dva významné matematiky, filozofy z antického Řecka. U každé ze zmíněných osobností bude stručně popsán jejich život a přínos pro matematiku, filozofii a případně jiná odvětví, kterým se věnovali. Ve své práci vycházím z odborné filozofické literatury, publikace o matematice, informace čerpám i z internetu. 5

6 1 Vymezení pojmů 1.1 Matematika a filozofie Věda filozofie i matematika mohla vzniknout až tehdy, když se člověk přestal starat pouze o svoji obživu a svůj volný čas věnoval i jiným věcem. Poprvé tomu tak bylo v Egyptě u vrstvy kněží (zde vznikla matematika a astronomie) a v Řecku u bohatých obchodníků v městě Milétu (zde se se zrodila filozofie). Matematika název tohoto vědního oboru je odvozen z řeckého μαθηματικός (mathematikós) = milující poznání; μάθημα (máthema) = věda, vědění, poznání. 1 Jedná se o nauku o kvantitativních a prostorových vztazích. Elementární poznatky z aritmetiky a geometrie se objevily na samém počátku kulturního vývoje v souvislosti s praktickými úlohami (stanovení počtu kusů, měření délek, ploch, objemů, problémy ve stavebnictví, astronomii atd.). Mnoho poznatků tohoto druhu bylo známo ve starověkém Egyptě a v Mezopotámii. Jako samostatná věda s jasně vymezenými metodami se matematika objevila ve starověkém Řecku; zejména výklad elementární geometrie, jak jej vytvořili řečtí myslitelé, byl po dvě tisíciletí vzorem deduktivní výstavby matematické teorie. 2 Další etapou prudkého rozvoje matematiky byl raný novověk, kdy byly především Descartem ustaveny základy matematické analýzy. Poté se díky práci Newtona, Leibnize, Eulera, Gausse a dalších matematiků podařilo dosáhnout zásadních výsledků v oblasti analýzy zejména položením základů diferenciálního a integrálního počtu. Jiným významným obdobím dějin matematiky byl přelom 19. a 20. století. Nové impulzy dodaly matematice objevy v logice a zavedení axiomatické teorie množin. Touto dobou začaly být též zkoumány abstraktní struktury, což umožňuje jedním důkazem ověřit matematické tvrzení pro širokou skupinu matematických objektů. Vyvrcholením tohoto trendu byl v polovině 20. století vznik teorie kategorií, která je pokládána za nejobecnější a nejabstraktnější matematickou disciplínu. 3 Matematika se dělí na řadu oborů, např. na algebru, matematickou analýzu, topologii, geometrii, teorii čísel, teorii množin, matematickou statistiku, matematickou informatiku, teorii her, matematickou fyziku, ekonomii, psychologii, lingvistiku ad. 4 1 Matematika [online]. [cit Dostupné z: Wikipedie. Matematika. *online+. *editována v 22:00. Dostupné na World Wide Web: 2 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str Matematika [online]. [cit Dostupné z: Wikipedie. Matematika. *online+. *editována v 22:00. Dostupné na World Wide Web: 4 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str

7 Filozofie, řecky φιλοσοφία, z φιλειν (filein, mít rád, toužit po něčem) a σοφια (sofia, moudrost, zdatnost) je soustavné, racionální a kritické zkoumání skutečnosti, světa a člověka, případně i toho, co je přesahuje (metafyzika). 5 Filozofie vznikla v reakci na tradiční mytologickou interpretaci světa ve starém Řecku na počátku 6. století před n. l. Původně byla ve starém Řecku chápána jako souhrn veškerého poznání a v tomto smyslu byla synonymem pro vědu. Postupně se jednotlivé vědy začaly z filozofie vydělovat (např. matematika již v antice, kdežto psychologie a sociologie až v 19. a 20. století). Předmět, funkce i metody zkoumání filozofie se v průběhu jejího vývoje mění: vysvětlování světa včetně jeho vzniku v předsokratovském období; zkoumání a vymezování obecných pojmů u Sókrata a Platóna; hledání příčin všeho jsoucího u Aristotela; rozumový výklad světa a náboženských pravd v křesťanství a scholastice; stanovení pevného, jistého poznání na základě matematicky vyjádřených zákonů v novověku; úsilí o emancipaci člověka pomocí rozumu v osvícenství; vymezování podmínek naší zkušenosti u Kanta; pochopení filozofie jako ideové zbraně u marxistů; kritika všeho, čím se člověk pokouší zastřít svou konečnost a omezenost v existencialismu; kritika představa jediné pravdy v postmoderně atd Matematik, filozof Matematik, filozof je vědec, který svým zkoumáním obsáhl obě vědní disciplíny matematiku i filozofii a přinesl do obou vědních oborů nové poznatky. Historie zná mnoho významných matematiků, filozofů. Můžeme začít hned ve starověkém Řecku. Již Aristoteles označil za prvního skutečného filozofa Thaleta z Milétu 7, který ovšem významnou měrou zasáhl i do vývoje matematiky, konkrétně jedné její části geometrie. Snad nejvýznamněji se obě vědní disciplíny prolnuly v období od renesance po osvícenství (od konce 16. století po 18. století), v období racionalismu, kdy zvítězilo rozumové vnímání světa a v němž se ideálem veškerého poznání stala matematika jako věda, která je schopná přinést neotřesitelné důkazy. Její metody měly být uplatňovány ve všech oborech lidské činnosti. 8 Stručný přehled matematiků, filosofů přinese následující kapitola. 5 Filozofie *online+. Stránka byla naposledy editována v 17:5 *cit Dostupné z: 6 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str Weischedel, Wilhelm. Zadní schodiště filozofie. Olomouc 1995, str 7. 8 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

8 2 Stručný přehled významných matematiků, filozofů od starověku po 2. polovinu 20. století 2.1 Starověk Jak bylo uvedeno v předchozí kapitole, za prvního opravdového filozofa bývá považován Thales z Milétu (620 př. n. l př. n. l.), zástupce předsókratovské filozofie, konkrétně představitel milétských přírodních filozofů. Věnoval se politice, astronomii, matematice a spočítal přesně zatmění Slunce. Tento fakt podnítil jednoho historika k tomu, že přesně stanovil hodinu zrození filozofie. Píše: Řecká filozofie začíná 28. května 585 před Kristem. 9 Je to den, kdy podle Thaletovy předpovědi skutečně došlo k zatmění Slunce. Coby filozof se snažil proniknout k podstatě věcí, není od něj ovšem dochován žádný filozofický spis. Pokládá si např. otázky: Co je tou věcí, tím principem, který působí, že vše vzniká a vše existuje? Odkud všechno pochází, z čeho vše vzniká? Thales tvrdil, že základem světa, pralátkou, je voda. Svět je podle něj deska, která plave na vodě. Vodu zvolil za pralátku pravděpodobně proto, že se mu jevila jako nejvíce tvárná, neboť se s ní setkáváme ve všech třech skupenstvích. V oboru matematiky si osvojil orientální vědění díky svým cestám do Egypta. Řekové jej nazývali jedním ze sedmera mudrců nebo otcem vědy. Zabýval se geometrií, vlastnostmi trojúhelníků a kružnice. Znal větu o shodnosti trojúhelníků, vztahy mezi úhly v rovnoramenném trojúhelníku a znal vrcholové úhly. Thaletova věta je první matematická věta, která byla (podle dostupných pramenů) objevena. Svá matematická tvrzení se Thales pokoušel i dokazovat. 10 Dalším významným starověkým řeckým matematikem, filozofem byl Pýthagorás, o němž a jeho škole bude více pojednáno v následující kapitole. Filozofii i matematiku (stereometrii) zkoumal ze starověkých filozofů i Platón. Platón např. předpokládá, že pět pravidelných mnohostěnů, jež Řekové nazývali Bakchovými hračkami, tj. krychle, čtyřstěn, dvacetistěn, osmistěn a dvanáctistěn (mají stejné strany, stěny i úhly; lze do nich dokonale vepsat či kolem nich opsat kouli), tvoří základní tvary hmoty: Země je kompaktní a stabilní, protože je tvořena krychlemi, oheň je tvořen čtyřstěny, voda, vzduch a éter se skládají z dvanáctistěnů. 11 Součástí 9 Weischedel, Wilhelm. Zadní schodiště filozofie. Olomouc Votobia, vyd. 2. Str REICHL, Jaroslav a Milan VŠETIČKA. Encyklopedie fyziky: Ionská přírodní filozofie [online] [cit ]. Dostupné z: 11 Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str

9 platónské tradice je tvrzení, že Bůh dal přírodě tvar pomocí geometrie. 12 Nad vchodem do antické platónské Akademie bylo motto: Nevstupuj, kdo nejsi geometrem. Euklides z Alexandrie mj. dopracoval některé poznatky pythagorejců, je autorem vět o výšce a odvěsně v pravoúhlém trojúhelníku, dokázal, že prvočísel je nekonečně mnoho a že není racionální číslo. Oba tyto výsledky, které jsou pro matematiku velmi důležité, dokázal velmi elegantně sporem. Tento typ důkazu si Euklides velmi oblíbil. Filozofii ovlivnil jen okrajově tím, že ve svém hlavním díle Základy shrnul práci mnoha dřívějších matematiků a filosofů. Dalším významným matematikem, filozofem (mj. i zakladatelem logiky jako oboru zkoumání), je Aristoteles, ale také Archimédes ze Syrakus a jistě bychom mohli uvést i další jména. 2.2 Středověk Pro období středověku je charakteristický odklon od přírodních věd, bádání se soustřeďuje na teologii (hlavní úlohu ve všech oblastech života a poznání hraje Bůh), která je nadřazena veškerým vědám včetně filozofie. Přesto je už od dob církevních otců (patristů), např. Aurelia Augustina ( ) kladen důraz na vzdělání, znalost klasických jazyků, ale i logiky, matematiky, geometrie, astronomie a rétoriky. Novoplatonisté raného středověku, ale i pozdější křesťanští a renesanční filozofové navázali na Platóna, když mezi atributy Boha včlenili roli protogeometra. Tím bylo míněno, že Bůh použil při aktu stvoření aritmetiku, jejímž prostřednictvím určil počet věcí, geometrii, jejíž pomocí určil jejich tvar, a hudbu, která zaručuje harmonii a dynamickou rovnováhu vesmíru. 13 Rozvoj středověké společnosti pak s sebou přinesl i požadavky na vyšší vzdělanost lidí, byly proto zakládány univerzity, kde se učilo sedmeru svobodných umění, mezi nimi samozřejmě i aritmetice a geometrii. K nejvýznamnějším matematikům středověku lze právem zařadit Leonarda z Pisy zvaného Fibonacci, který se zasadil o zpopularizování arabské číselné soustavy, o zavedení nuly (poziční i množstevní), zajímal se o geometrii, zlatý řez a posloupnost. 14 V období středověku matematici dospěli k těmto důležitým výsledkům: Mikuláš Oresme (druhá polovina 14. století) studoval ze záliby mocniny s lomenými exponenty, ale hlavně napsal práci, v níž se zabývá závislostí mezi veličinami. Nanáší závisle proměnnou (latitudo šířku) vůči nezávisle proměnné 12 Tamtéž, str Tamtéž, str REICHL, Jaroslav a Milan VŠETIČKA. Encyklopedie fyziky: Dějiny matematiky a fyziky [online] [cit Dostupné z: 9

10 (longitudo délce), kterou lze měřit. Je v tom druh přechodu od souřadnic na nebeské nebo zemské sféře (které znali již ve starověku) k moderním geometrickým souřadnicím. Až do začátku 16. století však nebyl učiněn žádný podstatný pokrok k překonání úrovně arabské a antické matematiky. První skutečně nové a původní výsledky přináší italští matematikové na počátku 16. století, pracující v oblasti řešení rovnic Novověk V novověku je patrný odklon od Boha k člověku, coby nezávislé bytosti, a jeho rozumu. Renesanční filosofie se rozvíjela v období od druhé poloviny 15. století do konce 16. století. Vyznačuje se oživením zájmu o antickou filozofii (filozofie se obecně vymaňuje z područí teologie) a obratem ke zkoumání člověka a tajemství přírody, což vede k rozvoji matematiky, alchymie, astrologie a astronomie, jež nahradila starší geocentrické představy novým heliocentrismem. Na počátku 16. století překročila evropská matematika rámec znalostí, které byly vytvořeny v antickém Řecku a národy Orientu. Až do přelomu 16. a 17. století měla matematika jako předmět svého zkoumání hlavně kvantitativní veličiny a neměnné geometrické útvary. V 15. století ovládali italští počtáři (praktikové) spolehlivě aritmetické výpočty včetně počítání s iracionálními čísly a italští malíři byli dobrými geometry. Mezi nejvýznamnější renesanční filozofy a matematiky bezesporu patří Mikuláš Kusánský, Mikuláš Koperník, Giordano Bruno, Galileo Galilei, Johannes Kepler ad. Např. Mikuláš Kusánský o řádu a harmonii vesmíru říká, že je lze odvodit z toho, že Bůh nestvořil svět bez plánu, nýbrž na základě matematických principů. 16 Matematika slouží Kusánskému především k tomu, aby popsal podstatu Boha jako absolutní nekonečno. Johannes Kepler pak hlásal zásadu: Kde je látka, tam je matematika 17, čímž poprvé formuluje matematický ideál poznání, který tak významně ovlivnil další podobu vědeckého bádání zejména v přírodovědě. Podobně se vyjadřuje i Galileo Galilei: Velká kniha přírody leží před námi otevřena. Abychom ji mohli číst, potřebujeme matematiku, neboť je psána matematickým jazykem. Přírodní procesy jsou kvantitativní, a tudíž měřitelné, a kde nelze měřit, musí věda uspořádat experiment tak, aby měření bylo možné Dějiny matematiky [online] v 18:49. [cit Dostupné z: 16 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

11 Filozofie v 17. století vstupuje do věku, v němž vládne rozum a v němž je základem ideálem každého poznání matematika, tj. věda, která se vymyká každé národní a individuální specifičnosti a která má naprosto všeobecnou platnost. Jestliže matematika poskytla metodu neotřesitelných důkazů, pak se tento princip měl přenést na veškeré lidské vědění, tedy na všechny vědy a především také na filozofii. Filozofii té doby tedy nelze oddělit od matematiky. 19 Filozofové 17. století byli buď sami geniálními matematiky, jako René Descartes (zavedením kartézské soustavy souřadnic objevuje metodu, jak analyticky, tj. prostřednictvím čísel a rovnic, zkoumat geometrické útvary; díky tomuto objevu se v následujících staletích podaří vyřešit mnoho klasických geometrických problémů), Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Gottfried Wilhelm Leibniz, Isaac Newton (oba matematická analýza, kalkulus), nebo alespoň, jako např. Baruch Spinoza, vybudovali svou myšlenkovou stavbu geometrickým způsobem. Tak se rodí racionalistická filozofie, která prosazuje myšlenku, že k platným vědeckým závěrům lze dospět pouze a výhradně racionálním deduktivním procesem na základě evidentních faktů, které mysl postihuje intuitivně jako jasné a zřejmé stejně jako např. pojmy rozměru a hmoty. 20 Tímto přístupem někteří racionalisté v opozici k empirismu dospěli až k popření vnímání prostřednictvím smyslů a k popření významu zkušenosti, a dokonce i praktického experimentálního ověření teorie. Osvícenská filozofie bývá obvykle spojována s rozvojem společenských věd, psychologie, navazuje však svými metodami na předchozí období (víru v rozum), a proto i zde má matematika své zastánce. Např. anglický filozof David Hume označuje matematiku jako jedinou vědu, která se nezabývá sdružováním představ, nýbrž fakty 21, a tudíž je podle něj jedinou vědou, která nám dává absolutní jistotu (na rozdíl od jiných vědních oborů, jež nám mohou nabídnout pouze pravděpodobnost). Významným filozofem a matematikem byl také Jean d Alembert, jeden z tvůrců a vydavatelů slavné Encyklopedie věd, umění a řemesel v 2. polovině 18. století. Vypracoval nástin dějin vzniku a vývoje poznání a pokusil se o klasifikaci věd. Zabýval se mj. diferenciálním počtem a rovnicemi a jejich aplikacemi ve fyzice, zvláště významné jsou jeho články, které se zabývají limitami, kde je vidět, že d'alembert chápal význam funkcí pro matematiku. D Alembertovým současníkem byl Leonhard Paul Euler, průkopnický švýcarský matematik a fyzik. Euler je považován za nejlepšího matematika 18. století a za jednoho z nejlepších matematiků vůbec. Eulerův vliv na matematiku vyjadřuje výrok připisovaný Pierru Simonu de Laplaceovi : "Čtěte 19 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

12 Eulera, čtěte Eulera, je to učitel nás všech." 22 Je tradičně považován za zakladatele teorie grafů. Pochází od něj metoda variace konstant pro řešení diferenciálních rovnic. Jako první použil pojem imaginární číslo pro druhou odmocninu ze záporného čísla ve své knize Algebra. Zavedl dvojrozměrný integrál. Od Eulera také pochází i nyní používané označení f(x) pro funkci. Díky jeho všeobecně uznávané autoritě se ustálila symbolika algebry a infinitezimálního počtu. 23 Na racionalismus (a roli matematiky v poznání, zejména poznání a definování prostoru a času), konkrétně především na Leibnize a Descarta, navazoval i slavný německý osvícenský filozof Immanuel Kant ve svém nejproslulejším díle Kritika čistého rozumu, vedle neoddiskutovatelné role rozumu ovšem stejný význam přikládal i empirickému poznání. Zatímco předchůdci používali rozum, aby kritizovali Kant podrobil kritice rozum sám (postavil se proti dogmatice rozumu), člověk je podle něj bytostí nejen myslící, ale i chtějící a cítící století Filozofie 19. století se opírá o I. Kanta (ale i idealistu G. Hegela a jeho pojetí dějinnosti, ducha doby) a dále jej rozvíjí; mezi nejvýznamnější matematiky, filozofy zde můžeme řadit Francouze Augusta Comta, zakladatele pozitivismu a sociologie. Pozitivismus se přidržuje pouze skutečnosti, tj. daných fakt. Zabývá se výhradně tím, co je společensky užitečné. A v protikladu k nekonečným sporům dřívější metafyziky, drží se výhradně toho, co lze přesně definovat. Comte se inspiroval zejména R. Descartem a F. Baconem, provádí klasifikaci věd, kdy za vědu považuje jen to, co lze jednoznačně definovat, řadí tedy vědy takto: matematika (od Descartovy a Newtonovy doby je základem filozofie, svými oběma větvemi, abstraktní matematikou čili analýzou a konkrétní matematikou neboli geometrií a mechanikou patří na počátek celé stavby; její zásady jsou nejobecnější, nejjednodušší a nejabstraktnější a nezávisí na ničem jiném), astronomie, fyzika, chemie, biologie a sociologie. 24 Obecně však lze konstatovat, že v 19. století dochází k větší specializaci vědy a propojení několika vědních oborů a tedy i matematiky a filozofie již není tak úzké jako v předcházejících letech. Pokud jde o základy matematiky, první polovina 19. století přinesla v této oblasti doslova koperníkovský obrat, když Rus N. J. Lobačevskij a Maďar János Bolyai téměř současně prokázali možnost neeukleidovské geometrie a navázali tak na dřívější poznatky geniálního německého matematika K. F. Gausse (ten mj. položil základy teorii čísel). V praxi to znamenalo, že přinesli logický důkaz, že Eukleidova 22 Leonhard Euler [online] v 16:43. [cit Dostupné z: 23 Tamtéž. 24 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

13 geometrie vycházející z předpokladu trojrozměrného prostoru - nepředstavuje jediný možný systém geometrie. To vedlo ke zkoumání platnosti základů matematiky. Mezi vědce, kteří tuto novou situaci promýšleli i ve filozofické rovině, patří především Francouz Henri Poincaré. 25 Einstein o neeukleidovské geometrii řekl: Této interpretaci geometrie přikládám velký význam, protože kdybych se s ní neseznámil, nebyl bych schopen vypracovat teorii relativity. 26 Protože se doposud v práci neobjevilo žádné jméno, jež by bylo spjato s našimi zeměmi, uvedu zde alespoň jméno Bernarda Bolzana. Bolzano je považován za jednoho z největších českých matematiků 19. století. Bolzano sám skromně říká, že jeho zvláštní záliba v matematice spočívala vlastně jen na její čistě spekulativní části, tedy na tom, co je zároveň filosofií 27, ale jeho objevy v nauce o funkcích a teorii množin, nekonečnu mnohdy časově předešly jiné matematické velikány 19. století, jako Georga Cantora, Karla T. W. Weierstrasse, jenž bývá nazýván otcem moderní matematické analýzy, nebo A. L. Caucha. K Bolzanovu odkazu se hlásí i zakladatel filozofie fenomenologie, prostějovský rodák Edmund Husserl. Druhá polovina 19. století přináší do filozofie marxismus, voluntarismus, počátky existencialismu a pragmatismus. Filosofové tohoto období netvoří školy, ale předkládají vlastní, často silně individuální pohledy na svět a na člověka v něm. Myšlenka dějinnosti patrně nejzávažnější novinka 19. století proniká do různých věd a v podobě Darwinovy evoluce dostává úplně novou podobu: dějiny nejsou jen lidská historie, ale dějinná je i příroda včetně člověka, který do ní patří. Jen některé vědy, jako jsou matematika, fyzika, chemie, astronomie se dějinnosti zatím brání, představují však pro filosofii nedostižný vzor přesnosti a objektivity, a tím i stálou výzvu. 28 V matematice se Angličan George Boole zajímal o redukci logiky na jednoduchou algebru s pouhými dvěma prvky 0 a 1 a třemi základními operacemi: a, nebo a ne. 29 Boole bývá považován za zakladatele informatiky. Dalším matematikem je Němec Georg Cantor, jenž se věnoval i teologii, zejména ve vztahu k vlastní práci týkající se nekonečna. Je znám především tím, že teorii množin rozšířil o nekonečná čísla, označovaná jako ordinální a kardinální čísla. Britský filozof a anglikánský duchovní John 25 Tamtéž, str Pickover, Clifford A.: Matematická kniha. Praha 2012, str Kdo byl Bernard Bolzano *online+. *cit Dostupné z: 28 Filozofie 19. století [online] v 08:57. Dostupné z: 29 Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str

14 Venn vymyslel v roce 1880 schéma pro vizuální znázornění množin, jejich prvků a vzájemných logických vztahů, tzv. Vennův diagram století Filosofie 20. století je pestrou směsí vzájemně se prolínajících a ovlivňujících směrů a škol. Ve 20. století vznikly či se rozvinuly směry jako filozofie života, filozofie mysli, existencialismus, marxismus, fenomenologie, strukturalismus a další. V dvacátých letech 20. století formuloval slavný německý matematik David Hilbert tzv. Hilbertův program. Ten měl za cíl vystavět matematiku na neotřesitelných logických základech, především na bezrozporné teorii množin. Na přelomu století se totiž nejlepší matematikové zabývali problém, jak se vyhnout paradoxům, které s sebou tehdejší příliš volné množinové definice přinášely. Hilbert věřil, že matematiku na takovýchto bezrozporných základech postavit lze. Je autorem slavného výroku: Musíme vědět. Budeme vědět. 31 Z 23 nejvýznamnějších problémů matematiky, které stanovil a které by se měly ve 20. století vyřešit, jich dosud bylo vyřešeno deset. 32 V letech britští filozofové a matematici A. N. Whitehead a B. Russell vydali gigantické dílo Principia Mathematica, jehož cílem bylo předvést, že matematiku lze formulovat pomocí logických pojmů jako množina a prvek množiny. Principia se pokoušela dobývat matematické pravdy z axiomů pomocí odvozovacích pravidel symbolické logiky. Obrovským popularizátorem matematiky byl americký spisovatel a vědec Martin Gardner, publikující sloupky Matematické hry v časopise Scientific American, který zprostředkoval matematiku více miliónům lidí než kdo jiný a zároveň otevřel veřejnosti oči kráse a kouzlu matematiky a mnohé inspiroval k tomu, aby jí zasvětili život. 33 V posledních letech 20. století nastal v matematickém bádání posun od čisté teorie a hledání důkazů přešla matematika k využívání počítačů a k experimentování. Přispěl k tomu mj. matematický softwarový balík Mathematica z dílny amerického matematika a teoretika Stephena Wolframa. Matematikou se zabývá spousta lidí, vycházejí matematické časopisy, vznikají nové matematické obory (např. zkoumání fraktálů) apod. 30 Tamtéž, str Filozofie 19. století *online v 08:57. Dostupné z: 32 Pickover, Clifford A.: Matematická kniha. Praha 2012, str Tamtéž str

15 3 Významné osobnosti filozofů, matematiků V této kapitole se vrátíme na začátek, ke dvěma starověkým filozofům, matematikům, u nichž propojení obou vědních disciplín začalo a jejichž myšlenky, i pokud byly překonány, vzbuzují respekt do dnešní doby. 3.1 Pythagoras Pythagorovo narození se datuje okolo roku 570 př. n. l., narodil se na řeckém ostrově Samos poblíž Malé Asie, kde je po něm pojmenovaná pevnost Pythagoreion (zbyly z ní jen ruiny). Jeho otcem byl pravděpodobně rytec prstenů nebo kupec Mésarchos. Jeho učiteli byli Anaximandros a Ferdykés ze Syru. Na cestách do Egypta a Babylonii se mladý Pythagoras setkal s východními náboženstvími. Roku 538 př. n. l. se na Pythagorově rodném Samu ujal vlády tyran Polykratés. Pythagoras opustil Samos a v roce 530 př. n. l. a založil v Krotónu (dnešní Crotone) filozofickou školu. Podle některých pramenů měl ženu Theano a s ní také děti, ale není to dokázáno. Během života měl často spory s Hérakleitem, který mu často vytýkal široké spektrum vědy, kterým se zabýval. O Pythagorovi je známo, že číslům přikládal často až přehnaný význam. Od něj a jeho žáků můžeme hovořit o tzv. filozofickém matematismu, kdy čísla staví svět jako stavební kameny, číslo je princip formování světa a zároveň jeho prostředek. 34 Pythagorejci dospěli k závěru, že matematické/číselné principy platí pro vše, pro všechny bytosti. Pythagoras přisoudil číslu úlohu arché, nejvnitřnější podstaty všeho, výchozího bodu a příčiny každé existující věci. Všechno je podle pythagorejců číslo a vše lze převést na čísla. Mezi všemi čísly, která pythagorejci posuzovali a třídili podle zákonitostí numerologie, získalo zvláštní symbolický význam číslo deset, matka všech čísel, číslo považované za symbol dokonalosti, za univerzální schéma, optimální model, který lze pozorovat všude v přírodě. 35 Tomuto zbožštění desítky vděčíme za vznik desítkové číselné soustavy, kterou používáme dodnes. V matematice vynalezl pojem čtveřina, což je posloupnost čísel 1, 2, 3 a 4, jejichž součet je roven číslu 10. Nicméně to nejznámější, co po Pythagorovi zůstalo, je bezesporu Pythagorova věta, jejíž znění si pamatuje snad každý. Pythagorova věta popisuje vztah mezi délkami přepony a dvou odvěsen v pravoúhlém trojúhelníku v eukleidovské rovině. 34 Hejduk, Jiří. Občanský a společenskovědní základ. Filosofie. Kralice na Hané, str Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str

16 Jako zajímavost lze uvést, že se o slavné Pythagorově větě dozvídají i malé děti, a to např. v Čaroději ze země Oz nebo v jeho filmové verzi z úst Strašáka ve chvíli, kdy konečně získá mozek. Želbohu, Strašák proslulou větu odříkává úplně špatně! Věta má více publikovaných důkazů než kterákoli jiná matematická poučka Elisha Scott Loomis jich ve své knize Pythagorean Proposition uvedl Formální znění Pythagorovy věty: c 2 = a 2 + b 2 c délka přepony a, b délky odvěsen c 2 obsah čtverce nad odvěsnou a 2, b 2 obsahy čtverců nad odvěsnami Trojúhelník o dálkách stran 3, 4 a 5 s odvěsnami 3 a 4 a přeponou délky 5 je jediným pythagorejským trojúhelníkem, jehož strany mají délky vyjádřené následnými čísly, a také jediný trojúhelník s celočíselnými stranami, jejichž součet (12) se rovná dvojnásobku jeho obsahu (6). Po trojúhelníku je dalším trojúhelníkem s délkově sousedícími odvěsnami Desátý takový trojúhelník je mnohem větší: Francouzský matematik Pierre de Fermat ( ) si v roce 1643 dal za úkol nalézt takový pythagorejský trojúhelník, aby jeho přepona i součet odvěsen (a+b) byly druhými mocninami. S údivem zjistil, že nejmenší čísla, která takovému zadání vyhovují, jsou , a Tento trojúhelník je tak veliký, že kdyby délky jeho stran byly v metrech, dosahoval by ze Země daleko za Slunce! Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str Tamtéž. 16

17 Třebaže se formulace Pythagorovy věty často přičítá Pythagorovi, ukázalo se, že ji již kolem roku 800 př. n. l. (v poněkud méně jasné formě) uvedl indický matematik Baudhayana ve své knize Šulbasútra a Babyloňané znali pythagorejské trojúhelníky pravděpodobně ještě dříve. Pythagorova škola se také zasloužila o vysokou prestiž hudby v řeckém světě. Objevila vztah mezi délkou struny a tóny stupnice. Zjistila, že struna, která je podle jiné struny poloviční, má o oktávu vyšší tóny, dvoutřetinová potom vyšší o kvintu. Toto zjištění dalo základ diatonické stupnici, pythagorejskému ladění a také harmonii sfér. Pythagoras v této oblasti učinil rozhodující objev, a sice že pocit estetické libosti, kterou vyvolává hudební akord, je matematicky popsatelný. 3.2 Euklides O Euklidově životě není mnoho informací. Podle všeho žil v letech 325 př. n. l. až 260 př. n. l.. Narodil se v Řecku a studoval na Platónově akademii v Athénách, zde se učil geometrii. Poté byl králem Ptolemaiem I. povolán do nově založené Alexandrijské knihovny, kde studoval a pravděpodobně i učil. Jedním z jeho žáků byl podle všeho i Archimédés. Jeho hlavním dílem jsou Základy (Stoicheia). Toto dílo skládající se z třinácti částí začíná stanovením deseti postulátů (předpokladů) poté následují věty. U každé z vět je její důkaz. U vět se stupňuje složitost a jako poslední se Euklides zabývá tzv. platónskými tělesy. Eukleidovy Základy mají tyto části: 1. kniha: pojednání o základech geometrie, rovnoběžkách, trojúhelnících a rovnoběžnících, obsahuje důkaz Pythagorovy věty; 2. kniha: pojednání o planimetrii; 3. kniha: pojednání o kružnici a kruhu; 4. kniha: pojednání o tětivových a tečnových mnohoúhelnících a kružnici vepsané a opsané; 5. kniha: pojednání o poměrech; 6. kniha: pojednání o geometrické podobnosti; 7. kniha: pojednání o teorii čísel; 8. kniha: pokračování pojednání o teorii čísel; 9. kniha: teorie čísel - prvočísla, důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho; 10. kniha: teorie iracionálních čísel; 11. kniha: stereometrie - pojednání o geometrii těles; 12. kniha: pojednání o povrchu a objemu těles; 17

18 13. kniha: pojednání o pravidelných (platónských) tělesech. 38 Nejznámějšími Euklidovými objevy jsou věty o výšce a odvěsně. Euklidova věta o výšce v 2 c = c a c b v c výška strany c c a část strany c, která je rozdělena v c c b část strany c, která je rozdělena v c Euklidova věta o odvěsně a 2 = c c a b 2 = c c b a strana trojúhelníku b strana trojúhelníku c strana trojúhelníku Kniha Základy se stala jednou z nejúspěšnějších učebnic v dějinách matematiky. Eukleidův výklad rovinné geometrie je založen na větách, které lze všechny odvodit z pouhých pěti axiómů čili postulátů. 38 Wikipedie. Eukleides. [online]. [cit Dostupné na World Wide Web: 18

19 Jeden z nich říká, že mezi každými dvěma body lze vést pouze jednu úsečku. Další praví, že máme-li bod a přímku, prochází tímto bodem jen jedna přímka rovnoběžná s danou přímkou. Na Eukleida navazovali G. Galilei i I. Newton. Až v 19. století se matematici pustili do zkoumání neeukleidovských geometrií, v nichž postulát o rovnoběžkách neplatí. 39 Ale i na počátku 20. století B. Russell, matematik, logik a filozof, napsal: Ve svých jedenácti letech jsem začal s Eukleidem. Byla to jedna z největších událostí mého života, oslepující jako první láska. Netušil jsem, že na světě existuje něco tak nádherného. 40 Eukleidův metodický přístup k dokazování matematických vět logickým odvozováním ovlivnil i dokazování v jiných vědních oborech včetně filozofie. 39 Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str Tamtéž, str

20 Závěr Ačkoliv se filozofie a matematika zdají být velmi vzdálenými vědeckými obory, pokusil jsem se ve své práci ukázat, že k sobě mají tyto vědecké disciplíny v podstatě velmi blízko. Matematika je sice věda přesná, zabývající se fakty a důkazy, zatímco tvrzení filozofie jsou méně přesná, protože způsob, jak máme nazírat na svět kolem sebe a sebe sama, nelze striktně vymezit, přesto se obě nauky navzájem v průběhu věků ovlivňovaly a doplňovaly. Již samotné zrození filozofie ve starověku je spojováno se jménem matematika Thaleta, pojmenování filozof bylo poprvé pravděpodobně použito u Pythagora, rovněž významného matematika období antiky, a metoda dokazování, již uplatňoval ve svém bádání Eukleides, se stala jednou z vůdčích metod filozofie až do konce 20. století, když ji prosadili racionalisté 17. století, především R. Descates a W. Leibniz. I když 19. století např. v osobě I. Kanta dokázalo, že tento racionalistický, přísně matematický způsob nazírání na svět a člověka je nedostačující, zůstala matematika filozofii oporou až do dnešní doby. Nejvíce prostoru jsem ve své práci věnoval Pythagorovi a Eukleidovi, kteří stanuli na počátku tohoto vývoje, protože s jejich základními matematickými objevy se setkal snad každý středoškolský student. Charakteristika pouze dvou matematiků, filozofů je samozřejmě nedostačující, ale osobností, které se ve svém bádání staly autoritami v obou oborech je jak jsem zjistil v průběhu práce tolik, že by vydali na několikadílnou encyklopedii. 20

RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ

RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ pracovní list Mgr. Michaela Holubová Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Michaela Holubová. RENESANCE A VĚK ROZUMU Renesance kulturní znovuzrození

Více

Úvod do filosofie. Pojem a vznik filosofie, definice filosofie. Vztah filosofie a ostatních věd

Úvod do filosofie. Pojem a vznik filosofie, definice filosofie. Vztah filosofie a ostatních věd Úvod do filosofie Pojem a vznik filosofie, definice filosofie Vztah filosofie a ostatních věd Filosofické disciplíny, filosofické otázky, základní pojmy Periodizace Cíl prezentace studenti budou schopni

Více

FILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY

FILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY FILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY Filosofie.. Vznik v antickém Řecku - KRITICKÉ, SAMOSTATNÉ myšlení - V SOUVISLOSTECH - sobě vlastní otázky, které neřeší speciální vědy - člověk ve VZTAHU k přírodě, společnosti

Více

Otázka: Filozofie vznik, význam, disciplíny, základní přístupy. Předmět: Základy společenských věd. Přidal(a): Pedrino

Otázka: Filozofie vznik, význam, disciplíny, základní přístupy. Předmět: Základy společenských věd. Přidal(a): Pedrino Otázka: Filozofie vznik, význam, disciplíny, základní přístupy Předmět: Základy společenských věd Přidal(a): Pedrino FILOSOFIE - filein = láska, sofie = moudrost => láska k moudrosti - způsob myšlení -

Více

O zhoubném vlivu matematiky na filozofii Mýtus přesnosti a iluze definitivnosti

O zhoubném vlivu matematiky na filozofii Mýtus přesnosti a iluze definitivnosti O zhoubném vlivu matematiky na filozofii Mýtus přesnosti a iluze definitivnosti GIAN-CARLO ROTA Dvojí život matematiky Jsou matematické ideje vynálezy, nebo objevy? Tuto otázku si filozofové kladli opakovaně

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Historie matematiky a informatiky

Historie matematiky a informatiky Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika

Více

PYTHAGORAS. Základní škola a Mateřská škola Nikolčice, příspěvková organizace

PYTHAGORAS. Základní škola a Mateřská škola Nikolčice, příspěvková organizace CZ.1.07/1.4.00/21.2490 VY_32_INOVACE_19_M8 PYTHAGORAS Základní škola a Mateřská škola Nikolčice, příspěvková organizace Mgr. Jiří Slavík Pythagoras Busta v Kapitolském muzeu v Římě Pythagoras ze Samu (také

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Maturitní témata ze základů společenských věd pro ústní profilovou zkoušku 2012/2013 pro všechny třídy 4. ročníku

Maturitní témata ze základů společenských věd pro ústní profilovou zkoušku 2012/2013 pro všechny třídy 4. ročníku Maturitní témata ze základů společenských věd pro ústní profilovou zkoušku 2012/2013 pro všechny třídy 4. ročníku 1. Psychologie jako věda: předmět, vývoj, směry Počátky psychologie, základní psychologické

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

ANTICKÁ FILOSOFIE, pracovní list

ANTICKÁ FILOSOFIE, pracovní list ANTICKÁ FILOSOFIE, pracovní list Mgr. Michaela Holubová Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Michaela Holubová. ANTICKÁ FILOSOFIE Lidé si od počátku svých dějin kladli otázky

Více

Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma

Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma Jan Kábrt Proč se zajímat o logiku a v ní právě o implikaci? Mimo jiné pro souvislost s takovými oblastmi lidského myšlení, jako jsou matematika, ostatní přírodní

Více

03. 07. 2016 17:53 1/5 Hlavní mezníky při studiu člověka a společnosti ve starověku

03. 07. 2016 17:53 1/5 Hlavní mezníky při studiu člověka a společnosti ve starověku 03. 07. 2016 17:53 1/5 Hlavní mezníky při studiu člověka a společnosti ve starověku Hlavní mezníky při studiu člověka a společnosti ve starověku Úvod Má práce má název Hlavní mezníky při studiu člověka

Více

Filozofie křesťanského středověku. Dr. Hana Melounová

Filozofie křesťanského středověku. Dr. Hana Melounová Filozofie křesťanského středověku Dr. Hana Melounová Středověk / 5. 15. st. n. l. / Křesťanství se utvářelo pod vlivem zjednodušené antické filozofie a židovského mesionaismu. Základní myšlenky už konec

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632. 32 - Využití ICT při hodinách občanské nauky

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632. 32 - Využití ICT při hodinách občanské nauky VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

FILOSOFIE FILEIN = milovat (láska), SOFIA = moudrost láska k moudrosti

FILOSOFIE FILEIN = milovat (láska), SOFIA = moudrost láska k moudrosti Otázka: Filosofie Předmět: Základy společenských věd Přidal(a): jirka223 FILOSOFIE FILEIN = milovat (láska), SOFIA = moudrost láska k moudrosti Evropské myšlení ve smyslu lásky k moudrosti se zrodilo na

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Historie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září 2013. Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze

Historie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září 2013. Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze Historie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září 2013 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze Co je matematika? Obor, který se hojně používá v dalších oborech

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Immanuel Kant => periodizace díla, kopernikánský obrat, transcendentální filozofie, kategorický imperativ

Immanuel Kant => periodizace díla, kopernikánský obrat, transcendentální filozofie, kategorický imperativ Immanuel Kant - maturitní otázka ZV www.studijni-svet.cz - polečenské vědy - http://zsv-maturita.cz Otázka: Immanuel Kant Předmět: Základy společenských věd Přidal(a): Michael Immanuel Kant => periodizace

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Shrnutí problematiky předsokratovské filosofie prostřednictvím písemného testu. Vytvořeno 19. 1. 2013 Určeno pro

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Shrnutí problematiky předsokratovské filosofie prostřednictvím písemného testu. Vytvořeno 19. 1. 2013 Určeno pro VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

PŘEHLED DĚJIN HUDBY. Autor: Mgr. Zuzana Zifčáková. Datum (období) tvorby: březen 2013. Ročník: osmý. Vzdělávací oblast: Hudební výchova na 2.

PŘEHLED DĚJIN HUDBY. Autor: Mgr. Zuzana Zifčáková. Datum (období) tvorby: březen 2013. Ročník: osmý. Vzdělávací oblast: Hudební výchova na 2. PŘEHLED DĚJIN HUDBY Autor: Mgr. Zuzana Zifčáková Datum (období) tvorby: březen 2013 Ročník: osmý Vzdělávací oblast: Hudební výchova na 2.stupni ZŠ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon Lukáš Richterek Katedra experimentální fyziky PF UP, 17 listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc lukasrichterek@upolcz Podklad k předmětu KEF/FPPV 2 / 10 Logické

Více

Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku. Fyzikální veličiny. Fyzikální jednotky. Fyzikální zákony. Vzorce pro výpočty 100 200.

Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku. Fyzikální veličiny. Fyzikální jednotky. Fyzikální zákony. Vzorce pro výpočty 100 200. Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku 1. Odpovězte na otázky: Fyzikální veličiny Fyzikální jednotky Fyzikální zákony Měřidla Vysvětli pojmy Převody jednotek Vzorce pro výpočty Slavné osobnosti

Více

Podmínky pro hodnocení žáka v předmětu matematika

Podmínky pro hodnocení žáka v předmětu matematika Podmínky pro hodnocení žáka v předmětu matematika Společné ustanovení pro všechny třídy čtyřletého studia a 5. až 8. ročníku osmiletého studia: Žákům bude vyučujícími umožněno doplnit chybějící klasifikaci

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1082

GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1082 NÁZEV ŠKOLY: GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1082 NÁZEV MATERIÁLU: TÉMA SADY: ROČNÍK: VY_32_INOVACE_4B_05_Renesance, reformace

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Blaise Pascal Blaise Pascal. Blaise Pascal

Blaise Pascal Blaise Pascal. Blaise Pascal Blaise Pascal Mezi významné osobnosti, které v období renezance ovlivnily rozvoj přírodních věd, zvláště matematiky a fyziky, patří francouzský vědec a filosof Blaise Pascal. Žil jen krátce, zemřel ve

Více

Redukcionismus a atomismus

Redukcionismus a atomismus Redukcionismus a atomismus ČVUT FEL Filosofie 2 Filip Pivarči pivarfil@fel.cvut.cz Co nás čeká? Co je to redukcionismus Směry redukcionismu Redukcionismus v různých odvětvých vědy Co je to atomismus Směry

Více

k a p i t O l a 1 Záhada existence

k a p i t O l a 1 Záhada existence Kapitola 1 Záhada existence Všichni existujeme jen krátkou chvíli a během ní prozkoumáme jen malou část celého vesmíru. Ale lidé jsou zvídavý druh. Žasneme a hledáme odpovědi. Žijíce v tomto obrovském

Více

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Tato aplikace je koncipována jako hra, může být použita k demonstraci důkazu. Může žáky učit, jak manipulovat s dynamickými objekty,

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

EDUCanet gymnázium a střední odborná škola, základní škola Praha, s.r.o. Jírovcovo náměstí 1782, 148 00 Praha 4 www.praha.educanet.

EDUCanet gymnázium a střední odborná škola, základní škola Praha, s.r.o. Jírovcovo náměstí 1782, 148 00 Praha 4 www.praha.educanet. EDUCanet gymnázium a střední odborná škola, základní škola Praha, s.r.o. Jírovcovo náměstí 1782, 148 00 Praha 4 www.praha.educanet.cz MATURITNÍ TÉMATA 2014/2015 ZÁKLADY SPOLEČENSKÝCH VĚD 1. PSYCHOLOGIE

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Šablona: III/2 Sada: VY_32_INOVACE_5IS Ověření ve výuce Třída 9. B Datum: 7. 1. 2013 Pořadové číslo 10 1 Astronomie Předmět: Ročník: Jméno autora: Fyzika

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

,,Umění všech umění je vzdělávat člověka, tvora ze všech nejvšestrannějšího a nejzáhadnějšího. J.A.Komenský

,,Umění všech umění je vzdělávat člověka, tvora ze všech nejvšestrannějšího a nejzáhadnějšího. J.A.Komenský Otázka: Novodobá pedagogika Předmět: Základy společenských věd Přidal(a): luculd Úvod,,Umění všech umění je vzdělávat člověka, tvora ze všech nejvšestrannějšího a nejzáhadnějšího. J.A.Komenský Pedagogické

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Témata k maturitní zkoušce ve školním roce 2011/2012 pro jarní a podzimní zkušební období

Témata k maturitní zkoušce ve školním roce 2011/2012 pro jarní a podzimní zkušební období Obchodní akademie, Choceň, T. G. Masaryka 1000 Choceň, T. G. Masaryka 1000, PSČ 565 36, oachocen@oa-chocen.cz Příloha č. 5 k č. j.: 57/2011/OA Počet listů dokumentu: 1 Počet listů příloh: 0 Témata k maturitní

Více

Ø VÝZNAM ANTIKY. h h h

Ø VÝZNAM ANTIKY. h h h POČÁTEK EVROPSKÉ FILOSOFIE (ŘECKO) Ø VÝZNAM ANTIKY UMĚNÍ (EGYPT X ŘECKO) MYŠLENÍ (FILOSOFIE X MÝTUS) POLITIKA (VZNIK ČLOVĚKA) UMĚNÍ PŘEDANTICKÉ UMĚNÍ ŘÍDÍ JEJ NEZMĚNITELNÝ KÁNON (NEZAJÍMÁ SE O SKUTEČNOST

Více

METODICKÉ LISTY PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM PŘEDMĚTU ZÁKLADNÍ OTÁZKY DEMOKRACIE

METODICKÉ LISTY PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM PŘEDMĚTU ZÁKLADNÍ OTÁZKY DEMOKRACIE METODICKÉ LISTY PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM PŘEDMĚTU ZÁKLADNÍ OTÁZKY DEMOKRACIE Cílem předmětu je seznámit studenty s pojmem demokracie. V průběhu kurzu bude sledován obsahový vývoj pojmu demokracie. Posluchačům

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Český jazyk,

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 CZ.1.07/1.5.00/34.1076. Pro vzdělanější Šluknovsko

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 CZ.1.07/1.5.00/34.1076. Pro vzdělanější Šluknovsko VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň 1/Charakteristika vyučovacího předmětu a) obsahové vymezení Předmět je rozdělen na základě OVO v RVP ZV na čtyři

Více

Otázka: Osvícenská filozofie. Předmět: Základy společenských věd. Přidal(a): susinka. filozofie se dotýká celé společnosti

Otázka: Osvícenská filozofie. Předmět: Základy společenských věd. Přidal(a): susinka. filozofie se dotýká celé společnosti Otázka: Osvícenská filozofie Předmět: Základy společenských věd Přidal(a): susinka filozofie se dotýká celé společnosti v Anglii má empirický nádech otázky: Reforma katolické církve, svoboda člověka Francie

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc Charakteristika vyučovacího předmětu matematika Vyučovací předmět má časovou dotaci čtyři hodiny týdně v prvním ročníku, pět hodin týdně ve druhém až pátém ročníku, pět hodin týdně v šestém ročníku a čtyři

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Učební materiály (využívány průběžně): Poznámky Umí provádět operace

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

STEREOMETRIE. Bod, přímka, rovina, prostor. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0101

STEREOMETRIE. Bod, přímka, rovina, prostor. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0101 STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, prostor Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0101 STEREOMETRIE jinak také prostorová geometrie (Na rozdíl od planimetrie, kde leží body a přímky v jedné rovině. Ve stereometrii

Více

NABÍDKA POVINNÝCH A NEPOVINNÝCH ZKOUŠEK PROFILOVÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY

NABÍDKA POVINNÝCH A NEPOVINNÝCH ZKOUŠEK PROFILOVÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY NABÍDKA POVINNÝCH A NEPOVINNÝCH ZKOUŠEK PROFILOVÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY na školní rok 2015/16 platná pro jarní i podzimní zkušební období (dle 79, odst. 3 školského zákona č. 561/2004 Sb.) Forma studia:

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

Venuše ve science fiction

Venuše ve science fiction Venuše ve science fiction Otázkou existence mimozemského života se nezabývali jen vědci a filosofové. Stala se ústředním motivem mnoha pžíběhů a románů. Fantazie měla naprosto volnou ruku. Už ve starověku

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Emil Calda; Oldřich Odvárko Speciální třídy na SVVŠ v Praze pro žáky nadané v matematice a fyzice Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 13 (1968), No. 5,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Směry psychologie. Mgr. Anna Škodová

Směry psychologie. Mgr. Anna Škodová Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Název školy: Střední zdravotnická škola a Obchodní akademie, Rumburk, příspěvková organizace Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0649

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly a algoritmů matematického aparátu Vyjádří a zapíše část celku. Znázorňuje zlomky na číselné ose, převádí zlomky na des. čísla a naopak. Zapisuje nepravé zlomky ve tvaru smíšeného čísla. ZLOMKY Pojem zlomku,

Více

Výbor textů k moderní logice

Výbor textů k moderní logice Mezi filosofií a matematikou 5 Logika 20. století: mezi filosofií a matematikou Výbor textů k moderní logice K vydání připravil a úvodními slovy opatřil Jaroslav Peregrin 2006 Mezi filosofií a matematikou

Více

Sebepoznání kde je zakopaný pes našeho úspěchu

Sebepoznání kde je zakopaný pes našeho úspěchu výborná práce obsahově i formálně. Hodnocení A+ Masarykova univerzita Právnická fakulta Katedra finančního práva a národního hospodářství Osobní management Sebepoznání kde je zakopaný pes našeho úspěchu

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

ZÁKLADNÍ STUDIUM VÝTVARNÉHO OBORU

ZÁKLADNÍ STUDIUM VÝTVARNÉHO OBORU ZÁKLADNÍ STUDIUM VÝTVARNÉHO OBORU Vzdělávání na I. stupni základního studia je sedmileté a je určeno žákům, kteří dosáhli věku 7 let. Tato věková hranice platí bez ohledu na skutečnost, zdali žák navštěvoval

Více