Gymnázium, Kojetín, Sv. Čecha 683

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Gymnázium, Kojetín, Sv. Čecha 683"

Transkript

1 Gymnázium, Kojetín, Sv. Čecha 683 MATEMATIK, FILOZOF Ročníková práce Autor práce: Romana Zapomnětlivá Třída: 2. ročník, sexta Šk. rok: Konzultant: Mgr. XXXX XXXXXX

2 Prohlašuji, že jsem svou práci vypracoval(a) samostatně, použil(a) jsem pouze podklady (literaturu, SW atd.) uvedené v přiloženém seznamu a postup při zpracování a dalším nakládání s prací je v souladu se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) v platném znění. V dne podpis:

3 ANOTACE Práce se zabývá vztahem dvou vědních oborů: filozofie a matematiky, zmiňuje společné kořeny vzniku ve starověku, vymezení obou nauk v době renesance a specifické rysy projevující se zejména od konce 19. století. Součástí práce je i přehled nejvýznačnějších osobností, které se zabývaly oběma vědními obory a zasáhly významnou měrou do jejich vývoje. Samostatné subkapitoly jsou věnovány Pythagorovi a Euklidovi. Klíčová slova: matematika, filozofie, matematik-filozof, algebra, aritmetika, geometrie, starověk, středověk, renesance, osvícenství moderní doba, Pythagoras, Euklides

4 Obsah Obsah... 4 Úvod Vymezení pojmů Matematika a filozofie Matematik, filozof Stručný přehled významných matematiků, filozofů od starověku po 2. polovinu 20. století Starověk Středověk Novověk století století Významné osobnosti filozofů, matematiků Pythagoras Euklides...17 Závěr...20 Seznam literatury:...21 Seznam internetových odkazů:...21 Přílohy:

5 Úvod Téma matematik, filozof jsem si pro ročníkovou práci vybral proto, že mě tato oblast zajímá a rád bych se v tomto směru obohatil o nové poznatky a více pronikl do podstaty věcí. Cílem práce je poukázat na provázanost historického vývoje zdánlivě neslučitelných vědních oborů, jako jsou matematika a filozofie, a blíže představit některé významné osobnosti, jež se v minulosti proslavily jak na poli filozofickém, tak na poli matematickém. Myslím si, že by tato problematika mohla zaujmout i ostatní studenty, protože se v mé práci objevují známá jména, s nimiž se během školní docházky setkává každý gymnazista: např. Pythagoras (autor jednoho z nejznámějších matematických zákonů Pythagorovy věty), Euklides (autor Euklidovy věty), René Descartes (spolu s Fermatem zakladatel analytické geometrie) a Isaac Newton (autor např. binomické řady nebo diferenciálního a integrálního počtu) apod. Práce se dělí do tří kapitol. V první části je uvedena jednak definice vědních oborů matematika a filozofie, jednak stručná obecná charakteristika osobnosti matematika, filozofa a je zde také poukázáno na souvztažnost obou zmiňovaných vědních disciplín. Druhá kapitola obsahuje historický přehled významných osobností matematiky a filozofie. Přehled je v podkapitolách řazen chronologicky od starověku po 2- polovinu 20. století. Třetí, závěrečná kapitola, přiblíží podrobněji dva významné matematiky, filozofy z antického Řecka. U každé ze zmíněných osobností bude stručně popsán jejich život a přínos pro matematiku, filozofii a případně jiná odvětví, kterým se věnovali. Ve své práci vycházím z odborné filozofické literatury, publikace o matematice, informace čerpám i z internetu. 5

6 1 Vymezení pojmů 1.1 Matematika a filozofie Věda filozofie i matematika mohla vzniknout až tehdy, když se člověk přestal starat pouze o svoji obživu a svůj volný čas věnoval i jiným věcem. Poprvé tomu tak bylo v Egyptě u vrstvy kněží (zde vznikla matematika a astronomie) a v Řecku u bohatých obchodníků v městě Milétu (zde se se zrodila filozofie). Matematika název tohoto vědního oboru je odvozen z řeckého μαθηματικός (mathematikós) = milující poznání; μάθημα (máthema) = věda, vědění, poznání. 1 Jedná se o nauku o kvantitativních a prostorových vztazích. Elementární poznatky z aritmetiky a geometrie se objevily na samém počátku kulturního vývoje v souvislosti s praktickými úlohami (stanovení počtu kusů, měření délek, ploch, objemů, problémy ve stavebnictví, astronomii atd.). Mnoho poznatků tohoto druhu bylo známo ve starověkém Egyptě a v Mezopotámii. Jako samostatná věda s jasně vymezenými metodami se matematika objevila ve starověkém Řecku; zejména výklad elementární geometrie, jak jej vytvořili řečtí myslitelé, byl po dvě tisíciletí vzorem deduktivní výstavby matematické teorie. 2 Další etapou prudkého rozvoje matematiky byl raný novověk, kdy byly především Descartem ustaveny základy matematické analýzy. Poté se díky práci Newtona, Leibnize, Eulera, Gausse a dalších matematiků podařilo dosáhnout zásadních výsledků v oblasti analýzy zejména položením základů diferenciálního a integrálního počtu. Jiným významným obdobím dějin matematiky byl přelom 19. a 20. století. Nové impulzy dodaly matematice objevy v logice a zavedení axiomatické teorie množin. Touto dobou začaly být též zkoumány abstraktní struktury, což umožňuje jedním důkazem ověřit matematické tvrzení pro širokou skupinu matematických objektů. Vyvrcholením tohoto trendu byl v polovině 20. století vznik teorie kategorií, která je pokládána za nejobecnější a nejabstraktnější matematickou disciplínu. 3 Matematika se dělí na řadu oborů, např. na algebru, matematickou analýzu, topologii, geometrii, teorii čísel, teorii množin, matematickou statistiku, matematickou informatiku, teorii her, matematickou fyziku, ekonomii, psychologii, lingvistiku ad. 4 1 Matematika [online]. [cit Dostupné z: Wikipedie. Matematika. *online+. *editována v 22:00. Dostupné na World Wide Web: 2 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str Matematika [online]. [cit Dostupné z: Wikipedie. Matematika. *online+. *editována v 22:00. Dostupné na World Wide Web: 4 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str

7 Filozofie, řecky φιλοσοφία, z φιλειν (filein, mít rád, toužit po něčem) a σοφια (sofia, moudrost, zdatnost) je soustavné, racionální a kritické zkoumání skutečnosti, světa a člověka, případně i toho, co je přesahuje (metafyzika). 5 Filozofie vznikla v reakci na tradiční mytologickou interpretaci světa ve starém Řecku na počátku 6. století před n. l. Původně byla ve starém Řecku chápána jako souhrn veškerého poznání a v tomto smyslu byla synonymem pro vědu. Postupně se jednotlivé vědy začaly z filozofie vydělovat (např. matematika již v antice, kdežto psychologie a sociologie až v 19. a 20. století). Předmět, funkce i metody zkoumání filozofie se v průběhu jejího vývoje mění: vysvětlování světa včetně jeho vzniku v předsokratovském období; zkoumání a vymezování obecných pojmů u Sókrata a Platóna; hledání příčin všeho jsoucího u Aristotela; rozumový výklad světa a náboženských pravd v křesťanství a scholastice; stanovení pevného, jistého poznání na základě matematicky vyjádřených zákonů v novověku; úsilí o emancipaci člověka pomocí rozumu v osvícenství; vymezování podmínek naší zkušenosti u Kanta; pochopení filozofie jako ideové zbraně u marxistů; kritika všeho, čím se člověk pokouší zastřít svou konečnost a omezenost v existencialismu; kritika představa jediné pravdy v postmoderně atd Matematik, filozof Matematik, filozof je vědec, který svým zkoumáním obsáhl obě vědní disciplíny matematiku i filozofii a přinesl do obou vědních oborů nové poznatky. Historie zná mnoho významných matematiků, filozofů. Můžeme začít hned ve starověkém Řecku. Již Aristoteles označil za prvního skutečného filozofa Thaleta z Milétu 7, který ovšem významnou měrou zasáhl i do vývoje matematiky, konkrétně jedné její části geometrie. Snad nejvýznamněji se obě vědní disciplíny prolnuly v období od renesance po osvícenství (od konce 16. století po 18. století), v období racionalismu, kdy zvítězilo rozumové vnímání světa a v němž se ideálem veškerého poznání stala matematika jako věda, která je schopná přinést neotřesitelné důkazy. Její metody měly být uplatňovány ve všech oborech lidské činnosti. 8 Stručný přehled matematiků, filosofů přinese následující kapitola. 5 Filozofie *online+. Stránka byla naposledy editována v 17:5 *cit Dostupné z: 6 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str Weischedel, Wilhelm. Zadní schodiště filozofie. Olomouc 1995, str 7. 8 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

8 2 Stručný přehled významných matematiků, filozofů od starověku po 2. polovinu 20. století 2.1 Starověk Jak bylo uvedeno v předchozí kapitole, za prvního opravdového filozofa bývá považován Thales z Milétu (620 př. n. l př. n. l.), zástupce předsókratovské filozofie, konkrétně představitel milétských přírodních filozofů. Věnoval se politice, astronomii, matematice a spočítal přesně zatmění Slunce. Tento fakt podnítil jednoho historika k tomu, že přesně stanovil hodinu zrození filozofie. Píše: Řecká filozofie začíná 28. května 585 před Kristem. 9 Je to den, kdy podle Thaletovy předpovědi skutečně došlo k zatmění Slunce. Coby filozof se snažil proniknout k podstatě věcí, není od něj ovšem dochován žádný filozofický spis. Pokládá si např. otázky: Co je tou věcí, tím principem, který působí, že vše vzniká a vše existuje? Odkud všechno pochází, z čeho vše vzniká? Thales tvrdil, že základem světa, pralátkou, je voda. Svět je podle něj deska, která plave na vodě. Vodu zvolil za pralátku pravděpodobně proto, že se mu jevila jako nejvíce tvárná, neboť se s ní setkáváme ve všech třech skupenstvích. V oboru matematiky si osvojil orientální vědění díky svým cestám do Egypta. Řekové jej nazývali jedním ze sedmera mudrců nebo otcem vědy. Zabýval se geometrií, vlastnostmi trojúhelníků a kružnice. Znal větu o shodnosti trojúhelníků, vztahy mezi úhly v rovnoramenném trojúhelníku a znal vrcholové úhly. Thaletova věta je první matematická věta, která byla (podle dostupných pramenů) objevena. Svá matematická tvrzení se Thales pokoušel i dokazovat. 10 Dalším významným starověkým řeckým matematikem, filozofem byl Pýthagorás, o němž a jeho škole bude více pojednáno v následující kapitole. Filozofii i matematiku (stereometrii) zkoumal ze starověkých filozofů i Platón. Platón např. předpokládá, že pět pravidelných mnohostěnů, jež Řekové nazývali Bakchovými hračkami, tj. krychle, čtyřstěn, dvacetistěn, osmistěn a dvanáctistěn (mají stejné strany, stěny i úhly; lze do nich dokonale vepsat či kolem nich opsat kouli), tvoří základní tvary hmoty: Země je kompaktní a stabilní, protože je tvořena krychlemi, oheň je tvořen čtyřstěny, voda, vzduch a éter se skládají z dvanáctistěnů. 11 Součástí 9 Weischedel, Wilhelm. Zadní schodiště filozofie. Olomouc Votobia, vyd. 2. Str REICHL, Jaroslav a Milan VŠETIČKA. Encyklopedie fyziky: Ionská přírodní filozofie [online] [cit ]. Dostupné z: 11 Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str

9 platónské tradice je tvrzení, že Bůh dal přírodě tvar pomocí geometrie. 12 Nad vchodem do antické platónské Akademie bylo motto: Nevstupuj, kdo nejsi geometrem. Euklides z Alexandrie mj. dopracoval některé poznatky pythagorejců, je autorem vět o výšce a odvěsně v pravoúhlém trojúhelníku, dokázal, že prvočísel je nekonečně mnoho a že není racionální číslo. Oba tyto výsledky, které jsou pro matematiku velmi důležité, dokázal velmi elegantně sporem. Tento typ důkazu si Euklides velmi oblíbil. Filozofii ovlivnil jen okrajově tím, že ve svém hlavním díle Základy shrnul práci mnoha dřívějších matematiků a filosofů. Dalším významným matematikem, filozofem (mj. i zakladatelem logiky jako oboru zkoumání), je Aristoteles, ale také Archimédes ze Syrakus a jistě bychom mohli uvést i další jména. 2.2 Středověk Pro období středověku je charakteristický odklon od přírodních věd, bádání se soustřeďuje na teologii (hlavní úlohu ve všech oblastech života a poznání hraje Bůh), která je nadřazena veškerým vědám včetně filozofie. Přesto je už od dob církevních otců (patristů), např. Aurelia Augustina ( ) kladen důraz na vzdělání, znalost klasických jazyků, ale i logiky, matematiky, geometrie, astronomie a rétoriky. Novoplatonisté raného středověku, ale i pozdější křesťanští a renesanční filozofové navázali na Platóna, když mezi atributy Boha včlenili roli protogeometra. Tím bylo míněno, že Bůh použil při aktu stvoření aritmetiku, jejímž prostřednictvím určil počet věcí, geometrii, jejíž pomocí určil jejich tvar, a hudbu, která zaručuje harmonii a dynamickou rovnováhu vesmíru. 13 Rozvoj středověké společnosti pak s sebou přinesl i požadavky na vyšší vzdělanost lidí, byly proto zakládány univerzity, kde se učilo sedmeru svobodných umění, mezi nimi samozřejmě i aritmetice a geometrii. K nejvýznamnějším matematikům středověku lze právem zařadit Leonarda z Pisy zvaného Fibonacci, který se zasadil o zpopularizování arabské číselné soustavy, o zavedení nuly (poziční i množstevní), zajímal se o geometrii, zlatý řez a posloupnost. 14 V období středověku matematici dospěli k těmto důležitým výsledkům: Mikuláš Oresme (druhá polovina 14. století) studoval ze záliby mocniny s lomenými exponenty, ale hlavně napsal práci, v níž se zabývá závislostí mezi veličinami. Nanáší závisle proměnnou (latitudo šířku) vůči nezávisle proměnné 12 Tamtéž, str Tamtéž, str REICHL, Jaroslav a Milan VŠETIČKA. Encyklopedie fyziky: Dějiny matematiky a fyziky [online] [cit Dostupné z: 9

10 (longitudo délce), kterou lze měřit. Je v tom druh přechodu od souřadnic na nebeské nebo zemské sféře (které znali již ve starověku) k moderním geometrickým souřadnicím. Až do začátku 16. století však nebyl učiněn žádný podstatný pokrok k překonání úrovně arabské a antické matematiky. První skutečně nové a původní výsledky přináší italští matematikové na počátku 16. století, pracující v oblasti řešení rovnic Novověk V novověku je patrný odklon od Boha k člověku, coby nezávislé bytosti, a jeho rozumu. Renesanční filosofie se rozvíjela v období od druhé poloviny 15. století do konce 16. století. Vyznačuje se oživením zájmu o antickou filozofii (filozofie se obecně vymaňuje z područí teologie) a obratem ke zkoumání člověka a tajemství přírody, což vede k rozvoji matematiky, alchymie, astrologie a astronomie, jež nahradila starší geocentrické představy novým heliocentrismem. Na počátku 16. století překročila evropská matematika rámec znalostí, které byly vytvořeny v antickém Řecku a národy Orientu. Až do přelomu 16. a 17. století měla matematika jako předmět svého zkoumání hlavně kvantitativní veličiny a neměnné geometrické útvary. V 15. století ovládali italští počtáři (praktikové) spolehlivě aritmetické výpočty včetně počítání s iracionálními čísly a italští malíři byli dobrými geometry. Mezi nejvýznamnější renesanční filozofy a matematiky bezesporu patří Mikuláš Kusánský, Mikuláš Koperník, Giordano Bruno, Galileo Galilei, Johannes Kepler ad. Např. Mikuláš Kusánský o řádu a harmonii vesmíru říká, že je lze odvodit z toho, že Bůh nestvořil svět bez plánu, nýbrž na základě matematických principů. 16 Matematika slouží Kusánskému především k tomu, aby popsal podstatu Boha jako absolutní nekonečno. Johannes Kepler pak hlásal zásadu: Kde je látka, tam je matematika 17, čímž poprvé formuluje matematický ideál poznání, který tak významně ovlivnil další podobu vědeckého bádání zejména v přírodovědě. Podobně se vyjadřuje i Galileo Galilei: Velká kniha přírody leží před námi otevřena. Abychom ji mohli číst, potřebujeme matematiku, neboť je psána matematickým jazykem. Přírodní procesy jsou kvantitativní, a tudíž měřitelné, a kde nelze měřit, musí věda uspořádat experiment tak, aby měření bylo možné Dějiny matematiky [online] v 18:49. [cit Dostupné z: 16 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

11 Filozofie v 17. století vstupuje do věku, v němž vládne rozum a v němž je základem ideálem každého poznání matematika, tj. věda, která se vymyká každé národní a individuální specifičnosti a která má naprosto všeobecnou platnost. Jestliže matematika poskytla metodu neotřesitelných důkazů, pak se tento princip měl přenést na veškeré lidské vědění, tedy na všechny vědy a především také na filozofii. Filozofii té doby tedy nelze oddělit od matematiky. 19 Filozofové 17. století byli buď sami geniálními matematiky, jako René Descartes (zavedením kartézské soustavy souřadnic objevuje metodu, jak analyticky, tj. prostřednictvím čísel a rovnic, zkoumat geometrické útvary; díky tomuto objevu se v následujících staletích podaří vyřešit mnoho klasických geometrických problémů), Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Gottfried Wilhelm Leibniz, Isaac Newton (oba matematická analýza, kalkulus), nebo alespoň, jako např. Baruch Spinoza, vybudovali svou myšlenkovou stavbu geometrickým způsobem. Tak se rodí racionalistická filozofie, která prosazuje myšlenku, že k platným vědeckým závěrům lze dospět pouze a výhradně racionálním deduktivním procesem na základě evidentních faktů, které mysl postihuje intuitivně jako jasné a zřejmé stejně jako např. pojmy rozměru a hmoty. 20 Tímto přístupem někteří racionalisté v opozici k empirismu dospěli až k popření vnímání prostřednictvím smyslů a k popření významu zkušenosti, a dokonce i praktického experimentálního ověření teorie. Osvícenská filozofie bývá obvykle spojována s rozvojem společenských věd, psychologie, navazuje však svými metodami na předchozí období (víru v rozum), a proto i zde má matematika své zastánce. Např. anglický filozof David Hume označuje matematiku jako jedinou vědu, která se nezabývá sdružováním představ, nýbrž fakty 21, a tudíž je podle něj jedinou vědou, která nám dává absolutní jistotu (na rozdíl od jiných vědních oborů, jež nám mohou nabídnout pouze pravděpodobnost). Významným filozofem a matematikem byl také Jean d Alembert, jeden z tvůrců a vydavatelů slavné Encyklopedie věd, umění a řemesel v 2. polovině 18. století. Vypracoval nástin dějin vzniku a vývoje poznání a pokusil se o klasifikaci věd. Zabýval se mj. diferenciálním počtem a rovnicemi a jejich aplikacemi ve fyzice, zvláště významné jsou jeho články, které se zabývají limitami, kde je vidět, že d'alembert chápal význam funkcí pro matematiku. D Alembertovým současníkem byl Leonhard Paul Euler, průkopnický švýcarský matematik a fyzik. Euler je považován za nejlepšího matematika 18. století a za jednoho z nejlepších matematiků vůbec. Eulerův vliv na matematiku vyjadřuje výrok připisovaný Pierru Simonu de Laplaceovi : "Čtěte 19 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

12 Eulera, čtěte Eulera, je to učitel nás všech." 22 Je tradičně považován za zakladatele teorie grafů. Pochází od něj metoda variace konstant pro řešení diferenciálních rovnic. Jako první použil pojem imaginární číslo pro druhou odmocninu ze záporného čísla ve své knize Algebra. Zavedl dvojrozměrný integrál. Od Eulera také pochází i nyní používané označení f(x) pro funkci. Díky jeho všeobecně uznávané autoritě se ustálila symbolika algebry a infinitezimálního počtu. 23 Na racionalismus (a roli matematiky v poznání, zejména poznání a definování prostoru a času), konkrétně především na Leibnize a Descarta, navazoval i slavný německý osvícenský filozof Immanuel Kant ve svém nejproslulejším díle Kritika čistého rozumu, vedle neoddiskutovatelné role rozumu ovšem stejný význam přikládal i empirickému poznání. Zatímco předchůdci používali rozum, aby kritizovali Kant podrobil kritice rozum sám (postavil se proti dogmatice rozumu), člověk je podle něj bytostí nejen myslící, ale i chtějící a cítící století Filozofie 19. století se opírá o I. Kanta (ale i idealistu G. Hegela a jeho pojetí dějinnosti, ducha doby) a dále jej rozvíjí; mezi nejvýznamnější matematiky, filozofy zde můžeme řadit Francouze Augusta Comta, zakladatele pozitivismu a sociologie. Pozitivismus se přidržuje pouze skutečnosti, tj. daných fakt. Zabývá se výhradně tím, co je společensky užitečné. A v protikladu k nekonečným sporům dřívější metafyziky, drží se výhradně toho, co lze přesně definovat. Comte se inspiroval zejména R. Descartem a F. Baconem, provádí klasifikaci věd, kdy za vědu považuje jen to, co lze jednoznačně definovat, řadí tedy vědy takto: matematika (od Descartovy a Newtonovy doby je základem filozofie, svými oběma větvemi, abstraktní matematikou čili analýzou a konkrétní matematikou neboli geometrií a mechanikou patří na počátek celé stavby; její zásady jsou nejobecnější, nejjednodušší a nejabstraktnější a nezávisí na ničem jiném), astronomie, fyzika, chemie, biologie a sociologie. 24 Obecně však lze konstatovat, že v 19. století dochází k větší specializaci vědy a propojení několika vědních oborů a tedy i matematiky a filozofie již není tak úzké jako v předcházejících letech. Pokud jde o základy matematiky, první polovina 19. století přinesla v této oblasti doslova koperníkovský obrat, když Rus N. J. Lobačevskij a Maďar János Bolyai téměř současně prokázali možnost neeukleidovské geometrie a navázali tak na dřívější poznatky geniálního německého matematika K. F. Gausse (ten mj. položil základy teorii čísel). V praxi to znamenalo, že přinesli logický důkaz, že Eukleidova 22 Leonhard Euler [online] v 16:43. [cit Dostupné z: 23 Tamtéž. 24 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

13 geometrie vycházející z předpokladu trojrozměrného prostoru - nepředstavuje jediný možný systém geometrie. To vedlo ke zkoumání platnosti základů matematiky. Mezi vědce, kteří tuto novou situaci promýšleli i ve filozofické rovině, patří především Francouz Henri Poincaré. 25 Einstein o neeukleidovské geometrii řekl: Této interpretaci geometrie přikládám velký význam, protože kdybych se s ní neseznámil, nebyl bych schopen vypracovat teorii relativity. 26 Protože se doposud v práci neobjevilo žádné jméno, jež by bylo spjato s našimi zeměmi, uvedu zde alespoň jméno Bernarda Bolzana. Bolzano je považován za jednoho z největších českých matematiků 19. století. Bolzano sám skromně říká, že jeho zvláštní záliba v matematice spočívala vlastně jen na její čistě spekulativní části, tedy na tom, co je zároveň filosofií 27, ale jeho objevy v nauce o funkcích a teorii množin, nekonečnu mnohdy časově předešly jiné matematické velikány 19. století, jako Georga Cantora, Karla T. W. Weierstrasse, jenž bývá nazýván otcem moderní matematické analýzy, nebo A. L. Caucha. K Bolzanovu odkazu se hlásí i zakladatel filozofie fenomenologie, prostějovský rodák Edmund Husserl. Druhá polovina 19. století přináší do filozofie marxismus, voluntarismus, počátky existencialismu a pragmatismus. Filosofové tohoto období netvoří školy, ale předkládají vlastní, často silně individuální pohledy na svět a na člověka v něm. Myšlenka dějinnosti patrně nejzávažnější novinka 19. století proniká do různých věd a v podobě Darwinovy evoluce dostává úplně novou podobu: dějiny nejsou jen lidská historie, ale dějinná je i příroda včetně člověka, který do ní patří. Jen některé vědy, jako jsou matematika, fyzika, chemie, astronomie se dějinnosti zatím brání, představují však pro filosofii nedostižný vzor přesnosti a objektivity, a tím i stálou výzvu. 28 V matematice se Angličan George Boole zajímal o redukci logiky na jednoduchou algebru s pouhými dvěma prvky 0 a 1 a třemi základními operacemi: a, nebo a ne. 29 Boole bývá považován za zakladatele informatiky. Dalším matematikem je Němec Georg Cantor, jenž se věnoval i teologii, zejména ve vztahu k vlastní práci týkající se nekonečna. Je znám především tím, že teorii množin rozšířil o nekonečná čísla, označovaná jako ordinální a kardinální čísla. Britský filozof a anglikánský duchovní John 25 Tamtéž, str Pickover, Clifford A.: Matematická kniha. Praha 2012, str Kdo byl Bernard Bolzano *online+. *cit Dostupné z: 28 Filozofie 19. století [online] v 08:57. Dostupné z: 29 Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str

14 Venn vymyslel v roce 1880 schéma pro vizuální znázornění množin, jejich prvků a vzájemných logických vztahů, tzv. Vennův diagram století Filosofie 20. století je pestrou směsí vzájemně se prolínajících a ovlivňujících směrů a škol. Ve 20. století vznikly či se rozvinuly směry jako filozofie života, filozofie mysli, existencialismus, marxismus, fenomenologie, strukturalismus a další. V dvacátých letech 20. století formuloval slavný německý matematik David Hilbert tzv. Hilbertův program. Ten měl za cíl vystavět matematiku na neotřesitelných logických základech, především na bezrozporné teorii množin. Na přelomu století se totiž nejlepší matematikové zabývali problém, jak se vyhnout paradoxům, které s sebou tehdejší příliš volné množinové definice přinášely. Hilbert věřil, že matematiku na takovýchto bezrozporných základech postavit lze. Je autorem slavného výroku: Musíme vědět. Budeme vědět. 31 Z 23 nejvýznamnějších problémů matematiky, které stanovil a které by se měly ve 20. století vyřešit, jich dosud bylo vyřešeno deset. 32 V letech britští filozofové a matematici A. N. Whitehead a B. Russell vydali gigantické dílo Principia Mathematica, jehož cílem bylo předvést, že matematiku lze formulovat pomocí logických pojmů jako množina a prvek množiny. Principia se pokoušela dobývat matematické pravdy z axiomů pomocí odvozovacích pravidel symbolické logiky. Obrovským popularizátorem matematiky byl americký spisovatel a vědec Martin Gardner, publikující sloupky Matematické hry v časopise Scientific American, který zprostředkoval matematiku více miliónům lidí než kdo jiný a zároveň otevřel veřejnosti oči kráse a kouzlu matematiky a mnohé inspiroval k tomu, aby jí zasvětili život. 33 V posledních letech 20. století nastal v matematickém bádání posun od čisté teorie a hledání důkazů přešla matematika k využívání počítačů a k experimentování. Přispěl k tomu mj. matematický softwarový balík Mathematica z dílny amerického matematika a teoretika Stephena Wolframa. Matematikou se zabývá spousta lidí, vycházejí matematické časopisy, vznikají nové matematické obory (např. zkoumání fraktálů) apod. 30 Tamtéž, str Filozofie 19. století *online v 08:57. Dostupné z: 32 Pickover, Clifford A.: Matematická kniha. Praha 2012, str Tamtéž str

15 3 Významné osobnosti filozofů, matematiků V této kapitole se vrátíme na začátek, ke dvěma starověkým filozofům, matematikům, u nichž propojení obou vědních disciplín začalo a jejichž myšlenky, i pokud byly překonány, vzbuzují respekt do dnešní doby. 3.1 Pythagoras Pythagorovo narození se datuje okolo roku 570 př. n. l., narodil se na řeckém ostrově Samos poblíž Malé Asie, kde je po něm pojmenovaná pevnost Pythagoreion (zbyly z ní jen ruiny). Jeho otcem byl pravděpodobně rytec prstenů nebo kupec Mésarchos. Jeho učiteli byli Anaximandros a Ferdykés ze Syru. Na cestách do Egypta a Babylonii se mladý Pythagoras setkal s východními náboženstvími. Roku 538 př. n. l. se na Pythagorově rodném Samu ujal vlády tyran Polykratés. Pythagoras opustil Samos a v roce 530 př. n. l. a založil v Krotónu (dnešní Crotone) filozofickou školu. Podle některých pramenů měl ženu Theano a s ní také děti, ale není to dokázáno. Během života měl často spory s Hérakleitem, který mu často vytýkal široké spektrum vědy, kterým se zabýval. O Pythagorovi je známo, že číslům přikládal často až přehnaný význam. Od něj a jeho žáků můžeme hovořit o tzv. filozofickém matematismu, kdy čísla staví svět jako stavební kameny, číslo je princip formování světa a zároveň jeho prostředek. 34 Pythagorejci dospěli k závěru, že matematické/číselné principy platí pro vše, pro všechny bytosti. Pythagoras přisoudil číslu úlohu arché, nejvnitřnější podstaty všeho, výchozího bodu a příčiny každé existující věci. Všechno je podle pythagorejců číslo a vše lze převést na čísla. Mezi všemi čísly, která pythagorejci posuzovali a třídili podle zákonitostí numerologie, získalo zvláštní symbolický význam číslo deset, matka všech čísel, číslo považované za symbol dokonalosti, za univerzální schéma, optimální model, který lze pozorovat všude v přírodě. 35 Tomuto zbožštění desítky vděčíme za vznik desítkové číselné soustavy, kterou používáme dodnes. V matematice vynalezl pojem čtveřina, což je posloupnost čísel 1, 2, 3 a 4, jejichž součet je roven číslu 10. Nicméně to nejznámější, co po Pythagorovi zůstalo, je bezesporu Pythagorova věta, jejíž znění si pamatuje snad každý. Pythagorova věta popisuje vztah mezi délkami přepony a dvou odvěsen v pravoúhlém trojúhelníku v eukleidovské rovině. 34 Hejduk, Jiří. Občanský a společenskovědní základ. Filosofie. Kralice na Hané, str Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str

16 Jako zajímavost lze uvést, že se o slavné Pythagorově větě dozvídají i malé děti, a to např. v Čaroději ze země Oz nebo v jeho filmové verzi z úst Strašáka ve chvíli, kdy konečně získá mozek. Želbohu, Strašák proslulou větu odříkává úplně špatně! Věta má více publikovaných důkazů než kterákoli jiná matematická poučka Elisha Scott Loomis jich ve své knize Pythagorean Proposition uvedl Formální znění Pythagorovy věty: c 2 = a 2 + b 2 c délka přepony a, b délky odvěsen c 2 obsah čtverce nad odvěsnou a 2, b 2 obsahy čtverců nad odvěsnami Trojúhelník o dálkách stran 3, 4 a 5 s odvěsnami 3 a 4 a přeponou délky 5 je jediným pythagorejským trojúhelníkem, jehož strany mají délky vyjádřené následnými čísly, a také jediný trojúhelník s celočíselnými stranami, jejichž součet (12) se rovná dvojnásobku jeho obsahu (6). Po trojúhelníku je dalším trojúhelníkem s délkově sousedícími odvěsnami Desátý takový trojúhelník je mnohem větší: Francouzský matematik Pierre de Fermat ( ) si v roce 1643 dal za úkol nalézt takový pythagorejský trojúhelník, aby jeho přepona i součet odvěsen (a+b) byly druhými mocninami. S údivem zjistil, že nejmenší čísla, která takovému zadání vyhovují, jsou , a Tento trojúhelník je tak veliký, že kdyby délky jeho stran byly v metrech, dosahoval by ze Země daleko za Slunce! Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str Tamtéž. 16

17 Třebaže se formulace Pythagorovy věty často přičítá Pythagorovi, ukázalo se, že ji již kolem roku 800 př. n. l. (v poněkud méně jasné formě) uvedl indický matematik Baudhayana ve své knize Šulbasútra a Babyloňané znali pythagorejské trojúhelníky pravděpodobně ještě dříve. Pythagorova škola se také zasloužila o vysokou prestiž hudby v řeckém světě. Objevila vztah mezi délkou struny a tóny stupnice. Zjistila, že struna, která je podle jiné struny poloviční, má o oktávu vyšší tóny, dvoutřetinová potom vyšší o kvintu. Toto zjištění dalo základ diatonické stupnici, pythagorejskému ladění a také harmonii sfér. Pythagoras v této oblasti učinil rozhodující objev, a sice že pocit estetické libosti, kterou vyvolává hudební akord, je matematicky popsatelný. 3.2 Euklides O Euklidově životě není mnoho informací. Podle všeho žil v letech 325 př. n. l. až 260 př. n. l.. Narodil se v Řecku a studoval na Platónově akademii v Athénách, zde se učil geometrii. Poté byl králem Ptolemaiem I. povolán do nově založené Alexandrijské knihovny, kde studoval a pravděpodobně i učil. Jedním z jeho žáků byl podle všeho i Archimédés. Jeho hlavním dílem jsou Základy (Stoicheia). Toto dílo skládající se z třinácti částí začíná stanovením deseti postulátů (předpokladů) poté následují věty. U každé z vět je její důkaz. U vět se stupňuje složitost a jako poslední se Euklides zabývá tzv. platónskými tělesy. Eukleidovy Základy mají tyto části: 1. kniha: pojednání o základech geometrie, rovnoběžkách, trojúhelnících a rovnoběžnících, obsahuje důkaz Pythagorovy věty; 2. kniha: pojednání o planimetrii; 3. kniha: pojednání o kružnici a kruhu; 4. kniha: pojednání o tětivových a tečnových mnohoúhelnících a kružnici vepsané a opsané; 5. kniha: pojednání o poměrech; 6. kniha: pojednání o geometrické podobnosti; 7. kniha: pojednání o teorii čísel; 8. kniha: pokračování pojednání o teorii čísel; 9. kniha: teorie čísel - prvočísla, důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho; 10. kniha: teorie iracionálních čísel; 11. kniha: stereometrie - pojednání o geometrii těles; 12. kniha: pojednání o povrchu a objemu těles; 17

18 13. kniha: pojednání o pravidelných (platónských) tělesech. 38 Nejznámějšími Euklidovými objevy jsou věty o výšce a odvěsně. Euklidova věta o výšce v 2 c = c a c b v c výška strany c c a část strany c, která je rozdělena v c c b část strany c, která je rozdělena v c Euklidova věta o odvěsně a 2 = c c a b 2 = c c b a strana trojúhelníku b strana trojúhelníku c strana trojúhelníku Kniha Základy se stala jednou z nejúspěšnějších učebnic v dějinách matematiky. Eukleidův výklad rovinné geometrie je založen na větách, které lze všechny odvodit z pouhých pěti axiómů čili postulátů. 38 Wikipedie. Eukleides. [online]. [cit Dostupné na World Wide Web: 18

19 Jeden z nich říká, že mezi každými dvěma body lze vést pouze jednu úsečku. Další praví, že máme-li bod a přímku, prochází tímto bodem jen jedna přímka rovnoběžná s danou přímkou. Na Eukleida navazovali G. Galilei i I. Newton. Až v 19. století se matematici pustili do zkoumání neeukleidovských geometrií, v nichž postulát o rovnoběžkách neplatí. 39 Ale i na počátku 20. století B. Russell, matematik, logik a filozof, napsal: Ve svých jedenácti letech jsem začal s Eukleidem. Byla to jedna z největších událostí mého života, oslepující jako první láska. Netušil jsem, že na světě existuje něco tak nádherného. 40 Eukleidův metodický přístup k dokazování matematických vět logickým odvozováním ovlivnil i dokazování v jiných vědních oborech včetně filozofie. 39 Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str Tamtéž, str

20 Závěr Ačkoliv se filozofie a matematika zdají být velmi vzdálenými vědeckými obory, pokusil jsem se ve své práci ukázat, že k sobě mají tyto vědecké disciplíny v podstatě velmi blízko. Matematika je sice věda přesná, zabývající se fakty a důkazy, zatímco tvrzení filozofie jsou méně přesná, protože způsob, jak máme nazírat na svět kolem sebe a sebe sama, nelze striktně vymezit, přesto se obě nauky navzájem v průběhu věků ovlivňovaly a doplňovaly. Již samotné zrození filozofie ve starověku je spojováno se jménem matematika Thaleta, pojmenování filozof bylo poprvé pravděpodobně použito u Pythagora, rovněž významného matematika období antiky, a metoda dokazování, již uplatňoval ve svém bádání Eukleides, se stala jednou z vůdčích metod filozofie až do konce 20. století, když ji prosadili racionalisté 17. století, především R. Descates a W. Leibniz. I když 19. století např. v osobě I. Kanta dokázalo, že tento racionalistický, přísně matematický způsob nazírání na svět a člověka je nedostačující, zůstala matematika filozofii oporou až do dnešní doby. Nejvíce prostoru jsem ve své práci věnoval Pythagorovi a Eukleidovi, kteří stanuli na počátku tohoto vývoje, protože s jejich základními matematickými objevy se setkal snad každý středoškolský student. Charakteristika pouze dvou matematiků, filozofů je samozřejmě nedostačující, ale osobností, které se ve svém bádání staly autoritami v obou oborech je jak jsem zjistil v průběhu práce tolik, že by vydali na několikadílnou encyklopedii. 20

RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ

RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ pracovní list Mgr. Michaela Holubová Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Michaela Holubová. RENESANCE A VĚK ROZUMU Renesance kulturní znovuzrození

Více

Úvod do filosofie. Pojem a vznik filosofie, definice filosofie. Vztah filosofie a ostatních věd

Úvod do filosofie. Pojem a vznik filosofie, definice filosofie. Vztah filosofie a ostatních věd Úvod do filosofie Pojem a vznik filosofie, definice filosofie Vztah filosofie a ostatních věd Filosofické disciplíny, filosofické otázky, základní pojmy Periodizace Cíl prezentace studenti budou schopni

Více

Matematika - Historie - 1

Matematika - Historie - 1 Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte

Více

FILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY

FILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY FILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY Filosofie.. Vznik v antickém Řecku - KRITICKÉ, SAMOSTATNÉ myšlení - V SOUVISLOSTECH - sobě vlastní otázky, které neřeší speciální vědy - člověk ve VZTAHU k přírodě, společnosti

Více

Otázka: Filozofie vznik, význam, disciplíny, základní přístupy. Předmět: Základy společenských věd. Přidal(a): Pedrino

Otázka: Filozofie vznik, význam, disciplíny, základní přístupy. Předmět: Základy společenských věd. Přidal(a): Pedrino Otázka: Filozofie vznik, význam, disciplíny, základní přístupy Předmět: Základy společenských věd Přidal(a): Pedrino FILOSOFIE - filein = láska, sofie = moudrost => láska k moudrosti - způsob myšlení -

Více

Filosofie novověk. Autor: Mgr. Václav Štěpař Vytvořeno: leden 2014

Filosofie novověk. Autor: Mgr. Václav Štěpař Vytvořeno: leden 2014 Filosofie novověk Autor: Mgr. Václav Štěpař Vytvořeno: leden 2014 ANOTACE Kód DUMu: VY_6_INOVACE_3.ZSV.20 Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0851 Vytvořeno: leden 2014 Ročník: 3. ročník střední zdravotnická

Více

O zhoubném vlivu matematiky na filozofii Mýtus přesnosti a iluze definitivnosti

O zhoubném vlivu matematiky na filozofii Mýtus přesnosti a iluze definitivnosti O zhoubném vlivu matematiky na filozofii Mýtus přesnosti a iluze definitivnosti GIAN-CARLO ROTA Dvojí život matematiky Jsou matematické ideje vynálezy, nebo objevy? Tuto otázku si filozofové kladli opakovaně

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Fyzika I. Něco málo o fyzice. Petr Sadovský. ÚFYZ FEKT VUT v Brně. Fyzika I. p. 1/20

Fyzika I. Něco málo o fyzice. Petr Sadovský. ÚFYZ FEKT VUT v Brně. Fyzika I. p. 1/20 Fyzika I. p. 1/20 Fyzika I. Něco málo o fyzice Petr Sadovský petrsad@feec.vutbr.cz ÚFYZ FEKT VUT v Brně Fyzika I. p. 2/20 Fyzika Motto: Je-li to zelené, patří to do biologie. Smrdí-li to, je to chemie.

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd. MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo

Více

GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/

GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/ NÁZEV ŠKOLY: GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1082 NÁZEV MATERIÁLU: TÉMA SADY: ROČNÍK: VY_32_INOVACE_4B_08_Německá klasická

Více

Název školy: Základní škola a Mateřská škola Žalany. Číslo projektu: CZ. 1.07/1.4.00/ Téma sady: Dějepis pro ročník

Název školy: Základní škola a Mateřská škola Žalany. Číslo projektu: CZ. 1.07/1.4.00/ Téma sady: Dějepis pro ročník Název školy: Základní škola a Mateřská škola Žalany Číslo projektu: CZ. 1.07/1.4.00/21.3210 Téma sady: Dějepis pro 6. 7. ročník Název: DUM: VY_32_INOVACE_4B_2_Kultura_ve_starověkém_Řecku_věda Vyučovací

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

filosofie je soustava kritického myšlení o problémech (bytí, života, člověka)

filosofie je soustava kritického myšlení o problémech (bytí, života, člověka) Otázka: Pojetí filosofie Předmět: Základy společenských věd Přidal(a): Petr Novák filosofie je soustava kritického myšlení o problémech (bytí, života, člověka) klade si otázky ohledně smyslu všeho a zkoumá

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 S třední škola stavební Jihlava Deskriptivní geometrie 1 01. Úvod do DG 1 Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

PYTHAGORAS. Základní škola a Mateřská škola Nikolčice, příspěvková organizace

PYTHAGORAS. Základní škola a Mateřská škola Nikolčice, příspěvková organizace CZ.1.07/1.4.00/21.2490 VY_32_INOVACE_19_M8 PYTHAGORAS Základní škola a Mateřská škola Nikolčice, příspěvková organizace Mgr. Jiří Slavík Pythagoras Busta v Kapitolském muzeu v Římě Pythagoras ze Samu (také

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Historie matematiky a informatiky

Historie matematiky a informatiky Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika

Více

VET středověk a novověk (po 18. století)

VET středověk a novověk (po 18. století) VET středověk a novověk (po 18. století) Co nás čeká Křesťanství a jeho představitelé Renesance Racionalismus a empirismus, Kant Merkantelismus, Karmelismus Křesťanství Po dlouho dobu křesťanství uchovatel

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Matematika POZNÁMKY PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika POZNÁMKY PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

Univerzita Palackého v Olomouci Pedagogická fakulta Katedra společenských věd

Univerzita Palackého v Olomouci Pedagogická fakulta Katedra společenských věd Tematické okruhy státní závěrečné zkoušky pro studijní obor: N7504T275 Učitelství základů společenských věd a občanské výchovy pro střední školy a 2. stupeň základních škol Státní závěrečná zkouška je

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Maturitní témata ze základů společenských věd pro ústní profilovou zkoušku 2012/2013 pro všechny třídy 4. ročníku

Maturitní témata ze základů společenských věd pro ústní profilovou zkoušku 2012/2013 pro všechny třídy 4. ročníku Maturitní témata ze základů společenských věd pro ústní profilovou zkoušku 2012/2013 pro všechny třídy 4. ročníku 1. Psychologie jako věda: předmět, vývoj, směry Počátky psychologie, základní psychologické

Více

Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1

Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Škola Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Autor Mgr. Jiří Pokorný Číslo VY_32_INOVACE_13_ZSV_2.01_Periodizace antické filozofie

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

03. 07. 2016 17:53 1/5 Hlavní mezníky při studiu člověka a společnosti ve starověku

03. 07. 2016 17:53 1/5 Hlavní mezníky při studiu člověka a společnosti ve starověku 03. 07. 2016 17:53 1/5 Hlavní mezníky při studiu člověka a společnosti ve starověku Hlavní mezníky při studiu člověka a společnosti ve starověku Úvod Má práce má název Hlavní mezníky při studiu člověka

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/ Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma

Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma Jan Kábrt Proč se zajímat o logiku a v ní právě o implikaci? Mimo jiné pro souvislost s takovými oblastmi lidského myšlení, jako jsou matematika, ostatní přírodní

Více

Filozofie křesťanského středověku. Dr. Hana Melounová

Filozofie křesťanského středověku. Dr. Hana Melounová Filozofie křesťanského středověku Dr. Hana Melounová Středověk / 5. 15. st. n. l. / Křesťanství se utvářelo pod vlivem zjednodušené antické filozofie a židovského mesionaismu. Základní myšlenky už konec

Více

ANTICKÁ FILOSOFIE, pracovní list

ANTICKÁ FILOSOFIE, pracovní list ANTICKÁ FILOSOFIE, pracovní list Mgr. Michaela Holubová Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Michaela Holubová. ANTICKÁ FILOSOFIE Lidé si od počátku svých dějin kladli otázky

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Průvodka. CZ.1.07/1.5.00/ Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Průvodka. CZ.1.07/1.5.00/ Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Průvodka Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Varnsdorf, IČO: tel Využití ICT při hodinách občanské nauky

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Varnsdorf, IČO: tel Využití ICT při hodinách občanské nauky VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r.

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Kružnice k je množina všech bodů v rovině, které mají od

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632. 32 - Využití ICT při hodinách občanské nauky

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632. 32 - Využití ICT při hodinách občanské nauky VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

PC, dataprojektor, odborné publikace, dokumentární filmy, ukázky z hraných filmů

PC, dataprojektor, odborné publikace, dokumentární filmy, ukázky z hraných filmů Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Základy společenských věd (ZSV) Filozofie, etika 4. ročník a oktáva 2 hodiny týdně PC, dataprojektor, odborné publikace, dokumentární filmy, ukázky z hraných

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

ETIKA. Benedictus de SPINOZA

ETIKA. Benedictus de SPINOZA ETIKA Benedictus de SPINOZA Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Benedictus de Spinoza ETIKA ETIKA Benedictus de SPINOZA ETIKA Translation Karel Hubka, 1977 Czech edition dybbuk, 2004

Více

Historie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září 2013. Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze

Historie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září 2013. Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze Historie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září 2013 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze Co je matematika? Obor, který se hojně používá v dalších oborech

Více

Nikolić Aleksandra Matěj Martin

Nikolić Aleksandra Matěj Martin POSTAVENÍ Í PEDAGOGIKY MEZI VĚDAMI Nikolić Aleksandra Matěj Martin PŮVOD NÁZVU Paidagogos = pais + agein Pais = dítě Agein = vést průvodce dětí, často vzdělaný otrok pečoval o výchovu dětí ze zámožných

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

FILOSOFIE FILEIN = milovat (láska), SOFIA = moudrost láska k moudrosti

FILOSOFIE FILEIN = milovat (láska), SOFIA = moudrost láska k moudrosti Otázka: Filosofie Předmět: Základy společenských věd Přidal(a): jirka223 FILOSOFIE FILEIN = milovat (láska), SOFIA = moudrost láska k moudrosti Evropské myšlení ve smyslu lásky k moudrosti se zrodilo na

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

A) Sjednocená teorie Všeho?

A) Sjednocená teorie Všeho? OBSAH BUĎ SVĚTLO! 13 A) Sjednocená teorie Všeho? 1. ZÁHADA SKUTEČNOSTI 16 Dvojí záhada 17 Nový model světa: Koperník, Kepler, Galilei 18 Církev proti přírodním vědám 19 Vítězství přírodních věd 21 2. FYZIKÁLNÍ

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21

Více

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Baudhayana (kolem 800 př.n.l) Pythagoras ze Sámu (asi 580 př.n.l asi 500 př.n.l) Motivace: Tato věta mě zaujala, protože se o ní

Více

Dějiny sociologie I. Periodizace, protosociologie a klasická sociologie (Comte, Spencer) VY_32_INOVACE_ZSV3r0103 Mgr.

Dějiny sociologie I. Periodizace, protosociologie a klasická sociologie (Comte, Spencer) VY_32_INOVACE_ZSV3r0103 Mgr. Dějiny sociologie I. Periodizace, protosociologie a klasická sociologie (Comte, Spencer) VY_32_INOVACE_ZSV3r0103 Mgr. Jaroslav Knesl Dějiny sociologie - periodizace 1. Protosociologie: Antika 40 léta 19.stol.

Více

Člověk na cestě k moudrosti. Filozofie 20. století

Člověk na cestě k moudrosti. Filozofie 20. století Autor: Tematický celek: Učivo (téma): Stručná charakteristika: Pavel Lečbych Člověk na cestě k moudrosti Filozofie 20. století Materiál má podobu pracovního listu, pomocí něhož se žáci seznámí s filozofií

Více

Logika 5. Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1. Logika je věda o...

Logika 5. Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1. Logika je věda o... Logika 5 Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1 Logika je věda o.... slovech správném myšlení myšlení Otázka číslo: 2 Základy

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Immanuel Kant => periodizace díla, kopernikánský obrat, transcendentální filozofie, kategorický imperativ

Immanuel Kant => periodizace díla, kopernikánský obrat, transcendentální filozofie, kategorický imperativ Immanuel Kant - maturitní otázka ZV www.studijni-svet.cz - polečenské vědy - http://zsv-maturita.cz Otázka: Immanuel Kant Předmět: Základy společenských věd Přidal(a): Michael Immanuel Kant => periodizace

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Dej 2 Osvícenství. Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T. G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí

Dej 2 Osvícenství. Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T. G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí Dej 2 Osvícenství Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T. G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí Osvícenství období i myšlenkový směr 17.-18. století, věk rozumu a osvěty

Více

Úvod do filozofie Jana Kutnohorská

Úvod do filozofie Jana Kutnohorská Úvod do filozofie Jana Kutnohorská Úvod Etymologie Předmět filozofie Ontologie Prameny filozofického tázání Filozofické disciplíny Etymologie Filozofie z řečtiny PHILEIN - milovat SOPHA - moudrost V doslovném

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

Základní poznatky z matematiky Matematika.

Základní poznatky z matematiky Matematika. Základní poznatky z matematiky Matematika www.zlinskedumy.cz Matematika z řeckého mathematikós = milující poznání; máthema = věda, vědění, poznání je věda zabývající se kvantitativními vztahy, obecnými

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Shrnutí problematiky předsokratovské filosofie prostřednictvím písemného testu. Vytvořeno 19. 1. 2013 Určeno pro

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Shrnutí problematiky předsokratovské filosofie prostřednictvím písemného testu. Vytvořeno 19. 1. 2013 Určeno pro VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku. Fyzikální veličiny. Fyzikální jednotky. Fyzikální zákony. Vzorce pro výpočty 100 200.

Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku. Fyzikální veličiny. Fyzikální jednotky. Fyzikální zákony. Vzorce pro výpočty 100 200. Pracovní list: Opakování učiva sedmého ročníku 1. Odpovězte na otázky: Fyzikální veličiny Fyzikální jednotky Fyzikální zákony Měřidla Vysvětli pojmy Převody jednotek Vzorce pro výpočty Slavné osobnosti

Více

Racionalismus. Představitelé jsou René Descartes, Benedikt Spinoza, G. W. Leibnitz.

Racionalismus. Představitelé jsou René Descartes, Benedikt Spinoza, G. W. Leibnitz. Racionalismus poznání vyrůstá z racionálního myšlení je to učení, které vyzvedá přirozené poznání člověka zdůrazňuje význam vědy, vzdělání, osvěty a kultury hlásá suverenitu lidského rozumu. Představitelé

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

pracovní listy Výrazy a mnohočleny

pracovní listy Výrazy a mnohočleny A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Cvičení z matematiky 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence (Dílčí kompetence) 5 Kompetence k učení vybírat a využívat pro efektivní

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (procentem) řeší aplikační úlohy

Více

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon Lukáš Richterek Katedra experimentální fyziky PF UP, 17 listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc lukasrichterek@upolcz Podklad k předmětu KEF/FPPV 2 / 10 Logické

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Blaise Pascal Blaise Pascal. Blaise Pascal

Blaise Pascal Blaise Pascal. Blaise Pascal Blaise Pascal Mezi významné osobnosti, které v období renezance ovlivnily rozvoj přírodních věd, zvláště matematiky a fyziky, patří francouzský vědec a filosof Blaise Pascal. Žil jen krátce, zemřel ve

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

PŘEHLED DĚJIN HUDBY. Autor: Mgr. Zuzana Zifčáková. Datum (období) tvorby: březen 2013. Ročník: osmý. Vzdělávací oblast: Hudební výchova na 2.

PŘEHLED DĚJIN HUDBY. Autor: Mgr. Zuzana Zifčáková. Datum (období) tvorby: březen 2013. Ročník: osmý. Vzdělávací oblast: Hudební výchova na 2. PŘEHLED DĚJIN HUDBY Autor: Mgr. Zuzana Zifčáková Datum (období) tvorby: březen 2013 Ročník: osmý Vzdělávací oblast: Hudební výchova na 2.stupni ZŠ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

k a p i t O l a 1 Záhada existence

k a p i t O l a 1 Záhada existence Kapitola 1 Záhada existence Všichni existujeme jen krátkou chvíli a během ní prozkoumáme jen malou část celého vesmíru. Ale lidé jsou zvídavý druh. Žasneme a hledáme odpovědi. Žijíce v tomto obrovském

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1082

GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1082 NÁZEV ŠKOLY: GYMNÁZIUM JOSEFA JUNGMANNA LITOMĚŘICE, Svojsíkova 1, příspěvková organizace ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.1082 NÁZEV MATERIÁLU: TÉMA SADY: ROČNÍK: VY_32_INOVACE_4B_05_Renesance, reformace

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce pro studijní obor Základy společenských věd pro SŠ

Témata ke státní závěrečné zkoušce pro studijní obor Základy společenských věd pro SŠ Témata ke státní závěrečné zkoušce pro studijní obor Základy společenských věd pro SŠ FILOSOFIE 1. Filosofie, její hlavní disciplíny, vztah ke speciálním vědám 2. Orientální myšlení, zejména staré Indie

Více

ZÁKLADY SPOLEČENSKÝCH VĚD

ZÁKLADY SPOLEČENSKÝCH VĚD Maturitní otázky ZÁKLADY SPOLEČENSKÝCH VĚD 1. Předmět psychologie a význam psychologických poznatků, vznik a historický vývoj psychiky, determinace lidské psychiky. pojem a předmět psychologie metody psychologie,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více