Gymnázium, Kojetín, Sv. Čecha 683

Transkript

1 Gymnázium, Kojetín, Sv. Čecha 683 MATEMATIK, FILOZOF Ročníková práce Autor práce: Romana Zapomnětlivá Třída: 2. ročník, sexta Šk. rok: Konzultant: Mgr. XXXX XXXXXX

2 Prohlašuji, že jsem svou práci vypracoval(a) samostatně, použil(a) jsem pouze podklady (literaturu, SW atd.) uvedené v přiloženém seznamu a postup při zpracování a dalším nakládání s prací je v souladu se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) v platném znění. V dne podpis:

3 ANOTACE Práce se zabývá vztahem dvou vědních oborů: filozofie a matematiky, zmiňuje společné kořeny vzniku ve starověku, vymezení obou nauk v době renesance a specifické rysy projevující se zejména od konce 19. století. Součástí práce je i přehled nejvýznačnějších osobností, které se zabývaly oběma vědními obory a zasáhly významnou měrou do jejich vývoje. Samostatné subkapitoly jsou věnovány Pythagorovi a Euklidovi. Klíčová slova: matematika, filozofie, matematik-filozof, algebra, aritmetika, geometrie, starověk, středověk, renesance, osvícenství moderní doba, Pythagoras, Euklides

4 Obsah Obsah... 4 Úvod Vymezení pojmů Matematika a filozofie Matematik, filozof Stručný přehled významných matematiků, filozofů od starověku po 2. polovinu 20. století Starověk Středověk Novověk století století Významné osobnosti filozofů, matematiků Pythagoras Euklides...17 Závěr...20 Seznam literatury:...21 Seznam internetových odkazů:...21 Přílohy:

5 Úvod Téma matematik, filozof jsem si pro ročníkovou práci vybral proto, že mě tato oblast zajímá a rád bych se v tomto směru obohatil o nové poznatky a více pronikl do podstaty věcí. Cílem práce je poukázat na provázanost historického vývoje zdánlivě neslučitelných vědních oborů, jako jsou matematika a filozofie, a blíže představit některé významné osobnosti, jež se v minulosti proslavily jak na poli filozofickém, tak na poli matematickém. Myslím si, že by tato problematika mohla zaujmout i ostatní studenty, protože se v mé práci objevují známá jména, s nimiž se během školní docházky setkává každý gymnazista: např. Pythagoras (autor jednoho z nejznámějších matematických zákonů Pythagorovy věty), Euklides (autor Euklidovy věty), René Descartes (spolu s Fermatem zakladatel analytické geometrie) a Isaac Newton (autor např. binomické řady nebo diferenciálního a integrálního počtu) apod. Práce se dělí do tří kapitol. V první části je uvedena jednak definice vědních oborů matematika a filozofie, jednak stručná obecná charakteristika osobnosti matematika, filozofa a je zde také poukázáno na souvztažnost obou zmiňovaných vědních disciplín. Druhá kapitola obsahuje historický přehled významných osobností matematiky a filozofie. Přehled je v podkapitolách řazen chronologicky od starověku po 2- polovinu 20. století. Třetí, závěrečná kapitola, přiblíží podrobněji dva významné matematiky, filozofy z antického Řecka. U každé ze zmíněných osobností bude stručně popsán jejich život a přínos pro matematiku, filozofii a případně jiná odvětví, kterým se věnovali. Ve své práci vycházím z odborné filozofické literatury, publikace o matematice, informace čerpám i z internetu. 5

6 1 Vymezení pojmů 1.1 Matematika a filozofie Věda filozofie i matematika mohla vzniknout až tehdy, když se člověk přestal starat pouze o svoji obživu a svůj volný čas věnoval i jiným věcem. Poprvé tomu tak bylo v Egyptě u vrstvy kněží (zde vznikla matematika a astronomie) a v Řecku u bohatých obchodníků v městě Milétu (zde se se zrodila filozofie). Matematika název tohoto vědního oboru je odvozen z řeckého μαθηματικός (mathematikós) = milující poznání; μάθημα (máthema) = věda, vědění, poznání. 1 Jedná se o nauku o kvantitativních a prostorových vztazích. Elementární poznatky z aritmetiky a geometrie se objevily na samém počátku kulturního vývoje v souvislosti s praktickými úlohami (stanovení počtu kusů, měření délek, ploch, objemů, problémy ve stavebnictví, astronomii atd.). Mnoho poznatků tohoto druhu bylo známo ve starověkém Egyptě a v Mezopotámii. Jako samostatná věda s jasně vymezenými metodami se matematika objevila ve starověkém Řecku; zejména výklad elementární geometrie, jak jej vytvořili řečtí myslitelé, byl po dvě tisíciletí vzorem deduktivní výstavby matematické teorie. 2 Další etapou prudkého rozvoje matematiky byl raný novověk, kdy byly především Descartem ustaveny základy matematické analýzy. Poté se díky práci Newtona, Leibnize, Eulera, Gausse a dalších matematiků podařilo dosáhnout zásadních výsledků v oblasti analýzy zejména položením základů diferenciálního a integrálního počtu. Jiným významným obdobím dějin matematiky byl přelom 19. a 20. století. Nové impulzy dodaly matematice objevy v logice a zavedení axiomatické teorie množin. Touto dobou začaly být též zkoumány abstraktní struktury, což umožňuje jedním důkazem ověřit matematické tvrzení pro širokou skupinu matematických objektů. Vyvrcholením tohoto trendu byl v polovině 20. století vznik teorie kategorií, která je pokládána za nejobecnější a nejabstraktnější matematickou disciplínu. 3 Matematika se dělí na řadu oborů, např. na algebru, matematickou analýzu, topologii, geometrii, teorii čísel, teorii množin, matematickou statistiku, matematickou informatiku, teorii her, matematickou fyziku, ekonomii, psychologii, lingvistiku ad. 4 1 Matematika [online]. [cit Dostupné z: Wikipedie. Matematika. *online+. *editována v 22:00. Dostupné na World Wide Web: 2 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str Matematika [online]. [cit Dostupné z: Wikipedie. Matematika. *online+. *editována v 22:00. Dostupné na World Wide Web: 4 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str

7 Filozofie, řecky φιλοσοφία, z φιλειν (filein, mít rád, toužit po něčem) a σοφια (sofia, moudrost, zdatnost) je soustavné, racionální a kritické zkoumání skutečnosti, světa a člověka, případně i toho, co je přesahuje (metafyzika). 5 Filozofie vznikla v reakci na tradiční mytologickou interpretaci světa ve starém Řecku na počátku 6. století před n. l. Původně byla ve starém Řecku chápána jako souhrn veškerého poznání a v tomto smyslu byla synonymem pro vědu. Postupně se jednotlivé vědy začaly z filozofie vydělovat (např. matematika již v antice, kdežto psychologie a sociologie až v 19. a 20. století). Předmět, funkce i metody zkoumání filozofie se v průběhu jejího vývoje mění: vysvětlování světa včetně jeho vzniku v předsokratovském období; zkoumání a vymezování obecných pojmů u Sókrata a Platóna; hledání příčin všeho jsoucího u Aristotela; rozumový výklad světa a náboženských pravd v křesťanství a scholastice; stanovení pevného, jistého poznání na základě matematicky vyjádřených zákonů v novověku; úsilí o emancipaci člověka pomocí rozumu v osvícenství; vymezování podmínek naší zkušenosti u Kanta; pochopení filozofie jako ideové zbraně u marxistů; kritika všeho, čím se člověk pokouší zastřít svou konečnost a omezenost v existencialismu; kritika představa jediné pravdy v postmoderně atd Matematik, filozof Matematik, filozof je vědec, který svým zkoumáním obsáhl obě vědní disciplíny matematiku i filozofii a přinesl do obou vědních oborů nové poznatky. Historie zná mnoho významných matematiků, filozofů. Můžeme začít hned ve starověkém Řecku. Již Aristoteles označil za prvního skutečného filozofa Thaleta z Milétu 7, který ovšem významnou měrou zasáhl i do vývoje matematiky, konkrétně jedné její části geometrie. Snad nejvýznamněji se obě vědní disciplíny prolnuly v období od renesance po osvícenství (od konce 16. století po 18. století), v období racionalismu, kdy zvítězilo rozumové vnímání světa a v němž se ideálem veškerého poznání stala matematika jako věda, která je schopná přinést neotřesitelné důkazy. Její metody měly být uplatňovány ve všech oborech lidské činnosti. 8 Stručný přehled matematiků, filosofů přinese následující kapitola. 5 Filozofie *online+. Stránka byla naposledy editována v 17:5 *cit Dostupné z: 6 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str Weischedel, Wilhelm. Zadní schodiště filozofie. Olomouc 1995, str 7. 8 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

8 2 Stručný přehled významných matematiků, filozofů od starověku po 2. polovinu 20. století 2.1 Starověk Jak bylo uvedeno v předchozí kapitole, za prvního opravdového filozofa bývá považován Thales z Milétu (620 př. n. l př. n. l.), zástupce předsókratovské filozofie, konkrétně představitel milétských přírodních filozofů. Věnoval se politice, astronomii, matematice a spočítal přesně zatmění Slunce. Tento fakt podnítil jednoho historika k tomu, že přesně stanovil hodinu zrození filozofie. Píše: Řecká filozofie začíná 28. května 585 před Kristem. 9 Je to den, kdy podle Thaletovy předpovědi skutečně došlo k zatmění Slunce. Coby filozof se snažil proniknout k podstatě věcí, není od něj ovšem dochován žádný filozofický spis. Pokládá si např. otázky: Co je tou věcí, tím principem, který působí, že vše vzniká a vše existuje? Odkud všechno pochází, z čeho vše vzniká? Thales tvrdil, že základem světa, pralátkou, je voda. Svět je podle něj deska, která plave na vodě. Vodu zvolil za pralátku pravděpodobně proto, že se mu jevila jako nejvíce tvárná, neboť se s ní setkáváme ve všech třech skupenstvích. V oboru matematiky si osvojil orientální vědění díky svým cestám do Egypta. Řekové jej nazývali jedním ze sedmera mudrců nebo otcem vědy. Zabýval se geometrií, vlastnostmi trojúhelníků a kružnice. Znal větu o shodnosti trojúhelníků, vztahy mezi úhly v rovnoramenném trojúhelníku a znal vrcholové úhly. Thaletova věta je první matematická věta, která byla (podle dostupných pramenů) objevena. Svá matematická tvrzení se Thales pokoušel i dokazovat. 10 Dalším významným starověkým řeckým matematikem, filozofem byl Pýthagorás, o němž a jeho škole bude více pojednáno v následující kapitole. Filozofii i matematiku (stereometrii) zkoumal ze starověkých filozofů i Platón. Platón např. předpokládá, že pět pravidelných mnohostěnů, jež Řekové nazývali Bakchovými hračkami, tj. krychle, čtyřstěn, dvacetistěn, osmistěn a dvanáctistěn (mají stejné strany, stěny i úhly; lze do nich dokonale vepsat či kolem nich opsat kouli), tvoří základní tvary hmoty: Země je kompaktní a stabilní, protože je tvořena krychlemi, oheň je tvořen čtyřstěny, voda, vzduch a éter se skládají z dvanáctistěnů. 11 Součástí 9 Weischedel, Wilhelm. Zadní schodiště filozofie. Olomouc Votobia, vyd. 2. Str REICHL, Jaroslav a Milan VŠETIČKA. Encyklopedie fyziky: Ionská přírodní filozofie [online] [cit ]. Dostupné z: 11 Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str

9 platónské tradice je tvrzení, že Bůh dal přírodě tvar pomocí geometrie. 12 Nad vchodem do antické platónské Akademie bylo motto: Nevstupuj, kdo nejsi geometrem. Euklides z Alexandrie mj. dopracoval některé poznatky pythagorejců, je autorem vět o výšce a odvěsně v pravoúhlém trojúhelníku, dokázal, že prvočísel je nekonečně mnoho a že není racionální číslo. Oba tyto výsledky, které jsou pro matematiku velmi důležité, dokázal velmi elegantně sporem. Tento typ důkazu si Euklides velmi oblíbil. Filozofii ovlivnil jen okrajově tím, že ve svém hlavním díle Základy shrnul práci mnoha dřívějších matematiků a filosofů. Dalším významným matematikem, filozofem (mj. i zakladatelem logiky jako oboru zkoumání), je Aristoteles, ale také Archimédes ze Syrakus a jistě bychom mohli uvést i další jména. 2.2 Středověk Pro období středověku je charakteristický odklon od přírodních věd, bádání se soustřeďuje na teologii (hlavní úlohu ve všech oblastech života a poznání hraje Bůh), která je nadřazena veškerým vědám včetně filozofie. Přesto je už od dob církevních otců (patristů), např. Aurelia Augustina ( ) kladen důraz na vzdělání, znalost klasických jazyků, ale i logiky, matematiky, geometrie, astronomie a rétoriky. Novoplatonisté raného středověku, ale i pozdější křesťanští a renesanční filozofové navázali na Platóna, když mezi atributy Boha včlenili roli protogeometra. Tím bylo míněno, že Bůh použil při aktu stvoření aritmetiku, jejímž prostřednictvím určil počet věcí, geometrii, jejíž pomocí určil jejich tvar, a hudbu, která zaručuje harmonii a dynamickou rovnováhu vesmíru. 13 Rozvoj středověké společnosti pak s sebou přinesl i požadavky na vyšší vzdělanost lidí, byly proto zakládány univerzity, kde se učilo sedmeru svobodných umění, mezi nimi samozřejmě i aritmetice a geometrii. K nejvýznamnějším matematikům středověku lze právem zařadit Leonarda z Pisy zvaného Fibonacci, který se zasadil o zpopularizování arabské číselné soustavy, o zavedení nuly (poziční i množstevní), zajímal se o geometrii, zlatý řez a posloupnost. 14 V období středověku matematici dospěli k těmto důležitým výsledkům: Mikuláš Oresme (druhá polovina 14. století) studoval ze záliby mocniny s lomenými exponenty, ale hlavně napsal práci, v níž se zabývá závislostí mezi veličinami. Nanáší závisle proměnnou (latitudo šířku) vůči nezávisle proměnné 12 Tamtéž, str Tamtéž, str REICHL, Jaroslav a Milan VŠETIČKA. Encyklopedie fyziky: Dějiny matematiky a fyziky [online] [cit Dostupné z: 9

10 (longitudo délce), kterou lze měřit. Je v tom druh přechodu od souřadnic na nebeské nebo zemské sféře (které znali již ve starověku) k moderním geometrickým souřadnicím. Až do začátku 16. století však nebyl učiněn žádný podstatný pokrok k překonání úrovně arabské a antické matematiky. První skutečně nové a původní výsledky přináší italští matematikové na počátku 16. století, pracující v oblasti řešení rovnic Novověk V novověku je patrný odklon od Boha k člověku, coby nezávislé bytosti, a jeho rozumu. Renesanční filosofie se rozvíjela v období od druhé poloviny 15. století do konce 16. století. Vyznačuje se oživením zájmu o antickou filozofii (filozofie se obecně vymaňuje z područí teologie) a obratem ke zkoumání člověka a tajemství přírody, což vede k rozvoji matematiky, alchymie, astrologie a astronomie, jež nahradila starší geocentrické představy novým heliocentrismem. Na počátku 16. století překročila evropská matematika rámec znalostí, které byly vytvořeny v antickém Řecku a národy Orientu. Až do přelomu 16. a 17. století měla matematika jako předmět svého zkoumání hlavně kvantitativní veličiny a neměnné geometrické útvary. V 15. století ovládali italští počtáři (praktikové) spolehlivě aritmetické výpočty včetně počítání s iracionálními čísly a italští malíři byli dobrými geometry. Mezi nejvýznamnější renesanční filozofy a matematiky bezesporu patří Mikuláš Kusánský, Mikuláš Koperník, Giordano Bruno, Galileo Galilei, Johannes Kepler ad. Např. Mikuláš Kusánský o řádu a harmonii vesmíru říká, že je lze odvodit z toho, že Bůh nestvořil svět bez plánu, nýbrž na základě matematických principů. 16 Matematika slouží Kusánskému především k tomu, aby popsal podstatu Boha jako absolutní nekonečno. Johannes Kepler pak hlásal zásadu: Kde je látka, tam je matematika 17, čímž poprvé formuluje matematický ideál poznání, který tak významně ovlivnil další podobu vědeckého bádání zejména v přírodovědě. Podobně se vyjadřuje i Galileo Galilei: Velká kniha přírody leží před námi otevřena. Abychom ji mohli číst, potřebujeme matematiku, neboť je psána matematickým jazykem. Přírodní procesy jsou kvantitativní, a tudíž měřitelné, a kde nelze měřit, musí věda uspořádat experiment tak, aby měření bylo možné Dějiny matematiky [online] v 18:49. [cit Dostupné z: 16 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

11 Filozofie v 17. století vstupuje do věku, v němž vládne rozum a v němž je základem ideálem každého poznání matematika, tj. věda, která se vymyká každé národní a individuální specifičnosti a která má naprosto všeobecnou platnost. Jestliže matematika poskytla metodu neotřesitelných důkazů, pak se tento princip měl přenést na veškeré lidské vědění, tedy na všechny vědy a především také na filozofii. Filozofii té doby tedy nelze oddělit od matematiky. 19 Filozofové 17. století byli buď sami geniálními matematiky, jako René Descartes (zavedením kartézské soustavy souřadnic objevuje metodu, jak analyticky, tj. prostřednictvím čísel a rovnic, zkoumat geometrické útvary; díky tomuto objevu se v následujících staletích podaří vyřešit mnoho klasických geometrických problémů), Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Gottfried Wilhelm Leibniz, Isaac Newton (oba matematická analýza, kalkulus), nebo alespoň, jako např. Baruch Spinoza, vybudovali svou myšlenkovou stavbu geometrickým způsobem. Tak se rodí racionalistická filozofie, která prosazuje myšlenku, že k platným vědeckým závěrům lze dospět pouze a výhradně racionálním deduktivním procesem na základě evidentních faktů, které mysl postihuje intuitivně jako jasné a zřejmé stejně jako např. pojmy rozměru a hmoty. 20 Tímto přístupem někteří racionalisté v opozici k empirismu dospěli až k popření vnímání prostřednictvím smyslů a k popření významu zkušenosti, a dokonce i praktického experimentálního ověření teorie. Osvícenská filozofie bývá obvykle spojována s rozvojem společenských věd, psychologie, navazuje však svými metodami na předchozí období (víru v rozum), a proto i zde má matematika své zastánce. Např. anglický filozof David Hume označuje matematiku jako jedinou vědu, která se nezabývá sdružováním představ, nýbrž fakty 21, a tudíž je podle něj jedinou vědou, která nám dává absolutní jistotu (na rozdíl od jiných vědních oborů, jež nám mohou nabídnout pouze pravděpodobnost). Významným filozofem a matematikem byl také Jean d Alembert, jeden z tvůrců a vydavatelů slavné Encyklopedie věd, umění a řemesel v 2. polovině 18. století. Vypracoval nástin dějin vzniku a vývoje poznání a pokusil se o klasifikaci věd. Zabýval se mj. diferenciálním počtem a rovnicemi a jejich aplikacemi ve fyzice, zvláště významné jsou jeho články, které se zabývají limitami, kde je vidět, že d'alembert chápal význam funkcí pro matematiku. D Alembertovým současníkem byl Leonhard Paul Euler, průkopnický švýcarský matematik a fyzik. Euler je považován za nejlepšího matematika 18. století a za jednoho z nejlepších matematiků vůbec. Eulerův vliv na matematiku vyjadřuje výrok připisovaný Pierru Simonu de Laplaceovi : "Čtěte 19 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

12 Eulera, čtěte Eulera, je to učitel nás všech." 22 Je tradičně považován za zakladatele teorie grafů. Pochází od něj metoda variace konstant pro řešení diferenciálních rovnic. Jako první použil pojem imaginární číslo pro druhou odmocninu ze záporného čísla ve své knize Algebra. Zavedl dvojrozměrný integrál. Od Eulera také pochází i nyní používané označení f(x) pro funkci. Díky jeho všeobecně uznávané autoritě se ustálila symbolika algebry a infinitezimálního počtu. 23 Na racionalismus (a roli matematiky v poznání, zejména poznání a definování prostoru a času), konkrétně především na Leibnize a Descarta, navazoval i slavný německý osvícenský filozof Immanuel Kant ve svém nejproslulejším díle Kritika čistého rozumu, vedle neoddiskutovatelné role rozumu ovšem stejný význam přikládal i empirickému poznání. Zatímco předchůdci používali rozum, aby kritizovali Kant podrobil kritice rozum sám (postavil se proti dogmatice rozumu), člověk je podle něj bytostí nejen myslící, ale i chtějící a cítící století Filozofie 19. století se opírá o I. Kanta (ale i idealistu G. Hegela a jeho pojetí dějinnosti, ducha doby) a dále jej rozvíjí; mezi nejvýznamnější matematiky, filozofy zde můžeme řadit Francouze Augusta Comta, zakladatele pozitivismu a sociologie. Pozitivismus se přidržuje pouze skutečnosti, tj. daných fakt. Zabývá se výhradně tím, co je společensky užitečné. A v protikladu k nekonečným sporům dřívější metafyziky, drží se výhradně toho, co lze přesně definovat. Comte se inspiroval zejména R. Descartem a F. Baconem, provádí klasifikaci věd, kdy za vědu považuje jen to, co lze jednoznačně definovat, řadí tedy vědy takto: matematika (od Descartovy a Newtonovy doby je základem filozofie, svými oběma větvemi, abstraktní matematikou čili analýzou a konkrétní matematikou neboli geometrií a mechanikou patří na počátek celé stavby; její zásady jsou nejobecnější, nejjednodušší a nejabstraktnější a nezávisí na ničem jiném), astronomie, fyzika, chemie, biologie a sociologie. 24 Obecně však lze konstatovat, že v 19. století dochází k větší specializaci vědy a propojení několika vědních oborů a tedy i matematiky a filozofie již není tak úzké jako v předcházejících letech. Pokud jde o základy matematiky, první polovina 19. století přinesla v této oblasti doslova koperníkovský obrat, když Rus N. J. Lobačevskij a Maďar János Bolyai téměř současně prokázali možnost neeukleidovské geometrie a navázali tak na dřívější poznatky geniálního německého matematika K. F. Gausse (ten mj. položil základy teorii čísel). V praxi to znamenalo, že přinesli logický důkaz, že Eukleidova 22 Leonhard Euler [online] v 16:43. [cit Dostupné z: Tamtéž. 24 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str

13 geometrie vycházející z předpokladu trojrozměrného prostoru - nepředstavuje jediný možný systém geometrie. To vedlo ke zkoumání platnosti základů matematiky. Mezi vědce, kteří tuto novou situaci promýšleli i ve filozofické rovině, patří především Francouz Henri Poincaré. 25 Einstein o neeukleidovské geometrii řekl: Této interpretaci geometrie přikládám velký význam, protože kdybych se s ní neseznámil, nebyl bych schopen vypracovat teorii relativity. 26 Protože se doposud v práci neobjevilo žádné jméno, jež by bylo spjato s našimi zeměmi, uvedu zde alespoň jméno Bernarda Bolzana. Bolzano je považován za jednoho z největších českých matematiků 19. století. Bolzano sám skromně říká, že jeho zvláštní záliba v matematice spočívala vlastně jen na její čistě spekulativní části, tedy na tom, co je zároveň filosofií 27, ale jeho objevy v nauce o funkcích a teorii množin, nekonečnu mnohdy časově předešly jiné matematické velikány 19. století, jako Georga Cantora, Karla T. W. Weierstrasse, jenž bývá nazýván otcem moderní matematické analýzy, nebo A. L. Caucha. K Bolzanovu odkazu se hlásí i zakladatel filozofie fenomenologie, prostějovský rodák Edmund Husserl. Druhá polovina 19. století přináší do filozofie marxismus, voluntarismus, počátky existencialismu a pragmatismus. Filosofové tohoto období netvoří školy, ale předkládají vlastní, často silně individuální pohledy na svět a na člověka v něm. Myšlenka dějinnosti patrně nejzávažnější novinka 19. století proniká do různých věd a v podobě Darwinovy evoluce dostává úplně novou podobu: dějiny nejsou jen lidská historie, ale dějinná je i příroda včetně člověka, který do ní patří. Jen některé vědy, jako jsou matematika, fyzika, chemie, astronomie se dějinnosti zatím brání, představují však pro filosofii nedostižný vzor přesnosti a objektivity, a tím i stálou výzvu. 28 V matematice se Angličan George Boole zajímal o redukci logiky na jednoduchou algebru s pouhými dvěma prvky 0 a 1 a třemi základními operacemi: a, nebo a ne. 29 Boole bývá považován za zakladatele informatiky. Dalším matematikem je Němec Georg Cantor, jenž se věnoval i teologii, zejména ve vztahu k vlastní práci týkající se nekonečna. Je znám především tím, že teorii množin rozšířil o nekonečná čísla, označovaná jako ordinální a kardinální čísla. Britský filozof a anglikánský duchovní John 25 Tamtéž, str Pickover, Clifford A.: Matematická kniha. Praha 2012, str Kdo byl Bernard Bolzano *online+. *cit Dostupné z: 28 Filozofie 19. století [online] v 08:57. Dostupné z: 29 Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str

14 Venn vymyslel v roce 1880 schéma pro vizuální znázornění množin, jejich prvků a vzájemných logických vztahů, tzv. Vennův diagram století Filosofie 20. století je pestrou směsí vzájemně se prolínajících a ovlivňujících směrů a škol. Ve 20. století vznikly či se rozvinuly směry jako filozofie života, filozofie mysli, existencialismus, marxismus, fenomenologie, strukturalismus a další. V dvacátých letech 20. století formuloval slavný německý matematik David Hilbert tzv. Hilbertův program. Ten měl za cíl vystavět matematiku na neotřesitelných logických základech, především na bezrozporné teorii množin. Na přelomu století se totiž nejlepší matematikové zabývali problém, jak se vyhnout paradoxům, které s sebou tehdejší příliš volné množinové definice přinášely. Hilbert věřil, že matematiku na takovýchto bezrozporných základech postavit lze. Je autorem slavného výroku: Musíme vědět. Budeme vědět. 31 Z 23 nejvýznamnějších problémů matematiky, které stanovil a které by se měly ve 20. století vyřešit, jich dosud bylo vyřešeno deset. 32 V letech britští filozofové a matematici A. N. Whitehead a B. Russell vydali gigantické dílo Principia Mathematica, jehož cílem bylo předvést, že matematiku lze formulovat pomocí logických pojmů jako množina a prvek množiny. Principia se pokoušela dobývat matematické pravdy z axiomů pomocí odvozovacích pravidel symbolické logiky. Obrovským popularizátorem matematiky byl americký spisovatel a vědec Martin Gardner, publikující sloupky Matematické hry v časopise Scientific American, který zprostředkoval matematiku více miliónům lidí než kdo jiný a zároveň otevřel veřejnosti oči kráse a kouzlu matematiky a mnohé inspiroval k tomu, aby jí zasvětili život. 33 V posledních letech 20. století nastal v matematickém bádání posun od čisté teorie a hledání důkazů přešla matematika k využívání počítačů a k experimentování. Přispěl k tomu mj. matematický softwarový balík Mathematica z dílny amerického matematika a teoretika Stephena Wolframa. Matematikou se zabývá spousta lidí, vycházejí matematické časopisy, vznikají nové matematické obory (např. zkoumání fraktálů) apod. 30 Tamtéž, str Filozofie 19. století *online v 08:57. Dostupné z: 32 Pickover, Clifford A.: Matematická kniha. Praha 2012, str Tamtéž str

15 3 Významné osobnosti filozofů, matematiků V této kapitole se vrátíme na začátek, ke dvěma starověkým filozofům, matematikům, u nichž propojení obou vědních disciplín začalo a jejichž myšlenky, i pokud byly překonány, vzbuzují respekt do dnešní doby. 3.1 Pythagoras Pythagorovo narození se datuje okolo roku 570 př. n. l., narodil se na řeckém ostrově Samos poblíž Malé Asie, kde je po něm pojmenovaná pevnost Pythagoreion (zbyly z ní jen ruiny). Jeho otcem byl pravděpodobně rytec prstenů nebo kupec Mésarchos. Jeho učiteli byli Anaximandros a Ferdykés ze Syru. Na cestách do Egypta a Babylonii se mladý Pythagoras setkal s východními náboženstvími. Roku 538 př. n. l. se na Pythagorově rodném Samu ujal vlády tyran Polykratés. Pythagoras opustil Samos a v roce 530 př. n. l. a založil v Krotónu (dnešní Crotone) filozofickou školu. Podle některých pramenů měl ženu Theano a s ní také děti, ale není to dokázáno. Během života měl často spory s Hérakleitem, který mu často vytýkal široké spektrum vědy, kterým se zabýval. O Pythagorovi je známo, že číslům přikládal často až přehnaný význam. Od něj a jeho žáků můžeme hovořit o tzv. filozofickém matematismu, kdy čísla staví svět jako stavební kameny, číslo je princip formování světa a zároveň jeho prostředek. 34 Pythagorejci dospěli k závěru, že matematické/číselné principy platí pro vše, pro všechny bytosti. Pythagoras přisoudil číslu úlohu arché, nejvnitřnější podstaty všeho, výchozího bodu a příčiny každé existující věci. Všechno je podle pythagorejců číslo a vše lze převést na čísla. Mezi všemi čísly, která pythagorejci posuzovali a třídili podle zákonitostí numerologie, získalo zvláštní symbolický význam číslo deset, matka všech čísel, číslo považované za symbol dokonalosti, za univerzální schéma, optimální model, který lze pozorovat všude v přírodě. 35 Tomuto zbožštění desítky vděčíme za vznik desítkové číselné soustavy, kterou používáme dodnes. V matematice vynalezl pojem čtveřina, což je posloupnost čísel 1, 2, 3 a 4, jejichž součet je roven číslu 10. Nicméně to nejznámější, co po Pythagorovi zůstalo, je bezesporu Pythagorova věta, jejíž znění si pamatuje snad každý. Pythagorova věta popisuje vztah mezi délkami přepony a dvou odvěsen v pravoúhlém trojúhelníku v eukleidovské rovině. 34 Hejduk, Jiří. Občanský a společenskovědní základ. Filosofie. Kralice na Hané, str Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str

16 Jako zajímavost lze uvést, že se o slavné Pythagorově větě dozvídají i malé děti, a to např. v Čaroději ze země Oz nebo v jeho filmové verzi z úst Strašáka ve chvíli, kdy konečně získá mozek. Želbohu, Strašák proslulou větu odříkává úplně špatně! Věta má více publikovaných důkazů než kterákoli jiná matematická poučka Elisha Scott Loomis jich ve své knize Pythagorean Proposition uvedl Formální znění Pythagorovy věty: c 2 = a 2 + b 2 c délka přepony a, b délky odvěsen c 2 obsah čtverce nad odvěsnou a 2, b 2 obsahy čtverců nad odvěsnami Trojúhelník o dálkách stran 3, 4 a 5 s odvěsnami 3 a 4 a přeponou délky 5 je jediným pythagorejským trojúhelníkem, jehož strany mají délky vyjádřené následnými čísly, a také jediný trojúhelník s celočíselnými stranami, jejichž součet (12) se rovná dvojnásobku jeho obsahu (6). Po trojúhelníku je dalším trojúhelníkem s délkově sousedícími odvěsnami Desátý takový trojúhelník je mnohem větší: Francouzský matematik Pierre de Fermat ( ) si v roce 1643 dal za úkol nalézt takový pythagorejský trojúhelník, aby jeho přepona i součet odvěsen (a+b) byly druhými mocninami. S údivem zjistil, že nejmenší čísla, která takovému zadání vyhovují, jsou , a Tento trojúhelník je tak veliký, že kdyby délky jeho stran byly v metrech, dosahoval by ze Země daleko za Slunce! Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str Tamtéž. 16

17 Třebaže se formulace Pythagorovy věty často přičítá Pythagorovi, ukázalo se, že ji již kolem roku 800 př. n. l. (v poněkud méně jasné formě) uvedl indický matematik Baudhayana ve své knize Šulbasútra a Babyloňané znali pythagorejské trojúhelníky pravděpodobně ještě dříve. Pythagorova škola se také zasloužila o vysokou prestiž hudby v řeckém světě. Objevila vztah mezi délkou struny a tóny stupnice. Zjistila, že struna, která je podle jiné struny poloviční, má o oktávu vyšší tóny, dvoutřetinová potom vyšší o kvintu. Toto zjištění dalo základ diatonické stupnici, pythagorejskému ladění a také harmonii sfér. Pythagoras v této oblasti učinil rozhodující objev, a sice že pocit estetické libosti, kterou vyvolává hudební akord, je matematicky popsatelný. 3.2 Euklides O Euklidově životě není mnoho informací. Podle všeho žil v letech 325 př. n. l. až 260 př. n. l.. Narodil se v Řecku a studoval na Platónově akademii v Athénách, zde se učil geometrii. Poté byl králem Ptolemaiem I. povolán do nově založené Alexandrijské knihovny, kde studoval a pravděpodobně i učil. Jedním z jeho žáků byl podle všeho i Archimédés. Jeho hlavním dílem jsou Základy (Stoicheia). Toto dílo skládající se z třinácti částí začíná stanovením deseti postulátů (předpokladů) poté následují věty. U každé z vět je její důkaz. U vět se stupňuje složitost a jako poslední se Euklides zabývá tzv. platónskými tělesy. Eukleidovy Základy mají tyto části: 1. kniha: pojednání o základech geometrie, rovnoběžkách, trojúhelnících a rovnoběžnících, obsahuje důkaz Pythagorovy věty; 2. kniha: pojednání o planimetrii; 3. kniha: pojednání o kružnici a kruhu; 4. kniha: pojednání o tětivových a tečnových mnohoúhelnících a kružnici vepsané a opsané; 5. kniha: pojednání o poměrech; 6. kniha: pojednání o geometrické podobnosti; 7. kniha: pojednání o teorii čísel; 8. kniha: pokračování pojednání o teorii čísel; 9. kniha: teorie čísel - prvočísla, důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho; 10. kniha: teorie iracionálních čísel; 11. kniha: stereometrie - pojednání o geometrii těles; 12. kniha: pojednání o povrchu a objemu těles; 17

18 13. kniha: pojednání o pravidelných (platónských) tělesech. 38 Nejznámějšími Euklidovými objevy jsou věty o výšce a odvěsně. Euklidova věta o výšce v 2 c = c a c b v c výška strany c c a část strany c, která je rozdělena v c c b část strany c, která je rozdělena v c Euklidova věta o odvěsně a 2 = c c a b 2 = c c b a strana trojúhelníku b strana trojúhelníku c strana trojúhelníku Kniha Základy se stala jednou z nejúspěšnějších učebnic v dějinách matematiky. Eukleidův výklad rovinné geometrie je založen na větách, které lze všechny odvodit z pouhých pěti axiómů čili postulátů. 38 Wikipedie. Eukleides. [online]. [cit Dostupné na World Wide Web: 18

19 Jeden z nich říká, že mezi každými dvěma body lze vést pouze jednu úsečku. Další praví, že máme-li bod a přímku, prochází tímto bodem jen jedna přímka rovnoběžná s danou přímkou. Na Eukleida navazovali G. Galilei i I. Newton. Až v 19. století se matematici pustili do zkoumání neeukleidovských geometrií, v nichž postulát o rovnoběžkách neplatí. 39 Ale i na počátku 20. století B. Russell, matematik, logik a filozof, napsal: Ve svých jedenácti letech jsem začal s Eukleidem. Byla to jedna z největších událostí mého života, oslepující jako první láska. Netušil jsem, že na světě existuje něco tak nádherného. 40 Eukleidův metodický přístup k dokazování matematických vět logickým odvozováním ovlivnil i dokazování v jiných vědních oborech včetně filozofie. 39 Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str Tamtéž, str

20 Závěr Ačkoliv se filozofie a matematika zdají být velmi vzdálenými vědeckými obory, pokusil jsem se ve své práci ukázat, že k sobě mají tyto vědecké disciplíny v podstatě velmi blízko. Matematika je sice věda přesná, zabývající se fakty a důkazy, zatímco tvrzení filozofie jsou méně přesná, protože způsob, jak máme nazírat na svět kolem sebe a sebe sama, nelze striktně vymezit, přesto se obě nauky navzájem v průběhu věků ovlivňovaly a doplňovaly. Již samotné zrození filozofie ve starověku je spojováno se jménem matematika Thaleta, pojmenování filozof bylo poprvé pravděpodobně použito u Pythagora, rovněž významného matematika období antiky, a metoda dokazování, již uplatňoval ve svém bádání Eukleides, se stala jednou z vůdčích metod filozofie až do konce 20. století, když ji prosadili racionalisté 17. století, především R. Descates a W. Leibniz. I když 19. století např. v osobě I. Kanta dokázalo, že tento racionalistický, přísně matematický způsob nazírání na svět a člověka je nedostačující, zůstala matematika filozofii oporou až do dnešní doby. Nejvíce prostoru jsem ve své práci věnoval Pythagorovi a Eukleidovi, kteří stanuli na počátku tohoto vývoje, protože s jejich základními matematickými objevy se setkal snad každý středoškolský student. Charakteristika pouze dvou matematiků, filozofů je samozřejmě nedostačující, ale osobností, které se ve svém bádání staly autoritami v obou oborech je jak jsem zjistil v průběhu práce tolik, že by vydali na několikadílnou encyklopedii. 20