WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017"

Transkript

1 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7

2 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno l Hôpitalovo pravidlo povoleno Spojitost Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty. Derivace Derivace vyšších řádů Průběh funkce, tečny, normály, asymptoty, monotonie, inverze, etrémy 4. Aplikace derivace Tečny a normály Asymptoty Monotonie, inverze, lokální etrémy Etremální úlohy, konvenost, konkávnost, inflee 4. Konvenost, konkávnost a inflee Etremální úlohy Neurčité integrály a primitivní funkce 4 6 Určité Integrály 7 Aplikace integrálů 4 7. Výpočet plochy Výpočet těžiště Výpočet délky grafu funkce Výpočet objemu rotačního tělesa Výpočet povrchu rotačního tělesa Předmluva Tato sbírka je složena z příkladů (viz [], [], []), ze kterých se sestavují zkouškové písemné práce k předmětu Matematika I (. ročník bakalářského studia na FJFI ČVUT v Praze). Příklady jsou uspořádány do 7 kapitol, přičemž do zkouškové písemky je vybrán právě jeden příklad z každé kapitoly. Každý příklad v této sbírce by měl jít spočítat pomocí znalostí získaných z přednášky a ze cvičení. Proto nebudete-li si vědět rady i jen s jediným příkladem, neváhejte požádat svého cvičícího o konzultaci! Tato sbírka není zdaleka hotová, další příklady mohou přibýt. Bezchybnému počítání zdar!. července Ing. Radek Fučík, Ph.D.

3 Limity a spojitost Rozcvička V této krátké části jsou příklady, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. + lim [] + + sin lim π π lim cot ln lim lim lim lim lim tan lim cot lim sin 5 lim lim lim lim cos [-] lim + 5 [ 5 ] 4 lim 4 [ ] 6 8 lim + lim a sin sin a a [-] [ ] [ ] [] [ 4 ] [ 4 ] [] [] [5] [] [5] [ 4 ] [ 5 ] [cos a]

4 Zkouškové příklady. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno. lim + 9. lim cos [ ]. lim lim 8 [ 6 ] 5. lim sin + sin 8 sin sin 5 + cos + sin 7 [ 7 ] [ 8 ] [] 6. lim sin + cos lim lim ( + 6) sin [] [ 4 ] [ 5 6 ] 9. + tg + sin lim. + sin sin lim. lim lim sin cos lim lim + 5. lim 6. lim tg ( π ) [ 4 ] [] [ ] [nee] [-5] [ 4 ] [ 6 ] [] 7. lim + sin cos 4 8. lim [ 4 ] [ 8 ] 4

5 9. lim cos( ) sinh. lim + cosh + sinh sinh. lim cosh + sinh. lim cos [ 4 ]. lim 4. lim 4 cos + sin 8 cos sin 5 + cos + sin 7 + [ 8 ] [ ] [ ] [ ] [ 4 ] 5. lim lim + sin cos 7. tg sin lim sin 8. ( lim 4 )( ) lim tg. lim ( )tg ( π ). lim π sin ( π ) cos π. lim π sin cos. lim π tg sin cos 4. lim + 5. lim cos + tg sin 6. lim [-] [ 4 ] [ ] [ 6 ] [-] [ π ] [ ] [] [] [] [] [] lim [ 4 ] lim [ + 4 ] 5

6 9. lim ( + ) 5 ( + 5) + 5 [] 4. lim sin sin + 4. lim + [] [4] 4. lim π 4 cos sin tg [ ] lim [-5] 44. lim + sin cos 45. lim cos 46. lim lim ( sin + sin ) 48. lim lim lim + 5. lim cos tg lim lim 54. lim 55. lim sin + sin lim + cos 57. lim ( + cos ) [ 4 ] [ ] [ 5 ] [ ] [4] [] [6] [] [-5] [ 8 ] [ ] [ 4 ] [8] [] 6

7 9 58. lim 59. lim π 4 6. lim π sin cos cos tg + tg sin 6. lim a sin sin a a ) 6. ( lim sin tg 6. ( sin ) lim π cos tg 64. lim 65. lim 66. lim lim sin tg 68. lim sin 69. lim 7. lim 8 7. lim [-] [ ] [ ] [ cos a a ] [] [ ] [ ] [ ] [4] [] [ ] [] [-] [ ] 7. lim + 7. ( + )( + )( + ) lim 74. cos( ) lim cos 75. lim [ ] [] [6] [ ] 7

8 . l Hôpitalovo pravidlo povoleno ln cos 76. lim ln cos(π) 77. lim cosh cos 78. lim sinh() sin e e 79. lim + 8. lim ( )tg ln(4e ) 8. lim + ( π ) [ π ] [ ] [] [+ ] [ π ] [-] 8. lim + 8. lim [] [-] 84. lim lim + + ( 86. lim ) cos cos 87. lim 88. lim cos cos 89. lim tg () ln (tg ) π 4 ln cos 9. lim ln cos () e e 9. lim 9. lim + 9. lim lim ( 95. lim ) [ ] [+ ] [nee] [ ] [ ] [ ] [ 4 ] [-] [ ] [] [nee] [-] 8

9 ( )( )( )( 4)( 5) 96. lim + ( ) 5 [ 5!] ( ) lim + + ( ) lim lim (ln( + ) ln ) +. lim + arctg. lim arctg. lim arctg + +. lim arcsin + + [] [ 9 4 ] [] [ π 4 ] [ π 4 ] [ π ] [ π ]. Spojitost 4. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = arctg [v skoková nespojitost] 5. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = arctg [v odstranitelná nespojitost] 6. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = sin 7. Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce f() = arccotg [v odstranitelná nespojitost] [v podstatná nespojitost] 9

10 Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty Rozcvička V této úvodní části jsou příklady na derivace, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. f() = ( + + 5); f () =? [ +9+5 ] f() = ; f () =? [ ( ) ] f() = cos sin ; f () =? [ +cos ] f() = ; f () =? [ ( ) ] f() = sin ( ); f () =? [ cos ( )] f() = ( + ); f () =? [ (4 +) ] f() = + ; f () =? [ ] f() = + cos cos ; f () =? [ sin ( cos ) ] f() = sin ; f () =? f() = ; f () =? [ + cos [ ] sin ] (+ ) f() = sin ; f () =? [ cos ] f() = ; f () =? [ ] f() = ( ) ; f () =? [ ] f() = (ln ); f () =? [ ln ] f() = + ( ) ; f () =? [ (+) ( ) ] f() = + ; f () =? [ + + ] f() = cos f() = sin 4 cos 4 ; f () =? cos sin ; f () =? [sin ] [ sin ()] f() = tg 4 tg 4 ln cos ; f () =? [4tg 5 ] f() = sin cos + tg ; f () =? [ cos sin + sin + cos ]

11 f() = ; f () =? [ 6 ( 4) + 5 ] f() = (a ) ; f () =? [( ) + (a ) ] f() = ; f () =? [ ( ) ] f() = ln ( ); f () =? f() = ln ; f () =? f() = ln tg ; f () =? f() = ln sin ; f () =? [ ] [ ln ] [ sin ] [cot ] f() = sin + cos ; f () =? [ +cos ] f() = arctg + ; f () =? [ ] f() = ln sin ( + ); f () =? [( ) cot ( + )] f() = ln (e + e ); f () =? [ e e e +e ] f() = a ; f () =? f() = cos + cos ; f () =? [ f() = ln ; f () =? f() = + a ; f () =? [ [ ln a a ] sin (+cos ) ] [ln + ] a ] ( +a) / Nalezněte n. derivaci funkce e [e ] Zkouškové příklady. Derivace. Necht je dána funkce f() = +. (a) Nalezněte definiční obor funkce f, rozhodněte o spojitosti a nalezněte derivaci funkce f v každém bodě D f kromě bodu =. (b) Rozhodněte o eistenci derivace funkce f v bodě =.. Necht je dána funkce f() = ln(ln ). (a) Nalezněte definiční obor D f, první derivaci f a její definiční obor D f. [spojitá na D f = R, f ( ) nee] (b) Je tato funkce prostá na svém definičním oboru? Pokud ano, nalezněte inverzní funkci f a její první derivaci (f ). [D f = (, + ). f () = ln, f () = ep(ep()), (f ) () = ep(ep())(ep())]

12 cos( ) pro >. Necht je dána funkce f() = pro = cos( ) pro <. (a) Je funkce f spojitá v bodě =? Své rozhodnutí zdůvodněte. (b) Z definice jednostranné derivace nalezněte f () a f +() a rozhodněte o eistenci derivace f (). [Spojitá na R, f + () = /, f () = /, f () nee] 4. Funkci f() = cos dodefinujte v bodě = tak, aby byla spojitá a pro takto sin dodefinovanou funkci nalezněte z definice derivaci f (). 5. Nalezněte derivaci funkce f() = arccos [, ] +. [± + ] 6. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin ( ). [± ] 7. Nalezněte derivaci funkce f() = 8. Nalezněte derivaci funkce f() = + a +. [ a ( + ) + (. [ (+) ln + a + (+ a ] + ) ) ( ) + + ] 9. Nalezněte derivaci funkce f() = /. [ / ( ln )]. Nalezněte derivaci funkce f() = sin. [ sin (cos ln + sin )]. Nalezněte derivaci funkce f() = arctg ( ). [ ]. Nalezněte derivaci funkce f() = ln tg cos sin. [ sin ]. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin ( + ). [ + ( ) / ] 4. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin tg. [ Nalezněte derivaci funkce f() = ( + + 5) [ 6. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = + +. [D f = [, + ), 7. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = 8. Nalezněte derivaci funkce f() = + sin. [D f = (, π ), ( pro. [/ + (+ ) ( ) 9. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = ln ln ln. [D f = (e, + ), (. Nalezněte derivaci funkce f() = ln + ln cos ] cos ( ++5) ] ] cos 4 sin ] ) ( + ) /] ln ln ln ] ). [ + +ln ]

13 sin. Nalezněte derivaci funkce f() = ln + sin. [ cos ]. Nalezněte derivaci funkce f() = (sin ln cos ln ). [ sin ln ]. Nalezněte derivaci funkce f() = arctg ( ) ] ). [ + (+ 4. Nalezněte derivaci funkce f() = + arccos. [ arccos ] 5. Nalezněte derivaci funkce f() = arcsin pro. [ sign + + ] 6. Nalezněte D f a derivaci funkce f() = arctg + pro <. [D f = { }, f () = ] 7. Nalezněte derivaci funkce f() = arccotg pro (, ). [ ] 8. Nalezněte derivaci funkce f() = ln (e + ) + e. [ e ] +e 9. Nalezněte derivaci funkce f() = cosh sinh ln cotgh. [ sinh ]. Nalezněte derivaci funkce f() = ln ( cos 4 ( + tg + tg 4 )). []. Derivace vyšších řádů. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = a, kde a >. [f (n) () = ln n (a) a ]. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = cos.. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = sin. [f (k) () = ( ) k cos, f (k+) () = ( ) k+ sin()] [f (k) () = ( ) k sin, f (k+) () = ( ) k cos()] 4. Nalezněte derivaci řádu n N funkce f() = n. [f (n) = n!] 5. Nalezněte derivaci. řádu funkce f() = tg. [f = sin cos ] 6. Nalezněte derivaci. řádu funkce f() = ln. [f = ] 7. Nalezněte derivaci. řádu funkce f() = ( + )arctg. [f = arctg + + ] 8. Nalezněte derivaci 4. řádu funkce f() =. [f (4) = ]

14 Průběh funkce, tečny, normály, asymptoty, monotonie, inverze, etrémy Rozcvička V této části jsou příklady na procvičení vyšetřování průběhu funkce (D f, limity, horizontální či vertikální tečny, asymptoty, lokální etrémy, náčrtek grafu funkce), které nejsou zahrnuty ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. f() = + f() = f() = f() = 4 f() = ( ) ( + 4) f() = ln f() = + f() = + + f() = + cos f() = 6 f() = + f() = + arctan f() = ( + ) f() = + f() = f() = + f() = ( ) [ - ] f() = ln f() = cos π f() = + sin 4

15 Zkouškové příklady. Aplikace derivace. Ukažte, že funkce f() = arctg + arcsin nezávisí na. [f = ]. Ukažte, že funkce f() = arctg + arctg nezávisí na. [f = ]. Ukažte, že funkce f() = arcsin + arccos + arcsin ( ) nezávisí na při <. 4. Ukažte, že funkce f() = arctg arcsin 5. Ukažte, že funkce f() = arccotg arcsin [f = ] + nezávisí na. [f = ] + nezávisí na při. [f = ] 6. Ukažte, že funkce f() = arccos arccos( 4 ) nezávisí na při. [f = ]. Tečny a normály 7. Určete čísla a a b tak, aby přímka y = + b byla tečnou funkce f() = ln( + a) v bodě =. [a=, b=-] ( ) 8. Necht je dána funkce f() = sin() cos na intervalu [ π, π]. Nalezněte rovnici tečny v bodě = π. 9. Necht je dána funkce f() = (e + 5). Nalezněte rovnici tečny v bodě =.. Necht je dána funkce f() = ln [y = 4 + ( + π 4 )] [( ) ]. Nalezněte rovnici tečny v bodě =. +. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = v bodě. [y = 6] [y = ] [tečna: y = 7 +, normála: y = ]. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = v bodě. [tečna: y = 5, normála: y = + ]. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = + 4 v bodě. [tečna: y = 5, normála: = ] 4. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = + 4 v bodě. [tečna: y = 7, normála: = ] 5. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = v bodě =. [tečna: =, normála: y = ] 5

16 6. Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f() = ln v bodě. [tečna: y =, normála: y = ] 7. Ve kterých bodech je tečna ke grafu funkce f() = + rovnoběžná s osou a s přímkou y =? 8. Pod jakým úhlem protíná graf funkce y = ln osu? 9. Pod jakým úhlem protíná graf funkce f() = e přímku =? [s osou :, s přímkou y = : ] [úhel tg α =, tj. π 4 ]. Nalezněte rovnici normály ke křivce y = + v jejím průsečíku s přímkou y =.. Určete rovnice tečen ke křivce y = + v průsečících křivky s osou. [arctg e ] [y = ] [6 y + = ; + y = ; y = ]. Ve kterém bodě má graf funkce y = sin tečnu svírající s osou úhel π 4?. Ve kterém bodě má graf funkce y = e tečnu rovnoběžnou s osou? [(π/4 + kπ, /); k Z] [(, e )]. Asymptoty 4. Nalezněte všechny asymptoty funkce f() = (včetně vertikálních asymptot). [y= v ±, =] 5. Necht je dána funkce f() = (e +5). Určete definiční obor D f a rozhodněte o eistenci asymptot v + a v a v kladném případě napište jejich rovnice. [D f = R. Pouze v + : y = 5] 6. Necht je dána funkce f() = 6. Určete definiční obor D f a nalezněte rovnice asymptot v + a v. [D f = (, ) (, + ), y =, y = + ] [( ) ] 7. Necht je dána funkce f() = ln. Určete definiční obor D f a rozhodněte o + eistenci asymptot a v kladném případě napište jejich rovnice. 8. Ve kterém bodě má parabola y = + tečnu se směrovým úhlem π 4? rovnoběžnou s přímkou 5 y + = kolmou na přímku y + = [D f = (, ) (, + ). V ± : y = ln 4/] 6

17 9. Určete rovnice tečen ke křivce y = + 6 v průsečících s osou.. Je dána parabola y = 4 + [( /, ), (/, ), ( /, )] [5 y + 45 =, 6 + y =, y = ] určete dotykový bod a rovnici tečny paraboly, která směrový úhel π 4 pomocí derivace určete vrchol paraboly [(5/, /4), y /4 =, (, )]. Je dána parabola y = / + + určete rovnici tečny paraboly v bodě ve kterém bodě má parabola tečnu se směrovým úhlem π? ve kterém bodě má parabola tečnu rovnoběžnou s přímkou 5 y =? [ y =, (, ), (, 9)].4 Monotonie, inverze, lokální etrémy. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = arcsin ( ). Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = ln [D f = [, ], - ] [D f = (, ) (, + ), e ] 4. Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = [D f = R \ {}, ostře roste na D f ] 5. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = + 4 [D f = [, 4], 4] 6. Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = 8 4 [D f = (, ) (, ), - ] 7. Nalezněte D f a intervaly monotonie funkce f() = ln [Df = (, + ), e + ] 8. Nalezněte intervaly monotonie funkce f() = e sin [roste na ( π + kπ, π + kπ), klesá na ( π + kπ, π + kπ)] 9. Nalezněte intervaly monotonie funkce f() = + [ + ] 4. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ - + ]

18 4. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ( ) 5 4. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln 4. Nalezněte D f, intervaly monotonie funkce f() = e 44. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ ] e [D f = (, ), - ] [D f = R \ {}, - + ] Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = cosh + [D f = R, - + ] 46. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = + [D f = R \ {, }, [ + ] ] 47. Rozhodněte, kde je funkce f() = intervalech nalezněte její inverzní funkci. prostá (tj. intervaly monotonie) a na těchto 48. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ f = y± y +4 ] [ - + ] 49. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ 5 + ] 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ + ] 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = [ - + ] 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ( 4) 4 ( + ) 5. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = e 54. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln 55. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln 56. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln [ ] [ + ] [D f = (, + ), e + ] [D f = (, + ), e + ] [D f = (, + ), e + ] 8

19 57. Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln arctg [D f = (, + ), + ] 58. Nalezněte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = Nalezněte D f, intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = ln [ma -, min 7] [D f = (, + ), e + ] 9

20 4 Etremální úlohy, konvenost, konkávnost, inflee Rozcvička V této části jsou příklady na procvičení hledání lokálních etrémů, které pro svou nižší náročnost nejsou zahrnuty ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. Ze všech obdélníků s daným obsahem určete ten, který má nejmenší obvod. [v polovině] [a = b = S, kde S je obsah] Jak volit rozměry pozemku pravoúhlého tvaru, máme-li jej oplotit pletivem délky 6m a chceme aby obsah byl co největší? [5 5 = 5] Zkouškové příklady 4. Konvenost, konkávnost a inflee. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = 4 [konvení na (, ) a (, 4), konkávní na (, ) a (4, + ), infle =, = 4]. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = +. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = [TODO] [TODO] 4. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = + [TODO] 5. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = + [konvení na R] 6. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = [TODO] 7. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = ln( + ) [TODO] 8. Vyšetřete konvenost, konkávnost a inflení body funkce f() = ln + [TODO]

21 4. Etremální úlohy 9. Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je a a výška v a úhly při základně jsou ostré, má být vyříznuta obdélníková deska; přičemž jedna strana obdélníku je částí základny. Pomocí techniky hledání etrémů určete rozměry obdélníku tak, aby jeho obsah byl maimální. [ = a, y = v ]. Určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při daném objemu V bylo ochlazování páry nejmenší - tj. aby povrch válce (včetně podstav) byl minimální. [ r = V π, v =. Ze všech pravoúhlých trojúhelníků s daným součtem délek přepony a odvěsny k určete ten jehož obsah je největší. V πr ] [y = k/, = /k, α = π/6]. Chceme oplotit výběh pro slépky, který má mít tvar pravoúhelníku. Přitom máme k dispozici m pletiva a víme, že část plotu budou tvořit celé stěny drůbežárny, jejíž obdélníkový půdorys má rozměry a = 6m a b = m. Jaké rozměry musí mít výběh, aby měl co největší obsah? [čtverec 56, 5m]. Pomocí techniky hledáni etrémů určete rozměry obsahově maimálního obdélníka vepsaného elipse /a + y /b = [a, b ] 4. Pomocí techniky hledání etrémů určete rozměry objemově maimálního válce vepsaného do koule o poloměru R. [v = R/, r = R /] 5. Jaké rozměry musí mít bazén se čtvercovým dnem a objemem V = m, má-li se na jeho vyzdění spotřebovat co nejméně matriálu? [4, 4, ] 6. Pomocí techniky hledání etrémů vepište do půlkruhu o poloměru r obdélník maimální plochy. 7. Dolní část okna má tvar obdélníka, horní tvar půlkruhu. Délka rámu celého okna je P. Při jakých rozměrech bude okno propouštět nejvíce světla? 8. Necht je dána funkce f() = sin() cos () na intervalu [ π, π]. (a) Rozhodněte, zda eistuje první derivace funkce f v bodě =. [r, r ] [ P π+4, P 4+π ] (b) Nalezněte všechny lokální etrémy a intervaly monotonie funkce f() na intervalu ( π, π). Jsou tyto lokální etrémy též globálními etrémy na uvažovaném intervalu [ π, π]? [TODO]

22 9. Necht je dána funkce f() = + cos (). (a) Rozhodněte, zda eistuje první derivace funkce f v bodě =. (b) Nalezněte všechny lokální etrémy a intervaly monotonie funkce f() na intervalu ( π, π). Jsou tyto lokální etrémy též globálními etrémy na uvažovaném intervalu [ π, π]? [(a) nee.; (b) π π π π, glob. ma v π ] (. Nalezněte definiční obor, lokální etrémy a intervaly monotonie funkce f() = +. Necht součet dvou čísel je, určete tato čísla tak, aby (a) součet třetích mocnin byl minimální (b) součin jednoho s třetí mocninou druhého byl maimální ) 4 [D f = (, + ), + ] (c) obě byla kladná a součin jednoho s druhou mocninou druhého byla maimální. [TODO]. Ukažte, že pro všechna > je funkce ln vždy menší než. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [maimum ln je ln < ]. Ukažte, že pro všechna R je funkce + vždy menší než e. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [minimum e je v = ] 4. Ukažte, že pro všechna > je funkce ln( + ) vždy menší než. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [ln( + ) je pro > ostře klesající a záporná] 5. Ukažte, že pro všechna > je funkce arctg vždy menší než. (Návod: zkoumejte etrémy rozdílu těchto funkcí.) [arctg je pro > ostře klesající a záporná] 6. Určete kladný parametr A > tak, aby objem tělesa, které vznikne rotací funkce f() = A + okolo osy na intervalu [, ] byl minimální! A( + ) [A 7. Je-li rozdíl dvou čísel rovný, je jejich součin větší než? = 4 /] 8. Nit délky l se má rozstřihnout na dvě části, z jedné části se udělá kružnice a ze druhé čtverec. Určete délky jednotlivých částí tak, aby součet ploch čtverce a kruhu byl minimální. [ano] [l = lπ 4+π, l = 4l 4+π ]

23 9. Nit délky l se má rozstřihnout na dvě části. Z jedné části se udělá kružnice a ze druhé rovnostranný trojúhelník. Určete délky jednotlivých částí tak, aby součet ploch trojúhelníku a kruhu byl minimální.. Do koule o poloměru R vepište válec s maimálním objemem.. Do koule o poloměru R vepište válec s maimálním povrchem.. Jaký je maimální objem kužele s danou stranou s? [TODO] [r = R, v = R ] [r = R + 5, v = R 5 ] [ π 9 s ]. Při jakých rozměrech má válec daného objemu V nejmenší povrch? [v = V π, r = v ] 4. Z papíru tvaru obdélníka se stranami a a b vyrobíme krabičku tak, že vystřihneme ze všech čtyř rohů stejné čtverce. Krabička bude mít výšku rovnou straně tohoto čtverce. Pomocí techniky hledání etrémů nalezněte délku strany čtverce, při níž bude objem krabičky největší. [ 6 (a + b a ab + b ) ]

24 5 Neurčité integrály a primitivní funkce Rozcvička V této úvodní části jsou příklady na integrály, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. sin() d sin + cos() d (4 ) d [6 + 6 / + C] e d [ e + C] Zkouškové příklady ( 4 + ) d [ C] cos(π ) d ( + ) π d cos 4 sin d sin 4 cos d [ sin(π ) π + C] [ (+)( +)( +) π π+ + C] [ 5 (cos )5 + C] [ 5 (sin )5 + C] 6. cos d [ sin ( ) + C] 7. + d [ arctg + C] d [ C] ( + ) d ma{, 4 } d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) min{, } d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) [ ln()+ ln() ln() ln() + C] [TODO] [TODO]. sin d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) [TODO] 4

25 ma{, } d (Pozor na spojitost primitivní funkce!) tgh d cotgh d cotg d ( ) 6 d sin 5 cos d [ + C, + D, C = + D] [ tgh + C] [ cotgh + C] [ cotg () + π + C] [ 4 ( ) 7 + C] [ 6 (sin ())6 + C] d 9. e + e [arctg e + C] d. [ln (ln () + ) + C] (ln + ) arctg. + d [ (arctg ()) + C]. cos 4 d [ 4 (cos ()) sin () + 8 cos () sin () C]. 4. cos d [ (cos ()) sin () + sin () + C] sin 6 d [ 6 (sin ())5 cos () 5 4 (sin ()) cos () 5 6 cos () sin () C] ln d [ / ln () 4 9 / + C] arctg d [ arctg ln ( + ) + C] arctg d [ arctg + e ( + ) d d d 7 + arctg + C] [ e + + C] ( [ ) arcsin + C] ( [arcsin 9 ( ) ) 9 + C] 5 + d [ 5 + arcsin ( ) + C]. 5 + d [ 4 ( ) ( arcsin ( ) ) + C] 5

26 tg d d [ + ln ( ) + ln ( + ) + C] [ ln (cos ()) + C] ln d [ (ln()) ln() + C] d [ + C] cos 5 sin d [ ( (sin ())/ + (cos ()) (cos ()) ) + C] cos + sin d [ ln ( + sin ( )) + C] 9. Nalezněte f(), znáte-li: f () = cos, f () =, f() =. [f() = cos + ] 4. ( ) d [ / ( ) + C] e + e + d ( + ) d d ( ) / d sin cos d e d [ e e + + C] [ ( + ) + C] [ + C] [ arctg 4 + C] [ cos + C] [ e + C] ln d ln [ ln + C] + ln (ln ) + C] + ln d [ sin d [ln + cot cotg + C] ( + tg ) sin cos + cos d [ cos + ln( + cos ) + C] ln d [ 7 / (9 ln ln + 8) + C] sinh d [ cosh sinh + C] 6

27 arccos d [ arccos + 9 ( ) / 9 ( ) / + C] arctg d [arctg + arctg + C] ln sin sin e d e d d [ cotg ln sin cotg + C] [ e e + C] [ e ( + + ) + C] d [ ( ) / 8 ( )/ 6 5 ( )5/ + C] ln d [ 4 ln 8 + C] ln( + ) + d [ + ln( + ) C] ln d d [ ln ln + + C] [ ( ln ln + 6 ln 6 ln 4 ) + C] sin d [ cos + sin + C] ln( + ) d [ ln( + ) + arctg + C] cotg (π ) d cot ln sin d [ ln sin() + C] [ (ln sin ) + C] cos (9 + tg ) d [arctg ( tg ) + C] cos 9 tg d [arcsin ( tg ) + C] 4 d [ arcsin( ) 4 + C] d ( ) / 4 d [ + C] [ (4 ) / + C] 7

28 d a [ a ln a a + C] d a + [ a a + + C] d e e 9 [ 9 e e 9 + C] 6 8 d [ (6 8) / + arcsin( ) C] ( + + 5) d [ + 8( ++5) 6 arctg ( ) + + C] d [ ln( ) + C] d [ ( ) arcsin( ) + C] arcsin d [ arcsin + ( ) / 9 ( ) / + C] 4 d [ arcsin ( 8+ 4 ) + C] 8. d [ + + arcsin ( + ) + C] arctg(ln ) d [ln arctg ln ln(ln + ) + C] + ( 4 ) arcsin d [ arcsin + C] arctg d [ arctg argcosh + C] cos sin 5 () d [ 6 sin6 () + C] tg + cotg sin() d [ cotg () + C] 87. Nalezněte všechny funkce, které mají tu vlastnost, že f () = e d [f() = e + C + D + ] [ / ln + C] 89. Nalezněte primitivní funkci k funkci f() = [ 4 arctg ( ) + C] 9. Nalezněte všechny funkce f, které mají tu vlastnost, že f () = e +. [ f() = e + C + D ln ] 8

29 9. Nalezněte f(), znáte-li f () = ; f() = 4. [ ] 9. Nalezněte f(), znáte-li f () = cos ; f () = ; f() =. [ cos + ] 9. Nalezněte f(), znáte-li f () = b ; f () = ; f() =. [ + + ] 94. Nalezněte f(), znáte-li f () = ; f() = ; f() =. [ + ] t (4t + 9) dt [ 8(4t +9) + C] sin( ) d [ cos( / ) + C] sin d + d [ sin 6 + C] [ ln + + C] 99.. e d log d [ e + C] [ ln 4 (ln ) + C]. cos + ln + sin d [ln + 4 ln + C] 9

30 6 Určité Integrály Zkouškové příklady. ( + ) d []. + d [π]. d [ + arcsin ] π / 6 + d arccos d cos d arctg d 5 d [ ln 7] [] [4π] [ π ] [ 5 48 ] 9. r ( + r ) 4 dr []. a y a y dy [ a ]. a y ( y a ) dy [ a 6 ]. + + d [ 6 4 ]

31 . 4. π ( + ) 6 d sin cos d [ 769 ] [ 4 ] 5. π cos d [π] 6. ln( + ) + d [ (ln ) ] ln ln π 4 e e + d d d log + d e cos e d [ln ] [ 4 ln ] [ln ln ] 45 [ ln ] ( [ln ( + )( )] cos + π 4 ).. 5 / d 5 + [ π ] d [ π 4 ] 4. d 4 ( + ) [ π 6 ] 5. ln e d + e [arctg π 4 ]

32 6. π cos 4 d [ 8 π] 7. π sin cos d [] 8. π cos d [ 4 π] 9. 8 ln d [ ln () + 9 ln ()] ln /4π π/4 π/8 e d e (e + ) 5 d cotg d cos() d + d ( ) 7 d [] [ 5 6 [(e + ) ]] [] ( [ 4 ln () + ln + ) ] [ 5 + ] [ 6 ] 6. y(y + ) dy [ 4 5 ] ( + ) d t ( t ) 8 dt [ ] [ 7 ]

33 9. r ( + r ) 4 dr [ 7 48 ] π π sin π d arctg d sin( + π) d ln( + ) d [4] [ π 4 ] [-] [ ln ]

34 7 Aplikace integrálů Rozcvička V této krátké části jsou příklady, které pro svou vyšší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. Spočtěte povrch toru (duše) + (y b) = a ; b a [4π ab] Zkouškové příklady 7. Výpočet plochy ( ). Necht je dána funkce f() = sin() cos na intervalu [ π, π]. Jaká je plocha pod touto funkcí na intervalu [, π]?. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = + ; [, ]. [ 9 4 ]. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = ( + ) ; [, ]. [ 47 5 ] [ 4. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = sin ; π, ] π. [ ] [ 4 ] 5. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = + ; [, ]. [ ] 6. Spočtěte plochu mezi osou a grafem funkce f() = ( + ) ; [, ]. [ 9 4 ] 7. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y =. [ ] 8. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y = 4. [ 4 ] 9. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y =. []. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y =, y = a y = 4. [4]. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = cos a y = 4 π. [ + π ]. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = cos (π) a y = sin (π) pro [, 4 ]. [ π ]. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y =, y = a =. [ ln ] 4. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = ( + ) a = sin(πy) pro y [, ]. [ + π ] 5. Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy y = a y = + sin pro [, π]. [ π ] 7. Výpočet těžiště 6. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = ( ) a y =. 7. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = 4 a y = pro [, ]. [ = 6 π, ȳ = 5 ] [ = 8. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = + 4 a y = pro [, ]. 4 ln, ȳ = 6 7 ] [ = 5 9, ȳ = 7 7 ]

35 9. Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy y = a y = pro [, ]. [ = 4 π, ȳ = 4 π ] 7. Výpočet délky grafu funkce. Jaká je délka grafu funkce f() = ( )? [ π ]. Pomocí funkce f() = R a integrálního počtu spočítejte obvod kruhu o poloměru R.. Spočtěte délku křivky f() =, [, 4]. [ ]. Spočtěte délku grafu y = ln, kde [, 8]. [ + ln ] ( ) 4. Spočtěte délku grafu y = a cosh, kde [, b]. [a sinh b a ] a 5. Spočtěte délku grafu = 4 y ln y, kde y [, e]. [ e + 4 ] 6. Spočtěte délku grafu y = a ln a a, kde [, b] a b < a. [a ln a+b a b b] 7. Spočtěte délku grafu y = ln cos, kde [, a] a a < π. [ln tan( π 4 + a ) ] 8. Spočtěte délku grafu y = a ln a+ a 4 a, kde [, b] a b >. [a ln a a b b] 9. Spočtěte délku grafu = a ln a+ a y 7.4 Výpočet objemu rotačního tělesa y a y, kde y [b, a] a < b < a. [a ln a b ]. Spočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené y = a y = kolem osy.. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = 9 okolo osy. [ 6 5 π] [ π]. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y =, y = a y = ( ) okolo osy. [ 8 π] Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = 4 a y = okolo osy. [ π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = okolo osy. 5. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y =, y = a + [, ] okolo osy. [ π (π + )] 4 6. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = cos, y = cos, [ π, π ] okolo osy. [ π ] 7. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = e, y = a = okolo osy. [π( ln 6 ln + 4)] [ 5 π] 5

36 8. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy = y, = 8, y = okolo osy y. [ π] 9. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = okolo osy y. [ 5 π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy = y a = y okolo osy y. [ π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = a y = okolo osy y. 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y y = a = okolo osy y. [ 4 5 π] [ 6 5 π] 4. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = cos, y = cos, [ π, π ] okolo osy. [ π ] 44. Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy y = cos, y = cos, [, π ] okolo osy y. [π π] 7.5 Výpočet povrchu rotačního tělesa 45. Pomocí funkce f() = R a integrálního počtu spočítejte objem a povrch koule o poloměru R. [V = 4 πr, P = 4πR.] 46. Pomocí integrálního počtu a vhodně zvolené funkce spočítejte objem a povrch pláště kužele o výšce a a poloměru podstavy r. [V = πr v, P = πr v + r ] 47. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = sin a [, π] okolo osy. [π( + ln( + ))] 48. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y =, [, ] okolo osy. [ 5π + π ln ( )] 49. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = e a [ ln, ln ] okolo osy. [π( ln )] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y + 4 = ln y, y [, ] okolo osy y. [ π 6 (4 ln + 6 ln 7] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = a cos π, [ b, b] okolo b osy. [a π a + 4b + 8 π b ln πa+ π a +4b b ] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = p, [, b] okolo osy. [ π((b + p) bp + p p )] 5. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = p, [, b] okolo osy y. [ π 4 ( (p + 4b) b(p + b) p ln b+ p+b p ) ] 54. Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu y = cosh, [, ln ] okolo osy. 6

37 Reference [] Mareš J., Vondráčková J., Cvičení z matematické analýzy: Diferenciální počet, Vydavatelství ČVUT, 999 [] Pelantová E., Vondráčková J., Cvičení z matematické analýzy: Integrální počet a řady, Vydavatelství ČVUT, 998 [] Marsden J., Weinstein A., Calculus II, Springer, 985 7

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) = Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus

Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus Vysoká škola polytechnická Jihlava Obor Finance a řízení Matematika, - cvičení Miloš Kraus. vydání září 005 Obsah Matematická logika 5 Funkce a jejich vlastnosti 8 3 Inverzní a cyklometrické funkce 5

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

matematika 5 stavební fakulta ČVUT 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je

matematika 5 stavební fakulta ČVUT 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je a) 4:π, b) :π, c) :4π, d) :4π, e) π :,. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme o 0 %, zmenší

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

Příklady z matematiky(pro ITS)

Příklady z matematiky(pro ITS) Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012 VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech 009 0.

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více