Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. RNDr. Rudolf Schwarz, CSc."

Transkript

1 First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Matematika 1 Lagrangeu v tvar interpolac nı ho mnohoc lenu Newtonu v tvar interpolac nı ho mnohoc lenu Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2016 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

2 Obsah 1. Langrangeův interpolační mnohočlen (polynom) 3 Pr ıḱlad Pr ıḱlad Newtonův interpolační mnohočlen (polynom) 32 Pr ıḱlad Pr ıḱlad Pr ıḱlad jine por adı uzlovy ch bodu v tabulce pr ida nı dals ı ho uzlove ho bodu Závěrečná poznámka 60 Použitá literatura 62

3 1. Langrangeův interpolační mnohočlen (polynom) je jednıḿ ze zna me js ıćh a take snadny ch zpu sobu interpolace funkce zadane pouze v (nemnoha) diskre tnıćh bodech. Nazy va me je uzlové body a poz adujeme po nich, aby me ly ru zne hodnoty x. Typicky m pr ıḱladem je funkce f zadana tabulkou, ať jiz tato tabulka vznikla jako vy sledek ne jake ho me r enı, c i zda jde o tabulku hodnot ne ktere standardnı funkce zıśkanou matematicky mi vy poc ty. kde Lagrangeu v L(x) mnohoc len ma tvar: L(x) = y L (x) (1) ( ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) ( ) Vs imne te si, z e jak v c itateli, tak ve jmenovateli je pro i vynecha na za vorka, ve ktere bychom me li odec ı tat c len x. Pouz itı zda nlive nezapamatovatelne ho vzorce si uka z eme na konkre tnıḿ pr ıḱladu 2.1.

4 Příklad 1.1. Ma me da ny c tyr i body x y , tedy n = 4. Řešení: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) Zby va urc it jednotlive zlomky L (x). Obra zek 1: Konstrukce Lagrangeova interpolac nı ho polynomu (c erna kr ivka) x y L (x) 5 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) L ( 9) ; L ( 4) = 0; L ( 1) = 0; L (7) = 0 podmıńky vy sledna funkce L ( 9) L (x) L ( 9) L ( 4) = 0 1 L ( 9) L ( 4) = 0 L ( 1) = 0 L ( 9) L ( 4) = 0 L ( 1) = 0 L ( 7) = 0 x ( 4) ( 9) ( 4) x ( 4) ( 9) ( 4) x y L (x) x ( 1) ( 9) ( 1) x ( 4) ( 9) ( 4) x ( 1) ( 9) ( 1) x (7) ( 9) (7) x y L (x) x y L (x) x y L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)

5 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

6 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

7 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

8 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

9 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

10 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

11 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

12 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

13 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

14 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

15 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

16 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

17 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

18 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

19 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

20 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

21 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

22 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

23 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

24 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1

25 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)

26 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)

27 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)

28 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)

29 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)

30 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)

31 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)

32 2. Newtonův interpolační mnohočlen (polynom) ma tvar: N(x) = y + y (x x ) + y (x x ) (x x ) + y (x x ) (x x ) (x x ) + (2) kde koe icienty y, y, y, jsou poměrné diference uvedene (c ervene ) v na sledujıćıḿ sche matu: x x x x y y y y y = y = y = y = y = y = Interpolac nı mnohoc len N(x) zapsany ve tvaru (2) ma dve za sadnı vy hody oproti Lagrangeovu tvaru: Pr edevs ıḿ je to skutec nost, z e koe icienty y, y, y, ve vyja dr enı (2) je moz ne vypoc ı tat jednou provz dy a hodnoty interpolac nı ho polynomu pro ru zna x pak poc ı tat postupny m dosazova nıḿ do (2). Druhou vy hodou je to, z e kdyz k pu vodnıḿ uzlu m x, x,, x interpolace pr ida me dals ı bod x ru zny od vs eh ostatnıćh uzlu, dr ı ve spoc ı tane koe icienty se vu bec nezme nı a stac ı pouze jeden dals ı dopoc ı tat. U Newtonova interpolac nı ho mnohoc lenu N(x) je tak moz ne pohodlne zvys ovat stupen interpolac nı ho mnohoc lenu tıḿ, z e pr ibıŕa me do vy poc tu dals ı uzly interpolace. Mnohoc len L(x) v Lagrangeove tvaru bychom museli v takove m pr ıṕade sestrojovat cely znovu, jak jsme si uka zali na konci pr edchozı ho pr ıḱladu.

33 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956

34 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956

35 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956

36 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956

37 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956

38 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956

39 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956

40 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956

41 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956

42 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1

43 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1

44 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1

45 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1

46 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1

47 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1

48 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1

49 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1

50 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1

51 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25

52 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25

53 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25

54 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25

55 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25

56 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25 Příklad 2.3. jiné pořadí uzlových bodů v tabulce 1 1,5 0 2,25 1 0,25 (, ), = 0,5, (, ), (, ) = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 0,5) [x ( 1)] + (1) [x + 1] [x (1,5)] = 2,25 0,5 x 0,5 + x 0,5 x 1,5 = N(x) = x 2 x + 0,25

57 Příklad 2.3. ještě jiné pořadí uzlových bodů v tabulce 0 1 1,5 0,25 2,25 1, (, ) = 2 (, ), = 0,5,, ( ), [] ( ) [] [] 0 1,5 1 0,25 1 2,25 (, ), = 0,5, (, ) = 0,5, (, ) ( ), (, ) [] ( ) [] [ (, )] = 0,25 2 x + x + x = 0,25 + 0,5 x + x 1,5 x N(x) = x 2 x + 0,25 N(x) = x 2 x + 0,25 1, ,25 0,25, (, ) = 0,5 (, ) (, ), (, ) ( ) (, ) [ (, )] ( ) [ (, )] [] = 2 1, ,25 2,25, (, ) = 0,5 (, ) (, ), (, ) = 2 ( ) (, ) [ (, )] ( ) [ (, )] [] 0,5 x + 0,75 + x 0,5 x 1,5 + 0,5 x 0,75 + x 1,5 x N(x) = x 2 x + 0,25 N(x) = x 2 x + 0,25 Poznámka: Uka zali jsme, z e vy sledny tvar mnohoc lenu naprosto neza lez ı na por adı bodu zapisovany ch do tabulky. [6, str. 30]

58 Příklad 2.3. přidání dalšího uzlového bodu příklad ,5 0,5 2,25 0,25 1 0,5, (, ) = 2,, (, ), = 0,5,, (, ),5, = 2 3, (, ), = 2 N(x) = 2,25+( 2) [x ( 1)]+(1) [x ( 1)] [x (0)]+ 2 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] = 3 = 2,25 2 x 2 + x + x x x x x = vy sledek pu vodnı ho pr ıḱladu + dodatek N(x) = x 2 x + 0, x x2 x 2 x = = 2 3 x x2 2x + 0,25

59 Příklad 2.3. přidání dalšího uzlového bodu příklad ,5 0,5 2,25 0,25 1 0,5, (, ) = 2,, (, ), = 0,5,, (, ),5, = 2 3, (, ), = 2 N(x) = 2,25+( 2) [x ( 1)]+(1) [x ( 1)] [x (0)]+ 2 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] = 3 = 2,25 2 x 2 + x + x x x x x = vy sledek pu vodnı ho pr ıḱladu + dodatek N(x) = x 2 x + 0, x x2 x 2 x = = 2 3 x x2 2x + 0,25

60 3. Závěrečná poznámka

61 Jak je zr ejme z pr edchozı ho obra zku uvedene ho v pra ci [4], nestac ı se pr i studiu pru be hu funkce f(x) omezit pouze na mnohoc leny. Mnohoc len L(x) (na pr edchozıḿ obra zku modr e) popisuje chova nı raciona lnı funkce f(x) (na obra zku c ervene ) na intervalu: (-1,1 ; 1,1) dostatec ne vy stiz ne (-3,9 ; -3,3) ne moc uspokojive a na intervalu napr ıḱlad (6 ; ) je naproto mimo mísu.

62 Použitá literatura [1] C, R., M, M., V, J., Z, C. Základy numerické matematiky a programování. Praha : Sta tnı nakladatelstvı technicke literatury, Celosta tnı vysokos kolska uc ebnice pro strojnı, elektrotechnicke a stavebnı fakulty vysoky ch s kol technicky ch, Praha 1987, 448 s. [2] D, J. Matematika IV, Numerická analýza. Brno : Fakulta stavebnı VUT, 2009, 130 s. [Dostupne z adresy:] [https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp] [3] D, J., B, J. Matematika IV. [skriptum] Brno : VUT, Fakulta elektrotechnicka, 1991, 120 s. [Dostupne z adresy:] [4] K, J., R, P. Numerické metody. Univerzita obrany, [Dostupne z adresy:] https://moodle.unob.cz/course/view.php?id=1169 [5] P, I., V, V. Numerické metody I. Vysoka s kola ba n ska Technicka univerzita Ostrava, Za padoc eska univerzita v Plzni, 2011, 191 s. [on line] [6] P, P. Numerické metody matematické analýzy. Praha : Sta tnı nakladatelstvı technicke literatury, Matematika pro vysoke s koly technicke, ses it XXIV, Praha, 1985, 192 s.

Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.

Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz,

Více

Raciona lnı lomena funkce, rozklad na parcia lnı zlomky

Raciona lnı lomena funkce, rozklad na parcia lnı zlomky U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Raciona lnı lomena funkce, rozklad na parcia lnı zlomky Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full

Více

Co je to diferenciální rovnice Rovnice se separovanými proměnnými Aplikace. Diferenciální rovnice I

Co je to diferenciální rovnice Rovnice se separovanými proměnnými Aplikace. Diferenciální rovnice I Co je to diferenciální rovnice Rovnice se separovanými proměnnými Diferenciální rovnice I Modelování aneb předpovídání budoucnosti ? Diferencia lnı rovnice je rovnice, v ktere roli nezna me hraje funkce

Více

MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı

MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2013 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Obsah

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více

Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí

Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2013 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Determinanty

Více

OBSAH 1 Podstata mezinárodní smlouvy... 13 2 Kategorie mezinárodních smluv podle jednotlivých kritérií... 21

OBSAH 1 Podstata mezinárodní smlouvy... 13 2 Kategorie mezinárodních smluv podle jednotlivých kritérií... 21 OBSAH 1 Podstata mezinárodní smlouvy... 13 1.1 Historicka pozna mka... 13 1.2 Pojem mezina rodnı smlouvy... 13 1.3 Funkce mezina rodnı smlouvy: smlouva kontraktua lnı a pravotvorna... 16 1.4 Pra vnı rez

Více

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

1. Věc: Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem Dopravní automobil s požárním přívěsem nákladním

1. Věc: Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem Dopravní automobil s požárním přívěsem nákladním 1. Věc: Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem Dopravní automobil s požárním přívěsem nákladním 1. Identifikační údaje zadavatele Obec Kozlov se sí dlem 58401 Kozlov 31 zastoupena

Více

GRAPE SC IPTV. více než televize

GRAPE SC IPTV. více než televize GRAPE SC IPTV více než televize Uz ivatelska pr i rucka TELEVIZE IPTV je digita lni televize, ktera je vzdy o krok napred. Tato televize Va m prina s i nadstandartni funkce a ten nejve ts i komfort pri

Více

Darujme.cz. Podrobné statistiky 2015

Darujme.cz. Podrobné statistiky 2015 Darujme.cz Podrobné statistiky Zahrnutá data a jejich úprava Z hlediska fundraisingu je významnější, kdy dárce dar zadal, než kdy byla obdrž ena platba na u č et. Ve statistika čh proto prima rne pračujeme

Více

Příklad 1.3: Mocnina matice

Příklad 1.3: Mocnina matice Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

7. V Ї 4 odstavce 2 a 3 zneяjѕт:

7. V Ї 4 odstavce 2 a 3 zneяjѕт: 5 VYHLAТ SЯ KA ze dne 21. prosince 2006, kterou se meяnѕт vyhlaтsяka cя. 482/2005 Sb., o stanovenѕт druhuъ, zpuъ sobuъ vyuzя itѕт a parametruъ biomasy prяi podporяe vyтroby elektrяiny z biomasy Ministerstvo

Více

z 0 3a 0 0dosti o vyda 0 0n rozhodnut o um ste 0 3n stavby

z 0 3a 0 0dosti o vyda 0 0n rozhodnut o um ste 0 3n stavby 1 3Strana 6962 Sb 0 1 0 0rka za 0 0konu 0 8 c 0 3. 503 / 2006 C 0 3 a 0 0stka 163 503 VYHLA 0 0 S 0 3 KA ze dne 10. listopadu 2006 o podrobne 0 3js 0 3 0 1 0 0 u 0 0 prave 0 3 u 0 0 zemn 0 1 0 0ho r 0

Více

uбdajuй rоaбdneб cоi mimorоaбdneб uбcоetnуб zaбveоrky a oddeоleneб evidence naбkladuй a vyбnosuй podle zvlaбsоtnубho praбvnубho prоedpisu.

uбdajuй rоaбdneб cоi mimorоaбdneб uбcоetnуб zaбveоrky a oddeоleneб evidence naбkladuй a vyбnosuй podle zvlaбsоtnубho praбvnубho prоedpisu. Cо aбstka 143 SbУбrka zaбkonuй cо. 377 /2001 Strana 7965 377 VYHLAб Sо KA Energetickeбho regulacоnубho uбrоadu ze dne 17. rоубjna 2001 o Energetickeбm regulacоnубm fondu, kterou se stanovуб zpuй sob vyбbeоru

Více

Nabídka na firemní akce

Nabídka na firemní akce Nabídka na firemní akce S K Y D I V E A R E N A P R A H A Konference Teambuildingové aktivity Firemní večírky Ostatní firemní akce Dárek pro obchodní partnery a klienty Rozšíření benefitního programu pro

Více

PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI

PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI Tyto výsledky jsou určeny pouze pro respondenty průzkumu a je zakázáno jejich šíření jakoukoliv formou bez souhlasu společnosti Innovative Business s.r.o.

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0. A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin

Více

1.2.7 Druhá odmocnina

1.2.7 Druhá odmocnina ..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž

Více

e en loh. kola 4. ro n ku fyzik ln olympi dy. Kategorie B uto i loh: M. anda (, 3), I. Volf (), K. auner (6),. Ban k (4), V. V cha (5) a P. ediv (7). a) Ozna me u 0 rychlost m e po odrazu od kv dru. Ze

Více

Možnosti zavedení jednotné metodiky m ení korozní rychlosti na kovových úložných za ízeních.

Možnosti zavedení jednotné metodiky m ení korozní rychlosti na kovových úložných za ízeních. Možnosti zavedení jednotné metodiky m ení korozní rychlosti na kovových úložných za ízeních. František Mí ko Úvod SN EN 12954 (03 8355) Katodická ochrana kovových za ízení uložených v p nebo ve vod Všeobecné

Více

Stručně k radarové interferometrii

Stručně k radarové interferometrii Stručně k radarové interferometrii Deformace vlivem poklesů terénu lze sledovat různými způsoby, tím nejrozšířenějším je nivelace. Avšak vzhledem k tomu, že se niveluje v liniích, jde o metodu náročnou,

Více

ZMĚNA Č.2 ÚZEMNÍHO PLÁNU OBCE NEHVIZDY

ZMĚNA Č.2 ÚZEMNÍHO PLÁNU OBCE NEHVIZDY ZMĚNA Č.2 ÚZEMNÍHO PLÁNU OBCE NEHVIZDY NEHVIZDY 03/2011 ÚPRAVA 03/2012 ARCHDAN A.D.O. PRAHA SEZNAM PŘÍLOH : Textová část Odůvodnění Grafická část A. Výkres základního členění území 1:5000 B. Hlavní výkres

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

C 0 3 a 0 0stka 164. (biologicky 0 0ch) a toxinovy 0 0ch zbran 0 1 0 0 a o zme 0 3ne 0 3 z 0 3ivnostenske 0 0ho

C 0 3 a 0 0stka 164. (biologicky 0 0ch) a toxinovy 0 0ch zbran 0 1 0 0 a o zme 0 3ne 0 3 z 0 3ivnostenske 0 0ho 1 3Strana 9404 Sb 0 1 0 0rka za 0 0konu 0 8 c 0 3. 474 /2002 C 0 3 a 0 0stka 164 474 VYHLA 0 0 S 0 3 KA ze dne 1. listopadu 2002, kterou se prova 0 0d 0 1 0 0 za 0 0kon c 0 3. 281/2002 Sb., o ne 0 3ktery

Více

Zaměř ení aktuálního stavu, výpoč et kubatur a geotechnický monitoring na SKO Rakovka stav skládky k 24. 9. 2014 leden 2015 ARTEZIS Solution s.r.o., Osadní 26, 170 00 Praha - Holešovice artezis@artezis.cz,

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

Čtyři atesty a přece není pravá

Čtyři atesty a přece není pravá ZNALECKÁ HLÍDKA Čtyři atesty a přece není pravá Jde o jednu z nejvzácnějších známek naší první republiky, 10 K Znak Pošta československá 1919 na žilkovaném papíru - a nadto v úzkém formátu! Zezadu je opatřena

Více

MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem

MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem Cíl: Stanovit množství obchodovatelného zboží (předmět směny) na energetickém trhu? Diagram odběru, zatížení spotřebitele

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice

Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice Franti 0 8ek Mach 1,2, Pavel K 0 1s 2, Pavel Karban 1, Ivo Dole 0 6el 1,2 1 Katedra teoretick і elektrotechniky Fakulta elektrotechnick, Z pado

Více

PRÁZDNINOVÉ POČTENÍ ZE ŠKOLY

PRÁZDNINOVÉ POČTENÍ ZE ŠKOLY PRÁZDNINOVÉ POČTENÍ ZE ŠKOLY Vážení rodiče žáků naší ZŠ Ostopovice, zdravíme vás a přejeme pěkný zbytek léta. Předkládáme vám aktuality z naší organizace od 2. 9. 2013. Organizace a změny výuky: ZŠ 1.

Více

Pracovní úkoly dynamické geometrie

Pracovní úkoly dynamické geometrie Pracovní úkoly dynamické geometrie ÚKOL ČÍSLO 1: NAKRESLI ČTVEREC ÚKOL ČÍSLO 2: NAKRESLI ROVNOSTRANNÝ TROJÚHELNÍK ÚKOL ČÍSLO 3: NAKRESLI PRAVIDELNÝ ŠESTIÚHELNÍK ÚKOL ČÍSLO 4: NAKRESLI PRAVIDELNÝ OSMIÚHELNÍK

Více

ZNAK ČERVENÉHO KŘÍŽE, JEHO OCHRANA A UŽÍVÁNÍ

ZNAK ČERVENÉHO KŘÍŽE, JEHO OCHRANA A UŽÍVÁNÍ Národní skupina pro implementaci mezinárodního humanitárního práva Ministerstvo zahraničních věcí ČR, Hradčanské nám. 5, 118 00 Praha e-mail: nsmhp@cervenykriz.eu tel.: 224 18 2790 fax: 224 18 2038 www.cervenykriz.eu/nsmhp

Více

Řešení: 20. ročník, 2. série

Řešení: 20. ročník, 2. série Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n

Více

TISKOVÁ ZPRÁVA Centrum pro výzkum veřejného mínění Sociologický ústav AV ČR, v.v.i. Jilská 1, Praha 1 Tel./fax: 286 80 129 E-mail: paulina.tabery@soc.cas.cz Názory obyvatel na zadlužení a přijatelnost

Více

P R O V O Z N Í Ř Á D

P R O V O Z N Í Ř Á D Město Český Těšín Ř á d č. 3/2000 P R O V O Z N Í Ř Á D MEZISKLÁDKY ORNICE V KOŇÁKOVĚ Městská rada v Českém Těšíně se na svém 22. zasedání konaném dne 6. 9. 2000 usnesla vydat provozní řád meziskládky

Více

CENY VSTUPENEK mějte vstupenku u sebe po celou dobu návštěvy!

CENY VSTUPENEK mějte vstupenku u sebe po celou dobu návštěvy! CENY VSTUPENEK mějte vstupenku u sebe po celou dobu návštěvy! Vstupenka pro odborníky (registrace on line*) Vstupenka pro odborníky (registrace v pokladnách veletrhu *) Vstupenka pro publikum (navštěvnící

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Rada Evropské unie Brusel 8. dubna 2015 (OR. en) Uwe CORSEPIUS, generální tajemník Rady Evropské unie

Rada Evropské unie Brusel 8. dubna 2015 (OR. en) Uwe CORSEPIUS, generální tajemník Rady Evropské unie Rada Evropské unie Brusel 8. dubna 2015 (OR. en) Interinstitucionální spis: 2015/0071 (NLE) 7764/15 LIMITE MAR 42 ENV 205 NÁVRH Odesílatel: Datum přijetí: 7. dubna 2015 Příjemce: Jordi AYET PUIGARNAU,

Více

U PLNA PRAVIDLA SOUTE Z E S OBCHODNI CENTRUM LETN ANY Vyhrajte knihy Tento dokument obsahuje u plna pravidla marketingove soute z e Vyhrajte knihy

U PLNA PRAVIDLA SOUTE Z E S OBCHODNI CENTRUM LETN ANY Vyhrajte knihy Tento dokument obsahuje u plna pravidla marketingove soute z e Vyhrajte knihy U PLNA PRAVIDLA SOUTE Z E S OBCHODNI CENTRUM LETN ANY Vyhrajte knihy Tento dokument obsahuje u plna pravidla marketingove soute z e Vyhrajte knihy (da le jen soute z ). 1. Por adatel soute z e: Boomerang

Více

_KUMSP00TLft2P_ - ZADOST DLE ZÁKONA č. 201/2012 Sb., O OCHRANĚ OVZDUŠÍ

_KUMSP00TLft2P_ - ZADOST DLE ZÁKONA č. 201/2012 Sb., O OCHRANĚ OVZDUŠÍ v _KUMSP00TLft2P_ - ZADOST DLE ZÁKONA č. 201/2012 Sb., O OCHRANĚ OVZDUŠÍ KRAJSKÝ ÚŘAD MORAVSKOSLEZSKÉHO KRAJE ODBOR ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ A ZEMĚDĚLSTVÍ KrU MsK 1) Věc: S-MSK: MSK: OCHRANA OVZDUŠÍ 28. října

Více

Výzva k podání nabídky a k prokázání kvalifikace pro VZ malého rozsahu

Výzva k podání nabídky a k prokázání kvalifikace pro VZ malého rozsahu Výzva k podání nabídky a k prokázání kvalifikace pro VZ malého rozsahu Název veřejné zakázky: Ušití stejnokrojových součástí pro OLO v letech 2015-2018 Identifikace zadavatele: Zadavatel: Řízení letového

Více

SBI 0 0RKA ZA 0 0 KONU 0 8

SBI 0 0RKA ZA 0 0 KONU 0 8 1 3Roc 0 3n 0 1 0 0k 2004 SBI 0 0RKA ZA 0 0 KONU 0 8 C 0 3 ESKA 0 0 REPUBLIKA C 0 3 a 0 0 stka 190 Rozesla 0 0 na dne 10. listopadu 2004 Cena Kc 0 3 63,50 OBSAH: 561. Za 0 0kon o pr 0 3eds 0 3koln 0 1

Více

Jak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY

Jak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY Jak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY KOTLÍKOVÉ DOTACE pokračují! Máte doma starý kotel na uhlí, dřevo a jiná tuhá paliva? Pak jsou kotlíkové dotace určeny právě pro Vás! Pokud máte doma

Více

Městský úřad Lipník nad Bečvou Stavební úřad

Městský úřad Lipník nad Bečvou Stavební úřad Městský úřad Lipník nad Bečvou Stavební úřad náměstí T. G. Masaryka 89, 751 31 Lipník nad Bečvou Spisová značka: MU/15129/2011/SÚ Lipník nad Bečvou, dne 13.10. 2011 Č.j.: MU/19587/2011/ Skartační znak:

Více

Pračka EVOGT 14064D3. Návod k použití

Pračka EVOGT 14064D3. Návod k použití Pračka EVOGT 14064D3 Návod k použití 1 A VOLIČ PROGRAMŮ Použijte tento ovladač na výběr požadovaného pracího programu. Otočte voličem programů (lze jim otáčet do obou směrů) tak, aby byl program naproti

Více

É Ě Č š ž ý Ť š š ř š ř ě ř š ě ě ř ř ý ř ž ěř ř ě ť ů ě ý ů ďě ř š ě ř š ř šš š ý ě ě š ř ů š ě ý ů ě ř š š ě š ě š ě ř ý ě ř š ě š Č š ž ý ř ě ř š š Š š ř š š ý šš ý ě ž ě ě ř ě ě š ý ř š ů ě ř ž ě ě

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

č ú ř č ř č č ř ú Í ř č č ří č č č č č ž ř č Íř ř ř Š ř ř č ř č č ž č č Í ř ž ž Í ú ř ř ú ž ř č č ž ž č ž Š ž č č Č ř ř ú č č č č č Í č ž Ů č ř č úč ž ř č č č Í Í č ř ří č ř Í č ó ŘÍ č ž č ž č č ž ř ž

Více

ú ř ř ú ř ú Ň ú Ú ř ú ú ú ú ú ř ř ú ů ó ň ú ř ř ú ú ú ů Č ř ř ř ú ů ů ú ú ú Á Ů ř ř ú ř ú ř ú Čň ř ř ú ů ú ů ř ř Ý ú ú ř ú ř š Č ť ú Č Č ú ú ú ř ó ó ů ř ň ď ú ó ů ú ř ů ď ř ů ř ť ú ň ť ů ú Ž š ň ú Ú ř

Více

CVIKY PARTERNÍ GYMNASTIKY

CVIKY PARTERNÍ GYMNASTIKY Obsah ÚVOD...9 Poloha uvolnění...12 Změření velikosti krčního zakřivení páteře...14 Změření velikosti bederního zakřivení páteře...16 Izometrické cvičení...18 Formujeme svalový korzet páteře...21 Nebezpečné

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Znaky dělitelnosti - Procvičování. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Znaky dělitelnosti - Procvičování. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce METODICKÝ LIST DA11 Název tématu: Autor: Předmět: Znaky dělitelnosti - Procvičování Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: fixační samostatná práce, případně

Více

VÝROČNÍ ZPRÁVA 2014. DIPLOMATICKÝ INSTITUT, z. ú.

VÝROČNÍ ZPRÁVA 2014. DIPLOMATICKÝ INSTITUT, z. ú. VÝROČNÍ ZPRÁVA 2014 DIPLOMATICKÝ INSTITUT, z. ú. OBSAH Ú vodní slovo 2 Ú č etní za ve rka 3 Rozpoč et za rok 2014 6 Stipendia 7 Kontaktní informače 8 Strana 1 ÚVODNÍ SLOVO Ú vodní slovo Praha, 27. č ervna

Více

Č E S K Á Š K O L N Í I N S P E K C E. Čj.: 095 345/99-2004 Oblastní pracoviště č. 9 INSPEKČNÍ ZPRÁVA. Základní škola Vítězná - Kocléřov,

Č E S K Á Š K O L N Í I N S P E K C E. Čj.: 095 345/99-2004 Oblastní pracoviště č. 9 INSPEKČNÍ ZPRÁVA. Základní škola Vítězná - Kocléřov, Č E S K Á Š K O L N Í I N S P E K C E Čj.: 095 345/99-2004 Oblastní pracoviště č. 9 Signatura: bi5cs104 Okresní pracoviště Trutnov INSPEKČNÍ ZPRÁVA Škola: Základní škola Vítězná - Kocléřov, Identifikátor

Více

Д1Х3Digit Ґln knihovna FF MU

Д1Х3Digit Ґln knihovna FF MU Д1Х3 Б0Й3stav vб0л5poб0н0etn techniky, Masarykova univerzita, Brno CZDSUG 2012, VБ0Ф7B-TUO Ostrava Д1Х3Obsah pб0ф0edn ҐБ0Ф8ky O digit Ґln knihovn І FF MU. Mal srovn Ґn s DML-CZ. MetadatovБ0Л5 editor. DSpace.

Více

Kancel پ0 0: LP C H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz. WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/

Kancel پ0 0: LP C H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz. WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/ 1 3VYSOKپ0 9 پ0 7KOLA Bپ0 9پ0 4SKپ0 9 C TECHNICKپ0 9 UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNپ0ˆ1 Zپ0 9KLADY METODY KONEپ0Œ9Nپ0 6CH PRVKپ0 0 Cviپ0چ0en ھ Jiپ0 0 ھ Broپ0 6ovskپ0 5 Kancel پ0 0: LP C H 406/3 Telefon:

Více

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou

Více

GORE-TEX GARMENT CARE INSTRUCTIONS EUROPE

GORE-TEX GARMENT CARE INSTRUCTIONS EUROPE GORE-TEX GARMENT CARE INSTRUCTIONS EUROPE March 28, 2013 PODROBNÉ POKYNY K ÚDRŽBĚ ODĚVŮ PRO EVROPU Oděvy GORE-TEX jsou nejen trvanlivé, ale i snadné na údržbu. Pravidelná péče zajistí vynikající vlastnosti

Více

Z Á P I S z veřejného zasedání Zastupitelstva obce Dýšina, konaného dne 12. května 2008

Z Á P I S z veřejného zasedání Zastupitelstva obce Dýšina, konaného dne 12. května 2008 ZO/03/2008 Z Á P I S z veřejného zasedání Zastupitelstva obce Dýšina, konaného dne 12. května 2008 Přítomni : Mgr. Václava Kuklíková, Ing. Jaroslav Egrmajer, Ing. Ladislav Vlk, Bc. Michal Hala, MUDr. Karel

Více

Příloha č.1 vysvětlení domácího řádu. Domácí řád Domova pro osoby se zdravotním postižením Smečno

Příloha č.1 vysvětlení domácího řádu. Domácí řád Domova pro osoby se zdravotním postižením Smečno Příloha č.1 vysvětlení domácího řádu Domácí řád Domova pro osoby se zdravotním postižením Smečno 1. Úvodní ustanovení Domácí řád obsahuje zásady pro zajištění klidného a spokojeného života a pořádku v

Více

Zápis. z 23. mimořádného zasedání Rady města Valašské Meziříčí konaného dne 29. listopadu 2011 v 8:00 hodin v malé zasedací místnosti, budova radnice

Zápis. z 23. mimořádného zasedání Rady města Valašské Meziříčí konaného dne 29. listopadu 2011 v 8:00 hodin v malé zasedací místnosti, budova radnice Zápis z 23. mimořádného zasedání Rady města Valašské Meziříčí konaného dne 29. listopadu 2011 v 8:00 hodin v malé zasedací místnosti, budova radnice Přítomni: Ověřovatelé zápisu: Zapisovatelka: dle presenční

Více

Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst

Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Obsah Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst... 1 1 Účel a cíl metodického listu... 2 2 Definice indikátoru Počet nově vytvořených pracovních míst...

Více

Zastupitelstvo města Přerova

Zastupitelstvo města Přerova Pořadové číslo: 4/4 Zastupitelstvo města Přerova Přerov 26.2.2015 Předloha pro 4. jednání Zastupitelstva města Přerova, které se uskuteční dne 9. 3. 2015 Předkladatel: Mgr. VLADIMÍR PUCHALSKÝ, primátor

Více

S T A N O V Y. Bytového družstva Markušova 1634-1635, družstvo

S T A N O V Y. Bytového družstva Markušova 1634-1635, družstvo S T A N O V Y Bytového družstva Markušova 1634-1635, družstvo OBSAH: ČÁST PRVÁ ZÁKLADNÍ USTANOVENÍ Čl. 1 Právní postavení družstva Čl. 2 Obchodní firma a sídlo Čl. 3 Předmět činnosti družstva Čl. 4 Družstevní

Více

Majetek státu, s nímž má právo hospodařit DIAMO, státní podnik

Majetek státu, s nímž má právo hospodařit DIAMO, státní podnik Věstník NKÚ, kontrolní závěry 289 10/18 Majetek státu, s nímž má právo hospodařit DIAMO, státní podnik Kontrolní akce byla zařazena do plánu kontrolní činnosti Nejvyššího kontrolního úřadu (dále jen NKÚ

Více

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 S Á ČK Y NA PS Í E XK RE ME N TY SÁ ČK Y e xk re m en t. p o ti sk P ES C Sá čk y P ES C č er né,/ p ot is k/ 12 m y, 20 x2 7 +3 c m 8.8 10 bl ok

Více

Měření základních vlastností OZ

Měření základních vlastností OZ Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím

Více

MOBILNÍ DIVADÉLKO PRO NEJMENŠÍ

MOBILNÍ DIVADÉLKO PRO NEJMENŠÍ MOBILNÍ DIVADÉLKO PRO NEJMENŠÍ A MOBILE THEATRE FOR THE SMALLEST ONES Ivona HAUZNEROVÁ, Kateřina KONÁŠOVÁ Resumé Článek popisuje ruční výrobu přenosného divadélka pro dětská představení. Divadélko je primárně

Více

Autodesk Inventor 8 vysunutí

Autodesk Inventor 8 vysunutí Nyní je náčrt posazen rohem do počátku souřadného systému. Autodesk Inventor 8 vysunutí Následující text popisuje vznik 3D modelu pomocí příkazu Vysunout. Vyjdeme z náčrtu na obrázku 1. Obrázek 1: Náčrt

Více

Popis realizace poskytování sociální služby

Popis realizace poskytování sociální služby NÁZEV POSKYTOVATELE: Centrum sociálních služeb, příspěvková organizace DRUH POSKYTOVANÉ SLUŽBY: Azylový dům NÁZEV A MÍSTO ZAŘÍZENÍ POSKYTOVANÉ SOCIÁLNÍ SLUŽBY: Domov pro matky s dětmi Společná cesta, Heyrovského

Více

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx. VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými

Více

3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506

3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506 3.5.8 Otočení Předpoklady: 3506 efinice úhlu ze základní školy: Úhel je část roviny ohraničená dvojicí polopřímek se společným počátečním bodem (konvexní a nekonvexní úhel). Nevýhody této definice: Nevíme,

Více

9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík

9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík 9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce Únava a lomová mechanika Faktor intenzity napětí Předpokládáme ostrou trhlinu namáhanou třemi základními módy zatížení Zredukujeme-li obecnou trojrozměrnou

Více

FAKULTNÍ NEMOCNICE KRÁLOVSKÉ VINOHRADY. Šrobárova 1150/50, 100 34 Praha 10, IČ: 00064173

FAKULTNÍ NEMOCNICE KRÁLOVSKÉ VINOHRADY. Šrobárova 1150/50, 100 34 Praha 10, IČ: 00064173 FAKULTNÍ NEMOCNICE KRÁLOVSKÉ VINOHRADY Šrobárova 1150/50, 100 34 Praha 10, IČ: 00064173 JAK ŽÁDAT O NAHLÍŽENÍ DO ZDRAVOTNICKÉ DOKUMENTACE, POŘIZOVÁNÍ JEJÍCH VÝPISŮ NEBO KOPIÍ Vážená paní, vážený pane,

Více

4.5.1 Magnety, magnetické pole

4.5.1 Magnety, magnetické pole 4.5.1 Magnety, magnetické pole Předpoklady: 4101 Pomůcky: magnety, kancelářské sponky, papír, dřevěná dýha, hliníková kulička, měděná kulička (drát), železné piliny, papír, jehla (špendlík), korek (kus

Více

Brno VMO, Pražská radiála, Pisárecký tunel

Brno VMO, Pražská radiála, Pisárecký tunel Anotace : Brno VMO, Pražská radiála, Pisárecký tunel Autoři : Firma : Ing. Vlastimil Horák, Ing. Jiří Pechman AMBERG Engineering Brno a.s., Ptašínského 10, 602 00 Brno Úvod Pisárecký tunel je prvním dokončeným

Více

Zápis ze semináře k přípravě zákona o neziskových organizacích a veřejné prospěšnosti

Zápis ze semináře k přípravě zákona o neziskových organizacích a veřejné prospěšnosti Zápis ze semináře k přípravě zákona o neziskových organizacích a veřejné prospěšnosti datum a čas konání: pátek 31. října 2008 od 9:00 hodin místo konání: sál Slévárny Vaňkovka, ve Vaňkovce 1, Brno ve

Více

Domovní řád. Datum platnosti: Datum účinnosti: Změna: 1.4.2014 1.4.2014 1

Domovní řád. Datum platnosti: Datum účinnosti: Změna: 1.4.2014 1.4.2014 1 Domovní řád Datum platnosti: Datum účinnosti: Změna: 1.4.2014 1.4.2014 1 Dne: 24.3.2014 Dne: 31.3.2014 1 / 7 Domovní řád Za účelem zabezpečení pořádku a čistoty v domech, k zajištění podmínek řádného užívání

Více

Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace. Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz. Metodika

Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace. Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz. Metodika Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz Metodika k použití počítačové prezentace A Z kvíz Mgr. Martin MOTYČKA 2013 1 Metodika

Více

5. Legislativní opatření a jejich vliv na vývoj pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz

5. Legislativní opatření a jejich vliv na vývoj pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz 5. Legislativní opatření a jejich vliv na vývoj pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz Úroveň pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz je v zásadě dána dvěma rozdílnými faktory. Prvým z nich je objektivní

Více

21 SROVNÁVACÍ LCA ANALÝZA KLASICKÝCH ŽÁROVEK A KOMPAKTNÍCH ZÁŘIVEK

21 SROVNÁVACÍ LCA ANALÝZA KLASICKÝCH ŽÁROVEK A KOMPAKTNÍCH ZÁŘIVEK 21 SROVNÁVACÍ LCA ANALÝZA KLASICKÝCH ŽÁROVEK A KOMPAKTNÍCH ZÁŘIVEK Pavel Rokos ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Katedra elektrotechnologie Úvod Světelné zdroje jsou jedním

Více

Věta jednoduchá v češtině

Věta jednoduchá v češtině Věta jednoduchá v češtině 16. Cvičení na větné členy - souhrn Mgr. Jana Zemanová 2. pololetí školního roku 2012 / 2013 Český jazyk 7. ročník Základní škola, Chrudim, Dr. Peška768 1. Zapište do tabulky

Více

Ministryne 0 3: JUDr. Buzkova 0 0 v. r.

Ministryne 0 3: JUDr. Buzkova 0 0 v. r. 1 3Strana 490 Sb 0 1 0 0rka za 0 0konu 0 8 c 0 3. 71 a 72 / 2005 z du 0 8 vodu 0 8 hodny 0 0ch zvla 0 0s 0 3tn 0 1 0 0ho zr 0 3etele, zejme 0 0na zdravotn 0 1 0 0ch, lze pome 0 3rnou c 0 3a 0 0st u 0 0platy

Více

Město Týnec nad Sázavou K Náklí 404, 257 41 Týnec nad Sázavou

Město Týnec nad Sázavou K Náklí 404, 257 41 Týnec nad Sázavou Město Týnec nad Sázavou K Náklí 404, 257 41 Týnec nad Sázavou KANCELÁŘ STAROSTY VÝZVA A ZADÁVACÍ DOKUMENTACE ZAKÁZKY MIMO REŽIM ZÁKONA č. 137/2006 Sb. 1. Identifikační údaje zadavatele: Zadavatel ve smyslu

Více

Optimalizace zobrazova nı komplexnı ch sce n na mobilnı ch zar ı zenı ch s vyuz itı m enginu Unity

Optimalizace zobrazova nı komplexnı ch sce n na mobilnı ch zar ı zenı ch s vyuz itı m enginu Unity 2015 http://excel.fit.vutbr.cz Optimalizace zobrazova nı komplexnı ch sce n na mobilnı ch zar ı zenı ch s vyuz itı m enginu Unity Michal Maty s ek* Abstrakt Tento c la nek popisuje optimalizac nı postupy,

Více

na sále Kulturního domu v Rudolticích dne 7. října 2013

na sále Kulturního domu v Rudolticích dne 7. října 2013 Zápis ze schůzky zástupců obce s domovními důvěrníky Zahájení v 16.00 hod. Účast: na sále Kulturního domu v Rudolticích domovní důvěrníci, popř. zástupci: dne 7. října 2013 o přítomni: Eva Chládková, Jana

Více

INSPEKČNÍ ZPRÁVA. Střední škola polytechnická, Brno, Jílová 36g. Adresa: Jílová 36g, 639 00 Brno. Identifikátor školy: 600 013 821

INSPEKČNÍ ZPRÁVA. Střední škola polytechnická, Brno, Jílová 36g. Adresa: Jílová 36g, 639 00 Brno. Identifikátor školy: 600 013 821 Česká školní inspekce Jihomoravský inspektorát INSPEKČNÍ ZPRÁVA Střední škola polytechnická, Brno, Jílová 36g Adresa: Jílová 36g, 639 00 Brno Identifikátor školy: 600 013 821 Termín konání inspekce: 24.

Více

VEŘEJNÁ VYHLÁŠKA. Oznámení o zahájení vodoprávního řízení

VEŘEJNÁ VYHLÁŠKA. Oznámení o zahájení vodoprávního řízení *KUCBX00ITEYJ* KUCBX00ITEYJ O D B O R Ž I V O T N Í H O P R O S T Ř E D Í, Z E M Ě D Ě L S T V Í A L E S N I C T V Í Čj.: KUJCK 88035/2015/OZZL/2 Sp.zn.: OZZL 87860/2015/hery datum: 1.12.2015 vyřizuje:

Více

OBEC NEZBAVĚTICE PASPORT DEŠŤOVÉ KANALIZACE 01 PRŮVODNÍ ZPRÁVA

OBEC NEZBAVĚTICE PASPORT DEŠŤOVÉ KANALIZACE 01 PRŮVODNÍ ZPRÁVA OBEC NEZBAVĚTICE PASPORT DEŠŤOVÉ KANALIZACE 01 PRŮVODNÍ ZPRÁVA 1. Titulní list Název stavby: Pasport dešťové kanalizace Místo stavby: obec Nezbavětice Kraj: Plzeňský Okres: Plzeň - jih Charakter stavby:

Více

(mimo pozůstalostní řízení a vypořádání SJM) ÚVOD POPIS ŘEŠENÍ Typ nemovitosti : Výše spoluvlastnického podílu : ZÁVĚR

(mimo pozůstalostní řízení a vypořádání SJM) ÚVOD POPIS ŘEŠENÍ Typ nemovitosti : Výše spoluvlastnického podílu : ZÁVĚR 1/1 Znalecký standard AZO č.1 Obvyklá cena spoluvlastnického podílu - obecně (mimo pozůstalostní řízení a vypořádání SJM) Stanovení obvyklé ceny (dále OC) spoluvlastnického podílu je nutné pro soudní spory,

Více

Představujeme držitele značky "Český výrobek garantováno Potravinářskou komorou ČR" Moravia Lacto a.s.

Představujeme držitele značky Český výrobek garantováno Potravinářskou komorou ČR Moravia Lacto a.s. Představujeme držitele značky "Český výrobek garantováno Potravinářskou komorou ČR" Moravia Lacto a.s. Představujeme společnost Moravia Lacto a.s., která je držitelem značky Český výrobek garantováno Potravinářskou

Více

ZNALECKÝ POSUDEK. č. 3.554-94 / 15

ZNALECKÝ POSUDEK. č. 3.554-94 / 15 1 ZNALECKÝ POSUDEK č. 3.554-94 / 15 o obvyklé ceně podílu 1/2 nemovitých věcí pozemku parc.č.90/1 - zahrada dle LV 992, obec Lužná, kat. území Lužná u Vsetína, okres Vsetín, se všemi součástmi a příslušenstvím

Více

II. ZMĚNA č.1 ÚP KLECANY ODŮVODNĚNÍ

II. ZMĚNA č.1 ÚP KLECANY ODŮVODNĚNÍ II. ZMĚNA č.1 ÚP KLECANY ODŮVODNĚNÍ OBSAH TEXTOVÉ ČÁSTI : 2.1. VYHODNOCENÍ KOORDINACE VYUŽÍVÁNÍ ÚZEMÍ Z HLEDISKA ŠIRŠÍCH VZTAHŮ 1 2.2. VYHODNOCENÍ SPLNĚNÍ ZADÁNÍ ZMĚNY č.1 1 2.3. KOMPLEXNÍ ZDŮVODNĚNÍ PŘIJATÉHO

Více

SMLOUVA. Smlouva o poskytování služeb sociální péče

SMLOUVA. Smlouva o poskytování služeb sociální péče Evidenční číslo: datum: SMLOUVA Uvedeného dne, měsíce a roku uzavřely uvedené strany tuto smlouvu: Jméno a příjmení: bytem: narozen: (dále jen uživatel ) na straně jedné a Ruprechtický farní spolek Sídlem:

Více

Vaše značka: Naše značka: Vyřizuje / telefon Místo, datum:

Vaše značka: Naše značka: Vyřizuje / telefon Místo, datum: Vaše značka: Naše značka: Vyřizuje / telefon Místo, datum: Kavřík/ +420 732 837 223 Brno, 30. 4. 2014 Výzva k podání nabídky pro veřejnou zakázku malého rozsahu 2. kategorie na služby zadanou ve výběrovém

Více