Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.
|
|
- Miloslava Vávrová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Matematika 1 Lagrangeu v tvar interpolac nı ho mnohoc lenu Newtonu v tvar interpolac nı ho mnohoc lenu Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2016 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.
2 Obsah 1. Langrangeův interpolační mnohočlen (polynom) 3 Pr ıḱlad Pr ıḱlad Newtonův interpolační mnohočlen (polynom) 32 Pr ıḱlad Pr ıḱlad Pr ıḱlad jine por adı uzlovy ch bodu v tabulce pr ida nı dals ı ho uzlove ho bodu Závěrečná poznámka 60 Použitá literatura 62
3 1. Langrangeův interpolační mnohočlen (polynom) je jednıḿ ze zna me js ıćh a take snadny ch zpu sobu interpolace funkce zadane pouze v (nemnoha) diskre tnıćh bodech. Nazy va me je uzlové body a poz adujeme po nich, aby me ly ru zne hodnoty x. Typicky m pr ıḱladem je funkce f zadana tabulkou, ať jiz tato tabulka vznikla jako vy sledek ne jake ho me r enı, c i zda jde o tabulku hodnot ne ktere standardnı funkce zıśkanou matematicky mi vy poc ty. kde Lagrangeu v L(x) mnohoc len ma tvar: L(x) = y L (x) (1) ( ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) ( ) Vs imne te si, z e jak v c itateli, tak ve jmenovateli je pro i vynecha na za vorka, ve ktere bychom me li odec ı tat c len x. Pouz itı zda nlive nezapamatovatelne ho vzorce si uka z eme na konkre tnıḿ pr ıḱladu 2.1.
4 Příklad 1.1. Ma me da ny c tyr i body x y , tedy n = 4. Řešení: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) Zby va urc it jednotlive zlomky L (x). Obra zek 1: Konstrukce Lagrangeova interpolac nı ho polynomu (c erna kr ivka) x y L (x) 5 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) L ( 9) ; L ( 4) = 0; L ( 1) = 0; L (7) = 0 podmıńky vy sledna funkce L ( 9) L (x) L ( 9) L ( 4) = 0 1 L ( 9) L ( 4) = 0 L ( 1) = 0 L ( 9) L ( 4) = 0 L ( 1) = 0 L ( 7) = 0 x ( 4) ( 9) ( 4) x ( 4) ( 9) ( 4) x y L (x) x ( 1) ( 9) ( 1) x ( 4) ( 9) ( 4) x ( 1) ( 9) ( 1) x (7) ( 9) (7) x y L (x) x y L (x) x y L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)
5 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94
6 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94
7 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94
8 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94
9 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94
10 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94
11 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94
12 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94
13 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94
14 x y Pro i je x = 9, y = 5 ; pro i = 2 je x = 4, y = 2 ; [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (x 2x 31x 28) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 165 (x + 3x 61x 63) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) 192 (x +6x 55x 252) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1408 (x + 14x + 49x + 36) Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Lagrangeove tvaru je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = (x 2x 31x 28) (x +3x 61x 63)+( 2) (x +6x 1 55x 252) (x +14x +49x+36) = = ( 2) x + [ ] x + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94
15 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1
16 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1
17 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1
18 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1
19 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1
20 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1
21 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1
22 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1
23 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1
24 Příklad 1.2. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 4 body: [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5]. Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky: x y [x (0)] [x (1)] [x (2)] [( 1) (0)] [( 1) (1)] [( 1) (2)] = x (x 3x + 2) ( 1) ( 2) ( 3) = 1 6 (x 3x + 2x) [x ( 1)] [x (1)] [x (2)] [(0) ( 1)] [(0) (1)] [(0) (2)] = (x 1) (x 2) (1) ( 1) ( 2) 2 (x 2x x + 2) [x ( 1)] [x (0)] [x (2)] [(1) ( 1)] [(1) (0)] [(1) (2)] = (x x 2) x (2) (1) ( 1) = 1 2 (x x 2x) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] [(2) ( 1)] [(2) (0)] [(2) (1)] = (x 1) x (3) (2) (1) 6 (x x) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x) = ( 4) 1 6 (x 3x + 2x)+ +( 1) 1 2 (x 2x x + 2) (x x 2x) (x x) = = + x + + x x + = = x + ( 2 + 1) x + x 1 = x 3 x 2 + x 1
25 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)
26 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)
27 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)
28 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)
29 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)
30 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)
31 Příklad 1.3. Lagrangeův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny 3 body x 1 0 1,5 0,5 y 2,25 0,25 1 0,5 Urc ete mnohoc len, ktery vs emi procha zı. [x (0)] [x (1,5)] [( 1) (0)] [( 1) (1,5)] 2,5 x 0,5 (x 1,5 x) 1 0,5 [x ( 1)] [x (1,5)] [(0) ( 1)] [(0) (1,5)] = 1 1,5 x 0,5 (x 0,5 x 1,5) 0 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [(1,5) ( 1)] [(1,5) (0)] 3,75 x 0,5 (x + x) 1,5 0,5 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] [(0,5) ( 1)] [(0,5) (0)] [(0,5) (1)] Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len: L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) = 1 (2,25) 2,5 (x 1,5 x) + (0,25) 1 1,5 1 (x 0,5 x 1,5) + 1 3,75 (x + x) = =,, +,, +, x +, (, ) +,, +,,,,, x +, = = x 2 x + 0,25 A co kdyz vznikne poz adavek, aby mnohoc len procha zel jes te dals ıḿ bodem? Pak musıḿe vy poc ty na sledovne doplnit. L(x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + y L (x)
32 2. Newtonův interpolační mnohočlen (polynom) ma tvar: N(x) = y + y (x x ) + y (x x ) (x x ) + y (x x ) (x x ) (x x ) + (2) kde koe icienty y, y, y, jsou poměrné diference uvedene (c ervene ) v na sledujıćıḿ sche matu: x x x x y y y y y = y = y = y = y = y = Interpolac nı mnohoc len N(x) zapsany ve tvaru (2) ma dve za sadnı vy hody oproti Lagrangeovu tvaru: Pr edevs ıḿ je to skutec nost, z e koe icienty y, y, y, ve vyja dr enı (2) je moz ne vypoc ı tat jednou provz dy a hodnoty interpolac nı ho polynomu pro ru zna x pak poc ı tat postupny m dosazova nıḿ do (2). Druhou vy hodou je to, z e kdyz k pu vodnıḿ uzlu m x, x,, x interpolace pr ida me dals ı bod x ru zny od vs eh ostatnıćh uzlu, dr ı ve spoc ı tane koe icienty se vu bec nezme nı a stac ı pouze jeden dals ı dopoc ı tat. U Newtonova interpolac nı ho mnohoc lenu N(x) je tak moz ne pohodlne zvys ovat stupen interpolac nı ho mnohoc lenu tıḿ, z e pr ibıŕa me do vy poc tu dals ı uzly interpolace. Mnohoc len L(x) v Lagrangeove tvaru bychom museli v takove m pr ıṕade sestrojovat cely znovu, jak jsme si uka zali na konci pr edchozı ho pr ıḱladu.
33 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956
34 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956
35 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956
36 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956
37 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956
38 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956
39 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956
40 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956
41 Příklad 2.1. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 9 ; 5], [ 4 ; 2], [ 1 ; 2], [7 ; 9] jako v pr ıḱladu 1.1. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 0,6, (, ) 0,092 1,333, (, ) 0,021,375, (, ) 0,246 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom (zaokr. na 3 des. m.): N(x) =5+( 0,6) [x ( 9)]+( 0,092) [x ( 9)] [x ( 4)]+(0,021) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9) (x + 4) + 0,021 (x + 9) (x + 4) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 9x + 4x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36) (x + 1) = = 5 0,6 (x + 9) 0,092 (x + 13x + 36) + 0,021 (x + 13x + 36x + x + 13x + 36) = = (0,021) x + [ 0, ,021 14] x + [ 0,6 0, ,021 49] x+ +(5 0,6 9 0, ,021 36) = N(x) = 0,021 x 3 + 0,202 x 2 0,767 x 2,956
42 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1
43 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1
44 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1
45 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1
46 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1
47 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1
48 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1
49 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1
50 Příklad 2.2. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 4 body [ 1 ; 4], [0 ; 1], [1 ; 0], [2 ; 5] jako v pr ıḱladu 1.2. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı. Nejprve si sour adnice pr epıś eme do na sledujıćı tabulky, do ktere postupne doplnıḿe i pome rne diference = 3 = 1 = 2 = 5 Vy sledny interpolac nı mnohoc len v Newtonove tvaru je potom: N(x) = 4 + (3) [x ( 1)] + ( 1) [x ( 1)] [x (0)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] [x (1)] = = (x + 1) (x + 1) x + (x + 1) x (x 1) = x + 3 x x + x x = N(x) = x 3 x 2 + x 1
51 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25
52 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25
53 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25
54 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25
55 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25
56 Příklad 2.3. Newtonův tvar interpolačního mnohočlenu Jsou da ny stejne 3 body jako v pr ıḱladu 1.3. Urc ete mnohoc len v Newtonove tvaru, ktery vs emi procha zı ,5 2,25 0,25 1, (, ) = 2,, (, ), = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 2) [x ( 1)] + (1) [x ( 1)] [x (0)] = 2,25 2 x 2 + x + x = N(x) = x 2 x + 0,25 Příklad 2.3. jiné pořadí uzlových bodů v tabulce 1 1,5 0 2,25 1 0,25 (, ), = 0,5, (, ), (, ) = 0,5 N(x) = 2,25 + ( 0,5) [x ( 1)] + (1) [x + 1] [x (1,5)] = 2,25 0,5 x 0,5 + x 0,5 x 1,5 = N(x) = x 2 x + 0,25
57 Příklad 2.3. ještě jiné pořadí uzlových bodů v tabulce 0 1 1,5 0,25 2,25 1, (, ) = 2 (, ), = 0,5,, ( ), [] ( ) [] [] 0 1,5 1 0,25 1 2,25 (, ), = 0,5, (, ) = 0,5, (, ) ( ), (, ) [] ( ) [] [ (, )] = 0,25 2 x + x + x = 0,25 + 0,5 x + x 1,5 x N(x) = x 2 x + 0,25 N(x) = x 2 x + 0,25 1, ,25 0,25, (, ) = 0,5 (, ) (, ), (, ) ( ) (, ) [ (, )] ( ) [ (, )] [] = 2 1, ,25 2,25, (, ) = 0,5 (, ) (, ), (, ) = 2 ( ) (, ) [ (, )] ( ) [ (, )] [] 0,5 x + 0,75 + x 0,5 x 1,5 + 0,5 x 0,75 + x 1,5 x N(x) = x 2 x + 0,25 N(x) = x 2 x + 0,25 Poznámka: Uka zali jsme, z e vy sledny tvar mnohoc lenu naprosto neza lez ı na por adı bodu zapisovany ch do tabulky. [6, str. 30]
58 Příklad 2.3. přidání dalšího uzlového bodu příklad ,5 0,5 2,25 0,25 1 0,5, (, ) = 2,, (, ), = 0,5,, (, ),5, = 2 3, (, ), = 2 N(x) = 2,25+( 2) [x ( 1)]+(1) [x ( 1)] [x (0)]+ 2 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] = 3 = 2,25 2 x 2 + x + x x x x x = vy sledek pu vodnı ho pr ıḱladu + dodatek N(x) = x 2 x + 0, x x2 x 2 x = = 2 3 x x2 2x + 0,25
59 Příklad 2.3. přidání dalšího uzlového bodu příklad ,5 0,5 2,25 0,25 1 0,5, (, ) = 2,, (, ), = 0,5,, (, ),5, = 2 3, (, ), = 2 N(x) = 2,25+( 2) [x ( 1)]+(1) [x ( 1)] [x (0)]+ 2 [x ( 1)] [x (0)] [x (1,5)] = 3 = 2,25 2 x 2 + x + x x x x x = vy sledek pu vodnı ho pr ıḱladu + dodatek N(x) = x 2 x + 0, x x2 x 2 x = = 2 3 x x2 2x + 0,25
60 3. Závěrečná poznámka
61 Jak je zr ejme z pr edchozı ho obra zku uvedene ho v pra ci [4], nestac ı se pr i studiu pru be hu funkce f(x) omezit pouze na mnohoc leny. Mnohoc len L(x) (na pr edchozıḿ obra zku modr e) popisuje chova nı raciona lnı funkce f(x) (na obra zku c ervene ) na intervalu: (-1,1 ; 1,1) dostatec ne vy stiz ne (-3,9 ; -3,3) ne moc uspokojive a na intervalu napr ıḱlad (6 ; ) je naproto mimo mísu.
62 Použitá literatura [1] C, R., M, M., V, J., Z, C. Základy numerické matematiky a programování. Praha : Sta tnı nakladatelstvı technicke literatury, Celosta tnı vysokos kolska uc ebnice pro strojnı, elektrotechnicke a stavebnı fakulty vysoky ch s kol technicky ch, Praha 1987, 448 s. [2] D, J. Matematika IV, Numerická analýza. Brno : Fakulta stavebnı VUT, 2009, 130 s. [Dostupne z adresy:] [ [3] D, J., B, J. Matematika IV. [skriptum] Brno : VUT, Fakulta elektrotechnicka, 1991, 120 s. [Dostupne z adresy:] [4] K, J., R, P. Numerické metody. Univerzita obrany, [Dostupne z adresy:] [5] P, I., V, V. Numerické metody I. Vysoka s kola ba n ska Technicka univerzita Ostrava, Za padoc eska univerzita v Plzni, 2011, 191 s. [on line] [6] P, P. Numerické metody matematické analýzy. Praha : Sta tnı nakladatelstvı technicke literatury, Matematika pro vysoke s koly technicke, ses it XXIV, Praha, 1985, 192 s.
Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.
U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz,
VíceOperace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.
Jdi na stranu Celá obr./okno Zavřít 1 Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.
VíceHodnost matice. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.
U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Hodnost matice Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.
VíceRaciona lnı lomena funkce, rozklad na parcia lnı zlomky
U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Raciona lnı lomena funkce, rozklad na parcia lnı zlomky Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full
VíceNumerické řešení nelineární rovnice
Matematika 1 Numerické řešení nelineární rovnice f(x) = e x 2 x 2 Metody: gra ická, bisekce, regula falsi, tečen (Newtonova), sečen Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko
VíceGaussovou eliminac nı metodou
U stav matematiky a deskriptivnı geometrie R es enı soustav linea rnıćh algebraicky ch rovnic Gaussovou eliminac nı metodou Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo
VíceCo je to diferenciální rovnice Rovnice se separovanými proměnnými Aplikace. Diferenciální rovnice I
Co je to diferenciální rovnice Rovnice se separovanými proměnnými Diferenciální rovnice I Modelování aneb předpovídání budoucnosti ? Diferencia lnı rovnice je rovnice, v ktere roli nezna me hraje funkce
VíceMAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı
MAT 1 Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictvı Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2013 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Obsah
VíceMatematika 1 sbírka příkladů
Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které
VíceMatematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí
Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2013 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Determinanty
VíceTransformace Aplikace Trojný integrál. Objem, hmotnost, moment
Trojný integrál Dvojný a trojný integrál Objem, hmotnost, moment obecne ji I Nez zavedeme transformaci dvojne ho integra lu obecne, potr ebujeme ne kolik pojmu. Definice Necht je da no zobrazenı F : R2
VíceOBSAH 1 Podstata mezinárodní smlouvy... 13 2 Kategorie mezinárodních smluv podle jednotlivých kritérií... 21
OBSAH 1 Podstata mezinárodní smlouvy... 13 1.1 Historicka pozna mka... 13 1.2 Pojem mezina rodnı smlouvy... 13 1.3 Funkce mezina rodnı smlouvy: smlouva kontraktua lnı a pravotvorna... 16 1.4 Pra vnı rez
Více10 je 0,1; nebo taky, že 256
LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání
VíceLine rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
Více1. Věc: Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem Dopravní automobil s požárním přívěsem nákladním
1. Věc: Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem Dopravní automobil s požárním přívěsem nákladním 1. Identifikační údaje zadavatele Obec Kozlov se sí dlem 58401 Kozlov 31 zastoupena
VíceINTERPOLAČNÍ POLYNOM. F (x)... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace Kateřina Konečná/1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení:
VíceVs eobecne podmi nky ve rnostni ho programu spolec nosti Victoria-Tip.
Vs eobecne podmi nky ve rnostni ho programu spolec nosti Victoria-Tip. 1. U vodni ustanoveni 1.1. Ve rnostni program je produkt provozovany spolec nosti Victoria-Tip, a.s. a.s., se si dlem Letenske na
VíceDarujme.cz. Podrobné statistiky 2015
Darujme.cz Podrobné statistiky Zahrnutá data a jejich úprava Z hlediska fundraisingu je významnější, kdy dárce dar zadal, než kdy byla obdrž ena platba na u č et. Ve statistika čh proto prima rne pračujeme
VíceGRAPE SC IPTV. více než televize
GRAPE SC IPTV více než televize Uz ivatelska pr i rucka TELEVIZE IPTV je digita lni televize, ktera je vzdy o krok napred. Tato televize Va m prina s i nadstandartni funkce a ten nejve ts i komfort pri
VícePříklad 1.3: Mocnina matice
Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních
VíceSmlouva o poskytnutí služby
Smlouva o poskytnutí služby - sociální rehabilitace - (dále jen smlouva ) uzavr ena mezi poskytovatelem sluz by: KŘ ESADLO HK Centrum pomoci lidem s PAS, z.u. IC : 038 47 926 se sídlem Mrs tíkova 934/20,
VíceINTERPOLAČNÍ POLYNOM.... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace 1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení: P (n) množina všech
VíceČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)
Vícez 0 3a 0 0dosti o vyda 0 0n rozhodnut o um ste 0 3n stavby
1 3Strana 6962 Sb 0 1 0 0rka za 0 0konu 0 8 c 0 3. 503 / 2006 C 0 3 a 0 0stka 163 503 VYHLA 0 0 S 0 3 KA ze dne 10. listopadu 2006 o podrobne 0 3js 0 3 0 1 0 0 u 0 0 prave 0 3 u 0 0 zemn 0 1 0 0ho r 0
Více7. V Ї 4 odstavce 2 a 3 zneяjѕт:
5 VYHLAТ SЯ KA ze dne 21. prosince 2006, kterou se meяnѕт vyhlaтsяka cя. 482/2005 Sb., o stanovenѕт druhuъ, zpuъ sobuъ vyuzя itѕт a parametruъ biomasy prяi podporяe vyтroby elektrяiny z biomasy Ministerstvo
Víceuбdajuй rоaбdneб cоi mimorоaбdneб uбcоetnуб zaбveоrky a oddeоleneб evidence naбkladuй a vyбnosuй podle zvlaбsоtnубho praбvnубho prоedpisu.
Cо aбstka 143 SbУбrka zaбkonuй cо. 377 /2001 Strana 7965 377 VYHLAб Sо KA Energetickeбho regulacоnубho uбrоadu ze dne 17. rоубjna 2001 o Energetickeбm regulacоnубm fondu, kterou se stanovуб zpuй sob vyбbeоru
VíceNabídka na firemní akce
Nabídka na firemní akce S K Y D I V E A R E N A P R A H A Konference Teambuildingové aktivity Firemní večírky Ostatní firemní akce Dárek pro obchodní partnery a klienty Rozšíření benefitního programu pro
VícePRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI
PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI Tyto výsledky jsou určeny pouze pro respondenty průzkumu a je zakázáno jejich šíření jakoukoliv formou bez souhlasu společnosti Innovative Business s.r.o.
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
VíceMožnosti zavedení jednotné metodiky m ení korozní rychlosti na kovových úložných za ízeních.
Možnosti zavedení jednotné metodiky m ení korozní rychlosti na kovových úložných za ízeních. František Mí ko Úvod SN EN 12954 (03 8355) Katodická ochrana kovových za ízení uložených v p nebo ve vod Všeobecné
VíceStručně k radarové interferometrii
Stručně k radarové interferometrii Deformace vlivem poklesů terénu lze sledovat různými způsoby, tím nejrozšířenějším je nivelace. Avšak vzhledem k tomu, že se niveluje v liniích, jde o metodu náročnou,
Více1.2.7 Druhá odmocnina
..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž
VíceZMĚNA Č.2 ÚZEMNÍHO PLÁNU OBCE NEHVIZDY
ZMĚNA Č.2 ÚZEMNÍHO PLÁNU OBCE NEHVIZDY NEHVIZDY 03/2011 ÚPRAVA 03/2012 ARCHDAN A.D.O. PRAHA SEZNAM PŘÍLOH : Textová část Odůvodnění Grafická část A. Výkres základního členění území 1:5000 B. Hlavní výkres
VíceVYSVĚTLENÍ ZADÁVACÍ DOKUMENTACE
VYSVĚTLENÍ ZADÁVACÍ DOKUMENTACE Název zadavatele Fyzikální ústav AV ČR, v. v. i. Sídlo Na Slovance 1999/2, 182 21 Praha 8 IČO 68378271 Právní forma Zástupce zadavatele Název zakázky veřejná výzkumná instituce
VíceLibovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.
A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
VíceZaměř ení aktuálního stavu, výpoč et kubatur a geotechnický monitoring na SKO Rakovka stav skládky k 24. 9. 2014 leden 2015 ARTEZIS Solution s.r.o., Osadní 26, 170 00 Praha - Holešovice artezis@artezis.cz,
VíceMMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem
MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem Cíl: Stanovit množství obchodovatelného zboží (předmět směny) na energetickém trhu? Diagram odběru, zatížení spotřebitele
VíceC 0 3 a 0 0stka 164. (biologicky 0 0ch) a toxinovy 0 0ch zbran 0 1 0 0 a o zme 0 3ne 0 3 z 0 3ivnostenske 0 0ho
1 3Strana 9404 Sb 0 1 0 0rka za 0 0konu 0 8 c 0 3. 474 /2002 C 0 3 a 0 0stka 164 474 VYHLA 0 0 S 0 3 KA ze dne 1. listopadu 2002, kterou se prova 0 0d 0 1 0 0 za 0 0kon c 0 3. 281/2002 Sb., o ne 0 3ktery
VíceČtyři atesty a přece není pravá
ZNALECKÁ HLÍDKA Čtyři atesty a přece není pravá Jde o jednu z nejvzácnějších známek naší první republiky, 10 K Znak Pošta československá 1919 na žilkovaném papíru - a nadto v úzkém formátu! Zezadu je opatřena
VíceA 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!
A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00
VícePRÁZDNINOVÉ POČTENÍ ZE ŠKOLY
PRÁZDNINOVÉ POČTENÍ ZE ŠKOLY Vážení rodiče žáků naší ZŠ Ostopovice, zdravíme vás a přejeme pěkný zbytek léta. Předkládáme vám aktuality z naší organizace od 2. 9. 2013. Organizace a změny výuky: ZŠ 1.
VíceZNAK ČERVENÉHO KŘÍŽE, JEHO OCHRANA A UŽÍVÁNÍ
Národní skupina pro implementaci mezinárodního humanitárního práva Ministerstvo zahraničních věcí ČR, Hradčanské nám. 5, 118 00 Praha e-mail: nsmhp@cervenykriz.eu tel.: 224 18 2790 fax: 224 18 2038 www.cervenykriz.eu/nsmhp
VíceKytlický chrámový sbor (070) Pozdravení Krista Ježíše ukřižovaného (Velikonoční pásmo č. 1) lid. ských. chův. pro. hří. slun. nad. zář. pří. smr.
Kytc chmvý sbr (00) Pzdr t křižv (Venč pásm č. 1) (Svrč mzyk č. ) Adm V. Mich dy m hyzd dy m hyzd dy hz z shlď hz z shlď hz z shlď hz z shlď n, m hyzd dy m hyzd js s js s js s js s z B z B z B z B n, n,
VíceMultikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice
Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice Franti 0 8ek Mach 1,2, Pavel K 0 1s 2, Pavel Karban 1, Ivo Dole 0 6el 1,2 1 Katedra teoretick і elektrotechniky Fakulta elektrotechnick, Z pado
VíceŘešení: 20. ročník, 2. série
Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme
VíceStatistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
VícePracovní úkoly dynamické geometrie
Pracovní úkoly dynamické geometrie ÚKOL ČÍSLO 1: NAKRESLI ČTVEREC ÚKOL ČÍSLO 2: NAKRESLI ROVNOSTRANNÝ TROJÚHELNÍK ÚKOL ČÍSLO 3: NAKRESLI PRAVIDELNÝ ŠESTIÚHELNÍK ÚKOL ČÍSLO 4: NAKRESLI PRAVIDELNÝ OSMIÚHELNÍK
VíceP R O V O Z N Í Ř Á D
Město Český Těšín Ř á d č. 3/2000 P R O V O Z N Í Ř Á D MEZISKLÁDKY ORNICE V KOŇÁKOVĚ Městská rada v Českém Těšíně se na svém 22. zasedání konaném dne 6. 9. 2000 usnesla vydat provozní řád meziskládky
Vícee en loh. kola 4. ro n ku fyzik ln olympi dy. Kategorie B uto i loh: M. anda (, 3), I. Volf (), K. auner (6),. Ban k (4), V. V cha (5) a P. ediv (7). a) Ozna me u 0 rychlost m e po odrazu od kv dru. Ze
VíceTISKOVÁ ZPRÁVA Centrum pro výzkum veřejného mínění Sociologický ústav AV ČR, v.v.i. Jilská 1, Praha 1 Tel./fax: 286 80 129 E-mail: paulina.tabery@soc.cas.cz Názory obyvatel na zadlužení a přijatelnost
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n
VíceCENY VSTUPENEK mějte vstupenku u sebe po celou dobu návštěvy!
CENY VSTUPENEK mějte vstupenku u sebe po celou dobu návštěvy! Vstupenka pro odborníky (registrace on line*) Vstupenka pro odborníky (registrace v pokladnách veletrhu *) Vstupenka pro publikum (navštěvnící
VíceRada Evropské unie Brusel 8. dubna 2015 (OR. en) Uwe CORSEPIUS, generální tajemník Rady Evropské unie
Rada Evropské unie Brusel 8. dubna 2015 (OR. en) Interinstitucionální spis: 2015/0071 (NLE) 7764/15 LIMITE MAR 42 ENV 205 NÁVRH Odesílatel: Datum přijetí: 7. dubna 2015 Příjemce: Jordi AYET PUIGARNAU,
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
Více_KUMSP00TLft2P_ - ZADOST DLE ZÁKONA č. 201/2012 Sb., O OCHRANĚ OVZDUŠÍ
v _KUMSP00TLft2P_ - ZADOST DLE ZÁKONA č. 201/2012 Sb., O OCHRANĚ OVZDUŠÍ KRAJSKÝ ÚŘAD MORAVSKOSLEZSKÉHO KRAJE ODBOR ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ A ZEMĚDĚLSTVÍ KrU MsK 1) Věc: S-MSK: MSK: OCHRANA OVZDUŠÍ 28. října
VíceZastupitelstvo města Přerova
Pořadové číslo: 4/4 Zastupitelstvo města Přerova Přerov 26.2.2015 Předloha pro 4. jednání Zastupitelstva města Přerova, které se uskuteční dne 9. 3. 2015 Předkladatel: Mgr. VLADIMÍR PUCHALSKÝ, primátor
VíceVýzva k podání nabídky a k prokázání kvalifikace pro VZ malého rozsahu
Výzva k podání nabídky a k prokázání kvalifikace pro VZ malého rozsahu Název veřejné zakázky: Ušití stejnokrojových součástí pro OLO v letech 2015-2018 Identifikace zadavatele: Zadavatel: Řízení letového
VíceKřížová cesta - postní píseň
1.a)U sto - lu s ná - mi se - dí Pán, chléb spá- sy bu - de po - dá - ván, 1.b)A je to po - krm ži - vo - ta, do kon-ce svě-ta bu - de brán, 2.Do tmy se hrou-ží zah-ra - da. Je - žíš se do muk pro-pa -
VíceOptimalizace zobrazova nı komplexnı ch sce n na mobilnı ch zar ı zenı ch s vyuz itı m enginu Unity
2015 http://excel.fit.vutbr.cz Optimalizace zobrazova nı komplexnı ch sce n na mobilnı ch zar ı zenı ch s vyuz itı m enginu Unity Michal Maty s ek* Abstrakt Tento c la nek popisuje optimalizac nı postupy,
VíceSBI 0 0RKA ZA 0 0 KONU 0 8
1 3Roc 0 3n 0 1 0 0k 2004 SBI 0 0RKA ZA 0 0 KONU 0 8 C 0 3 ESKA 0 0 REPUBLIKA C 0 3 a 0 0 stka 190 Rozesla 0 0 na dne 10. listopadu 2004 Cena Kc 0 3 63,50 OBSAH: 561. Za 0 0kon o pr 0 3eds 0 3koln 0 1
VíceS T A N O V Y. Bytového družstva Markušova 1634-1635, družstvo
S T A N O V Y Bytového družstva Markušova 1634-1635, družstvo OBSAH: ČÁST PRVÁ ZÁKLADNÍ USTANOVENÍ Čl. 1 Právní postavení družstva Čl. 2 Obchodní firma a sídlo Čl. 3 Předmět činnosti družstva Čl. 4 Družstevní
VícePRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI
PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI Tyto výsledky jsou určeny pouze pro respondenty průzkumu a je zakázáno jejich šíření jakoukoliv formou bez souhlasu společnosti Innovative Business s.r.o.
VíceMěstský úřad Lipník nad Bečvou Stavební úřad
Městský úřad Lipník nad Bečvou Stavební úřad náměstí T. G. Masaryka 89, 751 31 Lipník nad Bečvou Spisová značka: MU/15129/2011/SÚ Lipník nad Bečvou, dne 13.10. 2011 Č.j.: MU/19587/2011/ Skartační znak:
VícePračka EVOGT 14064D3. Návod k použití
Pračka EVOGT 14064D3 Návod k použití 1 A VOLIČ PROGRAMŮ Použijte tento ovladač na výběr požadovaného pracího programu. Otočte voličem programů (lze jim otáčet do obou směrů) tak, aby byl program naproti
VícePRAVIDLA SOUTE Z E DestinaCZe 2017
PRAVIDLA SOUTE Z E DestinaCZe 2017 POR ADATEL SOUTE Z E Por adatelem soute z e je C eska centra la cestovni ho ruchu CzechTourism, se si dlem Vinohradska 46, Praha 2, 120 41, IC : 492 77 600 (da le jen
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceLatinské krychle. Úloha c. 1 / 8. Úloha za 2 body
Latinské krychle Úloha za 2 body Je dána krychle, která je složena z 64 malých krychlic ek z nichž každá je obarvena c ervene, žlute, modr e, nebo zelene. Urc ete barvy zbývajících krychlic ek, jestliže
Víceú ř ř ú ř ú Ň ú Ú ř ú ú ú ú ú ř ř ú ů ó ň ú ř ř ú ú ú ů Č ř ř ř ú ů ů ú ú ú Á Ů ř ř ú ř ú ř ú Čň ř ř ú ů ú ů ř ř Ý ú ú ř ú ř š Č ť ú Č Č ú ú ú ř ó ó ů ř ň ď ú ó ů ú ř ů ď ř ů ř ť ú ň ť ů ú Ž š ň ú Ú ř
VíceÉ Ě Č š ž ý Ť š š ř š ř ě ř š ě ě ř ř ý ř ž ěř ř ě ť ů ě ý ů ďě ř š ě ř š ř šš š ý ě ě š ř ů š ě ý ů ě ř š š ě š ě š ě ř ý ě ř š ě š Č š ž ý ř ě ř š š Š š ř š š ý šš ý ě ž ě ě ř ě ě š ý ř š ů ě ř ž ě ě
Víceč ú ř č ř č č ř ú Í ř č č ří č č č č č ž ř č Íř ř ř Š ř ř č ř č č ž č č Í ř ž ž Í ú ř ř ú ž ř č č ž ž č ž Š ž č č Č ř ř ú č č č č č Í č ž Ů č ř č úč ž ř č č č Í Í č ř ří č ř Í č ó ŘÍ č ž č ž č č ž ř ž
VíceBiofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity Brno. prezentace je součástí projektu FRVŠ č.2487/2011
Využití v biomedicíně III Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity Brno prezentace je součástí projektu FRVŠ č.2487/2011 Zpracování přirozeného obrazu Za přirozený obraz považujeme snímek
VíceVÝROČNÍ ZPRÁVA 2014. DIPLOMATICKÝ INSTITUT, z. ú.
VÝROČNÍ ZPRÁVA 2014 DIPLOMATICKÝ INSTITUT, z. ú. OBSAH Ú vodní slovo 2 Ú č etní za ve rka 3 Rozpoč et za rok 2014 6 Stipendia 7 Kontaktní informače 8 Strana 1 ÚVODNÍ SLOVO Ú vodní slovo Praha, 27. č ervna
VíceKancel پ0 0: LP C H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz. WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
1 3VYSOKپ0 9 پ0 7KOLA Bپ0 9پ0 4SKپ0 9 C TECHNICKپ0 9 UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNپ0ˆ1 Zپ0 9KLADY METODY KONEپ0Œ9Nپ0 6CH PRVKپ0 0 Cviپ0چ0en ھ Jiپ0 0 ھ Broپ0 6ovskپ0 5 Kancel پ0 0: LP C H 406/3 Telefon:
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Znaky dělitelnosti - Procvičování. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce
METODICKÝ LIST DA11 Název tématu: Autor: Předmět: Znaky dělitelnosti - Procvičování Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: fixační samostatná práce, případně
VíceČ E S K Á Š K O L N Í I N S P E K C E. Čj.: 095 345/99-2004 Oblastní pracoviště č. 9 INSPEKČNÍ ZPRÁVA. Základní škola Vítězná - Kocléřov,
Č E S K Á Š K O L N Í I N S P E K C E Čj.: 095 345/99-2004 Oblastní pracoviště č. 9 Signatura: bi5cs104 Okresní pracoviště Trutnov INSPEKČNÍ ZPRÁVA Škola: Základní škola Vítězná - Kocléřov, Identifikátor
VíceCVIKY PARTERNÍ GYMNASTIKY
Obsah ÚVOD...9 Poloha uvolnění...12 Změření velikosti krčního zakřivení páteře...14 Změření velikosti bederního zakřivení páteře...16 Izometrické cvičení...18 Formujeme svalový korzet páteře...21 Nebezpečné
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
VíceGORE-TEX GARMENT CARE INSTRUCTIONS EUROPE
GORE-TEX GARMENT CARE INSTRUCTIONS EUROPE March 28, 2013 PODROBNÉ POKYNY K ÚDRŽBĚ ODĚVŮ PRO EVROPU Oděvy GORE-TEX jsou nejen trvanlivé, ale i snadné na údržbu. Pravidelná péče zajistí vynikající vlastnosti
VíceД1Х3Digit Ґln knihovna FF MU
Д1Х3 Б0Й3stav vб0л5poб0н0etn techniky, Masarykova univerzita, Brno CZDSUG 2012, VБ0Ф7B-TUO Ostrava Д1Х3Obsah pб0ф0edn ҐБ0Ф8ky O digit Ґln knihovn І FF MU. Mal srovn Ґn s DML-CZ. MetadatovБ0Л5 editor. DSpace.
Více2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I
Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou
VícePříloha č.1 vysvětlení domácího řádu. Domácí řád Domova pro osoby se zdravotním postižením Smečno
Příloha č.1 vysvětlení domácího řádu Domácí řád Domova pro osoby se zdravotním postižením Smečno 1. Úvodní ustanovení Domácí řád obsahuje zásady pro zajištění klidného a spokojeného života a pořádku v
VíceZ Á P I S z veřejného zasedání Zastupitelstva obce Dýšina, konaného dne 12. května 2008
ZO/03/2008 Z Á P I S z veřejného zasedání Zastupitelstva obce Dýšina, konaného dne 12. května 2008 Přítomni : Mgr. Václava Kuklíková, Ing. Jaroslav Egrmajer, Ing. Ladislav Vlk, Bc. Michal Hala, MUDr. Karel
VíceZápis. z 23. mimořádného zasedání Rady města Valašské Meziříčí konaného dne 29. listopadu 2011 v 8:00 hodin v malé zasedací místnosti, budova radnice
Zápis z 23. mimořádného zasedání Rady města Valašské Meziříčí konaného dne 29. listopadu 2011 v 8:00 hodin v malé zasedací místnosti, budova radnice Přítomni: Ověřovatelé zápisu: Zapisovatelka: dle presenční
VíceMetodika kontroly naplněnosti pracovních míst
Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Obsah Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst... 1 1 Účel a cíl metodického listu... 2 2 Definice indikátoru Počet nově vytvořených pracovních míst...
VíceU PLNA PRAVIDLA SOUTE Z E S OBCHODNI CENTRUM LETN ANY Vyhrajte knihy Tento dokument obsahuje u plna pravidla marketingove soute z e Vyhrajte knihy
U PLNA PRAVIDLA SOUTE Z E S OBCHODNI CENTRUM LETN ANY Vyhrajte knihy Tento dokument obsahuje u plna pravidla marketingove soute z e Vyhrajte knihy (da le jen soute z ). 1. Por adatel soute z e: Boomerang
VíceMOBILNÍ DIVADÉLKO PRO NEJMENŠÍ
MOBILNÍ DIVADÉLKO PRO NEJMENŠÍ A MOBILE THEATRE FOR THE SMALLEST ONES Ivona HAUZNEROVÁ, Kateřina KONÁŠOVÁ Resumé Článek popisuje ruční výrobu přenosného divadélka pro dětská představení. Divadélko je primárně
Více14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1
14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 S Á ČK Y NA PS Í E XK RE ME N TY SÁ ČK Y e xk re m en t. p o ti sk P ES C Sá čk y P ES C č er né,/ p ot is k/ 12 m y, 20 x2 7 +3 c m 8.8 10 bl ok
VíceMěření základních vlastností OZ
Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím
VíceVYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
VíceJak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY
Jak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY KOTLÍKOVÉ DOTACE pokračují! Máte doma starý kotel na uhlí, dřevo a jiná tuhá paliva? Pak jsou kotlíkové dotace určeny právě pro Vás! Pokud máte doma
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Více9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík
9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce Únava a lomová mechanika Faktor intenzity napětí Předpokládáme ostrou trhlinu namáhanou třemi základními módy zatížení Zredukujeme-li obecnou trojrozměrnou
VíceAutodesk Inventor 8 vysunutí
Nyní je náčrt posazen rohem do počátku souřadného systému. Autodesk Inventor 8 vysunutí Následující text popisuje vznik 3D modelu pomocí příkazu Vysunout. Vyjdeme z náčrtu na obrázku 1. Obrázek 1: Náčrt
VíceZadání: Lucka si vzala 20 kuliček a na každou z nich napsala nezáporné celé číslo. Z těchto kuliček
1 Čtyřstěn z kuliček Zadání třetího kola Odpovědi odešlete prostřednictvím našich webových stránek http://brloh.math.muni.cz Zadání: Lucka si vzala 20 kuliček a na každou z nich napsala nezáporné celé
VíceMajetek státu, s nímž má právo hospodařit DIAMO, státní podnik
Věstník NKÚ, kontrolní závěry 289 10/18 Majetek státu, s nímž má právo hospodařit DIAMO, státní podnik Kontrolní akce byla zařazena do plánu kontrolní činnosti Nejvyššího kontrolního úřadu (dále jen NKÚ
VíceBrno VMO, Pražská radiála, Pisárecký tunel
Anotace : Brno VMO, Pražská radiála, Pisárecký tunel Autoři : Firma : Ing. Vlastimil Horák, Ing. Jiří Pechman AMBERG Engineering Brno a.s., Ptašínského 10, 602 00 Brno Úvod Pisárecký tunel je prvním dokončeným
VíceOBEC NEZBAVĚTICE PASPORT DEŠŤOVÉ KANALIZACE 01 PRŮVODNÍ ZPRÁVA
OBEC NEZBAVĚTICE PASPORT DEŠŤOVÉ KANALIZACE 01 PRŮVODNÍ ZPRÁVA 1. Titulní list Název stavby: Pasport dešťové kanalizace Místo stavby: obec Nezbavětice Kraj: Plzeňský Okres: Plzeň - jih Charakter stavby:
VíceDomovní řád. Datum platnosti: Datum účinnosti: Změna: 1.4.2014 1.4.2014 1
Domovní řád Datum platnosti: Datum účinnosti: Změna: 1.4.2014 1.4.2014 1 Dne: 24.3.2014 Dne: 31.3.2014 1 / 7 Domovní řád Za účelem zabezpečení pořádku a čistoty v domech, k zajištění podmínek řádného užívání
Více