Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
|
|
- Bohuslav Novotný
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen deskový kondenzátor, S znčí plochu desek kondenzátoru. Budeme-li předpokládt, že mezi desky kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n deskách stejně veliký le opčný náboj, n levé desce npříkld, n prvé desce. Mezi deskmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou rovnoběžných rovin (Příkld 2) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dx ( ) konst σ S Intenzit elektrického pole bude: Ex () Dx () ε ε 0 S Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n deskách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi : x d x 0 Ex () dx ε 0 S d Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě :
2 ε 0 S d Pro kpcitu deskového kondenzátoru vyplyne vzth: ε 0 S d Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozího vzthu pro intenzitu elektrického pole: Ex () ε 0 S ε 0 d S ε 0 S d V deskovém kondenzátoru je podle předpokldu všude stejně veliká intenzit elektrického pole, je dán podílem npětí vzdálenosti mezi deskmi. V přípdě homogenního dielektrik intenzit elektrického pole vůbec nezávisí n velikosti permitivity.
3 Příkld 23 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru se složeným dieletrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen deskový kondenzátor se složeným dielektrikem, S znčí plochu desek kondenzátoru. Budeme-li předpokládt, že mezi desky kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n deskách stejně veliký le opčný náboj, n levé desce npříkld, n prvé desce. Mezi deskmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou rovnoběžných rovin (Příkld 2) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dx ( ) konst σ S Pozn. Elektrická indukce není závislá n prostředí, le pouze n volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole n geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jko v Příkldu 22 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzit elektrického pole je závislá n permitivitě, odráží se zde vliv vázných nábojů v dielektriku, bude pro kždý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzit elektrického pole bude: v úseku : 0 x d E () x Dx () ε v úseku 2: d x d 2 E 2 () x Dx () ε 2 ε 0 S ε 0 2 S
4 v úseku 3: d 2 x d 3 E 3 () x Dx () ε 3 ε 0 3 S Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n deskách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi ( integrci je třeb rozdělit n tři úseky, ve kterých je intenzit elektrického pole spojitá) : x d x 0 Ex () dx 0 d E () x dx d 2 d E 2 () x dx d 3 d 2 E 3 () x dx ε 0 S d ε 0 2 S d 2 ε 0 3 S d 3 Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě : d ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 3 ε 0 3 S Pro kpcitu deskového kondenzátoru s děleným dielektrikem vyplyne vzth: d ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 3 ε 0 3 S 2 3 Z výsledného vzthu pro kpcitu je ptrno, že si můžeme celý problém předstvit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 2 3 ε 0 3 S d 3
5 Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozích vzthů pro intenzitu elektrického pole: E () x ε 0 S d ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 3 ε 0 3 S ε 0 S E () x d d 2 2 d 3 3 Podobně i ve zbylých dvou úsecích: E 2 () x d d d 3 3 E 3 () x d d d 3 3 V deskovém kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzit elektrického pole rozdělí n jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá n bsolutní hodnotě permitivity.
6 Příkld 24 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s kulovými elektrodmi jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm opčně nbitými koulemi Příkld 9 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen kondenzátor, jehož elektrody tvoří sférické plochy o poloměru b: Budeme-li předpokládt, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n nich stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem mezi dvěm opčně nbitými koncentrickými koulemi (Příkld 2) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 4π Intenzit elektrického pole bude: Er () Dr () ε Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n elektrodách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi : b Er () dr b dr Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě : b
7 4π ε 0 b Pro kpcitu kulového kondenzátoru vyplyne vzth: b Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozího vzthu pro intenzitu elektrického pole: Er () b b V kulovém kondenzátoru klesá intenzit s kvdrátem poloměru. V přípdě homogenního dielektrik intenzit elektrického pole vůbec nezávisí n velikosti permitivity. Poznámk : V přípdě, že bude mít vnější elektrod hodně velký poloměr, přejde vzth pro kpcitu n: 4π ε 0 V této souvislosti lze mluvit o kpcitě osmocené koule proti elektrodě v nekonečnu.
8 Příkld 25 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s kulovými elektrodmi složeným dieletrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými koulemi Příkld 9 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen kondenzátor s kulovými elektrodmi složeným dielektrikem. Budeme-li předpokládt, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n elektrodách stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou koncentrických koulí (Příkld 9) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 4π Pozn. Elektrická indukce není závislá n prostředí, le pouze n volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole n geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jko v Příkldu 24 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzit elektrického pole je závislá n permitivitě, odráží se zde vliv vázných nábojů v dielektriku, bude pro kždý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzit elektrického pole bude: v úseku : r r E () r v úseku 2: Dr () ε r r 3 E 2 () r Dr () ε 2 v úseku 3: r 3 r r 4 E 3 () r Dr () ε 3 2 3
9 Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n deskách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi ( integrci je třeb rozdělit n tři úseky, ve kterých je intenzit elektrického pole spojitá) : r 4 r Er () dr r E () r dr r 3 E 2 () r dr r 4 r 3 E 3 () r dr r 2 r 3 3 r 3 r 4 Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě : r 4π ε 0 2 r 3 3 r 3 r 4 Pro kpcitu kondenzátoru s kulovými elektrodmi děleným dielektrikem vyplyne vzth: r 4π ε 0 2 r 3 3 r 3 r Z výsledného vzthu pro kpcitu je ptrno, že si můžeme celý problém předstvit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: r 2 2 r r 3 r 4 Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozích vzthů pro intenzitu elektrického pole:
10 E () r r 4π ε 0 2 r 3 3 r 3 r 4 E () r r 2 r 3 3 r 3 r 4 Podobně i ve zbylých dvou úsecích: E 2 () r 2 r 2 r 3 3 r 3 r 4 E 3 () r 3 r 2 r 3 3 r 3 r 4 V kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzit elektrického pole rozdělí n jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá n bsolutní hodnotě permitivity. V kždém úseku je největší intenzit elektrického pole n vnitřním poloměru tohoto úseku.
11 Příkld 26 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s válcovými elektrodmi jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm opčně nbitými válci Příkld 20 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen válcový kondenzátor poloměrech elektrod b. Budeme-li předpokládt, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n nich stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld náboj o liniové hustotě, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem mezi dvěm opčně nbitými koncentrickými válci (Příkld 20) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 2π r Intenzit elektrického pole bude: Er () Dr () ε r Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n elektrodách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi : b Er () dr b r dr ln b Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : elkový náboj je dán liniovou hustotou náboje délkou kondenzátoru : h
12 Potom po úprvě v nšem přípdě : 2π ε 0 ln b Pro kpcitu válcového kondenzátoru vyplyne vzth: h 2π ε 0 ln b h V přípdě koxiálních kbelů, které se z hledisk elektrosttického pole chovjí jko válcové kondenzátory, se čsto specifikuje kpcit n jednotku délky : 2π ε 0 l ln b Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozího vzthu pro intenzitu elektrického pole: 2π ε 0 Er () 2π ε 0 r ln b 2π ε 0 r rln b Ve válcovém kondenzátoru klesá intenzit nepřímo úměrně s poloměrem. V přípdě homogenního dielektrik intenzit elektrického pole vůbec nezávisí n velikosti permitivity.
13 Příkld 27 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole ve válcovém kondenzátoru se složeným dieletrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými válci Příkld 20 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen válcový kondenzátor se složeným dielektrikem. Budeme-li předpokládt, že přiložíme mezi elektrody kondenzátoru npětí, objeví se n elektrodách stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld náboj o liniové hustotě, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou koncentrických válců (Příkld 20) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 2π r Pozn. Elektrická indukce není závislá n prostředí, le pouze n volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole n geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jko v Příkldu 26 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzit elektrického pole je závislá n permitivitě, odráží se zde vliv vázných nábojů v dielektriku, bude pro kždý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzit elektrického pole bude: v úseku : r r E () r Dr () ε r v úseku 2: r r 3 E 2 () r Dr () ε 2 2 r
14 v úseku 3: r 3 r r 4 E 3 () r Dr () ε 3 3 r Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n elektrodách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi elektrodmi ( integrci je třeb rozdělit n tři úseky, ve kterých je intenzit elektrického pole spojitá) : r 4 r Ex () dx r E () x dx r 3 E 2 () x dx r 4 r 3 E 3 () x dx ln r 2 ln r 3 3 ln r 4 r 3 Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Po vyjádření pomocí liniové hustoty náboje : h Potom po úprvě v nšem přípdě : ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 Pro kpcitu kondenzátoru s kulovými elektrodmi děleným dielektrikem vyplyne vzth: h ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 h 2 3
15 Z výsledného vzthu pro kpcitu je ptrno, že si můžeme celý problém předstvit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: ln r 2π ε 0 h 2 ln r 3 2 2π ε 0 h 3 ln r 4 r 3 3 h koxiálních kbelů, které předstvují z hledisk elektrického pole tké válcový kondenzátor, se čsto uvádí kpcit n jednotku délky kbelu: l ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozích vzthů pro intenzitu elektrického pole: E () r r ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 ( 2π ε 0 ) r E () r r ln r ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 Podobně i ve zbylých dvou úsecích:
16 E 2 () r 2 r ln r ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 E 3 () r 3 r ln r ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 V kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzit elektrického pole rozdělí n jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá n bsolutní hodnotě permitivity. V kždém úseku je největší intenzit elektrického pole n vnitřním poloměru tohoto úseku.
17 Příkld 28 : Kpcit mezi dvěm kulovými dosttečně vzdálenými elektrodmi Přepokládné znlosti: Potenciál nbité vodivé koule Příkld 3 Intenzit elektrického pole nbité koule Příkld 8 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. Budeme-li předpokládt, že mezi kulové elektrody přiložíme npětí, objeví se n elektrodách stejně veliký le opčný náboj, n levé elektrodě npříkld, n prvé. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole. Výsledné elektrické pole lze sndno vypočítt z předpokldu, že se náboj n elektrodách rozloží rovnoměrně se sférickou symetrií podobně jko u smosttných nbitých kulových elektrod. To pltí v přípdě, že poloměry kulových elektrod i 2 jsou podsttně menší než vzdálenost s., 2 < s Výsledné elektrické pole je potom možno počítt jko superpozici polí dvou osmocených kulových elektrod. Z veličin vzniklého elektrického pole lze zpětně dopočítt velikost npětí tím získt závislost mezi npětím nábojem. Pro výpočet npětí mezi elektrodmi je možné v tomto přípdě použít potenciály elektrického pole. Potenciály od jednotlivých nábojů lze v kždém bodě sčítt, npětí mezi dvěm body je dáno rozdílem potenciálů těchto bodů. V bodě n elektrodě A je : příspěvek potenciálu od vlstní elektrody A příspěvek od elektrody B: φ A K φ B 4π ε 0 K 2 s V bodě je výsledný potenciál : φ φ A φ B K K 2 4π ε 0 4π ε 0 s
18 V bodě 2 n elektrodě B je : příspěvek potenciálu od elektrody A příspěvek od vlstní elektrody B: φ A2 K φ B2 K 2 4π ε 0 s 2 4π ε 0 2 V bodě 2 je výsledný potenciál : φ 2 φ A2 φ B2 K K 2 4π ε 0 s 2 4π ε 0 2 Mezi elektrodmi ( mezi bodem 2) je npětí : φ φ 2 s s 2 2 Poloměry 2 můžeme ve srovnání se vzdáleností znedbt, což je důležitý výchozí předpokld tohoto výpočtu, můžeme je tedy znedbt i ve výsledném vzthu pro npětí, jejich uvžováním se stejně přesnost výpočtu nezlepší: 2 s 2 N konstntách K K2 vůbec nezáleží, použijeme-li potenciál pro výpočet npětí, konstnty se nvzájem odečtou. Mezi nábojem npětím pltí vzth: V nšem přípdě tedy : 4π ε 0 2 s 2 Z toho vyplývá vzth pro velikost kpcity mezi kulovými elektrodmi : 2 s 2 Zcel stejné vzthy obdržíme integrcí výsledné hodnoty intenzity elektrického pole mezi kulovými elektrodmi.
19 Výsledné elektrické pole bude mít velikost: Ex () E A () x E B () x x 2 ( s x) 2 Při výpočtu je třeb uvážit, že se v tomto prostoru elektrické pole kldně i záporně nbité kulové elektrody sčítá. Pro výsledné npětí bude pltit : s 2 Ex () dx s 2 x 2 ( s x) 2 dx s s 2 2 To jsou zcel identické vzthy jko při výpočtu npětí pomocí potenciálů.
20 Příkld 29 : Kpcit mezi dvěm rovnoběžnými válcovými dosttečně vzdálenými vodiči (dvouvodičové vedení) Předpokládné znlosti: Potenciál intenzit elektrického pole nbitého válcového vodiče- Příkld 7 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Použijeme-li tento vzth pro jednotkovou délku vedení, je n ní náboj dný liniovou hustotou, vedení má kpcitu n jednotku délk /l pltí: l Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. Budeme-li předpokládt, že mezi vodiče přiložíme npětí, objeví se n vodičích stejně veliký le opčný náboj, n levém vodiči npříkld náboj o liniové hustotě, n prvém náboj o liniové hustotě -. Mezi vodiči vznikne elektrické pole. Výsledné elektrické pole lze sndno vypočítt z předpokldu, že se náboj n vodičích rozloží rovnoměrně s válcovou symetrií podobně jko u smosttných nbitých válcových vodičů. To pltí v přípdě, že poloměry vodičů jsou podsttně menší než vzdálenost s. < s Výsledné elektrické pole je potom možno počítt jko superpozici polí dvou osmocených válcových vodičů. Z veličin vzniklého elektrického pole lze zpětně dopočítt velikost npětí tím získt závislost mezi npětím nábojem. Pro výpočet npětí mezi vodiči je možné v tomto přípdě použít potenciály elektrického pole. Potenciály od jednotlivých vodičů lze v kždém bodě sčítt, npětí mezi dvěm body je dáno rozdílem potenciálů těchto bodů. V bodě n vodiči A je : příspěvek potenciálu od vlstního vodiče A příspěvek od vodiče B: φ A ln K φ B ln K 2 2π ε 0 2π ε 0 s V bodě je výsledný potenciál :
21 φ φ A φ B ln K ln K 2 2π ε 0 s V bodě 2 n vodiči B je : příspěvek potenciálu od vodiče A příspěvek od vlstního vodiče B: φ A2 ln K φ B2 s 2π ε 0 ln K 2 V bodě 2 je výsledný potenciál : φ 2 φ A2 φ B2 ln K ln K 2 2π ε 0 s 2π ε 0 Mezi vodiči (mezi bodem 2) je npětí : φ φ 2 ln ln s ln s ln Poloměr můžeme ve srovnání se vzdáleností znedbt, což je důležitý výchozí předpokld tohoto výpočtu, můžeme jej tedy znedbt i ve výsledném vzthu pro npětí, jeho uvžováním se stejně přesnost výpočtu nemůže zlepšit: πε 0 ln s πε 0 ln s N konstntách K K2 vůbec nezáleží, použijeme-li potenciál pro výpočet npětí, konstnty se nvzájem odečtou. Mezi nábojem npětím pltí vzth: l V nšem přípdě tedy : πε 0 ln s Z toho vyplývá vzth pro velikost kpcity n jednotku délky mezi dvěm rovnoběžnými válcovými vodiči: πε 0 l ln s
22 Zcel stejné vzthy obdržíme integrcí výsledné hodnoty intenzity elektrického pole mezi válcovými vodiči. Výsledné elektrické pole bude mít velikost: Ex () x s x Při výpočtu je třeb uvážit, že se v tomto prostoru elektrické pole kldně i záporně nbitého vodiče sčítá. Pro výsledné npětí bude pltit : s Ex () dx s x s x dx πε 0 ln s To jsou zcel identické vzthy jko při výpočtu npětí pomocí potenciálů.
23 Příkld 30 : Kpcit kulové elektrody proti vodivé nekonečně rozlehlé rovině Předpokládné znlosti: Potenciál nbité vodivé koule Příkld 3 Intenzit elektrického pole nbité koule Příkld 8 Kpcit mezi kulovými elektrodmi Příkld 28 Vodivá rovin je z hledisk elektrického pole : ) ekvipotenciální ploch ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do této roviny kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhrdním uspořádáním, ve kterém vliv vodivé roviny nhrdíme stejně velkým le opčným nábojem, umístěným symetricky n druhé strně roviny ( metod zrcdlení). Potom je potenciál v libovolném bodě roviny skutečně konstntní. Kždý bod n rovině musí mít totiž stejnou vzdálenost od kldného i záporného náboje, npříkld vzdálenost r X jko n obrázku. Pro výsledný potenciál n rovině bude pltit : φ ( r x ) K K 2 K K 2 konst r x 4π ε 0 r x Intenzit elektrického pole v libovolném místě roviny, npříkld v bodě o vzdálenosti r X, je dán součtem intenzity od kldného i záporného náboje. Výslednice (viz obrázek) skutečně směřuje ve směru normály k rovině. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítt pomocí superpozice dvou nábojů v náhrdní soustvě. Budeme-li uvžovt, že mezi kulovou elektrodu vodivou rovinu připojíme npětí o velikosti, potom se n elektrodě objeví náboj n rovině náboj. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítt velikost npětí njít vzth pro kpcitu. Npětí lze vypočítt jko rozdíl potenciálů v bodě 2. Dále uvedené vzthy pltí pouze z předpokldu, že pole kulových elektrod zchová svojí sférickou symetrii rozložení náboje n elektrodách nebude podsttně ovlivněno
24 výsledným rozložením elektrického pole. Příspěvky jednotlivých nábojů lze potom počítt ze vzthů pltných pro osmocené kulové elektrody. To vše je splněno z podmínky, že poloměr kulové elektrody je podsttně menší, než vzdálenost k vodivé rovině. Potenciál v bodě je dán součtem potenciálu kldného záporného náboje v tomto bodě: φ K K 2 4π ε 0 2h Konstnt K K2 může být zcel libovolná, při výpočtu npětí n velikosti konstnt nezáleží. Potenciál v bodě 2 je dán součtem potenciálu kldného záporného náboje v tomto bodě: φ 2 K K 2 K K 2 konst h 4π ε 0 h Npětí mezi bodem 2 ( npětí mezi vodičem rovinou) je potom dáno vzthem: φ φ 2 2h V tomto vzthu lze poloměr kulové elektrody znedbt proti vzdálenosti kulové elektrody od roviny. Vzdálenost od roviny musí být podsttně větší než poloměr vodiče, jink by uvedený výpočet nepltil. Toto znedbání nemůže tedy přesnost výpočtu ni poškodit, ni vylepšit. 2h Pro vzth mezi nábojem kpcitou pltí: V nšem přípdě je tedy : 2h Z toho vyplývá vzth po kpcitu kulové elektrody proti vodivé rovině: 2h
25 Příkld 3 : Kpcit válcového vodiče proti vodivé nekonečně rozlehlé rovině Předpokládné znlosti: Potenciál válcového vodiče Příkld 7 Intenzit elektrického pole válcového vodiče Příkld 7 Kpcit mezi rovnoběžnými vodiči Příkld 29 Koule nd vodivou rovinou podobná úloh Příkld 30 Vodivá rovin je z hledisk elektrického pole : ) ekvipotenciální ploch ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do této roviny kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhrdním uspořádáním, ve kterém vliv vodivé roviny nhrdíme stejně velkým le opčně nbitým fiktivním vodičem, umístěným symetricky n druhé strně roviny ( metod zrcdlení) Potom je potenciál v libovolném bodě roviny skutečně konstntní. Kždý bod n rovině musí mít totiž stejnou vzdálenost od kldného i záporného náboje, npříkld vzdálenost r X jko n obrázku. Pro výsledný potenciál n rovině bude pltit : φ ( r x ) ln K ln r K 2 K K 2 konst x 2π ε 0 r x Intenzit elektrického pole v libovolném místě roviny, npříkld bodě o vzdálenosti r X, je dán součtem intenzity od kldně i záporně nbitého vodiče. Výslednice (viz obrázek) skutečně směřuje ve směru normály k rovině. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítt pomocí superpozice dvou nábojů v náhrdní soustvě. Budeme-li uvžovt, že mezi vodič vodivou rovinu připojíme npětí o velikosti, potom se n vodiči objeví náboj n rovině náboj s hustotou odpovídjící hodnotě. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítt velikost npětí njít vzth pro kpcitu. Npětí lze vypočítt jko rozdíl potenciálů v bodě 2.
26 Dále uvedené vzthy pltí pouze z předpokldu, že pole válcového vodiče zchová svojí válcovou symetrii rozložení náboje n vodiči nebude podsttně ovlivněno výsledným rozložením elektrického pole. Příspěvky jednotlivých nábojů lze potom počítt ze vzthů pltných pro osmocené válcové vodiče. To vše je splněno pouze z předpokldu, že poloměr válcového vodiče je podsttně menší, než vzdálenost k vodivé rovině. Potenciál v bodě je dán součtem potenciálu kldně záporně nbitého vodiče v tomto bodě: φ ln K ln K 2 2π ε 0 2h Konstnt K K2 může být zcel libovolná, při výpočtu npětí n velikosti konstnt nezáleží. Potenciál v bodě 2 je dán součtem potenciálu kldně záporně nbitého vodiče v tomto bodě φ 2 ln K ln K 2 K K 2 konst h 2π ε 0 h Npětí mezi bodem 2 ( npětí mezi vodičem rovinou) je potom dáno vzthem: φ φ 2 ln 2h V tomto vzthu lze poloměr válcového vodiče znedbt proti vzdálenosti od roviny. Vzdálenost od roviny musí být podsttně větší než poloměr vodiče, jink by uvedený výpočet nepltil. Toto znedbání nemůže tedy přesnost výpočtu ni poškodit, ni vylepšit. ln 2h Pro vzth mezi nábojem kpcitou pltí: l V nšem přípdě je tedy : ln 2h Z toho vyplývá vzth po kpcitu n jednotku délky vodiče proti vodivé rovině: l ln 2h
27 Příkld 32 : Kpcit válcového vodiče proti dvěm vodivým nekonečně rozlehlým kolmým rovinám Předpokládné znlosti: Potenciál válcového vodiče Příkld 7 Intenzit elektrického pole válcového vodiče Příkld 7 Vodič nd vodivou rovinou podobná úloh - Příkld 30 Vodivé roviny jsou z hledisk elektrického pole : ) ekvipotenciální plochy ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do těchto rovin kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhrdním uspořádáním, ve kterém vliv vodivých rovin nhrdíme doplněním fiktivních vodičů s náboji jko n obrázku. Potenciál v libovolném bodě obou z rovin je potom skutečně konstntní. Kždý bod n rovině má totiž stejnou vzdálenost od kldných i záporných nábojů. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítt pomocí superpozice pole nbitých vodičů v náhrdní soustvě. Budeme-li uvžovt, že mezi vodič vodivou rovinu připojíme npětí o velikosti, potom se n vodiči objeví náboj n rovinách náboj s hustotou odpovídjící hodnotě. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítt velikost npětí njít vzth pro kpcitu. Npětí lze vypočítt jko rozdíl potenciálů mezi body 2.
28 vedené vzthy pltí podobně jko v předchozím příkldu ( Příkld 30 ) pouze z předpokldu, že vzdálenost od rovin je podsttně větší, než poloměr vodiče. Potenciál v bodě je dán součtem potenciálu skutečného vodiče i fiktivních obrzů, zvolíme-li nvíc potenciál n vodivých rovinách nulový, budou nulové i všechny integrční konstnty u potenciálů bude pltit : φ ln ln 2h ln 2 h 2 h 2 2 ln 2h 2 φ ln 2h h 2 2 h h 2 2 Potenciál v bodě 2 n rovině je konstntní, jeho hodnot byl zvolen nulová : φ 2 0 Npětí mezi bodem 2 ( npětí mezi vodičem rovinou) je potom dáno vzthem: φ φ 2 ln 2h h 2 2 h h 2 2 Pro vzth mezi nábojem kpcitou pltí: l V nšem přípdě je tedy : ln 2h h 2 2 h h 2 2 Z toho vyplývá vzth po kpcitu n jednotku délky vodiče proti vodivým rovinám: l ln 2h h 2 2 h h 2 2
Elektrické pole vybuzené nábojem Q2 působí na náboj Q1 silou, která je stejně veliká a opačná: F 12 F 21
Příklad : Síla působící mezi dvěma bodovými náboji Dva bodové náboje na sebe působí ve vakuu silou, která je dána Coulombovým zákonem. Síla je přímo úměrná velikosti nábojů, nepřímo úměrná kvadrátu vzdálenosti,
VíceGAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY
GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceM A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)
5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete
Více= 2888,9 cm -1. Relativní atomové hmotnosti. leží stejný přechod pro molekulu H 37 Cl? Výsledek vyjádřete jako
Přijímcí zkoušk n nvzující mgisterské studium - 018 Studijní progrm Fyzik - všechny obory kromě Učitelství fyziky-mtemtiky pro střední školy, Vrint A Příkld 1 Určete periodu periodického pohybu těles,
Více7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro
7 Gaussova věta Zadání Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro následující nabitá tělesa:. rovnoměrně nabitou kouli s objemovou hustotou nábojeρ,
VícePříklad 33 : Energie elektrického pole deskového kondenzátoru. Ověření vztahu mezi energií, kapacitou a veličinami pole.
Přík 33 : Energie eektrického poe eskového konenzátoru. Ověření vzthu mezi energií, kpcitou veičinmi poe. Přepokáné znosti: Eektrické poe kpcit eskového konenzátoru Přík V eskovém konenzátoru je eektrické
VíceELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie
ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ
VíceOhýbaný nosník - napětí
Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se
VíceHlavní body - magnetismus
Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického
VíceElektrostatické pole. Vznik a zobrazení elektrostatického pole
Elektrostatické pole Vznik a zobrazení elektrostatického pole Elektrostatické pole vzniká kolem nepohyblivých těles, které mají elektrický náboj. Tento náboj mohl vzniknout například přivedením elektrického
VíceStudijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE
ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceELEKTROSTATIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník
ELEKTROSTATIKA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník Elektrický náboj Dva druhy: kladný a záporný. Elektricky nabitá tělesa. Elektroskop a elektrometr. Vodiče a nevodiče
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
VíceVzorová řešení čtvrté série úloh
FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fkult Msrykovy univerzity v Brně KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 8. ročník 001/00 Vzorová řešení čtvrté série úloh (5 bodů) Vzorové řešení úlohy č. 1 (8 bodů) Volný pád Měsíce
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
Více25 Měrný náboj elektronu
5 Měrný náboj elektronu ÚKOL Stnovte ěrný náboj elektronu e výsledek porovnejte s tbulkovou hodnotou. TEORIE Poěr náboje elektronu e hotnosti elektronu nzýváe ěrný náboj elektronu. Jednou z ožných etod
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceTECHNIKA VYSOKÝCH NAPĚŤÍ. #4 Elektrické výboje v elektroenergetice
TECHNIKA VYSOKÝCH NAPĚŤÍ #4 Elektrické výboje v elektroenergetice Korónový výboj V homogenním elektrickém poli dochází k celkovému přeskoku mezi elektrodami najednou U nehomogenních uspořádání dochází
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
Více2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
Více(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a
Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VícePříklad 46 : Magnetické pole kolem přímého dlouhého tenkého vodiče
Příkld 46 : Mgnetické pole kolem příméo dlouéo tenkéo vodiče Siločáry mgnetickéo pole tvoří koncentrické kružnice se středy n ose proudovodiče. Smysl intenzity elektrickéo pole siločr je dán prvidlem prvé
VíceTechnika vysokých napětí. Elektrické výboje v elektroenergetice
Elektrické výboje v elektroenergetice Korónový výboj V homogenním elektrickém poli dochází k celkovému přeskoku mezi elektrodami najednou U nehomogenních uspořádání dochází k optickým a akustickým projevům
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceLaboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:
Truhlář Michl 3 005 Lbortorní práce č 6 Úloh č 5 p 99,8kP Měření odporu, indukčnosti vzájemné indukčnosti můstkovými metodmi: Úkol: Whetstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového
Vícea) [0,4 b] r < R, b) [0,4 b] r R c) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty.
Příklady: 24. Gaussův zákon elektrostatiky 1. Na obrázku je řez dlouhou tenkostěnnou kovovou trubkou o poloměru R, která nese na povrchu náboj s plošnou hustotou σ. Vyjádřete velikost intenzity E jako
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
Více5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k
VíceLaboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:
Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
Více{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507
58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice
Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme
VíceMatematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VícePružnost a plasticita II
Pružnost plsticit II. ročník klářského studi doc. In. Mrtin Krejs, Ph.D. Ktedr stvení mechnik Řešení nosných stěn pomocí Airho funkce npětí inverzní metod Stěnová rovnice ΔΔ(, ) Stěnová rovnice, nzývná
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceSLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ
h Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 11. SRPNA 2013 Název zprcovného celku: SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ Ke sloţenému nmáhání dojde tehdy, vyskytnou-li se součsně
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
VíceI. termodynamický zákon
řednášk 4 I. termodynmický zákon I. termodynmický zákon jkožto nejobecnější zákon zchování energie je jedním ze zákldních stvebních kmenů termodynmiky. této přednášce zopkujeme znění tohoto zákon n jeho
VíceObr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou
MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceS t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006
8. ELEKTRICKÉ STROJE TOČIVÉ rčeno pro posluchče bklářských studijních progrmů FS S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslv Stýskl, Ph.D., únor 6 Řešené příkldy Příkld 8. Mechnické chrkteristiky Stejnosměrný
VíceLectureIII. April 17, P = P (ρ) = P (ε)
LectureIII April 17, 2016 1 Modely vesmíru I. 1.1 Stvová rovnice Víme již, že k řešení Friedmnnových rovnic je nám zpotřebí znlost stvové rovnice pro příslušnou komponentu, příspívjící k hustotě energie
VíceDefinice limit I
08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceCvičení F2070 Elektřina a magnetismus
Cvičení F2070 Elektřina a magnetismus 20.3.2009 Elektrický potenciál, elektrická potenciální energie, ekvipotenciální plochy, potenciál bodového náboje, soustavy bodových nábojů, elektrického pole dipólu,
Více( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501
1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceIII.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Téma: Elektřina a magnetismus Autor: Název: Alena Škárová Vodič a izolant
VíceTéma Přetvoření nosníků namáhaných ohybem
Pružnost plsticit,.ročník bklářského studi Tém Přetvoření nosníků nmáhných ohbem Zákldní vth předpokld řešení Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení etod přímé integrce diferenciální rovnice ohbové
VíceLineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
VíceELEKTRICKÝ NÁBOJ A ELEKTRICKÉ POLE
ELEKTRICKÝ NÁBOJ ELEKTRICKÉ POLE 1. Elektrický náboj, elektrická síla Elektrické pole je prostor v okolí nabitých těles nebo částic. Jako jiné druhy polí je to způsob existence hmoty. Elektrický náboj
VíceOdraz na kulové ploše Duté zrcadlo
Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku
Více2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Vybrná spojitá rozdělení Zákldní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množin. Z je tedy podmnožin množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
Více2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice
59 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 57, 58 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin Příkld 8 9 zůstávjí n vičení nebo polovinu hodin při píseme + b + - zákldní
VíceNeurčité výrazy
.. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu
VíceMartin Kihoulou. j plos F = Protože magnetické pole je homogenní, lze jej z integrálu vytknout
Vzorné řešení písemné práce z Klsické elektrodynmiky Mrtin Kihoulou Úloh 1 Do homogenního mgnetického pole B = B e y je vložen přímý vodič ve tvru pláště válce x + y =. Po povrchu teče rovoměrně rozložený
VíceElektrický náboj a elektrické pole
I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Elektrický náboj a elektrické
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
VíceVýpočet vnitřních sil přímého nosníku
Stvení sttik, 1.ročník klářského studi ýpočet vnitřních sil přímého nosníku nitřní síly přímého vodorovného nosníku prostý nosník konzol nosník s převislým koncem Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, ŠB
VíceTéma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592
Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
Více2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic
..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
Více4.1.7 Rozložení náboje na vodiči
4.1.7 Rozložení náboje na vodiči Předpoklady: 4101, 4102, 4104, 4105, 4106 Opakování: vodič látka, ve které se mohou volně pohybovat nosiče náboje (většinou elektrony), nemohou ji však opustit (bez doteku
Více