Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem"

Transkript

1 Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen deskový kondenzátor, S znčí plochu desek kondenzátoru. Budeme-li předpokládt, že mezi desky kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n deskách stejně veliký le opčný náboj, n levé desce npříkld, n prvé desce. Mezi deskmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou rovnoběžných rovin (Příkld 2) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dx ( ) konst σ S Intenzit elektrického pole bude: Ex () Dx () ε ε 0 S Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n deskách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi : x d x 0 Ex () dx ε 0 S d Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě :

2 ε 0 S d Pro kpcitu deskového kondenzátoru vyplyne vzth: ε 0 S d Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozího vzthu pro intenzitu elektrického pole: Ex () ε 0 S ε 0 d S ε 0 S d V deskovém kondenzátoru je podle předpokldu všude stejně veliká intenzit elektrického pole, je dán podílem npětí vzdálenosti mezi deskmi. V přípdě homogenního dielektrik intenzit elektrického pole vůbec nezávisí n velikosti permitivity.

3 Příkld 23 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru se složeným dieletrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen deskový kondenzátor se složeným dielektrikem, S znčí plochu desek kondenzátoru. Budeme-li předpokládt, že mezi desky kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n deskách stejně veliký le opčný náboj, n levé desce npříkld, n prvé desce. Mezi deskmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou rovnoběžných rovin (Příkld 2) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dx ( ) konst σ S Pozn. Elektrická indukce není závislá n prostředí, le pouze n volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole n geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jko v Příkldu 22 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzit elektrického pole je závislá n permitivitě, odráží se zde vliv vázných nábojů v dielektriku, bude pro kždý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzit elektrického pole bude: v úseku : 0 x d E () x Dx () ε v úseku 2: d x d 2 E 2 () x Dx () ε 2 ε 0 S ε 0 2 S

4 v úseku 3: d 2 x d 3 E 3 () x Dx () ε 3 ε 0 3 S Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n deskách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi ( integrci je třeb rozdělit n tři úseky, ve kterých je intenzit elektrického pole spojitá) : x d x 0 Ex () dx 0 d E () x dx d 2 d E 2 () x dx d 3 d 2 E 3 () x dx ε 0 S d ε 0 2 S d 2 ε 0 3 S d 3 Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě : d ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 3 ε 0 3 S Pro kpcitu deskového kondenzátoru s děleným dielektrikem vyplyne vzth: d ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 3 ε 0 3 S 2 3 Z výsledného vzthu pro kpcitu je ptrno, že si můžeme celý problém předstvit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 2 3 ε 0 3 S d 3

5 Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozích vzthů pro intenzitu elektrického pole: E () x ε 0 S d ε 0 S d 2 ε 0 2 S d 3 ε 0 3 S ε 0 S E () x d d 2 2 d 3 3 Podobně i ve zbylých dvou úsecích: E 2 () x d d d 3 3 E 3 () x d d d 3 3 V deskovém kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzit elektrického pole rozdělí n jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá n bsolutní hodnotě permitivity.

6 Příkld 24 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s kulovými elektrodmi jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm opčně nbitými koulemi Příkld 9 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen kondenzátor, jehož elektrody tvoří sférické plochy o poloměru b: Budeme-li předpokládt, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n nich stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem mezi dvěm opčně nbitými koncentrickými koulemi (Příkld 2) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 4π Intenzit elektrického pole bude: Er () Dr () ε Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n elektrodách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi : b Er () dr b dr Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě : b

7 4π ε 0 b Pro kpcitu kulového kondenzátoru vyplyne vzth: b Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozího vzthu pro intenzitu elektrického pole: Er () b b V kulovém kondenzátoru klesá intenzit s kvdrátem poloměru. V přípdě homogenního dielektrik intenzit elektrického pole vůbec nezávisí n velikosti permitivity. Poznámk : V přípdě, že bude mít vnější elektrod hodně velký poloměr, přejde vzth pro kpcitu n: 4π ε 0 V této souvislosti lze mluvit o kpcitě osmocené koule proti elektrodě v nekonečnu.

8 Příkld 25 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s kulovými elektrodmi složeným dieletrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými koulemi Příkld 9 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen kondenzátor s kulovými elektrodmi složeným dielektrikem. Budeme-li předpokládt, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n elektrodách stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou koncentrických koulí (Příkld 9) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 4π Pozn. Elektrická indukce není závislá n prostředí, le pouze n volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole n geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jko v Příkldu 24 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzit elektrického pole je závislá n permitivitě, odráží se zde vliv vázných nábojů v dielektriku, bude pro kždý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzit elektrického pole bude: v úseku : r r E () r v úseku 2: Dr () ε r r 3 E 2 () r Dr () ε 2 v úseku 3: r 3 r r 4 E 3 () r Dr () ε 3 2 3

9 Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n deskách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi ( integrci je třeb rozdělit n tři úseky, ve kterých je intenzit elektrického pole spojitá) : r 4 r Er () dr r E () r dr r 3 E 2 () r dr r 4 r 3 E 3 () r dr r 2 r 3 3 r 3 r 4 Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Potom po úprvě v nšem přípdě : r 4π ε 0 2 r 3 3 r 3 r 4 Pro kpcitu kondenzátoru s kulovými elektrodmi děleným dielektrikem vyplyne vzth: r 4π ε 0 2 r 3 3 r 3 r Z výsledného vzthu pro kpcitu je ptrno, že si můžeme celý problém předstvit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: r 2 2 r r 3 r 4 Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozích vzthů pro intenzitu elektrického pole:

10 E () r r 4π ε 0 2 r 3 3 r 3 r 4 E () r r 2 r 3 3 r 3 r 4 Podobně i ve zbylých dvou úsecích: E 2 () r 2 r 2 r 3 3 r 3 r 4 E 3 () r 3 r 2 r 3 3 r 3 r 4 V kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzit elektrického pole rozdělí n jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá n bsolutní hodnotě permitivity. V kždém úseku je největší intenzit elektrického pole n vnitřním poloměru tohoto úseku.

11 Příkld 26 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v kondenzátoru s válcovými elektrodmi jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm opčně nbitými válci Příkld 20 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen válcový kondenzátor poloměrech elektrod b. Budeme-li předpokládt, že mezi elektrody kondenzátoru přiložíme npětí, objeví se n nich stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld náboj o liniové hustotě, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem mezi dvěm opčně nbitými koncentrickými válci (Příkld 20) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 2π r Intenzit elektrického pole bude: Er () Dr () ε r Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n elektrodách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi deskmi : b Er () dr b r dr ln b Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : elkový náboj je dán liniovou hustotou náboje délkou kondenzátoru : h

12 Potom po úprvě v nšem přípdě : 2π ε 0 ln b Pro kpcitu válcového kondenzátoru vyplyne vzth: h 2π ε 0 ln b h V přípdě koxiálních kbelů, které se z hledisk elektrosttického pole chovjí jko válcové kondenzátory, se čsto specifikuje kpcit n jednotku délky : 2π ε 0 l ln b Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozího vzthu pro intenzitu elektrického pole: 2π ε 0 Er () 2π ε 0 r ln b 2π ε 0 r rln b Ve válcovém kondenzátoru klesá intenzit nepřímo úměrně s poloměrem. V přípdě homogenního dielektrik intenzit elektrického pole vůbec nezávisí n velikosti permitivity.

13 Příkld 27 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole ve válcovém kondenzátoru se složeným dieletrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými válci Příkld 20 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. N obrázku je nkreslen válcový kondenzátor se složeným dielektrikem. Budeme-li předpokládt, že přiložíme mezi elektrody kondenzátoru npětí, objeví se n elektrodách stejně veliký le opčný náboj, n vnitřní elektrodě npříkld náboj o liniové hustotě, n vnější. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole, které je totožné s polem dvou koncentrických válců (Příkld 20) : Elektrická indukce tohoto pole bude : Dr () 2π r Pozn. Elektrická indukce není závislá n prostředí, le pouze n volných nábojích, které jsou zdrojem elektrického pole n geometrii elektrod. ( indukce je tedy shodná jko v Příkldu 26 u kondenzátoru s neděleným dielektrikem) Intenzit elektrického pole je závislá n permitivitě, odráží se zde vliv vázných nábojů v dielektriku, bude pro kždý úsek s rozdílnou permitivitou jiná : Intenzit elektrického pole bude: v úseku : r r E () r Dr () ε r v úseku 2: r r 3 E 2 () r Dr () ε 2 2 r

14 v úseku 3: r 3 r r 4 E 3 () r Dr () ε 3 3 r Máme-li vyjádřeny veličiny elektrického pole pro dný náboj n elektrodách, je možné zpětně dopočítt odpovídjící npětí mezi elektrodmi ( integrci je třeb rozdělit n tři úseky, ve kterých je intenzit elektrického pole spojitá) : r 4 r Ex () dx r E () x dx r 3 E 2 () x dx r 4 r 3 E 3 () x dx ln r 2 ln r 3 3 ln r 4 r 3 Pozn.: Vzth mezi npětím intenzitou pole v této podobě pltí v přípdě, že integrční dráh vede podél siločáry elektrického pole. Obecně by v integrálu musel být sklární součin intenzity pole vektoru ve směru dráhy. vážíme-li, že pltí : Po vyjádření pomocí liniové hustoty náboje : h Potom po úprvě v nšem přípdě : ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 Pro kpcitu kondenzátoru s kulovými elektrodmi děleným dielektrikem vyplyne vzth: h ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 h 2 3

15 Z výsledného vzthu pro kpcitu je ptrno, že si můžeme celý problém předstvit v podobě pomyslných dílčích kondenzátorů jednotlivých úseků, které jsou spojeny do série: ln r 2π ε 0 h 2 ln r 3 2 2π ε 0 h 3 ln r 4 r 3 3 h koxiálních kbelů, které předstvují z hledisk elektrického pole tké válcový kondenzátor, se čsto uvádí kpcit n jednotku délky kbelu: l ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 Z technického hledisk je velice důležitá úloh vypočítt pro zdné npětí zdný tvr elektrod intenzitu elektrického pole v libovolném místě. Intenzit pole je mírou elektrické pevnosti, elektrickou pevností izolčních mteriálů rozumíme obvykle mximální dovolenou intenzitu elektrického pole. Vzth pro intenzitu v závislosti n npětí je možno získt zpětným doszením z náboj do výchozích vzthů pro intenzitu elektrického pole: E () r r ln r 2π ε 0 ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 ( 2π ε 0 ) r E () r r ln r ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 Podobně i ve zbylých dvou úsecích:

16 E 2 () r 2 r ln r ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 E 3 () r 3 r ln r ln r 3 2 ln r 4 r 3 3 V kondenzátoru se složeným dielektrikem se intenzit elektrického pole rozdělí n jednotlivé úseky v poměru permitivit, není závislá n bsolutní hodnotě permitivity. V kždém úseku je největší intenzit elektrického pole n vnitřním poloměru tohoto úseku.

17 Příkld 28 : Kpcit mezi dvěm kulovými dosttečně vzdálenými elektrodmi Přepokládné znlosti: Potenciál nbité vodivé koule Příkld 3 Intenzit elektrického pole nbité koule Příkld 8 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. Budeme-li předpokládt, že mezi kulové elektrody přiložíme npětí, objeví se n elektrodách stejně veliký le opčný náboj, n levé elektrodě npříkld, n prvé. Mezi elektrodmi vznikne elektrické pole. Výsledné elektrické pole lze sndno vypočítt z předpokldu, že se náboj n elektrodách rozloží rovnoměrně se sférickou symetrií podobně jko u smosttných nbitých kulových elektrod. To pltí v přípdě, že poloměry kulových elektrod i 2 jsou podsttně menší než vzdálenost s., 2 < s Výsledné elektrické pole je potom možno počítt jko superpozici polí dvou osmocených kulových elektrod. Z veličin vzniklého elektrického pole lze zpětně dopočítt velikost npětí tím získt závislost mezi npětím nábojem. Pro výpočet npětí mezi elektrodmi je možné v tomto přípdě použít potenciály elektrického pole. Potenciály od jednotlivých nábojů lze v kždém bodě sčítt, npětí mezi dvěm body je dáno rozdílem potenciálů těchto bodů. V bodě n elektrodě A je : příspěvek potenciálu od vlstní elektrody A příspěvek od elektrody B: φ A K φ B 4π ε 0 K 2 s V bodě je výsledný potenciál : φ φ A φ B K K 2 4π ε 0 4π ε 0 s

18 V bodě 2 n elektrodě B je : příspěvek potenciálu od elektrody A příspěvek od vlstní elektrody B: φ A2 K φ B2 K 2 4π ε 0 s 2 4π ε 0 2 V bodě 2 je výsledný potenciál : φ 2 φ A2 φ B2 K K 2 4π ε 0 s 2 4π ε 0 2 Mezi elektrodmi ( mezi bodem 2) je npětí : φ φ 2 s s 2 2 Poloměry 2 můžeme ve srovnání se vzdáleností znedbt, což je důležitý výchozí předpokld tohoto výpočtu, můžeme je tedy znedbt i ve výsledném vzthu pro npětí, jejich uvžováním se stejně přesnost výpočtu nezlepší: 2 s 2 N konstntách K K2 vůbec nezáleží, použijeme-li potenciál pro výpočet npětí, konstnty se nvzájem odečtou. Mezi nábojem npětím pltí vzth: V nšem přípdě tedy : 4π ε 0 2 s 2 Z toho vyplývá vzth pro velikost kpcity mezi kulovými elektrodmi : 2 s 2 Zcel stejné vzthy obdržíme integrcí výsledné hodnoty intenzity elektrického pole mezi kulovými elektrodmi.

19 Výsledné elektrické pole bude mít velikost: Ex () E A () x E B () x x 2 ( s x) 2 Při výpočtu je třeb uvážit, že se v tomto prostoru elektrické pole kldně i záporně nbité kulové elektrody sčítá. Pro výsledné npětí bude pltit : s 2 Ex () dx s 2 x 2 ( s x) 2 dx s s 2 2 To jsou zcel identické vzthy jko při výpočtu npětí pomocí potenciálů.

20 Příkld 29 : Kpcit mezi dvěm rovnoběžnými válcovými dosttečně vzdálenými vodiči (dvouvodičové vedení) Předpokládné znlosti: Potenciál intenzit elektrického pole nbitého válcového vodiče- Příkld 7 Kpcit kondenzátoru je konstnt udávjící vzth mezi nábojem npětím n elektrodách: Použijeme-li tento vzth pro jednotkovou délku vedení, je n ní náboj dný liniovou hustotou, vedení má kpcitu n jednotku délk /l pltí: l Kpcit je závislá n tvru vzájemné poloze elektrod tké n permitivitě izolčního mteriálu mezi elektrodmi. Budeme-li předpokládt, že mezi vodiče přiložíme npětí, objeví se n vodičích stejně veliký le opčný náboj, n levém vodiči npříkld náboj o liniové hustotě, n prvém náboj o liniové hustotě -. Mezi vodiči vznikne elektrické pole. Výsledné elektrické pole lze sndno vypočítt z předpokldu, že se náboj n vodičích rozloží rovnoměrně s válcovou symetrií podobně jko u smosttných nbitých válcových vodičů. To pltí v přípdě, že poloměry vodičů jsou podsttně menší než vzdálenost s. < s Výsledné elektrické pole je potom možno počítt jko superpozici polí dvou osmocených válcových vodičů. Z veličin vzniklého elektrického pole lze zpětně dopočítt velikost npětí tím získt závislost mezi npětím nábojem. Pro výpočet npětí mezi vodiči je možné v tomto přípdě použít potenciály elektrického pole. Potenciály od jednotlivých vodičů lze v kždém bodě sčítt, npětí mezi dvěm body je dáno rozdílem potenciálů těchto bodů. V bodě n vodiči A je : příspěvek potenciálu od vlstního vodiče A příspěvek od vodiče B: φ A ln K φ B ln K 2 2π ε 0 2π ε 0 s V bodě je výsledný potenciál :

21 φ φ A φ B ln K ln K 2 2π ε 0 s V bodě 2 n vodiči B je : příspěvek potenciálu od vodiče A příspěvek od vlstního vodiče B: φ A2 ln K φ B2 s 2π ε 0 ln K 2 V bodě 2 je výsledný potenciál : φ 2 φ A2 φ B2 ln K ln K 2 2π ε 0 s 2π ε 0 Mezi vodiči (mezi bodem 2) je npětí : φ φ 2 ln ln s ln s ln Poloměr můžeme ve srovnání se vzdáleností znedbt, což je důležitý výchozí předpokld tohoto výpočtu, můžeme jej tedy znedbt i ve výsledném vzthu pro npětí, jeho uvžováním se stejně přesnost výpočtu nemůže zlepšit: πε 0 ln s πε 0 ln s N konstntách K K2 vůbec nezáleží, použijeme-li potenciál pro výpočet npětí, konstnty se nvzájem odečtou. Mezi nábojem npětím pltí vzth: l V nšem přípdě tedy : πε 0 ln s Z toho vyplývá vzth pro velikost kpcity n jednotku délky mezi dvěm rovnoběžnými válcovými vodiči: πε 0 l ln s

22 Zcel stejné vzthy obdržíme integrcí výsledné hodnoty intenzity elektrického pole mezi válcovými vodiči. Výsledné elektrické pole bude mít velikost: Ex () x s x Při výpočtu je třeb uvážit, že se v tomto prostoru elektrické pole kldně i záporně nbitého vodiče sčítá. Pro výsledné npětí bude pltit : s Ex () dx s x s x dx πε 0 ln s To jsou zcel identické vzthy jko při výpočtu npětí pomocí potenciálů.

23 Příkld 30 : Kpcit kulové elektrody proti vodivé nekonečně rozlehlé rovině Předpokládné znlosti: Potenciál nbité vodivé koule Příkld 3 Intenzit elektrického pole nbité koule Příkld 8 Kpcit mezi kulovými elektrodmi Příkld 28 Vodivá rovin je z hledisk elektrického pole : ) ekvipotenciální ploch ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do této roviny kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhrdním uspořádáním, ve kterém vliv vodivé roviny nhrdíme stejně velkým le opčným nábojem, umístěným symetricky n druhé strně roviny ( metod zrcdlení). Potom je potenciál v libovolném bodě roviny skutečně konstntní. Kždý bod n rovině musí mít totiž stejnou vzdálenost od kldného i záporného náboje, npříkld vzdálenost r X jko n obrázku. Pro výsledný potenciál n rovině bude pltit : φ ( r x ) K K 2 K K 2 konst r x 4π ε 0 r x Intenzit elektrického pole v libovolném místě roviny, npříkld v bodě o vzdálenosti r X, je dán součtem intenzity od kldného i záporného náboje. Výslednice (viz obrázek) skutečně směřuje ve směru normály k rovině. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítt pomocí superpozice dvou nábojů v náhrdní soustvě. Budeme-li uvžovt, že mezi kulovou elektrodu vodivou rovinu připojíme npětí o velikosti, potom se n elektrodě objeví náboj n rovině náboj. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítt velikost npětí njít vzth pro kpcitu. Npětí lze vypočítt jko rozdíl potenciálů v bodě 2. Dále uvedené vzthy pltí pouze z předpokldu, že pole kulových elektrod zchová svojí sférickou symetrii rozložení náboje n elektrodách nebude podsttně ovlivněno

24 výsledným rozložením elektrického pole. Příspěvky jednotlivých nábojů lze potom počítt ze vzthů pltných pro osmocené kulové elektrody. To vše je splněno z podmínky, že poloměr kulové elektrody je podsttně menší, než vzdálenost k vodivé rovině. Potenciál v bodě je dán součtem potenciálu kldného záporného náboje v tomto bodě: φ K K 2 4π ε 0 2h Konstnt K K2 může být zcel libovolná, při výpočtu npětí n velikosti konstnt nezáleží. Potenciál v bodě 2 je dán součtem potenciálu kldného záporného náboje v tomto bodě: φ 2 K K 2 K K 2 konst h 4π ε 0 h Npětí mezi bodem 2 ( npětí mezi vodičem rovinou) je potom dáno vzthem: φ φ 2 2h V tomto vzthu lze poloměr kulové elektrody znedbt proti vzdálenosti kulové elektrody od roviny. Vzdálenost od roviny musí být podsttně větší než poloměr vodiče, jink by uvedený výpočet nepltil. Toto znedbání nemůže tedy přesnost výpočtu ni poškodit, ni vylepšit. 2h Pro vzth mezi nábojem kpcitou pltí: V nšem přípdě je tedy : 2h Z toho vyplývá vzth po kpcitu kulové elektrody proti vodivé rovině: 2h

25 Příkld 3 : Kpcit válcového vodiče proti vodivé nekonečně rozlehlé rovině Předpokládné znlosti: Potenciál válcového vodiče Příkld 7 Intenzit elektrického pole válcového vodiče Příkld 7 Kpcit mezi rovnoběžnými vodiči Příkld 29 Koule nd vodivou rovinou podobná úloh Příkld 30 Vodivá rovin je z hledisk elektrického pole : ) ekvipotenciální ploch ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do této roviny kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhrdním uspořádáním, ve kterém vliv vodivé roviny nhrdíme stejně velkým le opčně nbitým fiktivním vodičem, umístěným symetricky n druhé strně roviny ( metod zrcdlení) Potom je potenciál v libovolném bodě roviny skutečně konstntní. Kždý bod n rovině musí mít totiž stejnou vzdálenost od kldného i záporného náboje, npříkld vzdálenost r X jko n obrázku. Pro výsledný potenciál n rovině bude pltit : φ ( r x ) ln K ln r K 2 K K 2 konst x 2π ε 0 r x Intenzit elektrického pole v libovolném místě roviny, npříkld bodě o vzdálenosti r X, je dán součtem intenzity od kldně i záporně nbitého vodiče. Výslednice (viz obrázek) skutečně směřuje ve směru normály k rovině. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítt pomocí superpozice dvou nábojů v náhrdní soustvě. Budeme-li uvžovt, že mezi vodič vodivou rovinu připojíme npětí o velikosti, potom se n vodiči objeví náboj n rovině náboj s hustotou odpovídjící hodnotě. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítt velikost npětí njít vzth pro kpcitu. Npětí lze vypočítt jko rozdíl potenciálů v bodě 2.

26 Dále uvedené vzthy pltí pouze z předpokldu, že pole válcového vodiče zchová svojí válcovou symetrii rozložení náboje n vodiči nebude podsttně ovlivněno výsledným rozložením elektrického pole. Příspěvky jednotlivých nábojů lze potom počítt ze vzthů pltných pro osmocené válcové vodiče. To vše je splněno pouze z předpokldu, že poloměr válcového vodiče je podsttně menší, než vzdálenost k vodivé rovině. Potenciál v bodě je dán součtem potenciálu kldně záporně nbitého vodiče v tomto bodě: φ ln K ln K 2 2π ε 0 2h Konstnt K K2 může být zcel libovolná, při výpočtu npětí n velikosti konstnt nezáleží. Potenciál v bodě 2 je dán součtem potenciálu kldně záporně nbitého vodiče v tomto bodě φ 2 ln K ln K 2 K K 2 konst h 2π ε 0 h Npětí mezi bodem 2 ( npětí mezi vodičem rovinou) je potom dáno vzthem: φ φ 2 ln 2h V tomto vzthu lze poloměr válcového vodiče znedbt proti vzdálenosti od roviny. Vzdálenost od roviny musí být podsttně větší než poloměr vodiče, jink by uvedený výpočet nepltil. Toto znedbání nemůže tedy přesnost výpočtu ni poškodit, ni vylepšit. ln 2h Pro vzth mezi nábojem kpcitou pltí: l V nšem přípdě je tedy : ln 2h Z toho vyplývá vzth po kpcitu n jednotku délky vodiče proti vodivé rovině: l ln 2h

27 Příkld 32 : Kpcit válcového vodiče proti dvěm vodivým nekonečně rozlehlým kolmým rovinám Předpokládné znlosti: Potenciál válcového vodiče Příkld 7 Intenzit elektrického pole válcového vodiče Příkld 7 Vodič nd vodivou rovinou podobná úloh - Příkld 30 Vodivé roviny jsou z hledisk elektrického pole : ) ekvipotenciální plochy ( fi=konst) b) siločáry elektrického pole vstupují do těchto rovin kolmo Splnění uvedených podmínek dosáhneme náhrdním uspořádáním, ve kterém vliv vodivých rovin nhrdíme doplněním fiktivních vodičů s náboji jko n obrázku. Potenciál v libovolném bodě obou z rovin je potom skutečně konstntní. Kždý bod n rovině má totiž stejnou vzdálenost od kldných i záporných nábojů. Libovolnou veličinu elektrického pole, intenzitu i potenciál, lze potom vypočítt pomocí superpozice pole nbitých vodičů v náhrdní soustvě. Budeme-li uvžovt, že mezi vodič vodivou rovinu připojíme npětí o velikosti, potom se n vodiči objeví náboj n rovinách náboj s hustotou odpovídjící hodnotě. Vypočteme-li zpětně pomocí náboje velikost pole, můžeme dopočítt velikost npětí njít vzth pro kpcitu. Npětí lze vypočítt jko rozdíl potenciálů mezi body 2.

28 vedené vzthy pltí podobně jko v předchozím příkldu ( Příkld 30 ) pouze z předpokldu, že vzdálenost od rovin je podsttně větší, než poloměr vodiče. Potenciál v bodě je dán součtem potenciálu skutečného vodiče i fiktivních obrzů, zvolíme-li nvíc potenciál n vodivých rovinách nulový, budou nulové i všechny integrční konstnty u potenciálů bude pltit : φ ln ln 2h ln 2 h 2 h 2 2 ln 2h 2 φ ln 2h h 2 2 h h 2 2 Potenciál v bodě 2 n rovině je konstntní, jeho hodnot byl zvolen nulová : φ 2 0 Npětí mezi bodem 2 ( npětí mezi vodičem rovinou) je potom dáno vzthem: φ φ 2 ln 2h h 2 2 h h 2 2 Pro vzth mezi nábojem kpcitou pltí: l V nšem přípdě je tedy : ln 2h h 2 2 h h 2 2 Z toho vyplývá vzth po kpcitu n jednotku délky vodiče proti vodivým rovinám: l ln 2h h 2 2 h h 2 2

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Kapacita a uložená energie ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

Vzorová řešení čtvrté série úloh

Vzorová řešení čtvrté série úloh FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fkult Msrykovy univerzity v Brně KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 8. ročník 001/00 Vzorová řešení čtvrté série úloh (5 bodů) Vzorové řešení úlohy č. 1 (8 bodů) Volný pád Měsíce

Více

ELEKTROSTATIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník

ELEKTROSTATIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník ELEKTROSTATIKA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 2. ročník Elektrický náboj Dva druhy: kladný a záporný. Elektricky nabitá tělesa. Elektroskop a elektrometr. Vodiče a nevodiče

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Příklad 46 : Magnetické pole kolem přímého dlouhého tenkého vodiče

Příklad 46 : Magnetické pole kolem přímého dlouhého tenkého vodiče Příkld 46 : Mgnetické pole kolem příméo dlouéo tenkéo vodiče Siločáry mgnetickéo pole tvoří koncentrické kružnice se středy n ose proudovodiče. Smysl intenzity elektrickéo pole siločr je dán prvidlem prvé

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami: Truhlář Michl 3 005 Lbortorní práce č 6 Úloh č 5 p 99,8kP Měření odporu, indukčnosti vzájemné indukčnosti můstkovými metodmi: Úkol: Whetstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav: Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

I. termodynamický zákon

I. termodynamický zákon řednášk 4 I. termodynmický zákon I. termodynmický zákon jkožto nejobecnější zákon zchování energie je jedním ze zákldních stvebních kmenů termodynmiky. této přednášce zopkujeme znění tohoto zákon n jeho

Více

SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ

SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ h Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 11. SRPNA 2013 Název zprcovného celku: SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ Ke sloţenému nmáhání dojde tehdy, vyskytnou-li se součsně

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8. ELEKTRICKÉ STROJE TOČIVÉ rčeno pro posluchče bklářských studijních progrmů FS S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslv Stýskl, Ph.D., únor 6 Řešené příkldy Příkld 8. Mechnické chrkteristiky Stejnosměrný

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/

GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/ Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Téma: Elektřina a magnetismus Autor: Název: Alena Škárová Vodič a izolant

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stvení sttik, 1.ročník klářského studi ýpočet vnitřních sil přímého nosníku nitřní síly přímého vodorovného nosníku prostý nosník konzol nosník s převislým koncem Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, ŠB

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ A ELEKTRICKÉ POLE

ELEKTRICKÝ NÁBOJ A ELEKTRICKÉ POLE ELEKTRICKÝ NÁBOJ ELEKTRICKÉ POLE 1. Elektrický náboj, elektrická síla Elektrické pole je prostor v okolí nabitých těles nebo částic. Jako jiné druhy polí je to způsob existence hmoty. Elektrický náboj

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Vzdálenost rovin

Vzdálenost rovin 510 zdálenost rovin ředpokldy: 509 Kdy má cenu uvžovt o vzdálenosti dvou rovin? ouze, když jsou rovnoběžné, jink se protínjí ř 1: Nvrhni definici vzdálenosti dvou rovnoběžných rovin Z vzdálenost dvou rovnoběžných

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

4.1.7 Rozložení náboje na vodiči

4.1.7 Rozložení náboje na vodiči 4.1.7 Rozložení náboje na vodiči Předpoklady: 4101, 4102, 4104, 4105, 4106 Opakování: vodič látka, ve které se mohou volně pohybovat nosiče náboje (většinou elektrony), nemohou ji však opustit (bez doteku

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Vlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Vlnová teorie. Ing. Bc. Michal Malík, Ing. Bc. Jiří Primas. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Ing. Bc. Michl Mlík, Ing. Bc. Jiří Prims ECHNICKÁ UNIVERZIA V LIBERCI Fkult mechtroniky, informtiky mezioborových studií ento mteriál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.7/../7.47, který je spolufinncován

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Fyzikální geodézie 2/7 Gravitační potenciál a jeho derivace

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

Základní principy fyziky semestrální projekt. Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku

Základní principy fyziky semestrální projekt. Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku Zákldní principy fyziky seestrální projekt Studiu dyniky kldky, závží vozíku Petr Luzr I/4 008/009 Zákldní principy fyziky Seestrální projekt Projekt zdl: Projekt vyprcovl: prof. In. rntišek Schuer, DrSc.

Více

ELEKTRICKÝ NÁBOJ A ELEKTRICKÉ POLE POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A

ELEKTRICKÝ NÁBOJ A ELEKTRICKÉ POLE POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D12_Z_OPAK_E_Elektricky_naboj_a_elektricke_ pole_t Člověk a příroda Fyzika Elektrický

Více

Zlatý řez nejen v matematice

Zlatý řez nejen v matematice Zltý řez nejen v mtemtice Zltý řez ve stereometrii In: Vlst Chmelíková (uthor): Zltý řez nejen v mtemtice. (Czech). Prh: Ktedr didktiky mtemtiky MFF UK, 009. pp. 67 77. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400795

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

Elektřina a magnetismus úlohy na porozumění

Elektřina a magnetismus úlohy na porozumění Elektřina a magnetismus úlohy na porozumění 1) Prázdná nenabitá plechovka je umístěna na izolační podložce. V jednu chvíli je do místa A na vnějším povrchu plechovky přivedeno malé množství náboje. Budeme-li

Více

elektrický náboj elektrické pole

elektrický náboj elektrické pole elektrický náboj a elektrické pole Charles-Augustin de Coulomb elektrický náboj a jeho vlastnosti Elektrický náboj je fyzikální veličina, která vyjadřuje velikost schopnosti působit elektrickou silou.

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

A) Dvouvodičové vedení

A) Dvouvodičové vedení A) Dvouvodičové vedení vedení symetické (shodné impednce vodičů vůči zemi) vede vění od MHz do mx. stovek MHz, dominntní vid TEM běžné hodnoty vové impednce: 3 Ω, 6 Ω impednce se zvětší, pokud se zmenší

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN pevné látky jsou chrkterizovány omezeným pohybem zákldních stvebních částic (tomů, iontů, molekul) kolem rovnovážných poloh PEVNÉ LÁTKY krystlické morfní KRYSTAL pevné

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Posuvný proud a Poyntingův vektor

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Posuvný proud a Poyntingův vektor ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Posuvný proud a Poyntingův vektor Peter Dourmashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah 10. POSUVNÝ PROUD A POYNTINGŮV VEKTOR 3 10.1 ÚKOLY 3 10. POSUVNÝ

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Stvení sttik 1.ročník klářského studi Nosné stvení konstrukce Výpočet rekcí Reálné ztížení nosných stveních konstrukcí Prut geometrický popis vnější vzy nehynost silové ztížení složky rekcí Ktedr stvení

Více

třecí síla (tečná vazba podložky) F normálová reakce podložky výsledná reakce podložky Podmínky rovnováhy:

třecí síla (tečná vazba podložky) F normálová reakce podložky výsledná reakce podložky Podmínky rovnováhy: SPŠ VOŠ KLADO SAIKA - PASIVÍ ODPORY PASIVÍ ODPORY Při vzájemném pohybu těles vznikjí v reálných vzbách psivní odpory, jejichž práce se mění v teplo. Psivní odpory předstvují ztráty, které snižují účinnost

Více

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY 1. Mezinárodní soustv jednotek SI Slovo fyzik je odvozeno z řeckého slov fysis, které znmená přírod. Abychom správně

Více

Elektřina a magnetizmus - elektrické napětí a elektrický proud

Elektřina a magnetizmus - elektrické napětí a elektrický proud DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-03 Téma: Elektrické napětí a elektrický proud Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý a Mgr. Josef Kormaník VÝKLAD Elektřina a magnetizmus

Více

Potenciometrie. Elektrodový děj je oxidačně-redukční reakce umožňující přenos náboje mezi fázemi. Např.:

Potenciometrie. Elektrodový děj je oxidačně-redukční reakce umožňující přenos náboje mezi fázemi. Např.: Potenciometrie Poločlánek (elektrod) je heterogenní elektrochemický systém tvořeny lespoň dvěm fázemi. Jedn fáze je vodičem první třídy vede proud prostřednictvím elektronů. Druhá fáze je vodičem druhé

Více

FYZIKA II. Petr Praus 7. Přednáška stacionární magnetické pole náboj v magnetickém poli

FYZIKA II. Petr Praus 7. Přednáška stacionární magnetické pole náboj v magnetickém poli FYZIKA II Petr Praus 7. Přednáška stacionární magnetické pole náboj v magnetickém poli Osnova přednášky Stacionární magnetické pole Lorentzova síla Hallův jev Pohyb a urychlování nabitých částic (cyklotron,

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

VYUŽITÍ CITLIVOSTNÍ ANALÝZY V ELEKTROTECHNICE A ŘÍDÍCÍ TECHNICE - II

VYUŽITÍ CITLIVOSTNÍ ANALÝZY V ELEKTROTECHNICE A ŘÍDÍCÍ TECHNICE - II 8 Informčné utomtizčné technológie v ridení kvlity produkcie Vernár,.-4. 9. 5 VYUŽIÍ CILIVONÍ ANALÝZY V ELEKROECHNICE A ŘÍDÍCÍ ECHNICE - II KÜNZEL Gunnr Abstrkt Příspěvek nvzuje n předchozí utorův článek

Více

Potřeba tepla na vytápění budovy

Potřeba tepla na vytápění budovy SPJ1 Podkldy pro cvičení Potřeb tepl n vytápění budovy In. Kil Stněk, 10/2010 kil.stnek@sv.cvut.cz 1 Sché výpočtu 1.1 Potřeb tepl n vytápění Potřebu tepl n vytápění budovy nd [kwh] vypočtee bilncování

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

ZEMNÍ TLAKY. Princip určování: teorie mezní rovnováhy, rovinná úloha, předpoklad rovinných kluzných ploch

ZEMNÍ TLAKY. Princip určování: teorie mezní rovnováhy, rovinná úloha, předpoklad rovinných kluzných ploch Druhy!"tlk v klidu S r!"ktivní zemní tlk S!"psivní odpor S p ZEMNÍ TLAKY Obr.. Druhy zemních tlků ) tlk zeminy v klidu, b) ktivní zemní tlk, c) psivní zemní odpor, d) závislost velikosti zemního tlku od

Více

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a)

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

1.2.7 Sbírka příkladů - vozíčky

1.2.7 Sbírka příkladů - vozíčky 7 Sbírk příkldů - vozíčky Předpokldy: 06 Při řešení vozíčků určujeme dvě veličiny: zrychlení soustvy, síly, kterými provázky působí n jednotlivé předměty F Zrychlení soustvy určíme pomocí NZ ze vzorce

Více