PŘIZPŮSOBENÍ JEttté VARIANTY NODiCLKÍ METODY К MNOHOGRUPOVtflI Г 2UTR0NICKÍM VY*POČT8M RYCHLÝCH REAKTORO

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘIZPŮSOBENÍ JEttté VARIANTY NODiCLKÍ METODY К MNOHOGRUPOVtflI Г 2UTR0NICKÍM VY*POČT8M RYCHLÝCH REAKTORO"

Transkript

1 С,...? л / ; - l - v ÚJV R,A J, Jakab PŘIZPŮSOBENÍ JEttté VARIANTY NODiCLKÍ METODY К MNOHOGRUPOVtflI Г 2UTR0NICKÍM VY*POČT8M RYCHLÝCH REAKTORO Report fíež, erpen I960

2 NUCLEAR RESEARCH INSTITUTE ŘEŽ - CZECHOSLOVAKIA INFORMATION CENTRE

3 &JV R,A J. Jakab PŘIZPŮSOBENÍ JEBNE* VARIANTY IIODÁLHÍ METODY К MNOHOGRUPOVUJ NEUTRONICK#M vfpoít0m RYCHLÝCH R2AKT0R6

4 DC *6: PŘIZP0SCBEKÍ JEDKÉ* VARIANTY NODÁLNÍ METODY К MMOHOGRUPOVÝM NEOTROHICKÝM VFPOČTFILL RYCHLÝCH RÍÍAKTORS Anotace Tato zpráva popisuje modifikovanou variantu nodálni metody umožňující uskutečnit časově velmi efektivní výpočty rychlých reaktorů. Ve srovnání s předchozí metodickou verzí je tato metoda 3-krát rychlejší při aalogrupovýob výpočtech a 30 * 40-krát rychlejší při mnohogrupc vých výpočtech. Ve srovnání s diferenční metodou tato metodauaotini^e zkrátit výpočetní dobu 2-krát v jednorozměrné geometrii a 10 * 30-krát ve dvourozměrné váliové geometrii reaktoru. A VERSION OF NODAL METHOD, ADJUSTED TO A PAST RKACTOR MULTIGROUP NEUTROrlC CALCULATIONS Abstract This report describes a modified version of nodal method, allowing to provide a very timeeffect, ve feet reactor neutronic calculations. Comparing with the previous version, this method is 3-times faster for a few-group calculations and times faster for a multigroup calculations. Comparing with the finite-differeno» method, the modified method makes possible to reduoe the computational time by factor 2 for one-dimensional,and by factor for two-dimensional cylindrical reactor geometry. UJV R,A Nuclear Riseerch Institute - Řež neer Pregue - Czechoslovakia

5 OBSAH: 1. tfvod str Úprava jednorozměrných a nodllních rovnic Rovnice pro axiální směr Rovnice pro radiální směr Nodální rovnice pro střední toky 3 3. Řešení foustav upravených rovnic Základní algoritmus...' Simultánní řešení a racionalizace programové struktury Testovací výpočty Závěry 7 6. Literatura

6 1. ÚVOD Varianta nodální polvnomické metody Í.11 je určena к řešení grupových difuzních rovnic v cylindrické (r, s) geometrii. Tato metoda byla ověřena na několika modelech rychlých reaktoru [2] a Je metodickou součástí komplexu programů pro výpočet energetických rychlých reaktoru [5]. Základní nevýhodou programů wcháse jících z metody [1] je poměrně velká apotřeba strojového čaau, která ae nejvýrazněji projeví při mnohogrupových výpočtech ^2, 4] Ketoda f1 ] je prakticky nejjednoduš5.-'n případem obecné metody lokální polynomioké aproximace vyššího řádu f3] a lze na ni aplikovat obecné výpočtové algoritmy popsaná v práci [4]. V daném případě lze s ohledem na specifické vlastnosti metody [1 ] tyto obecné algoritmy dále rozpracovat a zefektivnit. V souladu s tím je prvním cílem předkládané zprávy detailní popis všech modifikací předchozí varianty [1], která umožňují roz ířit oblast použití nodálních metod na mnohogrupové výpočty rychlých reaktoru. Tato zpráva metodicky doplňuje a navazuje na práci [i] jejíž znalost je к pochopení výkladu tudíž nezbytná. Druhým cílem zprávy Je ověření modifikované n. dální netody na základě numerických výpočtu, a.-rovnáním s předchozí variantou nodální metody i klasickými diferenčními metodami poskytnout některé kvantitativní podklady к Jejímu použití při neutronových výpočtech rychlých energetických reaktoru. 2. ÚPRAVA JEDNOROZMĚRNÝCH A NODÍLHÍCH ROVMC Z matematického hlediska odvození v.rianty nodální metody [ 1 ] wúsíuje ve formulaci tří soustav lineárních rovnic pro vyšší koeficienty polvnomického rozvoje a pro střední toky v jednotlivých nódech reaktoru. Zatímco v předchozí verzi metody byly matice těchto soustav plné - všechny jejich prvky jsou obecně nenulové - v této kapitole se upravují do tvaru, na který lze aplikovat efektivní algoritmy jejich řešení, uvedené v následujíoí kapitole. V této kapitole se používá, všude kde je to možné, terminologie a označení převzaté z [i]; znovu jsou zde zopakovány pouze rovnice, které jsou výchozím bodem odvození modifikovaných vztahů Rovnice pro axiální směr Soustavu lineárních rovnic pro výpočet koeficientu C, polynomického rozvoje v axiálním směru (rovnice (2.4-4) a příslušné doplňující vztahy v [1 J ) upravíme následujícím způsobem: - rovnice (1) se pronásobí 1/Y, а в použitím explicitně vyjádřených hodnot se dosadí Y,/ Y 2 / Y 3-7; - matice štěpných zdrojů se přenese na pravou stranu a vyjádří eo jako součin sloupcového a řádkového vektoru; - od vektoru pravých stran? c se oddělí část obsahující členy s VL.f řo těchto úpravách obdržím* soustavu (1) ve tvaru x s Vec* řsjj»""*^» (2) Prvky matice A c «(*<» *' a vektory pravé strany soustavy (2) jsou určeny těmito vztahy ( T symbolizuje transponc /óní)

7 pro g> g л 'SB A-Z ^,g a gg - *-g-*e % r -»-; РГО g*< «} '4 i /G> f1! 1/1 fg> (3) С (С.,..., C«) ' g - ^ L g ^ g ) f cc - (»1 Pe> У 2.2. Rovnice pro radiální směr Soustavu lineárních rovnic pro výpočet koeficientů K, polynomiokého rozvoje v radiálním směru (rovnice (2.5-3) a příslušná doplňující vztahy v [ 1] ) h *3 - \ (4) upravujeme obdobným způsobem. Rovnice pronáaobíme veličinou ь RÍI^IQ+дн i Q+1 ; (5) a zavedeme si následující zobecněná geometrická parametry nódu Д R(R X I, o R I 2 ) Л ^ 2 - ^ A R^ I 2 + Л R I 3 ) ' (6) {- 6 - <*! I, Д H I 2 ) 3I 2-2(1 - B) I, - В I 0 } Dal-Jí úpravami, prakticky stejnými jako v odst. 2,1., získáme soustavu (4) ve tvaru hh-bx+ři;* ef T < K + V> (7) Matice X» se lisí od matioe X c pouze diagonálními prvky a pravá strana soustavy (7) má ее soustavou (3) identioká vektory f, 7. Ve vztazích (3) je nutná pro soustavu (7) zmsnit tedy pouze tyto prvky matioe a složek vektoru - 2 -

8 К W5 в 3 Hr,g т - (К,..., К,.) Л т (8) p g. v i z o K i, g 211, K 2fg). L rtg Kg E g_ g g« Nedální rovnice pro střední toky У reaktoru (rov Soustavu lineárních rovnic pro výpočet středních toku v jednotlivých nódech nice (2.7-1) a příslušné doplňující vztahy v [1} ) f <b = r (9) upravíme přenesením matice štěpných zdrojů na pravou stranu. 0 vektoru koeficientů rozvoje 1Г,, který je součástí pravé strany soustavy (9), budeme předpokládat, že je lineární korabinaoí známýofi dvou vektoru *3 " U K + «K \ (10) Postup výpočtu vektoru П, Ta kombinačního koeficientu q je obsahem následující kapitoly. Po úpravách vektoru pravé strany s použitím (10) obdržíme soustavu (9) ve tvaru A $ -? 0 + q R 7 v + f ji- (7 T ф ) (11) Vůči vztahům (3) je nutné uvést pouze nové vztahy pro dlagonnlní prvky matice a složky prvních dvou vektoru pravé strany gg Z*. t + <* t '-? s -«^t ^ + ^ t л Гц " (Рц1 P U G ) p U g- J g f i -[е1<«в,г«гы +, >+ 2 d g,r «Ti,»* Jj] + J. ; fp [- M ^ ^ ^ ^ 1 1 ^ 2,г,+^] (12) T <PVit...p PVG } P Vg " T g V K,g ( e,в - 2 d + в)) - 3 -

9 3. JisSarf SOUSTAV DPRAVSHfCH ROVSIC Soustavy jednorozměrných (2;» (7) a nodálníeh (11) sa odlišují pouze diagonálními prvky avýoh matic, hodnotami a částečně i uspořádáním vektoru pravých atran. Formální podobnost soustav umožňuj* použít к jejioh řasení «tejný postup. Bavíc, zejména díky omesenl aproximace středních toků na polynomy pouze 3.8tupne, má trto varianta nodálni metody tu zvláštnost, že upravená soustavy rovnic lze řasit simultánně. V důsledku toho lze algoritmus jejich řešení prograaově realizovat jako kompaktní a mimořádně rychlý výpočtový blok Základní algoritmus Soustavy rovnio pro axiální a radiální směr lze zapsat va tvaru У f j2_ (f (T+I 3 )) (13) Korespondence symbolu je zřejmá z porovnání (}3> a (2) a (7). Pokud položíme známý vektor X * 0* (nulový vektor) a P* -?g + ejg P* T, pak ae 1 aoustava nodálníeh rovnic (11) dá převést na základní tvar (13). Vektory Tf, 7 budeme označovat řelení následujících dvou soustav lineárních rovnio Itf-f 17-jt (14) Soustavu (13) pronásobíme inverzní maticí a", použijeme označení (13) a skalární hodnotu q - J-? (X + X,) (15) ef * a tím vyjádříme řešeni soustavy (13) ve tvaru lineární kombinace řešení aouatav (14) I 3 - V + q V (16) Dosazením (16) do (15)!» q vyjádřit explicitně vektory X, TT, 7 T ~ j3lt ri (17) Tím Je řešení základní úlohy (13) převedeno na řešeni dvou soustav (14)* Mlmodlagonální prvky matice A těchto soustav jsou záporně vzatá makropruřezy mezigrupovýob rozptylů «*_»,» V případě ryehlýoh reaktoru jsou tedy naddlagonální prvky táto matice nulová a nevío 1 pod diagonálou je matice A Jan velmi řídce zaplněna. Proto lze řešit soustavy (14) velioa snadno a rychle. Srovnání, provedená v práoi [4], ukazuje, že spotřeba strojového času při tomto algoritmu roste prakticky lineárně s poetem grup, zetímeo u Gausaova elimlnačního algoritmu, použitého v [1], roste sa třetí mocninou počtu grup Simultánní řešení soustav a racionalizace programová struktury К ozřejmění výhod simultánního řešeni soustav Je nutné předeslat postup řešení soustavy nodálníeh rovnio (11) pro střední toky. Označíme si I V, T u I TT 2 - T v I 7ф - jí (18) Analoglokým postupem jako v předchozím odstavci obdržíme řešení ve tvaru lineární kombinace - 4 -

10 Ф - U* n q K Ú 2 Чф? ф (19) kde tj_ Je kombinační koeficient ve vztahu (16) pro vektor К, а ф T f (o 1 o. o. k.f^^ T o Ze struktury matic A všech tří soustav vyplývá, is pomocné soustavy (14), (18) Je nejvhodnější řešit soěrem od nejvyšší, g - 1, к nejnižší, g «G, grup*. Z rozboru vztahů (3), (8), (12) a vztahů pro koeficienty C^, K^, i» 1,2, uvedených v [i] dále vyplývá, že složky vektoru?ravých stran p jsou explicitními funkcemi středníoh toků a proudu pro danou grupu a vyšší grupy g*< g. Konečným důsledkem je pak ta skutečnost, že žádná soustava nemusí být řešena prioritně, a tudíž lze všechny tři soustavy řešit simultánně. Prakticky to znamená možnost organizovat výpočet v pouhých dvou cyklech (podle g 1,2..», G). V prvním cyklu se určí nižší koeficienty rozvoje C,, K,_, složky pomocných vektorů U, V a kombinační koeflclem- *ie *e g в ty q pro včechny tři soustavy. V druhém, časově podstatné míně náročném cyklu, se podle vztahů (15), (19) dopočítají hledaná řešení 7L, xl, Ф. Při progranové realizaci veškeré grupově nebo nedálně závislá veličiny se v počítači zobrazují jako indexované proměnná, manipulace s indexovanými proměnnými je časová náročnější než manipulace s Jednoduchými proměnnými. Ye vztahu к manipulaci a indexovými proměnnými je možné na základě simultánního řešení soustav racionalizovat programovou strukturu. S hodnotou téže indexové proměnné, např. Z. e *_^K» ř» * dalsí, se totiž pracuje současně v několika soustavách. Dočasným uchováváním této hodnoty v jednoduché proměnné, která pak vystupujs v aritmetických operacích, lze podstatně redukovat počet volání -fnito-rnvanýoh proměnných a tím i spotřebu strojového času. 4. TESTOVACÍ VÝPOČTY Testování modifikované varianty noť.ální metody bylo uskutečněno na základě výpočtu provedených na počítači GIER dvěma programy: - programem NEMRZ-B, napsaným podle ředchozí metodiky (i], který je součástí programového souboru pro neutronioké výpočty rychlých reaktorů [5] ; - experimentálním programem LPA3, který je programovou realizací modifikovaná varianty nedální metody popsané v předkládaná zprávě* Je ovšem nutné zdůraznit, ža při sestavení tohoto programu se možnosti simultánnosti využilo pouze při výpočtu koeficientů С, а К, a řešení všech soustav probíhalo v pěti (místo optimálních dvou) cyklech. Důslednou realizací simultánnosti řešení je možné výpočtovou dobu podle teoretických odhadu zkrátit na 80 až 50 její současné hodnoty. Výpočty byly provedeny pro dvourozměrné zjednodušená modely rychlých reaktorů o výkonu ~ 1500 MWel s tradičním uspořádáním aktivní zóny do dvou oblastí různého obohacení (homogenní reaktor) i в aktivní zónou s vnitřními plodlvýml pásmy (heterogenní reaktor). Detailnější popis testovacích modelů by byl z hlediska dáls uváděných výsledků vcelku zbytečný. Výpočty dvou testovacích modelů (homogenní a heterogenní reaktor) se sítí 7 x 4 a 9 z 4 nódů ve ítyřgrupovém přiblížení prokázaly, že oba programy dávají identická výsledky a výpočet konverguje stejným způsobem. Velmi vzácně se vyskytly v lokálních charakteristikách reaktorů relativní odchylky řádu 10~ 7, což odpovídá rozdílům až v sedmé platná číslici. Taková odchylky mezi oběma programy lze vysvětlit odlišností procesu formování zaokrouhlovacích chyb. Výpočtové doby obou programu byly určeny měřením doby iterací při výpoéteoh dvourozměrných modelů ve Z, 4, 6, 14, 18 a 26-tl grupovém přiblížení. 26-ti grupové konstanty byly určeny na základě knihovny ВПАВ [б]. Menógrupové konstanty byly získány kolapsováním makrokonstant podle reálných neutronových toků (lineární vážení). Struktura 4 až 14-ti grupových soustav je popsána v práci [4] 1 18-ti grupová soustava vznikla stažením posledních devíti grup BNAB v jedinou; ve dvougrupové soustavě první grupa vznikla stažením prvních sedmi grup BNAB a - 5 -

11 а те druhé je zbývajících 19 grup. Oba proá«.-emy mají роамга? vysoká nároky пл velikost paměti počítače, Proto, počínaje 8-ml grupovým přiblížením, bylo nutná postu?» redukovat pe 5et nodl výpočtové' síti) např. 26-ti trupová výpočty byly provedeny se aítl > ж 2 nódů, Základní srovnávací veličinou rrcaloatl výpočtu je doby с v klu T» určena ja&c primárná doba T/počtu vztažena na i itersei, 1 grupa a 1 nód T - i (21) G. К. L kde tj je doba 1 iterace (přee všechny grupy a nódy), S je :c x et grup a Z. L je celkový po x et nódu v aítl К radiálních a L axiálních výpočtových parnem. Т-'pocty prokázaly, ie doba cyklu málo závisí (a relativní odchylkou "- - 5*) na komplexnosti geometrická a materiálová konfigurace reaktoru a na počtu nódu ve výpočtová síti. Sa obr. 1 je vynesena závieloet doby cyklu na počtu grup. Potvrzuje ae «^«*n' nevýhoda předchozí varianty nod 1ní metody, u níž T je výrazná rostoucí funkcí počtu grupi např. doba cyklu 26-ti gru?ov4ho v. : pogtu je více než třínásobkem doby cyklu dvougrupového cyklu. Růst T se přitox urychluje a přibýváním grup. 0 modifikovaná varianty má závislost T na počtu grup prává opačnou tendenci. Zpočátku doba cyklu klesá л pai se us taxuj a na zhr-дьа konstantní hodnotě pro široký rv*«ah (в ai 26) nočtu grup. Házorné srovnání obou metodických variant роз ytuje pomár rychlostí ^ гаю-з, (. 2} LP13 jehož závislost na počtu grup je znázorněna na obr. 2. Ukazuje a*, ie v oblasti muohogrupových výpočtu je program LPA3 řádově ryofalejší nei progrma lemrz-b. Zanedbatelná mění oviem ani jeho zrubá třínásobná větií rychlost v oblasti malogrupových (2 - в grup) výpočtu.?ři porovnání rychlostí obou metod je nutná ovsem zdůraznit, že ae porovnávají proetrednlctvía programu, při Jejichž sestavování nabyly použity rovnocenná programovací prostředky. Zatímco celý program LPA3 je napsán v jazyce ALGCL, v programu MEHRZ-B ae к řešení soustav (1), (4), (9) používá procedury CR0UT2 napsaná ve strojovém jazyce, která je v pro soustavy lineárních rovnic a ~30 neznámými asi 3 ai 4-krát rychlejší nei její ALGOLová varianta [7]. Vzhledem к tomu, ie u mnohogrupových výpočtu ae převážná větái.ia času spotřebuje právě na řešení soustav lineárních rovnic, jsou tím uvedená výsledky aline zkrealeny, zhruba faktorem 3 až 4, v neprospěch modifikovaná varianty. Při programová realizaci obou metod ekvivalentními programovacími prostředky,1e tedy modifikovaná varianta v případě mnohogrupových výpočtů 30 ai 40-krát rychlejší než předchozí varianta nodéluí metody. Přímá porovnání rychloatl modifikovaná nodální metody a klasickými diferenčními metodami zatím nebylo provedeno, la základě známých dob oyklu diferenčních programu (sec/1it.,1 gr., 1 dlf. bod) lze získat odhady poměru rychlostí, které mají ovšem vzhledem к ru-norodootl (rozdílné programovací přístupy, jazyk, počítač) pouze orientační oharakter. Při jednorozměrném výpočtu reaktoru v cylindrická geometrii je nutná u nodální счtody a.olynomickou aproximací 3. stupně reaktor rozdělit na 6 až 11 výpočtovýoh pásem, výpočet konverguje během 30 ai 35 iterací a doba cyklu činí asi 0,21 sec. Při diferenčním výpočtu téhož reaktoru programem J.126 [в] je nutná použít sil a asi 80-ti diferenčními body, konvergence za stejných podmínek jako u nodální metody se dosáhne během 2$ iterací a doba cyklu je 0,05 вес. Při jednorozměrném výpočtu je modifikovaná nodální metoda tedy asi 1,3 ai 2,7-krát rychlejší nei diferenční metoda. V dvourozměrném případě lze vyjít * >5*ajů o diferenčním programu 2DB [9], začleněného v systému RSYST, který Je implementován v ÚJV na počítači ЕС Při výpočtu rychlého reaktoru tímto prograaem je. nutné použít aítě s 1500 ai 20O0 'Hfárenčními doby a doba cyklu činí 0,01 вес. Při výpočtu nodální metodou je nutná použít výpočetní aítě 28 až 55 nódy a doba cyklu, při konzervativním odhadu a.-l 20-ti násobného urychlení při převodu programu z počítače ;IER na БС 1040, buíe asi 0,018 sec. Při zachování zhruba stejných konvergenčnich vlastností jako v jednorozn5rném případě bude modifikovaná nodální metéda 10 až 30-krát rychlijší než diferenční metoda. Tento výrazný vzrůst ryohl^stl Je zpu-oben především pod- - 6 T

12 atataoa redukcí *хе»твее*1 výp."-etai síto při zaetovaní Uarfni sávlsleetl výpactové doby na počta стар. Prooátoiao 11 tyto odhody zpit ne pfidcaoei nriaiti aodflaf eetody. pak Jo zřejaé. ž«*ři еиоповтароудь výpočtech be*» penalejií v aejlepaia pffpei* atejai vychlá jako llferencní nota do. 5. ZÍTBBY kodifikovaná varianta nedální aetedy. presentovaná v této správé, «e netodiekýa podkladem к масолгова éuori volal efektivních 1 doetatecn*' jifaonýah p apaal pro nevtroalcké výpočty energetických rychlých reaktora v amlo - 1 aniiliaamiipa*an přiblížení a v *ооао- 1 don» rosairaé válcové geometrii. Ba sákleáé provedených výpoétt lse konstatovat, se aoálflkovaaá aatoda Je v oblasti nalocrupových výpočte 3-krét a v oblosti anofcocrupovřcfa výpočte 30 oi 40-krét rychleji! noř předchozí vcrfaata nedální netody. 7 d4»:<-iku této rychlenti a&io cdiflkovená nedální aetode nepténi nahnált Jii тате» nám roxeebu klasickou éiforonbu aetodn. rředběiaé, a dedejaa io deetl кодtivotlvní.odhady okazují, i* v jr*m>rosa*r>** 410 trii jo modifikovaná aetode sjrebe dvakrát a vo dvoorosaérnt gecaetrii 10 oi JO-krét rychlejeí a*i diferenční aotooa.. ЫТ5ЖДУЛЭД [ 1 ] Bujel, B.t lešení anokoaxefwvých dlfmsníeh rovnic ijibllha laaatnia pasečí Jedné varianty nodálaí Metody. Beport BJ» - 435» -».T, 197». [г] Kájel, В.: neutronový výpočet rychlého energetickan» laaktor» v BZ «raaotrll роив cí nedální netody. Baport Alf t.t, [3] Jakob, J.x Шегоае lokální polyaonické eproxleec* vyuibo fáta pro reianl амшматери é dlfusní rovrloa v jedno - a dvooroseémé válcové (r,s) gconetril. Baport tfjt B, [*] Jakob, J.i Souetavy lineárních rovnic a poljuua* at-tody lokální polyaanleké apro> xlnaee. Beport tfjv «, T 979. [5] Kujal.J. - Knjal, B.i Soubor prngjaafl pro?»rtr*novy výpočet rychlého reaktora v provozních podmínkách. Vnitřní správa UíT - 4*96 - T, [6j Abagjan, L.ř. - Basesjeac, B.O. - Bondarenko, Z.I. - Blkolajcv, M.B.I Cmpovyjo koaotonty dlja mačeta jediných roaktorov. Koakve, Atemisdet, [7] Straka, J.: Soukraaé otelení. [8] Jakob, J.s J program pro fyslkalnr-jeutrroovy výpočet rychlého energetického reaktora. Vnitřní zpráva tn - Э92Э - H,?, [9] bltlo,w.w. - Bardie, R.W.s 20B Uacr*a Banoal - Revision I. Beport BOTL '«*v.1), 1969.

13 10 4 NEMRZ-1 i 3 LPA G GBR.2 Závislost porrěru rychlost- výpoctt, ^ na počtu grup G OBR.1 Závislost doby cyklu* na počtu grup G

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.

Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic

Více

Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012

Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých I

Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých I .3.10 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých I Předpoklady: 308 Pedagogická poznámka: Hodina má trochu netradiční charakter. U každé metody si studenti opíší postup a pak ho zkusí uplatnit na

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Základy fyzikální geodézie 3/19 Legendreovy přidružené funkce

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Modelování a simulace Lukáš Otte

Modelování a simulace Lukáš Otte Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast

Více

Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems

Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems O. Medek 1, J. Kruis 2, Z. Bittnar 2, P. Tvrdík 1 1 Katedra počítačů České vysoké učení technické, Praha 2 Katedra stavební mechaniky

Více

Diskrétní řešení vzpěru prutu

Diskrétní řešení vzpěru prutu 1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

Shodnostní Helmertova transformace

Shodnostní Helmertova transformace Shodnostní Helmertova transformace Toto pojednání ukazuje, jak lze určit transformační koeficienty Helmertovy transformace za požadavku, aby představovaly shodnostní transformaci. Pro jednoduchost budeme

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1 1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Testy do hodin - souhrnný test - 6. ročník

Testy do hodin - souhrnný test - 6. ročník Kolik procent škol jste předstihli Škola: Název: Obec: BCEH ZŠ a MŠ, Slezská 316 Slavkov - 6. ročník ČESKÝ JAZYK Máte lepší výsledky než 7 % zúčastněných škol. MATEMATIKA Máte lepší výsledky než 7 % zúčastněných

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_148_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Numerické řešení soustav lineárních rovnic Numerické řešení soustav lineárních rovnic irko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky elektrotechnická fakulta ČVUT, Praha http://cmpfelkcvutcz/~navara 30 11 2016 Úloha: Hledáme řešení

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství Úloha KA03/č. 5: Měření kinematiky a dynamiky pohybu osoby v prostoru pomocí ultrazvukového radaru Ing. Patrik Kutílek, Ph.., Ing.

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Martin Lísal. Úvod do MPI

Martin Lísal. Úvod do MPI Martin Lísal září 2003 PARALELNÍ POČÍTÁNÍ Úvod do MPI 1 1 Co je to paralelní počítání? Paralelní počítání je počítání na paralelních počítačích či jinak řečeno využití více než jednoho procesoru při výpočtu

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)*

1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)* Modely analýzy a syntézy plánů MAF/KIV) Přednáška 10 itlivostní analýza 1 Analytické metody durace a konvexita aktiva dluhopisu) Budeme uvažovat následující tvar cenové rovnice =, 1) kde jsou současná

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Komplexní

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNCKÁ NVEZTA V LBEC Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu čební text Josef J a n e č e k Liberec 010 Materiál vznikl v rámci projektu

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

i β i α ERP struktury s asynchronními motory

i β i α ERP struktury s asynchronními motory 1. Regulace otáček asynchronního motoru - vektorové řízení Oproti skalárnímu řízení zabezpečuje vektorové řízení vysokou přesnost a dynamiku veličin v ustálených i přechodných stavech. Jeho princip vychází

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více