PŘIZPŮSOBENÍ JEttté VARIANTY NODiCLKÍ METODY К MNOHOGRUPOVtflI Г 2UTR0NICKÍM VY*POČT8M RYCHLÝCH REAKTORO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘIZPŮSOBENÍ JEttté VARIANTY NODiCLKÍ METODY К MNOHOGRUPOVtflI Г 2UTR0NICKÍM VY*POČT8M RYCHLÝCH REAKTORO"

Transkript

1 С,...? л / ; - l - v ÚJV R,A J, Jakab PŘIZPŮSOBENÍ JEttté VARIANTY NODiCLKÍ METODY К MNOHOGRUPOVtflI Г 2UTR0NICKÍM VY*POČT8M RYCHLÝCH REAKTORO Report fíež, erpen I960

2 NUCLEAR RESEARCH INSTITUTE ŘEŽ - CZECHOSLOVAKIA INFORMATION CENTRE

3 &JV R,A J. Jakab PŘIZPŮSOBENÍ JEBNE* VARIANTY IIODÁLHÍ METODY К MNOHOGRUPOVUJ NEUTRONICK#M vfpoít0m RYCHLÝCH R2AKT0R6

4 DC *6: PŘIZP0SCBEKÍ JEDKÉ* VARIANTY NODÁLNÍ METODY К MMOHOGRUPOVÝM NEOTROHICKÝM VFPOČTFILL RYCHLÝCH RÍÍAKTORS Anotace Tato zpráva popisuje modifikovanou variantu nodálni metody umožňující uskutečnit časově velmi efektivní výpočty rychlých reaktorů. Ve srovnání s předchozí metodickou verzí je tato metoda 3-krát rychlejší při aalogrupovýob výpočtech a 30 * 40-krát rychlejší při mnohogrupc vých výpočtech. Ve srovnání s diferenční metodou tato metodauaotini^e zkrátit výpočetní dobu 2-krát v jednorozměrné geometrii a 10 * 30-krát ve dvourozměrné váliové geometrii reaktoru. A VERSION OF NODAL METHOD, ADJUSTED TO A PAST RKACTOR MULTIGROUP NEUTROrlC CALCULATIONS Abstract This report describes a modified version of nodal method, allowing to provide a very timeeffect, ve feet reactor neutronic calculations. Comparing with the previous version, this method is 3-times faster for a few-group calculations and times faster for a multigroup calculations. Comparing with the finite-differeno» method, the modified method makes possible to reduoe the computational time by factor 2 for one-dimensional,and by factor for two-dimensional cylindrical reactor geometry. UJV R,A Nuclear Riseerch Institute - Řež neer Pregue - Czechoslovakia

5 OBSAH: 1. tfvod str Úprava jednorozměrných a nodllních rovnic Rovnice pro axiální směr Rovnice pro radiální směr Nodální rovnice pro střední toky 3 3. Řešení foustav upravených rovnic Základní algoritmus...' Simultánní řešení a racionalizace programové struktury Testovací výpočty Závěry 7 6. Literatura

6 1. ÚVOD Varianta nodální polvnomické metody Í.11 je určena к řešení grupových difuzních rovnic v cylindrické (r, s) geometrii. Tato metoda byla ověřena na několika modelech rychlých reaktoru [2] a Je metodickou součástí komplexu programů pro výpočet energetických rychlých reaktoru [5]. Základní nevýhodou programů wcháse jících z metody [1] je poměrně velká apotřeba strojového čaau, která ae nejvýrazněji projeví při mnohogrupových výpočtech ^2, 4] Ketoda f1 ] je prakticky nejjednoduš5.-'n případem obecné metody lokální polynomioké aproximace vyššího řádu f3] a lze na ni aplikovat obecné výpočtové algoritmy popsaná v práci [4]. V daném případě lze s ohledem na specifické vlastnosti metody [1 ] tyto obecné algoritmy dále rozpracovat a zefektivnit. V souladu s tím je prvním cílem předkládané zprávy detailní popis všech modifikací předchozí varianty [1], která umožňují roz ířit oblast použití nodálních metod na mnohogrupové výpočty rychlých reaktoru. Tato zpráva metodicky doplňuje a navazuje na práci [i] jejíž znalost je к pochopení výkladu tudíž nezbytná. Druhým cílem zprávy Je ověření modifikované n. dální netody na základě numerických výpočtu, a.-rovnáním s předchozí variantou nodální metody i klasickými diferenčními metodami poskytnout některé kvantitativní podklady к Jejímu použití při neutronových výpočtech rychlých energetických reaktoru. 2. ÚPRAVA JEDNOROZMĚRNÝCH A NODÍLHÍCH ROVMC Z matematického hlediska odvození v.rianty nodální metody [ 1 ] wúsíuje ve formulaci tří soustav lineárních rovnic pro vyšší koeficienty polvnomického rozvoje a pro střední toky v jednotlivých nódech reaktoru. Zatímco v předchozí verzi metody byly matice těchto soustav plné - všechny jejich prvky jsou obecně nenulové - v této kapitole se upravují do tvaru, na který lze aplikovat efektivní algoritmy jejich řešení, uvedené v následujíoí kapitole. V této kapitole se používá, všude kde je to možné, terminologie a označení převzaté z [i]; znovu jsou zde zopakovány pouze rovnice, které jsou výchozím bodem odvození modifikovaných vztahů Rovnice pro axiální směr Soustavu lineárních rovnic pro výpočet koeficientu C, polynomického rozvoje v axiálním směru (rovnice (2.4-4) a příslušné doplňující vztahy v [1 J ) upravíme následujícím způsobem: - rovnice (1) se pronásobí 1/Y, а в použitím explicitně vyjádřených hodnot se dosadí Y,/ Y 2 / Y 3-7; - matice štěpných zdrojů se přenese na pravou stranu a vyjádří eo jako součin sloupcového a řádkového vektoru; - od vektoru pravých stran? c se oddělí část obsahující členy s VL.f řo těchto úpravách obdržím* soustavu (1) ve tvaru x s Vec* řsjj»""*^» (2) Prvky matice A c «(*<» *' a vektory pravé strany soustavy (2) jsou určeny těmito vztahy ( T symbolizuje transponc /óní)

7 pro g> g л 'SB A-Z ^,g a gg - *-g-*e % r -»-; РГО g*< «} '4 i /G> f1! 1/1 fg> (3) С (С.,..., C«) ' g - ^ L g ^ g ) f cc - (»1 Pe> У 2.2. Rovnice pro radiální směr Soustavu lineárních rovnic pro výpočet koeficientů K, polynomiokého rozvoje v radiálním směru (rovnice (2.5-3) a příslušná doplňující vztahy v [ 1] ) h *3 - \ (4) upravujeme obdobným způsobem. Rovnice pronáaobíme veličinou ь RÍI^IQ+дн i Q+1 ; (5) a zavedeme si následující zobecněná geometrická parametry nódu Д R(R X I, o R I 2 ) Л ^ 2 - ^ A R^ I 2 + Л R I 3 ) ' (6) {- 6 - <*! I, Д H I 2 ) 3I 2-2(1 - B) I, - В I 0 } Dal-Jí úpravami, prakticky stejnými jako v odst. 2,1., získáme soustavu (4) ve tvaru hh-bx+ři;* ef T < K + V> (7) Matice X» se lisí od matioe X c pouze diagonálními prvky a pravá strana soustavy (7) má ее soustavou (3) identioká vektory f, 7. Ve vztazích (3) je nutná pro soustavu (7) zmsnit tedy pouze tyto prvky matioe a složek vektoru - 2 -

8 К W5 в 3 Hr,g т - (К,..., К,.) Л т (8) p g. v i z o K i, g 211, K 2fg). L rtg Kg E g_ g g« Nedální rovnice pro střední toky У reaktoru (rov Soustavu lineárních rovnic pro výpočet středních toku v jednotlivých nódech nice (2.7-1) a příslušné doplňující vztahy v [1} ) f <b = r (9) upravíme přenesením matice štěpných zdrojů na pravou stranu. 0 vektoru koeficientů rozvoje 1Г,, který je součástí pravé strany soustavy (9), budeme předpokládat, že je lineární korabinaoí známýofi dvou vektoru *3 " U K + «K \ (10) Postup výpočtu vektoru П, Ta kombinačního koeficientu q je obsahem následující kapitoly. Po úpravách vektoru pravé strany s použitím (10) obdržíme soustavu (9) ve tvaru A $ -? 0 + q R 7 v + f ji- (7 T ф ) (11) Vůči vztahům (3) je nutné uvést pouze nové vztahy pro dlagonnlní prvky matice a složky prvních dvou vektoru pravé strany gg Z*. t + <* t '-? s -«^t ^ + ^ t л Гц " (Рц1 P U G ) p U g- J g f i -[е1<«в,г«гы +, >+ 2 d g,r «Ti,»* Jj] + J. ; fp [- M ^ ^ ^ ^ 1 1 ^ 2,г,+^] (12) T <PVit...p PVG } P Vg " T g V K,g ( e,в - 2 d + в)) - 3 -

9 3. JisSarf SOUSTAV DPRAVSHfCH ROVSIC Soustavy jednorozměrných (2;» (7) a nodálníeh (11) sa odlišují pouze diagonálními prvky avýoh matic, hodnotami a částečně i uspořádáním vektoru pravých atran. Formální podobnost soustav umožňuj* použít к jejioh řasení «tejný postup. Bavíc, zejména díky omesenl aproximace středních toků na polynomy pouze 3.8tupne, má trto varianta nodálni metody tu zvláštnost, že upravená soustavy rovnic lze řasit simultánně. V důsledku toho lze algoritmus jejich řešení prograaově realizovat jako kompaktní a mimořádně rychlý výpočtový blok Základní algoritmus Soustavy rovnio pro axiální a radiální směr lze zapsat va tvaru У f j2_ (f (T+I 3 )) (13) Korespondence symbolu je zřejmá z porovnání (}3> a (2) a (7). Pokud položíme známý vektor X * 0* (nulový vektor) a P* -?g + ejg P* T, pak ae 1 aoustava nodálníeh rovnic (11) dá převést na základní tvar (13). Vektory Tf, 7 budeme označovat řelení následujících dvou soustav lineárních rovnio Itf-f 17-jt (14) Soustavu (13) pronásobíme inverzní maticí a", použijeme označení (13) a skalární hodnotu q - J-? (X + X,) (15) ef * a tím vyjádříme řešeni soustavy (13) ve tvaru lineární kombinace řešení aouatav (14) I 3 - V + q V (16) Dosazením (16) do (15)!» q vyjádřit explicitně vektory X, TT, 7 T ~ j3lt ri (17) Tím Je řešení základní úlohy (13) převedeno na řešeni dvou soustav (14)* Mlmodlagonální prvky matice A těchto soustav jsou záporně vzatá makropruřezy mezigrupovýob rozptylů «*_»,» V případě ryehlýoh reaktoru jsou tedy naddlagonální prvky táto matice nulová a nevío 1 pod diagonálou je matice A Jan velmi řídce zaplněna. Proto lze řešit soustavy (14) velioa snadno a rychle. Srovnání, provedená v práoi [4], ukazuje, že spotřeba strojového času při tomto algoritmu roste prakticky lineárně s poetem grup, zetímeo u Gausaova elimlnačního algoritmu, použitého v [1], roste sa třetí mocninou počtu grup Simultánní řešení soustav a racionalizace programová struktury К ozřejmění výhod simultánního řešeni soustav Je nutné předeslat postup řešení soustavy nodálníeh rovnio (11) pro střední toky. Označíme si I V, T u I TT 2 - T v I 7ф - jí (18) Analoglokým postupem jako v předchozím odstavci obdržíme řešení ve tvaru lineární kombinace - 4 -

10 Ф - U* n q K Ú 2 Чф? ф (19) kde tj_ Je kombinační koeficient ve vztahu (16) pro vektor К, а ф T f (o 1 o. o. k.f^^ T o Ze struktury matic A všech tří soustav vyplývá, is pomocné soustavy (14), (18) Je nejvhodnější řešit soěrem od nejvyšší, g - 1, к nejnižší, g «G, grup*. Z rozboru vztahů (3), (8), (12) a vztahů pro koeficienty C^, K^, i» 1,2, uvedených v [i] dále vyplývá, že složky vektoru?ravých stran p jsou explicitními funkcemi středníoh toků a proudu pro danou grupu a vyšší grupy g*< g. Konečným důsledkem je pak ta skutečnost, že žádná soustava nemusí být řešena prioritně, a tudíž lze všechny tři soustavy řešit simultánně. Prakticky to znamená možnost organizovat výpočet v pouhých dvou cyklech (podle g 1,2..», G). V prvním cyklu se určí nižší koeficienty rozvoje C,, K,_, složky pomocných vektorů U, V a kombinační koeflclem- *ie *e g в ty q pro včechny tři soustavy. V druhém, časově podstatné míně náročném cyklu, se podle vztahů (15), (19) dopočítají hledaná řešení 7L, xl, Ф. Při progranové realizaci veškeré grupově nebo nedálně závislá veličiny se v počítači zobrazují jako indexované proměnná, manipulace s indexovanými proměnnými je časová náročnější než manipulace s Jednoduchými proměnnými. Ye vztahu к manipulaci a indexovými proměnnými je možné na základě simultánního řešení soustav racionalizovat programovou strukturu. S hodnotou téže indexové proměnné, např. Z. e *_^K» ř» * dalsí, se totiž pracuje současně v několika soustavách. Dočasným uchováváním této hodnoty v jednoduché proměnné, která pak vystupujs v aritmetických operacích, lze podstatně redukovat počet volání -fnito-rnvanýoh proměnných a tím i spotřebu strojového času. 4. TESTOVACÍ VÝPOČTY Testování modifikované varianty noť.ální metody bylo uskutečněno na základě výpočtu provedených na počítači GIER dvěma programy: - programem NEMRZ-B, napsaným podle ředchozí metodiky (i], který je součástí programového souboru pro neutronioké výpočty rychlých reaktorů [5] ; - experimentálním programem LPA3, který je programovou realizací modifikovaná varianty nedální metody popsané v předkládaná zprávě* Je ovšem nutné zdůraznit, ža při sestavení tohoto programu se možnosti simultánnosti využilo pouze při výpočtu koeficientů С, а К, a řešení všech soustav probíhalo v pěti (místo optimálních dvou) cyklech. Důslednou realizací simultánnosti řešení je možné výpočtovou dobu podle teoretických odhadu zkrátit na 80 až 50 její současné hodnoty. Výpočty byly provedeny pro dvourozměrné zjednodušená modely rychlých reaktorů o výkonu ~ 1500 MWel s tradičním uspořádáním aktivní zóny do dvou oblastí různého obohacení (homogenní reaktor) i в aktivní zónou s vnitřními plodlvýml pásmy (heterogenní reaktor). Detailnější popis testovacích modelů by byl z hlediska dáls uváděných výsledků vcelku zbytečný. Výpočty dvou testovacích modelů (homogenní a heterogenní reaktor) se sítí 7 x 4 a 9 z 4 nódů ve ítyřgrupovém přiblížení prokázaly, že oba programy dávají identická výsledky a výpočet konverguje stejným způsobem. Velmi vzácně se vyskytly v lokálních charakteristikách reaktorů relativní odchylky řádu 10~ 7, což odpovídá rozdílům až v sedmé platná číslici. Taková odchylky mezi oběma programy lze vysvětlit odlišností procesu formování zaokrouhlovacích chyb. Výpočtové doby obou programu byly určeny měřením doby iterací při výpoéteoh dvourozměrných modelů ve Z, 4, 6, 14, 18 a 26-tl grupovém přiblížení. 26-ti grupové konstanty byly určeny na základě knihovny ВПАВ [б]. Menógrupové konstanty byly získány kolapsováním makrokonstant podle reálných neutronových toků (lineární vážení). Struktura 4 až 14-ti grupových soustav je popsána v práci [4] 1 18-ti grupová soustava vznikla stažením posledních devíti grup BNAB v jedinou; ve dvougrupové soustavě první grupa vznikla stažením prvních sedmi grup BNAB a - 5 -

11 а те druhé je zbývajících 19 grup. Oba proá«.-emy mají роамга? vysoká nároky пл velikost paměti počítače, Proto, počínaje 8-ml grupovým přiblížením, bylo nutná postu?» redukovat pe 5et nodl výpočtové' síti) např. 26-ti trupová výpočty byly provedeny se aítl > ж 2 nódů, Základní srovnávací veličinou rrcaloatl výpočtu je doby с v klu T» určena ja&c primárná doba T/počtu vztažena na i itersei, 1 grupa a 1 nód T - i (21) G. К. L kde tj je doba 1 iterace (přee všechny grupy a nódy), S je :c x et grup a Z. L je celkový po x et nódu v aítl К radiálních a L axiálních výpočtových parnem. Т-'pocty prokázaly, ie doba cyklu málo závisí (a relativní odchylkou "- - 5*) na komplexnosti geometrická a materiálová konfigurace reaktoru a na počtu nódu ve výpočtová síti. Sa obr. 1 je vynesena závieloet doby cyklu na počtu grup. Potvrzuje ae «^«*n' nevýhoda předchozí varianty nod 1ní metody, u níž T je výrazná rostoucí funkcí počtu grupi např. doba cyklu 26-ti gru?ov4ho v. : pogtu je více než třínásobkem doby cyklu dvougrupového cyklu. Růst T se přitox urychluje a přibýváním grup. 0 modifikovaná varianty má závislost T na počtu grup prává opačnou tendenci. Zpočátku doba cyklu klesá л pai se us taxuj a na zhr-дьа konstantní hodnotě pro široký rv*«ah (в ai 26) nočtu grup. Házorné srovnání obou metodických variant роз ytuje pomár rychlostí ^ гаю-з, (. 2} LP13 jehož závislost na počtu grup je znázorněna na obr. 2. Ukazuje a*, ie v oblasti muohogrupových výpočtu je program LPA3 řádově ryofalejší nei progrma lemrz-b. Zanedbatelná mění oviem ani jeho zrubá třínásobná větií rychlost v oblasti malogrupových (2 - в grup) výpočtu.?ři porovnání rychlostí obou metod je nutná ovsem zdůraznit, že ae porovnávají proetrednlctvía programu, při Jejichž sestavování nabyly použity rovnocenná programovací prostředky. Zatímco celý program LPA3 je napsán v jazyce ALGCL, v programu MEHRZ-B ae к řešení soustav (1), (4), (9) používá procedury CR0UT2 napsaná ve strojovém jazyce, která je v pro soustavy lineárních rovnic a ~30 neznámými asi 3 ai 4-krát rychlejší nei její ALGOLová varianta [7]. Vzhledem к tomu, ie u mnohogrupových výpočtu ae převážná větái.ia času spotřebuje právě na řešení soustav lineárních rovnic, jsou tím uvedená výsledky aline zkrealeny, zhruba faktorem 3 až 4, v neprospěch modifikovaná varianty. Při programová realizaci obou metod ekvivalentními programovacími prostředky,1e tedy modifikovaná varianta v případě mnohogrupových výpočtů 30 ai 40-krát rychlejší než předchozí varianta nodéluí metody. Přímá porovnání rychloatl modifikovaná nodální metody a klasickými diferenčními metodami zatím nebylo provedeno, la základě známých dob oyklu diferenčních programu (sec/1it.,1 gr., 1 dlf. bod) lze získat odhady poměru rychlostí, které mají ovšem vzhledem к ru-norodootl (rozdílné programovací přístupy, jazyk, počítač) pouze orientační oharakter. Při jednorozměrném výpočtu reaktoru v cylindrická geometrii je nutná u nodální счtody a.olynomickou aproximací 3. stupně reaktor rozdělit na 6 až 11 výpočtovýoh pásem, výpočet konverguje během 30 ai 35 iterací a doba cyklu činí asi 0,21 sec. Při diferenčním výpočtu téhož reaktoru programem J.126 [в] je nutná použít sil a asi 80-ti diferenčními body, konvergence za stejných podmínek jako u nodální metody se dosáhne během 2$ iterací a doba cyklu je 0,05 вес. Při jednorozměrném výpočtu je modifikovaná nodální metoda tedy asi 1,3 ai 2,7-krát rychlejší nei diferenční metoda. V dvourozměrném případě lze vyjít * >5*ajů o diferenčním programu 2DB [9], začleněného v systému RSYST, který Je implementován v ÚJV na počítači ЕС Při výpočtu rychlého reaktoru tímto prograaem je. nutné použít aítě s 1500 ai 20O0 'Hfárenčními doby a doba cyklu činí 0,01 вес. Při výpočtu nodální metodou je nutná použít výpočetní aítě 28 až 55 nódy a doba cyklu, při konzervativním odhadu a.-l 20-ti násobného urychlení při převodu programu z počítače ;IER na БС 1040, buíe asi 0,018 sec. Při zachování zhruba stejných konvergenčnich vlastností jako v jednorozn5rném případě bude modifikovaná nodální metéda 10 až 30-krát rychlijší než diferenční metoda. Tento výrazný vzrůst ryohl^stl Je zpu-oben především pod- - 6 T

12 atataoa redukcí *хе»твее*1 výp."-etai síto při zaetovaní Uarfni sávlsleetl výpactové doby na počta стар. Prooátoiao 11 tyto odhody zpit ne pfidcaoei nriaiti aodflaf eetody. pak Jo zřejaé. ž«*ři еиоповтароудь výpočtech be*» penalejií v aejlepaia pffpei* atejai vychlá jako llferencní nota do. 5. ZÍTBBY kodifikovaná varianta nedální aetedy. presentovaná v této správé, «e netodiekýa podkladem к масолгова éuori volal efektivních 1 doetatecn*' jifaonýah p apaal pro nevtroalcké výpočty energetických rychlých reaktora v amlo - 1 aniiliaamiipa*an přiblížení a v *ооао- 1 don» rosairaé válcové geometrii. Ba sákleáé provedených výpoétt lse konstatovat, se aoálflkovaaá aatoda Je v oblasti nalocrupových výpočte 3-krét a v oblosti anofcocrupovřcfa výpočte 30 oi 40-krét rychleji! noř předchozí vcrfaata nedální netody. 7 d4»:<-iku této rychlenti a&io cdiflkovená nedální aetode nepténi nahnált Jii тате» nám roxeebu klasickou éiforonbu aetodn. rředběiaé, a dedejaa io deetl кодtivotlvní.odhady okazují, i* v jr*m>rosa*r>** 410 trii jo modifikovaná aetode sjrebe dvakrát a vo dvoorosaérnt gecaetrii 10 oi JO-krét rychlejeí a*i diferenční aotooa.. ЫТ5ЖДУЛЭД [ 1 ] Bujel, B.t lešení anokoaxefwvých dlfmsníeh rovnic ijibllha laaatnia pasečí Jedné varianty nodálaí Metody. Beport BJ» - 435» -».T, 197». [г] Kájel, В.: neutronový výpočet rychlého energetickan» laaktor» v BZ «raaotrll роив cí nedální netody. Baport Alf t.t, [3] Jakob, J.x Шегоае lokální polyaonické eproxleec* vyuibo fáta pro reianl амшматери é dlfusní rovrloa v jedno - a dvooroseémé válcové (r,s) gconetril. Baport tfjt B, [*] Jakob, J.i Souetavy lineárních rovnic a poljuua* at-tody lokální polyaanleké apro> xlnaee. Beport tfjv «, T 979. [5] Kujal.J. - Knjal, B.i Soubor prngjaafl pro?»rtr*novy výpočet rychlého reaktora v provozních podmínkách. Vnitřní správa UíT - 4*96 - T, [6j Abagjan, L.ř. - Basesjeac, B.O. - Bondarenko, Z.I. - Blkolajcv, M.B.I Cmpovyjo koaotonty dlja mačeta jediných roaktorov. Koakve, Atemisdet, [7] Straka, J.: Soukraaé otelení. [8] Jakob, J.s J program pro fyslkalnr-jeutrroovy výpočet rychlého energetického reaktora. Vnitřní zpráva tn - Э92Э - H,?, [9] bltlo,w.w. - Bardie, R.W.s 20B Uacr*a Banoal - Revision I. Beport BOTL '«*v.1), 1969.

13 10 4 NEMRZ-1 i 3 LPA G GBR.2 Závislost porrěru rychlost- výpoctt, ^ na počtu grup G OBR.1 Závislost doby cyklu* na počtu grup G

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Zvířata zařazená do hodnocení V modelu plemene H jsou hodnoceny krávy s podílem krve H nebo 75% a výše. V modelu plemene C jsou hodnoceny krávy s podílem krve

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207 6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Title: IX 6 11:27 (1 of 6)

Title: IX 6 11:27 (1 of 6) PŘEVODNÍKY ANALOGOVÝCH A ČÍSLICOVÝCH SIGNÁLŮ Převodníky umožňující transformaci číslicově vyjádřené informace na analogové napětí a naopak zaujímají v řídícím systému klíčové postavení. Značná část měřených

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Ú č ší ž čá ů í í č í á á ší á š í ž š ž žá éž é á š ý ší ř ě čá š í ě í í á í š šíč á ř í é ý ž í í í á ž ří ě ž ýč ýč ě á ě ý á í íš ž ř í á ší á í ě é ů ě í ší é í í š šíí ě é ž Š í ý č ý ý ě é ří š

Více

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Předmět: Seminář z informatiky a výpočetní techniky Třída: 3. a 4. ročník vyššího stupně gymnázia Algoritmus Zadání v jazyce českém: 1. Je

Více

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0797 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT 2M3 Slovní

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

UČEBNÍ OSNOVA PŘEDMĚTU

UČEBNÍ OSNOVA PŘEDMĚTU UČEBNÍ OSNOVA PŘEDMĚTU MATEMATIKA Název školního vzdělávacího programu: Název a kód oboru vzdělání: Celkový počet hodin za studium (rozpis učiva): Zedník 36-67-H/01 Zedník 1. ročník = 66 hodin/ročník (2

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy

Více

ě ě á ř í í ří í š í í á áš í í ěř á í ř í í ÍÍ í Ů ě á í í š ž í á ě á á ý ý Ů Č č ř í š á í ř í í ří í ř á á í ž ř áš á í ě ř í Š á í ř úš ř í ř í š ář ř áš ůž ř í Š ř á í Š ě á Š ář í š žá á í í ř Š

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Princip virtuálních prací (PVP)

Princip virtuálních prací (PVP) Zatěžujme pružinu o tuhosti k silou F k ū F Princip virtuálních prací (PVP) 1 ū u Energie pružné deformace W ext (skalár) je definována jako součin konstantní síly a posunu. Protože se zde síla během posunu

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů energií (mechanické, tepelné, elektrické, magnetické, chemické a jaderné) při td. dějích. Na rozdíl od td. cyklických dějů

Více

Název předmětu: Školní rok: Forma studia: Studijní obory: Ročník: Semestr: Typ předmětu: Rozsah a zakončení předmětu:

Název předmětu: Školní rok: Forma studia: Studijní obory: Ročník: Semestr: Typ předmětu: Rozsah a zakončení předmětu: Plán předmětu Název předmětu: Algoritmizace a programování (PAAPK) Školní rok: 2007/2008 Forma studia: Kombinovaná Studijní obory: DP, DI, PSDPI, OŽPD Ročník: I Semestr: II. (letní) Typ předmětu: povinný

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

TEPLOTNÍHO POLE V MEZIKRUHOVÉM VERTIKÁLNÍM PRŮTOČNÉM KANÁLE OKOLO VYHŘÍVANÉ NEREZOVÉ TYČE

TEPLOTNÍHO POLE V MEZIKRUHOVÉM VERTIKÁLNÍM PRŮTOČNÉM KANÁLE OKOLO VYHŘÍVANÉ NEREZOVÉ TYČE TEPLOTNÍHO POLE V MEZIKRUHOVÉM VERTIKÁLNÍM PRŮTOČNÉM KANÁLE OKOLO VYHŘÍVANÉ NEREZOVÉ TYČE Autoři: Ing. David LÁVIČKA, Ph.D., Katedra eneegetických strojů a zařízení, Západočeská univerzita v Plzni, e-mail:

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech 4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech Tabulkové kalkulátory patří mezi nejpoužívanější a pro běžného uživatele nejdostupnější programové systémy. Kromě základních a jim vlastních funkcí

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Obsah předmětu

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Obsah předmětu 1 Podklady předmětu pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana Obsah 2 Obsah předmětu, Požadavky kreditového systému, Datové typy jednoduché, složené, Programové struktury, Předávání dat. Obsah předmětu

Více

MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015

MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015 MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015 Maturitní zkouška se skládá ze společné části a profilové části. 1. Společná část maturitní zkoušky Dvě povinné zkoušky a) český jazyk a literatura b) cizí jazyk

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň 1/Charakteristika vyučovacího předmětu a) obsahové vymezení Předmět je rozdělen na základě OVO v RVP ZV na čtyři

Více

Á Ž í é á ž é ří íší ě é ý á ě ý ž ů ý íší ě é ř ě ší ší ří ě ší é ě é ý ž á í ří ň ó ň ě ž ě ý á á ž á á é čá í í í í ší í čí íý é ř í á ř ž ž č ě ě ů é í í í á ě á é í é é ř á ý á í ý ů í ý í ů á é é

Více

16 - Pozorovatel a výstupní ZV

16 - Pozorovatel a výstupní ZV 16 - Pozorovatel a výstupní ZV Automatické řízení 2015 14-4-15 Hlavní problém stavové ZV Stavová zpětná vazba se zdá být nejúčinnějším nástrojem řízení, důvodem je síla pojmu stav, který v sobě obsahuje

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více