PŘIZPŮSOBENÍ JEttté VARIANTY NODiCLKÍ METODY К MNOHOGRUPOVtflI Г 2UTR0NICKÍM VY*POČT8M RYCHLÝCH REAKTORO

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘIZPŮSOBENÍ JEttté VARIANTY NODiCLKÍ METODY К MNOHOGRUPOVtflI Г 2UTR0NICKÍM VY*POČT8M RYCHLÝCH REAKTORO"

Transkript

1 С,...? л / ; - l - v ÚJV R,A J, Jakab PŘIZPŮSOBENÍ JEttté VARIANTY NODiCLKÍ METODY К MNOHOGRUPOVtflI Г 2UTR0NICKÍM VY*POČT8M RYCHLÝCH REAKTORO Report fíež, erpen I960

2 NUCLEAR RESEARCH INSTITUTE ŘEŽ - CZECHOSLOVAKIA INFORMATION CENTRE

3 &JV R,A J. Jakab PŘIZPŮSOBENÍ JEBNE* VARIANTY IIODÁLHÍ METODY К MNOHOGRUPOVUJ NEUTRONICK#M vfpoít0m RYCHLÝCH R2AKT0R6

4 DC *6: PŘIZP0SCBEKÍ JEDKÉ* VARIANTY NODÁLNÍ METODY К MMOHOGRUPOVÝM NEOTROHICKÝM VFPOČTFILL RYCHLÝCH RÍÍAKTORS Anotace Tato zpráva popisuje modifikovanou variantu nodálni metody umožňující uskutečnit časově velmi efektivní výpočty rychlých reaktorů. Ve srovnání s předchozí metodickou verzí je tato metoda 3-krát rychlejší při aalogrupovýob výpočtech a 30 * 40-krát rychlejší při mnohogrupc vých výpočtech. Ve srovnání s diferenční metodou tato metodauaotini^e zkrátit výpočetní dobu 2-krát v jednorozměrné geometrii a 10 * 30-krát ve dvourozměrné váliové geometrii reaktoru. A VERSION OF NODAL METHOD, ADJUSTED TO A PAST RKACTOR MULTIGROUP NEUTROrlC CALCULATIONS Abstract This report describes a modified version of nodal method, allowing to provide a very timeeffect, ve feet reactor neutronic calculations. Comparing with the previous version, this method is 3-times faster for a few-group calculations and times faster for a multigroup calculations. Comparing with the finite-differeno» method, the modified method makes possible to reduoe the computational time by factor 2 for one-dimensional,and by factor for two-dimensional cylindrical reactor geometry. UJV R,A Nuclear Riseerch Institute - Řež neer Pregue - Czechoslovakia

5 OBSAH: 1. tfvod str Úprava jednorozměrných a nodllních rovnic Rovnice pro axiální směr Rovnice pro radiální směr Nodální rovnice pro střední toky 3 3. Řešení foustav upravených rovnic Základní algoritmus...' Simultánní řešení a racionalizace programové struktury Testovací výpočty Závěry 7 6. Literatura

6 1. ÚVOD Varianta nodální polvnomické metody Í.11 je určena к řešení grupových difuzních rovnic v cylindrické (r, s) geometrii. Tato metoda byla ověřena na několika modelech rychlých reaktoru [2] a Je metodickou součástí komplexu programů pro výpočet energetických rychlých reaktoru [5]. Základní nevýhodou programů wcháse jících z metody [1] je poměrně velká apotřeba strojového čaau, která ae nejvýrazněji projeví při mnohogrupových výpočtech ^2, 4] Ketoda f1 ] je prakticky nejjednoduš5.-'n případem obecné metody lokální polynomioké aproximace vyššího řádu f3] a lze na ni aplikovat obecné výpočtové algoritmy popsaná v práci [4]. V daném případě lze s ohledem na specifické vlastnosti metody [1 ] tyto obecné algoritmy dále rozpracovat a zefektivnit. V souladu s tím je prvním cílem předkládané zprávy detailní popis všech modifikací předchozí varianty [1], která umožňují roz ířit oblast použití nodálních metod na mnohogrupové výpočty rychlých reaktoru. Tato zpráva metodicky doplňuje a navazuje na práci [i] jejíž znalost je к pochopení výkladu tudíž nezbytná. Druhým cílem zprávy Je ověření modifikované n. dální netody na základě numerických výpočtu, a.-rovnáním s předchozí variantou nodální metody i klasickými diferenčními metodami poskytnout některé kvantitativní podklady к Jejímu použití při neutronových výpočtech rychlých energetických reaktoru. 2. ÚPRAVA JEDNOROZMĚRNÝCH A NODÍLHÍCH ROVMC Z matematického hlediska odvození v.rianty nodální metody [ 1 ] wúsíuje ve formulaci tří soustav lineárních rovnic pro vyšší koeficienty polvnomického rozvoje a pro střední toky v jednotlivých nódech reaktoru. Zatímco v předchozí verzi metody byly matice těchto soustav plné - všechny jejich prvky jsou obecně nenulové - v této kapitole se upravují do tvaru, na který lze aplikovat efektivní algoritmy jejich řešení, uvedené v následujíoí kapitole. V této kapitole se používá, všude kde je to možné, terminologie a označení převzaté z [i]; znovu jsou zde zopakovány pouze rovnice, které jsou výchozím bodem odvození modifikovaných vztahů Rovnice pro axiální směr Soustavu lineárních rovnic pro výpočet koeficientu C, polynomického rozvoje v axiálním směru (rovnice (2.4-4) a příslušné doplňující vztahy v [1 J ) upravíme následujícím způsobem: - rovnice (1) se pronásobí 1/Y, а в použitím explicitně vyjádřených hodnot se dosadí Y,/ Y 2 / Y 3-7; - matice štěpných zdrojů se přenese na pravou stranu a vyjádří eo jako součin sloupcového a řádkového vektoru; - od vektoru pravých stran? c se oddělí část obsahující členy s VL.f řo těchto úpravách obdržím* soustavu (1) ve tvaru x s Vec* řsjj»""*^» (2) Prvky matice A c «(*<» *' a vektory pravé strany soustavy (2) jsou určeny těmito vztahy ( T symbolizuje transponc /óní)

7 pro g> g л 'SB A-Z ^,g a gg - *-g-*e % r -»-; РГО g*< «} '4 i /G> f1! 1/1 fg> (3) С (С.,..., C«) ' g - ^ L g ^ g ) f cc - (»1 Pe> У 2.2. Rovnice pro radiální směr Soustavu lineárních rovnic pro výpočet koeficientů K, polynomiokého rozvoje v radiálním směru (rovnice (2.5-3) a příslušná doplňující vztahy v [ 1] ) h *3 - \ (4) upravujeme obdobným způsobem. Rovnice pronáaobíme veličinou ь RÍI^IQ+дн i Q+1 ; (5) a zavedeme si následující zobecněná geometrická parametry nódu Д R(R X I, o R I 2 ) Л ^ 2 - ^ A R^ I 2 + Л R I 3 ) ' (6) {- 6 - <*! I, Д H I 2 ) 3I 2-2(1 - B) I, - В I 0 } Dal-Jí úpravami, prakticky stejnými jako v odst. 2,1., získáme soustavu (4) ve tvaru hh-bx+ři;* ef T < K + V> (7) Matice X» se lisí od matioe X c pouze diagonálními prvky a pravá strana soustavy (7) má ее soustavou (3) identioká vektory f, 7. Ve vztazích (3) je nutná pro soustavu (7) zmsnit tedy pouze tyto prvky matioe a složek vektoru - 2 -

8 К W5 в 3 Hr,g т - (К,..., К,.) Л т (8) p g. v i z o K i, g 211, K 2fg). L rtg Kg E g_ g g« Nedální rovnice pro střední toky У reaktoru (rov Soustavu lineárních rovnic pro výpočet středních toku v jednotlivých nódech nice (2.7-1) a příslušné doplňující vztahy v [1} ) f <b = r (9) upravíme přenesením matice štěpných zdrojů na pravou stranu. 0 vektoru koeficientů rozvoje 1Г,, který je součástí pravé strany soustavy (9), budeme předpokládat, že je lineární korabinaoí známýofi dvou vektoru *3 " U K + «K \ (10) Postup výpočtu vektoru П, Ta kombinačního koeficientu q je obsahem následující kapitoly. Po úpravách vektoru pravé strany s použitím (10) obdržíme soustavu (9) ve tvaru A $ -? 0 + q R 7 v + f ji- (7 T ф ) (11) Vůči vztahům (3) je nutné uvést pouze nové vztahy pro dlagonnlní prvky matice a složky prvních dvou vektoru pravé strany gg Z*. t + <* t '-? s -«^t ^ + ^ t л Гц " (Рц1 P U G ) p U g- J g f i -[е1<«в,г«гы +, >+ 2 d g,r «Ti,»* Jj] + J. ; fp [- M ^ ^ ^ ^ 1 1 ^ 2,г,+^] (12) T <PVit...p PVG } P Vg " T g V K,g ( e,в - 2 d + в)) - 3 -

9 3. JisSarf SOUSTAV DPRAVSHfCH ROVSIC Soustavy jednorozměrných (2;» (7) a nodálníeh (11) sa odlišují pouze diagonálními prvky avýoh matic, hodnotami a částečně i uspořádáním vektoru pravých atran. Formální podobnost soustav umožňuj* použít к jejioh řasení «tejný postup. Bavíc, zejména díky omesenl aproximace středních toků na polynomy pouze 3.8tupne, má trto varianta nodálni metody tu zvláštnost, že upravená soustavy rovnic lze řasit simultánně. V důsledku toho lze algoritmus jejich řešení prograaově realizovat jako kompaktní a mimořádně rychlý výpočtový blok Základní algoritmus Soustavy rovnio pro axiální a radiální směr lze zapsat va tvaru У f j2_ (f (T+I 3 )) (13) Korespondence symbolu je zřejmá z porovnání (}3> a (2) a (7). Pokud položíme známý vektor X * 0* (nulový vektor) a P* -?g + ejg P* T, pak ae 1 aoustava nodálníeh rovnic (11) dá převést na základní tvar (13). Vektory Tf, 7 budeme označovat řelení následujících dvou soustav lineárních rovnio Itf-f 17-jt (14) Soustavu (13) pronásobíme inverzní maticí a", použijeme označení (13) a skalární hodnotu q - J-? (X + X,) (15) ef * a tím vyjádříme řešeni soustavy (13) ve tvaru lineární kombinace řešení aouatav (14) I 3 - V + q V (16) Dosazením (16) do (15)!» q vyjádřit explicitně vektory X, TT, 7 T ~ j3lt ri (17) Tím Je řešení základní úlohy (13) převedeno na řešeni dvou soustav (14)* Mlmodlagonální prvky matice A těchto soustav jsou záporně vzatá makropruřezy mezigrupovýob rozptylů «*_»,» V případě ryehlýoh reaktoru jsou tedy naddlagonální prvky táto matice nulová a nevío 1 pod diagonálou je matice A Jan velmi řídce zaplněna. Proto lze řešit soustavy (14) velioa snadno a rychle. Srovnání, provedená v práoi [4], ukazuje, že spotřeba strojového času při tomto algoritmu roste prakticky lineárně s poetem grup, zetímeo u Gausaova elimlnačního algoritmu, použitého v [1], roste sa třetí mocninou počtu grup Simultánní řešení soustav a racionalizace programová struktury К ozřejmění výhod simultánního řešeni soustav Je nutné předeslat postup řešení soustavy nodálníeh rovnio (11) pro střední toky. Označíme si I V, T u I TT 2 - T v I 7ф - jí (18) Analoglokým postupem jako v předchozím odstavci obdržíme řešení ve tvaru lineární kombinace - 4 -

10 Ф - U* n q K Ú 2 Чф? ф (19) kde tj_ Je kombinační koeficient ve vztahu (16) pro vektor К, а ф T f (o 1 o. o. k.f^^ T o Ze struktury matic A všech tří soustav vyplývá, is pomocné soustavy (14), (18) Je nejvhodnější řešit soěrem od nejvyšší, g - 1, к nejnižší, g «G, grup*. Z rozboru vztahů (3), (8), (12) a vztahů pro koeficienty C^, K^, i» 1,2, uvedených v [i] dále vyplývá, že složky vektoru?ravých stran p jsou explicitními funkcemi středníoh toků a proudu pro danou grupu a vyšší grupy g*< g. Konečným důsledkem je pak ta skutečnost, že žádná soustava nemusí být řešena prioritně, a tudíž lze všechny tři soustavy řešit simultánně. Prakticky to znamená možnost organizovat výpočet v pouhých dvou cyklech (podle g 1,2..», G). V prvním cyklu se určí nižší koeficienty rozvoje C,, K,_, složky pomocných vektorů U, V a kombinační koeflclem- *ie *e g в ty q pro včechny tři soustavy. V druhém, časově podstatné míně náročném cyklu, se podle vztahů (15), (19) dopočítají hledaná řešení 7L, xl, Ф. Při progranové realizaci veškeré grupově nebo nedálně závislá veličiny se v počítači zobrazují jako indexované proměnná, manipulace s indexovanými proměnnými je časová náročnější než manipulace s Jednoduchými proměnnými. Ye vztahu к manipulaci a indexovými proměnnými je možné na základě simultánního řešení soustav racionalizovat programovou strukturu. S hodnotou téže indexové proměnné, např. Z. e *_^K» ř» * dalsí, se totiž pracuje současně v několika soustavách. Dočasným uchováváním této hodnoty v jednoduché proměnné, která pak vystupujs v aritmetických operacích, lze podstatně redukovat počet volání -fnito-rnvanýoh proměnných a tím i spotřebu strojového času. 4. TESTOVACÍ VÝPOČTY Testování modifikované varianty noť.ální metody bylo uskutečněno na základě výpočtu provedených na počítači GIER dvěma programy: - programem NEMRZ-B, napsaným podle ředchozí metodiky (i], který je součástí programového souboru pro neutronioké výpočty rychlých reaktorů [5] ; - experimentálním programem LPA3, který je programovou realizací modifikovaná varianty nedální metody popsané v předkládaná zprávě* Je ovšem nutné zdůraznit, ža při sestavení tohoto programu se možnosti simultánnosti využilo pouze při výpočtu koeficientů С, а К, a řešení všech soustav probíhalo v pěti (místo optimálních dvou) cyklech. Důslednou realizací simultánnosti řešení je možné výpočtovou dobu podle teoretických odhadu zkrátit na 80 až 50 její současné hodnoty. Výpočty byly provedeny pro dvourozměrné zjednodušená modely rychlých reaktorů o výkonu ~ 1500 MWel s tradičním uspořádáním aktivní zóny do dvou oblastí různého obohacení (homogenní reaktor) i в aktivní zónou s vnitřními plodlvýml pásmy (heterogenní reaktor). Detailnější popis testovacích modelů by byl z hlediska dáls uváděných výsledků vcelku zbytečný. Výpočty dvou testovacích modelů (homogenní a heterogenní reaktor) se sítí 7 x 4 a 9 z 4 nódů ve ítyřgrupovém přiblížení prokázaly, že oba programy dávají identická výsledky a výpočet konverguje stejným způsobem. Velmi vzácně se vyskytly v lokálních charakteristikách reaktorů relativní odchylky řádu 10~ 7, což odpovídá rozdílům až v sedmé platná číslici. Taková odchylky mezi oběma programy lze vysvětlit odlišností procesu formování zaokrouhlovacích chyb. Výpočtové doby obou programu byly určeny měřením doby iterací při výpoéteoh dvourozměrných modelů ve Z, 4, 6, 14, 18 a 26-tl grupovém přiblížení. 26-ti grupové konstanty byly určeny na základě knihovny ВПАВ [б]. Menógrupové konstanty byly získány kolapsováním makrokonstant podle reálných neutronových toků (lineární vážení). Struktura 4 až 14-ti grupových soustav je popsána v práci [4] 1 18-ti grupová soustava vznikla stažením posledních devíti grup BNAB v jedinou; ve dvougrupové soustavě první grupa vznikla stažením prvních sedmi grup BNAB a - 5 -

11 а те druhé je zbývajících 19 grup. Oba proá«.-emy mají роамга? vysoká nároky пл velikost paměti počítače, Proto, počínaje 8-ml grupovým přiblížením, bylo nutná postu?» redukovat pe 5et nodl výpočtové' síti) např. 26-ti trupová výpočty byly provedeny se aítl > ж 2 nódů, Základní srovnávací veličinou rrcaloatl výpočtu je doby с v klu T» určena ja&c primárná doba T/počtu vztažena na i itersei, 1 grupa a 1 nód T - i (21) G. К. L kde tj je doba 1 iterace (přee všechny grupy a nódy), S je :c x et grup a Z. L je celkový po x et nódu v aítl К radiálních a L axiálních výpočtových parnem. Т-'pocty prokázaly, ie doba cyklu málo závisí (a relativní odchylkou "- - 5*) na komplexnosti geometrická a materiálová konfigurace reaktoru a na počtu nódu ve výpočtová síti. Sa obr. 1 je vynesena závieloet doby cyklu na počtu grup. Potvrzuje ae «^«*n' nevýhoda předchozí varianty nod 1ní metody, u níž T je výrazná rostoucí funkcí počtu grupi např. doba cyklu 26-ti gru?ov4ho v. : pogtu je více než třínásobkem doby cyklu dvougrupového cyklu. Růst T se přitox urychluje a přibýváním grup. 0 modifikovaná varianty má závislost T na počtu grup prává opačnou tendenci. Zpočátku doba cyklu klesá л pai se us taxuj a na zhr-дьа konstantní hodnotě pro široký rv*«ah (в ai 26) nočtu grup. Házorné srovnání obou metodických variant роз ytuje pomár rychlostí ^ гаю-з, (. 2} LP13 jehož závislost na počtu grup je znázorněna na obr. 2. Ukazuje a*, ie v oblasti muohogrupových výpočtu je program LPA3 řádově ryofalejší nei progrma lemrz-b. Zanedbatelná mění oviem ani jeho zrubá třínásobná větií rychlost v oblasti malogrupových (2 - в grup) výpočtu.?ři porovnání rychlostí obou metod je nutná ovsem zdůraznit, že ae porovnávají proetrednlctvía programu, při Jejichž sestavování nabyly použity rovnocenná programovací prostředky. Zatímco celý program LPA3 je napsán v jazyce ALGCL, v programu MEHRZ-B ae к řešení soustav (1), (4), (9) používá procedury CR0UT2 napsaná ve strojovém jazyce, která je v pro soustavy lineárních rovnic a ~30 neznámými asi 3 ai 4-krát rychlejší nei její ALGOLová varianta [7]. Vzhledem к tomu, ie u mnohogrupových výpočtu ae převážná větái.ia času spotřebuje právě na řešení soustav lineárních rovnic, jsou tím uvedená výsledky aline zkrealeny, zhruba faktorem 3 až 4, v neprospěch modifikovaná varianty. Při programová realizaci obou metod ekvivalentními programovacími prostředky,1e tedy modifikovaná varianta v případě mnohogrupových výpočtů 30 ai 40-krát rychlejší než předchozí varianta nodéluí metody. Přímá porovnání rychloatl modifikovaná nodální metody a klasickými diferenčními metodami zatím nebylo provedeno, la základě známých dob oyklu diferenčních programu (sec/1it.,1 gr., 1 dlf. bod) lze získat odhady poměru rychlostí, které mají ovšem vzhledem к ru-norodootl (rozdílné programovací přístupy, jazyk, počítač) pouze orientační oharakter. Při jednorozměrném výpočtu reaktoru v cylindrická geometrii je nutná u nodální счtody a.olynomickou aproximací 3. stupně reaktor rozdělit na 6 až 11 výpočtovýoh pásem, výpočet konverguje během 30 ai 35 iterací a doba cyklu činí asi 0,21 sec. Při diferenčním výpočtu téhož reaktoru programem J.126 [в] je nutná použít sil a asi 80-ti diferenčními body, konvergence za stejných podmínek jako u nodální metody se dosáhne během 2$ iterací a doba cyklu je 0,05 вес. Při jednorozměrném výpočtu je modifikovaná nodální metoda tedy asi 1,3 ai 2,7-krát rychlejší nei diferenční metoda. V dvourozměrném případě lze vyjít * >5*ajů o diferenčním programu 2DB [9], začleněného v systému RSYST, který Je implementován v ÚJV na počítači ЕС Při výpočtu rychlého reaktoru tímto prograaem je. nutné použít aítě s 1500 ai 20O0 'Hfárenčními doby a doba cyklu činí 0,01 вес. Při výpočtu nodální metodou je nutná použít výpočetní aítě 28 až 55 nódy a doba cyklu, při konzervativním odhadu a.-l 20-ti násobného urychlení při převodu programu z počítače ;IER na БС 1040, buíe asi 0,018 sec. Při zachování zhruba stejných konvergenčnich vlastností jako v jednorozn5rném případě bude modifikovaná nodální metéda 10 až 30-krát rychlijší než diferenční metoda. Tento výrazný vzrůst ryohl^stl Je zpu-oben především pod- - 6 T

12 atataoa redukcí *хе»твее*1 výp."-etai síto při zaetovaní Uarfni sávlsleetl výpactové doby na počta стар. Prooátoiao 11 tyto odhody zpit ne pfidcaoei nriaiti aodflaf eetody. pak Jo zřejaé. ž«*ři еиоповтароудь výpočtech be*» penalejií v aejlepaia pffpei* atejai vychlá jako llferencní nota do. 5. ZÍTBBY kodifikovaná varianta nedální aetedy. presentovaná v této správé, «e netodiekýa podkladem к масолгова éuori volal efektivních 1 doetatecn*' jifaonýah p apaal pro nevtroalcké výpočty energetických rychlých reaktora v amlo - 1 aniiliaamiipa*an přiblížení a v *ооао- 1 don» rosairaé válcové geometrii. Ba sákleáé provedených výpoétt lse konstatovat, se aoálflkovaaá aatoda Je v oblasti nalocrupových výpočte 3-krét a v oblosti anofcocrupovřcfa výpočte 30 oi 40-krét rychleji! noř předchozí vcrfaata nedální netody. 7 d4»:<-iku této rychlenti a&io cdiflkovená nedální aetode nepténi nahnált Jii тате» nám roxeebu klasickou éiforonbu aetodn. rředběiaé, a dedejaa io deetl кодtivotlvní.odhady okazují, i* v jr*m>rosa*r>** 410 trii jo modifikovaná aetode sjrebe dvakrát a vo dvoorosaérnt gecaetrii 10 oi JO-krét rychlejeí a*i diferenční aotooa.. ЫТ5ЖДУЛЭД [ 1 ] Bujel, B.t lešení anokoaxefwvých dlfmsníeh rovnic ijibllha laaatnia pasečí Jedné varianty nodálaí Metody. Beport BJ» - 435» -».T, 197». [г] Kájel, В.: neutronový výpočet rychlého energetickan» laaktor» v BZ «raaotrll роив cí nedální netody. Baport Alf t.t, [3] Jakob, J.x Шегоае lokální polyaonické eproxleec* vyuibo fáta pro reianl амшматери é dlfusní rovrloa v jedno - a dvooroseémé válcové (r,s) gconetril. Baport tfjt B, [*] Jakob, J.i Souetavy lineárních rovnic a poljuua* at-tody lokální polyaanleké apro> xlnaee. Beport tfjv «, T 979. [5] Kujal.J. - Knjal, B.i Soubor prngjaafl pro?»rtr*novy výpočet rychlého reaktora v provozních podmínkách. Vnitřní správa UíT - 4*96 - T, [6j Abagjan, L.ř. - Basesjeac, B.O. - Bondarenko, Z.I. - Blkolajcv, M.B.I Cmpovyjo koaotonty dlja mačeta jediných roaktorov. Koakve, Atemisdet, [7] Straka, J.: Soukraaé otelení. [8] Jakob, J.s J program pro fyslkalnr-jeutrroovy výpočet rychlého energetického reaktora. Vnitřní zpráva tn - Э92Э - H,?, [9] bltlo,w.w. - Bardie, R.W.s 20B Uacr*a Banoal - Revision I. Beport BOTL '«*v.1), 1969.

13 10 4 NEMRZ-1 i 3 LPA G GBR.2 Závislost porrěru rychlost- výpoctt, ^ na počtu grup G OBR.1 Závislost doby cyklu* na počtu grup G

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems

Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems O. Medek 1, J. Kruis 2, Z. Bittnar 2, P. Tvrdík 1 1 Katedra počítačů České vysoké učení technické, Praha 2 Katedra stavební mechaniky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Martin Lísal. Úvod do MPI

Martin Lísal. Úvod do MPI Martin Lísal září 2003 PARALELNÍ POČÍTÁNÍ Úvod do MPI 1 1 Co je to paralelní počítání? Paralelní počítání je počítání na paralelních počítačích či jinak řečeno využití více než jednoho procesoru při výpočtu

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Netradiční výklad tradičních témat

Netradiční výklad tradičních témat Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

NUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014

NUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014 NUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014 Miroslav Kabát, Západočeská univerzita v Plzni, Univerzitní 8, 306 14 Plzeň Česká republika ABSTRAKT

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy. 4. úloha - Experimentální hodnocení algoritmů pro řešení problému batohu

ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy. 4. úloha - Experimentální hodnocení algoritmů pro řešení problému batohu ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 4. úloha - Experimentální hodnocení algoritmů pro řešení problému batohu Jméno: Marek Handl Datum: 3. 2. 29 Cvičení: Pondělí 9: Zadání Prozkoumejte citlivost metod

Více

FOTOVOLTAICKÉ SYSTÉMY S VÝCHODO-ZÁPADNÍ ORIENTACÍ A POUZE JEDNÍM MPP TRACKEREM

FOTOVOLTAICKÉ SYSTÉMY S VÝCHODO-ZÁPADNÍ ORIENTACÍ A POUZE JEDNÍM MPP TRACKEREM FOTOVOLTAICKÉ SYSTÉMY S VÝCHODO-ZÁPADNÍ ORIENTACÍ A POUZE JEDNÍM MPP TRACKEREM V minulosti panovala určitá neochota instalovat fotovoltaické (FV) systémy orientované východo-západním směrem. Postupem času

Více

Matematika-průřezová témata 6. ročník

Matematika-průřezová témata 6. ročník Matematika-průřezová témata 6. ročník OSV 1: OSV 2 žák umí správně zapsat desetinnou čárku, orientuje se na číselné ose celých čísel, dovede rozpoznat základní geometrické tvary a tělesa, žák správně používá

Více

Flyback converter (Blokující měnič)

Flyback converter (Blokující měnič) Flyback converter (Blokující měnič) 1 Blokující měnič patří do rodiny měničů se spínaným primárním vinutím, což znamená, že výstup je od vstupu galvanicky oddělen. Blokující měniče se používají pro napájení

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Převodní charakteristiku sensoru popisuje následující vzorec: C(RH)=C 76 * [1 + HK * (RH 76) + K] (1.1)

Převodní charakteristiku sensoru popisuje následující vzorec: C(RH)=C 76 * [1 + HK * (RH 76) + K] (1.1) REALISTICKÉ MĚŘENÍ RELATIVNÍ VLHKOSTI PLYNŮ 1.1 Úvod Kapacitní polymerní sensory relativní vlhkosti jsou principielně teplotně závislé. Kapacita sensoru se mění nejen při změně relativní vlhkosti plynného

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 9. ročník J.Coufalová : Matematika pro 9.ročník ZŠ (Fortuna) Očekávané výstupy předmětu Na konci 3. období základního vzdělávání

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0797 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT 2M3 Slovní

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

{ } ( 2) Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků

{ } ( 2) Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků Určete na hladině významnosti 5 % na základě dat zjištěných v rámci dotazníkového šetření ve Šluknově, zda existuje závislost mezi pohlavím respondenta a

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB 62 REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB BEZOUŠKA VLADISLAV Abstrakt: Text se zabývá jednoduchým řešením metody nejmenších čtverců v prostředí Matlab pro obecné víceparametrové aproximační funkce. Celý postup

Více

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb 16 Optimální hodnoty svázaných energií stropních konstrukcí (Graf. 6) zde je rozdíl materiálových konstant, tedy svázaných energií v 1 kg materiálu vložek nejmarkantnější, u polystyrénu je téměř 40krát

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 S Á ČK Y NA PS Í E XK RE ME N TY SÁ ČK Y e xk re m en t. p o ti sk P ES C Sá čk y P ES C č er né,/ p ot is k/ 12 m y, 20 x2 7 +3 c m 8.8 10 bl ok

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

Vícefázové reaktory. Probublávaný reaktor plyn kapalina katalyzátor. Zuzana Tomešová

Vícefázové reaktory. Probublávaný reaktor plyn kapalina katalyzátor. Zuzana Tomešová Vícefázové reaktory Probublávaný reaktor plyn kapalina katalyzátor Zuzana Tomešová 2008 Probublávaný reaktor plyn - kapalina - katalyzátor Hydrogenace méně těkavých látek za vyššího tlaku Kolony naplněné

Více

Měřicí přístroje a měřicí metody

Měřicí přístroje a měřicí metody Měřicí přístroje a měřicí metody Základní elektrické veličiny určují kvalitativně i kvantitativně stav elektrických obvodů a objektů. Neelektrické fyzikální veličiny lze převést na elektrické veličiny

Více

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Zvířata zařazená do hodnocení V modelu plemene H jsou hodnoceny krávy s podílem krve H nebo 75% a výše. V modelu plemene C jsou hodnoceny krávy s podílem krve

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat

Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat Jan Žižka IBA Institut biostatistiky a analýz PřF & LF, Masarykova universita Kamenice 126/3, 625 00 Brno Email: zizka@iba.muni.cz Bioinformatika:

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Profilování vzorků heroinu s využitím vícerozměrné statistické analýzy

Profilování vzorků heroinu s využitím vícerozměrné statistické analýzy Profilování vzorků heroinu s využitím vícerozměrné statistické analýzy Autor práce : RNDr. Ivo Beroun,CSc. Vedoucí práce: prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. PROFILOVÁNÍ Profilování = klasifikace a rozlišování

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Harmonogram výuky předmětu Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda okrajových prvků (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více