Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.
|
|
- Bedřich Pospíšil
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x. x. Najděte definiční obor funkce fx, y = arccos x + y. Řešení: Definiční obor je množina všech [x; y] R, pro která platí 1 x x + y 1. Tato množina se skládá ze dvou tupých úhlů omezených přímkami y = a y = x s hranicí, ale bez bodu [; ]. 3. Najděte definiční obor funkce fx, y = x + y 14 x y. Řešení: Definiční obor je množina 1 x + y 4, což je uzavřené mezikruží se středem v počátku, s poloměrem vnitřního kruhu 1 a vnějšího. 4. Najděte definiční obor funkce f 1 x, y = lnxy a f x, y = ln x + ln y. Řešení: Definiční obor funkce f 1 je množina xy >, což je otevřený první a třetí kvadrant, kdežto definiční obor funkce f je množina x > a y >, což je otevřený první kvadrant. 5. Najděte definiční obor funkce fx, y, z = ln 1 x y + z. Řešení: Definiční obor je dán rovnicí 1 x y +z >, což je vnitřek dvojdílného hyperboloidu x + y z = Najděte vrstevnice funkce z = x + y. Řešení: oustředné kružnice x + y = pro > ; bod [; ] pro = ; prázdná množina pro <. 7. Najděte vrstevnice funkce z = 1 x + y. Řešení: Prázdná množina pro ; elipsy x + y = 1 pro >. 8. Najděte vrstevnice pro funkci z = minx, y. Řešení: Přímky y = pro z = < ; přímka y = a polopřímka x =, y pro z = ; polopřímky y =, x a x a x = ±, y pro >. 9. Najděte hladiny konstantní úrovně funkce ux, y, z = x + y z. Řešení: Máme popsat množinu x + y z =, kde je konstanta. Pro > je to množina jednodílných hyperboloidů; pro < je to množina dvojdílných hyperboloidů; pro = je to kužel. Typeset by AM-TEX 1
2 y 1. Najděte funkci fx, jestliže f = x x + y x pro x >. Řešení: Označme u = y x. Pak je y = ux a fu = x + u x fx = 1 + x. 11. Najděte fx, y, jestliže f x + y, y = x y. x Řešení: Označme u = x + y a v = y. Inverzní zobrazení je x = u x Z toho dostaneme fu, v = Tedy fx, y = 1 y 1 + y x. u 1 + v u v 1 + v = 1 v 1 + v u = 1 v 1 + v u. x = 1 + u. Tedy 1 + v a y = uv 1 + v.
3 vičení Metrické prostory. Normované prostory. Prostory se skalárním součinem. Definice 1. Nechť M je množina a ρ : M M R s následujícími vlastnostmi: 1 ρx, y, ρx, y = x = y, ρx, y = ρy, x, 3 ρx, y ρx, z + ρy, z, pro každé x, y, z M. Pak se funkce ρ nazývá metrika a množina M s funkcí ρ se nazývá metrický prostor. Vztah 3 se nazývá trojúhelníková nerovnost. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad R, resp. nad, a ν : V R taková, že pro každé x, y V a α R platí: 1 νx, νx = x =, ναx = α νx, 3 νx + y νx + νy. Funkce ν se nazývá norma. Věta 1. Nechť V je vektorový prostor a ν je norma na V. Pak je funkce ρ : V V R definovaná vztahem ρx, y = νx y metrika na V. 1. Dokažte větu 1. Řešení: Máme ukázat, že pro funkci ρ platí 1 3 z definice 1. Podle 1 z definice platí ρx, y = νx y a ρx, y = νx y = x y = x = y. Tedy platí 1. Podle platí ρx, y = νx y = ν 1 y x = νy x = ρy, x, a tedy platí. Podle 3 z definice je ρx, y = νx y = ν x z+z y νx z+νz y = ρx, z + ρy, z, což je trojúhelníková nerovnost z definice 1. Definice 3. Je-li V vektorový prostor a ν norma na V, pak nazýváme metrický prostor V s metrikou definovanou ve větě. normovaný vektorový prostor. Definice 4. Nechť V je vektorový prostor nad R, resp.. kalární součin nazýváme funkci, : V V R, resp., která pro každé x, y, z V a α, β R, resp., má následující vlastnosti: 1 αx + βy, z = αx, z + βy, z, x, x, x, x = x =, 3 x, y = y, x. V 3 znamená α komplexně sdružené číslo k α. Obvykle se značí x, x = x. Takový vektorový prostor se nazývá prostor se skalárním součinem. 3
4 Věta. chwarzova nerovnost Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé x, y V platí x, y x y.. Dokažte větu. Řešení: Podle z definice skalárního součinu platí pro každé x, y V a λ nerovnost x λy, x λy. Přitom rovnost platí pouze tehdy, když x λy =, tedy je x násobek y. Když rozepíšeme tuto nerovnost, dostaneme x λy, x λy = x λy, x λx, y + λ y. Jestliže je y = platí v dokazovaném vztahu rovnost. Jestliže je y, položíme x, y y, x λ =. Pak je λ = y y a předchozí vztah dává x y, xx, y x, yy, x x, y y y + y = x x, y y. Odtud již plyne vztah x, y x y, z něhož získáme po odmocnění chwarzovu nerovnost. Povšimněte si, že rovnost nastává pouze tehdy, když x = λy nebo když je y =, tj. právě tehdy, když jsou vektoru x a y lineárně závislé. Věta 3. Je-li V vektorový prostor se skalárním součinem, pak je funkce x = x, x norma na V. 3. Dokažte větu 3. Řešení: Máme ukázat, že funkce νx = x má vlastnosti 1 3 z definice. Protože pro každé x V je x = x, x a x = právě tehdy, když x =, je splněna podmínka 1. plyne z rovnosti ax = ax, ax = a x, x = a x. K důkazu 3 použijeme chwarzovy nerovnosti. Protože pro každé komplexní číslo a platí nerovnost Rea a, dostaneme x + y = x + y, x + y = x + x, y + y, x + y = = x + Rex, y + y x + x, y + y x + x y + y = x + y. Po odmocnění tedy x + y x + y, což je 3 z definice normy. 4. Nechť M je libovolná neprázdná množina. Dokažte, že funkce { pro x y ρx, y = 1 pro x = y 4
5 je metrika na M. Jak vypadají otevřené a uzavřené množiny v tomto metrickém prostoru? Řešení: Musíme ověřit, že daná funkce ρ má vlastnosti 1 3 z definice metriky. Vztahy 1 a jsou zřejmé. Abychom dokázali trojúhelníkovou nerovnost ρx, y ρx, z + ρy, z, stačí uvažovat případy x = y = z, x = y z, x = z y a x y z x. nadno se lze přesvědčit, že 3 je ve všech těchto případech splněno. Nechť je X libovolná podmnožina M a x X. Protože každé okolí U ε x, kde ε < 1 obsahuje jediný bod x a je tedy podmnožinou X. Tedy každý bod x X je vnitřní bod X, a tedy každá podmnožina M je otevřená. Proto je také pro každou množinu X M její doplněk M \ X otevřená množina. Tedy každá podmnožina M je také uzavřená. Věta 4. V prostoru R n je pro každé p 1 funkce resp. n ν p x = xi p i=1 1/p ν x = max x 1, x,..., x n norma v R n. Prostor R n s metrikou ρ p x, y = ν p x y je tedy normovaný prostor. n Norma ν vzniká ze skalárního součinu x, y = x i y i. i=1 5. Dokažte, že lim p ν px = ν x. Řešení: Označme X = max x 1, x,..., x n. Je-li X =, je x k = pro každé k. Nechť X. Pak pro každé i = 1,,..., n platí nerovnost y i = x i 1. Pak X ale pro každé p 1 platí n 1/p n 1/p x i p = X y i p. i=1 i=1 Protože y i 1, dostaneme z této rovnosti nerovnost n 1/p X xi p = ν p x Xn 1/p. i=1 A protože lim p n1/p = 1, dostaneme limitním přechodem p vztah X = ν x = lim ν px. p 5
6 6. V prostoru R 3 jsou dány body A = [1; ; 1], B = [; 4; 5] a = [ 3; ; 3]. Určete vzájemné vzdálenosti těchto bodů v prostorech s metrikami ρ 1, ρ a ρ. Ověřte v těchto případech trojúhelníkovou nerovnost. Řešení: Podle definice je ρ 1 A, B = = 9, ρ 1 A, = = 8, ρ 1 B, = = 17 ; ρ A, B = = 33, ρ A, = = 4, ρ B, = = 15 ; ρ A, B = max 1, 4, 4 = 4, ρ A, = max 4,, 4 = 4, ρ B, = max 5, 4, 8 = 8. Věta 5. Nechť a, b je uzavřený omezený interval. Označme a, b množinu všech spojitých funkcí na a, b. Pak je funkce νf = fx norma na prostoru a, b. sup x a,b 7. V prostoru, 1 najděte vzdálenost funkcí fx = x +x+1 a gx = 1+x. Řešení: Podle definice je ρf, g = sup fx gx = sup x x. x,1 x,1 Tato funkce je spojitá na kompaktním intervalu, 1. Tedy má na tomto intervalu maximum. Pro x, 1 je x x 1 = x x a pro x, 1 platí x x = x x. Protože derivace této funkce je rovna nule pouze v bodě x = 1, může funkce 4 nabývat maximum pouze v bodech x 1 = 1 4, kde je derivace nulová, x = 1, kde derivace neexistuje, x 3 = a x 4 = 1, což jsou krajní body intervalu. Největší hodnota této funkce je 1 v bodě x 4 = 1. Tedy ρf, g = Najděte funkci tvaru fx = ax, která má v prostoru, 1 nejmenší vzdálenost od funkce gx = x. 6
7 Řešení: Naším úkolem je najít a R tak, aby byla minimální hodnota funkce F a = x ax. Označme Gx, a = x ax = x x a, kde x, 1 a sup x,1 a R. Pro a 1 je Gx, a = xa x. Tato funkce může nabývat maxima v bodech x 1 =, x = 1 a x 3 = a. Přímým výpočtem se přesvědčíme, že F a = a 1 pro a, a F a = a pro a 1,. 4 Pro a, 1 je Gx, a = xa x pro x, a a Gx, a = xx a pro x a, 1. Tato funkce proměnné x může nabývat maxima v bodech x 1 =, x = a, x 3 = a a x 4 = 1. rovnáním funkčních hodnot v těchto bodech snadno zjistíme, že F a = a 4 pro a, 1 a F a = 1 a pro,. Pro a < je Gx, a = xx a. Tato funkce proměnné x nabývá maxima F a = 1 a v bodě x = 1. Tedy našli jsme funkci a 1 pro a, F a = ρx a, ax = pro a, 4 1 a pro a, Naším úkolem je najít minimum této funkce. Ta je spojitá a je klesající v intervalu, a rostoucí v intervalu,. Tedy tato funkce nabývá minimum F min = 3 v bodě a =. Věta 6. Nechť a, b je uzavřený omezený interval. Uvažujme vektorový prostor L všech reálných spojitých funkcí na a, b. Pro každé p 1 je funkce 1/p b ν p f = fx p dx a norma na L. Normovaný prostor L s normou ν p budeme značit L p a, b. b Norma v L a, b vzniká ze skalárního součinu f, g = fxgx dx. a 9. V prostorech L 1, π a L, π najděte f, g a vzdálenost funkcí fx = sin x a gx = cos x. 7
8 Řešení: Podle definice je f 1 = g 1 = π π ρ 1 f, g = = f = π/4 π π sin x dx = sin x dx cos x dx = 4, sin x cos x dx = π π sin x dx = 4, 5π/4 π cos x sin x dx + sin x cos x dx + cos x sin x dx = π/4 5π/4 = 4 ; g = ρ f, g = π π π sin x dx 1/ = π, cos x dx 1/ = π, sin x cos x 1/ = π. 1. Najděte a tak, aby funkce fx = ax měla v prostoru a L 1, 1 ; b v prostoru L, 1, nejmenší vzdálenost od funkce gx = x. Řešení: Naším úkolem je najít minimum funkce F a = ρx, ax. V případě 1, 1 je F a = x ax dx. L 1 Pro a 1 je Pro a, 1 dostaneme F a = a pro a < je 1 F a = 1 ax x dx = a 1 3. x ax a dx = ax x 1 + x ax dx = a3 3 a F a = 1 x ax dx = 1 3 a. Protože je funkce F a klesající v intervalu, a rostoucí v intervalu 1,, leží její minimum v intervalu, 1. Protože F a = a 1, může existovat extrém pouze v bodech x 1 =, x = 1 a x 3 = 1. Funkční hodnoty v těchto bodech jsou a 8
9 F = 1 1 3, F ρ x x, = 6 =. 6 V případě prostoru L, 1 je a F 1 = 1 6. Tedy a = 1 a pro toto a je vzdálenost 1 F a = x ax 1/ 1 dx = 5 a + a 3. Tato funkce má derivaci rovnou nule pouze v bodě a = 3 a lze snadno ukázat, že 4 3 funkce F a nabývá v tomto bodě globálního minima F =
10 vičení 3 Limita posloupnosti v metrickém prostoru. auchy Bolzanova podmínka. Úplný prostor. Definice 1. Nechť M je metrický prostor s metrikou ρ a x n je posloupnost v M. Říkáme, že posloupnost x n má limitu x, jestliže lim ρx n, x =. Pak píšeme n lim x n = x. Posloupnost, která má limitu se nazývá konvergentní. Jestliže posloupnost nemá limitu, nazývá se n divergentní. Věta 1. Posloupnost x n v metrickém prostoru M má nejvýše jednu limitu. 1. Dokažte větu 1. Řešení: Nechť je x y a lim ρx, x n = lim ρy, x n =. Pak ke každému n n ε > existují n x a x y takové, že pro každé n > n x je ρx, x n < ε a pro každé n > n y je ρy, x n < ε. Vezměme ε = 1 3 ρx, y >. Pro příslušná n x a n y položme n = maxn x, n y. Pak pro každé n > n platí ρx, y ρx, x n + ρy, x n < ρx, y. 3 Ale to je spor. Tedy ρx, y =, tj. x = y. Věta. Nechť x n = x 1 n,..., x k n je posloupnost prvků z R k s metrikou ρ p definovanou ve cvičení. Pak je posloupnost konvergentní, právě když jsou konvergentní všechny posloupnosti x i n, i = 1,..., k a platí lim x n = x, kde x i = lim n n xi n, i = 1,..., k. Dokažte větu. Řešení: Nechť je lim x n = x v prostoru s metrikou ρ p. Protože pro každé i = n 1,,..., k a p 1, platí nerovnost je lim x i x i n n k 1/p x i x i n x r x r p n r=1 = pro každé i = 1,,..., k, a tedy lim n xi n = x i. Nechť naopak pro všechna i = 1,,..., k je lim n xi n = x i. Pak ke každému ε > existují n i taková, že pro každé n > n i je x i x i n < ε. Vezměme k1/p n = max n 1, n,..., nk. Pak pro každé n > n platí nerovnost k x i x i p n i=1 k i=1 ε p k = εp. 1
11 Tedy pro n > n je ρ p x, xn < ε. Pro metriku generovanou normou ν x = max x 1, x,..., x n, platí pro každé i nerovnost x i x i n max x i x i n. i=1,,...,k i v této metrice plyne, že z lim x n = x vztah lim n n xi n = x i pro každé i. Abychom dokázali opačnou implikaci zvolíme k danému ε > čísla n i taková, že pro každé n > n i je x i x n i < ε a n = max n 1, n,..., nk. 3. Najděte limitu posloupnosti x n = n n+ + 1 n 4 n,, n + 1 n n, n + 1 π arctg n. Řešení: Podle věty stačí najít limity n n+ + 1 n 4 lim n n, lim, lim n + 1 n n, lim n n + 1 n n π arctg n. První tři limity jsou lim n lim n n + 1 n = + 1 n = ; n+ n 4 = 1 5 n + 1 n + 1 n+ = e 5 ; lim n + 1 n = lim n + 1 n n n n n n n = lim 1 n n n =. Poslední limitu nalezneme tak, že určíme limitu x lim x π arctg x = lim exp x ln π 1 arctg x = x = exp lim x x lnπ 1 arctg x. Pokud tato limita existuje, je rovna hledané limitě posloupnosti. Limitu v exponentu nalezneme pomocí l Hospitalova pravidla. lnarctg x + lnπ 1 lim x x 1 Tedy hledaná limita je lim x n =, e 5,, e /π. n x = lim x 1 + x arctg x = π. 11
12 4. Nechť f n x = x n a < η < 1. Najděte limitu posloupnosti f n v prostoru, η a v prostoru, 1. Řešení: Pro každé pevné x, 1 je lim n xn =. Tedy jestliže posloupnost konverguje, konverguje k funkci fx =. Konvergence posloupnosti funkcí v prostoru M znamená, že lim sup fx fn x =. n x M Protože jsou funkce f n x = x n spojité a intervalu, η, nabývají na tomto intervalu maxima. Protože jsou to rostoucí funkce proměnné x, nabývají maxima v bodě x = η < 1. Tedy stačí ukázat, že lim n ηn =. Nechť je < ε < 1. Pak stačí zvolit n tak, aby η n < ε, tedy n > ln ε ln η. Pak je pro každé n > n je η n < η n < ε, protože ε < 1. Tedy v prostoru, η je lim n xn =. Ale v prostoru, 1 je sup x n = 1. Tedy pro ε < 1 nelze najít n tak, aby x,1 pro n > n bylo x n. Proto v prostoru, 1 limita lim n xn neexistuje. sup x,1 Definice. Konvergence funkcí f n x v prostoru a, b se nazývá stejnoměrná konvergence v a, b. Jestliže posloupnost f n x konverguje stejnoměrně k funkci fx, píšeme f n x fx. 5. Dokažte, že f n x fx na a, b znamená, že ε > n = n ε ; x a, b, n > n fx fn x < ε. Řešení: Nechť je lim f nx = fx v prostoru a, b. To znamená, že ke každému ε > existuje n takové, že pro každé n > n je fx fn x < ε. n Ale sup x a,b sup x a,b pro toto n splňuje výše zmíněnou podmínku. Nechť pro ε > existuje n takové, že pro každé x a, b platí fx fn x < ε. Ale pak je pro tato n také fx fn x ε < ε, a tedy fx je limitou posloupnosti f n x v prostoru a, b. Kromě stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí f n x lze definovat tzv. bodovou konvergenci. Tu definujeme takto: Máme posloupnost funkcí f n x, x a, b. Vezmeme pevné x a, b a sestrojíme číselnou posloupnost f n x. Pokud posloupnost f n x konverguje k fx pro každé x a, b, říkáme, že funkce posloupnost funkcí f n x konverguje bodově k 1
13 funkci fx nebo, že fx je bodová limita posloupnosti funkcí fx. Obvykle se v takovém případě píše f n x fx na intervalu a, b. Definici bodové konvergence lze zapsat takto: ε > x a, b n = n ε, x ; n > n fx fn x < ε. Tedy n může na rozdíl od stejnoměrné konvergence záviset na bodu x. Věta 3. Jestliže posloupnost funkcí f n x konverguje stejnoměrně k funkci fx na intervalu a, b, pak konverguje tato posloupnost konverguje také bodově k funkci fx. 6. Dokažte větu 3. Řešení: Tvrzení je zřejmé, protože jestli f n x fx existuje k danému ε > n takové, že pro každé n > n a x a, b je fn x fx < ε a v definici bodové konvergence stačí zvolit toto n. Z věty plyne, že posloupnost funkcí f n x může stejnoměrně konvergovat k funkci fx pouze tehdy, když k ní konverguje bodově Opak obecně neplatí. Ukažte, že posloupnost funkcí f n x =, x 1, nx konverguje bodově, ale nekonverguje stejnoměrně. Řešení: Při zkoumaní bodové konvergence zvolíme nejprve pevní x 1, 1. Je zřejmé, že pro x = je lim f n = 1 a pro x je lim f nx =. Tedy bodově n n je lim f nx = fx, kde fx = pro x 1, 1, x, a f = 1. n Ukážeme z definice, že tato funkce je bodová limita posloupnosti funkcí f n x. Nechť je dáno ε, 1. Pro ε 1 stačí zvolit n = 1. Máme tedy pro každé x 1, 1 najít n takové, aby f n x fx < ε. Pro x = je pro každé n f n f = a 1 stačí zvolit n = 1. Je-li x zvolíme n tak, aby 1 + n x < ε. Pro každé n > n 1 je totiž 1 + nx < n x. Proto stačí zvolit n > 1 ε εx >. Jak je vidět, při zkoumaní bodové konvergence nám stačilo najít n závislé na x. Jestliže budeme nahlížet na n jako na funkci x, vidíme, že není omezená v okolí bodu x =. Proto lze očekávat, že posloupnost funkcí f n x nebude konvergovat k funkci fx stejnoměrně. Dokážeme toto tvrzení. To ale přesněji znamená, že existuje ε > takové, že pro každé n existuje n > n a x 1, 1, pro které je fn x fx 1 ε. Vezměme ε =. Pak přejde dokazovaná nerovnost pro x 1 1 na, neboli x. Tedy ať zvolíme jakékoliv n existuje x 1, 1 n 1 + nx 1 1 takové, že 1 + nx 1. Tím jsme ale dokázali, že posloupnost f nx nekonverguje stejnoměrně k funkci fx. 13
14 Věta 4. Nechť je f n x posloupnost funkcí na množině M R, které na M konvergují stejnoměrně k funkci fx. Nechť pro každé n existuje lim f n x = A n a x a nechť je lim A n = A. Pak existuje lim fx = A. n x a Poznámka: Věta říká, že v takovém případě lze zaměnit limity, tj. že platí lim lim f nx = lim n x a x a lim f nx. n 8. Dokažte větu 4. Řešení: K důkazu použijeme nerovnost fx A = fx fn x + f n x A n + An A fx f n x + f n x A n + A n A, kde x M. Nechť je dáno ε >. Protože posloupnost funkcí f n x konverguje na množině M stejnoměrně k funkci fx, existuje n 1 takové, že pro každé n > n 1 a pro každé x M je fx fn x ε <. Protože je lim n A n = A, existuje n takové, 3 že pro každé n > n je An A ε < 3. Zvolme pevné n > max n 1, n. Protože pro toto n je lim f n x = A n, existuje δ > takové, že pro všechna x M pro která x a je < a x < δ platí nerovnost fn x A n < ε. Ale pak pro všechna taková x 3 platí nerovnost To ale znamená, že lim x a ff = A. fx A < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Důsledek. Jestliže je f n x posloupnost spojitých funkcí na množině M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci fx, je funkce fx spojitá. 1 V příkladu 7 jsme zkoumali posloupnost spojitých funkci f n x = 1 + nx, x 1, 1. Protože bodová limita těchto funkcí byla fx = pro x a f = 1, tedy nespojitá funkce, nemohla posloupnost funkcí f n x konvergovat k funkci fx stejnoměrně na 1, 1. Věta 5. Nechť posloupnost x n v metrickém prostoru M s metrikou ρ konverguje. Pak posloupnost x n splňuje tzv. auchy Bolzanovu podmínku: ε > n ; m, n > n ρx m, x n < ε Dokažte větu 5. 14
15 Řešení: Nechť je lim x n = x. Pak ke každému ε > existuje n takové, že pro n každé m, n > n platí ρx, x m < ε a ρx, x n < ε. Z trojúhelníkové nerovnosti plyne, že pro taková m a n platí nerovnost ρx m, x n ρx m, x + ρx, x n < ε + ε = ε. Definice 3. Posloupnost, která splňuje podmínku 1 se nazývá auchyovská posloupnost. Obecně není pravda, že je každá auchyovská posloupnost konvergentní 1. Jeden z algoritmů, jakým lze počítat druhé odmocniny je tento: Nechť je x. estrojme následující posloupnost a 1 = 1 a a n+1 = 1 a n + xan. Lze ukázat, že tato posloupnost konverguje a lim a n = x. n Když pomocí tohoto algoritmu počítáte, získáte posloupnost racionálních čísel x n, která je v prostoru racionálních čísel Q auchyovská, ale nemá v tomto prostoru limitu, protože není racionální číslo. Proto se zavádí Definice 4. Metrický prostor M se nazývá úplný, jestliže je každá auchyovská posloupnost v M konvergentní. Pojem úplnosti je v matematice velmi důležitý. Protože množina racionálních čísel není úplný prostor viz příklad 1., zavádí se reálná čísla, která již jsou úplným prostorem. Platí Věta 6. Pokud M je úplný metrický prostor, pak je posloupnost x n v tomto prostoru konvergentní, právě když je auchyovská. Víte-li tedy, že M je úplný metrický prostor, stačí k důkazu konvergence posloupnosti x n ukázat, že je posloupnost auchyovská. Z věty 4 plyne, že prostor a, b je úplný. Naopak prostory L p a, b úplné nejsou. V úplných metrických prostorech platí Věta 7. O pevném bodě v kontrahujícím zobrazení. Nechť M je úplný metrický prostor s metrikou ρ a f : M M, pro které platí: Existuje K, 1 takové, že pro každé x, y M je ρ fx, fy Kρx, y. 15
16 Pak v M existuje právě jedno x, pro které platí x = fx. 11. Dokažte větu 7. Řešení: Vezmeme libovolné x M a sestrojíme posloupnost x 1 = fx, x = fx 1,..., x n+1 = fx n,.... Protože zobrazení fx je kontrahující, je ρx, x 1 = ρ fx 1, fx Kρx 1, x. Indukcí ukážeme, že pro každé N platí nerovnost ρx n+1, x n K n ρx 1, x. 1 Pro n = 1 jsme tento vztah již ukázali. Nechť platí 1 pro n. Pak je ρ x n+, x n+1 = ρ fxn+1, fx n Kρ x x+1, x n K n+1 ρ x 1, x, kde jsme v poslední nerovnosti použili indukční předpoklad. Nyní ukážeme, že posloupnost x n je auchyovská. Nechť m > n. Pak z trojúhelníkové nerovnosti plyne Protože K, 1 je ρ m 1 x m, x n < lim n r=n ρ m 1 x r+1, x r K r ρ x 1, x = r=n r=n K r ρ x 1, x < K n 1 K ρ x 1, x. K n 1 K ρ x 1, x =, a tedy ke každému ε > existuje n takové, že pro každé m > n > n je ρ x m, x n < ε. Tedy posloupnost xn je auchyovská, a protože jsme předpokládali, že metrický prostor M je úplný, existuje lim n x n = x M. Protože ρ x, fx = lim n ρ x n+1, fx = lim n ρ fx n, fx K lim n ρ x n, x =, dostaneme x = fx. Nakonec dokážeme jednoznačnost řešení rovnice x = fx. Nechť jsou x a y dvě libovolná řešení dané rovnice. Pak platí ρ x, y = ρ fx, fy Kρ x, y. A protože K, 1 plyne z tohoto vztahu ρx, y =, tj. x = y. 1. Ukažte, že rovnice x = 1 + ε sin x, kde ε < 1 má právě jedno řešení. Řešení: Uvažujme funkci f : R R definované vztahem fx = 1 + ε sin x. Protože platí nerovnost fx fy = ε sin x sin y = ε cos x + y sin x y ε sin x y ε x y, 16
17 kde jsme v posledním vztahu použili nerovnost sin x < x, která platí pro x >, dává funkce fx kontrahující zobrazení R do R. Protože je R úplný metrický prostor, plyne existence a jednoznačnost řešení rovnice x = fx = 1 + ε sin x. Pomocí Věty 7. se často dokazuje existence a jednoznačnost řešení rovnic v mnohých případech. 13. Nalezněte funkci f, 1, která splňuje rovnici fx = x + 1 xtft dt. Řešení: Uvažujme zobrazení F :, 1, 1, které je definováno vztahem F fx = x + f g = sup x,1 1 F f F g = xtft dt. Metrika v prostoru, 1 je definována vztahem fx gx. Pak ale je sup x,1 1 t 1 sup x,1 xt ft gt 1 dt = t ft gt dt fx gx dt = f g 1 t dt = 1 f g, a tedy F je kontrahující zobrazení úplného metrického prostoru, 1 do sebe. Existuje tedy právě jedno řešení rovnice fx = x + 1 xtff dt. Toto řešení lze sestrojit postupnými aproximacemi podobně, jak jsme dokázali větu 7. Nechť f x =. Pak f 1 x = F f x = x. f x = F f 1 x = x + f 3 x = x + 1 x xt dt = t dt = x, x. 9 n 1 1 Indukcí se ukáže, že f n x = x, a tedy fx = lim 3r f nx = x n r= r= 1 3 r = 3 x. 17
18 vičení 4. Limita a spojitost funkcí více proměnných Definice. Nechť M R m, f : M R n a a M. Řekneme, že limita funkce f v bodě a je rovna A, tj. lim x a fx = A, jestliže platí následující tvrzení: ε > δ > ; x ; < ρx, a < δ σfx, A < ε, kde ρ a σ jsou příslušné metriky v R m a R n. Ekvivalentní definice je: Pro každé okolí U bodu A existuje prstencové okolí P M bodu a takové, že pro každý bod x P je fx U. Je-li metrika σ generována některou z norem ν p, 1 p < [vičení ], stačí vyšetřovat limity jednotlivých složek funkce f, neboli stačí uvažovat limity zobrazení f : M R. Pro limitu funkce více proměnných platí podobné věty jako pro limitu funkce jedné proměnné, a to zejména: Nechť existují lim fx = A a lim gx = B. Pak platí x a x a 1 lim αfx = αa, kde α je reálná konstanta. x a [ ] lim fx ± gx = A ± B. x a [ ] 3 lim fx gx = A B. x a 4 Je-li B, pak lim x a fx gx = A B. Dále platí věta o sevření: Nechť na nějakém prstencovém okolí bodu a platí nerovnosti gx fx hx a nechť existují limity Pak existuje lim x a fx = A. pojitost funkcí více proměnných: lim gx = lim hx = A. x a x a Nechť M R m a a M. Pak se funkce f : M R n nazývá spojitá v bodě a, je-li: 1 a izolovaný bod nebo lim x a fx = fa. Funkce, která je spojitá v každém bodě množiny M, se nazývá spojitá na množině M. Limita složené funkce Nechť f : M N a g : N P, kde M R m, N R n a P R p, a lim fx = A, x a gy = B a existuje prstencové okolí P M bodu a takové, že x P je lim y A fx A, pak 18
19 lim g[ fx ] = B. 1 x a Vztah 1 platí také v případě, že funkce g je spojitá v bodě A. ln x + e y 1. Najděte limitu lim x,y 1, x + y. Řešení: Limitu daného výrazu najdeme jako podíl limit. Limita čitatele je lim ln x + e y = ln, x,y, protože funkce ln x, xa e x jsou spojité funkce. Z podobného důvodu je limita jmenovatele x + y = 1. Tedy hledaná limita je rovna ln. lim x,y, x + y. Najděte limitu lim x,y, 1 + x + y 1. Řešení: Jestliže dosadíme dostaneme vztah /. Jedná se tedy o neurčitý výraz. Ale funkce lze upravit lim x,y, x + y 1 + x + y 1 = lim x,y, x + y 1 + x + y x + y 1 =. x y 3. Najděte limitu lim x,y, x + y. Řešení: Po dosazení dostaneme neurčitý výraz /. Ale protože x y = x xy + y, je x + y xy. Proto platí: A protože lim x,y, x y x + y x x + y x x + y =. x = je hledaná limita rovna. Vztah s dvojnými limitami Existuje-li vlastní limita lim fx, y = q a pro každé x z nějakého prstencového okolí bodu a existuje limita lim fx, y = ϕx, pak existuje také limita x,y a,b y b lim ϕx = q. x a Podobné tvrzení platí také pro lim fx, y = ψy a lim ψy = q. x a y b 19
20 Tedy existuje-li vlastní limita fx, y q pro x, y a, b a vnitřní limity, pak lim x,y a,b [ ] fx, y = lim lim fx, y = lim x a y b y b [ ] lim fx, y. x a Jestliže fx, y ϕx pro y b v M, tj. funkce konverguje v M stejnoměrně, a pro každé y b existuje lim x a fx, y = ψy, pak platí [ ] lim lim fx, y = lim x a y b y b [ ] lim fx, y. x a Jestliže lim fx, y = ϕx stejnoměrně v M a existuje-li lim ϕx = q, pak existuje y b x a také limita fx, y = q. lim x,y a,b x y 4. Ukažte, že lim x,y, x + y neexistuje. [ ] Řešení: Protože lim lim fx, y = 1 a lim x y dvojná limita. y [ ] lim fx, y x = 1, nemůže existovat x y 5. Ukažte, že lim x,y, x y neexistuje, ačkoliv + x y [ ] lim lim fx, y = lim x y y [ ] lim fx, y =. x x 4 Řešení: tačí najít limitu po přímce x = y. Ta je lim x x 4 = Najděte limitu lim x,y, x + y sin 1 x sin 1 y. Řešení: Pro žádné x neexistuje limx + y sin 1 y x sin 1. Ale protože je funkce y sin 1 x sin 1 y omezená a rovna nule. sin xy 7. Najděte limitu lim x,y,a x. Řešení: Hledanou limitu lze napsat ve tvaru lim y x,y,a lim x + y =, je hledaná limita rovna nule. limita x,y, sin xy = lim xy y x,y,a lim sin xy x,y,a xy sin xy = a lim. x,y,a xy
21 Protože je funkce F x = sin x x hledaná rovna a. pro x a F = 1 spojitá v bodě x =, je 8. Najděte limitu lim x + y x y x,y, Řešení: Protože je funkce e x spojitá, je lim x + y x y = exp lim x,y, x,y, x y ln x + y. Z rovností x xy + y plyne nerovnost xy x + y. Tedy x y x + y. Z této nerovnosti dostaneme x y ln x + y x + y ln x + y. Pomocí l Hospitalova pravidla se snadno ukáže, že lim x ln x =. A protože pro x + každé x, y, je x + y, je hledaná limita rovna e = Najděte body nespojitosti funkce fx, y = x + y x 3 + y 3. Řešení: Funkce fx, y má body nespojitosti na množině x 3 + y 3 =, tj. na přímce x + y =. Ale x + y x 3 + y 3 = 1 x xy + y. Protože v bodech [a; a], a, existuje lim x,y a, a těchto bodech odstranitelnou nespojitost. Na druhé straně je +, je v bodě [, ] nekonečná nespojitost. x y 1. Najděte lim x,y, x 4 + y. x + y x 3 + y 3 = 1, má funkce v 3a x + y lim x,y, x 3 + y 3 = Řešení: Jestliže budeme hledat limitu po přímkách y = kx, dostaneme lim x kx x + k. Tato limita je pro každé k rovna nule. Také po přímce x = je tato limita nulová. Tedy podél všech přímek jdoucích počátkem je tato limita rovna nule. Ale přesto tato limita není rovna nule a dokonce ani neexistuje, protože na parabole y = x je x y x 4 + y = 1. 1
22 vičení 5. Derivace podle vektoru. Derivace ve směru. Parciální derivace Nechť f : M R, kde M R n, x M a v R n. Definujme funkci F t = fx + vt. Derivací podle vektoru v funkce f v bodě x, značí se f vx, nazýváme derivaci funkce F t v bodě t =, tj. f vx = df. dt t= Obecně platí f αvx = αf vx, ale nemusí platit rovnost f v 1 +v x = f v 1 x + f v x. Je-li v jednotkový vektor, tj. v = v 1 + v + + v n = 1, udává takový vektor směr v R n a derivace podle takového vektoru se nazývá derivace ve směru v. V R 3 se často pro takové vektory používají směrové kosiny v = cos α, cos β, cos γ, kde cos α + cos β + cos γ = 1. Úhly α, β a γ jsou úhlu, které svírá vektor v se souřadnicovými osami Ox, Oy a Oz. Ve speciálním případě, když je směr rovnoběžný s i tou souřadnicovou osou, tj. v = e i, se derivace v tomto směru nazývá parciální derivace podle x i a značí se f ei x = f x i x = f i x. x 1. Pro funkci fx, y = x + y 1 arcsin y najděte f xx, 1. Řešení: Parciální derivaci funkce fx, y podle proměnné x v bodě x, 1 počítáme tak, že nejprve položíme y = 1 a funkci jedné proměnné F x = fx, 1 derivujeme podle x. V našem případě je F x = x, a tedy f xx, 1 = F x = 1.. Najděte derivaci funkce fx, y = x xy + y v bodě M = [1; 1], ve směru v, který svírá s kladným směrem osy Ox úhel α. Ve kterém směru je tato derivace: a největší; b nejmenší; c rovna nule? Řešení: Jak je známo, má v rovině směrový vektor v, který svírá s kladným směrem osy úhel α souřadnice v = cos α, sin α, α, π. Abychom našli derivaci dané funkce v bodě [1; 1] ve směru vektoru v, sestrojíme funkci jedné proměnné F t = f1 + t cos α, 1 + t sin α a najdeme její derivaci v bodě t =. V našem případě je F t = 1 + t cos α 1 + t cos α1 + t sin α t sin α. Protože její derivace v bodě t = je F = f v1, 1 = cos α + sin α. Protože funkce fx, y má na celém R spojité obě parciální derivace má diferenciál. Proto jsme mohli směrovou derivaci počítat podle vztahu f v = f 11, 1 cos α + f 1, 1 sin α = grad f1, 1 v. Protože f 11, 1 = f 1, 1 = 1, dostali bychom opět f v1, 1 = cos α + sin α. V případě a, resp. b, je najím úkolem najít maximum, resp. minimum, funkce F α = cos α + sin α na množině α, π. Protože je F α = sin α + cos α
23 nabývá tato funkce extrém v jednom z bodů α =, α = π, α = π 4 nebo α = 5 4 π. Protože je F = F π = 1, F π/4 = a F 5π/4 = je maximum této funkce ve směru α = π 4 a minimum ve směru α = 5 π. Všimněte si, že jsou to 4 směry rovnoběžné se směrem gradientu funkce fx, y v bodě [1; 1]. Derivace je nulová ve směru α = 3 4 π a α = 7 π, což jsou směry kolmé na směr 4 gradientu funkce fx, y v bodě [1; 1]. xyx + y 3. Najděte derivaci funkce fx, y = x + y pro x + y a f, = v bodě M = [; ] podle vektorů e 1 = 1,, e =, 1 a v = e 1 + e = 1, 1. Řešení: Podle definice je f x, fx, f, = lim = x x f y, f, y f, lim = y y f v, = lim t ft, t f, t Tedy v tomto případě je f v, v grad f,. t 3 = lim t t 3 = Ukažte, že funkce fx, y = x y 4 x 4 + y 8 pro x + y a f, = není spojitá v bodě M = [; ]. Najděte její derivaci podle vektoru v = v 1, v v bodě M. x y 4 Řešení: Protože lim lim x y x 4 + y 8 =, musí být limita, jestliže existuje, rovna nule. Ale na parabole x = y je fy, y = 1. Proto limita funkce fx, y v bodě M = [; ] neexistuje, a tedy funkce není v bodě M spojitá. Derivaci této funkce podle vektoru v = v 1, v v bodě M = [; ] najdeme podle definice. Podle ní je f v, f v1 t, v t v = lim = lim 1v t 4 6 t t t t v v1 4t4 + v 8 = lim 1v t 4 t8 t v1 4 + =. v8 t4 Tedy daná funkce má v bodě M = [; ] derivace podle každého vektoru. Dokonce platí f v, = v grad f,, ale přesto není tato funkce v bodě M spojitá. Najděte parciální derivace následujících funkcí: 5. u = x x + y 6. u = x y, x > 7. u = arctg y x 8. u = arcsin x x + y 3
24 9. u = 1 x + y + z 1. u = x yz Řešení: 5. u x = x + y, xy 3/ u y = x + y. 3/ y 6. u x = yx y 1 ; u y = x y ln x. 7. u x = y x + y, x u y = x + y. 8. u x = y x + y, u y = x sgn y x + y. 9. u x x = x + y + z, y 3/ u y = x + y + z, z 3/ u z = x + y + z. 3/ 1. u x = y z x yz 1, u y = uzy z 1 ln x, u z = uy z ln x ln y. 4
25 vičení 6. Totální diferenciál Definice: Nechť f : M R, kde M R n, a M a h R n. Jestliže existují čísla A i, i = 1,,..., n taková, že fa + h fa = A 1 h 1 + A h + + A n h n + ηh, ηh kde lim =, říkáme, že funkce fx má totální diferenciál v bodě a. Totální h h diferenciálem funkce fx v bodě a je pak lineární funkce proměnné h dfa; h = n A i h i = A 1 h 1 + A h + + A n h n. 1 i=1 Funkce, která má diferenciál v bodě a se nazývá diferencovatelná v bodě a. Věta: Má-li funkce fx v bodě a totální diferenciál, je dfa; h = f x 1 ah 1 + f x ah + + f x n ah n. Často se píše místo h i v 1 dx i a pak dfa; dx = f x 1 a dx 1 + f x a dx + + f x n a dx n. Definice: Je-li f : M R n, kde fx = f 1 x,..., f n x nazýváme tuto funkci diferencovatelnou v bodě a, je-li diferencovatelná v bodě a každá funkce f i, i = 1,,..., n. Definice: Funkce, která je diferencovatelná v každém bodě množiny M se nazývá diferencovatelná na množině M. Věta: Má-li funkce fx v bodě a totální diferenciál, je v tomto bodě spojitá. Věta: Jsou-li všechny parciální derivace f x i, i = 1,,..., n, spojité v bodě a, je funkce fx diferencovatelná v bodě a. Věta: Je-li funkce diferencovatelná v bodě a, pak pro každé v = v 1, v,..., v platí n f va f = av i. x i i=1 5
26 Definice: Nechť funkce f : M R n je diferencovatelná na množině M. Pak vektorovou funkci f grad fx =, f,..., f x 1 x x n nazýváme gradient funkce f. Vztah pak lze psát jako f v a = grad fa v, kde násobení znamená skalární součin. Definice: Má-li funkce fx spojité všechny parciální derivace v otevřené množině M, říkáme, že je funkce fx třídy 1 na množině M; značí se f 1 M. Najděte totální diferenciály funkcí 1. u = x m y n. u = ln x + y 3. u = z x + y. Řešení: 1. Protože parciální derivace u x = mx m 1 y n a u y = nx m y n 1 jsou spojité v celém R diferenciál funkce u = x m y n existuje a je du = mx m 1 y n dx + nx m y n 1 dy.. Parciální derivace jsou u x xx, y = x + y a y u yx, y = x. Tyto parciální + y derivace jsou spojité na množině M = R \ {[; ]}. Proto je diferenciál du = x dx + y dy x + y na M. V bodě [; ] není funkce ux, y spojitá, a proto nemá v tomto bodě diferenciál. 3. Parciální derivace u xx, y, z = xz x + y, u yx, y, z = yz x + y, u zx, y, z = 1 x + y jsou spojité na množině M = R 3 \ N, kde N = { [; ; z], z R }. Proto je diferenciál funkce ux, y, z roven du = xz dx + yz dy x + y + dz x na množině M. V + y bodech množiny N není funkce ux, y, z spojitá, a proto v těchto bodech diferenciál neexistuje. 4. Najděte totální diferenciál funkce fx, y = f, =. xy x + y Řešení: Na množině R \ { [; ] } jsou parciální derivace f xx, y = pro [x; y] [; ] a y 3 x + y 3/ a f yx, y = x 3 x + y 3/ spojité. Proto v bodech této množiny existuje diferenciál funkce fx, y a je roven df = y3 dx + x 3 dy x + y 3/. 6
27 Hledejme diferenciál funkce fx, y v bodě [; ]. Protože parciální derivace v bodě fx, y =. Ale x + y [; ] existují a f x, = f y, =, musí být lim [x;y] [;] lim [x;y] [;] xy x + y neexistuje; například ze směru y = je tato limita rovna nule, kdežto ze směru x = y je rovna 1. Tedy diferenciál funkce fx, y v bodě [x; y] = [; ] neexistuje. Geometrický význam diferenciálu Diferencovatelné zobrazení f : M R 3, kde M R, definuje za jistých předpokladů křivku v R 3. Představte si parametr t jako čas. Pak rovnice x = f 1 t, y = f t a z = f 3 t udávají polohu bodu v čase t v prostoru. Měníme-li parametr t, dostaneme křivku, po níž se pohybuje daný bod. df1 Tečný vektor k takto dané křivce je t = dt, df dt, df 3 a parametrické rovnice dt tečny v bodě x, y, z = ft jsou kde t je parametr, resp. x = x + t df 1 dt t y = y + t df dt t z = z + t df 3 dt t, x x f 1 t = y y f t = z z f 3 t. Normálová rovina v tomto bodě má rovnici df 1 dt t x x + df dt t y y + df 3 dt t z z =. V definici totálního diferenciálu jsme se vlastně pokusili nahradit v jistém smyslu nejlépe graf funkce fx v bodě a tečnou nadrovinou. Jestliže tečná nadrovina v bodě a existovala, nazvali jsme funkci diferencovatelnou v bodě a. Jestliže se omezím na plochy, které jsou dány jako graf funkce dvou proměnných, tj. z = fx, y, je rovnice tečné roviny ke grafu této funkce v bodě x = [ x ; y ; z ] = [ x ; y ; fx, y ] dána rovnicí z z = f x x, y x x + f y x, y y y. 7
28 Obecně v prostoru R n je rovnice tečné nadroviny ke grafu funkce y = fx v bodě a dána rovnicí n f y fa = a x i a i. x i Rovnice normály k takové ploše je v případě R 3 dána rovnicemi i=1 z z 1 = x x f xx, y = y y f yx, y a v obecném případě R n y fa 1 = x 1 a 1 f 1 a = x a f a = = x n a n f na. 5. Najděte tečnu a normálovou rovinu ke křivce dané parametrickými rovnicemi x = a sin t, y = b sin t cos t, z = c cos t v bodě t = π 4. Řešení: Tečnu budeme hledat v bodě [ x ; y ; z ] = [ a/; b/; c/ ]. Protože x t = a sin t, y t = b cos t, z t = c sin t, je tečný vektor k dané křivce v bodě [ x ; y ; z ] úměrný vektoru t = a,, c. Tedy parametrické rovnice tečny jsou x = a 1 + t, y = b, z = c 1 t. Normálová rovina má proto rovnici t x x =, tedy ax cx = a c. 6. Najděte tečnou rovinu a normálu ke grafu funkce z = arctg y x v bodě M = [1; 1;?]. Řešení: Nejprve nalezneme bod dotyku. Z rovnice grafu funkce plyne, že z = π 4. Protože parciální derivace z xx, y y = x + y, resp. x z yx, y = x + y, jsou v bodě dotyku z x1, 1 = 1, resp. z y1, 1 = 1, je rovnice tečné roviny v tomto bodě z π 4 = 1 x y 1, tj. x y + 4z = π. Normálový vektor v bodě [ ] x ; y ; z je rovnoběžný s vektorem, kolmým k tečné rovině, tj. n = 1, 1,. Tedy normála má parametrické rovnice x = 1+t, y = 1 t, z = π 4 + t. 8
29 vičení 7 Derivace složené funkce Věta: Nechť f : M N a g : N P, kde M R m, N R n a P R p, jsou diferencovatelné. Pak je na M diferencovatelná funkce h = g f a platí dh i = m n k=1 j=1 g i y j fx f j x k x dx k. Jako zvláštní případ tohoto vztahu je derivace složené funkce, tj. f : M N a g : N R. Jsou-li funkce f a g diferencovatelné, pak je složená funkce hx = g fx diferencovatelná a platí h x i = n j=1 g y j fx f j x i. Najděte parciální derivace funkcí 1. u = ft t = y x. u = fξ, η ξ = x + y, η = x y x 3. u = f y, y z 4. u = fξ, η, ζ ξ = x + y, η = x y, ζ = xy Řešení: y 1. V tomto případě je funkce u funkcí dvou proměnných tvaru ux, y = f. x Podle věty o derivaci složené funkce je u xx, y = y x f t a u yx, y = 1 x f t, kde t = y x.. Jedná se o funkci dvou proměnných ux, y = fx + y, x y. Podle věty o derivaci složené funkce je u xx, y = f ξ x + y, x y + f ηx + y, x y a u yx, y = f ξ x + y, x y f ηx + y, x y. 3. Funkce u je funkcí tří proměnných. Věta o derivaci složené funkce dává u xx, y, z = 1 x y f 1 y, y, z u yx, y, z = x x y f 1 y, y + 1 x z z f y, y, z u zx, y, z = y x z f y, y. z 9
30 4. Funkce u je funkcí dvou proměnných. Podle věty o derivaci složené funkce je u xx, y = xf 1 + xf + yf 3, u y x, y = yf 1 yf + xf Nechť je funkce fx, y diferencovatelná. Definujme funkce F r, ϕ = fr cos ϕ, r sin ϕ. V podstatě jde o transformaci funkce do polárních souřadnic, tj. transformaci x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Najděte vztah mezi parciálními derivacemi funkcí fx, y a F r, ϕ Řešení: Jedna z možností je tato dfx, y = f f F dx + dy = df r, ϕ = x y r Z definičních vztahů plyne pro diferenciály F dr + dϕ. 1 ϕ dx = cos ϕ dr r sin ϕ dϕ, dy = sin ϕ dr + r cos ϕ dϕ. Když tyto vztahy dosadíme do 1, dostaneme f xcos ϕ dr r sin ϕ dϕ + f ysin ϕ dr + r cos ϕ dϕ = = f x cos ϕ + f y sin ϕ dr + rf x sin ϕ + rf y cos ϕ dϕ = F r dr + F ϕ dϕ. Z této rovnice pak získáme soustavu rovnic F r = f x cos ϕ + f y sin ϕ F ϕ = rf x sin ϕ + rf y sin ϕ. Řešením této soustavy dostaneme f x = F r cos ϕ sin ϕ r f y = F r sin ϕ + cos ϕ r Možná že by bylo dobré si všimnout, že jsme museli řešit soustavu rovnic. Jak si asi nepamatujete, má tato soustava rovnic právě jedno řešení, je-li determinant této soustavy různý od nuly. Tento determinant x r J = x ϕ y r y = r ϕ se nazývá jakobián zobrazení a aby byla transformace jistým způsobem rozumná, musí být jakobián nenulový, viz dále regulární zobrazení nebo implicitní funkce. F ϕ F ϕ 3
31 y 6. Ukažte, že funkce z = x n f x, kde f je libovolná diferencovatelná funkce, splňuje rovnici x z z + y x y = nz. Řešení: z x = nx n 1 f x n 3 yf, z y = x n f. 7. Ukažte, že funkce z = y + ϕxy, kde ϕ je diferencovatelná funkce, splňuje 3x rovnici x z z xy x y + y =. Řešení: z x = y 3x + yϕ, z y = y 3x + xϕ. 8. Ukažte, že pro každou diferencovatelnou funkci ϕ je funkce u = x n ϕ řešením diferenciální rovnice x u u u + αy + βz x y z = nu y x α, z x β Řešení: u x = nx n 1 ϕ αx n α 1 yϕ 1 βx n β 1 zϕ ; u y = x n α ϕ 1, u z = x n β ϕ. 9. Nechť l 1 = cos α 1, cos β 1, cos γ 1 l = cos α, cos β, cos γ l 3 = cos α 3, cos β 3, cos γ 3 jsou navzájem ortonormální vektory, tj. l i l j = δ ij, kde δ ij = pro i j a δ ij = 1 pro i = j, je tzv. Kroneckerovo delta. Ukažte, že platí f l1 + f l + f l3 = f x + f y + f z 3 Řešení: f li = A ij f j, kde A = cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α cos β cos γ je ortogonální matice. j=1 cos α 3 cos β 3 cos γ 3 1. Najděte funkci z = zx, y, která je řešením rovnice z y = x + y a splňuje podmínku zx, x = 1. Řešení: Funkce zx, y musí mít tvar zx, y = x + y dy + fx = x y + y + fx, kde fx je funkce pouze proměnné x. Z podmínky z x, x = x 4 +x 4 fx = 1 plyne, že fx = x 4 1. Tedy zx, y = x y + y x
32 vičení 8 Parciální derivace a diferenciály vyšších řádů Nechť f : M R, M R n a x M f. Má-li funkce f parciální derivaci x i na množině M, pak se můžeme pokusit najít parciální derivaci funkce f podle x i f proměnné x j, tj. funkce = f. I když existují druhé parciální x j x i x j x i f derivace neplatí obecně rovnost = f. Ale platí následující x j x i x i x j f Věta: Nechť je f funkce n proměnných. Nechť existují a f v nějakém okolí x i x j f Ua, ε bodu a a nechť je derivace spojitá v bodě a. Pak existuje v x j x i f bodě a také derivace a platí rovnost x i x j f = f. x j x i x i x j Má-li funkce f v nějakém okolí bodu a derivaci řádu n 1, definuje derivace řádu n rekurentně vztahem n 1 f = x in x in 1... x i1 n f x in x in 1... x i1, pokud derivace vlevo existuje doufám, že je jasné, co tím myslím. Zhruba řečeno, platí tato n 1 f x in 1... x i1, pak se Věta: Jsou-li všechny parciální derivace funkce f, které počítáme, v bodě a spojité, nezávisí výsledek parciálního derivování na pořadí, ve kterém derivujeme. Definice: Nechť f je funkce definovaná na otevřené množině M R n, která na M má spojité všechny parciální derivace až do řádu k. Pak tuto funkci nazveme funkcí třídy k na množině M; značí se f k M. Je-li funkce f k M pro každé k N, říkáme, že f je třídy na množině M, f M. Definice: Nechť k 1. Budeme říkat, že funkce n proměnných f má v bodě a totální diferenciál k tého řádu, pokud platí toto: 1 Všechny parciální derivace funkce f všech řádů m, m k, mají totální diferenciál prvního řádu v nějakém okolí bodu a. Všechny parciální derivace funkce f řádu k 1 mají totální diferenciál prvního řádu v bodě a. 3
33 Má-li funkce f totální diferenciál řádu k, pak jej značíme d k fx; h a definujeme jej vztahem d k fx; h = i 1,...,i n i 1 + +i n =k k! i 1!... i n! k fx x i x i h i h i n n n = n i=1 k h i fx. x i peciálně je-li f funkce dvou proměnných, tj. f = fx, y, která má totální diferenciál k tého řádu, je d k fx, y; h 1, h = k i= k k fx, y i x i y k i hi 1h k i. Věta: Je-li f k M, má totální diferenciál řádu k v každém bodě množiny M. Najděte totální diferenciály prvního a druhého řádu pro funkce 1. u = x m y n. u = e xy 3. u = XxY y 4. u = xy + yz + xz Řešení: 1. Protože parciální derivace jsou u x = mx m 1 y n, u y = nx m y n 1, u xx = mm 1x m y n, u xy = mnx m 1 y n 1 a u yy = nn 1x m y n jsou spojité v celém R existuje diferenciál prvního i druhého řádu a jsou du = mx m 1 y n dx + nx m y n 1 dy, d u = mm 1x m y n dx + mnx m 1 y n 1 dxdy + nn 1x m y n dy.. Parciální derivace funkce ux, y jsou y x = ye xy, u y = xe xy, u xx = y e xy, u xy = 1 + xye xy a u yy = x e xy. Protože jsou spojité na celém R existují diferenciály prvního a druhého řádu a jsou du = e xy y dx + x dy, d u = e xy y dx + xy + 1 dx dy + x dy. 3. Jestliže předpokládáme, že funkce Xx a Y y mají derivace druhého řádu, pak jsou parciální derivace funkce ux, y rovny u x = X xy y, u y = XxY y, u xx = X xy y, u xy = X xy y a u yy = XxY y. Omezíme se na množinu M R, kde mají funkce Xx a Y y derivace druhého řádu. Pak pro každý bod [ x ; y ] M existují okolí J, resp. K bodu x, resp. y, taková, že funkce Xx, resp. Y y mají na těchto okolích derivace prvního řádu, které jsou spojité v bodě x, resp. y, a proto na okolích J, resp. K omezené. Z Taylorovy věty pak 33
34 plyne, že pro každé x J a y K je Xx + h = Xx + X xh + hηx, h a Y y + k = Y y + Y yk + kωy, k, kde lim ηx, h = lim ωy, k =. Pak h k je ale ux + h, y + k ux, y = Xx + hy y + k XxY y = X xy yh + XxY yk+ h + k ψx, y; h, k, kde ψx, y; h, k =. Tedy pro každé lim h,k, x, y z jistého okolí bodu [ ] x ; y M existuje diferenciál prvního řádu du = X xy y dx + XxY y dy. Ještě musíme ukázat, že funkce u xx, y = X xy y a u yx, y = XxY y mají diferenciál prvního řádu v bodě [ ] x ; y M. Protože jsme předpokládali, že funkce Xx má v bodě x J derivaci druhého řádu, platí podle Taylorovy věty X x + h X x = X x h + hηx, h, kde lim ηx, h =. Jestliže h tento vztah násobíme rovností Y y + k = Y y + Y y k + kωy, k, který jsme odvodili dříve, zjistíme, že parciální derivace u xx, y má v bodě [ ] x ; y diferenciál prvního řádu. Podobně se ukáže, že v bodě [ ] x, y existuje diferenciál parciální derivace u yx, y. Tedy funkce ux, y má na množině M diferenciál druhého řádu, který je d u = X xy y dx + X xy y dx dy + XxY y dy. 4. Parciální derivace funkce ux, y, z jsou u x = y + z, u y = x + z, u z = x + y, u xx = u yy = u zz = a u xy = u xz = u yz = 1. Protože jsou spojité na celém R 3 existují diferenciály prvního i druhého řádu a jsou du = y + z dx + x + z dy + x + y dz, d u = dx dy + dx dz + dy dz. Najděte u x y 3 u x y z pro funkci u = x lnxy pro funkci u = e xyz Řešení: 5. Definiční obor funkce ux, y je množina M = { x, y R ; xy > }. Na této množině jsou všechny parciální derivace funkce ux, y spojité, a proto můžeme derivovat v libovolném pořadí. Postupně dostaneme: u yx, y = x y, u xyx, y = 1 y a u xxyx, y =. 6. Definiční obor funkce ux, y, z je celá množina R 3 na funkce má na R 3 spojité parciální derivace všech řádů. Proto lze derivovat v libovolném pořadí. Pak dostaneme u xx, y, z = yze xyz, u xyx, y, z = z + xyz e xyz a u xyzx, y, z = 1 + 3xyz + x y z e xyz. Najděte 7. d 3 u pro funkci u = sin x + y 8. d 3 u pro funkci u = ln x x y y z z 34
35 Řešení: 7. Definiční obor funkce ux, y je celá rovina R a funkce má na ní spojité všechny parciální derivace. Postupně dostaneme du = cos x + y xdx + ydy, d u = 4 sin x + y xdx + ydy + cos x + y dx + dx a d 3 u = 8 cosx + y x dx + y dy 3 1 sinx + y x dx + y dy dx + dy. 8. Funkce ux, y, z má na celém svém definičním oboru x >, y > a z > spojité parciální derivace všech řádů. Proto má diferenciál libovolného řádu. Postupně dostaneme du = 1 + ln xdx ln ydy ln zdz, d u = dx x a d 3 u = dx3 x dy3 y dz3 z. + dy y + dz z 9. Ověřte, že funkce ux, t = ϕx at + ψx + at, kde ϕ a ψ jsou dvakrát diferencovatelné funkce, je řešením vlnové rovnice u t = a u x. Řešení: Protože funkce jedné proměnné ϕx a ψx mají podle předpokladu derivace druhého řádu a funkce vx, t = x at a wx, t = x + at mají derivace všech řádů na celém R, má i funkce ux, t parciální derivace druhého řádu. Ty jsou u xx, t = ϕ x at + ψ x + at, u tx, t = aϕ x at + aψ x + at, u xxx, t = ϕ x at + ψ x + at a u tt = a ϕ x at + ψ x + at. 1. Ověřte, že funkce ux, y = xϕx + y + yψx + y, kde ϕ a ψ jsou dvakrát diferencovatelné funkce, je řešením rovnice u x u x y + u y =. Řešení: Protože funkce jedné proměnné ϕx a ψx mají podle předpokladu derivace druhého řádu a funkce vx, y = x+y má derivace všech řádů na celém R, má i funkce ux, y parciální derivace druhého řádu. Ty jsou u xx, y = xϕ x + y + yψ x+y+ϕx+y, u yx, y = xϕ x+y+yψ x+y+ψx+y, u xxx, y = xϕ x+ y+yψ x+y+ϕ x+y, u xyx, y = xϕ x+y+yψ x+y+ϕ x+y+ψ x+y, u yyx, y = xϕ x + y + yψ x + y + ψ x + y. 11. Ověřte, že funkce ux, y = ϕ x+ψy, kde ϕ a ψ jsou dvakrát diferencovatelné funkce, vyhovuje rovnici u x u x y = u y u x. Řešení: Podle předpokladů mají funkce jedné proměnné ϕx a ψy derivace druhého řádu. Proto má funkce ux, y také parciální derivace prvního a druhého řádu. Ty jsou u xx, y = ϕ x + ψy, u yx, y = ψ y ϕ x + ψy, u xxx, y = ϕ x + ψy, u xyx, y = ψ y ϕ x + ψy. 35
36 vičení 9 Taylorova věta. Implicitní funkce. Věta: Nechť je fx v nějakém okolí Ua bodu a třídy n+1. Pak pro h takové, že a + h Ua lze psát: fa + h = n i= 1 i! di fa; h + 1 n + 1! dn+1 fa + Θ n h, 1 kde Θ n, 1. Jestliže Taylorova řada lim n dn fa; x a =, pak lze funkci zapsat pomocí mocninné řady, fx = n= 1 n! dn fa; x a. Je-li a =, nazývá se tato Taylorova MacLaurinovou řadou. Taylorův, resp. MacLaurinův, rozvoj slouží k přibližnému vyjádření funkce fx, 1. Najděte přírůstek funkce fx, y = x y + xy xy při změně bodu A = [1; 1] k bodu B = [1 + h; 1 + k]. Řešení: Protože podle definice je fx, y; k; h = fx+h, y +k fx, y dostaneme po úpravách f = h 3k hk h + k + h k + hk.. Odvoďte přibližné vyjádření pro malé x a y do členů druhého řádu včetně pro funkce a cos x 1 + x + y ; b arctg cos y 1 x + y. Řešení: K řešení použijeme vztah 1, kde položíme x =,, h = x, y a n =. a Funkce fx, y má v okolí bodu, spojité parciální derivace všech řádů. Proto v tomto bodě existují její diferenciály. Parciální derivace jsou f xx, y = sin x cos y, f yx, cos x sin y y = cos, f y xxx, y = cos x cos y, f xyx, sin x sin y y = cos a f y yyx, y = cos x1 + sin y cos 3. Tedy diferenciály jsou df, ; x, y = a d f, ; x, y = x + y y. Protože f, = 1 je hledaný rozvoj cos x cos y 1 x + y. b Funkce má v okolí bodu, spojité parciální derivace všech řádů, a tedy i všechny diferenciály. Parciální derivace jsou f xx, y = 1 + y x y, f yx, y = 36 x x y,
37 f xxx, y = x1 + y x y, f xyx, y = x 1 + y x y, f yyx, y = x1 + y x y. Tedy diferenciály v bodě, jsou df, ; x, y = x a d f, ; x, y = xy. A protože f, = π 4 je hledaný rozvoj fx, y π 4 + x xy. 3. Napište první tři členy MacLaurinovy řady funkce fx, y = x ty dt. Řešení: Integrovanou funkci ϕx, y, t = 1 + x ty rozvineme do MacLaurinovy řady v proměnných x a y. Protože ϕ x = t y1 + x ty 1, ϕ y = t 1 + x ty ln1 + x, ϕ xx = t yt y 11+x t y, ϕ xy = t 1+x t y 1 +t 4 y1+x t y 1 ln1+x, ϕ yy = t x ty ln 1 + x, ϕ xxx = t yt y 1t y 1 + x t y 3, ϕ xxy = t t y 11+x t y +t yt y 11+x t y ln1+x, ϕ xyy = t 6 y1+x t y 1 ln 1+x+ t 4 1+x t y 1 ln1+x a ϕ yyy = t 6 1+x ty ln 3 1+x. Z těchto parciálních derivací v bodě, dostaneme dϕ, ; x, y =, d ϕ, ; x, y = t xy a d 3 ϕ, ; x, y = 3t x y. Tedy rozvoj integrované funkce do třetího řádu v proměnných x a y je ϕx, y, t 1 + t xy t x y. Integrací pak získáme fx, y xy 1 6 x y. Implicitní funkce 1. Problém implicitních funkcí spočívá v této úloze: Je dáno k funkcí n+k proměnných. Máme zjistit, zda existuje řešení rovnic F 1 x 1,..., x n, y 1,..., y k = F x 1,..., x n, y 1,..., y k =... F k x 1,..., x n, y 1,..., y k = 1 V podstatě se ptáme, kdy jsou soustavou rovnic 1 jednoznačně určeny funkce y 1 = f 1 x 1,..., x n... y k = f k x 1,..., x n Platí tato 37
Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.
vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceÚvod základy teorie zobrazení
Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceHome. Obsah. Strana 1 MATEMATIKA. Fullscreen PRO LETECKÉ. Tisk OBORY II. Konec
Kurzy celoživotního vzdělávání Fakulta dopravní ČVUT MATEMATIKA Strana 1 PRO LETECKÉ OBORY II PŘEHLED LÁTKY 1 Metrické a normované prostory 2 Posloupnosti v metrických prostorech 3 Reálné funkce více reálných
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceNapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z
Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceŘešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,
Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Více4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceCvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceFunkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceSbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceMatematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných
Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Ostrava 8 Obsah Funkce dvou proměnných.
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceGlobální extrémy (na kompaktní množině)
Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
VícePotenciál vektorového pole
Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceKapitola 1. Reálné funkce více reálných proměnných. 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n
Obsah 1 Reálné funkce více reálných proměnných 5 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n...................... 5 1.1.1 Algebraické vlastnosti prostoru R n.................. 5 1.1.2 Metrické vlastnosti prostoru
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
Více