Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Transkript

1 Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/ Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

2 Anotace Název tematické oblasti: Název učebního materiálu: Číslo učebního materiálu: Vyučovací předmět: Ročník: Autor: Integrální počet Obsah plochy omezené křivkou VY_32_INOVACE_M0312 Matematika 4. ročník vyššího gymnázia Jaroslav Hajtmar Datum vytvoření: Datum ověření ve výuce: Druh učebního materiálu: Očekávaný výstup: Metodické poznámky: prezentace Student si dělá poznámky k probíranému tématu a průběžně řeší předkládané úlohy Materiál prezentace je určen jako osnova výkladu nového učiva resp. pro účely opakování

3 Obsah plochy omezené křivkou Jaroslav Hajtmar

4 Aplikace určitého integrálu Využití určitého integrálu je velmi široké. Náš zájem bude zahrnovat: Výpočet obsahu plochy Výpočet objemu rotačního tělesa Výpočet délky křivky Výpočet povrchu rotačního tělesa Všeobecný postup při řešení geometrických úloh: Převod řešení na výpočet určitého integrálu. Výpočet určitého integrálu. Geometrická interpretace výsledku.

5 Převod řešení na výpočet určitého integrálu y y y = f (x) x = a y = f (x) x = b a b x B A y = g(x) a b x c x = a y = c x = b

6 Obsah křivočarého lichoběžníka Nechť je funkce f (x) na intervalu a, b integrovatelná a nabývá pouze nezáporných hodnot. Pak pro obsah tzv. křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora grafem funkce f (x), zleva přímkou x = a, zprava přímkou x = b a zdola osou o x platí: P = b a f (x) dx

7 Obsah křivočarého lichob. pro nekladnou funkci Je-li funkce f (x) na intervalu a, b integrovatelná a nabývá pouze záporných hodnot, pak pro obsah křivočarého lichoběžníka platí: P = b a f (x) dx = b a f (x) dx

8 Určitý integrál obecné funkce Je-li funkce f (x) na intervalu a, b integrovatelná a nabývá na něm kladných i záporných hodnot, pak hodnota určitého integrálu neodpovídá ploše omezené křivkou a osou o x : Pro výpočet plochy musíme rozdělit integrační interval na samostatné podintervaly, určit jednotlivé plochy a ty pak sečíst!

9 Obsah plochy omezené dvěma křivkami Nechť jsou funkce f (x) a g(x) integrovatelné na intervalu a, b a platí g(x) f (x), x a, b. Pak plocha oblasti ohraničené zdola grafem funkce g(x), shora grafem funkce f (x), zleva přímkou x = a a zprava přímkou x = b platí: P = b a f (x) dx b a g(x) dx = b a (f (x) g(x)) dx

10 Praktický výpočet ploch Příklad: Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného osou o x a křivkou y = 6x x 2. Postup: Nákres Výpočet integračních mezí Výpočet obsahu plochy

11 Obsah plochy omezené křivkou a osou o x x P= (6 x x ) dx= 3x = =

12 Příklad: Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou y = x sin x, osou o x a přímkami x = 0, x = 3π.

13 Obsah plochy omezené křivkou a osou o x π 2π 3π. P= xsin xdx xsin xdx+ xsin xdx 0 π 2π Potřebnou primitivní funkci k funkci y = xsin x nalezneme metodou per partes: u = sin x v= x xsin xdx= = xcos x+ cos xdx= sin x xcos x. u = cos x v = 1 Dosadíme příslušné meze: P = [ sin x xcos x] π [ sin cos ] 2 π x x x [ sin x xcos x] 3π 0 π + 2π = [ ] [ ] [ ] = 0 π ( 1) π 0 + π( 1) π( 1) 0+ 2π = π + 3π + 5π = 9π.

14 Příklad: Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami, které jsou grafy funkcí y = 1 a y = x 2 1+x 2 2. Postup: Nákres obou grafů Výpočet průsečíků grafů (určíme integrační meze) Výpočet obsahu plochy užitím určitého integrálu

15 Řešení: Nákres: Výpočet průsečíků obou grafů: 1 = x 2 1+x 2 Průsečíky získáme řešením rovnice 2. Po úpravě dostaneme x 4 + x 2 2 = 0, tedy (x 2 1) (x 2 + 2) = 0. Rovnice má dva reálné kořeny x 1 = 1 a x 2 = 1 (integ. meze). Výpočet obsahu plochy užitím určitého integrálu: x 1 x x π 1 π 1 P= dx= 2 dx= 2 arctgx = 2 = x 0 1+ x 0 1

16 Použité materiály a zdroje Petáková, RNDr. Jindra. Matematika: Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk 1.vydání. Praha: Prometheus, s. ISBN Hošková Š., Kuben J., Račková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online] [cit ]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW: < /pdf/print/ip.pdf>. Tomica, R. Cvičení z matematiky I. Brno: VAAZ, Archiv autora