8. Anizotropní prostředí

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "8. Anizotropní prostředí"

Transkript

1 Trivium z optik 55 8 Anizotropní prostředí Doposud jsme se zabývali šířením světla v izotropních prostředích To jest v takových prostředích, v nichž rchlost světla nezávisí na směru jeho šíření V této kapitole si ukážeme, jak se světlo šíří prostředími obecnějšího charakteru Nejdříve formulujeme obecný tvar materiálových rovnic v rámci přiblížení tzv lineární optik Dále podrobně probereme šíření rovinné monochromatické vln jednoosým krstalem velmi důležitým příkladem optick anizotropního prostředí, a ukážeme si k jakým zajímavým důsledkům obecné závěr týkající se jednoosých krstalů vedou Optick anizotropní materiál se často používají, kromě jiného, ke konstrukci zařízení sloužících k získávání lineárně polarizovaného světla ze světla nepolarizovaného, tzv polarizátorů I těm se v této kapitole budeme alespoň stručně věnovat A v samotném závěru kapitol se zmíníme o jedno zajímavém jevu, který se skutečnou optickou anizotropií souvisí jen vzdáleně o optické aktivitě látek 81 Obecný tvar materiálových rovnic pro dielektrika 8 Klasifikace dielektrik 83 Šíření světla jednoosým krstalem 831 Čtvrtvlnová destička 83 Dvojlom 84 Umělá anizotropie 85 Polarizátor 86 Optická aktivita 81 Obecný tvar materiálových rovnic pro dielektrika O tom, jak se budou elektromagnetické vln šířit prostředím, nerozhodují jen Maxwellov rovnice samotné, ale i materiálové vztah charakterizující optické vlastnosti studovaného prostředí Jedná se o vztah mezi intenzitami elektrického a magnetického pole na jedné straně a odpovídajícími indukcemi na straně druhé Zatím jsme se setkali s nejjednodušším tvarem materiálových vtahů pro homogenní a izotropní prostředí D = εe, B = µ H, kde ε a µ jsou elektrická permitivita a magnetická permeabilita prostředí Pojďme se nní podívat, jak vpadají materiálové vztah v obecnějších případech V dalším se budeme pro jednoduchost zabývat dielektrik, jejichž magnetické vlastnosti jsou stejné jako magnetické vlastnosti vakua B = µ H Vztah mezi elektrickou intenzitou a elektrickou indukcí však mohou být i pro tato prostředí poměrně komplikované Elektrická indukce D může být zcela obecnou a komplikovanou funkcí 1 elektrické intenzit E D = D( E) Obvkle se však pro tuto obecnou funkci činí dvě významná zanedbání Především, vloučíme- 1 Ovšem dostatečně diferencovatelnou

2 56 Anizotropní prostředí li z dalších úvah dielektrika s permanentní polarizací, můžeme předpokládat, že DE= ( ) = Elektrická indukce je ted nulová pro nulová pole elektrické intenzit Dalším často přijímaným omezením je předpoklad, že pole, v němž se dielektrikum nachází, je slabé To je předpoklad velmi přijatelný, neboť naprostá většina světelných zdrojů (snad jen s výjimkou laserů), jsou zdroje generující jen slabá elektromagnetická pole V takovém případě se můžeme v obecné závislosti elektrické indukce na intenzitě omezit na několik prvních členů odpovídajícího Talorova rozvoje Pokud se omezíme na člen nultého a prvního řádu, říkáme, že pracujeme v rámci lineárního přiblížení neboli v rámci lineární optik Zahrneme-li do našich úvah člen druhého či dokonce všších řádů, hovoříme zpravidla o optice nelineární V tomto textu (a to nejen v této kapitole) se omezujeme na lineární přiblížení Pak je možno pro složk vektoru elektrické indukce podle Talorov vět psát z D i Di( E) Di() + () Ek, k= x Ek kde sčítací index k v sumě na pravé straně probíhá hodnot x, a z (odpovídající x-ové, -ové a z-ové složce elektrické intenzit) Rovněž index i může nabývat hodnot x, a z Vzhledem k předpokladu DE= ( ) =, je navíc první člen na pravé straně přibližné rovnosti nulový a platí z D i Di( E) () Ek k= x Ek Parciální derivace jsou počítán pro konkrétní hodnotu elektrické intenzit E =, jedná se ted o reálné konstant Označme je pro jednoduchost ε ij D i (), E což umožňuje přepsat vztah mezi složkami elektrické indukce a intenzit do tvaru 3 nebo též pomocí maticového zápisu jako D = ε E + ε E + ε E, x xx x x xz z D = ε E + ε E + ε E, x x z z D = ε E + ε E + ε E, z zx x z zz z D ε ε ε E x xx x xz x D = ε x ε ε z E D z εzx εz ε zz E z Čtvercová matice na pravé straně se obvkle nazývá matice (tenzor ) elektrických permitivit k V případě běžných zdrojů je však, jak již blo zdůrazněno výše, zahrnutí členů všších řádů zbtečné 3 Místo přibližné rovnosti již v dalším budeme používat běžné rovnítko

3 Trivium z optik 57 V rámci lineárního přiblížení (lineární optik) jsou ted optické vlastnosti prostředí plně určen devíti složkami tenzoru elektrických perimitivit nebo též devíti index lomu 4 n = ε / ε ij Složk tenzoru elektrických permitivit nejsou ale navzájem nezávislé Pomocí termodnamik je možno ukázat, že tento tenzor je smetrický ij ε ij = ε, ji a z teorie smetrických matic dále plne, že existuje speciální souřadnicová soustava, v níž nabývá diagonálního tvaru ε1 ε= ε ε 3 Hodnot na diagonále (hlavní hodnot tenzoru ε ) jsou navíc kladné Nejobecnější vztah mezi vektor elektrické indukce a intenzit je ted možno v rámci lineární optik psát ve tvaru (ve speciální souřadnicové soustavě ovšem) D x = ε1ex, D = εe a Dz = ε3 E z a obecný lineární materiál charakterizujeme třemi elektrickými permitivitami resp třemi index lomu 8 Klasifikace dielektrik Podle vzájemného vztahu tří hlavních hodnot tenzoru elektrických permitivit můžeme dielektrika rozdělit do tří základních skupin: jsou-li všechn tři hodnot navzájem různé ( ε 1 ε ε 3 ), hovoříme o tzv dvojosých krstalech, jsou-li dvě hodnot stejné a současně různé od třetí (např ε1 ε = ε3), hovoříme o krstalech jednoosých 5 a pokud jsou všechn tři hlavní hodnot stejné ( ε 1 = ε = ε 3 ), jedná se o nám již známá izotropní prostředí Dvoj- a jednososé krstal jsou z hlediska optických vlastností anizotropní prostředí 6 V této kapitole se pro jednoduchost omezíme na nejjednodušší tp anizotropních prostředí - jednoosé krstal Ve speciální souřadnicové soustavě 7 můžeme pro ně psát materiálové vztah ve tvaru Dx = ε1ex, D = εe a Dz = εez 4 ε je permitivita vakuua 5 Pojmenování dvoj- a jednoosý krstal souvisí s tím, že k jednoznačnému zadání speciální souřadnicové soustav, v níž jsou anulován mimodiagonální složk tenzoru elektrických permitivit, musíme zadat dvě či jednu přímku (optické os) 6 Viz též kap 4 7 Takových soustav je však pro jednoosé krstal nekonečně mnoho Navzájem je můžeme získat pootočením kolem optické os

4 58 Anizotropní prostředí Optické vlastnosti jednoosého krstalu jsou ted popsán jednoznačně dvěma index lomu: n1 = ε1/ ε a n = ε/ ε Souřadnicovou osu x této speciální souřadnicové soustav nazýváme optickou osou krstalu 83 Šíření světla jednoosým krstalem Předpokládejme, že se jednoosým krstalem, jehož optická osa je totožná se souřadnicovou osou x, šíří rovinná monochromatická vlna E( x,, z, t) = E cos( kx + k ωt) Speciální souřadnicovou soustavu jsme zvolili tak, ab směr šíření této vln ležel v souřadnicové rovině x 8 Chceme zjistit, za jakých okolností tato vlna vhovuje Maxwellovým rovnicím a materiálovým rovnicím pro jednoosý krstal Maxwellov rovnice použijeme tentokrát ve tvaru, z nějž jsme vloučili nní nepodstatné magnetické pole, 9 rot rot E = µ D t, div D = Materiálové rovnice píšeme vzhledem ke speciální volbě souřadnicové soustav jako Dx = n1 εex, D = n εe a Dz = n εez Po dosazení výše uvedené závislosti Ex (, zt,, ) pro rovinnou monochromatickou vlnu do upravených Maxwellových rovnic a s vužitím speciálního tvaru rovnic materiálových získáváme následující rovnice pro parametr vln ( ) ω ( ) ω k k E + k E + k E = c n E, x x x x 1 x k k E + k E + k E = c n E, x x ke = c n E, z ω z n k E 1 x x n ke + =, kde k kx + k a c = 1/ εµ Tto rovnice budeme řešit odděleně pro následující dva speciální případ: E = E =, E, 1 x E z = 11 z 8 Toho lze vžd dosáhnout rotací kolem souřadnicové os x (optické os krstalu) Taková rotace totiž zachovává, jak plne z teorie matic, diagonální tvar tenzoru elektrických permitivit i rovnost druhé a třetí hlavní hodnot 9 B První rovnici získáme aplikací operátoru rotace na první Maxwellovu rovnici rote = t a dosazením výsledku D do rovnice druhé, roth = t Během tohoto dosazení jsme navíc vužili platnosti vztahu B = µ H Druhá rovnice je totožná se třetí Maxwellovou rovnicí 1 Polarizace vln je kolmá k rovině zadané optickou osou a směrem jejího šíření 11 Polarizace vln leží v rovině zadané optickou osou a směrem jejího šíření

5 Trivium z optik 59 V prvním případě jsou první, druhá a čtvrtá rovnice splněn automatick, třetí rovnice je splněna, pokud platí ω / k = c/ n Rovinná monochromatická vlna se ted v takovém případě šíří studovaným jednoosým krstalem fázovou rchlos- c' c/ n Její polarizace je navíc kolmá ke směru šíření tí Ve druhém případě je splněna automatick třetí rovnice Ze zbývajících rovnic plne, že je-li navíc E x = (tj vlna je polarizována kolmo k optické ose), musí být k = (vlna se šíří ve směru optické os) a její fázová rchlost ω /k musí být stejně jako výše rovna c' c/ n I v tomto případě je vlna polarizována kolmo ke směru svého šíření Je-li E = (tj vlna je polarizována ve směru optické os), musí být k x = a její fázová rchlost bude tentokrát rovna c' 1 c/ n 1 Polarizace vln zůstává ale kolmá ke směru šíření Je-li obecně E x i E, jsou splněn první, druhá i čtvrtá rovnice současně, platí-li ω = c'k x + c'k 1 Fázová rchlost takové vln c' ω k = c ' v + c 1' v, kde v = [ vx, v,] je jednotkový vektor ve směru jejího šíření, je ted směrově závislá Polarizace vln není v tomto případě obecně kolmá ke směru šíření (neplatí totiž ke + ke =, ale n k E + n k E = ) A 1 x x / x x x V následujících dvou odstavcích si ilustrujeme uvedené obecné závěr na dvou konkrétních příkladech 831 Čtvrtvlnová destička V tomto a následujícím odstavci se budeme zabývat průchodem světla jednoosým krstalem umístěným ve vakuu 1 Pro jednoduchost se omezíme na rovinné monochromatické vln, o jejichž šíření anizotropními prostředími již víme mnohé z předcházejícího odstavce, a na paprsk dopadající kolmo k rozhraní vakuum - jednoosý krstal ( α D = ) Nejdříve se zabývejme krstalem, jehož optická osa je rovnoběžná s rozhraním krstal - okolí V připojeném obrázku je takový krstal zakreslen spolu se souřadnicovou soustavou zavedenou a používanou v předcházejícím odstavci Pomocí Maxwellových rovnic na rozhraní (sešívacích podmínek) bchom postupem podobným jako v kapitole 7 zjistili, že paprsk dopadající kolmo na rozhraní zůstávají v této konfiguraci kolmé k rozhraní i po lomu a že i jejich polarizace zůstává po lomu zachována Rchlost šíření paprsků krstalem bude ale záviset na polarizaci Jak víme z předcházejícího odstavce, paprsek polarizovaný kolmo k optické ose se bude šířit krstalem rchlostí c' c/ n, paprsek polarizovaný rovnoběžně s optickou osou rchlostí c' 1 c/ n1 Obecně polarizovaný paprsek se v krstalu rozkládá na dva prostorově totožné paprsk, z nichž 1 Nebo v jiném izotropním prostředí, jehož index lomu je blízký jedné

6 6 Anizotropní prostředí jeden se šíří krstalem rchlostí c'a 1 druhý rchlostí c' Mezi oběma polarizacemi vzniká takto po průchodu krstalem fázový rozdíl B π ϕ = n n 1 d, λ kde d je tloušťka krstalu měřená ve směru šíření světla a λ vlnová délka světla ve vakuu Speciální volbou tloušťk krstalu je možno zajisté dosáhnout toho, ab bl fázový posun ϕ roven π / Dopadá-li na takový krstal lineárně polarizované světlo, jehož polarizace má stejné průmět do směru optické os i do směru k optické ose kolmého, změní se původní lineární polarizace paprsku po průchodu krstalem na polarizaci kruhovou Popsaného jevu je ted možno vužít k přeměně lineární polarizace světla na polarizaci kruhovou (v obecném uspořádání na polarizaci eliptickou 13 ) a naopak Protože fázový posun π / odpovídá dráhovému rozdílu λ /4, nazýváme zmíněný jednoosý krstal (krstalickou desku) čtvrtvlnovou destičkou 83 Dvojlom Uspořádání, kterým se budeme zabývat v tomto odstavci, je obdobné tomu, s nímž jsme se setkali v odstavci předcházejícím (anizotropní krstal umístěný ve vakuu, kolmý dopad) Tentokrát však nebudeme požadovat, ab optická osa bla rovnoběžná s rozhraním vakuum - krstal Jak tato situace vpadá v souřadnicové soustavě používané v odstavci 83, ukazuje připojený obrázek Podobně jako výše, i nní bchom měli užít při zkoumání, jak se bude dopadající paprsek šířit jednoosým krstalem, sešívacích podmínek (Maxwellových rovnic na rozhraní) Pokud bchom tak učinili, zjistili bchom následující Paprsek polarizovaný kolmo k rovině nákresu ( ) prochází krstalem s nezměněnou polarizací pod nulovým úhlem lomu Protože je podle předpokladu úhel dopadu rovněž nulový, můžeme konstatovat, že je splněn Snellův zákon lomu Ke stejnému závěru bchom došli v případě kolmo polarizovaného paprsku i pro obecný úhel dopadu Takový paprsek budeme proto nazývat paprskem řádným 14 Paprsek polarizovaný v rovině nákresu ( ) rovněž nemění při lomu směr své polarizace Protože ale tentokrát svírá polarizace s optickou osou obecný úhel, nebudou podle výsledků odstavce 83 směr šíření tohoto paprsku a jeho polarizace v krstalu nadále kolmé Paprsek se šíří krstalem tak, jak je naznačeno v připojeném obrázku, z nějž je zřejmé, že Snellův zákon není v tomto případě splněn 15 Paprsek proto nazveme mimořádným Je-li dopadající paprsek polarizován obecným způsobem, rozkládá se jeho polarizace přirozeně do směru kolmého k rovině nákresu a do rovin nákresu Obě složk (řádný i mimořádný paprsek) se v krstalu prostorově oddělí a po výstupu z něj jsou sice rovnoběžné, ale vzájemně prostorově posunuté Uvedený jev nazýváme dvojlomem Nebo dokonce na lineární polarizaci kolmou k původní lineární polarizaci paprsku To tehd, bude-li ϕ = π 14 Tj řádně se chovajícím 15 Platí i pro obecný úhel dopadu 16 Nejznámějším příkladem dvojlomu je dvojité vidění při průhledu krstalem islandského vápence Například napsaný text vidíme přes islandský vápenec dvojmo

7 Trivium z optik Umělá anizotropie V přírodě se nevsktují jen látk přirozeně anizotropní, anizotropii můžeme vnějšími vliv vvolat i u látek původně izotropních Anebo míru anizotropie anizotropních látek vnějšími vliv měnit V takovém případě hovoříme o anizotropii umělé Jejími nejznámějšími příklad jsou fotoelastický jev, Kerrův jev, Pockelsův jev V případě fotoelastického jevu je optická anizotropie vvolána vnějším silovým působením a mechanickou deformací původně optick izotropní látk Takovou schopnost vkazuje např občejné sklo nebo polmerní polmetlmetakrlát (plexisklo) Optickou anizotropii je možno v pevných látkách (sklo), ale i v kapalinách (sirouhlík, nitrobenzen), vvolat silným elektrostatickým polem Látka původně izotropní se pak stane jednoosým krstalem 17 s odlišnými index lomu pro polarizaci světla rovnoběžnou s vnějším polem (n 1 ) a pro polarizaci k vnějšímu poli kolmou (n ) n n K E 1 = λ Zde E je intenzita vnějšího elektrického pole, λ vlnová délka světla a K konstanta charakterizující použitý materiál 18 Uvedený jev nazýváme podle jeho objevitele jevem Kerrovým Pod Pockelsovým jevem rozumíme změnu optické anizotropie pevných látek prostřednictvím elektrostatického pole rovnoběžného se směrem šíření světelného paprsku 85 Polarizátor Polarizátor jsou nástroje sloužící k přeměně nepolarizovaného světla na světlo lineárně polarizované 19 Jako nejznámější příklad uveďme Nikolův hranol, polarizační filtr Nikolův hranol je kosý hranol islandského vápence (jednoosý krstal) diagonálně rozříznutý a následně slepený kanadským balzámem (viz obrázek) Paprsek dopadající na Nikolův hranol se v něm rozdělí na paprsek řádný ( ) a mimořádný ( ) Index lomu je pro řádný paprsek v islandském vápenci natolik velký, že na rozhraní islandský vápenec kanadský balzám (diagonální řez) dochází k totálnímu odrazu řádného paprsku a jeho následné absorpci v objímce hranolu Hranolem ted prochází pouze paprsek mimořádný a ten je, jak víme, lineárně polarizován Ať již ted do Nikolova hranolu vstupuje jakkoliv polarizova- 17 Pojem jednoosý krstal používáme v souvislosti s optickou anizotropií studované látk Kapalina zůstane kapalinou a pochopitelně ve vnějším elektrostatickém poli nekrstalizuje 18 1 Pro nitrobenzen je např K = 4,4 1 m/v 19 Připomeňme, že s možností získat světlo lineárně polarizované ze světla nepolarizovaného jsme se setkali již v kapitole sedmé viz odraz pod Brewsterovým úhlem A jeho technické modifikace např hranol Glanův-Thompsonův Princip fungování je u těchto modifikací stejný, liší se pouze jejich technické provedení

8 6 Anizotropní prostředí ný (nebo nepolarizovaný) paprsek, vstupuje z něj vžd paprsek lineárně polarizovaný Směr polarizace vstupujícího (ted mimořádného) paprsku se obvkle nazývá propustným směrem hranolu, směr kolmý k propustnému se pak nazývá směrem závěrným 1 Polarizační filtr jsou tenké fólie polmerních látek (např celofán) s molekulami srovnanými tak, ab bl navzájem co nejvíce rovnoběžné Zabudováním iontů do konců takových rovnoběžných polmerních řetězců se výrazně zvýší jejich absorpce pro světlo polarizované rovnoběžně se směrem molekul Naopak pro světlo polarizované kolmo k tomuto směru zůstává absorpce zanedbatelně malá Vstupuje-li ted do takto upravené fólie obecně polarizované světlo, je jeho složka polarizovaná ve směru molekul po průchodu fólií značně zeslabena (viz obrázek) Světlo je ted po průchodu polarizačním filtrem (až na zanedbatelný zbtek) polarizováno lineárně, a to kolmo ke směru polmerních řetězců látk, z níž je filtr vroben 86 Optická aktivita Některé látk mají schopnost stáčet směr polarizace lineárně polarizovaného světla Tento jev bl pozorován jak u látek optick anizotropních (např křemen), tak i u látek optick izotropních (např vodné roztok cukrů) Dále blo zjištěno, že každá taková látka se vsktuje ve dvou modifikacích, z nichž jedna stáčí směr polarizace proti směru pohbu hodinových ručiček a druhá ve směru pohbu hodinových ručiček Dokonce i látk, které tuto schopnost nemají, ji mohou získat, jsou-li pod vlivem vnějšího pole, tentokrát pole magnetického Schopnost látek stáčet směr polarizace lineárně polarizovaného světla se nazývá optická aktivita Nejčastěji je optická aktivita ilustrována na křemenné destičce, a to v uspořádání zobrazeném na připojeném obrázku V tomto uspořádání je světlo vcházející ze zdroje Z lineárně polarizováno polarizátorem P Po průchodu křemennou destičkou D zůstává světlo lineárně polarizováno, pouze jeho polarizační směr se pootočí o úhel α 3 Jak již blo uvedeno výše, existují dva tp křemenných krstalů - jeden stáčí směr polarizace lineárně polarizovaného světla doprava, druhý doleva Zdůrazněme též, že v uspořádání z obrázku je optická osa křemenné destičk rovnoběžná se směrem paprsků vcházejících ze zdroje Z Bez ohledu na svou polarizaci jsou ted všechn paprsk řádné a optická anizotropie krstalu křemene nehraje v tomto případě žádnou roli Optická aktivita látek souvisí s jejich vnitřní zrcadlovou asmetrií Přesněji molekul optick aktivních látek či krstalické mřížk optick aktivních krstalů není možno pomocí prostorových posunutí a otočení ztotožnit s jejich zrcadlovými obraz 4 V makroskopickém popisu optick aktivních látek se to projeví odlišností 1 Světlo polarizované kolmo k propustnému směru se šíří Nikolovým hranolem jako řádný paprsek, a je ted v objímce hranolu pohlceno Hranolem proto neprochází, hranol je pro průchod takto polarizovaného světla uzavřen Tzv Faradaův jev 3 Velikost tohoto úhlu je přímo úměrná tloušťce této destičk, α = Kd 4 Podobně jako nemůžeme pomocí prostorových posunutí a otočení převést levou ruku na pravou nebo levou botu na pravou

9 Trivium z optik 63 indexů lomu pro levotočivou a pravotočivou kruhovou polarizaci procházejícího světla 5 Dá se totiž dokázat, že lineárně polarizované světlo je vžd možno rozložit na dvě protisměrně kruhově polarizované složk C Po průchodu optick aktivní látkou vznikne v důsledku rozdílnosti indexů lomu pro pravotočivou a levotočivou složku mezi těmito složkami nenulový fázový posun, který se projeví pootočením polarizačního směru výsledné vln D Matematické doplňk A Úhel γ, který svírají směr šíření a polarizace rovinné monochromatické vln, je možno v tomto případě najít řešením rovnic n1 vxex+ n v e =, ve + ve = cos γ, x x v nichž v x a v reprezentují jako výše složk jednotkového vektoru ve směru šíření vln a ex Ex / E a e E / E složk jednotkového vektoru ve směru polarizace Z uvedených rovnic plne cos γ = 1 v n1 ( n ) n1 ( n ) vv x + v x B Krstalem se šíří ve směru souřadnicové os dvě rovinné, monochromatické a lineárně polarizované vln, z nichž jedna má polarizaci kolmou k optické ose ( E ) a druhá polarizaci s optickou osou rovnoběžnou ( E ): E = E cos( k ωt ), E = E cos( k ωt ), kde k = ω/ c ' = nω/ c a k = ω/ c' 1 = n1ω/ c Při vstupu do krstalu ( = ) mají obě vln vzájemný fázový posuv roven nule, při výstupu z krstalu ( = d) je fázový posun mezi oběma složkami a po dosazení za k a k ϕ = ( k d ωt) ( k d ωt) = k d k d ϕ = n n d = n n d = n n d ω ω ω π c c 1 c 1 λ 1 C Předpokládejme, že se prostorem šíří ve směru os x dvě kruhově polarizované rovinné monochromatické vln vlna pravotočivá EP = [, Ecos( kx ωt), Ecos( kx ωt + π /)] = [, Ecos( kx ωt), Esin( kx ωt) ] a levotočivá E =, E cos( kx ωt), E cos( kx ωt π /) =, E cos( kx ωt), E sin( kx ω t) L [ ] [ ] Složením těchto dvou kruhově polarizovaných vln získáme vlnu E E + E =,E cos( kx ω t),, P L [ ] 5 Rchlost světla závisí v optick aktivních látkách na jeho polarizaci (tentokrát ovšem kruhové) Svou povahou ted výklad optické aktivit skutečně patří do kapitol věnované optické anizotropii

10 64 Anizotropní prostředí která je lineárně polarizovaná ve směru souřadnicové os Na získaný výsledek můžeme ovšem pohlížet rovněž tak, že lineárně polarizovanou vlnu E můžeme rozložit na dvě kruhově polarizované vln E P a E L D Pokud budou kruhově polarizované vln z doplňku C fázově posunut E P = [, Ecos( kx ωt), Esin( kx ω t) ], E L = [, Ecos( kx ωt + ϕ), Esin( kx ωt + ϕ )], vznikne jejich složením vlna E E + E = E ϕ kx ωt + ϕ E ϕ kx ωt + ϕ, P L [, cos( /)cos( /), sin( /)cos( /)] která je podobně jako E z předcházející poznámk polarizovaná lineárně, ale jejíž polarizační směr je vůči polarizačnímu směru E pootočen o úhel α = ϕ/ Fázový posun mezi protisměrnými kruhovými polarizacemi dává ted v konečném důsledku pootočení polarizačního směru složené lineárně polarizované vln

7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace. Co je to ohyb? 27.2 Ohyb

7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace. Co je to ohyb? 27.2 Ohyb 1 7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA Interference Ohyb Polarizace Co je to ohyb? 27.2 Ohyb Ohyb vln je jev charakterizovaný odchylkou od přímočarého šíření vlnění v témže prostředí. Ve skutečnosti se nejedná o nový jev

Více

Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí

Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí r r Další předpoklad: nemagnetické prostředí B = µ 0 H izotropně. Veškerá anizotropie pochází od interakce elektrických

Více

Polarizace čtvrtvlnovou destičkou

Polarizace čtvrtvlnovou destičkou Úkol : 1. Proměřte intenzitu lineárně polarizovaného světla jako funkci pozice analyzátoru. 2. Proměřte napětí na fotorezistoru ozářenou intenzitou světla za analyzátorem jako funkci úhlu mezi optickou

Více

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice

Více

Optika pro mikroskopii materiálů I

Optika pro mikroskopii materiálů I Optika pro mikroskopii materiálů I Jan.Machacek@vscht.cz Ústav skla a keramiky VŠCHT Praha +42-0- 22044-4151 Osnova přednášky Základní pojmy optiky Odraz a lom světla Interference, ohyb a rozlišení optických

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Digitální učební materiál CZ.1.07/1.5.00/3.080 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 1.4.2011 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek: Pa 9:30 Spolupracovníci: Jana Navrátilová Hodnocení: Měření s polarizovaným světlem

Více

VLNOVÁ OPTIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník

VLNOVÁ OPTIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník VLNOVÁ OPTIKA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník Vlnová optika Světlo lze chápat také jako elektromagnetické vlnění. Průkopníkem této teorie byl Christian Huyghens. Některé jevy se dají

Více

Neživá příroda I. Optické vlastnosti minerálů

Neživá příroda I. Optické vlastnosti minerálů Neživá příroda I Optické vlastnosti minerálů 1 Charakter světla Světelný paprsek definuje: vlnová délka (λ): vzdálenost mezi následnými vrcholy vln, amplituda: výchylka na obě strany od rovnovážné polohy,

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

FYZIKA II. Marek Procházka 1. Přednáška

FYZIKA II. Marek Procházka 1. Přednáška FYZIKA II Marek Procházka 1. Přednáška Historie Dělení optiky Základní pojmy Reflexe (odraz) Refrakce (lom) jevy na rozhraní dvou prostředí o různém indexu lomu. Disperze (rozklad) prostorové oddělení

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Světlo je elektromagnetické vlnění, které má ve vakuu vlnové délky od 390 nm do 770 nm.

Světlo je elektromagnetické vlnění, které má ve vakuu vlnové délky od 390 nm do 770 nm. 1. Podstata světla Světlo je elektromagnetické vlnění, které má ve vakuu vlnové délky od 390 nm do 770 nm. Vznik elektromagnetických vln (záření): 1. při pohybu elektricky nabitých částic s nenulovým zrychlením

Více

Úvod do laserové techniky

Úvod do laserové techniky Úvod do laserové techniky Světlo jako elektromagnetické záření I. část Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze jan.sulc@fjfi.cvut.cz 5. října 2016 Kontakty Ing. Jan

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky. 5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?

Více

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 - Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické

Více

P5: Optické metody I

P5: Optické metody I P5: Optické metody I - V klasické optice jsou interferenční a difrakční jevy popisovány prostřednictvím ideálně koherentních, ideálně nekoherentních, později také částečně koherentních světelných svazků

Více

Jaký obraz vytvoří rovinné zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, stejně velký. Jaký obraz vytvoří vypuklé zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, zmenšený

Jaký obraz vytvoří rovinné zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, stejně velký. Jaký obraz vytvoří vypuklé zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, zmenšený Jan Olbrecht Jaký obraz vytvoří rovinné zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, stejně velký Jaký obraz vytvoří vypuklé zrcadlo? Zdánlivý, vzpřímený, zmenšený Jaký typ lomu nastane při průchodu světla z opticky

Více

Název a číslo materiálu VY_32_INOVACE_ICT_FYZIKA_OPTIKA

Název a číslo materiálu VY_32_INOVACE_ICT_FYZIKA_OPTIKA Název a číslo materiálu VY_32_INOVACE_ICT_FYZIKA_OPTIKA OPTIKA ZÁKLADNÍ POJMY Optika a její dělení Světlo jako elektromagnetické vlnění Šíření světla Odraz a lom světla Disperze (rozklad) světla OPTIKA

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Interference světla Vlnovou podstatu světla prokázal až roku 1801 Thomas Young, když pozoroval jeho interferenci (tj. skládání). Youngův experiment interference světla na dvou štěrbinách (animace) http://micro.magnet.fsu.edu

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 18.4.2012 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 2 Hodina: Po 7:30 Spolupracovníci: Viktor Polák Hodnocení: Měření s polarizovaným světlem Abstrakt V

Více

Přednáška č.14. Optika

Přednáška č.14. Optika Přednáška č.14 Optika Obsah základní pojmy odraz a lom světla disperze polarizace geometrická optika elektromagnetické záření Světlo = elektromagnetické vlnění o vlnové délce 390nm (fialové) až 790nm (červené)

Více

LMF 2. Optická aktivita látek. Postup :

LMF 2. Optická aktivita látek. Postup : LMF 2 Optická aktivita látek Úkoly : 1. Určete specifickou otáčivost látky měřením pro známou koncentraci roztoku 2. Měření opakujte pro různé koncentrace a vyneste závislost úhlu stočení polarizační roviny

Více

Učební texty z fyziky 2. A OPTIKA. Obor zabývající se poznatky o a zákonitostmi světelných jevů. V posledních letech rozvoj optiky vynález a využití

Učební texty z fyziky 2. A OPTIKA. Obor zabývající se poznatky o a zákonitostmi světelných jevů. V posledních letech rozvoj optiky vynález a využití OPTIKA Obor zabývající se poznatky o a zákonitostmi světelných jevů Světlo je vlnění V posledních letech rozvoj optiky vynález a využití Podstata světla Světlo je elektromagnetické vlnění Zdrojem světla

Více

Úvod do laserové techniky

Úvod do laserové techniky Úvod do laserové techniky Světlo jako elektromagnetické záření I. část Michal Němec Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze michal.nemec@fjfi.cvut.cz Kontakty Ing. Michal Němec,

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 18.4.2012 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 2 Hodina: Po 7:30 Spolupracovníci: Viktor Polák Hodnocení: Měření s polarizovaným světlem Abstrakt V

Více

16. Matematický popis napjatosti

16. Matematický popis napjatosti p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

Více

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

Název: Odraz a lom světla

Název: Odraz a lom světla Název: Odraz a lom světla Autor: Mgr. Petr Majer Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika, Informatika) Tematický celek: Optika Ročník:

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

APO seminář 5: OPTICKÉ METODY v APO

APO seminář 5: OPTICKÉ METODY v APO APO seminář 5: OPTICKÉ METODY v APO Princip: fyzikální metody založené na interakci vzorku s elektromagnetickým zářením nebo na sledování vyzařování elektromagnetického záření vzorkem nespektrální metody

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Charakteristiky optického záření

Charakteristiky optického záření Fyzika III - Optika Charakteristiky optického záření / 1 Charakteristiky optického záření 1. Spektrální charakteristika vychází se z rovinné harmonické vlny jako elementu elektromagnetického pole : primární

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Základním praktikum z optiky

Základním praktikum z optiky Úloha: Základním praktikum z optiky FJFI ČVUT v Praze #1 Polarizace světelného záření Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 10.3.2016 Spolupracoval: Obor / Skupina: 1. Úvod Alexandr Špaček FE / E Klasifikace:

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé

Více

11. Geometrická optika

11. Geometrická optika Trivium z optiky 83 Geometrická optika V této a v následující kapitole se budeme zabývat studiem světla v situacích, kdy je možno zanedbat jeho vlnový charakter V tomto ohledu se obě kapitoly podstatně

Více

27 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace

27 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace 325 27 FYZIKÁLNÍ OPTIKA Interference Ohyb Polarizace Do fyzikální optiky zahrnujeme ty jevy, které vznikají v souvislosti se světlem, v kterých se zjevně projevuje jeho vlnová podstata. Jde především o

Více

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 9: Měření s polarizovaným světlem Datum měření: 29. 4. 2016 Doba vypracovávání: 8 hodin Skupina: 1, pátek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání

Více

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence : Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,

Více

42 Polarizované světlo Malusův zákon a Brewsterův úhel

42 Polarizované světlo Malusův zákon a Brewsterův úhel 42 Polarizované světlo Malusův zákon a rewsterův úhel ÚKOL 1. Ověřte platnost Malusova 1 zákona. 2. Změřte rewsterův 2 úhel a nalezněte relativní index lomu dvou prostředí. (Výslovnost: rewster ['bru:stər,

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.

Více

ODRAZ A LOM SVĚTLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Fyzika - Optika

ODRAZ A LOM SVĚTLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Fyzika - Optika ODRAZ A LOM SVĚTLA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Fyzika - Optika Odraz světla Vychází z Huygensova principu Zákon odrazu: Úhel odrazu vlnění je roven úhlu dopadu. Obvykle provádíme konstrukci pomocí

Více

Maticová optika. Lenka Přibylová. 24. října 2010

Maticová optika. Lenka Přibylová. 24. října 2010 Maticová optika Lenka Přibylová 24. října 2010 Maticová optika Při průchodu světla optickými přístroji dochází k transformaci světelného paprsku, vlnový vektor mění úhel, který svírá s optickou osou, paprsek

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Přírodovědecká fakulta. Katedra optiky. Jana Grézlová. Obor: Digitální a přístrojová optika.

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Přírodovědecká fakulta. Katedra optiky. Jana Grézlová. Obor: Digitální a přístrojová optika. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra optiky Jana Grézlová Obor: Digitální a přístrojová optika Optimalizace podmínek použití širokopásmových zrcadel a dichroických filtrů ve spektrometru

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

27. Vlnové vlastnosti světla

27. Vlnové vlastnosti světla 27. Vlnové vlastnosti světla Základní vlastnosti světla (rychlost světla, šíření světla v různých prostředích, barva tělesa) Jevy potvrzující vlnovou povahu světla Ohyb a polarizace světla (ohyb světla

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Analýza napjatosti PLASTICITA

Analýza napjatosti PLASTICITA Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky. Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program

Více

Obr. 1: Elektromagnetická vlna

Obr. 1: Elektromagnetická vlna svtla Svtlo Z teorie elektromagnetického pole již víte, že svtlo patí mezi elektromagnetická vlnní, a jako takové tedy má dv složky: elektrickou složku, kterou pedstavuje vektor intenzity elektrického

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Elektromagnetické vlnění

Elektromagnetické vlnění Elektromagnetické vlnění kolem vodičů elmag. oscilátoru se vytváří proměnné elektrické i magnetické pole http://www.walter-fendt.de/ph11e/emwave.htm Radiotechnika elmag vlnění vyzářené dipólem můžeme zachytit

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

Refraktometrie, interferometrie, polarimetrie, nefelometrie, turbidimetrie

Refraktometrie, interferometrie, polarimetrie, nefelometrie, turbidimetrie Refraktometrie, interferometrie, polarimetrie, nefelometrie, turbidimetrie Refraktometrie Metoda založená na měření indexu lomu Při dopadu paprsku světla na fázové rozhraní mohou nastat dva jevy: Reflexe

Více

Vznik a šíření elektromagnetických vln

Vznik a šíření elektromagnetických vln Vznik a šíření elektromagnetických vln Hlavní body Rozšířený Coulombův zákon lektromagnetická vlna ve vakuu Zdroje elektromagnetických vln Přehled elektromagnetických vln Foton vlna nebo částice Fermatův

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Zadání. Pracovní úkol. Pomůcky

Zadání. Pracovní úkol. Pomůcky Pracovní úkol Zadání 1. Z přiložených objektivů vyberte dva, použijte je jako lupy a změřte jejich zvětšení a zorná pole přímou metodou. Odhadněte maximální chybu měření. 2. Změřte zvětšení a zorná pole

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Světlo x elmag. záření. základní principy

Světlo x elmag. záření. základní principy Světlo x elmag. záření základní principy Jak vzniká a co je to duha? Spektrum elmag. záření Viditelné 380 760 nm, UV 100 380 nm, IR 760 nm 1mm Spektrum elmag. záření Harmonická vlna Harmonická vlna E =

Více

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Zrcadla Zobrazení zrcadlem Zrcadla jistě všichni znáte z každodenního života ráno se do něj v koupelně díváte,

Více

Optika nauka o světle

Optika nauka o světle Optika nauka o světle 50_Světelný zdroj, šíření světla... 2 51_Stín, fáze Měsíce... 3 52_Zatmění Měsíce, zatmění Slunce... 3 53_Odraz světla... 4 54_Zobrazení předmětu rovinným zrcadlem... 4 55_Zobrazení

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na

plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Zákon odrazu: α' = α, tj. úhel odrazu je roven úhlu dopadu. Zákon lomu:

Zákon odrazu: α' = α, tj. úhel odrazu je roven úhlu dopadu. Zákon lomu: Úloha č. 1 Měření Brewsterova úhlu a studium dvojlomných jevů 1) Pomůcky: Měřicí zařízení obsahující matovou žárovku, destičku z černého skla, clonky s otočným zařízením, dvě polarizační folie sloužící

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Shodná zobrazení v rovině

Shodná zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech

Více

(Následující odstavce jsou zde uvedeny jen pro zájemce.) , sin2π, (2)

(Následující odstavce jsou zde uvedeny jen pro zájemce.) , sin2π, (2) Studium difrakčních jevů TEORIE doplněk: Odvození výrazů pro difrakční maxima (popř. minima) na štěrbině, dvojštěrbině a mřížce jsou zpravidla uvedena na středoškolské úrovni, což je založeno na vhodném

Více

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ

DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ P. Hora, O. Červená Ústav termomechaniky AV ČR Příspěvek vznikl na základě podpory grantu cíleného vývoje a výzkumu AV ČR č. IBS276356 Ultrazvukové metody

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou

Více

Matematika a fyzika. René Kalus KAM, FEI, VŠB-TUO

Matematika a fyzika. René Kalus KAM, FEI, VŠB-TUO Matematika a fyzika René Kalus KAM, FEI, VŠB-TUO Úvod Příroda k nám promlouvá řečí matematiky Galileo Galilei Úvod Philosophy is written in this grand book I mean the universe It is written in the language

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

2. Vlnění. π T. t T. x λ. Machův vlnostroj

2. Vlnění. π T. t T. x λ. Machův vlnostroj 2. Vlnění 2.1 Vlnění zvláštní případ pohybu prostředí Vlnění je pohyb v soustavě velkého počtu částic navzájem vázaných, kdy částice kmitají kolem svých rovnovážných poloh. Druhy vlnění: vlnění příčné

Více

Vlnové vlastnosti světla

Vlnové vlastnosti světla Vlnové vlastnosti světla Odraz a lom světla Disperze světla Interference světla Ohyb (difrakce) světla Polarizace světla Infračervené světlo je definováno jako a) podélné elektromagnetické kmity o frekvenci

Více

1.8. Mechanické vlnění

1.8. Mechanické vlnění 1.8. Mechanické vlnění 1. Umět vysvětlit princip vlnivého pohybu.. Umět srovnat a zároveň vysvětlit rozdíl mezi periodickým kmitavým pohybem jednoho bodu s periodickým vlnivým pohybem bodové řady. 3. Znát

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více