MATEMATIKA PRO EKONOMY

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtiky MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolín

2 Z jzykovou věcnou správnost obshu díl odpovídá utor et neprošel jzykovou ni redkční úprvou Rdek Stolín ISBN

3 Obsh Úvod Aritmetické vektory Zákldní pojmy Operce s ritmetickými vektory Lineární kombince vektorů 8 Lineární závislost vektorů 9 Cvičení Mtice Zákldní pojmy Operce s mticemi Hodnost mtice Inverzní mtice 8 Mticové rovnice Cvičení Determinnty Zákldní pojmy Výpočet determinntů Cvičení Soustvy lineárních rovnic Zákldní pojmy Řešení soustv lineárních rovnic Řešení soustv lineárních rovnic pomocí inverzní mtice Řešení soustv lineárních rovnic pomocí determinntů 8 Gussov metod řešení soustv lineárních rovnic Jordnov metod řešení soustv lineárních rovnic Cvičení Soustvy lineárních nerovnic 8 Zákldní pojmy 8 Algebrické řešení soustv lineárních rovnic 8 Grfické řešení soustv lineárních rovnic Cvičení Lineární progrmování Úlohy výrobního plánování Směšovcí úlohy Úlohy o dělení mteriálu Obecné vlstnosti řešení úloh lineárního progrmování Cvičení

4 Řešení úloh lineárního progrmování 8 Grfické řešení úloh lineárního progrmování 8 Algebrické řešení úloh lineárního progrmování Jednofázová simpleová metod Dvoufázová simpleová metod 9 Cvičení 8 8 Dulit úloh lineárního progrmování 8 8 Symetrická dulit 8 8 Nesymetrická dulit 8 8 Vzthy mezi řešením duálně sdruţených úloh 8 8 Ekonomická interpretce duálních proměnných 9 8 Duálně simpleová metod 9 Cvičení 98 9 Doprvní úlohy 9 Formulce doprvní úlohy 9 Vlstnosti doprvní úlohy 9 Metody určení výchozího zákldního řešení doprvní úlohy 9 Nlezení optimálního řešení doprvní úlohy 9 Degenerce v doprvní úloze 9 Ekonomický význm duálních proměnných v doprvní úloze Cvičení Výsledky cvičení 8 Litertur

5 Úvod oto skriptum je určeno především pro ty studenty Vysoké školy polytechnické Jihlv kteří mjí z povinnost bsolvovt stejnojmenný předmět Mtemtik pro ekonomy Obshově je tet rozdělen do 9 kpitol Prvních pět kpitol se věnuje vybrným částem lineární lgebry Výběr je motivován získáním mtemtických znlostí potřebných pro řešení úloh lineárního progrmování kterými se zbývám v dlších čtyřech kpitolách Kţdá kpitol kromě teoretického výkldu obshuje i ilustrční příkldy n konci je vţdy uvedeno několik úloh k smosttnému procvičení vyloţené látky Student si jistě po důkldném prostudování teorie propočítání předloţených cvičení bude schopen sám vytvořit zdání řdy dlších zjímvých úloh I kdyţ n VŠPJ eistuje dosttečné vybvení mtemtickým softwrem (npř Mple Ecel) který umoţňuje poměrně jednoduché řešení většiny předloţených úloh doporučuji čtenáři by těchto prostředků pouţívl pouze k ověření dosţených výsledků popřípdě k vyřešení komplikovnějších úloh Rutinní bezmyšlenkovité pouţívání softwru sice můţe vést k získávání správných výsledků úloh určitých typů le hrozí nebezpečí ţe student nepochopí podsttu způsobu řešení nebude tudíţ schopen regovt třeb i n drobné odchylky v zdání Čtenářům budu velmi vděčný z upozornění n chyby nejsnosti v tetu Vysoká škol polytechnická Jihlv leden Rdek Stolín stolin@vspjcz

6

7 Aritmetické vektory Zákldní pojmy Definice Uspořádnou n-tici reálných čísel ( n) kde n N nzýváme n-rozměrný ritmetický vektor Reálná čísl i nzýváme i-tými sloţkmi (souřdnicemi) n-rozměrného ritmetického vektoru Pozn Dále budeme pojmem vektor rozumět n-rozměrný ritmetický vektor Definice Vektor o ( ) nzýváme nulový vektor Definice Vektor ) nzýváme vektor opčný k vektoru ) ( n ( n Definice Říkáme ţe vektory ( n) b ( b b bn ) se rovnjí jestliţe pro všechn i n je b i i Operce s ritmetickými vektory Definice Součtem dvou vektorů ) b b b b ) nzýváme vektor b ( b b n bn ) ( n ( n Definice Nechť k R Reálným násobkem vektoru ) nzýváme vektor k k k k ) ( n ( n Definice Sklárním součinem vektorů ) b b b b ) nzýváme číslo (sklár) b b b n b n ( n ( n Příkld Jsou dány vektory = ( ) b = (- - 8 ) Určíme ) b b) y b c) s b

8 Řešení ) Podle definice máme b) Podle definice je b (- - 8 ) ( 8) y b ( ( ) ( ) 8 ) ( 9) c) Podle definice dostáváme s b ( ) ( ) 8 Lineární kombince vektorů Definice Mějme n -rozměrné ritmetické vektory u v v vr kde r N Říkáme ţe vektor u je lineární kombincí vektorů v v v r jestliţe eistují reálná čísl c c cr tková ţe pltí u c v cv c r vr Příkld Je vektor u ( ) lineární kombincí vektorů v ( ) v ( - -) v ( )? Řešení Hledáme tedy tková reálná čísl c c c by pltilo u c Po doszení do této vektorové rovnice máme Z definic je zřejmé ţe v cv cv ( -) = c ( ) + c ( - -) + c ( ) ( -) = (c + c c - c + c c - c +c ) Dále z definice vyplývá ţe tto rovnost pltí právě tehdy kdyţ součsně pltí c c c Sndno určíme ţe této soustvě vyhovují čísl c c c c c c = c = c = Vektor u tedy je lineární kombincí vektorů v v v získáme jej jko součet vektoru v dvojnásobku vektoru v vektoru v edy pltí ţe u v v v 8

9 Příkld Jsou dány vektory = ( ) = ( -) = ( ) Zjistíme zd je vektor lineární kombincí vektorů Řešení Podobně jko v předcházejícím příkldu sestvíme příslušnou soustvu rovnic Sečtením první třetí rovnice dostneme doszením do třetí (nebo první) rovnice určíme = c + c = c + c = -c + c = c c = c = Nkonec zjistíme zd vypočítné hodnoty vyhovují i zbývjící (tedy druhé) rovnici Dostáváme coţ smozřejmě nepltí Protoţe tedy neeistují reálná čísl c c vyhovující dné soustvě není vektor lineární kombincí vektorů tj pomocí zákldních vektorových opercí (viz definice ) nelze z vektorů získt vektor Lineární závislost vektorů Definice Mějme n-rozměrné ritmetické vektory v v v r kde r N Říkáme ţe tyto vektory jsou lineárně závislé jestliţe eistují reálná čísl c c cr z nichţ lespoň jedno je různé od nuly tková ţe c v cv c r vr o V opčném přípdě nzýváme tyto vektory lineárně nezávislé Příkld Rozhodneme zd jsou vektory = ( - ) b = ( - ) c = ( -) lineárně závislé či lineárně nezávislé Řešení Podle definice je třeb k určení lineární závislosti či nezávislosti hledt řešení rovnice 9

10 c + c b + c c = o Obdobným postupem jko v řešení příkldu odtud získáme soustvu která má v tomto přípdě tvr c + c + c = -c - c + c = c + c - c = uto soustvu můţeme řešit npříkld tk ţe ze třetí rovnice vyjádříme c dosdíme do prvních dvou rovnic čímţ dostneme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých Postupně tedy máme Po úprvě: c = c + c c + c + (c + c ) = -c - c + (c + c ) = c + c = c + c = Z toho je zřejmé ţe eistuje pouze jediné (tzv triviální) řešení dné soustvy to c = c = c = Podle definice jsou tudíţ vektory b c lineárně nezávislé Při dokzování lineární závislosti dné skupiny vektorů je jednodušší pouţít následující větu Vět Mějme n-rozměrné ritmetické vektory v v v r kde r N { } yto vektory jsou lineárně závislé právě tehdy kdyţ je lespoň jeden z nich lineární kombincí osttních Důkz ) Předpokládejme nejprve ţe n-rozměrné ritmetické vektory v v v r kde r N {} jsou lineárně závislé Podle definice tedy eistují reálná čísl c c cr z nichţ lespoň jedno (řekněme ţe je to npř číslo c ) je různé od nuly tková ţe Odtud je Vydělením číslem c máme c v v c v c c v cv c r vr o v cv cv c r v r c c v c c c c r r r r c c c c v v v

11 coţ podle definice znmená ţe vektor v je lineární kombincí vektorů v v v r b) Předpokládejme nyní ţe lespoň jeden (řekněme ţe je to vektor v ) z n-rozměrných ritmetických vektorů v v v r kde r N { } je lineární kombincí osttních Podle definice eistují reálná čísl c c cr tková ţe pltí Odtud je v cv cv c r v r v c v cr vr ( ) v cv cr vr o Podle definice jsou vektory v ím je vět dokázán Pozn Z věty okmţitě vyplývá ţe vektory u = ( -) v v v r lineárně nezávislé protoţe c v ( ) v ( - -) ( ) jsou lineárně závislé protoţe jsme ukázli ţe vektor u je lineární kombincí vektorů v v v Nopk z toho ţe vektor = ( ) není lineární kombincí vektorů = ( -) = ( ) nelze podle této věty ještě nic tvrdit o lineární závislosti vektorů Příkld Ukáţeme ţe skupin vektorů = (- - ) b = ( ) c = ( - ) d = ( - -) je lineárně závislá Řešení Zkusíme vyjádřit npříkld vektor d jko lineární kombinci zbývjících vektorů Řešíme tedy soustvu Z první rovnice soustvy vyjádříme c : = -c + c + c - = -c - c - = c + c c = c + c - dosdíme do druhé rovnice Spolu s opsnou třetí rovnicí získáme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých coţ je po úprvě - - (c - c c c c - c -) - Druhou rovnici vynásobíme (-) obě rovnice sečteme Dostáváme ţe c c c

12 Nyní uţ sndno dopočítáme c = c = - c = 8 Je tedy zřejmé ţe vektor d je lineární kombincí vektorů b c proto jsou podle věty vektory b c d lineárně závislé Určení lineární závislosti skupiny vektorů podle uvedené věty je v tomto příkldu méně prcné neţ pouţití definice o by totiţ vedlo k řešení soustvy tří rovnic o čtyřech neznámých ztímco tkto jsme prcovli při stejném počtu rovnic pouze se třemi neznámými Uvědomme si všk ţe vět obecně neumoţňuje rozhodnout o lineární závislosti nebo nezávislosti skupiny vektorů v přípdě ţe vybrný vektor z dné skupiny není lineární kombincí vektorů osttních Npř vektory ( - -) ( ) (- 9 - ) jsou lineárně závislé přitom vektor ( ) není lineární kombincí osttních dvou vektorů Poznmenejme závěrem ţe o lineární závislosti či nezávislosti skupiny vektorů lze pohodlněji rozhodnout výpočtem hodnosti mtice jk bude zřejmé z následující kpitoly Cvičení Jsou dány vektory k = ( - -) l = ( - ) m = ( - - -) Určete jejich lineární kombince ) k + l m; b) 8 k l m Určete sklární součiny následujících dvojic vektorů: ) ( - - ) ( - - -); b) ( ) ( ); c) ( b -b -) (b b) Vypočítejte číslo tk by sklární součiny následujících dvojic vektorů byly rovny nule ) (- -) ( - ); b) ( - ) ( - ) Mějme vektory = ( ) b = ( ) c = (- - -) d = ( ) Zpište kţdý z nich (pokud je to moţné) jko lineární kombinci osttních Vyjádřete (pokud je to moţné) vektor jko lineární kombinci vektorů r s t jestliţe ) = (8 ) r = ( ) s = ( -) t = ( ); b) = (9 - -) r = (- ) s = (- ) t = o; c) = ( -) r = (- ) s = ( -) t = ( ); d) = (- - -) r = ( - ) s = ( ) t = ( -) Určete reálné číslo k tk by vektor u = ( -) byl lineární kombincí vektorů v = ( - ) w = ( - k) Stnovte reálné číslo k tk by vektor = ( k) byl lineární kombincí vektorů = ( ) = ( ) = ( 9)

13 8 Rozhodněte zd je lineárně závislá nebo nezávislá skupin vektorů: ) = (- - ) b = ( ) c = ( - ); b) = ( -) b = ( - ) c = ( -); c) = ( ) b = ( ) c = ( -) d = ( ); d) = ( ) b = (- ) c = ( -) d = (- ); e) = ( - ) b = ( -) c = ( -); f) = ( ) b = ( ) c = ( -) d = ( ); g) = ( - ) b = ( - ) c = ( ) d = ( 9) 9 Určete pro které hodnoty reálného čísl k jsou následující skupiny vektorů lineárně závislé: ) = ( ) y = (- k) z = ( ); b) = ( - ) y = ( ) z = (- k); c) = ( ) y = ( k -) z = (- - k); d) = ( k ) y = ( k) z = ( ) Jsou prvdivá následující tvrzení? ) Přidáme-li k lineárně závislým vektorům libovolný vektor dostneme lineárně závislé vektory b) Přidáme-li k lineárně nezávislým vektorům libovolný vektor získáme lineárně nezávislé vektory c) Ubereme-li z lineárně závislých vektorů libovolný vektor obdrţíme opět vektory lineárně závislé d) Ubereme-li z lineárně nezávislých vektorů libovolný vektor dostneme vektory lineárně nezávislé Mějme n -rozměrné ritmetické vektory o v v v r kde r N Dokţte ţe tyto vektory jsou lineárně závislé

14 Mtice Zákldní pojmy Definice Schém mn reálných čísel ij kde i m; j n m n N ve tvru n n m m se nzývá mtice typu m n Znčíme A(m n) A nebo ( ij ) Čísl ii jsou prvky tzv hlvní digonály V přípdě ţe m = n hovoříme o čtvercové mtici n-tého stupně Jsou-li všechny prvky mtice rovny nule tj ij = pro všechn i m j n nzýváme mtici nulová mtice Pozn N mtici A(m n) lze pohlíţet tké tk ţe je sloţen z m n-rozměrných (řádkových) vektorů nebo z n m-rozměrných (sloupcových) vektorů Pokud se v dlším tetu budeme zmiňovt o řádcích resp sloupcích mtice budeme tím myslet příslušné řádkové resp sloupcové vektory mn Definice rnsponovnou mticí k mtici A(m n) = ( ij ) všechn i m j n nzýváme mtici A (n m) = ( ji ) pro Definice Čtvercovou mtici A(n n) = ( ij ) nzýváme digonální mtice jestliţe pro všechn i j n pltí ţe ij = pro i j Je-li nvíc ij = pro i = j nzýváme příslušnou mtici jednotková mtice znčíme ji I Definice kový tvr mtice A(m n) = ( ij ) ve kterém pro všechn ţe ij = pro i > j součsně ij pro i = j i m j n pltí nzýváme lichoběţníkový tvr Pokud je nvíc m = n nzýváme tento tvr trojúhelníkový tvr Definice Říkáme ţe mtice A(m n) = ( ij ) B(m n) = (b ij ) se rovnjí jestliţe pro všechn i m j n pltí ţe Zpisujeme A = B ij = b ij

15 Operce s mticemi Definice Součtem mtic A(m n) = ( ij ) B(m n) = (b ij ) nzýváme mtici C(m n) = (c ij ) jestliţe pro všechn i m j n pltí: c ij = ij + b ij Zpisujeme C = A + B Definice Reálným násobkem mtice A(m n) = ( ij ) číslem kr nzýváme mtici C(m n) = (c ij ) jestliţe pro všechn i m j n pltí: c ij = k ij Zpisujeme C = ka Definice Součinem mtic A(m n) = ( ik ) B(n p) = (b kj ) nzýváme mtici C(m p) = (c ij ) jestliţe pro všechn i m j p pltí: Zpisujeme C = AB n c ij = b ik kj k Příkld Jsou dány mtice A = B = C = 8 Určíme mtice ) K = A + B; b) L = C; c) Q = AB BA Řešení Podle definice sčítáme mtice tk ţe sčítáme jejich stejnolehlé prvky podle definice násobíme mtici reálným číslem tk ţe vynásobíme tímto číslem všechny její prvky edy postupně dostáváme: ) K = A + B = b) L = C = + 8 = = 8= ( ) 8 ( ) = 8

16 Podle definice se prvek v i-tém řádku j-tém sloupci mtice C která je součinem mtic A B v tomto pořdí určí jko sklární součin i-tého řádkového vektoru mtice A j-tého sloupcového vektoru mtice B c) Q = AB BA = - = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( - - ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = = Poslední výsledek pouze potvrzuje skutečnost zřejmou jiţ z definice Násobení mtic není komuttivní operce (tedy obecně nepltí ţe AB = BA) n rozdíl od násobení reálných čísel Hodnost mtice Definice Hodností mtice A(m n) nzýváme číslo které se rovná mimálnímu počtu lineárně nezávislých řádků této mtice Oznčujeme h(a) Vět Hodnost mtice A(m n) v lichoběţníkovém tvru je rovn počtu nenulových řádků této mtice Vět (úprvy neměnící hodnost mtice) Hodnost mtice A se nezmění jestliţe provedeme některou z následujících úprv: ) Mtici trnsponujeme ) Vyměníme libovolné dv řádky ) Libovolný řádek vynásobíme libovolným nenulovým reálným číslem ) K libovolnému řádku přičteme libovolnou lineární kombinci osttních řádků ) Vynecháme řádek který je lineární kombincí osttních řádků Pozn Řádkové úprvy v bodech ) ţ ) oznčme je (u) ţ (u) se tedy podle bodu ) djí dělt i se sloupci mtice A Z uvedeného je okmţitě zřejmá následující vět jejíţ znlost při určování hodnosti mtice můţe být uţitečná

17 Vět Pro hodnost h(a) mtice A(m n) pltí ţe h(a) ) min( n m Z vět je zřejmé jk lze postupovt při určování hodnosti dné mtice Pomocí úprv které nemění hodnost získt mtici v lichoběţníkovém tvru která má stejnou hodnost jko původní mtice ze které lze tuto hodnost pohodlně určit Skutečnost ţe dvě mtice mjí stejnou hodnost budeme vyjdřovt symbolem Příkld Určíme hodnost mtice A Řešení Nejprve provedeme výměnu řádku (u) Dále násobíme první řádek číslem(-) přičteme jej ke řádku První řádek násobíme číslem (-) přičteme ke třetímu znovu násobíme první řádek číslem (-) přičteme ke čtvrtému konečně přičteme první řádek k pátému (u) Vynásobíme řádek číslem (-/) (u) součsně vyměníme řádek (u) Druhý řádek násobíme postupně čísly (-) přičítáme ke třetímu čtvrtému pátému řádku (u) Vynecháme třetí čtvrtý řádek protoţe jsou násobky pátého řádku (u) Výsledná mtice má lichoběţníkový tvr obshuje tři nenulové řádky tedy je její hodnost tudíţ tké h(a) = Příkld Pomocí hodnosti mtice rozhodneme o lineární závislosti či nezávislosti vektorů ) ( ) ( ) ( c b Řešení Z definice okmţitě vyplývá moţný postup řešení Z dných vektorů vytvoříme mtici řekněme C typu určíme její hodnost Jestliţe bude C h budou dné tři vektory lineárně nezávislé jestliţe le bude C h budou tyto vektory lineárně závislé Anlogicky jko při řešení předchozího příkldu postupně pouţitím úprv (u) (u) dostáváme

18 C Poslední mtice všk není lichoběţníková (nul n hlvní digonále) Jedinou moţností jk se v tomto přípdě dostt k lichoběţníkové mtici je vyţít úprvu (u) ve smyslu poznámky z větou vyměnit třetí čtvrtý sloupec uvţovné mtice Máme o uţ je lichoběţníková mtice podle věty je h C s ohledem n definici lineárně nezávislé Vektory b c jsou tedy Inverzní mtice Anlogie opercí s reálnými čísly s mticemi nás vede k otázce zd eistuje nějká operce s mticemi která by byl obdobou operce dělení reálných čísel Ze střední školy víme ţe dělit reálné číslo b reálným číslem různým od nuly znmená násobit číslo b číslem Číslo se nzývá převrácená hodnot čísl pltí ţe Uvědomíme-li si ţe u mtic předstvuje neutrální prvek vzhledem k násobení jednotková mtice I (je zřejmé ţe pro libovolnou čtvercovou mtici A pltí AI IA A ) nbízí se následující definice Definice Nechť A X I jsou čtvercové mtice n-tého stupně Jestliţe pltí AX I potom X nzýváme inverzní mtice k mtici A znčíme ji Definice Nechť A je čtvercová mtice n-tého stupně Jestliţe ha n Je-li ha n nzýváme A singulární mticí A nzýváme A regulární mticí Vět Ke čtvercové mtici A eistuje inverzní mtice právě tehdy kdyţ A je regulární V tom přípdě je inverzní mtice určen jednoznčně Vět Jestliţe A je regulární mtice potom A je rovněţ regulární pltí A A 8

19 9 Vět Jestliţe A je regulární mtice I jednotková mtice stejného stupně jko A potom pltí I A A AA Vět Jestliţe A je regulární mtice potom pltí A A Popíšeme si dále jeden ze způsobů jk lze k dné mtici vypočítt mtici inverzní (pokud eistuje) kterému se říká Gussův lgoritmus výpočtu inverzní mtice Předpokládejme ţe máme čtvercovou regulární mtici A n-tého stupně jednotkovou mtici I téhoţ stupně jko A Vytvoříme mtici typu (n n) tk ţe mtice A I zpíšeme vedle sebe v tomto pořdí Oznčme tkto vzniklou mtici jko A I Dále uprvíme tuto mtici pomocí úprv neměnících hodnost mtice (u) ţ (u) z věty (tedy zásdně pouze řádkové úprvy) tk by v jejích prvních n sloupcích byl jednotková mtice Lze dokázt ţe v posledních n sloupcích získné mtice je hledná mtice inverzní k mtici A Schemticky lze situci vyjádřit jko A I I A Příkld Nlezneme inverzní mtici k mtici A Řešení Podle věty postupně máme Je tedy A Poslední tvr zápisu výsledné inverzní mtice se čsto pouţívá v přípdě ţe mtice neobshuje celočíselné prvky Zápis v uvedeném tvru umoţňuje definice

20 Ověřit správnost vypočítné inverzní mtice lze podle věty pomocí součinu nlezené inverzní mtice mtice původní (v libovolném pořdí) ento součin by měl být roven příslušné jednotkové mtici Mticové rovnice Úloh řešit mticovou rovnici o jedné neznámé mtici X znmená nlézt tkovou mtici X která po doszení do příslušné mticové rovnice převede tuto rovnici po provedení nznčených početních opercí s mticemi n rovnost Příkld Určíme mtici X tk by pltilo B X X A jestliţe je 9 B A Řešení Nejdříve z dné mticové rovnice vyjádříme eplicitně mtici X Přitom le musíme mít stále n pměti ţe se jedná o mtice vzít npř v úvhu ţe násobení mtic není komuttivní Máme zlev / B I A X B I A X I A I A I A B X I A B X X A Dále určíme mtici A I I A Anlogicky jko v příkldu nlezneme k této mtici mtici inverzní Celý postup jen trochu urychlíme tím ţe budeme nulovt v dném sloupci prvky pod součsně i nd hlvní digonálou Můţeme postupně psát

21 Je tedy I A Pro hlednou mtici X tudíţ máme X Aritmetické n-rozměrné vektory které jsme zvedli v předešlé kpitole je zvykem při práci s mticovými rovnicemi zpisovt do sloupců chápt jko mtice typu n uto konvenci budeme v dlším dodrţovt i my tkţe ndále bude n n ) ( ) ( n Příkld Jsou dány mtice b A Určíme mtici (vektor) pro kterou pltí b A Řešení Nejprve opět vyjádříme : b A I b A I b A b A Dále určíme A I Máme

22 Odtud A I Při výpočtu mtice A I stojí z povšimnutí úprv kterou jsme pouţili při přechodu od čtvrtého tvru mtice k pátému čtvrtý řádek jsme přičetli k řádku třetímu (u) outo úprvou jsme totiţ celý dlší postup podsttně zjednodušili Hlednou mtici (vektor) vypočítáme pomocí součinu Pltí ţe 9 b A I Cvičení Jsou dány mtice A = B = 9 C = 8 Vypočítejte následující mtice:

23 ) U = B + C; b) V = (-)C; c) X = A + B C; d) Y = A - (B -C); e) Z = (-B + C - A) Určete součin AB následujících dvojic mtic: ) A = B = 9 ; b) A = 9 B = ; c) A = B = 9 ; d) A = B = Určete součiny BA mtic ze cvičení (pokud eistují) Mějme mtice A = 9 8 B = Určete: ) R = (AB) ; b) S = AA Určete hodnosti následujících mtic: ) A

24 b) 8 B ; c) C ; d) D ; e) 8 E ; f) F Pomocí hodnosti mtice rozhodněte o lineární závislosti dných skupin vektorů: ) k = ( - ) l = (- ) m = ( - - -) n = ( -); b) k = ( - -) l = ( ) m = ( - r) kde R r ; c) k = ( - ) l = ( - ) m = ( ) n = ( - ) U následujících mtic rozhodněte zd jsou regulární nebo singulární Pokud jsou regulární nlezněte mtici inverzní ) A = ; b) B = ;

25 c) C = ; 9 d) D = 8 Určete mtici X tk by pltilo B AXA jestliţe B A 9 Určete mtici X tk by pltilo C X B AX jestliţe C B A

26 Determinnty Zákldní pojmy Připomeňme nejprve několik pojmů z kombintoriky Definice Mějme mnoţinu M n kde n N Kţdá uspořádná n-tice k k vytvořená ze všech prvků mnoţiny M se nzývá permutce z n prvků Vět Počet všech permutcí z n prvků je n! Příkld Pro n = tedy eistuje celkem! = = permutcí Jsou to: k n Definice Dvojice k i k j se nzývá inverze v permutci k k k n jestliţe je součsně i j k i k j Příkld V permutci jsou inverzemi dvojice ; ; Definice Mějme čtvercovou mtici n-tého stupně A(n) =( ij ) Součet k K k k n pk k k nkn kde p K je počet inverzí v permutci K se nzývá determinnt mtice A znčí se det A Pozn ) Determinnt mtice je definován pouze v přípdě ţe je tto mtice čtvercová ) Determinnt čtvercové mtice n-tého stupně A je součtem n! členů ve tvru k k nk n které jsou kldné v přípdě ţe permutce k k k n má sudý počet inverzí záporné v přípdě ţe permutce k k k n má lichý počet inverzí

27 ) Kţdý člen k k nk determinntu mtice A obshuje právě jednoho činitele n z kţdého řádku kţdého sloupce mtice A ) Pro determinnt mtice A pouţíváme i jiná oznčení npř det A A ij Výpočet determinntů Příkld Určíme obecně podle definice determinnt mtice druhého stupně Řešení Máme det A ( ) ( ) Příkld Pomocí řešení předešlého příkldu pltí ţe Příkld Určíme obecně podle definice determinnt mtice třetího stupně Řešení Máme det A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Odvozený vzorec z příkldu vyjdřuje tzv Srrusovo prvidlo pro výpočet determinntu třetího stupně oto prvidlo si lze sndno zpmtovt podle nznčeného schémtu =

28 ( ) Vět (Srrusovo prvidlo) Nechť A = ( ij ) je čtvercová mtice třetího stupně Potom pltí det A ( ) Příkld Pomocí řešení předchozího příkldu je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Determinnty čtvrtého vyšších stupňů se podle definice nepočítjí protoţe by to bylo velmi nepřehledné prcné Postupuje se většinou tk ţe se determinnt n-tého stupně převede n determinnt stupně (n ) kto se postupuje dál ţ k determinntu třetího stupně který vypočteme pomocí dříve uvedeného Srrusov prvidl Způsob kterým lze převádět determinnty n-tého stupně n determinnt stupně (n ) dále popíšeme Definice Mějme čtvercovou mtici n-tého stupně A Determinnt který vznikne z determinntu mtice A vynecháním i-tého řádku j-tého sloupce nzýváme subdeterminnt (minor) prvku ij mtice A znčíme M ij Definice i j ij Mějme čtvercovou mtici n-tého stupně A Doplňkem prvku ij nzýváme číslo M kde M ij je subdeterminnt prvku ij Příkld Je dán determinnt mtice A Určíme doplněk prvku Řešení Nejprve podle definice určíme M Máme 8

29 9 M Dále podle definice je doplněk prvku ) ( ) ( Vět (o rozvoji determinntu podle i-tého řádku) Nechť A je čtvercová mtice n-tého stupně Potom pro n i pltí n r ir ir r i M det A Vět (o rozvoji determinntu podle j-tého sloupce) Nechť A je čtvercová mtice n-tého stupně Potom pro n j pltí n r rj rj j r M det A Příkld Určíme hodnotu determinntu Řešení Pouţijeme větu s j = výsledek příkldu Máme ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ento příkld ukzuje jk výhodné je mít v řádku nebo sloupci determinntu podle kterého rozvoj provádíme nuly Sndno si spočítáme ţe npříkld pro výpočet determinntu pátého

30 stupně s nenulovými prvky bychom museli spočítt = determinntů třetího stupně coţ je příliš prcné Následující dvě věty nám umoţní uprvit determinnt před vlstním výpočtem tk by ve vybrné řdě byl pouze jeden nenulový prvek coţ smotný výpočet podsttně zjednoduší Vět Pro libovolnou čtvercovou mtici A pltí: det A det A Pozn Z této věty plyne ţe není nutné rozlišovt řádky sloupce determinntu (pltí-li nějké tvrzení pro řádky determinntu pltí i pro jeho sloupce) Proto budeme řádky sloupce determinntu npříště oznčovt společným názvem řdy determinntu Vět Pro libovolný determinnt pltí: ) násobíme-li libovolnou řdu determinntu reálným číslem c potom se číslem c násobí celý determinnt; b) vyměníme-li v determinntu nvzájem libovolnou dvojici rovnoběţných řd změní determinnt znménko; c) přičteme-li k některé řdě determinntu libovolnou lineární kombinci řd s ní rovnoběţných pk se hodnot determinntu nezmění Pozn Z věty plyne ţe jsou-li řdy v determinntu lineárně závislé je determinnt roven nule Lineární závislost řd determinntu poznáme okmţitě v přípdě ţe jsou dvě rovnoběţné řdy úměrné Příkld Určíme hodnotu determinntu mtice A Řešení Nejprve se zbvíme nenulových prvků v prvním ve druhém řádku čtvrtého sloupce pomocí úprv z věty potom rozvineme podle čtvrtého sloupce Máme det A Dále si můţeme vybrt Buď pouţijeme Srrusovo prvidlo nebo ještě jednou poslední determinnt uprvíme rozvineme Ukţme si druhou moţnost úprvu rozvinutí podle třetího řádku Postupně dostáváme

31 9 9 9 det A Získli jsme tedy determinnt druhého stupně který ještě můţeme zjednodušit úprvou podle věty sndno vypočítt Je 9 det A Někdy se determinnty počítjí podle následující věty Vět Mějme čtvercovou mtici n-tého stupně A(n) = ( ij ) Je-li tto mtice v trojúhelníkovém tvru potom pltí ţe nn det A Příkld 8 Určíme hodnotu determinntu mtice A Řešení Podle věty postupně máme det A 9 Pouţijeme-li nyní větu dostáváme 9 det A Vět Mějme čtvercovou mtici A Mtice A je regulární tehdy jen tehdy kdyţ je její determinnt různý od nuly

32 Příkld 9 Prostřednictvím výpočtu determinntu mtice A rozhodneme zd je mtice A regulární nebo singulární Řešení Determinnt mtice A je 8 Mtice A je tedy podle věty singulární (její řádkové vektory jsou lineárně závislé) Vět 8 Jestliţe jsou A B čtvercové mtice stejného řádu potom je det AB det Adet B Vět 9 Je-li A regulární mtice potom determinnt mtice inverzní k mtici A je det A det A Důkz Podle věty 8 definice inverzní jednotkové mtice věty postupně máme odkud jiţ plyne tvrzení věty det A det A det AA det I Cvičení Vypočítejte determinnt 9 8

33 Vypočítejte determinnt 8 Vypočítejte determinnt Rozhodněte zd jsou vektory = ( ) b = ( ) c = (- -) d = ( ) lineárně závislé či nezávislé Vypočtěte determinnt mtice A jestliţe 8 8 A

34 Soustvy lineárních rovnic Zákldní pojmy Definice Soustvou m lineárních rovnic o n neznámých (proměnných) n R m n N rozumíme soustvu m m n n mn n n n b b b m () Reálná čísl ij kde i m j n se nzývjí koeficienty reálná čísl b i kde i m se nzývjí prvé strny Definice Mtici A m nzýváme mtice soustvy () Mtici r m nzýváme rozšířená mtice soustvy () A m m n n mn n n mn b b b m Definice Vektor nzýváme vektor neznámých (proměnných) soustvy () vektor ( n ) ( b b bm ) b nzýváme vektor prvých strn soustvy () S pouţitím definic definic součinu rovnosti mtic z druhé kpitoly lze soustvu () zpst v mticovém tvru A b ()

35 Řešení soustv lineárních rovnic Řešit soustvu lineárních rovnic () znmená nlézt všechny vektory neznámých n které vyhovují kţdé rovnici soustvy () yto vektory tvoří tzv mnoţinu řešení soustvy () Ze střední školy je známo ţe při řešení soustvy lineárních rovnic můţe nstt jeden ze tří následujících přípdů: soustv lineárních rovnic nemá řešení; soustv lineárních rovnic má právě jedno řešení; soustv lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení Vět (Frobeniov) Soustv lineárních rovnic () má lespoň jedno řešení tehdy jen tehdy kdyţ je hodnost mtice soustvy h h h A h A rovn hodnosti rozšířené mtice soustvy r r Pozn to vět tedy (pouze) stnovuje kdy dná soustv má kdy nemá řešení V přípdě ţe řešení eistuje neříká nic o jejich počtu Vět Nechť soustv lineárních rovnic () má řešení h je hodnost mtice soustvy n je počet neznámých Potom pltí: () Jestliţe h = n potom má soustv () právě jedno řešení (b) Jestliţe h < n potom má soustv () nekonečně mnoho řešení přičemţ z n h neznámých lze volit libovolná reálná čísl osttní neznámé jsou určeny jednoznčně Příkld Určíme počet řešení soustvy dvou lineárních rovnic o třech neznámých zpíšeme je: Řešení Dné soustvě přiřdíme rozšířenou mtici soustvy A r Je zřejmé ţe hodnost rozšířené mtice soustvy h r = hodnost mtice soustvy h = počet neznámých n = Z věty vyplývá ţe soustv má nekonečně mnoho řešení přičemţ jedn neznámá je volitelná Zvolme npříkld z neznámou libovolné reálné číslo vyjádřeme pomocí ní neznámé zbývjící Z druhé rovnice dostneme ţe Po doszení do první rovnice dostneme po úprvě ţe Všechn řešení soustvy tedy můţeme zpst ve tvru

36 nebo ve tvru R kde kde R V dlším výkldu uvedeme několik metod pouţívných pro řešení soustv lineárních rovnic Pro první dvě metody je společné ţe je lze pouţít pouze v přípdě kdy má soustv právě jedno řešení (podle vět tedy v přípdě ţe pltí: h h n ) r Řešení soustv lineárních rovnic pomocí inverzní mtice Vět Jestliţe je mtice soustvy () A regulární potom má tto soustv právě jedno řešení A b () Důkz Podle věty eistuje k regulární mtici A mtice inverzní je určen jednoznčně Vzth () pk dostneme eplicitním vyjádřením z () Pozn Podle předpokldu věty se jedná pouze o soustvy ve kterých m = n Příkld Pomocí inverzní mtice nlezneme řešení soustvy tří lineárních rovnic o třech neznámých Řešení Neznámé určíme podle () Nejprve Gussovým lgoritmem popsným v části určíme inverzní mtici k mtici soustvy A Máme

37 ~ ~ ~ ~ ~ Je tedy zřejmé ţe A Doszením do () získáme hledné řešení dné soustvy rovnic: Zkouškou se sndno můţeme přesvědčit ţe vyhovují zdné soustvě Příkld Pomocí inverzní mtice se pokusíme vyřešit soustvu tří lineárních rovnic o třech neznámých Řešení Budeme postupovt stejně jko v řešení minulého příkldu Hledáme tedy nejprve inverzní mtici k mtici A Postupně dostáváme ~ ~ Mtice dné soustvy je tedy singulární podle věty nemá soustv právě jedno řešení

38 Řešení soustv lineárních rovnic pomocí determinntů Vět (Crmerovo prvidlo) Jestliţe je mtice soustvy () regulární mtice n-tého stupně potom má tto soustv právě jedno řešení které se dá zpst ve tvru j det A j det A pro j n kde A j je mtice která vznikne z mtice A nhrzením j-tého sloupce sloupcem prvých strn rovnic soustvy () Příkld Crmerovým prvidlem vyřešíme soustvu tří lineárních rovnic o třech neznámých Řešení Determinnt mtice soustvy je 8 8 Protoţe je det A je mtice soustvy regulární soustv má právě jedno řešení můţeme pouţít Crmerovo prvidlo Postupně vypočítáme det A det A det A Podle věty je tedy řešením dné soustvy vektor 8 ( )

39 9 Výhodou řešení soustv lineárních rovnic pomocí Crmerov prvidl je moţnost eplicitního vyjádření kţdé sloţky řešení pomocí prvků příslušné rozšířené mtice soustvy tké skutečnost ţe je moţné vypočítt libovolnou sloţku řešení nezávisle n osttních Crmerovo prvidlo je rovněţ vhodné pro řešení soustv lineárních rovnic s prmetry jk demonstruje následující příkld Příkld Určíme pro které hodnoty reálného prmetru má soustv rovnic právě jedno řešení toto řešení vyjádříme Řešení V tomto přípdě je det A funkcí prmetru Konkrétně 8 det A Soustv má tedy právě jedno řešení právě kdyţ V tom přípdě je totiţ det A mtice soustvy je regulární lze pouţít Crmerovo prvidlo Dále máme det 8 det A A det A Je tedy pro V přípdě ţe dostneme soustvu rovnic která podle věty nemá právě jedno řešení Postupy při řešení tkovýchto soustv se budeme zbývt v dlších odstvcích

40 Gussov metod řešení soustv lineárních rovnic Vět Mnoţin všech řešení soustvy lineárních rovnic () se nezmění jestliţe provedeme některou z následujících úprv této soustvy: ) vyměníme libovolné dvě rovnice soustvy; ) libovolnou rovnici soustvy vynásobíme libovolným nenulovým reálným číslem; ) k libovolné rovnici přičteme libovolnou lineární kombinci osttních rovnic soustvy; ) vynecháme rovnici která je lineární kombincí osttních rovnic soustvy Vět spolu se znlostí postupu při určování hodnosti mtice nám dává návod jkým způsobem lze postupovt při řešení dné soustvy lineárních rovnic Nejprve sestvíme rozšířenou mtici dné soustvy lineárních rovnic Pomocí řádkových úprv převedeme tuto mtici (pokud je to moţné) n lichoběţníkový tvr Z tohoto tvru určíme h r i h tudíţ i počet řešení dné soustvy V tomto stdiu výpočtu přejdeme od mtice (která určuje soustvu lineárních rovnic se stejnou mnoţinou řešení jko má dná soustv) zpět k soustvě rovnic odzdu ji postupným doszováním sndno vyřešíme Můţe nstt situce kdy k úprvě n lichoběţníkový tvr bude zpotřebí v závěrečné fázi změnit pořdí sloupců v mtici nebo nám záměn pořdí sloupců podsttně usndní výpočet Jelikoţ by to všk znmenlo stejnou záměnu pořdí neznámých poslední sloupec (sloupec prvých strn) nvíc stejně musí zůstt n svém místě je lepší určit hodnosti obou mtic pomocí pouhé předstvy výsledného lichoběţníkového tvru záměnu sloupců fkticky neprovádět Postup při dokončení řešení je uţ potom nlogický Příkld Vyřešíme soustvu Řešení Nejprve sestvíme příslušnou rozšířenou mtici soustvy Potom násobíme první řádek (-) přičteme ke řádku A r ím získáme tvr který sice není lichoběţníkový le lze si sndno domyslet jk bychom se k němu dostli (výměn druhého třetího sloupce) jk by vypdl Je tedy zřejmé ţe v tomto přípdě pltí h r = h = n = Soustv má tudíţ právě jedno řešení o nlezneme tk ţe přejdeme od řádků mtice zpět k rovnicím Poslední řádek odpovídá rovnici tedy = o dosdíme do druhé rovnice dostneme ţe = Doszením do první rovnice vyjde rovněţ = Řešením dné soustvy je tudíţ vektor

41 Příkld Gussovou eliminční metodou vyřešíme soustvu lineárních rovnic Řešení Podobně jko v řešení předešlého příkldu máme 8 A r Z poslední mtice je zřejmé ţe h = ztímco h r = Dná soustv tedy podle Frobeniovy věty nemá řešení to skutečnost je zřejmá i z posledního řádku poslední mtice který odpovídá rovnici = Příkld Gussovou eliminční metodou vyřešíme soustvu lineárních rovnic Řešení Opět vyjdeme z rozšířené mtice soustvy pomocí úprv neměnících mnoţinu všech řešení soustvy (viz vět ) budeme postupně získávt lichoběţníkový tvr Dostáváme A r Je zřejmé ţe hodnost mtice soustvy h = hodnost rozšířené mtice soustvy h r je tké Je tedy splněn podmínk Frobeniovy věty řešení dné soustvy eistuje Jelikoţ je nvíc n = má soustv podle věty nekonečně mnoho řešení přičemţ z dvě neznámé (n h = ) můţeme volit libovolná reálná čísl Všechn řešení nlezneme ze soustvy která má podle věty stejnou mnoţinu řešení jko soustv ze zdání Jko nejjednodušší se ukzuje vyjádřit všechny neznámé pomocí Z druhé rovnice dostneme

42 po doszení do první rovnice vyjádření uprvení získáme Všechn řešení dné soustvy tedy můţeme zpst pomocí lineární kombince vektorů ( ( ) ( ) ) ( ) kde R () Zveďme nyní několik pojmů které souvisejí s řešením soustv mjících nekonečně mnoho řešení Definice Nechť má soustv () nekonečně mnoho řešení Vzth ve kterém jsou eplicitně vyjádřen všechn řešení dné soustvy se nzývá obecné řešení soustvy Definice Nechť má soustv () nekonečně mnoho řešení Proměnné (neznámé) pomocí nichţ je vyjádřeno obecné řešení soustvy se nzývjí nezákldní proměnné zbývjící proměnné soustvy se nzývjí zákldní proměnné Definice Nechť má soustv () nekonečně mnoho řešení Doszením konkrétních reálných čísel z nezákldní proměnné do obecného řešení této soustvy získáme jedno řešení soustvy které nzýváme prtikulární řešení soustvy Definice Nechť má soustv () nekonečně mnoho řešení kové prtikulární řešení této soustvy ve kterém jsou všechny nezákldní proměnné rovny nule se nzývá zákldní řešení soustvy Definice Nechť má soustv () nekonečně mnoho řešení kové zákldní řešení této soustvy ve kterém je lespoň jedn zákldní proměnná rovn nule se nzývá degenerovné zákldní řešení soustvy Příkld Určíme obecné řešení dvě prtikulární (nezákldní) řešení zákldní řešení soustvy z příkldu Řešení Obecným řešením jsou podle definice ob tvry zápisu () Pro získání prtikulárních řešení oznčme je dosďme postupně = = = = Doszením do () máme ( ) ( ) Zákldní řešení oznčme je řekněme z dostneme podle definice tk ţe dosdíme v () Máme

43 z ( ) oto řešení není degenerovné protoţe obě zákldní proměnné jsou v něm různé od nuly Pozn Je zřejmé ţe vyjádření obecného řešení () není jediným moţným Pokud bychom zvolili při řešení příkldu jinou dvojici nezákldních proměnných (npř ) dostneme obecné řešení dné soustvy vyjádřené jinou lineární kombincí vektorů (přirozeně z předpokldu ţe bude moţné zpst pomocí ) Pltí zde tedy ţe mimální počet různých moţností vyjádření obecného řešení je tolik kolik eistuje různých způsobů výběru dvou prvků ze čtyřprvkové mnoţiny Z kombintoriky víme ţe tento počet je! vyjádřen kombinčním číslem Je tké zřejmé ţe kţdému ( )!! vyjádření obecného řešení odpovídá právě jedno zákldní řešení Pltí tedy následující vět Vět Nechť má soustv () nekonečně mnoho řešení Potom eistuje nnejvýš zákldních řešení této soustvy n n h n! n h! h! Jordnov metod řešení soustv lineárních rovnic Definice Jestliţe lze ze sloupců mtice soustvy () sestvit jednotkovou mtici říkáme ţe tto soustv je v knonickém tvru Jordnov metod spočívá v tom ţe pomocí řádkových úprv které nemění hodnost mtice ( tedy ni mnoţinu všech řešení odpovídjících soustv lineárních rovnic) uprvíme mtici soustvy () n knonický tvr kto uprvené mtici odpovídá soustv jejíţ řešení je zřejmé je moţné jej okmţitě zpst niţ bychom přecházeli zpět k rovnicím Příkld Jordnovou metodou řešení soustv lineárních rovnic nlezneme řešení soustvy Řešení Opět budeme nejprve uprvovt rozšířenou mtici soustvy řádkovými úprvmi podle věty do lichoběţníkového tvru Postupně máme

44 ~ ~ ~ ~ ~ A r Protoţe h = h r = n = má soustv právě jedno řešení Dosvdní postup se nelišil od Gussovy eliminční metody Podle ní bychom se vrátili zpět k rovnicím odspodu soustvu dořešili Při Jordnově metodě budeme pokrčovt v nulování prvků nd hlvní digonálou Máme ~ ~ ~ ~ ~ Poslední mtice odpovídá soustvě v knonickém tvru (viz definice ) Po této tzv úplné eliminci dostáváme přímo řešení ) ( Příkld Jordnovou metodou nlezneme obecné všechn zákldní řešení soustvy Řešení Dné soustvě přiřdíme rozšířenou mtici soustvy vynulujeme prvky pod i nd hlvní digonálou r A

45 Je zřejmé ţe hodnost rozšířené mtice soustvy h r = hodnost mtice soustvy h = počet neznámých n = Z věty vyplývá ţe soustv má nekonečně mnoho řešení přičemţ jedn neznámá je volitelná Dále je zřejmé ţe zvolíme-li z volitelnou neznámou (podle definice v tomto okmţiku nezákldní proměnná) můţeme přímo z výsledného tvru poslední mtice zpst obecné řešení příslušné zákldní řešení (viz poslední sloupec) Obecné řešení je R kde ) ( ) ( zákldní ) ( z Zvolme nyní z volitelnou neznámou nezákldní proměnnou Jedn z moţností (obvykle uţívná) jk nlézt odpovídjící zákldní řešení je uprvit mtici tk by jednotkové vektory ( ) ( ) které jsou součsně v prvním druhém sloupci byly ve sloupcích zákldních proměnných tedy v prvním třetím Jedná se opět o knonický tvr soustvy u něhoţ lze z posledního sloupce mtice vyčíst příslušné zákldní řešení Připomeňme ţe u zákldního řešení je nezákldní proměnná rovn nule Dlší zákldní řešení je tedy ) ( z Poslední moţností volby nezákldní proměnné je Opět se budeme snţit uprvit mtici tk by jednotkové vektory byly ve sloupcích zbývjících proměnných tj ve druhém ve třetím Poslední zákldní řešení má tedy tvr z Ani jedno ze zákldních řešení není podle definice degenerovné Podle věty je v tomto přípdě mimální počet zákldních řešení roven coţ výsledek potvrzuje Cvičení Řešte soustvu

46 Řešte soustvu Řešte soustvu s prmetrem 9 Nlezněte všechn zákldní řešení z příkldu Nlezněte obecné všechn zákldní řešení soustvy 8 8 Nlezněte obecné všechn zákldní řešení soustvy 8 Řešte soustvu

47 8 Řešte soustvu Čtyři kmrádi strávili večer v jedné pivovrské hospůdce kde v různé míře ochutnávli čtyři druhy piv které vyrábí příslušný pivovr Jednlo se o šestnáctku čtrnáctku dvnáctku desítku Kdyţ dopili zpltili vyšli ven uvědomili si ţe vlstně nevědí kolik který druh piv stojí Pmtovli si ţe společně zčli tím ţe ochutnli od kţdého druhu jedno pivo Jirk si vzpomněl ţe dál vypil dvě dvnáctky účet zněl n Kč Aleš si dl ještě jednu šestnáctku pltil Kč Mirek vypil po ochutnávce ještě tři čtrnáctky jeho útrt činil 9Kč Konečně Pvel pil potom uţ jenom desítky ty si dl ještě čtyři pltil 8Kč Jká cen byl účtován z jednotlivé druhy piv?

48 Soustvy lineárních nerovnic Zákldní pojmy Definice Soustvou m lineárních nerovnic o n neznámých (proměnných) n R; m n N rozumíme soustvu m m n n mn n n b n b b m () Reálná čísl ij kde i m j n se nzývjí koeficienty reálná čísl b i i m se nzývjí prvé strny Pozn ) Mticově lze soustvu nerovnic z předchozí definice zpst jko kde A m A b () m ( b b bm ) n n mn b ) Všechny nerovnice v () jsou typu Je zřejmé ţe pod pojmem soustv lineárních nerovnic je obecně moţné předstvit si i soustvu která bude obshovt tké nerovnice zbývjících typů tedy < > Algebrické řešení soustv lineárních nerovnic Soustvu lineárních nerovnic lze řešit převedením n soustvu lineárních rovnic Kţdou nerovnici soustvy () lze totiţ převést (vyrovnt) n rovnici tk ţe k její levé strně přičteme dlší nezápornou proměnnou Jestliţe má tedy i-tá nerovnice soustvy tvr lze ji nhrdit rovnicí kde n+i i + i + + in n b i () i + i + + in n + n+i = b i () 8

49 9 Je zřejmé ţe mnoţin řešení nerovnice () se rovná mnoţině která vznikne z mnoţiny řešení rovnice () odstrněním posledních souřdnic příslušných vektorů Rovněţ je zřejmé ţe ony odstrněné poslední souřdnice ukzují o kolik je v příslušném řešení nerovnice () levá strn menší neţ prvá Definice Soustvu m lineárních rovnic o (n + m) neznámých (proměnných) R n R m n n n N n m m m n n mn m m n n n n n n b b b () nzýváme přidruţená soustv rovnic k soustvě () Proměnné m n n n nzýváme přídtné (doplňkové) proměnné Pozn Pro nerovnici typu < nbývá příslušná přídtná proměnná pouze kldných hodnot nerovnici typu ( > ) převedeme n rovnici tk ţe přídtnou proměnnou odečteme od její levé strny Dostneme rovnici i + i + + in n - n+i = b i přičemţ je opět n+i ( n+i > ) Příkld Vyřešíme soustvu Řešení Nejprve sestvíme přidruţenou soustvu rovnic kde pro přídtné proměnné pltí ţe uto soustvu rovnic vyřešíme Jordnovou metodou úplné elimince (přirozeně se snţíme by mezi zákldními proměnnými byly původní proměnné tj )

50 Vektor obecného řešení přidruţené soustvy rovnic tedy je ; ; ; ; ; R vektor obecného řešení soustvy nerovnic je: ; ; N Z porovnání je zřejmé ţe mtice soustvy () je speciálním přípdem mtice soustvy m lineárních rovnic o (n + m) proměnných ve smyslu definice () Dále upozorněme ţe u soustvy () je oborem některých proměnných (těch přídtných) pouze mnoţin nezáporných reálných čísel Podle poznámky z definicí můţe nstt přípd kdy některé přídtné proměnné mohou nbývt jen kldných hodnot V dlších kpitolách se dokonce setkáme se soustvmi rovnic ve kterých i proměnné které nejsou přídtné nemohou nbývt libovolných reálných hodnot Pochopitelným důsledkem těchto skutečností je to ţe se mezi zákldními řešeními příslušné soustvy (viz definici ) mohou objevit i tková jejichţ jedn nebo více sloţek neptří do oboru odpovídjící proměnné Proto následující definice Definice Nechť má soustv m lineárních rovnic o n proměnných nekonečně mnoho řešení Přípustným řešením soustvy nzýváme tkové její řešení ve kterém jsou všechny sloţky z dného oboru odpovídjící proměnné Příkld Určíme mimální počet zákldních řešení přidruţené soustvy rovnic (přípustných nebo nepřípustných) z příkldu nlezneme tři z těchto zákldních řešení Řešení Podle věty máme!!!!!! h h n n h n n edy přidruţená soustv rovnic z příkldu má nnejvýš zákldních řešení Dále je z řešení tohoto příkldu zřejmé ţe

51 Protoţe poslední tři mtice vesměs odpovídjí knonickému tvru příslušné soustvy rovnic můţeme z nich zákldní řešení postupně přečíst Máme z z z ( ) ( ) ( ) Je zřejmé ţe první dvě zákldní řešení nejsou přípustná (má být ) ztímco třetí zákldní řešení je přípustné zákldní řešení Grfické řešení soustv lineárních nerovnic Sluší se poznment ( z řešení příkldu je to i dobře ptrné) ţe v některých přípdech je obecné řešení soustvy nerovnic spolu s omezeními volitelných proměnných znčně komplikovné Přehledně lze vyjádřit mnoţinu všech řešení soustvy m lineárních nerovnic o dvou neznámých grficky V tomto přípdě se jedná o průnik m polorovin v rovině (u ostrých nerovnic neptří k polorovině hrniční přímk) Příkld Vyřešíme grficky soustvu Řešení Převedeme nerovnice pokud to bude moţné n tzv úsekový tvr: Z tohoto zápisu jsou dobře vidět úseky které vytínjí hrniční přímky dných polorovin n souřdnicových osách (hrniční přímk poloroviny která odpovídá čtvrté nerovnici prochází počátkem soustvy souřdnic) Orientci poloroviny určíme zjištěním zd vybrný bod (pokud moţno nejlépe []) leţí či neleţí ve vnitřní oblsti příslušné poloroviny

52 Obrázek Grfické řešení soustvy nerovnic Řešením dné soustvy je pětiúhelník ABCDE bez hrny BC Souřdnice vrcholů pětiúhelníku lze dopočítt vyřešením soustv dvou rovnic o dvou neznámých npř A: Jednoduchým výpočtem zjistíme ţe tja Podobně určíme souřdnice zbývjících vrcholů Postupně dostneme: E D C B - Příkld Nlezneme tková zákldní řešení soustvy rovnic přidruţené k soustvě nerovnic z příkldu ve kterých jsou mezi zákldními proměnnými Řešení Příslušná přidruţená soustv rovnic je zřejmě

53 kde R R Podle podmínky v zdání hledáme tkové tvry rozšířené mtice sestvené přidruţené soustvy ve kterých jsou jednotkové vektory v prvních dvou sloupcích Dále s vyuţitím věty je tkových řešení nnejvýš Vyzbrojeni Jordnovou metodou úplné elimince znčnou dávkou trpělivosti postupně máme

54 8 8 Dostáváme tedy: z z z z z z z z z Povšimněme si ţe první dvě souřdnice uvedených vektorů odpovídjí souřdnicím průsečíků hrničních přímek v grfickém řešení příkldu Desáté zákldní řešení neeistuje jelikoţ příslušné hrniční přímky jsou rovnoběţné Dále je zřejmé ţe přípustná zákldní řešení jsou pouze ) A (bod E) (bod D) bod ( 8 z z z

55 Cvičení Řešte soustvu Řešte soustvu Řešte grficky soustvu 9 Řešte grficky soustvu Řešte grficky soustvu 8

56 Řešte grficky soustvu 8

57 Lineární progrmování Jednou z oblstí ve které lze úspěšně plikovt dosud popsné mtemtické pozntky je oblst ekonomie řízení Speciální mtemtické metody pouţívné při řešení problémů z těchto oblstí se ve světové litertuře nzývjí metodmi operčního výzkumu (nglickým ekvivlentem tohoto oznčení je Opertions reserch nebo téţ Mngement science) Uvedený název souvisí s tím ţe k rozvoji těchto metod došlo z světové války při nlýze řešení sloţitých vojenských problémů opercí Postupem čsu vznikl řd reltivně smosttných disciplín operčního výzkumu vyznčujících se některými společnými rysy npř pouţíváním modelové techniky Modelování spočívá v tom ţe se jeden systém (originál) zobrzuje jiným systémem (modelem) Výsledkem modelování je model který předstvuje záměrně zjednodušený obrz podsttných znků relity z účelem jejího poznání Jsou-li zobrzovcí prostředky mtemtické povhy (npř rovnice nerovnice mtice) jde o mtemtický model který je v operčním výzkumu nejčstější Význm mtemtického modelování spočívá v tom ţe umoţňuje popis systému v jkémkoliv jeho stvu třeb i teprve zmýšleném; urychluje chování systému které by ve skutečnosti trvlo velmi dlouho; umoţňuje rychle vyhodnotit změny vzniklé v důsledku změn v modelovném systému to n rozdíl od eperimentu v reálném systému bez nebezpečí jkýchkoliv ztrát; z pomoci výpočetní techniky umoţňuje rychlé řešení i rozsáhlých problémů; vnáší pořádek do nšeho myšlení tím ţe vyţduje jsnou formulci řešeného problému K nejpouţívnějším nejvíce proprcovným metodám operčního výzkumu ptří lineární progrmování jehoţ metody umoţňují řešení speciální skupiny optimlizčních úloh Lineární progrmování je změřeno n hledání optimálního (nejlepšího) řešení při součsném splnění dných podmínek Podmínky jsou zpsány pomocí lineárních rovnic nerovnic Kritérium optimálnosti je vyjádřeno lineární funkcí Jsou tedy všechny vzby v modelech lineárního progrmování vzbmi lineárními Slovo progrmování v názvu je pk spíše synonymem pro plánování nebo vytváření progrmů (scénářů) budoucího vývoje V následujících odstvcích budeme obecně formulovt některé typické úlohy lineárního progrmování v jejich zákldní podobě spolu s odpovídjícím obecným mtemtickým modelem Ke kţdému typu uvedeme i konkrétní příkldy Úlohy výrobního plánování Předstvme si ţe výrobce má moţnost vyrábět n různých výrobků přičemţ má k dispozici omezenou kpcitu m zdrojů (prcovní síly suroviny strojové vybvení pod) Přirozeně se zjímá o to jké výrobky v jké míře má vyrábět by při respektování všech omezení dosáhl npř mimálního zisku minimální spotřeby energie td Oznčme: j j n vyráběné mnoţství j-tého výrobku (tzv strukturní neznámé); b i i m mnoţství i-tého zdroje které je k dispozici (tzv poţdvková čísl); ij i m; j n mnoţství i-tého zdroje potřebné k výrobě jednotkového mnoţství j-tého výrobku (tzv strukturní koeficienty);

58 c j j n ocenění jednotkového mnoţství j-tého výrobku v souldu se zvoleným kriteriem efektivnosti (tzv cenové koeficienty) Úlohou je tedy nlézt neznámé j které splňují podmínky součsně mimlizují funkci m m Mticově lze totéţ zpst v jednodušším tvru: 8 n n mn n n b n b b m () j j n () z c c c n n () A b o z c m kde A je mtice strukturních koeficientů typu m n; b je m-sloţkový sloupcový vektor poţdvkových čísel; c je n-sloţkový řádkový vektor cenových koeficientů; o je n-sloţkový sloupcový nulový vektor Definice Nerovnice () nzýváme vlstní omezení úlohy lineárního progrmování nerovnice () nzýváme podmínky nezápornosti funkci () nzýváme účelová (kriteriální cílová) funkce Pozn V pri se velmi čsto vyskytují úlohy ve kterých hledáme pouze celočíselná řešení Jejich řešením se zbývá tzv celočíselné lineární progrmování My se obecným řešením tkovýchto úloh zbývt nebudeme (je sloţitější neţ řešení s podmínkmi ve tvru ()) v dlším tetu se omezíme pouze n řešení těch přípdů kdy podmínky celočíselnosti neovlivňují optimální řešení Při sestvování konkrétních mtemtických modelů úloh lineárního progrmování postupujeme tk ţe nejprve určíme co má být výsledkem výpočtu tzn co předstvují sloţky vektoru v jkých měrných jednotkách budou uváděny Dále musíme rozhodnout z jkého hledisk budeme řešení dné úlohy optimlizovt tzn musíme zformulovt účelovou funkci konečně musíme nejdříve věcně potom téţ mtemticky formulovt vlstní omezující podmínky (pořdí formulce účelové funkce omezujících podmínek můţeme změnit) Příkld Podnik vyrábí dv výrobky (A B) které musí projít zprcováním n čtyřech strojích (S S S S ) přičemţ kpcit těchto strojů je pro dné období postupně hodin K výrobě jednoho kilogrmu výrobku A je zpotřebí prcovt hodiny n S hodiny n S hodiny n S hodinu n S Jeden kilogrm výrobku B se vyrábí s vyuţitím minut práce n S dvou hodin n S hodiny n S čtyř hodin n S Cen hotových výrobků A B je

59 Kč resp Kč z kg Je třeb nplánovt jejich výrobu tk by celková cen produkce byl mimální Sestvíme mtemtický model této úlohy Řešení Nejprve sestvíme tbulku s přehledným uvedením všech údjů bulk A (kg) B (kg) Disponibilní mnoţství (hod) S (hod) S (hod) S (hod) S (hod) Cen (Kč/kg) MAX Nechť je ( ) hmotnost vyráběných výrobků A (B) v kilogrmech Celkovou cenu výroby pk můţeme vyjádřit jko součet ceny kg výrobku A tj ceny kg výrobku B tj Pltí tedy ţe celková cen výroby je Jelikoţ nemáme k dispozici neomezené mnoţství prcovního čsu n S (stejně jko n osttních strojích) je třeb by dob potřebná k vyrobení kg výrobku A n tomto stroji tj spolu s (tj dobou potřebnou k výrobě kg výrobku B) nepřesáhl hodin čemuţ odpovídá nerovnice Podobně získáme tři dlší podmínky (nerovnice) pro osttní tři strojová zřízení Nkonec je třeb bychom si uvědomili ţe vzhledem k význmu neznámých nemohou být tyto záporné Hledáme tedy hodnoty tk by účelová funkce (celková cen produkce) byl při splnění podmínek mimální z Čsto se v pri setkáváme s úlohmi výrobního plánování ve kterých eistují nvíc dlší podmínky kromě těch uvedených v obecném mtemtickém modelu Není npříkld neobvyklé ţe se některé výrobky mohou prodávt buď smosttně nebo slouţit jko polotovr či součást výrobku jiného Můţe se dále stát ţe určitého výrobku je třeb 9

60 z nějkého důvodu vyrobit lespoň určité mnoţství td Následující příkld ukzuje ze i při těchto komplikcích lze mtemtický model reltivně sndno sestvit Příkld Nábytkářská firm vyrábí dv druhy stolů (S S ) ţidle (Z) Při produkci je omezen disponibilním mnoţstvím desek (v období pro které firm plánuje výrobu bude k dispozici 8 běţných metrů desek) omezenými prcovními moţnostmi dělníků (v uvţovném období bude kpcit prcovní doby hodin) Spotřeb uvedených zdrojů n jednotlivé výrobky je zpsán v tbulce stejně jko trţb z prodeje jednoho výrobku bulk S (ks) S (ks) Z (ks) Desky (bm) Ruční práce (hod) rţb (Kč/ks) 8 8 Kromě uvedených výrobků můţe firm prodávt komplety obshující jeden stůl typu S čtyři ţidle rţb z prodeje tohoto kompletu činí 9Kč přičemţ vzhledem k poptávce je zpotřebí nbídnout těchto kompletů lespoň Je třeb určit tkové mnoţství prodávných výrobků kompletů které firmě zjistí mimální trţbu Sestvíme mtemtický model této úlohy Řešení V mtemtické formulci uvedené úlohy budou strukturní proměnné to počet stolů typu S ; počet stolů typu S ; počet ţidlí; počet kompletů Omezující podmínky jsou dány: () vzthem mezi disponibilním mnoţstvím výrobních zdrojů (tj desek ruční práce) jejich spotřebou: 8 (b) vzthem mezi počtem stolů typu S počtem ţidlí mezi počtem kompletů: (c) poţdvkem n minimální počet kompletů Všechny uvedené proměnné musí být nezáporné ( j pro j = ) celočíselné V účelové funkci bude vyjádřen poţdvek n mimlizci trţeb přičemţ je třeb uváţit ţe se budou prodávt pouze ty stoly typu S ty ţidle které nebudou součástí kompletů Bude tedy pltit z = 8 ( - ) + + 8( - ) + 9 m Po úprvě účelové funkce vlstních omezujících podmínek (b) dostáváme mtemtický model dného příkldu ve tvru

61 8 j N pro j = z = m Směšovcí úlohy V těchto úlohách jde o to nvrhnout směs poţdovných vlstností tk by bylo optimlizováno zvolené kritérium (npř by se minimlizovly nákldy n vytvoření směsi) Uvţujme n komponent ze kterých má být vytvořen směs jeţ má obshovt m sledovných látek v dosttečném mnoţství Otázk zní: Které komponenty v jkém mnoţství pouţít při sestvování směsi tk by její vybrná chrkteristik byl nejlepší? Oznčme: j j n mnoţství j-té komponenty ve směsi; b i i m minimální poţdovné mnoţství i-té látky ve směsi; ij i m; j n mnoţství i-té látky v jednotkovém mnoţství j-té komponenty; c j j n ocenění jednotkového mnoţství j-té komponenty v souldu se zvoleným kriteriem efektivnosti Úlohou je tedy nlézt neznámé j které splňují podmínky součsně minimlizují funkci m m Mticově lze totéţ zpst v jednodušším tvru: n n mn n n j j n b n b b z c c c n n A b o z c min přičemţ jednotlivé mtice byly popsány jiţ při formulci obecného mtemtického modelu úlohy výrobního plánování m

62 Příkld Ze šesti druhů potrvin (P ţ P ) které máme k dispozici je třeb připrvit denní jídelníček tk by v něm bylo lespoň kcl vyuţitelné energie g bílkovin 8mg vitmínu B mg vitmínu C V tbulce jsou uvedeny údje o obshu účinných látek v jednotce příslušného druhu potrviny jkoţ i ceny jednotek potrvin bulk P (j) P (j) P (j) P (j) P (j) P (j) Energie (kcl) 8 Bílkoviny(g) - Vitmin B (mg) 8 Vitmin C (mg) Cen (Kč/j) 8 Sestvíme mtemtický model dné úlohy Řešení Oznčíme j j pouţité mnoţství potrviny P j v jídelníčku Máme zřejmě nlézt minimum funkce z podmínek z j 8 Mezi směšovcí úlohy počítáme i problémy ve kterých jsou podmínky stnoveny tk ţe vlstní omezení jsou i v jiném tvru neţ ve dříve popsném obecném modelu Ukázkou toho je i dlší příkld ve kterém se jedná o směs úvěrů s různou úrokovou szbou Příkld Bnk plánuje poskytnout v běţném roce úvěry v mimální celkové výši 8 mil Kč Poskytovné úvěry jsou podle výše poskytnuté úrokové míry rozděleny do tří skupin (A B C) přičemţ úroková mír v těchto skupinách je postupně % % % Rizikovost u úvěrů je potom oceněn koeficienty Úlohou je mimlizovt čistý roční úrokový výnos z poskytovných úvěrů přičemţ ve třídě C má být mimálně % z celkově poskytnutých úvěrů ve třídě A nopk minimálně % z celkově poskytnutých úvěrů Dále je nutné by průměrná váţená mír rizik (vhmi jsou půjčené částky) poskytnutých úvěrů nebyl větší neţ Sestvíme mtemtický model úlohy Řešení Oznčíme mnoţství bnkou půjčených mil Kč v jednotlivých skupinách A B C jko entokrát máme zřejmě nlézt mimum funkce z podmínek (postupně podle zdání) z

63 neboli (po úprvě) 8 8 j 8 pro j j 8 pro j Úlohy o dělení mteriálu Předstvme si ţe z dosttečného počtu kusů výchozího celku můţeme při n moţnostech dělení kţdého kusu získt jeho m různých menších částí v poţdovném mnoţství s tím ţe dělení bude co nejrcionálnější Říkáme ţe hledáme optimální řezný plán Oznčme: j j n počet kusů výchozího celku rozděleného j-tým způsobem; b i i m minimální poţdovný počet kusů i-té části celku; ij i m; j n počet kusů i-té části celku vznikjící j-tým způsobem dělení výchozího celku; c j j n ocenění j-tého dělení celku v souldu se zvoleným kriteriem efektivnosti Úlohou je tedy nlézt neznámé j které splňují podmínky m m n n mn n n j j n b n b b m součsně minimlizují funkci z c c c n n Mticově: A b o z c min

64 Příkld Podnik n výrobu ţelezných konstrukcí potřebuje z dvoumetrových tyčí nřezt lespoň tyčí délky cm lespoň 8 tyčí délky 8cm Jk má tyče řezt by získl poţdovný počet krtších tyčí ) s minimálním odpdem; b) při minimálním počtu řezů; c) při minimální spotřebě výchozích dvoumetrových tyčí Budeme vycházet z předpokldu ţe způsoby řezání dvoumetrových tyčí s odpdem větším neţ cm vůbec neuvţujeme Řešení Před sestvením mtemtického modelu pro určení optimálního řezného plánu je nutné stnovit všechny moţné vrinty řezání dvoumetrových tyčí n tyče délky cm 8cm yto moţnosti jsou uvedeny tbulce bulk V V Délk cm Délk 8cm Odpd (cm) Počet řezů Neznámými veličinmi j v řešené úloze jsou počty dvoumetrových tyčí řezných podle vrinty V j j = Pltí celočíselné Vlstní omezující podmínky úlohy vyjdřují (i) poţdvek n výrobu minimálně tyčí délky cm: (ii) + ; poţdvek n výrobu minimálně 8 tyčí délky 8cm: 8 Pro kţdé ze zvolených kritérií formulujeme účelovou funkci: ) minimlizce odpdu z = min b) minimlizce počtu řezů z = + min c) minimlizce počtu výchozích tyčí z = + min Velkou skupinu úloh lineárního progrmování tvoří tzv doprvní úlohy kterými se budeme zbývt ţ později protoţe tyto úlohy mjí v porovnání s předcházejícími typy úloh poněkud odlišnou strukturu Obecné vlstnosti řešení úloh lineárního progrmování Z předchozích odstvců této kpitoly je zřejmé ţe řešit úlohu lineárního progrmování znmená obecně řešit soustvu m lineárních rovnic (v páté kpitole jsme ukázli ţe kţdá nerovnice můţe být pomocí přídtné proměnné nhrzen ekvivlentní rovnicí) o n proměnných

65 m m n n mn n n n b b b m () O soustvě rovnic () předpokládejme ţe je tvořen nezávislými rovnicemi tzn ţe hodnost mtice soustvy těchto rovnic se rovná jejich počtu Protoţe v úlohách lineárního progrmování je počet proměnných vţdy větší neţ počet rovnic (n > m) soustv má nekonečně mnoho řešení (viz vět ) Předpokládejme dále ţe oborem kţdé z n proměnných soustvy () je mnoţin s nezápornými sloţkmi je přípustné R tedy ţe kţdé řešení soustvy () Definice Přípustné řešení soustvy () pro které účelová funkce () nbývá nejlepší tj mimální nebo minimální hodnoty se nzývá optimální řešení úlohy lineárního progrmování Definice Přípustné zákldní řešení soustvy () budeme nzývt zákldním řešením úlohy lineárního progrmování Definice Přípustné zákldní řešení soustvy () v němţ počet kldných sloţek se rovná počtu rovnic se nzývá nedegenerovné řešení Je-li počet kldných sloţek menší neţ počet rovnic řešení je degenerovné Vět Jsou-li libovolná přípustná řešení soustvy () je i kţdý vektor ve tvru přípustným řešení soustvy () k k) kde k () ( Pozn Lineární kombince vektorů ze vzthu () se nzývá konvení lineární kombince vektorů v dlším tetu se sní ještě setkáme Vět Počet přípustných zákldních řešení soustvy () je roven nejvýše číslu n n n! n m m n m! m! Důkz této věty plyne okmţitě z věty předchozí definice Vět (tzv zákldní vět lineárního progrmování) Má-li úloh lineárního progrmování optimální řešení má téţ zákldní optimální řešení

66 Cvičení Mngement firmy Sporten s vyrábějící sportovní potřeby uvţuje o výrobě dvou nových typů sjezdových lyţí Sjezdové lyţe A jsou ve sportovním provedení typ B pro rekreční lyţře Limitující fktory při výrobě jsou: ) spotřeb lminátu (bm pro A bm pro B); b) spotřeb brev (g pro A g pro B); c) spotřeb strojového čsu při výrobě (min pro A min pro B) K dispozici je celkem bm lminátu kg brev hodin strojového čsu Z jeden pár lyţí typu A bude zisk Kč z jeden pár lyţí typu B pk Kč Mngement chce nplánovt výrobní progrm tk by bylo dosţeno co nejvyššího zisku Sestvte mtemtický model Výrobní druţstvo produkuje dv výrobky V V V dném roce má vyrobit celkem minimálně 8kg obou výrobků přičemţ se jiţ smluvně zvázlo n dodání kg výrobku V kg V Ob výrobky se vyrábějí n dvou strojích Výrob kg výrobku V trvá minut n prvním stroji hodin n druhém stroji nákldy n výrobu jsou Kč Kilogrm výrobku V se vyrábí hodiny n prvním hodin n druhém stroji s nákldy Kč Disponibilní čsový fond prvního stroje je hodin druhého stroje hodin Vedení druţstv chce sestvit výrobní progrm kterým splní své závzky s minimálními nákldy Sestvte mtemtický model Podnik vyrábí čtyři výrobky má omezení ve třech surovinách Potřeb surovin n tunu jednotlivých výrobků disponibilní mnoţství surovin i ceny jednotlivých výrobků jsou uvedeny v tbulce V (t) V (t) V (t) V (t) Disponibilní mnoţství (t) S (t) S (t) 8 8 S (t) 8 Cen (Kč/t) 8 Je třeb sestvit optimální výrobní progrm tk by hodnot odbytu byl mimální Sestvte mtemtický model Jistá chemická firm vyrábí čtyři druhy hnojiv Při výrobě pouţívá mimo jiné látky N P K Údje o spotřebě jednotlivých látek n jeden kilogrm příslušného druhu hnojiv jejich disponibilní mnoţství výrobní cenu kg kţdého druhu hnojiv nleznete v tbulce Nplánujte výrobu tk by firm vyrobil ) co nejvíce hnojiv z Kč; b) co nejlevněji kg hnojiv Sestvte mtemtický model H (kg) H (kg) H (kg) H (kg) Disponibilní mnoţství (kg) N (kg) P (kg) K (kg) 9 8 Nákldy (Kč/kg)

67 Společnost zbývjící se výrobou pálených střešních tšek předpokládá n příští období odbyt svých výrobků v mimální výši 8 m (= 8h) Vyrábí čtyři druhy střešních tšek s různou spotřebou nedosttkové suroviny čsovou kpcitou strojního zřízení V dném období má k dispozici t suroviny hodin strojního zřízení V tbulce je uveden spotřeb suroviny strojního zřízení pro jednotlivé druhy tšek zisk z jejich výroby (vše vztţeno n m = h) Je třeb sestvit tkový výrobní progrm při kterém společnost dosáhne mimálního zisku Sestvte mtemtický model (h) (h) (h) (h) S (t) SZ (hod) 8 Zisk (Kč/h) Sestvte mtemtický model úlohy z předchozího cvičení z předpokldu ţe se mngement společnosti rozhodne v dném období pro výrobu právě 8 m tšek Krmná směs se skládá ze sen siláţe koncentrátů které obshují bílkoviny vápník vitmíny Obsh jednotlivých ţivin v grmech n kg příslušné sloţky krmné směsi minimální normy potřeby těchto ţivin jsou uvedeny v tbulce Máme určit optimální sloţení krmné směsi z podmínky minimální ceny jestliţe kg sen stojí Kč kg siláţe Kč kg koncentrátů Kč Sestvte mtemtický model Bílkoviny (g) Vápník (g) Vitmíny (mg) Seno (kg) Siláţ (kg) Koncentráty (kg) 8 Norm potřeby 8 Firm Nomo sro dostl zkázku n výrobu ţelezných regálů Má k dispozici tyčí o délce m které potřebuje rozřezt n spoje o délce cm cm Pro splnění této zkázky bude těchto tyčí o délce cm potřebovt lespoň 8ks tyčí o délce cm lespoň ks Moţné vrinty rozřezání tyčí jsou uvedeny v tbulce V V V V V cm cm Odpd (cm) Je třeb rozhodnout které z vrint kolikrát pouţít by bylo k dispozici dosttečné mnoţství tyčí v poţdovné délce součsně byl minimlizován ) odpd; b) počet výchozích tyčí; c) počet řezů Sestvte mtemtický model

68 Řešení úloh lineární progrmování Grfické řešení úloh lineárního progrmování Pokud mtemtický model úlohy lineárního progrmování obshuje pouze dvě strukturní proměnné můţeme nlézt mnoţinu přípustných řešení vyhledt n ní etrém účelové funkce pomocí grfického znázornění v rovině krtézské soustvy souřdnic Grfické řešení libovolné soustvy lineárních nerovnic se dvěm neznámými bylo vysvětleno v kpitole V úlohách lineárního progrmování je nutné ještě respektovt podmínky nezápornosti obou neznámých tzn uvţovt průnik příslušných polorovin pouze v I kvdrntu Kromě toho můţe soustv vlstních omezujících podmínek obshovt téţ rovnice (jejich grfickým znázorněním jsou přímky) tkţe obecně mnoţinu přípustných řešení tvoří průnik všech odpovídjících polorovin přímek I kvdrntu Neprázdný průnik polorovin přímek které jsou konveními útvry (s kţdými dvěm body v nich leţí i jejich spojnice) je opět konvení útvr který má konečný počet krjních bodů (vrcholů) který je buď omezený (pk jde o tzv konvení polyedr) nebo neomezený ento průnik budeme oznčovt jko mnoţinu M Příkld Blírny prţírny kávy DE s plánují pro následující období výrobu dvou směsí kávy Super Stndrd Pro výrobu obou směsí mjí přitom n toto období smluvně k dispozici od dodvtelů tři druhy kávových bobů (oznčme je K K K ) postupně v kpcitě tun Při výrobě je třeb dodrţovt technologické postupy které mimo jiné určují jké procento jednotlivých komponent bude pouţito při výrobě jednotlivých směsí coţ ukzuje následující tbulk bulk Sloţení vyráběných směsí kávy Super Stndrd Kávové boby K % % Kávové boby K % % Kávové boby K - % N zákldě nákldů vzhledem k předpokládné ceně obou směsí byl vyklkulován zisk který činí Kč resp Kč n tunu směsi Super resp Stndrd Nplánujeme výrobu firmy tk by dosáhl mimálního zisku určíme tento zisk Řešení Oznčme vyrobené mnoţství směsi Super (v tunách) vyrobené mnoţství směsi Stndrd (v tunách) Nším úkolem je tedy grficky vyřešit následující soustvu pěti lineárních nerovnic (tři vlstní omezení dvě podmínky nezápornosti) o dvou neznámých 8

69 ze všech přípustných řešení nlézt grficky tkové pro které je hodnot výrzu (účelové funkce předstvující zisk firmy) z mimální První tři nerovnice vyjádříme v úsekovém tvru: 8 Spolu s podmínkmi nezápornosti znázorníme tyto nerovnice jejich průnik grficky Obrázek Mnoţin přípustných řešení z příkldu Mnoţinu všech přípustných řešení M dné soustvy tedy tvoří vybrvený pětiúhelník ABCDE Otázkou zůstává který z bodů tohoto trojúhelník předstvuje optimální řešení z hledisk celkového zisku V postupu vedoucímu k zodpovězení této otázky zčneme tím ţe grficky znázorníme mnoţinu bodů které odpovídjí určitému vhodně zvolenému zisku Zvolme z tento zisk částku Kč Hlednou mnoţinou bodů bude zřejmě přímk která je dán rovnicí tj Zkreslíme tuto přímku do mnoţiny přípustných řešení 9

70 Obrázek Mnoţin všech bodů odpovídjících zisku Kč v příkldu Z obrázku je zřejmé ţe eistuje nekonečně mnoho uskutečnitelných výrobních progrmů (průnik přímky pětiúhelník) které přinesou zisk Kč (npř výrob pouze směsi Stndrd v mnoţství tun coţ odpovídá bodu E[ ]) Dále je třeb bychom si uvědomili ţe přímky které odpovídjí jiným ziskům mjí stejný normálový vektor jko přímk odpovídjící zisku Kč jsou s ní tudíţ rovnoběţné Dále je zřejmé ţe čím větší zisk tím víc je příslušná přímk posunut v nší soustvě souřdnic severovýchodním směrem Stčí si totiţ npř uvědomit ţe nulovému zisku odpovídá rovnoběţk procházející počátkem soustvy souřdnic Z této úvhy je zřejmé ţe optimálnímu řešení odpovídá bod C (viz obrázek ) Obrázek Optimální řešení příkldu

71 Souřdnice bodu C získáme řešením soustvy rovnic Sndno se přesvědčíme ţe = = 8 Dosdíme-li tyto hodnoty do cílové funkce získáme hodnotu 9 Firm tedy dosáhne mimálního zisku jestliţe bude vyrábět tun směsi Super 8 tun směsi Stndrd ento zisk bude činit 9 Kč Pozn Podle věty bychom mohli postupovt tk ţe určíme hodnotu cílové funkce pro všechn zákldní přípustná řešení kterými jsou (viz řešení příkldu ) všechny vrcholy dného pětiúhelník Souřdnice bodu D získáme podle obrázku řešením soustvy Odtud sndno máme = = tedy D[ ] Hodnoty cílové funkce odpovídjící jednotlivým přípustným zákldním řešením uvedeme přehledně v tbulce bulk Přípustné zákldní řešení Hodnot účelové funkce (zisku) vkč = = (bod A) z A = 8 = (bod B) z B 8 = = 8 (bod C) z 8 9 C = = (bod D) z D 8 = = (bod E) z ím je výsledek potvrzen E Je zřejmé ţe úloh lineárního progrmování nemusí mít právě jedno optimální řešení jko tomu bylo v předchozím příkldu Řešení můţe být tké nekonečně mnoho (v nšem příkldu by stčilo by přímky které vyjdřují zisk byly rovnoběţné s jednou ze strn pětiúhelník) V tkovém přípdě mluvíme o tom ţe má úloh lineárního progrmování lterntivní optimální řešení Nopk si jistě umíme předstvit přípdy kdy úloh LP nemá řešení coţ můţe nstt jednk tím ţe mnoţin přípustných řešení je prázdná jednk můţe být neuzvřená hodnot cílové funkce je tím pádem neomezená N dlších příkldech budeme některé zmíněné přípdy demonstrovt Příkld Řešme příkld pouze s tou změnou ţe zisk z prodeje jedné tuny směsi Super je Kč z jedné tuny směsi Stndrd je Kč Řešení Mnoţin přípustných řešení zůstne pochopitelně stejná viz obrázek Změní se poloh grfu účelové funkce v soustvě souřdnic protoţe účelová funkce vyjdřující zisk v závislosti n vyrobeném mnoţství obou směsí bude mít nyní tvr z

72 Dosdíme-li z z zisk Kč uprvíme n úsekový tvr dostneme Obrázek Mnoţin všech bodů odpovídjících zisku Kč v příkldu Zkreslíme-li tuto přímku do mnoţiny přípustných řešení vidíme ţe je rovnoběţná se strnou BC mnoţiny přípustných řešení Je tedy zřejmé ţe eistuje nekonečně mnoho optimálních řešení úlohy z příkldu která odpovídjí bodům úsečky BC - viz obrázek Dvě z těchto optimálních řešení jsou zákldní optimální řešení Jsou to řešení odpovídjící krjním bodům úsečky BC Libovolné optimální řešení můţeme vyjádřit pomocí prmetrického vyjádření úsečky Ze středoškolské nlytické geometrie víme ţe pro libovolný bod [ ] úsečky BC kde B[ B B ] C[ C C ] pltí: B B ( C ( C B ) k ( k) B B ) k ( k) k B C k Odtud pro libovolný vektor optimálního řešení opt plyne ţe přičemţ C k k) k k () opt ( B C B ( 8 ) C ( 8) Doszením libovolného optimálního řešení do účelové funkce dostneme mimální moţný zisk Dosdíme-li tedy npř optimální řešení odpovídjící bodu B máme z 8 m

73 Obrázek Optimální řešení příkldu Příkld Nlezneme pět rovnocenných optimálních řešení úlohy formulovné v příkldu Řešení Do vzthu () dosdíme npříkld z k postupně Máme 8 ( )(8 ) (8 ) 8 (8 ) (8 ) ( )(8 ) ( 8) ( 8 ( ( ( 8) 8) 8) 8) (8 ) ( ) ( ) ( ) ( 8) B C Příkld Firm usiluje o co největší úhrnný počet výrobků V V jejichţ prodejem by získl lespoň Kč Cen q výrobku V je Kč q V se prodává z Kč Výrobek V vyţduje speciální výrobní zřízení které umoţňuje jeho výrobu v rozshu nejvýše kg Jké mnoţství výrobků V V má firm vyrábět? Řešení Mtemtický model bude mít dvě strukturní proměnné to (mnoţství výrobků V v q) (mnoţství V v q) yto proměnné jsou omezeny podmínkmi

74 Nším úkolem je njít tkové řešení této soustvy které mimlizuje funkci z = + Mnoţin přípustných řešení M je znázorněn n obrázku z něhoţ je zřejmé ţe tto mnoţin je neuzvřená Z z dosdíme postupně resp čímţ dostneme dvě přímky vyjdřující mnoţinu bodů které odpovídjí řešením jeţ znmenjí výrobu celkemq resp q výrobků Poloh těchto přímek je n obrázku rovněţ vyznčen Je zřejmé ţe dná účelová funkce můţe neomezeně vzrůstt úloh tudíţ nemá řešení Z obrázku je dále vidět ţe minimum účelové funkce z uvedených podmínek eistuje je reprezentováno bodem A Obrázek Mnoţin přípustných řešení z příkldu Grfické řešení úloh lineárního progrmování je velmi názorné nicméně neumoţňuje řešit úlohy ve kterých se objeví více neţ dvě strukturní proměnné V dlším se budeme zbývt metodmi lgebrickými které uvedený omezující nedosttek nemjí Algebrické řešení úloh lineárního progrmování Z dosud provedených úvh je zřejmé jk bychom mohli postupovt při lgebrickém (početním) řešení úloh lineárního progrmování (LP) V odstvci jsme ukázli postup při určování zákldních řešení soustvy rovnic kterých je podle věty konečný počet Jestliţe má úloh lineárního progrmování optimální řešení stčí podle věty nlézt poţdovný etrém účelové funkce n mnoţině zákldních řešení úlohy lineárního

75 progrmování která tvoří podle definic dokonce pouze podmnoţinu mnoţiny zákldních řešení příslušné soustvy rovnic Moţná cest je tedy následující: ) sestvit přidruţenou soustvu rovnic k vlstním omezením úlohy LP; ) nlézt všechn zákldní řešení přidruţené soustvy rovnic; ) doszováním přípustných zákldních řešeních úlohy LP do účelové funkce nlézt to (t) řešení při kterém (kterých) účelová funkce nbývá poţdovné etrémní hodnoty to cest je tedy moţná le musíme si uvědomit ţe při rozsáhlejších úlohách jen těţko schůdná protoţe npř soustv rovnic s deseti proměnnými pěti omezeními můţe mít ţ zákldních řešení soustv deseti rovnic s pdesáti proměnnými můţe mít přes milird zákldních řešení td Postup řešení by se jistě velmi zefektivnil pokud bychom nšli metodu při které bychom se zbývli hledáním pouze přípustných zákldních řešení Pokud bychom nvíc měli zručeno ţe kţdé nově určené přípustné zákldní řešení dává lepší hodnotu účelové funkce neţ to předchozí bylo by to skvělé A právě tkovou metodu popsl v polovině minulého století G B Dntzig který ji nzvl simpleová metod Podstt jejího lgoritmu je znázorněn n obrázku Obrázek Vývojový digrm výpočetního postupu podle simpleové metody v přípdě ţe úloh má lespoň jedno řešení Zčátek Nlezení výchozího přípustného zákldního řešení Je toto řešení optimální? + Je to jediné optimální + řešení? - - Nlezení nového přípustného zákldního řešení s lepší hodnotou účelové funkce Určení všech optimálních řešení Konec

76 Jednofázová simpleová metod O jednofázové simpleové metodě mluvíme v přípdě ţe všechn vlstní omezení úlohy jsou vyjádřen nerovnicemi typu součsně jsou všechny prvé strny nezáporné Přidruţená soustv rovnic je potom přímo v knonickém tvru tím pádem je okmţitě vidět jedno její zákldní řešení které je přípustným zákldním řešením úlohy lineárního progrmování můţeme ho tedy pokládt z výchozí Je to řešení v němţ jsou zákldními (nevolitelnými) proměnnými přídtné proměnné První fáze simpleové metody - nlezení výchozího zákldního řešení zde tedy prkticky odpdá Celý výpočet optimálního řešení simpleovou metodou se provádí v tzv simpleové tbulce Její výchozí tvr ukzuje tbulk bulk Výchozí simpleová tbulk při jednofázové simpleové metodě Báze n n+ n+ n+m b i n+ n b n+ n b n+m m m mn b m z -c -c -c n Je zřejmé ţe vnitřek tbulky tvoří rozšířená mtice přidruţené soustvy rovnic plus řádek v němţ jsou uvedeny opčné hodnoty cenových koeficientů - jedná se vlstně o koeficienty u příslušných proměnných při zápisu účelové funkce v nulovném tvru Záhlví řádků tvoří zákldní proměnné které vytvářejí tzv bázi Ve výchozí simpleové tbulce jsou to přirozeně přídtné proměnné Výchozím zákldním řešením je vektor b b bm ento vektor odpovídá npř výrobnímu plánu při němţ se nevyrábí ni jeden z n výrobků (prvních n nul) tudíţ všech m výrobních činitelů zůstne k dispozici v původním mnoţství (hodnoty b ţ b m ) Odpovídjící hodnot účelové funkce je vidět v prvém dolním rohu tbulky logicky je při tomto výchozím řešení nulová Definice Řádek simpleové tbulky s nulovnou rovnicí účelové funkce budeme nzývt indením řádkem Koeficienty u jednotlivých proměnných v indením řádku budeme nzývt indeními čísly Vět (kritérium optimálnosti) V mimlizčních (minimlizčních) úlohách je optimální hodnoty účelové funkce dosţeno tehdy kdyţ všechn indení čísl jsou nezáporná (nekldná) Pokud příslušné řešení úlohy LP není optimální přejdeme postupem známým z Jordnovy eliminční metody k novému přípustnému zákldnímu řešení které má lepší hodnotu účelové funkce coţ je zjištěno způsobem zvolení nové mnoţiny zákldních proměnných - nové báze Ve stávjící bázi nhrdíme jednu zákldní proměnnou (vystupující proměnná) jinou (vstupující proměnná) Z vstupující proměnnou volíme podle věty tu nezákldní proměnnou u které je nejvíc porušeno kritérium optimálnosti tj tu jeţ má v posledním řádku nejmenší zápornou hodnotu u mimlizční úlohy největší kldnou u minimlizční

77 Definice Sloupec vstupující proměnné se nzývá klíčový sloupec řádek vystupující proměnné má název klíčový řádek V průsečíku klíčového řádku klíčového sloupce je tzv klíčové pole číslo v něm je tzv klíčový prvek Vět V mimlizčních (minimlizčních) úlohách do řešení vstoupí proměnná která má v indením řádku nejniţší záporné (největší kldné) číslo Pozn Uvţujme mimlizční úlohu V prvním kroku lgoritmu jde ve větě o proměnnou která má v původním nenulovném tvru účelové funkce největší kldný koeficient V dlších krocích lze uvedené prvidlo odvodit z tvru účelové funkce zpsné do indeního řádku tzn z rovnice z u kde B je mnoţin indeů nezákldních proměnných γ k kb k k jsou indení čísl těchto proměnných u je hodnot účelové funkce v příslušném kroku Uvedený zápis je totoţný s rovnicí z u ze které je ptrné proč se hodnot kb účelové funkce nejvíce zvýší po zřzení proměnné s nejniţším záporným indením číslem Anlogická úvh pltí i pro minimlizční úlohy Vět Klíčový řádek v mimlizčních i minimlizčních úlohách je určen nejmenším podílem prvých strn rovnic odpovídjících kldných koeficientů v klíčovém sloupci Pozn Z báze tedy vystoupí proměnná pro kterou vyjde nejmenší podíl čísel ve sloupci prvých strn odpovídjících kldných koeficientů v klíčovém sloupci Jestliţe toto prvidlo porušíme ve sloupci prvých strn se objeví záporné číslo tzn některá ze zákldních proměnných bude záporná Vět Úloh lineárního progrmování má neomezenou hodnotu účelové funkce pokud jsou všechny koeficienty klíčového sloupce nekldné Po určení vstupující vystupující proměnné pomocí ekvivlentních řádkových úprv přepočítáme simpleovou tbulku tk by z ní bylo vidět zákldní řešení odpovídjící nově vytvořené bázi coţ jk víme znmená uprvit tbulku do tkového tvru v němţ je v klíčovém sloupci jednotkový vektor s jednotkou v klíčovém poli Popsný postup opkujeme tk dlouho dokud nezískáme optimální řešení nebo nezjistíme ţe úloh řešení nemá V následujícím příkldu ukáţeme konkrétní postup v přípdě jediného optimálního řešení úlohy Příkld Ukáţeme řešení úlohy zdné v příkldu (výrob dvou směsí kávy) Řešení Připomeňme ţe mtemtický model této úlohy vypdá tkto: vyrobené mnoţství směsi Super (v tunách) vyrobené mnoţství směsi Stndrd (v tunách) k k

78 z j 8 j m Po převedení vlstních omezení n soustvu rovnic dostáváme j j bulk Výchozí simpleová tbulk z příkldu Báze b i podíly z - - odpovídá výrobnímu progrmu ve kterém se nebude vyrábět ni směs Super ni Stndrd přičemţ zůstne k dispozici tun K (kávových bobů prvního druhu) tun K tun K coţ pochopitelně přinese nulový zisk tedy z = Poznmenejme ještě ţe toto řešení odpovídá vrcholu A pětiúhelník z grfického řešení obrázek Protoţe toto řešení není evidentně optimální (viz záporná indení čísl) nlezneme jiné s vyšší hodnotou účelové funkce Sndno zjistíme ţe vstupující proměnná je v této fázi vystupující (příslušné podíly jsou uvedeny v doplněném sloupci) Vektor výchozího zákldního řešení bulk Simpleová tbulk z příkldu po prvním přepočtu Báze b i podíly 8-8 z - 8 které odpovídá výrobě 8 tun směsi Super přičemţ se nespotřebuje tun K tun K Firm dosáhne v tomto přípdě zisku Kč (z = ) omuto výrobnímu progrmu odpovídá v grfickém řešení vrchol B Jelikoţ ni toto řešení není optimální provedeme dlší přepočet Z této tbulky je vidět dlší zákldní řešení bulk Výsledná simpleová tbulk z příkldu Báze b i z 9

79 Protoţe v indením řádku jsou smé nezáporné hodnoty vyjdřuje tto tbulk optimální řešení které je určeno vektorem opt 8 z z 9 m Ekonomická interpretce tohoto výsledku je následující: optimální výrobní progrm firmy z hledisk zisku je vyrábět tun směsi Super 8 tun směsi Stndrd s tím ţe zisk je 9 Kč ţe nvíc při této výrobě zůstne tun K Je zřejmé ţe u grfického řešení odpovídá tomuto řešení vrchol C Součsně si povšimněte toho ţe řešení simpleovou metodou dává úplnější informci o příslušném zákldním řešení totiţ informci o příslušných hodnotách přídtných proměnných které vyjdřují obecně nevyuţití odpovídjícího zdroje Dvoufázová simpleová metod Dvoufázovou simpleovou metodu můţeme upltnit při řešení úloh lineárního progrmování které mjí některá omezení ve tvru nerovnice typu nebo rovnice V tomto přípdě je po vyjádření všech vlstních omezení ve tvru rovnic nutné pro získání knonického tvru soustvy vlstních omezení zvést ještě tzv pomocné (umělé) proměnné Je zřejmé ţe soustv omezení která je rozšířená o umělé proměnné je ekvivlentní s původní soustvou rovnic právě tehdy kdyţ všechny umělé proměnné jsou rovny nule Vynulování umělých proměnných lze dosáhnout právě tzv dvoufázovou simpleovou metodou kdy v fázi minimlizujeme součet umělých proměnných (tzv pomocnou účelovou funkci) v přípdě ţe dosáhneme její nulové hodnoty (vynulování všech pomocných proměnných) nlezneme přípustné výchozí zákldní řešení Následně přejdeme k fázi výpočtu kdy v simpleové tbulce vynecháme sloupce umělých proměnných řádek s pomocnou účelovou funkcí hledáme etrém původně zdné účelové funkce Vět Úloh lineárního progrmování nemá přípustné řešení pokud je minimum pomocné účelové funkce kldné Příkld Podnik n výrobu ţelezných konstrukcí potřebuje z dvoumetrových tyčí nřezt lespoň tyčí délky cm lespoň 8 tyčí délky 8cm Jk má tyče řezt by získl poţdovný počet krtších tyčí s minimálním odpdem Budeme vycházet z předpokldu ţe neuvţujeme způsoby řezání dvoumetrových tyčí s odpdem větším neţ cm Řešení Mtemtický model téměř stejné úlohy LP jsme sestvili v řešení příkldu Zde je nvíc omezené mnoţství výchozích dvoumetrových tyčí bulk Řezné plány úlohy z příkldu V V Délk (cm) Délk 8 (cm) Odpd (cm) Neznámými veličinmi j jsou počty dvoumetrových tyčí řezných podle vrinty V j j = Hledáme tkové řešení soustvy nerovnic 9

80 kde N které minimlizuje funkci z Přidruţená soustv rovnic v knonickém tvru je 8 8 Proměnné jsou přídtné proměnné jsou umělé Pomocná účelová funkce kterou máme v první fázi minimlizovt má tvr z Anulovnou rovnici pomocné účelové funkce přidáme do výchozí simpleové tbulky pod řádek s nulovnou rovnicí původní účelové funkce z = min (viz část tbulky ) Aby umělé proměnné které jsou ve výchozím řešení zákldními proměnnými měly jednotkové vektory koeficientů včetně řádku s pomocnou účelovou funkcí vyloučíme je před zhájením výpočtu z řádku z tk ţe k němu přičteme řádek V fázi výpočtu o zřzovných proměnných rozhodují čísl v řádku z Po kroku simpleového lgoritmu tento řádek obshuje pouze nekldná čísl tkţe bylo dosţeno minimální to nulové hodnoty pomocné účelové funkce tedy i nulových hodnot obou umělých proměnných Protoţe po vynechání sloupců umělých proměnných v indením řádku z téţ není ţádné kldné číslo bylo součsně dosţeno minim původní účelové funkce bulk Báze b j z - z - - Uprv z z - z z - z - - 8

81 Optimální řešení je tedy dáno vektorem opt (8 ) omuto řešení odpovídá hodnot účelové funkce z Minimálního odpdu cm bude dosţeno jestliţe 8 dvoumetrových tyčí se rozřeţe podle řezné vrinty tyče podle vrinty tkţe zbude nerozřezných tyčí ( = ) Počet získných tyčí délky cm 8cm bude n jejich dolní poţdovné hrnici ( = = = ) V poslední části tbulky je u nezákldní proměnné odpovídjící indení číslo rovno nule Jednoduchou úvhou dojdeme k závěru ţe pokud bychom v dlším kroku simpleové metody zvolili z vstupující proměnnou právě podle věty určili vystupující proměnnou dostneme nové zákldní řešení které bude mít stejnou hodnotu účelové funkce - bude tedy tké optimální Oznčme jej řekněme opt Podle úvh v řešení příkldu by tedy v tkovém přípdě bylo optimální i kţdé dlší řešení které lze získt konvení lineární kombincí () vektorů opt opt Jen je třeb si uvědomit ţe v tomto přípdě bude počet všech optimálních řešení konečný protoţe vzhledem k chrkteru proměnných přicházejí v úvhu pouze jejich celočíselné hodnoty bulk Určení lterntivního zákldního řešení Báze b j - 8 z z - Je tedy opt = (8 ) oto řešení odpovídá situci kdy bude 8 tyčí rozřezáno podle první vrinty podle druhé Spotřebují se tedy všechny výchozí tyče s tím ţe půlmetrových tyčí bude vyrobeno o víc neţ je poţdováno tyčí o délce 8cm vznikne přesně tolik kolik bylo poţdováno Pouţitím vzthu () nkonec nlezneme mnoţinu všech optimální řešení úlohy LP z tohoto příkldu (8 ) (8 ) (8 8 ) (8 ) (8 8 9 (8 9 8 ) (8 ) (8 8 ) (8 ) (8 ) (8 8 ) (8 (8 ) (8 ) ) ) Vět Úloh lineárního progrmování má lterntivní optimální řešení jestliţe všechn indení čísl vyhovují podmínkám optimálnosti součsně je lespoň jedno indení číslo u nezákldní proměnné rovno nule 8

82 Cvičení Řešte grficky úlohu ze cvičení Řešte grficky úlohu ze cvičení Řešte grficky následující úlohu LP Nlézt mimum funkce z podmínek z j 9 8 j Řešte úlohu ze cvičení Podnik vyrábí pět výrobků má omezení ve dvou surovinách v čsové kpcitě slévárny Potřeb surovin n q výrobku čsové nároky jednotlivých výrobků n slévárnu jsou uvedeny v tbulce V (q) V (q) V (q) V (q) V (q) Disponibilní mnoţství (q) S (q) 8 S (q) Slévárn (hod) Zisk (Kč/q) Sestvte výrobní progrm s mimálně dosţitelným ziskem Řešte úlohu ze cvičení Řešte úlohu ze cvičení 8 Řešte úlohu ze cvičení 9 Řešte úlohu ze cvičení 8 Řešte úlohu z příkldu Řešte příkld z předpokldu ţe výchozích tyčí je k dispozici pouze 8

83 8 Dulit úloh lineárního progrmování Ke kţdé úloze lineárního progrmování lze podle určitých prvidel sestvit úlohu s ní sdruţenou Jednu z této dvojice sdruţených úloh nzýváme primární úloh druhou duální úloh Obě úlohy jsou rovnocenné v tom smyslu ţe duální úloh k duální úloze je totoţná s primární úlohou Čsto proto hovoříme spíše o dvojici duálně sdruţených úloh Mezi dvěm duálně sdruţenými úlohmi eistuje celá řd vzeb které se ukzují jko uţitečné při řešení úloh LP i ekonomické interpretci řešení těchto úloh 8 Symetrická dulit Uvţujme úlohu LP popsnou mtemtickým modelem A b o z c m kde A je mtice strukturních koeficientů typu m n; je n-sloţkový sloupcový vektor proměnných; b je m-sloţkový sloupcový vektor poţdvkových čísel; c je n-sloţkový řádkový vektor cenových koeficientů; o je n-sloţkový sloupcový nulový vektor (8) Definice 8 Nechť y ( y y y ) Úlohu LP s mtemtickým modelem m A y c y o f y b min nzýváme symetricky duálně sdruţenou s úlohou (8) (8) Příkld 8 Předstvme si ţe společnost zbývjící se výrobou kávy z příkldu se z nějkých důvodů rozhodl odprodt své zásoby surovin (tři druhy kávových bobů K K K postupně v kpcitě tun) V tom přípdě se přirozeně zbývá problémem určení prodejní ceny jednotlivých surovin Společnost chce by prodejní cen kţdé suroviny byl přinejmenším tková jkou by se dná surovin podílel n mimálním moţném zisku z prodeje jednotlivých druhů kávy Z těchto podmínek se relisticky uvţující mngement společnosti spokojí s minimální celkovou částkou inksovnou z prodeje surovin Sestvíme mtemtický model tkové úlohy Řešení Oznčme y i prodejní cenu jedné tuny suroviny K i kde i = Hledáme tkové hodnoty těchto proměnných které (podle zdání údjů z tbulky ) splňují podmínky: 8

84 y y součsně minimlizují funkci f y y y y i y i y y Je zřejmé ţe úlohy LP formulovné v příkldech () (8) jsou symetricky duálně sdruţené Vidíme tedy ţe mezi dvojicí symetricky duálně sdruţených úloh neeistují pouze formální vzthy jk by se zdálo z definice 8 le i vzthy věcné Vzthy mezi dvěm symetrickými duálně sdruţenými úlohmi jsou přehledně zpsány v tbulce 8 Pouze ze zvyku oznčme úlohu s proměnnými jko úlohu primární (klidně by to mohlo být i nopk) bulk 8 Vzthy mezi dvěm symetrickými duálně sdruţenými úlohmi Primární úloh Duální úloh Počet proměnných n m Počet vlstních omezení m n Mtice strukturních koeficientů A A Vektor poţdvků b c Vektor cen c b yp omezení Nezápornost proměnných no no yp etrému účelové funkce m min Pozn Jestliţe jsou některá vlstní omezení mimlizční úlohy typu před formulcí úlohy duálně sdruţené je musíme převést n omezení typu vynásobením číslem (-) Podobně jestliţe jsou v minimlizční úloze omezení typu musíme je převést n omezení typu vynásobením číslem (-) Příkld 8 Ukáţeme si formulci duální úlohy k úloze LP popsné mtemtickým modelem z 8 j 8 min j Řešení Poslední z vlstních omezení je tedy třeb vynásobit číslem (-) Ve sloupcích tbulky 8 jsou potom uvedeny obě duálně sdruţené úlohy přičemţ v řádcích této tbulky jsou vţdy dvojice omezení které si odpovídjí oznčují se jko dvojice duálně sdruţených omezení 8

85 bulk 8 Dvojice duálně sdruţených omezení Primární model Duální model z 8 min f 8y y y y m 8 y y y y y y y y y y y y 8 8 Nesymetrická dulit Pokud se v mtemtickém modelu úlohy LP objeví ve vlstních omezeních některá podmínk ve tvru rovnice lze při sestvování mtemtického modelu duálně sdruţené úlohy postupovt tk jk ukzuje následující příkld Příkld 8 K úloze LP z 9 m j j Sestvíme úlohu duálně sdruţenou Řešení První vlstní omezení lze chápt zpst jko soustvu dvou nerovnic Všechn vlstní omezení dné úlohy lze tedy zpst jko nebo ekvivlentně 9 9 Dostáváme tedy úlohu LP (ekvivlentní s úlohou ze zdání příkldu) 8

86 z 9 m j j K tkto formulovné úloze eistuje podle definice 8 symetrická duálně sdruţená úloh ve tvru: f y y y y y y y y y y y 9y y i min i uto úlohu lze zpst pouze pomocí dvou strukturních proměnných u y y u y Máme f u u u u u u 9u u u min to poslední formulce úlohy je ekvivlentní s předchozí formulcí pomocí proměnných y i Lze tedy tuto úlohu LP oznčit z úlohu duálně sdruţenou k zdné úloze přehledně sepst odpovídjící dvojice sdruţených omezení Z upozornění stojí ţe proměnná u nemusí být nutně nezáporná (rozdíl dvou nezáporných čísel nemusí být číslo nezáporné) bulk 8 Dvojice duálně sdruţených omezení z příkldu 8 Primární model Duální model z m f u u min 9 u R u u u u u u 9u Vět 8 Jestliţe některá vlstní omezující podmínk primární úlohy je dán rovnicí odpovídjící duální proměnná nemusí být nezáporná Skutečnost ţe v duální úloze nemusí být strukturní proměnná nezáporná chápeme jko nrušení symetrie přičemţ z totéţ lze jistě povţovt i výskyt rovnice v primárním modelu 8

87 Uvţujme nyní úlohy LP popsné mtemtickými modely A b o z c A b o z c m min kde A je mtice strukturních koeficientů typu m n; je n-sloţkový sloupcový vektor proměnných; b je m-sloţkový sloupcový vektor poţdvkových čísel; c je n-sloţkový řádkový vektor cenových koeficientů; o je n-sloţkový sloupcový nulový vektor (8) (8) Definice 8 Nechť y ( y y y ) Úlohu LP s mtemtickým modelem resp m A y c f y A y c f y b min b m nzýváme nesymetricky duálně sdruţenou s úlohou (8) resp (8) Pozn Jestliţe se v mtemtickém modelu úlohy LP vyskytují vlstní omezení součsně ve tvru rovnic i nerovnic my prcujeme i s úlohou duální mluvíme o jejich vzthu jko o smíšené dulitě - viz příkld 8 8 Vzthy mezi řešením duálně sdružených úloh N zčátku této kpitoly jsme konsttovli ţe dulit je vzth uţitečný Uveďme nyní několik vět které popisují vlstnosti řešení duálně sdruţených úloh Ve všech větách tohoto odstvce uvţujme dvojice duálně sdruţených úloh definovných vzthy (8) (8) Vět 8 Má-li jedn z dvojice duálně sdruţených úloh jediné optimální řešení které je nedegenerovné má jediné nedegenerovné optimální řešení i úloh druhá optimální hodnoty obou účelových funkcí jsou stejné (z m = f min ) 8

88 Vět 8 Má-li jedn z dvojice duálně sdruţených úloh jediné optimální řešení které je degenerovné má druhá úloh lterntivní optimální řešení optimální hodnoty obou účelových funkcí jsou stejné (z m = f min ) Vět 8 Má-li jedn z dvojice duálně sdruţených úloh neomezenou hodnotu účelové funkce druhá úloh nemá přípustné řešení Vět 8 Nemá-li jedn z dvojice duálně sdruţených úloh přípustné řešení druhá úloh nemá optimální řešení Dlší dvě věty říkjí ţe řešením jedné ze sdruţených úloh získáme i řešení druhé úlohy optimální hodnoty duálních proměnných njdeme v indením řádku výsledné simpleové tbulky primární úlohy Vět 8 Optimální hodnoty strukturních proměnných duální úlohy se rovnjí bsolutním hodnotám indeních čísel primárních přídtných proměnných Vět 8 Optimální hodnoty přídtných proměnných duální úlohy se rovnjí bsolutním hodnotám indeních čísel primárních strukturních proměnných Příkld 8 Pomocí uvedených vět nlezneme optimální řešení úlohy LP z příkldu 8 Řešení Indení řádek výsledné simpleové tbulky řešení primární úlohy (viz řešení příkldu ) má tvr: bulk 8 Báze b i z 9 bulk 8 Určení optimálního řešení duálně sdruţených úloh Primární úloh Strukturní proměnné Přídtné proměnné z m z 9 y y y y y f min Přídtné proměnné Strukturní proměnné Duální úloh bulk 8 pk byl sestven s vyuţitím vět je z ní ptrné optimální řešení úlohy LP z příkldu 8 y opt ( ) f min 9 88

89 Firm by tedy z dných měl prodt tunu kávových bobů K z Kč tunu kávových bobů K z Kč kávové boby K by pk neměl prodávt vůbec Prodejní cen kţdé suroviny je přesně tková jkou by se dná surovin podílel n zisku z prodeje jednotlivých druhů kávy pokud by se káv vyráběl Celkově by firm z prodné suroviny získl 9 Kč Vzhledem k tomu ţe dulit je vzth vzájemný je zřejmé ţe vyřešením kterékoliv z dvojice duálně sdruţených úloh získáme součsně řešení úlohy druhé Můţeme si tedy vybrt kterou z dvojice duálně sdruţených úloh řešit Vět 8 (o rovnováze) Mějme dvojici symetrických duálně sdruţených úloh tkovou ţe kţdá z nich má právě jedno optimální řešení Nechť je = n přípustné řešení primární úlohy y = y y ym přípustné řešení příslušné duální úlohy to řešení jsou optimální tehdy jen tehdy kdyţ pltí: y y j j i i m i m i n j n j ij ij ij ij y y i i j j c c b i b i j j Pozn Dvojice přípustných řešení duálně sdruţených úloh s dnými vlstnostmi je tedy podle věty o rovnováze optimální tehdy jen tehdy kdyţ pro všechny dvojice sdruţených omezení pltí: je-li jedno z dvojice duálně sdruţených omezení splněno jko ostrá nerovnost je druhé omezení splněno jko rovnost nopk Příkld 8 Ověříme ţe optimální řešení dvojice duálně sdruţených úloh z příkldů 8 splňují větu o rovnováze Řešení Pro primární úlohu máme j j Pro duální úlohu potom opt 8 89

90 y y y opt y y y ( y i i ) Řešení jsou nedegenerovná jsou tedy splněny předpokldy věty o rovnováze Dosdíme postupně optimální řešení obou úloh do jednotlivých dvojic duálně sdruţených omezení bulk 8 Vět o rovnováze Primární úloh Duální úloh 8 > 8 > 8 = > 8 > Vypočtená optimální řešení tedy splňují větu o rovnováze Příkld 8 Ukáţeme si jk lze pomocí vět o dulitě vyuţít grfického řešení k nlezení optimálního řešení úlohy LP se čtyřmi strukturními proměnnými Máme nlézt mimum funkce z podmínek z 8 j j Řešení Duální úloh: nlézt minimum funkce z podmínek uto úlohu vyřešíme grficky y y y y f y y y y y y y i 8 i 9

91 Obrázek 8 Řešení duální úlohy Je tedy optimální řešení v bodě A f min Souřdnice bodu A získáme zřejmě řešením soustvy y y y y 8 Sndno vypočítáme ţe A[ ] tedy y opt = ( ) Podle věty 8 eistuje jediné optimální řešení primární úlohy pltí ţe optimální hodnot účelové funkce z m = - Jelikoţ doszením y opt do prvního čtvrtého vlstního omezení dostneme ostré nerovnosti pltí podle věty 8 ţe opt opt opt opt Protoţe je dále y y pltí podle téţe věty ţe příslušná vlstní omezení primární úlohy (první druhé) jsou splněn jko rovnosti tj Řešením této soustvy získáváme opt opt opt opt 9 opt opt Jediným optimálním řešením dné (primární) úlohy je tedy opt 9 zm 9