BULLETIN ČESKÁ SPOLEČNOST PRO MECHANIKU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "BULLETIN ČESKÁ SPOLEČNOST PRO MECHANIKU"

Transkript

1 BULLETIN ČESKÁ SPOLEČNOST PRO MECHANIKU 010

2 B U L L E T I N /10 Česká společost pro mechaiku Asociovaý čle Europea Mechaics Society (EUROMECH) Předseda Redakce časopisu Jazyková korektura Prof. Ig. Miloslav Okrouhlík, CSc. Ig. Jiří Dobiáš, CSc. Dolejškova 140/5, Praha 8 Ústav termomechaiky AV ČR, v.v.i. tel , fax RNDr. Eva Hrubatová Tajemice sekretariátu Ig. Jitka Havlíová Sekretariát Dolejškova 140/5, Praha 8 tel , tel./fax Domovská stráka IČO Společosti Bulleti je urče čleům České společosti pro mechaiku. Vydává Česká společost pro mechaiku, Dolejškova 140/5, Praha 8 - Libeň Vychází: 3x ročě Místo vydáváí: Praha De vydáí: 30. září 010 ISSN Evid. č. UVTEI MK ČR E Tiske: ČVUT Praha, CTN Česká techika, Nakladatelství ČVUT, Thákurova 1, Praha 6

3

4 Pozámky k diskrétím strukturám a odpovídajícím kotiuálím modelům Remarks o the Discrete Structures ad Correspodig Cotiuum Models Cyril Höschl Summary Two examples are discussed i the paper. I the first oe, the vibratios i a thi rod ad i a correspodig oedimesioal lattice structure are thoroughly aalyzed. The restorig iteractive forces actig o particles of mass stem either from liear sprigs coectig the adjoiig particles or they are derived from a potetial. It is to be show i the latter case that uder certai coditios the vibratios of the same frequecy but with differet wave umber ca be geerated. The secod example is cocered with problem of calculatig the deformatio of a straight rail which ca be regarded as a beam lyig either o cotiuous Wikler elastic foudatio, or more likely o equidistat railroad ties. The differeces betwee solutios i both cases are aalysed. Úvod Zeptáme-li se ěkoho, kdo je vzdělá v humaitárích vědách, co považuje za opak slova diskrétí, odpoví, že idiskrétí. Zeptáme-li se zalce mechaiky, pravděpodobě alespoň ěkterý řeke, že opakem je slovo spojitý. My budeme mít v tomto příspěvku a mysli právě teto druhý případ. Při výpočtu statických deformací i vibrací modelujeme ěkdy pravidelé struktury složeé z jedotlivých kostrukčích prvků jako soustavy s koečým počtem stupňů volosti, jidy je zjedodušujeme tím, že je ahrazujeme spojitým hladkým modelem, který má těchto stupňů ekoečý počet. Někdy postupujeme obráceě. Záleží a tom, jaké výsledky sledujeme a jakou požadujeme jejich přesost, a ovšem také a tom, jaké výpočtové prostředky máme

5 k dispozici. Na jedoduchých příkladech uvedeme rozdíly, které takovým postupem vzikají. Nejprve se budeme zabývat řešeím podélých vibrací v ekoečé teké elastické homogeí tyči. Platí-li Hookeův záko, je teorie vibrací s malými amplitudami lieárí a řešeí je sadé. Je uvedeo sad v každé učebici auky o kmitáí. Šíří-li se takovou tyčí vla, eměí svůj tvar. Říkáme, že prostředí je bezdisperzí. Pro umerický výpočet ahrazujeme kotiuálí tyč apříklad soustavou (řetězcem) hmotých bodů spojeých pružiami. Tyto hmoty jsou odděleé, soustava je proto diskrétí. Vykazuje disperzi obecého tvaru vly, protože rychlost šířeí každé její harmoické složky závisí a frekveci této složky. Jelikož jde o úpravu fyzikálího modelu, mluvíme o fyzikálí diskretizaci. Někdy zasahujeme obdobým způsobem do matematického modelu. Řešíme apříklad deformaci pružého prostě podepřeého osíku, který má espočeté možství stupňů volosti. Průhybovou čáru můžeme vyjádřit třeba Fourierovou řadou a amplitudy jedotlivých harmoických složek považovat za zobecěé souřadice. Těch bude rověž ekoečě moho, ale jejich možství bude spočeté. Když se spokojíme jeom se složkami ižších řádů, budeme mít zobecěých souřadic koečý počet. Samozřejmě tím poěkud utrpí přesost výpočtu. Zde však k odděleí kompoet kostrukce edochází, proto ejde o diskrétí soustavu ve fyzikálím, ale je matematickém smyslu slova. Jestliže však takový osík leží a pražcích a ty spočívají a pružém podkladu, pak jde fyzikálě o diskrétí soustavu (pražce jsou odděleé kostrukčí prvky), kterou můžeme k usaděí výpočtu přibližě ahradit spojitým pružým podkladem. To ukážeme a druhém příkladu. Netřeba pozameat, že úlohy z mechaiky kotiua vedou a soustavy parciálích difereciálích rovic, kdežto úlohy o diskrétích modelech s koečým počtem stupňů volosti se obvykle řeší s použitím matic. Jde-li o pravidelé kostrukčí struktury, můžeme hledaá řešeí ěkdy výhodě získat řešeím příslušých diferečích rovic. Ve svém pojedáí se omezíme a jedorozměré struktury. K výpočtu kmitáí řetězců vyjdeme z lieárích ebo z liearizovaých rovic. V takovém případě je 3

6 výhodé použít komplexí proměé. Ty lze vektorově zázorit v Gaussově roviě. iϕ Například komplexí číslo z = x + iy = re = r(cosϕ + i siϕ) lze zázorit vektorem r o složkách x = r cosϕ, y = r siϕ. Odtud ihed plye vztah, který budeme později potřebovat: N 1 πi / k N e k = 0 = 0, resp. N 1 k = 0 e πikp / N = 0. (1) Jedotlivé sčítace jsou totiž jedotkové vektory avzájem pootočeé o úhly π/n (resp. jejich p-ásobky, p je celé číslo), které tvoří uzavřeý polygo (jejich výsledice je ulová). V Gaussově roviě je rověž ihed zřejmé, že umocěí komplexího čísla zameá eje změu délky příslušého vektoru, ale i jeho otočeí, eboť z iϕ iϕ = r (e ) = r e, a tedy z = r (cosϕ + i siϕ) = r (cos ϕ + i siϕ). () V této rovici pozáváme zámou Moivreovu poučku. Stačí krátit výrazem r = 1. r ebo volit Vlěí v jedorozměrém řetězci modelujícím pružou tekou tyč Na obr. 1 je zázorěa soustava hmotých bodů o stejé hmotosti m, spojeých lieárími pružiami s tuhostí (pružiovou kostatou) k. Rozteč bodů je a. m k k m k m k u -1 u 0 u +1 Obr. 1 Má-li být tato soustava modelem pružé teké tyče s modulem pružosti E, průřezem S a hustotou ρ, musí být 4

7 ES k =, m = ρsa. (3) a Budeme předpokládat, že řetězec je ekoečý; posuvy hmotých bodů budou tvořit posloupost K, u, u uk. Pohybová rovice pro -tou hmotu bude u 1 0 1, d u m = k( u 1 1) + u + u. (4) dt Dosadíme-li (3) do (4) a přejdeme k limitě rovici 1 a 0, dostaeme parciálí difereciálí t u E u = ρ x platou pro tekou pružou tyč. Je to dobře zámá vlová rovice, jejíž obecé řešeí lze apsat v d Alembertově tvaru u( x, t) = f ( x ct), (6) kde c je rychlost šířeí vly (je-li kladá, postupuje vla ve směru osy x). (5) Přitom c = E ρ. Fukce f popisuje při pevém t tvar vly (průběh posuvů u v závislosti a x). Šíří-li se tyčí harmoická vla, je výhodé apsat řešeí rovice (5) pomocí komplexí fukce ve tvaru i ( κ x-ω t) u ( x, t) = Ae, (7) kde A je obecě komplexí číslo, jehož absolutí hodota je amplitudou harmoické vly, κ začí vlové číslo a ω úhlovou frekveci. Fyzikálí výzam má reálá část. Pro rychlost c šířeí vly, délku vly L a periodu T zřejmě platí vztahy ω c =, κ π L =, κ π T =. (8) ω Protože L, T jsou kladé veličiy, jsou kladé i κ, ω, a tedy i c. Kdybychom chtěli popsat šířeí harmoické vly v opačém směru (s rychlostí c < 0), musely by mít oba čley v expoetu a pravé straě rovice (7) stejá zaméka. Dosazeím (7) do (5) se 1 Čteář si jistě všiml, že a pravé straě (4) je druhá diferece poslouposti u. 5

8 přesvědčíme, že rychlost c šířeí vly je stejá jako v rovici (6). Ostatě harmoická vla je jeom zvláštím případem obecé vly. K disperzi edochází. Vrátíme se k rovici (4) a budeme studovat, jaký v í může vzikout pohyb, který by byl periodický vzhledem k prostorové souřadici. Budeme požadovat, aby pro každé a celé číslo N platila podmíka u + = u. Délka vly tedy bude L = Na. N Abychom se zbavili diferečího vztahu a pravé straě rovice (4), zavedeme ové proměé podle vzorce N pk N v p 1 1 π i / = e N k = 1 u k. (9) Rovici (4) vyásobíme čiitelem k (9) dostaeme po úpravě vzorec πi p / N e a sečteme od = 0 do N 1. S přihlédutím d v p + p p dt ω v = 0, (10) kde k πp ω p = si. (11) m N Rovici (9) můžeme sado ivertovat, eboť 1 N N 1 p= 0 e πip / N v p 1 = e N k, p π i p(k )/N u k = u. (1) K úpravě posledího vztahu jsme využili (1). Sčítá-li se podle p, vymizí všechy součty při pevém k 0. Zbude N stejých sčítaců u. Řešeím rovice (10) dostaeme v p p iω pt = A e, (13) kde je komplexí amplituda. Když se vrátíme k původím proměým podle (1), bude A p u N 1 1 = Ap exp i( ω pt πp / N). (14) N p= 0 6

9 Komplexí amplitudu můžeme apsat jako vektor délky Ap otočeý o fázový úhel α p, tj. A p A p iα = e P. Výraz výzam je reálá část. S ozačeím tvaru πp πp κ p = = je vlové číslo. Z výrazu (14) má fyzikálí Na L x = a akoec dostaeme hledaé řešeí ve u N = 1 1 N p= 0 A p cos [( ω pt κ p x ) + α p ]. (15) Disperzí vztah, tedy závislost úhlové frekvece a vlovém čísle, je dá rovicí (11). Tuto závislost stačí zázorit v itervalu p N 0, 1 (viz obr. ). ω ω max 0 1/ p/n Obr. Je zřejmé, že úhlová frekvece žádé harmoické složky, která se řetězcem šíří, emůže překročit hodotu ω k m. max = Pozámka. V literatuře [1] ajde čteář poěkud jié odvozeí. Zároveň se tam dokazuje, že pokud bychom se pokusili vybudit vlu vyšší frekvece ež ω max, apříklad tak, že bychom touto vysokou frekvecí budili jedu hmotu řetězce, podařilo by se ám rozkmitat hmoty je v ejbližším okolí a vzruch by se dále ešířil, vla by expoeciálě se vzdáleostí od místa buzeí odezěla. 7

10 Vlěí v jedorozměrém řetězci, v ěmž jsou iteraktiví síly odvozey z poteciálu Opět budeme posuzovat řetězec vytvořeý stejými hmotami m rozděleými po přímce s roztečí a. Tetokrát ebudou sériově spojey lieárími pružiami, ale budou a sebe vzájemě působit silami odvozeými z poteciálu V = V K,, ξ, ξ, ) tak, že síla působící a -tou částici je F ( ξ K V =. Přitom ξ = a + u = x + u, kde u je ξ posuv -té hmoty (hmoté částice). Ta má v rovovážém stavu souřadici x = a. Síla působící a tuto částici v rovovážém stavu musí být ulová (částice se V epohybuje), takže = 0. Poteciál V yí rozvieme v okolí rovovážé polohy ξ x v Taylorovu řadu, v které poecháme čley pouze do druhého řádu (což stačí pro liearizovaou teorii). Protože a kostatě ezáleží (při derivaci odpade) a prví parciálí derivace jsou jak jsme právě ukázali ulové, bude akoec V = 1 r, s V ξ ξ r s x u r u s. (16) Na poteciál musíme klást určité fyzikálí požadavky. Například budeme předpokládat, že vzájemé působeí dvou hmot ezávisí a ostatích hmotách, takže hodota poteciálu pro teto pár bude záviset je a souřadicích ξ, ξ hmotých částic tohoto páru. Poteciál bude mít proto tvar 1 V = Vrs ( ξ r, ξs ), r s. (17) r, s Působeí r-té hmoty a s-tou musí být stejé jako s-té hmoty a r-tou. Proto bude platit podmíka souměrosti V ξ, ξ ) = V ( ξ, ξ ). (18) Pro r s rs ( r s sr s r budeme tedy mít r s 8

11 V ξ ξ r s x = Vrs ξ ξ r s x = W rs, přičemž W rs = Wsr, (19) zatímco ξ V r = Vrs s ξ r = w r. (0) Hmoté částice jsou rozděley rovoměrě, takže vzájemé působeí žádého páru se ezměí, přičteme-li k idexům r, s stejé celé číslo (kladé ebo záporé). Takže W r+ p, s+ p = Wrs = Wr s, 0 = W0, r s. Zavedeme-li pro vzdáleost dvou hmotých částic ( r s) a ozačeí qa, bude W rs = W q0 = W0q = Wq. Rovici (16) můžeme s tímto ozačeím přepsat do tvaru V = 1 wrur r + 1 r s W rs u r u s, rs Wq W =. (1) Jsou-li posuvy ulové, je teto poteciál ulový (rovovážý stav). Změíme-li polohu částic tak, že je z rovovážého stavu posueme o reálou vzdáleost δ, zůstae rovováha zachováa, takže (po zkráceí posledí rovice čiitelem δ ) w r + W q = 0. () r s To ukazuje, že w r ezávisí a r, takže teto idex můžeme vyechat, w r = w. Bude proto w + Wq = w + Wq = 0. (3) q, q 0 q> 0 S využitím vztahu (1) můžeme apsat pohybovou rovici pro -tou částici ve tvaru u d m dt = wu W, u, aebo s použitím (3) u d m dt = k q q, q> 0 ( u q + u q u ) kq = Wq +,. (4) 9

12 Pravá straa této rovice má jedoduchý fyzikálí výzam. Představuje působeí soustavy lieárích pruži spojujících -tou částici s každou z ostatích částic. Řešeí i( κ x ωt) posledí rovice budeme předpokládat ve tvaru u = Ae, takže qa ± q = e ±iκ. Dosazeím tohoto výrazu do (4) dostaeme po úpravě disperzí vztah u u κqa mω 4 kq si = 0. (5) q> 0 Obdobě jako (11) ukazuje teto vztah závislost úhlové frekvece a vlovém čísle. Jeli κ qa << 1, můžeme fukci sius aproximovat hodotou jeho argumetu a vypočítat pro teto případ úhlovou frekveci ze vzorce ω = q >0 k q m q κa = E κ. (6) ρ Teto vztah se shoduje s prvím ze vztahů (8), jestliže výraz pro modul pružosti ak a E = v rovicích (3) změíme a E = S S q> 0 k q q. To zameá, že řetězec může být vhodým modelem homogeí lieárě pružé teké tyče, platí-li uvedeá silá erovost. Jde-li o řetězec atomů ve mřížce, a to jedodimezioálí, pak půjde o velice tekou tyč, spíše vláko (whisker). Skutečá jeho struktura je ovšem diskrétí a ikoli spojitá. K zajímavým závěrům dospějeme, omezíme-li se ve vztahu (5) a hodoty q. To zameá, že každá hmotá částice bude v iterakci je se dvěma ejbližšími sousedími částicemi po každé straě. Poteciál od vzdáleějších částic bude mít zaedbatelý účiek. Po rozepsáí dá rovice (5) 1 k1 κa k si si π ω = + κa, κ 0,. (7) m m a 10

13 k1 Je-li > 1, je ω mootóě rostoucí fukcí κ a abývá maxima k 4. Je- k li však 1 < 1 k 4, roste ω pouze v itervalu (,κ ) 0 do hodoty ω ( k1 k ) 1 4k κ = + m, přičemž 1 k = 1 κ arccos, a 4k k 1 pro m a pak zase klesá, jak ukazuje obr. 3. To zameá, že se mohou v tomto případě v jistém frekvečím itervalu řetězcem šířit se stejou úhlovou frekvecí dvě vly o růzých vlových číslech. ω κ = π a 0 κ * π a κ Obr. 3 Omezili jsme se a jedorozměré řetězce. Vlěí v prostorových soustavách (krystalických mřížkách) je aalyzováo apříklad v literatuře []. Kolejice uložeá a odpružeých pražcích Vyšetříme deformace přímé velmi dlouhé (ekoečé) kolejice uložeé s pravidelou roztečí a a pražcích. Pražce jsou uložey a Wiklerově pružém podloží, kolejice je zatížea ad jediým pražcem osamělou silou F 0 = F (obr. 4). Poecháme straou možosti řešit tuto úlohu umerickými postupy, apříklad metodou koečých prvků, protože úloha je jedoduchá a aalytické metody vedou rychle k cíli. 11

14 F Obr. 4 x R Přeáší-li -tý pražec reakci R, posue se do podloží o průhyb δ. Tuhost c = / δ ezávisí podle Wiklerovy hypotézy a průhybech ostatích pražců. Každý pražec je podle této představy ulože a vlastí pružiě, ezávisle a ostatích pružiách. Pro osík a pružých podpěrách platí pětimometová rovice odvozeá apř. v literatuře [3] α M = Δ, (8) + βm 1 + γm + βm αm + kde je celé číslo ozačující podpěru, α = 6EJ / ca, β = a 4α, γ = 4 a + 6α, Δ = α a F + F F ). Síly F jsou vější síly, které působí a kolejici v místě ( podpěr. Protože je zatíže je pražec = 0, bude Δ = 0 pro 0. Vzhledem k symetrii budeme řešit je poloviu osíku (kolejice) x 0, takže, a pak dosadíme M = M. Řešeí diferečí rovice (8) je obdobé jako řešeí difereciálí rovice, tj. je součtem obecého řešeí homogeí rovice (pro ehomogeí (úplou) rovici. Pro uvedeou poloviu osíku Δ = 0 ) a řešeí partikulárího pro ( ) bude diferečí rovice zřejmě homogeí. Řešeí homogeí rovice lze předpokládat ve tvaru geometrické řady Jde o zobecěí zámé Clapeyroovy třímometové rovice. 1

15 M ( homog) = kost. λ. (9) Dosadíme-li (9) do (8) s hodotami Δ = 0, dostaeme reciprokou rovici pro kvociet λ 1 1 α λ + = 0. + β λ + + γ (30) λ λ Použijeme substituci příklad [4]: λ + 1 λ = Χ. Obecé výrazy jsou epřehledé, a tak zvolíme F = N, a = 0,53 m, EJ = 4, N.m -, c = N.m -1. Vyjde α = 14,854 m, β = m, γ = 91,44 m. Kořey rovice (30) budou λ 1, = 1,4340 ± i.0,7483 = r 1(cosϕ ± i siϕ), kde r 1 = 1, 6176, ϕ = 0,4809 rad, λ =,5481± i.0,860 = r (cosϕ ± i si ), 618 3,4 0 ϕ r = 0,. Má-li být řešeí reálé, musí být itegračí kostaty komplexí. Nakoec vyjde M = M ( C ϕ + C si ϕ) + r ( C cos ϕ C si ϕ) (homog) = r cos 4 (31). Protože je r1 > 1, musí být C 1 = 0, C = 0. 3 Toto řešeí doplíme o partikulárí itegrál a kostaty C 3, C 4 určíme tak, aby byly splěy okrajové podmíky v řezu x = 0 (fyzikálí a geometrická). To je poěkud zdlouhavé. Rychle vede k cíli difereciálí rovice, kterou dostaeme, když diskrétí model uložeí kolejice ahradíme spojitým, tj. kolejici budeme považovat za osík spočívající a spojitém Wiklerově pružém podkladu o ekvivaletí tuhosti k 6 = c / a = 6.10 / 0,53 = 1, N.m -. Pro průhyb w (x) bude platit difereciálí rovice (homogeí, eboť a osík epůsobí spojité vější zatížeí) 3 S rostoucím se podpěrové momety zmešují a v ekoeču vymizí. 13

16 4 d w EJ + kw = 0 (3) 4 dx s řešeím platým pro pravou poloviu osíku x 0 (itegračí kostaty jsou A, B) ϑ x ( Acosϑx B si ϑx) w( x) = e +, kde ϑ = 4 k 4EJ. (33) Tato rovice představuje expoeciálě tlumeou harmoickou vlu o vlové délce L = π/ϑ. Pro daé hodoty vypočteme L = π/0,9075 = 6,94 m. Také rovice (31) má svou zobecěou periodu, pokud připustíme i ecelé hodoty. Vyjde (per) = π / ϕ a tomu odpovídá vlová délka L = a = πa / ϕ (per) = 6, 95 m. Obě hodoty se téměř přesě shodují, což zameá, že jsme oprávěi považovat daou kolejici uložeou a pražcích za osík a spojitém pružém podkladu a použít rovice (3) místo rovice (8). Dopustíme se tím zaedbatelé chyby. Literatura [1] BREPTA, R. OKROUHLÍK, M. VALEŠ, F.: Vlové a rázové děje v pevých tělesech a jejich řešeí. Studie 16-85, Nakladatelství ČSAV, Praha [] ROSEAU, M.: Vibratios des systèmes mécaiques. Méthodes aalytiques et applicatios. Masso, Paris [3] BAŽANT, Z. a kol.: Nauka o pružosti a pevosti. Techický průvodce sv. 3, Česká matice techická, Praha [4] HÖSCHL, C.: Studium mechaiky jako hledáí souvislostí. I: Aplikovaá mechaika 000, Techická uiverzita v Liberci, 000. *** 14

17 Podivý život a dílo Gerolama Cardaa ( ) Strage Life ad Work of Gerolamo Cardao ( ) Cyril Höschl Summary The most famous Cardao s ivetio is the joit coectig two cocurret shafts. The author of this article presets solutio to kiematics of the Cardao s joit i terms of the spherical trigoometry, which is very simple. Mathematicias may brush up the Cardao s formulae for solutio to the algebraic equatios of the third degree ad also the casus irreducibilis. These formulae were published by Cardao i his book Ars Maga Liber. However, hardly ay reader kows that he also published the book O the Bad Practice of Medicie i Commo Use. His groudbreakig book Book o Games of Chace was published early iety years after his death. He wrote it whe he was approximately thirty years old, i.e. i the days whe the probability theory had ot existed. Just as his work was varied, so his life was colourful ad dramatic. Každý automobilista ví, co je to Cardaův kloub, který spojuje dva růzoběžé hřídele. Osy hřídelů spolu svírají úhel ϑ ( 0 ϑ < π / ). Prví i druhý hřídel jsou zakočey vidlicemi, do ichž je otočě zavěše další čle. Te je tvoře dvěma čepy spojeými do tvaru pravoúhlého rovorameého kříže. Obě vidlice jsou a těchto čepech zavěšey tak, jak je zázorěo a obr. 1. Je-li rotace prvího hřídele rovoměrá, je rotace druhého hřídele erovoměrá (s výjimkou případu ϑ = 0 ). Zajímá ás, jak spolu souvisí obě úhlové rychlosti. Řešit tuto úlohu eí příliš přehledé ai sadé, používáme-li roviou trigoometrii. S použitím vzorců zámých ze sférické trigoometrie je však řešeí velmi jedoduché. To yí ukážeme. 15

18 o o 1 A O B ϑ Obr. 1 Protože sférická trigoometrie se už a školách běžě evyučuje 1, uvedeme ejdříve ěkteré defiice a zvyklosti v ozačováí veliči. Představme si plášť jehlau, jehož bočí stěy tvoří trojúhelíky (lhostejo, ejsou-li shodé, ai kolik jich je). Kolem vrcholu jakožto středu opíšeme kouli o poloměru r. Pak každá stěa jehlau prote povrch koule v oblouku, jehož délka závisí a protějším vrcholovém úhlu. Te spolu svírají příslušé hray jehlau. Oblouk spadá do hlaví kružice, která má ve sférické trigoometrii týž výzam jako přímka v euklidovské geometrii, svým úsekem totiž spojuje dva pevé body ejkratším možým způsobem. Oblouky a kouli tvoří jakýsi polygo, obdobý mohoúhelíku v roviě. Proto se tyto oblouky ozačují jako stray. Podělíme-li délku této stray poloměrem r, dostaeme arcus vrcholového úhlu, tedy hodotu ezávislou a poloměru koule. Bude to bezrozměrová veličia, kterou budeme měřit délku stray. Proto ji ozačíme písmeem latiské abecedy. Naproti tomu úhly, které spolu svírají stěy jehlau, budou ozačováy písmey řecké abecedy. Po této průpravě se vrátíme k obr. 1. Osy obou hřídelů mají v prostoru pevou polohu a protíají se ve středu Cardaova kloubu. Při rotaci se rameo OA třetího čleu (kříže) pohybuje eustále v roviě ρ 1 kolmé k ose o 1 prvího hřídele, protože je v této roviě udržuje vidlice hřídele. Druhé rameo OB se obdobě otáčí v roviě ρ kolmé k ose o druhého hřídele. To je azačeo a obr.. 16

19 ρ 1 ρ ϑ A c = 90 0 B a b O P Obr. Průsečice obou rovi je kolmá k oběma osám hřídelů a prochází středem kloubu. Pohyb kříže v těchto roviách zprostředkuje rotaci mezi oběma hřídeli. Nás bude zajímat převodový poměr úhlových rychlostí ω /ω1. Úhel, který svírá rameo OA kříže s průsečicí OP rovi ρ 1, ρ, ozačíme a. Je to úhel mezi OP a OA. Rameo OB bude s touž polopřímkou svírat úhel b. Když ze středu kloubu opíšeme kouli, vytvoří jehla o těchto třech hraách (OA, OB a OP) a kulovém a 0 c = 90 ϑ Obr. 3 b 0 povrchu sférický trojúhelík o straách a, b, c = 90 straami a, b se rová úhlu. Úhel mezi ϑ os obou hřídelů (podle pravidla o úhlech s ramey avzájem kolmými). Dostaeme tedy sférický trojúhelík zázorěý a obr Duch doby paradoxě matematice epřeje. V Lidových oviách se de dokoce psalo o tom, že ám opět hrozí teror matematiky, totiž opěté zavedeí matematiky jako poviého maturitího předmětu. 17

20 Nyí stačí aplikovat kosiovou větu pro strau zámou ze sférické trigoometrie [1], abychom dostali cos acos b + si asibcosϑ = cos c = 0. (1) Protože d 1 a = ω dt, b = ω dt, () d dostaeme difereciací (1) a dosazeím do () převodový poměr ω ω 1 si a cosb cos asi bcosϑ =. (3) cos asi b + si a cosbcosϑ Vyloučíme strau b pomocí vztahu (1) a dostaeme po úpravě ω ω 1 cosϑ =. (4) cos a + si a cos ϑ Je-li ve zvláštím případě a = 0, je ω = ω1 cosϑ. Je-li aopak a = 90, vyjde 0 ω = ω1 / cosϑ. Za rotace osciluje převodový poměr mezi těmito hodotami, platí tedy ohraičeí cosϑ ω ω1 1/ cosϑ. (5) Závislost (4) převodového poměru a otočeí a prvího hřídele je pro hodotu 0 ϑ = 60 zakreslea a obr

21 ,5 převodový poměr 1,5 1 0, úhel otočeí 1. hřídele (stupňů) Obr. 4 Zámé jsou i Cardaovy vzorce z algebry, které Cardao uveřejil v kize Ars Maga Liber (Kiha o uměí ejvětším). Tím si zepřátelil matematika samouka Nicolu Tartaglia, který prý metodu řešeí jistých algebraických rovic zal, ale chtěl ji utajit. Odboré zájmy Cardaovy však byly mohem širší. Původě si jeho otec přál, aby vystudoval práva, protože by v takovém případě dostával stipedium. Cardao si však usmyslel, že bude studovat lékařství, čehož dosáhl až po rodié roztržce. Odešel z domova v Miláě a utekl do Pávie, chyběly mu však peíze. Učil proto geometrii, alchymii a astroomii, ale peíze estačily. Tak se rozhodl, že si vydělá v hazardích hrách. Ty roztřídil a hry vyžadující ějakou strategii a dovedost a a hry, v ichž hrála rozhodující roli áhoda. Usoudil, že i áhodé jevy mají své zákoitosti, a když je ovláde, může potřebé peíze získat. Skutečě si zaedlouho vydělal v hazardích hrách více, ež kolik by získal a stipediu za deset let. V roce 150 se pak zapsal jako studet medicíy a krátce potom začal psát kihu o hazardí hře. Je třeba si uvědomit, že 19

22 v té době eměl o teorii pravděpodobosti ikdo poětí a že sama aritmetika byla ještě v plekách. V patáctém století se zaméka + a používala jeom pro ozačeí odchylek váhy bede se zbožím oproti správé váze. Zaméko rovosti = zavedl Robert Recorde v Cambridge teprve roku 1577, tedy rok po Cardaově smrti. A zaméko pro ásobeí zavedl vyálezce logaritmického pravítka, episkopálí kěz William Oughtred, teprve v sedmáctém století. Cardaův spis se jmeoval Pojedáí o hrách a áhodě. Kihu se mu epodařilo vydat a akoec dospěl k závěru, že by to ai ebylo vhodé, kdyby jié učil, jak mohou v hazardích hrách vyhrávat. Vyšla až za ecelých devadesát let po jeho smrti. Abychom si uvědomili Cardaovu geialitu, připomeeme čláek Martia Gardera z časopisu Scietific America z říja 1959, v kterém apsal, že v žádé jié oblasti matematiky se edokážou experti tak blamovat, jako v teorii pravděpodobosti. Dokládá to a problému, který yí stručě uvedeme. Představme si soutěž, ve které si má vítěz svou výhru sám vybrat otevřeím jeděch ze tří stejých dveří. Za jeděmi z ich je dejme tomu luxusí auto, za dalšími dvěma vycpaá koza. Když soutěžící ozačí jedy áhodě vybraé dveře, má je třetiovou aději, že je za imi auto. Vtom do hry vstoupí moderátor, otevře jedy z eozačeých dveří, za imiž auto eí, a ptá se, zda soutěžící echce svou volbu změit. Otázka je, zda je to pro ěho výhodé. Soutěžící má yí a výběr je dvě možosti. Protože auto může být se stejou pravděpodobostí za jeděmi zavřeými dveřmi jako za druhými, tak je to jedo, jestli soutěžící svou volbu změí ebo e. Tak usuzovali i výzamí matematici. Teto úsudek je však chybý. Předpokládejme ejprve, že prví volba byla šťastá, tj. za ozačeými dveřmi je auto (což soutěžící dosud eví). Zůstae-li hráč u své prví volby, zvítězí. Ovšem to, že za dveřmi opravdu auto bude, má pravděpodobost je 1/3. Zato pravděpodobost, že volba byla špatá, je /3. Hráč zvítězí při špaté prví volbě je tehdy, když volbu změí. Shreme-li tyto dvě možosti, pak hráč při ezměěé volbě zvítězí s pravděpodobostí 1/3, při změěé volbě s pravděpodobostí /3. Statistika vítězů 0

23 opakovaé soutěže potvrzuje, že ti, kteří volbu změí, zvítězí přibližě dvakrát častěji ež ti, kteří volbu ezměí. Tuto hru lze poměrě sado simulovat a počítači, a tak si mohý čteář může toto statistické ověřeí celé hry doma ověřit. Nevyhraje přitom ovšem ic, ai auto, ba ai tu vycpaou kozu. Zvládutí podobých problémů umožilo zakladateli počtu pravděpodobosti a hazardímu hráči Gerolamu Cardaovi, aby si v hazardích hrách vydělal a živobytí, kdykoli se mu v životě edařilo. Když se Cardao vrátil do Miláa s lékařským diplomem v kapse, eašel tam zaměstáí. Ještě jako studet uveřejil totiž stať azvaou O růzosti lékařských ázorů, v které azval lékařskou obec badou mastičkářů. Miláská lékařská komora ho proto odmítla jmeovat svým čleem. Cardao se tedy odebral do malého městečka Sacco, kde bylo moho emocých a žádý lékař. Tetokrát byl Cardaův úsudek chybý, emocí totiž žádého lékaře eměli, protože ho echtěli. Vystačili si se zaříkávači a kězi. Miláská komora epřijala Cardaa ai po pěti letech, kdy svou žádost opakoval. A tak mohl léčit emocé je tajě. Většiou to byli lidé velmi chudí ebo bezadějě emocí. Cardao apsal o této době ve svém životopisu (citováo podle []): Abych si přivydělal, abych uživil maželku, byl jsem uce uchýlit se opět ke kostkám; a tady mi moje zalosti matematiky pomáhaly zvítězit ad áhodou a měli jsme zač koupit si jídlo a přežívat, i když aše bydleí bylo v zoufalém stavu. Jeho život se rázem změil, když se mu podařilo vydat kihu s přitažlivým ázvem O špatých lékařských postupech v běžé praxi. Pomohlo mu také, že se áhle zlepšil zdravotí stav jedoho jeho tajého pacieta, dobře zámého pátera augustiiáského řádu. Lékařská komora eježe ho přijala za člea, ale jmeovala ho rovou rektorem. Mezitím publikoval spisy o algebře, a tak se ocitl kolem roku 1555 a vrcholu bohatství a slávy. Ježe všecha sláva polí tráva. Z velké části za Cardaův pád mohou jeho děti. Když bylo dceři Chiaře šestáct let, svedla svého staršího bratra Giovaiho a otěhotěla. Po potratu zůstala eplodá, přesto se vdala a akazila syfilidou. Giovai vystudoval lékařství, ale proslul jako krimiálík. Byl přiuce vzít si evěstu z rodiy, 1

24 která měla zálusk a Cardaovy peíze. Věděla, že Giovai otrávil ějakého městského úředíka. Mezitím Aldo, Cardaův mladší sy, který jako dítě rád týral zvířata, zaměil tuto zálibu za pracoví áplň, když se dával ajímat ikvizicí k mučeí lidí. Byla to odměa za to, že předtím podle ávodu matematika Tartaglia udal svého otce. Z obou bratrů se stali podvodíci. Pár let po svatbě dal Giovai jedomu sloužícímu záhadou směs, aby ji přidal do dortu pro svou maželku. Po její smrti byl akoec usvědče a skočil a popravišti. Miláský seát dal vyškrtout Cardaovo jméo ze sezamu těch, kdo smějí předášet, obviil ho ze sodomie a icestu a dal ho vyhat z provicie. Tehdy apsal do své biografie: Jsem zova v hadrech, bez peěz, bez příjmů, můj plat je pozastave, moje kihy zabavey Po krátkém pobytu ve vězeí dožil Cardao pár zbývajících let v zapomeutí v Římě. Tak zemřel muž, jehož otec byl přítelem Leoarda da Viciho. Literatura [1] REKTORYS, K. a kol.: Přehled užité matematiky. SNTL, 3. vyd., Praha [] MLODINOW, L.: Život je je áhoda. Slovart, Praha 009 (překlad z agl. orig.). ***

25 Kroika Chroicle Ig. Oldřich Kropáč, DrSc. ( ) Ig. Oldřich Kropáč, DrSc. se arodil v Brě. V roce 194 maturoval a brěské reálce a pak absolvoval abiturietský kurz a Vyšší průmyslové škole strojické. Po válce astoupil a Vysokou školu techickou v Brě, kterou úspěšě dokočil složeím druhé státí zkoušky v roce V roce 195, po skočeí základí vojeské služby, astoupil do Leteckého výzkumého ústavu v Letňaech. Tam byl zpočátku řadovým pracovíkem, postupě získal i své další tituly, stal se vedoucím střediska teorie, iformace a automatizace a později vedoucím odděleí aplikovaé matematiky a kyberetiky. Toto místo zastával až do svého odchodu do důchodu v roce V dalším textu jeho odborý život výstižě popisují kolegové M. Špric juior a P. Múčka. Ig. Kropáč byl mimo jié i pilým přispěvatelem do Bulletiu České společosti pro mechaiku. Napsal řadu popularizačích čláků, apříklad o fraktálech, o stochastických modelech v teoretické a experimetálí mechaice, o statistických a mediáových filtrech, apod. Pod pseudoymem C. A. Pork, což je KROPAC psáo pozpátku, též publikoval ěkolik úsměvých fejetoů, v ichž si pohrává s áměty jako je matematická teorie výročí zde k tomu používá osmičkovou číselou soustavu, takže ukazuje, že dekadický čtyřiašedesátík vlastě může slavit osmičkové sté arozeiy ebo rozšířeý model odměňováí, či se zamýšlí ad vědeckou prací a uděluje dobře míěé rady začíajícím výzkumíkům (ale eje jim). Je to ispirující četba. 3

26 Sezam jeho příspěvků do Bulletiu Společosti je ásledující. 3/1986 C. A. Pork: Systémové a jié obecé zákoy 1/1986 O. Kropáč: Stochastické modely v teoretické a experimetálí mechaice pevých těles 3/1988 do kroiky čláek k 65. arozeiám Doc. Ig. J. Drexlera, CSc. 1/1989 C. A. Pork: Příspěvek k matematické teorii výročí 1/1993 C. A. Pork: Rozšířeý model odměňováí 1/1995 O. Kropáč: Fraktály a jejich uplatěí 3/1995 O. Kropáč: Vzpomíky a dvě zasloužilé osobosti ašeho letectví (Z. Růzha, M. Golobov) 3/1997 O. Kropáč: Mediáové a ěkteré další statistické a hybridí filtry 1/000 C. A Pork: Rok 000 rok eaplěých očekáváí? /004 C. A. Pork: Několik rad začíajícím výzkumíkům (ale eje jim) 1/005 receze čláku Weiberg, S.: Tváří v tvář. Věda a její itelektuálí protivíci /005 C. A. Pork: Stovkaři mezi ámi, aeb další pozámky k teorii výročí Čteář si je může připomeout a potěšit se s imi a webovských strákách Čláky ke Kropáčovým 70., 75. a 80. arozeiám ajde čteář v Bulletiech 1/1995, 1/000 a 1/005. Dr. Kropáč v roce 005 poslal tehdejšímu předsedovi Společosti dopis ásledujícího zěí. 4

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Vlastní hodnocení školy

Vlastní hodnocení školy Vlastí hodoceí školy dle vyhlášky 15/2005 Sb., v platém zěí, kterou se staoví áležitosti dlouhodobých záměrů, výročích zpráv a vlastí hodoceí školy. Škola: Základí umělecká škola Plzeň, Sokolovská 30,

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Patří slovo BUSINESS do zdravotnictví?. 23. 6. 2005

Patří slovo BUSINESS do zdravotnictví?. 23. 6. 2005 Patří slovo BUSINESS do zdravotictví?. 23. 6. 2005 Společost Deloitte Společost Deloitte v České republice má více ež 550 zaměstaců a kaceláře v Praze a Olomouci. Naše česká pobočka je součástí aší regioálí

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko dáliced3 a rychlostí silice R3 Praha Tábor České Budějovice Rakousko w w obsah základí iformace 3 dálice D3 a rychlostí silice R3 PrahaTáborČeské BudějoviceRakousko 3 > základí iformace 4 > čleěí dálice

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s.

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s. Základí údaje Vzik společosti 29.9.1997 Obchodí ázev HYDRA a.s. Sídlo: Na Zámecké 1518, 140 00 Praha 4 IČO/DIČ 25610562 / CZ25610562 Předmět podikáí Výroba kodezátorů Provozovy: Průmyslová 1110, Jičí Hradecká

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Model péče o duševně nemocné

Model péče o duševně nemocné Model péče o duševě emocé v regiou hlavího města Prahy Zázam jedáí závěrečé koferece projektu Vzděláváí odboríků, státí správy a samosprávy v oblasti trasformace istitucioálí péče o duševě emocé Praha,

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

Mezinárodní konferen. 19. - 21. října 2011. Hotel Kurdějov Kurdějov 86 693 01 Kurdějov Česká republika www.hotelkurdejov.

Mezinárodní konferen. 19. - 21. října 2011. Hotel Kurdějov Kurdějov 86 693 01 Kurdějov Česká republika www.hotelkurdejov. ce Meziádí kofere h suvi ýc st e jů zd í vá Využí 19. - 21. říja 2011 Hotel Kurdějov Kurdějov 86 693 01 Kurdějov Česká republika www.hotelkurdejov.cz ORGANIZÁTOŘI Horí Nová Ves 108 507 81 Lázě Bělohrad

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ

ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročík LVII 28 Číslo 5, 2009 ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ L. Papírík

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

klub ročník 3 / číslo 3 červen 2009

klub ročník 3 / číslo 3 červen 2009 katedry klub 10 let VŠFS škola Šortky VŠFS zpravodaj VŠFS ročík 3 / číslo 3 červe 2009 Vážeí a milí čteáři Šortek! V miulém úvodíku Šortek jsem vyprávěla skoro detektiví příběh, který se odehrál a ašem

Více

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I Elektroická publikace Metodika implemetace Průřezového tématu Evirometálí výchova I Zpracovaly: Bc. Jaroslava Rozprýmová a Mgr. Milica Sedláčková Témata: 1. Zemědělství a životí prostředí 2. Ekologické

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

50 Hz. Tradiční sériový ceník CZK

50 Hz. Tradiční sériový ceník CZK 11 5 Hz 4 Tradičí sériový ceík Osvědčeí a Záruka bez udáí důvodů... Pokud je ám zámo, ZDS je jediým výrobcem, který abízí záruku Bez udáí důvodů a celý sortimet výrobků. Jedoduše to zameá, že bez ohledu

Více

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích Pohled do historie fiačí matematiky Ja Zahradík, Pedagogická fakulta Jihočeské uiverzity v Českých Budějovicích Úvod Častým tématem diskusí současých ekoomů je ízká úroveň fiačí gramotosti ašich občaů.

Více

Udr itelnost WE CarE

Udr itelnost WE CarE Udritelost WE Care Získejte více za vaše peíze: s WE CARE společosti MetPro Ekologicky zabaleo při zachováí stejé kvality Důsledě ekologické baleí šetré k přírodím zdrojům. To je cílem produktové řady

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

VOX PEDIATRIAE. časopis praktických lékařů pro děti a dorost. březen 2011 číslo 3 ročník 11. Vrozené vývojové vady uropoetického traktu

VOX PEDIATRIAE. časopis praktických lékařů pro děti a dorost. březen 2011 číslo 3 ročník 11. Vrozené vývojové vady uropoetického traktu VOX PEDIATRIAE časopis praktických lékařů pro děti a dorost březe 2011 číslo 3 ročík 11 Vrozeé vývojové vady uropoetického traktu Základí vyšetřeí fukcí uropoetického traktu Nejčastější kýly v dětském

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

VOX PEDIATRIAE. časopis praktických lékařů pro děti a dorost. březen 2009. číslo 3. ročník 9. Nejčastější parazitární a mykotické infekce kůže

VOX PEDIATRIAE. časopis praktických lékařů pro děti a dorost. březen 2009. číslo 3. ročník 9. Nejčastější parazitární a mykotické infekce kůže VOX PEDIATRIAE časopis praktických lékařů pro děti a dorost březe 2009 číslo 3 ročík 9 Nejčastější parazitárí a mykotické ifekce kůže Nekomplikovaé ifekce kůže a měkkých tkáí Astma brochiale v kojeeckém

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Máme nový orientační systém

Máme nový orientační systém 9 září 2012 Máme ový orietačí systém Pláovaá kozultace V podzimím období, ve dech 29. říja až 1. listopadu, k ám a předaudit zavítají kozultati Joit Commissio Iteratioal (JCI), aby zhodotili stav připraveosti

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman ASYNCHRONNÍ STROJE Obsah. Pricip čiosti asychroího motoru. Náhradí schéma asychroího motoru. Výko a momet asychroího motoru 4. Spouštěí trojfázových asychroích motorů 5. Řízeí otáček asychroích motorů

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

z z z Úvodní slovo generálního ředitele Vážení partneři České exportní banky,

z z z Úvodní slovo generálního ředitele Vážení partneři České exportní banky, Výročí zpráva 2O13 z z z Úvodí slovo geerálího ředitele Vážeí parteři České exportí baky, jistě jste již zazameali, že ai miulý rok ebyl pro baku lehký. Věřím však, že většia z vás pochopila pravou podstatu

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

Penze vládní politika kontra teorie

Penze vládní politika kontra teorie březe 2011 Jaroslav Vostatek: Peze vládí politika kotra teorie Václav Klaus: Reforma důchodů je epromyšleá Václav Klaus: Nespojujme důchodovou reformu se zvýšeím DPH Václav Klaus: Proč ahradit stejé (skoro)

Více

4 Získejte to nejlepší. Všestranně využitelný prostor se stylovým exteriérem. 6 Poznejte své druhé já. Připravte se na zážitek z dynamické jízdy.

4 Získejte to nejlepší. Všestranně využitelný prostor se stylovým exteriérem. 6 Poznejte své druhé já. Připravte se na zážitek z dynamické jízdy. Mazda2 Mazda2 4 Získejte to ejlepší Všestraě využitelý prostor se stylovým exteriérem. 6 Pozejte své druhé já Připravte se a zážitek z dyamické jízdy. 8 Prostor a všestraá využitelost Flexibilí ložý prostor

Více