BULLETIN ČESKÁ SPOLEČNOST PRO MECHANIKU

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "BULLETIN ČESKÁ SPOLEČNOST PRO MECHANIKU"

Transkript

1 BULLETIN ČESKÁ SPOLEČNOST PRO MECHANIKU 010

2 B U L L E T I N /10 Česká společost pro mechaiku Asociovaý čle Europea Mechaics Society (EUROMECH) Předseda Redakce časopisu Jazyková korektura Prof. Ig. Miloslav Okrouhlík, CSc. Ig. Jiří Dobiáš, CSc. Dolejškova 140/5, Praha 8 Ústav termomechaiky AV ČR, v.v.i. tel , fax RNDr. Eva Hrubatová Tajemice sekretariátu Ig. Jitka Havlíová Sekretariát Dolejškova 140/5, Praha 8 tel , tel./fax Domovská stráka IČO Společosti Bulleti je urče čleům České společosti pro mechaiku. Vydává Česká společost pro mechaiku, Dolejškova 140/5, Praha 8 - Libeň Vychází: 3x ročě Místo vydáváí: Praha De vydáí: 30. září 010 ISSN Evid. č. UVTEI MK ČR E Tiske: ČVUT Praha, CTN Česká techika, Nakladatelství ČVUT, Thákurova 1, Praha 6

3

4 Pozámky k diskrétím strukturám a odpovídajícím kotiuálím modelům Remarks o the Discrete Structures ad Correspodig Cotiuum Models Cyril Höschl Summary Two examples are discussed i the paper. I the first oe, the vibratios i a thi rod ad i a correspodig oedimesioal lattice structure are thoroughly aalyzed. The restorig iteractive forces actig o particles of mass stem either from liear sprigs coectig the adjoiig particles or they are derived from a potetial. It is to be show i the latter case that uder certai coditios the vibratios of the same frequecy but with differet wave umber ca be geerated. The secod example is cocered with problem of calculatig the deformatio of a straight rail which ca be regarded as a beam lyig either o cotiuous Wikler elastic foudatio, or more likely o equidistat railroad ties. The differeces betwee solutios i both cases are aalysed. Úvod Zeptáme-li se ěkoho, kdo je vzdělá v humaitárích vědách, co považuje za opak slova diskrétí, odpoví, že idiskrétí. Zeptáme-li se zalce mechaiky, pravděpodobě alespoň ěkterý řeke, že opakem je slovo spojitý. My budeme mít v tomto příspěvku a mysli právě teto druhý případ. Při výpočtu statických deformací i vibrací modelujeme ěkdy pravidelé struktury složeé z jedotlivých kostrukčích prvků jako soustavy s koečým počtem stupňů volosti, jidy je zjedodušujeme tím, že je ahrazujeme spojitým hladkým modelem, který má těchto stupňů ekoečý počet. Někdy postupujeme obráceě. Záleží a tom, jaké výsledky sledujeme a jakou požadujeme jejich přesost, a ovšem také a tom, jaké výpočtové prostředky máme

5 k dispozici. Na jedoduchých příkladech uvedeme rozdíly, které takovým postupem vzikají. Nejprve se budeme zabývat řešeím podélých vibrací v ekoečé teké elastické homogeí tyči. Platí-li Hookeův záko, je teorie vibrací s malými amplitudami lieárí a řešeí je sadé. Je uvedeo sad v každé učebici auky o kmitáí. Šíří-li se takovou tyčí vla, eměí svůj tvar. Říkáme, že prostředí je bezdisperzí. Pro umerický výpočet ahrazujeme kotiuálí tyč apříklad soustavou (řetězcem) hmotých bodů spojeých pružiami. Tyto hmoty jsou odděleé, soustava je proto diskrétí. Vykazuje disperzi obecého tvaru vly, protože rychlost šířeí každé její harmoické složky závisí a frekveci této složky. Jelikož jde o úpravu fyzikálího modelu, mluvíme o fyzikálí diskretizaci. Někdy zasahujeme obdobým způsobem do matematického modelu. Řešíme apříklad deformaci pružého prostě podepřeého osíku, který má espočeté možství stupňů volosti. Průhybovou čáru můžeme vyjádřit třeba Fourierovou řadou a amplitudy jedotlivých harmoických složek považovat za zobecěé souřadice. Těch bude rověž ekoečě moho, ale jejich možství bude spočeté. Když se spokojíme jeom se složkami ižších řádů, budeme mít zobecěých souřadic koečý počet. Samozřejmě tím poěkud utrpí přesost výpočtu. Zde však k odděleí kompoet kostrukce edochází, proto ejde o diskrétí soustavu ve fyzikálím, ale je matematickém smyslu slova. Jestliže však takový osík leží a pražcích a ty spočívají a pružém podkladu, pak jde fyzikálě o diskrétí soustavu (pražce jsou odděleé kostrukčí prvky), kterou můžeme k usaděí výpočtu přibližě ahradit spojitým pružým podkladem. To ukážeme a druhém příkladu. Netřeba pozameat, že úlohy z mechaiky kotiua vedou a soustavy parciálích difereciálích rovic, kdežto úlohy o diskrétích modelech s koečým počtem stupňů volosti se obvykle řeší s použitím matic. Jde-li o pravidelé kostrukčí struktury, můžeme hledaá řešeí ěkdy výhodě získat řešeím příslušých diferečích rovic. Ve svém pojedáí se omezíme a jedorozměré struktury. K výpočtu kmitáí řetězců vyjdeme z lieárích ebo z liearizovaých rovic. V takovém případě je 3

6 výhodé použít komplexí proměé. Ty lze vektorově zázorit v Gaussově roviě. iϕ Například komplexí číslo z = x + iy = re = r(cosϕ + i siϕ) lze zázorit vektorem r o složkách x = r cosϕ, y = r siϕ. Odtud ihed plye vztah, který budeme později potřebovat: N 1 πi / k N e k = 0 = 0, resp. N 1 k = 0 e πikp / N = 0. (1) Jedotlivé sčítace jsou totiž jedotkové vektory avzájem pootočeé o úhly π/n (resp. jejich p-ásobky, p je celé číslo), které tvoří uzavřeý polygo (jejich výsledice je ulová). V Gaussově roviě je rověž ihed zřejmé, že umocěí komplexího čísla zameá eje změu délky příslušého vektoru, ale i jeho otočeí, eboť z iϕ iϕ = r (e ) = r e, a tedy z = r (cosϕ + i siϕ) = r (cos ϕ + i siϕ). () V této rovici pozáváme zámou Moivreovu poučku. Stačí krátit výrazem r = 1. r ebo volit Vlěí v jedorozměrém řetězci modelujícím pružou tekou tyč Na obr. 1 je zázorěa soustava hmotých bodů o stejé hmotosti m, spojeých lieárími pružiami s tuhostí (pružiovou kostatou) k. Rozteč bodů je a. m k k m k m k u -1 u 0 u +1 Obr. 1 Má-li být tato soustava modelem pružé teké tyče s modulem pružosti E, průřezem S a hustotou ρ, musí být 4

7 ES k =, m = ρsa. (3) a Budeme předpokládat, že řetězec je ekoečý; posuvy hmotých bodů budou tvořit posloupost K, u, u uk. Pohybová rovice pro -tou hmotu bude u 1 0 1, d u m = k( u 1 1) + u + u. (4) dt Dosadíme-li (3) do (4) a přejdeme k limitě rovici 1 a 0, dostaeme parciálí difereciálí t u E u = ρ x platou pro tekou pružou tyč. Je to dobře zámá vlová rovice, jejíž obecé řešeí lze apsat v d Alembertově tvaru u( x, t) = f ( x ct), (6) kde c je rychlost šířeí vly (je-li kladá, postupuje vla ve směru osy x). (5) Přitom c = E ρ. Fukce f popisuje při pevém t tvar vly (průběh posuvů u v závislosti a x). Šíří-li se tyčí harmoická vla, je výhodé apsat řešeí rovice (5) pomocí komplexí fukce ve tvaru i ( κ x-ω t) u ( x, t) = Ae, (7) kde A je obecě komplexí číslo, jehož absolutí hodota je amplitudou harmoické vly, κ začí vlové číslo a ω úhlovou frekveci. Fyzikálí výzam má reálá část. Pro rychlost c šířeí vly, délku vly L a periodu T zřejmě platí vztahy ω c =, κ π L =, κ π T =. (8) ω Protože L, T jsou kladé veličiy, jsou kladé i κ, ω, a tedy i c. Kdybychom chtěli popsat šířeí harmoické vly v opačém směru (s rychlostí c < 0), musely by mít oba čley v expoetu a pravé straě rovice (7) stejá zaméka. Dosazeím (7) do (5) se 1 Čteář si jistě všiml, že a pravé straě (4) je druhá diferece poslouposti u. 5

8 přesvědčíme, že rychlost c šířeí vly je stejá jako v rovici (6). Ostatě harmoická vla je jeom zvláštím případem obecé vly. K disperzi edochází. Vrátíme se k rovici (4) a budeme studovat, jaký v í může vzikout pohyb, který by byl periodický vzhledem k prostorové souřadici. Budeme požadovat, aby pro každé a celé číslo N platila podmíka u + = u. Délka vly tedy bude L = Na. N Abychom se zbavili diferečího vztahu a pravé straě rovice (4), zavedeme ové proměé podle vzorce N pk N v p 1 1 π i / = e N k = 1 u k. (9) Rovici (4) vyásobíme čiitelem k (9) dostaeme po úpravě vzorec πi p / N e a sečteme od = 0 do N 1. S přihlédutím d v p + p p dt ω v = 0, (10) kde k πp ω p = si. (11) m N Rovici (9) můžeme sado ivertovat, eboť 1 N N 1 p= 0 e πip / N v p 1 = e N k, p π i p(k )/N u k = u. (1) K úpravě posledího vztahu jsme využili (1). Sčítá-li se podle p, vymizí všechy součty při pevém k 0. Zbude N stejých sčítaců u. Řešeím rovice (10) dostaeme v p p iω pt = A e, (13) kde je komplexí amplituda. Když se vrátíme k původím proměým podle (1), bude A p u N 1 1 = Ap exp i( ω pt πp / N). (14) N p= 0 6

9 Komplexí amplitudu můžeme apsat jako vektor délky Ap otočeý o fázový úhel α p, tj. A p A p iα = e P. Výraz výzam je reálá část. S ozačeím tvaru πp πp κ p = = je vlové číslo. Z výrazu (14) má fyzikálí Na L x = a akoec dostaeme hledaé řešeí ve u N = 1 1 N p= 0 A p cos [( ω pt κ p x ) + α p ]. (15) Disperzí vztah, tedy závislost úhlové frekvece a vlovém čísle, je dá rovicí (11). Tuto závislost stačí zázorit v itervalu p N 0, 1 (viz obr. ). ω ω max 0 1/ p/n Obr. Je zřejmé, že úhlová frekvece žádé harmoické složky, která se řetězcem šíří, emůže překročit hodotu ω k m. max = Pozámka. V literatuře [1] ajde čteář poěkud jié odvozeí. Zároveň se tam dokazuje, že pokud bychom se pokusili vybudit vlu vyšší frekvece ež ω max, apříklad tak, že bychom touto vysokou frekvecí budili jedu hmotu řetězce, podařilo by se ám rozkmitat hmoty je v ejbližším okolí a vzruch by se dále ešířil, vla by expoeciálě se vzdáleostí od místa buzeí odezěla. 7

10 Vlěí v jedorozměrém řetězci, v ěmž jsou iteraktiví síly odvozey z poteciálu Opět budeme posuzovat řetězec vytvořeý stejými hmotami m rozděleými po přímce s roztečí a. Tetokrát ebudou sériově spojey lieárími pružiami, ale budou a sebe vzájemě působit silami odvozeými z poteciálu V = V K,, ξ, ξ, ) tak, že síla působící a -tou částici je F ( ξ K V =. Přitom ξ = a + u = x + u, kde u je ξ posuv -té hmoty (hmoté částice). Ta má v rovovážém stavu souřadici x = a. Síla působící a tuto částici v rovovážém stavu musí být ulová (částice se V epohybuje), takže = 0. Poteciál V yí rozvieme v okolí rovovážé polohy ξ x v Taylorovu řadu, v které poecháme čley pouze do druhého řádu (což stačí pro liearizovaou teorii). Protože a kostatě ezáleží (při derivaci odpade) a prví parciálí derivace jsou jak jsme právě ukázali ulové, bude akoec V = 1 r, s V ξ ξ r s x u r u s. (16) Na poteciál musíme klást určité fyzikálí požadavky. Například budeme předpokládat, že vzájemé působeí dvou hmot ezávisí a ostatích hmotách, takže hodota poteciálu pro teto pár bude záviset je a souřadicích ξ, ξ hmotých částic tohoto páru. Poteciál bude mít proto tvar 1 V = Vrs ( ξ r, ξs ), r s. (17) r, s Působeí r-té hmoty a s-tou musí být stejé jako s-té hmoty a r-tou. Proto bude platit podmíka souměrosti V ξ, ξ ) = V ( ξ, ξ ). (18) Pro r s rs ( r s sr s r budeme tedy mít r s 8

11 V ξ ξ r s x = Vrs ξ ξ r s x = W rs, přičemž W rs = Wsr, (19) zatímco ξ V r = Vrs s ξ r = w r. (0) Hmoté částice jsou rozděley rovoměrě, takže vzájemé působeí žádého páru se ezměí, přičteme-li k idexům r, s stejé celé číslo (kladé ebo záporé). Takže W r+ p, s+ p = Wrs = Wr s, 0 = W0, r s. Zavedeme-li pro vzdáleost dvou hmotých částic ( r s) a ozačeí qa, bude W rs = W q0 = W0q = Wq. Rovici (16) můžeme s tímto ozačeím přepsat do tvaru V = 1 wrur r + 1 r s W rs u r u s, rs Wq W =. (1) Jsou-li posuvy ulové, je teto poteciál ulový (rovovážý stav). Změíme-li polohu částic tak, že je z rovovážého stavu posueme o reálou vzdáleost δ, zůstae rovováha zachováa, takže (po zkráceí posledí rovice čiitelem δ ) w r + W q = 0. () r s To ukazuje, že w r ezávisí a r, takže teto idex můžeme vyechat, w r = w. Bude proto w + Wq = w + Wq = 0. (3) q, q 0 q> 0 S využitím vztahu (1) můžeme apsat pohybovou rovici pro -tou částici ve tvaru u d m dt = wu W, u, aebo s použitím (3) u d m dt = k q q, q> 0 ( u q + u q u ) kq = Wq +,. (4) 9

12 Pravá straa této rovice má jedoduchý fyzikálí výzam. Představuje působeí soustavy lieárích pruži spojujících -tou částici s každou z ostatích částic. Řešeí i( κ x ωt) posledí rovice budeme předpokládat ve tvaru u = Ae, takže qa ± q = e ±iκ. Dosazeím tohoto výrazu do (4) dostaeme po úpravě disperzí vztah u u κqa mω 4 kq si = 0. (5) q> 0 Obdobě jako (11) ukazuje teto vztah závislost úhlové frekvece a vlovém čísle. Jeli κ qa << 1, můžeme fukci sius aproximovat hodotou jeho argumetu a vypočítat pro teto případ úhlovou frekveci ze vzorce ω = q >0 k q m q κa = E κ. (6) ρ Teto vztah se shoduje s prvím ze vztahů (8), jestliže výraz pro modul pružosti ak a E = v rovicích (3) změíme a E = S S q> 0 k q q. To zameá, že řetězec může být vhodým modelem homogeí lieárě pružé teké tyče, platí-li uvedeá silá erovost. Jde-li o řetězec atomů ve mřížce, a to jedodimezioálí, pak půjde o velice tekou tyč, spíše vláko (whisker). Skutečá jeho struktura je ovšem diskrétí a ikoli spojitá. K zajímavým závěrům dospějeme, omezíme-li se ve vztahu (5) a hodoty q. To zameá, že každá hmotá částice bude v iterakci je se dvěma ejbližšími sousedími částicemi po každé straě. Poteciál od vzdáleějších částic bude mít zaedbatelý účiek. Po rozepsáí dá rovice (5) 1 k1 κa k si si π ω = + κa, κ 0,. (7) m m a 10

13 k1 Je-li > 1, je ω mootóě rostoucí fukcí κ a abývá maxima k 4. Je- k li však 1 < 1 k 4, roste ω pouze v itervalu (,κ ) 0 do hodoty ω ( k1 k ) 1 4k κ = + m, přičemž 1 k = 1 κ arccos, a 4k k 1 pro m a pak zase klesá, jak ukazuje obr. 3. To zameá, že se mohou v tomto případě v jistém frekvečím itervalu řetězcem šířit se stejou úhlovou frekvecí dvě vly o růzých vlových číslech. ω κ = π a 0 κ * π a κ Obr. 3 Omezili jsme se a jedorozměré řetězce. Vlěí v prostorových soustavách (krystalických mřížkách) je aalyzováo apříklad v literatuře []. Kolejice uložeá a odpružeých pražcích Vyšetříme deformace přímé velmi dlouhé (ekoečé) kolejice uložeé s pravidelou roztečí a a pražcích. Pražce jsou uložey a Wiklerově pružém podloží, kolejice je zatížea ad jediým pražcem osamělou silou F 0 = F (obr. 4). Poecháme straou možosti řešit tuto úlohu umerickými postupy, apříklad metodou koečých prvků, protože úloha je jedoduchá a aalytické metody vedou rychle k cíli. 11

14 F Obr. 4 x R Přeáší-li -tý pražec reakci R, posue se do podloží o průhyb δ. Tuhost c = / δ ezávisí podle Wiklerovy hypotézy a průhybech ostatích pražců. Každý pražec je podle této představy ulože a vlastí pružiě, ezávisle a ostatích pružiách. Pro osík a pružých podpěrách platí pětimometová rovice odvozeá apř. v literatuře [3] α M = Δ, (8) + βm 1 + γm + βm αm + kde je celé číslo ozačující podpěru, α = 6EJ / ca, β = a 4α, γ = 4 a + 6α, Δ = α a F + F F ). Síly F jsou vější síly, které působí a kolejici v místě ( podpěr. Protože je zatíže je pražec = 0, bude Δ = 0 pro 0. Vzhledem k symetrii budeme řešit je poloviu osíku (kolejice) x 0, takže, a pak dosadíme M = M. Řešeí diferečí rovice (8) je obdobé jako řešeí difereciálí rovice, tj. je součtem obecého řešeí homogeí rovice (pro ehomogeí (úplou) rovici. Pro uvedeou poloviu osíku Δ = 0 ) a řešeí partikulárího pro ( ) bude diferečí rovice zřejmě homogeí. Řešeí homogeí rovice lze předpokládat ve tvaru geometrické řady Jde o zobecěí zámé Clapeyroovy třímometové rovice. 1

15 M ( homog) = kost. λ. (9) Dosadíme-li (9) do (8) s hodotami Δ = 0, dostaeme reciprokou rovici pro kvociet λ 1 1 α λ + = 0. + β λ + + γ (30) λ λ Použijeme substituci příklad [4]: λ + 1 λ = Χ. Obecé výrazy jsou epřehledé, a tak zvolíme F = N, a = 0,53 m, EJ = 4, N.m -, c = N.m -1. Vyjde α = 14,854 m, β = m, γ = 91,44 m. Kořey rovice (30) budou λ 1, = 1,4340 ± i.0,7483 = r 1(cosϕ ± i siϕ), kde r 1 = 1, 6176, ϕ = 0,4809 rad, λ =,5481± i.0,860 = r (cosϕ ± i si ), 618 3,4 0 ϕ r = 0,. Má-li být řešeí reálé, musí být itegračí kostaty komplexí. Nakoec vyjde M = M ( C ϕ + C si ϕ) + r ( C cos ϕ C si ϕ) (homog) = r cos 4 (31). Protože je r1 > 1, musí být C 1 = 0, C = 0. 3 Toto řešeí doplíme o partikulárí itegrál a kostaty C 3, C 4 určíme tak, aby byly splěy okrajové podmíky v řezu x = 0 (fyzikálí a geometrická). To je poěkud zdlouhavé. Rychle vede k cíli difereciálí rovice, kterou dostaeme, když diskrétí model uložeí kolejice ahradíme spojitým, tj. kolejici budeme považovat za osík spočívající a spojitém Wiklerově pružém podkladu o ekvivaletí tuhosti k 6 = c / a = 6.10 / 0,53 = 1, N.m -. Pro průhyb w (x) bude platit difereciálí rovice (homogeí, eboť a osík epůsobí spojité vější zatížeí) 3 S rostoucím se podpěrové momety zmešují a v ekoeču vymizí. 13

16 4 d w EJ + kw = 0 (3) 4 dx s řešeím platým pro pravou poloviu osíku x 0 (itegračí kostaty jsou A, B) ϑ x ( Acosϑx B si ϑx) w( x) = e +, kde ϑ = 4 k 4EJ. (33) Tato rovice představuje expoeciálě tlumeou harmoickou vlu o vlové délce L = π/ϑ. Pro daé hodoty vypočteme L = π/0,9075 = 6,94 m. Také rovice (31) má svou zobecěou periodu, pokud připustíme i ecelé hodoty. Vyjde (per) = π / ϕ a tomu odpovídá vlová délka L = a = πa / ϕ (per) = 6, 95 m. Obě hodoty se téměř přesě shodují, což zameá, že jsme oprávěi považovat daou kolejici uložeou a pražcích za osík a spojitém pružém podkladu a použít rovice (3) místo rovice (8). Dopustíme se tím zaedbatelé chyby. Literatura [1] BREPTA, R. OKROUHLÍK, M. VALEŠ, F.: Vlové a rázové děje v pevých tělesech a jejich řešeí. Studie 16-85, Nakladatelství ČSAV, Praha [] ROSEAU, M.: Vibratios des systèmes mécaiques. Méthodes aalytiques et applicatios. Masso, Paris [3] BAŽANT, Z. a kol.: Nauka o pružosti a pevosti. Techický průvodce sv. 3, Česká matice techická, Praha [4] HÖSCHL, C.: Studium mechaiky jako hledáí souvislostí. I: Aplikovaá mechaika 000, Techická uiverzita v Liberci, 000. *** 14

17 Podivý život a dílo Gerolama Cardaa ( ) Strage Life ad Work of Gerolamo Cardao ( ) Cyril Höschl Summary The most famous Cardao s ivetio is the joit coectig two cocurret shafts. The author of this article presets solutio to kiematics of the Cardao s joit i terms of the spherical trigoometry, which is very simple. Mathematicias may brush up the Cardao s formulae for solutio to the algebraic equatios of the third degree ad also the casus irreducibilis. These formulae were published by Cardao i his book Ars Maga Liber. However, hardly ay reader kows that he also published the book O the Bad Practice of Medicie i Commo Use. His groudbreakig book Book o Games of Chace was published early iety years after his death. He wrote it whe he was approximately thirty years old, i.e. i the days whe the probability theory had ot existed. Just as his work was varied, so his life was colourful ad dramatic. Každý automobilista ví, co je to Cardaův kloub, který spojuje dva růzoběžé hřídele. Osy hřídelů spolu svírají úhel ϑ ( 0 ϑ < π / ). Prví i druhý hřídel jsou zakočey vidlicemi, do ichž je otočě zavěše další čle. Te je tvoře dvěma čepy spojeými do tvaru pravoúhlého rovorameého kříže. Obě vidlice jsou a těchto čepech zavěšey tak, jak je zázorěo a obr. 1. Je-li rotace prvího hřídele rovoměrá, je rotace druhého hřídele erovoměrá (s výjimkou případu ϑ = 0 ). Zajímá ás, jak spolu souvisí obě úhlové rychlosti. Řešit tuto úlohu eí příliš přehledé ai sadé, používáme-li roviou trigoometrii. S použitím vzorců zámých ze sférické trigoometrie je však řešeí velmi jedoduché. To yí ukážeme. 15

18 o o 1 A O B ϑ Obr. 1 Protože sférická trigoometrie se už a školách běžě evyučuje 1, uvedeme ejdříve ěkteré defiice a zvyklosti v ozačováí veliči. Představme si plášť jehlau, jehož bočí stěy tvoří trojúhelíky (lhostejo, ejsou-li shodé, ai kolik jich je). Kolem vrcholu jakožto středu opíšeme kouli o poloměru r. Pak každá stěa jehlau prote povrch koule v oblouku, jehož délka závisí a protějším vrcholovém úhlu. Te spolu svírají příslušé hray jehlau. Oblouk spadá do hlaví kružice, která má ve sférické trigoometrii týž výzam jako přímka v euklidovské geometrii, svým úsekem totiž spojuje dva pevé body ejkratším možým způsobem. Oblouky a kouli tvoří jakýsi polygo, obdobý mohoúhelíku v roviě. Proto se tyto oblouky ozačují jako stray. Podělíme-li délku této stray poloměrem r, dostaeme arcus vrcholového úhlu, tedy hodotu ezávislou a poloměru koule. Bude to bezrozměrová veličia, kterou budeme měřit délku stray. Proto ji ozačíme písmeem latiské abecedy. Naproti tomu úhly, které spolu svírají stěy jehlau, budou ozačováy písmey řecké abecedy. Po této průpravě se vrátíme k obr. 1. Osy obou hřídelů mají v prostoru pevou polohu a protíají se ve středu Cardaova kloubu. Při rotaci se rameo OA třetího čleu (kříže) pohybuje eustále v roviě ρ 1 kolmé k ose o 1 prvího hřídele, protože je v této roviě udržuje vidlice hřídele. Druhé rameo OB se obdobě otáčí v roviě ρ kolmé k ose o druhého hřídele. To je azačeo a obr.. 16

19 ρ 1 ρ ϑ A c = 90 0 B a b O P Obr. Průsečice obou rovi je kolmá k oběma osám hřídelů a prochází středem kloubu. Pohyb kříže v těchto roviách zprostředkuje rotaci mezi oběma hřídeli. Nás bude zajímat převodový poměr úhlových rychlostí ω /ω1. Úhel, který svírá rameo OA kříže s průsečicí OP rovi ρ 1, ρ, ozačíme a. Je to úhel mezi OP a OA. Rameo OB bude s touž polopřímkou svírat úhel b. Když ze středu kloubu opíšeme kouli, vytvoří jehla o těchto třech hraách (OA, OB a OP) a kulovém a 0 c = 90 ϑ Obr. 3 b 0 povrchu sférický trojúhelík o straách a, b, c = 90 straami a, b se rová úhlu. Úhel mezi ϑ os obou hřídelů (podle pravidla o úhlech s ramey avzájem kolmými). Dostaeme tedy sférický trojúhelík zázorěý a obr Duch doby paradoxě matematice epřeje. V Lidových oviách se de dokoce psalo o tom, že ám opět hrozí teror matematiky, totiž opěté zavedeí matematiky jako poviého maturitího předmětu. 17

20 Nyí stačí aplikovat kosiovou větu pro strau zámou ze sférické trigoometrie [1], abychom dostali cos acos b + si asibcosϑ = cos c = 0. (1) Protože d 1 a = ω dt, b = ω dt, () d dostaeme difereciací (1) a dosazeím do () převodový poměr ω ω 1 si a cosb cos asi bcosϑ =. (3) cos asi b + si a cosbcosϑ Vyloučíme strau b pomocí vztahu (1) a dostaeme po úpravě ω ω 1 cosϑ =. (4) cos a + si a cos ϑ Je-li ve zvláštím případě a = 0, je ω = ω1 cosϑ. Je-li aopak a = 90, vyjde 0 ω = ω1 / cosϑ. Za rotace osciluje převodový poměr mezi těmito hodotami, platí tedy ohraičeí cosϑ ω ω1 1/ cosϑ. (5) Závislost (4) převodového poměru a otočeí a prvího hřídele je pro hodotu 0 ϑ = 60 zakreslea a obr

21 ,5 převodový poměr 1,5 1 0, úhel otočeí 1. hřídele (stupňů) Obr. 4 Zámé jsou i Cardaovy vzorce z algebry, které Cardao uveřejil v kize Ars Maga Liber (Kiha o uměí ejvětším). Tím si zepřátelil matematika samouka Nicolu Tartaglia, který prý metodu řešeí jistých algebraických rovic zal, ale chtěl ji utajit. Odboré zájmy Cardaovy však byly mohem širší. Původě si jeho otec přál, aby vystudoval práva, protože by v takovém případě dostával stipedium. Cardao si však usmyslel, že bude studovat lékařství, čehož dosáhl až po rodié roztržce. Odešel z domova v Miláě a utekl do Pávie, chyběly mu však peíze. Učil proto geometrii, alchymii a astroomii, ale peíze estačily. Tak se rozhodl, že si vydělá v hazardích hrách. Ty roztřídil a hry vyžadující ějakou strategii a dovedost a a hry, v ichž hrála rozhodující roli áhoda. Usoudil, že i áhodé jevy mají své zákoitosti, a když je ovláde, může potřebé peíze získat. Skutečě si zaedlouho vydělal v hazardích hrách více, ež kolik by získal a stipediu za deset let. V roce 150 se pak zapsal jako studet medicíy a krátce potom začal psát kihu o hazardí hře. Je třeba si uvědomit, že 19

22 v té době eměl o teorii pravděpodobosti ikdo poětí a že sama aritmetika byla ještě v plekách. V patáctém století se zaméka + a používala jeom pro ozačeí odchylek váhy bede se zbožím oproti správé váze. Zaméko rovosti = zavedl Robert Recorde v Cambridge teprve roku 1577, tedy rok po Cardaově smrti. A zaméko pro ásobeí zavedl vyálezce logaritmického pravítka, episkopálí kěz William Oughtred, teprve v sedmáctém století. Cardaův spis se jmeoval Pojedáí o hrách a áhodě. Kihu se mu epodařilo vydat a akoec dospěl k závěru, že by to ai ebylo vhodé, kdyby jié učil, jak mohou v hazardích hrách vyhrávat. Vyšla až za ecelých devadesát let po jeho smrti. Abychom si uvědomili Cardaovu geialitu, připomeeme čláek Martia Gardera z časopisu Scietific America z říja 1959, v kterém apsal, že v žádé jié oblasti matematiky se edokážou experti tak blamovat, jako v teorii pravděpodobosti. Dokládá to a problému, který yí stručě uvedeme. Představme si soutěž, ve které si má vítěz svou výhru sám vybrat otevřeím jeděch ze tří stejých dveří. Za jeděmi z ich je dejme tomu luxusí auto, za dalšími dvěma vycpaá koza. Když soutěžící ozačí jedy áhodě vybraé dveře, má je třetiovou aději, že je za imi auto. Vtom do hry vstoupí moderátor, otevře jedy z eozačeých dveří, za imiž auto eí, a ptá se, zda soutěžící echce svou volbu změit. Otázka je, zda je to pro ěho výhodé. Soutěžící má yí a výběr je dvě možosti. Protože auto může být se stejou pravděpodobostí za jeděmi zavřeými dveřmi jako za druhými, tak je to jedo, jestli soutěžící svou volbu změí ebo e. Tak usuzovali i výzamí matematici. Teto úsudek je však chybý. Předpokládejme ejprve, že prví volba byla šťastá, tj. za ozačeými dveřmi je auto (což soutěžící dosud eví). Zůstae-li hráč u své prví volby, zvítězí. Ovšem to, že za dveřmi opravdu auto bude, má pravděpodobost je 1/3. Zato pravděpodobost, že volba byla špatá, je /3. Hráč zvítězí při špaté prví volbě je tehdy, když volbu změí. Shreme-li tyto dvě možosti, pak hráč při ezměěé volbě zvítězí s pravděpodobostí 1/3, při změěé volbě s pravděpodobostí /3. Statistika vítězů 0

23 opakovaé soutěže potvrzuje, že ti, kteří volbu změí, zvítězí přibližě dvakrát častěji ež ti, kteří volbu ezměí. Tuto hru lze poměrě sado simulovat a počítači, a tak si mohý čteář může toto statistické ověřeí celé hry doma ověřit. Nevyhraje přitom ovšem ic, ai auto, ba ai tu vycpaou kozu. Zvládutí podobých problémů umožilo zakladateli počtu pravděpodobosti a hazardímu hráči Gerolamu Cardaovi, aby si v hazardích hrách vydělal a živobytí, kdykoli se mu v životě edařilo. Když se Cardao vrátil do Miláa s lékařským diplomem v kapse, eašel tam zaměstáí. Ještě jako studet uveřejil totiž stať azvaou O růzosti lékařských ázorů, v které azval lékařskou obec badou mastičkářů. Miláská lékařská komora ho proto odmítla jmeovat svým čleem. Cardao se tedy odebral do malého městečka Sacco, kde bylo moho emocých a žádý lékař. Tetokrát byl Cardaův úsudek chybý, emocí totiž žádého lékaře eměli, protože ho echtěli. Vystačili si se zaříkávači a kězi. Miláská komora epřijala Cardaa ai po pěti letech, kdy svou žádost opakoval. A tak mohl léčit emocé je tajě. Většiou to byli lidé velmi chudí ebo bezadějě emocí. Cardao apsal o této době ve svém životopisu (citováo podle []): Abych si přivydělal, abych uživil maželku, byl jsem uce uchýlit se opět ke kostkám; a tady mi moje zalosti matematiky pomáhaly zvítězit ad áhodou a měli jsme zač koupit si jídlo a přežívat, i když aše bydleí bylo v zoufalém stavu. Jeho život se rázem změil, když se mu podařilo vydat kihu s přitažlivým ázvem O špatých lékařských postupech v běžé praxi. Pomohlo mu také, že se áhle zlepšil zdravotí stav jedoho jeho tajého pacieta, dobře zámého pátera augustiiáského řádu. Lékařská komora eježe ho přijala za člea, ale jmeovala ho rovou rektorem. Mezitím publikoval spisy o algebře, a tak se ocitl kolem roku 1555 a vrcholu bohatství a slávy. Ježe všecha sláva polí tráva. Z velké části za Cardaův pád mohou jeho děti. Když bylo dceři Chiaře šestáct let, svedla svého staršího bratra Giovaiho a otěhotěla. Po potratu zůstala eplodá, přesto se vdala a akazila syfilidou. Giovai vystudoval lékařství, ale proslul jako krimiálík. Byl přiuce vzít si evěstu z rodiy, 1

24 která měla zálusk a Cardaovy peíze. Věděla, že Giovai otrávil ějakého městského úředíka. Mezitím Aldo, Cardaův mladší sy, který jako dítě rád týral zvířata, zaměil tuto zálibu za pracoví áplň, když se dával ajímat ikvizicí k mučeí lidí. Byla to odměa za to, že předtím podle ávodu matematika Tartaglia udal svého otce. Z obou bratrů se stali podvodíci. Pár let po svatbě dal Giovai jedomu sloužícímu záhadou směs, aby ji přidal do dortu pro svou maželku. Po její smrti byl akoec usvědče a skočil a popravišti. Miláský seát dal vyškrtout Cardaovo jméo ze sezamu těch, kdo smějí předášet, obviil ho ze sodomie a icestu a dal ho vyhat z provicie. Tehdy apsal do své biografie: Jsem zova v hadrech, bez peěz, bez příjmů, můj plat je pozastave, moje kihy zabavey Po krátkém pobytu ve vězeí dožil Cardao pár zbývajících let v zapomeutí v Římě. Tak zemřel muž, jehož otec byl přítelem Leoarda da Viciho. Literatura [1] REKTORYS, K. a kol.: Přehled užité matematiky. SNTL, 3. vyd., Praha [] MLODINOW, L.: Život je je áhoda. Slovart, Praha 009 (překlad z agl. orig.). ***

25 Kroika Chroicle Ig. Oldřich Kropáč, DrSc. ( ) Ig. Oldřich Kropáč, DrSc. se arodil v Brě. V roce 194 maturoval a brěské reálce a pak absolvoval abiturietský kurz a Vyšší průmyslové škole strojické. Po válce astoupil a Vysokou školu techickou v Brě, kterou úspěšě dokočil složeím druhé státí zkoušky v roce V roce 195, po skočeí základí vojeské služby, astoupil do Leteckého výzkumého ústavu v Letňaech. Tam byl zpočátku řadovým pracovíkem, postupě získal i své další tituly, stal se vedoucím střediska teorie, iformace a automatizace a později vedoucím odděleí aplikovaé matematiky a kyberetiky. Toto místo zastával až do svého odchodu do důchodu v roce V dalším textu jeho odborý život výstižě popisují kolegové M. Špric juior a P. Múčka. Ig. Kropáč byl mimo jié i pilým přispěvatelem do Bulletiu České společosti pro mechaiku. Napsal řadu popularizačích čláků, apříklad o fraktálech, o stochastických modelech v teoretické a experimetálí mechaice, o statistických a mediáových filtrech, apod. Pod pseudoymem C. A. Pork, což je KROPAC psáo pozpátku, též publikoval ěkolik úsměvých fejetoů, v ichž si pohrává s áměty jako je matematická teorie výročí zde k tomu používá osmičkovou číselou soustavu, takže ukazuje, že dekadický čtyřiašedesátík vlastě může slavit osmičkové sté arozeiy ebo rozšířeý model odměňováí, či se zamýšlí ad vědeckou prací a uděluje dobře míěé rady začíajícím výzkumíkům (ale eje jim). Je to ispirující četba. 3

26 Sezam jeho příspěvků do Bulletiu Společosti je ásledující. 3/1986 C. A. Pork: Systémové a jié obecé zákoy 1/1986 O. Kropáč: Stochastické modely v teoretické a experimetálí mechaice pevých těles 3/1988 do kroiky čláek k 65. arozeiám Doc. Ig. J. Drexlera, CSc. 1/1989 C. A. Pork: Příspěvek k matematické teorii výročí 1/1993 C. A. Pork: Rozšířeý model odměňováí 1/1995 O. Kropáč: Fraktály a jejich uplatěí 3/1995 O. Kropáč: Vzpomíky a dvě zasloužilé osobosti ašeho letectví (Z. Růzha, M. Golobov) 3/1997 O. Kropáč: Mediáové a ěkteré další statistické a hybridí filtry 1/000 C. A Pork: Rok 000 rok eaplěých očekáváí? /004 C. A. Pork: Několik rad začíajícím výzkumíkům (ale eje jim) 1/005 receze čláku Weiberg, S.: Tváří v tvář. Věda a její itelektuálí protivíci /005 C. A. Pork: Stovkaři mezi ámi, aeb další pozámky k teorii výročí Čteář si je může připomeout a potěšit se s imi a webovských strákách Čláky ke Kropáčovým 70., 75. a 80. arozeiám ajde čteář v Bulletiech 1/1995, 1/000 a 1/005. Dr. Kropáč v roce 005 poslal tehdejšímu předsedovi Společosti dopis ásledujícího zěí. 4

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Téma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí

Téma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí Počítačová podpora statických výpočtů Téma: ) Dyamika stavebích kostrukcí Katedra stavebí mechaiky Fakulta stavebí, VŠB V Techická uiverzita Ostrava Rozděleí mechaiky Statika Zabývá se problematikou působeí

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

pro bakalářský studijní program Ekonomika a management

pro bakalářský studijní program Ekonomika a management B608 Ekoomika a maagemet POŢADAVKY K PŘIJÍMACÍ ZKOUŠCE pro bakalářský studijí program Ekoomika a maagemet MATEMATIKA 1. Počítáí s reálými čísly Zlomky, mociy, odmociy, ( a b), ( a b), a b.. Počítáí s procety

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Středoškolská technika 2015 ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA

Středoškolská technika 2015 ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA Středoškolská techika 05 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA Duša Köig Středí průmyslová škola strojická

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

je vstupní kvantovaný signál. Průběh kvantizační chyby e { x ( t )}

je vstupní kvantovaný signál. Průběh kvantizační chyby e { x ( t )} ČÍSLICOVÉ ZPRACOVÁNÍ ZVUKOVÝCH SIGNÁLŮ Z HLEDISKA PSYCHOAKUSTIKY Fratišek Kadlec ČVUT, fakulta elektrotechická, katedra radioelektroiky, Techická 2, 66 27 Praha 6 Úvod Při číslicovém zpracováí zvukových

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

FREQUENCY ANALYSIS OF FREE VIBRATIONS OF THE BEAM IN POSTCRITICAL STATE

FREQUENCY ANALYSIS OF FREE VIBRATIONS OF THE BEAM IN POSTCRITICAL STATE FREQUENCY ANAYSIS F FREE VIBRATINS F THE BEAM IN PSTCRITICA STATE P. Fratík * Summary: Postcritical ree vibratios o a sleder elastic beam are studied. Catilever beam is loaded by axial orce ad lateral

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

Vlastní hodnocení školy

Vlastní hodnocení školy Vlastí hodoceí školy dle vyhlášky 15/2005 Sb., v platém zěí, kterou se staoví áležitosti dlouhodobých záměrů, výročích zpráv a vlastí hodoceí školy. Škola: Základí umělecká škola Plzeň, Sokolovská 30,

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

obsah obsah... 5 Přehled veličin... 7

obsah obsah... 5 Přehled veličin... 7 Obsah 5 obsah obsah... 5 Přehled veliči... 7 Úvodem... 9 Předmluva... 10 1 Úvod do mechaiky... 11 1.1 ozděleí mechaiky... 11 1.2 Základí pojmy... 11 1.2.1 O pohybu a prostoru v mechaice... 11 1.2.2 Hmota...

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Vliv tváření za studena na pevnostní charakteristiky korozivzdorných ocelí Ing. Jan Mařík

Vliv tváření za studena na pevnostní charakteristiky korozivzdorných ocelí Ing. Jan Mařík stavebí obzor 9 10/2014 125 Vliv tvářeí za studea a pevostí charakteristiky korozivzdorých ocelí Ig. Ja Mařík Ig. Michal Jadera, Ph.D. ČVUT v Praze Fakulta stavebí Čláek uvádí výsledky tahových zkoušek

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více