Lucie Mazurová. 9.1 Operační riziko v rámci koncepce Basel II

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Lucie Mazurová. 9.1 Operační riziko v rámci koncepce Basel II"

Transkript

1 9. Modelování operačního rizika Lucie Mazurová Operační riziko lze chápat obecně jako riziko ztráty v důsledku provozních nedostatků a chyb, resp. jako riziko plynoucí z operací firmy. Operační riziko se přitom nevztahuje na produkci nebo služby poskytované firmou. (Například u banky operační riziko nezahrnuje ztráty v důsledku obchodování, investování, půjčování peněz apod. v rozsahu normálních aktivit banky. Oproti tomu ztráta vzniklá jednáním obchodníka, který při obchodování překročil povolený limit, bude pod ztráty z operačního rizika zahrnuta.) Pojem operačního rizika lze obecně aplikovat na jakoukoli firmu či organizaci, metody pro měření a modelování tohoto rizika se však nejvíce rozvíjely v bankách. V současnosti se díky zohlednění operačního rizika směrnicí Evropské Unie známou jako Solventnost II stává otázka modelování operačního rizika aktuální rovněž pro pojišt ovny. 9.1 Operační riziko v rámci koncepce Basel II Pod názvem Basel II je známa metodika řízení rizik v bankách vypracovaná Basilejským výborem pro bankovní dohled ([2]). Tato metodika je součástí legislativy Evropské Unie, v České republice je implementována vyhláškou ČNB ([1]). Uved me definici operačního rizika dle Basel II (shodně definuje operační riziko pro pojišt ovny Solventnost II): Operační riziko je riziko ztráty vyplývající z nedostatečnosti nebo selhání vnitřních procesů, osob, systémů, nebo z vnějších událostí. Pod tuto definici spadá právní riziko (tj. např. riziko, že protistrana není právně způsobilá uzavírat kontrakt nebo riziko konfliktu transakcí s legislativou). Výše uvedená definice naopak nezahrnuje strategické rizko (riziko ztráty v důsledku špatného obchodního rozhodnutí) ani reputační riziko (poškození reputace je chápáno jako důsledek jiného selhání v oblasti operačního rizika). Basel II uvádí kategorizaci operačního rizika na různých úrovních dle typů událostí, které vedou ke ztrátě. Pro ilustraci zde uved me základní typy ztrátových událostí s některými konkrétními příklady: vnitřní nekalé jednání (podvod, zpronevěra, obcházení právních či vnitřních předpisů), vnější nekalé jednání (ze strany třetí osoby), pracovněprávní postupy a bezpečnost provozu (újma na zdraví, diskriminace zaměstnanců), klienti, produkty, obchodní postupy (neplnění závazků vůči klientovi, ochrana osobních dat, vady produktů), škody na hmotném majetku (přírodní katastrofy a jiné události), narušení činností a selhání systémů (hardware, software, telekomunikace), provádění transakcí, dodávky, řízení procesů (zpracování transakcí, vztahy se smluvními partnery). 1

2 Metodika Basel II je založena na koncepci tří pilířů, z nichž první zahrnuje výpočet minimálních kapitálových požadavků, druhý stanoví pravidla pro dohled regulátorů nad kapitálovou přiměřeností a pro interní systémy řízení rizik, třetí pilíř je označován jako tržní disciplína a obsahuje požadavky na zveřejňování informací důležitých pro účastníky trhu. Poznamenejme, že tato struktura byla převzata i do evropské směrnice Solventnost II. Pro účely kapitálové přiměřenosti banka stanovuje minimální kapitálové požadavky k úvěrovému, tržnímu a operačnímu riziku. Pro výpočet kapitálového požadavku k operačnímu riziku jsou v zásadě možné tři přístupy: Přístup základního ukazatele (BIA-Basic Indicator Approach) Kapitálový požadavek k operačnímu riziku se podle přístupu BIA stanoví jako průměr za poslední 3 roky z pevně stanoveného podílu (dále označovaného α) z kladných ročních hrubých výnosů. Matematicky lze kapitálový požadavek v roce t vyjádřit formulí kde C t BI = 1 Z t Z t = 3 α max(gi t i, 0), (1) i=1 3 i=1 I [GI t i >0] a GI j označuje hrubý roční výnos v roce j. (Poznamenejme, že hrubý roční výnos je definován jako čistý úrokový plus čistý neúrokový výnos, je počítán před odečtením nákladů na tvorbu opravných položek a rezerv a provozních nákladů, nezahrnuje realizovaný zisk nebo ztrátu z prodeje nástrojů investičního portfolia, mimořádné a nepravidelné výnosy a výnosy z pojistného plnění.) Na základě dopadových studií byla stanovena výše podílu α na 15% Standardizovaný přístup Pro účely standardizovaného přístupu se uvažuje činnost banky rozdělená do osmi linií podnikání: podnikové financování, obchodování na finančních trzích, retailové makléřství, podnikové bankovnictví, retailové bankovnictví, zúčtovací služby pro třetí osoby, služby z pověření, obhospodařování aktiv. Pro každou linii podnikání slouží hrubý výnos jako přibližná míra expozice riziku. Kapitálový požadavek pro linii j je vypočítán vynásobením hrubého výnosu daným faktorem β j. Celkový kapitálový požadavek je pak stanoven jako tříletý průměr z kladných součtů dílčích požadavků stanovených pro jednotlivé linie podnikání: [ CS t = ] max β j GI t i j, 0. (2) 3 i=1 j=1 2

3 Poznamenejme, že výše uvedená formule umožňuje použít záporný kapitálový požadavek v linii podnikání se záporným hrubým výnosem ke snížení kapitálových požadavků v ostatních liniích. Předepsaná výše koefiicentů β ve formuli (2) se pohybuje v rozmezí 12%-18%. Výše uvedené elementární přístupy nezohledňují úspěšnost banky v předcházení škod z operačních rizik. Jsou určeny bankám s malou expozicí operačnímu riziku. Mezinárodně působícím bankám s velkou rizikovou expozicí je doporučován pokročilý přístup, který bude obsahem dalšího výkladu Pokročilý přístup (AMA - Advanced Measurement Approach) AMA přístup představuje výpočet kapitálového požadavku vycházející z interních modelů operačního rizika banky. Jeho použití podléhá schválení regulátorem, které je podmíněno splněním řady kvalitativních a kvantitativních podmínek. Uved me některé zásadní požadavky na akceptovatelný model. Model pro měření operačního rizika musí být dostatečně detailní a musí postihovat možnost výskytu extrémně velkých škod. Kapitálový požadavek má být stanoven tak, aby zahrnoval neočekávanou i očekávanou ztrátu, při tom má být dosaženo standardu srovnatelného s hladinou spolehlivosti 99,9% v průběhu ročního období. Banka musí shromažd ovat interní data o škodách z operačního rizika, výpočet míry rizika pro stanovení kapitálového požadavku má být založen na datech z nejméně pětiletého období (při přechodu na AMA přístup stačí zpočátku období tříleté). Interní systém pro měření operačního rizika zároveň musí užívat relevantní externí data. Předpokládá se, že interní data vypovídají o škodách opakujících se s relativně velkou frkvencí, externí data by měla sloužit k modelování škod, které nastávají zřídka, avšak mají velký dopad. Interní model operačního rizika musí rovněž zahrnovat testování scénářů. Dále uved me typickou stochastickou strukturu popisující data o ztrátách z operačního rizika, použitelnou v AMA přístupu. Od banky se požaduje, aby byla data o škodách tříděna dle výše uvedených 8 linií podnikání a 7 základních typů škodních událostí. Předpokládejme tedy pro výpočet kapitálového požadavku pro rok t data z minulých T let ve struktuře (T 5): X t i,b,l k, i = 1,..., T, b = 1,..., 8, l = 1,..., 7, k = 1,..., N t i,b,l, (3) kde X t i,b,l k představuje k-tou škodu typu l v linii b v roce t i a N t i,b,l je počet škod typu l v linii b v roce t i. Typické je stanovení dolní meze pro výši škod zahrnutých do modelu (například v řádu EUR), takže rozdělení veličin (3) je možno chápat jako zleva useknuté rozdělení, tj. odvozené z rozdělení celkových výší škod jako podmíněné rozdělení s distribuční funkcí typu P (X x X > d). 3

4 Celková výše škod v linii b v roce t i má tedy vyjádření L t i,b = 7 l=1 N t i,b,l odkud získáme sečtením vyjádření celkové výše škod v roce t i: L t i = k=1 X t i,b,l k, (4) 8 L t i,b. (5) b=1 Klíčovou úlohou je nyní využití škodních dat k odhadu rozdělení celkové škody v roce t, L t a výpočet vhodné míry rizika pro odhadnuté rozdělení. Označíme-li jako ρ α zvolenou míru rizika pro požadovanou hladinu spolehlivosti α, můžeme kapitálový požadavek k operačnímu riziku stanovený pomocí přístupu AMA obecně vyjádřit vztahem C t AM = ρ α (L t ). (6) Pokud nevíme nic o struktuře sdruženého rozdělení škodních veličin v (4) a (5), můžeme stanovit kapitálový požadavek sečtením dílčích hodnot pro jednolivé linie podnikání: C t AM = 8 ρ α (L t,b ). (7) b=1 Nječastější volbou pro míru rizika je hodnota v riziku, VaR α, definovaná jako α-kvantil uvažovaného rozdělení celkové škody. Při této volbě by pak vztahy (6) a (7) dávaly stejný výsledek, pokud by veličiny vyjadřující škodní úhrny za jednotlivé linie podnikání byly komonotónní. Pravidla pro využití AMA přístupu umožňují bankám vytvářet vlastní modely pro měření korelací mezi jednotlivými kategoriemi ztrát, které ovšem podléhají schválení orgánem dohledu. Podrobně o možnostech agregace rizik a měření závislostí pojednávají například kapitoly 3 a 5 textu [3]. Alternativní volbu míry rizika představuje zbytková hodnota v riziku, TVaR α, která je definována jako střední hodnota uvažovaného rozdělení za podmínky, že dojde k překročení hodnoty v riziku VaR α. Vztah mezi oběma zmíněnými mírami rizika tedy lze zapsat rovností TVaR α (L) = Var α (L) + e (VaR α (L)), (8) kde e(u) = E(L u L > u) (9) je střední hodnota excesů nad mezí u. Pokud je zbytková hodnota v riziku (8) užita ke stanovení kapitálového požadavku, poskytuje v případě překročení meze dané kvantilem VaR α prostředky ve výši odpovídající očekávané velikosti překročení této meze. Prostřednictvím střední hodnoty e (VaR α (L)) umožňuje zbytková míra v riziku zohlednit charakter chvostu rozdělení ztrátové veličiny L. 4

5 Podrobnější výklad vlastností hodnoty v riziku a zbytkové hodnoty v riizku lze nalézt například v kapitole 2 textu [3]. Z výše nastíněného postupu vyplývá, že modelování ztrát z operačního rizika založené na historických datech v mnoha ohledech připomíná modelování škodních úhrnů v neživotním pojištění. V literatuře určené odborníkům v oblasti řízení rizik se proto k modelování operačního riizka často doporučují metody známé z aktuárské literatury (viz např. [4], [5]). V dalším výkladu se budeme podrobněji věnovat některým aspektům stochastických modelů, typickým pro operační riziko. 9.2 Tradiční aktuárský přístup k modelování ztrát z operačního rizika Pro modelování celkových úhrnů škod pro jednotlivé linie podnikání a typy škodních událostí se nabízí přístup kolektivního modelu rizika, kde je úhrn škod za určité období popsán veličinou typu N S = X i, (10) i=1 která má složené rozdělení, je tedy součtem náhodného počtu vzájemně nezávislých a stejně rozdělených veličin, které jsou nezávislé na načítací veličině N. Při modelování úhrnů škod založeném na kolektivním modelu se uvažuje zvlášt vhodný model pro výše jednotlivých škod a zvlášt model pro jejich počty (škodní frekvenci) Modelování výší jednotlivých škod a škodní frekvence Jako model pro výše jednotlivých škod se často volí některé parametrické rozdělení spojité nezáporné veličiny. Připomeňme zde tvar hustoty některých často používaných rozdělení: gama rozdělení: f(x) = (x/θ)α e x/θ x Γ(α), α > 0, θ > 0, logaritmicko-normální rozdělení: f(x) = 1 2πσ x exp Paretovo rozdělení: f(x) = αθα, α > 0, θ > 0., (x+θ) α+1 [ 1 2 ( ln x µ ) 2 ], µ R, σ > 0, σ Typickou vlastností rozdělení ztrát z operačního rizika jsou tzv. těžké chvosty. Tato vlastnost vyjadřuje poměrně velkou pravděpodobnost výskytu velmi vysokých hodnot. Pojem těžkého chvostu není přesně kvantifikován, existuje však několik způsobů, jak rozdělení pravděpodobností podle chvostů klasifikovat. Uved me zde přehled možností takové klasifikace dle [5]: 1) Klasifikace založená na chování chvostů, tj. na limitním chování funkce P (X x) = F (x) = 1 F (x) pro x : K porovnání chvostů dvou rozdělení s distribučními funkcemi F 1, F 2 a stejnou střední F hodnotou lze použít lim 1 (x) x. Pokud je tato limita nekonečná, řekneme, že rozdělení s F 2 (x) 5

6 distribuční funkcí F 1 má těžší chvost než rozdělení s distribuční funkcí F 2. V teorii extrémních hodnot jsou rozdělení s těžkými chvosty charakterizována vztahem F (x) x α L(x), x, (11) L(tx) kde L je kladná lebesgueovsky měřitelná funkce na (0, ) splňující lim x = 1, t > 0. L(x) (Říkáme, že L je pomalu se měnící funkce v nekonečnu.) Chvosty ve tvaru F (x) = x α L(x) charakterizují rozdělení naležející do sféry přitažlivosti Fréchetova rozdělení s distribuční funkcí G(x) = exp( x α ), x > 0, α > 0. (12) (Tzn., že Fréchetovo rozdělení je limitou rozdělení vhodně normovaných maxim M n z n nezávislých veličin s distribuční funkcí F, při n.) Příkladem takového rozdělení je Paretovo rozdělení s distribuční funkcí ( θ ) α, F (x) = 1 α > 0, θ > 0, x 0. (13) θ + x Lze ukázat, že momenty E X j rozdělení ze sféry přitažlivosti Fréchetova rozdělení jsou nekonečné pro j > α. 2) Klasifikace založená na momentech: Za rozdělení s těžkým chvostem je považováno rozdělení kladné náhodné veličiny, pro které existují konečné momenty jen do určitého řádu. Rozdělení náhodné veličiny s konečnými momenty všech řádů je považováno za rozdělení s lehkým chvostem (například gama rozdělení). 3) Klasifikace založená na intenzitě rizika (hazard rate): Intenzita rizika pro rozdělení s hustotou f a dekumulativní distribuční funkcí F je definována vztahem h(x) = f(x) F (x). (14) Rozdělení s těžkým chvostem se vyznačují klesající funkcí (14), naopak rostoucí funkce (14) značí rozdělení s lehkým chvostem. Například intenzita rizika Paretova rozdělení s distribuční funkcí (13) má vyjádření h(x) = α, x 0. (15) x + θ 4) Klasifikace založená na střední hodnotě excesů: Rozdělení s těžkým chvostem se vyznačují rostoucí funkcí e(u) (viz definice (9)), v případě klesající funkce e(u) mluvíme o rozdělení s lehkým chvostem. Souvislost dvou posledně uvedených výsledků lze vysvětlit na základě vzájemného vztahu intenzity rizika a střední funkce excesů. Z definice (14) plyne F (y + u) F (u) [ = exp 6 y 0 ] h(u + t) dt. (16)

7 Střední hodnotu excesů lze vyjádřit vztahem e(u) = 0 F (y + u) dy. (17) F (u) Pokud je tedy intenzita rizika klesající funkcí, je střední hodnota excesů rostoucí funkcí proměnné d, nebot dle (16) je pak rostoucí funkcí proměnné d při pevném y podíl F (y+u). F (u) Poznamenejme, že obrácená implikace v tomto případě neplatí. Pro modelování počtů škod nastalých v určitém časovém období je nejoblíbenějším modelem Poissonovo rozdělení definované pravděpodobnostmi P(N = n) = λn n e λ, n = 0, 1,..., λ > 0. Parametr λ Poissonova rozdělení je roven střední hodnotě i rozptylu. Pokud pozorované počty škod vykazují větší rozptyl, než je jejich střední hodnota, může být vhodným modelem negativně binomické rozdělení, které lze odvodit jako Poissonovo rozdělení s náhodným parametrem majícím gama rozdělení. Basilejský výbor pro bankovní dohled vydal v roce 2009 publikaci [6], která shrnuje výsledky průzkumu uskutečněného v roce 2008 mezi bankami, které používají pro výpočet kapitálového požadavku k operačnímu riziku některý z postupů metodiky Basel II. V konečné zprávě byly použity pouze odpovědi bank, které mohou používat pokročilý AMA přístup, nebo jsou orgány dohledu považovány za kandidáty pro tento přístup. Materiál tedy ukazuje praxi v bankách s rozvinutými metodami modelování operačního rizika. Průzkum zahrnoval odpovědi celkem 42 bank, z toho bylo 20 bank z Evropy, 10 ze Severní Ameriky, 5 z Austrálie a 7 z Japonska. Banky ve své většině užívají k modelování více než jeden přístup, mohly proto také v odpovědích volit více možností. Uved me některé výsledky průzkumu ohledně užití pravděpodobnostních rozdělení pro modelování ztrát z operačního rizika. Valná většina bank přistupuje odděleně k modelování výší škod a k modelování škodní frekvence. 31% dotazovaných bank používá jeden model pro postižení výší jednotlivých škod, nejoblíbenější je v tomto případě logarimicko-normální rozdělení (33%) a Weibullovo rozdělení (17%). 30% bank používá dvě rozdílná rozdělení, z nichž jedno vystihuje škody běžné výše a druhé pak velmi vysoké škody, nastávající s malou frekvencí. Pro škody běžné výše je z parametrických modelů opět nejčastěji voleno logaritmicko-normální rozdělení (19%), 26% bank uvádí využití empirického rozdělení získaného z dat. Pro modelování chvostů rozdělení výší škod je nejčastěji uváděno zobecněné Paretovo rozdělení (31%), následováno logaritmickonormálním rozdělením (14%). Použití zobecněného Paretova rozdělení pro modelování vysokých škod, vycházející z teorie extrémních hodnot, bude předmětem výkladu v další části tohoto textu. Pokud jde o modelování počtů škod, je jednoznačně nejoblíbenějším modelem Poissonovo rozdělení, které zvolilo 93% všech dotazovaných bank. Používání negativně binomického modelu uvedlo 19% bank, 7% bank se přihlásilo k využití jiných diskrétních rozdělení. 7

8 9.2.2 Výpočet složených rozdělení Pro výpočet rozdělení celkových ročních úhrnů škod je možno vedle stochastických simulací využít celou řadu metod, běžně popisovaných v aktuárské literatuře. Pro přehlednost zde stručně zmíníme hlavní skupiny těchto metod: 1) Aproximace. Do této skupiny metod lze zařadit například přiblížení distribuční funkce nebo hustoty pomocí posunutého gama rozdělení nebo posunutého logaritmicko-normálního rozdělení, založené na shodě prvních tří momentů, přiblížení vycházející z Edworthova rozvoje apod. Příklady těchto metod lze nalézt například v [7]. 2) Inverzní metody. Jde o metody využívané k numerickému výpočtu rozdělení pravděpodobností ze známého vyjádření některé transformace jeho distribuční funkce. Velmi známým příkladem takové metody je rychlá Fourierova transformace (FFT), která umožňuje výpočet diskrétního rozdělení pravděpodobností inverzí jeho charakteristické funkce. 3) Rekurzivní metody. Metoda pro rekurzivní výpočet složeného rozdělení je známá pod názvem Panjerova rekurze. Zavedeme-li pro rozdělení počtů škod ve složeném rozdělení označení p n = P (N = n), pak je využití rekurzivní metody možné v případě, že toto rozdělení splňuje rekurentní vztah ( p n = a + b ) p n 1, n = 1, 2,... (18) n pro nějaké reálné parametry a a b. Lze ukázat, že jediná rozdělení, vyhovující podmínce (18), jsou Poissonovo, negativně binomické a binomické rozdělení. Rozdělení výší škod je pro účely rekurzivní metody považováno za diskrétní. V praxi se obvykle ze spojit0ho rozdělení výší škod přejde k diskrétnímu rozdělení zaokrouhlením, tj. soustředěním pravděpodobnosti odpovídající hodnotám z určitého intervalu do jednoho bodu. Potom i složené rozdělení (10) je diskrétní a pravděpodobnosti pro jednotlivé celočíselné hodnoty se vypočtou pomocí rekurzivní formule P(S = k) = k m=1 ( a + b m k ) P(X = m) P(S = k m), k = 1, 2,... (19) Detailně je Panjerova rekurze představena například v 6. kapitole knihy [5]. 9.3 Modelování ztrát z operačního rizika založené na teorii extrémů Klasické aktuárské přístupy k modelování úhrnů škod často neumožňují realisticky vystihnout chování chvostů rozdělení škodních veličin. Pro správné vyhodnocení rizika velmi vysokých a s malými pravděpodobnostmi nastávajícíh škod se proto používá metodika vycházející z teorie extrémních hodnot, která je označována zkratkou POT (z anglického peaks over treshold). Vychází se při ní ze sledování hodnot překračujících určitou vysokou mez (excesů). 8

9 Základní pojmy teorie extrémních hodnot včetně základů POT - metody byly vyloženy v 4. kapitole [3]. Nyní některé pojmy zopakujeme, výklad rozšíříme a zmíníme možná úskalí použití POT - metody k měření operačního rizika POT - model Základním modelem je pro POT - metodu zobecněné Paretovo rozdělení, jehož distribuční funkce je dána vztahem W γ,β (x) = 1 (1 + γ x/β) 1/γ (20) pro γ 0, resp. W γ,β (x) = 1 exp( x/β) (21) pro γ = 0. Parametr β je v obou případech kladný. Pro γ 0 je zobecněné Paretovo rozdělení definováno pro nezáporná x, v případě γ < 0 je nosičem rozdělení interval [0, β/γ]. Střední hodnota rozdělení s distribuční funkcí (20) resp. (21) je konečná v případě γ < 1 a má vyjádření E X = β 1 γ. (22) Připomeňme rovněž vyjádření distribuční funkce zobecněného rozdělení extrémních hodnot ve tvaru ( ( G γ,µ,σ (x) = exp 1 + γ x µ ) ) 1/γ (23) σ pro γ 0, resp. G γ,µ,σ (x) = exp ) ( e x µ σ pro γ = 0. Distribuční funkce (23) je definována pro x splňující 1 + γ x µ > 0. σ Z hlediska vysokých škod je důležitým modelem Fréchetovo rozdělení, které má v tomto případě distribuční funkci (23) s parametrem γ > 0. Z distribuční funkce (12) lze toto rozdělení odvodit reparametrizací γ = 1 a přidáním parametrů polohy a měřítka. α Připomeňme ještě označení (24) F (u) (x) = P(X u x X > u), x 0 (25) pro distribuční funkci rozdělení excesů nad mezí u. Použití modelu zobecněného Paretova rozdělení k popisu vysokých škod je teoreticky podloženo známým výsledkem teorie extrémů, který říká, že pro distribuční funkci F náležející do sféry přitažlivosti rozdělení extrémních hodnot s parametrem γ lze najít kladnou funkci β(u) tak, že rozdělení excesů nad mezí u lze pro velká u aproximovat zobecněným Paretovým rozdělením s distribuční funkcí W γ,β(u). Vzhledem k tomu, že v podstatě každé běžně užívané spojité rozdělení pravděpodobností naleží do sféry přitažlivosti některého rozdělení extrémních hodnot (rozlišených na tři typy podle parametru γ), slouží výše uvedený výsledek k odůvodnění toho, že pro 9

10 dostatečně vysokou mez se používá zobecněné Paretovo rozdělení přímo jako model vystihující rozdělení velikosti excesů nad touto mezí. POT - model je obvykle formulován pomocí následujících předpokladů: 1) Okamžiky překročení vysoké meze u posloupností vzájemně nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin tvoří Poissonův proces. 2)Velikosti překročení vysoké meze (excesy) jsou vzájemně nezávislé a mají zobecněné Paretovo rozdělení. 3) Velikosti excesů a okamžiky překročení meze u jsou vzájemně nezávislé. Pro účely analýzy extrémních hodnot může být užitečný následující výsledek, ukazující na určitou souvislost mezi oběma hlavními typy rozdělení z teorie extrémů. Tvrzení 1. Necht N je náhodná veličina, která má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou λ a je nezávislá na posloupnosti {X n, n 1} vzájemně nezávislých a stejně rozdělených veličin, které mají zobecněné Paretovo rozdělení s distribuční funkcí W γ,β. Dále necht M N = max(x 1,..., X N ). Potom platí P (M N x) = exp ( λ (1 + γ x/β) 1/γ) = G γ,µ,σ (x), kde µ = β γ 1 (λ γ 1), σ = β λ γ pro γ 0 a µ = β log λ, σ = β pro γ = 0. Podle výše uvedeného tvrzení v modelu, ve kterém má počet překročení meze u Poissonovo rozdělení a excesy mají zobecněné Paretovo rozdělení s parametrem γ, mají maxima těchto excesů zobecněné rozdělení extrémních hodnot se stejným parametrem γ. Důkaz. Distribuční funkci maxima M N lze vyjádřit ve tvaru λ λn P (M N x) = e n! W γ,β(x) n = exp ( λ (1 W γ,β (x)). n=0 Po dosazení dostáváme v případě γ 0 P (M N x) = exp ( λ (1 + γ xβ ) ( ( ) 1/γ = exp 1 + γ x ) ) γ 1 β (λ γ 1/γ 1). β λ γ Případ γ = 0 se redukuje na P (M N x) = exp ( e (x β log λ)/β). Pro identifikaci zobecněného Paretova rozdělení se často užívá střední hodnoty excesů e(u) (střední hodnoty rozdělení (25)), která má pro zobecněné Paretovo rozdělení s distribuční funkcí (20) s parametrem γ < 1 (podmínka existence střední hodnoty) tvar e(u) = β + γ u 1 γ 10 (26)

11 pro u splňující podmínku β + γ u > 0. Přirozeným odhadem střední hodnoty excesů je ê(u) = 1 n (X i u) +, u 0, (27) N u i=1 kde N u je počet překročení meze u v pozorovaných datech o rozsahu n. Pokud vykazuje průběh empirické funkce (27) od určité vysoké meze u lineární trend, lze příslušné rozdělení excesů aproximovat zobecněným Paretovým rozdělením. POT - metoda odhadu chvostu rozdělení je založena na vztahu F (x) = F (u) F (u) (x u) (28) platném pro x u. (Podobně jako výše zde pruhem značíme dekumulativní distribuční funkci 1 F.) Odhad funkce F (x) v bodech ležících nad zvolenou vysokou mezí u pak dostaneme jako součin odhadů jednotlivých činitelů na pravé straně (28). Tyto dílčí odhady jsou tvaru F (u) = N u n, (29) kde N u opět značí pozorovaný počet překročení zvolené meze u, ( F (u) (x u) = 1 + ˆγ x u ) 1/ˆγ, (30) ˆβ kde za parametry zobecněného Paretova rozdělení dosazujeme jejich odhady získané z dat, například metodou maximální věrohodnosti (viz [3], odstavec 4.2.5). Celkem dostáváme pro x u F (x) = N u n Poznámka. Vyjádření (31) můžeme upravit na tvar x u + F ˆβ ( ( Nu ) ) ˆγ n 1 /ˆγ (x) = 1 + ˆγ ˆβ ( 1 + ˆγ x u ) 1/ˆγ. (31) ˆβ 1/ˆγ x u, (32) kde ˆβ = ˆβ ( N u n )ˆγ. To odpovídá zobecněnému Paretovu rozdělení s parametrem tvaru ˆγ, parametrem polohy ˆβ a parametrem měřítka u ˆβ ( ( Nu n ) ˆγ 1 ) /ˆγ. Z odhadu (31) odvodíme odhad hodnoty v riziku (α-kvantilu) pro α > 1 Nu VaR α = u + ˆβ ˆγ n : (( 1 α ) ˆγ ) 1. (33) N u /n Pro vyjádření zbytkové hodnoty v riziku v modelu se zobecněným Paretovým rozdělením excesů nad zvolenou vysokou mezí u využijeme následující vlastnost uvažovaného rozdělení. 11

12 Tvrzení 2. Necht rozdělení excesů nad mezí u je zobecněné Paretovo s parametry γ a β, tj. F (u) (x) = W γ,β (x) pro x taková, že x + u náleží do definičního oboru distribuční funkce F. Potom rozdělení excesů nad libovolnou vyšší mezí v > u je opět zobecněné Paretovo, přitom platí F (v) (x) = W γ,β+γ (v u) (x). Důkaz. K důkazu využijeme vztah mezi distribuční funkcí excesů F (u) a původní distribuční funkcí F (resp. mezi příslušnými dekumulativními distribučními funkcemi). F (v) (x) = F (v + x) F (v) = = F (u) (x + v u) F (u) (v u) = W γ,β+γ (v u) (x). F (u + (x + v u)) F (u) = W γ,β(x + v u) W γ,β (v u) F (u) F (u + (v u)) Ve vyjádření zbytkové hodnoty v riziku figuruje střední hodnota excesů nad mezí rovnou hodnotě v riziku VaR α, kterou lze dle předchozího tvrzení a dle (22) psát ve tvaru E (X Var α X > VaR α ) = β + γ(var α u), (34) 1 γ při splnění podmínek u VaR α, γ < 1 a β + γ (VaR α u) > 0. Odtud a z (8) dostáváme vyjádření zbytkové hodnoty v riziku ve tvaru TVaR α = VaR α 1 γ + β γ u 1 γ. (35) Odhad zbytkové hodnoty v riziku pak obdržíme dosazením do (35) odhadu (33) a odhadnutých parametrů ˆβ a ˆγ Použitelnost standardních a POT - metod v praxi V závěru zmíníme některá úskalí, na která lze narazit při aplikaci výše vyložených metod na data o škodách z operačního rizika. 1) Nestacionarita dat. V oblasti operačního rizika se lze setkat s případy, kdy okamžiky jednotlivých škodních událostí jsou v čase rozloženy značně nepravidelně. Tato nepravidelnost může být způsobena například tím, že škody staršího data mohou vypadnout z databází, může být také důsledkem obchodních či ekonomických cyklů, zásahu managementu apod. Vysoké škody mohou mít tendenci vyskytovat se ve shlucích. Příklady alternativ k tradičnímu POT - modelu vycházejícímu z předpokladu, že okamžiky vzniku škod se řídí Poissonovým procesem, lze nalézt například v knize [4]. 2) Neopakující se data. Autoři článku [8] poukazují na rozdílný charakter škod z operačního rizika v závislosti na typu škodní události. Banka se setkává s řadou malých až středně 12

13 vysokých škod, které se poměrně často a s jistou pravidelností opakují. Jako příklad mohou sloužit škody způsobené administrativními chybami při zpracování transakcí, selhání výpočetních systémů, chyby v programech. Oproti tomu jiné typy škod se vyskytují zřídka a v datech nejsou zastoupeny v dostatečném rozsahu, který by umožňoval jejich statistickou analýzu. Pro takové škody je typický jejich značný rozsah, který může v některých případech ohrozit samotnou existenci podniku. Typickým příkladem je podvodné jednání zaměstnance, který způsobí škodu například rizikovými obchody přesahujícími jeho schválené limity. Možnosti kvantitativních metod měření rizika a jeho řízení pomocí vypočteného kapitálového požadavku jsou v případě takových škod velmi omezené a k ochraně před nimi je třeba využívat zejména nástrojů kvalitativního řízení rizik spadajícího pod druhý pilíř metodiky Basel II. 3) Volba meze u pro použitelnost POT - modelu. Jedním z hledisek při volbě vhodné meze pro vysoké škody je použitelnost zobecněného Paretova rozdělení, která je zdůvodněna dostatečnou velikostí meze u, jak bylo vysvětleno výše. Z velikosti zvolené meze však může plynout problém nedostatečného počtu excesů, neumožňujícího spolehlivý odhad hodnot popisujících chvost daného rozdělení, jakými jsou například vysoké kvantily. Pro ilustraci tohoto problému uved me některé výsledky ze simulační studie [9]. Jde o studii přesnosti odhadu kvantilů VaR α pro vysoké hodnoty α založenou na srovnání odhadnutých kvantilů s teoretickými hodnotami. Použitý postup lze shrnout do několika bodů: 1) Pro vybranou distribuční funkci F známého rozdělení s těžkými chvosty se zvolí α 0 < α < 1 a počet excesů N u. 2) Vypočte se u = VaR α0. 3) Vypočte se skutečná hodnota kvantilu VaR α. 4) Simulací se získá N u nezávislých realizací překračujících hodnotu u, zaznamená se celkový počet n simulovaných hodnot, který byl třeba k dosažení N u excesů. 5) Odhadnou se parametry γ a β proložením zobecněného Paretova rozdělení N u excesy metodou maximální věrohodnosti. (( ) 6) Vypočte se VaR α = u + ˆβ ˆγ ) 1 α ˆγ N u/n 1. 7) Kroky 4-6 se opakují 500-krát za účelem odhadu vychýlení a střední kvadratické chyby odhadnutých kvantilů. K posouzení přesnosti odhadu kvantilů se užívá vychýlení odhadu definované vztahem Charakteristika (36) se odhaduje průměrem Bias( VaR α ) = E VaR α VaR α. (36) i=1 VaR α,i VaR α. (37) 13

14 Podobně se vypočte střední kvadratická chyba (root mean square error) definovaná vztahem Literatura RMSE( VaR α ) = E ( VaR α VaR α ) 2. (38) [1] Vyhláška č. 123/2007 Sb. o pravidlech obezřetného podnikání bank, spořitelních a úvěrních družstev a obchodníků s cennými papíry, ve znění vyhlášky č. 89/2011 Sb. [2] International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards: A Revised Framework - Comprehensive Version. Basel Committee on Banking Supervision, Dostupné na [3] P. Mandl, L. Mazurová, I. Justová: Matematika a řízení rizik 2009/10. Matfyzpress, Praha [4] A.J.McNeil, R.Frey, P.Embrechts: Quantitative Risk Management. Princeton University Press, [5] H.H.Panjer: Operational Risk. Modeling Analytics. John Wiley & Sons, [6] Observed range of practice in key elements of Advanced Measurement Approaches (AMA). Basel Committee on Banking Supervision, Dostupné na [7] P. Mandl, L. Mazurová: Matematické základy neživotního pojištění. Matfyzpress, Praha [8] P. Embrechts, H. Furrer, R. Kaufmann: Quantifying Regulatory Capital for Operational Risk. Derivatives Use, Trading & Regulation 9(2003), [9] A.J. McNeil, T. Saladin: The peaks over thresholds method for estimating high quantiles of loss distributions. Proceedings of XXVIIth International ASTIN Colloquium, Cairns (1997),

15 Věcný rejstřík AMA přístup, 3 Basel II, 1 BIA přístup, 2 funkce pomalu se měnící v nekonečnu, 6 hodnota v riziku, 4, 11 intenzita rizika, 6 kapitálový požadavek, 2 kolektivní modle rizika, 5 komonotónní náhodné veličiny, 4 linie podnikání, 2 operační riziko, 1 Panjerova rekurze, 8 POT - metodika, 8 POT - model, 9 rozdělení extrémních hodnot, 9 Fréchetovo, 6, 9 gama, 5 logaritmicko-normální, 5 negativně binomické, 7 Paretovo, 5 Poissonovo, 7 složené, 5 sféra přitažlivosti, 6 Solventnost II, 1 střední hodnota excesů, 4 střední kvadratická chyba, 14 standardizovaný přístup, 2 těžké chvosty, 5 vychýlení odhadu, 13 zbytková hodnota v riziku, 4 15

Přístup distribuce ztrát s využitím teorie extrémních hodnot

Přístup distribuce ztrát s využitím teorie extrémních hodnot Přístup distribuce ztrát s využitím teorie extrémních hodnot Jiří Havlický 1 Abstrakt Cílem tohoto článku je popsat a aplikovat model pro stanovení výše potřebného kapitálu ke krytí podstupovaného operačního

Více

MODELOVÁNÍ CHVOSTŮ TEORIE EXTRÉMNÍCH ODHADY PARETOVA INDEXU. Jan Dienstbier HODNOT. contact:

MODELOVÁNÍ CHVOSTŮ TEORIE EXTRÉMNÍCH ODHADY PARETOVA INDEXU. Jan Dienstbier HODNOT. contact: MODELOVÁNÍ CHVOSTŮ TEORIE EXTRÉMNÍCH HODNOT ODHADY PARETOVA INDEXU Jan Dienstbier contact: dienstbi@karlin.mff.cuni.cz Univerzita Karlova MFF UK - KPMS Praha KPMS, 31.10. 2007 MODELOVÁNÍ CHVOSTŮ JAK TO

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT KLIMATOLOGICKÝCH DAT Katedra aplikované matematiky Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Robust 2018 ÚVOD Velká pozornost v analýze extrémních

Více

Value at Risk. Karolína Maňáková

Value at Risk. Karolína Maňáková Value at Risk Karolína Maňáková Value at risk Historická metoda Model-Building přístup Lineární model variance a kovariance Metoda Monte Carlo Stress testing a Back testing Potenciální ztráta s danou pravděpodobností

Více

Tomáš Cipra: Riziko ve financích a pojišťovnictví: Basel III a Solvency II. Ekopress, Praha 2015 (515 stran, ISBN: ) 1. ÚVOD..

Tomáš Cipra: Riziko ve financích a pojišťovnictví: Basel III a Solvency II. Ekopress, Praha 2015 (515 stran, ISBN: ) 1. ÚVOD.. Tomáš Cipra: Riziko ve financích a pojišťovnictví: Basel III a Solvency II. Ekopress, Praha 2015 (515 stran, ISBN: 978-80- 87865-24-8) OBSAH 1. ÚVOD.. 1 2. OBECNĚ O RIZIKU. 3 2.1. Pojem rizika. 3 2.2.

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové

Více

Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014

Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014 Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014 Ekonomický kapitál ekonomický kapitál- kapitál potřebný k zajištění schopnosti splnit v daném časovém horizontu převzaté závazky s danou pravděpodobností L- riziko,

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna 5.052 tel. 585 63 4027 e-mail: ondrej.pavlacka@upol.cz web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové materiály) Konzultační

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Basel II. Ekonomika a finanční řízení bank a finančních institucí 2. 3. ročník letní semestr Přednáška 3-2007

Basel II. Ekonomika a finanční řízení bank a finančních institucí 2. 3. ročník letní semestr Přednáška 3-2007 Basel II Ekonomika a finanční řízení bank a finančních institucí 2 3. ročník letní semestr Přednáška 3-2007 Předmětem podnikání bank je riziko, její produkty a služby jsou založeny na přejímání rizik od

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák

STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ J. Pruška, T. Parák OBSAH: 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

3. Přednáška Bankovní bilance, základní zásady řízení banky, vybrané ukazatele činnosti banky

3. Přednáška Bankovní bilance, základní zásady řízení banky, vybrané ukazatele činnosti banky 3. Přednáška Bankovní bilance, základní zásady řízení banky, vybrané ukazatele činnosti banky Bilance banky, výkaz zisků a ztrát, podrozvahové položky Bilance banky - bilanční princip: AKTIVA=PASIVA bilanční

Více

2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití

2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití 2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu INOVACE V BANKOVNICTVÍ

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu INOVACE V BANKOVNICTVÍ Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu INOVACE V BANKOVNICTVÍ Název tematického celku: TRENDY V OBLASTI ÚČETNÍHO ZOBRAZENÍ BANKOVNÍCH OBCHODŮ Cíl: Vysvětlit současný přístup

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Základní ukazatele - obchodníci s cennými papíry

Základní ukazatele - obchodníci s cennými papíry Základní ukazatele - obchodníci s cennými papíry I. Definice a obsah Přehled základních souhrnných informací o stavu a vývoji obchodníků s cennými papíry, kteří poskytují investiční služby v České republice

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Chyby měření 210DPSM

Chyby měření 210DPSM Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Základní ukazatele - družstevní záložny

Základní ukazatele - družstevní záložny Základní ukazatele - družstevní záložny I. Definice a obsah Přehled základních souhrnných informací o stavu a vývoji spořitelních a úvěrních družstev (dále jen družstevní záložny, které poskytují služby

Více

Úvod do problematiky měření

Úvod do problematiky měření 1/18 Lord Kelvin: "Když to, o čem mluvíte, můžete změřit, a vyjádřit to pomocí čísel, něco o tom víte. Ale když to nemůžete vyjádřit číselně, je vaše znalost hubená a nedostatečná. Může to být začátek

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky

Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky Errata ke skriptu Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky K. Hron a P. Kunderová Autoři prosí čtenáře uvedeného studijního textu, aby případné další odhalené chyby nad rámec tohoto

Více

Řízení rizik - trendy a výzvy

Řízení rizik - trendy a výzvy Řízení rizik - trendy a výzvy Jiří Witzany Praha, 28.dubna 2010 Obsah O společnosti Quantitative Consulting Principy řízení rizik Výzvy a problémy implementace Basel II Poučení z krizového vývoje Basel

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

TSA přístup - obchodování na finančních trzích. TSA přístup - zúčtovací služby pro třetí osoby. ASA přístup - obchodování na finančních trzích

TSA přístup - obchodování na finančních trzích. TSA přístup - zúčtovací služby pro třetí osoby. ASA přístup - obchodování na finančních trzích : 04 POPIS ČÍSELNÍKU : Použití číselníku v parametrech: P0142 Aktivita/ linie podnikání sledovaná v operačním riziku : Výčet položek číselníku: Aktivity a linie podnikání sledované v operačním riziku položky

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen společnost) stanoví k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen osvědčení) následující

Více

Základní ukazatele - obchodníci s cennými papíry

Základní ukazatele - obchodníci s cennými papíry Základní ukazatele - obchodníci s cennými papíry I. Definice a obsah Přehled základních souhrnných informací o stavu a vývoji sektoru obchodníků s cennými papíry, kteří poskytují investiční služby v České

Více

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová

JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Jiří Havlický 1 Abstrakt Článek je zaměřen na stanovení a zhodnocení citlivosti výše očekávané a neočekávané ztráty plynoucí z podstupovaného

Více

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

Podklad pro návrh vyhlášky o pravidlech obezřetného podnikání bank, spořitelních a úvěrních družstev a obchodníků s cennými papíry

Podklad pro návrh vyhlášky o pravidlech obezřetného podnikání bank, spořitelních a úvěrních družstev a obchodníků s cennými papíry Podklad pro návrh vyhlášky o pravidlech obezřetného podnikání bank, spořitelních a úvěrních družstev a obchodníků s cennými papíry a přehled právních předpisů a úředních sdělení navržených ke zrušení Česká

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

Apriorní rozdělení. Jan Kracík.

Apriorní rozdělení. Jan Kracík. Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové

Více

Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková

Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky

Více

4. Aplikace matematiky v ekonomii

4. Aplikace matematiky v ekonomii 4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =

Více

Rizika v činnosti pojišťoven

Rizika v činnosti pojišťoven Rizika v činnosti pojišťoven Pojistně technické riziko Tržní riziko Kreditní riziko Riziko likvidity Operační rizika ALM (Asset-liability matching) rizika Rizika při provozování produktů neživotního pojištění

Více

Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik

Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik Ondřej Pavlačka Praha, 18. ledna 2011 Cíle projektu Vytvořit matematický model pro oceňování přijímaného

Více

Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků

Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků Mgr. Marcela Martinů 13. května 2016 5/13/2016 0 Obsah 1. Úvod a. Motivace a cíle b. Základní metody 2. Rozšířená

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

Manažerská ekonomika KM IT

Manažerská ekonomika KM IT KVANTITATIVNÍ METODY INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE (zkouška č. 3) Cíl předmětu Získat základní znalosti v oblasti práce s ekonomickými ukazateli a daty, osvojit si znalosti finanční a pojistné matematiky, zvládnout

Více

Věstník ČNB částka 17/2007 ze dne 2. srpna ÚŘEDNÍ SDĚLENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY ze dne 18. července 2007

Věstník ČNB částka 17/2007 ze dne 2. srpna ÚŘEDNÍ SDĚLENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY ze dne 18. července 2007 Třídící znak 2 2 7 0 7 5 3 0 ÚŘEDNÍ SDĚLENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY ze dne 18. července 2007 k pravidlům obezřetného podnikání bank, spořitelních a úvěrních družstev a obchodníků s cennými papíry Operační

Více

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Neživotní pojištění. Brno 2012

Neživotní pojištění. Brno 2012 Neživotní pojištění Brno 2012 Osnova 1 Kalkulace pojistného 2 Tarifní skupiny Tarifní skupiny jsou homogenní skupiny pojistných smluv, pro něž je pojistné riziko přibližně stejné. V rámci každé tarifní

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013 Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko

Více

VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ

VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Věstník ČNB částka 20/2010 ze dne 30. prosince 2010 ÚŘEDNÍ SDĚLENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY

Věstník ČNB částka 20/2010 ze dne 30. prosince 2010 ÚŘEDNÍ SDĚLENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY Třídící znak 2 3 1 1 0 5 6 0 ÚŘEDNÍ SDĚLENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY ze dne 29. prosince 2010 k pravidlům obezřetného podnikání bank, spořitelních a úvěrních družstev a obchodníků s cennými papíry Žádost o

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti

Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz

Více