Algoritmus určování rovnice roviny pro laserové skenování

Transkript

1 Algortus určování rovnce rovny pro lserové skenování Úvod Ing Bronslv Kosk, Ing Mrtn Štroner, PhD, Doc Ing Jří Pospíšl, CSc, ČVU - Fkult stvební, Prh V rác řešení projektu GA ČR Moderní optoelektroncké etody topogrfe ploch je hledán vhodná etod postup bezkontktního ěření tvru objektu s dosttečnou přesností v krátké čse Nvrhovné optoelektroncké etody jsou zloženy n prncpu detekce optckého sgnálu generovného vhodný zdroje optckého záření jeho následné počítčové vyhodnocení N zákldě tkto získných nforcí bude ožno vytvořt skelet ěřeného objektu, který ůže být počítčově doodelován V této etpě řešení je nvrhován systé pro skenování prostorově člentého povrchu, který jko zdroje optckého záření využívá lserového záření ve vdtelné oblst spektr, jko detekčního zřízení dgtální brevné CCD kery dále zřízení pro otáčení zkouného předětu Pro určení tvru povrchu bude využíván světelná rovn vytvořená lsere optcký člene Průnk rovny s předěte vytvoří světelný profl ento profl bude sníán CCD kerou dlší vyhodnocení zprcování budou získány prostorové souřdnce bodů tohoto proflu V toto příspěvku je řešen probletk určení rovnce světelné rovny n zákldě 3D souřdnc bodů, které budou ěřeny geodetcký etod v ndbytečné počtu Zákldní používné pojy Pro řešení byl použt etod vyrovnání podínkových ěření s neznáý pro korelovná ěření vz [] Vychází se z obecné rovnce rovny: A x+ B y+ C z+ D, () která se uprví n tvr s nální počte jednoznčně defnovných neznáých: x+ b y+ c z+ () Nevýhodou tohoto tvru je neožnost vyjádření rovny procházející počátke Výchozí vzthe je výrz pro vzdálenost bodu od rovny (), který je dle [] defnován tkto: d x+ b y+ c z+ + b + c který je pro body ležící v rovně, tedy vyrovnné body, roven nule (3)

2 Podínk pro vyrovnání je 3n Ω v n, kde n je počet bodů Forulc ůžee rozšířt pro body zěřené s různou přesností zpst tcově: 3 Příprv forát vstupních hodnot Ω v P v n (4) Vstupní hodnoty vyrovnání jsou souřdnce bodů y se v nše přípdě neěří přío, le počítjí se z ěřených délek sěrů K získání středních chyb hodnot vstupujících do vyrovnání je tedy nutno vycházet z těchto vzthů plkovt n ně zákon hrodění středních chyb Dlší spekte je podchycení tetcké korelce ez tkto vypočtený souřdnce Vstupní velčnou vyrovnání tedy jsou souřdnce bodů jejch kovrnční tce, resp tce váhových koefcentů střední chyb jednotková nebo tce vh střední chyb jednotková Z důvodů konvence použté v [] použjee pro nše ěření (souřdnce) tc váhových koefcentů, protože se jedná o ěření korelovná Výchozí vzthy jsou: kde X X + l snz cosα Y Y + l snz snα Z Z + l cos z X, Y, Z jsou souřdnce počátku ěření délek úhlů, l šká délk, z zentový úhel, α sěrník Dle [] je zákon hrodění středních chyb defnován tkto: S H M H Podle (6) pro kovrnční tc souřdnc pltí: kde, (5) h (6) S H M H, (7) er S je kovrnční tce souřdnc, H tce koefcentů lneární funkce přenosu tce skutečných chyb ěření n tc skutečných chyb neznáých Vznká dervcí vzthů (5) podle jednotlvých ěření, M er tce vrncí (n dgonále jsou kvdráty středních chyb ěření) V tc středních chyb ěření vystupují střední chyby délek, sěrníků zentových úhlů: l, α, z y jsou pro dnou stuc uvžovány pro všechny body stejné Pro dlší výpočty je nutno vyjádřt tc váhových koefcentů K tou je potřeb volt stření chybu jednotkovou, npř jko průěrnou hodnotu kvdrátů středních chyb všech souřdnc Mtce váhových koefcentů:

3 , (8) Q S kde o volíe npř jko průěr hodnot dgonálních prvků tce S X Protože l j pro j, nlogcky pro osttní funkce proěnné, jí funkce H S tvr: X X X l α z Y Y Y l α z Z Z Z H l α z, (9) X X l α Zn Zn αn z n S X X, Y, X Z Y, X Y Y, Z Z, X Z, Y Z () Y Y, X Zn, Y n Zn 4 Výpočet přblžných hodnot neznáých,b,c Vypočet je ožno provést řešení rovnce rovny () pro nutný počet bodů (tř body) Elegntnější řešení rovnce rovny v obecné tvru () nbízí Bronštejn - Seenďjev v [3] Řešíe rovnc s deternnte: tedy x x y y z z x x y y z z, () x x y y z z A ( y y )( z z ) ( y y )( z z ), () 3 3 [( )( ) ( )( )] B x x z z x x z z, (3) 3 3 C ( x x )( y y ) ( x x )( y y ), (4) 3 3 D x A y B z C (5) 3

4 Ke stejný vzthů lze tké dojít plkcí Crerov prvdl Př progrové řešení je vhodné počítt tyto přblžné koefcenty z několk různých kobncí bodů s vyloučení odlehlých ěření Je to vhodné z důvodu neřeštelnost této rovnce pro body ležící n příce (všechny koefcenty jsou nulové) z důvodu ožného zvádějícího řešení pro body příce se blížící Jné jednodušší ověření vhodnost volby bodů pro přblžné řešení je výpočet příky ze dvou bodů následný výpočet vzdálenost třetího bodu od této příky Zde by ohlo dojít npř k porovnání této vzdálenost bodu od příky se vzdáleností dvou původních bodů oto prvdlo je le oprávněné pouze př přblžně prvdelné sít ěřených bodů Mtetcká podínk splněná pro vhodné body ůže být npř: d, d3, p >, kde d 3,p vzdálenost třetího bodu od příky d, vzdálenost prvního druhého bodu Dle [] ůžee vzdálenost d 3,p vyjádřt: r uuuur u ( PP 3) r d3, P r, kde u P P (6) u A d, podle znáého vzthu: ( ) ( ) ( ) d x x + y y + z z (7), 5 Lnerzce tcová forulce Výchozí podínk pro vyrovnání je dán rovncí: x+ b y+ c z+ f( xyzbc,,,,, ) (8) + b + c V této rovnc předstvují, poněkud nezvykle, ěření proěnné x,y,z hledné neznáé koefcenty,b,c Počet podínek odpovídá počtu zěřených bodů Všechny podínky ůžee tcově zpst tkto: kde x je tce všech souřdnc: x ( x, y, z, x,, z ) h tce neznáých: h ( bc,, ) n Podínky ůžee lnerzovt vyjádřt tcově: kde: f(x, h ), (9) A v+ Bdh + u, () 4

5 A kde: b c u P Q R P Q b c d u, B, dh db, u, () Q R dc n bn c n u n f x + b + c v P ( vx vy vz vx vz ), f b Q, y + b + c n f 3 ( + b + c) ( + b + c) c R,, z + b + c f x x + b y + c z +, f y x + b y + c z + b b, () b 3 ( + b + c) ( + b + c) f z x + b y + c z + c c, c 3 ( + b + c) ( + b + c) u x + b y + c z + + b + c - 6 Hledání řešení podínky Ω v Q v n Použjee tzv příé řešení podle Lgrngeov postupu hledání n: - Ω v Q v k (A v+ B dh+ u) n, kde k je vektor ztí neurčených tzv Lgrngeových koefcentů Mnu této funkce získáe pokud položíe její dervc podle v dh rovnu nule Mtcově tyto rovnce ůžee zpst tkto: A Q k u A B + B dh Pokud řešení vyjádříe poocí nverzní tce: k A Q u A B dh B Pro dlší forulce je vhodné vyjádřt tuto rovnc ve zkrácené forě: y N n tké provést dlší zjednodušení v zápse: 5

6 N A Q A Podle prvdel pro nverz blokové tce lze nverz tce N - vyjádřt obecně tkto: N N N B(B N B) B N N B(B N B) (B N B) B N (B N B) opět zjednodušt znčení: N Q Q Qhk Q (3) hh kk kh Poocí těchto tc lze jž přío vyjádřt řešení neznáých: dh Qhk u Ale hodnoty korelát oprvy ěření: k Qkk u, v Q Ak 7 Rozbor přesnost Pro vyrovnné neznáé,b,c je nutno určt jejch střední chyby tké jejch vzájené korelce, pro potřeby dlších výpočtů s n Prncp jejích určení je zložen n zákonu hrodění vh n nožně funkcí publkovné npř v [], kde je tké odvozen výpočet tce váhových koefcentů pro neznáé u výše popsného způsobu vyrovnání Bez odvození uvádíe výsledný vzth: Q h Q hh Výpočet Q hh je popsán v předcházející kptole (vzorec (3)) Výpočet středních chyb jednotlvých vypočtených neznáých se tedy uskuteční podle vzorce: q, kde q q, b q, c Q h qb, qb qb, c qc, qc, b qc Výpočet posterorní střední chyby jednotkové se provede podle vzorce: v Q v r k kde r počet podínek k je počet neznáých, (4) Výpočet kovrnční tce potřebné pro dlší výpočty s neznáý,b,c se tedy provede podle vzorce: S h Q (5) h 6

7 8 Kontrol výpočtu Pro kontrolu lnerzce ukončení výpočtu bylo stnoveno prvdlo, by / střední chyby byl větší než bsolutní hodnot přírůstku příslušné neznáé í by ělo být zbezpečeno, že chyb z lnerzce, nebol z nepřesnost přblžných hodnot neznáých přílš neovlvní výsledné neznáé Sybolcky: 9 Algortus výpočtu Příkld b c > d > db > dc (6) ) Výpočet souřdnc vstupujících do vyrovnání jejch kovrnční tce podle kptoly 3 ) Výpočet přblžných hodnot neznáých způsobe uvedený v kptole 4 3) Výpočet vyrovnných neznáých podle vzorců v kptole 6 4) Výpočet středních chyb kovrnční tce vyrovnných neznáých podle kptoly 7 5) Kontrol výpočtu podle nerovnc v odstvc 8 Pokud jsou nerovnce splněny, ukončení výpočtu Pokud ne, opkování výpočtů od bodu ) Z přblžné hodnoty neznáých jsou přřzeny hodnoty, které jsou výsledke vyrovnání Pro použtí uvedené etody v projektu bude vyprcován progr uožňující její rychlé flexblní použtí Provedené ěření Vstupní hodnoty do níže uvedeného výpočtu byly získány n zákldě ěření o bylo provedeno z několk důvodů Zején se jednlo o: Odhlení technckých probléů v zýšlené etodě zěření rovny relzovné lsere První přblžné zjštění skutečných středních chyb určovných koefcentů, což je nezbytné pro reálný odhd přesnost celého systéu 3 Ověření odhdů středních chyb vstupujících velčn n zákldě vyrovnání Př ěření byly sulovány podínky, které jsou předpokládné pro vyvíjený systé Jednlo se zején o rozěr prostorovou konfgurc Byly tké použty přístroje, jejchž použtí se v systéu předpokládá Byl zěřen přblžně prvdelná tce bodů 5x6 (sloupce x řádky) o rozěru přblžně ( x 6) Blžší nforce o ěření by ěly být uveřejněny v některé z dlších článků Výpočet Nyní uvádíe příkld vypočtený podle výše uvedeného lgortu v progru Mthcd Professonl 7

8 Bylo zěřeno 3 bodů prostorovou polární etodou Uvžovná střední chyb ěřeného sěrníku je α 3gon, zentového úhlu 3gon ěřené délky je 6 l Po první kontrolní výpočtu byl zjštěn řádově větší vzdálenost některých bodů od vyrovnné rovny Jednlo se o body číslo 5,9 U těchto bodů lze předpokládt hrubou chybu proto byly z konečného výpočtu vyloučeny Pro níže uvedené výpočty bylo tedy použto 7 bodů Jelkož se počítá s tce velkých rozěrů (ž 8x8), jsou v článku někdy uvedeny pouze zenšené verze těchto tc, vždy tk, by jsně vyjdřovly tvr trend tce Něřené velčny po všech nutných redukcích jsou (podle sloupců: sěrník [gon], zentový úhel [gon], prostorová délk [])(zobrzen je tce pro prvních 8 bodů): Z nch byly vypočteny prostorové souřdnce těchto bodů podle (5) podle zákon hrodění vh tké jejch tce váhových koefcentů (zobrzeno prvních 8 bodů): X Z důvodu velkého rozěru tce váhových koefcentů je uveden pouze její výřez pro šest souřdnc (první dv body) I z něj je zřejá tetcká korelce ez souřdnce jednotlvých bodů: Q První výpočet: Přblžné hodnoty neznáých vypočtené z prvních tří bodů: z 8

9 7765 b -335 c 58 Mtce A (je zobrzen opět jeno část tce pro první tř body) : A Mtce B (prvních 8 bodů): B Mtce N (část tce): N Přírůstky vyrovnné neznáé jsou: 77e dh -9e-3 h e Střední chyb jednotková posterorní tce váhových koefcentů: 337 Q h Střední chyby jejch porovnání s přírůstky dh: b c 56< d 777, 54< db 97, 44< dc 55 Protože poždovná podínk není splněn pro všechny neznáé je nutno výpočet opkovt 9

10 Druhý výpočet: Jko vstupující přblžné hodnoty jsou převzty výsledné hodnoty z předcházejícího kroku (prvního) Pro stručnost budou uvedeny pouze výsledky porovnání s podínkou: Přírůstky vyrovnné neznáé jsou: 975e dh -53e-5 h e Střední chyb jednotková posterorní tce váhových koefcentů: 337 Q h Střední chyby jejch porovnání s přírůstky dh: b c 54> d 98, 55> db 53, 48> dc Protože podínk je nyní splněn pro všechny neznáé, jsou dosžené výsledky povžovány z správné Pro dlší výpočty budou tedy použty vyrovnné hodnoty jejch kovrnční tce S h : 7994 b -333 c 696 S h

11 Příspěvek vznkl v rác řešení projektu GA ČR 3//357 Ltertur: [] Böh J, Rdouch V Hpcher M: eore chyb vyrovnávcí počet Prh: GKP, 99, 46 s [] Budnský B, Chrvát J: Mtetk I Skrptu Prh: ČVU, 994 [3] Bronštejn LN, Seenďjev KA: Príručk tetky pre nžnerov pre studujůcích Brtslv: Slovenské vydvtelstvo technckej ltertúry, 964 Anotce: V příspěvku je řešen probletk určení rovnce světelné rovny, vyvíjeného lserového skeneru, n zákldě 3D souřdnc bodů, které budou ěřeny prostorovou polární etodou v ndbytečné počtu Pro řešení je užt etod vyrovnání podínkových ěření s neznáý pro korelovná ěření