Kvantová mechanika IF Co se do přednášky nevešlo

Transkript

1 Kvatová mecaika IF Vzik a základy kvatové mecaiky Kvatová mecaika je část kvatové fyziky, která se zabývá mecaickým poybem částic v mikrosvětě pod vlivem působícíc sil. Na rozdíl od klasické, Newtoovy mecaiky, bere v úvau vlový a pravděpodobostí carakter poybu částic. Proto její rovice a zákoy vypadají úplě jiak ež zákoy klasické fyziky. Přesto existuje mezi klasickou a kvatovou fyzikou souvislost. Pricip korespodece říká, že při přecodu od částic k makroskopickým tělesům přecázejí zákoy kvatové fyziky v zákoy klasické mecaiky, protože vlové délky de Broglieovýc vl a Plackova kostata se jeví ekoečě malé. Pozámka: Aalogicky pak zákoy relativistické fyziky přecázejí v zákoy klasické (erelativistické) fyziky v případě, že jsou velikosti ryclosti částic moem meší ež je ryclost světla ve vakuu, tj. lze považovat velikost ryclosti světla za ekoečě velkou vůči velikosti ryclosti částic. Uvažujme volou částici, která se bude poybovat podél osy x podle Newtoova zákoa setrvačosti rovoměrým přímočarým poybem. Podle de Broglieovy ypotézy přísluší částici o motosti m vlová délka =, můžeme a i tedy polížet jako a ekoečou mv roviou vlu. Částici yí uzavřeme mezi dvěma rovoběžými, ekoečě vysokými stěami kolmými k ose x a vzdáleými o délku L, od icž se může částice pružě odrážet. Stěy musí být ekoečě vysoké, jiak by se částice protuelovala ve. Říkáme, že částice se acází uvitř ekoečě luboké poteciálové jámy a její poyb je vázá a úsečku. Z lediska klasické fyziky může mít taková částice libovolou ryclost a eergii. Při pružýc odrazec se její eergie ebude měit a částice se bude poybovat ryclostí o téže velikosti střídavě oběma směry. Pravděpodobost výskytu této klasické částice bude stejá ve všec bodec úsečky. obr.1 Z lediska vlovéo carakteru částic bude situace jiá. Po odrazec a stěác dojde díky skládáí odražeéo a příméo vlěí ke vziku stojatéo vlěí (aprosto aalogicky jako a apjaté struě). Strua ale emůže kmitat jakkoliv, ale je tak, aby se po celé délce struy rozložil celočíselý počet půlvl. Musí tedy platit: L= ; N L =. Strua se tedy acází v kmitavýc stavec, které jsou carakterizováy určitou frekvecí a rozložeím kmite a uzlů podél struy (obr.1). obr. Částice, covající se podle de Broglieovy ypotézy, vykazuje vlastosti vly. Experimetem se apř. potvrzuje, že elektro vázaý a úsečku se bude acázet je v určitýc stavec carakterizovaýc celými čísly. V každém takovém stavu bude mít zcela určitou eergii E a jeo poyb bude popsá vlovou fukcí Ψ s příslušým rozložeím pravděpodobosti výskytu podél úsečky. Toto rozložeí ustoty pravděpodobosti Ψ je zázorěo a obr..

2 Kvatová mecaika IF Určit eergii E a pravděpodobosti výskytu částice je možé pouze řešeím příslušé kvatově mecaické rovice. Ukazuje se ale, že postup lze použít i pro volě se poybující částici, použijeme-li výraz pro de Broglieo vlovou délku =. Eergie částice pak bude mv 1 E = mv =, po dosazeí tedy dostaeme pro možé odoty eergie E =. m 8mL Vlové cováí částice, která se poybuje v určité omezeé oblasti prostoru, vede tedy ke kvatováí eergie. Částice se může acázet pouze a určitýc eergetickýc ladiác určeýc kvatovým číslem. Základím stav je pro =1, vyšší stavy se azývají vzbuzeé (excitovaé) stavy. S rostoucím se eergetické ladiy od sebe vzdalují. Na rozdíl od poybu klasické kuličky (apř. pigpogovéo míčku, ) budou a úsečce místa, kde bude výskyt částice ejpravděpodobější, kde se bude zdržovat ejvíce. Tato místa odpovídají poloze kmite cvějící se struy. Naproti tomu v místec, která odpovídají uzlům bude pravděpodobost výskytu částice ulová. Je ale zbytečé, ctít si zde představit, jak to částice dělá. Rozložeí pravděpodobosti výskytu částice se běem času eměí, tj. je stacioárí (aalogicky jako rozložeí kmite a uzlů a struě). Navíc v tomto stavu částice eztrácí eergii - zůstává a své eergetické ladiě. V makrosvětě, jak víme, je každý poyb vždy postupě utlume třeím a odporem prostředí, a tedy rozkmitaá strua brzy dozí. Částice mikrosvěta může ztrácet ebo získávat eergii pouze tak, že přejde skokem z jedoo kvatovéo stavu do druéo. Při přecodu z vyššío stavu do ižšío se eergii vyzáří (apř. v podobě fotou), při opačém přecodu částice eergii poltí. Eergie se může předávat i jiým způsobem ež zářeím - apř. srážkou částic, ale vždy pouze v kvatec odpovídajícíc rozdílu eergetickýc ladi. Přecází-li částice z kvatovéo stavu s eergií E do kvatovéo stavu s ižší eergií E m, vyzáří ebo jiak předá kvatum eergie o frekveci f m takové, že f = E E. m m Kvatová mecaika zkoumá obecý poyb částic v prostoru pod vlivem růzýc sil (Coulombovskýc sil elektrickéo přitaováí, jaderýc sil, ) tím, že řeší vlovou tzv. Scrödigerovu rovici. Z í je možé určit vlové fukce a pravděpodobosti výskytu částice v prostoru. Tato rovice má řešeí právě je pro určité odoty eergie (eergetické ladiy), které odpovídají kvatovým stacioárím stavům. Pokud je částice v tomto stavu, ijak se aveek eprojevuje. Teprve při přecodec mezi stacioárími stavy vydává ebo přijímá eergii. Při zvětšováí délky úsečky L bude eergie daéo stavu klesat, rozdíly mezi sousedími eergetickými ladiami se budou zmešovat. Pro ekoečé L bude již částice volá a její eergie přestae být kvatováa. Pozámka: Může astat i situace, kdy částice bude koat eomezeý poyb, ale musí přitom překoávat bariéry periodicky rozložeé podél přímky. Takovýto překážkový bě vykoává apř. elektro při poybu v krystalu kovu ebo polovodiče. Jeo eergie je přitom kvatováa tak, že může abývat odot uvitř určitýc eergetickýc pásů. Naopak bude-li se délka L zmešovat, tj. budeme-li se sažit částici sevřít stěami a stále kratší vzdáleosti, eergie částice poroste. To je v souladu s tím, co víme o eergii atomů, atomovýc jader a částic. Atomům s rozměry řádově m odpovídají eergie řádově 1eV, jádrům s rozměry m eergie řádově 10 6 ev, částicím s ještě mešími rozměry pak eergie v řádec 10 9 ev. Toto je projevem dalšío zákoa kvatové mecaiky, který emá obdobu v makrosvětě - tzv. Heisebergovýc relací eurčitosti.

3 Heisebergovy relace eurčitosti Prví Heisebergova relace eurčitosti Kvatová mecaika IF Při měřeí poloy částice si a i posvítíme světlem (zářeím) o vlové délce. Při použití tooto zářeí eí možé rozezat předměty meší, ež, přesost měřeí poloy (eurčitost poloy) x je tedy x. Dopadem zářeí (tj. fotoů) a částici dojde zároveň k předáí ybosti ve stejém směru, v jakém dopadá zářeí. Nejmeší předáí ybosti astává v případě dopadu jedoo fotou, jeož velikost ybosti je fotou a částice změí ybost částice o velikost v klidu). Dostáváme tedy: p =. Po srážce p = (částice byla před dopadem fotou x p =. Teto vzta platí obecě, při přesém odvozeí se však ukazuje, že spodí mezí uvedeéo součiu je. Zavedeím ozačeí 4π přičemž ћ = 1, J s 10 J s dostáváme: ћ x p ћ =, π souči epřesostí, jicž se dopouštíme při současém měřeí poloy a ybosti částice, je rove ejméě ћ. Právě odvozeá relace eurčitosti říká, že čím přesěji záme polou částice, tím eurčitější je iformace o její ybosti (a tedy je i větší rozptyl v určeí kietické eergie) a aopak. Zvětšuje-li se x, klesá p a aopak. Svíráme-li částici v rsti víc a více, je stále eklidější, poyblivější a cová se bouřlivěji. Podle zákoů kvatové mecaiky částice emůže mít současě přesou polou a přesě určeou ybost. Nemá smysl mluvit o tom, že se částice poybuje po ějaké trajektorii ějakou ryclostí, mluvíme je o pravděpodobostec výskytu částice v prostoru. Pozámka: Vzledem k tomu, že částice, která byla při odvozováí bráa v úvau, byla a začátku pozorováí v klidu, začala se pod vlivem srážky s fotoem poybovat po přímce (e po zakřiveé trajektorii). Proto ve zcela správém zápisu 1. Heisebergovy relace evystupuje velikost ybosti p, ale pouze velikost její x-ové složky p x. Druá Heisebergova relace eurčitosti Měříme-li frekveci f po dobu t, zjišťujeme, kolikrát za tuto dobu astal určitý jev, tj. f t =. Miimálí cyby v určeí frekvece se dopustíme, změříme-li co ejpřesěji počet, což lze s (maximálí) přesostí s přesostí 1 = 1, takže je vždy f. Eergii t E = f, odkud dostáváme: E t t a při přesějším odvozeí vyjde dolí mez cyby ћ takže: E = f můžeme měřit. Také tato relace má obecou platost ћ E t - souči cyby v určeí eergie a časovéo itervalu, po který provádíme měřeí, je rove ejméě ћ. Zásadí rozdíl od prví relace eurčitosti je te, že iterval, po který se měřeí provádí. t eí cyba v určeí času, ale časový

4 Kvatová mecaika IF Jak je vidět z právě astíěýc odvozeí Heisebergovýc relací eurčitosti, měřící metoda ovlivňuje výsledky měřeí. Tuto skutečost (iterakci měřícío přístroje s měřeým objektem), je třeba při všec měřeí v mikrosvětě brát v úvau. Kdybycom tato omezeí erespektovali, dostali bycom užitím růzýc metod růzé výsledky pro tutéž veličiu (odtud plyou ázory, že mikroobjekty elze objektivě pozorovat, ). Mikroobjekty jsou objektivě plě pozorovatelé (v mezíc daýc relacemi eurčitosti), ale pro každé měřeí je třeba vypracovat přesou teorii měřeí. Příklady dokazující platost relací eurčitosti v mikrosvětě: 1. vybereme-li ze svazku světelýc paprsků jede foto, je možé změřit sado přesě jeo frekveci f a tím i jeo eergii E a ybost p, ale e jeo polou. u elektrou v katodovýc trubicíc - můžeme přesě určit jeo eergii a ybost, ale ikoliv polou 3. při dopadu elektrou a fluorescečí stíítko lze určit přesě jeo polou, ale e eergii a ybost Scrödigerova rovice Scrödigerova rovice je determiistickou rovicí, tak jako Newtoovy ebo Eisteiovy poybové rovice. Jestliže tedy zadáme odotu vlové fukce v daém časovém okamžiku, dá se přesě předpovědět, jaké odoty abude vlová fukce v budoucosti, ebo jakou odotu měla v miulosti (viz apř. aalogii s Newtoovými poybovými rovicemi, které popisují poyb plaet ve Sluečí soustavě, ). Rovice tedy popisuje cováí, které je vůči času zcela vraté. Představme si určitou vlovou fukci, která matematicky reprezetuje cováí elektrou, a který se zrova edíváme. Tato fukce v sobě zaruje všecy možosti, které moou astat, když budeme elektro sledovat pomocí ějakéo měřícío zařízeí (fluorescečí stíítko, ). To vlastě ezameá ic jiéo, ež že Scrödigerova rovice umožňuje předpovědět všecy možé případy vývoje cováí elektrou, pokud o v budoucosti budeme sledovat. A co je důležitější: dovoluje zpětě určit všecy možé istorie cováí elektrou, které by při jeo pozorováí v miulosti astaly. Je přirozeé přejít od vlové fukce, která obsauje všecy poteciálí možosti vývoje systému, k určeí too, co se skutečě stae při experimetu. Jiými slovy je třeba přejít k samotému procesu měřeí. Jestliže provedeme jedo kokrétí měřeí, elektro bude zazameá tak, jako když dopade právě do jedoo bodu stíítka. Takže časově symetrická vlová fukce, a tím i samotý systém, projde běem procesu měřeí jistou trasformací. Dojde k okamžitému a espojitému zúžeí z jedé formy vlové fukce, které v sobě obsaovala všecy možosti dalšío vývoje, a jedu jediou kokrétí, která odpovídá jedé odotě zazameaé běem měřeí. Tato trasformace, která z romady pravděpodobýc možostí vybere jedu, se azývá zúžeí (kolaps) vlové fukce. Ze všec možostí vyskočí z krabičky právě jeda, když zatáeme za vlovou fukci.

5 Kvatová mecaika IF Tuelový jev Typickým příkladem vlovýc vlastostí částic je tzv. tuelový jev. Uvažujme částici, která má překoat ějakou bariéru - dostat se přes sva, z ějaké (poteciálové) jámy, Z klasické fyziky víme, že je to možé pouze tedy, pokud bude mít částice dostatečě velkou eergii. (Např. kmitající kuličky v ladké misce tuto misku emoou opustit, pokud ezískají dostatečou eergii k překoáí okraje misky.) Vly se ale a rozdíl od částic moou dostat díky oybu i za překážku a pokračovat v dalším šířeí prostorem. Mikročástice podle zákoů kvatové fyziky moou skutečě proikout bariérou, aiž by k tomu měly dostatečou eergii - moou se protuelovat a ajedou se ocitou za překážkou. Uvažujme částici s eergií E 1, která se blíží k poteciálovému valu, jeož výška je E 0 > E 1, tj. klasicky je k jeo překoáí třeba eergie E 0 (scematicky zázorěo a obr.3). Tímto poteciálovým valem ve skutečosti je apř. kovová destička, silové pole, povrc vodiče, raice atomovéo jádra, Většia částic se od valu odráží zpět (relativí možství odražeýc a prošlýc částic zázorňují růzě dloué šipky). V klasické fyzice, by se do prostoru za valem edostala žádá částice. obr. 3 V kvatové fyzice existuje eulová pravděpodobost alezeí částice za poteciálovým valem. To zameá, že částice se a druou strau valu dostala, přestože její eergie je ižší, ež je eergie utá a překoáí poteciálovéo valu. Částice se a druou strau valu protuelovala. Pozámka: Tuelový jev lze přirovat k situaci, kdy vezmeme malý kamíek a lece jej odíme proti skleěému oku. V klasické představě se kamíek od skla odrazí a spade a zem. V kvatovém případě kamíek projde sklem a a drué straě spade a podlau pokoje, aiž by porušil skleěé oko. Pro rubé vysvětleí tuelovéo jevu je možé si obr. 4 představit, že částice dokáže svoji eergii ějakým způsobem měit, třebaže vždy je a krátko. K tomuto tvrzeí ám dává oprávěí. Heisebergova relace eurčitosti: v mezíc raic staoveýc touto relací může velikost eergie částice spotáě přeskakovat z jedé odoty a druou. Jiými slovy, částice si a příslušou pevě staoveou dobu může eergii utou a překoáí poteciálovéo valu vypůjčit. Čím kratší je lůta ávratosti takové půjčky, tím větší je její povoleý rozsa. Pozámka: V rámci relace eurčitosti tedy emusí platit záko zacováí eergie. Tímto způsobem byla eergie částici půjčea za přísýc podmíek. Pokud se částice edokáže dostat a druou strau bariéry dříve, ež vyprší výpůjčí lůta, bude se muset vrátit zpátky. Takové částice se od bariéry, do které stily proikout je zčásti, jedoduše odrazí. Proces půjčováí eergie je aodilý (jako ostatě většia kvatovýc jevů), takže při iterpretaci tuelovéo jevu je uté používat statistiku a pravděpodobost. Obecě platí, že čím je poteciálový val širší, tím méě jsou částice při jeo protuelováí úspěšé, tj. tím větší část jejic počtu se od ěj odráží. Tímto způsobem může docázet v elektrickém poli k emisi elektroů z kovů, přestože eergie elektroů je ižší ež příslušá výstupí práce. Díky tuelovému jevu vylétají apř. částice α z atomovýc jader, je a ěm založea řada polovodičovýc prvků i citlivýc měřícíc metod. Výklad tuelovéo jevu je možé provést a základě pravděpodobosti: ež se částici podaří uvolit se apř. z kovu, musí ejprve vykoat řadu eúspěšýc pokusů.