Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení"

Transkript

1 Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení Petr Sed a Opava 2013 Hrazeno z prostředků proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/ Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s praí

2 1

3 Obsah2 PŘEDMLUVA INPUT-OUTPUT MODELY Základní pomy Typy úloh PODNIKOVÉ BILANČNÍ MODELY Identfkace prvků a vazeb podnkového blančního modelu Defnce proměnných a parametrů podnkového blančního modelu Formulace podnkového blančního modelu a eho kvantfkace Řešení podnkového blančního modelu pomocí matcového počtu Řešení podnkového blančního modelu v prostředí MS Ecel ÚLOHY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Základní pomy lneárního programování Formulace úloh lneárního programování Základní typy úloh lneárního programování Smpleová metoda Dvoufázová smpleová metoda Dualta ako vztah mez dvěma úloham lneárního programování Vztah mez prmární a duální úlohou lneárního programování a ekonomcká nterpretace dualty Řešení optmalzačních úloh v prostředí MS Ecel Mamalzace zsku př omezených výrobních zdroích a omezeném odbytu Ekonomcký a matematcký model dopravního problému Přřazovací problém specální typ dopravní úlohy TEORIE HER Základní pomy teore her Hra dvou hráčů v normálním tvaru

4 4.3. Smíšené rozšíření hry dvou hráčů Grafcké řešení hry dvou hráčů Hra dvou hráčů s nekonstantní sumou výher Kooperatvní hry Nekonečné hry dvou hráčů Nekooperatvní hry o n hráčích Hry prot přírodě MATEMATICKÝ DODATEK Matcový počet SEZNAM LITERATURY REJSTŘÍK

5 4

6 Předmluva Předložená studní opora e určena především studentům 3. ročníku bakalářského studa na Matematckém ústavu Slezské unverzty v Opavě, ale také ostatních studních oborů s ekonomcko-matematckým zaměřením. Jeí obsah rozsah odpovídá učvu probíranému na semnářích v předmětu Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení. Předložený tet představue základní studní oporu především pro přípravu ke cvčením a slouží také ako podklad pro vypracování samostatného semestrálního proektu. Kurz Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení e určen pro studenty, kteří ž absolvoval předcházeící předměty Matematcké metody v ekonom I. - III. v bakalářském studu na Matematckém ústavu Slezské unverzty v Opavě. Kromě výše uvedených prerekvzt sou pro četbu tohoto učebního tetu nutné předchozí znalost zeména matematky, nformatky, obecné ekonome, podnkové ekonome, ale také účetnctví. Cílem této studní opory ale není vysvětlování teore, edná se o akous cvčebnc dané problematky na případových studích a dalších zednodušených příkladech z prae. Smyslem e naučt studenty přemýšlet ak matematcky analytcky, tak ekonomcky, a pak správným způsobem tyto přístupy kombnovat a využívat, ale také naučt čtenáře přemýšlet nad danou problematkou a matematcké metody v ekonom používat správným způsobem. Každá kaptola obsahue základní teoretckou část. Teore e vždy následována řešeným a vysvětlovaným příklady, na závěr každé kaptoly e uvedeno a shrnutí. Předložený tet e členěn do čtyř základních kaptol. První kaptola e věnována tématu nput-output modelů. Problematka Leontevových nput-output modelů slouží k především k pochopení struktury produkčních ednotek z hledska nterních, ale také vněších vazeb. Ve druhé kaptole e modfkováno využtí strukturních modelů ve formě blančních podnkových modelů. Student se tak naučí analyzovat strukturu materálových, energetckých a hodnotových vazeb v podnku a logcky uvažovat o promítnutí vntřních vněších změn za daných podmínek. Kaptola třetí e zaměřena do oblast lneárního programování. Lneární programování e klasckou dscplínou operačního výzkumu a tyto základy sou nezbytnou součástí znalostí a dovedností v oblast matematckého modelování. Čtenář se naučí formulovat matematcké modely a prostřednctvím nástroe Řeštel v prostředí MS Ecel hledat optmální řešení a následně získané výsledky opět nterpretovat. Nechybí zde an úvod do modelování úloh dopravního problému resp. přřazovacího problému. 5

7 Poslední kaptola e věnována základům teore her a e zařazena až po úlohách lneárního programování. Student se učí hledat ryzí smíšené stratege a př řešení opět využívaí úlohy lneárního programování nástroe Řeštel v MS Ecel. Závěrem této část e přehledně uveden úvod do složtěších struktur v teor her. Skrpta sou obsahově koncpována a strukturována dle vybraných témat, ež sou obsažena v předmětech Matematcké metody v ekonom I. - III., která sou aplkována ve vybraných oblastech z mkroekonomcké, a také makroekonomcké analýzy. Ve skrptech nesou vysvětlována ednotlvá témata teore a teoretcké modely, anebo matematcké prncpy důkladně. Důraz e kladen na spotost, soulad a součnnost dscplín př využtí softwarové podpory v prostředí MS Ecel a především na nterpretac výsledků. Předložený tet vznkl v rámc proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/ Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s praí na Matematckém ústavu Slezské unverzty v Opavě. 6

8 1. Input-output modely Klíčová slova: konečné užtí, matce, odvětví, regon, vektor, výrobní spotřeba. Problematka ekonomckého rozvoe států a regonů se dostává do popředí v souvslost s probíhaící ekonomckou ntegrací České republky do Evropské une. I když poltcká ntegrace byla svým způsobem dovršena ofcálním vstupem ČR do EU dne 1. května 2004, samotný proces ekonomcké ntegrace bude pokračovat eště mnoho let. Evropská une e uní regonů. Tomu nasvědčue nedávno novelzovaný systém klasfkace územních statstckých ednotek nebol regonů NUTS (La Nomenclature des Untés Terrtorales Statstques). Hlavním důvodem pro zavedení a prohloubení této společné evropské klasfkace územních celků e snaha o získávání ekonomckých nformací o územně srovnatelných regonech v ednotlvých členských zemích EU. Potřeba vysvětlt a modelovat regonální rozvo a úroveň mezregonální spolupráce se v poslední době opět dostává do popředí. Regonální ekonomcké modely sou paralelam obdobných modelů makroekonomckých, národohospodářských, ech základní ednotkou a středem zámu však není stát, ale regon a to na různé úrovn chápání. Neboť však regon může být steně tak kra (NUTS 3) ako celý stát (NUTS 0), stává se poem regonální ekonomka v tomto smyslu obecněším nežl národní ekonomka. Input-output modely rozvoe regonů se v České republce používaly v 70. a 80. létech 20. století a po určtém útlumu se dostávaí opět do popředí, neboť podle metodky EUROSTATu maí být právě tyto modely edním z nástroů modelování regonálních a mezregonálních ekonomckých toků Základní pomy Leontefský nput-output model klade důkaz na vztahy mez ednotlvým resorty regonální ekonomky. Základem tohoto modelu sou vztahy (toky) mez ednotlvým odvětvím, vstupy (mporty) a výstupy (eporty), vz (Maer, G. a Tödlng, F., 1997). Na Obrázku 1.1 e znázorněna tabulková struktura Input-output modelu. Předpokládeme, že ekonomka regonu e tvořena n resorty, echž vzáemné vztahy (toky) vyadřue čtvercová matce mezodvětvových vztahů V řádu n n n. Do regonu přchází l vstupů, které se rozděluí mez všech n odvětví, což vyadřue matce prmárních vstupů E řádu l n. Obdobně výstupem regonální ekonomky 7

9 e m eportních poptávek, na kterých se podílí všechna odvětví, ak vyadřue matce konečné poptávky (spotřeby) Y řádu n m. Součtem všech řádků, resp. sloupců matc dostaneme vektor hrubé výroby X řádu n, který představue hodnotu celkové roční produkce všech ednotlvých vektorů regonu. Obrázek 1.1: Tabulková struktura Input-output modelu Počet resortů n určue podrobnost celého modelu. Podrobné Input-output modely pracuí až s několka sty odvětvím a několka desítkam kategorí vstupů a výstupů. Zednodušené modely s vystačí s několka málo resorty (např. zemědělství, těžký průmysl, lehký průmysl, ostatní), edním vstupem a edním výstupem. Pro zednodušení budeme předpokládat, že máme pouze eden typ výstupu a eden prmární vstup, takže se nám matce Y a E změní na vektory, vz Obrázek 1.2. Obrázek 1.2: Tabulková struktura zednodušeného Input-output modelu Sečteme-l v tomto schématu hodnoty v v -tém řádku matce V a přčteme hodnotu y vektoru Y, dostaneme příslušnou hodnotu hrubé výroby : 8

10 n v y. (1.1) 1 Takto lze vysledovat, v akém rozsahu -tý sektor dodává své produkty ostatním sektorům (hodnoty v ). Hodnota konečné spotřeby y zahrnue spotřebu soukromých spotřebtelů, státního sektoru a eport. Chceme-l tyto složky konečné poptávky rozlšt, musíme přeít na úplný model s matcí konečné spotřeby Y, vz Obrázek Obdobně lze sčítat prvky matce V v ednotlvých sloupcích, kde po přčtení prmárních vstupů e opět dostaneme hodnotu hrubé výroby : n y v e. (1.2) 1 Tímto způsobem lze vyčíst, kolk -tý sektor pro potřeby své produkce odebírá od ostatních sektorů (hodnoty v ) a kolk tvoří prmární vstupy e výkony soukromých domácností, státní dotace, mport, atd. Namísto matce absolutních mezodvětvových vztahů č toků V se často používá matce relatvních (technologckých) koefcentů přímé spotřeby A, eíž hodnoty dostaneme ako: a v. (1.3) Rovnce (1.1) se nám tímto změní na tvar: n a y. (1.4) 1 Tuto rovnc můžeme pro všechny resorty ( = 1 až n) převést do podoby matcové rovnce: X AX Y. (1.5) Vyádříme-l z této rovnce vektor hrubé výroby X, dostaneme: 1 X I A Y, (1.6) kde I e ednotková čtvercová matce řádu n. Matc B = ( I - A) - 1 nazýváme Leonteffskou nverzní matc. Představue multplkátor tohoto modelu, eí hodnoty 9

11 b nazýváme koefcenty plné materálové spotřeby. Udávaí, o kolk více musí vyprodukovat sektor, aby sektor zvýšl výstup o ednotku Typy úloh Pomocí strukturního Input-output modelu vyádřeného výše uvedenou rovncí (1.5), resp. (1.6) můžeme řešt tř základní typy úloh: a) známe celkovou produkc X a hledáme konečnou spotřebu Y; b) známe konečnou spotřebu Y a hledáme celkovou produkc X; c) známe některé složky vektoru X, některé vektoru Y a hledáme ostatní. Ze znalost lneární algebry můžeme odvodt, kdy má která úloha ednoznačné řešení. Úloha (a) e trvální a dává pro danou matc A a vektor X vždy ednoznačné konečné řešení. Úloha (b) má ednoznačné konečné řešení pouze v případě, že matce I A e regulární, t. ( I A) det - ą 0. Aby řešení bylo smysluplné, e třeba také požadovat, aby hodnoty vektoru X a Y byly kladné. I tyto podmínky lze sce matematcky specfkovat, ale pro ech složtost e v tomto příspěvku nebudeme uvádět. Řešený příklad 1.1: V Tabulce 1.1 e zachycena ednoduchá hypotetcká nput-output tabulka se třem odvětvím: zemědělství Z, průmysl P, služby S a vždy pouze ednu konečnou spotřebu Y a prmární vstup I. Všechny hodnoty sou uvedeny v peněžních ednotkách. Z P S Z P S Y X I X Tabulka 1.1: Příklad vstupní nput-output tabulky Podíveme se na řádek průmysl a na sloupec služby. Prvek v matc vztahů nacházeící se na průsečíku těchto dvou odvětví ukazue, akou hodnotu zboží dodal 10

12 těžký průmysl odvětví lehkého průmyslu. V tomto případě se edná o 400 peněžních ednotek. Matce vztahů popsue dodávky pro všechny kombnace odvětví včetně dodávek každého odvětví sobě samému (leží na úhlopříčce). Průmysl samozřemě nedodává pouze sektorům ve svém vlastním regonu, ale část produktů dodává státním nvestorům nebo spotřebtelům v ných regonech. Tto odběratelé představuí konečnou spotřebu (sloupec Y). Pokud zkoumáme celý řádek služeb, matce vztahů a vektoru konečné spotřeby Y, můžeme takto zstt strukturu dodávek tohoto sektoru. Můžeme vdět, které né sektory konečné spotřeby sou eho hlavním odběratel, komu tento nc nedodává atd. Tak ako e nereálné, že by průmysl dodával pouze ným odvětvím, také nevystačí služby s mezprodukty ných odvětví. Vyžadue pracovní výkony také soukromých společností, státní výkony, mportované zboží atd., aby mohl vyrábět zboží. Všechny tyto výkony se označuí ako prmární nputy a sou sumarzovány v matc prmárních vstupů. Pokud zkoumáme celkový sloupec služeb, vdíme, aké vstupy tento sektor vyžadue, aby mohl produkovat svoe výstupy. Vztahy podle rovnc (1.1) a (1.2) lze v matcové podobě zapsat následuícím způsobem: X VI YI, (1.7) X I V I E. (1.8) Na základě Tabulky 1.1 e možné vztahy (1.7) a (1.8) vypočítat, výpočty sou uvedeny Tabulce 1.1. Jak sme ž ukázal, ednotlvé sloupce nput-output tabulky popsuí, ak ednotlvé sektory nasazuí prmární vstupy a výstupy ných sektorů. Pokud tvrdíme, že různé nputy sou dosazené vždy ve steném poměru, můžeme z ednotlvých sloupců ednoduše zstt, kolk ednotlvých vstupů e potřebných na produkc edné ednotky výstupu daného sektoru. Postupueme dle vztahů (1.3) a (1.6). Koefcenty vycházeící z našeho příkladu sou uvedeny v Tabulce 1.2. Koefcenty mezodvětvových vztahů sumarzueme v matc A a koefcenty prmárního nputu v matc B. Například hodnota 0,34 ve třetím řádku a prvém sloupc matce tedy udává, že odvětví zemědělství potřebue od odvětví služeb nputy v hodnotě 0,47 peněžní ednotky, aby mohlo vytvořt ednu ednotku hodnotového produktu. Zároveň zemědělství pro tento výstup potřebue prmární vstupy v hodnotě 0,19 peněžní ednotky. Ostatní koefcenty v tabulce můžeme nterpretovat podobným způsobem. 11

13 Z P S Z P S 0,46 0,04 0,05 0,05 0,48 0,5 0,34 0,34 0,15 E 0,16 0,14 0,30 Tabulka 1.2: Koefcenty nputu Logcky vznká také otázka, kolk musí ednotlvá odvětví celkově vyprodukovat, aby se mohlo dodat určté množství výrobků pro konečnou spotřebu. Odpověď dostaneme vyřešením rovnce (1.5). Pro zednodušení zápsu v matcovém tvaru považueme konečnou spotřebu za vektor. Pokud vztah (1.5) upravíme tak, abychom vyádřl vektor X podle rovnce (1.6). Podle pravdel výpočtu nverzní matce získáme matc, která e znázorněna v Tabulce 1.3. Výraz ( I - A) - 1 se nazývá Leontevova nverzní matce. Jeí hodnoty udávaí, o kolk více přímých a nepřímých efektů musí vyprodukovat sektor v řádku, aby mohl sektor ve sloupc dodat ednotku výrobku konečné spotřebě. V tomto případě se edná o hodnoty uvedené v Tabulce Náš konkrétní příklad ukazue, že zvýšení poptávky po produktech služeb nezpůsobue slné zvýšení poptávky pouze v odvětví služeb o 2,24 ednotky, ale také v odvětví průmyslu, a to o 1,34 ednotky. Naprot tomu zemědělství zůstává vzhledem k přírůstku poptávky nedotknuté. Svou produkc musí zvýšt pouze o 0,13 ednotky. Z P S Z 1,26 0,12 0,13 P 1,43 2,38 1,34 S 1,66 1,25 2,24 Tabulka 1.3: Leontevova nverzní matce Jestlže nás zaímá celkový růst produkce, který vyvolá zvýšení poptávky v ednom odvětví, musíme spočítat hodnoty ednotlvých sloupců Leontevské nverzní matce. Tabulka 1. 4 ukazue, že zvýšení poptávky v zemědělství způsobue nevětší hospodářský efekt. Hospodářský poltk, který sledue cíl ožvení 12

14 hospodářství pomocí zvýšení státní poptávky, by udělal správné rozhodnutí, kdyby vydal rozpočtové prostředky na zemědělské produkty. Tím dosáhne nevětšího efektu. Z T L 4,35 3,75 3,71 Tabulka 1.4: Celkové efekty Pokud se však hospodářský poltk zaměří na zvýšení zaměstnanost, eví se problém v poněkud né formě. Pracovní síly sou nasazené v různých odvětvích v různém obemu. O aký obem de, vyadřue příslušný řádek matce koefcentů prmárního nputu. Na to, abychom zstl, ak se mění nasazení prmárních nputů př zvýšení poptávky ednotlvých odvětví o ednotku, musíme Leontevovu nverzní matc znova vynásobt matcí koefcentu prmárního vstupu: 1 E B I A. (1.9) Matce E popsue, ak velké sou požadavky na ednotlvé prmární nputy, když se zvýší poptávka po produkc ednoho odvětví. V našem příkladu přtom vycházeí přtom náhodou pro všechny tř odvětví téměř dentcké hodnoty (1,012; 1,008; 1,011). Jak e vdět, pomocí nput-output analýzy e možné odpovědět na rozlčné ekonomcké otázky. Výchozím bodem všech těchto odpovědí e předpoklad konstantní matce koefcentů. To znamená, že předcházeící výrobky a prmární vstupy v ednotlvých odvětvích budou nasazené ve stených poměrech nezávsle od vyrobeného množství. Co se týče matematckého aparátu, konkrétně matcového počtu, operace s matcem v prostředí MS Ecel sou popsány v matematckém dodatku. Shrnutí: První kaptola byla věnována problematce Leontevových nput-output modelů, které slouží ako vhodný nástro pro vyádření mezodvětvových vztahů v ekonomce. Pomocí blančních rovnc č matcového počtu lze v zásadě řešt tř základní typy úloh: estlže známe celkovou produkc X, hledáme konečnou spotřebu Y nebo naopak, případně známe některé složky vektoru celkové produkce a některé složky vektoru konečné spotřeby a hledáme zbylé z nch. Kaptola e zakončena lustrací řešení na příkladu fktvního regonu. 13

15 2. Podnkové blanční modely Klíčová slova: matce, mezodvětvové vztahy, podnk, vektor. K nečastě využívaným a rovněž hstorcky nestarším popsným modelům používaným v ekonom patří nput-output modely, echž původním smyslem a cílem bylo zobrazení vztahů v reprodukčním procesu na národohospodářské úrovn, vz kaptola 1. Matematcky formulované blance sestavované pouze pro tyto účely se pak postupně začaly využívat také na podnkové úrovn. Nyní e nedílnou součástí plánování a prae podnků, vz (Gros, I., 2003). Pomocí podnkových blančních modelů lze formalzovat na podnkové, ale také vntropodnkové úrovn různé možnost č varanty základních materálových, energetckých nebo hodnotových vazeb a vztahů mez prvky příslušného modelovaného systému. Jech realzace e pak nutnou podmínkou pro transformac vstupů na požadované výstupy. Podnkových blanční modely se pak využívaí především v procesu plánování. Umožňuí totž algortmzac blančních propočtů, které sou nutné pro tvorbu např. plánů dstrbuce, výroby, zásobování v podncích č operatvního rozpsu výrobních úkolů. Bez nch není možné v podncích, které pracuí se složtým materálovým toky efektvně zpracovávat požadované plány varantně a hledat tak nelepší možný způsob splnění požadavků trhu. Potřebné blance sou zašťovány pomocí moderních nformačních systémů, ale také ným prostředky, a to např. s využtím síťové struktury. Matematcky zapsané vazby mez prvky modelovaného systému sou přesto nutným východskem k formulac modelů příslušných rozhodovacích stuací, a to zeména př řízení hmotných toků, ale také hledání optmálních řešení. Blanční modely lze rovněž využít pro účely vyhodnocení vlvu změn např. v materálových tocích na způsob transformace vstupů na výstupní velčny. Pokud vyádříme blanční model má ve formalzovaném tvaru, má tento podobu soustavy rovnc, a to obvykle lneárních. Cílem řešení této soustavy e pak nalezení hodnot požadovaných proměnných za pomocí zadaných parametrů. Proces konstrukce blančních modelů e analogcký s obecnou metodologí vědeckých metod řízení Identfkace prvků a vazeb podnkového blančního modelu První fáze řešení podnkového blančního modelu spočívá v dentfkac eho prvků. Do podnkových blančních modelů vystupuí ako vstupní prvky ednotlvé 14

16 výrobky, polotovary, zpracované surovny, palva č energe atd. V odborné lteratuře se často používá poem výrobkově defnované prvky. V případě rozsáhlých výrobních systémů ovšem u takto defnovaných prvků strmě narůstá rozměr příslušných modelů. Například v případě středně velké frmy s relatvně pestrým sortmentem může dosáhnout počet prvků až hodnoty několka tsíc. V těchto případech se občas využívaí prvky, které vznkaí agregací ednotlvých prvků do skupn, a to dle rozlčných krtérí. V následuícím kroku e vhodné grafckou formou znázornt materálové, ale také například energetcké vazby mez defnovaným prvky analyzovaného systému. Možným zdroem pro konstrukc grafu sou například technologcké předpsy nebo kusovníky pro výrobu ednotlvých výrobků Defnce proměnných a parametrů podnkového blančního modelu V praktcké aplkac blančních modelů se obvykle používaí pro stanovené nebo vypočítané množství polotovarů č výrobků s ohledem na ech různé určení celkem tř velčny. Jedná se o: a) produkc -tého výrobku y, popřípadě polotovaru, který e určen ke spotřebě mmo blancovaný systém, u modelů podnkových se pak edná především o požadavky zákazníků, b) spotřebu -tého výrobku na výrobu ednotek -tého výrobku, pro, =1, 2,, n, kde n e celkový počet blancovaných polotovarů a také výrobků, c) celkovou produkc -tého výrobku, a to bez ohledu na eho další určení. V případě materálových vstupů se pak používá symbol s, který představue ech hledané celkové množství potřebné ke splnění požadavků zákazníků. Klascká podoba blančních modelů využívá pro formulac závslostí spotřeby í-tého výrobku na -tém předpokladu přímé úměrnost č závslost na obemu produkce -tého výrobku. Podobně lze předpokládat přímou závslost mez spotřebou í-tého materálového vstupu a výrobou -tého polotovaru č výrobku. Je možné tedy zapsat: a, s s, (2.1) (2.2) 15

17 kde a sou specfcké potřeby í-tého polotovaru a s specfcké spotřeby materálových vstupů pro = 1, 2,, m, kde m e počet blancovaných materálových vstupů na ednotkové množství -tého polotovaru nebo výrobku. Tyto potřeby pak patří k rozhoduícím parametrům podnkového blančního modelu. Na ech přesnost pak závsí také správná funkce modelu. Obvykle sou v podncích ech hodnoty normovány pro dané plánovací období Formulace podnkového blančního modelu a eho kvantfkace Samotná formulace podnkového blančního modelu e po zvládnutí předchozích kroků relatvně velce ednoduchá a spočívá ve dvou základních etapách. V prvním kroku e nutné formulovat model mezodvětvových vztahů, enž e založen na požadavku, aby se celkové množství vyrobených výrobků rovnalo součtu požadavků zákazníků na ednotlvé výrobky a ech vlastní spotřeby v modelovaném podnkovém systému. Př využtí defnovaných symbolů v kaptole 2.2 pak bude mít blance k-tého výrobku obecný tvar. Teoretcky lze předpokládat, že by na každý výrobek mohly být spotřebovávány všechny vyráběné výrobky: nebol po dosazení za lze upravt na tvar: k k1 k 2... kn y k, (2.3) k ak11 ak aknn y k. (2.4) Blance mezvýrobkových vztahů pro všech n produkovaných výrobků a polotovarů má potom tvar: a a... a y, n n 1 a a... a y, n n 2... a a... a y. n n1 1 n2 2 nn n n (2.5) Ve druhém kroku e pak nutné sestavt blanční model pro stanovení požadované velkost materálových vstupů pro p-tou surovnu: sp sp 11 sp spn n. (2.6) Blance všech m materálových vstupů e možné formulovat ako soustavu rovnc: 16

18 s s s... s, n n s s s... s, n n... s s s... s. m m1 1 m2 2 mn n (2.7) Pro samotnou prác s modelem eho počítačové zpracování e však mnohem výhodněší používat matcový záps. Také pro eho počítačové zpracování e vhodněší matcový záps obou částí blančního modelu. Označme tedy: a) A čtvercovou matc typu (m, n), enž e tvořena měrným spotřebam polotovarů a. Z věcné náplně prvků matce e zřemé, že vysoké procento prvků matce se může rovnat nule. Ne všechny polotovary se totž používaí pro výrobu ednotlvých výrobků. Pokud v podnkovém systému neestuí zpětné vazby, pak se bude ednat o matc troúhelníkovou. b) B matc typu (m, n), která e tvořena měrným spotřebam materálových vstupů na ednotlvé výrobky a polotovary s. c) vektor celkových produkcí typu (n, l). Prvky vektoru mohou být v blančních modelech en nezáporné. d) y vektor celkových produkcí určených pro spotřebu mmo modelovaný podnkový systém typu (n, l), přčemž v neobecněším případě e možné prvky vektoru rozdělt na dvě samostatné část, a to na: produkc větší nebo rovnou nule, která e určena pro dodávky mmo modelovaný systém podnku během daného plánovacího období, označme např. y o a druhá část pak představue změnu stavu zásob výrobků, které má podnk na skladě y z, která bude kladná v případě nutnost vytvoření kladné zásoby výrobku pro příští období anebo záporná v případě, kdy podnk v plánovacím období plánue vyčerpat pro krytí potřeb např. zákazníků zásobu vytvořenou ž v předcházeícím období. V případě, že bude ve sledovaném období spotřebovávána pouze ž dříve vytvořená zásoba, bude příslušná hodnota daného y vektoru záporná. Množství výrobku, které e třeba vyrobt, se tak snžue o ž vytvořenou zásobu. e) s pak představue vektor hledaných celkových požadavků na materálové vstupy s. Model mezodvětvových výrobkových vztahů e potom možné zapsat pomocí rovnce v matcovém tvaru: y A, (2.8) 17

19 kterou e možné nterpretovat tak, že celková produkce výrobku se rovná produkc, která e určená ke spotřebě mmo vlastní podnkový modelovaný systém, ale také k vlastní spotřebě uvntř modelovaného systému podnku. Model spotřeby energetckých a materálových vstupů pak můžeme zapsat rovncí: B s. (2.9) Významnou součástí plánovacího procesu v každém podnku e také ověření reálnost plánu z hledska dostupných kapact výrobních zařízení, stroů nebo počtu pracovní síly. Podnkový blanční model e proto doplňován modelem kapactním. Protože má tento model stenou podobu, ako má dříve defnovaný model spotřeby materálových vstupů a lší se pouze náplní proměnných modelu, e možné e zapsat přímo v matcovém tvaru: C f. (2.10) kde C e obdelníková matce typu (r, n), kde r e počet blancovaných zařízení, např. stroů atd., eíž prvky t 12,,...,r sou specfcké spotřeby aparaturního času nečastě v hodnách na ednotku produkce výrobků č polotovarů, f e vektor typu (r, l) hledaných požadavků na doby čnnost f blancovaných stroů č lnek Řešení podnkového blančního modelu pomocí matcového počtu Př řešení sestavených blančních modelů nesou nutné žádné specální znalost matematky. Přesto má řešení těchto modelů svá specfka. Model mezvýrobkových vztahů, vz rovnce (2.8), představue v první fáz výpočtu po dosazení hodnot a soustavu n blančních rovnc o 2n neznámých a y. V případě, že lze v podncích vyrábět na stroích č zařízeních různé výrobky, maí ednoznačnou prortu požadavky zákazníků. Za výchozí hodnoty sou považovány konkrétní obednávky zákazníků, případně předpověd o výš možné poptávky po ednotlvých výrobcích. Ty pak tvoří základ pro stanovení hodnot y o. Poté, co provedeme zpřesnění požadavků stavem zásob výrobků na skladě y z, e možné kvantfkovat vektor y. Cílem blance e pak určt, aké množství výrobků vyrábět, aby byly uspokoeny požadavky zákazníků. Řešením rovnce (2.8) dostaneme: 1 E A y, (2.11) nebo také po dosazení za: 1 E A U, Uy, (2.12) 18

20 kde E e ednotková matce, U e pak čtvercová nverzní matce k matce E A Jeí prvky u pak představuí tzv. souhrnné měrné spotřeby polotovarů na ednotlvé výrobky. Výpočet nverzních matc e popsán v Matematckém dodatku. Blanc spotřeby vstupů materálů lze upravt dosazením odvozeného výrazu (2.10) do rovnce (2.9). Získáme pak požadavky na vstupy, a to ve tvaru funkce požadovaných výstupů: 1. 1 s B E A y. (2.13) Prvky matce 1 V B E A, které označíme v, pak představuí úplné měrné spotřeby vstupů materálů č energe. Ty sou přepočteny na ednotlvé výrobky a polotovary. Podobně e možné upravt blanc kapact. Získáme tak rovnc ve tvaru: 1 f C E A y. (2.14) Prvky matce 1 W C E A, které označíme w, představuí úplné měrné spotřeby času čnnost konkrétního zařízení na ednotlvé výrobky a polotovary, které se na nch vyráběí. Matce V a W není nutné počítat, protože hledané požadavky na vstupy e možné určt přímo podle vztahu (1.9) nebo (1.10), a to dosazením vypočtených hodnot vektoru. Podnkový blanční model e možné v souhrnném tvaru zapsat v následuící podobě: E A y, 1 B E A y s, C E A y f, U y V y W y, s, f, U V y s. W f 1 1 (2.15) V některých případech e možné vyít z celkové produkce, kterou e podnk schopen v daném období vyrobt. Výsledkem takových propočtů e potom blance množství výrobků, které dodá podnk zákazníkům z vlastní výroby. Za hodnoty e 19

21 možné dosadt kapacty obvykle ednoúčelových výrobních lnek. Hledané prvky vektoru y potom získáme úpravou výrazu (2.8) na tvar: y E A. (2.16) K problémům nedochází an v případech, kdy př sestavování blance vycházíme u skupny hromadných výrobků z kapact a v případě sérových výrobků pak z požadavků eterních zákazníků. Pro takový případ potom stačí upravt model mezodvětvových vztahů následuícím způsobem: a) V prvním kroku seřadíme ednotlvé výrobky ve vektorech a y tak, že nedříve budou řazeny výrobky hromadné a po nch výrobky sérové anebo naopak. Podobným způsobem pak budou prvé sloupce a řádky matce A obsazeny hromadným výrobky a další sloupce a řádky potom výrobky sérovým. b) Ve druhém kroku pak matc A rozdělíme na ednotlvé submatce a vektory a y tak, že vytvoříme dělcí čáry mez oběma skupnam výrobků: y A A y A y A A (2.17) Indey 1 v matcích a vektorech označuí výrobky, u nchž se př blancích vychází z kapacty zařízení, a nde 2 pak výrobky, u nchž sou východskem požadavky zákazníků. c) V posledním kroku potom rozdělené vektory a matc z předchozího kroku dosadíme do rovnce (2.8) a získáme následuící výraz: 1 y1 A11 A12 1 = +. y A A (2.18) Tento výraz e zápsem dvou matcových rovnc ve tvaru: y A A y A A , (2.19) Jestlže vyřešíme soustavu (2.19) podle y 1 a 2, získáme odpověď na to, kolk musíme celkem vyrobt výrobků druhé skupny, abychom vyhověl požadavkům zákazníků, a také aké množství budeme moc dodat zákazníkům požaduícím hromadně vyráběné výrobky: E A A y y E A A , (2.20) 20

22 Přpustíme-l s, že matce A 21 obsahue měrné spotřeby výrobků, ež sou vyráběny sérově na výrobky vyráběné v komunálních procesech, e zřemé, že př praktckých aplkacích e to často matce nulová. Důvodem e fakt, že lze en obtížně takové návaznost realzovat. Blanční model e pak nutné upravt v podmínkách, v případě že ve výrobní struktuře podnku estuí takové druhy výrob, kdy v ednom procesu vznká současně více než eden výrobek. Problém spočívá v tom, že ednotlvé sdružené výrobky sou vyráběny ve výrobním procesu v něakém en obtížně ovlvntelném poměru. Navíc není sté, že ve steném poměru e výrobce schopen e dále prodat zákazníkům nebo následně zpracovávat. Kdybychom všechny sdružené výrobky zařadl do blančního modelu, vznkly by matematcké problémy s eho řešením. Součástí výpočtu a řešení blančního modelu e totž výpočet nverzní matce. Ten e však možný en v případě, že blanční rovnce sou navzáem nezávslé. Problém popsaný v předchozím odstavc e pak možné řešt například následuícím způsobem: a) Zvolíme eden ze sdružených výrobků a označíme e za hlavní a ten pak zařadíme do blančního modelu mezvýrobkových vztahů. b) Pro tzv. vedleší výrobky pak sestavíme dvě základní blance. První z nch e určena k výpočtu ech množství, které vznkne př plánované výrobě výrobků hlavních. Druhá blance pak slouží pro blanc ech potřeby na ostatní výrobky v modelovaném podnkovém systému nebo pro krytí požadavků zákazníků. Postup e potom modelován tak, že v matc B se vymezí pro každý vedleší výrobek dva samostatné řádky: a) První řádek obsahue ve sloupc, ež přísluší hlavnímu výrobku, výtěžek vedlešího výrobku na ednotkové množství výrobku hlavního. b) Druhý z nch pak zahrnue měrné spotřeby vedlešího výrobku přepočtené na ostatní výrobky podnku. Vektor s po výpočtu blance obsahue pro vedleší výrobek dvě hodnoty, první z nch vyadřue celkovou produkc a druhá pak sumu celkových požadavků. Pokud se tyto hodnoty nerovnaí, e nutné tento nesoulad řešt mmo blanční model. 21

23 2.5. Řešení podnkového blančního modelu v prostředí MS Ecel Všechny výpočetní operace, které sou nutné pro řešení podnkového blančního modelu, lze relatvně ednoduše a především efektvně realzovat v prostředí tabulkových procesorů. Pro ech přehlednost a vybavení potřebným funkcem sou využívány podnky, které se vyznačuí často velm složtým strukturam materálových toků. Následuící řešený příklad lustrue využtí tabulkového procesoru MS Ecel verze Řešený příklad 2.1: Cukrárna DIANA v Opavě se zabývá výrobou zákusků. Protože se blíží období Vánoc, obednávky na zákusky se zvyšuí. Podnk potřebue zstt, aké množství surovn bude potřebovat na uspokoení veškerých požadavků zákazníků. Také se musí ověřt, zda e možné vyhovět všem zákazníkům. Aby mohl být splněn tento požadavek, musí podnk znát požadavky zákazníků, množství surovny a čas potřebný pro výrobu zákusků. Pro určení množství surovn využe cukrárna podnkové blanční modely. Konkrétně se edná o výpočet celkové produkce v podnku, blančního modelu materálových vstupů a blančního modelu kapact. Jak bylo uvedeno v předchozích podkaptolách, podnkový blanční model tvoří soustava lneárních rovnc a eho cílem e nalézt hodnoty požadovaných velčn ze zadaných parametrů. Prvky blančního modelu sou ednotlvé výrobky, polotovary a surovny. I přesto, že frma má svou stávaící produkc, přemýšlí, zda může přmout obednávky od zákazníků na vánoční cukroví. Př stávaícím vytížení stroů má frma k dspozc celkem 40 hodn práce týdně na každém stro. Cukrárna vyrábí tyto následuící produkty: - špčky, věnečky, vanlkové rohlíčky, pařížské rohlíčky a kokosky. Složení ednotlvých produktů e následuící: a) Na výrobu 100 kusů věnečků e potřeba 1900 ml mléka, 563 g másla, 400 g hladké mouky, 10 ks vaec, 125 ml rumu, 250 g cukru a 1 g vanlkového cukru. b) Na výrobu 100 kusů špček se spotřebue 46 g másla, 91 g hladké mouky, 320 g cukru, 280 g čokolády a 50 g vanlkového cukru. c) Na výrobu 100 kusů vanlkových rohlíčku e potřeba 250 g másla, 375 g hladké mouky, 88 g cukru a 1250 g ořechů. 22

24 d) Výroba 100 kusů pařížských rohlíčků vyžadue 140 ml mléka, 278 g másla, 12 g hladké mouky, 5 ks vaec, 395 g cukru, 150 g čokolády a 167 g ořechů. e) Na 100 kusů kokosek e potřeba 10 ks vaec, 500 g cukru a 667 g kokosu. Označení surovn, které cukrárna používá, e následuící: mléko (v ml) = surovna S1 máslo (v g) = surovna S2 hladká mouka (v g) = surovna S3 vece (ks) = surovna S4 rum (v ml) = surovna S5 cukr (v g) = surovna S6 čokoláda (v g) = surovna S7 ořechy (v g) = surovna S8 vanlkový cukr (v g) = surovna S9 kokos (v g) = surovna S10 Množství surovn potřebných na výrobu 100 kusů ednotlvých zákusků v prostředí MS Ecel e uvedeno na Obrázku 2.1. Obrázek 2.1: Množství surovn na 100 ks zákusků Na Obrázku 2.2 e uvedeno množství času v mnutách potřebné k výrobě 100 ks ednotlvých produktů. 23

25 Obrázek 2.2: Čas v mnutách potřebný k výrobě 100 ks zákusků Výroba 100 kusů věnečků trvá celkem 115 mnut, špčky 170 mnut, vanlkové rohlíčky 75 mnut, pařížské rohlíčky 105 mnut a kokosky 60 mnut. Nevíce e vytížený stro č. 3, celkem na 175 mnut. Naopak neméně stro č. 1, a to na 45 mnut. Požadavky zákazníků v posledním týdnu před Vánoc sou uvedeny na Obrázku 2.3. Obrázek 2.3: Požadavky zákazníků v posledním týdnu před Vánoc Nyní s defnueme proměnné, se kterým budeme v našem příkladu pracovat: y = produkce -tého výrobku (polotovaru) určeného ke spotřebě mmo blancovaný systém, především tedy de o požadavky zákazníků, = celková produkce -tého výrobku bez ohledu na eho další určení, = spotřeba -tého výrobku na výrobu ednotek -tého výrobku, s = hledané množství potřebné pro splnění požadavků zákazníků, a = specfcké spotřeby -tého polotovaru, 24

26 s = specfcké spotřeby materálových vstupů na ednotkové množství -tého výrobku. V dalším kroku provedeme matematckou formulac podnkového blančního modelu cukrárny. Začneme modelem mezvýrobkových vztahů, následovat bude model materálových vstupů a nakonec model kapact, vz rovnce (2.15). Pro náš konkrétní blanční model tedy sestavíme soustavu rovnc. Celková produkce e v případě cukrárny následuící: y, 1 1 y , y, y, y. (2.21) V rovnc (2.21) se vyskytuí pouze požadavky zákazníků y, protože ednotlvé výrobky nesou polotovarem pro další výrobu. Samotné výrobky sou vyráběny pouze ze surovn, nkolv z polotovarů. Můžeme tedy za pravé strany rovnce požadavky zákazníků dle zadání , 1500, 800, 1000, (2.22) Blanční model materálových vstupů má pak podobu soustavy lneárních rovnc: s , s , s , s , s ,25, 5 1 s , s , s , s 50, s (2.23) 25

27 Výpočty v blančním modelu materálových vstupů sou provedeny v programu MS Ecel 2010 pomocí matematcké funkce SOUČIN.MATIC. V prvním kroku přepíšeme údae o potřebě množství surovn na ednotlvé produkty do matce B. V dalším kroku zapíšeme vektor, ehož složkam e požadované množství výrobků. Jednotlvé složky sou vydělené stem, a to z toho důvodu, že potřebné množství surovn e uvedeno na 100 kusů. Následně vypočteme vektor s, ehož složky udávaí potřebné množství ednotlvých surovn. Vektor s se vypočítá ako součn matce B s vektorem. Samotný výpočet e zobrazen na Obrázku 2.4. Obrázek 2.4: Blanční model materálových vstupů Blanční model kapact má opět podobu soustavy lneárních rovnc: f , f , f , f , f (2.24) Obrázek 2.5: Blanční model kapact V další fáz řešení se tedy budeme věnovat výpočtům v blančním modelu kapact. Údae o času potřebném k výrobě na ednotlvých zařízeních zapíšeme v podobě matce C. Matc C následně vynásobíme vektorem, ehož složkam sou požadovaná množství výrobků. Výsledný vektor f udává potřebné množství času k výrobě produktů na ednotlvých zařízeních v sekundách. Blanční model kapact e zachycen na Obrázku

28 Po výpočtech vyšly následuící výsledky: a) Spotřeba surovn: - mléka 20,4 ltrů - másla 11,1 kg - hladké mouky 8,485 kg - vaec 350 ks - rumu 12,5 ml - cukru 21, 954 kg - čokolády 5,7 kg - ořechů 11,67 kg - vanlkového cukru 0,768 kg - kokosu 13,34 kg b) Stroe sou vytíženy takto: - stro 1 e vytížen 23,75 hodny - stro 2 e vytížen 34,33 hodny - stro 3 e vytížen 15,67 hodny - stro 4 e vytížen 23,58 hodny - stro 5 e vytížen 14,33 hodny Frma ke své obvyklé produkc může přdat obednávky na další zákusky, protože kapacta stroů není plně vyčerpána. Nevíce e vytížen stro 2, ale na něm sou dostatečné rezervy. 27

29 Shrnutí: Druhá kaptola byla věnována problematce podnkových blančních modelů, pomocí nchž formalzueme na podnkové vntropodnkové úrovn varanty základních materálových, energetckých nebo hodnotových vazeb mez prvky modelovaného systému, echž realzace e podmínkou pro transformac eho vstupů na požadované výstupy. Kromě defnování základních pomů byly popsány všechny potřebné blanční rovnce a vysvětlen také postup řešení. Kaptola e zakončena lustrací řešení na konkrétním příkladu z podnkatelské prae. 28

30 3. Úlohy lneárního programování Klíčová slova: duální úloha, lneární programování, optmální řešení, přípustné řešení, Smpleová metoda Lneární programování (LP) lze považovat za ednu z nečastěších a také neúspěšně aplkovanou matematckou metodou v ekonom. Hovoříme o sofstkovaných matematckých metodách, k nmž e zapotřebí využívat počítače, nkolv trvální matematcké postupy, vz (Ivančová, Z. a Brezna I., 1997) nebo (Jablonský, J., 2007). Př studu úloh lneárního programování nás budou zaímat především následuící otázky: a) Jaké vlastnost úloh lneárního programování lze využt k výpočtům řešení, t. optmálního řešen úlohy lneárního programování? b) Za akých podmínek estue přípustné řešení úlohy lneárního programování, resp. optmální řešení? c) Jaká e struktura množny všech přípustných řešení, resp. všech optmálních řešen úlohy lneárního programování? Komerční softwary sou dnes schopny řešt úlohy lneárního programování se statsíc proměnných a omezuících podmínek. Ncméně výpočet relevantních řešení bez znalost teore lneárního programování e možné en stěží dovést k úspěšnému konc. Totéž platí pro řešení úloh lneárního programování v prostředí MS Ecel, který budeme používat. Za nečastěší důvody obtíží př výpočtech lze považovat: a) Chyby ve formulac modelu. Software např. hlásí, že úloha nemá přípustné an optmální řešení, když modelovaný ekonomcký systém reálně estue. Příslušné řešení by mělo estovat. b) Dále se lze setkat s chybam př zavádění dat do počítače. Častou chybou e např. fakt, že číslo e do počítače v Ecelu vloženo ve formátu tetu. Tato drobná chyba není na první pohled patrna a způsobue, že počítač nc nevypočítá, ale an nepodá nformac o typu chyby. Vektorový tvar úlohy lneárního programování ve standardní formě lze napsat následovně: př omezeních: T c MAX ( MIN ), (3.1) 29

31 A 0. b, (3.2) 3.1. Základní pomy lneárního programování V této podkaptole budou analyzovány vlastnost úloh lneárního programování. Označme množnu všech přípustných řešení úlohy lneárního programování symbolem X, t. X,,..., R n A b, 0 (3.3) 1 2 n a množnu všech optmálních řešení této úlohy, t. množnu všech,,..., X R n, kde účelová funkce nabývá svého globálního mama 1 2 (mnma), symbolem n * X. Každá úloha lneárního programování e z matematckého pohledu zároveň úlohou konveního programování, a proto platí, že každý bod lokálního mama (mnma) e zároveň bodem globálního mama (mnma). Jednoznačnost optmálního řešení však podle není zaručena, neboť lneární účelová funkce (3.1) není an ryze konvení an ryze konkávní. Každý vektor 1, 2,..., n splňuící omezuící podmínky e přípustným řešením úlohy lneárního programování. zapsat takto: Sloupce matce A lze označt 1 2 n a, a,..., a, takže matc A typu m n lze 1 2 n A a, a,..., a,. (3.4) Podle pravdel matcového počtu e možné zapsat soustavu rovností: a a a b (3.5) 1 2 n n. Defnce 3.1: Nechť všechny řádky v matc A typu m n z (3.4) sou lneárně nezávslé. Řešení soustavy (3.2) maící nevýše m kladných složek, které sou koefcenty u lneárně nezávslých vektorů v kombnac (3.5), se nazývá základní řešení nebol bazcké řešení soustavy (3.2). Základní řešen, které má pravě m kladných složek, se nazývá nedegenerované. Je-l kladných složek v (3.5) méně než m, nazývá se toto řešení degenerované. Pozn. Soustava vektorů e lneárně nezávslá, estlže žádný z vektorů není lneární kombnac ostatních vektorů. Dále platí, že mez m-členným vektory může 30

32 byt nevýše m lneárně nezávslých vektorů. Jnak řečeno, pokud má soustava více než m vektorů, pak e lneárně závslá. Pro nalezení optmálního řešení úlohy lneárního programování má zásadní význam věta 3.1: Věta 3.1: Má-l úloha lneárního programování (3.1) (3.2) optmální řešení, e mez optmálním řešením také základní řešení soustavy omezuících podmínek (3.2). Soustava omezuících podmínek (3.2) má nevýše C n, m n!/ n m! m! základních řešení. Tolka způsoby e totž možné mez n proměnným 1, 2,..., n vybrat m možností na kladné složky v základním řešení. V reálných případech e ovšem základních řešení podstatně méně, než udává výše uvedené kombnační číslo C n, m, protože ne každý výběr možností na kladné složky, představue základní řešení. Věta 3.1 umožňue omezt se př hledání optmálního řešení úlohy lneárního programování pouze na základní řešení, kterých e konečný počet, zatímco přípustných řešení e obecně nekonečně mnoho. Ve specálních případech může byt množna přípustných řešení také prázdná, nebo v případě kdy m = n může obsahovat edný bod. V geometrckém znázornění e množna přípustných řešení průnkem poloprostorů vymezených nadrovnam omezuících podmínek. Jedná se tedy o konvení geometrcky útvar nazývaný polytop. V případě, že de o omezenou 2 množnu, polytop se nazývá polyedr. Specálním případem polyedru v rovně R e pak konvení mnohoúhelník. Následuící věta 3.2 charakterzue množnu všech přípustných řešení v úloze lneárního programování. Věta 3.2: Jestlže e množna přípustných řešení X úlohy lneárního programování (3.1) (3.2) omezená, potom X e množna všech konveních kombnac utvořených ze všech základních řešen. Je tedy konvením polyedrem. Řešený příklad: Uvažume následuící úlohu lneárního programování: MAX, př omezeních: , , , 0, 0,

33 Nalezněte všechna základní řešení této úlohy. Matce A e typu (2 4), úlohu lneárního programování můžeme zapsat matcově takto: 2 12,6,0,0 MAX, (3.6) př estenc omezení: 8,4,2,0 2 40, 4,6,0, (3.7) (3.8) Ze sloupců matce A pak lze sestavt C(4, 2)=6 dvoc sloupců, proto tedy estue 6 potencálních základních řešení, z nchž sou 4 základní: ,,, Odpovídaící hodnoty účelové funkce sou: T T T T c 1 120, c 2 120, c 3 66, c Formulace úloh lneárního programování Jedním z nedůležtěších kroků př aplkac metod lneárního programování e formulace matematckého modelu problému a následně také formulace ekonomckého modelu řešeného problému. Předpokládeme, že e defnován a verbálně popsán ekonomcký model řešeného problému. Každý takovýto ekonomcký model by měl obsahovat defnc procesů, které v daném systému probíhaí, a také defnc čntelů, ež omezuí realzac ednotlvých procesů a rovněž defnc cíle optmalzace, vz (Pelkán, J., 2001). 32

34 Proces transformace nformací, které sou součástí ekonomckého modelu, do modelu matematckého nemusí být vždy snadný. Abychom e usnadnl, e vhodné defnovat eho základní kroky: 1. Identfkace rozhodovacích proměnných X. Prvním předpokladem pro úspěšné sestavení matematckého modelu e určení počtu rozhodovacích proměnných a stanovení ech významu. Příslušné proměnné obvykle odpovídaí ednotlvým procesům, které probíhaí v daném zkoumaném systému. Pokud e procesem něaká reálná aktvta, pak vyadřue příslušná proměnná ntenztu eího provádění. 2. Defnce optmalzačního krtéra. Ve druhém kroku e nutné sestavt účelovou funkc, která e funkcí rozhodovacích proměnných. 3. Identfkace čntelů modelu. Poslední krok př tvorbě matematckého modelu spočívá v dentfkac čntelů modelu a ech vyádření ve formě tzv. omezuících podmínek. Musíme brát v úvahu všechny čntele. Protože výsledky, které by tento model poskytoval, by mohly být reálně nepoužtelné č nesmyslné. Identfkace čntelů modelu zahrnue také určení vztahů mez ednotlvým čntel a procesy, a to ve formě strukturních koefcentů modelu, ale také určení pravých stran omezuících podmínek Základní typy úloh lneárního programování V této podkaptole bude uveden přehled základních č typckých úloh lneárního programování, vz (Hler, F. S. a Leberman, G. J., 2004). Řešené úlohy lze nalézt na následuícím odkazu: Budou rovněž uvedeny alternatvy, co mohou představovat v těchto úlohách ednotlvé procesy, čntelé, ale také aký tvar může mít optmalzační krtérum. 1. Úlohy výrobního plánování Úlohy výrobního plánování obvykle spočívaí v určení sortmentu výroby s tím, že e třeba respektovat omezuící podmínky ak na straně vstupů, tak na straně výstupů. Cílem optmalzační úlohy pak může být např. mamalzace dosaženého zsku nebo mnmalzace vynaložených nákladů. Proměnné v takovýchto úlohách sou obvykle představovány obemem produkce ednotlvých výrobků. Mohou ale také defnovány nak, např. ako doba provozu výrobního zařízení č stroe, po které se bude daný výrobek vyrábět. 2. Úlohy fnančního plánování 33

35 Úlohy fnančního plánování, někdy označované ako úlohy optmalzace portfola patří mez obvykle využívané typy fnančních úloh. Cílem těchto úloh e určt obem nvestc do ednotlvých nvestčních varant, a to s cílem mamalzovat očekávaný výnos nebo mnmalzovat rzko portfola nvestčních příležtostí. Proměnné v tomto modelu představuí obem nvestc. Omezuící podmínky mohou pak odpovídat nvestční strateg, která může lmtovat nvestce do ednotlvých typů nvestčních varant. 3. Nutrční úloha Nutrční úlohu lze formulovat například ako problém návrhu denní dávky výžvy pro osobu. Do dávky výžvy e možné zahrnout celou řadu složek, z nchž každá má specfcké složení z hledska sledovaných výžvových látek (energe, mnerály, bílkovny, vtamíny atd.). Procesem e v této úloze pak otázka, zda a s akou ntenztou se daná komponenta do návrhu výžvy zahrne. Proměnné modelu budou tedy odpovídat ednotlvým komponentám. Jech hodnoty představuí množství dané komponenty použté v návrhu výžvy. Omezuící podmínky v této úloze zpravdla vyadřuí požadavky na dosažení mamální č mnmální úrovně daných výžvových komponent. Cílem úlohy pak může být např. mnmalzace ceny denní dávky výžvy. 4. Plánování reklamy Relatvně často používaným aplkacem lneárního programování sou aplkace marketngové. Jednou z takových typckých úloh e rozložení rozpočtu na reklamu do ednotlvých médí. Procesem v úlohách tohoto typu e rozdělení reklamy do určtých médí, anebo v rámc konkrétního méda do konkrétního času, dne v týdnu atd. Proměnné tedy sou představovány např. počtem opakování reklamy v daném médu. Omezuící podmínky pak vycházeí z omezeného rozpočtu, z defnce cílové skupny, na kterou má být reklama prmárně zaměřena atd. Cílem pak může být např. mamalzace vybraných medálních charakterstk. 5. Směšovací úloha Směšovací úloha e obecně úlohou vytvoření směs požadovaných vlastností s tím, že pro vytvoření e možné použít předloženou nabídku komponent. Proměnné v úloze tohoto typu potom odpovídaí použtým komponentám a ech hodnoty pak obemu použtých komponent. Cílem úlohy může být např. mnmalzace nákladů na vytvoření požadované směs. Nutrční úloha, která e popsána v předchozím bodu, může být považována za specální úlohu směšovací úlohy. 6. Úloha o dělení materálu Podstata úloh o dělení materálu spočívá v dělení větších celků na menší část takovým způsobem, aby byl mnmalzován odpad. Přtom e nutné respektovat požadavky na poměr, který maí mít vznklé menší část, kolk těchto částí má mamálně č mnmálně vznknout atd. Každý větší celek lze na menší část rozřezat 34

36 celou řadou způsobů. Úloha o dělení materálu může být ednorozměrná, kdy dělení e charakterzováno pouze edním rozměrem nebo dvourozměrná, kdy se z plochy vyřezávaí menší díly. Jednorozměrná úloha vede na úlohu lneárního programování. Dvourozměrná úloha e pak výrazně složtěší. Procesy odpovídaí proměnné a hodnoty proměnných budou udávat, kolkrát se daný způsob dělení použe. 7. Dstrbuční úlohy Významnou skupnu úloh lneárního programování tvoří tzv. dstrbuční úlohy. V těchto úlohách se edná například o organzac dstrbuce zboží mez dodavatel a odběratel. Tyto úlohy však maí v porovnání s předcházeícím typy úloh poněkud odlšnou strukturu Smpleová metoda Smpleovou metodu e možné defnovat ako výpočetní postup pro nalezení optmálního řešení úlohy lneárního programování, pokud ovšem takové řešení estue, vz (Jablonský, J., 2007). Počátečním bodem tohoto výpočetního postupu e nalezen výchozího základního řešení úlohy lneárního programovaní. V případě, že ž e takové řešení k dspozc, smpleová metoda v ednotlvých krocích vypočítá nové základní řešení. Toto řešení má lepší nebo alespoň stenou hodnotou účelové funkce v případě mamalzační úlohy. U úloh mnmalzačních lze postupovat analogcky. Po provedení konečného počtu kroků vede tedy tento výpočetní postup k nalezení základního řešení, které odpovídá nelepší hodnotě účelové funkce nebo k závěru, že takovéto řešení neestue. Př nalezen základního řešení se musí podle základní věty lneárního programování ednat o řešení optmální, vz věta 3.1. Výpočetní postup pomocí smpleové metody e možné rozdělt na dvě fáze: a) nalezení výchozího základního řešen, b) terační postup, který vede k optmalzac účelové funkce. V některých specálních případech e nalezení výchozího základního řešení natolk snadné, že 1. fáz výpočtu an není nutné provádět. V takovémto případě hovoříme o ednofázové smpleové metodě. Obecně nemusí být však nalezení výchozího základního řešen úlohy lneárního programování snadné. Pak hovoříme o dvoufázové smpleové metodě. Základní myšlenka smpleové metody e znázorněna na obrázku 3.1, v němž e množna přípustných řešení D znázorněna konvením mnohoúhelníkem v rovně 2 R. Jedná se o následuící úlohu lneárního programování: z MAX, (3.8) 35

37 př estenc omezení: Jednotlvé vrcholy lneárního programování. 1, 2 D. (3.9) mnohoúhelníku D pak představu základní řešení úlohy X 2 X opt X 5 X 4 X 3 Růst hodnoty účelové funkce Z=X 2 X 2 X 1 X o =(X 1 0,X 2 0 ) Obrázek 3.1: Grafcké znázornění základního řešení úlohy lneárního programování Z předchozího tetu vyplývá, že smpleová metoda nemusí vždy vést k nalezení optmálního řešení. Pokud totž neestue přípustné řešení, znamená to, že zadané omezuící podmínky sou ve vzáemném rozporu. Tento fakt e důsledkem špatné specfkace modelu. V případě, že základní přípustné řešení úlohy estue, konč 1. fáze smpleové metody eho nalezením a dále pokračueme 2. fází. Jedná se tedy o přechod od základního řešení k takovému, které odpovídá nelepší hodnotě účelové funkce, t. k optmálnímu řešení. An takové optmální řešení nemusí estovat. Jedná se např. o případy, kdy e množna všech přípustných řešení neomezená nebo hodnota účelové funkce se zvyšue nade všechny meze. Z praktckého hledska e tato stuace důsledkem špatné specfkace modelu, ncméně obecně nastat může. 2. fáze smpleové metody tuto problém ndkue a výpočetní algortmus se tak zastaví. Př přechodu na nové bazcké řešení ve 2. fáz smpleové metody se nemusí vždy zvyšovat případně snžovat hodnota účelové funkce. Jeí hodnota může zůstat stená. K tomu dochází v stuac, kdy algortmus narazí na tzv. degenerované základní řešení. Tato stuace by však mohla vést k zacyklení výpočtu, kdybychom př nezvyšování účelové funkce po několka krocích dospěl ke stenému základnímu řešení. Vlvem zaokrouhlovacích chyb v počítač k tomuto stavu v pra nedochází. Protože e tento tet určen pro studenty oborů spíše ekonomckého zaměření a eho úkolem e uvést také praktcké příklady, nepovažueme za nezbytné vysvětlovat podrobný postup algortmu smpleové metody. Studenty odkazueme na bohatou 36 X 1

38 lteraturu, nebo nternetové zdroe ako e např. Důležté e porozumět hlavní myšlence smpleové metody, a také ukázat eí aplkace na ekonomcké problémy, a to včetně nterpretace dosažených výsledků. K tomu by mělo sloužt zvládnutí řešení úloh lneárního programování pomoc nástroe Řeštel v prostředí MS Ecel, vz poslední podkaptola této kaptoly Dvoufázová smpleová metoda V tomto odstavc podrobně popíšeme a na přkladu demonstrueme postup dvoufázové smpleové metody. 1. Fáze: Řešíme úlohu: T kde e 1,1,...,1, T e MIN, (3.10) a to př omezeních: A w b, 0, w 0, (3.11) kde w w1, w2,..., w m sou tzv. umělé proměnné. T Jestlže pro optmální řešení platí ew 0, pak získáme přípustné základní T řešení ným způsobem. Jným slovy, pokud pro optmální řešení platí ew 0, pak přípustné řešení neestue a dvoufázová smpleová metoda končí. 2. Fáze: V případě, že I. fáze výpočtu skončí nalezením výchozího přípustného základního řešení, řeší se v dalším kroku původní úloha: př omezeních: T e MAX, (3.12) A 0. b, (3.13) Získáme optmální bazcké řešení, nebo ndkac, že účelová funkce e na množně všech přípustných řešení shora neomezena. Jným slovy optmální řešení úlohy neestue. 37

39 Řešený příklad: Řešte následuící úlohu lneárního programování pomocí dvoufázové smpleové metody MAX, (3.14) př omezeních: , , (3.15) Řešení: 1. Fáze řešení: př omezeních: 1 3 0, 1, 2,3. w1 w2 MIN, (3.16) w 6, w 10, 1 3 2, w 0, 1, 2,3, 1, 2. (3.17) Optmální základní řešení e výchozím přípustným základním řešením pro 2. fáz řešení úlohy: 1, 2, 3, w1, w 2 2,4;0;0,2;0;0 2. Fáze řešení: př omezeních: MAX, (3.18) , , 1 3 0, 1, 2,3. Optmální základní řešení e následuící: 1, 2, 3 2,5;0,3;0. (3.19) 3.6. Dualta ako vztah mez dvěma úloham lneárního programování Ke každé úloze lneárního programování, označme ako úlohu prmární, lze formulovat také úlohu duální. Vypočtené hodnoty těchto proměnných maí pro pra velký význam. Zároveň na základě formulace duální úlohy byl vyvnut tzv. duální algortmus, kterého lze použít př řešení některých modelů rozhodovacích stuací, vz (Wagner, H. M., 1969). Vektorový záps prmární úlohy lze zapsat následuícím způsobem: př omezeních: T c MAX, (3.20) 38

40 A b, 0. (3.21) Úlohu označueme ako prmární úlohu lneárního programování. Lagrangán k prmární úloze e podle defnce:, T T F y c y b A. (3.22) Kuhn-Tuckerovy podmínky sou pro tento Lagrangan následuící: Y X F, y b A 0, 0 A b, 0. T T F, y c A y 0, y 0 A y c, y 0. (3.23) První Kuhn-Tuckerova podmínka představue omezuící podmínky prmární ulohy. Druhá Kuhn-Tuckerova podmínka defnue omezuící podmínky né úlohy lneárního programování, kterou nazýváme duální úloha lneárního programování. m Konkrétně de o úlohu lneárního programování s vektorem proměnných y R : př omezeních: T b y MIN, (3.24) T A y c, y 0. (3.25) Dualtou se v úlohách lneárního programovaní rozumí přesně defnovaný vzáemný vztah mez dvoc úloh lneárního programování. Důležtá e skutečnost, že dualta úloh (3.20), (3.21) a (3.24), (3.25) e vzáemně symetrckým vztahem obou úloh lneárního programování. Proto se v této souvslost často používá pro dvoc uvedených úloh lneárního programování termín dvoce duálně sdružených úloh lneárního programování. Formulace duální ulohy k úloze prmární závsí na podobě prmární ulohy. Záleží na tom, zda e prmární úloha v matcovém tvaru z Tabulky 3.1 nebo tvaru obyčeném z Tabulky 3.2 č nkolv Podle toho lze rozlšovat dva případy, a to souměrnou a nesouměrnou dualtu. Souměrná dualta v podobě matcového zápsu: 39

41 Prmární úloha Mamalzovat T z c Duální úloha Mnmalzovat T f b y A b T A y c 0 y 0 Tabulka 3.1: Defnce souměrné dualty v podobě matcového zápsu Souměrná dualta v podobě matcového zápsu: n 1 Prmární úloha Mamalzovat z n 1 c a b, 1,2,..., m. 40 m 1 Duální úloha Mnmalzovat f m 1 b y a y c, 1,2,..., n. 0, 1,2,..., n. y 0, 1,2,..., m. Tabulka 3.2: Defnce souměrné dualty v podobě obyčeného zápsu Z výše uvedených tabulek e zřemě, že duální úloha má ný vektor proměnných než úloha prmární. Označl sme e y a edna se o m-složkový vektor, t. vektor, který má tolk složek, kolk měla prmární úloha vlastních omezení. Transformace prmární ulohy na úlohu duální probíhá v následuících krocích: 1. Mamalzační úloha se změní na mnmalzační, popř. naopak. 2. Ke každému vlastnímu omezení prmární úlohy přřadíme ednu duální proměnnou y, 1,2,..., ma také podmínku y Ke každé proměnné, 1,2,..., n, prmární úlohy přřadíme vlastní omezení duální ulohy. 4. Matce strukturních koefcentů duální úlohy e rovna transponované matc těchto koefcentů prmární úlohy. 5. Koefcenty pravé strany duální úlohy sou shodné s koefcenty účelové funkce prmární úlohy a naopak. 6. Význam nerovností vlastních omezení se u duální úlohy mění na opačný. 7. U souměrné dualty byla v úloze s mamalzací účelové funkce všechna vlastní omezení ve tvaru nerovnc s významem nerovnost.

42 8. Pro všechny proměnné platly podmínky nezápornost. Příklad formulace duálně sdružené ulohy k prmární úloze lneárního programování e uvedena v Tabulce 3.3. Prmární úloha Mamalzovat z Duální úloha Mnmalzovat f 250y 90y 50y ,8 0, , ,1 0, ,8y 0,1y , 2y 0, 4y 0,1y , 0. y y y , 0, 0. Z Tabulky 3.3 vyplývá, že: Tabulka 3.3: Příklad duálně souměrné úlohy 1. Prmární úloha e úlohou mamalzační, proto duální úloha e úlohou mnmalzační. 2. Prmární úloha má celkem dvě proměnné 1, Protože prmární úloha měla tř vlastní omezení, má duální úloha tř nezáporné proměnné y 1, y 2, y Každé podmínce nezápornost prmární ulohy odpovídá edno vlastní omezení úlohy duální. 5. Znak nerovnost ve vlastních omezeních se změnl z na. 6. Cenové koefcenty z prmární úlohy byly převedeny na pravé strany vlastních omezení duální ulohy a naopak. Pravé strany omezení prmární úlohy se staly koefcenty účelové funkce úlohy duální. Př formulování souměrné dualty sme uvažoval model lneárního programování pouze ve tvaru rovnc (3.20) a (3.21), vz Tabulka 3.1. V takové úloze s mamalzací účelové funkce byla všechna vlastní omezení ve tvaru nerovnc se znakem nerovnost a pro všechny proměnné platly podmínky nezápornost. V reálných úlohách lneárního programování se však vyskytuí také ná vlastní omezení než nerovnce uvedené v Tabulce 3.1 a všechny proměnné rovněž nemusí být v pra nezáporné. 41

43 Pokud e v omezuících podmínkách nerovnce s opačným znakem nerovnost, lze snadno vynásobením hodnotou 1 převést do požadovaného tvaru. Podíveme se nyní blíže na stuac, kdy se v prmární úloze bude vyskytovat vlastní omezení ve tvaru rovnost. Sestaven duální ulohy budeme demonstrovat na přkladu, kdy ve vlastním omezení uvažueme namísto nerovnost rovnost =. Řešený příklad: V kožedělném závodě se vyráběí tř druhy výrobků (peněženky, rukavce a brašny), na něž se spotřebovávaí dva druhy surovn (kůží), echž dsponblní množství nelze zvýšt nad udanou mez. Naším úkolem e určt výrobní program pro mamální výš zsku. K prmární úloze lneárního programování sestavte také úlohu duální. Vstupní údae sou uvedeny v Tabulce 3.4. Formulace prmární úlohy: MAX, za podmínek: 0, 2 0, , , 0, 0. 0, 25 0,3 4200, 2 3 Tabulka 3.4: Zadání úlohy Protože de v přkladu o mamalzac účelové funkce, e třeba, aby všechny omezuící podmínky byly nerovnce se znakem nerovnost. Obě omezení tento požadavek splňu. Nyní přstoupíme k formulac úlohy duální. Obdržíme novou úlohu: 3000u u2 MIN, za podmínek: 42

44 0, 2u 12, , 25u 11, 0, 2u 0,3u 26, u u , 0. U omezuících podmínek typu a "=" e třeba pomocnou proměnnou k levé straně nerovnce případně rovnce přčíst. Pomocné proměnné budou v takto získané soustavě rovnc základním proměnným. Příklad řešíme standardně smpleovou metodou. Výsledky řešení prmární úlohy sou uvedeny v Tabulce 3.5. Tabulka 3.5: Řešení prmární úlohy V část smpleové tabulky obsahuící poslední terac výpočtu edné ze sdružených úloh e řešení duální úlohy. Postup e uveden v Tabulce 3.6. Tabulka 3.6: Řešení duální úlohy 43

45 Z Tabulky 3.5, přesně z 3. terace lze vyčíst také optmální řešení duální T úlohy u 60, 140 / 3. Ta e v posledním řádku tabulky pod přídatným proměnným, echž koefcenty vytvořly ednotkovou matc 1. terace. Hodnoty přídatných proměnných lze zstt rovněž z posledního řádku tabulky 3. terace. Jsou zapsány ve sloupcích původních strukturních proměnných u 3 0, u 4 2/ 3, u 5 0. Ale také obráceně lze z tabulky řešení duální úlohy zstt řešení úlohy prmární. Tedy optmální řešení prmární úlohy z Tabulky 3.6 e T 1000, 0, 1400, 0, 0. Účelová funkce z prmární úlohy má hodnotu: z Hodnota účelové funkce z úlohy duální má pak hodnotu: z / Strukturní duální proměnné můžeme nterpretovat ako ocenění edné ednotky kapacty ve vztahu k hodnotě účelové funkce. Jedná se tedy o margnální ocenění kapact. Někdy se strukturní duální proměnné označuí ako stínové ceny. Hodnoty duálních proměnných e třeba uvažovat pouze v rámc určtých ntervalů stablty pro hodnoty pravé strany b Vztah mez prmární a duální úlohou lneárního programování a ekonomcká nterpretace dualty Hlavní význam dualty spočívá ve vzáemných vztazích, které platí mez prmární a duální úlohou. Je možné e formulovat ve formě šest matematckých vět: Věta 3.3: Duální úloha k duální úloze lneárního programování e úloha prmární. Věta 3.4: Maí-l obě úlohy, ak prmární tak duální, přípustné řešení, pak maí také řešení optmální. Věta 3.5: Je-l lbovolným přípustným řešením prmární úlohy a y lbovolným přípustným řešením duální úlohy, pak platí T T c b y. Věta 3.6: Platí-l T T c b y, pro přípustná řešení a y, pak e optmálním řešením prmární úlohy a y e optmálním řešením duální úlohy. Věta 3.7: Má-l edna z úloh, ať prmární č duální, přípustné řešení, ale nemá řešení optmální, pak druhá úloha nemá žádné přípustné řešení. 44

46 Věta 3.8: Má-l edna z úloh optmální řešení, má e také druha úloha, přčemž platí, že hodnoty účelových funkc sou stené. Ekonomcká nterpretace řešení duálního modelu e velm těsně spoena s nterpretací modelu prmárního. Všechny úvahy budeme demonstrovat na konkrétním přkladu výrobního plánovaní, která byla řešena v podkaptole 3.6 a zadána v Tabulce 3.4. Nedříve s přpomeňme ednotlvé prvky prmárního modelu: 1 - množství kožedělného výrobku peněženka, 2 - množství kožedělného výrobku rukavce, 3 - množství kožedělného výrobku brašna, z - celkový zsk = , b 1 - dsponblní kapacta kůže A = 3000, b 2 - dsponblní kapacta kůže B = 4200, * - optmální výrobní program (vektor), * 1000, 0,1400. zstl, že: Označme y * optmální řešení duální ulohy. Z předchozího výpočtu sme y * 60,140 / 3. Podle hlavní věty o dualtě platí: T T z c b y, tedy: z / Jným slovy, celkový zsk z produkce lze vyádřt také ako součn kapact ednotlvých využívaných zdroů a hodnot duálních proměnných. Duální proměnné e tedy možné nterpretovat ako ocenění ednotky příslušného využívaného zdroe. Jde však pouze o takzvané margnální ocenění příslušných dsponblních kapact. Jnak řečeno, edná se tedy o nevyšší cenu ednotky využtého zdroe, za kterou se eště frmě vyplatí nakoupt příslušný zdro, protože přírůstek účelové funkce, v našem případě zsku, e pak vyšší. Pokud e skutečná cena ednotky takového zdroe menší, než e hodnota margnálního ocenění, vyplatí se frmě rozšířt výrobu nákupem tohoto zdroe. Hodnota duálního nebol též margnálního ocenění se obvykle nazývá stínová cena č anglcky shadow prce nebo také náklady obětované příležtost č anglcky 45

47 opportunty costs. Z těchto důvodů má také nevyčerpaný zdro nulovou hodnotu duální proměnné, protože eho navýšení o ednotku nepřspěe ke zvýšení hodnoty zsku. Například ednotka 1. zdroe (kůže A) se podílí na celkovém zsku hodnotou 60 EUR. Kdyby byla hodnota y 2 = 0 (ve skutečnost má však hodnotu 140/3) znamenalo by to, že se 2. zdro (kůže B) na zsku přímo nepodílí. Tento zdro by nebyl využt, a tudíž eho zvýšení o ednotku by nezpůsoblo zvýšení hodnoty účelové funkce. Obecně lze znalost hodnot duálních proměnných využít př hledání odpovědí na otázky tohoto typu: Jak se změní hodnota účelové funkce, v našem případě zsk, estlže se kapacta kůže A zvýší o ednotku? Odpověď e následuící: změní se právě o hodnotu příslušné duální proměnné, v našem případě o y 1 = 60. Kdyby byla teoretcky hodnota y 2 = 0, změna kapact u tohoto zdroe (kůže B) by neměla na výsledný zsk žádný vlv. Nabízí se však otázka, že kdyby kapacta tohoto zdroe (kůže B) výrazně poklesla, stal by se pak tento zdro nedostatkovým, a to by stě mělo vlv na celkový dosažený zsk. Jnak řečeno, znamená to, že hodnoty duálních proměnných e nutné uvažovat pouze v rámc určtých ntervalů stablty pro kapacty ednotlvých zdroů. Obecně lze říc pro hodnoty pravých stran vlastních omezení. Podle hlavní věty o dualtě platí pro náš příklad: T T z* c * b y *, z* / Souhrnně lze konstatovat, že pokud e skutečná cena edné ednotky zdroe menší, než e eí cena stínová, vyplatí se rozšířt výrobu nákupem právě tohoto zdroe. Stínová cena pak představue náklady obětované příležtost. Přčemž nevyčerpaný zdro má potom také nulovou hodnotu duální proměnné nebol nulovou stínovou cenu. Zvýšení tohoto zdroe o ednotku proto nezpůsobí zvýšení celkového dosaženého zsku Řešení optmalzačních úloh v prostředí MS Ecel Úlohy lneárního programování lze také řešt v prostředí nerůzněších softwarových produktů. Lze využít ak tabulkové kalkulátory, např. MS Ecel, ale také né typy produktů, které sou specálně zaměřeny na řešení úloh matematckého programování ako e WnQSB č Xpress IVE. V neposlední řadě e možné využít programovou podporu CAS produktů, k nmž patří Maple, Mathlab č Mathematca. V pra se nečastě využívaí tabulkové kalkulátory. Optmalzační moduly v tabulkových kalkulátorech, které naleznete ve všech obvykle používaných verzích, 46

48 sou v zásadě totožné. Z tohoto důvodu se zaměříme se na prác s nepoužívaněším z nch, a to s nástroem řeštel v prostředí tabulkového kalkulátoru MS Ecel, který se v pra využívá nečastě. Nástro řeštel e určen pro řešení většny standardních úloh matematckého programování. S eho pomocí e tedy možné řešt ak lneární, ale také nelneární optmalzační úlohy. V tomto tetu se však zaměříme především na úlohy lneárního programovaní, které lze v prostředí MS Ecel rozšířt o některé další možnost. Jednou z možností rozšíření e možnost řešení úloh s podmínkam celočselnost, kdy některé nebo všechny proměnné řešeného modelu mohou být defnovány ako celočíselné proměnné. Možnost řešení úloh větších rozměrů sou v prostředí MS Ecel poměrně výrazně ohrančené. Proměnných omezuících podmínek může být v modelu matematckého programování nevýše několk stovek. Pro účely řešení úloh v tomto tetu e to však plně dostačuící. V pra se však řeší úlohy lneárního nelneárního programování o rozsahu několka mlonů proměnných a také omezuících podmínek. K těmto účelům už samozřemě MS Ecel využít nelze. Je nutné použít specalzovaný software. Programový produkt MS Ecel e v České republce rozšířen především v české verz. V některých frmách e možné se setkat rovněž s verzí anglckou. Z těchto důvodů budeme v následuícím výkladu prmárně uvažovat českou verz a pro eventuální užvatele verze anglcké budeme také uvádět současně anglcké ekvvalenty používaných termnů. Pro lustrac řešen úlohy lneárního programování v prostředí tabulkového kalkulátoru MS Ecel využeme následuící přklad úlohy lneárního programování, tzv. nutrční č vyžvovací problém, vz kaptola 3.3. Řešený příklad: Denní dávka výžvy pro skupnu dospívaících dětí ve věku let na letním táboře by měla mít energetckou hodnotu v rozmezí od do kj, a měla by obsahovat mnmálně 80 g protenů, 15 mg vápníku a ednotek vtamínu C. Pro zabezpečení uvedených požadavků máme k dspozc celkem osm základních druhů potravn. Přesné složení těchto potravn z hledska používaných komponent, které e vždy uváděno na 100 g dané potravny, a ech cena v Kč za 100 g e uvedena v tabulce 3.7. V denní dávce výžvy můžeme přtom spotřebovávat mnmálně 100 g a mamálně 400 g každé potravny. Cílem naší úlohy e nalezení takové skladby výžvy, která bude vždy v souladu s výše uvedeným požadavky a zároveň bude pokud možno nelevněší. V matematckém modelu úlohy lneárního programování bude tedy celkem osm proměnných, které budou vyadřovat množství ednotlvých potravn ve stovkách gramů v navržené denní dávce výžvy dospívaících dětí. Každá z proměnných bude omezena zdola shora. Víme, že mamální množství každé potravny e 400 g a mnmální množství e 100 g. Každé ednotlvé komponentě výžvy bude přtom odpovídat edna omezuící podmínka, která zabezpečí naplnění požadavků ze zadání. Výmkou e energetcká hodnota, kde budou tyto podmínky dvě. 47

49 Energetcká hodnota kj Proteny g Vápník mg Vtamín C mg Hovězí maso ,4 3, Cena Kč Máslo ,6 0, ,2 Pečvo ,2 0,8 0 1,5 Brambory 300 1,6 0,6 40 0,7 Ovoce ,5 60 1,8 Tavený sýr ,2 0, ,6 Kuře ,2 1,5 0 6,5 Ovocný ogurt , ,2 Tabulka 3.7: Vstupní údae pro úlohu lneárního prohramování - nutrční problém Matematcký model úlohy lze zapsat ve tvaru: , 22 1,5 3 0,74 1,8 5 10,66 6,57 3, 28 MIN Za podmínek: ,4 0,6 7,2 1,6 31,2 20,2 7, ,1 0, 2 0,8 0, 6 0,5 0, 6 1,5 0, , kde = 1,2,...,8. Př řešení konkrétní optmalzační úlohy matematckého programování v MS Ecel e nutné neprve přpravt vstupní data úlohy v tabulce. Uspořádání této tabulky může být v podstatě lbovolné, e však nutné dodržet stá pravdla, která optmalzační modul vyžadue. V Tabulce 3.8 e uveden příklad, ak mohou být vstupní data výše uvedeného přkladu v tabulce Ecelu rozvržena. Většna koefcentů v Tabulce 3.8 sou přímo zadané numercké hodnoty. V naší úloze de o koefcenty, které popsuí složení ednotlvých potravn (blok B3:E10), ech cena (F3:F10), mnmální a mamální požadavky na ednotlvé komponenty (B13:E14) a také dolní a horní meze pro použtí ednotlvých potravn (C18:C19). V matematckém modelu naší nutrční úlohy lneárního programování bylo defnováno celkem osm proměnných. V tabulkovém procesoru sou tyto proměnné označeny v bloku H3:H10 a každé z těchto proměnných e přřazena počáteční hodnota 0. 48

50 Tabulka 3.8: Vstupní údae pro úlohu lneárního prohramování MS Ecel Aby bylo možné v prostředí tabulkového procesoru zapsat ednotlvé omezuící podmínky, e nutné neprve zapsat ech levou stranu. Tu pak porovnáme s konstantam na pravé straně. První omezuící podmínka našeho přkladu, t. energetcká hodnota: Na levé straně tohoto omezení e skalární součn vektoru strukturních koefcentů, ež vyadřuí energetckou hodnotu na 100 g ednotlvých potravn, a vektoru proměnných modelu. V tabulkovém procesoru v Tabulce 3.8 se edná o skalární součn vektoru, který e umístěn v bloku B3:B10 s vektorem v bloku H3:H10. V prostředí MS Ecel lze pro výpočet skalárního součnu využít matematckou funkc. V české verz MS Ecel se edná o funkc SOUČIN.SKALARNI (a; b), v anglcké verz MS Ecel e to pak funkce SUMPRODUCT(a, b), kde a, b sou bloky obsahuící vektory, pro které musíme vypočítat skalární součn. Pro výše uvedené omezení bude tedy levá strana omezuící podmínky vyádřena ako =SOUČIN. SKALÁRNÍ (B3:B10;H3:H10). Tento vzorec e v tabulkovém procesoru v Tabulce 3.8 umístěn v buňce B15. Podobně v buňkách C15, D15 a E15 sou vypočítány skalární součny vyadřuící levé strany zbývaících omezuících podmínek, t. blance protenů, vápníku a vtamnu C. Vzorce, které sou zapsány v buňkách B15, C15, D15 a E15, ukazue přehledně následuící Tabulka

51 Omezuící podmínka buňka vzorec Energetcká hodnota B15 =SOUČIN.SKALÁRNÍ(B3:B10;H3:H10) Proteny C15 =SOUČIN.SKALÁRNÍ(C3:C10;H3:H10) Vápník D15 =SOUČIN.SKALÁRNÍ(D3:D10;H3:H10) Vtamín C E15 =SOUČIN.SKALÁRNÍ(E3:E10;H3:H10) Tabulka 3.9: Záps omezuících podmínek v tabulkovém procesoru Posledním krokem př přípravě vstupních dat v prostředí tabulkového procesoru e defnce optmalzačního krtéra, tedy účelové funkce. Toto optmalzační krtérum e nutné zapsat také ve tvaru vzorce a umístt e do některé z buněk. V našem případě e účelová funkce vyádřena ako skalární součn vektoru cenových koefcentů, vz blok F3:F10, s vektorem proměnných, vz blok H3:H10. Tento součn lze zapsat pomoc funkce = SOUČIN. SKALÁRNÍ (F3:F10;H3:H10). V Tabulce 3.8 e tento vzorec umístěn v buňce H15. Poté, co e ukončena příprava vstupních dat, e možné aktvovat vlastní optmalzační modul tabulkového procesoru MS Ecel. V prostředí MS Ecel e nutné zvolt v menu Nástroe-Řeštel, anglcky Tools-Solver. V případě, že se položka Řeštel v menu Nástroe automatcky nevyskytue, pak e nutné aktvovat doplněk Řeštel z menu Nástroe-Doplňky. Ve verz MS Ecel 2010 se nástro Řeštel donstalue tak, že po klknut tlačítka Soubor zvolíte položku Možnost, poté vyberete Doplňky a nakonec zvolíte nabídku Řeštel klknutím na tlačítko Přeít nkol OK. Řeštele pak naleznete v hlavním menu v záložce Data a Analýzy. Po spuštění Řeštele, e třeba v dalogovém okně Parametry řeštele, které e užvatel zobrazeno, specfkovat všechny podstatné nformace. Ukázka dalogového okna pro náš přklad e na Obrázku 3.2. Parametry Řeštele musíme zadat v souladu s matematckou formulací modelu. Postup lze podrobně popsat následovně: a) Krtérum optmalty, tedy Nastavt cíl, anglcky Set cell. Jedná se o buňku obsahuící vzorec, eíž hodnota se bude optmalzovat. V naší úloze e optmalzační krtérum obsaženo v buňce H15. b) Charakter krtéra optmalty, t. Na: Ma, Mn, Hodnota, anglcky Equal to: Ma, Mn, Value. Určueme, zda se edna o mamalzac nebo mnmalzac účelové funkce anebo o řešení úlohy, ve které e cílem nalezení požadované úrovně krtéra. K dspozc sou v MS Ecel následuící tř možnost: mamalzace krtéra (Ma), mnmalzace krtéra (Mn), což odpovídá naš úloze, nebo dosažení cílové hodnoty (Hodnota). Př této volbě e nutné dále zadat také cílovou hodnotu (Hodnota). 50

52 c) Oblast proměnných buněk modelu, t. měněné buňky, anglcky Changng cells. Na Obrázku 3.2 se edná o oblast H3:H10. Obrázek 3.2: Parametry řešetele MS Ecel verze 2010 d) Omezuící podmínky, anglcky Subect to the constrants. Př zadání nové úlohy nebo úpravě ž dříve zadaného omezení e nutné určt celkem tř položky: 1. Adresu buňky obsahuící vzorec, anglcky Cell reference, ehož výsledek musí být menší, větší nebo roven stanovené omezuící hodnotě; tento vzorec obsahue obvykle proměnné modelu v podobě odkazů na buňky obsahuící proměnné anebo se může ednat přímo o buňku, která obsahue proměnnou. Na Obrázku 3.2 se konkrétně edná o buňky v blocích B15:E15 a H3:H10, což e vlastně blok proměnných. 51

53 2. Typ omezení, což e edna z možností,,, celé, t. podmínka celočselnost nebo bnární, t. podmínka, že proměnné budou nabývat pouze hodnotu 0 nebo Omezuící hodnotu, anglcky Constrant, ež může být reprezentovaná buňkou obsahuící numerckou hodnotu nebo se může ednat o konstantu. Na Obrázku 3.2 sou tyto hodnoty vloženy postupně do buňky B14, do bloku buněk B13:E13 a buněk C18 a C19. Dalogové okno, které se zobrazí př postupném přdávání nebo dodatečné úpravě omezuících podmínek, e zobrazeno na Obrázku 3.3. Obrázek 3.3: Zadávání omezuících podmínek MS Ecel verze 2010 Omezuící podmínky e možné defnovat buďto samostatně, nebo ako blok. Pokud sou defnovaný ako blok, pak všechny buňky tohoto bloku musí splňovat ednu z relací, nebo =. Př defnc omezuících podmínek v bloku může byt pravá strana omezení zapsaná také ako blok buněk. V případě, že e na pravé straně stená hodnota, např. 10, stačí vložt tuto ednou hodnotu. Pokud by bylo nutné doplnt soustavu omezuících podmínek o podmínky celočselnost pro všechny proměnné, stačí tuto soustavu rozšířt o omezení ve tvaru H3.H10 celé. Omezuící podmínka se v tomto případě pochoptelně neuvádí. Př řešení konkrétní optmalzační úlohy e důležté nastavení určtých parametrů Řeštele. Toto nastaven se provádí pomoc položky Možnost, anglcky Optons, která e součást okna Možnost řeštele. Po aktvac této položky e zobrazeno dalogové okno Možnost řeštele, vz Obrázek 3.4. Z užvatelského hledska e důležté popsat pouze vybrané položky, které sou uvedeny v tomto dalogovém okně. 52

54 Obrázek 3.4: Možnost řeštele MS Ecel verze 2010 Ukázka dalogového okna e na Obrázku 3.4. Možnost řeštele podrobně popíšeme: 1. Mamální čas zpracování, anglcky Ma tme. Jedná se o hodnotu v sekundách, po eímž uplynut e výpočet úlohy přerušen. Standardně e nastaveno 100 sekund. Užvatel má pak možnost ve vypočtu dále pokračovat nebo e defntvně ukončt. Mamální čas zpracování může byt nastaven až na vteřn, tedy cca 9 hodn. 2. Iterace, anglcky Iteratons, e počet terací, po eímž uplynut e vypočet přerušen a užvatel e nabídnuto řešení z poslední terace. Standardně e nastaveno 100 terací. Užvatel se poté může opět rozhodnout o pokračování výpočtu nebo e ukončt. Lmtní počet terací lze nastavt až na hodnotu U obou uvedených lmtů e však třeba podotknout, že u většny běžných úloh stačí standardně nastavené hodnoty, a není e tedy nutné nak měnt. 3. Přesnost omezuící podmínky, anglcky Precson, e konstanta, která udává přesnost, se kterou musí souhlast levá a pravá strana omezuící podmínky. A to tak, 53

55 aby byla považovaná tato podmínka za splněnou. Tato konstanta má význam především u nelneárních optmalzačních úloh. Takovým úloham se však zabývat v tomto tetu nebudeme. Standardně e tato konstanta nastavena na hodnotu 0, Jeí zvýšení může tedy logcky vést ke zrychlení výpočtu, ale zároveň také ke snížení přesnost výsledků. 4. Tolerance (tolerance) e procentní odchylka pro celočíselné řešen. Zvýšení tolerance vede zpravdla ke snížení doby výpočtu celočíselného řešení. Toto snížení e však na úkor přesnost. Pro úlohy, ve kterých nesou defnovaný podmínky celočselnost, nemá tato konstanta žádný význam. Poznámka: Ve verz MS Ecel 2007 obsahovalo dalogové okno Možnost řeštele také další volby: 1. Lneární model, anglcky Lnear model, e dvoupolohový přepínač, který e vhodné zapnout př řešení úloh lneárního programování. Standardně není tento přepínač zapnutý. Pokud e ponecháno standardní nastavení této volby, tedy nelneární model, potom to vede u lneárních úloh k výraznému prodloužení doby výpočtu a k né podobě výstupu výsledků, než bude uvedeno dále. Pro lneární úlohy používá totž MS Ecel k výpočtu standardní smpleovou metodu nebo také metodu větví a mezí pro řešení úloh lneárního programování s podmínkam celočselnost. Pro řešení nelneárních modelů e použt ný terační postup. 2. Nezáporná čísla, anglcky Non-negatve numbers, e opět dvoupolohový přepínač. Jeho zapnutí má za následek, že sou př výpočtu automatcky uvažovány podmínky nezápornost. Tyto podmínky se pak ale už nezadávaí mez běžným omezuícím podmínkam. Př řešen běžných úloh lneárního programovaní doporučueme zapnout oba dva posledně zmíněné přepínače. Poté, co defnueme všechny potřebné údae v dalogovém okně parametry řeštele, a také v okně Možnost řeštele, e možné spustt zpracování pomoc tlačítka Řešt, anglcky Solve. Doba trvání vlastního výpočtu závsí na rozsahu řešené úlohy, a také na tom, zda sou č nesou v modelu zahrnuty podmínky celočselnost, a rovněž na rychlost počítače použtého pro zpracování. U běžných úloh lneárního programování, ve kterých bývá pouze několk málo proměnných a omezuících podmínek, máme obvykle výsledek zpracování k dspozc téměř okamžtě. Po ukončení vypočtu e zobrazeno následuící dalogové okno, vz Obrázek 3.5, ve kterém e nformace, zda bylo č nebylo nalezeno optmální řešení, tedy řešení splňuící všechny omezuící podmínky. Užvatel má pak možnost zvolt, zda s přee uchovat vypočtené řešení nebo vrátt původní hodnoty řešené úlohy. Obvykle se volí první možnost, pokud tedy optmální řešení nalezeno. Typckou volbou bude 54

56 nečastě uchovat řešení. Pokud zvolíme tuto varantu, sou pak optmální hodnoty proměnných umístěny do bloku proměnných a zároveň e také vypočtena optmální hodnota účelové funkce. Kromě této základní podoby výstupu e možné zvolt výstup v podobě podrobněších nformací. V dalogovém okně Možnost řeštele se př zvolení varanty Uchovat řešení řeštele automatcky vygeneruí do samostatného lstu různé typy sestav. Obrázek 3.5: Výsledky řeštele MS Ecel verze 2010 K dspozc sou v prostředí MS Ecel celkem tř druhy zpráv č sestav: 1. Výsledková, anglcky Answer report, obsahue nformace o původních a konečných hodnotách optmalzačního krtéra a proměnných modelu, ale také nformace o vztahu levé a pravé strany omezuících podmínek. Pro všechny důležté prvky modelu, ako e krtérum optmalty, defnované proměnné a omezuící podmínky, e uveden také odkaz na odpovídaící buňky na lstu v MS Ecel. 2. Ctlvostní, anglcky Senstvty report, obsahue ntervaly stablty pro cenové koefcenty. V české verz programu MS Ecel e termín cenový koefcent nevhodně přeložen ako tzv. úkolový koefcent. V první tabulce této zprávy, vz Obrázek 3.6, e pro každou proměnnou uveden eí název, hodnota, redukovaný cenový koefcent, který odpovídá sníženým nákladům, cenový koefcent a nterval stablty pro tento koefcent. Interval stablty e přtom defnován povoleným nárůstem a poklesem. Jným slovy, určue, v akém ntervalu se může měnt cenový koefcent, anž by se změnlo optmální řešení úlohy lneárního programování. 55

57 Druha tabulka ctlvostní zprávy obsahue pro každou omezuící podmínku eí název, hodnotu levé a pravé strany, stínovou cenu a nterval stablty pro hodnotu pravé strany, a to ve formě povoleného nárůstu a poklesu. Obrázek 3.6: Ctlvostní zpráva MS Ecel verze Lmtní, anglcky Lmt report, znázorňue, ak se mění hodnota optmalzačního krtéra př změně hodnot příslušných proměnných př zadaných mezích. Na Obrázku 3.6 můžeme vdět podrobné výsledky optmalzace našeho přkladu. Tyto výsledky e možné nterpretovat následuícím způsobem: a) v denní dávce bude 165 g hovězího masa, 328 g másla, 314 g pečva, dále 400 g brambor a 400 g ovoce, po 100 g taveného sýru, ovocného ogurtu a kuřecího masa, b) pokud by se cena potravn snížla/zvýšla, a to alespoň o hodnotu redukovaných cen, pak by bylo efektvní mít tyto potravny v návrhu ve množství vyšším než mnmálním případně nžším než mamálním. Konkrétně například: pokud by cena taveného sýru klesla z 10,60 Kč mnmálně o 3,24 Kč, pak by byl tavený sýr v návrhu ve vyšším množství než e původní hodnota 100 g, 56

58 c) celková energe e v návrhu výžvy na horní hranc, t kj, množství protenů e překročeno téměř o 40 g, množství vápníku a vtamnu C sou přesně na mnmálně požadovaném množství, d) můžeme se přesvědčt, že cena navržené denní dávky výžvy e přblžně 91,50 Kč; požadavek například na zvýšení obsahu vápníku o 1 mg povede ke zvýšení celkové ceny o 4,54 Kč, což e stínová cena pro vápník; podobně v případě vtamnu C povede požadavek na zvýšení o 1000 ednotek ke zvýšení ceny celé denní dávky o 6,32 Kč atd. Vlastnost optmalzačního modulu Řeštel v prostředí MS Ecel 2010 nesou nak mmořádné č zvláštní. Emprcké zkušenost však ukazu, že e možné pomocí tohoto modulu řešt relatvně spolehlvě úlohy lneárního programování až př 200 proměnných a 200 omezeních. Nutnou podmínkou ale e, že model neobsahue podmínky celočselnost. V úlohách s podmínkam celočselnost se doba výpočtu může značně prodloužt Mamalzace zsku př omezených výrobních zdroích a omezeném odbytu V této podkaptole se budeme věnovat typcké úloze nalezení optmálního výrobního programu podnku. Budeme přtom brát v úvahu základní aom podnkaní, a to dosažení mamální úrovně zsku. prvků: Výrobní program podnku e obvykle e představován dvěma skupnam a) seznam výrobků, kdy podnk vyrábí n výrobků (1,2,, n.) b) obem výroby ednotlvých výrobků v kusech 1, 2,..., n. Předem neznámý obem výroby pak tvoří neznámý vektor 1, 2,..., n. Dále uvažume následuící velčny: a) c - zsk z výroby ednotky výrobku 1,2,..., n, b) c - zsk z výroby výrobku, c) c1 1 c22... cn n - celkový zsk výrobního programu podnku 1, 2,..., n. d) m seznam omezených zdroů pomenovaných přrozeným čísly: 1, 2,, m. e) b - dsponblní množství těchto zdroů v množstvích: b1, b2,..., b m. Eventuálně lze uvažovat volný nákup zdroů z celkové omezené částky. 57

59 možnost. Pro danou technolog výroby uvažueme: a) a - technologcky koefcent představuící množství í-tého zdroe potřebného k výrobě ednotky -tého výrobku, b) a 11 a an n - množství í-tého zdroe potřebného k výrobě výrobního programu X 1, 2,..., n. Dále uvažueme: a) h - horní omezení odbytu í-tého výrobku, b) 0 h - obem výroby -tého výrobku nesmí překročt odbytové Je přrozené, že množna přípustných výrobních programů X 1, 2,..., n splňue následuící podmínky a 11 a an n b, a také podmínky odbytových možností: 0 h, 1,2,..., n. Za optmální výrobní program lze považovat takový přípustný výrobní program X 1, 2,..., n, který mamalzue celkový zsk c1 1 c22... cn n. Pro nalezení optmálního výrobního programu e nutné tedy shromáždt: a) seznam výrobků podnku, b) množství dsponblních zdroů, c) ednotkové zsky, d) příslušná omezení odbytu, e) technologcké koefcenty. V úloze lneárního programování hledáme mamální celkový zsk: př omezeních: c1 1 c22... cnn MAX, (3.26) a 11 a ann b, 1,2,..., m, 0 h, 1,2,..., n. (3.27) 58

60 Řešením této úlohy lneárního programování získáme optmální výrobní plán X 1, 2,..., n. Tento výrobní plán mamalzue celkový zsk z výroby za estuících technologckých a odbytových omezení. Takto zformulovanou úlohu mamalzace zsku př omezených výrobních zdroích a omezeném odbytu s ukážeme na konkrétní úloze. Řešený příklad: Výrobce čaů Lpton, a.s. plánue výrobu dvou směsí čaů Green Tea Orent a Green Tea Classc. Pro výrobu obou směsí maí přtom na toto období k dspozc od dodavatelů tř druhy čaů (označme e C1, C2 a C3) postupně v kapactě 40, 60 a 25 kg. Ty se lší neen kvaltou, ale také nákupní cenou. Př výrobě obou směsí čaů Green Tea Orent a Green Tea Classc e třeba dodržovat přísné technologcké postupy, které určuí, aké procento ednotlvých komponent bude použto př této výrobě. V následuící Tabulce 3.10 e uvedena skladba obou směsí v kg komponenty na 1 kg směs. Na základě přímých a nepřímých nákladů, které souvseí s výrobou, a rovněž vzhledem k předpokládané ceně obou čaových směsí byl kalkulován zsk, který ční 2000 Kč resp Kč na eden klogram směs Green Tea Orent, respektve Green Tea Classc. Vedení frmy Lpton, a.s. chce samozřemě naplánovat produkc frmy tak, aby byl eí celkový zsk mamální. Komponenty Směs Kapacta Orent Classc (klogramy) C1 0,5 0,25 40 C2 0,5 0,5 60 C2 0 0,25 25 Tabulka 3.10: Vstupní matce výroby čae V prvním kroku řešení úlohy převedeme ekonomcký model na model matematcký. Př výrobě se edná o dva procesy: a) 1. výroba Green Tea Orent v množství 1 0, b) 2. výroba Green Tea Classc v množství 2 0. K dspozc máme celkem 3 druhy čaů nebol komponenty: a) ča 1, 59

61 b) ča 2, c) ča 3. Efektvnost výrobních procesů e defnována následovně: a) 1 klogram směs Green Tea Orent přnáší zsk Kč, b) 1 klogram směs Green Tea Classc přnáší zsk Kč, c) z , představue zsk produkce 1 klogramů Green Tea Orent a zároveň 2 klogramů směs Green Tea Classc. Matematcký model naší úlohy lneárního programování obsahue celkem 2 procesy a 3 zdroe: za podmínek: z MAX 0,5 0, 25 40, 1 2 0,5 0,5 60, , , 0. Strukturní nebol také technologcké koefcenty sou koefcenty na levých stranách nerovnost. Koefcenty kapactní sou pak představovány koefcenty pravých stran nerovností. Naším cílem nalezení optmálního řešen úlohy, t. hledáme takové 1 a 2, které přnesou frmě Lpton, a. s. mamální zsk, Pro nalezení optmálního řešení bychom použl nástro Řeštel v prostředí MS Ecel Výpočetní postup řešení bude demonstrován v následuících tabulkách. V Tabulce 3.11 e uveden záps matematckého modelu v prostředí spreadsheetu MS Ecel Tabulka 3.11: Matematcký model úlohy v prostředí MS Ecel

62 V následuící Tabulce 3.12 sou pak prostřednctvím popsků zobrazeny vzorce, které e nutné zadat proto, abychom v dalších krocích nalezl optmální řešení. Tabulka 3.12: Výpočty v matematckém modelu úlohy v prostředí MS Ecel 2010 Samotný nástro Řeštel e nutné donstalovat pomocí volby: Soubor- Možnost-Doplňky. Z nabízených doplňků e pak nutné zvolt položku Řeštel. Poslední dalogové okno z popsané nstalace e zobrazeno na Obrázku 3.7. Obrázek 3.7: Zvolení nástroe řeštel v prostředí MS Ecel 2010 Parametry řeštele pro naš úlohu sou pak zobrazeny na Obrázku 3.8. Postup zadávání Parametrů řeštele e obdobný ako v podkaptole

63 Obrázek 3.8: Parametry řešetele v prostředí MS Ecel 2010 Výsledky řešení naší úlohy sou znázorněny v Tabulce Vyprodukueme tedy 40 klogramů směs Green Tea Orent a 80 klogramů směs Green Tea Classc. Celkový zsk bude čnt 192 ts. Kč. Tabulka 3.13: Řešení úlohy v prostředí MS Ecel

64 3.10. Ekonomcký a matematcký model dopravního problému Dopravní problém představue typckou úlohu lneárního programování, která se zabývá modelováním praktckého problému optmalzace přepravy určté komodty nebo zboží. V dopravním problému pracueme se dvěma typy prvků. K dspozc máme m zdroů (edná se např. o sklady, dodavatele), které označueme D1, D2,..., Dm a n cílových míst (edná se o odběratele), které označueme O1, O2,..., O n. Jednotlvým zdroům sou pak přřazeny postupně dílčí kapacty a1, a2,..., a m, nebol množství dodávky, která sou v uvažovaném období schopny dodat odběratelům. Na straně druhé, odběratelé maí také své dílčí požadavky b1, b2,..., b n. Jedná se o množství, která pro zvolené období potřebuí dodat. odběratel Náklady na přepravu edné ednotky komodty nebo zboží ze zdroe D k O sou označeny ako c. Cílem řešení takovéhoto dopravního problému e stanovení obemu přepravy mez dodavatelem D a odběratelem O, a to tak, aby byly uspokoeny požadavky všech dodavatelů, ale také odběratelů a aby zároveň celkové přepravní náklady na dodávky komodty č zboží byly mnmální. Takovýto model dopravní úlohy e možné vyádřt v podobě přehledné tabulky, vz Tabulka Dodavatelé Odběratelé Kapacty O 1 O 2 O n dodavatelů D 1 c 11 c 12 c 1n a n D 2 c 21 c 22 c 2n a n D m c m1 c m2 c mn a m m1 m2 mn Požadavky odběratelů b 1 b 2 b n b a Tabulka 3.14: Formalzovaný ekonomcký model dopravního problému Vzhledem k celkovým požadavkům odběratelů a kapactám dodavatelů e možné rozlšt dva základní typy dopravního problému: a) Vyrovnaný dopravní problém edná se o případ, kdy součet všech kapact dodavatelů se rovná součtu všech požadavků odběratelů, t. 63

65 b a. Jným slovy, všechny požadavky budou uspokoeny a zároveň budou vyčerpány všechny kapacty. b) Nevyrovnaný dopravní problém hovoříme o případu, kdy výše uvažovaná rovnost uvedená v předchozí varantě neplatí, nebol b a. Jným slovy, př převsu nabídky nad poptávkou zůstane část kapacty dodavatelů nevyužta, naopak př převsu poptávky nad nabídkou nedode k uspokoení všech požadavků. Platí, že každý nevyrovnaný dopravní problém e možné upravt na dopravní problém vyrovnaný. V tomto tetu se proto dále budeme zabývat pouze vyrovnaným dopravní problémem. Úpravu na problém vyrovnaný e možné provést následuícím způsobem. a) Př převsu nabídky nad poptávkou: Jestlže přebývá dodavatelům přepravovaná komodta č zboží, řešíme tento problém přdáním fktvního odběratele O f do modelu. Jeho požadavek b f se pak bude rovnat danému přebytku, platí tedy: bf a b. b) Př převsu poptávky nad nabídkou: Pokud převyšue poptávka nabídku komodty nebo zboží, e nutné model doplnt o fktvního dodavatele D f. V tomto případě se eho kapacta a f bude rovnat chyběícímu množství komodty, musí tedy platt: a f b a. Vzhledem k tomu, že přeprava mez skutečně estuícím a fktvním nebol neestuícím místy e také pouze fktvní, odpovídaící cenové koefcenty sou v tomto případě rovny nule. V dalším kroku e nutné vyádřt ekonomcky model dopravního problému pomocí matematckých prostředků. Vzhledem k tomu, že se v modelu vyskytue celkem m dodavatelů a n odběratelů, musíme brát v úvahu celkem m n možných možností č varant přepravy. Defnueme proto celkem m n proměnných. V modelu dopravního problému e nutné defnovat celkem dva základní typy omezuících podmínek. Prvních m omezení bude vyadřovat skutečnost, že z každého zdroe č dodavatele může být přepraveno pouze množství komodty, které e rovno kapactě příslušného zdroe nebol dodavatele. Na levých stranách těchto omezení se proto uváděí řádkové součty proměnných z Tabulky 3.14, které se museí logcky rovnat příslušným kapactám dodavatelů a na pravých stranách. Dalších n omezuících podmínek odpovídá naopak stuac z pohledu odběratele, ke kterému e přepraveno 64

66 zboží o obemu, který odpovídá eho požadavku. Na levých stranách těchto podmínek sou součty požadavků ednotlvých odběratelů. Matematcký model vyrovnaného dopravního problému e možné zapsat následuícím způsobem: m n 1 1 c MIN, (3.28) př omezuících podmínkách: n 1 m 1 a, 1,2,..., m, b, 1,2,..., n, 0. (3.29) Řešený příklad: Ve výpočetním prostředí MS Ecel naděte řešení dopravní úlohy se 3 dodavatel (velkoobchody s alkoholckým nápo) a 3 odběratel (hypermarkety MAKRO). Zadání e uvedeno v následuící Tabulce Dodavatelé Odběratelé Kapacty O 1 O 2 O n dodavatelů D D D m Požadavky odběratelů 500 Tabulka 3.15: Formalzovaný ekonomcký model dopravního problému Postup použtí výpočetního prostředí MS Ecel 2010 pro řešení dopravního problému e analogcký ako dřívěší postup př řešení ných úloh lneárního programování, které sou uvedeny v této kaptole. V prvním kroku e nutné začít tím, že s vyčleníme místo ve spreadsheetu, kam budeme zapsovat vstupní údae, vzorce ale také proměnné, které sou obsahem řešené úlohy. Jedna z možných varant uspořádání e znázorněna na Obrázku

67 Obrázek 3.9: Vstupní data dopravního problému v prostředí MS Ecel verze 2010 V tomto případě se edná o nevyrovnaný dopravní problém, který není nutné řešt pomocí fktvního odběratele a problém vyrovnat. V bloku B2:D4 sou umístěny proměnné, které e nutné vypočítat. Do těchto buněk není nutné na počátku zadávat žádné hodnoty, případně e možné e vyplnt pouze nulam. V bloku B5:D5 sou umístěny součty hodnot ze sloupců nad nm. Podobně se v bloku E2:E4 nacházeí součty řádkové. V buňkách B6:D6 sou potom zobrazeny požadavky odběratelů, v buňkách F2:F4 pak doplněny kapacty ednotlvých dodavatelů. V bloku B9:D11 sou potom uvedeny ednotkové přepravní náklady. Účelovou funkc sme umístl do buňky F6. Jeí hodnotu vypočítáme ako součn modelových proměnných a ednotkových přepravních nákladů. Pro výpočet tohoto součnu můžeme použít funkc SOUČIN.SKALARNI. V dalším kroku použme nástro Řeštel, který e podrobně popsán v podkaptole 3.8 Na Obrázku 3.10 sou zobrazeny parametry nástroe Řeštel pro naš úlohu. Vzhledem k tomu, že cílem řešení dopravní úlohy e mnmalzace celkových nákladů na dopravu, nastavíme v Řeštel buňku F6 na Mn. Jako měněným buňkam zvolíme proměnné, které se nacházeí v bloku B2:D4. Omezuící podmínky musí obsahovat zároveň podmínky nezápornost pro všechny proměnné, ale také podmínky, které vyadřuí porovnaní ednotlvých kapact dodavatelů a požadavků odběratelů. Vzhledem k tomu, že se edná o nevyrovnaný problém s převsem nabídky, nemůžou odběratelé odebrat veškeré nabízené množství. Tento převs e vyádřen znakem nerovnost ve třetí omezuící podmínce. Parametry nabídky Možnost řeštele e možné nastavt steně, ako tomu bylo v podkaptole 3.8. Nakonec zvolíme tlačítko Řešt. 66

68 Obrázek 3.10: Parametry řeštele dopravní úlohy v prostředí MS Ecel verze 2010 Výsledné řešení e zachyceno na Obrázku Z obrázku e patrné, že např. přeprava od dodavatele D2 k odběratel O2 se nebude realzovat, v příslušné buňce C3 e nulová hodnota, od dodavatele D3 k odběratel O2 se přepraví 170 ednotek komodty, v příslušné buňce C4 e hodnota 170. Celkové přepravní náklady sou zobrazeny v buňce F6. Celková mnmalzovaná hodnota těchto nákladů ční Obrázek 3.11: Výsledné řešení dopravní úlohy v prostředí MS Ecel verze

69 3.11. Přřazovací problém specální typ dopravní úlohy Specálním typem dopravního problému e problém přřazovací. Podstatou tohoto problému e přřazení n obektů na n aktvt a to tak, abychom mamalzoval celkový užtek z tohoto přřazení: n n 1 1 c MAX, (3.30) za omezuících podmínek: n 1 n 1 1, 1,2,..., n, 1, 1,2,..., n, 0,1. (3.31) Přčemž c představue dílčí užtek z přřazení obektu aktvtě, 1, v případě, že obekt přřadíme aktvtě, 0, v případě, že obekt nepřřadíme aktvtě. Z předchozího tetu e zřemé, že v každé omezuící podmínce estue pravě edno 1,, ostatní sou rovny 0. Jným slovy, každé aktvtě e přřazen pravě eden obekt. Čtvercová matce typu n n, ež e vytvořena z prvků obsahue v každém řádku a také v každém sloupc pravě ednu ednčku. Řešený příklad: Po absolvování studa se 3 absolvent (U1, U2 a U3) oboru Matematcké metody v ekonom přhlásl na 3 uvolněné pozce ve frmě ČEZ. První pracovní pozce vyžadue především numercké a né početní dovednost, druhá pozce pak znalost programování a třetí schopnost ednat s ldm. Uchazeč se proto podrobl specálním třem testům, a to testu numerckému T1, testu programování T2 a testu komunkace T3. V každém z těchto 3 testů bylo možné dosáhnout nevýše 100 bodů. Výsledky testů ednotlvých uchazečů v ednotlvých testech sou uvedeny v následuící Tabulce Počet dosažených bodů v daném testu lze považovat za apromac stupně kompetence uchazeče pro uvolněnou pozc. 68

70 Jakým způsobem maí být uchazeč na uvolněné pozce přdělen tak, aby celková dosažená kompetence byla co nevyšší. Sestavte matematcký model úlohy a vyřešte úlohu v prostředí MS Ecel. T1 T2 T3 U U U Tabulka 3.12: Zadání přřazovacího problému v prostředí MS Ecel verze 2010 Matematcký model našeho přřazovacího problému e možné sestavt následovně. V prvním kroku položíme 1, pokud uchazeče U přřadíme na pozc, nak 0,, přtom, 1,2,3. Přtom pokud uchazeče tohoto přřazení odpovídá výsledku uchazeče t, kde t představue výsledek uchazeče U přřadíme na pozc, pak dílčí kompetence z U v testu T a e tedy rovna součnu U v testu T. Celková kompetence všech uchazečů ve všech testech e pak daná součtem všech dílčích kompetencí. Matematcky model naší úlohy lze zapsat následuícím způsobem: MAX, Př omezuících podmínkách: , 1, 1, 1, 1, , 0,1. Naš úlohu opět vyřešíme v prostředí MS Ecel s využtím nástroe Řeštel. Vstupní data sou zobrazena na Obrázku Uspořádání dat e stené ako v dopravním problému na Obrázku 3.9. Z důvodů kontroly výpočtu byly do bloku proměnných B2:D4 vloženy samé ednčky. Hodnota účelové funkce e pak součtem všech dílčích kompetencí, tedy celkem představue hodnotu 465. Takovéto stanovení výchozích hodnot není však řešením přípustným. 69

71 Obrázek 3.13: Vstupní data přřazovacího problému v prostředí MS Ecel verze 2010 Parametry nástroe Řeštel na Obrázku 3.14 sme zvoll podobně ako v dopravním problému na Obrázku V tomto příkladu sme však namísto tlačítka Mn, označl tlačítko Ma. Proměnné bez omezuících podmínek e pak nutné nastavt ako nezáporné. Výsledné řešení naší úlohy e zobrazeno na Obrázku Z dosažených výsledků vyplývá, že optmálním řešením úlohy e přřazení uchazeče U1 na 2. pozc, uchazeče U2 na 3. pozc a uchazeče U3 na 1. pozc. Mamální hodnota celkových kompetencí dosažených na základě provedených testů e pak

72 Obrázek 3.14: Parametry řeštele přřazovacího problému v prostředí MS Ecel verze 2010 Obrázek 3.15: Optmální řešení přřazovacího problému v prostředí MS Ecel verze

73 Shrnutí: Třetí kaptola byla věnována problematce úloh lneárního programování. Kromě vymezení základních pomů byla popsána smpleová metoda řešení úloh lneárního programování, vysvětlen vztah mez prmární a duální úlohou lneárního programování, a to včetně ekonomcké nterpretace dualty. Navíc bylo popsáno řešení vybraných typckých úloh lneárního programování v prostředí softwaru MS Ecel verze

74 4. Teore her Klíčová slova: antagonstcký konflkt, čstá stratege, hra s konstantním součtem, neantagonstcký konflkt, optmální stratege, stratege, smíšené stratege, výplatní funkce Základní pomy teore her V předchozích kaptolách sme se zabýval úloham, které byly typcké skutečností, že ech řešení ovlvňoval edný rozhodovací ndvduální č kolektvní subekt, vz (Anderson, D. R., Sweeney, D. J. a Wllams, T. A., 1994) nebo (Gros, I., 2003). V této kaptole se budeme zabývat ným typem úloh, které sou typcké tím, že výsledek rozhodovacího procesu e ovlvňován více účastníky. Tto účastníc maí buďto záem na výsledcích rozhodování anebo výsledek rozhodnutí přímo nebo nepřímo ovlvňuí, ale nezaímá e. První skupnu účastníků můžeme označt ako raconální účastníky, druhou skupnu pak ako účastníky rozhodovací stuace ndferentní. Základní myšlenky, prncpy a pomy z oblast teore her sou popsány například v (Morgenstern, O. a von Neumann, J., 2004). Teore her se původně zabývala společenským hram, což se odrazlo také v odlšném názvosloví, než se běžně používá například v ekonom. V dalším tetu budeme používat pomový aparát v podobě, která e uvedená v Tabulce 4.1: Teore her hra hráč stratege optmální stratege prostor strategí výplatní funkce Ekonomcká realta rozhodovací stuace, konflkt účastník konflktu (frma, ednec) konkrétní alternatva, kterou může hráč zvolt hráčem zvolená alternatva, která e pro ně nevýhodněší seznam alternatv, které sou hráč dostupné výsledek hry, zsk hráče v závslost na strateg Tabulka 4.1: Základní pomy z oblast teore her Základní pomy z oblast teore her doplníme klasfkací her. V případě, že e prostor strategí, které mohou hráč přímat, konečný, hovoříme o tzv. konečných hrách. Pokud mohou hráč přímat nekonečně mnoho strategí, hovoříme o hrách nekonečných. Jné členění her e založeno na skutečnost, zda e suma možných výher hráčů, které mohou získat, konstantní č nkolv, vz (Maňas, M., 2002). Rozlšueme pak hry: 73

75 a) S konstantním součtem výher. K těmto hrám patří také tzv. hra s nulovým součtem výher. b) S proměnným součtem výher, kdy se suma výher mění v závslost na přatých strategích hráčů. Hry s konstantním součtem patří do skupny tzv. antagonstckých konflktů č her. Důvodem e skutečnost, že účastníc hry sou v přímém rozporu. Vyšší výhra ednoho z účastníků hry totž znamená pokles výhry ostatních hráčů. Hry s proměnným součtem výher patří do skupny tzv. neantagonstckých her č konflktů. V těchto rozhodovacích stuacích může být pro účastníky hry výhodné, když se domluví na společném postupu. Potom rozlšueme v rámc této skupny hry kooperatvní a nekooperatvní. V případě, že na výsledek rozhodnutí vlv ndferentní účastníc, hovoříme o tzv. hře v normálním tvaru Hra dvou hráčů v normálním tvaru Neednodušším příkladem hry e stuace, kdy se hry účastní pouze a en dva raconální hráč. Tto hráč maí znalost o vzáemných množnách strategí, přčemž součet ech výher e konstantní. Označíme: X1 1,2,..., m množnu strategí prvního hráče, X2 1,2,..., n množnu strategí druhého hráče, z1, výhru prvního hráče, z2, výhru druhého hráče. Z předchozího výkladu vyplývá, že výhry obou hráčů budou vždy závset na strategích, které přme první druhý hráč. Vzhledem k tomu, že se edná o antagonstcký konflkt, platí pak: z1, z2, K. (4.1) Výhru druhého hráče pak lze vyádřt následovně: z2, K z1,. (4.2) Př řešení těchto úloh lze pracovat en s výhram prvního hráče. Výhry tohoto hráče příslušeí různým kombnacím strategí obou hráčů. Ty pak můžeme zapsat do obdélníkové matce A výher typu (m, n) ve tvaru: 74

76 A a a K a n a a K a n K K K K a a K a m 1 m2 mn (4.3) kde akl e např. výhra prvního hráče v případě, že zvolí strateg k a pokud druhý hráč zvolí strateg l. Vzhledem k tomu, že e možné zapsat výhry ve formě matcového zápsu, e používáno pro tento typ her označení matcové hry. Řešený příklad: Dva konkurenční podnky podnkaící v oblast výroby žaluzí ISOTRA OPAVA a SERVICE CLIMAX VSETÍN se rozhoduí o účast na dvou veletrzích v Rusku (Moskva a Sankt Peterburg), kde lze očekávat uzavření kontraktů o velkost 21 ml. Kč na prvním veletrhu a 15 ml. Kč na druhém veletrhu. Každá z těchto frem má vzhledem k omezeným prostředkům možnost účastnt se velkou epozcí na 1. veletrhu, velkou epozcí na 2. veletrhu, malým epozcem na obou veletrzích nebo neúčastnt se an na ednom veletrhu. Očekávaný podíl na získaných smlouvách e následuící: a) Bude-l na něakém veletrhu pouze edna frma, získá 100% obemu kontraktů, b) Bude-l na ednom veletrhu edna malá a edna velká epozce, rozdělí se zakázky v poměru 1:2, c) Budou-l mít obě frmy stenou epozc v místě, rozdělí s zakázky v poměru 1:1, d) Nebudou-l obě frmy na místě, rozdělí s zakázky opět v poměru 1:1. Celková suma zakázek nemůže převýšt 36 ml. Kč. V dalším kroku defnueme prvky matce A pro naš rozhodovací stuac. Vypočteme získaný obem zakázek frmy ISOTRA OPAVA např. pro případ, že se frma rozhodne k účast s velkou epozcí na veletrhu 1, označíme ako stratege 1, a druhá frma SERVICE CLIMAX VSETÍN malým epozcem na obou veletrzích, označíme ako stratege 3: a) Na prvním veletrhu získá frma ISOTRA OPAVA 21.(2/3)=14 ml. Kč, b) Na druhém veletrhu nezíská frma ISOTRA OPAVA nc, veletrhu se totž účastní en konkurenční frma SERVICE CLIMAX VSETÍN. 75

77 Obdobně e možné vypočítat výhry pro ostatní kombnace strategí, vz Tabulka 4.2. Matce zakázek frmy ISOTRA OPAVA pak bude mít následuící podobu: Stratege frmy ISOTRA OPAVA Stratege frmy SERVICE CLIMAX , , ,5 10, Tabulka 4.2: Matce zakázek frmy ISOTRA OPAVA v ml. Kč V dalším kroku formulueme poem optmální stratege. Z předchozího výkladu vyplývá, že každá frma se snaží mamalzovat svou výhru. Proto bude za svou optmální strateg považovat takovou varantu, od níž akákol odchylka bude znamenat pouze zhoršení eho výhry př předpokladu, že prothráč zvolí svou strateg opt optmální. Tedy za optmální strateg prvního hráče, X 1, pro kterou estue opt X, považueme takovou, pro kterou platí následuící nerovnost: 2 z, z,, opt opt opt 1 1 z, z,, opt opt opt 2 2 (4.4) pro všechna X 1 a X 2. opt opt Vektor strategí, e pak řešením matcové hry v tzv. čstých strategích. Pops postupu nalezení strategí obou hráčů e zřemý z následuícího srovnání ech chování, vz Tabulka 4.3: Chování prvního hráče První hráč uslue volbou své í-té stratege o mamalzac své výhry. Volí ednu z hodnot a z matce A. Takový hráč e tedy označován ako mamalzuící hráč. Zvolí-l í-tou strateg, má zaštěno mnmálně a. Jeho cílem e však tuto hodnotu mn mamalzovat, nebol dosáhnout ma mn a. Chování druhého hráče Druhý hráč uslue o mamalzac rozdílu K a nebol mnmalzac výhry prvního, hráče. Můžeme e označt za mnmalzuícího hráče. Pokud tento hráč zvolí -tou strateg, znamená to, že první hráč nezíská více než ma a. Jeho cílem e tuto hodnotu mnmalzovat, nebol dosáhnout mn ma a. Tabulka 4.3: Postup nalezení strategí obou hráčů 76

78 Lze dokázat, že nevětší z mnmálních výher, které může získat první hráč, nemůže překročt nevyšší výhru, kterou chce druhý hráč mnmalzovat. Jestlže tedy rovnost: ma mn a mn ma a, (4.5) pak má úloha řešení v čstých strategích a matce A má sedlový bod opt opt,. Postup nalezení sedlového bodu vyplývá z odvozeného vztahu (4.5) a lze e zapsat následovně: a) k matc výher A doplníme eden pomocný řádek a sloupec, b) do sloupce zapíšeme mnmální hodnoty matce A v příslušném řádku, c) do řádku pak doplníme mamální hodnoty matce A v příslušném sloupc, d) z vypočtených mnmálních hodnot nademe hodnotu mamální a obdobně z vypočtených mamálních hodnot zvolíme mnmální hodnotu, e) pokud sou tyto hodnoty steně velké, nalezl sme řešení dané hry v tzv. čstých strategích. Realta e však často odlšná. Ne vždy se totž podaří naít sedlový bod dané hry v čstých strategích. Obvykle neplatí rovnost dle vztahu (4.5), ale naopak platí nerovnost ve tvaru ma mn a mn ma a. Z tohoto důvodu není možné naít pár čstých optmálních strategí. Pokud nastane stuace, kdy není možné přmout ednorázové rozhodnutí, ale pouze nalézt vhodné střídání strategí, které zastí, aby první hráč získal v průměru vyšší výhru, než e ma mn a, a zároveň, aby druhý hráč snížl výhru prvního hráče pod hranc mn ma a, e možné nalézt řešení hry v tzv. smíšeném rozšíření hry. Stratege frmy ISOTRA OPAVA Stratege frmy SERVICE CLIMAX mn , , ,5 10, ma ,5 Tabulka 4.4: Matce výher 77

79 V našem příkladu sme nalezl sedlový bod = (3, 3). Jným slovy, obě frmy by měly zvolt 3. strateg, tedy účast na obou veletrzích s malým epozcem. Obě frmy budou tedy mít zaštěn obem zakázek ve stené výš, a to 18 ml. Kč. Řešený příklad: Televzní stance NOVA a PRIMA se rozhoduí, aký typ pořadu zařadt do vysílání v pondělí večer v tzv. prmetmu od 20 do 22 hodn. Budeme předpokládat, že se rozhoduí mez komedí, akčním flmem a krmnálním flmem. Na základě dat získaných z průzkumu sledovanost byla sestavena matce sledovanost. Jednotlvé hodnoty této matce představuí počet dváků v ml., kteří by pořad stance NOVA sledoval z celkového počtu 10 ml. potencálních dváků: Pořady stance NOVA Pořady stance PRIMA komede akční f. krm mn komede 1,8 1,1 2,9 1,1 akční f. 2,5 2,7 2,1 2,1 krm 1,9 0,8 3,4 0,8 ma 2,5 2,7 3,4 Tabulka 4.5: Výpočetní matce Z tabulky vyplývá, že tato úloha nemá sedlový bod, neboť platí: ma mn a mn ma a 2, Smíšené rozšíření hry dvou hráčů V této podkaptole nebude naším úkolem nalezení čstých strategí, ale pravděpodobností, se kterým by měl hráč střídat své stratege, aby dosáhl v průměru mamální možné výhry. Budeme tedy hledat tzv. smíšené stratege 1 a 2 z následuících prostorů: m X, 1, 0, n X, 1, (4.6) Hodnoty 1 a 2 tedy představuí pravděpodobnost, s nmž by měl oba hráč střídat své stratege. Střední hodnota výhry bude tedy rovna: m n z a, (4.7)

80 kde vektory 1 a 2 sou sloupcové vektory hledaných pravděpodobností. Pro hledání řešení takových her má význam von Neumannova věta, která říká, že každá matcová hra má řešení ve smíšených strategích. Pokud bychom tuto větu dokázal, našl bychom tím také algortmus řešení matcových her. Odvození lze nalézt v Gros (2003). Jestlže naš hru dvou hráčů rozepíšeme, získáme dvě úlohy lneárního programování: a) Jednak prmární úlohu, ve které se první hráč snaží mamalzovat svou výhru, tedy mnmalzovat hodnotu 1/ z : mn..., (4.8) m Za soustavy omezuících podmínek: a a... a 1, m1 1m a a... a 1, m2 1m... a a... a 1. 1n 11 2n 12 mn 1m (4.9) b) A také úlohu duální, ve které naopak druhý hráč uslue o snížení výhry prvního hráče, tedy mamalzue hodnotu 1/ z : Za soustavy omezuících podmínek: ma..., (4.10) n a a... a 1, n 2n a a... a 1, n 2n... a a... a 1. m1 21 m2 22 mn 2n (4.11) ĺ m = 1 ĺ n = 1 Přčemž platí 1 = 1/ za 2 = 1/, 79 z kde z e hodnota výhry. Řešený příklad: Vraťme se zpět k poslednímu řešenému příkladu, který byl zaměřen na uvedení různých typů pořadů na televzních stancích NOVA a PRIMA. Defnume pro tento případ prmární duální úlohu dle rovnc (4.8) - (4.11). Matce A neobsahue v našem případě záporné prvky, proto e možné zapsat: a) Prmární úloha: mn , (4.12)

81 1,8 2,5 1,9 1, ,1 2, 7 0,8 1, ,9 2,1 3, 4 1, ,, (4.13) b) Duální úloha: ma , (4.14) 1,8 1,1 2,9 1, ,5 2, 7 2,1 1, ,9 0,8 3, 4 1, ,, (4.15) V následuících dvou tabulkách e zobrazeno zadání obou úloh v prostředí MS Ecel a s pomocí nástroe řeštel sou nalezeny optmální stratege, vz Obrázek 4.1 a 4.2. Obrázek 4.1: Řešení v prostředí MS Ecel verze 2010 Obrázek 4.2: Vzorce použté př výpočtu 80

82 Řešený příklad: Na trhu komerčních televzí estuí dvě celoplošné stance, a to stance NOVA a PRIMA. Tyto subekty se snaží získat co nevětší obem prostředků z reklamy, a tím mamalzovat své zsky. Jedna z možností zvyšování zsku spočívá ve zvyšování sledovanost vlastních pořadů. Na základě emprckých dat z let 2010, 2011 a 2012 určíme nelepší stratege obou stanc v ednotlvých letech. Zbylé stance, které na českém trhu působí, maí natolk nízkou sledovanost, že e lze v tomto případě opomenout a považovat stance NOVA a PRIMU za dva antagonstcké hráče. V úloze bude sledována průměrná týdenní sledovanost obou stanc v uvedených letech, sledovanost v tzv. prme tmu (PT) (19:00 23:00), sledovanost mmo prme tme (OPT) (23:00 19:00), dále sledovanost v období Vánoc a cena za zasáhnutí 1% cílové skupny (CPP). Průměrná týdenní sledovanost vyadřue průměrné procento ldí z cílové skupny, kteří sledoval televz v průběhu týdne. CPP, tedy cena za zasáhnutí 1 % cílové skupny, e též cena za eden procentní bod sledovanost (GRP). Používá se zeména k určení ceny televzní reklamy obvykle pro 30 sekundové stopáže. Může ale sloužt také k porovnání cenové nákladnost různých televzních strategí. V naší úloze budeme vycházet z následuícího ceníku za reklamu: a) Koefcent pro čas OPT: 0,7, b) Koefcent pro PT e proměnlvý pro různá období 0,8 1,25, c) V období od ledna do první čtvrtny prosnce, v tzv. normálním období, e koefcent PT: 1,1 pro TV NOVA; 1,2 pro TV PRIMA, d) Pro poslední tř týdny v roce e koefcent PT 0,8, e) Cena za reklamu = referenční CPP průměrná sledovanost, f) Referenční CPP = základní CPP OPT (resp. PT za dané období). Z údaů o sledovanost vypočteme průměr pro celý rok označený ako PRUMER_ROK, dále pak průměr v normálním období, označíme PRUMER_NORM. a eště průměr za poslední tř týdny v prosnc, označíme e PRUMER_PROS. Z nternetu zštěné základní CPP a koefcenty reklam (pro OPT a PT) pomohou k získání referenčního CPP a z ně pak vynásobením patřčným průměry tř typy cen za reklamu. V tomto případě se edná o čsté stratege. Smíšené stratege získáme př lbovolném poměru čstých strategí. Matc výher získáme po odečtení příslušných výher televze NOVA od výher televze PRIMA. V následuících Tabulkách 4.6, 4.7 a 4.8 sou uvedeny procentuální podíly sledovanost obou televzí v cílové skupně 15+ v letech

83 TÝDEN NOVA PRIMA TÝDEN NOVA PRIMA TÝDEN NOVA PRIMA 52/ ,84 17,11 34/ ,02 16,89 16/ ,97 17,21 51/ ,03 20,13 33/ ,61 16,81 15/ ,74 16,84 50/ ,79 18,68 32/ ,79 16,37 14/ ,39 15,87 49/ ,99 18,58 31/ ,36 16,71 13/ ,65 17,71 48/ ,81 19,47 30/ ,41 15,72 12/ ,85 17,84 47/ ,86 19,48 29/ ,44 16,73 11/ ,68 17,17 46/ ,11 19,02 28/ ,69 16,33 10/ ,33 16,3 45/ ,48 20,45 27/ ,22 16,4 9/ ,19 16,78 44/ ,67 19,98 26/ ,47 17,04 8/ ,96 16,98 43/ ,54 19,61 25/ ,38 17,67 7/ ,21 17,49 42/ ,75 20,78 24/ ,91 17,79 6/ ,64 17,75 41/ ,84 20,95 23/ ,29 18,31 5/ ,08 18,18 40/ ,52 19,79 22/ ,81 17,84 4/ ,84 16,95 39/ ,39 20,13 21/ ,83 17,26 3/ ,17 17,34 38/ ,57 20,25 20/ ,13 18,22 2/ ,08 17,54 37/ ,19 19,54 19/ ,89 14,80 1/ ,81 17,75 36/ ,32 18,90 18/ ,46 15,59 35/ ,17 18,48 17/ ,76 16,73 Tabulka 4.6: Sledovanost v roce 2011 (cílová skupna 15+) TÝDEN NOVA PRIMA TÝDEN NOVA PRIMA TÝDEN NOVA PRIMA 52/ ,68 13,7 34/ ,88 17,77 16/ ,54 16,49 51/ ,81 16,02 33/ ,07 16,79 15/ ,58 16,46 50/ ,23 17,75 32/ ,78 16,22 14/ ,81 15,5 49/ ,33 18,55 31/ ,54 16,49 13/ ,96 15,54 48/ ,68 19,24 30/ ,76 16,86 12/ ,41 15,32 47/ ,69 19,21 29/ ,41 17,16 11/ ,47 15,34 46/ ,57 18,89 28/ ,36 17,17 10/ ,52 15,28 45/ ,5 18,94 27/ ,87 16,58 9/ ,56 14,85 44/ ,24 19,29 26/ ,91 15,69 8/ ,14 13,38 43/ ,39 19,11 25/ ,52 14,56 7/ ,76 13,23 42/ ,05 20,05 24/ ,97 14,93 6/ ,95 14,56 41/ ,65 23/ ,5 16,02 5/ ,68 15,61 40/ ,66 19,44 22/ ,57 16,37 4/ ,24 16,53 39/ ,82 18,89 21/ ,12 15,58 3/ ,05 16,06 38/ ,51 19,19 20/ ,59 14,89 2/ ,93 16,34 37/ ,98 17,92 19/ ,16 16,61 1/ ,83 15,45 36/ ,67 18,43 18/ ,69 35/ ,27 18,93 17/ ,03 16,74 Tabulka 4.7: Sledovanost v roce 2010 (cílová skupna 15+) 82

84 TÝDEN NOVA PRIMA TÝDEN NOVA PRIMA TÝDEN NOVA PRIMA 52/ ,97 15,75 34/ ,25 17,72 16/ ,61 16,94 51/ ,99 15,94 33/ ,08 18,98 15/ ,12 17,31 50/ ,58 15,98 32/ ,33 18,52 14/ ,22 16,62 49/ ,1 16,33 31/ ,09 18,46 13/ ,91 16,19 48/ ,23 16,61 30/ ,41 17,84 12/ ,44 16,75 47/ ,03 16,47 29/ ,97 17,03 11/ ,46 16,86 46/ ,15 16,72 28/ ,94 17,16 10/ ,44 15,97 45/ ,5 16,12 27/ ,79 17,36 09/ ,01 15,15 44/ ,88 16,75 26/ ,49 16,41 08/ ,02 14,62 43/ ,91 15,76 25/ ,37 17,2 07/ ,92 16,06 42/ ,09 16,83 24/ ,12 17,52 06/ ,71 15,41 41/ ,69 16,36 23/ ,79 18,53 05/ ,53 15,93 40/ ,98 15,93 22/ ,27 17,88 04/ ,05 16,05 39/ ,01 17,37 21/ ,15 18,27 03/ ,93 15,61 38/ ,48 16,21 20/ ,07 19,04 02/ ,51 17,13 37/ ,98 17,94 19/ ,96 17,7 01/ ,56 15,99 36/ ,28 17,43 18/ ,94 16,49 35/ ,82 18,95 17/ ,98 17,59 Tabulka 4.8: Sledovanost v roce 2009 (cílová skupna 15+) Pro sestavení matce výher v ednotlvých letech e nutné provést některé nutné mezvýpočty, a to na základě ceníku a podílů sledovanost v ednotlvých letech. 83

85 TV NOVA TV TV TV TV PRIMA NOVA PRIMA NOVA TV PRIMA PRŮMĚR_ROK 38, , , , , , PRŮMĚR_NORM 37, , , , , , PRŮMĚR_PROS 38, ,89 30, , , ,64 CPP OPT 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 Referenční CPP Cena_ ROK , , , , , PT_ROK 1,1 1,2 1,1 1,2 1,1 1,2 PT_PROS 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 Referenční CPP_NORM Referenční CPP_PROS Cena_NORM , , , ,88 Cena_PROS , , ½ Cena_ROK, ¼ Cena_NORM ¼ Cena_PROS , , , , , ,47 Tabulka 4.9: Mezvýpočty pro určení matc výher v ednotlvých letech V Tabulce 4.10 sou pak uvedeny hodnoty ednotlvých strategí obou televzí v roce Sedlový bod hry lze naít v prvním řádku a prvním sloupc, a to na základě vztahu mn ma a. NOVA/PRIMA Cena_ROK Cena_NORM Cena_PROS 1/2 Cena_ROK 1/4 Cena_NORM 1/4 Cena_PROS Cena_ROK , , , ,3 Cena_NORM , , , ,8 Cena_PROS , , , ,1 1/2 Cena_ROK, 1/4 Cena_NORM 1/4 Cena_PROS , , ,9 Tabulka 4.10: Matce výher pro rok 2009 V letech 2010 a 2011 lze sedlový bod hry nalézt opět v prvním řádku a prvním sloupc tabulek. 84

86 NOVA/PRIMA Cena_ROK Cena_NORM Cena_PROS 1/2 Cena_ROK 1/4Cena_NORM 1/4 Cena_PROS Cena_ROK , , , Cena_NORM , , ,8 Cena_PROS , , , ,3 1/2Cena_ROK 1/4 Cena_NORM 1/4 Cena_PROS , , , ,7 Tabulka 4.11: Matce výher pro rok 2010 NOVA/PRIMA Cena_ROK Cena_NORM. Cena_PROS. 1/2 Cena_ROK 1/4 Cena_NORM 1/4 Cena_PROS Cena_ROK 88197, , , ,41 Cena_NORM , , ,5 Cena_PROS , ,53 1/2 Cena_ROK 1/4 Cena_NORM 1/4 Cena_PROS , , , ,22 Tabulka 4.12: Matce výher pro rok 2011 Zhodnocení výsledků v tabulkách e následuící: a) TV NOVA by měla za stávaících okolností zvolt za optmální první strateg, a to překvapvě pro všechny tř roky, ovšem en za předpokladu, že tuto strateg použla TV Prma. b) V roce 2009 čnla cena za pouze 30-t sekundový reklamní spot TV NOVY až Kč př průměrné roční sledovanost 38% pro cílovou skupnu dospělí 15+. c) V roce 2010 se cena za pouze 30-t sekundový reklamní spot TV NOVY mohla vyšplhat na Kč př průměrné roční sledovanost 33% pro cílovou skupnu dospělí 15+. d) V roce 2011 se cena za 30-t sekundový reklamní spot TV NOVY mohla vzrůst na pouhých Kč př průměrné roční sledovanost 29% pro cílovou skupnu dospělí 15+. e) Klesaící zsky v letech 2009, 2010 a 2011 mohou být způsobeny buď celkovým poklesem sledovanost nebo zaměřením edné č obou televzních stanc na nou cílovou skupnu. 85

87 f) Obě televze maí náklady spoené s pořízením různě drahých flmů, které se pokrývaí právě přímy z reklam. Záleží tedy na tom, zda e flm dostatečně sledovaný, a tedy estue zde návratnost prostředků, které generuí zsk. g) Televze Prma vysílá po celou dobu pro skupnu 15+, ale televze NOVA vysílala svů program pro dospělé Z tohoto důvodu mohou být údae převzaté z cenové poltky televze NOVA mírně zkresluící. h) Otázkou e, zda by s nevedla televze lépe oprot současnému stavu, kdyby upravla své koefcenty a našla vhodněší smíšenou strateg než půl na půl denní a večerní vysílání. ) Vzhledem k výsledkům, které sme získal, by pro obě televze bylo nelepší, kdyby se dále zaměřly především na celodenní vysílání. ) Dalo by se říct, že televze Prma televze NOVA volí po celou dobu program pro celodenní vysílání Grafcké řešení hry dvou hráčů V případě, že eden z hráčů vybírá pouze ze dvou strategí, e možné nalézt řešení rovněž grafckou metodou. Využtí grafckého řešení e sce v pra omezené, ale lze e využít pro lustrac postupu výběru smíšených optmálních strategí. V případě, že první hráč volí pouze ze dvou strategí, a druhý z n strategí, matc výher potom můžeme zapsat ve tvaru: a 11 a 12 K a1n A. a a K a n (4.16) Vektor strategí prvního hráče má pouze dva prvky, a to: 11 a Součet dílčích pravděpodobností pak musí být roven edné. Pokud vybere druhý hráč strateg K, bude smíšená stratege prvního hráče 11,1 11. Střední hodnotu výhry druhého hráče pak lze zapsat ve tvaru: a a K a K a. a a z,k k 1n k 11 2k a 21 a 22 K a 2k K a2n (4.17) 86

88 Dosažená výhra druhého hráče e tedy funkcí pouze edné proměnné, a to 11, eíž hodnota se nachází v ntervalu 0,1. Pokud zvolí druhý hráč akoukol čstou strateg, nemůže eho výhra pro akékol 11 0,1 klesnout pod hodnotu mnma ze z,. Volbou se snaží dosáhnout ma mn z 11, pro 11 0,1. Protože výrazy pro z sou rovnce lneárních funkcí, ež vyadřuí závslost mnmální výhry prvního hráče, můžeme e překreslt do dvourozměrného prostoru. Z grafu lze potom vyčíst souřadnce průsečíku těchto funkcí (přímek), který leží nevýše nad osou. Řešený příklad: Televze NOVA se rozhodla vzhledem k nízké sledovanost krmnálních flmů v pondělí vypustt ech zařazování do pondělního programu. Své vysílání zaměřla pouze na akční flmy a komede. Budeme vycházet ze stených dat ako v řešeném příkladu v podkaptole 4.2 na str. 76. Matce sledovanost e uvedena v Tabulce 4.13, která má tedy následuící tvar: Pořady stance NOVA Pořady stance PRIMA komede akční f. krm mn akční f. 2,5 2,7 2,1 2,1 komede 1,8 1,1 2,9 1,1 ma 2,5 2,7 2,9 Tabulka 4.13: Matce sledovanost Tato úloha opět nemá řešení v čstých strategích: ma mn a 2,1 mn ma a 2,5. V dalším kroku proto upravíme výraz pro z na tvar: z 11, k a2k a1 k a2k 11 a zapíšeme rovnce lneárních funkcí (přímek) pro zadanou matc: z,1 1,8 2,5 1,8 1,8 0, 7, z, 2 1,1 2, 7 1,1 1,1 1, 6, z,3 2,9 2,1 2,9 2,9 0,

89 3 (3) (1) 2 (2) 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Obrázek 4.3: Grafcké řešení matcové hry X11 Na Obrázku 4.3 sou zakresleny lneární funkce, které vyadřuí závslost výše výhry na zvolené strateg 11. Souřadnce průsečíku přímek (1) a (3) 11 0, 75 znamená, že televze NOVA by měla nasazovat akční flmy v 75% a komede ve 25 % případů. Analogcký postup bychom potom zvoll v případě, kdy naopak omezí výběr svých strategí na pouze dvě televze PRIMA. V tomto případě bychom hledal průsečík, který leží neníže nad osou Hra dvou hráčů s nekonstantní sumou výher V reálném žvotě nesou rozhodovací stuace pokaždé takové, že ech účastníc sou v přímém antagonstckém konflktu, přestože se edná o přímé konkurenty. V případě hry dvou hráčů stačí porušt předpoklad, že celková suma výher obou hráčů e konstanta. V takovém případě pak musíme pracovat se dvěma matcem výher. Jedná se o tzv. dvoumatcové hry. U těchto her máme problém s pomem optmální stratege, který sme v mnulých podkaptolách běžně používal. V prvním kroku proto defnume rovnovážný bod hry: z, z,, r r r 1 1 z, z,. r r r 2 2 (4.18) r r Stratege, se označuí ako rovnovážné. Výhry hráčů pak můžeme uspořádat do dvou matc A a B s prvky a a b : 88

90 a z,, 1 b z,. 2 (4.19) Množnu rovnovážných bodů obou hráčů e možné nalézt způsobem, který logcky vyplývá přímo z defnce rovnovážného bodu (4.18), protože platí: z, ma z,, r r r 1 1 z, ma z,. r r r 2 2 (4.20) Postup určení rovnovážných bodů e následuící. V matc A určíme neprve sloupcová mama a z nch pak vytvoříme množnu R 1. V matc B následně nalezneme řádková mama a z nch pak sestavíme množnu R. 2 Průnk obou množn R1 R 2 pak představue hledanou množnu rovnovážných bodů. Nalezený rovnovážný bod však nemusí být optmálním bodem hry. A to z několka důvodů. Buďto může být takovýchto bodů více anebo výhry, které přísluší těmto bodům, mohou mít různý poměr mez výhrou prvního a druhého hráče. Pokud estue více rovnovážných bodů, pak může pomoc defnce domnuícího rovnovážného bodu. nerovnost: r r Defnce 4.1: Domnuící rovnovážný bod e bod,, pro který platí z, ma z,, r r r 1 1 z, ma z,. r r r 2 2 (4.21) V případě, že estue edný takový bod, nalezl sme řešení hry. V případech, kdy e takových bodů více, estue řešení také v případě, že půde o tzv. záměnné rovnovážné body. Rovnovážné body lze považovat za záměnné v případě, že se r r hodnoty výher obou hráčů nezmění v případě akékol kombnace strategí,. Nalezení rovnovážných strategí vede k přatelným řešením pouze v případech, kdy buďto estue pouze eden rovnovážný bod, anebo v případech, kdy sou nalezené domnuící body navzáem záměnné. Takovéto body považueme za optmální a m odpovídaící stratege ako stratege optmální. Dosažené výsledky neantagonstckých her sou ovlvněny kromě velkostí očekávaných výher rovněž posto hráčů. Především se edná o ochotu č neochotu souhlast s případným kompromsním řešením. Jestlže hráč ustoupí z vlastního požadavku, může to vést př neústupnost prothráče k eho ztrátě. V případě 89

91 neústupnost obou hráčů dosáhnou nehoršího výsledku oba hráč. Ochota ke kompromsu sce znamená vyšší výhru obou hráčů, ale absolutně výhru nžší, než kdyby neústupně prosazoval svů posto. Řešený příklad: Dvě konkurenční frmy, které podnkaí v oboru telekomunkací VODAFONE a T-MOBILE uvažuí o vynaložení prostředků na reklamu v médích v Moravskoslezském kra v částkách: a) 8 ml. Kč (1. stratege), b) 10 ml. Kč (2. stratege), c) 12 ml. Kč (3. stratege). Pokud přesáhnou náklady na reklamu u obou frem 19 ml. Kč, vzrostou celkové roční tržby obou frem ze 180 na 260 ml. Kč. Různý podíl nákladů na reklamu bude mít za následek také různý podíl obou frem na těchto částkách: a) vynaloží-l obě frmy stenou částku, rozdělí se tržby na polovnu, b) vydá-l edna frma 8 ml. Kč a druhá 10 ml. Kč, získá první frma 40% tržeb a druhá 60% tržeb, c) utratí-l edna frma 8 ml. Kč a druhá 12 ml. Kč, získá první frma 30% tržeb a druhá 70% tržeb, d) vynaloží-l edna frma 10 ml. Kč a druhá 12 ml. Kč, získá první frma 45% tržeb a druhá 55% tržeb. Budeme předpokládat, že rentablta tržeb e 10% a že se obě frmy budou snažt mamalzovat rozdíl mez přímy a náklady na reklamu, tedy dle vztahu: TRŽBY 0,1 podíl na trhu náklady na reklamu. V následuící Tabulce 4.14 sou vypočteny zsky obou frem pro různé kombnace strategí. Zsk VODAFONE Zsk T-MOBILE Stratege Stratege T-MOBILE Stratege T-MOBILE VODAFONE ,8-0,2 1 0,8 6,2 2. 0,8 3 1,7-0,8 3 2,3 3. 6,2 2,3 1-0,2 1,7 1 Matce A Matce B Tabulka 4.14: Dosažtlené zsky frem 90

92 V matc A nalezneme: a) v prvním sloupc hodnotu zsku 6,2 (3,1), b) ve druhém sloupc hodnotu zsku 3 (2,2), c) ve třetím sloupc hodnotu zsku 1,7 (2,3). Tedy množna R 1 3,1, 2, 2, 2,3. V matc B nalezneme: a) v prvním řádku hodnotu zsku 6,2 (1,3), b) ve druhém řádku hodnotu zsku 3 (2,2), c) ve třetím řádku hodnotu zsku 1,7 (3,2). Tedy množna R 2 1,3, 2,2, 3,2. Průnk obou množn R1 R 2 obsahue celkem 5 rovnovážných bodů se zsky, které sou uvedeny v následuící Tabulce Rovnovážný bod Zsk VODAFONE Zsk T-MOBILE Suma zsků (1,3) -0,2 6,2 6 (2,2) (2,3) 1,7 2,3 4 (3,1) 6,2-0,2 6 (3,2) 2,3 1,7 4 Tabulka 4.15: Rovnovážné body s příslušným zsky V našem příkladu estue celkem 5 rovnovážných bodů. Body (2,3) a (3,2) přnášeí celkový zsk pouze 4 ml. Kč, zatímco ostatní 3 rovnovážné body maí vyšší sumu výher. Bod (2,2) znamená, že obě frmy vynaloží na reklamu 10 ml. Kč., a obě frmy by dosáhly steného zsku ve výš 3 ml. Kč. Jsou tady ale další dva rovnovážné body (1,3) a (3,1), se stenou sumou výher, ale s různým poměrem výher obou hráčů. Pro frmu VODAFONE e domnuící kombnace strategí (3,1), protože: z1 3,1 6, 2 z 1 2, 2 3. Pro frmu T-MOBILE e domnuící kombnace strategí (1,3), protože: z2 1,3 6, 2 z 2 2,

93 Body (3,1) a (1,3) tedy domnuí bodu (2,2). V případě, že by se frmy nedohodly, mohly by být výsledkem ech rozhodnutí kombnace s přínosy pro oba nevýhodným. To vyplývá z tabulky zsků obou společností, vz Tabulka Rovnovážný bod Zsk VODAFONE Zsk T-MOBILE Suma zsků (1,1) (3,3) Tabulka 4.16: Nedohoda frem Pokud změníme zadání tak, že upravíme prostředky na reklamu na 7, 8 a 12 ml. Kč a růst tržeb př nákladech na reklamu nad 20 ml. Kč z 200 m. Kč na 310 ml. Kč př podílech 45% ku 55%, 35% ku 65%, resp. 40% ku 60%, matce výher by pak měly tvar, který e uveden v Tabulce 4.17: Zsk VODAFONE Zsk T-MOBILE Stratege Stratege T-MOBILE Stratege T-MOBILE VODAFONE , ,5 Matce A Matce B Tabulka 4.17: Rovnovážné body Úloha má eden domnuící rovnovážný bod (3,3). Pokud tedy obě frmy vynaloží 12 ml. Kč na reklamu, bude zsk každé z nch 3,5 ml. Kč. Řešený příklad: Město Opava vyhláslo soutěž na prode atraktvních pozemků v centru města za účelem výstavby obchodního centra, z ehož provozu získá 100 ml. Kč ročně na daních. Problémem e ale posto několka stávaících matelů pozemků, kteří požaduí za odkoupení 50 ml. Kč, zatímco město nabízí pouze 20 ml. Kč. Protože hrozí odstoupení nvestora od smlouvy, nabízí město, pokud oba ustoupí, 30 ml. Kč. V následuící Tabulce 4.18 e uvedena matce výher pro dvě stratege T, která znamená trvat na svém a strateg U, což e ochota ke kompromsu. Stratege města Ostrava Výnos města Ostrava Výnos matelé Stratege matelů Stratege matelů T U T U T U Tabulka 4.18: Matce výher 92

94 Ze zadání úlohy e zřemé, že pro oba subekty bude výhodný komproms. Pokud by subekty trvaly na svém, znamenalo by to odstoupení nvestora Kooperatvní hry V reálném žvotě se často vyskytuí stuace, kdy e vhodné, aby se účastníc rozhodovací stuace dohodl na společné volbě stratege. Ale navíc také dopředu uzavřel dohodu o rozdělení výhry, kterou společně získaí. V prvním kroku museí hráč odpovědět na základní otázku, zda e pro ně vůbec výhodné takovou dohodu uzavírat. Hráč se dohodnou pouze tehdy, pokud vzáemnou spoluprací mohou dosáhnout vyšší výhry, než pokud zvolí své stratege ndvduálně. První hráč může dosáhnout výhru o velkost: z ma mn z,, (4.22) 1 1 a druhý hráč pak výhru: z ma mn z,. (4.23) 2 2 Hráč potom mohou také vypočítat, akou společnou výhru by získal v případě uzavření dohody: z ma z, z,. (4.24) 1,2 1 2, Řešený příklad: Dvě rafnerské frmy Unpetrol a Čepro se rozhoduí, zda budou dodávat pohonné hmoty na trh přímým dodávkam (stratege 1), s využtím služeb dstrbutora (stratege 2) nebo kombnací obou předchozích metod (stratege 3). Protože se edná o zastuptelné produkty a zákazníc (čerpací stance) oceňuí také úroveň dodavatelských služeb, ovlvňue volba strategí vzáemně ech tržby v mld. tak, ak e uvedeno v následuící Tabulce 4.19: Tržby Unpetrol Tržby Čepro Stratege Čepro Stratege Čepro ma 1. 2,0 2,1 2,9 2,0 1,8 1,8 2,0 (1,1) Stratege 2. 1,0 2,0 2,0 2,9 4,0 2,0 4,0 (2,2) Unpetrol 3. 1,0 2,0 2,5 2,0 2,5 2,9 2,9 (3,3) ma 2,0 2,1 2,9 (,) (1,1) (1,2) (1,3) Tabulka 4.19: Matce tržeb v ml. Kč (,) 93

95 Naše hra má pouze edný sedlový bod (1, 1). Př volbě první stratege by oba konkurent použl přímé dstrbuce pohonných hmot a oba získal tržby 2 mld. Kč. Z Tabulky 4.19 ale také vyplývá, že pro obě frmy by bylo rovněž výhodné využít služeb některé dstrbuční společnost, která m může díky vysoké úrovn služeb zastt tržby v celkové výš 2+4=6 mld. Kč. V případě, že platí nerovnost z12 z, 1 z 2 e potom výhodné pro obě frmy spolupracovat. Takovýto typ kooperatvních her se v lteratuře obvykle označue ako hry podstatné. V případě, že platí rovnost z12 z, 1 z 2 hovoříme o nepodstatných hrách. V případě, že se hráč nedohodnou na způsobu rozdělení výhry, došlo by de facto k nahrazení ednoho konflktu druhým. Z tohoto důvodu bývá obvykle součástí dohody mez hráč také způsob rozdělení výhry. Výhry obou hráčů sou představovány dvěma čísly a 1 a a 2. Pomocí těchto čísel lze určt podíly ednotlvých hráčů na celkové výhře. Pro oba spolupracuící hráče bude obvykle výhodné rozdělení výhry, pro které platí: z a a, (4.25) kde a1 z1, a2 z 2. Množna všech rozdělení vyhovuící oběma podmínkám tvoří ádro hry. Problémem e skutečnost, že ádro hry obsahue opět množnu bodů, př hře dvou hráčů sou to body úsečky ve tvaru: a z a. (4.26) Jádro hry Obrázek 4.4: Jádro hry Hráč s mohou dosaženou výhru rozdělt na základě různých prncpů: 94

96 a) O výhru se podělí rovným dílem, edná se o tzv. chartatvní prncp, platí tedy: a a z / 2. (4.27) b) Jným možným způsobem rozdělení dosažené výhry e rozdělení, kdy s každý z hráčů ponechá výhru, kterou by získal bez dohody s konkurentem a zbylá část výhry e pak rozdělena v poměru přínosu obou hráčů do společné výhry dle následuícího vztahu: a z z z z z z / z z, a z z z z z z / z z (4.28) c) Anebo se o zbytek výhry rozdělí rovným dílem: a z z z z a z z z z / 2, / 2. (4.29) 4.7. Nekonečné hry dvou hráčů V reálné pra sou však případy, kdy s hráč volí pouze ednu strategí z několka varant, spíše výmkou. V případě, že chceme stanovt hodnoty výher pro víc strategí, které maí charakter spoté proměnné, e možné problém vyřešt tak, že zvolíme příslušné dskrétní hodnoty a pro ně pak vypočítáme dosažtelné výhry. Podstatou nekonečných her e tedy hledání řešení v stuacích, kdy každý z účastníků hry může přímat teoretcky nekonečně mnoho strategí. Podobnou stuac sme už řešl v případě smíšeného rozšíření matcových her, v kaptolách 4.3 a 4.4, kdy vektor možných řešení obsahoval pravděpodobnost, které nabývaly lbovolných hodnot z ntervalu 0,1. Pokud budeme předpokládat, že příslušné matce strategí obou hráčů X1 1 a X2 2 budou obsahovat teoretcky nekonečně mnoho prvků, e zřemé, že nenalezneme unverzální postup, ak získat řešení takové hry. Je to způsobeno několka důvody. Jednak řešení bude ovlvňovat skutečnost, zda množny strategí budou mít charakter spotých množn eukldovského prostoru nebo množny dskrétních hodnot, ale zároveň také skutečnost, že ve většně případů nebudeme moc pracovat s matcem výher z 1 a z 2, ale s výplatním funkcem. Ty pak budou vyadřovat závslost výher ednotlvých hráčů na zvolených strategích prothráčů. Vzhledem k tomu, že budeme opět hledat takové kombnace strategí, které mamalzuí výhry příslušných hráčů, bude mít na hledání řešení her také ech 95

97 matematcký tvar. Bude tedy důležté, zda se edná o funkce konkávní nebo konvení, spoté č dskrétní. V teor nekonečných her byly formulovány několk nutných a postačuících podmínek pro to, aby příslušná hra měla řešení: a) množny strategí musí být kompaktní a konvení množny, b) výplatní funkce musí být konkávní atd. An tyto teoretcké poznatky něaký ednotný způsob hledání optmálních strategí nenabízeí. U matcových her naopak důkaz estence řešení v případě ech smíšeného rozšíření dával zároveň návod na ech řešení. Nyní s nekonečnou hru dvou hráčů obecně popíšeme. Předpokládeme, že dva hráč, například dvě konkurenční frmy soupeří svým zaměntelným výrobky teoretcky až na n segmentech trhu s možným obemem tržeb t, sou schopny na marketng a celkovou podporu prodee utratt částky K 1 a K 2, a potřebuí se rozhodnout, aké částky 1 a 2 pro =1,2,,n vynaložt v ednotlvých segmentech teoretcky nekonečného trhu takovým způsobem, aby získal co nevětší podíl na celkových tržbách: n T t. (4.30) 1 n Pro 1 a 2 logcky platí, že 1 K 1 a 2 K 2. Jným slovy, každý 1 podnk může vyčerpat pouze prostředky, které má k dspozc. Jedná se tedy opravdu o hru s nekonečným počtem strategí, protože platí: 1 0, K 1, 2 0, K 2 a součet výher T e konstantní. Budeme dále předpokládat, že oba hráč sou schopní efektvně vynakládat prostředky na podporu prodee, ným slovy, za své prostředky získaí na každém trhu podíl odpovídaící podílu částek, které v daném segmentu vynaložl. Můžeme tedy například zapsat, že když např. v í-tém segmentu vynaloží: n 1 a) první hráč 1 Kč, získá tržby ve výš b) druhý hráč 2 Kč, získá tržby ve výš t t 2 1 2, (4.31), (4.32) pak celkový obem tržeb obou hráčů lze zapsat ako: n 1 a) z1 1, 2 t, v případě prvního hráče, (4.33)

98 n 2 b) z2 1, 2 t, v případě druhého hráče, (4.34) přčemž musí platt: z1 1, 2 z2 1, 2 T. (4.35) Naší úlohu e možné také převést na hru s nulovým součtem výher: n 1 2 z z1 z2 t (4.36) Abychom zastl, že funkce z e defnovaná pro všechny případy, musíme položt eí hodnotu rovnu nule pro Interpretace této podmínky e relatvně trvální. Pokud neutratí na í-tém trhu oba hráč žádnou částku, rozdělí se o možné tržby rovným dílem. Další krok analýzy spočívá v nalezení optmální stratege obou hráčů. Pro oba hráče sou logcky atraktvní trhy s vysokým tržním potencálem, protože vysoký tržní podíl na těchto trzích znamená vysoké tržby. Z toho plyne, že ako edna z možných strategí se eví ta, př které by každý hráč rozděll své omezené prostředky v poměru podílu příslušného trhu na celkových tržbách. Potom by vektory strategí obou hráčů obsahovaly tyto prvky: t K / T, t K / T,..., t K / T, n 1 t K / T, t K / T,..., t K / T n 2 (4.37) V dalším kroku dokážeme, zda sou nalezené stratege optmální č nkolv. V případě, že se edná o stratege optmální, musí platt, steně ako v případě matcových her, že pokud se první hráč odchýlí od své optmální stratege a druhý hráč zvolí, bude výhra prvního hráče menší, než v případě, kdy oba hráč zvolí svou optmální strateg. A ta bude menší než v stuac, kdy první hráč zvolí optmální strateg a druhý se od ní odchýlí. Můžeme tedy zapsat: z, z, z,. (4.38) opt. opt. opt. opt Podrobné odvození a také matematcký důkaz lze nalézt v Gros (2003). Z výsledků odvození vyplývá, že podnky by měly vkládat prostředky na podporu prodee na ednotlvé trhy úměrně ech velkost. Řešený příklad: V tomto řešeném příkladu se soustředíme na případ dvou konkurenčních podnků, u něhož lze naít logckou úvahou řešení nekonečné hry a eho oprávněnost následně dokázat. Uvažume dvě konkurenční frmy, podnkaící v oboru stroírenství, OSTROJ OPAVA a VÍTKOVICE MACHINERY, které se se rozhoduí o rozdělení částek 20, resp. 30 ml. Kč na podporu prodee na třech významných trzích v Rusku, 97

99 Brazíl a Ind s očekávaným tržbam 200, 250 a 220 ml. Kč. Naším úkolem bude navrhnout optmální rozdělení prostředků na ednotlvých trzích. Pokud budeme postupovat podle vztahů (4.37) a (4.38), zstíme, že optmální rozdělení prostředků bude následuící: OSTROJ OPAVA: / 670 6, / 670 7,5, / 670 6,5. VÍTKOVICE MACHINERY: / 670 9, / , / Nekooperatvní hry o n hráčích Teore her se zabývá také hram o více než dvou hráčích. V této podkaptole se budeme zabývat hram v normálním tvaru, chž se účastní více než 2 raconální hráč, kteří usluí o dosažení mamální výhry. U těchto her už není nutné rozlšovat hry s konstantní a proměnlvou sumou výher, a to z toho důvodu, že různorodost zámů více hráčů nenutí hráče čelt ednotnému tlaku ostatních prothráčů. V případě těchto her bude vektor strategí n hráčů ve tvaru 1, 2,..., r r r r n rovnovážným bodem hry v případě, že pro všechna 1, 2,..., n a všechna X budou platt tyto nerovnost: z,,...,,,,..., z,,...,,,,...,, (4.39) r r r r r r r r r r r r n n kde r sou rovnovážné stratege hráčů a X prostor přípustných strategí. Ze vztahu (4.39) opět vyplývá, že pokud se í-tý hráč odchýlí od své optmální stratege a ostatní prothráč zvolí, bude výhra í-tého hráče nžší, než kdyby také on zvoll optmální strateg. V případě, že nalezneme edný rovnovážný bod, pak e volba strategí vyřešena. V případě, že takový bod nenalezneme, e třeba nalézt r domnuící rovnovážný bod dom., pro který platí: z z (4.40) r r dom., 98

100 kde r sou lbovolné rovnovážné body hry. Pokud e tento bod edný, nalezl sme ednoznačné řešení hry. V případě, že tomu tak není, hledáme, zda estuí záměnné rovnovážné body. To sou takové body, které udávaí stenou hodnotu výhry př různých kombnacích stratege, ež byly použty v dané skupně rovnovážných bodů. Celý problém hledání optmálních strategí v případě her s více než dvěma hráč tedy závsí na tom, ak se obecné prncpy řešení těchto her podaří aplkovat na konkrétní stuace tak, aby obem a složtost nutných výpočtů byl úměrný dosaženému efektu. Řešený příklad: Tř prodec pohonných hmot v Opavě frmy Shell, Agp a Benzna usluí o mamalzac zsku na trhu s denní kapactou hl pohonných hmot měsíčně. Průměrná cena pohonných hmot závsí na celkovém dodaném množství na trh, a to podle následuícího vztahu: p = 100-0, 015 ( + + ) Fní a varablní náklady prodeců pohonných hmot včetně ech prodeních kapact sou uvedeny v Tabulce Prodece Fní náklady Varablní náklady Prodení kapacta Shell Agp Benzna Tabulka 4.20: Matce tržeb v ml. Kč Zskové funkce ednotlvých prodeců maí následuící tvar: ( ( ) z = 100-0, , SHELL ( ( ) z = 100-0, , AGIP ( ( ) z = 100-0, BENZINA Součtovou funkc celkového zsku pak můžeme zapsat v tomto tvaru: zcelkovy = z. SHELL + zagip + zbenzina K této zskové funkc musíme přpot soustavu omezuících podmínek: Ł 20000; Ł 20000; Ł 20000, Ł

101 Pro řešení této úlohy použte nástro Řeštel. Úlohu vyřešte samostatně Hry prot přírodě Celá řada rozhodovacích stuací e ovlvňována kromě raconálních subektů rovněž řadou náhodných vlvů. V případě, že e množna strategí raconálního hráče konečná a e možné také náhodné stavy, které ovlvňuí celkový výsledek hry formulovat ako konečnou množnu, pak e možné sestavt matc výher A typu (m, n). Řádky této matce budou odpovídat přatým strategím raconálního hráče a sloupce pak možným náhodným hodnotám náhodné velčny, strategím ndferentního hráče. Určení optmální stratege v takovýchto rozhodovacích stuacích př rozhodování za rzka, případně nestoty, závsí na několka faktorech. Především pak na povaze hráče, zeména na eho ochotě přmout různou míru rzka, ale také na charakteru modelové stuace a ntenztě vlvu náhodného evu na výsledek rozhodnutí V neposlední řadě pak závsí na míře dostupných nformací, které má hráč k dspozc v stuac, kdy se snaží kvantfkovat náhodné vlvy: a) V případě, že e známo pravděpodobnostní rozdělení, s nímž může doít k náhodným stavům, hodnoty p() -tého náhodného evu, můžeme použít Bayesova krtéra, které e založeno na mamalzac střední hodnotu výhry raconálního účastníka: n ma a p ma a. (4.41) 1 b) Jestlže se nepodaří kvantfkovat hodnoty p(), e možné předpokládat, že všechny výskyty náhodných evů maí stenou pravděpodobnost, která se rovná poměru 1/n. V takovém případě lze použít Laplaceovo krtérum: n a ma 1. n (4.42) c) Pokud e hráč konzervatvně založený, e možné použít Waldovo pesmstcké krtérum: ma mna. (4.43) d) Poslední zvolený přístup, tzv. Savageovo krtérum, e založeno na mnmalzac ztrát z : z ma a a, (4.44) 100

102 ež vyadřuí ztrátu, která e spoena s přetím -té stratege ve srovnání s volbou za předpokladu, že bychom znal skutečné hodnoty náhodné proměnné. Volíme proto strateg, pro kterou platí: mnma z. (4.45) e) Poslední často používané krtérum e tzv. Hurwtzovo krtérum, které umožňue hráč pomocí voltelného tzv. ukazatele optmsmu a 01, vyádřt eho posto k rzku. Hledáme proto takovou kombnac strategí, která zastí výhru ve výš: ma a ma a 1 mn a. (4.46) Čím více se hodnota blíží hodnotě 1, tím větší rzko e ochoten hráč postoupt a tím více e optmstčtěší ve svém odhadu výskytu náhodného faktoru. Řešený příklad: Restaurace s letní zahrádkou se rozhodue, aké množství pva má obednat na následuící víkend. Analýzou stených období v mnulých týdnech se podařlo sestavt tabulku rozdělení pravděpodobnost prodee pva v hl, vz Tabulka Prode v hl Pravděpodobnost p() 0,1 0,2 0,2 0,4 0,1 Tabulka 4.21: Rozdělení pravděpodobností Cena 1 hl pva e 4000 Kč. Varablní náklady sou 1000 Kč/hl, fní náklady sou Kč za období. Pokud se obedná více pva, prodá se přebytek se ztrátou 500 Kč/hl. Pokud se proeví nedostatek pva, e nutné e doobednat. Tím pak vzrostou varablní náklady na 1500 Kč/hl a fní na Kč za období. Matce výher obsahue vypočtený rozdíl mez tržbam a náklady. Obednávky Náhodná poptávka v hl Průměrná mn ma v hl poptávka ,5 23, , , ,5 40,5 30,75 11,5 40,5 17 8, ,5 38,5 31,25 8,5 38, ,5 26, , ,4 23, , ma Tabulka 4.22: Matce zsků v ts. Kč 101

103 V polích Tabulky 4.22 e vytvořený zsk v ts. Kč. Kalkulace zsku př obednání 20 hl pva a spotřeby 22 hl e následuící: Tržby celkem: Varablní běžné náklady: Varablní zvýšené náklady: Fní zvýšené náklady: Náklady celkem: = Kč = Kč = 3000 Kč Kč Kč Zsk a 34 : = Kč V další Tabulce 4.23 sou vypočteny hodnoty a p : Obednávky v hl p 0,1 0,2 0,2 0,4 0,1 Spotřeba n m 1 1 a p 12 1,6 3,7 4,7 12,4 3, , ,05 28,2 17 0,85 4,4 6,2 13,4 3,85 28,7 20 0,4 3,7 5, ,4 22 0,1 2,88 4,7 14,8 4,6 27,08 Tabulka 4.23: Hodnoty očekávaného zsku př použtí Bayesova krtéra Př použtí Bayesova krtéra zvolíme ma (26; 28,2; 28,7; 29,4; 27,08), tedy hodnotu 29,4, což znamená, že bychom měl obednat 20 hl pva. Př použtí Laplaceova krtéra e v Tabulce 4.22 ve třetím sloupc zprava sloupc vypočten prostý průměr z hodnot zsku v příslušných řádcích. Pokud z nch vybereme ma (27,25; 30,75; 31,25; 31,25; 30,225), tedy hodnotu 31,25, znamená to, že bychom měl obednat 17 nebo 20 hl pva. Waldovo krtérum znamená naít mamum z mnm z hodnot v předposledním sloupc v Tabulce 4.22, tedy ma (16; 11; 8,5; 4; 1), což znamená, že by bylo vhodné obednat 12 hl pva. Pro aplkac Savageova krtéra sou v Tabulce 4.24 vypočteny ztráty z. Pro ech výpočet použeme vybraná mama ve sloupcích v posledním řádku Tabulky

104 Obednávky Náhodná poptávka v hl ma v hl ,5 7, , ,5 5,5 7,5 17 7, ,5 7,5 7, ,5 4, ,6 7, Tabulka 4.24: Matce ztrát př použtí Savageova krtéra Podle Savageova krtéra by bylo vhodné obednat 15 nebo 17 hl pva. Příklad výpočtu podle Hurwtzova krtéra ukážeme na předpokladu, že hráč zvolí a=0,7, vz Tabulka Mama a mnma v řádcích sou uvedeny v Tabulce ,7*36 + (1-0,7)*16 = ,7*40,5 + (1-0,7)*11,5 = 31,8 17 0,7*38,5 + (1-0,7)*8,5 = 29,5 20 0,7*40 + (1-0,7)*4 = 29,2 22 0,7*46 + (1-0,7)*1 = 32,5 Tabulka 4.25: Výběr stratege př použtí Hurwtzova krtéra Také př mírném optmsmu by bylo vhodné obednat 22 hl pva. 103

105 5. Matematcký dodatek V matematckém dodatku se zaměříme pouze na edno téma, a to matcový počet. Znalost o matcovém počtu sme totž využíval především v kaptole 1 a kaptole 2. Kromě obecných matematckých postupů budou uvedeny příklady využtí matcového počtu pomocí nástroů v prostředí MS Ecel Matcový počet Jedním z nevhodněších prostředků, mž lze vyádřt ekonomcké závslost, e matcová nebol také vektorová symbolka. Matc A e možné defnovat ako obdélníkové schéma reálných čísel z R, které sou uspořádané v m řádcích a n sloupcích. V takovém případě hovoříme, že matce A e typu m n. Prvek matce A umístěný v -tém řádku a -tém sloupc označueme a. Matc A pak zapsueme takto: a a a a n a a n A. (5.1) a a a m1 m2 m3 Nyní s vysvětlíme některé pomy a operace, které se často v matcovém počtu používaí: 1. Matce A se nazývá matcí čtvercovou, estlže e m = n. Řádky a sloupce matce A se nazývaí vektory. V některých případech může být matce A sestavena en z ednotlvého řádkového vektoru anebo z ednotlvého sloupcového vektoru. V takovém případě s vystačíme s edným ndeem prvku matce. Například A = ( a 1,, a n ) e řádkový vektor. Jsou-l rovněž všechna a = 0 pro = 1, 2,, n, pak A nazýváme nulovou matcí a označueme 0. Jednotková nebo také dentcká matce E e pak matce, pro níž platí, že a = 1 pro =, a = 0 pro a. 2. Transponovanou matc k matc A označueme symbolem A T a vznkne tak, že přemístíme prvek v, pozc matce A na prvek v pozc,. Jným slovy, vzáemně vyměníme řádky a sloupce matce A zrcadlově kolem hlavní dagonály a získáme tak matc A T. 3. Dvě matce označueme ako shodné, pokud se ech odpovídaící prvky rovnaí. 4. Symetrcká matce e matce, pro kterou platí A = A T, t. a = a pro všechna a. 104

106 5. Nechť A= { a }, B = { b } sou matce typu m n. Matce A e nezáporná, píšeme A 0, estlže a 0 pro všechna = 1,2,,m, = 1,2,,n. Matce A e naopak kladná, píšeme A > 0, estlže a > 0 pro všechna a. 6. Platí také A B, pokud současně platí a b pro všechna = 1,2,,m, = 1,2,,n. 7. Matce C = { c } e součtem matc A a B, t. C = A + B, estlže platí c a b pro všechna = 1,2,,m, = 1,2,,n. 8. Pro součet matc steného typu platí známé komutatvní, asocatvní a dstrbutvní zákony, steně ako pro sečítání reálných čísel. Skalární násobek matce A = { a } e matce, eíž všechny prvky sou rovny součnu každého prvku z A s konstantou R, t. A ={ a }. 9. Nechť A = { a } e matce typu m n, B = { b k } e matce typu n r. Matce C= c k, typu m r, e součnem matc A a B, t. C = A. B, estlže platí: n c a b (5.2) k k 1 pro všechna = 1, 2,, m, k = 1, 2,, r. Prvek výsledné matce C, která vznkla součnem matc A a B v -tém řádku a k-tém sloupc e skalárním součnem dvou vektorů, a to -tého řádku matce A a k-tého sloupce matce B, vz Obrázek 5.1. Pro součn matc v případě, že počet sloupců matce A e stený, ako počet řádků matce B, platí stené asocatvní a dstrbutvní zákony ako pro násobení reálných čísel. Obrázek 5.1: Schéma násobení matc Matce vznkly hstorcky ako zednodušuící metoda řešení systému lneárních rovnc: 105

107 a a... a b n n 1 a a... a b n n 2... a a... a b. m1 1 m2 2 mn n m (5.3) Řešení takových rovnc e ednodušší v případě, že koefcenty a sou odděleny od neznámých. Pak e možné rovnc (5.3) lze zapsat v následuícím tvaru: a a a a n a b 1 1 a b 2n 2 2. (5.4) a a a m1 m2 m3 n b m Pokud označíme vektor 1, 2,..., ako sloupcový vektor a totéž n T učníme v případě b b1, b2,..., bm, e možné systém lneárních rovnc (5.4), který označueme ako nehomogenní systém m lneárních rovnc o n neznámých, zapsat v ednoduchém tvaru takto: Inverzní matce vlastnost: rovnce (5.5) ve tvaru: T A b. (5.5) 1 A ke čtvercové matc A typu n n má následuící 1 1 AA A A E. Pomocí nverzní matce tak můžeme získat řešení A 1 b. (5.6) Jestlže b = 0, pak nenulové řešení homogenní soustavy A = 0 estue, právě 1 tehdy když neestue A, nak A e edným řešením. Matce neestue, právě tehdy když determnant A e roven nule. Řešený příklad: 1. Vypočítete součn matc Vypočítete součn matc. A 1 106

108 Pomocí matcových funkcí řešte v prostředí MS Ecelu 2010 soustavu rovnc: Ekvvalentní soustava v matcovém tvaru vypadá takto: n 5.2: Na pracovním lstu v prostředí MS Ecel 2010 s přpravíme data, vz Obrázek Obrázek 5.2: Příprava dat v prostředí MS Ecel verze 2010 Dále e nutné označt pole, kde má být uložena nverzní matce A -1 k matc soustavy A, v našem případě se edná o pole A7:C9. V dalším kroku vložíme funkc pro výpočet nverzní matce v menu: Vložt Funkce Matematcké INVERZE, vz Obrázek 5.3. Otevře se zadávací okno: 107

109 Obrázek 5.3: Funkce INVERZE v prostředí MS Ecel verze 2010 V okně Argumenty funkce vložíme pole, kde e uložena matce A, t. A2:C4, potvrdíme tlačítkem OK za současného stsku kláves Shft+Ctrl! V pol A7:C9 pro nverzní matc se obeví výsledek, vz Obrázek 5.4: Obrázek 5.4: Výsledek oprace INVERZE v prostředí MS Ecel verze Nakonec vyřešíme soustavu rovnc s pomocí matcového řešení: = A b. Neprve označíme buňky pro vektor řešení, t. pole E2:E4. V dalším kroku vložíme funkc pro výpočet součnu matc: Vložt Funkce Matematcké SOUČIN.MATIC. Otevře se zadávací okno Argumenty funkce, vz Obrázek 5.5: 108

110 Obrázek 5.5: Funkce SOUČIN.MATIC v prostředí MS Ecel verze V okně Argumenty funkce vložíme pole, kde sou uloženy matce A a b pro součn, t. A7:C9 a G2:G4, pak potvrdíme tlačítkem OK za současného stsku kláves Shft+Ctrl! V pol E2:E4 pro neznámý vektor se obeví výsledek: Obrázek 5.6: Výsledek operace SOUČIN.MATIC v prostředí MS Ecel verze 2010 Řešením soustavy rovnc e tedy vektor = ( 1, 2, 3 ) = (-1,2; 3,2; -0,4). Zkoušku správnost výsledku e možné provést násobením původní matce A a vektoru. Výsledný součn matce A a vektoru, v našem případě se edná o vektor, e roven vektoru pravých stran soustavy b. 109

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY . přednáška EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY Ekonomcko matematcké metody (též se užívá název operační analýza) sou metody s matematckým základem, využívané především v ekonomcké oblast, v oblast řízení a

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU

APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU APPLICATION OF MATHEMATICAL PROGRAMMING IN DESIGNING THE STRUCTURE OF THE DISTRIBUTION SYSTEM Martn Ivan 1 Anotace: Prezentovaný

Více

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování

Více

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2 ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB Vladmír Hanta 1 Ivan Gros 2 Vysoká škola chemcko-technologcká Praha 1 Ústav počítačové a řídcí technky 2 Ústav

Více

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce . meznárodní konference Řízení a modelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonomcká fakulta, katedra Fnancí 8. - 9. září 200 Metody vícekrterálního hodnocení varant a ech využtí př výběru produktu

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2013 Radka Luštincová

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2013 Radka Luštincová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2013 Radka Luštncová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Název bakalářské práce: Aplkace řezných

Více

1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem

1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem Kvaternon 2/204, 79 98 79 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ JAROSLAV HRDINA a PETR VAŠÍK Abstrakt. Následuící text pokrývá eden z cyklů přednášek předmětu Aplkovaná algebra pro nženýry (0AA) na FSI VUT. Text

Více

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Lneární programování e druh matematckého programování. Matematcký model se skládá z:. účelové funkce. omezuících podmínek (vlastní omezení a podmínk nezápornost) Účelová funkce omezuící

Více

1. Nejkratší cesta v grafu

1. Nejkratší cesta v grafu 08. Nekratší cesty. Úloha obchodního cestuícího. Heurstky a aproxmační algortmy. Metoda dynamckého programování. Problém batohu. Pseudopolynomální algortmy 1. Nekratší cesta v grafu - sled e lbovolná posloupnost

Více

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

2. Posouzení efektivnosti investice do malé vtrné elektrárny

2. Posouzení efektivnosti investice do malé vtrné elektrárny 2. Posouzení efektvnost nvestce do malé vtrné elektrárny Cíle úlohy: Posoudt ekonomckou výhodnost proektu malé vtrné elektrárny pomocí základních metod hodnocení efektvnost nvestních proekt ako sou metoda

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt

Více

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO MAPOVÁNÍ WEBOVÝCH STRÁNEK ŘIMNÁČ MARTIN 1, ŠUSTA RICHARD 2, ŽIVNŮSTKA JIŘÍ 3 Katedra řídcí technky, ČVUT-FEL, Techncká 2, Praha 6, tel. +42 224 357 359, fax. +

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Teoretický souhrn k 2. až 4. cvičení

Teoretický souhrn k 2. až 4. cvičení SYSTÉMOVÁ ANALÝZA A MODELOVÁNÍ Teoretcký souhrn k 2. ž 4. cvčení ZS 2009 / 200 . Vyezení zákldních poů.. Systé e Systé e účelově defnovná nožn prvků vze ez n, která spolu se svý vstupy výstupy vykzue ko

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky LOGICKÉ OBVODY pro kombnované a dstanční studum Zdeněk Dvš Zdeňka Chmelíková Iva Petříková Ostrava ZDENĚK DIVIŠ, ZDEŇKA

Více

Numerické metody optimalizace

Numerické metody optimalizace Numercké metody optmalzace Numercal optmzaton methods Bc. Mloš Jurek Dplomová práce 2007 Abstrakt Abstrakt česky Optmalzační metody představují vyhledávání etrémů reálných funkcí jedné nebo více reálných

Více

VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky. Diplomová práce. 2014 Michal Běloch

VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky. Diplomová práce. 2014 Michal Běloch VŠB - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra aplkované matematky Dplomová práce 204 Mchal Běloch VŠB - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra

Více

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU AALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V IVESTIČÍM PROCESU Jří Marek ) ABSTRAKT Príspevek nformuje o uplatnene manažmentu rzka v nvestčnom procese. Uvádza príklad kalkulace rzka a analýzu jeho ctlvost. Kľúčové

Více

Automatická klasifikace dokumentů do tříd za použití metody Itemsets

Automatická klasifikace dokumentů do tříd za použití metody Itemsets Automatcká klasfkace dokumentů do tříd za použtí metody Itemsets Jří HYNEK 1, Karel JEŽEK 2 1 nsite, s.r.o., Knowledge Management Integrator Rubešova 29, 326 00 Plzeň r.hynek@nste.cz 2 Katedra nformatky

Více

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST Abstrakt ANALÝZA ZKA A CTLOST JAKO SOUČÁST STUDE POVEDTELNOST 1. ČÁST Jří Marek Úspěšnost nvestce závsí na tom, jaké nejstoty ovlvní její předpokládaný žvotní cyklus. Pomocí managementu rzka a analýzy

Více

PROBLEMATIKA OCEŇOVÁNÍ NEDODANÉ ENERGIE V PRŮMYSLU

PROBLEMATIKA OCEŇOVÁNÍ NEDODANÉ ENERGIE V PRŮMYSLU Seres on Advanced Economc Issues Faculty of Economcs, VŠB-TU Ostrava Lukáš Prokop Zdeněk Medvec Zdeněk Zmeškal PROBLEMATIKA OCEŇOVÁNÍ NEDODANÉ ENERGIE V PRŮMYSLU Ostrava, 2009 Lukáš Prokop & Zdeněk Medvec

Více

Základy finanční matematiky

Základy finanční matematiky Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

ALGORITMUS SILOVÉ METODY

ALGORITMUS SILOVÉ METODY ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých

Více

Metody volby financování investičních projektů

Metody volby financování investičních projektů 7. meznárodní konference Fnanční řízení podnků a fnančních nsttucí Ostrava VŠB-T Ostrava konomcká fakulta katedra Fnancí 8. 9. září 00 Metody volby fnancování nvestčních projektů Dana Dluhošová Dagmar

Více

Proces řízení rizik projektu

Proces řízení rizik projektu Proces řízení rzk projektu Rzka jevy a podmínky, které nejsou pod naší přímou kontrolou a ovlvňují cíl projektu odcylky, předvídatelná rzka, nepředvídatelná rzka, caotcké vlvy Proces řízení rzk sled aktvt,

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Masarykova unverzta Ekonomcko správní fakulta Fnanční matematka dstanční studjní opora Frantšek Čámský Brno 2005 Tento projekt byl realzován za fnanční podpory Evropské une v rámc programu SOCRATES Grundtvg.

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI - 13 - í Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materálu Prof. ng. J. Šeda, DrSc. KDAZ - PJP Na našem pracovšt byl vypracován program umožňující modelovat průchod záření gama metodou Monte Carlo, homogenním

Více

ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE

ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE Jana Valečková 1 1 Vysoká škola báňská-techncká unverzta Ostrava, Ekonomcká fakulta, Sokolská

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení Posuzování výkonnost projektů a projektového řízení Ing. Jarmla Ircngová Západočeská unverzta v Plzn, Fakulta ekonomcká, Katedra managementu, novací a projektů jrcngo@kp.zcu.cz Abstrakt V současnost je

Více

Příklady modelů lineárního programování

Příklady modelů lineárního programování Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených

Více

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů

Agregace vzájemné spojování destabilizovaných částic ve větší celky, případně jejich adheze na povrchu jiných materiálů Agregace - úvod 1 Agregace vzáemné spoování destablzovaných částc ve větší cely, případně ech adheze na povrchu ných materálů Částce mohou agregovat, poud vyazuí adhezní schopnost a poud e umožněno ech

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

NÁVRH MATEMATICKÉHO MODELU PRO OPTIMALIZACI VYTVÁŘENÍ SMĚSÍ SPALITELNÝCH ODPADŮ PRO SPALOVNY. PETR BYCZANSKI a a KAREL OBROUČKA b.

NÁVRH MATEMATICKÉHO MODELU PRO OPTIMALIZACI VYTVÁŘENÍ SMĚSÍ SPALITELNÝCH ODPADŮ PRO SPALOVNY. PETR BYCZANSKI a a KAREL OBROUČKA b. Chem. Lsty 101, 668 67 (007) Laboratorní přístroe a postupy NÁVRH MATEMATICKÉHO MODELU PRO OPTIMALIZACI VYTVÁŘENÍ SMĚSÍ SPALITELNÝCH ODPADŮ PRO SPALOVNY PETR BYCZANSKI a a KAREL OBROUČKA b a Ústav geonky

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

Klasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ

Klasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ 1/28 Klasfkace a predkce Roman LUKÁŠ 2/28 Základní pomy Klasfkace = zařazení daného obektu do sté skupny na základě eho vlastností Dvě fáze klasfkace: I. Na základě trénovacích vzorů (u nchž víme, do aké

Více

Vykazování solventnosti pojišťoven

Vykazování solventnosti pojišťoven Vykazování solventnost pojšťoven Ing. Markéta Paulasová, Techncká unverzta v Lberc, Hospodářská fakulta marketa.paulasova@centrum.cz Abstrakt Pojšťovnctví je fnanční službou zabývající se přenosem rzk

Více

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Časová hodnota peněz ve fnančním rozhodování podnku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Fnanční rozhodování podnku je ovlvněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu

Více

SIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ

SIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ bstrakt SIMULCE ŘÍZENÍ PNEUMTICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRMU MTL SIMULINK Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ Katedra automatzační technky a řízení Fakulta stroní VŠ-TU Ostrava Příspěvek popsue sestavení matematckého

Více

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Optmalzační přístup př plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Ladslav Tuhovčák*, Pavel Dvořák**, Jaroslav Raclavský*, Pavel Vščor*, Pavel Valkovč* * Ústav vodního hospodářství obcí, Fakulta stavební VUT

Více

REAKCE POPTÁVKY DOMÁCNOSTÍ PO ENERGII NA ZVYŠOVÁNÍ ENERGETICKÉ ÚČINNOSTI: TEORIE A JEJÍ DŮSLEDKY PRO KONSTRUKCI EMPIRICKY OVĚŘITELNÝCH MODELŮ

REAKCE POPTÁVKY DOMÁCNOSTÍ PO ENERGII NA ZVYŠOVÁNÍ ENERGETICKÉ ÚČINNOSTI: TEORIE A JEJÍ DŮSLEDKY PRO KONSTRUKCI EMPIRICKY OVĚŘITELNÝCH MODELŮ RAKC POPTÁVKY DOMÁCNOTÍ PO NRGII NA ZVYŠOVÁNÍ NRGTICKÉ ÚČINNOTI: TORI A JJÍ DŮLDKY PRO KONTRUKCI MPIRICKY OVĚŘITLNÝCH MODLŮ tela Rubínová, Unverzta Karlova v Praze, Centrum pro otázky žvotního prostředí,

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Evaluation of Interferograms Using a Fourier-Transform Method

Evaluation of Interferograms Using a Fourier-Transform Method ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Katedra fzk Vhodnocování nterferogramů metodou Fourerov transformace Evaluaton of Interferograms Usng a Fourer-Transform Method dplomová práce Studní

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

Retailový a korporátní credit scoring

Retailový a korporátní credit scoring Masarykova unverzta Přírodovědecká fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Eva Krečová Retalový a korporátní credt scorng Vedoucí práce: Mgr. Martn Řezáč, Ph.D. Studní program Aplkovaná matematka Studní obor Fnanční

Více

( ) = H zásobitel = 1. H i = 1+ +...

( ) = H zásobitel = 1. H i = 1+ +... sou fnance důležté? nanční management Základní pojmy e NPV důležté? Základy úrokového počtu reálná aktva fnanční aktva hmotná aktva nehmotná aktva sou fnance důležté? Kolk a do jakých aktv má frma nvestovat?

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc. Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-správní Modelování predkce časových řad návštěvnost web domény pomocí SVM Bc. Vlastml Flegl Dplomová práce 2011 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatně. Veškeré

Více

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT J. Tuma Summary: The paper deals wth dfferentaton and ntegraton of sampled tme sgnals n the frequency doman usng the FFT and

Více

MODEL LÉČBY CHRONICKÉHO SELHÁNÍ LEDVIN. The End Stage Renal Disease Treatment Model

MODEL LÉČBY CHRONICKÉHO SELHÁNÍ LEDVIN. The End Stage Renal Disease Treatment Model ROČNÍK LXXII, 2003, č. 1 VOJENSKÉ ZDRAVOTNICKÉ LISTY 5 MODEL LÉČBY CHRONICKÉHO SELHÁNÍ LEDVIN 1 Karel ANTOŠ, 2 Hana SKALSKÁ, 1 Bruno JEŽEK, 1 Mroslav PROCHÁZKA, 1 Roman PRYMULA 1 Vojenská lékařská akademe

Více

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y 4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.

Více

Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity

Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity Fnanční matematka Téma: Důchody Současná hodnota anuty Důchody Defnce: Důchodem se rozumí pravdelné platby ve stejné výš, tzv. anuty Pozor na nejednotnost termnologe Různé možnost rozdělení důchodů Členění

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Bakalářská práce Zpracování výsledků vstupních testů z matematky Plzeň, 13 Tereza Pazderníková Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam

Více

Bořka Leitla Bolometrie na tokamaku GOLEM

Bořka Leitla Bolometrie na tokamaku GOLEM Posudek vedoucího bakalářské práce Bořka Letla Bolometre na tokamaku GOLEM Vedoucí práce: Ing. Vojtěch Svoboda, CSc Bořek Letl vpracoval svoj bakalářskou prác na tokamaku GOLEM, jehož rozvoj je závslý

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Úloha II.P... Temelínská

Úloha II.P... Temelínská Úloha IIP Temelínská 4 body; průměr 278; řešlo 49 studentů Odhadněte kolk jaderného palva se spotřebuje v jaderné elektrárně na 1 MWh elektrcké energe kterou spotřebují ldé až v domácnost Srovnejte to

Více

9.12.2009. Metody analýzy rizika. Předběžné hodnocení rizika. Kontrolní seznam procesních rizik. Bezpečnostní posudek

9.12.2009. Metody analýzy rizika. Předběžné hodnocení rizika. Kontrolní seznam procesních rizik. Bezpečnostní posudek 9.2.29 Bezpečnost chemckých výrob N Petr Zámostný místnost: A-72a tel.: 4222 e-mal: petr.zamostny@vscht.cz Analýza rzka Vymezení pojmu rzko Metody analýzy rzka Prncp analýzy rzka Struktura rzka spojeného

Více

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

5 ST ADATEL, FONDOVATEL, ZÁSOBITEL, NESTEJNÉ PENùÎNÍ PROUDY, REÁLNÁ ÚROKOVÁ MÍRA

5 ST ADATEL, FONDOVATEL, ZÁSOBITEL, NESTEJNÉ PENùÎNÍ PROUDY, REÁLNÁ ÚROKOVÁ MÍRA 5 ST ADATEL, FONDOVATEL, ZÁSOBITEL, NESTEJNÉ PENùÎNÍ PROUDY, REÁLNÁ ÚROKOVÁ MÍRA Střadatel se používá pro výpočet úroku na konc období, kdy jste pravdelně ukládal stejnou částku, ve stejný okamžk, po určté

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

1. Mezinárodní trh peněz

1. Mezinárodní trh peněz 1. Meznárodní trh peněz Na počátku 21. století je vývoj světového hospodářství slně ovlvněn procesem globalzace 1, v důsledku čehož dochází k dost výraznému otevírání národních ekonomk, které tak jž nemůžeme

Více

2. ELEKTRICKÉ OBVODY STEJNOSMĚRNÉHO PROUDU

2. ELEKTRICKÉ OBVODY STEJNOSMĚRNÉHO PROUDU VŠB T Ostrava Faklta elektrotechnky a nformatky Katedra obecné elektrotechnky. ELEKTCKÉ OBVODY STEJNOSMĚNÉHO POD.. Topologe elektrckých obvodů.. Aktvní prvky elektrckého obvod.3. Pasvní prvky elektrckého

Více

Attitudes and criterias of the financial decisionmaking under uncertainty

Attitudes and criterias of the financial decisionmaking under uncertainty 8 th Internatonal scentfc conference Fnancal management of frms and fnancal nsttutons Ostrava VŠB-TU Ostrava, faculty of economcs,fnance department 6 th 7 th September 2011 Atttudes and crteras of the

Více

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla

Více

ARITMETICKOLOGICKÁ JEDNOTKA

ARITMETICKOLOGICKÁ JEDNOTKA Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechncká Božetěchova 3, Olomouc Třída : M4 Školní rok : 2000 / 2001 ARITMETICKOLOGICKÁ JEDNOTKA III. Praktcká úloha z předmětu elektroncké počítače

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH THE CHOICE OF EVALUATION CRITERIA IN PUBLIC PROCUREMENT Martn Schmdt Masarykova unverzta, Ekonomcko-správní fakulta m.schmdt@emal.cz Abstrakt: Článek zkoumá

Více

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY Úloha č. MĚŘENÍ NDKČNOST A KAPATY ÚKO MĚŘENÍ:. Změřte ndkčnost cívky bez jádra z její mpedance a stanovte nejstot měření.. Změřte na Maxwellově můstk ndkčnost cívky a rčete nejstot měření. Porovnejte výsledky

Více

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6)

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6) 1. Stavebn energetcké vlastnost budov Energetcké chování budov v zním období se v současné době hodnotí buď s pomocí průměrného součntele prostupu tepla nebo s pomocí měrné potřeby tepla na vytápění. 1.1.

Více

Hodnocení účinnosti údržby

Hodnocení účinnosti údržby Hodnocení účnnost ekonomka, pojmy, základní nástroje a hodnocení Náklady na údržbu jsou nutné k obnovení funkce výrobního zařízení Je potřeba se zabývat ekonomckou efektvností a hodnocením Je třeba řešt

Více

OPTIMALIZACE NABÍDKY DESTINACÍ V PODMÍNKÁCH REGIONÁLNÍHO MEZINÁRODNÍHO LETIŠTĚ OPTIMAL DESTINATION OFFER IN TERMS REGIONAL INTERNATIONAL AIRPORT

OPTIMALIZACE NABÍDKY DESTINACÍ V PODMÍNKÁCH REGIONÁLNÍHO MEZINÁRODNÍHO LETIŠTĚ OPTIMAL DESTINATION OFFER IN TERMS REGIONAL INTERNATIONAL AIRPORT OPTIMALIZACE NABÍDKY DESTINACÍ V PODMÍNKÁCH REGIONÁLNÍHO MEZINÁRODNÍHO LETIŠTĚ OPTIMAL DESTINATION OFFER IN TERMS REGIONAL INTERNATIONAL AIRPORT Dušan Teichmann 1 Anotace: Celá řada regionálních mezinárodních

Více

Studijní opora MODEL IS-LM, FISKÁLNÍ A MONETÁRNÍ POLITIKA. Část 1 Model IS-LM

Studijní opora MODEL IS-LM, FISKÁLNÍ A MONETÁRNÍ POLITIKA. Část 1 Model IS-LM Studjní opora Název předmětu: EKONOMIE II (část makroekonome) Téma 2 MODEL IS-LM, FISKÁLNÍ A MONETÁRNÍ POLITIKA Část 1 Model IS-LM Zpracoval: doc. RSDr. Luboš ŠTANCL, CSc. Operační program Vzdělávání pro

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

radiační ochrana Státní úřad pro jadernou bezpečnost

radiační ochrana Státní úřad pro jadernou bezpečnost Státní úřad pro jadernou bezpečnost radační ochrana DOPORUČENÍ Měření a hodnocení obsahu přírodních radonukldů ve vodě dodávané k veřejnému zásobování ptnou vodou Rev. 1 SÚJB únor 2012 Předmluva Zákon

Více

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2. . Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme

Více