DYNAMIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ. Konstrukce citlivé na dynamické zatížení štíhlé konstrukce. Vítr. Chodci. Vítr. Vítr. Vítr.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "DYNAMIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ. Konstrukce citlivé na dynamické zatížení štíhlé konstrukce. Vítr. Chodci. Vítr. Vítr. Vítr."

Transkript

1 Vlasslav Salajka 9 DYNAMIKA SAVEBNÍCH KONSRUKCÍ Koskce clvé a dyamcké zaížeí šíhlé koskce Ví Ví Chodc Ví Ví Vlasslav Salajka 9 Ví Chodc Vlasslav Salajka 9 Vlasslav Salajka 9

2 Ví Vlasslav Salajka 9 Ví Účky sojů kolo bíy bíy Účky dopavy Vlasslav Salajka 9 geeáo Účky sojů a okolí objeky ech. sezmca Účky dopavy Vlasslav Salajka 9 Účky dopavy a okolí objeky ech. sezmca

3 Účky dopavy a hso. objeky Vlasslav ech. Salajka sezmca 9 Účky dopavy Příodí sezmca - zeměřeseí Mexko 3 Mexco Cy 985 Vlasslav Salajka 9 Příodí sezmca ČR Japosko Vlasslav Salajka 9

4 Vlasslav Salajka 9 POSUZOVÁNÍ SAVEBNÍCH KONSRUKCÍ VYSAVENÝCH DYNAMICKÝM ÚČINKŮM Dyamcky poměé zaížeí slam ebo přemísěím čásí koskce (dyamcký v čase se měící) Cílem je ají se odezv a dyamcké zaížeí - měřeí ebo výpoče Výpoče deemscký ebo sochascký VÝPOČE je o vydefova (sesav, popsa) ejčasěj MKP Výpočový model koskce Výpočový model zaížeí Vlasslav Salajka 9 a spojý model (pacálí dfeecálí ovce) b dskéí model s jedím spěm volos obyč. df. ovce c dskéí model se řem sp volos. obyč. df. ovce Vlasslav Salajka 9 Výpočový model koskce mos MKP 3 s. spňů volos Deemscký model zaížeí a) Zadá fkcí b) Zadá ablko Sochascký model zaížeí zaížeí zámo poze ve smysl sasckého vyjádřeí 4

5 Požadavky a výpočové modely Vlasslav Salajka 9 a) model zachoval (v meodě koečých pvků) ejvěěj geome osého sysém koskce b) model msí vyshova co ejlépe mechacké vlasos skečé koskce Mechacké vlasos a) Sacké b) Dyamcké Sacké vlasos Dyamcké a) Převáé c) Sevačé Vlasslav Salajka 9 b) Napjaosí d) Úlmové Převáé vzahy mez sackým účkem a sackým přemísěím Napjaosí vzahy mez přemísěím (převořeím) a sacko apjaosí Sevačé velkos a ozložeí hmo (sevačé síly) Úlmové velkos a ozložeí lmících sl 5 Vlasslav Salajka 9

6 Vlasslav Salajka 9 Vlv okolího posředí Koskce je obklopea posředím, keé a působí Posředí se ahazje modely chaakezjící účky posředí 6 Účky sálé a poměé Sálé ložeí koskce (model vazby mez koskcí a podzákladím) popojeí se sosedím koskcem echologe ložeá a koskc ad. Poměé ví (dyamcký Vlasslav model zaížeí Salajka věem) 9 pohyb základ (model sezmckého bzeí akceleogamy, speka) evývažky ojících čásí sojů (áhada bdcím slam výbch (áhada v čase poměým zaížeím lakem) dopaví pod (model zaížeí vozdly, chodc apod.) ázy (savebí a sojí echologe, vodí áz ad.) Náhada skečých účků a koskc se řeší sesaveím model zaížeí, keý se aplkje a model koskce! Řešeí přímé je začě áočé a povádí se zřídka Vlasslav Salajka 9

7 Vlasslav Salajka 9 NÁVRH A POSUZOVÁNÍ DYNAM. NAMÁHANÝCH KONSRUKCÍ Návh koskce výkes. dokmeace, geologe, echcký pops ad. Aalýza koskce s posozeím výpoče, posozeí podle oem Expemeálí ověřeí koskce expeme v solad s předpsy a omam 7 Aalýza koskce vyvořeí maemackého pops koskce a zaížeí (absakí modely koskce a zaížeí) OBECNÉ ZÁSADY PŘI POSUZOVÁNÍ DYNAMICKY NAMÁHANÝCH KONSRUKCÍ Vlasslav Salajka 9 OBJEKY MAJÍ PO CEOU DOBU ŽIVONOSI VYHOVOVA SVÉMU ÚČEU! Z ohoo hledska vyplývají po sacky a dyamcky amáhaé koskce savebích objeků dva požadavky:. Bezpečos. Povozí způsoblos Bezpečos poszováí převážě podle zásad ČSN 73 3 Povozí způsoblos dyamcké amáháí koskcí. Účky kmáí a ld. Účky kmáí a měřcí a jé přísoje 3. Účky kmáí a sojí a já echologcká zařízeí 4. Účky kmů šířících se podložím Vlasslav a savebí Salajka objeky 9 a povozy

8 Vlasslav Salajka 9 Kéa bezpečos a povozí způsoblos - až a výjmky podle. a. mezího sav. mezí sav sav úosos - ejepřízvější kombace sackých a dyamckých účků (přhlíží se k působeí během pováděí savby, k úavě maeál apod.) 8 Exémí apjaos msí vyhovova podmíce S s ex S dy S S s apěí, vří síla od výpočového sackého účk ex S dy exém éhož apěí, vří síly od výpočového dyamckého účk S mezí hodoa poszovaé velčy saoveá podle příslšých oem Posozeí a úav koskčí pvky a dealy Úava maeál - výazé sížeí meze pevos Vlasslav maeál Salajka v závslos 9 a: chaake zaížeí, změě apěí (plzjící, míjvá, sřídavá), úoveň vyížeí půřez, poče cyklů, va amáhaého pvk, posředí, úpavě povch ad.. mezí sav přemísěí, převořeí - kombace sackých a dyamckých účků, keé jso obvyklé př běžém povoz. K ejexémějším kombacím (výjmečým) se epřhlíží Exémí hodoy přemísěí msí vyhovova podmíce s ex dy s přemísěí od sackého účk ex dy exémí přemísěí od dyamckého účk mezí hodoa poszovaé velčy, saoveé dle příslšých oem Vlasslav Salajka 9

9 Vlasslav Salajka 9 Méě výzamé savby zjedodšeí posozeí. Velkos exémích sackých přemísěí se posodí podle sackých kéí samosaě. Namíso hodoceí absolích exémů přemísěí se poszje odolos koskce vůč vbacím podle kéa 9 ex X dy X dy ex X dy začí absolí exém ychlosí a zychleí pole přemísěí ež exémí hodoy přemísěí. X dy mezí hodoa poszovaé dyamcké velčy Účky kmáí a člověka Účky kmáí a běžé savby Účky kmáí a sojí a já echologcká zařízeí Vlasslav Salajka 9 Účky kmáí a člověka Kmáí ašje od čé ezy psychosomacko ovováh člověka Nepřízvé účky kmáí se pojevjí zvýšeo úavo a vbace jsé ezy poškozjí zdaví Podobos jso vedey v ařízeí vlády 48/6 (58/) o ochaě zdaví před epřízvým účky hlk a vbací a pavey omo ČSN ISO 63 Vbace a ázy - Hodoceí expozce člověka celkovým vbacím Převládá ázo, že po ozsah od do Hz je eza vímáí úměá zychleí, zaímco v ozsah ad Hz je úměá ychlos Vlasslav Salajka 9

10 Účky kmáí a běžé savby Vlasslav Salajka 9 Noma ČSN 73 3 dělí běžé savby a 3 řídy z hledska jejch odolos vůč vbacím A Bdovy, chž moho vzko hlky v omíce ebo jé vdelé pochy, savby z eopacovaého kamee B Běžé chelé savby, savby z bloků, pefabkáů Nepošeé bdovy v dobém savebě echckém sav C Dobře vyzžeé savby, s kvalě povedeo železobeoovo ebo ocelovo koso, dokoale vyhooveé dřevěé koskce Hodoy dle meodky Swss sadad Clvé a hsocké objeky Zděé objeky s hoí čásí dřevěo Beoové ebo zděé bdovy a beoových základech Železobeoové, ocelové půmyslové objeky Fekvečí ozsah poží [Hz] Účky kmáí a sojí a Vlasslav já Salajka echologcká zařízeí 9 Maxmálí ychlos v [mm s - ] Maxmálí svslá složka v max [mm s - ],8 3, ,8 8 4,8 7, Vlasslav Salajka 9 8 7, 8 řída I zvlášě přesé soje a aomay. řída II bsky, přesé kovoobáběcí soje, bosící aomay a jé přesé soje řída III kovoobáběcí soje obvyklé přesos, přádací, kalcovské a skařské soje řída IV veláoy, elekomooy, lsy, šcí soje, ap.

11 Vlasslav Salajka 9 Účky kmů šířících se podložím a savebí objeky a povozy Šířeí kmáí směem od zdoje přblžý výpoče Vlasslav Salajka 9 ZÁKADY KMIÁNÍ SAVEBNÍCH KONSRUKCÍ Výchozí předpoklady a) Nosý sysém koskce je vaově čý b) Maeál osých čásí je leáě pžý c) Vyšeřjí se malé kmy Vlasslav Salajka Salajka 9

12 Vlasslav Salajka 9 MODEY S JEDNÍM SUPNĚM VONOSI ř čás Nehmoá pža k Eege V akmlovaá v pžě V ( k ) eáě vskozí lmč c Podložeí pžy Vzah mez slo a podložeím pžy ebo momeem a pooočeím f s k Vlasslav Salajka 9 k je pžosí kosaa [N/m] a ebo [N.m/ad] Reálě blokový základ se sojem a pžém podklad vodojem,.. Vzah mez slo a ychlosí podložeím pžy f d c ( & & ) c & c je koefce vskozího lmeí [N.s.m - ] 3 Sosředěá hmoos m [kg] po aslac hmoého ělesa Hmoý mome sevačos I m [kg.m ] Vlasslav Salajka po oac 9hmoého ělesa

13 Vlasslav Salajka 9 POHYBOVÁ ROVNICE model s jedím spěm volos (SV) 3 Po vedeý model sosředěá hmoa může koa Poze (aslačí) pohyb SV Cíl zapsa (sesav) pohybovo ovc popsjící pohyb čás ělesa (hmoého ělesa) přřazeém k bod Pops je vázá a jedo výchylk () Vychází se z. Newoova zákoa F m a Phlosophae Naals Pcpa Mahemaca (Maemacké základy příodí flosofe) 687 Vlasslav Salajka 9 F je síla působící a sosav (M mome) m je sosředěá hmoos (I G hmoý mome sevačos) a je zychleí v efeečí ecálí sosavě (ε úhlové zychleí) S Isaac Newo Kecká eege m M I IGε ( b )ε M I ε ( m )ε c I G Vlasslav Salajka 9 mv ( ) m v Gx vgy I Gω

14 Vlasslav Salajka 9 ze poží jý posp záps Zaveďme d Alembeovy síly sevačé síly F fi F f ma I Rovce dyamcké ovováhy 4 Sesaveí pohybové ovce (dskéí sosava) bzeí slam vyží. Newoova zákoa Předpoklady Poze svslý pohyb, ehmoá pža a lmč, odpo vzdch zaedbá, Vlasslav Salajka 9 Posp F x m& Slový dagam p f S f D p ( ) k ( & ) c& f S k f D c p vlasí íha p() vější síla m& Pohybová ovce zapsaá v závslos a absolí sořadc () Vlasslav Salajka 9 m&& c& k p p( )

15 m& c& k p Dále s p k p( ) sacká výchylka Vlasslav Salajka 9 Nehomogeí obyčejá dfeecálí ovce dhého řád s kosaím koefcey! je posí sosředěé hmoy (závaží) vůč sacké ovovážé poloze s 5 Celkové posí s Po dosazeí do pohybové a úpavách m&& c& k p ( ) Pohybová ovce zapsaá v závslos a Vlasslav elaví Salajka sořadc 9 () Odvozeí pohybové ovce kyvadla Podle. Newoova zákoa M & θ I M θ k θ θ M p sθ I && θ, θ kde I I G m je hmoý modl sevačos Pohybová ovce zapsaá v závslos a elaví sořadc θ () Vlasslav Salajka 9 ( I m )& θ kθθ p sθ G

16 Vlasslav Salajka 9 Sesaveí pohybové ovce (dskéí sosava) bzeí slo a pohybem základ - vyžje se d Alembeův posp Slový dagam a d Alembeův pcp Vlasslav Salajka 9 Po ozepsáí sl m && c & z& k z 6 Předpoklady: Sejé jako v předchozím příklad Sosředěá hmoa se beze řeí může pohybova poze ve smě výchylky. Na počák děje je pža eapjaá, edy z. Fkce pohyb základ z() je záma. Posp F p( ) f f m& x S D ( ) ( ) p( ) Pohybová ovce zapsaá v závslos a absolí sořadc () vzhledem k ecálí efeečí sosavě m && c& k cz& kz p( ) Časěj vedeá ovce přepsje v elavích sořadcích z. Po dosazeí za z m c k p( ) mz Vlasslav Salajka 9 Pohyb základ se pojevje přdáím evezích sevačých sl & & p eff () & m z&

17 Vlasslav Salajka 9 Aplkace pcp válích přemísěí k dskéím model s jedím spěm volos Základí pojmy a) Sořadce (přemísěí) je hodoa požívaá po čeí změy kofgace sysém b) Omezeí (vazba) je kemacké omezeí (vazba) v sysém c) Válí přemísěí jso fesmálí magáí (smyšleé) změy kofgace sysém, keé jso kozseí s omezeím (vazbam) Příklad Poměé posí (sořadce) a v jso závslé (ehmoá abs. há yč) lze je vyjádř pomocí jedé poměé úhl Vlasslav Salajka θ 9 cosθ a v sθ ( θ δθ ) ( sθ cosδθ sδθ cosθ ) v δv s Válí změa δθ je fesmálí cosδθ v δ v sθ cos( θ )δθ a sδθ δθ Omezjící ovce v 7 Válí změa δ v cos( θ )δθ δ, δv jso dfeecály vedeých fkcí Obdobě válí změa δ s( θ )δθ Vlasslav Salajka 9 θ héa

18 d) Moža zobecěých (geealzovaých) Vlasslav Salajka sořadc 9 je moža leáě ezávslých sořadc přemísěí, keé jso kozseí s omezeím a popsjí 8 lbovolo kofgac sysém; ozačjí se q (,..., N) -spňové sosavy. e) Válí páce dw je páce sl a válích přemísěích δw Q δq, kde Q jso zobecěé (geealzovaé) síly Příklad: Učee válí pác sl působících a hý osík δw p ( x, ) δv( x, )dx N δw p x p x, p f Vlasslav Salajka 9 ( ) ( ) ( ) ( ) p f δθ p f xf xδθ dx 3 ( ) ( ) 3 δθ δv xδθ Zobecěá síla (mome) Q θ (f) Pcp válích přemísěí - obdobě jako ve sace, s ím ozdílem, že je o važova sevačé síly Pcp válích přemísěí lze zapsa ve va δw δw f δw Po lbovolé válí přemísěí sysém válí páce skečých sl a sevačých sl je ova le Vlasslav Salajka 9 If

19 Vlasslav Salajka 9 Příklad: Sesave pohybovo ovc sosavy SV s vyžím pcp válích přemísěí Jedá poměá θ δw 9 δw fs I I P D δθ 3 ( aδθ ) f δθ M ( δθ ) f δθ f ( ) Vlasslav Salajka 9 p f S kaθ & θ m f f f ( ) f & I M & θ P D cθ m I m 3 && θ Válí změa v mísech eakcí je ova le, podmíka kozsece Reakce A x a A y se v ovc eplaí. ( c )& θ ( ka ) p θ 3 f ( ) δθ δθ Pohybová ovce m 3 && θ p ( c )& θ ( ka ) θ f ( ) 3 Pcp válích přemísěí Vlasslav Salajka 9 [ F( q&&, q&, q, ) ] δq

20 Vlasslav Salajka 9 Aplkace pcp válích přemísěí ke spojým modelům V předchozí čás byl aplková pcp válích pací a hé ěleso v ově Ve skečos osík je poddajý spojý model a pops poddajos je možý zavedeím vybaých fkcí apoxmjících chováí osík V omo případě hovoříme o sesaveí zobecěého paameckého model spojého sysém. Defjme další pojmy: a) Spojý (koálí) sysém je akový sysém, jehož defomace je popsáa jedo ebo více fkcem jedé, dvo, ří posoových sořadc a čas b) Geomecké okajové podmíky Vlasslav jso Salajka kemacká 9 omezeí (posí, pooočeí) a čás hace ělesa (model) c) Válí přemísěí spojého sysém je fesmálí magáí změa kofgace sysém popsaá fkcem přemísěí a je kozseí se všem geomeckým okajovým podmíkam Vlasslav Salajka 9 Fkce půhyb v(x, ). v δv (, ) v (, ) v(, ) (, ) δv (, ) δv(, )

21 Vlasslav Salajka 9 d) Přípsá fkce keá vyhovje geomeckým okajovým podmíkám sysém Fkce msí mí devace ejméě do řád vyskyjícího se ve výaz po eeg defomace sysém e) vaová (apoxmačí) fkce je přípsá fkce po apoxmac defomací spojého sysém. v ( x, ) ψ ( x) v( ) f) Pcp válích přemísěí δw δw f δw If v případě spojé (koálí) poddajé sosavy je doplě o čle zahjící válí změ poecálí eege defomace Vlasslav δv, ebol Salajka jak 9 válí pác kosevavích sl δw c δ Wf δwc δwc, kde δ V δw c Poom δw δwc δv δwif V osov AE ( ) dx V ohyb ( v ) EI dx δv osov ( AE ) δ dx Vlasslav Salajka 9 δv ohyb ( EIv ) δv dx

22 Vlasslav Salajka 9 Elemeáí příklad: Sesave pohybovo ovc po pohyb osík v podélém smě Předpoklady: eáě pžý osík kosaího půřez A Maeálové vlasos E a ρ kosay Okajové podmíky: (,), ψ() x Výbě vaové (přípsé fkce): ψ ( x ) x x ( x, ) ( ) δ ( x, ) δ ( ) δw δwc δv δw Pcp válích posí If Válí páce (ekozevavích Vlasslav vějších Salajka sl) 9 AE ρa P( ) && δ W c P( ) δ(, ) P( ) δ P( ) δ 3 δ Válí změa poecálí eege defomace δv Pohybová ovce m && k δv δ W If ( AE ) δ dx AE Válí páce sevačých sl ρa&& δ ρa 3 δ dx ( ρa& ) δdx x dx & δ ( x, ) ψ ( ) ε x AE δ d dx Vlasslav Salajka 9 ρa && 3 AE ( ) P( ) x p( ) Vyčíslí se ( x, ) ( ) ( ) ( ) & &

23 Zobecěí Vlasslav Salajka 9 v fkce půhyb v(x,) ψ(x) v( ) m v&& cv& kv 3 ( ) p δw δwc δv δw ( x, ) δv( x ) δ Wd c v&, δ W δ c d W d cψ cv& δv c ψ ( x ) v& δv Zobecěý koefce úlm ( x, ) δv( x, ) dx P δv ( x ) δ Wp p j, δ p W p p ( ) δv ( ) p( x, ) ψ ( x) dx P j ( ) ψ δ W If ( ρav& ) δvdx m v& ( x ) δv( x ) δ WIf ρaψ x dx msψ x δ W If mv& δv Vlasslav Salajka 9 δv δ V b b m ρ Aψ EI v δv dx EI Zobecěá vější síla k EI ψ x dx Vlasslav Salajka 9 s ( ) ( ) v& δv ( x) dx m ψ ( ψ ) dx v δv δ V s s δv b s s s s & ( x, ) δv( x ) δ Vs k v δv k v, δ V s kv δv k ψ v δv [ ( )] k ψ Zobecěý koefce hmoos Zobecěý koefce hos

24 Vlasslav Salajka 9 3 VONÉ (VASNÍ) KMIÁNÍ SOUSAVY S SV Pohybová ovce Sosředěá hmoa může koa jedý přímočaý ebo oáčvý pohyb Pohyb je popsová fkcí (výchylky) posí () m && c& k p( ) ( ) s počáečím podmíkam a &( ) & Cílem je č odezv a působeí bdcí síly p() př zadaých počáečích podmíkách včase Vlasslav Salajka 9 Je-l a počák sosava v kld ( ) a & ( ) Pohybovo ovc pavíme a va (:m) p( ) k ω k && ζω & ω, kde ω m ebo ζ c k, kde c mω c c ω ω - elmeá vlasí úhlová fekvece [ad s - ] ζ - paame vskozího lmeí (poměý úlm) [ ] c c - koefce kckého lmeí Vlasslav [N.s.m Salajka - ] 9. c ω m k km 4

25 Vlasslav Salajka 9 Rovce je leáí obyčejá dfeecálí ovce dhého řád s kosaím koefcey Řešeí éo ovce, ebol jak celková odezva (), sesává ze dvo čásí ( ) ( ) ( ) p čás, p () odpovídá působeí síly p() - poom se mlví o vyceém kmáí čás řešeí c () odpovídá volém (vlasím) kmáí Z maemackého hledska celkové řešeí dfeecálí ovce sesává a) z obecého řešeí c () b) z pakláího řešeí p () Volé (vlasí) kmáí p() Vlasslav Salajka 9 Řešeí ovce c Z ovce && ζω & ω ζω s s Ce ( s s ) Ce ω 5 Po všechy hodoy plaí chaakescká ovce s ζω s ω. Vlasslav Salajka 9

26 Vlasslav Salajka 9 Volé kmáí elmeé sosavy ζ s SV chaakescká ovce & ω s ω s kořey ovce ζωs ω s, ± ω 6 Řešeí v komplexích číslech ω Ce C e ω S vyžím Eleovy ovce ± θ e cosθ ± sθ Řešeí vyjádřeo pomocí goomeckých fkcí A cosω A sω A, A - egačí kosay se získají z počáečích podmíek Vlasslav Salajka 9 A & & A ω ( ) ( ) & cosω sω ω jedodchá hamocká fkce kmáí f π ω ω π ( ) &( ) & ( ) & ( ) - peoda elmeé sosavy [s] π f - elmeá vlasí Vlasslav fekvece Salajka (kmoče) 9 [Hz] ω

27 Rojící veko & cosω sω ω Vlasslav Salajka 9 U & ω 7 α ( ) ( ) U cos ω α U cosω ω aα & ω θ C Ce Závěy C R C I Vlasslav C C R Salajka C 9 Vlasí úhlová fekvece ω je závslá poze a hos sosavy k a hmoos sosavy m Velčy ω, f a ejso závslé a ampldě kmáí - kmáí elmeé sosavy je pohyb zochoí, eboť se jedá o hamocké kmáí sejé fekvece Fekvece f je a změ paameů k a m málo clvá vzhledem k odmocě ve výaz Je-l o sosav fekvečě přelad, lze o ealzova změo hos a hmoos sosavy Mě hmoos m sosavy je pakcky ěžko povedelé, edy přeladěí sosavy se zpavdla ealzje změo hos k ( ) ( ) I C R C cosθ C I C sθ Vlasslav Salajka 9

28 Vlasslav Salajka 9 Volé kmáí vskózě lmeé sosavy s SV Kmáí sosavy s vskozím lmeím && ζω & ω Pohybové ovc odpovídá chaakescká ovce ζ 8 s ζω s ω s, ζω ± ω ζ Podle možých kořeů dosáváme řešeí vlasího kmáí Paame, keý výzamě ovlvňje způsob pohyb lmeé jedospňové sosavy je poměý úlm ζ Vlasslav Salajka 9 V závslos a velkos ohoo paame ozlšjeme ř případy:. lmeí je malé < < ζ - podkcký úlm. Poměý úlm 3. Poměý úlm ζ ζ > - kcký úlm - adkcký úlm Vlasslav Salajka 9

29 . Podkcký úlm ζ < s, ζω ± ω d dva kořey Vlasslav Salajka 9 s ζω ± ω ζ, 9 ω d ω ωd f d π π d f ω d ζ d - lmeá vlasí úhlová fekvece [ad s - ] - lmeá vlasí fekvece (kmoče) [Hz] - peoda lmeé sosavy [s] Pohyb z počá. podmíek ζω ( ) e ( ) U A cosω A s ω Vlasslav Salajka 9 d & ( ) ζω e ζω cosωd sωd ωd ebo ζω ( ) Ue ( ω α ) aα & cos d & ζω ωd ζω ω d Sosředěá hmoa vskózě lmeé sosavy koá hamocký pohyb Amplda klesá podle expoecálí fkce, v čase, je ova le, pakcky př / Časový půběh výchylky věšo dobře sohlasí se skečo Fekvece kmavého pohyb ω d ω ζ se eměí V pakckých případech ozdíl ve fekvecích je ak malý, že jej časo zaedbáváme Vlasslav Salajka 9

30 Vlasslav Salajka 9. Kcký úlm ζ s ζω ± ω ζ s ζω jede koře, 3 ζω ( ) ( C C ) e ζω ( ) [ ( ξω ) ] e & Nedochází k osclacím! 3. Nadkcký úlm ζ > Vlasslav Salajka 9 Dva zápoé kořey ζω ( ) e ( C C ) ˆ ω sh ˆ ω ˆ ω ω ζ cosh Nedochází k osclacím! C a C se čí opě z počáečích podmíek lmeí savebích koskcí malé poměý úlm ζ (,3,) Vlasslav Salajka 9

31 Učováí lmcích paameů Vlasslav Salajka 9 Meoda logamckého dekeme úlm Meoda polovčí ampldy 3 Meoda logamckého dekeme úlm Na počák cykl Na koc cykl Jejch pomě ( ) ( ) δ ogamcký dekeme je bezozměéčíslo, keým se vyjadřje eza vskózího lmeí, eboť ezávsí a ychlos kmáí d Vlasslav Salajka 9 úlm Vzah mez logamckým dekemeem úlm a paameem lmeí ζ (poměým úlmem). Př expemeálím zjšťováí úlm se bee včase pomě výchylek od sebe vzdáleých o k celých cyklů, poom přjdeme k důležém vzoc Ue Ue ( ) ζω ( ) d l δ ζω δ e e ζω ζω ζω l l k Vlasslav Salajka 9 ξω d d e ζω πζ ζ δ & πζ ζ & d d δ π d ( ) ( k ) d π ωd ω ζ & π ζ l π kζωd kδ

32 Volé (vlasí) kmáí sosavy Vlasslav s SV s Salajka úlmem 9 vyvolaým smykovým řeím Na pohybjící se čás model působí řecí síla f D směřjící po pohyb f µ N D k µ k mg 3 Pohybová ovce f S f D m& m& k µ mg, po & > k m&& k model slový dagam µ mg, po k & <. Nechť µ k g D fd k ω poom && ω ω, po && ω ω Po zavedeí sbsce && ω ˆ, po Vlasslav Salajka 9 & & > < ( ) ( ) ˆ Vlasí kmáí sosavy Půběh pohyb př schém řeí Mez jedolvým kajím poloham vzdáleým o půl peody je pohyb hamocký se skokově posým sředem Chaakesckým ysem ohoo pohyb Vlasslav je leáě Salajka klesající 9 amplda

33 Vlasslav Salajka 9 ODEZVA SOUSAVY S SV NA HARMONICKÉ BUZENÍ - zaížeí je možé popsa pomocí hamocké fkce (s, cos) Odezva elmeé sosavy s SV a hamocké bzeí Fkce bzeí p( ) p cosω p amplda bdcí síly Ω je úhlová fekvece bdcí síly (získá se z oáček za m) Pohybová ovce m&& k Vlasslav p cosω Salajka 9 - vyceé kmáí ( hamockého bzeí sáleá odezva) p U evývažky očvých sojů, obékáí koskce podem eky (kapala, ply), sychoím pohybem osob po mosí koskc a pod. Řešeí pohybové ovce Řešeí se skládá z vlasího kmáí c a z vyceého kmáí p U cosω p k mω za podmíky ( k mω ) p Nechť U k je sacká výchylka poom & p UΩ H ( Ω) cosω U U H( Ω) po dosazeí do zjsíme, že Ω 33 Vlasslav Salajka 9 je fekvečí pomě ω 4 Fkce fekvečí odezvy v absolí hodoě dyamcký sočel sáleého kmáí

34 Vlasslav Salajka 9 D s H(Ω) fako zesíleí př sáleé odezvě - dyamcký sočel 34 Po < Po > p p U U cosω ( ) ( cos Ω ) - podezoačí kmáí ( ) < Vlasslav Salajka 9 U ( ) p( ) c( ) cosω A cosω A sω U Ω & sω Aω sω Aω cosω && UΩ cosω Aω cosω Kosay A a A možé vyčísl z počáečých podmíek ( ) & Vlasslav & ( ) Salajka 9 odezva p je ve fáz s bzeím p() ( ) > - adezoačí kmáí A ω sω p je v pofáz (8 ) s bzeím p()

35 Příklad Vlasslav k Salajka 4 9 N m - m kg Vyčíslee odezv a bzeí hamocko slo Bdcí síla ( ) cos( ) p Počáečí podmíky & 35 p Řešeí Ω Výpoče kosa A a A U U cosω A cosω A sω U ( ) A A UΩ & sω Aω sω Aω cosω & ( ) A ω (mm) 3 U,5 U U Vlasslav Salajka 9 cosω cosω (,5 ) (s) Číselě ω U p k m k 4 4 Ω,5 ω, 5 ( ) ad s -,5-3 m,5 mm Dyamcký sočel sáleého kmáí,333 - Výsledá odezva se skládá z pohyb od působeí sl a pohyb př vlasím kmáí Výsledá odezva eí jedodchým hamockým pohybem Usáleá odezva je ve fáz s bzeím ( < ). Maxmálí hodoa odezvy je věší ež fako zesíleí (dyamcký sočel) sáleého sav kmáí Vlasslav Salajka 9 Úplý dyamcký fako zesíleí 3,333-3 m 3,333 mm [ ( ) cos( ) ] 3,33 cos ( ) Ds max,666 U

36 Rezoačí kmáí p U Vlasslav cos Ω Salajka 9 eplaí po fekvečí pomě Bdící fekvece f b Ω/π Vlasí fekvec f ω /π 36 Amplda kmáí po oblas blízké pdce ose po eí její eoecká hodoa sosav bez lmeí koečá Př asává ezoačí kmáí! Pakcky ezoačí oblas,7 < <,3 Pohybová ovce v případě ezoace p C C sω p mω Odezva za ezoace m&& k p Vlasslav Salajka 9 p cosω ( U ω ) sω Amplda kmáí ose leáě jako fkce čas Může asa samobzeí koskce Vlasslav Salajka 9 Podezoačí Nadezoačí oblas oblas Rezoačí oblas

37 Odezva vskózě lmeé sosavy Vlasslav s Salajka SV a 9 hamocké bzeí Sosava s SV je lmeá odpovídá více eálém chováí koskcí. 37 Pohybová ovce v případě hamockého bzeí m&& c& k p & p p U cos( Ω α ) ΩU s( Ω α ) cosω && p Ω U cos( Ω α) Vlasslav Salajka 9 U je amplda sáleého kmáí α je fázový pos Usáleá odezva jž eí ve fáz ebo pofáz s bzeím což je zapříčěo lmeím Gafcké vyjádřeí v komplexí ově mω U cos( Ω α ) cωu s( Ω α ) ku cos( Ω α ) p cos ( ku mω U) ( cωu) p cω aα Vlasslav Salajka k mω 9 ( Ω ) c jedolvé složky jso ojící vekoy v éo ově Slový dagam

38 Vlasslav Salajka 9 Fako zesíleí dyamcký sočel př sáleé odezvě D s U U ( ) ( ζ ) Úplá odezva p c U ζω ( ) cos( Ω α ) e d ( ) ( ζ ) [ A cos( ω ) A s( ω )] Usáleá odezva Vlasí kmáí Vlasslav Salajka 9 Kosay A a A se čí z počáečích podmíek Pohyb odpovídající vlasím kmáí včase zake Po zák vlasího kmáí sosava kmá sáleým kmáím Velkos fázového posí d ζ aα D s ( ) 38 Dyamcký sočel za ezoace ζ 4 ( ) 3,cos(,6 ) e [ 3,cos ( 9,6 ),s ( 9,6 )] Vlasslav Salajka 9

39 Vlasslav Salajka Pozámky 9 po případ sáleé odezvy Odezva p U cos( Ω α ) a bzeí p( ) p cos( Ω ) Ampldo fekvečí závslos (chaakeska) Vlasslav Salajka 9 jso fázově posy 39 Pohyb podle ovce p U cos( Ω α ) je pohyb hamocký se sejo fekvecí jako fekvece bzeí Amplda sáleé odezvy je fkcí jak ampldy a bdcí fekvece, ak vlasí fekvece a lmeí (dochází ke zpožděí α/ω) ( ) D s. ζ Dyamcký sočel za ezoace ( D s ) ζ je lmová poze úoví lmeí U savebích koskc je lmeí malé msíme vyloč vzk ezoačího kmáí ebo síž kmáí za ezoace (lmče kmů) Vlasslav Salajka 9 Fázový pos v závslos a úov lmeí

40 Vlasslav Salajka 9 Fekvečí odezva v komplexích číslech Výchozí pohybovo ovc lze ozlož jako pojekce do osy R a osy I. Předpokládá se, že pohyb odpovídá sáleém kmáí. Rovce po pohyb ve smě osy R m&& R c& R kr p cos( Ω ) Rovce po pohyb ve smě osy I m&& c& k p s( Ω ) Usáleá odezva R U cos( Ω α) I U s( Ω α) x I I I 4 m && c & k p pe Ω Odezva R I Vlasslav Salajka Ω 9 Usáleé kmáí hledáme ve va Ue U H U Ω) U ( H ( Ω) ( k mω ) cω U U p Fkce fekvečí odezvy v komplexích číslech ( ) ( ζ ) Fako zesíleí př sáleé odezvě (dyamcký sočel) ( ) ( ζ ) Pohybová ovce zapsaá v komplexích číslech aα ζ Vlasslav Salajka Slový dagam 9 I R Jedolvé složky jso ojící vekoy Ω Ue & && ΩUe Ω Ω Ω ( Ω) Ue Ω

41 a) Slový přeos. Síla je přeášea Vlasslav přes Salajka pž 9 a lmící čle do pevého chyceí (základ) - jako příklad lze vés přeášeo síl do podzákladí př kmáí základ se sojem (soj geeje hamocké bzeí od evývažk oo) b) Bzeí pohybem základ (podepřeí). Pohyb hmoého ělesa ve spojeí pomocí pžy a lmče s pohybjícím se základem (podepřeím) - apříklad se jedá o sáleé kmáí koskce (hmoého ělesa) přpojeé pomocí pžy a lmče k vbačím sol, keý koá hamocký pohyb Slový přeos f po dosazeí sáleé odezvy fs fd k c& a devace & Vlasslav Salajka 9 Ω f k cω Ue f f ( ) ( k ) ku cω U ( ) ( ζ ) e ( ζ ) ( ) ( ζ ) Koefce přeos Ω ebo R Ω ( e, B A B A ) [ ( ζ ) ] - pomě ampldy dyamcké síly f k síle p kde p ku Vlasslav Salajka 9 f ku D S ( ζ ) f ku ( ) ( ζ ) e Ω R U/Z 4

42 Vlasslav Salajka 9 Bzeí pohybem základ (podepřeí) Pohyb základ (podepřeí) je popsá aalycky pomocí hamocké fkce Pohybová ovce m && c& k cz& kz Ω ( k cω) Ze z Z cos ( Ω) 4 Pohybová ovce zapsaá pomocí elaví sořadce w z Ω mw&& cw& kw mz& Ω mze Usáleá odezva po oba zápsy pohybových ovc Ω Ue Ω w We Vlasslav Salajka 9. Fkce komplexí fekvečí odezvy H H U Ω) Z k cω cω ( k mω ) ( W Ω) Z mω ( ( ζ ) ( ) ( ζ ) ( k mω ) cω ( ) ( ζ ) Fako zesíleí (dyamcký sočel) př sáleé odezvě a kemacké bzeí D z s U U D ( ) z W W s ζ D Ds Z Z Z Z s Vlasslav Salajka 9 D s ( ) ( ζ )

43 Po aalýze ěcho půběhů lze Vlasslav č yo Salajka závěy: 9. Př bzeí pohybem s fekvecíω, keá je výazě meší ež vlasí fekvece ω sosavy, j. př <<, je elaví pohyb ělesa vůč základ malý. ěleso se pohybje se základem. Za ezoace, j. kdyžω ω, př malém pohyb základ vzkají velké ampldy elavího pohyb ělesa. Poze lmící síly lmjí ampld pohyb 3. Př bzeí pohybem s fekvecíω, keá je výazě věší ež vlasí fekvece ω sosavy,j. př >>, sevačé síly pohybjícího se ělesa jso ak velké, že elaví pohyb sesává z pohyb základ vzhledem ke sledovaém ěles. ěleso se pakcky epohybje. 4. Z vedeé eoe vychází ávh přísojů po měřeí vbací. Vlasslav Salajka 9 43 Přísoje lze ozděl do dvo skp podle aladěí vůč kmající koskc V případě, že výsp je popocoálí pohyb podklad (koskce) (msí mí velko fekvec), ω <<Ω jedá se o vbomey Naopak, je-l výsp popocoálí zychleí podklad (koskce) (věší vyží) << D S, jedá se o akceleomey Vlasslav Salajka 9 3D MEMS akceleome

44 R ODEZVA SOUSAV S SV NA Vlasslav SPECIÁNÍ Salajka PŘÍPADY 9 BUZENÍ Odezva vskózě lmeé sosavy s SV vyvolaá áhlým účkem zaížeí sálé velkos m & c& k Celkovéřešeí p c Pohybová ovce - lmeá sosava Vlasslav Salajka 9 Po dosazeí počáečích podmíek p ζω ζω e cos ω d sωd k ωd Po p max p ( ) ( ) R e ζω ( ) p( ) p Sosava je v čase před přložeím zaížeí v kld ( ) ( ) Pakláí řešeí cos ωd ( ) k k max p max p p ζω Obecéřešeí po ζ < e [ A ( ω ) A s( ω )] Pomě odezvy (dyamcký sočel zaížeí) c k cos d ζω s ωd ωd Vlasslav Salajka 9 & d p R max 44 ( ) ( cos ω ) k 5 R() je sacká ovovážá poloha Nelmeá sosava

45 Odezva elmeé sosavy s SV Vlasslav a úček Salajka obdélíkového 9 mpls Z předchozího případ vyplývá, že maxmálí ozkm asae během polovy cykl a) Je-l d > maxma je dosažeo během působeí zaížeí b) Je-l < d maxma je dosažeo během dokmáváí. 45 Půběh odezvy je o řeš jako odezv po časovo oblas, kdy působí zaížeí, a kdy jž zaížeí epůsobí. Vlasslav Salajka a) Odezva a zaížeí áhlým účkem sálého zaížeí 9 v časové oblas d p k b) Odezva v čase > d - zaížeí epůsobí dochází k dokmáváí Vlasí (volé kmáí) př počáečích podmíkách ( d ) a & ( d ) & ( ) ( ) ( ) ( d ) d cosω d sω ( d ) R max ω R ( ) ( cosω ) R( ) cosω Př ( R ) R max R& d R d cosω d ( d ) Vlasslav sω Salajka 9 ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ R ( )] d R& ( ) ω d π / d ( R ) s max

46 Odezva elmeé sosavy s Vlasslav SV a zaížeí Salajka od 9 počák leáě osocí do hodoy p a dále sále působící p,, m& ( ) & ( ) k p,. Po p pakláí řešeí p k p Pohybová ovce A ( ) A ( ) ω s ω k cos Vlasslav Salajka 9 Po zavedeí počáečích podmíek po časovo oblas p sω k ω Po časovo oblas p k ω [ sω ( ) sω ] Maxmm odezvy R max, když Vlasslav se Salajka 9 blíží le 46 Je-l >> poom dyamcká odezva přechází ve sacko odezv psedosa p k

47 Odezva elmeé sosavy s Vlasslav SV a kákodobý Salajka 9 mpls Na sosav působí síla velké ezy velm káko dob m&& k m& p,, ( ) k I d p d d. d, ( ) ( ) & d << p je (malá) půměá hodoa přemísěí v časovém eval I Počáečí podmíky v čase Vlasslav Salajka & 9 m h e Vlasslav Salajka 9 mω Impls síly I d d m & Př d, j. d <<, dhý čle v levéčás ovce lze zaedba ( ) I ( ) ( ) cosω sω & ω Po egac počáečí podmíky ( ) ( ) Odezva a jedokový mpls I elmeá sosava h mω s ω ( ) ( ) Odezva lmeé sosavy I mω I mω s ω ( ) ( ) Odezva a jedokový mpls I ζω ( ) e s( ωd ) ζω ( ) s( ω ) d 47 p ( ) d

48 Příklad: Dokaže, že ovce po Vlasslav řešeí elmeé Salajka 9 sosavy s SV a úček obdélíkového mpls se bde shodova s odezvo a kákodobý mpls v případě d << p ( ) [ cos( ω )] Řešeí: Ke koc působeí zaížeí d k ωp Devace podle čas & ( d ) s( ωd ) k Poože plaí ω π poom po d << plaí ω d << π Fkc cos ozložíme do řady a [ cos( ω )] ( ) d ωd požjeme pví dva čley řady Po malé hodoy agme ω Vlasslav d plaí sω Salajka 9 ω Impls I po kosaí síl je ove p d & I m d ( ) ( ω ) d p d k ( ) ( ω ) d d ω p k I m I d I lm cos[ ω ] d s[ ω ( d )] d m mω Vlasslav Salajka 9 ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d d I mω s ω d ( ) ( ) α α α cosα...! 4! 6! α α α sα α... 3! 5! 7! & ( ) d d cosω d sω ω ( ) d

49 Odezva sosav s SV a obecé Vlasslav dyamcké Salajka bzeí 9 Podsaa meody řešeí dyamcké odezvy sosavy s SV a obecé bzeí vychází z fkce odezvy a mplsí zaížeí a vyžívá pcp spepozce. d di ω m ( ) s[ ω ( τ )] mωd d ( ) p( τ ) s[ ω ( τ )] dτ di p( τ ) dτ Úplá odezva v čase je sočem odezev a všechy elemeáí mplsy ( ) p( τ ) h( τ ) dτ & Vlasslav Salajka 9 Po elmeo sosav a počák v kld ( ) ( ) ebo Dhamelův egál popřípadě kovolčí egál 49 6 kde h ω m ( τ ) s[ ω ( τ )] Výpoče odezvy () se povádí specálím Vlasslav Salajka meckým 9 pospy

50 Vlasslav Salajka 9 Po elmeé sosavy s elovým počáečím podmíkam mω & ω ( ) p( τ ) s[ ω ( τ )] dτ cos( ω ) s( ω ) 5 Po lmeé sosavy s elovým počáečím podmíkam mω d ζω ( τ ) ζω ( ) p( τ ) e s[ ω ( τ )] dτ e cos( ω ) ω d ζω ( & ζω ) e s( ). d ωd Vlasslav Salajka 9 Spekm odezvy je gaf maxm odezvy (posí, zychleí, apěí ad.) jedospňové sosavy a zadao fkc bzeí v závslos a ěkeém paame - ejčasěj a vlasí fekvec (peodě) Speka odezvy se sesavjí po ůzé úově lmeí sosavy d Spekm odezvy elavího posí Vlasslav Salajka 9

51 Nmecké řešeí dyamcké odezvy Vlasslav sosavy Salajka 9 s jedím spěm volos Nmecké řešeí založeé a apoxmac devací přímá egace pohybové ovce Exsje sposa pospů jak devace apoxmova a ím získa egačí schéma Pospy (meody) vycházejí z předpoklad, že čas se dskezje - oblas řešeí se ozdělí a koečý poče časových úseků Řešeí získáme pomocí egačích schéma poze ve vybaých dskéích časových okamžcích - koková egace pohybové ovce sep by sep Meoda půměého zychleí - Newmakova meoda (β /4) Vlasslav Salajka 9 Pohybová ovce m && c& k p( ) Počáečí podmíky & Devace podle čas se ahadí přblžým vyjádřeím Předpokládá se, že v časovém kok je zychleí půměem hodo v čase a v čase Zychleí v eval,, v čase τ ( ) ( && & ) & τ Vlasslav Salajka 9 5 7

52 . Po egac Vlasslav Salajka 9 Rychlos & & ( && & ) Výchylka Změa za časový úsek p,, & a 4 p p p & Pohybová ovce m && k * c & p * k p Po dosazeí do pohybové ovce Vyčíslí se kde k ( & ) & Vlasslav c m Salajka 9 * a p 4 * k Po dosazeí do ovc se vyčíslí & a & & 4 & & & p & & ( && & 5 ) 4m c& m&, Nakoec & & & && & & a jde se a další kok Získaéřešeí je přblžé a přesos je závslá a výbě velkos egačího kok Dopočje se vol časový kok z podmíky je ejmeší peoda bzeí aebo vlasí Vlasslav Salajka 9 peoda sosavy

53 Odezva sosavy s jedím spěm Vlasslav volos Salajka a 9 peodcké bzeí Fekvečí aalýza. Odezva a peodcké bzeí. Foeův ozvoj v eálých číslech 53 8 Zaížeí, keé se měí s peodo ( ) p( ) p Peodcké bzeí s peodo Zaížeí lze ozlož a soče hamockých zaížeí! Rozklad fkce do Foeovy řady p ( ) ( ) ( ) a a cos Ω b Vlasslav s Ω Salajka 9 kde a Ω π, a a b jso koefcey -é hamocké složky τ p d τ ( ) a τ τ p ( ) cos( Ω ) d b τ τ p ( ) s( Ω ) d kde τ je lbovolý čas Uspokojvé přesos v apoxmac fkce zaížeí lze dosáho př elavě malém poč čleů řady Vlasslav Salajka 9

54 Vlasslav Salajka 9 Příklad: Vyjádřee výazy po koefcey Foeovyřady popsjící fkc Vykeslee gafy po, a 3 čley Foeovyřady a p ( ) peoda d 54 a p( ) cos( Ω ) d b p( ) s( Ω ) kde p ( ) a a p p po po < <, < < Vlasslav. Salajka 9 Po úpavě a vyčísleí výše vedeých vzahů b 4p b s( Ω ) d b cos( Ω ) p π π [ cos( ) ] 4p,, 3, 5,... π b ebo p 4p p s Ω π,3,... Vlasslav Salajka 9 d 4p Ω Ω π b s Ω ( ) ( ) ( ) ( )

55 Příklad: Učee sáleo odezv Vlasslav sosavy Salajka a peodcké 9 obdélíkové zaížeí s ω 6Ω Řešeí: Po sáleo odezv př hamockém bzeí p cos( Ω ) 55 p k Ω cos( Ω ) Ω m k ω 4p p P s Ω P π ( ) ( ) k ypcký čle sáleé odezvy P ( ) Ω Usáleá odezva U s( Ω ) kde U kπ 4p ω [ ( Ω ) ] ω po lché po sdé Vlasslav Salajka 9 P p 4 π po lché po sdé Po lché čley 4p kπ,3,... ( Ω ) ( Ω ω ) s [ ] U p π k [ ( 6) ] Vlasslav Salajka 9 4 po lché po sdé

56 . Odezva a peodcké bzeí. Vlasslav Foeův Salajka ozvoj 9 v komplexích číslech Komplexím Foeův ozvoje zaížeí ( Ω ) ( ) P e p Plaí vzah Poom P τ τ e τ τ p ( Ω ) ( mω ) e ( Ω ) ( ) e d Usáleá odezva v komplexích číslech Ω Ω Vlasslav ( ) Salajka 9 k ( ) Ue H ( Ω) p e kde H Ω Ω ω ζ Vlasslav ζω Salajka ω 9 56 Ph ad P kazje, jso koefcey řady moho bý komplexí d,, ±, po po P m m * P Po vyásobeí ovce komplexě sdžeé k [ ( ) ] ( Ω ω ) Peodcké bzeí popsaé komplexí Foeovo řado ( ( Ω ) ) P e p Usáleá odezva ( Ω ) ( ) U e ( α ) H P U H P H P e α kde a H ( Ω) k [ ( Ω ) ] ( ) ω Časová oblas p( ) ( ) P a P ( mω ) e τ p( ) d P U τ Fekvečí oblas

57 Maemacké modely spojých Vlasslav sosav Salajka 9 9 Sosavy s ekoečým počem spňů volos - kom Pops s požím ovc pžos v každém bodě 3 složky posí 57 U posoové poddajého ělesa v poso 3x spňů volosí Sesaveí pohybových ovc (spojá sosava) vyží. Newoova zákoa Podélě amáhaý p osovým slam p(x,) Výchozí předpoklady: a) půřezy zůsávají po defomac ové b) maeál je leáě pžý, c) maeálové vlasos (E, ρ) jso Vlasslav kosaí Salajka v půřez, 9 ale moho se mě př změě sořadce x ε d d Plaí: σ x x Eε x P Aσ x P AE dx dx Newoův záko F x ( m) a x p x P( x x, ) P( x, ) ρa x / x Slový dagam P( x x, ) P( x, ) lm p ρa x x P x p ρa Vlasslav x Salajka AE p A 9 ρ x x

58 ypy okajových podmíek v Vlasslav mísě x Salajka x 9 e Slová okajová podmíka volý ezaížeý koec Kemacká okajová podmíka volý ezaížeý koec Kemacká okajová podmíka eposvý koec Další možos Příklad: Učee okajové podmíky v mísě x po případ a) Na volém koc je sosředěá hmoos m Pohybová ovce po přpojeo Vlasslav sosředěo Salajka hmoos 9 P (, ) m x (, ) AE x x Dále plaí Nakoec P AE x AE d dx m P x x b) Koec p je pžě opře - leáí pža s hosí k P ( x, ) e x x e ( x, ) e 58 Síla v pžě (, ) k( ) P, AE k x x, Vlasslav Salajka 9 Poom vz plaí ( )

59 Příčé kmáí leáě pžých Vlasslav pů (Beollho Salajka 9 Eleova eoe) Beollho Eleovy předpoklady: a) osa osík je eálí oso eí ozahováa a slačováa b) příčé půřezy jso ové a kolmé k eálí ose jak před defomací, ak po defomac j. vlv smykové defomace je zaedbá c) maeál je leáě pžý a p je homogeí v lbovolém půřez d) apěí σ y a σ z jso zaedbaelé ve sováí s apěím σ x e) ova xy je hlaví ovo Z kemaky je zámo, že defomace ε x je závslá a křvos /ρ vzahem EI Vlasslav Salajka 9 M ( x, ) E modl pžos, I je mome sevačos půřez ρ Pohybové ovce po čás osík délky x s požím Newoova zákoa F y ( m) a y a MG ( I G )α Ve dhé ovc G ozačje ěžšě a α je úhlové zychleí G Po zaedbáí oačích sevačých sl M ε x 59 y ρ Po ozepsaí ovce S v x Vlasslav ρa x Salajka 9 ( x, ) S( x x, ) p( x, ) M(x,) je ohybový mome, S(x,) je příčá síla, V(x,) je příčý posv, p(x,) je spojé zaížeí a j.d.

60 S ( x, ) S( x x, ) p( x, ) x př x S x V případě malých pooočeí p ( x, ) ρa Dfeecálí podmíka ovováhy Vlasslav v Salajka 9 ρa x ovce se dělí čleem x v x v Ohybový mome v závslos a křvos S M x lze křvos apoxmova vzahem v M( x, ) EI Vlasslav Salajka 9 x v Pohybová ovce příčého kmáí EI ρ ypy okajových podmíek a) Vekí v v( x e, ) x x x e b) Posé podepřeí a koc ( x, ) x v x x e x x v A v M x e, EI Vlasslav Salajka x 9 x v e ( ) p ( x, ) x c) Nezaížeý volý koec x v x x e x x e v M S 6 ( x, ) e ( x, ) e

61 Příklad: Sesave pohybovo ovc Vlasslav p zaížeého Salajka 9 spojým zaížeím a slo N ovoběžo s oso x Osové slačeí p je zaedbáo 6 Pohybové ovce po čás osík F y ( m) a y MG ( I G )α Dvě podmíky ovováhy. ovce S p x. ovce ( x, ) ρa v Vlasslav Salajka 9 ( x, ) M( x, ) N[ v( x x, ) v( x, )] S( x x, ) x M x Děleím x, a po x v lmě M x x M N v x v N x S v M x, EI x v v ρa p( x, ) EI Vlasslav Salajka x 9 x Spojeím ovc, a ( ) N x v v ρa p ( x, )

62 Hamloův pcp Vlasslav Salajka 9 Hamloův pcp pacje s kecko a poecálí eegí (skaláy) Okajové podmíky jso zaváděy v poces sesavováí ovc 6 Základí předpoklad - kofgace sosavy jso specfkováy včase a δ ( V ) d δw c d Hamloův pcp je úplá kecká eege sosavy V je poecálí eege sosavy (eege defomace a poecálí eege kozevavích vějších sl) Vlasslav Salajka 9 dw c je válí páce ekozevavích sl zahjící lmeí a vějších sl ezahých do V δ( ) je symbol pví vaace, válí změa, je čas, ve keém je kofgace záma S Wllam Rowa Hamlo (4. spa, září, 865) byl Iský maemak, fyzk, a asoom HP lze poží aké po klascká pole (apř. elekomagecké ebo gavačí pole) a byl aké ozšíře po poží v dalších oblasech, apř. kvaové mechace ebo kvaové eo pole Vlasslav Salajka 9

63 Aplkace Hamloova pcp Vlasslav ohýbaý Salajka p se 9 smykovo defomací a oačí sevačosí (mošekova eoe) Eleme p se smykovo defomací a defomací od ohyb v Po úhel β plaí β α x Z eoe ohýbaého p M EIα 63 Eege defomace od ohyb Eege defomace od smyk V b ( α ) EI dx Vs Vlasslav κgaβ dx Salajka 9 smykový koefce κ obdel. půřez κ 5/6 Kecká eege p Válí páce - spojé příčé zaížeí p(x,) ρ A v (&) dx ρi( & α ) dx δw p( x, ) δv( x, ) c dx Po dosazeí do vzah popsjící Hamloův pcp δ [ ρav& ρi & α EI( α ) κga( α v ) ] dxd pδvdxd. Vlasslav Salajka 9

64 Po egac pe paes (lze vyloč Vlasslav () a () Salajka z výazů 9 δ()) a po kofgac včase a položíme δv(x, ) δv(x, ) δa(x, ) δa(x, ) { [ ( )] } ρ Av&& κga α v p δvdxd ρi& α ( EIα ) κga( α v ) poom [ κga( α v )] δv d [ EIα ] δα d δv a δa jso lbovolé δαdxd [ κ GA ( α v )] ρav& p( x, ) a κ GA( α v ) ( EIα ) ρi& α 64 Zobecěé okajové podmíky Vlasslav Salajka 9 κ GAβ δv, x ( EIα ) δα, x ( ) ( κ GAβ ) δv, x ( EIα ) δα 4 v EI 4 x v p ρa d α v κga, x Okajové podmíky msí vyhovova jedak geomeckým podmíkám (v ebo α jso hodoy zadaé) a aké přozeým okajovým podmíkám (β ebo α ) P kosaího půřez ( ) Po devováí ovce a po dosazeí ovce ( p ρav& ) 4 v EI v ρi ρi p ρa x κga x Vlasslav Salajka 9 κga v p ρa Beoll- Eleova eoe Vlv hm. oace půřez Smyková defomace Vazba mez hm. oací půřez a smykem

65 Volé (vlasí) kmáí spojých Vlasslav sosav Salajka 9 Zalos řešeí vlasího kmáí spojých sosav je důležá z hledska sováí s řešeím pomocí koečého poč spňů volos Př zavedeých předpokladech lze považova řešeí a spojých sosavách (koskcích) za přesé řešeí. Volé (vlasí) podélé kmáí přímého p Pohybová ovce po podélě amáhaý p Volé kmáí podélé zaížeí p ( AE ) ρa& ( AEU ) ρaω U AE p x ρ A, kde Vlasslav Rovce Salajka popsje 9 volé podélé kmáí p x Předpoklad - kmáí je hamocké ( x, ) U( x) cos( ω α ) Řešeí dfeecálí ovce - obyčejá dfeecálí ovce vyhovje okajovým podmíkám Exsje řešeí po jsé hodoy ω a odpovídající fkc U (x) Hodoy ω a odpovídající fkce U (x) jso vlasím hodoam ovce Vlasslav Salajka 9 x 65

66 Předpoklad: Půřezové a maeálové Vlasslav chaakesky Salajka 9 p jso kosaam plocha půřez A kos, modl pžos E kos. a hsoa ρ kos. d U ρω U dx E ebo d dx U ρω λ U, kde λ E 66 U ( x) A ( λx) A s( λx) cos Okajové podmíky a) eposvý koec p (x e, ) U du b) volý koec p ε x x e x e x Vlasslav Salajka dx 9 Příklad: Odvoďe výazy po vlasí úhlovo fekvec a po vlasí vay podélého vlasího kmáí osík kosaího půřez Okajové podmíky U du dx ( x) A ( λx) A s( λx) evý koec pevě chyce Pavý koec půřez je volý cos U x A du A λ s( λx) Aλ cos( λx) dx A λ cos( λ ) x U Vlasslav Salajka Neválí 9 řešeí du x dx x válířešeí A A emá smysl cos ( λ)

67 π 3π Chaakescká ovce má kořey Vlasslav λ Salajka ; 9,..., ρω S přhlédím k ovc λ E E ( λ) E Vlasí úhlová fekvece ω λ ρ ρ π,... ω ( ) π 67 E ρ U ( x) A s( λ x) Cs( λ x) U πx ( x) C s ( ) Fkce x je -ým vlasím vaem km odpovídající úhlové fekvec U C je lbovolý ásobel Vlasslav Salajka 9 ω Půběhy fkce U a U zobazjící pví dva vlasí vay km U πx 3 πx ( x) C s U ( x) C s Vlasslav Salajka 9

68 Volé (vlasí) ohybové kmáí Vlasslav ekého Salajka přímého 9 p x v EI x v 68 ρ ( EI v ) ρav& A ( EIV ) ρaω V Řešeí se hledá ve va hamocké fkce p Volé kmáí - příčé zaížeí p v ( x, ) V ( x) cos( ω α ) Řešeí vedeé ovce v zavřeém va eí možé po poměé koefcey (A, E a ρ) Příčé vlasí kmáí p kosaího půřez A 4 d V 4 4 ρ ω λ V, kde λ 4 dx EI Vlasslav Salajka 9 Dfeecálí ovce čvého řád, má obecé řešeí V V V λx λx λx λx ( x) A e A e A e A e 3 4 λx λx ( x) B e Be B3 s( λx) B4 cos( λx) ( x) C ( λx) C cosh( λx) C s( λx) C cos( λx) sh 3 4 ebo ebo Uvedeé ovce obsahjí čyř egačí kosay a vlasí číslo λ Iegačí kosay lze č z okajových podmíek v dv a) vekí v(x e, ) V ϕ z x e Vlasslav Salajka e x 9 x dx

69 b) posé podepřeí a koc p Vlasslav Salajka 9 v d V v(x e, ) V M x e xe x dx c) a volý ezaížeý koec v d V v M x e x S e x EI x x dx x x e Příklad: Odvoďe výazy po vlasí úhlovo fekvec a po vlasí vay příčého vlasího kmáí posého osík kosaího půřez V ( x) C ( λx) C cosh( λx) C s( λx) C cos( λx) V(x) d dx V λ sh 3 4 d dx V x d V V(x) Vlasslav Salajka a 9 dx [ C ( λx) C cosh( λx) C s( λx) C cos( λx) ] sh 3 4 OP - levý koec (x ) C C, λ ( C C ) C C 4 4 OP - pavý koec (x ) C ( λ ) C s( λ), λ [ C ( λ) C s( λ) ] sh λ sh, ( λ) s( λ) ( λ) λ s( λ), sh 3 4 x sh 3 d 3 dx V 3 69 λ sh( λ) s( λ), λ sh ( λ) s( λ) sh ( λ) poze, když (λ) Vlasslav Neválí Salajka 9 řešeí z ovce s ( λ)

70 chaakescká ovce Vlasslav po Salajka čeí 9 λ λ π λ π,..., λ π ω ( λ) s Po dosazeí ovce do ebo je zřejmé, že C edy C C C 4 - elová kosaa C 3 je C Poom λ, 4 V EI ρa ( x) C s( λx) Rovce plaí po ůzá vlasíčísla λ Poom Nakoec Úhlová fekvece Vlasí va km π 4 EI ρa ω V C je lbovolý ásobel π Vlasslav Salajka 9 V x C s πx EI ρa π ( x) C s( λ x) C s x V A 4 ω λ ρ EI ( ) ( ) ( x) C s( πx ) ( ) ( ) V3 x C s 3πx Vlasslav Salajka Pví ř vlasí vay km

71 Příklad: Odvoďe výazy po vlasí Vlasslav úhlovo Salajka fekvec 9 a po vlasí vay příčého vlasího kmáí kozoly kosaího půřez V ( x) C ( λx) C cosh( λx) C s( λx) C cos( λx) sh 3 4 v (x, ) 7., V(x) dv dx d V dx d 3 dx V 3 λ λ sh λ 3 λ cosh 3 λ dv dx x, d dx V x [ C ( λx) C sh( λx) C cos( λx) C s( λx) ] cosh λx C sh λx Vlasslav C cos λx Salajka C s λx a d 3 dx cosh 3 4 [ C ( λx) C cosh( λx) C s( λx) C cos( λx) ] sh 3 4 [ C ( ) ( ) ( ) ( )] ( λ) λ cosh( λ) λ s( λ) λ cos( λ) C3 ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ sh λ λ cos λ λ s λ C4 V 3 C C x λ λ cosh ( λ ) cos ( λ ) a Chaakescká ovce λ,875, λ 4,694, λ 3 7,8549, λ 4,996 ad. ( λ ) ω Pví ř vlasí úhlové fekvece EI ρa 3,56 EI,3 EI ω, ω, Vlasslav Salajka ρa 9 ρa 6,7 ω3 EI ρa

72 Výpoče kosa Vlasslav Salajka 9 Z pvích dvo ovc C 4 - C a C 3 - C řeí ovce má va C sh λ C cosh λ C3 s λ C4 cos λ Spojeím ovc Poom V ( ) ( ) ( ) ( ) ( λ ) C cosh( λ ) C s( λ ) C cos( λ ) cosh( λ ) cos( λ ) C k C sh( λ ) s( λ ) C sh C Fkce popsjící va -ého km kde ( x) C[ cosh( λ x) cos( λ x )] Vlasslav k [ sh( λ Salajka x) s( 9 λ x) ] k cosh sh ( λ ) ( ) ( ) ( ) cos λ λ s λ 7 3,56 ω EI ρa,3 ω EI ρa 6,7 ω3 EI ρa Pví vlasí va km Dhý vlasí va km řeí vlasí va km x Cf x Vlasslav x Cf Salajka x 9 x Cf x ( ) ( ) V ( ) ( ) V3 ( ) 3( ) V

73 Někeé vlasos vlasích vaů Vlasslav km Salajka 9 Spojá sosava má ekoečě moho vlasích dvojc Vlasí dvojce - vlasí úhlová fekvece ω (esp. fekvece f ) a vlasí va km V A Spekm vlasích úhlových fekvecí (fekvecí) Z pakckého hledska je o mí mož fekvecí spořádao vzespě ω ω... ω... ω popřípadě Fekvece odpovídají vlasím vaům km Pozámky: Oblas zájm fekvece a vlasí vay Vlasslav km do Salajka 5 Hz 9 Jso-l hodoy fekvecí od sebe výzamě vzdáley poom spekm je řídké Hsé spekm - hodoy dvo ásledjících fekvecí se lší méě ež o % Skpy blízkých fekvecí se azývají shlky (clsey) fekvecí fekvece moho mí sejo ebo blízko hodo B Nomováí vlasích vaů km Způsob úpavy měříka fkce V Vlasslav se azývá Salajka omováí 9 f f... f... f V, V,..., V,..., Způsob úpavy ampldy va km se azývá omováím a ako paveé vay se azývají omovaé vlasí vay km V ( x) C φ ( x), kde C je ásobel esocí ozmě a x je bezozměá fkce φ ( ) V 73

74 Základí ypy omováí: Vlasslav Salajka 9. V čém mísě fkce φ ( x s ). am, kde fkce dosahje absolí maxmm ( ) φ ( x) 3. Nomováí vzhledem k hmoos, ak že modálí hmoos má čo velkos ejvýhodější případ M. K EI φ dx Rovce popsjící vlasí kmáí ekého Vlasslav ohýbaého Salajka 9 p ( EIφ ) ρaω φ Po vyásobeí ovce ásobelem φ a egací v oblas od do ( EIφ ) φdx ω ρaφ dx ( EIφ ) ( ) ( φ EIφ φ EI φ ) dx ω ρ Aφ dx # Okajové podmíky ( EIφ ) δφ, x ( EI ) δφ, x ( EI φ ) δφ, x EI φ δφ, x φ M ρ Aφ dx Způsob úpavy ampldy va km se azývá omováím a ako paveé vay se azývají omovaé vlasí vay km Příklad: eký ohýbaý p - modálí hos po -ý vlasí va km 74 φ ( ) S přhlédím k okajovým podmíkám - pví dva čley v ovc # jso ovy le EI ( φ ) dx ω ρ Aφ dx K Vlasslav (, ) Salajka 9 ω M Aaloge se sosavo s SV

75 C Oogoala vlasích vaů km Vlasslav Salajka 9 Oogoala vlasích vaů km je ejdůležější vlasosí vlasích vaů EIφ ρaω φ x φ a egace v oblas od do ( ) φ ( ) s s φ 75 EIφ φ sdx ω ( EIφ ) ρaω φ ρaφ φ dx s Po odečeí ovce od ovce Vlasslav Salajka 9 ω ω ρaφ φ dx ( ) s s s EIφ sφdx ωs s s s x ρaφ φ dx φ ( φ ) φ s a egace v oblas od do Vlasslav Salajka vay, kdy M (omováí a hmoos) M 9 ρaφ dx Úhlové fekvece jso ůzé - poom po dva vlasí vay msí pla ρaφ φsdx, ω ω Rovce vyjadřje oogoal vlasích vaů Po dosazeí do ebo EIφ φ dx s s. vay jso oogoálí vzhledem k hmoos vay jso aké oogoálí vzhledem k hos Nomovaé vay se azývají ooomálí

76 D eoém o ozklad Vlasslav Salajka 9 bovolo fkc V(x), keá vyhovje sejým okajovým podmíkám jako moža ooomálích vaů φ (,, ) a za podmíky, že d dx ( EI d v dx ) je spojo fkcí, lze vyjádř pomocí absolě mooóě kovegeí řady ( x) c ( x) E Rayleghův podíl (kvoce) Nechť fkce V(x) vyhovje okajovým podmíkám a požadovaým spojosem, poom Vlasslav Salajka EI V dx ( ) R V Po dosazeí ( ) R V V φ, kde ( ) k m ρav c do dx ω cω c3ω3... c c c... 3 c ρavφ dx ρaφ dx R ( V ) ω když ( ) R V s vážeím omováí cφ Čael je věší ebo ove jmeovael (ω /ω ) V, ( x) ω 76 ( c ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ω ω c3 c ω3 ω... c c c3 c... c Joh Wllam S (od Raylegh) ρavφ dx Nobelova cea za fyzk 94 R( V ) ω Rayleghův Vlasslav podíl (kvoce) Salajka 9 složí k odhad úhlové fekvece

77 Vlasí kmáí ekých desek Vlasslav Salajka 9 Desky jso ělesa, kdy po pops vysačíme s fkcí v závslos a dvo sořadcích D úloha 77 Pohybová ovce volého kmáí eké desky - Kchhoffova eoe desek D 4 w ρhw& 3 Eh D ν h w(x, y, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yyyy - ohybová hos desky - lošťka desky - půhyb (příčé posí sředce) 4 xxxx xxyy - bhamocký Vlasslav Salajka opeáo 9 Obdélíková deska ze zapsa zobecěé okajové podmíky po okaj y kos [w yy ν w xx ]δw a [w yyy ( - ν)w xxy ]δw Aalogcky podmíky po okaj x kos (záměa dexů x a y) [w xx ν w yy ]δw [w xxx ( - ν)w xyy ]δw a Posě podepřeá obdélíková deska okajové podmíky w(, y) w(a, y) w(x, ) w(x, b), w Vlasslav Salajka 9 xx (, y) w xx (a, y) w yy (x, ) w yy (x, b)

78 Předpokládá se, že př volém kmáí Vlasslav desky Salajka koá deska 9 hamocký pohyb w ( x, y, ) W ( x, y ) cos( ω α ) Rovce po výpoče vlasích hodo 4 4 ω ρh W λ W λ 4 D Fkce vyhovjící okajovým podmíkám W ( m, )( x, y ) C s s 4 π D ρha mπ π, a b ( m ) Dva ůzé vay defjí dvoozměý Vlasslav podposo Salajka 9 vlasích vaů A W A W λ ω ( m, ) m ( ) 4 mπx a a b πy b Paamey (m, ) popsjí va km Posě podepřeá čvecová deska a b Objevje se (dvo) ásobos vlasích hodo Vlasím číslům λ(m,) λ(,m) odpovídají vzájemě ůzé vlasí vay W(m,) a W(,m). W,, 4 π D b Vlasslav ebo Salajka ω m, 9 m 4 ρhb a ( m ) ( m, ) (, m) ( m) D Poom lbovolá leáí kombace W (m,) cw (,m) 4 4 vyhovje ovc W λ W 4 w ρhw& ω ( m ) (, m), ω apř. 78 ω ω ω ω ω, ω, 3 ω, ω 4 ω,, ω, ω ω

79 Modely sosav s koečým počem Vlasslav spňů Salajka volos 9 Podélé kmáí p Pople 79 Model s možsvím spňů volos 3 k SV Řešeí lze aléz ve specálích případech (py, deska) (x, ) Model s koečým počem spňů volos (6 SV) k SV (x, ) Model s jedím spěm volos Řešeí epřesě vyshje chováí složé sosavy Vlasslav Salajka 9 Modely se sosředěo hmoo ří ojící dsky ří podlaží objek Posvy, oace jso ezávslé paamey 3 SV - hmoé Přvaděč VE Maka, Makedoe,3 M SV Koejme JE emelí 3 SV - hmoé Vlasslav Salajka 9

80 Příklad: Sesave pohybové ovce Vlasslav elmeé Salajka sosavy 9 se řem sp volos Po řešeí požje. Newoův záko Řešeí: F && m P f f F F && m P f3 f && 3 m33 P3 f3 Slové dagamy 8 f ke k ke k 3 k3e3 k3 3, f f ( ) ( ) Pohybové ovce elmeé sosavy m && m ( k k ) k P ( ) k ( k k3 ) k33 P ( ) k k P ( ) m && m && Rovce se dají zapsa v macovém va. m && && m && 3 3 ( k k ) k Sosava ovc je zapsáa v absolích přemísěích,, 3 Vlasslav Salajka 9 k P k k3 k3 ( ) Vlasslav P Salajka 9 ( ) k k P3 ( ) Sosava smláích ovc elové pvky mace hos ( ). m && k p( ) m je mace hmoosí k je mace hosí je veko přemísěí p() je veko zaížeí Sosava ovc je zapsáa v absolích přemísěích,, 3 V případě oačího pohyb m hmoé momey sevačos k ozí hos pooočeí p() koící momey

81 Příklad: Sesave pohybové ovce Vlasslav Salajka 9 řešeí vyjádřee v posích elavě vůč pohyb základ K odvozeí požje. Newoův záko Řešeí: Relaví posí w z w z F F m ( w&& z& 4 ) ( w&& z& ) m & f f f f m & f f m Síly v pžách a lmící síly f k( z) kw f c f c & z& c & f k ( ) ( w ) ( ) ( ) ( ) 3 w w m m w&& w&& & Vlasslav Salajka 9 & c w& & k w Pohybové ovce lmeé sosavy v elavích posích m w & c w& k w c ( w& w& ) k ( w w ) m z& ( ) ( ) m w & c w& w& k w w m z& Macový záps ( c c ) c w& ( k k ) c c w& k k k w w m z&& m z&& 8 Slové dagamy Sosava ovc je závslá elové mmodagoálí pvky mace hos a úlm Obecý záps m w&& cw& Vlasslav kw Salajka 9 p eff

82 Příklad: Model popsje bdov pod Vlasslav vlvem Salajka sezmckého 9 zaížeí Poveďe odvozeí pohybových ovc př vyží Newoova zákoa Předpoklady: Úhel θ je malý, hmoos základ m je sosředěa do ěžšě Řešeí: F x m&& f f f3 F x Mx&& G Fy My&& G f4 f 3 Mg M I && θ M f4asθ f3acosθ Rovce odpovídá θ G G k c Relaví síly f ( z) f ( & z& ) M K Vlasslav Salajka 9 θ Slové dagamy Vzájemá vazba mez x G, y G a, θ je dáa kemackým vzahy Po malý úhel θ plaí x G f(, θ) y G f(, θ) ( M m) Ma Ma sθ θ cosθ x G a sθ aθ y G && acosθ a c &. k ( I Ma ) && θ & θ ( K Mga) θ G. Pohybové ovce v macovém záps Vlasslav Salajka 9 m && c& k p eff Rovce poom odpovídá cz& kz Rovce odpovídá Rovce odpovídá θ 8 Sosava ovc je závslá elové pvky mace hmoos

83 agageovy ovce dhého dh Vlasslav Salajka 9 Poží Newoova zákoa eí vždy výhodé po odvozeí pohybových ovc, poože je řeba sepaova každo čás, a eakví síly je o elmova 83 s cílem získa hledaé ovce Jedodšší odvozeí pohybových ovc je možé aplkací agageových ovc vyžívajících k pops skaláích velč (páce a eege) míso vekoových (síly a přemísěí) agageovy ovce se vyjadřjí pomocí zobecěých sořadc Jedá se o mož N ezávslých hodo q,, N dosaečých po čeí polohy každého bod sosavy (v předešlém příkladě o byly, θ, j. q, q ). agageovy ovce bdo odvozey z Hamloova pcp δ ( V ) d δw d Kecká eege je fkcí c c, & N N, ( q q,..., q, q&, q&,..., q ) Poecálí eege V je fkcí V V(q, q,, q N, ) Válí páce ekozevavích sl δ W Q δq Q δq... Q δq, Vlasslav Salajka 9 kde Q, Q,, Q N jso zobecěé síly s akovým ozměem, aby soč Vlasslav Q δ měl Salajka ozmě 9 páce N q a, q& q N q Joseph-os agage, come de l'empe (5. leda 736. dba 83; aoze v íě, pokřě jako Gseppe odovco agaga) alsko-facozský maemak a asoom Výzamě ozvl maemacko aalýz, eo čísel, klascko a ebesko mechak. Je zakladaelem oblas maemaky azývaé vaačí poče Byl jedím z ejvěších maemaků 8. soleí

84 Příklad: Najděe výaz po kecko Vlasslav eeg Salajka pomocíčleů 9 q a q Hmoos m se posová po ehmoé yč Řešeí: Kecká eege sysém m y Z kemaky lze odvod (& z& ) y q cosq z q sq 84 Devací kemackých vzahů y & & & q cosq qq sq z & q& sq qq& cosq Po dosazeí do získáme (& q q& ) m q Vlasslav Salajka 9 Příklad: Učee výaz po poecálí eeg čásce íhy W a válí pác síly P Řešeí: Nechť poecálí eege je ova le v poloze θ π., poom V Wy W cosθ δs δθ Válí páce síly P - dáha, po keé se přemísí síla P δw p Pδs ( P)δθ Zobecěá síla Q θ P Vlasslav Salajka 9

85 Vlasslav Vlasslav Vlasslav Salajka Salajka Salajka Vlasslav Vlasslav Vlasslav Salajka Salajka Salajka Vlasslav Vlasslav Vlasslav Salajka Salajka Salajka Po dosazeí do a za předpoklad, že vaace je elová d q Q q Q q Q q q V q q V q q V q q q q q q q q q q q q N N N N N N N N δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ & & & & & & q d q d d q q q d q δ δ δ & & & & ( ) ( ) q q δ δ ( ) N q, δ N Q q V q q d d,, & agageovy ovce Dosadíme do výaz po Hamloův pcp výazy po eege a válí pácí ek. sl δq& Čley obsahjící egjeme pe paes Čle ve haaých závokách je ove le, poože Výchozí podmíka Hamloova pcp d q Q q Q q Q q q V q q V q q V q q d d q q d d q q d d q q q q q q N N N N N N N N δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ & & &

86 Příklad: Model popsje pohyb bdovy Vlasslav př bzeí Salajka sesmckým 9 zaížeím Úhel θ je malý a hmoos základ m je sosředěa do ěžšě Sesave pohybové ovce s vyží agageho ovc Řešeí: q SV s ezávslým zobecěým sořadcem a q θ 86 Výazy po, V a δw c m& M( x& & ) & G yg IGθ Z kemaky x G a sθ a y G acosθ Po malé hodoy úhl θ, sθ θ a cosθ θ & Vlasslav & & Salajka 9 Poom x G aθ a y& ( θ & θ eleáí čle a byl zaedbá) Po dosazeí do výaz po kecko eeg G (& a & θ ) I & θ m& M G Poecálí eege defomace v pžě a gavačí poecálí eege k V Po malé hodoy úhl θ V ( z) Kθ Mga cosθ k ( ) Vlasslav z Kθ Mga θ Salajka 9 δ Nekozevaví (lmcí) síly W c c & ( & z) δ

87 Vlasslav Salajka 9 Aplkace agageových ovc d V Q,, d q& q q m& M( & a & θ ) a Ma( & a & θ ) I & θ & V Q θ k ( z) ( & z& ) a & θ V Kθ Mgaθ θ c a Q θ ( M m) & Ma&& θ k( z) c( & z& ) ( Ma I ) & θ ( K Mga) Ma&& & G θ Vlasslav Salajka 9 Pohybové ovce se shodjí s řešeím př poží Newoova zákoa G V & q q θ 87 (& a & θ ) I & θ m M k θ ( ) z Kθ Mga δ W c c & G ( & z) δ ( M m) Ma Ma && c & k ( I Ma ) && θ & θ ( K Mga) θ G Vlasslav Salajka 9 cz& kz

88 Příklad: Odvoďe pohybové ovce Vlasslav po případ Salajka pohybjící 9 se hmoy m po eké yč o délce a hmoos M Po odvozeí požje agageovy ovce. Řešeí: Výazy po a V (& & θ ) & M θ m a V 3 Mg mg cosθ Aplkace agageových ovc m& & & θ & & M m θ d V θ 3 d & mθ & Vlasslav Salajka θ 9 d V Q d & θ θ θ V V mg cosθ sθ θ Mg mg Q Dále Q θ d d & m&& a d d & θ && θ & & M mθ m && θ 3 88 Q θ M 3 m && mθ& mg cosθ m && θ m& & θ Mg Vlasslav mg s Salajka θ 9 Sosava ovc je slě eleáí

89 Poží agageových ovc Vlasslav spojých Salajka modelů 9 Meoda přípsých fkcí Posí půřez lze vyjádř (apoxmova) pomocí fkce ( x, ) ψ ( x) ( ) V omo případě získáme jedospňovo sosav Př vyvářeí spojého model s N sp volos pacjeme s N ezávslým fkcem Poom N ( x, ) ψ ( x) ( ) ( ) Fkce ψ x msí mí devace do řád devací, keé se objevjí ve výaz po poecálí eeg defomace a vyhovova kemackým okajovým podmíkám j. msí pař do řídy přípsých fkcí Vlasslav Salajka 9 Požadavky obdobé jako v meodě koečých pvků (MKP) Například po příčé kmáí kozoly v (, ) v (, ) v(, ) ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) Přozeé okajové podmíky (apř. M(, ) jso splěy aomacky Okajové podmíky msí bý splěy po všecha Výaz po eeg defomace ohýbaého Beollho-Eleova p obsahje v x, edy každá fkce ψ ( x) msí bý spojo fkcí v x, a pví devace ěcho fkcí podle x msí bý spojým fkcem osík emá espojos v půhyb a pooočeí půřez Vlasslav Salajka 9 89 ( )

90 Příklad: Vyží meody přípsých Vlasslav fkcí v Salajka případě 9 podélého kmáí p Řešeí: V Po dosazeí Eege defomace p EA ( ) dx Kecká eege p (&) ρa E - modl pžos, A - plocha půřez, ρ - hsoa maeál N ( x, ) ψ ( x) ( ) dx do výaz po eeg defomace N N V kj j, kde k j EAψ ψ jdx j Vlasslav Salajka 9 V je kvadacká fkce zobecěých sořadc s koefcey k j k Macový záps ovce V k k, k... 3 k veko hledaých paameů, k mace hosí N k k k N k k k 9 N N NN Obdobě po kecko eeg N N j m & j & j, kde mj ρaψ ψ jdx Vlasslav Salajka 9

91 Vlasslav Salajka 9 & Macový záps ovce & m& & &... & veko ychlosí paameů, m (kozseí) mace hmoosí & 3 Válí páce spojého zaížeí působícího a p δw p N p Z výchozí ovce ( x ) δ( x, ) dx, p δ δ ( ) p( x, ) ψ ( x) dx N ( x ), ψ δ Vlasslav Salajka 9 S vyžím agageho ovc získáme N pohybových ovc m m m m N m m m N m m N 9 m Pozámka: V případě, že čley Mace hmoos jso čey podle vzah, poom se ao mace azývá kozseí mace hmoos - je sesavea a sejých fkcích jako mace hos N NN N N j & j j j m k V macovém va m && k p j j p,,, N Posp po získáí pohybových ovc. výbě možy N přípsých fkcí ψ (x). výpoče koefceů mace hos (ov. ) 3. výpoče koefceů mace hmoos (ov. ) 4. výpoče Vlasslav zobecěých Salajka sl (ov. ) 9 5. sesaveí výsledých ovc (ov. )

92 Příklad: Požje meod přípsých fkcí po apoxmac Vlasslav Salajka 9 fkce posí (x,), s cílem získa dvospňový model podélého kmáí kozoly zaížeé slo P() (Apoxmje pomocí polyomů) Řešeí:. výbě fkcí ψ ( x) - fkce msí vyhovova okajové podmíce, ψ ψ ( ) p P( ) δ(, ) p δ p δ. (, ) ψ ( ) δ ψ ( ) δ δ W δ ( ) ( ) x x Nechť ψ ( x ) a ψ ( x). výpoče koefceů k j ψ - je řeba č devace vaových fkcí a ψ EA Vlasslav EA Salajka 4 9 ( ) EA k EA ψ dx, k k a k 3 3. výpoče koefceů m. j ρa ρa ρa m ρ A( ψ ) dx m m a m výpoče zobecěých sl - válí páce zaížeí 5. výsledá sosava ovc v macovém záps 3 4 && EA Vlasslav ρa Salajka && x ψ ψ ( ) x x ( x) x 9 ( ) ψ ( ) P( ) a p P( ) ψ ( ) P( ) p P P P 3 ( ) ( )

93 Sejým pospem lze získa pohybové Vlasslav ovce Salajka jých 9 pžých sosav Například po eký ohýbaý p (Beollho-Eleův p) Eege defomace p Kecká eege k j V ( v ) EI (&) ρa v Z ovc a lze získa výazy po koefcey hos a hmoos dx dx ψ ( x) ψ ( x) dx a mj ρaψ ( x) ψ j ( x) EI j Spojé příčého zaížeí p(x,) dx Vlasslav Salajka 9 p p x, ψ x dx je zobecěé zaížeí ( ) ( ) 93 kde v je fkce příčého posí Příklad: Vá základa je modelováa jako pžý p kosaího půřez a délky se sosředěo hmoosí ve vchol a ozí pžo o hos k v mísěčásečého vekí Odvoďe pohybové ovce éo koskce meodo přípsých fkcí a SV model Předpokládají se malé hodoy pooočeí v mísěčásečého vekí Vlasslav Salajka 9

94 Řešeí:. výbě vaových fkcí Vlasslav - okajová Salajka podmíka 9 v Poom msí pla ψ ( ) ψ ( ) x x Nejjedodšší fkce jso ψ a ψ (, ) 94. výpoče hosích koefceů k j V EI ( v ) dx kθ, kde θ je pooočeí v mísě čásečého vekí eege ohyb p eege defomace pžy Po malé hodoy pooočeí je θ N & v (, ) ψ ( ) v ( ) Po dosazeí do předchozí ovce Vlasslav a s přhlédím Salajka ke 9 vzah kj EIψ ψ jdx kψ ( ) ψ j ( ) ψ ψ x, kde po, j,,,, ψ hosí koefcey k k k, k, 4EI k k 3 3 ψ 4EI 3. výpoče hmoosích koefceů m j, Vzhledem ke vzah s vážeím hmoos M v mísě x mj ρ Aψ ψ dx j Mψ ( ) ψ j ( ) x Vlasslav ρa Salajka Poom m A dx M M 9 ρa ρ, m m M, 3 4 ρa m M 5

95 4. výpoče zobecěých sl Vlasslav Salajka Vější 9 síly epůsobí 5. výsledé pohybové ovce ρa M 3 ρa M 4 ρa k M 4 q&& ρa q&& M 5 Příklad: Zahí lmcího efek př příčém kmáí základ lmeí je spojě ozděleo pod základem a je popocoálí ychlos pohyb základ, j p x, ξ x v& x, ( ) ( ) ( ) ξ je koefce lmeí a jedok délky základ Najděe vzah po zobecěo síl p odpovídající vedeém lmeí Vlasslav Salajka 9 Řešeí: N p p( x, ) ψ ( x) dx ξ ( x) ψ j ( x) v& j ( ) ψ ( x) dx ebo j p N v& j j ( ) ξ ( x) ψ ( x) ψ ( x) dx j p q 4EI q 3 V případě dskéího (jedolvého) vskózího lmče p c v& j j ( ) V obecém případě (s lmeím) plaí N j p 95 m q& cq& kq Q Vlasslav kde c Salajka je mace 9 lmeí

96 Volé (vlasí) kmáí elmeé Vlasslav sosavy Salajka s SV 9 Pohybové ovce dvospňové elmeé sosavy 96 m m && k k p ( ) Volé (vlasí) kmáí p m m && k k p( ) m m && k k m m && k k Př vlasím kmáí je pohyb hamocký U cos ω α U cos ω α ( ) ( ) Úloh o vlasích hodoách k k m m U ω sosava homogeích leáích k k m m U Vlasslav Salajka algebackých 9 ovc Neválí řešeí po ω vyhovje chaakescké ovc k de k k k m ω m m m Polyomálí ovce. řád má dva kořey a - vlasí čísla ω ω jso vlasí úhlové fekvece SV () Po dosazeí kořeů do ovce lze č pomě β 4 U 4 U 44 3 a β 4 U 4 U 44 3 po ω po ω eo pomě čje va km Vlasslav Salajka 9 V maemacké emolog jso vay km azýváy vlasím vekoy ω ω ( ) ( ) ()

97 Obecé řešeí sosavy ovc je leáí kombací vlasího kmáí Vlasslav Salajka 9 odpovídajícího fekvecím A cos( ω ) B s( ω ) A cos( ω) B s( ω ) Aleava záps obecého řešeí ( ω ) β B s( ω ) β A cos( ω ) β B ( ω ) β A cos s Kosay A, A, B, B se čjí z počáečích podmíek ( ω α) A ( ω α ) ( ω α ) β A ( ω α ) A cos cos β A cos cos Kosay A, A, α, α se čjí opě z počáečích podmíek Vlasslav Salajka 9 Příklad: Učee vlasí úhlové fekvece a vay km sosavy. Pohybové ovce sosavy jso dáy vzahy m & k k m && k k m & k k m && k k Řešeí: Předpoklad - pohyb je hamocký U cos( ω α ) Je zřejmé, že plaí U U Zobecěý poblém vlasích hodo Vlasslav Salajka - dvospňová 9 sosava 97 a U cos( ω α ) Po dosazeí do jedolvých ovc získáme sosav algebackých ovc ( k mω ) k k U ( ) k mω U

98 U Vlasí čísla ω a vlasí vekoy U Vlasslav Salajka 9 U Chaakescká ovce úlohy o vlasích hodoách ( k mω ) k de k ( k mω ) ( k mω ) k 98 4 m ω 4kmω 3k Chaakescká ovce má kořey apř. ozkladem polyom ( mω k )( mω 3k ) k 3k ω a m ω m k Vlasí úhlové fekvece elmeé, Vlasslav sosavy Salajka ω 9 m. Po dosazeí vlasích čísel do sosavy algebackých ovc ( ) ( ) ( k mω ) U ku ebo U β U ( ) k mω mω k k k ω, m Po vyčísleá vlasí čísla jso β β 3 ω 3k, Vlasslav Salajka m ( 9 ) Nechť U a U U U ω 3k m Uzlový bod

99 Obecé řešeí volého (vlasího) Vlasslav kmáí elmeé Salajka 9 sosavy se dvěma sp volos se zakládá a leáí kombac pohyb sosavy ve va km odpovídajícím fekvec ω a pohyb sosavy ve va km odpovídajícím fekvec ω. 99 Příklad: Zkomaá sosava je sejá jako v předchozím & & Vceá výchylka a počák děje ( ) Učee volé kmáí sosavy příkladě s počáečím podmíkam ( ) ( ) ( ) Řešeí: Vlasí kmy sosavy A cos s ( ω ) B s( ω ) A cos( ω) B ( ω ) ( ) ( ) ( ) ( ) Aβ cos ω Bβ s ω Aβ cos ω Bβ s ω Vlasslav Salajka 9 Po devac podle čas - ychlos kmáí - vlasí vay km ( ) A A ( ) Aβ Aβ & ( ) B ω Bω ( ω ) Bω cos( ω ) Aω s( ω ) Bω ( ω ) ( ω ) B β ω cos( ω ) A β ω s( ω ) B β ω ( ω ) & Aω s cos & Aβ ω s cos Po zavedeí počáečích podmíek sosava 4 ovc o 4 ezámých,,, Řešeím éo sosavy ovc A A B B Vlasslav Výsledé kmáí [ ( Salajka ) ( 9, cos ω cos ω )] ( ) B β ω B β & ω cos [ cos( ω ) ( ω )]

100 Po mm, a ω ω ω 3, edy - ad s ω - 3 ad s Vlasslav Salajka 9 () () [mm] - Uvedeé příklady lsjí základí koky pořebé po čeí volého kmáí dvospňové sosavy Výpoče vlasích fekvecí a vaů km podélého kmáí kozoly př poží ůzých modelů Modely s dvěma sp volos A. Řešeí meodo přípsých Vlasslav fkcí Salajka 9 přesé řešeí - model SV Pohybové ovce Předpokládá se hamocký pohyb U U ρa 5 && EA && cos ( ω α ) U U Úloha o vlasích hodoách zobecěý poblém vlasích hodo && && 3 ρa 4 ω cos 4 && EA 5 && ( ω α ) P 4 3 P ( ) ( ) µ 5 5 U U Vlasslav Salajka µ ρ ω 9 E, kde

101 Chaakescká ovce Vlasslav Po Salajka úpavě 9 5 µ 6 µ ( 3 µ )( 4 µ ) ( 3 5 ) ( ) ( ) 3 µ Kořey chaakescké ovce µ 6 ± 496 3,43,69 E E ( ω ) µ, 486 ρ ρ E E ( ω ) µ 3, 8 ρ ρ ω ω,5577 5,673 E ρ E ρ Přesé řešeí - odvozeo dříve E ( ω ) exac, 467 ρ,57 E E ( ) exac, ω ω Vlasslav ρ Salajka 9 Vlasslav Salajka 9 ρ ω 4,7 Pozámky: Obě získaé úhlové fekvece jso vyšší ež jejch přesé řešeí Uvedeý posp dává apoxmac shoa Základí fekvece je vyčíslea s podsaě věší přesosí ež dhá fekvece Výpoče vaů km Po dosazeí µ do pví ovce po výpoče vlas. hodo Pomě β U ( ) ( 3 µ ) ( 3 5µ ) U Číselě, 453,36 Po získáí fkce va km vyžjeme jž dříve odvozeý vzah x x, ( x ) ( ) ( ) E ρ ( ) ( ) ( µ ) U ( 3 5µ ) U 3,54 β β, 38

102 Vlasslav Vlasslav Vlasslav Salajka Salajka Salajka Vlasslav Vlasslav Vlasslav Salajka Salajka Salajka Vlasslav Vlasslav Vlasslav Salajka Salajka Salajka ( ) ( ) ( ) x x x α ω β cos, Po -ý va km plaí ( ) ( ) ( ) ( ) x x α ω φ cos, kde va km x x β φ, ebo Přblžé vay km a jejch přesé ekvvaley EA k A m ρ kde a Sosava pohybových ovc B. Řešeí pomocí dskéího model s áhado hos pomocí pž a sosředěým hmoosm 4 EA A && && ρ Předpokládáse hamocký pohyb ( ) α ω cos U Úloha o vlasích hodoách 8 E ρ ω µ, kde U U µ

103 4 µ Vlasslav µ Salajka 9 µ 4 µ Chaakescká ovce ( )( ) ( )( ) Kořey chaakescké ovce µ 4 ± 4 8 µ µ,99,77 E E ( ω ) 8(,99 ), 343 ρ ρ E E ω 8,77 3, 66 ρ ρ vay km z ovce po výpoče vlasích hodo ( ) ( ) ( µ ) U U ( ) ( ) ( ) ω ω,53 3,696 U β µ U β, 77 a β 77, 3 E ρ E ρ U,77 Vlasslav Salajka 9 U,77 Obě získaé úhlové fekvece jso žší ež jejch přesé hodoy Základí fekvece je opě vyčíslea s podsaě věší přesosí ež dhá fekvece Sosavy obsahjící vay km odpovídající pohyb sosavy jako hého celk vay km odpovídají lovým hodoám vlasích fekvecí Sosava ebo jejíčás přemísťje (se posová a/ebo pooáčí) bez vzk defomace Zpavdla se jedá o volé epodepřeé Vlasslav sosavy, Salajka dále 9 o případy špaě ozmísěých vazeb, zapomeé vazby, apod. ω ω ω >

104 Příklad: Učee vlasí úhlovo fekvec Vlasslav a odpovídající Salajka 9 vay km sosavy Řešeí: Sosava se SV se může volě posova hozoálě Jeda vlasí fekvece je lová Pohybové ovce m & k k m & k k Předpokládá se U cosω U cosω 4 Úloha o vlasích hodoách ( k mω ) Kořey k ω Výpoče vaů km k U k mω k mω U Vlasslav Salajka esp. m 9 ω mω 6k ( ) k mω ( ) ( ) ( k mω ) U ku ω 3k m Chaakescká ovce ( )( ) ( k ) ( ) ω U, ( ) U k mω m β ω U k k Poom Nechť β a β 3 U v obo vaech 3k ω m Vlasslav Salajka 9 U a U U

105 Odezva elmeé dvospňové sosavy Vlasslav a Salajka hamocké bzeí 9 Meoda ozklad podle vlasích vaů km Odezva a hamocké bzeí byla řešea po sosavy s SV Možos vk ezoace Ω ω Sosavy s více sp volos mají věší poče vlasích fekvecí, a edy ezoačích oblasí Příklad: Dvospňová sosava je bzea hamocko slo p P cosω Učee sáleo odezv každé z obo sosředěých hmoosí ( a ) v závslos a fekvec Řešeí poveďe ozkladem podle vlasích vaů km (meoda spepozce vaů km). Vlasslav Salajka 9 Pohybové ovce Vlasí fekvece a vay km &&. úhl. f. a va km P m k cosω 3 k && ω φ m. úhl. f. a va km 5k Řešeí: ω φ m / a) Vlasí vay km sesavíme do maceφ Φ [ φ φ ], Mace Vlasslav se azývá Salajka modálí 9 (mode la. va) 5

106 b) Po zavedeí hlavích (přozeých) Vlasslav sořadc Salajka η 9 a η lze zapsa asfomac sořadc η η η η η Φη & Φη& η Vlasí vekoy (vay km) jso oogoálí bázové vekoy c) asfomace pohybových ovc z fyzkálích sořadc do hlavích sořadc m && k p [ mφη ( &) k( Φη) p( )] Φ & ( Φ mφη )&& ( Φ kφη ) Φ p( ) 6 M η& Kη P, kde M Φ mφ, K Φ kφ a P Φ P M - modálí mace hmoos, K - Vlasslav modálí mace Salajka hos, 9 P - modálí zaěžovací veko Číselé vyjádřeí M m m 3 m 3 K k k k 3k 3 k 5 4 P P cos 3 && η 3 m k 3 && η P P ( Ω) cos( Ω) Pohybové ovce zapsaé pomocí hlavích sořadc η P Vlasslav cos( Ω Salajka ) 5 4 P 9 η Pohybové ovce v hlavích sořadcích jso sosavo ezávslých ovc (ovc s ezámo sosava s SV)

107 3m 3 k Vlasslav P cos( Ω Salajka ) Jedá se o ovce η& & η a mη& & kη 4 d) Řešeí sáleé odezvy Y cosω a η Y cosω Předpokládá se hamocký pohyb η ( ) ( ) Poom Y P ( 3k) P ( Ω ) 3k 3mΩ ω a ( 4) k ( 3 ) ( Ω ) 7 e) Zpěá asfomace do fyzkálích sořadc η η η U cos( Ω) ( ) η η η U Vlasslav cosω a, Salajka 9 Ampldo-fekvečí závslos (chaakeska) kde a U U P 3k 4P 5k P ( ) ( ) Ω ω Ω ω 3k 4P 5k ( ) ( ) Ω ω Ω ω Y P P cos ( 4 5k ) P ( Ω ) 5 mω ω U ( Ω) ( Ω) U Rezoace př Ω a ω Ω Vlasslav ω Salajka 9 Ω ω Ω ω

108 Vlasí kmáí sosav s moha Vlasslav sp volos Salajka 9 Zobecěí sosavy s dvěma sp volos Vlasí fekvece a vlasí vay kmů a) Vlasos mac k a m Poecálí eege defomace sosavy (koskce) V k je kvadacká 3 8 fkce zobecěých sořadc s koefcey k j Kecká eege sosavy (koskce) & m& fkce zobecěých sořadc & s koefcey m j Mace hos a hmoos jso čvecové mace symecké vůč hlaví dagoále Vlasslav Salajka 9 k k a m m Ve věšě případů modelů sosav (koskcí) jso mace k a m pozvě defí. je kvadacká Po elový veko a & plaí V k > a & m& > Nemá-l sosava (koskce) dosaečý poče vazeb, poom mace k je pozvě semdefí, plaí V k Př výpoč se o pojeví ím, že deema mace k má lové kořey, ebol jak Vlasslav Salajka 9 mace k je sgláí

109 Mace hmoos může bý semdefí v případě, kdy máme sosav ovc, keé Vlasslav Salajka 9 ěkeé pvky mace hmoos odpovídající spňům volos jso lové Řečeo jak sosava obsahje ehmoé spě volos Příklad: eký Beoll-Eleův p 9 m m m Roačí spě volos jso ehmoé I a I jso zaedbáy b. Úloha o vlasích hodoách sosavy bez lmeí zobecěý poblém vlasích čísel Pohybová ovce volého (vlasího) Vlasslav kmáí Salajka m && 9 k m a k jso mace dmeze (N, N) a veko () je dmeze (N, ) Předpokládá se př kmáí hamocký pohyb Ucos ( ω α ) Po dvojí devac podle čas ( ω α ) && ω Ucos Po dosazeí do pohybové ovce a po dobých úpavách ( k ω m) U Sosava leáích algebackých ovc Zobecěý Vlasslav poblém Salajka vlasích 9 hodo svazk (k, m)

110 Neválí řešeí odpovídá de( k Vlasslav ω m) Salajka 9 Vyjádřeí deema vede a chaakescko ovc o N kořeech Úloha má N kořeů λ ω Uspořádaá moža kořeů podle velkos voří spekm vlasích čísel ω Spekm vlasích čísel ω ω N ω Každém vlasím čísl odpovídá vlasí veko ω ω U U... U N U, kde,,, N. Řešeím je N vlasích úhlových fekvecí ω Vlasslav Salajka espekve fekvecí f 9 a N vlasích vaů km sesaveých z vlasích vekoů f ω π π ω Z pakckého hledska mají po savebí koskce výzam poze fekvece v oblas od do 5 Hz Vysoké hodoy fekvecí př řešeí kmáí koskcí emají zpavdla fyzkálí smysl c. Nomováí -á peoda Vlasí veko lze zapsa ve va U ř základí způsoby omováí - Vlasslav obdobě jako Salajka sosav 9 moha sp volos f c φ, kde c je kosaa

111 ) Úpava -ého va ak, že ( ) φ Vlasslav po vybao Salajka 9 sořadc ) Úpava -ého va ak, že ( φ ), po ( φ ) max j ( φ j ) j. maxmálí hodoa přemísěí odpovídá sořadc 3) Úpava -ého va ak, že modálí (zobecěá) hmoos M φ mφ je ova jedé, j. M d. Vlasí vay případ jedoásobých vlasích čísel Nechť mace D je dáa ovcí D ( ω ) k m ω Předpokládá se, že sořadce v ovc eodpovídá zlovém bod v -ém va Vlasslav Salajka 9 Poom ovc lze přepsa ako D D aa ba ( ω ) Dab ( ω ) ( ω ) D ( ω ) φ bb kde vlasí va (veko) je pave ak, že Je-l eásobá, poom hodos mace b φ, ( φ ) a ( φ ) φb Vlasslav Salajka 9 b φ φ3... φ N ω D ( ) bb ω je (N - ) Dbb ( ω ) eí sgláí φ lze povés podle předps ( ) [ D ( ω )] D ( ω ) Dopoče čleů va apř. Gassovo elmací bb ba

112 Příklad: Po sosav čee po,, Vlasslav 3 Salajka 9 a vykeslee půběh chaakesckého polyom Vyčíslee va km odpovídající ω ω Řešeí: Mace hos a hmoos k ( ) m ω Chaakescký polyom sosavy ( ) ( ) ( ) Poom D ω ω je ove 4 ω Vlasslav de[ D( ω) ] ( ω )( ω 4ω ) Salajka 9 Vypočeé kořey polyom (vlasí čísla) ω ω, a ω ded( ω) 3 Půběh deema Výpoče vlasího veko (va km) odpovídajícího ω Daa ( ω ) Dab ( ω ) ( ) ( ) Vlasslav bb ( ω D ω Salajka ) 9 ba Dbb ω D ( ) D ba ω

113 Ivezí mace Poože ( φ ) Vlasslav Salajka 9 φb Dbb ω [ D ( )] ( ) [ ( )] D ( ) bb ω poom va km odpovídající ω e. Oogoala vlasích vaů obdobě jako modelů spojých sosav Po ůzé fekvece ω ω plaí s ba ω φ 3 3 φ mφ s - oogoala vzhledem k mac hmoos φskφ - oogoala vzhledem k mac hos Vlasslav Salajka 9 f. Vlasí vay případ ásobých vlasích čísel Může asa případ, kdy fekvece jso velm blízké (mecky) popř. eoecky sejé (čvecová deska, cyklcká symee bí apod.) Poom se může jeda o ásobé fekvece Pokd plaí ω ω ω... p je vlasí číslo p-ásobé ebo p-ásobá vlasí fekvece p-ásobém vlasím čísl odpovídá p leáě ezávslých vlasích vekoů yo vekoy voří podposo vlasích vekoů dmeze p Výpoče ěcho vekoů vyžadje specálí Vlasslav pospy Salajka 9

114 g. Modálí mace Vlasslav Salajka 9 Modálí mace sosavy je mace vořeá slopcově spořádaým vlasím vekoy (vay km) Φ φ φ... [ ] φ N h. Zobecěá mace hmoos a zobecěá mace hos Dagoálí mace hmoos M M Φ mφ dag ( M M M ),,... Dagoálí mace hos K K Φ kφ dag ( K K... K ) Jso-l vlasí vay omováy ak, že M, poom moža vekoů (vaů km) se azývá ooomálí oogoálí a omovaá Vlasslav Salajka 9 Mace M je poom jedokovo mací Φ mφ I Φ kφ Λ ( ) a, kde Λ dag ω ω,... ω, N. eoém o ozklad Obdobě jako spojých sysém plaí po sosavy s moha sp volos lze lbovolý veko vyjádř jako leáí kombac ezávslých vlasích vekoů, N c φ, kde c m M φ Uvedeý vzah je základem meody Vlasslav ozklad Salajka do vlasích 9 vaů km N N 4

115 Obecé řešeí volého (vlasího kmáí) Vlasslav Salajka 9 Vlasí kmáí elmeé sosavy o N spích volos v -ém va můžeme s vyžím eoém o ozklad zapsa ( α ) c φ cos ω 5 Poom obecéřešeí, dle ovce N c φ cos( ω α ) ebo φ [ a cos( ω ) b s( ω )] Vlasslav Salajka 9 φa Příklad: S vyžím vedeých ovc sesave výazy po odezv př vlasím kmáí dvospňové sosavy Počáečí podmíky Ma. hmoosí Vlasí vay km m ( ) & ( ) m, φ Vlasslav Salajka 9 m, φ N ( c, α ) ebo ( a, ) ( ) & ( ) N koefceů se čí z počáečích podmíek a b N Například koefcey a a b číme z výazů ( ) a & ( ) Po vyásobeí ovc čleem a φ ( ) m M a b φ m ( ) φ m& M ω N φ b

116 Řešeí: Vlasslav Salajka 9 a) Výpoče modálích hmoosí M M φ mφ m M m m [ ] m M [ ] m φ m( ) b) Výpoče koefceů a a b a m m ( ) m& ( ) a a φ φ m M m M ( ) m m [ ] ( ) m Vlasslav Salajka 9 m [ ] m m φ m& b M ω M m m ( ) m 6 c) Nakoec ( ) a φ cos ω cos ω cos ω cos( ω ) cos( ω ) ebo Vlasslav Salajka 9 cos ω cos ω ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]

117 Rayleghův kvoce (podíl) sosav s moha Vlasslav sp Salajka volos 9 Obdobě jako sosav s moho sp volos U ku ωr R ( U) U mu U ozložíme do řady ooomálích vaů φ (M po všecha ) Vzhledem k oogoalě vlasích vaů U N c φ 7 R ω c ω c... ωnc c c... c ( U) N N ω R U ze dokáza, že ( ) N ω Vlasslav Salajka 9 Je-l ω poom R ( U) ω ( c c) ( ω ω)... ( cn c) ( ωn ω) ( c c )... ( c c ) N Poože ω ω... ω N, poom každý čle včael je věší ebo ove odpovídajícím čle ve jmeovael edy R( U) ω Obdobě lze dokáza, že ( ) R U Vlasslav ω Salajka 9 N

118 Rayleghova meoda - složí k Vlasslav apoxmac Salajka základí 9 fekvece Nechť ( ) Ucos( ω ) ψuˆ cos( ω ), kde ψ je přípsý va (veko) Poom & R ( ) ω Us( ω ) ω ψuˆ s( ω ) R R R R R ω R 8 Poože V k a & m& V ˆ U ˆ max k ˆ Poom a ˆ max ω RmU, kde k ˆ ψ kψ Po kosevaví sosav (sosav bez dspace eege) plaí Poom R( U ) kˆ ω R mˆ Vlasslav Salajka 9 a max m ˆ ψ mψ V max Opě plaí ω ω R ω N Je-l přípsý veko blízký va km Rayleghova-Rzova meoda kde N ˆ < N Vlasslav Salajka ψ 9 jso leáě ezávslé přípsé vekoy (vay) φr, poom lze č s velko přesosí - meoda dovolje získa apoxmace fekvecí Předpokládá se hamocký pohyb ( ) Ucos( ω α ) Veko U lze ozlož do řady N U U ˆ ψ ΨUˆ, kde Ψ [ ψ, ψ... ψ N ] ωr Nˆ vaů,

119 Nˆ Nˆ Za předpoklad, že V max max Vlasslav Salajka 9 U ˆ ˆ U jkj Uˆ ku ˆ ˆ j Rayleghův kvoce (podíl) R ( U) ˆ ω ˆ ˆ N N Uˆ mu ˆ ˆ ˆ ˆ kde kˆ U Ψ kψ a mˆ Ψ U jmj mψ j Hodoa ˆω je závslá a hodoách Û,,,..., Nˆ Rz předpokládal, že koefcey ( ) R U ˆ U N Uˆ ( U) Rovce má va Nˆ j Û,,,..., Nˆ N U Záměa R ( U) D U Nˆ j kˆ Uˆ ( ˆ k ˆ ω mˆ ) Uˆ j j j j j, D Uˆ ( U) Nˆ j,,,..., Nˆ ebo Úloha o vlasích hodoách vede a je možé č z podmíky sacoay R(U) ( ) ( ) apoxmací fekvecí S vyžím agageho ovc v obecém případě Vlasslav Salajka 9 mˆ && ˆ c ˆ & ˆ k ˆ ˆ pˆ ( ), kde mˆ Ψ mψ, c Ψ cψ, kˆ Ψ kψ a ( ) j N Nˆ mˆ ju ˆ N U j Vlasslav ( ) Salajka 9 kˆ ju ˆ j N U Uˆ j ω ( ) D( ) Nˆ D U U mˆ ju ˆ Uˆ ( k ˆ ˆ ω mˆ ) Uˆ Meoda dovolje edkova sosav s N SV a sosav s Nˆ SV Nˆ ( U) j ωˆ, D Uˆ ( U) ω D ( U) a vaů km N ˆ U 9 ( U) Nˆ Nˆ mˆ ju ˆ j k ˆ ju ˆ j j j Nˆ ( ) ψ ˆ ( ) Ψˆ ( ) ˆ p ˆ( ) Ψ p( ) Û

120 Nmecké meody po výpoče Vlasslav vaů a fekvecí Salajka 9 sosav s moha sp volos B Výpoče vlasích hodo v levé Vlasslav čás speka Salajka 9 Ieace podposo meoda je účá př hledáí ejžších vlasích fekvecí a odpovídajících vaů km sosav s velkým počem ovc (řádově ovc) vyžívá podobosí asfomac s Rayleghovo-Rzovo meodo aczosova meoda povádí řešeí po blocích převod a dagoálí va pomocí podobosí asfomace V sočasé době ejefekvější meoda ahazjící eac podposo Meoda dovolje čova fekvece a odpovídající vlasí vay v zadaých fekvečích mezích (řádově do a více ovc) Vlasslav Salajka 9 Všechy vedeé meody jso eačí A Výpoče všech vlasích hodo edkovaé sosavy Hoseholde bsekce vezí eace meoda je účá, když hledáme všechy vlasí fekvece a vay km a mace jso plé ebo s velko šířko pás (do 5 ovc) a) Gyaova edkce převod z velkého poč spňů volos a malý poče b) Převedeí a sadadí poblém vlasích čísel c) Aplkace Hoseholdeova posp a převedeí mace a dagoálí va d) Kombace bsekce s koolo pomocí Smových posloposí výpoče vlasích čísel e) Meoda vezích eací s posím výpoče vlasích vekoů f) Přepoče a původí (eedkovaý) poče spňů volosí

121 Dyamcká odezva sosav s moha Vlasslav sp Salajka volos 9 Meoda ozklad podle vaů km 4 Sosava pohybových ovc m && c& k p( ) Počáečí podmíky a & & Obecě mají mace m, c a k elové mmodagoálí (svazjící) čley - ejčasěj k j k j ( ) ( ) Pohybové ovce předsavjí sosav N smláích ovc o N ezámých V meodě ozklad podle vaů km sosava závslých ovc je asfomováa a sosav N ezávslých ovc s vyžím vaů km Základím kokem meody ozklad podle vaů km je výpoče vlasích fekvecí a vaů km (předpokládá se, že ve Vlasslav výpoč jso Salajka požy 9 všechy vay), j. N vaů km Pakcky lze pacova poze s ěkolka vay km Úloha o vlasích hodoách (modálí aalýza, zobecěý poblém vlasích hodo) ( m) φ k ω,,..., N φ, po,...,n moho bý omováy, jak bylo vedeo dříve Řešeím získáme dvojce ( ω, ) vay φ Výpoče modálí hmoos Výpoče modálí hos M φ mφ Vlasslav Salajka Plaí podmíky oogoaly vlasích vaů φ mφ 9 φ kφ po s K ω M s s

122 Vlasí vay jso spořádaé do modálí Vlasslav mace Salajka 9 Φ [ φ φ... ], φ N Sěžejím kokem meody ozklad podle vaů km je asfomace sořadc ( ) Φη( ) φ η ( ) Sořadce η ( ) N Po dosazeí do pohybových a po vyásobíme zleva aspoovao modálí mací ( ) M η& Cη& Kη P, - pohybové ovce v hlavích sořadcích Vlasslav Salajka 9 kde M Φ mφ - modálí mace hmoos C Φ cφ - modálí mace lmeí K Φ kφ ( ) ( ) P Φ p se azývají hlaví (vlasí, přozeé) sořadce - modálí mace hos - modálí zaěžovací veko Vzhledem k podmíkám oogoaly mace M a K jso dagoálí Sosava ovc je vzájemě závslá poze pomocí mmodagoálíchčleů mace lmeí C Exsjí však specálí ypy lmeí, kdy modálí mace C je dagoálí Poom sosava pohybových ovc v hlavích sořadcích předsavje sosav N Vlasslav Salajka 9 ezávslých ovc η ( ) Φ

123 ( ) Celková odezva η může bý získáa Vlasslav po zavedeí Salajka 9 počáečích podmíek a & Φη& ( ) Φη( ) ( ) ( ) Po vyásobeí ěcho ovc čleem ( ) ( ) Φ m Mη Φ Φ m ( ) Mη& ( ) m& zleva získáme Mace M je dagoálí, poom lze modálí počáečí podmíky zapsa ako M η ( ) φ m( ) a & η ( ) φ m& ( ) a M, po,,..., N 3 Vyřeší se sosava pohybových ovc v hlavích sořadcích sosava ezávslých ovc jedospňové sosavy v Vlasslav hlavích sořadcích Salajka 9 Řešeí mecko egací s modálím počáečím podmíkam Dhamelův egál Po alezeí řešeí v hlavích sořadcích ( ) se povede přepoče do původích Sořadc podle vzah Původí úvahy se vzahjí k případům, kdy se pacje s plo možo N vlasích vaů Meoda ozklad podle vaů km je efekvější, pacje-l se poze se zúžeo možo vlasích vaů sosavy Výbě poč vlasích vaů ovlvňje Vlasslav přesos Salajka řešeí 9 Relavě malý poče vaů podkje velm dobo apoxmac přesého řešeí η ( ) Φη( ) φ η ( ) N Řešeí odezvy elmeé sosavy ozkladem podle vaů km v přemísěích

124 Přemísěí () lze apoxmova výazem Vlasslav Salajka 9 Nˆ ˆ( ) Φη ˆ ˆ( ) φ η ( ), kde Φ ˆ [ φ, φ... φ ] Je vyžo poze Nˆ vlasích vaů z celkového poč N vaů, kdy (apříklad Nˆ 5, N ) Po elmeo sosav pohybové ovce v hlavích sořadcích ( ) Mˆ η && ˆ Kη ˆ ˆ Pˆ Nˆ N ˆ << N 4 Modálí mace hos a hmoos jso dagoálí sosava pohybových ovc je sosavo Nˆ ezávslých ovc Vlasslav Salajka 9 M η& & K η P,,..., Nˆ,, kde M φ mφ, K φ kφ a P φ P ( ) Vlasslav Salajka 9 ( ) ( ) Celková odezva v -ém va může bý vyjádřea jako spepozce odezvy a modálí počáečí podmíky a odezvy a modálí síly P () η ω Mω ( ) η ( ) cos( ω ) & η ( ) s( ω ) P ( τ ) s[ ω ( τ )] dτ Řešeím jso fkce přemísěí η ( ) Po vyřešeí odezvy v hlavích sořadcích se povede zpěá sbsce ˆ Nˆ ( ) Φη ˆ ˆ( ) φ η ( )

125 Vlasslav Salajka 9 p PcosΩ Modálí zaížeí P ( ) ( Φ P) cos( Ω ) ebo P ( ) F cos( Ω), kde F φ P U p Př ží vzah po sosav s SV p cos( Ω ), kde U k F η ( ) cos( Ω ) K ( Ω ω ) Usáleá odezva elmeé sosavy a hamocké bzeí ( ) ( ) Po zpěé asfomac dosazeí Nˆ F ˆ ( ) φ cos( Ω ) - sáleá odezva bez úlm K ( Ω ω ) Vlasslav Salajka 9 Příklad: Čyřpaová bdova, je modelováa jako ová koskce s ohybově poddajým slopy. Hamocká bdící síla P cosω působí v úov sřechy Učee: a) Modálí hmoos M a modálí hos K b) Modálí síly P () c) Výaz po sáleo odezv d) Výaz po ˆ ( ) e) Vyvoře ablk ampld fkce ˆ př N ˆ, ˆ ( ) N a N ˆ 3 po bdcí fekvece Ω, Ω,5ω a Ω,3 ω3 Učee () př N 4 Vlasslav Salajka 9 f) Poveďe ozbo řešeí η ( ) η ( ) do ˆ Nˆ ( ) Φη ˆ ˆ( ) φ η ( ) ( ) 5 3 4

126 Je dáo: Mace hosí koskce Vlasslav Salajka Mace 9 hmoosí koskce k 8 m Vlasíčísla zobecěé úlohy Vlasí vekoy (vay km) ω,767,8797, ,79 Vlasí úhlové fekvece 3,94 9,66 ω 4,79 55,88 3,,,779,9963 Φ,49655,53989,356,4376 Vlasslav Vlasí vay Salajka km 9,945,,5859,7797 6,5436,4487,,63688 Řešeí: f,6 Hz f 4,74 Hz f 3 6,538 Hz f 4 8,894 Hz a) Výpoče modálích hmoosí a modálích hosí M a φ mφ K Vlasslav Salajka ω M 9

127 4,,779 M,49655,356 4 K ω M 57,695 4 K ωm 95,39 b) Výpoče modálích sl P 4, Vlasslav Salajka 9,779 4, ,356 4 K3 ω3m3 7368,43 4 K 4 ω4m4 374,4 M,9788 M,773 M3 4,36653 M4,9788 p F φ p F P, F P, F3,945 P a F4, 5436P Vlasslav Salajka 9 c) Jedá se o hamocké bzeí ( ) ( F / K ) cos( Ω) Ω η, kde ( ) ω d) Hledaá apoxmace ˆ (v posích) ˆ Nˆ ( ) ( ) ( φ ) η ( ) ( ) e) Výaz po všechy vay km ( ), P cos 4 57,695, P cos 4 95,39, ,43 ( Ω ) [ Ω /76,7] ( Ω ) [ Ω / 879,7 ] Nˆ (,945 ) P cos( Ω ) [ Ω /687,46] ( ),5436,5436 P cosω Vlasslav Salajka ,4 Ω / 3,79 [ ] Nˆ Nˆ 7 3

128 Kosaa c ve výaz ( ) ( ) cp cos Vlasslav Ω vz ablka Salajka 9 N ˆ N ˆ N ˆ 3 N ˆ 4 Ω,97 7,49 7,6 7,64 7 Ω,5ω,66 7 3,76 7 3,89 7 3,9 7 Ω,3 ω,3 8 3,63 8 5,8 8 4,987 8, F b φ pb, ad. Vlasslav Salajka 9, f) Závěy Př ží poze jedoho va km po žádo bdící fekvec ebyla získáa dosaečě přesá apoxmace řešeí Př ží ří vaů km bylo získáo pakcky přesé řešeí po Ω a Ω,5 ω Poože bdící fekvece Ω,3 ω3 vlasí fekvec ω4 eí možé získa věohodé řešeí př meším poč vaů Vlasslav Salajka 9 F φ P Modálí sacká výchylka D K haje sejo ol jako sacké přemísěí U jedospňových sosav K Příklad: Po čyřpaovo bdov řešeo v předchozím příkladě se má vyčísl p a a p b,,,779,779 φ pa, 57,49655,356,356 F a D po dva případy zaížeí Řešeí: S vyžím vaů km F a

129 Modálí síly F a, F b,57 F a, F b,773 F 3a,945 F 3b,768 F 4a,5436 F 4b,693 Výpoče modálích výchylek Vlasslav Salajka 9 F D K D a, D b 4, D a 5,9 8 D b,47 8 D 3a,34 8 D 3b,43 8 D 4a,357 9 D 4b, va km společě s ozděleím sl čje hodo F V případě, že vay jso omováy vzhledem k, poom hos vzůsá s číslem va Řešeí odezvy elmeé sosavy ozkladem podle vaů km ve zychleích Př řešeí v přemísěích - edosaky: Vlasslav Salajka 9 Řešeí selhává v případě sackého zaížeí Kovegece ke spávém řešeí je obvykle pomalá Řešeí ve zychleích - edosaky odsaňje Sosava pohybových ovc m & k p( ) je přepsáa k ( p( ) m& ) Čle & & lze apoxmova pomocí &ˆ& obdobě jako řešeí v přemísěích ~ Apoxmace k p( ) m&ˆ & & ( ) ( ) ( ) S vyžím vzah ˆ φ η& & apoxmace Vzhledem ke vzah Nˆ ( ) k ω m φ Vlasslav, kde Salajka,..., N 9 Nˆ ~ k p( ) k mφη& & Nˆ ~ k p( ) φ && η ω

130 Nˆ ~ k p( ) φ && η ω Čle ω Pvíčle v Vlasslav ovc předsavje Salajka psedosacko 9 odezv Dhý čle v ovc dává vedeé vaaě ázev (řešeí ve zychleích) ve jmeovael zvyšje ychlos kovegece vaaě řešeí v přemísěích Příklad: Zadáí je shodé s předchozím příkladem Učee: a) Výaz po ~ ( ) b) Vyvoře ablk ampld fkce ~ ( ) př N ˆ, N ˆ a N ˆ 3 po bdcí fekvece Ω, Ω,5ω a Ω,3 ω3 c) Pooveje sřešeím př N 4 a s předchozí vaao řešeí Poveďe ozbo řešeí,647,3547,797,35 Vlasslav Salajka 9,3547,3547,797,35 Mace a vezí k mac hos k a k,777,797,797,35 Řešeí: Nˆ,35,35,35,35 a) ~ ( ) ( ) ap cosω ( φ) && η ω F Dále η ( ) cos( Ω ) K Z čehož plye, že && η ( ) Ω ( ) ( Ω ω ) η Po dosazeí do výchozí ovce Nˆ Ω ~ ( ) ( ) ap cosω ( φ Vlasslav ) η Salajka 9 ω 3 7

131 Poom b) ( ) ( ) 7,647 P cos Vlasslav Ω Salajka 9 ( ) ( ) ˆ Ω /76,7, P cosω N 4 ˆ 57,695 [ ( Ω /76,7 )] N ˆ ( Ω / 879,7 ), P cos( Ω ) N 4 95,39 [ ( Ω / 879,7 )] Ω /687,46,945,945 P cosω ,43 [ ( Ω /687,46)] ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ω / 3,79 ),5436,5436 P cos( Ω ) 4 374,4 [ ( Ω / 3,79 )] Kosaa c ve výaz c) Závěy ( ) ( ) ) Přesé sacké řešeí lze získa př cp cosω vz ablka Vlasslav Salajka 9 N ˆ N ˆ N ˆ 3 N 4 Ω,64 7,64 7,64 7,64 7 Ω,5ω 3,6 7 3,88 7 3,9 7 3,9 7 Ω,3 ω 5,44 8,56 8 5,7 8 4, Ω 3 bez važováí vaů km 3 ) Po ízko fekvec,5 ω sačí poze jede čle řady po získáí spokojvého řešeí - po přdáí dalších čleů přesos apoxmace pdce vzůsá 3) Poože bdící fekvece Ω,3 ω3 je blízká vlasí fekvec ω Vlasslav Salajka 9 4 eí opě možé získa věohodé řešeí př meším poč vaů

132 Vlasslav Salajka 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rovce η η cos ω η ω P ( τ ) [ ω ( τ )] dτ ω & s Mω s Může bý poža po výpoče výaz η& & ( ) P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω Obecý výaz po && η ω η cos ω ω & η s ω P ( τ ) s[ ω ( τ )] dτ M M může bý pave egací po čásech (pe paes) 3 && η d ω η ( ) cos( ω ) ω & η ( ) s( ω ) P ( ) cos( ω ) [ P ( τ )] cos[ ω ( τ )] dτ M dτ Řešeí ovc se zpavdla povádí mecky Vlasslav Salajka 9 Výpočový posp kázal a možos pacova poze s Nˆ vlasím fekvecem a odpovídajícím vlasím vay km ako se časo pospje pakckých úloh Důležý kok je výbě poč fekvecí a vaů vyžadje se m. 9% kmající hmoy Řešeí ozkladem podle vlasích vaů km vskózě lmeých sosav Popsje se meoda meoda ozklad podle vlasích vaů km př řešeí odezvy sosav s vskózím modelem lmeí - sosava modálích pohybových ovc je opě vzájemě evázaá Specálí pozoos je věováa odezvě a hamocké bzeí - ao odezva haje důležo ol př ávh a posozeí koskcí zaížeých ojícím účky sojů, ham. bzeím věem, dopavím Vlasslav podem Salajka (chodc) 9 apod.

133 Pohybové ovce v modálích sořadcích Vlasslav Salajka popsjící 9 sosav s moha sp volos M η&& Cη& Kη P( ) Předpokládá se, že sosava je lmea vskózí model lmeím Mace lmeí c je aková, že plaí φ c φ, po s kde je modálí lmící fako (modálí Vlasslav lmeí) Salajka 9 C ze jej vyčísl ze vzah ζ M M ω φ cφ ω s - vlasí Vlasslav úhlová Salajka fekvece 9 lmeé sosavy 33 Poom sosava pohybových ovc je sosavo vzájemě evázaých ovc Sosava ovc může bý zapsáa (jedospňové sosavy v modálích sořadcích) & η ζ ω & η ω η M ξ P ( ), po,,..., Řešeí ovc se povádí sejým způsobem jako jedospňové sosavy η kde Mωd ζ ω ( τ ) ζ ω ( ) P ( τ ) e s[ ω ( τ )] dτ η ( ) e cos( ω ) ω d ω Dhamelův egál ζ d N & ω d d ζ ω [ η ( ) ζ ω η ( ) ] e s( ω ) d,

134 Po vyřešeí N modálích ovc Vlasslav se povede Salajka zpěá 9 sbsce do ovce N ( ) φ η ( ) Je-l požo poze Nˆ vlv vaů N ˆ až N k [ p( ) c& m& ] Nˆ Nˆ ~ ( ) k p( ) k c φ & ( ) Vlasslav η k m Salajka φ & η ( ) 9 ω 34 Meoda ozklad podle vlasích vaů km v případě výpoč sáleé odezvy vskózě lmeé sosavy hamocky bzeé slo p PcosΩ V omo případě && η ζ ω & η ωη M kde F se čí ze vzah φ P vaů (řešeí v přemísěích), poom řešeí úplě goje V případě řešeí ve zychleích se vychází z ovce Poom apoxmace řešeí F F cos ( Ω ) F Ω Vlasslav Salajka e 9 K && η ζ ω & η ω η ω ( ) ( ) Sejě jako v případě sosavy s SV, lze získa řešeí v komplexích číslech

135 Usáleý sav kde η H H H η η IF ( Ω) η / F η lze vyčísl ze vzah Vlasslav Salajka 9 Ω ( Ω) F e ( Ω) Hη / F ( Ω) ( ) je fkce komplexí fekvečí odezvy po hlaví sořadce F K ( ) ( ζ ) K Obdobě jako dříve jedospňových sosav cos ( ) ( ζ ) Komplexí fekvečí odezva ve Vlasslav fyzckých Salajka (zobecěých) 9 sořadcích v komplexím vyjádřeí H ( ) Φη( ) φ η ( ) j N Po dosazeí ovce, a ( ) φ φ N φ φ j Vlasslav Salajka 9 ( ) ( ) H p j Ω K ζ ( Ω) ( ) N K ζ P ( ) ( ) ( Ω α ) ( ) ( ), kde Fkce komplexí fekvečí odezvy H j ( Ω) a jedokové hamocké bzeí p j e Ω aα ζ po fyzcké sořadce dává odezv 35

136 Usáleá odezva ( ) N φ φ K ( ) P Vlasslav Salajka 9 cos( Ω α ), ζ ( ) ( ) 36 kde α se čí z ovce Gaf fkce H j Ω v komplexí ově se azývá gafem komplexí fekvečí odezvy V omo případě Ω je paame a složka I H je vykeslováa vzhledem k R H ( j ) R H N ( ) Někdy se zobazje aα ζ ( φ ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ j K R ( H) a I( H ) ( ) N φ φ j Vlasslav a ζ Salajka I H j 9 K vzhledem k f Ω π ( ) ( ) ζ ( ) ( ) ζ Fkce fekvečí komplexí odezvy se azývá aké přeosá fkce a časo se vyžívá po čováí vbačích chaakesk př expeme ( ) ( ) Vlasslav Salajka 9

137 Dyamcká apjaos v případě Vlasslav meody ozklad Salajka 9 podle vaů km Meoda ozklad podle vlasích vaů km byla aplkováa po čeíčasové odezvy 37 fkce přemísěí () jedodše se dají č devace dle čas (ychlos a zychleí) V dyamcké aalýze se časo vyžadje č časový půběh apjaos (mome, posovající síla, omálové a smykové apěí apod.) ebo exémí hodoy apěí v čých mísech koskce Symbolcky lze apjaos získao meod ozklad podle vlasích vaů km v přemísěích vyjádř ako: σˆ Nˆ ( ) S η ( ) kde S je příspěvek do veko apěíσod Vlasslav -ého Salajka va 9 km př V případě řešeí ve zychleích Nˆ σ ~ ( ) σps S && η ( ) ω kde dex ps ozačje psedosacké řešeí Řešeí ve zychleích je výhodější vůč řešeí v přemísěích z hledska ychlos kovegece Příklad: Po řešeý příklad čyřpodlaží bdovy se mají č výazy po příčé síly σ Vlasslav Salajka 9 a úov jedolvých podlaží odpovídající -ém va km. η

138 Řešeí: Z elavích posí jedolvých Vlasslav Salajka podlaží 9 - apjaos σ k ( ), σ k( 3 ), σ 3 k3( 3 4 ) a σ Macově Po -ý va km plaí σ k σ σ 3 σ 4 k k k k 3 k k 4 3 Po hodoy k a Φ z vedeého příklad 3 4 S S S S3 S 4 k k k k k 3 ( ) 4 k4 4 k k 4 3 φ φ φ3 φ ,7 45,8 S 67,58 75, ,7 5,6 74,4 Vlasslav Salajka 853, , S, S a 54,47 4, ,5 65,5 48, 37,7 S4 398,5 38, Hodoy modálích sl vzůsají sčíslem va km - z ohoo důvod kovegece hodo apjaos je pomalejší ež kovegece hodo přemísěí Poo se př čováí apjaos s výhodo se vyžívá meoda ozklad podle vaů km ve zychleích Závěečá pozámka k meodě ozklad podle vlasích vaů kmů Meod ozklad podle vaů km elze poží po řešeí úloh, kdy mace k a m se měí včase (maeálová a geomecká Vlasslav eleaa), Salajka 9 změa okajových podmíek (koakí úloha) a v případě epopocoálího úlm 4

139 Meody přímé egace př řešeí Vlasslav dyamcké Salajka odezvy 9 Úlm mohospňových sosav Vlasslav Salajka 9 39 Př řešeí odezvy ozkladem podle vlasích vaů km byl važová specálí případ vskozího lmeí - lmeí vyhovovalo ovc oogoaly φ c φ, po s s Mace c je mace vskózího lmeí ve fyzckých (ebo zobecěých) sořadcích a φ jso vlasí vay km sosavy Vzah mez modálím úlmem a úlmem v zobecěých sořadcích C ζ M ω Mω φ cφ Modálí fakoy lmeí (modálí úlm) ζ jso závslé a om jak kmá koskce ebo její čás kmáí lze odečís z va km Kmá-l apříklad v čém va ocelováčás je možé odhado úoveň lmeí po eo va km U vaů kdy kmajíčás z ůzých maeálů je ěžké č úoveň lmeí příklad blokového základ, keý je lože a avbačí vsvě v beoové vaě; vaa leží a podzákladí železobeo beo základ 5-7 %, avbačí vsva 6 %, želbe. vaa 5-7 %, podzákladí - % je ěžké alad lmeí po va kdy kmají všechy čás Uvedeý yp lmeí je azývá v Vlasslav leaře Salajka jako oogoálí, 9 klascký, modálí ebo popocoálí úlm 5

140 Exsje celá řada případů, kde vedeý Vlasslav model Salajka lmeí 9 eí možé poží apř. modely bdov včeě podzákladí úoveň lmeí bdov je podsaě žší ež lmeí zem Mmo o se vyskyjí případy epopocoálího lmeí jako vlv kapaly a koskc, slě lmící čás koskce (lmče a komíech apod.) V vedeých případech mace modálích lmeí eí dagoálí a poží meody ozklad podle vlasích vaů km v eálém obo eí možé Výhodějším pospem řešeí odezvy se jeví meody přímé egace pohybových ovc ve fyzckých (ebo zobecěých) sořadcích lze zaho do výpoč mace fyzckého lmeí zem a lmeí jedolvých čásí koskce Obdobým pospem lze řeš eleáí úlohy (velké defomace, plasca, koak apod.), kdy meody ozklad podle vaů km elze poží. Vlasslav Salajka 9 Mace lmeí c je leáí kombací mac hmoosí m a hosí k sosavy (koskce) Koefcey α a β lze saov expemeálě Vlasslav Salajka ebo podle 9 modálího lmeí dvo vybaých výzamých vaů km 4 Vzká však oázka, jak jedodše zaho fyzcký úlm do výpoč defova mac lmeí c přímo z vlasosí každé čás koskce je začě poblemacké věšo emáme dosaek fomací o lmeí jedolvých čásí koskce Exsje posp, keým lze jedodše sesav mac lmeí c Model popocoálího lmeí - azývaý Rayleghův model úlm c α m β k

141 Nechť ( ω, ) φ ( m) φ jso vlasí dvojce vyhovjící Vlasslav ovcím Salajka 9 k ω, po,,..., N Plaí podmíky oogoaly φ m φ s M δ s φ k φ Podle defce Rayleghova úlm φ c φ s a ( α βω ) Mδ s s ω M δ s, kde δ s δ s je Koeckeovo dela je - l s je - l s 4 Dříve bylo defováo, že C φ cφ Mωζ Vlasslav Salajka 9 Kombací posledích dvo ovc ζ α βω ω Paamey Rayleghova úlm lze jedodše č a základě výbě dvo hodo ζ odpovídající dvěma vvybaým vaům km Řešeím sosavy dvo ovc o dvo ezámých získáme paamey α a β Čle αm předsavje vezě popocoálí lmeí vzhledem k ω Čle βk opo om vede k leáím áůs lmeí vzhledem k ω Nevýhodo Rayleghova model lmeí Vlasslav je, Salajka že ezačje 9 ealscké lmeí všech važovaých vaů km

142 Exsje posp, jak zaho do mace Vlasslav lmeí Salajka vlv 9 lmeí více vaů Plaí C Φ cφ dag ζ ω M Poom c Φ CΦ Poože modálí mace ze káza, že edy c c I M Φ. M ( ) Φ ( M Φ m) Φ Φ Φ M Φ m Kombací ovc a # ( mφ M ) C( M Φ m) N ζ ω M ( mφ )( mφ ) # je mace oogoálích vekoů a plaí Vlasslav Salajka 9 Poože mace M a C jso mace dagoálí - poom Vlasslav Salajka 9 M Φ V případě lmovaého poč N c vaů km odpovídajících ízkým fekvecím lze výše vedeo ovc pav c N c ζ ω M ( mφ )( mφ ) mφ 4

143 eo posp vyváří mac lmeí Vlasslav c, ve keé Salajka eí 9 zah vlv lmeí vaů (N c ), (N c ),, N Je možé modfkova o ovc ak, že vay,,, N c mají defovaý (zadaý) 43 poměý poměý úlm a vay (N c ), (N c ),, N mají lmeí věší ež va N c o je možé za předpoklad, že Nc c k ˆ ζ ω β ( )( ) M mφ mφ, kde zadaé hodoy, s,,..., Nc ζ Nc β ω, ζˆ ζ ζ N, ζ ωn c s ωs c ω ζ ( ) ( ) Nc N, s Nc, Nc,..., N c ωnc Přímá egace pohybových ovc Vlasslav vyžadje Salajka poží 9 fyzcké mace lmeí c Po apoxmac lmeí lze poží Rayleghův model lmeí, model zobecěého popocoálího lmeí ebo Příklad: a) Požje ovc po čeí mace lmeí ve fyzckých sořadcích po případ čyřpodlaží bdovy (vz dříve řešeý příklad) dáo ζ ζ, b) Učee paamey lmeí ζ 3 a ζ 4 Řešeí: a) Podle ovce je po N c ˆ ζ ω ζ ( )( ) c β k mφ mφ Vlasslav Salajka M, kde β 9 a ω ˆ ζ ω ζ ζ ω

144 . Číselě mφ β, Vlasslav 4 Salajka 9 6,743 ˆ 3,94 ζ,, 5,579 9,66 9,66,,779, ,356,,558,993, Po dosazeí do výaz po c,595,45988 c,57,36 b) Podle ovce ζ Poom s,45988,7433,99987,56,57,36,99987,56 4 Vlasslav Salajka,7476,5858 9,5858 3,853 k 8 44 Př řešeí dyamcké odezvy sosavy s SV byla vedea koková meoda meoda přímé egace pohybové ovce Vlasslav Salajka 9 Exsjí obdobé pospy po řešeí sosav s koečým počem spňů volos 6 ω s ζ po s 3, 4 ω 4,79 55,88 ζ 3,,38 a ζ 4,, 88 9,66 9,

145 Základí myšleka mecké egace Vlasslav spočívá Salajka v om, 9 že řešeí sosavy pohybových ovc m && c& k p( ) Meody se dělí a explcí a mplcí Vlasslav Salajka 9 45 se hledá poze v koečém poč časových okamžků,,, N řešeí po kocích Délka časového kok je Na počák řešeí je o zohled počáečí podmíky a & & ( ) ( ) Předpokládá se, že jso zámá přblžářešeí včasech,,,, - Hledá se přblžéřešeí včase Požý posp řešeí defje meod mecké egace Výbě meody mecké egace ovlvňje áoky a výpoče a přesos řešeí Explcí meody jso vhodé po řešeí ychlých dyamckých jevů cash esy, ávh abagů, výbchy a ázy káká časová oblas eleáí dyamka F() Implcí meody jso vhodé po řešeí pomalých dyamckých jevů kmáí, Vlasslav Salajka 9 leáí dyamka dlohá časová oblas

146 Dfeečí meoda paří mez explcí Vlasslav meody Salajka 9 Vyžívá áhady devací podle čas dfeecem Nechť odpovídáčasovém okamžk je časovým kokem V případě ejjedodšší dfeečí áhady & ( ) && ( ) a časovém okamžk Po dosazeí do sosavy pohybových Vlasslav ovc Salajka - čas 9 m && c& k p vzke ovce 46 m c p k m m c Dfeečí meoda je výhodá, pokd je mace c ebo c αm a př dagoálí mac hmoos m Meoda je podmíěě sablí Podmíka sably - délka zvoleého egačího kok, kde je π ejmeší peoda kmáí sosavy Nevýhodo meody je, že v pvím Vlasslav kok výpoč Salajka je 9 řeba poží specálí posp

147 Newmakova meoda - meoda kosaího Vlasslav Salajka (půměého) 9 zychleí - mplcí meoda Vzahy mez přemísěím, ychlosí a zychleím včase a & & α&& α& & [( δ ) && δ& ] Vlasslav Salajka 9 m c k & k c k & δ α c k && δ α Vyčísleý veko & & zychleí se dosadí do ovc po přemísěí a ychlos Vypočo se vekoy přemísěí a ychlosí & a jde se a další kok Paamey α a δ volíme ak, aby meoda byla sablí Př α a δ se jedá o meod kosaího (půměého) zychleí 4 Sosava pohybových ovc v čase m && & p c k Po dosazeí ovc vzke sosava algebackých ovc po výpoče ( ) ( ) ( ) Je zřejmé, že eí vhodé časo mě mac k ˆ m δ c α k oho lze dosáho, kdy m, c, k a jso kosaí leáí úlohy dyamky Vlasslav Salajka 9 Meoda je jedodchá a sablí velký egačí kok & & 47

148 Wlsoova θ-meoda meoda leáího Vlasslav zychleí Salajka v 9 ozšířeém eval, θ - mplcí meoda V lbovolém časovém okamžk plaí τ & && ( && & τ θ ) θ Po egac τ & & && ( && & τ τ θ ) θ 3 τ τ & && ( && & τ τ θ ) 6θ Po dosazeí za τ θ θ & ( ) Vlasslav Salajka 9 & && & θ θ θ & ( && & θ θ θ ) & & 6 Vyčíslí se & & θ - po dosazeí do ovc, a po τ lze vypočía a jde se a další kok 48 Obdobě jako v Newmakově meodě je o ovce dosad. do pohybových ovc eoká po θ m && & θ c θ k θ p θ Sabla a přesos meody je závslá Vlasslav a výbě Salajka koefce 9 θ Meoda je sablí př θ,37 - požívá se θ,4; opmálí hodoa je θ,485 a &

149 Vlasslav Vlasslav Vlasslav Salajka Salajka Salajka Vlasslav Vlasslav Vlasslav Salajka Salajka Salajka Vlasslav Vlasslav Vlasslav Salajka Salajka Salajka ( ) ξ η η ξ ξ ξ ξ η η ξ η k k A Poom, Vlasos kokových meckých egačích algomů vyží opeáoů Pohybová ovce jedospňové sosavy včase ( ) & & && & & ( ) 4 & & && & 4 4 p m c k && & && & p k k k c k k m c m c k c m k p A m p 4 4 ξ η p F m k ξ ω m c ζω η p k c m & && Devace podle čas lze ahad koečým dfeecem Výše vedeé vzahy je možé zapsa macově ebo Příméřešeí získáme po vez mace k a kde a Sočelé ξ a η

150 Příklad: Vlasslav Salajka 9 Požje meod půměého zychleí po získáí vlasího kmáí elmeé sosavy o jedom sp volos, kdy k, m, () a & ( ) Vybee odpovídající egačí kok a poveďe egac po 5 Řešeí: Vlasí fekvece a peoda m k Volba časového kok, kok je meší ež / ω π π ω Dále ξ ω,,4, η ζω eboť ζ,99 Poože se jedá o volé kmáí Vlasslav Salajka 9 A A, kde,,99 Pohybová ovce & & spol s počáečím podmíkam & je čeo z pohybové ovce & ( ) Přeséřešeí úlohy je () cos(),98,98 (,) A,98, ( ),958,4 A,388 Vlasslav Salajka 9,958,,98, ad. & &&,,, ( ) ( ) ( )

151 ,, & & -, -,98 &, -,98 Vlasslav Salajka cos( ) 9 Přesos algomů,, - v ampldě ( pokles ampld) 5 - v peodě (poažeí peody),98, ,4,6,8,,,4,6,8, -,958 -,8646 -,6986 -,5439 -,3666 -,7454,39,39,4 -,388 -,563 -,755 -, ,9359 -, ,9997 -,9759 -,94,958,96,8646,8534 Sabla algomů,6986, podmíěě sablí,5439,543 c př věší hodoě ež je,3666,3636 kcká, řešeí se ozpade,7454, epodmíěě sablí -,39 -,9 př velkém časovém Vlasslav -,39 Salajka -,7 9 kok algomy fgjí -,4 -,465 - áůs mecké chyby Sosava s SV bzeí počáečí výchylko Newmakova meoda Vlasslav Salajka 9 Wlsoova θ-meoda - θ,4

152 Odezva koskcí a bzeí sesmckým Vlasslav Salajka zaížeím 9 pohybem podzákladí Děleí a echcko sezmc a příodí sezmc echcká sezmca vzká jako ásledek působeí člověka Příodí sezmca - ezávsle a působeíčlověka Vlasslav Salajka 9 Chaakesky eza zeměřeseí sezmckého zaížeí velkos zeměřeseí 5 Poblémy př čováí sezmckého zaížeí áhodos bzeí eleáí chaake bzeí Zychleí - akceleogamy Rychlos Přemísěí 6 Sesmcké oblas svěa mez oky 99 - s vedeo hlobko ohska Z obázk je jasé, že ve věšě oblasí vkají ořesy v hlobkách do 7 km Hlbší ohska jso vázáa čsě a desková ozhaí, především sbdkčí zóy chého oceá (zdoj: hp:// Vlasslav Salajka 9 Pořeba saoveí odezvy a sezmcké bzeí po ávh a posozeí savebích objeků echologe

153 Ieza zeměřeseí Vlasslav Salajka 9 53 je velča, keá je čováa a základě pozoováí makosezmckých účků zeměřeseí yo zahjí ůzé spě poškozeí saveb, vzk paskl a pkl v povch, případý pokles ebo vzesp eé, sesvy apod. Ieza je edy čsě sbjekví velča závslá a čeí míy škod, keé vzkly V sovslos s ořesy Její velkos je v každém mísě pozoováí odlšá a klesá se vzdáleosí od epcea Pops spce MM (Modfed Mecall) s vedeým zychleím povch (BRÁZDI, R., e al, 988) Speň I. Ozačeí epozoovaelé Zychleí (mm.s - ) do,5 Vlasslav Salajka 9 Člověk eozpozá, poze přísoje Pops II. velm slabé,5-5 Rozpozaelé v hoích paech bdov clvým ldm II. slabé 5 - Vbace, lsy se pohybjí; sovaelé s vbacem způsobeým pojíždějícím ěžkým ákl. aomoblem IV. míé - 5 Dčeí oke, cko příboů a ádobí, zd vydávají paskavé zvky V. málo slé 5-5 ze ozpoza v kajě, pobozí spící, paskáí oke, kyvadlové hody se moho zasav VI. slé 5 - Vávoáí př chůz, padají předměy, ozbíjí se ádobí, paskly v omíce VII. velm slé - 5 ze je obížě sá, zvoy zvoí, hly ve zdech VIII. bořvé 5-5 Padají komíy, poškozeí bdov, pohybjící se ěžký ábyek IX. psošvé 5 - Paka, vážé poškozeí domů, věší hly v půdě X. čvé - 5 Zčeé bdovy, pošeí přehad, velké hly v půdě XI. kaasofcké 5-5 Rozžeí kolejí a pobí, zčeé mosy, změy eé XII. globálí přes 5 Velké předměy léají vzdchem, úplé zčeí, ozsáhlé eéí změy Vlasslav Salajka 9

154 Velkos zeměřeseí je objekvě Vlasslav změřelo Salajka velčo 9 Vyobazeí savby a fkce sesmogaf hp:// Posí 54 Příodí sezmca ČR Rychlos Vlasslav Salajka 9 Zychleí echcká sezmca ČR Poddolovaé území Sev. Moava El Ceo 94 hozoálí smě Ukázka zázamů zeměřeseí Vlasslav Salajka 9 akceleogamy - zychleí ve svslém smě

Světlo v izotropním látkovém prostředí a na rozhraní izotropní bezztrátové dielektrikum je charakterizováno skalární permitivitou ε = εε.

Světlo v izotropním látkovém prostředí a na rozhraní izotropní bezztrátové dielektrikum je charakterizováno skalární permitivitou ε = εε. Učebí ex k předášce UFY2 Feselovy vzoce a jevy a ozhaí dvou posředí I Svělo v zoopím lákovém posředí a a ozhaí zoopí bezzáové delekkum je chaakezováo skaláí pemvou ε εε a pemeablou μ μμ (kde μ po emagecké

Více

β. Potom dopadající výkon bude

β. Potom dopadající výkon bude Učebí ex k předášce UFY Feselovy vzoce a jevy a ozhaí dvou posředí II Odazvos a popusos Ve vakuu je plošá husoa oku zářeí dáa Poygovým vekoem S c ε E B a zářvos (W/m je defováa jako časová sředí hodoa

Více

Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti

Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Odezva a obecou periodickou budící fukci Iva Períková Kaedra mechaiky, pružosi a pevosi Obsah Fourierovy řady Odezva a polyharmoickou fukci Odezva a obecou periodickou fukci Odezva a jedokový skok Příklad

Více

ÚLOHA VÍCE TĚLES V NEBESKÉ MECHANICE

ÚLOHA VÍCE TĚLES V NEBESKÉ MECHANICE ÚLOHA VÍCE TĚLES V NEBESKÉ ECHANICE SPECIFIKACE PROBLÉU Řeš úlohu ěles zaeá aléz pohyby ( foulova pohybové ovce a aléz ech řešeí) hoých bodů (esp ěles př zaedbáí duhoé oace) a eé působí pouze vzáeé gavačí

Více

Finanční management. Co je inflace? Reálný a nominální diskont. Zahrnutí inflace do výpočtu NPV

Finanční management. Co je inflace? Reálný a nominální diskont. Zahrnutí inflace do výpočtu NPV Fačí maageme Zahuí flace do výpoču NPV Co je flace? defce měřeí pomocí CPI, PPI, defláou eálá a omálí velča měřeí v peěžích jedokách ebo v kupí síle běžé a sálé cey Reálý a omálí dsko zaedbáme-l daě (Fshe):

Více

Přehled modelů viskoelastických těles a materiálů

Přehled modelů viskoelastických těles a materiálů Přehled modelů vskoelsckých ěles merálů Klscké reologcké modely Klscké reologcké modely vycházejí z předsvy, že chováí ěles lze hrd chováím sysému složeého z pruž písů, edy z ookeových ewoových ěles. ookeovo

Více

DYNAMIKA časový účinek síly Impuls síly. 2. dráhový účinek síly mechanická práce W (skalární veličina)

DYNAMIKA časový účinek síly Impuls síly. 2. dráhový účinek síly mechanická práce W (skalární veličina) DYNAMIKA 2 Působením síly na čásici se obecně mění její pohybový sav. Síla působí vždy v učiém časovém inevalu a záoveň na učiém úseku ajekoie s. 1. časový účinek síly Impuls síly 2. dáhový účinek síly

Více

Obsah 1.Rozklad podle vlastních tvaru kmitu... 2 2.Výpočtové modely... 2 3. kozistentni matice hmotnosti... 2 4.Rayleigho utlum/podíl... 3 5.

Obsah 1.Rozklad podle vlastních tvaru kmitu... 2 2.Výpočtové modely... 2 3. kozistentni matice hmotnosti... 2 4.Rayleigho utlum/podíl... 3 5. Obsah Rozklad podle vlasích vau kmiu Výpočové modely 3 kozisei maice hmoosi 4Rayleigho ulum/podíl 3 5 řešeí seismicky amáhaé kosukce / seismicia 3 6 Hamoické buzeí 4 7 meody řešeí úlumu - log dekeme, polovičí

Více

IV. MKP vynucené kmitání

IV. MKP vynucené kmitání Jří Máca - katedra mechaky - B35 - tel. 435 4500 maca@fsv.cvut.cz IV. MKP vyuceé kmtáí. Rovce vyuceého kmtáí. Modálí aalýza rozklad do vlastích tvarů 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3. Metoda cetrálích

Více

Přijímací zkoušky do navazujícího magisterského studia Učitelství fyziky pro 2. stupeň ZŠ a Učitelství fyziky pro SŠ pro akademický rok 2010/2011

Přijímací zkoušky do navazujícího magisterského studia Učitelství fyziky pro 2. stupeň ZŠ a Učitelství fyziky pro SŠ pro akademický rok 2010/2011 Přijíací zkoušky do avazujícího agiseského sudia čiesví fyziky po supeň ZŠ a čiesví fyziky po SŠ po akadeický ok / ) Při akceeačích závodech sauje závodí auoobi z kidu a ěří se čas, za keý uazí dáhu 4

Více

4. Analytická geometrie v prostoru

4. Analytická geometrie v prostoru . alcá geomee v oso V aalcé geome so geomecé obe chaaeová omocí číselých údaů. Vlasos geomecých obeů so sdová v edom e í osoů: ooměý eledovsý oso, o. E (oso), dvooměý eledovsý oso, o. E (ova), edooměý

Více

SP NV Normalita-vlastnosti

SP NV Normalita-vlastnosti SP - - NV Normala-vlasos Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí Charakerscká fukce Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa -rozměré ormálí rozděleí -rozměré ormálí rozděleí Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí

Více

NUMERICKÁ ANALÝZA ŠÍŘENÍ SVĚTELNÝCH PAPRSKŮ V IZOTROPNÍM OPTICKÉM PROSTŘEDÍ

NUMERICKÁ ANALÝZA ŠÍŘENÍ SVĚTELNÝCH PAPRSKŮ V IZOTROPNÍM OPTICKÉM PROSTŘEDÍ NUMERICKÁ ANALÝZA ŠÍŘENÍ SVĚTELNÝCH PAPRSKŮ V IZOTROPNÍM OPTICKÉM PROSTŘEDÍ A Volfová J Nová ČVUT v Paze Fala savebí aea fyzy Čláe se zabývá aalýzo půcho papsů obecě ehomogeím zoopím opcým posřeím V pác

Více

Model dynamické spolehlivosti složitého technologického celku užitím markovské analýzy

Model dynamické spolehlivosti složitého technologického celku užitím markovské analýzy Model dyamcké spolehlvos složého echologckého celku užím makovské aalýzy Ig. Josef Chudoba Úsav ových echologí a aplkovaé fomaky Fakula mechaoky Sudeská 2, Lbeec, 46 7 el: 48535 3763, e-mal: josef.chudoba@ul.cz

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský socálí fod Praha & EU: Ivesujee do vaší budoucos Ekooka podku aedra ekooky, aažersví a huaích věd Fakula elekroechcká ČVUT v Praze Ig. učerková Blaka, 20 Úrokový poče, základy fačí aeaky (BI-EP)

Více

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky). Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké

Více

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim KAPITOLA 4: 4 Úvod Derivace fkce [MA-8:P4] Moivačí příklady: okamžiá ryclos, směrice ečy Defiice: Řekeme, že fkce f má v bodě derivaci [ derivaci zleva derivaci zprava ] rov čísl a, jesliže exisje [ x

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

asi 1,5 hodiny seznámit studenty se základními zákonitostmi křivočarého pohybu bodu Dynamika I, 3. přednáška Obsah přednášky : Doba studia :

asi 1,5 hodiny seznámit studenty se základními zákonitostmi křivočarého pohybu bodu Dynamika I, 3. přednáška Obsah přednášky : Doba studia : Dmk I, 3. předášk Obsh předášk : křočý pohb bodu, smě kemckých elč - chlos chleí, přoeý, késký, cldcký sfécký souřdý ssém, pohb bodu po kužc Dob sud : s 1,5 hod Cíl předášk : seám sude se ákldím ákoosm

Více

Příloha-výpočet motoru

Příloha-výpočet motoru Příloha-výpočet motoru 1.Zadané parametry motoru: vrtání d : 77mm zdvih z: 87mm kompresní poměr ε : 10.6 atmosférický tlak p 1 : 98000Pa teplota nasávaného vzduchu T 1 : 353.15K adiabatický exponent κ

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

VÝKONOVÉ DIODY 5000 A 0,1 A I FAV 50 V U RRM V

VÝKONOVÉ DIODY 5000 A 0,1 A I FAV 50 V U RRM V VÝKONOVÉ DIODY Výkoové polovodičové diody se v aplikacích používají k zabezpečeí průchodu proudu jedím směrem, ejčasěji k usměrňováí sřídavého proudu.,1 A I AV 5 A 5 V RRM 1 V Věkerých aplikacích je požadová

Více

rovinná soustava sil (paprsky všech sil soustavy leží v jedné rovině) rovinný svazek sil rovinná soustava rovnoběžných sil

rovinná soustava sil (paprsky všech sil soustavy leží v jedné rovině) rovinný svazek sil rovinná soustava rovnoběžných sil 3.3 Obecé soustav sl soustava sl seskupeí sl působících a těleso vláští případ: svaek sl (papsk všech sl soustav se potíaí v edo bodě) soustava ovoběžých sl (papsk všech sl soustav sou aváe ovoběžé) ová

Více

23. Mechanické vlnění

23. Mechanické vlnění 3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze

Více

Válcová momentová skořepina

Válcová momentová skořepina Válcová momenová skořepina Momenová skořepina je enkosěnné ěleso, jež nesplňuje předpoklady o membánové napjaosi. Válcová skořepina je vlášním případem skořepiny oačně symeické, musí edy splňova podmínky

Více

Téma 2 Přímková a rovinná soustava sil

Téma 2 Přímková a rovinná soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma 2 Přímková a rová soustava sl Přímková soustava sl ový svazek sl Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Obecá rová soustava sl ová soustava rovoběžých

Více

LINEÁRNÍ SYSTÉMY 1 (U

LINEÁRNÍ SYSTÉMY 1 (U KAEDRA KYBERNEIKY, Fakula alkovaých věd, ZČU Plzeň Doc. Ig. Jí elcha, CSc.: LINEÁRNÍ SYSÉY (Učebí ex KKY 7 Obsah LS: ÚVOD. SAVOVÁ REPREZENACE DYNAICKÝCH SYSÉŮ.. Píklady savového osu eálých sysémů......

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE. k bakalářské zkoušce

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE. k bakalářské zkoušce VYOKÁ ŠKOLA EKONOMCKÁ V RAZE FAKULTA NFORMATKY A TATTKY Kaeda a a avděodobo TATTKA VZORCE baalářé zošce veze 3. oledí aalzace: 3.9.7 KT 7 oá aa Rozděleí čeoí,,..., Kval % z ůmě H H H G... Rozěí R ma -

Více

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Kmiání ělesa s danou budicí frekvencí PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení echnické v Praze, Fakula savební, Kaedra maemaiky Posílení vazby eoreických předměů

Více

Křivočarý pohyb bodu.

Křivočarý pohyb bodu. Křočý pohb bodu. Obsh předášk : křočý pohb bodu, smě kemckých elč - chlos chleí, přoeý, késký, cldcký sfécký souřdý ssém, pohb bodu po kužc Dob sud : s 1,5 hod Cíl předášk : seám sude se ákldím ákoosm

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Analýza světla odraženého tenkým kmitajícím zrcadleěm s použitím MATLABu

Analýza světla odraženého tenkým kmitajícím zrcadleěm s použitím MATLABu Alýz svěl odžeého eký kijící zcdleě s požií MATLAB A.Mikš J.Novák ked fzik Fkl svebí ČVUT v Pze Absk Páce se zbývá eoeicko lýzo vibcí ekého oviého zcdl khového půřez vlive defocí kovéhoo zcdl svělo odžeé

Více

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5 Fakula srojího ižeýrsví VUT v Brě Úsav kosruováí KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody Předáška 5 Čelí soukolí se šikmými zuby hp://www.audiforum.l/ Moderaio is bes, ad o avoid all exremes. PLUTARCHOS Čelí soukolí

Více

TESTOVÁNÍ a DIAGNOSTIKA VÝROBNÍCH STROJŮ I

TESTOVÁNÍ a DIAGNOSTIKA VÝROBNÍCH STROJŮ I ESOVÁNÍ a DIAGNOSIKA VÝROBNÍCH SROJŮ I Leraura: Skra: Zdeěk Vorlíček: Solehlvos a dagoska výrobích srojů ČVU Praha 99 Vorlíček, Rudolf: Dagoska VS ČVU Praha 98 Ka.. Úvod: Proč se zabýváme esováím a dagoskou

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304 935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad

Více

5.16 Měření a analýza odběru elektrické energie svítidly a jejich rušivé vlivy na distribuční síť

5.16 Měření a analýza odběru elektrické energie svítidly a jejich rušivé vlivy na distribuční síť Měřeí a aalýza odběru elekrcké eerge svídly a jejch rušvé vlvy a dsrbučí síť 73 5.6 Měřeí a aalýza odběru elekrcké eerge svídly a jejch rušvé vlvy a dsrbučí síť 5.6. Úvod roblemaka odběru elekrcké eerge

Více

Iontozvukové vlny (elektrostatické nízkofrekvenční vlny) jsou to podélné vlny podobné klasickému zvuku. B e kt

Iontozvukové vlny (elektrostatické nízkofrekvenční vlny) jsou to podélné vlny podobné klasickému zvuku. B e kt DALŠÍ TYPY VLN Iotozvukové vly (elektostatiké ízkofekvečí vly) jsou to podélé vly podobé klasikému zvuku v plyu ω γ kt k M B s = = plazma zvuk pomalý po elektoy, yhlý po ioty hustota elektoů je v každém

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt OBEKTOVÁ ALGEBRA Zdeěk Pezlar Úsav Iformaiky, Provozě-ekoomická fakula MZLU, Bro, ČR Absrak V objekovém modelu da defiujeme objekové schéma (řídu) jako čveřici skládající se ze jméa řídy, aribuů, domé

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Předmět: SM 01 ROVINNÉ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE

Předmět: SM 01 ROVINNÉ PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE Přdmět: SM 0 ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE doc. Ig. Michl POLÁK, CSc. Fkult stvbí, ČVUT v Prz ROVIÉ PŘÍHRADOVÉ KOSTRUKCE: KOSTRUKCE JE VYTVOŘEA Z PŘÍMÝCH PRUTŮ, PRUTY JSOU AVZÁJEM POSPOJOVÁY V BODECH STYČÍCÍCH,

Více

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH USTÁLENÉ POUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KOYTECH ovoměré prouděí Charakterstka:. Hloubka vod v kortě, průtočá plocha a průřezová rchlost jsou v každém příčém řezu kostatí.. Čára eerge, vodí hlada a do korta jsou

Více

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednokový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce dela) někdy éž disribuce dela z maemaického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis eorie

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016 Přijímací zkouška a avazující magiserské sudium 2016 Sudijí program: Sudijí obor: Maemaika Fiačí a pojisá maemaika Variaa A Řešeí příkladů pečlivě odůvoděe. Věuje pozoros ověřeí předpokladů použiých maemaických

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 S Á ČK Y NA PS Í E XK RE ME N TY SÁ ČK Y e xk re m en t. p o ti sk P ES C Sá čk y P ES C č er né,/ p ot is k/ 12 m y, 20 x2 7 +3 c m 8.8 10 bl ok

Více

Algebraické výrazy. Mnohočleny 1) Sčítání (odčítání) mnohočlenů:

Algebraické výrazy. Mnohočleny 1) Sčítání (odčítání) mnohočlenů: Algeicé ýz Výz = ždý zápis, eý je spáě oře podle zásd o zápisech čísel, poěých, ýsledů opecí, hodo fcí. Npř. π,,... Výz číselé s poěo Výzo spi oří loeé ýz s ezáo e jeoeli ( sí ý ede podí, ýz á ssl poze

Více

M a l t é z s k é n á m. 1, 1 1 8 1 6 P r a h a 1

M a l t é z s k é n á m. 1, 1 1 8 1 6 P r a h a 1 0. j. : N F A 0 0 2 9 7 / 2 0 1 5 N F A V ý r o1 n í z p r á v a N á r o d n í h o f i l m o v é h o a r c h i v u z a r o k 2 0 1 4 N F A 2 0 1 5 V ý r o1 n í z p r á v a N á r o d n í h o f i l m o v

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Rotačně symetrické úlohy

Rotačně symetrické úlohy Roačně symeické úlohy Pužnos a pevnos Napěí a defomace zaíženého pužného ělesa Základní úloha pužnosi - Posup řešení úlohy ) podmínky ovnováhy ) vzahy mezi posuvy a převořeními 3) vyloučení posuvů ovnice

Více

Transformace Aplikace Trojný integrál. Objem, hmotnost, moment

Transformace Aplikace Trojný integrál. Objem, hmotnost, moment Trojný integrál Dvojný a trojný integrál Objem, hmotnost, moment obecne ji I Nez zavedeme transformaci dvojne ho integra lu obecne, potr ebujeme ne kolik pojmu. Definice Necht je da no zobrazenı F : R2

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Plocha.

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Plocha. Saika 1 Saika 1 2. přednáška ové veličin Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvu.cz Konrolní

Více

Mechanismy s konstantním převodem

Mechanismy s konstantním převodem Mechanismy s konsanním přeodem Obsah přednášky : eičina - přeod mechanismu, aié soukoí, ozubené soukoí, předohoé a paneoé soukoí, kadkosoje a aiáoy. Doba sudia : asi hodina Cí přednášky : seznámi sudeny

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

2 VEDENÍ TEPLA KONDUKCE

2 VEDENÍ TEPLA KONDUKCE VEDENÍ TEPLA KONDUKCE Veeí epa ze seova v epoím savu: usáeém sacoáím epoa se v učém mísě s časem eměí eusáeém esacoáím epoa v učém mísě měí s časem Sacoáí veeí epa Nemá- ěeso ve všech mísech sejou epou,

Více

PJS Přednáška číslo 2

PJS Přednáška číslo 2 PJS Přednáška číslo Jednoduché elekromagnecké přechodné děje Předpoklady: onsanní rychlos všech očvých srojů (časové konsany delší než u el.-mg. dějů a v důsledku oho frekvence elekrckých velčn. Pops sysému

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení 1 Lineární rovnice prvního řádu 1. Najděe řešení Cauchyovy úlohy x + x g = cos, keré vyhovuje podmínce x(π) =. Máme nehomogenní lineární diferenciální ( rovnici prvního řádu. Funkce h() = g a q()

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ TEKUTIN s aplkacem v bomechace a ve vří aerodyamce Doc. Ig. Ja Vmmr, Ph.D. Obsah předášky: 1. Movace vybraé kázky proděí ek v echcké pra. Movace vybraé

Více

SMR 1. Pavel Padevět

SMR 1. Pavel Padevět SMR Pavel Padevět Oganzace předmětu Přednášející Pavel Padevět, K 3, D 09 e-mal: pavel.padevet@fsv.cvut.cz Infomace k předmětu: https://mech.fsv.cvut.cz/student SMR Heslo: odné číslo bez lomítka (případně

Více

Pravidla pro boj. Z b r o j e. Š t í t y. Třídy zbraní/zbrojí

Pravidla pro boj. Z b r o j e. Š t í t y. Třídy zbraní/zbrojí Ob p Z s z z f žs sé psy. Pbějš f žs ps jé zžs b řšy pě sě př ř. Něé f ps b sěy pz žý zjů. P p bj C s ýč sé bj, js žé zsé py. V px z, ž p zs y, sžě s ps, ps s ý y. Z pé js bzpčé z é, p ě z p ě, by s zzř

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019 Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Kódování Obsah. Galoisova tělesa. Radim Farana Podklady pro výuku. Galoisova tělesa. Cyklické kódy. BCH kódy.

Kódování Obsah. Galoisova tělesa. Radim Farana Podklady pro výuku. Galoisova tělesa. Cyklické kódy. BCH kódy. ..5 Kódováí Radm Faraa Podklady pro výuku Obah Galoova ělea. Cyklcké kódy BCH kódy. Évare Galo * 5.. 8, Bourg-la-Ree, Frace +. 5. 8, Paříž, Frace hp://.qcm-de-culure-geerale.com/che-de-revo- 75-Evare-Galo-8-8-.hml

Více

Geodézie 3 (154GD3) Téma č. 9: Hodnocení a rozbory přesnosti výškových měření.

Geodézie 3 (154GD3) Téma č. 9: Hodnocení a rozbory přesnosti výškových měření. Geodéze 3 (54GD3) Téma č. 9: Úvod o měřeí obecě. V geodéz měříme především déky, úhy, a dáe také apř. čas, vekost síy tíže apod. Výsedek měřeí je charakterzová čísem, závsým též a vobě jedotek. Ze zkušeost

Více

Teplota. 3 kt. Boltzmanova konstanta k = J K -1. definice teploty. tlaky v obou částech se vyrovnají

Teplota. 3 kt. Boltzmanova konstanta k = J K -1. definice teploty. tlaky v obou částech se vyrovnají Teploa laky obou čásech se yroají 1 m1 1 m rooáe budou sředí kieické eergie obou druhů molekul sejé: 1 1 m m 1 1 ěžší molekuly se pohybují pomaleji ež lehčí sejé musí edy bý i objemoé kocerace: 1 když

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

á í í Č ť ó í íď ý í í íř ý ř ě Í č ť í á š á ý é ů á í ť č Í Í é ď ž é ž ť é éř ů í š ší ý í Í é á É í ě é ř í Í í é í ř ě á ó í í ě š ě ý á ř í á í

á í í Č ť ó í íď ý í í íř ý ř ě Í č ť í á š á ý é ů á í ť č Í Í é ď ž é ž ť é éř ů í š ší ý í Í é á É í ě é ř í Í í é í ř ě á ó í í ě š ě ý á ř í á í á Č ť ó ď ý ř ý ř ě Í č ť á š á ý é ů á ť č Í Í é ď ž é ž ť é éř ů š š ý Í é á É ě é ř Í é ř ě á ó ě š ě ý á ř á ě é Í Ž ý ť ó ř ý Í ů ů ů š Í ý é ý ý ů é ů š é ů ó Žá Í á Íř ě šř ó ř ě é ě é Ě š č á č

Více

OBJÍMKA VÁZANÁ PRUŽINOU NA NEHLADKÉM OTOČNÉM RAMENI

OBJÍMKA VÁZANÁ PRUŽINOU NA NEHLADKÉM OTOČNÉM RAMENI OBJÍMKA VÁZANÁ RUŽINOU NA NELAKÉM OTOČNÉM RAMENI SEIFIKAE ROBLÉMU Rameno čvercového průřezu roue konanní úhlovou rychloí ω Na něm e nasazena obímka hmonoi m s koeicienem ření mezi ní a ěnami ramene Obímka

Více

Příklady k přednášce 3 - Póly, nuly a odezvy

Příklady k přednášce 3 - Póly, nuly a odezvy Příklady k předášce 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 06 9--6 Schurův doplěk - odvozeí Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Obecě ( + l) ( + l) ( + l) ( + m) ( + m) ( + m) I 0

Více

Obecního úřadu v Palkovicích 06/2013

Obecního úřadu v Palkovicích 06/2013 O ú P 06/2013 P j Š - - S Pą H z 12 z 0 2 V j z 20 6 z 6 z 2 6 j S 5 ý z 2 - P z Š z Š V j j P Hz j z B ú j é Jz O é j z f F- z z é é ý P f A z P j j B B V z P ; z 9 O ý; D K j- J ) D j é N é f ý C é j

Více

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Ivesičí čios Exisují růzá pojeí ivesičí čiosi: Z pohledu ekoomické eorie Podikové pojeí ivesic Klasifikace ivesic v podiku 1) Hmoé (věcé, fyzické, kapiálové) ivesice 2) Nehmoé (emaeriálí) ivesice 3) Fiačí

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Radek Hendrych. Stochastické modelování v ekonomii a financích. 18. října 2010

Radek Hendrych. Stochastické modelování v ekonomii a financích. 18. října 2010 Sochasické modelování v ekonomii a financích 18. října 21 Program 1 2 3 4 Úroková míra R, T ) Uvažujme bezrizikový bezkuponový dluhopis s mauriou T a nominální hodnoou 1 $, jeho cenu v čase budeme nadále

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

I. část - úvod. Iva Petríková

I. část - úvod. Iva Petríková Kmitání mechanických soustav I. část - úvod Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Osah Úvod, základní pojmy Počet stupňů volnosti Příklady kmitavého pohyu Periodický pohy Harmonický pohy,

Více

Stavební mechanika 1 (K132SM01)

Stavební mechanika 1 (K132SM01) Stavebí mechaka (K32S) Předáší: doc. Ig. atěj Lepš, Ph.D. Kateda mechak K32 místost D234 koutace Čt 9:3-: e-ma: matej.eps@fsv.cvut.c http://mech.fsv.cvut.c/~eps/teachg/de.htm 4. Soustav s a statckých mometů

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Úloha 3 - Fiacováí stavebích úprav Rozhodli jsme se pro stavebí úpravy v bytě. Po zhotoveí rozpočt a tyto úpravy jsme zjistili, že ám chybí ještě 30 000,-Kč. Máme možost si tto část

Více

Mgr. Zuzana Adamson-Krupičková Docteur de la Sorbonne

Mgr. Zuzana Adamson-Krupičková Docteur de la Sorbonne M. Z A-Ká D S C: D. Z A-Ká, 2014 P: D. Z A 48. G L: N Ká ISBN 978-80-905352-3-7 A. N w w P, x q w. A á Sě Pí á é A x í M K: K, B, V á L A Txé M K: K, B, V - èq. P áí í. J.-P. M. N é M K, K. é ůé íě áí.

Více

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. 4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

Vinohradský zpravodaj

Vinohradský zpravodaj Vý pj č. 5/19 2.2.2019 S C ů mé P-V Lýá 30, 120 00 P 2 www.. Pgm ž 9:30 10:30 S á A Šý Spčá pň č. 298 m S mý pá S mj pj CASD Spčá pň č. 116 m 10:30 10:45 Přá 10:45 12:00 Bž áám V pm: Spčá pň č.: á Km Sě

Více

1. Řešená konstrukce Statické řešení Výpočet průhybové čáry Dynamika Vlastní netlumené kmitání...

1. Řešená konstrukce Statické řešení Výpočet průhybové čáry Dynamika Vlastní netlumené kmitání... . Řešená konstrukce.... Statické řešení.... Výpočet průhybové čáry... 5. Dynamika.... Vlastní netlumené kmitání..... Jacobiho metoda rovinné rotace... 4.. Popis algoritmu... 4. Vynucené kmitání... 5 4.

Více