Únosnost kompozitních konstrukcí

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakuta strojní Ústav etadové technky Únosnost kompoztních konstrukcí Optmazační výpočet kompoztních táhe proměnného průřezu Techncká zpráva Pořadové číso: SOF/CLKV/13/8 Autoř: Ivan Jeřábek Vedoucí úkou: Ivan Jeřábek Vedoucí Ústavu etadové technky Doc. Ing. Luboš Janko, CSc. Vydáno:.9. 8 Stupeň utajení:- ČVUT Praha - 8

2 1 Obsah 1 Obsah...1 Úvod... 3 Výpočet táhe proměnného průřezu Rayeghova energetcká metoda pro zotropní materáy Deformační energe od ohybu Práce vnější síy Krtcká sía Voba průhybové křvky Rozšíření Rayeghov metoda na kompoztní materáy Numercký výpočet optmazační úohy Defnce proměnného průměru Výpočet koefcentů kubcké paraboy Okrajové podmínky paraboy v místě koncovky Okrajové podmínky v poovně táha Odvození výpočtu koefcentů Kvadratcký moment setrvačnost vrstvy Zadání vstupních dat Numercký výpočet...1 Lteratura...1 1

3 Úvod Optmazační výpočet kompoztních táhe proměnného průřezu by řešen jako díčí úko D4 Centra eteckého a kosmckého a výzkumu. Pro optmazační výpočet kompoztních táhe proměnného průřezu bya použta Rayeghova energetcká metoda. Př výpočtu se vycházeo z násedujících předpokadů: uvažuje se druhý případ vzpěru uvažuje se táho kruhového průřezu s konstantním nebo s pynue se měnícím kruhovým průřezem ceková deformační energe táha vychýeného do ndferentní poohy je rovna prác vnějších s ceková deformační energe táha je rovna součtu deformačních energí jednotvých vrstev průhybová čára všech vrstev kompoztního táha je stejná- nedochází k deamnac řešená úoha je symetrcká pode rovny procházející poovnou déky táha, která je komá ke spojnc koncových bodů. Př výpočtu se neuvažuje vv okáního vyztužení v místě vepení koncovek Uvažovaní výše uvedených podmínek pro výpočet kompoztních táhe umožňuje rozdět optmazační úohu výpočtu kompoztních táhe na stanovení krtcké síy jednotvých vrstev, která je řešena anaytckým metodam pro zotropní materáy. Výsedná krtcká sía je pak sumou díčích krtckých s jednotvých vrstev kompoztu. Pro vyjádření závsost změny vntřního průměru táha proměnného průřezu na jeho pooze byy zvoeny dvě kubcké paraboy. Paraboy jsou symetrcké pode rovny procházející poovnou déky táha a respektuje okrajové podmínky v místě vepení koncovek. Př výpočtu mnmání hmotnost táha se optmazuje průměr táha pro / a počet vrstev navržené skadby (toušťka stěny). Po ukončení výpočtu program vypíše všechny varanty, které vyhovující zadání nebo pouze pět varant s nejmenší hmotností. Program pro výpočet táhe C-rod-r je ntegrovány do nternetového rozhraní voně přístupného nformačního portáu v kaptoe kompozty.

4 3 Výpočet táhe proměnného průřezu Pro optmazační výpočet kompoztních proměnného průřezu bya zvoena Rayeghova energetcká metoda pro druhý případ vzpěru [1]. Pro výpočet táha energetckou metodou byy uvažovány násedující podmínky: druhý případ vzpěru prut (táho) je kruhového průřezu s pynue se měnícím kruhovým průřezem průhybová čára všech vrstev kompoztního táha je stejná- nedochází k deamnac deformace táha př ztrátě stabty je maá modu pružnost amny je konstantní pro uvažovaný rozsah deformací (pro neneární chování kompoztních materáů předepsuje norma ASTM D339/D 339M- výpočet sečného moduu pružnost []). př výpočtu krtcké síy táha se neuvažuje vv okáního vyztužení v místě vepení koncovek ceková deformační energe táha vychýeného do ndferentní poohy je rovna prác vnějších s ceková deformační energe táha je rovna součtu deformačních energí jednotvých vrstev. řešená úoha je symetrcká pode rovny procházející poovnou déky táha, která je komá ke spojnc koncových bodů. 3.1 Rayeghova energetcká metoda pro zotropní materáy Podstatou této metody je to, že v rovnováze př níž je zatížení prutu rovno krtckému zatížení, je př přechodu z přímého do mírně prohnutého stavu změna deformační energe prutu U rovna přírůstku práce vnějších s W. Podmínkou ndferentní rovnováhy bude tedy U = W (1) Deformační energe od ohybu Vychýíme- tento prut z přímé poohy, vzroste v důsedku přídavných ohybových napětí deformační energe o U a sía N vykoná současně prác W=N., kde je přbížení konců vzpěry v důsedku deformace U = 1 M o ( x) E. J Po dosazení za ohybový moment M o (x)=n.v(x) dostaneme () kde E J modu pružnost amny kvadratcký moment amny Obr. 1 U N = v( x) E. J Ohybový moment M o (x) je možné vyjádřt z dferencání rovnce průhybové čáry (3) 3

5 '' E J v ( x) = M o ( x) (4) z čehož '' ( E J v ( x)) = M o ( x) (5) A po dosazení do () U = 1 '' E J dx 3.1. Práce vnější síy Zanedbáme- vv takových napětí na deformac prutu, zůstává po prohnutí jeho déka stáá. Pro maé průhyby, tedy pro v <<1, bude 1 = + ds dx 1 ( v ' ) (7) A hedané přbížení koubů ' v ds dx dx 1 ' = ( ) = 1+ dx = ( v ) o (8) Práce vnější síy N, která během posunu nemění svou vekost bude N W = N = ( v ' ) (9) Krtcká sía Po dosazení výrazů (3) a (9) do vztahu (1) dostáváme pro krtckou síu vztah N krt = ' '' E. J Podmínce mnma deformační energe, která je podstatou energetcké metody, vyhovuje samozřejmě pouze přesná vastní funkce v(x), která vždy, tedy u Rayeghovy metody, dává přesné výsedky. Každá voená funkce v(x) dává př výpočtu energetckou metodou vyšší hodnoty krtckého zatížení, protože k vytvoření jné průhybové křvky, než je skutečná, je zapotřebí vynaožt větší množství energe Voba průhybové křvky Pro výpočet krtcké síy kompoztních táhe bya zvoena funkce průhybové křvky ve tvaru π x v( x) = B sn (11) 3. Rozšíření Rayeghov metoda na kompoztní materáy Př rozšíření Rayeghov energetcké metody na kompoztní materáy se vychází z předpokadu, že jednotvé vrstvy kruhového kompoztního táha mají dentckou průhybovou čáru (nedochází k deamnac). Ceková deformační energe táha je pak rovna součtu deformačních energí jednotvých vrstev. (6) (1) 4

6 N dx (1) n n v( x) U = = 1 = 1 E J kde N E J sía přenášená -tou amnou modu pružnost -té amny Kvadratcký moment setrvačnost a obdobně práce vnějších s n n n n 1 ' W = N = N = ( v ) dx N = 1 = 1 = 1 = 1 (13) Po dosazení výrazů (1) a (13) do vztahu (1) dostáváme vztah pro jednotvé krtcké síy v jednotvých vrstvách. N krt = ' '' E. J (14) Sumarzac díčích s přenášeným jednotvým vrstvam dostaneme cekovou krtckou síu. N krt = ' '' E. J 4 Numercký výpočet optmazační úohy Př návrhu numerckého výpočtu optmazační úohy kompoztních táhe se vycházeo z předpokadu řešení symetrcké úohy. Tzn. zatížené táho se deformuje v první druhé poovně stejně a řešená úoha je symetrcká k rovně komé k ose nezatíženého táha a prochází poovnou déky táha. Uvedený předpokad umožňuje podstatně zefektvnt numercký výpočet (řeší se pouze poovna úohy) a použít pro defnc průběhu proměnného průřezu kubckou parabou. 4.1 Defnce proměnného průměru Pro vobu funkce průběhu proměnného průřezu se vycházeo z násedujících požadavků funkce musí být po hadká po ceé déce táha musí respektovat okrajové podmínky (průměr koncovek a koncový úhe koncovek ) musí mít jednoduchý anaytcký tvar, vhodný pro numercké zpracování Pro spnění výše uvedených podmínek bya zvoena jako funkce pro průběh proměnného (15) průřezu kubcká paraboa ve tvaru 3 d( x) = a x + b x + c x+ d (16) 5

7 4.1.1 Výpočet koefcentů kubcké paraboy Jak jž byo řečeno tvar táha je navržen ve tvaru kubcké paraboy. Vzhedem k předpokadu řešení symetrcké úohy je defnce křvky omezena pouze na úsek -/. Dáe je požadováno, aby vntřní průměr konce táha mě průměr shodný s vnějším průměrem koncovky d k a jeho skon by stejný jako vrchoový úhe táha tak, aby byo možné výpočet apkovat na zkoušená táha s kužeovým koncovkam. Př výpočtu bude optmazován průběh vntřního průměru táha pro x=(-/). Na zákadě uvedených předpokadů ze defnovat okrajové podmínky pro výpočet konstant paraboy Okrajové podmínky paraboy v místě koncovky x= pooha vypočítávaného bodu na křvce d k vntřní průměr koncovky φ k úhe skonu koncovky φ k = o pro vácovou koncovku φ k o pro kužeovou koncovku Okrajové podmínky v poovně táha x=/ pooha vypočítávaného bodu na křvce d / vntřní průměr táha pro x=/ φ / úhe skonu pro x=/. Z podmínky symetre pyne φ / = o Odvození výpočtu koefcentů Pro výpočet koefcentů paraboy je nutné provést dervac navržené funkce, aby byo možné zohednt skon křvky pro x= (okraj táha) a x=/ (poovna táha), kde x je pooha vypočítávaného bodu na křvce x <,/>. Dervací funkce (16) získáme = + + (17) d ( x) 3 a x b x c po dosazení okrajových podmínek z a z dostaneme pro okraj táha x=: 3 d = a + b + c + d (18) k k 3 a b c φ = + + (19) odtud po úpravě d=d k () φ k =c (1) Dáe dosadíme vypočtené koefcenty do rovnce dostaneme pro / 3 d a b φ = d a / k k = 3 a + b + φk odkud po úpravě (3) dostaneme () (3) 6

8 3 a + φk 4 b= (4) a po dosazení do () 3 3 a k + φ 4 d / = a + + φk + dk (5) a násedné úpravě dostaneme: 1 φk d / + dk 4 a= Kvadratcký moment setrvačnost vrstvy Jak byo jž zmíněno výše je ceková krtcká sía rovna součtu krtckých s jednotvých vrstev. Pro výpočet krtcké síy jednotvých vrstev je nutné vyjádřt kvadratcký moment setrvačnost jako funkc nezávse proměnných toušťky a vntřního průměru, který je pak př numerckém výpočtu dosazen do (15). J ( ) 4 4 π d ( x) + t d ( x) = 1 64 d ( x) + t (6) 7

9 5 Zadání vstupních dat Vstupní data se zadávají prostřednctvím nternetového formuáře vz. Obr.. Pro výpočet je nutné zadat požadovanou geometr táha a přenášenou síu vz. Tab. 1 dáe pak materáové charakterstky a skadbu kompoztu Tab.. Označení proměnné Název proměnné Jednotka Pops - Typ táha - Určuje materá táha: oceové, duraové nebo kompoztní. V nternetovém formuář jsou předdefnovány materáové charakterstky pro kovy. Užvate má možnost modfkovat předdefnované hodnoty. - Průřez táha - Určuje jest se bude jedna o výpočet táha konstantního nebo proměnného průřezu. Na zákadě specfkace průběhu průřezu je spuštěn patřčný program pro optmazační výpočet táha. F Přenášená sía N Početní zatížení táha. Program neuvažuje žádné součntee bezpečnost. L Déka táha mm Dékou táha se rozumí vzdáenost os závěsů, kde je zaváděná sía. D k Průměr koncovky mm Vnější průměr koncovky=vntřní průměr táha na okraj φ k Úhe koncovky stupně Úhe koncovky = koncový úhe táha D mn Mnmání vntřní mm Požadovaný mnmání vntřní průměr táha. průměr Jedná se o okrajovou podmínku optmazačního výpočtu. D mn = znamená, že D max Maxmání vnější průměr mm táho muže být pného (tyčového) materáu Požadovaný maxmání vnější průměr táha. Jedná se o okrajovou podmínku optmazačního výpočtu. D max = je většnou dáno konstrukčním omezením. t Krok výpočtu mm Krok výpočtu je parametr pro výpočet kovových táhe a určuje změnu toušťky stěny táha. U kompoztních táhe výpočet toušťky stěny probíhá pro jednotvých vrstvách (neze vyrobt 1,5 vrstvy tkanny). t mn Mnmání toušťka mm Tab. 1 Parametry pro výpočet geometre táha Mnmání požadovaná toušťka stěny je okrajová podmínka pro optmazační výpočet. Z technoogcký, pevnostních a jných důvodů může být požadovaná mnmání toušťka stěny. Pokud tento parametr není reevantní zadá se t mn =. 8

10 Název Modu pružnost Pevnost [MPa] Hustota Toušťka Maxmání [MPa] v tahu v taku [kg/m 3 ] vrstvy [mm] počet vrstev Torayca 9.4e Intergass e Tab. Materáové charakterstky jednotvých amn ( jedna amna muže mít někok vrstev tkanny) a skadba kompoztu Obr. Formuář pro zadní vstupních dat 9

11 6 Numercký výpočet Pro výpočet optmání geometre táha by navržen agortmus, varující průběh průměru táha, toušťku stěny a počet amn kompoztu tak, aby hmotnost táha bya mnmání. Př výpočtu program postupně mění toušťku stěny pode zadané skadby (přdává nebo ubírá jednotvé vrstvy kompoztu). Pokud je toušťka stěny defnovaného kompoztu menší, něž toušťka stěny vznká rozdíem mnmáního vntřního a maxmáního vnějšího průměru, je výpočet omezen pouze na toušťku stěny defnovanou kompoztem. Ve výpsu navržené geometre je uvedena posední použtá amna a počet jejch vrstev. Jným sovy program použ všechny amny v pořadí defnovaném užvate a u posední z nch (název uvedený ve výpsu) použ jen někok prvních vrstev. Ceková toušťka kompoztu je pak rovna součtu n použtých amn a z n+1 amny, jejíž název je vypsán, je použto pouze m vrstev. U kovových táhe probíhá výpočet v ceém rozsahu průměrů a toušťka stěny se mění s krokem t. Vstupní data jsou zadávána do formuáře na nformačním portáu v sekc kompozty. Po odesání vstupních parametrů spustí server program pro výpočet kompoztních táhe C-rod-r. Doba výpočtu je závsá na rozsahu úohy a zatížení serveru, ae pro většnu běžných technckých apkac se pohybuje do jedné mnuty. Zadané vypočtené hodnoty pět nejehčích varant jsou opět zobrazeny ve formě nternetové stránky včetně odkazů na souřadnce merdánů průřezu táha (vz. Obr. 3). Souřadnce bodu merdánu jsou uoženy v textovém souboru odděené tabuátorem. Z-tová souřadnce je nuová, tak aby byo možné souřadnce přímo načíst do CAD. 1

12 Obr. 3 Ukázka výpsu výpočtu táhe na serveru 11

13 Lteratura [1] E. Hájek, P. Ref, F. Vaenta, Pružnost a pevnost I, SNTL/ALFA 1988 [] Standard Test Method for Tense Propertes of Poymer Matrx Composte Materas D339/D 339M -, Amercan Socety for Testng and Materas, 1