f k nazýváme funkční řadou v M.

Transkript

1 6. Funční řdy posloupnosti. Bodová stejnoměrná onvergence. Nechť pro N jsou f omplení či reálné funce omplení či reálné proměnné, teré mjí společný definiční obor M. Posloupnost {f ; N} nzýváme funční posloupností v M. Řdu f nzýváme funční řdou v M. Úmluv. Pro větší názornost budeme oznčovt písmenem reálnou proměnnou písmenem z proměnnou omplení. Většin pojmů tvrzení se bude týt j reálných t i ompleních funcí, budou le speciální vlstnosti tvrzení, terá budeme formulovt pouze pro reálné funce reálné proměnné. Limit posloupnosti (bodová). Říáme, že posloupnost {f ; N} má itu f v množině M M, jestliže pro ždou hodnotu z M je f (z) = f(z) v C, resp. R. Tuto sutečnost p zpisujeme pomocí symbolu nebo f = f v M, f (z) = f(z), z M. Obor (bodové) onvergence řdy. Říáme, že řd f množině M M, jestliže pro ždou hodnotu z M onverguje řd onverguje (bodově) v Množinu M nzýváme oborem onvergence řdy. Je-li s n = s v M, de n {s n ; n N} je posloupnost částečných součtů, píšeme p f (z). nebo f = s v M, f (z) = s(z), z M. Stejnoměrná onvergence posloupnosti řdy. U onvergence posloupností řd se velice čsto používá jiný způsob onvergence. Bodová onvergence znmená, že se členy posloupnosti (částečné součty) blíží itě v ždém bodě oboru onvergence. Poud je toto blížení stejné pro všechny hodnoty proměnné, mluvíme o stejnoměrné onvergenci. Nechť f = f v M, p říáme, že posloupnost {f ; N} onverguje funci f stejnoměrně v množině M M, jestliže pltí: libovolnému ε > 0 eistuje n 0 N tové, že je f (z) f(z) < ε pro všechny indey n n 0 všechny hodnoty proměnné z M. Říáme, že řd f = s v M, onverguje stejnoměrně v množině M M, jestliže pltí: 9

2 libovolnému ε > 0 eistuje n 0 N tové, že je n f s(z) < ε pro všechny indey n n 0 všechny hodnoty proměnné z M. Podmín pro stejnoměrnou onvergenci se, zvláště pro řdy, většinou obtížně ověřuje. Proto obvyle vzth, ve terém počítáme supremum odhdujeme. Npišme si formu ritéri, teré pro ověřování stejnoměrné onvergence používáme. Weierstrssovo ritérium ) Nechť f = f v množině M, jestliže je f (z) f(z), z M M = 0, p posloupnost {f, N} onverguje stejnoměrně funci f v množině M. b) Nechť f = f, v množině M jestliže je f (z), z M M <, p řd f onverguje stejnoměrně v množině M. Příld 6.. Určete, de dná posloupnost onverguje de onverguje stejnoměrně. ) f () = e, R : Z průběhu eponenciální funce je zřejmé, že f = e y ey = 0, (0, ), = e 0 =, = 0, y ey =, (, 0). Je tedy f = f v intervlu 0, ), de Dále je f() =, = 0, 0, (0, ). f () f() ; 0 < } = e ; 0 < < } =. Konvergence není tedy v celém intervlu stejnoměrná. Z průběhu funce y = e vidíme, že se musíme omezit n hodnoty 0 > 0. Potom je m{e ; 0, )} = e 0 0 pro. Podle Weierstrssov ritéri onverguje tedy posoupnost stejnoměrně v ždém z intervlů 0, ), 0 > 0. b) f () = sin (), R : 20

3 Zde využijeme sutečnosti, že je funce sinus omezená tedy sin (), R. Protože je = 0, je f = 0 v R stejnoměrně. ( ) c) f () = sin, R : ( ) Je f = sin = sin t = 0, R. Dále je t 0 ( ) sin 0, R} =, neboť npříld pro = π ( ) ( ) π 2 je sin = sin =. Uvžujme hodnoty 2 0, 0, 0 > 0 libovolné. Dále se omezme n hodnoty indeu n 0, de 0 π n 0 2. Pro hodnoty 0, 0 n 0 je Protože je 0, 0. sin ( ) ( ) sin 0 sin 0 0 < 0 < π 2. ( ) 0 = 0, je dná posloupnost stejnoměrně onvergentní v intervlu d) f () = + R { } : Pro výpočet ity vyšetřování onvergence posloupnosti rozdělíme definiční obor n dílčí intervly. (, ) : = : = 0 f = f () = 2 = 2 ; + = 0; > : f () = + = = Je tedy f () = f() v R { }, de f() = 0, (, ), 2, =,, (, ) (, ). + =. Funce f není spojitá v bodech,, n celých dílčích intervlech nemůže posloupnost onvergovt stejnoměrně. Provedeme opět výpočty pro dílčí intervly. (, ) : Je f () f() = + + ; (, )} =. Pro 0, 0, 0 < 0 < je = 0.

4 Posloupnost onverguje stejnoměrně n ždém z intervlů 0, 0, 0 < 0 <. (, ) (, ) : Je f () f() = + = protože je + + ; (, )} = + ; (, )} = 2 neonverguje posloupnost stejnoměrně n žádném z intervlů. Jestliže zvolíme 0 >, p pro (, 0 0, ) je f () f() = +. 0 Protože je = 0, je posloupnost stejnoměrně onvergentní n ždém z intervlů (, 0 0, ), 0 > 0. Příld 6.2. Určete obor onvergence dné řdy rozhodněte, de řd onverguje stejnoměrně. ) sin (), R : 2 + Pro R je 2 + sin () 2 + tudíž dná řd onverguje stejnoměrně v R. z b) +, z C : Podle podílového ritéri je A = + = z + ( + ) ( + 2)z 2 + <, = z = z. Řd onverguje pro z <. Protože je z ; z < } = =, neonverguje řd stejnoměrně v celém ruhu z <. Omezme se n vnořený ruh z 0 <. V něm pltí, že z <. Dná řd onverguje stejnoměrně v ždém z ruhů z 0 <. ( ) c), R : + 22

5 Dná řd je geometricou řdou s vocientem q =. Řd tudíž onverguje pro + q = + < < + (, ). Protože je 2 ( ) + ; (, )} =, řd nebude n celém oboru onvergence onvergovt stejnoměrně. Protože je =, budeme se muset při vyšetřování stejnoměrné + 2 onvergence omezit n intervly typu, 2, < 2 < 2. Z průběhu funce y = +, >, je zřejmé, že pro, 2 je + m{ 2, } = q < ( ) Potom je v tomto intervlu + q, 0 < q <. Protože je q <, je dná řd stejnoměrně onvergentní v ždém z intervlů, 2, < 2 < 2. d) e (+2j), R : Pro R je Dále je e (+2j) = e (cos (2) j sin (2)), e = 0, > 0,, = 0,, < 0, e (+2j) = e. řd tedy může onvergovt pro (0, ). Všimněme si, že e = (e ) z oboru onvergence geometricé řdy s vocientem q = e dostneme, že dná řd onverguje pro e <, tedy pro (0, ). Protože je e ; > 0} =, nemůže řd onvergovt stejnoměrně n celém oboru onvergence. Jestliže se omezíme n hodnoty 0 > 0, p z odhdu e (cos (2) j sin (2)) = e e 0 = ( e 0) z ( ) onvergence řdy e 0 vyplývá stejnoměrná onvergence dné řdy v ždém z intervlů 0, ), 0 > 0. 23