{} n n = 1 1. ŘADY Posloupnosti

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "{} n n = 1 1. ŘADY Posloupnosti"

Transkript

1 ŘADY Poloupoti Kždá fukce, jejímž defiičím oborem je moži přirozeých číel ekoečá poloupot N, e zývá Kždá fukce, jejíž defiičí obor je moži všech přirozeých číel, kde je pevě dé přirozeé čílo, e zývá koečá poloupot { } Ozčeí:,, Řešeý příkld Npište prvích 5 čleů poloupoti: ) b),,,, 5, 5 6,,,, 5, c) { }, 9, 7, 8, Určete předpi pro -tý čle poloupoti: {} ),,,,,, b),, 9, 6, { } c),,,, 8 6 Vltoti poloupotí { } Poloupot e zývá rotoucí, právě kdž pro všech r, N pltí: Je-li r <,pk r < { } Poloupot e zývá klející, právě kdž pro všech r, N pltí: Je-li r <,pk r > Poloupot { } je rotoucí, právě kdž pro všech < N je Poloupot { } je klející, právě kdž pro všech N je >

2 Řešeý příkld Rozhoděte, zd je poloupot rotoucí ebo klející: ) Řešeí { }, b),,, ) 5 < < ( ) < ( ) < < Poloupot je rotoucí { } b),, 8,6, > 8< Poloupot eí i rotoucí i klející N je Poloupot { } je erotoucí, právě kdž pro všech Poloupot { } je eklející, právě kdž pro všech N je Kždá rotoucí poloupot je eklející Kždá klející poloupot je erotoucí Poloupoti, které jou erotoucí ebo eklející, e zývjí mootóí poloupoti { } Poloupot e zývá hor omezeá, právě kdž eituje h R tkové, že pro všech N je h { } Poloupot e zývá zdol omezeá, právě kdž eituje d R tkové, že pro všech N je d Poloupot e zývá omezeá, právě kdž je omezeá hor i zdol

3 Rozhoděte, zd je poloupot hor omezeá, zdol omezeá, omezeá: ) Řešeí, b),,, ) { } 5 Fukce je omezeá zdol, všech čle jou kldé - Vpdá to tk, že pro kždé N je : Poloupot je hor omezeá Poloupot je omezeá { } b),, 6,8, Poloupot eí i zdol i hor omezeá, ť zvolíme h( d) jkkoli velké, bude vžd čle poloupoti, který bude d (pod) čílem h( d) Aritmetická poloupot Poloupot { } e zývá ritmetická, právě kdž eituje tkové čílo, že pro kždé přirozeé čílo d N je d Čílo d e zývá diferece ritmetické poloupoti V ritmetické poloupoti { } diferecí pltí: ( ) ( r ) d r d d

4 Řešeý příkld Určete prvích 5 čleů ritmetické poloupoti, vpočítejte oučet čleů: Řešeí 7, 6 5 r r d 5 5 d 6 7 d d r ( ) r d d 7 r ( ) r d d 7 r ( ) r d d 7 6 ( ) 9d ( 9d) ( 7 ) 75 Geometrická poloupot Poloupot { } e zývá geometrická, právě kdž eituje tkové čílo, že pro kždé q přirozeé čílo N je Čílo q q e zývá kvociet geometrické poloupoti V geometrické poloupoti { } kvocietem pltí: q q q r r Pro q pltí, že oučet je Pro q q pltí, že oučet je q

5 Řešeý příkld Určete prvích 5 čleů geometrické poloupoti, vpočítejte oučet 8 čleů: Řešeí, 5 r q 5 q q q q 8 r 5 r r q q 6 r q q r 6 r q q r 8 q q q q 6 7,875 Limit poloupoti Říkáme, že poloupot { } je kovergetí, právě kdž eituje čílo tkové, že R pltí: Ke kždému ε > eituje N tk, že pro všech přirozeá číl ε R < Čílo e zývá limit poloupoti { } je Zpiujeme lim Poloupot, která eí kovergetí e zývá divergetí Kždá poloupot má ejvýše jedu limitu Kždá kovergetí poloupot je omezeá Geometrická poloupot { }, kde je q <, je kovergetí její limit je rov 5

6 Řešeý příkld Vpočítejte limitu poloupoti: ) b) Řešeí ) lim koverguje c) 5 b) c) lim lim koverguje lim lim diverguje 5 5 6

7 Číelé řd S problémem, zd oučtem ekoečé řd může být koečé čílo, e mtemtikové potýkli již ve trověku Máme pro to dokld ve zámé mtemtické hříčce o Achillovi želvě Podle této úloh bl rchloohý Achille vzvá pomlou želvou k závodu to metrů Vědom i vé rchloti, dl želvě ákok deet metrů Nvíc e rozhodl, že mu potčí běžet deetkrát rchleji, ež želv Jkmile ted po trtu Achille uběhl oěch deet metrů, o ěž měl želv ákok, urzil želv jede metr Ježe i po uběhutí tohoto metru Achille tále zotávl, tetokrát o jede decimetr Kdž uběhl oe decimetr, urzil želv jede cetimetr, o který bl tále před Strověcí mtemtici e domívli, že tuto kotrukci lze opkovt do ekoeč, tudíž Achille želvu ikd edotihe Nedovedli i totiž předtvit, že ečteím ekoečě moh délek, o ichž jme mluvili v ouviloti ákokem želv před Achillem, je možé dott ějkou koečou délku, po jejímž uběhutí b Achille želvu vltě dohoil Mtemtick vjádřeo, řd je ice tvoře ekoečě moh kldými čle (čítci), všk může mít koečý oučet Ituitiví je zřejmé, že přílušou ekoečou řdu čítáme potupým přičítáím áledujícího čítce k oučtu všech předcházejících Tkto dotáváme poloupot hodot, které e k hledému oučtu blíží, oučet ted lze tovit jko limitu poloupoti těchto hodot V tomto mlu tké zvedeme pojem oučtu ekoečé řd Řdu můžeme ituitivě chápt jko oučet ekoečě moh čleů ějké poloupoti, buď poloupoti číel (číelá řd) ebo poloupoti fukcí (fukčí řd) M e budeme zbývt číelými řdmi, fukčími řdmi obecě pk mociými trigoometrickými řdmi Hlví otázk jou zřejmé: Eituje oučet řd? Jetliže eituje, jk ho lze určit? Jké vltoti má čítáí ekoečého počtu objektů? Jké jou možoti vužití řd? Mějme dáu poloupot reálých číel { } {,, }, Formálě vtvořeý oučet jejích čleů zýváme číelou řdou { } Poloupot čátečých oučtů řd vzike potupým zvšováím počtu čítých čleů řd: 7

8 Kždou číelou řdu můžeme zpt jko oučet r, kde r je zbtek řd po -tém čleu Mějme řdu její poloupot čátečých oučtů { } Jetliže R koverguje má oučet lim ±, říkáme, že řd diverguje má oučet ± eeituje diverguje emá oučet ( ociluje) Řešeý příkld Pomocí poloupoti čátečých oučtů rozhoděte o kovergeci či divergeci řd určete její oučet Řešeí Zlomek rozložíme dv prciálí zlomk A B ( ) B A A A B B Řd bude mít tvr oučtů Setvíme poloupot čátečých 8

9 Vidíme, že čle e potupě odečtou, zůte ám lim lim Řd koverguje má oučet Pomocí poloupoti čátečých oučtů rozhoděte o kovergeci či divergeci řd určete její oučet Řešeí Zlomek rozložíme prciálí zlomk D C B A D C B A B D D C B A D C B A, C A Řd bude mít tvr Setvíme poloupot čátečých oučtů 9

10 Vidíme, že čle e potupě odečtou, zůte ám lim Řd koverguje má oučet Určete -tý čle oučet řd: Řešeí ANO NE Řdu lze vjádřit ve tvru Zlomek rozložíme prciálí zlomk B A ( B A ) A A B B

11 Řd bude mít tvr Setvíme poloupot čátečých oučtů Vidíme, že čle e potupě odečtou, zůte ám lim Řd koverguje má oučet Nutá podmík kovergece Je-li řd kovergetí, pk pltí lim Tuto podmíku vužijeme ejlépe v přípdě, že řd má limitu, pk totiž řd diverguje, pokud je, evíme o kovergeci či divergeci řd ic lim lim Geometrická řd Geometrická řd kvocietem je řd Odvodit vzorec pro oučet!!! q q q q q Pro < q je řd kovergetí má oučet q Pro q je řd divergetí

12 Řešeý příkld Nlezěte oučet řd Řešeí její oučet je Jedá e o GŘ, q <, řd je kovergetí Nlezěte oučet řd 5 Řešeí Jedá e o GŘ, q <, řd je kovergetí její 5 5 oučet je Nlezěte oučet řd rct Řešeí rct oučet je Jedá e o GŘ, q <, řd je kovergetí její Nlezěte oučet řd 5 Řešeí oučet 5 Jedá e o GŘ, q >, řd je divergetí emá

13 Nlezěte oučet řd 7 Řešeí emá oučet 7 7 Jedá e o GŘ, q >, řd je divergetí Hrmoická řd Hrmoická řd je defiová předpiem přetože pltí lim Tto řd je divergetí, Nechť je k N Pk řd oučě kovergují ebo divergují k Můžeme pát k k Ozčíme pro k dále σ k k σ k Kovergetí přípd: je-li lim lim σ σ k k, tkže lim, pk limσ k Nopk, je-li limσ σ, pk Divergetí přípd: jetliže poloupot { } diverguje, potom diverguje i poloupot { σ } { k }, eboť v opčém přípdě b podle předchozího kovergovl i poloupot { }, což je por předpokldem Podobě z divergece { σ } ple divergece poloupoti { } { σ k } Liší-li e dvě řd v koečém počtu čleů, pk obě oučě kovergují ebo divergují

14 Vltoti kovergetích řd Mějme kovergetí řd b t Je-li pro N : b,pk t b b ( ) t R c c c, c Mějme řd, b, echť pltí N : b, pk říkáme, že řd je miortou řd b, řd b je mjortou řd

15 Řd kldými čle Řd, kde kždé, e zývá řd kldými čle Řd kldými čle buď koverguje ebo diverguje k, protože její poloupot čátečých oučtů je vžd eklející Kritéri kovergece řd kldými čle Srovávcí kritérium Mějme řd, b kldými čle, echť pltí N : b Řd koverguje, jetliže koverguje její mjort Řd b diverguje, diverguje-li její miort Řešeý příkld Pomocí ěkterého kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Řd koverguje, protože mjort této řd koverguje mjort, N, je geometrická řd kvocietem q Pomocí ěkterého kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí 5

16 Řešeí Řd diverguje, protože miort je hrmoická řd t diverguje tto erovot pltí pro, N, ( ), řd je divergetí Pomocí ěkterého kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Řd diverguje, protože miort je hrmoická řd t diverguje, N Odmociové (Cuchho) kritérium Nechť pro řdu eituje lim L, pk pltí: je-li L >, řd diverguje, je-li L <, řd koverguje Důkz: ) Uvžujme čílo k tk, že L k Pk pro koro všech čle poloupoti pltí, že mjortou řd < k, tj < k < < { } To všk zmeá, že řd, která proto koverguje podle rovávcího kritéri 6 k je kovergetí

17 b) Mějme í L >, pk pro koro všech bude eboli To zmeá, že limit poloupoti { e erová ule řd eplňuje utou podmíku kovergece, proto diverguje } Řešeý příkld Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim lim < Řd koverguje Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim lim lim e > Řd diverguje Podílové (D Alembertovo kritérium) Nechť pro řdu pk pltí: eituje je-li L >, řd diverguje, je-li L <, řd koverguje lim L, 7

18 Důkz: ) Nechť k ( L,) Pk pro koro všech je < k, tz že eituje N tk, že m> : m < k m, k k m < m <, m N < k td m N N Vidíme, že řd k je kovergetí mjortou řd, která podle rovávcího kritéri koverguje m b) Pro L > pk pro koro všech pltí m Poloupot { } je ted eklející kldá, proto emůže plit utou podmíku kovergece lim Řešeý příkld Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí ( )! Pokud výrz obhuje fktoriál, použijeme podílové kritérium ( )! ( )! lim lim lim lim < ( )( )( )! ( )( )! Řd koverguje ( ) 8

19 Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí ( ) ( ) lim lim lim > Řd koverguje Pozámk: V přípdě, že je L, eumíme pomocí odmociového podílového kritéri rozhodout o kovergeci řd Muíme použít jié kritérium Itegrálí kritérium Nechť fukce f je itervlu,) kldá klející, přičemž Pk řd koverguje, právě kdž koverguje evltí itegrál f d Důkz: Podle předpokldů vět je k N Sečteme tto erovoti pro k,,,, : k k k k f d f d k k k tj f d k f pro N Z toho ple, je-li kovergetí, pk lim lim f d to zmeá, že evltí itegrál koverguje Koverguje-li itegrál f d, pk tké pltí, že 9

20 To zmeá, že oučet f() f d je koečý řd koverguje Řešeý příkld Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Použijeme itegrálí kritérium f d d lim lim b b b Itegrál koverguje, řd koverguje b Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Použijeme itegrálí kritérium f b b d d lim l lim ( l b l ) Itegrál diverguje, řd diverguje b

21 Rbeovo kritérium Nechť pro řdu eituje L lim, pk pltí: je-li > L, řd koverguje, je-li < L, řd diverguje Řešeý příkld Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Podílové kritérium: lim lim lim lim Nerozhodeme Rbeovo kritérium: 6 lim 5 6 lim 5 6 lim lim > Řd koverguje

22 Řešeý příkld Pomocí vhodého kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim < Řd koverguje Řešeí 58 ( ) ( ) 59 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim < 58 ( ) 59 Řd koverguje 5 Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim < Řd koverguje 5 5 Řešeí ( ) ( ) lim lim lim lim < Řd koverguje

23 5 ( )!! Řešeí lim lim ( ) ( )! ( )!!! lim! ( )( ) ( )! ( )! lim! ( ) ( ) < Řd koverguje 6 Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim lim < Řd koverguje 7 Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim lim < Řd koverguje 8 9 Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim 9 lim 9 < 9 Řd koverguje

24 9 ( ) Řešeí Použijeme itegrálí kritérium f d d lim ( ) d tdt d m b ( t ) t b [ t] lim[ rctb rct] lim rct b b t Itegrál koverguje, řd koverguje h m b tdt! Řešeí Pokud výrz obhuje fktoriál, použijeme podílové kritérium lim lim ( )! ( )! lim lim >!! Řd diverguje

25 Alterující řd Řd obecými čle jou tkové, kde e libovolě třídjí zmék jejích čleů Mějme řdu obecými čle koverguje bolutě Nekoverguje-li koverguje reltivě (ebolutě), koverguje-li řd, le řd, pk říkáme, že řd o, pk říkáme, že řd Vět: Jetliže koverguje řd, pk koverguje i řd Důkz: Řdu čleů rozdělíme řdu jejích kldých čleů použijeme rovávcí kritérium kždou zvlášť: ( ) řdu jejích záporých ( ), proto řd kldých čleů koverguje, ozčme její oučet, tké je řd kldými čle vbrá z kovergetí řd koverguje její oučet ozčíme, proto Spojeím obou výledků dotáváme koverguje ( ) Teto oučet je koečý řd Řešeý příkld Rozhoděte, zd dé řd kovergují bolutě: i ) Řešeí b) i ) řd koverguje bolutě, protože řd koverguje 5

26 b) řd ekoverguje bolutě, protože (itegrálí kritérium) řd diverguje Řd, kde kždé, e zývá lterující řd Leibitzovo kritérium kovergece lterujících řd Nechť pro lterující řdu pltí: lim, { } je erotoucí poloupot, ted Pk je tto řd kovergetí Důkz: Uvžujme čátečý oučet udého počtu čleů, v ěmž > : m m m 5 m m m Podle předpokldu () je kždý rozdíl k k, tj m, poloupot je tudíž hor omezeá Součě je eklející, protože pltí Má ted limitu lim m m m m m m Vezmeme-li í poloupot lichých čátečých oučtů, pltí pro ě podle předpokldu () Shrutím obou výledků obdržíme m m m, lim lim lim m m m m m m m m m m m m, lim lim lim proto řd z dých podmíek koverguje Pozámk: Leibitzovo kritérium louží k ověřeí reltiví kovergece řd 6

27 Řešeý příkld Rozhoděte o kovergeci lterující řd Řešeí Nejdříve rozhodeme o kovergeci řd kldými čle Použijeme itegrálí kritérium f b b d d lim l lim ( l b ) Itegrál diverguje, řd diverguje Ní pomocí Leibitzov kritéri: lim lim, Leibitzovo kritérium je plěo, řd koverguje reltivě b Řešeí Nejdříve rozhodeme o kovergeci řd kldými čle Rbeovo kritérium: ( )( ) ( ) lim lim lim lim lim lim < Řd diverguje Ní pomocí Leibitzov kritéri: 5 lim lim, Leibitzovo kritérium eí plěo, řd diverguje 7

28 Řešeí Nejdříve rozhodeme o kovergeci řd kldými čle Použijeme itegrálí kritérium 5 Řešeí f b b b d d lim lim Itegrál koverguje, řd koverguje l Nejdříve rozhodeme o kovergeci řd kldými čle Použijeme itegrálí kritérium b d d lim[ l l ] lim[ ( l l b l l )] f l b b Itegrál diverguje, řd diverguje Ní pomocí Leibitzov kritéri: lim lim, l ( ) l( ) b l l l ( ) l Leibitzovo kritérium je plěo, řd koverguje reltivě 6 ( ) Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim lim < Řd je bolutě kovergetí 8

29 Operce řdmi Náobeí řd Součiem řd c, b zýváme řdu c, pro jejíž čle pltí:, c b,, c b b b b, b b,, Jou-li řd b bolutě kovergetí e oučt t, pk tké jejich ouči je bolutě kovergetí její oučet je t Řešeý příkld Njděte řdu, která je oučiem zdých řd Je-li to možé, určete její oučet Řešeí, Potupým výpočtem obdržíme řdu 9 Obě zdé geometrické řd jou bolutě kovergetí, jejich oučt jou, Abolutě koverguje ted i jejich ouči jeho oučet je Přerováí čleů řd Mějme řdu řd proté zobrzeí ν : N N Říkáme, že ν() ν ν() ν vzikl přerováím řd 9

30 ν Nechť řd bolutě koverguje Pk kždá řd, která vzikl jejím přerováím, rověž koverguje, to ke tejému oučtu Reimov vět: Koverguje-li řd ebolutě, pk lze její čle přerovt tk, b vziklá řd kovergovl k předem toveému oučtu, přípdě b divergovl Řešeý příkld Alterující řd koverguje podle Leibitzov kritéri, le ekoverguje bolutě Ukážeme, že jejím přerováím zíkáme kovergetí řdu jiým oučtem Řešeí ( ) dále je 6 8 Sečteme-li obě rovoti, doteme Tto řd může vzikout tké tk, že přerováme čle v původí řdě tk, že píšeme dv kldé čle jede záporý Součet e tím o poloviu zvětší

31 Přibližý výpočet oučtu řd Odhd zbtku r pro bolutě kovergetí řd Odhd zbtku řd zákldě itegrálího kritéri: Mějme kovergetí řdu kldá klející, přičemž kldými čle, echť fukce f je itervlu,) f pro N Pk pro pltí: r r f d Pltí-li pro všech doti velká vzth q <, pk zbtek r řd plňuje erovot r q q Odhd zbtku r pro lterující řd Nechť je lterující řd, pk zbtek r řd plňuje erovot r Řešeý příkld Určete odhd zbtku kovergetí řd po deátém čleu Řešeí Itegrálím kritériem zjitíme, zd řd koverguje: f d d lim lim b b b Řd koverguje r f d d lim lim b b b r b b

32 Určete odhd zbtku kovergetí řd po -tém čleu, kolik čleů je třeb vzít, b zbtek bl meší ež, Řešeí Itegrálím kritériem zjitíme, zd řd koverguje: f d d lim lim b b b Řd koverguje r f d d lim lim b b b r 6,9 Muíme ečít miimálě 7 čleů Určete odhd chb u řd po -tém čleu, určete zbtek po pátém čleu Řešeí Podílovým kritériem zjitíme, zd řd koverguje: lim lim lim Řd koverguje q b 5 6 Zvolíme-li 5, r5, 6875 b r

33 Určete odhd chb u řd! po -tém čleu, kolik čleů je třeb vzít, b zbtek bl meší ež, Řešeí Řd je bolutě kovergetí r r! ( )! ( ) ( )! 6 Určete odhd chb u řd meší ež, Řešeí Řd je bolutě kovergetí r r ( ) l l 5, 8 6 po -tém čleu, kolik čleů je třeb vzít, b zbtek bl

34 5 Fukčí řd Poloupoti fukcí Poloupot fukcí možiě M je zobrzeí moži přirozeých číel do moži fukcí defiových M Píšeme Defiičí obor { f } { f, f, f,, f, } { } D poloupoti f ( ) je průik defiičích oborů všech jejích čleů { co } { co,co,co,,co, } D R,,,,, D R{ N } Koverguje-li v bodě { } poloupot { f ( )} { } D číelá poloupot f ( ), říkáme, že poloupot fukcí f koverguje v bodě Jetliže pro kždé P D koverguje číelá, říkáme, že poloupot fukcí { } Píšeme f f lim f ( ) ozčuje limití fukci poloupoti { } limit číelých poloupotí pro kždý bod f koverguje P bodově f, jejíž obor hodot možiě P tvoří P Řešeý příkld Všetřete limitu poloupoti Řešeí Defiičím oborem poloupoti je moži R { } Při výpočtu limit je uté rozlišit ěkolik možotí ohledem fukci f : Pro > je lim f (L Hopitlovo prvidlo), Pro je lim f,

35 Pro lim f < je Limití fukce pro < f lim f pro pro > Řekeme, že poloupot fukcí { f } koverguje tejoměrě k fukci f itervlu P, eituje-li pro kždé ε > čílo N tk, že pro kždé P pltí: f f < ε Píšeme: lim V přípdě tejoměré kovergece je čílo f f P tejé pro všech P > Bodová kovergece: P ε N : f f Stejoměrá kovergece: ε N P : f f > > < ε > > < ε pro všech Řešeý příkld Všetřete tejoměrou kovergeci poloupoti Řešeí pro < f lim f pro pro > Uvžujme ejdříve itervl K, ), kde K > V ěm pltí: K < f f Zjitíme zd z jkých podmíek je teto rozdíl meší ež libovolě zvoleé čílo ε > : K K < lε ε > ε > l K 5

36 Uvžujeme-li ε <, je teto výledek kldý Vidíme, že ezávile K, ) l ε pro libovolě mlé ε eituje l K tkové, že pro > je f f < ε Ve mlu předchozí defiice je tudíž kovergece tejoměrá itervlu P K, ), K > Mějme í kk,, k < <, ěmž je limití fukce f k f f < k k, proto Protože teto výledek pltí ezávile, můžeme podobou úvhou jko v předchozím potvrdit tejoměrou kovergeci Pro, K, K > e tejoměrá kovergece ověří podobě jko v přípdě Protože teto způob ověřeí tejoměré kovergece předpokládá zlot limití fukce, používá e Bolzo-Cuchov podmík Bolzo-Cuchov podmík tejoměré kovergece Poloupot fukcí f je itervlu P tejoměrě kovergetí právě tehd, kdž pro libovolé ε > eituje N tkové, že pro kždá dvě m, N, m, pro kždé P pltí f f < ε m Vět: Koverguje-li poloupot pojitých fukcí k fukci f ( ), pk limití fukce f ( ) je rověž pojitá, b b f d f d lim Vět: Nechť { } f itervlu P, b tejoměrě f je poloupot fukcí diferecovtelých itervlu P, b, přičemž lepoň pro jedo c P poloupot f ( c ) koverguje Koverguje-li { } poloupot f pltí: f f tejoměrě P, lim { } b, pk tké { } f koverguje tejoměrě 6

37 Fukčí řd { } Nechť v itervlu I je defiová poloupot fukcí Fukčí řdou rozumíme výrz tvru: f f f f f f Řekeme, že fukčí řd koverguje pro, má-li oučet číelá řd: Moži I* f f f f f I všech bodů, v ichž řd koverguje e zývá obor kovergece * Píšeme: f Fukce I e zývá oučet řd (oučtová fukce) Pokud v ěkterém bodě defiičího oboru řd buď f ( ) ( ) ebo f ( ) je v tomto bodě divergetí eeituje, říkáme, že řd Fukci tvru k k f f f f f zýváme -tým čátečým oučtem fukčí řd f Výrz r f f f f f k k k zýváme -tým zbtkem řd f Součtem fukčí řd f rozumíme fukci lim, která je defiová možiě I * (tj je defiová pro všech, ve kterých eituje koečá limit lim ) Potom píšeme f, I* 7

38 Součtem ekoečé řd fukcí je opět fukce Součet emuí být defiová celém itervlu I, le pouze ějké podmožiě * I Poz: Při určováí oboru kovergece fukčí řd vužíváme podílové ebo odmociové kritérium Řešeý příkld Určete obor kovergece fukčí řd l Řešeí Použijeme odmociové kritérium: lim l l < < l < e < < e Obor kovergece je ( e, e) Muíme í prověřit, jk e řd chová v krjích bodech itervlu: ( ) e l e e l e obě řd divergují Obor kovergece je ( e, e) Určete obor kovergece fukčí řd Řešeí Použijeme podílové kritérium: ( ) lim lim ( ) lim lim lim ( ) Řd koverguje R 8

39 Říkáme, že itervlu M b, řd f koverguje tejoměrě k oučtu právě kdž poloupot čátečých oučtů { }, koverguje M b, tejoměrě Koverguje-li řd tejoměrě dém itervlu, koverguje k témuž oučtu i bodově, opk to mozřejmě epltí K všetřeí tejoměré kovergece vužíváme vhodá kritéri Weiertrovo kritérium tejoměré kovergece: Řd f tejoměrě itervlu, b k fukci koverguje, jetliže eituje pro kždé b, k této řdě kovergetí číelá mjort ezáporými čle, ted pltí: M, b : f N koverguje Řešeý příkld Ukžte, že řd Řešeí co koverguje tejoměrě pro R co Mjortí řd je kovergetí geometrická řd kvocietem q, proto podle Weiertrov kritéri koverguje řd tejoměrě celém R Vět o pojitoti oučtu itegrováí fukčí řd: Nechť řd pojitých fukcí f koverguje tejoměrě k oučtu oučet je pojitá fukce b,, pro α β b β itervlu M b, Pk pltí: β β f d f d d α je α α Řešeý příkld Je dá fukce Řešeí co, vpočítejte itegrál d Čle řd co jou pojité fukce R 9

40 Řd koverguje tejoměrě (viz miulý příkld) Ní můžeme vpočítt d: co co co co d d d i i i Vět o derivováí fukčí řd: Nechť řd pojitých fukcí f itervlu b, echť pro ějké c, b předpokládejme, že řd derivcí f koverguje, Pk řd f diferecovtelých koverguje číelá řd f ( c) koverguje, Dále b tejoměrě k oučtu b rověž tejoměrě pltí σ Stručěji: Stejoměrě kovergetí řdu diferecovtelých fukcí lze derivovt čle po čleu d df f d d σ Řešeý příkld Určete oučet řd Řešeí Čle řd jou diferecovtelé fukce R σ řd je geometrická koverguje itervlu (,) k oučtu σ dl C l C z evidetí podmík

41 6 Mocié řd ( ) Fukčí řd e zývá mociou řdou zýváme třed řd, jou reálé koeficiet Pro je Kždá mociá řd koverguje ve vém tředu Vět Abelov: Koverguje-li mociá řd ( ) v bodě, pk koverguje bolutě pro všech, pro která pltí < Mějme řd ( ) oborem kovergece M Čílo R up{ } zýváme poloměrem kovergece této řd M Důledek Abelov vět: Obor bolutí kovergece mocié řd je vžd otevřeý itervl ouměrý podle tředu řd poloměrem podle předchozí defiice: ( R, R) Vět Cuchho-Hdmrdov: Nechť pro mociou řdu rep ρ lim, pk pro obor kovergece pltí: R, je-li ρ, R, je-li < ρ <, ρ R, je-li ρ ( ) je lim, ρ

42 Řešeý příkld Určete poloměr kovergece obor kovergece mocié řd: Řešeí ( ) Poloměr kovergece lim R Obor kovergece, lim R Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd Ní pomocí Leibitzov kritéri: lim lim, Hrmoická řd diverguje Leibitzovo kritérium je plěo, řd koverguje reltivě Obor kovergece je,! Řešeí Poloměr kovergece lim R lim! lim! ( ) Obor kovergece jou všech reálá číl! lim! ( ) R

43 Řešeí Poloměr kovergece lim lim lim R R Obor kovergece řd koverguje pouze ve vém tředu Vět o tejoměré kovergeci mociých řd: Mociá řd e tředem poloměrem kovergece R koverguje tejoměrě kždém uzvřeém itervlu M r, r,< r < r Itegrováí derivováí mocié řd Je-li poloměr kovergece mocié řd < r < r R pltí ) Součet řd je pojitá fukce b) Pro kždé M r, r c) Pro kždé M r, r Řešeý příkld je ( ) její oučet, pk pro ( ) d d d je ( ) ( ) ( Určete poloměr kovergece, obor kovergece oučet mocié řd Řešeí Poloměr kovergece lim lim ρ lim Obor kovergece (, ) Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd d )

44 N řdu použijeme itegrálí kritérium l lim l lim b d d f b b b Itegrál diverguje, řd diverguje Obě číelé řd jou divergetí, obor kovergece je, Pokuíme e řdu ečít Řd e prví pohled ečít edá, pokud bchom le odtrili jmeovtele, tk doteme geometrickou řdu, odtríme je derivováím řd čle po čleu 8 Řd je geometrická, její oučet je Teto výrz itegrujeme doteme oučet původí řd d d d d c rct l l Kottu muíme dopočítt, dodíme ted do obou tr rovice její třed rct l l c c Řd má oučet rct l Rozkld prciálí zlomk utý k výpočtu itegrálu: D C B A D C B A A A

45 B B A B C C 5A 5B C D D Řešeí Poloměr kovergece lim lim ρ lim Obor kovergece (, ) Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd Ní pomocí Leibitzov kritéri: lim lim, Leibitzovo kritérium je plěo, řd koverguje reltivě Hrmoická řd diverguje Obor kovergece je (, Pokuíme e řdu ečít Řd e prví pohled ečít edá, pokud bchom le odtrili ze jmeovtele, tk doteme geometrickou řdu, odtríme je derivováím řd čle po čleu 5

46 Řešeí Řd je geometrická, její oučet je oučet původí řd d l c Teto výrz itegrujeme doteme Kottu muíme dopočítt, dodíme ted do obou tr rovice její třed c l c Řd má oučet ( ) l Poloměr kovergece lim lim ρ lim Obor kovergece (,) Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd Hrmoická řd diverguje Hrmoická řd diverguje Obě číelé řd jou divergetí, obor kovergece je (,) Pokuíme e řdu ečít ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Řd e prví pohled ečít edá, pokud bchom le odtrili ze jmeovtele, tk doteme geometrickou řdu, odtríme je derivováím řd čle po čleu 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Řd je geometrická, její oučet je itegrujeme doteme oučet původí řd ( ) ( ) ( ) d d 6 ( ) ( ) ( )( ) Teto výrz

47 Řešeí l ( ) c Kottu muíme dopočítt, dodíme ted do obou tr rovice její třed l c c l Řd má oučet Poloměr kovergece ρ lim lim R Obor kovergece, Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd řd diverguje řd diverguje Obě číelé řd jou divergetí, obor kovergece je, Pokuíme e řdu ečít Jedá e o geometrickou řdu, její oučet je 5 ( ) Řešeí Poloměr kovergece ρ ( ) lim lim lim R 7

48 Obor kovergece ( 7, ) Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd 7 příkld ( ) () Obor kovergece je 7, ) Pokuíme e řdu ečít ( ) ( ) ( ) ( ) Reltiví kovergece, viz ěkterý miulý Hrmoická řd diverguje Řd e prví pohled ečít edá, pokud bchom le odtrili ze jmeovtele, tk doteme geometrickou řdu, odtríme je derivováím řd čle po čleu ( ) ( ) ( ) Řd je geometrická, její oučet je itegrujeme doteme oučet původí řd d l c ( ) Kottu muíme dopočítt, dodíme ted do obou tr rovice její třed ( ) c l l c Řd má oučet l Teto výrz 8

49 6 ( ) Řešeí Poloměr kovergece ρ lim lim R Obor kovergece (, ) Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd Diverguje (tejá limit pro Leibitz kr) lim lim NPK diverguje Obor kovergece je (, ) Pokuíme e řdu ečít Řd e prví pohled ečít edá, pokud bchom le odtrili, tk doteme geometrickou řdu, odtríme je itegrováím řd čle po čleu d d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) Řd je geometrická, její oučet je zderivujeme doteme oučet původí řd ( ) ( ) ( ) d Teto výrz 9

50 7 Vjádřeí fukce mociou řdou Mějme fukci derivcemi libovolého řádu v bodě Pk mociou řdu f ( ( ) ) f f ( ) f ( ) f f ( )!!! zveme Tlorovou řdou (rozvojem) fukce teto rozvoj Mcluriův! f v bodě Je-li, zýváme Zbtek v Tlorově rozvoji: Kždá Tlorov řd může být zpá jko uperpozice Tlorov polomu T jitého tupě m zbtku řd po m -tém čleu, který ozčíme m R : m ( ) ( ) ( ) m f f f! m! Tm Rm Nutá potčující podmík kovergece Tlorov rozvoje: Má-li fukce derivci libovolého řádu, pk pro z libovolého itervlu I je právě tehd, kdž pltí pro zbtek R ( ) ( ) f f m! v tomto Tlorově rozvoji lim R, I m f v bodě Mcluriův rozvoj zákldích fukcí e!!! 5 7 i!! 5! 7! 6 co!!! 6! 5

51 Řešeý příkld Určete Mcluriův rozvoj fukce co Řešeí! 6!!! co 6 Míto dodíme! 6!!! co 6 rct Řešeí Fukci ejprve zderivujeme rct Míto dodíme 8 6 Řdu itegrujeme čle po čleu c d d d 8 6 rct Kottu dopočítáme dozeím tředu řd rct c c rct 5

52 Řešeý příkld Vpočítejte itegrál i d Řešeí 5 7 i!! 5! 7! Míto dodíme i 5!! 5! 7! 7 i d 6! 5! c! 7! d ( ) d! e d Řešeí e!!! e d i d Řešeí d!! c l c l!! 5 7 i!! 5! 7! i d 5 7 d! 5! 7! 5 7 c c! 55! 77! d!!! ( )( ) 6 d! 5! 7!! d! d! 5

53 Řešeý příkld Vpočítejte určitý itegrál přeotí deetitiíci co d Řešeí! 6!!! co 6 Míto dodíme! 6!!! co, !!! 6!!! co d d,9 l d Řešeí l c d d d 5 5 Dodíme třed řd vpočítáme kottu l c c 5

54 ,78969,5,599,656 6,79,8 5 5,9,9 5 5 d 5

55 8 Řešeí difereciálích rovic užitím mociých řd Mějme dáu Cuchho úlohu pro občejou difereciálí rovici prvího řádu ve tvru,, ' f, kde je hledá fukce Nším cílem bude lézt řešeí této úloh ve tvru Tlorov řd e tředem v bodě! '''! '' '! Poz: Je-li, je řešeím McLuriov řd, v ottích přípdech je to Tlorov řd Poz: Metodu lze použít i pro difereciálí rovice všších řádů Řešeý příkld Njděte prtikulárí řešeí difereciálí rovice (polom tupě), ' e Řešeí Výledek bude ve tvru McLuriov řd:!! ' ' '! '' '! ', ' e e '' ', ' '' e e e e 6 ''' '', ' ' ' ' '' ''' e e e e e e e e 6 ' 6 ''', '' ' '' '' ' ' ' ' '' ' ' ''' e e e e e e e e e e e e e e e e 6 5!!! 55

56 ' ',, ' (polom 6 tupě) Řešeí Výledek bude ve tvru McLuriov řd: ( ) ( ' '' ) '' '!!!! ( ) ' '', ' ' ''' ', ''' ( ' ' '', ) ( 5) ( 5 '' '' ''', ) ( 6) ( 5 ''' ''', )! 6! 6 ', (polom tupě) Řešeí Výledek bude ve tvru Tlorov řd: () ' () ( ) ' ' ( ) ' '' ( )!! () ', ' '' ', '' () () 8 ( ' ) '', ''' ''' 6 6( ' ) ' '' 6 ' '' ( ) () ( ) ''', ( ) ( ) ( ) !!! 56

57 Mějme dáu Cuchho úlohu pro občejou difereciálí rovici prvího řádu ve tvru ' f,,, kde je hledá fukce Nším cílem bude lézt řešeí této ( ) úloh ve tvru mocié řd e tředem v bodě Řešeý příkld Njděte prtikulárí řešeí difereciálí rovice ( ) ', Řešeí Výledek bude ve tvru mocié řd: Dodíme do zdáí: (polom 5 tupě) ( )( ) ( ) 6 Závork rozáobíme 5 6 ( 55 ) ( 55 ) ( 5 ) Ní budeme porovávt koeficiet u tejých moci: : : : : :5 Výledek 5 57

58 9 Fourierov řd Mějme fukci koeficiet f itegrovtelou itervlu, Řd co b i co bi co bi ( ) co b i f d f co d,,, b f i d,,, e zývá Fourierův rozvoj fukce f itervlu, Píšeme f ( co bi ) Fukce f ( ) je možiě M periodická periodou T, pltí-li f ( T) f M pro Uvžujme fukci f ( ) defiovou itervlu délk, př pro Periodické prodloužeí f fukce f f T αα, T vě tohoto itervlu defiujeme předpiem f, α < < α T, f ( kt ), α kt < < α ( k ) T, k Z, k, f ( α ) f (( α T) ), α kt N rozhrí jedotlivých period vzikou bod epojitoti, v ich zvádíme hodotu f ritmetickým průměrem jedotrých limit f ( ) zčátku koci itervlu 58

59 Řešeý příkld Njděte Fourierův rozvoj fukce f Řešeí ) ),,,, itervlu, Setrojte grf jejího periodického prodloužeí d d [ ] [ ] co d co d [ i ] [ i ] [ ] [ ] b i d i d co co f i Periodické prodloužeí!!! Dirichletov vět Nechť má fukce f ( ) tto vltoti: (D) itervlu, je itegrovtelá, (D) má itervlu, koečý počet etrémů Pk k í itervlu, eituje jedozčě určeý Fourierův rozvoj tvru koeficiet který koverguje k fukci b ( co i ) f d f co d,,,, b f i d,,, f v kždém bodě itervlu (, ), v ěmž je pojitá, k ritmetickým průměrům jedotrých limit v kždém bodě epojitoti uvitř,, itervlu k periodickému prodloužeí f vě itervlu (, ) jedotrých limit v jeho bodech epojitoti 59, rep k ritmetickým průměrům

60 Siový koiový rozvoj Siový rozvoj Je-li fukce lichá, pk její Fourierův rozvoj obhuje pouze iové čle pltí: f b i Koiový rozvoj Je-li fukce udá, pk její Fourierův rozvoj obhuje pouze koiové čle pltí: f co Sudé liché prodloužeí Máme-li fukci f ( ) itervlu,, můžeme její rozvoj do Fouriérov řd itervlu, vtvořit trojím způobem N itervlu, doplíme pro, fukci tk, bchom dotli udou fukci o periodě K í pk vtvoříme periodické prodloužeí, které bude opět udé Výpočtem obdržíme koiový rozvoj N itervlu, doplíme pro, fukci tk, bchom dotli lichou fukci o periodě K í pk vtvoříme periodické prodloužeí, které bude opět liché Výpočtem obdržíme iový rozvoj Provedeme periodizci pro zdý itervl, V tomto přípdě bude f d f co d,,, b f i d,,, 6

61 Řešeý příkld Rozviňte fukci f ( ) do iové koiové řd proveďte periodizci itervlu, Řešeí Setrojte grf jejího periodického prodloužeí Siový rozvoj b i d co i f i Koiový rozvoj d ( ) co d i co ( ) f co Periodizce, d co d i co b i d co i f i 6

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd.

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd. Poloupoti Poloupot v mtemtice je ř číel. Je přeě určeo poří číel, je tey áo, které čílo je prví, ruhé t. V řě číel může le emuí být ějký ytém. Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby:. Výčet prvků:

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157

5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157 Zákldy mtemtiky Poloupoti 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY 5 5 Pojem poloupoti číel 5 5 Grfické zázorěí poloupoti 5 5 Některé vltoti poloupotí 55 Kotrolí otázky 57 5 Aritmetická poloupot 58 5 Součet prvích čleů ritmetické

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI s-tého STUPNĚ. Daniela Bittnerová

ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI s-tého STUPNĚ. Daniela Bittnerová The Mthemtc Educto to the t Cetury Project Proceedg of the Itertol Coferece The Decdble d the Udecdble Mthemtc Educto Bro, Czech Republc, September 00 ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI -TÉHO STUPNĚ Del Btterová

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí:

Více

Mocniny, odmocniny, úpravy. Repetitorium z matematiky

Mocniny, odmocniny, úpravy. Repetitorium z matematiky Mociy, odmociy, úpvy lgeických výzů epetitoium z mtemtiky Podzim Iv culová . Mociy přiozeým celým mocitelem Po kždé eálé čílo kždé přiozeé čílo pltí:... čiitelů moci Zákld mociy (mocěec) mocitel (expoet)

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Řady s nezápornými členy

Řady s nezápornými členy Studujeme,kde 0pro N. Prořdysezáporýmičleymohousttpouzedvěmožosti. Rebo =+. Toplyeztoho,žeposloupost {s m } jeeklesjící,tedydlev2.9- lim s m =. VĚTA 2(lierit kovergetích řd): Nechť b kovergují.pk: (i)

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost 7 Vzoce po geometicou poloupot Předpoldy: 0, 0 Př : Po geometicou poloupot pltí ; q Uči čle, iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup je ložitější

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Obr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků).

Obr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků). Učebí text k předášce UFY8 Dvojvzková tererece teké vrtvě Dvojvzková tererece teké vrtvě Předpokládejme, vl o mpltudě dvou delektrk tk, že mpltud održeé vly bude o dexu lomu bude t (vz obr. DI-1). v protředí

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

1. Trapézový plech poloha pozitivní (betonem jsou vyplněna úzká žebra) TR 50/250-1mm. Tloušťka Hmotnost PL Ý PRŮŘEZ EFEKTIV Í PRŮŘEZ

1. Trapézový plech poloha pozitivní (betonem jsou vyplněna úzká žebra) TR 50/250-1mm. Tloušťka Hmotnost PL Ý PRŮŘEZ EFEKTIV Í PRŮŘEZ Příkld 0: Nvrhěte pouďte protě uložeou oelobetoovou tropii rozpětí 6 m včetě poouzeí trpézového plehu jko ztreého beděí. - rozteč tropi m - tloušťk betoové dek elkem 00 mm - oel S 5 - beto C 0/5 - užité

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět

ZPG Křivky. Hermitova interpolace. Fergusonovy křivky (3) Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět ZPG Křivk. Hermitov iterpolce. Fergusoov křivk (). KŘIVKY A PLOCHY Cíl Po prostudováí této kpitol budete umět defiovt iterpolčí proximčí křivk pro dé bod defiovt ploch z dých prvků plikovt křivk ploch

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

VY_42_Inovace_13_MA_4.01_ Aritmetická posloupnost pracovní list. Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál.

VY_42_Inovace_13_MA_4.01_ Aritmetická posloupnost pracovní list. Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál. Čílo projektu Čílo mteriálu CZ..07/.5.00/34.0394 VY_4_Iovce_3_MA_4.0_ Aritmetická poloupot prcoví lit Název školy Střeí oborá škol Střeí oboré učiliště, Hutopeče, Mrykovo ám. Autor Temtický celek Mgr.

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Matematická analýza II

Matematická analýza II Mtemtická lýz Tylorův polyom, primitiví fukce, určitý itegrál, fukce více proměých, metrické prostory Mtemtická lýz II látk z II semestru iformtiky MFF UK podle předášek Roert Šáml Zprcovli: J Ztr Štěti,

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Mteriál louží ouze jko růvodce k mteriálu odrobějšímu, který je dotuý trákách htt:mi.vb.cz Tm jou

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

9. Číselné posloupnosti a řady

9. Číselné posloupnosti a řady 9 548 5: Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I PEDAGOGICKÁ FAKULTA, KATEDRA MATEMATIKY N E K O N E Č N É Č Í S E L N É ŘADY V P Ř Í K L A D E C H Diplomová práce Autor: Lucie DVOŘÁKOVÁ Vedoucí

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více