Floating Point. Jak je reprezentovaný a proč někdy nefunguje. 2. června 2013

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Floating Point. Jak je reprezentovaný a proč někdy nefunguje. 2. června 2013"

Transkript

1 Floating Point Jak je reprezentovaný a proč někdy nefunguje Augustin Žídek augus tin< at>zidek< dot> eu 2. června 2013

2 Historie Leonardo Torres y Quevedo 1914 Analytical Engine s floating point

3 Historie Leonardo Torres y Quevedo 1914 Analytical Engine s floating point Floating point vs fixed point (von Neumann)

4 Historie Leonardo Torres y Quevedo 1914 Analytical Engine s floating point Floating point vs fixed point (von Neumann) Různé implementace až do 1985 IEEE

5 Post IEEE-754 Raketa Ariane 5 (1996), 10 let vývoje, 7 miliard dolarů

6 Post IEEE-754 Raketa Ariane 5 (1996), 10 let vývoje, 7 miliard dolarů Konvertovali 64-bitový float na 16-bitový int Neočekávaný overflow

7 Post IEEE-754 Raketa Ariane 5 (1996), 10 let vývoje, 7 miliard dolarů Konvertovali 64-bitový float na 16-bitový int Neočekávaný overflow Burza ve Vancouveru (1983)

8 Post IEEE-754 Raketa Ariane 5 (1996), 10 let vývoje, 7 miliard dolarů Konvertovali 64-bitový float na 16-bitový int Neočekávaný overflow Burza ve Vancouveru (1983) Index podhodnocený o 44 % Zaokrouhlovací chyba se sbírala 22 měsíců

9 Post IEEE-754 Raketa Ariane 5 (1996), 10 let vývoje, 7 miliard dolarů Konvertovali 64-bitový float na 16-bitový int Neočekávaný overflow Burza ve Vancouveru (1983) Index podhodnocený o 44 % Zaokrouhlovací chyba se sbírala 22 měsíců Střely Patriot (1991)

10 Post IEEE-754 Raketa Ariane 5 (1996), 10 let vývoje, 7 miliard dolarů Konvertovali 64-bitový float na 16-bitový int Neočekávaný overflow Burza ve Vancouveru (1983) Index podhodnocený o 44 % Zaokrouhlovací chyba se sbírala 22 měsíců Střely Patriot (1991) 28 mrtvých, nepřesnost 1/20 s kvůli 24-bitovým float

11 Post IEEE-754

12 Reprezentace vědecká notace mantisa 8 exponent

13 Reprezentace floatu (= 3648)

14 Reprezentace floatu (= 3648) Float +/ Exponent Mantisa (1+8+23) bitů

15 Reprezentace floatu (= 3648) Float +/ Exponent Mantisa (1+8+23) bitů Double +/ Exponent Mantisa ( ) bitů

16 Reprezentace floatu mantisa Mantisa normalizovaná: 1 mantisa < 2

17 Reprezentace floatu mantisa Mantisa normalizovaná: 1 mantisa < 2 Vždy 1 na začátku není třeba ukládat (hidden bit)

18 Reprezentace floatu mantisa Mantisa normalizovaná: 1 mantisa < 2 Vždy 1 na začátku není třeba ukládat (hidden bit) mantisa = Jaké číslo je reprezentováno?

19 Reprezentace floatu mantisa Mantisa normalizovaná: 1 mantisa < 2 Vždy 1 na začátku není třeba ukládat (hidden bit) mantisa = Jaké číslo je reprezentováno? 1 + 1/4 = 1.25

20 Reprezentace floatu exponent Exp (bin) Exp (dec) Hodnota pokud mantisa = inf pokud mantisa = 0, jinak NaN

21 Reprezentace floatu exponent Exp (bin) Exp (dec) Hodnota pokud mantisa = inf pokud mantisa = 0, jinak NaN double:

22 Reprezentace floatu denormalizovaná mantisa Pokud exponent = 0, stává se mantisa denormalizovaná =

23 Cvičení Double +/ Exponent Mantisa

24 Cvičení Double +/ Exponent Mantisa x

25 Cvičení Double +/ Exponent Mantisa x = -0.0

26 Cvičení Double +/ Exponent Mantisa x = x

27 Cvičení Double +/ Exponent Mantisa x = x = 1.5 * 2^1

28 Cvičení Double +/ Exponent Mantisa x = x = 1.5 * 2^1 0x7FF

29 Cvičení Double +/ Exponent Mantisa x = x = 1.5 * 2^1 0x7FF = +Infinity

30 Cvičení Double +/ Exponent Mantisa x = x = 1.5 * 2^1 0x7FF = +Infinity 0x7FF A 0000

31 Cvičení Double +/ Exponent Mantisa x = x = 1.5 * 2^1 0x7FF = +Infinity 0x7FF A 0000 = NaN

32 Největší, nejmenší Největší float: =

33 Největší, nejmenší Největší float: = Největší double: =

34 Největší, nejmenší Největší float: = Největší double: = Nejmenší záporné analogicky

35 Největší, nejmenší Největší float: = Největší double: = Nejmenší záporné analogicky Co nejmenší pozitivní? Pozor na denormalizované!

36 Největší, nejmenší Největší float: = Největší double: = Nejmenší záporné analogicky Co nejmenší pozitivní? Pozor na denormalizované! Nejmenší float: =

37 Největší, nejmenší Největší float: = Největší double: = Nejmenší záporné analogicky Co nejmenší pozitivní? Pozor na denormalizované! Nejmenší float: = Nejmenší double: =

38 Největší, nejmenší Největší float: = Největší double: = Nejmenší záporné analogicky Co nejmenší pozitivní? Pozor na denormalizované! Nejmenší float: = Nejmenší double: = Viz proměnné Float a Double

39 Machine epsilon Definice: Rozdíl mezi 1.0 a nejmenším reprezentovatelným číslem, které je větší než jedna.

40 Machine epsilon Definice: Rozdíl mezi 1.0 a nejmenším reprezentovatelným číslem, které je větší než jedna. Minimální rozdíl mezi čísly aby byla považována za nestejná.

41 Machine epsilon Definice: Rozdíl mezi 1.0 a nejmenším reprezentovatelným číslem, které je větší než jedna. Minimální rozdíl mezi čísly aby byla považována za nestejná. Float: E-7 Double: E-16

42 Machine epsilon Definice: Rozdíl mezi 1.0 a nejmenším reprezentovatelným číslem, které je větší než jedna. Minimální rozdíl mezi čísly aby byla považována za nestejná. Float: E-7 Double: E-16 Jednoduché vypočítat

43 Porovnávání float lze porovnávat bitově jako int Double +/ Exponent Mantisa

44 První úskalí Jak je reprezentováno 0.1?

45 První úskalí Jak je reprezentováno 0.1?

46 Aritmetika násobení a dělení (a 2 n ) (b 2 m ) = a b 2 n+m (a 2 n )/(b 2 m ) = a/b 2 n m + normalizace

47 Aritmetika sčítání a odčítání

48 Aritmetika sčítání a odčítání 1. Denormalizuj na větší číslo =

49 Aritmetika sčítání a odčítání 1. Denormalizuj na větší číslo = Sečti/odečti =

50 Aritmetika sčítání a odčítání 1. Denormalizuj na větší číslo = Sečti/odečti = Normalizuj =

51 Je sčítání asociativní? ( E40) - 1.0E40 = (1.0E40-1.0E40)

52 Je sčítání asociativní? ( E40) - 1.0E40 = (1.0E40-1.0E40) Hmm, někdy není...

53 Sčítání řad n 1 n

54 IEEE-754 zaokrouhlování

55 IEEE-754 zaokrouhlování Zaokrouhlování s preferencí sudé číslice (unbiased rounding)

56 IEEE-754 zaokrouhlování Zaokrouhlování s preferencí sudé číslice (unbiased rounding) 1.5. = 2.0, 2.5. = 2.0, 3.5. = 4.0

57 IEEE-754 zaokrouhlování Zaokrouhlování s preferencí sudé číslice (unbiased rounding) 1.5. = 2.0, 2.5. = 2.0, 3.5. = 4.0 Výhoda: Statisticky stejně často.5 zaokrouhleno nahoru a dolu

58 IEEE-754 zaokrouhlování Zaokrouhlování s preferencí sudé číslice (unbiased rounding) 1.5. = 2.0, 2.5. = 2.0, 3.5. = 4.0 Výhoda: Statisticky stejně často.5 zaokrouhleno nahoru a dolu Ukázky RoundingProblem a RoundingProblem2

59 Co s tím

60 Co s tím print(random()) alespoň intelektuálně upřímné

61 Co s tím print(random()) alespoň intelektuálně upřímné Použití knihoven (Apfloat, JScience), nástrojů (Matlab, Octave)

62 Co s tím print(random()) alespoň intelektuálně upřímné Použití knihoven (Apfloat, JScience), nástrojů (Matlab, Octave) V Javě BigDecimal

63 BigDecimal Libovolná přesnost, nástroje pro manipulaci

64 BigDecimal Libovolná přesnost, nástroje pro manipulaci Naprostá kontrola zaokrouhlování ideální pro finanční matematiku

65 BigDecimal Libovolná přesnost, nástroje pro manipulaci Naprostá kontrola zaokrouhlování ideální pro finanční matematiku docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/math/bigdecimal.html

66 Dotazy, řešení problémů? augus tin< at> zide k< dot> eu

67 Děkuji za pozornost

Čísla v plovoucířádovéčárce. INP 2008 FIT VUT v Brně

Čísla v plovoucířádovéčárce. INP 2008 FIT VUT v Brně Čísla v plovoucířádovéčárce INP 2008 FIT VUT v Brně Čísla v pevné vs plovoucí řádové čárce Pevnářádováčárka FX bez desetinné části (8 bitů) Přímý kód: 0 až 255 Doplňkový kód: -128 až 127 aj. s desetinnou

Více

Základní principy zobrazení čísla Celá čísla s pevnou řádovou čárkou Zobrazení reálných čísel Aritmetika s binárními čísly

Základní principy zobrazení čísla Celá čísla s pevnou řádovou čárkou Zobrazení reálných čísel Aritmetika s binárními čísly Počítačové systémy Zobrazení čísel v počítači Miroslav Flídr Počítačové systémy LS 2007-1/21- Západočeská univerzita v Plzni Vážený poziční kód Obecný předpis čísla vyjádřeného v pozičním systému: C =

Více

UMÍ POČÍTAČE POČÍTAT?

UMÍ POČÍTAČE POČÍTAT? UMÍ POČÍTAČE POČÍTAT? O ÚSKALÍCH POČÍTAČOVÉ ARITMETIKY RNDr. Iveta Hnětynková, PhD. Katedra numerické matematiky VÝPOČTY A SIMULACE Aplikace: chemie, fyzika, lekařství, statistika, ekonomie, stojírenství,...

Více

Architektury počítačů

Architektury počítačů Architektury počítačů IEEE754 České vysoké učení technické, Fakulta elektrotechnická A0M36APO Architektury počítačů Ver.1.20 2014 1 Fractional Binary Numbers (zlomková binární čísla / čísla v pevné řádové

Více

Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 6

Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 6 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 6 doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii

Více

Jak v Javě primitivní datové typy a jejich reprezentace. BD6B36PJV 002 Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické

Jak v Javě primitivní datové typy a jejich reprezentace. BD6B36PJV 002 Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické Jak v Javě primitivní datové typy a jejich reprezentace BD6B36PJV 002 Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické Obsah Celočíselný datový typ Reálný datový typ Logický datový typ, typ Boolean

Více

1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači

1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači 1. Chyby vstupních dat metody převedení úlohy na numerickou (řád použité metody) zaokrouhlovací reprezentace čísel v počítači 2. Reprezentace čísel v Pascalu celá čísla Typ Rozsah Formát shortint 128..127

Více

Programování v jazyce C pro chemiky (C2160) 12. Specifické problémy při vývoji vědeckého softwaru

Programování v jazyce C pro chemiky (C2160) 12. Specifické problémy při vývoji vědeckého softwaru Programování v jazyce C pro chemiky (C2160) 12. Specifické problémy při vývoji vědeckého softwaru Reprezentace reálnách čísel v počítači Reálná čísla jsou v počítači reprezentována jako čísla tvaru ±x

Více

Ahoj mami. Uložení dat v počítači. Příklady kódování dat. IAJCE Přednáška č. 4

Ahoj mami. Uložení dat v počítači. Příklady kódování dat. IAJCE Přednáška č. 4 Uložení dat v počítači Data = užitečné, zpracovávané informace Kódování (formát) dat = způsob uložení v počítači (nutno vše převést na čísla ve dvojkové soustavě) Příklady kódování dat Text každému znaku

Více

C2115 Praktický úvod do superpočítání

C2115 Praktický úvod do superpočítání C2115 Praktický úvod do superpočítání IX. lekce Petr Kulhánek, Tomáš Bouchal kulhanek@chemi.muni.cz Národní centrum pro výzkum biomolekul, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, CZ-61137

Více

Principy počítačů I Reprezentace dat

Principy počítačů I Reprezentace dat Principy počítačů I Reprezentace dat snímek 1 Principy počítačů Část III Reprezentace dat VJJ 1 snímek 2 Symbolika musí být srozumitelná pro stroj, snadno reprezentovatelná pomocí fyzikálních veličin vhodně

Více

Pohyblivářádováčárka

Pohyblivářádováčárka MI-AAK(Aritmetika a kódy) Pohyblivářádováčárka c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální

Více

REPREZENTACE DAT. Principy počítačů I. Literatura. Literály. Typy dat. Literály. Čísla Instrukce. Znaky. Logické hodnoty

REPREZENTACE DAT. Principy počítačů I. Literatura. Literály. Typy dat. Literály. Čísla Instrukce. Znaky. Logické hodnoty Principy počítačů I REPREZENTACE DAT Literatura D.Goldberg: What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic IA-32 Intel Architecture Software Developer s Manual (Vol. Basic Architecture)

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 38 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 2 3 4 5 6 2 / 38 2 / 38 čárkou Definition 1 Bud základ β N pevně dané číslo β 2, x bud reálné číslo s

Více

v aritmetické jednotce počíta

v aritmetické jednotce počíta v aritmetické jednotce počíta tače (Opakování) Dvojková, osmičková a šestnáctková soustava () Osmičková nebo šestnáctková soustava se používá ke snadnému zápisu binárních čísel. 2 A 3 Doplněné nuly B Číslo

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

PJC Cvičení #2. Číselné soustavy a binární reprezentace proměnných

PJC Cvičení #2. Číselné soustavy a binární reprezentace proměnných PJC Cvičení #2 Číselné soustavy a binární reprezentace proměnných Číselné soustavy Desítková (decimální) kdo nezná, tak...!!! Dvojková (binární) - nejjednodušší Šestnáctková (hexadecimální) - nejpoužívanější

Více

Datové typy a jejich reprezentace v počítači.

Datové typy a jejich reprezentace v počítači. Datové typy a jejich reprezentace v počítači. Celá čísla. Reálná čísla. Semilogaritmický tvar. Komplexní čísla. Řetězce. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie,

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 1. Úvod do ANM doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů

Více

Principy počítačů a operačních systémů

Principy počítačů a operačních systémů Principy počítačů a operačních systémů Aritmetika v počítači Zimní semestr 2011/2012 Úvod Jak hardware provádí aritmetické operace? sčítání/odčítání, násobení a dělení Co když výsledek operace nelze reprezentovat?

Více

Algoritmy a datové struktury

Algoritmy a datové struktury Algoritmy a datové struktury Data a datové typy 1 / 28 Obsah přednášky Základní datové typy Celá čísla Reálná čísla Znaky 2 / 28 Organizace dat Výběr vhodné datvé struktry různá paměťová náročnost různá

Více

Pokročilá algoritmizace amortizovaná složitost, Fibonacciho halda, počítačová aritmetika

Pokročilá algoritmizace amortizovaná složitost, Fibonacciho halda, počítačová aritmetika amortizovaná složitost, Fibonacciho halda, počítačová aritmetika Jiří Vyskočil, Marko Genyg-Berezovskyj 2009 Amortizovaná složitost Asymptotická složitost často dostatečně nevypovídá o složitosti algoritmů,

Více

E. Pohyblivářádováčárka

E. Pohyblivářádováčárka E. Pohyblivářádováčárka pevná a pohyblivá řádová čárka formát US Air Force MIL-STD-1750A základní operace normalizace přetečení a nenaplnění formátbflm 1 přímý kód sčítání a odčítání násobení, dělení a

Více

Úloha 1 Spojte binární obrazy na obrázku s hodnotami, které reprezentují.

Úloha 1 Spojte binární obrazy na obrázku s hodnotami, které reprezentují. 7 Celá čísla Pro práci s celými čísly jsou v Javě typy byte, short, int a long. Všechny jsou znaménkové (připouštějí záporné hodnoty) a všechny používají doplňkový kód. Doplňkový kód definuje, jak jsou

Více

Y36SAP - aritmetika. Osnova

Y36SAP - aritmetika. Osnova Y36SAP - aritmetika Čísla se znaménkem a aritmetické operace pevná a pohyblivá řádová čárka Kubátová 2007 Y36SAP-aritmetika 1 Osnova Zobrazení záporných čísel Přímý, aditivní a doplňkový kód a operace

Více

VÝRAZY výrazy = operandy prokládané operátory, vyhodnocované podle priority operátorů

VÝRAZY výrazy = operandy prokládané operátory, vyhodnocované podle priority operátorů VÝRAZY výrazy = operandy prokládané operátory, vyhodnocované podle priority operátorů Výrazy podle priority operátorů (od nejnižší priority) OPERANDY OPERÁTORY výraz = jednoduché výrazy a relační operátory

Více

UNIVERZITA PARDUBICE. Fakulta elektrotechniky a informatiky. Vybrané problémy výpočtů na PC s pohyblivou řádovou čárkou Nomindalai Naranbaatar

UNIVERZITA PARDUBICE. Fakulta elektrotechniky a informatiky. Vybrané problémy výpočtů na PC s pohyblivou řádovou čárkou Nomindalai Naranbaatar UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta elektrotechniky a informatiky Vybrané problémy výpočtů na PC s pohyblivou řádovou čárkou Nomindalai Naranbaatar Bakalářská práce 21 Prohlášení autora Prohlašuji, že jsem

Více

Racionální čísla, operátory, výrazy, knihovní funkce

Racionální čísla, operátory, výrazy, knihovní funkce Příprava studijního programu Informatika je podporována projektem financovaným z Evropského sociálního fondu a rozpočtu hlavního města Prahy. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Racionální čísla,

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Řídicí struktury, standardní metody Problematika načítání pomocí Scanner Některé poznámky k příkazům Psaní kódu programu Metody třídy Math Obalové třídy primitivních datových

Více

Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Mikroprocesorová technika a embedded systémy

Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Mikroprocesorová technika a embedded systémy Ústav radioelektroniky Vysoké učení technické v Brně Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Mikroprocesorová technika a embedded systémy Přednáška 8 doc. Ing. Tomáš Frýza, Ph.D. listopad 2012 Obsah

Více

Čísla a číselné soustavy.

Čísla a číselné soustavy. Čísla a číselné soustavy. Polyadické soustavy. Převody mezi soustavami. Reprezentace čísel. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK.

Více

Algoritmy I. Číselné soustavy přečíst!!! ALGI 2018/19

Algoritmy I. Číselné soustavy přečíst!!! ALGI 2018/19 Algoritmy I Číselné soustavy přečíst!!! Číselné soustavy Každé číslo lze zapsat v poziční číselné soustavě ve tvaru: a n *z n +a n-1 *z n-1 +. +a 1 *z 1 +a 0 *z 0 +a -1 *z n-1 +a -2 *z -2 +.. V dekadické

Více

Racionální čísla, operátory, výrazy, knihovní funkce

Racionální čísla, operátory, výrazy, knihovní funkce Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Racionální čísla, operátory, výrazy, knihovní funkce BI-PA1 Programování a algoritmizace 1 Katedra teoretické informatiky Miroslav Balík

Více

Java reprezentace dat, výrazy. A0B36PR1-Programování 1 Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické

Java reprezentace dat, výrazy. A0B36PR1-Programování 1 Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické Java reprezentace dat, výrazy A0B36PR1-Programování 1 Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické Dva základní přístupy k imperativnímu programování Strukturované procedurální Objektové V PR1

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Milan Práger; Irena Sýkorová Jak počítače počítají Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 49 (2004), No. 1, 32 45 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/141207

Více

Exponent. Integer 4 bajty až Double Integer 8 bajtů až

Exponent. Integer 4 bajty až Double Integer 8 bajtů až 1. Opakování teorie 1.1. Reprezentace čísel v počítači Celá čísla (přesné výpočty, velmi omezený rozsah): INTEGER => 2 byty = 16 bitů => 2 16 čísel LONGINT => 4 byty = 32 bitů => 2 32 čísel

Více

Variace. Mocniny a odmocniny

Variace. Mocniny a odmocniny Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených

Více

Úvod do problematiky numerických metod. Numerické metody. Ústav matematiky. 6. února 2006

Úvod do problematiky numerických metod. Numerické metody. Ústav matematiky. 6. února 2006 Numerické metody Doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky Fakulta strojního inženýrství Vysoké učení technické v Brně 6. února 2006 Obsah Úvod do problematiky numerických

Více

Struktura a architektura počítačů

Struktura a architektura počítačů Struktura a architektura počítačů Aritmetické operace Pevná a pohyblivá řádová čárka České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická Ver..2 J. Zděnek 23 Aritmetické operace pevná řádová čárka Pevná

Více

Operátory. Základy programování 1 Martin Kauer (Tomáš Kühr)

Operátory. Základy programování 1 Martin Kauer (Tomáš Kühr) Operátory Základy programování 1 Martin Kauer (Tomáš Kühr) Organizační poznámky Formátujte kód přehledně! Pomůžete sobě i mně. Spusťte si vaše programy a zkuste různé vstupy! Pokud program nedává správné

Více

Elementární datové typy

Elementární datové typy Elementární datové typy Celočíselné typy (integers) Mohou nabývat množiny hodnot, která je podmnožinou celých čísel (někdy existuje implementační konstanta maxint). Operace: aritmetické, relační, bitové,

Více

Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5

Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Struktura a architektura počítačů (BI-SAP) 5 doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologii

Více

Jemný úvod do numerických metod

Jemný úvod do numerických metod Jemný úvod do numerických metod Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 8. přednáška 11MAG pondělí 24. listopadu 2014 verze:2014-11-24 16:34 Obsah 1 Úvod 1 1.1 Matematické modelování................................

Více

Principy cpypočítačůčů a operačních systémů

Principy cpypočítačůčů a operačních systémů Principy cpypočítačůčů a operačních systémů REPREZENTACE DAT There are only 10 types of people in the world: - those who understand d binary, - and those who don't. Literatura D.Goldberg: What Every Computer

Více

Informatika Datové formáty

Informatika Datové formáty Informatika Datové formáty Radim Farana Podklady předmětu Informatika pro akademický rok 2007/2008 Obsah Datové formáty (datové typy). Textové formáty, vlastnosti zdroje zpráv. Číselné formáty, číselné

Více

Úvod do programování 7. hodina

Úvod do programování 7. hodina Úvod do programování 7. hodina RNDr. Jan Lánský, Ph.D. Katedra informatiky a matematiky Fakulta ekonomických studií Vysoká škola finanční a správní 2015 Umíme z minulé hodiny Syntax Znaky Vlastní implementace

Více

Základy algoritmizace 2. Proměnné, datové typy

Základy algoritmizace 2. Proměnné, datové typy Jiří Vokřínek, 2016 B6B36ZAL - Přednáška 2 1 Základy algoritmizace 2. Proměnné, datové typy doc. Ing. Jiří Vokřínek, Ph.D. Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze

Více

KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice

KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice 24. 9. 2014 KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice Ing. Lenka Šroubová, Ph.D. email: lsroubov@kte.zcu.cz ICQ: 361057825 http://home.zcu.cz/~lsroubov tel.: +420 377 634 623 Místnost: EK602 Katedra

Více

Struktura a architektura počítačů

Struktura a architektura počítačů Struktura a architektura počítačů Aritmetické operace Pevná a pohyblivá řádová čárka České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická Ver.1.30 J. Zděnek / M. Chomát 2014 Aritmetické operace pevná

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Obsah předmětu

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Obsah předmětu 1 Podklady předmětu pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana Obsah 2 Obsah předmětu, Požadavky kreditového systému, Datové typy jednoduché, složené, Programové struktury, Předávání dat. Obsah předmětu

Více

Model je umělý objekt, který reflektuje a reprodukuje základní vlastnosti, vztahy (strukturu) a funkce konkrétního objektu nebo

Model je umělý objekt, který reflektuje a reprodukuje základní vlastnosti, vztahy (strukturu) a funkce konkrétního objektu nebo Modelování Model je umělý objekt, který reflektuje a reprodukuje základní vlastnosti, vztahy (strukturu) a funkce konkrétního objektu nebo jevu (skutečnosti) jednodušším způsobem a může tedy být využit

Více

Fz =a z + a z +...+a z +a z =

Fz =a z + a z +...+a z +a z = Polyadické číselné soustavy - převody M-místná skupina prvků se z-stavovou abecedou umožňuje zobrazit z m čísel. Zjistíme, že stačí vhodně zvolit číslo m, abychom mohli zobrazit libovolné číslo menší než

Více

NPRG030 Programování I, 2018/19 1 / :25:37

NPRG030 Programování I, 2018/19 1 / :25:37 NPRG030 Programování I, 2018/19 1 / 26 24. 9. 2018 10:25:37 Čísla v algoritmech a programech 10 26 Poloměr vesmíru 2651 studujících studentů MFF UK 3.142857... Ludolfovo číslo 10 16 stáří vesmíru v sekundách!!!

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

- speciální symboly + - * / =., < > <> <= >= a další. Klíčová slova jsou chráněnými útvary, které nelze použít ve významu identifikátorů.

- speciální symboly + - * / =., < > <> <= >= a další. Klíčová slova jsou chráněnými útvary, které nelze použít ve významu identifikátorů. Základní symboly - písmena A B C Y Z a b c y z - číslice 0 1 2 9 - speciální symboly + - * / =., < > = a další - klíčová slova and array begin case const a další Klíčová slova jsou chráněnými útvary,

Více

Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty

Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty Přednáška 4 A3B38MMP kat. měření, ČVUT - FEL, Praha J. Fischer A3B38MMP, 2014, J.Fischer, ČVUT - FEL, kat. měření 1 Čísla 4 bitová dec bin. hex. 0 0000 0 1 0001

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Výrazy Operátory Výrazy Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Operace, operátory Unární jeden operand, operátor se zapisuje ve většině případů před operand, v některých případech

Více

Y36SAP. Osnova. Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Y36SAP Poziční číselné soustavy a převody.

Y36SAP. Osnova. Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Y36SAP Poziční číselné soustavy a převody. Y36SAP Číselné soustavy a kódy, převody, aritmetické operace Tomáš Brabec, Miroslav Skrbek - X36SKD-cvičení. Úpravy pro SAP Hana Kubátová Osnova Poziční číselné soustavy a převody Dvojková soust., převod

Více

Číselné soustavy. Binární číselná soustava

Číselné soustavy. Binární číselná soustava 12. Číselné soustavy, binární číselná soustava. Kódování informací, binární váhový kód, kódování záporných čísel. Standardní jednoduché datové typy s pevnou a s pohyblivou řádovou tečkou. Základní strukturované

Více

Doňar B., Zaplatílek K.: MATLAB - tvorba uživatelských aplikací, BEN - technická literatura, Praha, (ISBN:

Doňar B., Zaplatílek K.: MATLAB - tvorba uživatelských aplikací, BEN - technická literatura, Praha, (ISBN: http://portal.zcu.cz > Portál ZČU > Courseware (sem lze i přímo: http://courseware.zcu.cz) > Předměty po fakultách > Fakulta elektrotechnická > Katedra teoretické elektrotechniky > PPEL Doňar B., Zaplatílek

Více

Mikroprocesorová technika (BMPT)

Mikroprocesorová technika (BMPT) Mikroprocesorová technika (BMPT) Přednáška č. 10 Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Ing. Tomáš Frýza, Ph.D. Obsah přednášky Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Dekadická, binární, hexadecimální

Více

Tematický plán pro školní rok 2015/16 Předmět: Matematika Vyučující: Mgr. Marta Klimecká Týdenní dotace hodin: 5 hodin Ročník: třetí

Tematický plán pro školní rok 2015/16 Předmět: Matematika Vyučující: Mgr. Marta Klimecká Týdenní dotace hodin: 5 hodin Ročník: třetí ČASOVÉ OBDOBÍ Září KONKRÉTNÍ VÝSTUPY KONKRÉTNÍ UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA rozezná, pojmenuje, vymodeluje úsečku a lomenou čáru porovnává velikost útvarů, měří a odhaduje délku úsečky užívá a zapisuje vztah

Více

35POS 2010 Počítačové systémy 1 Úvod, jazyk C Doc. Ing. Bayer Jiří, Csc. Ing. Pavel Píša

35POS 2010 Počítačové systémy 1 Úvod, jazyk C Doc. Ing. Bayer Jiří, Csc. Ing. Pavel Píša 35POS 2010 Počítačové systémy 1 Úvod, jazyk C Doc. Ing. Bayer Jiří, Csc. Ing. Pavel Píša http://dce.felk.cvut.cz/pos/ 1 Obsah předmětu Architektura počítače počítač jako prostředek řízení struktura a organizace

Více

Počítání s neúplnými čísly 1

Počítání s neúplnými čísly 1 Aproximace čísla A: Počítání s neúplnými čísly 1 A = a ± nebo A a, a + Aproximace čísla B: B = b ± β nebo B b β, b + β nebo a A a+ nebo b β B b + β Součet neúplných čísel odvození: a + b β A + B a+ + (b

Více

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru ŠVP LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu Matematika Vzdělávací obsah předmětu Matematika je utvořen vzdělávacím obsahem vzdělávacího

Více

Aritmetické operácie v rôznych číselných sústavách. Ľudmila MACEKOVÁ, KEMT-FEI-TUKE, sep. 2017

Aritmetické operácie v rôznych číselných sústavách. Ľudmila MACEKOVÁ, KEMT-FEI-TUKE, sep. 2017 111010110 Aritmetické operácie v rôznych číselných +110111001 sústavách 1110001111 Ľudmila MACEKOVÁ, KEMT-FEI-TUKE, sep. 2017 Plán Prevody medzi ČS Zobrazenie informácií v ČS: - priamy kód - inverzný kód

Více

Řešení sady 1. Úvod do programování 1 Tomáš Kühr

Řešení sady 1. Úvod do programování 1 Tomáš Kühr Řešení sady 1 Úvod do programování 1 Tomáš Kühr Hello World #include #include int main(){ printf("hello world!\n"); return 0; } Práce s proměnnými 1/2 #include int main(){

Více

Seminář z IVT Proměnné a operátory. Slovanské gymnázium Olomouc 11. září 2014 Tomáš Kühr

Seminář z IVT Proměnné a operátory. Slovanské gymnázium Olomouc 11. září 2014 Tomáš Kühr Seminář z IVT Proměnné a operátory Slovanské gymnázium Olomouc 11. září 2014 Tomáš Kühr Jazyk C# Vysokoúrovňový objektově orientovaný programovací jazyk Vyvinutý firmou Microsoft zároveň s platformou.net

Více

Tato tematika je zpracována v Záznamy přednášek: str. 214 235 + materiál: PrikladyZobrazeniCisel.pdf

Tato tematika je zpracována v Záznamy přednášek: str. 214 235 + materiál: PrikladyZobrazeniCisel.pdf Obsah 11. přednášky: Kódování dat - terminologie Rozdělení kódů Kódování čísel Kódování znaků Tato tematika je zpracována v Záznamy přednášek: str. 214 235 + materiál: PrikladyZobrazeniCisel.pdf Jak bude

Více

Paměť počítače. alg2 1

Paměť počítače. alg2 1 Paměť počítače Výpočetní proces je posloupnost akcí nad daty uloženými v paměti počítače Data jsou v paměti reprezentována posloupnostmi bitů (bit = 0 nebo 1) Připomeňme: paměť je tvořena řadou 8-mi bitových

Více

Část 1 Organizace předmětu. Základní pojmy. Část 2 Programování a výpočty. Část 3 Programovací jazyk Java

Část 1 Organizace předmětu. Základní pojmy. Část 2 Programování a výpočty. Část 3 Programovací jazyk Java Část 1 Organizace předmětu Základní pojmy Jan Faigl Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Přednáška 1 A0B36PR1 Programování 1 Informace o předmětu Přednášky Cvičení

Více

Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci

Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci Kapitola 4 Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci 4.1 Polyadické číselné soustavy a jejich vlastnosti Polyadické soustavy jsou určeny přirozeným číslem z, kterému se říká základ nebo báze dané

Více

Systém je citlivý na velikost písmen CASE SENSITIVE rozeznává malá velká písmena, např. PROM=1; PROm=1; PRom=1; Prom=1; prom=1; - 5 různých proměnných

Systém je citlivý na velikost písmen CASE SENSITIVE rozeznává malá velká písmena, např. PROM=1; PROm=1; PRom=1; Prom=1; prom=1; - 5 různých proměnných Systém je citlivý na velikost písmen CASE SENSITIVE rozeznává malá velká písmena, např. PROM=1; PROm=1; PRom=1; Prom=1; prom=1; - 5 různých proměnných jakési nádoby na hodnoty jsou různých typů při běžné

Více

Úvod do numerické matematiky

Úvod do numerické matematiky Úvod do numerické matematiky 1 Předmět numerické matematiky Numerická matematika je věda, která se zabývá řešením matematicky formulovaných úloh pomocí logických operací a aritmetických operací s čísly

Více

3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače... 3. 4 Problémy s matematickými operacemi 5

3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače... 3. 4 Problémy s matematickými operacemi 5 Obsah Obsah 1 Číselné soustavy 1 2 Paměť počítače 1 2.1 Měření objemu paměti počítače................... 1 3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače................. 3 4 Problémy

Více

Datové typy pro reálná čísla

Datové typy pro reálná čísla Datové typy pro reálná čísla V kapitole 2 jsme se seznámili s celočíselnými datovými typy. Pro uložení číselných hodnot ve velkém rozsahu obvykle nepožadujeme tak velkou přesnost, jakou nám poskytují celá

Více

PB002 Základy informačních technologií

PB002 Základy informačních technologií Operační systémy 25. září 2012 Struktura přednašky 1 Číselné soustavy 2 Reprezentace čísel 3 Operační systémy historie 4 OS - základní složky 5 Procesy Číselné soustavy 1 Dle základu: dvojková, osmičková,

Více

1. Základní pojmy a číselné soustavy

1. Základní pojmy a číselné soustavy 1. Základní pojmy a číselné soustavy 1.1. Základní pojmy Hardware (technické vybavení počítače) Souhrnný název pro veškerá fyzická zařízení, kterými je počítač vybaven. Software (programové vybavení počítače)

Více

Jan Nekvapil ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická

Jan Nekvapil ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Jan Nekvapil jan.nekvapil@tiscali.cz ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Motivace MMX, EMMX, MMX+ 3DNow!, 3DNow!+ SSE SSE2 SSE3 SSSE3 SSE4.2 Závěr 2 Efektivní práce s vektory

Více

Operátory, výrazy. Tomáš Pitner, upravil Marek Šabo

Operátory, výrazy. Tomáš Pitner, upravil Marek Šabo Operátory, výrazy Tomáš Pitner, upravil Marek Šabo Operátor "Znaménko operace", pokyn pro vykonání operace při vyhodnocení výrazu. V Javě mají operátory napevno daný význam, nelze je přetěžovat jako v

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Dělení. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Dělení. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Dělení c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha& EU:

Více

Formátová specifikace má tvar (některé sekce nemají smysl pro načítání) %

Formátová specifikace má tvar (některé sekce nemají smysl pro načítání) % vstup a výstup na konzolu - vstupním zařízením je klávesnice, výstupním monitor (přístup jako k sériovým zařízením) - spojení s konzolami je nastaveno automaticky na začátku programu - ke konzole je možné

Více

Datové typy pro reálná čísla

Datové typy pro reálná čísla Datové typy pro reálná čísla KAPITOLA 3 V této kapitole: Vlastnosti datových typů pro reálná čísla v jazyce C/ C++ Vstupně/výstupní operace z pohledu reálných čísel Aritmetické operace s reálnými čísly

Více

Operátory. Základy programování 1 Tomáš Kühr

Operátory. Základy programování 1 Tomáš Kühr Operátory Základy programování 1 Tomáš Kühr Operátory a jejich vlastnosti Základní konstrukce (skoro) každého jazyka Z daných operandů vytvoří výsledek, který je možné dále využívat Arita udává počet operandů

Více

Čísla v počítači Výpočetní technika I

Čísla v počítači Výpočetní technika I .. Výpočetní technika I Ing. Pavel Haluza ústav informatiky PEF MENDELU v Brně pavel.haluza@mendelu.cz Osnova přednášky ergonomie údržba počítače poziční a nepoziční soustavy převody mezi aritmetické operace

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 10 Dělení se zbytkem O čem budeme hovořit: Binární operace dělení se zbytkem v N Struktury zbytkových tříd podle modulu Seznámíme

Více

Přednáška 2: Čísla v počítači. Práce s počítačem. Číselné soustavy. Převody mezi soustavami. Aritmetické operace. Uložení čísel v paměti počítače

Přednáška 2: Čísla v počítači. Práce s počítačem. Číselné soustavy. Převody mezi soustavami. Aritmetické operace. Uložení čísel v paměti počítače Ergonomie Ergonomie Osnova přednášky Výpočetní technika I Ing Pavel Haluza ústav informatiky PEF MENDELU v Brně pavelhaluza@mendelucz ergonomie údržba počítače poziční a nepoziční soustavy převody mezi

Více

Úvod do informačních technologií

Úvod do informačních technologií Úvod do informačních technologií přednášky Jan Outrata září prosinec 2009 (aktualizace září prosinec 2012) Jan Outrata (KI UP) Úvod do informačních technologií září prosinec 2012 1 / 34 Reprezentace dat

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 Název vzdělávacího materiálu: Anotace: Vzdělávací oblast: VY_32_INOVACE_ARITMETIKA+ALGEBRA15 Sčítání,

Více

Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty

Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty Přednáška 5 A3B38MMP kat. měření, ČVUT - FEL, Praha J. Fischer A3B38MMP, 2015, J.Fischer, ČVUT - FEL, kat. měření 1 Čísla 4 bitová dec bin. hex. 0 0000 0 1 0001

Více

LEKCE 6. Operátory. V této lekci najdete:

LEKCE 6. Operátory. V této lekci najdete: LEKCE 6 Operátory V této lekci najdete: Aritmetické operátory...94 Porovnávací operátory...96 Operátor řetězení...97 Bitové logické operátory...97 Další operátory...101 92 ČÁST I: Programování v jazyce

Více

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny . Mocniny. Mocniny a odmocniny 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vyjádřete jako mocninu : a)... b) (- ). (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) c)...a.a.a.a.b.b.b.b d)..a.b e) a. a. a. a Příklad : Vyjádřete

Více

Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 12.

Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 12. Vyhledávání doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 12. září 2016 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání 201 / 344 Osnova přednášky

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

Struktury a uniony, přesnost výpočtů a vnitřní reprezentace číselných typů

Struktury a uniony, přesnost výpočtů a vnitřní reprezentace číselných typů Struktury a uniony, přesnost výpočtů a vnitřní reprezentace číselných typů Jan Faigl Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Přednáška 07 B0B36PRP Procedurální programování

Více

Struktury a uniony, přesnost výpočtů a vnitřní reprezentace číselných typů

Struktury a uniony, přesnost výpočtů a vnitřní reprezentace číselných typů Struktury a uniony, přesnost výpočtů a vnitřní reprezentace číselných typů Jan Faigl Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Přednáška 07 B0B36PRP Procedurální programování

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

F6180 Úvod do nelineární dynamiky. F6150 Pokročilé numerické metody FX003 Plánování a vyhodnocování experimentu. F7780 Nelineární vlny a solitony

F6180 Úvod do nelineární dynamiky. F6150 Pokročilé numerické metody FX003 Plánování a vyhodnocování experimentu. F7780 Nelineární vlny a solitony Moderní metody modelování ve fyzice jaro 2015 přednáša: D. Hemzal cvičení: F. Münz F1400 Programování F5330 Záladní numericé metody F7270 Matematicé metody zpracování měření F6180 Úvod do nelineární dynamiy

Více

Část 1 Struktury a uniony Struktury struct Proměnné se sdílenou pamětí union Příklad

Část 1 Struktury a uniony Struktury struct Proměnné se sdílenou pamětí union Příklad Struktury a uniony, přesnost výpočtů a vnitřní reprezentace číselných typů Jan Faigl Katedra počítačů Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Přednáška 07 B0B36PRP Procedurální programování

Více