MODELOVÁNÍ VLASTNOSTI BEZKARDANOVÝCH INERCIÁLNÍCH NAVIGAČNÍCH SYSTÉMU MODELLING OF THE FEATURES OF STRAPDOWN INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS

Transkript

1 58 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" MODELOVÁNÍ VLASTNOSTI BEZKARDANOVÝCH INERCIÁLNÍCH NAVIGAČNÍCH SYSTÉMU MODELLING OF THE FEATURES OF STRAPDOWN INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS Jan ČIŽMÁR * Abstract: The paper deals with the simple modelling and simulation of strapdown inertial navigation sstems. Attention is focused on comparison of computation methods of attitude and heading angles from the point of view of their precision, under conditions of conical motion. Kewords: inertial navigation, direction cosine, quaternion, Euler 1 ÚVOD Inerciální navigace dnes patří k nejrošířenějším navigačním metodám a jednou jejích nejvýnamnějších předností je autonomnost. Princip inerciální navigace spočívá v měření signálu složek rchlení pohbu dopravního prostředku v prostoru pomocí akcelerometrů a v jeho následném dvojitém časovém integrování, čímž se ískávají signál vektoru trajektorie. Tento princip můžeme popsat diferenciální rovnicí: kde načí: t t ( a g) dt + v0 s0 s t = t t +, (1) s t a t. v 0 s 0 g - okamžitou hodnotu měřeného vektoru trajektorie pohbu, - okamžitou hodnotu měřeného vektoru rchlení, - počáteční rchlost pohbu, - počáteční hodnotu trajektorie, - vektor tíhového rchlení. Vektor tíhového rchlení g představuje rušivý signál, který musí být odfiltrován od užitečného signálu pohbového rchlení a t. Obráek 1 Struktura bekardanového INS Jednou možností je použití filtru v podobě stabiliované ákladn, jejíž rovina je udržována v poloe kolmé na místní vertikálu, ted i kolmo na vektor tíhového rchlení g. * Ing., CSc., Brno, Souběžná 35, PSČ: 63600, Česko, tel.: , jan.cimar@unob.c

2 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" 59 Takovou ákladnu je možné realiovat mechanick, jak je tomu u kardanových INS, či analtick počítačovým modelem fiktivní ákladn běžícím v reálné čase, což je případ bekardanových INS (BINS, anglick Strapdown INS). Současný technologický standard BINS představuje sstém s laserovými snímači úhlových rchlostí reonátorového tpu. Přesnost tohoto tpu INS je charakteriována údajem 0,8 NM/h (cca 1,5 km/h). Soudobé BINS obvkle spolupracují se sstémem přijímače družicového navigačního sstému GPS, se kterým bývá integrován v jediný kompaktní celek. Výnamnou vlastností inerciálních navigačních sstémů je, že kromě eměpisných souřadnic posktují řadu dalších informací, důležitých pro říení letu letadla. Jedná se především o polohové úhl náklon, sklon a kur a dále také o úhlové rchlosti a lineární rchlení. V současnosti rchle se rovíjející mikrotechnologie přinášejí výsledk v podobě řad komerčně dostupných, velmi levných a relativně přesných miniaturních senorů, nichž některé, např. akcelerometr, vibrační groskop, tlakoměr, magnetometr apod., jsou vhodné pro použití v inerciální navigaci. Roměrové i hmotnostní menšení přitom přesahuje běžně dva až tři řád. To otevřelo novou oblast miniaturních inerciálních sstémů aplikovatelných v navigačních soustavách širokého spektra robotů, miniaturních bepilotních létajících prostředků, popř. v nejrůnějších střelách i minimální ráže. 2 MODEL BEZKARDANOVÉ INERCIÁLNÍ MĚŘICÍ JEDNOTKY Na našem pracovišti je ve spolupráci s firmou OPROX Brno vvíjena inerciální měřicí jednotka na bái senorů úhlových rchlostí, akcelerometrů a magnetometrů, vráběných technologií MEMS, pro použití v robotech, bepilotních létajících prostředcích a ultralehkých letadlech. Její struktura je řejmá obráku 2. Obráek 2 Blokové schéma inerciální měřicí jednotk Hlavním měřicím kanálem je kanál senorů úhlových rchlostí, jejichž signál je integrován pomocí speciálního algoritmu v bloku výpočtu polohových úhlů. Protože spolu s užitečným signálem je integrován i signál rušivý, bude přesnost měření polohových úhlů s časem klesat. Proto je hlavní měřicí kanál doplněn o kanál korekční, ted o kanál akcelerometrů a magnetometrů. Pro měření úhlových rchlostí bl vbrán tři jednoosé vibrační senor úhlové rchlosti (tv. vibrační groskop) firm Analog Devices ADXR300. Jako senor rchlení bl volen dva dvouosé lineární akcelerometr od téže firm ADXL202 s rosahem +/- 2g. Jako senor

3 60 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" magnetického kuru jsou použit magnetometr firm Philips, dvouosý KMZ52 a jednoosý KMZ51. Inerciální měřicí jednotka měří úhl natočení letadla (či jiného dopravního prostředku) v emské souřadnicové soustavě (ZSS), přičemž její senor mají citlivé os orientován do os letadlové souřadnicové soustav (LSS). Základ teorie výpočtu polohových úhlů v emské souřadnicové soustavě (ZSS), ted sklonu ϑ, náklonu γ a kursu ψ, na ákladě úhlových rchlostí měřených v letadlové souřadnicové soustavě, tj. ω, ω, ω, položil Leonhard Euler. Dokáal, že obecnou rotaci le roložit na tři postupná natočení x kolem tří růných os. Tuto skutečnost le popsat pro Eulerov-Krlovov úhl následujícími vtah: & γ = ω + ( ω sinγ + ω cosγ ) & ϑ = ω cosγ ω sinγ, ψ& = x ( ω sinγ + ω cosγ ) secϑ. tgϑ, Tto diferenciální rovnice jsou však nelineární, jejich výpočet v reálném čase v BINS je neefektivní a navíc pro určité úhl nastávají nestabilit v řešení, naývané Cardanův ámek ( Cardan s Lock ). Vhodnější a v BINS frekventovanější je užití metod směrových kosinů. Matice směrových kosinů umožňuje transformovat vektor jedné souřadnicové soustav do druhé vhledem k první pootočené. Jednotlivé polohové úhl pak le snadno vpočítat prvků matice C. Pro výpočet polohových úhlů v ZSS, na ákladě měření úhlových rchlostí v LSS, le odvodit diferenciální rovnici: ) C& = C Ω, (3) kde Ω ) je kososmetrická matice úhlových rchlostí. V každém cklu jsou měřen úhlové rchlosti ω, ω, ω, proběhne výpočet podle vtahu 3 a ískaná matice C je pak vužita pro transformaci měřených složek vektoru rchlení LSS do ZSS, které jsou pak mikroprocesorovým sstémem BINS dále pracováván: a ZSS = C a LSS (4) Počítačové řešení Eulerov úloh metodou směrových kosinů je efektivnější než řešení původních Eulerových diferenciálních rovnic, avšak příslušný algoritmus je ještě příliš strojově náročný. Teoretický áklad nejefektivnější, nejrchlejší a nejrošířenější metod řešící Eulerovu úlohu položil irský matematik sir William Rowan Hamilton objevem součinu kvaternionů. Na kvaternion můžeme pohlížet jako na vektor či jako na hperkomplexní čísla. Kvaternion má jednu reálnou část a tři části imaginární s imaginárními jednotkami i, j, k a můžeme jej apsat ve tvaru: q = q0 + q1 i + q2 j + q3 k = q0 + q v. (5) První člen kvaternionu onačujeme a skalární část a bývající člen představují část vektorovou. Pro vtah mei imaginárními jednotkami kvaternionu platí: i = j k, i = k j, j = k i, j = i k, k = i j, k = j i. (6) Součin dvou kvaternionů a a b, objevený Hamiltonem, je pak dán vtahem: o b = ( a + a i + a j + a k) ( b + b i + b j + b k) a = (7) = a0 b0 av bv + a0 bv + b0 av + av bv Kvaternion podobně jako matice směrových kosinů umožňují transformovat třídimenionální vektor (v případě BINS vektor rchlení a) jedné souřadnicové soustav do druhé, vhledem k první pootočené (a LSS a ZSS ): a q o a o q ~ ZSS = LSS, (8) kde q ~ je kvaternion komplexně sdružený ke kvaternionu q. Struktura rotačního kvaternionu q je: x (2)

4 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" 61 Θ Θ q = cos,sin e, (9) 2 2 kde Θ je úhel natočení a e jednotkový vektor představující osu rotace. Pro výpočet polohových úhlů v ZSS na ákladě měření úhlových rchlostí v LSS le odvodit diferenciální rovnici, podobnou rovnici 3, ve tvaru: 1 ) q& = q o Ω. (10) 2 Obráek 3 Blokové schéma modelu Pro ověření vlivu jednotlivých metod výpočtu polohových úhlů, metod numerické integrace a vlastností senorů bl vtvořen model v programovacím prostředí MATLAB (vi obráek 3). Jako budicí signál bl vat kuželový pohb okolo místní vertikál, neboť matematický popis jeho úhlové trajektorie je jednoduchý a odpovídá i standardním laboratorním provoním testům klasických groskopických vertikál. Kuželový pohb je popsán vtah: ψ = 0, t ϑ = A cos k 2 π T, t k tgγ 0 γ = 0 Ak sin 2 π a γ = arctg, (11) Tk cosϑ kde A k je amplituda kuželového pohbu, T k jeho perioda a γ 0 úhel natočení kolem os X letadla při ϑ = 0. Této úhlové trajektorii v ZSS snadno určíme první a druhé derivace, ted úhlové rchlosti a úhlová rchlení v ZSS. Úhlové rchlosti & γ, & ϑ, ψ& a rchlení & γ, && ϑ, & ψ jsou pak transformován do LSS, kde představují vstupní signál modelu inerciální měřicí jednotk. Následně jsou tto signál veden do modelu inerciální měřicí jednotk odpovídajícímu struktuře náorněné na obráku 2. Pomocí výše popsaných metod aplikovaných v tomto modelu jsou

5 62 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" opět vpočten polohové úhl letadla v emské souřadnicové soustavě. Chbu výpočtu pak představuje rodíl mei adávanými a vpočítanými hodnotami těchto polohových úhlů. Průběh adávaných a vpočtených signálů i jejich rodíl je grafick náorňován. Dále je vpočtena směrodatná odchlka chb měření jednotlivých polohových úhlů. Model umožňuje implementovat přenosové funkce senorů, atěžovat vstupní signál stochastickými signál představujícími šum měření, volit metodu výpočtu a numerické integrace (obdélníková, Rungeho-Kutt 4. řádu a Simpsonova), volit esílení korekčních signálů a volit amplitudu, periodu kuželového pohbu, vdálenost umístění senorů od vrcholu kužele a délku kroku výpočtu. Na obráku 4 jsou grafické výsledk 60s simulace výpočtu polohových úhlů a kuželového pohbu kolem místní vertikál o amplitudě 0,5 rad a periodě 10 s, při kroku výpočtu 0,01 s. Celková hodnota jednotlivých chb výpočtu sklonu, náklonu a kursu je vjádřena výpočtem směrodatných odchlek těchto chb.

6 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" 63 Obráek 4 Výsledk simulace

7 64 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" Obráek 5 Model BINS Pro analýu vlastností BINS bl vtvořen jednoduchý model v prostředí MATLAB - SIMULINK repreentující jednu horiontální osu. Model rchlení je vtvořen složením tří skoků a postupnou integrací je ískána rchlost a trajektorie. Signál rchlení a úhlové rchlosti natáčení místní vertikál při pohbu kolem Země jsou přiváděn do modelu BINS, ted do bloků představujících akcelerometr a snímač úhlové rchlosti. Do akcelerometru je současně přiváděn signál průmětu tíhového rchlení. Dvojitou integrací signálu výstupu akcelerometru je ískávána trajektorie, která je porovnávána se adávanou trajektorií. Rodíl představuje chbu měření trajektorie, které je průběžně charakteriována směrodatnou odchlkou. 3 ZÁVĚR Preentované model jsou vhodné pro rchlé orientační analý ákladních vlastností inerciálních měřicích sstémů a jejich komponent a je možné je snadno dále rovíjet. Vhledem k dobrým vlastnostem programovacího prostředí MATLAB a MATLAB - SIMULINK je možné model velmi snadno modifikovat. Simulace inerciálních sstémů pomocí preentovaných modelů je snadná a transparentní a je používána nejen při vývoji inerciální měřicí jednotk, ale je ačleněna do běžného výukového laboratorního aměstnání. O aktuálnosti vtahů inerciální technologie a MEMS svědčí velké množství internetových publikací. LITERATURA 1. Farrell, J., Barth, M.: The Global Positioning Sstem and Inertial Navigation, ISBN X, Chatfield, A., B.: Fundamentals of High Accurac Inertial Navigation, Progress in Astronautics and Aeronautics USA, American Institute of Aeronautics and Astronautics ISBN: Recenent: doc. Ing. Rudolf Jalovecký, CSc., Univerita obran, Kounicova 65, Brno, Česko, phone: , rudolf.jaloveck@unob.c