Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na."

Transkript

1 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího Fialy Zpracovali: Ja Zaatar Štětia, Odřej Keddie Profat Obsah Determiaty2 Geometricý výzam determiatu4 Polyomy4 Vlastí čísla a vlastí vetory6 Charateristicý mohočle6 Prostory se salárím součiem Ortogoalita Ortogoálí doplě2 Pozitivě defiití matice3 Bilieárí a vadraticé formy4

2 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Determiaty Opaováí: Permutace a prvcích je zobrazeí p:{,, } {,, }, teré je prosté a a S začí možiu všech permitací a prvcích S, tvoří grupu (existují eutrálí prve, idetita a všechy iverzí permutace) Iverze v permutaci je dvojice i,j taová, že i j a pi p j Zaméo permutace p je sg p= # iverzí v p Sudé permutace tvoří ormálí podgrupu S ; Fatorgrupa je izomorfí grupě {, }, Nechť A je čtvercová matice řádu ad tělesem K, potom determiat matice A je dá výrazem det A:= sg p a i, p i p S Formálě jde o zobrazeí K m K Determiaty matic se začí místo det : det A T =det A Důaz: det A T = sg p A T i, p i = sg p A T p i,i = p S p S j= * (*) víme, že j= p i; i= p j a sg p= sg p QED sg p p S j= a j, p j =det A Důsl: Poud řádová úprava eměí determiat, pa ai stejá sloupcová úprava jej ezměí : Přerováí sloupců matice A podle permutace q (a) ezměí determiat, poud sgq= (b) změí zaméo determiatu, poud sgq= Důaz: Budiž A původí matice, B přerovaá matice Důsl: det B = sg p b i, p i = sg p a, protože i,q p i b =a ; b =a, a dále se rová i,q j i, j i, j i,q j p S p S sgq sgq sg p a, de vždy i,q pi sg q sgq = a sg q sg p= sg q p, taže p S sg q sgq p a i,q pi = sgq det A QED p S (a) záměa dvou řádů změí zaméo, (b) jsou-li dva řády matice A shodé, potom det A= Tvrz: Determiat matice je lieárě závislý a aždém řádu matice Důaz: Na i-tém řádu provedeme (a) salárí ásobe řádu (b) součet dvou řádů (a) Liearita vůči ásobu Budiž A původí matice, A' pozměěá matice (i-tý řáde vyásobeý t K ) Důsl: Pa det A' = p S sg p a ', p a' i, p i a ', p = sg p a, p t a i, p i a, p =t det A p S (b) Liearita vůči sčítáí Budiž A původí matice Zostruujeme B,C předpisem j i:a, j =b, j =c, j, Pa j :a i, j =b i, j c i, j det A= sg p a, p a i, p i a, p = sg p a, p b i, p i c i, p i a, p = p S p S = p S sg p a, p b i, p i a, p sg p a, p c i, p i a, p =det B det C QED p S Přičteí t-ásobu j-tého řádu i-tému (pro i j ) eměí determiat matice Důaz: obrázem Postup: Výpočet determiatu Převedeím a odstupňovaý tvar přičteím ásobů ostatích řádů, ale esmíme prohazovat řády ai ásobit t K, zato můžeme provádět úpravy i a sloupcích (předáša 239) 2

3 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Nechť A a B jsou čtvercové matice stejého řádu ad K, potom platí det A B=det A det B Důaz: Je-li A ebo B sigulárí, pa A B je sigulárí Něterý řáde sigulárí matice lze složit lieárí ombiací ostatích, odečteím této ombiace zísáme matici s ulovým řádem a stejým determiatem = Je-li A regulárí, lze ji rozložit a souči elemetárích matic A=E E Potom platí det A B =det E E B=det E E 2 E B = * = * det E det E 2 E B Ad *, máme dvě možosti Důsl: (a) Čtvercová matice A je regulárí, právě dyž det A (b) det A =det a, respetive det A det A = (a) E odpovídá vyásobeí i-tého řádu t determiat součiu t-rát vzroste: det E = t =t (b) E odpovídá přičteí j-tého řádu i-tému Začeí: A i, j začí matici, terá vzie z matice A vypuštěím i-tého řádu a j-tého sloupce determiat součiu se ezměí: det E = = Tedy det E det E det B =det E E det B=det A det B QED Tvrz: Poz, Rozvoj determiatu podle i-tého řádu Pro libovolou matici A řádu 2 a libovolé i {,, } platí det A= a i, j i j det A i, j j = toto je efetiví pro řády s ulami Důaz: (a) Vytýáí prvů a i, j z předpisu pro determiat ebudeme doazovat (b) Využití liearity: zapíšeme i-tý řáde jao vhodou lieárí ombiaci: e T det a i, a =a i, i, det a i, det a i,,,a i, =a i,,,,a i,2,,,a i,,,, Zbývá určit: det je a [i,j] permutace řádů = i det je a[,j] = i j det x = x i j det A ij, QED permutace sloupců x - idy evyužijeme Pro čtvercovo matici A defiujeme adjugovaou matici adj A předpisem adj Ai, j = i j det změa pořadí idexů! A j, i Pro aždou regulárí matici A platí A = adj A det A Důaz: z rozvoje podle i-tého řádu: A i adj A i =det A a pro j i : i-tý řáde A j adj A i = rozvoj podle i-tého řádu v matici, terá vzie z A ahrazeím i-tého řádu j-tým řádem = A =det A A adj A=I det, QED det A A A adj A Cramerovo pravidlo Nechť A je regulárí matice, potom řešeí aždé soustavy A x=b lze spočítat po složách výrazem x i = det A i b, det A de A i b zameá matici, terá vzie z A ahrazeím i-tého sloupce vetorem pravých stra b Důaz (): X = A b= adj A b det A X i = det A adj A b i= adj A det A i, j b j = j= Provedeme rozvoj podle i-tého sloupce v A i b = det A det A i b, QED Důaz (2): Ozačme I i x matici, terá vzie z I ahrazeím i-tého sloupce vetorem x =b A I i x = A e, A e 2,, A x,= A i b Víme det I i x =x i a tedy det A x i =det A ib, QED 3

4 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Postup: Výpočet determiatu (ze cvičeí) a I) V odstupňovaém tvaru stačí souči diagoály: = a i a II) Vytýáí z řádu: III) =2 a b c = 6 6= d =a d b c IV) =3 Sarrusovo pravidlo: V) Rozvoj dle i-tého řádu det A= j= { } = = = a i, j i j det A i, j ; př: = Geometricý výzam determiatu Poz, Záme růzé druhy obalů X R, X ={x,, x } () L X Lieárí obal ejmeší vetorový prostor obsahující X L X ={ a i x i ; x i X, a i R} (2) A X Afií obal ejmeší afií prostor obsahující X A X ={ a i x i ; x i X, a i R, a i =} (3) K X Kovexí obal ejmeší ovexí možia obsahující X K X ={ (4) R X Rovoběžostě vymezeý X a i x i ; x i X, a i R, a, i :a i [,]} R X ={ a i x i ; x i X, a i R, i :a i [,]} Pro vetory x,, x udává det A, de A sestává z x,, x (po řádcích aebo po sloupcích), objem rovoběžostěu určeého x,, x Důaz (idea): Protože přičítáí jiých řádů eměí ai determiat, ale ai objem Důsl: Je-li f lieárí zobrazeí R R a A=[ f ] KK je matice tohoto zobrazeí, vol f v= det A vol v ta platí, že objem objem obrazu těleso Polyomy Polyom (též mohočle) stupě v proměé x ad tělesem K je výraz p x=a x a x a xa, de a a K, a Začeí p K x Operace s polyomy p, q K x : p x= a i x i i= Sčítáí a odčítáí p±q x= i = Násobeí salárem t K, pa t px= t a i x i Násobeí mezi sebou m p q x= i= m a q x= b i x i, BÚNO m i= c i x i, de c i= a i±b i pro i {,, m} a i jia i= c i x i, de c i = mii, j=max,i m a j b i j 7 9 = = 6 2 = 2 4

5 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Děleí se zbytem r,t K X : deg tdegq p=r qt stupeň t Kostruce řešeí: p x a x m q x b má stupeň ižší ež p x prví čle r Poz, Typicy za x volíme prvy z tělesa K, ale lze i jié strutury, apř čtvercové matice ad K p x=a x a xa x p A=a A a Aa I : Pro p R x platí, že p x= (tj p x= x= ), právě dyž a ==a = Malá Fermatova Pro aždé a Z p, a platí a p = Důaz: Zafixuji a, uvážím zobrazeí f :i a i Tedy f :{,, p }{,, p } je prosté a f je permutací a {,, p } p p i= p a i=a p i =a p, QED i= Důsl: V Z p : x p x= q Z p x r Z p x, deg r p : x Z p : q x = r x Koře polyomu p K x je taové a K, že pa= Např polyom p x= x 2 () má oře i v K=C (2) emá oře v K=R (3) emá oře v K=Z 3 (4) má oře 2 v K=Z 5 Tělesa, de všechy polyomy mají oře, se azývají algebraicy uzavřeá Záladí věta algebry Každý mohočle stupě alespoň ad C má oře Důsl: Každý mohočle stupě alespoň ad C lze rozložit jaou souči moomů p x = a x x x x, de x,, x jsou ořey Důaz (idea): Záladí věta algebry: p x=a x a xa Otáza:Reprezetace polyomů p x stupě pomocí oeficietů a a K (+ def); a algebraicy uzavřeém tělese pomocí ořeů a a ; hodotami p x v + růzých bodech px= a i x i i= sadé??? x,, x jaým způsobem lze užít oeficiety a a polyomu p x, záme-li dvojice x i; y i pro + růzých bodů x x? = p x i (předáša 639) řešíme soustavu o ezámých a a a x a x a =y a x a x a = y Maticově: x x x x Vadermodova matice a = a y y 5

6 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Vadermodova matice je regulárí, právě dyž hodoty x x jsou avzájem růzé Důaz: Prví řáde odečteme od x x ostatích = x x x x x 2 x x 2 x x x x x Provedeme rozvoj dle prvího sloupce a vyteme x i x i =x x i x i x i 2 i x x x x j x j= 2 x x x 2 x x 2 2 j =2 x x x x x x = produt eulový ( matice regulárí) x i růzé QED x j x Vadermatova matice a proměých x 2 x = x j x i i j Postup: Lagragerova iterpolace - alterativí postup, ja proložit polyom stupě body x i, y i, i { } Pro i { } ozačme P i x = x x x x 2 x x i x x i x x x i x x i x 2 x i x i x i x i x i x Platí P i x i = a pro j i: P i x j = (ěde máme x x j = eulový čitatel) Položíme Px = y P x y P x Úloha: Jaým způsobem sestavit m líčů, aby libovolý m líčů doázalo odemout ód, ale libovolých méě ež ioliv? Sestavme polyom stupě a určíme jeho hodoty v m růzých bodech Úvod: ód líč Vlastí čísla a vlastí vetory Jedoduchý abstratí model dyamicého systému Systém reprezetová vetorovým prostorem V ad K Dyamia reprezetováa lieárím zobrazeím f :V V Stabilí stavy (a) pevé body zobrazeí f čili f u = u (b) body jejichž obraz je salárím ásobem vzoru: f u = a u, a K Př: Osová souměrost v R 2 Nechť V je vetorový prostor ad K a f :V V je li zobrazeí Vlastím číslem zobrazeí f je taové λ K pro teré existuje etriviálí u V taový, že f u = u Vlastím vetorem příslušý vlastímu číslu λ je libovolé u V, tž f u = u (Poz: Zdvojeá defiice, abychom obešli u= ) Je-li V oečě geerovaý, tj dimv = N, potom lze f reprezetovat maticí zobrazeí A = [f ] VV a rozšířit defiici a matice: Vlastí číslo matice A je libovolé K taové, že A x = x pro x K, x Vlastí vetor příslušý vlastímu číslu λ je taové x K, že Ax = λ x Možia všech vlastích čísel matice se azývá spetrum matice Charateristicý mohočle Úvod: f u = λ u, u A x = x A x λ x = A x λ I x = A λ I x = Př: Tvrz: Charateristicým mohočleem matice A azveme polyom p a t, terý je urče výrazem: p a t = det A t I Pro aždou čtvercovou matici A platí, že λ je jejím vlastím číslem, právě dyž je λ ořeem charateristicého mohočleu p A t, čili p A = Důaz: viz úvod A I x = A I je sigulárí det A t I =, x etriviálí! QED Viz slidy Jsou-li A, B čtvercové matice stejého řádu ad stejým tělesem, potom A B a B A mají stejá vlastí čísla Důaz: Pro ásobeí bloových matic platí: I J K L P Q IPJR KPLR IQJS KQLS AB B AB ABA I = B BA = I A I B BA Platí: C R= R D, říáme, že C a D jsou podobé : Podobé matice mají shodé charateristicé mohočley R S = 6

7 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy C= R D R (*) * toto= p C t=det C t I =det R D R t I =det R D R t R I R =det R D t I R =det R det D t I det R =P d t Podobé matice mají tedy shodá i vlastí čísla Čili A B t I B t I = A B t I t I = p ABt= p BA t= t I B A t I = t I B B A t I Stejé charateristicé mohočley stejá charateristicá čísla, QED Cayley-Hamilto Nechť p A t je charateristicý mohočle matice A Potom platí p A A = A t p Důaz: Využijeme fatu, že M adjm =det M I, a dosadíme M := A t I p A t p A t adj A t I Má a aždém místě polyom proměé t Můžeme zapsat adj A t I =t B t B B, tedy A t I t B t B B = p A t I =a t I a t I a I Koeficiet u t : I B =a I A u t i : A B i I B i =a i I A i u t : A B =a I ic Provedeme úpravy (ásobeí jsou zleva) a sečteme Pravá straa je a a a Aa I = p A A A B A A B B 2 A 2 A B 2 B 3 A 2 A B 2 B A A B B A B =, QED : () Každá matice řádu má ejvýše vlastích čísel (2) Každá omplexí matice řádu má právě vlastích čísel (ěterá mohou být víceásobá): p A t= t t p A t = t r t r ; (3) a = det A dosazeím t = p A t=a t a ta =det A t I = a, t (4) a = (5) a = dosazeím t = do p A t = t t (6) a = a i,i = i Úloha: (ze cvičeí) Ve městě Pupáově jsou tři stray: Asetičtí, Bohatí a Chudí Podrobým výzumem se zjistilo, že 75% z těch, co volilo Asety, je bude volit opět, 5% bude volit Bohaté a 2% chudé Podobě z těch co volili Bohaté zvolí 6% Bohaté, 2% Asety a 2% Chudé 8% voličů chudých je bude volit i v ásledujícím období, o zbylé hlasy se podělí % Aseti a 2% Bohatí Ja bude vypadat limití rozložeí sil v místím (stočleém) zastupitelstvu? A B C A= A,75,2, B,5,6, C,2,3,8 Ax= x A = A' := Ax=2 x Rozděleí dle popisů oolo matice, apř a diagoále jsou ti co volí stejě Součet sloupců matice dá vždy (%) a 2,2 t r i = a, t : 5 t 4 2 = 5 t 2 t 6 t t 85 t 46 t = 2 t 2 = 2 t2 t t t x p: p 3 p 3 p = p= 2 x 3 = p 3 p= x 2 = p/3 x = 2p x= p 2 = 2 = = = 2 3 ; 3 ; x = 3 ; 6 ; 2, de aždá složa je zastoupeí přislušé stray Poud bychom dosadili jié vlastí číslo přílad by evyšel smysluplě Nechť x,, x jsou vlastí vetory příslušé avzájem růzým vlastím číslům,, lieárího zobrazeí f 7

8 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Potom x,, x jsou lieárě ezávislé Důaz: iducí a sporem Nechť x x tvoří ejmeší protipřílad, tj a,,a : a i x i = = f = f = = a i x i = i= a i i x i a i f x i = a i i x i a = = i= a i x i = a i x i i= a i x i = i a i x i x x jsou lieárě závislé, SPOR s miimalitou protipříladu QED Čtvercové matice A, B azveme podobé, poud existuje regulárí matice R taová, že platí: A = R B R Nechť matice A, B jsou si podobé a,x jsou vlastí číslo a příslušý vlastí vetor matice A, potom y = R x je vlastí vetor matice B příslušý vlastímu číslu Důaz: B y= R A R R x=r A x=r x= R x= y A=R B R B=R A R, QED : Vlastí čísla diagoálí matice jsou prvy a diagoále a aoicá báze dává vlastí vetory Matice A je diagoalizovatelá, poud je podobá ějaé diagoálí matici Apliace: (a) A = R D R ; = D ii je i-té vlastí číslo a j-tý sloupec R je vlastí vetor A (b) mocěí matic A = R D R D i,i = D i, i Tvrz: Důsl: Matice A řádu je diagoalizovatelá, právě dyž má lieárě ezávislých vlastích vetorů Důaz: Má-li platit R A R= D, pa sloupce R jedozačě odpovídají vlastím vetorům () Má-li matice A řádu, růzých čísel potom je diagoalizovatelá (2) Platí, že A C má vlastí čísla,, ásobosti r,, r a avíc i {,, } : ra A I = r i, právě dyž A je diagoalizovatelá Fat: Př: Každá čtvercová omplexí matice A je podobá matici v tzv Jordaově ormálím tvaru, což je Teto tvar je dá jedozačě až a pořadí bloů eí diagoalizovatelá : Nechť A= vlastí číslo s příslušým vlastím vetorem x má Pa A x= x A I x=, tedy A I x =* (* začí cooliv ) a lze alézt posloupost vetor, tzv zobecěé vetory, taovou, že A I x i = x i Komplexí čtvercová matice A je hermitovsá, poud platí a i, j = a j,i (omplexě sdružeé číslo) Hermitovsá traspozice A je A H, de A H i, j = A j,i Jiými slovy: hermitovsá A H = A aalogie: symetricá A T = A Komplexí čtvercová matice A se azývá uitárí, poud platí A H A = I : Souči uitárích matic je uitárí: A H A = I, B H B = I AB H AB = B H A H A B = I Př: A= i i t ; P at=t 2 3 3t =3, 2 = R=i 3 3 i 3 R =R = i H i 3 R A R= 3 : A je diagoizovatelá: A R = R D A je podobá J : A R = R J Každá hermitovsá matice má všecha vlastí čísla reálá a existuje uitárí matice R, že R A R je diagoálí 8

9 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Důaz: Iducí podle řádu matice A :=A C Záladí věta algebry existuje vlastí číslo a ěmu vlastí vetor x Fat: x lze doplit dalšími vetory a uitárí matici P x = (Důaz: Gra-Schmidtova ortogoizace) Nyí máme matici z teré jsme vyšli, její vlastí vetor a uitárí matici P H A H P H H = P H A P P H A P H = z def 2x a H hermitovsá A P má v prvím sloupci vetor x P H A P má v prvím sloupci,,, T R (z, je hermitovsá) A je hermitovsá matice řádu, z iduce existuje R uitárí tž R A R = D R Defiujme: := P =S R uitárí uitárí uitárí R A R =R H A R =S H P H A P S = = H R A = R IP = = H, QED R A R D Opa: K = 2 je počet oster úplého grafu Laplaceova matice grafu G a vrcholech v,, v je matice Q taová, že q i, j = v,v i j E G ; i j jia q i, i =degv i Q i, j je matice vyilá y Q vyšrtutím i-tého řádu a j-tého sloupce Pro aždý graf G platí KG = detq Pozáma důaz: Q= det Q = = 2 Důaz věty o G : Bimet-Cauchyho Pro A, B K m platí A T B = A T I B I ; *: I * { } m Zvolíme orietaci G, zavedeme orietovaou matici icidece v D R m ; = V G, m= E G ; d i, j ={ i začáte e j v i oec e j jia } : D D T =Q Zavedeme D = D bey prvího řádu Platí D D T =Q, a dle Bimet-Cauchyho: det Q, =det D D T = I =,,m} { D I D I T = I =,,m} { Lemma : D I =±, právě dyž {e i ; i I } iduují strom lemma 2 D I = G Lemma 2: D I =, právě dyž {e i ; i I } eiduují strom Stačí již je doázat lemmáta () {e i ; i I } iduují strom, spořádáme vrcholy w,,w ta, že w i je list ve zbylém stromu w i,, w Přeuspořádáme sloupce D I podle pořadí w,,w ± D I =± ± determiat ± (2) {e i ; i I } eiduují strom, pa existuje cylus v cylus sloupce hra, teré jsou LZ det= má ompoetu, terá obsahuje v : e e 2, QED LZ v 2 9

10 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Prostory se salárím součiem Úvod: Vetory můžeme ásobit jao matici: x y = xy R a C: i aa R ii a a R iii a R Nechť je V vetorový prostor ad C Zobrazeí, teré dvěma vetorům u, v V přiřadí číslo u v C, se azývá salárí souči (ss), poud splňuje axiomy: N u V : u u = u= L a C, u, v V : a u v = a u v L2 u,v, w V : uv w = u w v w KS u,v V : v u = u v P u V : u u Poz, () Formálě: : V V C (2) Pro prostory ad R se salárí souči defiuje stejě, (KS) se iterpretuje jao u, v V : v u = u v SS pro R stejé až a axiom (KS): KS u,v V : v u = v u Př: () Stadardí SS pro aritmeticé vetorové prostory: V = C : u v = u i v i = v H u u H v V = R : u v = u i v i = v T u = u T v u a v = a v u = a v u = a v u = a u v (2) SS a R defiovaý pomocí regulárí matice A : u v := u T A T A v, apřílad V := R 2 A := 2 u v =u T 2 v = u v 2 u v 2 u 2 v 5 u 2 v 2 (3) SS a prostoru spojitých fucí itegrovatelých a itervalu [a, b ] : b f g = a f x g x dx Nechť V je vetorový prostor se SS Potom orma určeá tímto SS je zobrazeí : V R daé předpisem u = u u Poz: Výzam: u déla vetoru u u v vzdáleost vetorů u a v u v určuje úhel mezi u a v a= u b= v c= u v Na R : u v = u v cos, de je úhel sevřeý vetory u a v Plye z cosiové věty: c 2 = a 2 b 2 2ab cos u v u v = u u v v 2 u v cos u u u v v u u u = u u v v 2 u v cos = 2 u v Cauchy-Schwarzova erovost u, v V : u v Nechť V je vetorový prostor se SS a ormou z ěj odvozeou, potom platí u v Důaz: Je-li u= ebo v= platí a C : ua v a tedy ua v 2 = ua v ua v = u u a v u a u v a a v v Zvolíme a := u v elimiuje posledí dva čley v v v u u v u u v u u v v v u u v v u v 2 u 2 v 2 = u v u v, QED u v 2 BÚNO Důsl: () Nerovost mezi aritmeticým a vadraticým průměrem: u R : Důaz: Zvolíme v=,, T R vůli C u i 2 u i u i = u v u v = u 2 i, QED (2) Norma odvozeá ze SS splňuje trojúhelíovou erovost: uv u v

11 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Důaz: uv = uv uv = u u u v v u v v u 2 2 u v v 2 u 2 2 u v v 2 = u v 2 = u v QED Odboča do aalýzy Obecě je orma ad prostorem zobrazeí V R ) u V : u pozitivost 2) u V : u = u = jedozačost uly 3) u V, a C: a u = a u liearita (?) 4) u, v V : uv u v trojúhelíová erovost Př: jiých orem: L p ormy a R : u p = p stat orma odpovídá p =2 p= u = u i p= u = max u i,, ui p Ortogoalita Dva vetory u a v v prostoru se SS jsou avzájem olmé (začíme u v ), poud platí, že u v = : Každý systém vzájemě olmých vetorů je lieárě ezávislý Důaz sporem: Máme: u,,u : u i u j i j, ale LZ u i = i=2 a i u i u i u j = u a i u i= 2 i = a i u u i = SPOR QED Nechť Z je báze prostoru V se SS taová, že v Z : v = a avíc v, v' Z : v v ' v v' Potom taovou bázi azveme ortoormálí bází prostoru V : Mějme Z ortoormálí bázi prostoru R Pa A= v v A T A=I A je ortogoálí (aalogicy C : A H A = I A je uitárí) Tvrz: Nechť Z=v,, v je ortoormálí báze prostoru V, potom u V : u= u v v u v 2 v 2 u v v Důaz: v,, v je báze, vyjádříme: v = a i v i, chceme uázat: a i = u v i u v i = a j v j= j i v = j= 2 možosti a j v j v i = a i ; možosti: a) <> = pro i j, b) <>= pro i = j Q E D ( ) Pro ortoormálí bázi v,,v a vetor u V se oeficietům u v i říá Fourierovy oeficiety Tvrz: Parsevalova rovost: Je-li Z =v,,v ortogoálí báze prostoru V, potom u, w V : u w = [w] Z H [u] Z Důaz: u = u v i v i ; w = w v i v i u w = u v i v i w v j v j= j = j= u v i w v j v i v j = u v i w v i = [w] H Z [u] Z Q E D Tvrz: Lieárí zobrazeí f :V W mezi prostory s SS se azývá uitárí, poud f zachovává SS u, v V : u v = f u f v Zobrazeí f :V W je uitárí právě dyž pro ormy odvozeé se SS platí: u V : u = f u Důaz: => u = u u = f u f u = f u <= Jao u CS erovosti va w = w =

12 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Uitárí isomorfismus prostorů s SS se azývá ISOMETRIE Nechť V a W jsou prostory s ortogoálími bázemi X=Y, stejé oečé dimeze, potom platí, že f :V W je isometrie právě dyž [ f ] XY je uitárí Nechť W je prostor se SS, V W, a Z =v,, v je ortoormálí báze V Zobrazeí p:w V je defiováo předpisem: pu := u v i v i se azývá ortogoálí projecí prostoru W a V Lemma:Nechť p je ortogoálí projecí W a V, potom u pu v i pro v i Z i v = u v i u v j v j v i = u v i u v i = Q E D Důaz: u pu v i = u u v i Gram-Schmidtova ortogoalizace Vstup: Libovolá váze u,, u prostoru V se SS Výstup: Ortoormálí báze v,, v Algoritmus: pro i:= do opauj { i ) w i := u i j= 2) v i = w i w i j= u i v j v j } Koretost: ) w i v j pro j=i z => w i v j pro i j 2) w i = w i w i = w i w i = 3) spav v i, u i, v i v z lemmatu o výměě Poz, toto je využito ve větě o diagoalizovatelosti hermitovsých matic potřebujeme G-S algoritmus : p(u) je ejbližší bod z u v prostoru V u a = u pu a b a a b b = u pu a b = a b a b = a a a b b a b b a = V Př: pu w Ortogoálí doplě Nechť V je možia vetorů ve vetorovém prostoru W se SS Ortogoálí doplě možiy V je možia: V := {u W : u v v V } Když hledáme řešeí homogeí soustavy, ta hledáme Ax= <=> hledáme r a vůči std SS (4 5 29) : U V U V Důaz: u V u v v V u v v U u U Q E D Nechť V je podprostorem W se SS, potom platí: (a) V je podprostorem W (b) V V ={} Je-li avíc W oečé dimeze: (c) dimv dimv =dimw (d) V = V Důaz: (a) I u, v V, w W : uv w = u w v w = = uv V II u V a u w = a u w = a = a u V I II je podprostorem (b) sporem: dyby u V V, v u V u = spor V Příprava a (c) a (d): Vezmeme ortoormálí bázi X prostoru V a rozšíříme ji a ON bázi Z prostoru W Y =Z X X ={x x } Y ={y y } Cíl: Chceme uázat, že V = spay 2

13 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy ) x i X a y j Y : x i y j y j i x i Y V avíc: w spaw w = w z = j= l l j= l j y j i x i = j = l 2) Libovolé w V vyjádříme jao j= j y j z V : Z = j y j i x i j i y j x i = spay V i x i = w x i = i Z je ON báze V w spay V spay oec přípravy (c) dimv = X ; dimv = Y ; dimw = X Y (d) V = spa Z Y = spa X = V Q E D Tvrz: Pozitivě defiití matice Nechť V prostor se SS a X = y,, y je jeho báze, potom pro matici A defiovaou: a i, j := x i x j platí, že u,v V : u w = [w] H X A [u] X Poz: Je-li X ON báze, je A jedotová Důaz: [u] X =,, u = i x i [w ] X =,, w = i x i u w = i x i j x j = j = j = i j x i x j = [w] X H A [u] X Q E D Jaé vlastosti musí mít A? ) a ij = x j x i = x i x j = a ij A je hermitovsá 2) musí zaručit, že u u = [u] X H A [u] X pro u Užití: Tvrz: Hermitovsá matice A řádu se azývá pozitivě defiití, poud x C { } platí: x H A x V MA vyšetřováí loálích a globálích extrémů fucí více proměých Pro hermitovsou matici A řádu jsou ásledující podmíy evivaletí: a) A je pozitivě defietí b) A má všecha vlastí čísla ladá c) existuje regulárí matice U taová, že A = U H U Důaz: (a=>b) A hermitovsá, vlastí číslo A R, vezmeme vlastí vetor x, aby A x = x (b=>c) (c=>a) x H A x = x H x x H x ze součiu a C: a a A hermitovsá => regulárí R, tž A = R H D R, D diagoálí D: d ij =d ij A = R H D H D R = U H U x H A x = x H U H U x =Ux H Ux U je regulárí ax Pro pozitivě defiití matice existuje jedozačá trojúhelíová matice U s ladými prvy a diagoále taová, že A = U H U, matici U se říá Choleseho rozlad Důaz: algoritmem: Vstup: hermitovsá matice A Výstup: cholesého rozlad, ebo odpověď, že A eí poz defietí Pro i:= do V proveď: { ) U ii := a ii } Q E D = U i U i 2) eí-li u ii R,u ii STOP, A eí pozitivě defietí 3) pro j = (i + ) do u proveď: i { u ij := u ii a ij U i U j } = (předáša 59) Tvrz: Bloová matice A= ah a A je positivě defiití, právě dyž a zároveň A a ah je positivě defiití 3

14 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Poz, Gaussovou elimiací sloupce pod dostaeme a H a A = H a a ah A C Důaz: Nechť x C,x, začme x= x C x x H A x= x, x H ah a A x x =x x H a, x a H x A H x x = =x x x x H ax a H x x H A x x H a a H x x H a a H x = = = x H A a a H x x x H a x a H x, y y C C protože alespoň a jedé straě bude ostrá erovost, jia by muselo platit zároveň x = x= Položíme =e H A e, e =,,, T Pro libovolé x C zvolíme x := a H x, potom platí: = x H A x= x H A a ah A a ah je positivě defiití, QED Důsl: () Positivě defiití matice lze rozezat Gaussovou elimiací (2) Jacobiho podmía: Hermitovsá matice A řádu je positivě defiití, právě dyž mají matice A,, A ladý determiat, de A i vzie z A umazáím posledích i řádů a sloupců Důaz: Apliujeme předchozí tvrzeí reuretě a převedeme do odstupňovaých tvarů Bilieárí a vadraticé formy Nechť V je vetorový prostor ad K a f je zobrazeí V V K splňující axiomy: u, v, w V : f uv,w= f u,w f v, w 2 u, v V K : f u, v= f u,v 3 u, v, w V : f u,vw= f u, v f u, w 4 u, v V K : f u, v= f u,v Potom se f azývá bilieárí formou V Bilieárí forma je symetricá, platí-li u, v V : f u, v = f v,u Zobrazeí g :V K se azývá vadraticá forma, poud existuje bilieárí forma taová, že u V : g u = f u, u Nechť V je vetorový prostor a X = v,, v je jeho báze, pa matice bilieárí formy f vůči bázi X je B, de platí b i, j = f v i, v j a matice vadraticé formy g je matice symetricé bilieárí formy, terá g vytvořuje, poud taová existuje : b i, j = f v i, v j = 2 g v iv j g v i gv j matice vadraticé formy existuje vždy, je-li K charateristiy 2 : Počítáí s maticemi formy: f u, w =[u ] X T B [w ] X, protože f i gu=[u] X T B [u] X a i v i, j b j v j = i j a i b j [ u] X f v i, v j, [ w] X B Pro bilieárí formu f a K je její aalyticé vyjádřeí polyom f x,, x T, y,, y T = x i y j b i, j j = Podobě aalyticé vyjádřeí vadraticé formy vůči daé bázi Sylvesterův záo o setrvačosti vadraticých forem Nechť V je prostor oečé dimeze ad R a g :V R je vadraticá forma Potom existuje báze X taová, že matice g vůči X je diagoálí a prvy a diagoále jsou, - ebo, avíc počet, -, ezávisí a X a je pro všechy vhodé báze stejý (předáša 859) Důaz: (a) existece Zvolíme libovolou bázi Y, sestavíme matici B ' formy g vůči Y Víme, že B ' je reálá symetricá Platí, že aždá symetricá matice A má vlastí čísla reálá a existuje ortogoálí matice R, že A=R D R (záme v hermitovsé verzi) Tedy existuje R, že R B ' R=R T B ' R= D ' Víme, že pro B matici g vůči X a B ' vůči Y platí B=[id ] T XY B ' [id ] XY Zvolíme B, S diagoálí matice, že: d i,i b i,i =, s i, i =d i,i 4

15 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy d i,i b i,i =, s i,i = d i,i d i,i = b i,i =, s i,i = d i, i d i,i d i, i d i i, S T B S Čili platí R T B ' R= S T B S, S, R regulárí i,i =d d i,i D= D T B=S T R T B ' R S, čili pro bázi X: [id ] XY =R S platí, že matice B formy g vůči X je diagoálí a dle zěí věty (, -, ) Poz, sloupce [id ] XY jsou tvořey souřadicemi vetorů hledaé báze X vůči bázi Y (b) jedozačost: Začeí: g :V R, X =v,, v,y =w,, w dvě báze taové, že matice formy g vůči X, Y jsou B, B' diagoálí ve tvaru (odlišé je délou úseů) Pozorováí: # v B= ra B = B =R T B ' R ra B '= # v B' Zbývá již je hraice /- Ozačme '=ra B =# # Aalyticé vyjádřeí formy g je g u= x 2 x 2 2 x 2 2 r x r x 2 ', de [u] X = x,,x T, r=# v B y 2 y 2 2 y 2 2 s y s y 2 ', de [u] Y = y,, y T, s=# v B' Pro spor ať r s Zvolíme etriviálí z L{v,,v } r L{w s,,w } L dim L =r, dim L 2 = s Víme, že pro U, V platí L 2, dimu dimv =dimlu V dimlu V z L{v,, v r } {} pro [z ] X = x,, x r T je alespoň jedo z x,, x r a zároveň x r,,x = g z z L{w s,,w } {} pro [z ] Y = y s,, y T je alespoň jedo z y s,, y ; y,, y s =, čili = g z = y y s y s y 2 ', SPOR QED Vetoru #,#, # se říá sigatura formy, respetive sigatura symetricé matice, a příslušá báze se azývá polárí báze Úloha: Na závěr, oli lze v R d alézt ejvíce příme, aby aždé dvě svíraly stejý úhel? (poud ědo chce, abych přepsal i tuto úlohu, echť se mi ozve) 5

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Kombinatorika a grafy I

Kombinatorika a grafy I Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Kombiatoria a grafy I láta z II semestru iformatiy MFF UK podle předáše Odřeje

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

11a. Základní principy

11a. Základní principy Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 11 Kombiatoria (Počítáí Kombiatoria je aua o uspořádáí věcí, její důležitou součástí je schopost věci spočítat Deší podobu lze vystopovat do 17 století a vzhledem

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více