Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Transkript

1 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího Fialy Zpracovali: Ja Zaatar Štětia, Odřej Keddie Profat Obsah Determiaty2 Geometricý výzam determiatu4 Polyomy4 Vlastí čísla a vlastí vetory6 Charateristicý mohočle6 Prostory se salárím součiem Ortogoalita Ortogoálí doplě2 Pozitivě defiití matice3 Bilieárí a vadraticé formy4

2 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Determiaty Opaováí: Permutace a prvcích je zobrazeí p:{,, } {,, }, teré je prosté a a S začí možiu všech permitací a prvcích S, tvoří grupu (existují eutrálí prve, idetita a všechy iverzí permutace) Iverze v permutaci je dvojice i,j taová, že i j a pi p j Zaméo permutace p je sg p= # iverzí v p Sudé permutace tvoří ormálí podgrupu S ; Fatorgrupa je izomorfí grupě {, }, Nechť A je čtvercová matice řádu ad tělesem K, potom determiat matice A je dá výrazem det A:= sg p a i, p i p S Formálě jde o zobrazeí K m K Determiaty matic se začí místo det : det A T =det A Důaz: det A T = sg p A T i, p i = sg p A T p i,i = p S p S j= * (*) víme, že j= p i; i= p j a sg p= sg p QED sg p p S j= a j, p j =det A Důsl: Poud řádová úprava eměí determiat, pa ai stejá sloupcová úprava jej ezměí : Přerováí sloupců matice A podle permutace q (a) ezměí determiat, poud sgq= (b) změí zaméo determiatu, poud sgq= Důaz: Budiž A původí matice, B přerovaá matice Důsl: det B = sg p b i, p i = sg p a, protože i,q p i b =a ; b =a, a dále se rová i,q j i, j i, j i,q j p S p S sgq sgq sg p a, de vždy i,q pi sg q sgq = a sg q sg p= sg q p, taže p S sg q sgq p a i,q pi = sgq det A QED p S (a) záměa dvou řádů změí zaméo, (b) jsou-li dva řády matice A shodé, potom det A= Tvrz: Determiat matice je lieárě závislý a aždém řádu matice Důaz: Na i-tém řádu provedeme (a) salárí ásobe řádu (b) součet dvou řádů (a) Liearita vůči ásobu Budiž A původí matice, A' pozměěá matice (i-tý řáde vyásobeý t K ) Důsl: Pa det A' = p S sg p a ', p a' i, p i a ', p = sg p a, p t a i, p i a, p =t det A p S (b) Liearita vůči sčítáí Budiž A původí matice Zostruujeme B,C předpisem j i:a, j =b, j =c, j, Pa j :a i, j =b i, j c i, j det A= sg p a, p a i, p i a, p = sg p a, p b i, p i c i, p i a, p = p S p S = p S sg p a, p b i, p i a, p sg p a, p c i, p i a, p =det B det C QED p S Přičteí t-ásobu j-tého řádu i-tému (pro i j ) eměí determiat matice Důaz: obrázem Postup: Výpočet determiatu Převedeím a odstupňovaý tvar přičteím ásobů ostatích řádů, ale esmíme prohazovat řády ai ásobit t K, zato můžeme provádět úpravy i a sloupcích (předáša 239) 2

3 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Nechť A a B jsou čtvercové matice stejého řádu ad K, potom platí det A B=det A det B Důaz: Je-li A ebo B sigulárí, pa A B je sigulárí Něterý řáde sigulárí matice lze složit lieárí ombiací ostatích, odečteím této ombiace zísáme matici s ulovým řádem a stejým determiatem = Je-li A regulárí, lze ji rozložit a souči elemetárích matic A=E E Potom platí det A B =det E E B=det E E 2 E B = * = * det E det E 2 E B Ad *, máme dvě možosti Důsl: (a) Čtvercová matice A je regulárí, právě dyž det A (b) det A =det a, respetive det A det A = (a) E odpovídá vyásobeí i-tého řádu t determiat součiu t-rát vzroste: det E = t =t (b) E odpovídá přičteí j-tého řádu i-tému Začeí: A i, j začí matici, terá vzie z matice A vypuštěím i-tého řádu a j-tého sloupce determiat součiu se ezměí: det E = = Tedy det E det E det B =det E E det B=det A det B QED Tvrz: Poz, Rozvoj determiatu podle i-tého řádu Pro libovolou matici A řádu 2 a libovolé i {,, } platí det A= a i, j i j det A i, j j = toto je efetiví pro řády s ulami Důaz: (a) Vytýáí prvů a i, j z předpisu pro determiat ebudeme doazovat (b) Využití liearity: zapíšeme i-tý řáde jao vhodou lieárí ombiaci: e T det a i, a =a i, i, det a i, det a i,,,a i, =a i,,,,a i,2,,,a i,,,, Zbývá určit: det je a [i,j] permutace řádů = i det je a[,j] = i j det x = x i j det A ij, QED permutace sloupců x - idy evyužijeme Pro čtvercovo matici A defiujeme adjugovaou matici adj A předpisem adj Ai, j = i j det změa pořadí idexů! A j, i Pro aždou regulárí matici A platí A = adj A det A Důaz: z rozvoje podle i-tého řádu: A i adj A i =det A a pro j i : i-tý řáde A j adj A i = rozvoj podle i-tého řádu v matici, terá vzie z A ahrazeím i-tého řádu j-tým řádem = A =det A A adj A=I det, QED det A A A adj A Cramerovo pravidlo Nechť A je regulárí matice, potom řešeí aždé soustavy A x=b lze spočítat po složách výrazem x i = det A i b, det A de A i b zameá matici, terá vzie z A ahrazeím i-tého sloupce vetorem pravých stra b Důaz (): X = A b= adj A b det A X i = det A adj A b i= adj A det A i, j b j = j= Provedeme rozvoj podle i-tého sloupce v A i b = det A det A i b, QED Důaz (2): Ozačme I i x matici, terá vzie z I ahrazeím i-tého sloupce vetorem x =b A I i x = A e, A e 2,, A x,= A i b Víme det I i x =x i a tedy det A x i =det A ib, QED 3

4 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Postup: Výpočet determiatu (ze cvičeí) a I) V odstupňovaém tvaru stačí souči diagoály: = a i a II) Vytýáí z řádu: III) =2 a b c = 6 6= d =a d b c IV) =3 Sarrusovo pravidlo: V) Rozvoj dle i-tého řádu det A= j= { } = = = a i, j i j det A i, j ; př: = Geometricý výzam determiatu Poz, Záme růzé druhy obalů X R, X ={x,, x } () L X Lieárí obal ejmeší vetorový prostor obsahující X L X ={ a i x i ; x i X, a i R} (2) A X Afií obal ejmeší afií prostor obsahující X A X ={ a i x i ; x i X, a i R, a i =} (3) K X Kovexí obal ejmeší ovexí možia obsahující X K X ={ (4) R X Rovoběžostě vymezeý X a i x i ; x i X, a i R, a, i :a i [,]} R X ={ a i x i ; x i X, a i R, i :a i [,]} Pro vetory x,, x udává det A, de A sestává z x,, x (po řádcích aebo po sloupcích), objem rovoběžostěu určeého x,, x Důaz (idea): Protože přičítáí jiých řádů eměí ai determiat, ale ai objem Důsl: Je-li f lieárí zobrazeí R R a A=[ f ] KK je matice tohoto zobrazeí, vol f v= det A vol v ta platí, že objem objem obrazu těleso Polyomy Polyom (též mohočle) stupě v proměé x ad tělesem K je výraz p x=a x a x a xa, de a a K, a Začeí p K x Operace s polyomy p, q K x : p x= a i x i i= Sčítáí a odčítáí p±q x= i = Násobeí salárem t K, pa t px= t a i x i Násobeí mezi sebou m p q x= i= m a q x= b i x i, BÚNO m i= c i x i, de c i= a i±b i pro i {,, m} a i jia i= c i x i, de c i = mii, j=max,i m a j b i j 7 9 = = 6 2 = 2 4

5 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Děleí se zbytem r,t K X : deg tdegq p=r qt stupeň t Kostruce řešeí: p x a x m q x b má stupeň ižší ež p x prví čle r Poz, Typicy za x volíme prvy z tělesa K, ale lze i jié strutury, apř čtvercové matice ad K p x=a x a xa x p A=a A a Aa I : Pro p R x platí, že p x= (tj p x= x= ), právě dyž a ==a = Malá Fermatova Pro aždé a Z p, a platí a p = Důaz: Zafixuji a, uvážím zobrazeí f :i a i Tedy f :{,, p }{,, p } je prosté a f je permutací a {,, p } p p i= p a i=a p i =a p, QED i= Důsl: V Z p : x p x= q Z p x r Z p x, deg r p : x Z p : q x = r x Koře polyomu p K x je taové a K, že pa= Např polyom p x= x 2 () má oře i v K=C (2) emá oře v K=R (3) emá oře v K=Z 3 (4) má oře 2 v K=Z 5 Tělesa, de všechy polyomy mají oře, se azývají algebraicy uzavřeá Záladí věta algebry Každý mohočle stupě alespoň ad C má oře Důsl: Každý mohočle stupě alespoň ad C lze rozložit jaou souči moomů p x = a x x x x, de x,, x jsou ořey Důaz (idea): Záladí věta algebry: p x=a x a xa Otáza:Reprezetace polyomů p x stupě pomocí oeficietů a a K (+ def); a algebraicy uzavřeém tělese pomocí ořeů a a ; hodotami p x v + růzých bodech px= a i x i i= sadé??? x,, x jaým způsobem lze užít oeficiety a a polyomu p x, záme-li dvojice x i; y i pro + růzých bodů x x? = p x i (předáša 639) řešíme soustavu o ezámých a a a x a x a =y a x a x a = y Maticově: x x x x Vadermodova matice a = a y y 5

6 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Vadermodova matice je regulárí, právě dyž hodoty x x jsou avzájem růzé Důaz: Prví řáde odečteme od x x ostatích = x x x x x 2 x x 2 x x x x x Provedeme rozvoj dle prvího sloupce a vyteme x i x i =x x i x i x i 2 i x x x x j x j= 2 x x x 2 x x 2 2 j =2 x x x x x x = produt eulový ( matice regulárí) x i růzé QED x j x Vadermatova matice a proměých x 2 x = x j x i i j Postup: Lagragerova iterpolace - alterativí postup, ja proložit polyom stupě body x i, y i, i { } Pro i { } ozačme P i x = x x x x 2 x x i x x i x x x i x x i x 2 x i x i x i x i x i x Platí P i x i = a pro j i: P i x j = (ěde máme x x j = eulový čitatel) Položíme Px = y P x y P x Úloha: Jaým způsobem sestavit m líčů, aby libovolý m líčů doázalo odemout ód, ale libovolých méě ež ioliv? Sestavme polyom stupě a určíme jeho hodoty v m růzých bodech Úvod: ód líč Vlastí čísla a vlastí vetory Jedoduchý abstratí model dyamicého systému Systém reprezetová vetorovým prostorem V ad K Dyamia reprezetováa lieárím zobrazeím f :V V Stabilí stavy (a) pevé body zobrazeí f čili f u = u (b) body jejichž obraz je salárím ásobem vzoru: f u = a u, a K Př: Osová souměrost v R 2 Nechť V je vetorový prostor ad K a f :V V je li zobrazeí Vlastím číslem zobrazeí f je taové λ K pro teré existuje etriviálí u V taový, že f u = u Vlastím vetorem příslušý vlastímu číslu λ je libovolé u V, tž f u = u (Poz: Zdvojeá defiice, abychom obešli u= ) Je-li V oečě geerovaý, tj dimv = N, potom lze f reprezetovat maticí zobrazeí A = [f ] VV a rozšířit defiici a matice: Vlastí číslo matice A je libovolé K taové, že A x = x pro x K, x Vlastí vetor příslušý vlastímu číslu λ je taové x K, že Ax = λ x Možia všech vlastích čísel matice se azývá spetrum matice Charateristicý mohočle Úvod: f u = λ u, u A x = x A x λ x = A x λ I x = A λ I x = Př: Tvrz: Charateristicým mohočleem matice A azveme polyom p a t, terý je urče výrazem: p a t = det A t I Pro aždou čtvercovou matici A platí, že λ je jejím vlastím číslem, právě dyž je λ ořeem charateristicého mohočleu p A t, čili p A = Důaz: viz úvod A I x = A I je sigulárí det A t I =, x etriviálí! QED Viz slidy Jsou-li A, B čtvercové matice stejého řádu ad stejým tělesem, potom A B a B A mají stejá vlastí čísla Důaz: Pro ásobeí bloových matic platí: I J K L P Q IPJR KPLR IQJS KQLS AB B AB ABA I = B BA = I A I B BA Platí: C R= R D, říáme, že C a D jsou podobé : Podobé matice mají shodé charateristicé mohočley R S = 6

7 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy C= R D R (*) * toto= p C t=det C t I =det R D R t I =det R D R t R I R =det R D t I R =det R det D t I det R =P d t Podobé matice mají tedy shodá i vlastí čísla Čili A B t I B t I = A B t I t I = p ABt= p BA t= t I B A t I = t I B B A t I Stejé charateristicé mohočley stejá charateristicá čísla, QED Cayley-Hamilto Nechť p A t je charateristicý mohočle matice A Potom platí p A A = A t p Důaz: Využijeme fatu, že M adjm =det M I, a dosadíme M := A t I p A t p A t adj A t I Má a aždém místě polyom proměé t Můžeme zapsat adj A t I =t B t B B, tedy A t I t B t B B = p A t I =a t I a t I a I Koeficiet u t : I B =a I A u t i : A B i I B i =a i I A i u t : A B =a I ic Provedeme úpravy (ásobeí jsou zleva) a sečteme Pravá straa je a a a Aa I = p A A A B A A B B 2 A 2 A B 2 B 3 A 2 A B 2 B A A B B A B =, QED : () Každá matice řádu má ejvýše vlastích čísel (2) Každá omplexí matice řádu má právě vlastích čísel (ěterá mohou být víceásobá): p A t= t t p A t = t r t r ; (3) a = det A dosazeím t = p A t=a t a ta =det A t I = a, t (4) a = (5) a = dosazeím t = do p A t = t t (6) a = a i,i = i Úloha: (ze cvičeí) Ve městě Pupáově jsou tři stray: Asetičtí, Bohatí a Chudí Podrobým výzumem se zjistilo, že 75% z těch, co volilo Asety, je bude volit opět, 5% bude volit Bohaté a 2% chudé Podobě z těch co volili Bohaté zvolí 6% Bohaté, 2% Asety a 2% Chudé 8% voličů chudých je bude volit i v ásledujícím období, o zbylé hlasy se podělí % Aseti a 2% Bohatí Ja bude vypadat limití rozložeí sil v místím (stočleém) zastupitelstvu? A B C A= A,75,2, B,5,6, C,2,3,8 Ax= x A = A' := Ax=2 x Rozděleí dle popisů oolo matice, apř a diagoále jsou ti co volí stejě Součet sloupců matice dá vždy (%) a 2,2 t r i = a, t : 5 t 4 2 = 5 t 2 t 6 t t 85 t 46 t = 2 t 2 = 2 t2 t t t x p: p 3 p 3 p = p= 2 x 3 = p 3 p= x 2 = p/3 x = 2p x= p 2 = 2 = = = 2 3 ; 3 ; x = 3 ; 6 ; 2, de aždá složa je zastoupeí přislušé stray Poud bychom dosadili jié vlastí číslo přílad by evyšel smysluplě Nechť x,, x jsou vlastí vetory příslušé avzájem růzým vlastím číslům,, lieárího zobrazeí f 7

8 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Potom x,, x jsou lieárě ezávislé Důaz: iducí a sporem Nechť x x tvoří ejmeší protipřílad, tj a,,a : a i x i = = f = f = = a i x i = i= a i i x i a i f x i = a i i x i a = = i= a i x i = a i x i i= a i x i = i a i x i x x jsou lieárě závislé, SPOR s miimalitou protipříladu QED Čtvercové matice A, B azveme podobé, poud existuje regulárí matice R taová, že platí: A = R B R Nechť matice A, B jsou si podobé a,x jsou vlastí číslo a příslušý vlastí vetor matice A, potom y = R x je vlastí vetor matice B příslušý vlastímu číslu Důaz: B y= R A R R x=r A x=r x= R x= y A=R B R B=R A R, QED : Vlastí čísla diagoálí matice jsou prvy a diagoále a aoicá báze dává vlastí vetory Matice A je diagoalizovatelá, poud je podobá ějaé diagoálí matici Apliace: (a) A = R D R ; = D ii je i-té vlastí číslo a j-tý sloupec R je vlastí vetor A (b) mocěí matic A = R D R D i,i = D i, i Tvrz: Důsl: Matice A řádu je diagoalizovatelá, právě dyž má lieárě ezávislých vlastích vetorů Důaz: Má-li platit R A R= D, pa sloupce R jedozačě odpovídají vlastím vetorům () Má-li matice A řádu, růzých čísel potom je diagoalizovatelá (2) Platí, že A C má vlastí čísla,, ásobosti r,, r a avíc i {,, } : ra A I = r i, právě dyž A je diagoalizovatelá Fat: Př: Každá čtvercová omplexí matice A je podobá matici v tzv Jordaově ormálím tvaru, což je Teto tvar je dá jedozačě až a pořadí bloů eí diagoalizovatelá : Nechť A= vlastí číslo s příslušým vlastím vetorem x má Pa A x= x A I x=, tedy A I x =* (* začí cooliv ) a lze alézt posloupost vetor, tzv zobecěé vetory, taovou, že A I x i = x i Komplexí čtvercová matice A je hermitovsá, poud platí a i, j = a j,i (omplexě sdružeé číslo) Hermitovsá traspozice A je A H, de A H i, j = A j,i Jiými slovy: hermitovsá A H = A aalogie: symetricá A T = A Komplexí čtvercová matice A se azývá uitárí, poud platí A H A = I : Souči uitárích matic je uitárí: A H A = I, B H B = I AB H AB = B H A H A B = I Př: A= i i t ; P at=t 2 3 3t =3, 2 = R=i 3 3 i 3 R =R = i H i 3 R A R= 3 : A je diagoizovatelá: A R = R D A je podobá J : A R = R J Každá hermitovsá matice má všecha vlastí čísla reálá a existuje uitárí matice R, že R A R je diagoálí 8

9 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Důaz: Iducí podle řádu matice A :=A C Záladí věta algebry existuje vlastí číslo a ěmu vlastí vetor x Fat: x lze doplit dalšími vetory a uitárí matici P x = (Důaz: Gra-Schmidtova ortogoizace) Nyí máme matici z teré jsme vyšli, její vlastí vetor a uitárí matici P H A H P H H = P H A P P H A P H = z def 2x a H hermitovsá A P má v prvím sloupci vetor x P H A P má v prvím sloupci,,, T R (z, je hermitovsá) A je hermitovsá matice řádu, z iduce existuje R uitárí tž R A R = D R Defiujme: := P =S R uitárí uitárí uitárí R A R =R H A R =S H P H A P S = = H R A = R IP = = H, QED R A R D Opa: K = 2 je počet oster úplého grafu Laplaceova matice grafu G a vrcholech v,, v je matice Q taová, že q i, j = v,v i j E G ; i j jia q i, i =degv i Q i, j je matice vyilá y Q vyšrtutím i-tého řádu a j-tého sloupce Pro aždý graf G platí KG = detq Pozáma důaz: Q= det Q = = 2 Důaz věty o G : Bimet-Cauchyho Pro A, B K m platí A T B = A T I B I ; *: I * { } m Zvolíme orietaci G, zavedeme orietovaou matici icidece v D R m ; = V G, m= E G ; d i, j ={ i začáte e j v i oec e j jia } : D D T =Q Zavedeme D = D bey prvího řádu Platí D D T =Q, a dle Bimet-Cauchyho: det Q, =det D D T = I =,,m} { D I D I T = I =,,m} { Lemma : D I =±, právě dyž {e i ; i I } iduují strom lemma 2 D I = G Lemma 2: D I =, právě dyž {e i ; i I } eiduují strom Stačí již je doázat lemmáta () {e i ; i I } iduují strom, spořádáme vrcholy w,,w ta, že w i je list ve zbylém stromu w i,, w Přeuspořádáme sloupce D I podle pořadí w,,w ± D I =± ± determiat ± (2) {e i ; i I } eiduují strom, pa existuje cylus v cylus sloupce hra, teré jsou LZ det= má ompoetu, terá obsahuje v : e e 2, QED LZ v 2 9

10 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Prostory se salárím součiem Úvod: Vetory můžeme ásobit jao matici: x y = xy R a C: i aa R ii a a R iii a R Nechť je V vetorový prostor ad C Zobrazeí, teré dvěma vetorům u, v V přiřadí číslo u v C, se azývá salárí souči (ss), poud splňuje axiomy: N u V : u u = u= L a C, u, v V : a u v = a u v L2 u,v, w V : uv w = u w v w KS u,v V : v u = u v P u V : u u Poz, () Formálě: : V V C (2) Pro prostory ad R se salárí souči defiuje stejě, (KS) se iterpretuje jao u, v V : v u = u v SS pro R stejé až a axiom (KS): KS u,v V : v u = v u Př: () Stadardí SS pro aritmeticé vetorové prostory: V = C : u v = u i v i = v H u u H v V = R : u v = u i v i = v T u = u T v u a v = a v u = a v u = a v u = a u v (2) SS a R defiovaý pomocí regulárí matice A : u v := u T A T A v, apřílad V := R 2 A := 2 u v =u T 2 v = u v 2 u v 2 u 2 v 5 u 2 v 2 (3) SS a prostoru spojitých fucí itegrovatelých a itervalu [a, b ] : b f g = a f x g x dx Nechť V je vetorový prostor se SS Potom orma určeá tímto SS je zobrazeí : V R daé předpisem u = u u Poz: Výzam: u déla vetoru u u v vzdáleost vetorů u a v u v určuje úhel mezi u a v a= u b= v c= u v Na R : u v = u v cos, de je úhel sevřeý vetory u a v Plye z cosiové věty: c 2 = a 2 b 2 2ab cos u v u v = u u v v 2 u v cos u u u v v u u u = u u v v 2 u v cos = 2 u v Cauchy-Schwarzova erovost u, v V : u v Nechť V je vetorový prostor se SS a ormou z ěj odvozeou, potom platí u v Důaz: Je-li u= ebo v= platí a C : ua v a tedy ua v 2 = ua v ua v = u u a v u a u v a a v v Zvolíme a := u v elimiuje posledí dva čley v v v u u v u u v u u v v v u u v v u v 2 u 2 v 2 = u v u v, QED u v 2 BÚNO Důsl: () Nerovost mezi aritmeticým a vadraticým průměrem: u R : Důaz: Zvolíme v=,, T R vůli C u i 2 u i u i = u v u v = u 2 i, QED (2) Norma odvozeá ze SS splňuje trojúhelíovou erovost: uv u v

11 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Důaz: uv = uv uv = u u u v v u v v u 2 2 u v v 2 u 2 2 u v v 2 = u v 2 = u v QED Odboča do aalýzy Obecě je orma ad prostorem zobrazeí V R ) u V : u pozitivost 2) u V : u = u = jedozačost uly 3) u V, a C: a u = a u liearita (?) 4) u, v V : uv u v trojúhelíová erovost Př: jiých orem: L p ormy a R : u p = p stat orma odpovídá p =2 p= u = u i p= u = max u i,, ui p Ortogoalita Dva vetory u a v v prostoru se SS jsou avzájem olmé (začíme u v ), poud platí, že u v = : Každý systém vzájemě olmých vetorů je lieárě ezávislý Důaz sporem: Máme: u,,u : u i u j i j, ale LZ u i = i=2 a i u i u i u j = u a i u i= 2 i = a i u u i = SPOR QED Nechť Z je báze prostoru V se SS taová, že v Z : v = a avíc v, v' Z : v v ' v v' Potom taovou bázi azveme ortoormálí bází prostoru V : Mějme Z ortoormálí bázi prostoru R Pa A= v v A T A=I A je ortogoálí (aalogicy C : A H A = I A je uitárí) Tvrz: Nechť Z=v,, v je ortoormálí báze prostoru V, potom u V : u= u v v u v 2 v 2 u v v Důaz: v,, v je báze, vyjádříme: v = a i v i, chceme uázat: a i = u v i u v i = a j v j= j i v = j= 2 možosti a j v j v i = a i ; možosti: a) <> = pro i j, b) <>= pro i = j Q E D ( ) Pro ortoormálí bázi v,,v a vetor u V se oeficietům u v i říá Fourierovy oeficiety Tvrz: Parsevalova rovost: Je-li Z =v,,v ortogoálí báze prostoru V, potom u, w V : u w = [w] Z H [u] Z Důaz: u = u v i v i ; w = w v i v i u w = u v i v i w v j v j= j = j= u v i w v j v i v j = u v i w v i = [w] H Z [u] Z Q E D Tvrz: Lieárí zobrazeí f :V W mezi prostory s SS se azývá uitárí, poud f zachovává SS u, v V : u v = f u f v Zobrazeí f :V W je uitárí právě dyž pro ormy odvozeé se SS platí: u V : u = f u Důaz: => u = u u = f u f u = f u <= Jao u CS erovosti va w = w =

12 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Uitárí isomorfismus prostorů s SS se azývá ISOMETRIE Nechť V a W jsou prostory s ortogoálími bázemi X=Y, stejé oečé dimeze, potom platí, že f :V W je isometrie právě dyž [ f ] XY je uitárí Nechť W je prostor se SS, V W, a Z =v,, v je ortoormálí báze V Zobrazeí p:w V je defiováo předpisem: pu := u v i v i se azývá ortogoálí projecí prostoru W a V Lemma:Nechť p je ortogoálí projecí W a V, potom u pu v i pro v i Z i v = u v i u v j v j v i = u v i u v i = Q E D Důaz: u pu v i = u u v i Gram-Schmidtova ortogoalizace Vstup: Libovolá váze u,, u prostoru V se SS Výstup: Ortoormálí báze v,, v Algoritmus: pro i:= do opauj { i ) w i := u i j= 2) v i = w i w i j= u i v j v j } Koretost: ) w i v j pro j=i z => w i v j pro i j 2) w i = w i w i = w i w i = 3) spav v i, u i, v i v z lemmatu o výměě Poz, toto je využito ve větě o diagoalizovatelosti hermitovsých matic potřebujeme G-S algoritmus : p(u) je ejbližší bod z u v prostoru V u a = u pu a b a a b b = u pu a b = a b a b = a a a b b a b b a = V Př: pu w Ortogoálí doplě Nechť V je možia vetorů ve vetorovém prostoru W se SS Ortogoálí doplě možiy V je možia: V := {u W : u v v V } Když hledáme řešeí homogeí soustavy, ta hledáme Ax= <=> hledáme r a vůči std SS (4 5 29) : U V U V Důaz: u V u v v V u v v U u U Q E D Nechť V je podprostorem W se SS, potom platí: (a) V je podprostorem W (b) V V ={} Je-li avíc W oečé dimeze: (c) dimv dimv =dimw (d) V = V Důaz: (a) I u, v V, w W : uv w = u w v w = = uv V II u V a u w = a u w = a = a u V I II je podprostorem (b) sporem: dyby u V V, v u V u = spor V Příprava a (c) a (d): Vezmeme ortoormálí bázi X prostoru V a rozšíříme ji a ON bázi Z prostoru W Y =Z X X ={x x } Y ={y y } Cíl: Chceme uázat, že V = spay 2

13 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy ) x i X a y j Y : x i y j y j i x i Y V avíc: w spaw w = w z = j= l l j= l j y j i x i = j = l 2) Libovolé w V vyjádříme jao j= j y j z V : Z = j y j i x i j i y j x i = spay V i x i = w x i = i Z je ON báze V w spay V spay oec přípravy (c) dimv = X ; dimv = Y ; dimw = X Y (d) V = spa Z Y = spa X = V Q E D Tvrz: Pozitivě defiití matice Nechť V prostor se SS a X = y,, y je jeho báze, potom pro matici A defiovaou: a i, j := x i x j platí, že u,v V : u w = [w] H X A [u] X Poz: Je-li X ON báze, je A jedotová Důaz: [u] X =,, u = i x i [w ] X =,, w = i x i u w = i x i j x j = j = j = i j x i x j = [w] X H A [u] X Q E D Jaé vlastosti musí mít A? ) a ij = x j x i = x i x j = a ij A je hermitovsá 2) musí zaručit, že u u = [u] X H A [u] X pro u Užití: Tvrz: Hermitovsá matice A řádu se azývá pozitivě defiití, poud x C { } platí: x H A x V MA vyšetřováí loálích a globálích extrémů fucí více proměých Pro hermitovsou matici A řádu jsou ásledující podmíy evivaletí: a) A je pozitivě defietí b) A má všecha vlastí čísla ladá c) existuje regulárí matice U taová, že A = U H U Důaz: (a=>b) A hermitovsá, vlastí číslo A R, vezmeme vlastí vetor x, aby A x = x (b=>c) (c=>a) x H A x = x H x x H x ze součiu a C: a a A hermitovsá => regulárí R, tž A = R H D R, D diagoálí D: d ij =d ij A = R H D H D R = U H U x H A x = x H U H U x =Ux H Ux U je regulárí ax Pro pozitivě defiití matice existuje jedozačá trojúhelíová matice U s ladými prvy a diagoále taová, že A = U H U, matici U se říá Choleseho rozlad Důaz: algoritmem: Vstup: hermitovsá matice A Výstup: cholesého rozlad, ebo odpověď, že A eí poz defietí Pro i:= do V proveď: { ) U ii := a ii } Q E D = U i U i 2) eí-li u ii R,u ii STOP, A eí pozitivě defietí 3) pro j = (i + ) do u proveď: i { u ij := u ii a ij U i U j } = (předáša 59) Tvrz: Bloová matice A= ah a A je positivě defiití, právě dyž a zároveň A a ah je positivě defiití 3

14 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Poz, Gaussovou elimiací sloupce pod dostaeme a H a A = H a a ah A C Důaz: Nechť x C,x, začme x= x C x x H A x= x, x H ah a A x x =x x H a, x a H x A H x x = =x x x x H ax a H x x H A x x H a a H x x H a a H x = = = x H A a a H x x x H a x a H x, y y C C protože alespoň a jedé straě bude ostrá erovost, jia by muselo platit zároveň x = x= Položíme =e H A e, e =,,, T Pro libovolé x C zvolíme x := a H x, potom platí: = x H A x= x H A a ah A a ah je positivě defiití, QED Důsl: () Positivě defiití matice lze rozezat Gaussovou elimiací (2) Jacobiho podmía: Hermitovsá matice A řádu je positivě defiití, právě dyž mají matice A,, A ladý determiat, de A i vzie z A umazáím posledích i řádů a sloupců Důaz: Apliujeme předchozí tvrzeí reuretě a převedeme do odstupňovaých tvarů Bilieárí a vadraticé formy Nechť V je vetorový prostor ad K a f je zobrazeí V V K splňující axiomy: u, v, w V : f uv,w= f u,w f v, w 2 u, v V K : f u, v= f u,v 3 u, v, w V : f u,vw= f u, v f u, w 4 u, v V K : f u, v= f u,v Potom se f azývá bilieárí formou V Bilieárí forma je symetricá, platí-li u, v V : f u, v = f v,u Zobrazeí g :V K se azývá vadraticá forma, poud existuje bilieárí forma taová, že u V : g u = f u, u Nechť V je vetorový prostor a X = v,, v je jeho báze, pa matice bilieárí formy f vůči bázi X je B, de platí b i, j = f v i, v j a matice vadraticé formy g je matice symetricé bilieárí formy, terá g vytvořuje, poud taová existuje : b i, j = f v i, v j = 2 g v iv j g v i gv j matice vadraticé formy existuje vždy, je-li K charateristiy 2 : Počítáí s maticemi formy: f u, w =[u ] X T B [w ] X, protože f i gu=[u] X T B [u] X a i v i, j b j v j = i j a i b j [ u] X f v i, v j, [ w] X B Pro bilieárí formu f a K je její aalyticé vyjádřeí polyom f x,, x T, y,, y T = x i y j b i, j j = Podobě aalyticé vyjádřeí vadraticé formy vůči daé bázi Sylvesterův záo o setrvačosti vadraticých forem Nechť V je prostor oečé dimeze ad R a g :V R je vadraticá forma Potom existuje báze X taová, že matice g vůči X je diagoálí a prvy a diagoále jsou, - ebo, avíc počet, -, ezávisí a X a je pro všechy vhodé báze stejý (předáša 859) Důaz: (a) existece Zvolíme libovolou bázi Y, sestavíme matici B ' formy g vůči Y Víme, že B ' je reálá symetricá Platí, že aždá symetricá matice A má vlastí čísla reálá a existuje ortogoálí matice R, že A=R D R (záme v hermitovsé verzi) Tedy existuje R, že R B ' R=R T B ' R= D ' Víme, že pro B matici g vůči X a B ' vůči Y platí B=[id ] T XY B ' [id ] XY Zvolíme B, S diagoálí matice, že: d i,i b i,i =, s i, i =d i,i 4

15 Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy d i,i b i,i =, s i,i = d i,i d i,i = b i,i =, s i,i = d i, i d i,i d i, i d i i, S T B S Čili platí R T B ' R= S T B S, S, R regulárí i,i =d d i,i D= D T B=S T R T B ' R S, čili pro bázi X: [id ] XY =R S platí, že matice B formy g vůči X je diagoálí a dle zěí věty (, -, ) Poz, sloupce [id ] XY jsou tvořey souřadicemi vetorů hledaé báze X vůči bázi Y (b) jedozačost: Začeí: g :V R, X =v,, v,y =w,, w dvě báze taové, že matice formy g vůči X, Y jsou B, B' diagoálí ve tvaru (odlišé je délou úseů) Pozorováí: # v B= ra B = B =R T B ' R ra B '= # v B' Zbývá již je hraice /- Ozačme '=ra B =# # Aalyticé vyjádřeí formy g je g u= x 2 x 2 2 x 2 2 r x r x 2 ', de [u] X = x,,x T, r=# v B y 2 y 2 2 y 2 2 s y s y 2 ', de [u] Y = y,, y T, s=# v B' Pro spor ať r s Zvolíme etriviálí z L{v,,v } r L{w s,,w } L dim L =r, dim L 2 = s Víme, že pro U, V platí L 2, dimu dimv =dimlu V dimlu V z L{v,, v r } {} pro [z ] X = x,, x r T je alespoň jedo z x,, x r a zároveň x r,,x = g z z L{w s,,w } {} pro [z ] Y = y s,, y T je alespoň jedo z y s,, y ; y,, y s =, čili = g z = y y s y s y 2 ', SPOR QED Vetoru #,#, # se říá sigatura formy, respetive sigatura symetricé matice, a příslušá báze se azývá polárí báze Úloha: Na závěr, oli lze v R d alézt ejvíce příme, aby aždé dvě svíraly stejý úhel? (poud ědo chce, abych přepsal i tuto úlohu, echť se mi ozve) 5