LABORATORNÍ MODULY katedra fyziky FEL ČVUT v Praze

Transkript

1 LABORATORNÍ MODULY katedra fyziky FEL ČVUT v Praze Sluneční plachetnice Elektrostatický most Magnetické bludiště Dopplerův jev Doppler effect Planckova konstanta Pohyb elektronu Drifty částic Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 PLANCKOVA KONSTANTA MOTIVACE Motivace Na konci 19. století se zdála být situace ve fyzice přehledná. Existovala mechanika, jejíž zákony popisovaly pohyby těles a elektrodynamika, pomocí které se dala spočítat elektrická a magnetická pole vytvořená pohyby nabitých částic. Většina fyzikální komunity se domnívala, že zbývá vysvětlit pár detailů a že veškeré teoretické nástroje k pochopení přírody má lidstvo již k dispozici. Ke čtení Návod Otázky Příklady Další čtení Max Planck, jeden ze zakladatelů kvantové teorie Jenže na přelomu 19. a 20. století se experimentální možnosti zlepšily natolik, že se lidé poprvé dotkli atomární úrovně látky. Vyrojila se řada experimentů, které nebylo možné za pomoci tehdejších teorií vysvětlit. Šlo o záření absolutně černého tělesa, fotoelektrický jev, existenci spektrálních čar nebo samotnou existenci atomu. Postupně se ukázalo, že svět malých rozměrů podléhá jiným zákonům než svět, který běžně vnímáme. Energie a moment hybnosti nemohou v některých situacích nabývat libovolných hodnot, ale jsou kvantovány, běžně používané pojmy, jako je těleso, vlnění, rychlost nebo poloha ztrácí svůj smysl, samotné měření ovlivní měřené objekty, měřením nelze nikdy získat úplnou klasickou informaci o objektech mikrosvěta, objekty mikrosvěta mohou být ve více stavech současně (jako byste byli současně na přednášce a v restauraci) atd. Mikrosvět je zkrátka jiný než makrosvět a ve dvacátém století se zrodila nová teorie vhodná pro popis světa malých rozměrů kvantová teorie. Vždy nám bude připadat, že kvantový svět je podivný, absurdní, zvláštní a mysteriózní. Za miliony let biologického vývoje jsme si zvykli na makrosvět, jevy v mikrosvětě jsou nám cizí a nemáme ani vyvinuté receptory, pomocí kterých bychom tyto jevy mohli přímo vnímat. Většina informací o světě malých rozměrů je jen zprostředkovaná. Nalevo: Jeden z prvních snímků atomů. Jde o povrch krystalického křemíku vyfotografovaný mikroskopem atomárních sil. Oblast má šířku 18 nm. Svience Napravo: Obraz vnitřní struktury molekuly pentacenu (polycyklický aromatický uhlovodík) pořízený mikroskopem atomárních sil. IBM Research, Zurich, U zrodu kvantové teorie stála řada vynikajících fyziků: Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Max Born, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac a další. Každá správná teorie obsahuje jednu jedinou konstantu, která ji fituje na reálný okolní svět. Například v teorii gravitační interakce jde o gravitační konstantu. Na papíře můžeme mít teorii s jakoukoli gravitační konstantou. Můžeme si vymyslet svět, kde je gravitační konstanta obrovská a my vidíme přímo zakřivení časoprostoru a kolem nás se potloukají mraky černých děr. Reálný svět takový není. Z našeho snění se musíme probudit a podívat se z okna jak vypadá skutečný svět, a v naší teorii zvolit takovou hodnotu gravitační konstanty, která odpovídá dění za oknem. Podobně je tomu i s kvantovou teorií. Je postavena na jediné, tzv. Planckově konstantě. Na papíře si můžeme vymyslet kvantovou teorii s jakoukoli Planckovou konstantou. Bude-li dostatečně veliká, budeme vnímat kvantové jevy i v makrosvětě. Když se kolem vás prožene kočka, bude kvantově rozmazaná a nebo se budete moct současně opalovat u moře a ještě přitom sedět v práci a pracovat. Krásný svět, že? Skutečný svět ale takový není. Planckova konstanta je ve skutečnosti menší, než jsme popsali, a většinu kvantových projevů nebudeme v makrosvětě vnímat. A jaká tedy je skutečná hodnota Planckovy konstanty? Její zjištění je vaším úkolem v této laboratorní úloze. A při práci pomyslete i na to, že bez dovednosti využít kvantových jevů bychom neměli žádné elektronické součástky, tedy ani počítače nebo mobily. Neexistovala by jaderná energetika, neuměli bychom využívat supravodivost, neuměli bychom zobrazit tkáně pomocí magnetické rezonance a náš svět by byl mnohem chudší, než ve skutečnosti je.

3 Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

4 PLANCKOVA KONSTANTA KE ČTENÍ Energie Motivace Ke čtení Návod Otázky Příklady Další čtení Slovo energie slýcháme v nejrůznějších souvislostech. Ve fyzice tvoří jeden z deseti základních zákonů zachování, které souvisí s prostoročasovými symetriemi (energie, 3 projekce hybnosti, 3 projekce momentu hybnosti a 3 projekce spinu). Samotná energie souvisí s posunutím v čase. Představte si nějaký experiment, který spustíme v čase t 0. Poté ho za stejných podmínek spustíme o něco později, řekněme v čase t 0+Δt. Pokud dopadne v obou případech experiment stejně, hovoříme o tom, že situace je symetrická vůči posunutí v čase. Jedině v tomto případě platí zákon zachování energie. Příklad: Vodičem protéká konstantní proud. Generuje magnetické pole, ve kterém se pohybuje elektron. Jeho energie se bude zachovávat, neboť nezáleží na tom, zda elektron vypustíme v blízkosti vodiče nyní nebo za okamžik. Pole bude v obou případech stejné. Pokud by vodičem protékal proměnný proud, energie elektronu se zachovávat nebude. Energie v klasické mechanice Najděme energii v nejjednodušším případě při pohybu tělesa v jediné dimenzi v konzervativním silovém poli. Konzervativní pole je takové pole, které lze popsat jednou jedinou funkcí. Síla míří do minima této funkce. Představte si situaci jako hornatou krajinu. Síla míří vždy směrem do údolí. Funkci popisující tvar krajiny nazýváme potenciální energie (W p). Matematické vyjádření skutečnosti, že síla míří do minima potenciální energie má v jedné dimenzi tvar F = W / x. (1) Znaménko minus značí, že síla míří do minima. Ve třech dimenzích bychom měli tři složky síly a derivace potenciální energie podle třech prostorových proměnných (minus gradient). Obecně je potenciální energie funkcí času a prostoru W p= W p(t, x, y, z). Předpokládejme, že situace je symetrická vzhledem k posunutí v čase, potom potenciální energie na čase nezávisí (musí být stejná teď i za chvíli). V jedné dimenzi tedy závisí na jediné proměnné, W p = W p(x). Ve vztahu (1) při derivování není na výběr a parciální derivace se stane úplnou. Druhý Newtonův pohybový zákon (součin hmotnosti a zrychlení tělesa je roven síle) má nyní jednoduchý tvar Jednoduchým přeskupením diferenciálů získáme m (dx/dt)dv = dw, m dv/dt = dw /dx. (2) mv dv = dw, mv 2/2 = W p + const. Poslední provedená úprava je integrace. Z předpokladu existence časové symetrie jsme z Newtonovy pohybové rovnice odvodili zachovávající se veličinu, kterou nazýváme energie: E mv 2/2 + W = const. (3) Energie se skládá z kinetické části závisící na rychlosti a potenciální části závisící na poloze. Tato veličina se zachovává jen tehdy, pokud platí symetrie vzhledem k posunutí v čase, jak tomu bylo v úvodním příkladě. p p p p p

5 Při pohybu těles ve sluneční soustavě je možné používat klasický vztah pro energii. Energie v relativistické fyzice Ve speciální relativitě je celková energie letící částice dána formulí E = γm c ; γ = 1/(1 v /c ). (4) ½ Někdy bývá zvykem kombinaci γm 0 označovat jako pohybovou hmotnost m, není to ale ani nutné, ani zcela korektní. Z relativistické formule je zjevné, že pro urychlení částice s nenulovou klidovou hmotností m 0 na rychlost světla by bylo zapotřebí nekonečné energie, proto se částice s m 0 0 nikdy nemohou pohybovat rychlostí světla. Tou se pohybují jen částice s nulovou klidovou hmotností (například foton). Kinetická energie je v relativitě chápána jako rozdíl celkové a klidové energie: W = γm c m c. (5) k Jak tento vztah souvisí s klasickým vztahem pro kinetickou energii? Postačí provést lineární aproximaci (Taylorův rozvoj do prvního řádu výrazu γ v proměnné v 2/c 2): W = γm c mc = [γ 1]m c = [(1 v /c ) 1] mc [1+v /2c 1]m c = mv/2. k ½ Relativistický vztah tedy zjevně přechází v nerelativistický, je-li rychlost částice malá vzhledem k rychlosti světla. Pro energii je užitečný ještě jeden vztah, kterému se říká Pythagorova věta o energii: E 2 = m c + pc. (6) Veličina p značí hybnost částice. Patrné je, že pro částice s nulovou hmotností (například foton), platí formule E = pc. Stejný vztah lze využít i pro relativistické částice s vysokou energií a hybností, pro které lze hmotový člen v (6) zanedbat. Částice s extrémními energiemi se chovají tak, jakoby měly nulovou klidovou hmotnost.

6 Simulace srážky v detektoru CMS na urychlovači LHC. Při pohybech částic s vysokými rychlostmi je třeba používat relativistické vztahy pro energii. Zdroj: CERN. Energie v mikrosvětě V mikrosvětě počítáme energii objektů z kvantové teorie. Pokud se podle klasické teorie může těleso vzdálit do nekonečna (není vázané na nějakou prostorovou oblast), je jeho energie spojitá. Například elektron, který se volně pohybuje prostorem, může mít libovolnou kladnou energii. Takový elektron není vázán na proton, tj. netvoří atom. Pokud se podle klasické teorie nemůže těleso vzdálit do nekonečna, má jeho energie v mikrosvětě jen diskrétní hodnoty. Příkladem je elektron v atomárním obalu, jehož energie například pro vodík může nabývat pouze hodnot E = E /n 2 ; E = 13,6 ev, n = 1, 2, 3,.... (7) Základní stav (stav s nejnižší možnou energií) má minus 13,6 ev, druhý stav minus 3,4 ev atd. Elektron vázaný v obalu nemůže mít jinou energii, při přeskoku elektronu mezi dvěma hladinami musí být buď absorbován nebo vyzářen foton s energií rovnou rozdílu obou hladin. Pokud elektron získá dostatek energie, může atom opustit s libovolnou kladnou energií (pro E > 0 je spektrum spojité. Jiným příkladem je harmonický oscilátor (objekt v potenciální energii s parabolickým průběhem). Energetické spektrum takového objektu je E = ħω/2 + nħω ; ħ = 1, Js, n = 0, 2, 3,.... (8) n n 1 Základní stav má energii ħω/2, jde o tzv. energii nulových kmitů. Kmity nelze nikdy zastavit, i při absolutní nule konají ionty v krystalu tyto nulové kmity. Rozdíl dvou sousedních hladin je konstantní a roven ΔE = ħω. (9) Energii ħω má i foton úhlové frekvence ω. Energie jednoho jediného fotonu tedy závisí na frekvenci (barvě) fotonu. Energie světla (elektromagnetického záření) dané frekvence je potom násobkem základního kvanta ħω E = nħω, n = 0, 2, 3,.... (10) n 1 Někdy se namísto úhlové frekvence používá frekvence a namísto Planckovy konstanty ħ její starší vyjádření h. Hodnoty se liší faktorem 2π: ħω = hν ; h = 2πħ, ν = ω/2π. (11) Jedna z představ atomu vodíku. Elektron je uvězněn v obalu jako vlna. Může mít jen takové energie, které odpovídají vlně o určitém počtu vlnových délek. Experimenty, které vedly ke kvantové teorii Na přelomu 19. a 20. století se vyrojila řada experimentů, které nebylo možné vysvětlit pomocí stávajících teorií. Všechny postupně vedly k pádu klasické fyziky a vzniku kvantové mechaniky a později kvantové teorie. Připomeňme si některé z nich. Existence atomu. Poté, co Ernest Rutherford ( ) objevil atomové jádro, se fyzikové začali dohadovat, jakým způsobem obíhá elektron kolem tohoto jádra. Věc není tak jednoduchá, jak by se na první pohled zdálo. Představme si, že elektron krouží kolem jádra obdobně jako planeta kolem Slunce. Elektron je ale nabitá částice a při jejím pohybu vzniká magnetické pole. Toto pole bude proměnné

7 s časem a podle klasické elektrodynamiky musí také vzniknout proměnné elektrické pole. Výsledkem je, že elektron kroužící kolem jádra musí vyzařovat elektromagnetické vlny a ztrácet energii. Pohyb se bude ve skutečnosti konat po spirále a elektron po určité době spadne na jádro. Orientační výpočty ukázaly již na počátku 20. století, že k tomu dojde již cca za s. Podle klasické elektrodynamiky by tedy atomy neměly vůbec existovat, neboť elektrony v obalech velmi rychle popadají na jádra. Použití klasických teorií vede k zjevnému nesouhlasu s realitou. Spektrální čáry. Spektrální čáry byly objeveny již velmi dávno. Jako první je pozoroval William Wollaston ( ) v roce 1802 a znovu je ve slunečním spektru objevil Joseph Fraunhofer ( ) v roce Jejich podstata zůstala neznámou až do počátku 20. století, kdy se zrodila kvantová teorie. Elektron nekrouží v atomárním obalu podle představ klasické teorie. Chová se částečně jako vlna a částečně jako částice. Je nemožné definovat jeho polohu a rychlost. V atomárním obalu může mít jen určité hodnoty energie a různým energiím odpovídají různé pravděpodobnosti výskytu elektronu v obalu. Známe jen pravděpodobnosti výskytu, nikoli skutečnou polohu a rychlost. Toto zjištění je přímým důsledkem nekomutativnosti světa na malých škálách. Elektron může mezi energetickými hladinami přeskakovat a přitom buď musí přijmout nebo uvolnit foton s energií rovnou příslušnému rozdílu energetických hladin. Světlo souvisící s přeskoky elektronu v atomárním obalu má proto jen některé přesně definované vlnové délky. Tyto vlnové délky odpovídají spektrálním čarám. Tmavé čáry souvisí s pohlcením fotonu, světlé s emisí fotonu. Fraunhoferovy absorpční čáry ve slunečním spektru. Fotoelektrický jev. Pokud osvítíme světlem povrch kovu, může dojít k vytržení elektronu z atomárního obalu. Podle klasické teorie, ve které je světlo chápáno jako vlnění, by měl být tento jev závislý především na intenzitě dopadajícího světla. Čím vyšší intenzita, tím více vytržených elektronů. Jenže tak tomu není. Světlo se v tomto experimentu chová jako proud fotonů. Pokud foton nemá dostatečnou energii k vytržení elektronu, vytrhnout ho nemůže, byť by fotonů bylo sebevíc (nepomůže zvýšení intenzity). S jedním konkrétním elektronem vždy interaguje jeden konkrétní foton. Má-li dostatečnou energii, vytrhne elektron z obalu a zbytek jeho energie se projeví jako kinetická energie elektronu. Světlo se při fotoelektrickém jevu chová jako by šlo o jednotlivá kvanta energie, kterým říkáme fotony. Fotoelektrický jev objasnil Albert Einstein ( ) v roce 1905 a v roce 1927 získal za tuto práci Nobelovu cenu za fyziku. Vyzkoušejte si základní princip fotoelektrického jevu v následujícím apletu. Vyzkoušejte si změnu vlnové délky světla a jeho intenzity. Také můžete měnit napětí na elektrodách, které ovlivní výsledný elektrický proud v obvodu. Zkuste nastavit napětí tak, aby se proud elektronů zcela zastavil. Povolte spuštění apletu v Javě, kterou musíte mít nainstalovánu. Autorem apletu je Dr. Joe McCullough z Cabrillovy koleje v americké Kalifornii.

8 Záření absolutně černého tělesa. Ideálem zářícího tělesa je tzv. absolutně černé těleso, ve kterém je záření vázáno na objem tělesa a jen nepatrná část je vyzařována povrchem. Takové jsou například hvězdy. Na konci 19. století bylo experimentálně známo, jakým způsobem tělesa září. Teoretické vysvětlení se ale nedařilo nalézt. Až v roce 1900 Planck uhodl správnou křivku pro intenzitu záření v závislosti na jeho frekvenci a po několika měsících se mu podařilo příslušný zákon odvodit i teoreticky, ovšem za předpokladu, že energie záření je kvantována. Záření nemůže mít libovolnou energii, energie je jakoby naporcována vždy je násobkem základního balíčku neboli kvanta. Toto základní kvantum energie je závislé na vlnové délce (frekvenci) záření. Krátkovlnné záření má větší základní kvantum energie, dlouhovlnné menší (E 0 = ħω). Planck chápal kvantování jako matematický předpoklad, který mu umožnil provést výpočet. Nepředpokládal, že by měl hlubší fyzikální smysl. Dnes víme, že energie elektromagnetického pole je skutečně kvantována, základní kvantum energie se projevuje jako částice, které říkáme foton. Planckův vyzařovací zákon. Vlnová délka maxima vyzařování se s rostoucí teplotou posouvá ke kratším vlnovým délkám. Vlnově-částicová dualita. Objekty mikrosvěta se v některých případech chovají jako vlny, v jiných jako částice. Prvním příkladem může být již výše zmíněný fotoelektrický jev, při kterém se světlo chová jako částice. Existují i experimenty, při kterých se elektrony nebo neutrony chovají jako vlny. Vlnových vlastností elektronu se využívá v elektronovém mikroskopu, vlnových vlastností neutronů v neutronové difraktometrii. Neutronové vlny se ohýbající se na krystalické mříži a z charakteristického ohybového obrazce lze usuzovat na vlastnosti krystalu.

9 Na pozadí krystalické struktury MOF5-4H 2 je naměřený ohybový obrazec neutronů. Zdroj: T. Yildirim, M. R. Hartman, NIST Center for Neutron Research. Význam Planckovy konstanty Planckem zavedená konstanta má hodnotu h = 6, Js. Velmi záhy se ale ukázalo, že snadněji lze interpretovat tuto konstantu vydělenou faktorem 2π. Proto byla Paulem Diracem zavedena konstanta ħ h/2π = 1, Js. Značíme ji přeškrtnutým písmenem ħ a říkáme jí nová Planckova konstanta, modifikovaná Planckova konstanta, redukovaná Planckova konstanta nebo Planckova- Diracova konstanta. Fundamentální konstanta. Planckova konstanta je jedinou konstantou kvantové teorie. Její velikost určuje, jak výrazné jsou kvantové efekty. Pokud by byla dosti veliká, mohli bychom kvantové jevy vnímat přímo na ulici. Planckova konstanta je ale ve skutečném světě velmi malá, a proto se kvantové jevy uplatňují především ve světě atomárních rozměrů v mikrosvětě. Kvantum momentu hybnosti. Měříme-li libovolnou složku momentu hybnosti (tzv. projekci), výsledkem měření může být jen celočíselný násobek Planckovy konstanty, tj. b k = mħ, m = 0, 1, 2,... Planckova konstanta tak má význam elementárního kvanta momentu hybnosti.

10 Převodní koeficient mezi vlnovými a částicovými vlastnostmi. Objekty mikrosvěta se z našeho pohledu někdy chovají jako částice popsané energií a hybností (E, p), jindy jako vlnění popsané úhlovou frekvencí a vlnovým vektorem (ω, k). Obě tyto čtveřice jsou z hlediska fyziky tzv. čtyřvektory popisující stejný objekt. Ve vhodné soustavě jednotek budou dokonce totožné. V soustavě jednotek SI je převodním koeficientem mezi částicovými a vlnovými vlastnostmi objektu právě Planckova konstanta: E = ħω, p = ħk. Míra nekomutativnosti. Pokud u objektu mikrosvěta změříte jeho polohu a poté rychlost, dostanete jiný výsledek než při měření v opačném pořadí. Je to způsobeno tím, že sám akt měření ovlivní daný objekt. Jde ale o principiální záležitost. Svět na elementární úrovni nekomutuje, 3 5 není 5 3, AB není BA a při měření polohy a hybnosti XP není PX (X a P jsou symbolicky označeny akty měření). Míra nekomutativnosti mikrosvěta je dána velikostí Planckovy konstanty, platí XP PX = ħ. Míra nepřesnosti měření. Výše zmíněná nekomutativnost způsobí, že zpřesnění měření polohy sníží přesnost měření hybnosti a naopak. Obě veličiny nebudou nikdy současně měřitelné. Mezi střední kvadratickou chybou měření obou veličin platí vztah ΔxΔp ħ/2, kterému říkáme Heisenbergova relace neurčitosti. Planckova konstanta tedy také určuje základní míru nepřesnosti měření způsobenou nikoli experimentem, ale samotnou přírodou. Kvantová teorie Kvantová teorie patří k jedněm z nejméně pochopitelných teorií, které lidé vytvořili. Přesto patří k těm nejúspěšnějším. Důvodem těžké pochopitelnosti je to, že kvantová teorie popisuje svět malých rozměrů, se kterým nejenom že nemáme žádné bezprostřední zkušenosti, ale ani nemáme vyvinuté receptory pro sledování dějů v mikrosvěte. Největší odlišností od našeho světa je nekomutativnost (AB není totéž, co BA). Změříte-li polohu a poté hybnost dostanete jiný výsledek, než kdybyste provedli měření v opačném pořadí. Nekomutativnost je základním principem kvantové teorie. Matematická stavba kvantové teorie musí využívat nekomutující objekty, například matice nebo diferenciální operace. Pro obě struktury je AB BA. Z vlastností těchto objektů se teprve zjišťuje, co je a co není v přírodě měřitelné a jaké má mikrosvět vlastnosti. Nekomutujícími teoriemi byla nejprve nahrazena klasická mechanika, později klasická elektrodynamika a nakonec klasická teorie elektromagnetického pole. Dnes existuje i úspěšná kvantová teorie slabé a silné interakce. Cílem tohoto textu není naučit Vás kvantovou teorii. To je možné jen za mnoho semestrů pilného studia specializovaných přednášek. Cílem je poukázat na některé zvláštnosti (z lidského hlediska) kvantového světa: Dynamické proměnné mohou v mikrosvětě nabývat diskrétních i spojitých hodnost. Možné hodnoty se zjišťují z vlastností nekomutujících objektů, které v kvantové teorii nahrazují dynamické proměnné. Objekty mikrosvěta nejsou částice ani vlny. V některých experimentech se systém chová podobně jako vlna, v jiných obdobně jako částice. Dva stejně připravené experimenty mohou dát dva různé výsledky. Kvantová teorie nám předpovídá jen pravděpodobnost naměření určitého výsledku, za předpokladu, že provedeme mnoho opakovaných experimentů. Objekty mikrosvěta mohou být ve více stavech naráz, hovoříme o tzv. superpozici stavů. Teprve aktem měření zaujme objekt jeden konkrétní stav. Akt měření ovlivní měřený objekt. Objekt je po provedení měření v jiném stavu než před měřením. Kvantová teorie je jedinou teorií, jejíž součástí je měření samotné. V přírodě nelze ani zvyšováním přesnosti měření získat veškeré informace o objektu. Nikdy nemůžeme současně určit například polohu a hybnost objektu. Zpřesnění jednoho měření vede na snížení přesnosti druhé veličiny. Jde o základní vlastnost přírody, kterou nelze naší snahou ovlivnit. V mnoha systémech není nejnižší možná energie nulová, ale má nenulovou hodnotu. Příkladem může být harmonický oscilátor, kmity krystalů nebo energie vakua. Kromě orbitálního momentu hybnosti (spojeného s rotačním pohybem objektu) mají objekty mikrosvěta ještě vnitřní moment hybnosti (tzv. spin), který se s orbitálním momentem skládá. Pravděpodobnost výskytu objektu v harmonickém oscilátoru aplet

11 Aplet simuluje kvantovou pravděpodobnost výskytu částice v harmonickém oscilátoru, poloha je na vodorovné ose. Jezdci nalevo si můžete volit zastoupení jednotlivých stacionárních stavů. Tlačítko RUN spustí časový vývoj. Nastavte si vhodnou rychlost animačního vlákna. Vyzkoušejte si zejména jeden vytažený jezdec jde o stacionární stav, který se s časem nevyvíjí. Dva vytažené sousední jezdce jde o kvazičástici přelévající se ze strany na stranu v zadaném potenciálu. Tlačítkem STOP animaci zastavíte a můžete ji krokovat podle nastaveného časového kroku. Autorem apletu je Ondřej Pšenčík (FEL ČVUT)

12 PLANCKOVA KONSTANTA OTÁZKY Vyplňte prosím následující jednoduchý test, který ověří, zda jste porozuměli významu Planckovy konstanty. V jedné otázce může být i několik správných odpovědí nebo nemusí být správná žádná. Po vyplnění stiskněte tlačítko Odeslat. Motivace Ke čtení Návod Otázky Příklady Další čtení 1. Kvantová mechanika vznikala ve století osmnáctém devatenáctém dvacátém 2. Kvantum je uspořádaná pětice dále nedělitelné množství veličiny matematický operátor 3. Planckova konstanta má význam kvanta energie kvanta projekce momentu hybnosti kvanta hybnosti 4. Vytržení elektronu při fotoelektrickém jevu je možné vždy dosáhnout zvýšením intenzity světla ano ne 5. Při fotoelektrickém jevu se světlo chová jako částice vlnění vlnění i částice 6. Neutron se chová vždy jako vlna vždy jako částice někdy jako vlna a někdy jako částice 7. Podstatu fotoelektrického jevu objasnil Albert Einstein Mac Planck Erwin Schrödinger 8. Elektron má energetické spektrum spojité diskrétní záleží na situaci 9. Při měření v mikrosvětě ovlivňujeme samotné objekty nemůžeme dosáhnout libovolné přesnosti měření polohy ovlivní měření hybnosti 10. V mikrosvětě platí objekt může být v superpozici dvou stavů objekt může být v superpozici tří stavů stejný experiment musí dopadnout stejně komutativní zákon Odeslat Obnovit

13 PLANCKOVA KONSTANTA PŘÍKLADY V této části budete řešit složitější úlohy, než byly v sekci otázky. Příklady jsou řazeny zhruba podle rostoucí obtížnosti. Pokuste se každý příklad řešit nejprve obecně a teprve do nalezeného vztahu dosaďte konkrétní číselné hodnoty. Motivace Ke čtení Návod Otázky Příklady Další čtení Příklad 1 Určete kvantum energie fotonu, který má vlnovou délku 700 nm J J J Příklad 2 Elektron je lokalizován v atomárním obalu o rozměrech m. Jaká je neurčitost v určení jeho rychlosti? 5,8 103 m/s 5,8 105 m/s 5,8 107 m/s Příklad 3 Nalezněte vlnovou délku vodíkové čáry Hα (přechod ve vodíku z hladiny n = 3 na hladinu n = 2) 456 nm 556 nm 656 nm Příklad 4 Elektromagnetické záření o vlnové délce 436 nm dopadá na povrch lithia, které je umístěno ve vakuu. Výstupní práce lithia je A = 3, J. Určete maximální rychlost emitovaných elektronů. 3,9 105 m/s 4,9 105 m/s 5,9 105 m/s Příklad 5 Určete v předchozím příkladu maximální vlnovou délku záření, které ještě bude emitovat elektrony z kovu. 480 nm 500 nm 520 nm Příklad 6 Nalezněte maximální možnou (teoretickou) rozlišovací schopnost elektronového mikroskopu. Elektrony jsou urychleny potenciálovým rozdílem 104 V. Uvažujte, že rozlišovací schopnost je dána vlnovou délkou elektronu m m m Odeslat Obnovit

14 PLANCKOVA KONSTANTA DALŠÍ ČTENÍ Minulost a současnost kvantové teorie Motivace Ke čtení Návod Otázky Příklady Další čtení Kvantová teorie zaznamenala za více než sto let své existence bouřlivý rozvoj. Z počátku s rozpaky přijímaná konstrukce se stala později základem současné úspěšné teorie tří ze čtyř známých interakcí elektromagnetické, silné a slabé. Kvantový svět ovládl prostřednictvím elektronických součástek naše domácnosti, automobily i mnohá povolání. Kvantové jevy ale ovlivňují i vesmír jako celek. Před půl stoletím by málokterý fyzik sázel na to, že by kvantová teorie mohla mít na vývoj vesmíru nějaký vliv. Dnes víme, že v prvních okamžicích vesmíru dominovaly kvantové jevy a v nynějším období jsou kvantové jevy možná zodpovědné za jeho zrychlenou expanzi. Pojďme se stručně seznámit s nejzávažnějšími okamžiky ve vývoji kvantové teorie. Počáteční období Za zrod kvantové mechaniky lze považovat rok 1901, kdy německý fyzik Max Planck publikoval správnou podobu vyzařovacího zákona. Souladu s experimentem dosáhl jedině tak, že zavedl kvantování energie. Tento předpoklad sám Planck považoval jen za matematický trik, nicméně v roce 1905 objasnil Albert Einstein fotoelektrický jev podobným způsobem. Předpokládal, že světlo jsou částice, neboli energetická kvanta, která jsou zodpovědná za uvolnění elektronu z povrchu materiálu. V roce 1913 představil světu dánský fyzik Niels Bohr svůj model atomu. Elektrony se v něm mohou vyskytovat jen na některých drahách daných Bohrovou kvantovací podmínkou. Z dnešního pohledu jde o kvantování orbitálního momentu hybnosti elektronu. Počáteční období náhodných doteků s kvantovým světem končí v roce 1924, kdy francouzský fyzik Louis de Broglie objevuje vztah mezi vlnovou a částicovou povahou objektů mikrosvěta, tzv. vlnově-částicovou dualitu. Prvních čtvrt století kvantové teorie bylo obdobím tápání a hledání mnohdy nejasných souvislostí. V roce 1925 předložil světu Werner Heisenberg první ucelenou kvantovou mechaniku založenou na maticích a o rok později rakouský fyzik Erwin Schrödinger našel rovnice kvantové mechaniky založené na parciální diferenciální rovnici pro tzv. vlnovou funkci. Po období tápání se objevily hned dvě teorie a obě dávaly pro mechanické úlohy shodné výsledky. Zanedlouho se ukázalo, že obě teorie jsou ekvivalentní a že jen jiným způsobem realizovaly nekomutativnost přírody na malých rozměrech. Heisenberg jako nekomutující objekty použil matice a Schrödinger diferenciální operace. Ve stejné době byl také objeven spin částic (Stern, Gerlach, 1925) a relace neurčitosti (Heisenberg, 1927). Základy kvantové mechaniky byly dobudovány a nová fyzikální disciplína začala své vítězné tažení moderní fyzikou. Orbitaly atomu vodíku pravděpodobnosti výskytu elektronu v obalu atomu vodíku vypočtené z kvantové mechaniky pro různé kvantové stavy elektronu. Kvantová elektrodynamika (QED) Dosavadní rovnice kvantové mechaniky nebyly relativistické. Správnou relativistickou rovnici pro elektron odvodil Paul Dirac v roce Téhož roku předpověděl na základě své rovnice existenci pozitronu, antičástice k elektronu a o rok později vyslovil předpoklad, že by každá částice měla mít svou antičástici, která bude mít veškeré kvantové náboje opačné. Diracův pozitron byl objeven až roky po předpovědi v roce Karl Anderson ho našel v sekundárních sprškách kosmického záření. Diracova rovnice v sobě automaticky jako první rovnice také zahrnovala správný popis spinu elektronu. V roce 1948 se podařilo vnitřně bezesporně přidat do Diracovy rovnice pro elektron také elektromagnetické pole. Vznikla tak jedna jediná soustava rovnic, která řešila jak pohyb elektronu, tak genezi elektromagnetických polí. Šlo o první kvantovou polní teorii vůbec. U jejího zrodu stáli

15 Američané Richard Feynman a Julian Schwinger a japonský fyzik Sin-Itiro Tomonaga. V jedné jediné konstrukci se jim podařilo spojit speciální relativitu, Diracovu rovnici a rovnici pro elektromagnetické pole. Kvantová (nekomutující) podoba Maxwellových rovnic byla na světě. V klasické fyzice je rovnice pro pohyb částic (Lorentzova rovnice) oddělená od rovnic pro částicí vytvářené pole (Maxwellovy rovnice). V kvantové teorii se podařilo poprvé vytvořit na základě vnitřních symetrií jediný nedílný celek, kvantovou elektrodynamiku (QED). Richard Feynman převedl strohý matematický zápis rovnic na jednoduchou obrázkovou interpretaci, tzv. Feynmanovy diagramy. Tato technika značně urychlila komplikované výpočty. Kvantová elektrodynamika se také po svém vypořádala s vysvětlením pojmu síla. Síla působící mezi nabitými částicemi je zde způsobena výměnou polních částic fotonů. Richard Feynman se svými diagramy na americké známce z roku Teorie slabé interakce (QFD) a teorie silné interakce (QCD) Kvantová teorie elektromagnetického pole byla natolik úspěšná, že fyzikové začali hned hledat obdobný popis ostatních interakcí. Teorii slabé interakce se říká kvantová teorie vůně (vůní nazýváme náboj slabé interakce), zkratku má QFD (Quantum Flavour Dynamics). Polní výměnné částice slabé interakce jsou tři: nabité částice W +, W (zkratka z anglického Weak slabý) a nenabitá částice Z (z anglického slova Zero s nulovým nábojem). Počátky teorie slabé interakce sahají do 60. let 20. století. V roce 1964 navrhnul skotský fyzik Peter Higgs mechanizmus, za pomoci kterého získají polní částice správnou hmotnost. Znamená to ovšem zavedení Higgsova pole resp. Higgsovy částice, která dosud nebyla nalezena. V roce 1968 se podařilo sjednotit elektromagnetickou a slabou interakci do jediné elektroslabé interakce. Nejvíce k tomu přispěli američtí teoretici Steven Weinberg a Sheldon Glashow a pákistánský teoretik Abdus Salam. Předpovězené polní částice byly objeveny na přelomu let 1983 a 1984 v evropském středisku jaderného výzkumu CERN. Slabá interakce je krátkého dosahu (10 18 m), typickým příkladem je beta rozpad nebo první reakce protono-protonového fúzního řetězce ve Slunci. Silná interakce drží pohromadě atomové jádro. Také jde o sílu, která drží pohromadě kvarky uvnitř protonu nebo neutronu. Silná interakce má krátký dosah (10 15 m) a její intenzita roste se vzdáleností, tj. na vzdálenostech kratších než m téměř nepůsobí, na vzdálenostech větších je natolik enormní, že z protonu nebo neutronu není možné oddělit kvark tak, aby byl volný. Kvantová teorie silné interakce se nazývá kvantová chromodynamika (QCD, Quantum Chromo Dynamics). Polními částicemi jsou gluony. Nábojem silné interakce je barva. Barevný náboj mají i samotné polní částice. To je nejpodstatnější rozdíl od elektromagnetické interakce, u které fotony nemají náboj interakce (elektrický náboj). První verze teorie silné interakce pocházejí již ze 30. let 20. století. Kvantová chromodynamika, jak ji dnes známe, ale vznikla až na počátku 70. let 20. století. U jejího zrodu stáli američtí teoretici Frank Wilczek, David Politzer a David Gross.

16 Feynmynovy diagramy některých slabých a silných procesů. Současnost Současný stav fyziky je neradostný. Jedna ze čtyř interakcí gravitační je popsána obecnou relativitou, která nahrazuje sílu zakřivením času a prostoru. Ostatní tři interakce elektromagnetická, silná a slabá jsou popsány kvantovou teorií, která nahrazuje sílu polními částicemi. Interakci mezi dvěma objekty si v kvantové teorii pole můžete představit jako dva trpaslíčky, kteří si pinkají pingpongovou pálkou mezi sebou polní částici. Cílem současných snah je najít jednu jedinou teorii, ve které by zůstal jak zakřivený časoprostor, tak výměnné částice. K zatím nejúspěšnějším pokusům patří strunové teorie, které si představují částice jako různé mody jednorozměrných útvarů (strun) vibrujících v mnohorozměrném světě. Teprve budoucnost ukáže, zda tyto pokusy jsou správné či nikoli. Teorie všeho by měla využít jak výměnné polní částice, tak zakřivený prostoročas. Kresba Ivan Havlíček. Superpozice stavů Superpozice stavů a dvojštěrbina Už se Vám podařilo být na dvou místech naráz? Třeba ve škole a v hospodě s přáteli? Ne? Ve světě malých rozměrů to možné je. Objekty mikrosvěta mohou být ve dvou nebo více stavech současně. Objekty jsou v tzv. superpozici stavů a teprve při aktu měření získá objekt určitý (tzv. ostrý) definovaný stav. Asi nejznámější je experiment s dvojštěrbinou. Pokud budeme na dvě štěrbiny střílet klasickými objekty, objeví se na zdi za štěrbinou dvě výrazná maxima (jsou proti štěrbinám):

17 Klasické objekty na dvojštěrbině. Coloradská univerzita v Boulderu, projekt Physics Tento výsledek pravděpodobně nikoho nepřekvapí. Pokud budeme mít k dispozici elektronové dělo a budeme na dvě štěrbiny posílat elektrony, bude výsledek úplně jiný. Každý elektron sice dopadne do konkrétního místa na stínítku, ale počkáme-li si dostatečně dlouho, vytvoří místa dopadu soustavu proužků, která odpovídá interferenčnímu obrazci, jenž by vytvořilo vlnění (například světlo). Jak je to možné? Elektron jakožto objekt mikrosvěta využije současně všechny možnosti, jak se dostat přes štěrbiny. Elektron bude v superpozici dvou stavů: stavu, že prošel první i druhou štěrbinou. Skutečně bude jakoby na dvou místech naráz! Amplitudy pravděpodobností obou stavů se budou na stínítku sčítat. Někdy se zesílí, jindy vyruší. To je hlavní rozdíl mezi oběma situacemi. U kuliček se sčítají pravděpodobnosti, u kvantových objektů amplitudy pravděpodobnosti (pravděpodobnost je pak druhou mocninou tohoto součtu). Interferenční obrazec zmizí, pokud budeme schopni nějakým způsobem určit, kterou štěrbinou elektron prošel (například budeme mít v blízkosti štěrbin nějaký detektor). V takovém případě se elektrony budou chovat jako obyčejné kuličky. Vyzkoušejte si situaci v následujícím apletu. Nastavte nejprve jezdcem vzdálenost štěrbin na nějakou malou hodnotu. Poté zapněte spínač a sledujte luminofor, na který dopadají elektrony. Po určité době vytvoří místa dopadu svislé interferenční proužky. Každý zelený bod na luminoforu postupně pohasíná, takže můžete pohybem jezdce měnit za chodu vzdálenost štěrbin. Pokud chcete mít luminofor čistý, přístroj vypněte a chvilku počkejte. Aplet byl vytvořen na Coloradské univerzitě v Boulderu v rámci projektu Physics Superpozice kvantových stavů se využívá v různých zařízeních. Nejznámějšími jsou stále ještě připravované kvantové počítače, ve kterých objekty mikrosvěta ponesou informaci jako superpozici několika stavů a teprve při aktu měření se dozvíme konkrétní hodnotu. Paralelismus výpočtu tak bude zabudován přímo v základu tohoto počítače budoucnosti. Ukažme si ale jinou, neméně zajímavou aplikaci. Měření zakřivení času Podle obecné relativity každé těleso zakřivuje prostor a čas kolem sebe. I naše Země zakřivuje čas a ten jde jinak při povrchu Země a jinak na oběžné dráze. Polohovací systém GPS musí provádět korekce času na obecnou relativitu, jinak by se určení polohy za 24 hodin rozešlo o deset kilometrů. Zakřivení času naší Zemí poprvé měřili Robert Pound a Glen Rebka v roce 1965 na Harvardu, rozdíl výšek byl dán velikostí věže v Jeffersonově laboratoři (23 metrů). Předpověď obecné relativity tehdy ověřili s přesností 10 %. Dosáhnout vyšší přesnosti znamenalo zvětšit rozdíl výšek. V roce 1971 provedli Joseph Hafele a Richard Keating experiment s cesiovými hodinami, jedny byly v laboratoři a druhé v dopravním letadle v desetikilometrové výšce. Předpověď obecné relativity ověřili s přesností 1 %. V roce 1976 se konal raketový experiment Gravity Probe A. Jako hodiny sloužil vodíkový maser (obdoba laseru v mikrovlnné oblasti), jenž byl na palubě rakety vystřelen do výšky km. Změna chodu času byla ověřena s přesností 0,01 %. V roce 2010 přišla naprostá revolce v měřeních tohoto typu. K testování zakřivení času byl použit shluk ultrachladných cesiových atomů. Za pomoci laseru byly vychýleny ve svislém směru o pouhou desetinu milimetru. Shluk atomů se ocitnul v kvantové superpozici původního stavu a stavu posunutého o 0,1 mm. To neznamená, že by některé atomy zůstaly dole a jiné byly o 0,1 mm výše. Superpozice znamená, že každý z atomů byl současně v obou stavech a interferoval sám se sebou (jedna vlna odpovídá původnímu stavu a druhá posunutému stavu). Z této interference byla změřena změna chodu času způsobená Zemí na pouhé desetině milimetru. Obecná relativita byla při tomto

18 měření ověřena s přesností 10 7 %! Prohlédněte si optickou lavici, na které byla prováděna tato měření budoucnosti. Na experimentu se podíleli Kalifornská univerzita v USA a Humboldtova univerzita v Německu. Optická lavice, na které se uskutečnil přelomový experiment. Patrná je řada optických elementů. Kde končí kvantový svět? Elektron je zcela nepochybně částice kvantového světa se všemi svými podivnými vlastnostmi někdy se chová jako částice, jindy jako vlna, může být v několika stavech naráz atd. Pokud mu dáme do cesty dvě štěrbiny, neprojde jednou z nich, jako částice makrosvěta. Využije superpozice stavů a projde oběma štěrbinami naráz. Oba stavy budou poté interferovat, a tak elektron vlastně interferuje sám se sebou. Na stínítku se po dopadu mnoha elektronů objeví interferenční obrazec. Budete-li na dvojštěrbinu házet klasické kamínky nebo kuličky, objeví se na stínítku jen dvě maxima (proti každé štěrbině). Kamínek nemůže být v superpozici stavů a nemůže interferovat sám se sebou. Elektrony na dvojštěrbině. Pokud vysíláme dostatečný počet elektronů, místa jejich dopadu nebudou proti štěrbinám, jako u klasických kuliček, ale vytvoří proužky obdobné interferenčnímu jevu u vlnění. Tyto proužky nezmizí, ani když bude proud elektronů natolik řídký, že bude v prostoru detektoru v daném okamžiku maximálně jeden jediný elektron. Naopak proužky zmizí, existuje-li principiální možnost detekce polohy elektronu. Kde je hranice mezi oběma světy? Do jakých rozměrů se částice chovají kvantově, interferují samy se sebou a jsou (pro nás) podivnými objekty mikrosvěta? A kdy nastoupí klasické chování, které je nám tak důvěrně známé? Experimenty prováděné Antonem Zeilingrem a jeho kolegy z Vídeňské univerzity

19 kolem roku 2005 ukázaly, že žádná ostrá hranice neexistuje. Vědci prováděli experimenty prováděly s obřími molekulami, které procházely Talbotovým interferometrem (štěrbin je zde větší množství). Největší molekula C60F 48 v sobě měla nukleonů. Ukázalo se, že schopnost interferovat sama se sebou tato molekula měla jen tehdy, pokud nijak neinteragovala s okolím a nebylo principiálně možné zjistit její polohu (kterou štěrbivou prošla). Interferenční obrazec mizel s poklesem tlaku v aparatuře (nebylo možné detekovat polohu obřích molekul z odrazu atomů atmosféry od těchto molekul). Interferenční obrazec také mizel s poklesem teploty. Při nízkých teplotách již molekula nevysílala žádné fotony, ze kterých by se dalo určit, kde se nachází. Závěr je jednoduchý. Objekty se chovají kvantově, pokud nemohou interagovat s okolím, a klasicky, pokud interagují s okolím (říkáme, že mají propletené stavy s okolím). Pokud tedy chcete, aby se váš kamarád choval kvantově, stal se vlnou a interferoval sám se sebou, musíte ho zamrazit téměř na absolutní nulu (nebude již vysílat žádné fotony) a dát do vakua, kde s ním nebudou interagovat žádné molekuly okolních plynů. V tu chvíli nebudete mít s kamarádem žádnou interakci a nebudete vědět, kde je. Začne se chovat jako kvantový objekt, bude interferovat sám se sebou a klidně projde i více štěrbinami naráz. Zeilinger používal ke svým experimentů molekuly nejrůznějších tvarů a velikostí. Absolutní nula a kvantové vakuum Absolutní nula Přemýšleli jste někdy o tom, co je to absolutní nula? Jde samozřejmě o nejnižší možnou teplotu, které nelze dosáhnout konečným počtem kroků, ale lze se jí libovolně přiblížit. Samotná teplota je mírou neuspořádaného pohybu atomů nebo molekul. Čím teplejší těleso, tím divočeji atomy a molekuly v látce kolotají. A naopak, čím chladnější těleso, tím méně je v něm chaotického pohybu. Logicky by se zdálo, že absolutní nula je stav božského klidu a míru, při kterém se atomy a molekuly nepohybují. Jenže chyba lávky. Takový stav by odporoval zákonům kvantové teorie. Podle Heisenbergových relací neurčitosti nemůžeme nikdy poznat současně polohu a hybnost objektu mikrosvěta. Pokud budeme například ochlazovat krystalickou látku a ionty v krystalech by se přestaly pohybovat, znali bychom přesně jak jejich polohu (ve vrcholu krystalové mříže), tak jejich hybnost (nulovou). To ale není možné. Ionty, atomy a molekuly konají i při absolutní nule určitý pohyb, tzv. nulové kmity. Absolutní nula tedy není stav bez pohybu, ale stav látky s nejmenším možným množstvím pohybu, které nám dovolí zákony kvantové teorie. Tento stav má teplotu 273,15 C neboli 0 K. Reliktní záření, které se ve vesmíru oddělilo od látky na konci plazmatické éry, má teplotu pouhé 2,73 K. Hluboké pustiny vesmíru vyplněné tímto zářením jsou tedy velmi chladné. Evropská sonda Planck, která toto záření pozoruje má ohnisko chlazené na pouhou desetinu stupně nad absolutní nulou, tj. 0,1 K. V blízkosti absolutní nuly má mnoho látek pro nás extravagantní vlastnosti, mohou být například supravodivé nebo supratekuté. Za nízké teploty se některé látky chovají jako supratekutiny. Pro jednotlivé atomy s celočíselným spinem neplatí Pauliho vylučovací princip. Všechny atomy se nacházejí v jednom jediném stavu, což jim umožní současně protéct i tou nejjemnější kapilárou, byť by měla průměr jediného atomu. Vakuum Podobně, jako nelze u částice současně poznat její polohu a hybnost, není možné současně změřit hodnotu pole a jemu přidružené hybnosti (tzv. kanonicky sdružené hybnosti). Stejný princip (relace neurčitosti), který znemožnil, aby při absolutní nule ustal veškerý pohyb, neumožňuje, aby ve vakuu nebyla žádná pole. Ve vakuu nalezneme nenulové fluktuace elektromagnetických i dalších polí. Vakuum není stav s nulovou energií všech polí, ale s nejnižší možnou hodnotou energie, kterou dovolí zákony kvantové teorie. Přítomnost fluktuací polí ve vakuu způsobuje dočasný vznik a zánik párů částice-antičástice. Tyto virtuální páry způsobují polarizaci vakua, stínění elektrického náboje i další jevy. Světlo se nešíří prázdným prostorem, jak se předpokládalo před nástupem kvantové teorie.

20 Kvantové vakuum je také jedním z možných kandidátů na temnou energii, entitu, která je zodpovědná za zrychlenou expanzi vesmíru objevenou v roce Vakuum není z pohledu kvantové fyziky prázdnota, ale netriviální dynamický systém. Kvantové vakuum je plné fluktuací polí.