MATEMATIKA KŘIVEK. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Ivo Volf. Úvod- proč se zabývat křivkami 4

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA KŘIVEK. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Ivo Volf. Úvod- proč se zabývat křivkami 4"

Transkript

1 MATEMATIKA KŘIVEK Studijní tet pro řešitele FO a ostatní zájemce o fziku Miroslava Jarešová Ivo Volf Obsah Úvod- proč se zabývat křivkami 4 1 Základní pojm Křivostkřivk Příklad1 výpočetkřivostikružnice Oskulačníkružniceapoloměrkřivosti Výpočetstředukřivosti Příklad2 výpočetpoloměrukřivostihperbol Cvičení Křivka a její rovnice 12 Příklad3 kardioida Cvičení Délka křivk Obecnárovnicekřivk Parametrickérovnicekřivk Příklad4 délkaasteroid Příklad5 délkackloid Polárnírovnicekřivk Příklad6 délkakardioid Cvičení Obsah oblasti Obecnárovnicekřivk Parametrickérovnicekřivk Příklad7 plochackloid Polárnírovnicekřivk Příklad8 Descartůvlist Cvičení

2 5 Kuželosečk a Cassiniho ovál Elipsaahperbola Parabola Polárnírovnicekuželoseček Zajímavostizhistoriekuželoseček Cassinihoovál Zajímavostizhistorie Cassinihooválzmatematickéhopohledu Bernoulliholemniskáta Spirál Historieaužití Matematickévjádřeníspirál Archimédovaspirála Logaritmickáspirála Hperbolickáspirála Fermatovaspirála Lituuovaspirála Sinováspirála Cklické křivk Historieckloid Ckloid Prostáckloida Příklad9 ckloidálníkvadlo Zkrácenáckloida Prodlouženáckloida Epickloidahpockloid Parametrické rovnice epickloid a hpockloid Rhodoneakřivk Evolventa Algebraické křivk Dioklovakisoida Descartůvlist Nikomédovakonchoida Pascalovazávitnice(limacon) Strofoida

3 9 Další křivk Řetězovka(catenar) Traktri Příklad1 rovnicetraktri Klotoida Výsledk cvičení 63 Literatura 64 3

4 Úvod- proč se zabývat křivkami Pojem křivka je jeden z nejdůležitějších matematických pojmů. Je také zároveň jedním z těch matematických pojmů, které se nejčastěji vsktují v aplikacích v denním životě. Přestože je tento pojem velmi důležitý, jeho objasnění se s vývojem různých vědních oborů neustále zpřesňuje. Z hlediska fzik je zajímavá např. charakterizace křivk jako trajektorie pohbujícího se bodu. Z hlediska této charakteristik je ted možno říci, že křivka je trajektorie, kterou proběhne v určitém časovém intervalu bod, který se spojitě pohbuje, neboli jinak řečeno(pojmeme-li charakteristiku křivk z hlediska matematik jako zobrazení), že křivka je spojitým obrazem úsečk. Při používání této definice křivk se ale ukázalo(z hlediska matematik), že tato definice je příliš široká. Italský matematik Peano ukázal již v roce 189, že eistuje spojité zobrazení úsečk na čtverec, jinými slov, že dráha hmotného bodu, který se spojitě pohbuje, může vplňovat celý čtverec. Toto spojité zobrazení ale není vzájemně jednoznačné, tj. pohbující se bod projde některými bod čtverce několikrát. Modernější(přesnější) definici křivk podal rakouský matematik Menger v roce 1921 a nezávisle na něm téměř současně sovětský matematik Ursohn. Jejich definici lze uvést asi takto: křivka je kontinuum, jehož libovolné dva bod se dají oddělit množinou neobsahující již žádné kontinuum. Vývoj pojmu křivka ovšem tímto zdaleka nekončí, charakteristika pojmu křivka se neustále zpřesňuje. V současné době se definice křivk provádí pomocí tzv. variet. Toto bl pouhý nástin historického vývoje tohoto pojmu, jehož počátk zasahují do starověkého Řecka. Cílem tohoto tetu ale není rozbor tohoto pojmu, ale zaměřit se spíš na konkrétní křivk, napsat jejich rovnice, podat stručnou informaciohistoriikřivek vtvořitpřírůčkuvesmslu průvodcekřivkami. Vzhledemkomezenémurozsahutetusejednávtéto papírové podoběpouze o matematický popis a přehled. Podstatně více k těmto křivkám je obsaženo na přiloženémcdromu,kdejeipřehledaplikacívefziceivpraktickémživotě, jsou zde i v podstatně větší míře řešené úloh týkající se jednotlivých křivek, na CD ROMu jsou obsažen i animace a možnost modelování jednotlivých křivek pro různé hodnot parametrů pomocí předem připravených programů. NaCDROMujsoutakédáleuvedendalšíčástiMatematikprofzikutet Funkce, Diferenciální počet, Integrální počet, Diferenciální rovnice, Vektor,skalár...aSouřadnicevefzice. 4

5 1 Základní pojm V této části si vmezíme základní pojm, se kterými budeme v dalších kapitolách dále pracovat. 1.1 Křivost křivk Křivost křivk je jedním z prvků, které charakterizují křivku. Jinak řečeno je to také zakřivení křivk v různých bodech. Připohbuodjednohobodukřivk M kedruhému M sebudesoučasnětaké α měnit poloha tečn ke křivce: tečna se bude otáčet. Toto odlišuje křivku od přímk,jejížtečnasnísplývávevšech P jejích bodech ted přímka a tečna P mají stejný směr. Čím bude větší úhel, okterýseotočítečnapřipřechoduod bodu Mdobodu M křivk,tímvícese N také bude lišit oblouk křivk od přímk, M a tím větší bude také zakřivení křivk. M Zakřivení oblouku však nelze charakterizovatjenúhlem,okterýseotočítečna křivk při přechodu z jednoho krajního bodu oblouku do druhého krajního bodu. Na obr. 1 jsou nakreslen dva oblouk PP a MM,jejichžzakřivení jsourůzná,aleúhel,okterýseotočí Obr. 1 Zakřivení křivk tečna, je stejný. Z toho vplývá, že chceme-li stanovit míru zakřivení oblouku dané křivk, jenutnéuvažovattakéjehodélku.zobr.1jepatrné,žepřistejnémúhlu, okterýseotočítečna,jezakřivenítímvětší,čímkratšíjedélkaoblouku. Ukazuje se jako přirozené definovat průměrnou křivost oblouku křivk jako poměr úhlu tečen v krajních bodech oblouku k délce oblouku, neboli jako úhel, okterýseotočítečnakřivknajednotkovédélceoblouku(úhel αjevžd v obloukové míře): průměrnákřivostoblouku MM je α MM. Ilustrujme nní výše uvedený postup na výpočtu průměrné křivosti kružnice o poloměru R. 5

6 α A A α Prokaždýobloukkružnicejeúhel αtečenkekružnici v krajních bodech oblouku roven úhlu poloměrů vdotkovýchbodech(obr.2).délkaoblouku AA je αr, takže průměrná křivost oblouku je stejná ve všech jejích částech a je rovna α αr = 1 R. Obr. 2 Průměrná křivost kružnice Dostali jsme, že průměrná křivost kružnice je převrácená hodnota poloměru, a je ted nepřímo úměrná poloměru kružnice. Na základě výše uvedených úvah můžeme ted říci, že průměrná křivost charakterizuje celkové zakřivení oblouku. V různých částech oblouku ale může být zakřivení různé, což je vidět např. naobr.1,kdječást MNoblouku MM vícezakřivenanežčást NM. Můžeme ted říci, že průměrná křivost bude tím přesněji charakterizovat zakřivení oblouku křivk v různých bodech, čím menší bude délka oblouku. Analogick, jako se provádí ve fzice přechod od rchlosti průměrné k rchlosti okamžité, lze provést limitní přechod od křivosti průměrné ke křivosti v bodě, tj. K= lim MM α MM. V dalším postupu odvodíme vzorec pro výpočet křivosti K v bodě. Předpokládejme, že křivka je dána rovnicí = f(). Budeme-li hledat křivost v bodě, musíme kromě rovnice křivk ještě znát souřadnice bodu této křivk. To znamená, že mámeli odvodit vzorec pro výpočet křivosti K, potřebujeme vjádřit limitu α lim MM MM pomocísouřadnic, bodu Mkřivk,přičemž = f(). A α M A t M α t α+ α Obr.3Křivostkřivkvbodě Předpokládejme, že M =[; ]. Zvětšíme-li o přírůstek, pak hodnotě úsečk + příslušíbod M křivk.vbodech M, M veďmetečn t, t 6

7 (obr.3).označíme-li αúhel,kterýsvírátečna tsosou vbodě M,změní sepřipřechodu M M úhel αnaúhel α+ α.přírůstek αjezároveňi úhlem,okterýseotočítečna.označíme-lioblouk AM= s,pakje MM = s. Potom platí Tento výraz můžeme dále upravit na K= lim K= lim s = α s. α s = α lim lim Pro s můžemeodvoditvztah s s = lim = lim ( )2 +( ) 2 s = α s. (1) = lim 1+ ( ) 2, s = 1+( ) 2. (2) Obdobněnníodvodímeivztahpro α.zgeometrickéhovýznamuprvníderivace víme, že =tg α. Ztohoplne,že α=arctg.pozderivovánípodle dostaneme α = Podosazení(2)a(3)do(1)dostaneme K= 1 1+( ) ( ) 2. (3) 1 1+( ) 2= 3 [1+( ) 2 ] 2. (4) Výše uvedeným postupem jsme ted odvodili vztah pro výpočet zakřivení obloukuvbodě.nakonecsiještěmusímeuvědomitposlednívěc:je-li >,pak jekřivkavpuklá;naopakvbodech,kdeje <jekřivkavdutá. Použití výše uvedených vztahů si nní budeme ilustrovat na výpočtu následujícího příkladu. Příklad 1 výpočet křivosti kružnice Jedánakružniceorovnici( 2) =4.Určetekřivostikružnicevbodě o -ové souřadnici 2. 7

8 Řešení Podmínkuzadání =2splňujídvabod: A=[2;2], B[2; 2]. Přiřešeníjenutnouvažovat,žepročást A kružnice pod osou je kružnice popsána funkcí 2 1 = 4 ( 2) 2 = 4 2, B Obr. 4 Křivost kružnice Pročástpodkružnicíjeted obdobněpročástpodosou je 2 = 4 2. = = 2, Po dosazení = (B)= =, 1 4 ( 2 ( 2) 1 ) (4 2 ) 2 4 2, = (4 2 ) (B)= Analogick bchom určili, že pro část kružnice nad osou je = 2, 4 2 tj. (A)=, = , tj. (A)= 1 2. (4 2 ) Po dosazení do(4) dostaneme K(B)= 1 2, K(A)=

9 Z výše uvedeného výpočtu je vidět, že velikost křivosti v daných bodech má stejnou velikost, ale opačné znaménko, což odpovídá situaci na obr. 4. Protože sejednáokružnici,můžemeříci,ževelikostkřivostijekonstantníajerovna 1 R. Rozdílnost znamének je způsobena tím, že vrchní, resp. spodní část půlkružnice je vdutá, resp. vpuklá. 1.2 Oskulační kružnice a poloměr křivosti A S A t M Obr. 5 Oskulační kružnice Mějmenějakoukřivku AA,kterámávbodě M křivost rovnou K (obr. 5). Sestrojme tečnu a normálu křivk v bodě M. Postupně budeme prokládat bodem M kružnice, jejichž střed budou ležet na normále ve směru, kterým je křivka vdutá. Všechn tto kružnice budoumítvbodě M společnoutečnuskřivkou AA ; vokolíbodu M jsouttokružnicevdutétýmžsměrem jako křivka. Mezi těmito kružnicemi eistuje také taková kružnice, která bude mít stejnou křivost K jako křivkavbodě M. Ze vztahu mezi křivostí a poloměrem kružnice plne, že poloměr zkoumané kružnicemusíbýtrovenabsolutníhodnotěčísla 1 K. Takto sestrojená kružnice se nazývá oskulační kružnice křivk v bodě M. Převrácenáhodnotakřivostivbodě M,tj.hodnota R= 1 K senazývápoloměr křivostiastřed Soskulačníkružnicestředemkřivostikřivkvbodě M. Podobně jako tečna charakterizuje stoupání křivk v daném bodě, oskulační kružnice dává názornou představu o zakřivení křivk v daném bodě. Můžeme ted říci, že oskulační kružnice se přimká křivce těsněji než libovolná z ostatníchkružnic,kterésedotýkajíkřivkvdanémbodě M,avmalémokolíbodu M s velkou přesností nahrazuje přibližně křivku. Vztah pro výpočet poloměru křivosti lze snadno odvodit z rovnice R= 1 K, kamza Kdosadímezevztahu(4).Potomje R= [1+( ) 2 ]. (5) 9

10 1.3 Výpočet středu křivosti Při odvozování vztahů pro výpočet souřadnic středu křivosti vjdeme z poznatků,žestředkřivosti Sležínanormále,kteráprocházíbodem M=[ ; ] kolmoktečně.provzdálenost SM platí,že SM =R. Rovnice tečn t je dána vztahem u P[ ; ] t t: = + ( ), rovnice normál u je pak dána vztahem u: = 1 ( ). S[m; n] Obr. 6 Střed křivosti poúpravěje Protožebod Sležínanormále u,můžemepsát n= 1 (m ), n= + 1 ( m). (6) Protožebod M =[ ; ]ležínaoskulačníkružnicisestředem S =[m;n], můžeme psát ( m) 2 +( n) 2 = R 2. (7) Vztah(6) a(7) představují soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Řešením této soustav dostaneme m= [1+( )2 ], (8) n= + 1 [1+( ) 2 ]. (9) Příklad 2 výpočet poloměru křivosti hperbol Určete poloměr křivosti a souřadnice středu křivosti rovnoosé hperbol o rovnici =2vbodě[4;5]. 1

11 Řešení Rovnicihperbolpřepíšemenatvar = 2.Potom Pro =4dostaneme: = 2 2, = 4 3. (4)= 5 4, (4)= 5 8. Po dosazení do(5) dostaneme R= ( ) =6,56. Střed křivosti pak má souřadnice, které určíme dosazením do vztahů(8),(9): m= [ 1+ ( ) ] [ 2 5 =9,125; n= ( ) ] 2 5 =9,1. 4 Cvičení 1 1. Výpočet středu a poloměru křivosti elips Určete poloměr a střed křivosti elips o rovnici 2 2 a2+ b 2=1vbodě[;b]. 2. Výpočet poloměru a středu křivosti řetězovk Odvoďteobecnývztahprovýpočetpoloměruastředukřivostiřetězovk 1 dané rovnicí ( ) = a 2 e a +e a. 1 Tutokřivkuvtvořínapř.pružné,homogenní,neroztažitelnélanozavěšenénaobousvých koncích tak, ab konce lana nebl uchcen v téže svislé přímce. 11

12 2 Křivkaajejírovnice Nechť je křivka dána svojí geometrickou vlastností(tj. jako geometrické místo bodů). V řadě případů se ukazuje výhodné pracovat pomocí polárních souřadnic R, ϕ,aprotobudemekřivkuvšetřovatjakotrajektoriipohbubodu M,který má proměnné souřadnice R a ϕ. Potom bude muset geometrické vlastnosti, kterou je křivka určena, odpovídat analtický vztah mezi souřadnicemi R a ϕ, který je právě rovnicí křivk. V obecném případě je možno psát rovnici křivk v polárních souřadnicích ve tvaru R=f(ϕ) a uvažovat R jako funkci úhlu ϕ. Je zřejmé, že naopak funkce R=f(ϕ) se geometrick znázorní křivkou. Shrneme-li výše uvedenou úvahu, můžeme říci, že křivce dané geometrickou vlastnostíodpovídárovnice R=f(ϕ)anaopak,žerovnici R=f(ϕ)odpovídá křivka.ztohopakvznikajídvatpúloh: a) je dána křivka jako geometrické místo bodů; sestavte rovnici této křivk; b) je dána rovnice mezi souřadnicemi R a ϕ; sestrojte křivku, která je vjádřena touto rovnicí. Ukážeme si to na následujícím příkladu. Příklad 3 kardioida Kružnice o poloměru a se valí bez prokluzu po nějaké pevné kružnici téhož poloměru. a) Napište rovnici křivk kardioid, kterou opisuje bod M ležící na obvodu pohbující se kružnice(obr. 7). b) Určete tvar kardioid. S 1 S 2 M Obr. 7 Odvalování kružnice 12

13 Řešení a) Na obr. 7 je zobrazena počáteční poloha odvalující se kružnice. Polární osu apólzvolímepodleobr.7.pourčitédoběpohbusepolohabodu M změní tak,jakjeznázorněnonaobr.8. A Q ϕ P O S 1 B N M S 2 Obr. 8 Vtváření kardioid Protože dochází k odvalování pohblivé kružnice po pevné kružnici, zřejmě platí, žedélkaoblouku NAOjestejnájakodélka oblouku NBM.Nnívýšuvedenouzávislost podrobněji všetříme. Jezřejmé,žebod M padnedopólu O, kdž pohbující se kružnice obejde polovinu obvodu pevné kružnice. To ale znamená, že délka oblouku na obvodu pohbující se kružnice od bodu N, který je bodemdotkuoboukružnic,kbodu M, se rovná délce oblouku na obvodu pevné kružniceodtéhožbodu Nkpólu. Protože ale poloměr obou kružnic jsou stejné, jsou stejné i středové úhl NS 2 M= NS 1 O.Útvar OS 1 S 2 M tedtvořírovnoramennýlichoběžník,a protojsouúsečk S 1 S 2 a OM ( OM =R)rovnoběžné.Spustíme-likolmici zbodu Nnaúsečku OM,můžemepsát OP = PM, ated R=2 OP. Protože OP = OQ + QP a OQ =acosϕ, QP = S 1 N =a,dostaneme R=2(acosϕ+a)=2a(1+cosϕ). Toto je ted hledaná rovnice kardioid. b) Nalezenou rovnici použijeme k určení tvaru kardioid. Pro ϕ=je R=4a.Bod M ležínapolárníosevevzdálenosti4aodpólu (počátečnípoloha).položíme-li ϕ= π,potom R=2a.Prohodnotu ϕ=π 2 bude R=,tj.bod Msplnespólem.Prohodnotu ϕ= 3π je R=2a.Pro 2 dalšízměnúhlu ϕopíšebod M zbývajícíčástkřivk,přihodnotě ϕ=2π sevrátídopůvodnípolohadálesezačneznovupohbovatpotéžekřivce. Dále bchom ještě mohli dopočítat několik dalších hodnot R odpovídajících zvolenému úhlu ϕ. Pak sestrojíme příslušné bod a proložíme jimi souvislou křivku,jakjeznázorněnonaobr.9. 13

14 2a 2a O 2a 4a Sestrojená křivka se obecně nazývá epickloida. Při různých vztazích mezi poloměr pohblivých a pevných kružnic dostáváme různé epickloid. Kardioida ted patří mezi epickloid; je to taková epickloida, kterou dostaneme v případě rovnosti poloměrů pohbující se i pevné kružnice. Obr. 9 Kardioida Poznámka Pro vkreslování křivek pomocí počítače je velmi výhodné zadávat rovnice křivek parametrick(parametr t se zde často používá jako časová proměnná při vkreslování křivek). Pokud bchom chtěli např. rovnici kardioid napsat pomocí parametrického vjádření, lze psát =Rcosϕ=2a(1+cosϕ)cos ϕ, = Rsinϕ=2a(1+cosϕ)sinϕ (což je vlastně převod polárních souřadnic na kartézské). Nní už jen nahradíme úhel ϕ parametrem t a obdržíme(s použitím součtových vzorců) =a(1+2cost+cos2t), = a(2sint+sin2t). Cvičení 2 1. Kreslení křivek Sestrojte křivk, které jsou dán těmito rovnicemi: a) R=asinϕ,b) R=a(1 cosϕ),c) R=acos ϕ Parametrické vjádření křivek Napište parametrické rovnice křivek z předcházející úloh. 14

15 3 Délka křivk 3.1 Obecná rovnice křivk s = f() Délkukřivkurčímetak,žesicelou křivku rozdělíme na n dílčích částí, které můžeme přibližně považovat za přímk. Potom pro délku jednoho takového dílku platí O a Obr. 1 Délka křivk po úpravě dostaneme tzv. diferenciál oblouku křivk ( ) 2 d ds= 1+ d, d tj. b ( s) 2 =( ) 2 +( ) 2. Zvolíme-li dílk velmi malé, můžeme -přírůstk nahradit diferenciálem funkce, tj. (ds) 2 =(d) 2 +(d) 2, (1) ds= 1+( ) 2 d. (11) Celkovou délku křivk pak dostaneme integrací, neboli s= b a 1+( ) 2 d. (12) 3.2 Parametrické rovnice křivk Je-li křivka dána parametrick, tj. =(t), = (t), t α;β, potom můžeme psát d= d dt dt=ẋdt, =d dt dt=ẏdt. 15

16 Po dosazení do(1) dostaneme (ds) 2 =[(ẋ) 2 +(ẏ) 2 ](dt) 2, po odmocnění je diferenciál oblouku křivk dán vztahem ds= (ẋ) 2 +(ẏ) 2 dt. Celkovou délku pak určíme integrací přes celou křivku s= β α (ẋ)2 +(ẏ) 2 dt. (13) Poznámka Budeme-liparametr tpovažovatzačas,potom (ẋ) 2 +(ẏ) 2 = vvjadřuje velikost okamžité rchlosti pohbu. Potom lze psát Příklad 4 délka asteroid s= β α v(t) dt. (14) Určetedélkuasteroid 2 danéparametrickrovnicemi =acos 3 t, =asin 3 t. O Obr. 11 Asteroida 2 Asteroidajecklická křivka,kterávznikne odvalovánímkružniceopoloměru r = a 4 uvnitř kružnice o poloměru a. 16

17 Řešení Protože asteroida je smetrická vzhledem k oběma souřadnicovým osám, stačí vzítdélkujednéjejíčtvrtinv1.kvadrantu,tj. t ; π 2.Pakpodosazenído (13) dostaneme po úpravě s 4 =3a s 4 = π 2 π 2 ( 3acos 2 tsin 2 t) 2 +(3asin 2 tcos 2 t) 2 dt, costsintdt= 3a 2 π 2 Délkaceléasteroidje s=4 3a 2 =6a. sin(2t)dt= 3a 4 [ cos(2t)] π 2 =3a 2. Příklad 5 délka ckloid Určetedélkujednohoobloukuprostéckloid 3 danéparametrickrovnicemi =r(t sint), = r(1 cost). O t r 2πr Obr. 12 Prostá ckloida 3 Ckloidajecklickákřivka,kterávznikneodvalovánímkružniceopoloměru rpopřímce. 17

18 Řešení Určíme ẋ=r(1 cost), ẏ=rsintadosadímedo(13).dostaneme s=2r π (1 cost) 2 +sin 2 tdt=2 2r Dále použijeme součtový vzorec a obdržíme s=4r π 3.3 Polární rovnice křivk sin t 2 dt=4r [ 2cos t 2 π ] π 1 costdt. =8r. Je-lirovnicekřivkzadánapomocípolárníchsouřadnic,tj. =Rcosϕ, = Rsinϕ,kde ϕ α;β,musímenejprveurčitdadapotomdosaditdo(1). Dostaneme d= Rsinϕdϕ+cosϕdR, d= Rcosϕdϕ+sinϕdR, po dosazení do(1) a úpravě dostaneme (ds) 2 = R 2 (dϕ) 2 +(dr) 2. Po odmocnění a integraci je s= Příklad 6 délka kardioid β α R 2 + ( ) 2 dr dϕ. (15) dϕ Určetedélkukardioid,jejížrovnici R=2a(1+cosϕ)=d(1+cosϕ)(označíme d=2a průměrkružnic)vpolárníchsouřadnicíchjsmeodvodilivpříkladu3. Řešení K řešení použijeme vztah(15), kam dosadíme příslušné diferenciál. Dále také vužijeme, že kardioida je smetrická podle os. Dostaneme s=2 π d 2 (1+2cosϕ+cos 2 ϕ)+d 2 sin 2 ϕdϕ=2d s=4d π π cos ϕ [ 2 dϕ=4d 2sin ϕ ] π =8d. 2 2(1+cosϕ)dϕ, 18

19 Cvičení 3 Při řešení následujících cvičení je možno použít vztah pro výpočet integrálu (jehož odvození je uvedeno na CD ROMu část Matematika křivek Základní pojm Cvičení) 1+2 d= ( 2 ln + 1+ )+C Vrh šikmo vzhůru Vpočtěte délku s dráh, kterou opíše ve vakuu náboj ( vstřelený z děla počátečnírchlostíovelikosti v podelevačnímúhlem α ; π ). 2 Návod: napište parametrické rovnice pro tento druh pohbu, pak použijte vztahu pro výpočet délk křivk vjádřený pomocí parametrických souřadnic. 2. Vrh vodorovný Těleso je vrženo vodorovně z výšk H nad zemským povrchem počáteční rchlostíovelikosti v.určetedélku sdráh,kteroutototělesopřipohbuopíše kdž dopadne na povrch země. 3. Řetězovka Vpočtětedélku sřetězovk = a 2 kde a >. ( e a +e a ) vmezíchod 1 =do 2 = a, 19

20 4 Obsah oblasti 4.1 Obecná rovnice křivk Je-likřivkadánarovnicí = f(),potomobsahplochjedánvztahem S= b a f()d, (16) který je podrobněji rozebrán v učebnicích integrálního počtu nebo např. ve studijním tetu Integrální počet ve fzice. 4.2 Parametrické rovnice křivk Je-li křivka dána parametrick např. ve tvaru =ϕ(t), = ψ(t), t α;β, potommůžemepsát t=ϕ 1 (),kde ϕ 1 ()jeinverznífunkcekfunkci ϕ(). Dálepakmůžemepsát =ψ(ϕ 1 ()).Obsahplochjepakdánvztahem S= b a ψ(ϕ 1 ())d. Užitímsubstituce =ϕ(t)dostanemed= ϕ(t)dtpodosazenídovztahu(16) obdržíme S= β α ψ(t) ϕ(t)dt. (17) Příklad 7 plocha ckloid Vpočtěte obsah ploch ohraničené osou a jedním obloukem prosté ckloid (obr. 13) dané parametrick rovnicemi =r(t sint), = r(1 cost). 2

21 O 2πr Obr. 13 Obsah ploch pod obloukem prosté ckloid Řešení Kvýpočtupoužijemevztahu(17),kamdosadíme ψ(t)==r(1 cost), ϕ(t)dt=r(1 cost)dt,kde t ;2π.Dostaneme 2π S= r 2 (1 cost)(1 cost)dt=r 2 (1 2cost+cos 2 t)dt. K výpočtu integrálu použijeme součtový vzorec Potom obdržíme S= 2π ( ) 3 2 2cost+1 2 cos2t cos 2 t= 1+cos2t. 2 [ ] 2π 3 dt=r 2 2 t 2sint+1 4 sin2t =3πr Polární rovnice křivk Nechť R = f(ϕ)jespojitáfunkcenaintervalu α;β.chcemeurčitobsah oblastivmezenégrafemfunkce f apolopřímkami ϕ=αaϕ=β.budeme uvažovat,že β α 2π.Dálebudemepředpokládat,že f. 21

22 dϕ R ϕ=β f ϕ=α Oblast rozdělíme na malé výseče, které můžeme téměř považovat za trojúhelník ozákladně Rdϕavýšce R. Obsah ds jednoho trojúhelníku je dán vztahem ds= 1 2 R2 dϕ. O Obr. 14 Obsah oblasti Obsah celé oblasti pak určíme integrací β S= 1 R 2 dϕ. (18) 2 α Příklad 8 Descartův list Určete obsah smčk Descartova listu, který je dán rovnicí a O =3a. a Obr. 15 Descartův list Řešení Rovnici =3apřevedemenapolárnítvar,atotak,ževjádříme a pomocí Raϕadosadímedopůvodnírovnice,tj. =Rcosϕ, = Rsinϕ, potom zčehož R 3 (cos 3 ϕ+sin 3 ϕ)=3ar 2 cosϕsinϕ, R= 3asinϕcosϕ cos 3 ϕ+sin 3 ϕ. 22

23 Vezmeme-li v úvahu jen polovinu smčk, která je smetrická podle přímk =,dostanemeužitím(18)vztah 1 2 S=1 2 π 4 9a 2 sin 2 ϕcos 2 ϕ (cos 3 ϕ+sin 3 ϕ) 2dϕ. Dálepoužijemesubstitucitg ϕ=u,potom ϕ=arctg u, dϕ= du 1+u 2, cosϕ= 1 1+u 2, Pak dostaneme(po příslušné změně mezí) S= 1 sinϕ= u 1+u 2. 9a 2 u 2 du 1 3u 2 du (1+u 3 ) 2=3a2 (1+u 3 ) 2. Podalšísubstituci1+u 3 = vdostanemepozderivování3u 2 du=dv.totoopět dosadíme(s příslušnou změnou mezí) do výše uvedeného vztahu a obdržíme 2 S=3a 2 1 [ dv v 2 =3a2 1 ] 2 = 3 v 1 2 a2. Cvičení 4 1. Obsah ploch vmezené křivkou Jedánakřivkaorovnici R=asin2ϕvpolárníchsouřadnicích. a) Znázorněte tuto křivku grafick. b) Vpočtěte obsah S rovinné ploch ohraničené touto křivkou. 2. Bernoulliho lemniskáta Bernoulliho lemniskáta je speciálním případem tzv. Cassiniov křivk. Její rovnicevpolárníchsouřadnicíchjedánavztahem R=a 2cos2ϕ. a) Znázorněte tuto křivku grafick. b) Vpočtěte obsah S rovinné ploch ohraničené jednou smčkou Bernoulliho lemniskát. 23

24 5 Kuželosečk a Cassiniho ovál Vedle přímk jsou to asi nejčastěji se vsktující čár. Vzhledem k tomu, že kuželosečk jsou velmi podrobně popsán ve středoškolských učebnicích analtické geometrie, budou v této části uveden spíš informace rozšiřující učivo obsažené v těchto učebnicích ve vztahu k rovnicím používaných ve fzice. 5.1 Elipsa a hperbola Elipsa a hperbola jsou křivk, jejichž bod mají konstantní součet, resp. rozdíl svýchvzdáleností(průvodiče r 1, r 2 )oddvoupevnýchbodů(ohnisek F 1, F 2 ) v rovině, tj. r 1 ± r 2 =2a. p P b a e F 1 O a F 2 p b e F 1 O a F 2 P Obr. 16 Elipsa Obr. 17 Hperbola Konstanta a je u obou křivek rovna polovině součtu, resp. rozdílu průvodičů, nazývámejidélkouhlavnípolooskřivk(uelipsalemusíbýt2a >2e,naproti tomuuhperbolje2a <2e). Označíme-livzdálenostohnisek2e,pakproelipsuplatí b= a 2 e 2 a prohperbolu b= e 2 a 2,kde bjedélkavedlejšípoloos.jeteduelips e 2 = a 2 b 2,uhperbol e 2 = a 2 + b 2.Pokudbchomvztah r 1 ± r 2 =2adále upravili, dostaneme osové rovnice elips, resp. hperbol 2 2 a2+ b 2=1, resp. 2 a 2 2 b 2=1. Zavedeme-lipoměr ε= e a (tzv.číselnou(numerickou)výstřednost),dostaneme ε <1proelipsu, ε >1prohperbolu.Dálemůžemepsátproprůvodiče bodu Pnaelipsevztah r 1 + r 2 =2a, r 2 1 =(e+)2 + 2, r 2 2 =(e )2 + 2, 24

25 ated po úpravě Proto dále můžeme psát r 2 1 r2 2 =4e, (r 1 r 2 )2a=4e. r 1 = a+ε, r 2 = a ε. Výrazpro r 1 lzeupravitnatvar adálena r 1 = ε r 1 +K = ε, ) (+ a2, e a2 kde K= e. Ztohojevidět,žepoměrvzdálenostíboduelipsodohniska F 1 apřímk =K(řídícípřímk),jestálý(= ε).obdobnývztahjemožnoodvoditipro r 2. Pro hperbolu můžeme psát obdobně r 1 r 2 =2a, r 2 1 r 2 2=4e (pro větev s kladnými ) výraz r 1 = ε a, r 2 = ε+a, aproto r 1 = ε( K) ated r 1 K = ε. Jetedpoměrvzdálenostíboduhperbolodohniska r 1 apřímk =K (řídícípřímk)stálý(= ε).obdobnělzetakéodvoditvztahpro r 2 adruhou větevhperbol r 2 r 1 =2a. Parametrické rovnice elips a hperbol Elipsu a hperbolu(s osami v osách souřadnic) je možno vjádřit parametrick, a to elipsu rovnicemi =acost, = bsint, 25

26 a hperbolu rovnicemi = a, = btg t, cost kde t je v tomto případě úhel průvodiče měřený od os proti směru hodinových ručiček. Poznámka Speciálnímpřípademelipsjekružnice,pro b=aatedje e=iε=. Platí = r 2, nebo parametrick =rcost, = rsint. Speciálním případem hperbol je rovnoosá hperbola. Pro b=aje e=a 2, ε= 2aplatí 2 2 = a 2, nebo parametrick = a, = atg t. cost 5.2 Parabola p P e O F Obr. 18 Parabola Parabola je geometrické místo bodů v rovině, které mají od pevného bodu(ohniska) a pevné přímk(řídící přímk) stejné vzdálenosti. Na základě tohoto poznatku je možno odvodit vrcholovou rovnici parabol(pro polohu naobr.18)vetvaru 2 =2p. Tto rovnice jsou velmi podrobně pro různé poloh parabol popsán ve středoškolských učebnicích analtické geometrie, a proto se jimi nebudeme dále zabývat. 26

27 5.3 Polární rovnice kuželoseček Zavedeme-li polární souřadnice, pak můžeme všechn výše uvedené kuželosečk popsatjedinouohniskovourovnicí 4 R= p 1+εcosϕ, (19) kdeproelipsu ε <1,proparabolu ε=1,prohperbolu ε >1aprokružnici ε=. ε >1 ε=1 p F= O ε= ε <1 ϕ= Obr. 19 Polární rovnice kuželoseček 5.4 Zajímavosti z historie kuželoseček Elipsa Elipsu poprvé studoval Menaechmus(asi 35 let př. n. l.). Euklides psal o elipse, alesvůjnázevdostalaelipsaodapollonia.otom,žeelipsamáohnisko,uvažoval Pappus. Kepler v roce 162 považoval oběžnou dráhu Marsu za ovál, ale později objevil, že tím oválem je elipsa, jejíž ohnisko leží ve středu Slunce. Kepler používalslovoohnisko( focus )apublikovaljehoobjevvroce169.ecentricita planetárních drah je malá(elips jsou podobné kružnicím), např. pro Mars je 1 11 aprozemije 1 6. V roce 175 Halle pozoroval, že komet, které sledoval, se pohbují po eliptických drahách kolem Slunce. Ecentricita Halleov komet je,9675; tato 4 OdvozeníjepodrobněpopsánovestudijnímtetuSouřadnicevefzice. 27

28 hodnota vedla Hallee k závěru, že se kometa zřejmě pohbuje po parabole (ε = 1- odchlka od tohoto čísla bla dle Hallee způsobená nepřesností měření). Plocha elips je πab. Nelze ale napsat vztah pro délku elips pomocí elementárních funkcí, a to vedlo ke studiu eliptických funkcí. Ramanujan provedl v roce 1914 aproimaci délk elips vztahem [ π 3(a+b) ] (a+3b)(3a+b). Hperbola Speciálním případem hperbol = ab(asmptot svírají pravý úhel) se poprvé zabýval Menaechmus. Euklides a Aristaeus psali o hlavní hperbole, protože studovali pouze jednu větev hperbol. Název hperbola dostala tato kuželosečka od Apollonia, který studoval obě větve. S ohniskem hperbol uvažoval Pappus. Parabola Parabolu poprvé studoval Menaechmus, který bl žákem Platóna a Eudoa. Menaechmusřešilhledáníprůnikudvouparabol 2 = a 2 =2. Euklides psal o parabole, parabolu pojmenoval Apollonius. O ohnisku parabol uvažoval Pappus. Pascal uvažoval, že parabola vznikne projekcí kružnice. Galilei pozoroval, že parabola je trajektorie pohbu nábojů vstřelených šikmo vzhůru. Gregor a Newton znali vlastnost parabol, že parabola odráží rovnoběžné paprsk do ohniska. 5.5 Cassiniho ovál Z dnešního pohledu lze říci, že Cassiniho ovál je určitou analogií elips. V této části se proto podíváme na tento ovál z matematického hlediska. Ovšem než toto uděláme, podívejme se alespoň velmi stručně na historii vzniku těchto křivek Zajímavosti z historie Cassiniho ovál je křivka, která bla nazvána po francouzském astronomovi Giovannim Domenicu Cassinim. G. Cassini bl proslulý mnoha výsledk v as- 28

29 tronomii(např. objevil čtři Saturnov měsíce). V roce 1669 bl jmenován členem akademie věd v Paříži a ředitelem nové hvězdárn. G.Cassinipopsaloválvroce168jakodomněloudráhupohbuZeměkolem Slunce, přičemž Slunce se nachází v jednom ohnisku. Jeho výsledek uveřejnil jeho sn Jacob Cassini v Eléments d astronomie(základ astronomie) teprve roku 174. Roku 1694 Jacob Bernoulli popsal nezávisle na Cassinim ten případ, kd je konstanta rovna polovině vzdálenosti ohnisek, tj. ( ) 2 +2k 2 ( 2 2 )=, k= F 1F 2. 2 Bernoulli uvedl polární rovnice této křivk a pojmenoval ji lemniscus(z řečtin stuha). Svůj objev uveřejnil v Acta Eruditorum v roce Netušil tehd, že před 14 let Cassini popsal obecnější případ této křivk(což dnes ale není překvapivé,neboťocassinihooválupsalažjehosn)vr.174. Teprve v roce 1782 Pietro Feroni ukázal, že speciálním případem Cassiniho oválů je Bernoulliova lemniskáta. Později se lemniskátou zabývali také Euler a Gauss. jejich práce vedl k zavedení eliptických funkcí a k teorii eliptických integrálů v 19. století Cassiniho ovál z matematického pohledu k < e k > e k = e k < e F 1 F 2 Cassiniho ovál jsou definován jakomnožinavšechbodů Xvrovině takových, že součin vzdáleností od dvou pevně zvolených bodů F 1, F 2 (ohnisek) je konstantníajeroven k 2,tj.platí F 1 X F 2 X =k 2. (2) Obr. 2 Cassiniho ovál V další části odvodíme rovnici popisující Cassiniho ovál v kartézské soustavě souřadnic. Označíme-livzdálenostmezibod F 1 a F 2 (ohnisk)2e,tj. F 1 O =F 2 O = e,pakmůžemerovnici(2)přepsatnatvar (+e)2 + 2 ( e) = k 2, neboli [(+e) ] [( e) ]=k 4. 29

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Křivky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Křivky. Copyright c 2006 Helena Říhová Křivky Copyright c 2006 Helena Říhová Cassiniovy křivky, lemniskáta Křivky nesou jméno francouzského matematika a astronoma Jeana Dominiquea Cassiniho (1625 1712) a jsou definovány jako množina bodů X

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

LOGARITMICKÁ SPIRÁLA. spirála, růstová spirála, Bernoulliho spirála nebo spira mirabilis. POPIS SPIRÁLY. Polární rovnice logaritmické spirály je:

LOGARITMICKÁ SPIRÁLA. spirála, růstová spirála, Bernoulliho spirála nebo spira mirabilis. POPIS SPIRÁLY. Polární rovnice logaritmické spirály je: LOGARITMICKÁ SPIRÁLA HISTORIE První, kdo se zabýval problematikou logaritmické spirály a zkoumal jí, byl René Descartes (1596-1650) přibližně kolem roku 1638. Nezávisle na něm zkoumal křivku také Evangelista

Více

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Výpočty trajektorií bodů při složených pohybech. Příklad 1: Je dána kružnice k s poloměrem

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

Hyperbola. Předpoklady: 7507, 7512

Hyperbola. Předpoklady: 7507, 7512 7.5.6 Hperbola Předpoklad: 7507, 75 Pedagogická poznámka: Na první pohled se nezdá, že b hodina bla příliš zaplněná, ale kreslení obrázků studentům (spíše studentkám) docela trvá. Je dobré vsvětlit, že

Více

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky. 5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Extremální úlohy v geometrii

Extremální úlohy v geometrii Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

4.2. Graf funkce více proměnných

4.2. Graf funkce více proměnných V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1. Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více