MATEMATIKA KŘIVEK. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Ivo Volf. Úvod- proč se zabývat křivkami 4

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA KŘIVEK. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Ivo Volf. Úvod- proč se zabývat křivkami 4"

Transkript

1 MATEMATIKA KŘIVEK Studijní tet pro řešitele FO a ostatní zájemce o fziku Miroslava Jarešová Ivo Volf Obsah Úvod- proč se zabývat křivkami 4 1 Základní pojm Křivostkřivk Příklad1 výpočetkřivostikružnice Oskulačníkružniceapoloměrkřivosti Výpočetstředukřivosti Příklad2 výpočetpoloměrukřivostihperbol Cvičení Křivka a její rovnice 12 Příklad3 kardioida Cvičení Délka křivk Obecnárovnicekřivk Parametrickérovnicekřivk Příklad4 délkaasteroid Příklad5 délkackloid Polárnírovnicekřivk Příklad6 délkakardioid Cvičení Obsah oblasti Obecnárovnicekřivk Parametrickérovnicekřivk Příklad7 plochackloid Polárnírovnicekřivk Příklad8 Descartůvlist Cvičení

2 5 Kuželosečk a Cassiniho ovál Elipsaahperbola Parabola Polárnírovnicekuželoseček Zajímavostizhistoriekuželoseček Cassinihoovál Zajímavostizhistorie Cassinihooválzmatematickéhopohledu Bernoulliholemniskáta Spirál Historieaužití Matematickévjádřeníspirál Archimédovaspirála Logaritmickáspirála Hperbolickáspirála Fermatovaspirála Lituuovaspirála Sinováspirála Cklické křivk Historieckloid Ckloid Prostáckloida Příklad9 ckloidálníkvadlo Zkrácenáckloida Prodlouženáckloida Epickloidahpockloid Parametrické rovnice epickloid a hpockloid Rhodoneakřivk Evolventa Algebraické křivk Dioklovakisoida Descartůvlist Nikomédovakonchoida Pascalovazávitnice(limacon) Strofoida

3 9 Další křivk Řetězovka(catenar) Traktri Příklad1 rovnicetraktri Klotoida Výsledk cvičení 63 Literatura 64 3

4 Úvod- proč se zabývat křivkami Pojem křivka je jeden z nejdůležitějších matematických pojmů. Je také zároveň jedním z těch matematických pojmů, které se nejčastěji vsktují v aplikacích v denním životě. Přestože je tento pojem velmi důležitý, jeho objasnění se s vývojem různých vědních oborů neustále zpřesňuje. Z hlediska fzik je zajímavá např. charakterizace křivk jako trajektorie pohbujícího se bodu. Z hlediska této charakteristik je ted možno říci, že křivka je trajektorie, kterou proběhne v určitém časovém intervalu bod, který se spojitě pohbuje, neboli jinak řečeno(pojmeme-li charakteristiku křivk z hlediska matematik jako zobrazení), že křivka je spojitým obrazem úsečk. Při používání této definice křivk se ale ukázalo(z hlediska matematik), že tato definice je příliš široká. Italský matematik Peano ukázal již v roce 189, že eistuje spojité zobrazení úsečk na čtverec, jinými slov, že dráha hmotného bodu, který se spojitě pohbuje, může vplňovat celý čtverec. Toto spojité zobrazení ale není vzájemně jednoznačné, tj. pohbující se bod projde některými bod čtverce několikrát. Modernější(přesnější) definici křivk podal rakouský matematik Menger v roce 1921 a nezávisle na něm téměř současně sovětský matematik Ursohn. Jejich definici lze uvést asi takto: křivka je kontinuum, jehož libovolné dva bod se dají oddělit množinou neobsahující již žádné kontinuum. Vývoj pojmu křivka ovšem tímto zdaleka nekončí, charakteristika pojmu křivka se neustále zpřesňuje. V současné době se definice křivk provádí pomocí tzv. variet. Toto bl pouhý nástin historického vývoje tohoto pojmu, jehož počátk zasahují do starověkého Řecka. Cílem tohoto tetu ale není rozbor tohoto pojmu, ale zaměřit se spíš na konkrétní křivk, napsat jejich rovnice, podat stručnou informaciohistoriikřivek vtvořitpřírůčkuvesmslu průvodcekřivkami. Vzhledemkomezenémurozsahutetusejednávtéto papírové podoběpouze o matematický popis a přehled. Podstatně více k těmto křivkám je obsaženo na přiloženémcdromu,kdejeipřehledaplikacívefziceivpraktickémživotě, jsou zde i v podstatně větší míře řešené úloh týkající se jednotlivých křivek, na CD ROMu jsou obsažen i animace a možnost modelování jednotlivých křivek pro různé hodnot parametrů pomocí předem připravených programů. NaCDROMujsoutakédáleuvedendalšíčástiMatematikprofzikutet Funkce, Diferenciální počet, Integrální počet, Diferenciální rovnice, Vektor,skalár...aSouřadnicevefzice. 4

5 1 Základní pojm V této části si vmezíme základní pojm, se kterými budeme v dalších kapitolách dále pracovat. 1.1 Křivost křivk Křivost křivk je jedním z prvků, které charakterizují křivku. Jinak řečeno je to také zakřivení křivk v různých bodech. Připohbuodjednohobodukřivk M kedruhému M sebudesoučasnětaké α měnit poloha tečn ke křivce: tečna se bude otáčet. Toto odlišuje křivku od přímk,jejížtečnasnísplývávevšech P jejích bodech ted přímka a tečna P mají stejný směr. Čím bude větší úhel, okterýseotočítečnapřipřechoduod bodu Mdobodu M křivk,tímvícese N také bude lišit oblouk křivk od přímk, M a tím větší bude také zakřivení křivk. M Zakřivení oblouku však nelze charakterizovatjenúhlem,okterýseotočítečna křivk při přechodu z jednoho krajního bodu oblouku do druhého krajního bodu. Na obr. 1 jsou nakreslen dva oblouk PP a MM,jejichžzakřivení jsourůzná,aleúhel,okterýseotočí Obr. 1 Zakřivení křivk tečna, je stejný. Z toho vplývá, že chceme-li stanovit míru zakřivení oblouku dané křivk, jenutnéuvažovattakéjehodélku.zobr.1jepatrné,žepřistejnémúhlu, okterýseotočítečna,jezakřivenítímvětší,čímkratšíjedélkaoblouku. Ukazuje se jako přirozené definovat průměrnou křivost oblouku křivk jako poměr úhlu tečen v krajních bodech oblouku k délce oblouku, neboli jako úhel, okterýseotočítečnakřivknajednotkovédélceoblouku(úhel αjevžd v obloukové míře): průměrnákřivostoblouku MM je α MM. Ilustrujme nní výše uvedený postup na výpočtu průměrné křivosti kružnice o poloměru R. 5

6 α A A α Prokaždýobloukkružnicejeúhel αtečenkekružnici v krajních bodech oblouku roven úhlu poloměrů vdotkovýchbodech(obr.2).délkaoblouku AA je αr, takže průměrná křivost oblouku je stejná ve všech jejích částech a je rovna α αr = 1 R. Obr. 2 Průměrná křivost kružnice Dostali jsme, že průměrná křivost kružnice je převrácená hodnota poloměru, a je ted nepřímo úměrná poloměru kružnice. Na základě výše uvedených úvah můžeme ted říci, že průměrná křivost charakterizuje celkové zakřivení oblouku. V různých částech oblouku ale může být zakřivení různé, což je vidět např. naobr.1,kdječást MNoblouku MM vícezakřivenanežčást NM. Můžeme ted říci, že průměrná křivost bude tím přesněji charakterizovat zakřivení oblouku křivk v různých bodech, čím menší bude délka oblouku. Analogick, jako se provádí ve fzice přechod od rchlosti průměrné k rchlosti okamžité, lze provést limitní přechod od křivosti průměrné ke křivosti v bodě, tj. K= lim MM α MM. V dalším postupu odvodíme vzorec pro výpočet křivosti K v bodě. Předpokládejme, že křivka je dána rovnicí = f(). Budeme-li hledat křivost v bodě, musíme kromě rovnice křivk ještě znát souřadnice bodu této křivk. To znamená, že mámeli odvodit vzorec pro výpočet křivosti K, potřebujeme vjádřit limitu α lim MM MM pomocísouřadnic, bodu Mkřivk,přičemž = f(). A α M A t M α t α+ α Obr.3Křivostkřivkvbodě Předpokládejme, že M =[; ]. Zvětšíme-li o přírůstek, pak hodnotě úsečk + příslušíbod M křivk.vbodech M, M veďmetečn t, t 6

7 (obr.3).označíme-li αúhel,kterýsvírátečna tsosou vbodě M,změní sepřipřechodu M M úhel αnaúhel α+ α.přírůstek αjezároveňi úhlem,okterýseotočítečna.označíme-lioblouk AM= s,pakje MM = s. Potom platí Tento výraz můžeme dále upravit na K= lim K= lim s = α s. α s = α lim lim Pro s můžemeodvoditvztah s s = lim = lim ( )2 +( ) 2 s = α s. (1) = lim 1+ ( ) 2, s = 1+( ) 2. (2) Obdobněnníodvodímeivztahpro α.zgeometrickéhovýznamuprvníderivace víme, že =tg α. Ztohoplne,že α=arctg.pozderivovánípodle dostaneme α = Podosazení(2)a(3)do(1)dostaneme K= 1 1+( ) ( ) 2. (3) 1 1+( ) 2= 3 [1+( ) 2 ] 2. (4) Výše uvedeným postupem jsme ted odvodili vztah pro výpočet zakřivení obloukuvbodě.nakonecsiještěmusímeuvědomitposlednívěc:je-li >,pak jekřivkavpuklá;naopakvbodech,kdeje <jekřivkavdutá. Použití výše uvedených vztahů si nní budeme ilustrovat na výpočtu následujícího příkladu. Příklad 1 výpočet křivosti kružnice Jedánakružniceorovnici( 2) =4.Určetekřivostikružnicevbodě o -ové souřadnici 2. 7

8 Řešení Podmínkuzadání =2splňujídvabod: A=[2;2], B[2; 2]. Přiřešeníjenutnouvažovat,žepročást A kružnice pod osou je kružnice popsána funkcí 2 1 = 4 ( 2) 2 = 4 2, B Obr. 4 Křivost kružnice Pročástpodkružnicíjeted obdobněpročástpodosou je 2 = 4 2. = = 2, Po dosazení = (B)= =, 1 4 ( 2 ( 2) 1 ) (4 2 ) 2 4 2, = (4 2 ) (B)= Analogick bchom určili, že pro část kružnice nad osou je = 2, 4 2 tj. (A)=, = , tj. (A)= 1 2. (4 2 ) Po dosazení do(4) dostaneme K(B)= 1 2, K(A)=

9 Z výše uvedeného výpočtu je vidět, že velikost křivosti v daných bodech má stejnou velikost, ale opačné znaménko, což odpovídá situaci na obr. 4. Protože sejednáokružnici,můžemeříci,ževelikostkřivostijekonstantníajerovna 1 R. Rozdílnost znamének je způsobena tím, že vrchní, resp. spodní část půlkružnice je vdutá, resp. vpuklá. 1.2 Oskulační kružnice a poloměr křivosti A S A t M Obr. 5 Oskulační kružnice Mějmenějakoukřivku AA,kterámávbodě M křivost rovnou K (obr. 5). Sestrojme tečnu a normálu křivk v bodě M. Postupně budeme prokládat bodem M kružnice, jejichž střed budou ležet na normále ve směru, kterým je křivka vdutá. Všechn tto kružnice budoumítvbodě M společnoutečnuskřivkou AA ; vokolíbodu M jsouttokružnicevdutétýmžsměrem jako křivka. Mezi těmito kružnicemi eistuje také taková kružnice, která bude mít stejnou křivost K jako křivkavbodě M. Ze vztahu mezi křivostí a poloměrem kružnice plne, že poloměr zkoumané kružnicemusíbýtrovenabsolutníhodnotěčísla 1 K. Takto sestrojená kružnice se nazývá oskulační kružnice křivk v bodě M. Převrácenáhodnotakřivostivbodě M,tj.hodnota R= 1 K senazývápoloměr křivostiastřed Soskulačníkružnicestředemkřivostikřivkvbodě M. Podobně jako tečna charakterizuje stoupání křivk v daném bodě, oskulační kružnice dává názornou představu o zakřivení křivk v daném bodě. Můžeme ted říci, že oskulační kružnice se přimká křivce těsněji než libovolná z ostatníchkružnic,kterésedotýkajíkřivkvdanémbodě M,avmalémokolíbodu M s velkou přesností nahrazuje přibližně křivku. Vztah pro výpočet poloměru křivosti lze snadno odvodit z rovnice R= 1 K, kamza Kdosadímezevztahu(4).Potomje R= [1+( ) 2 ]. (5) 9

10 1.3 Výpočet středu křivosti Při odvozování vztahů pro výpočet souřadnic středu křivosti vjdeme z poznatků,žestředkřivosti Sležínanormále,kteráprocházíbodem M=[ ; ] kolmoktečně.provzdálenost SM platí,že SM =R. Rovnice tečn t je dána vztahem u P[ ; ] t t: = + ( ), rovnice normál u je pak dána vztahem u: = 1 ( ). S[m; n] Obr. 6 Střed křivosti poúpravěje Protožebod Sležínanormále u,můžemepsát n= 1 (m ), n= + 1 ( m). (6) Protožebod M =[ ; ]ležínaoskulačníkružnicisestředem S =[m;n], můžeme psát ( m) 2 +( n) 2 = R 2. (7) Vztah(6) a(7) představují soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Řešením této soustav dostaneme m= [1+( )2 ], (8) n= + 1 [1+( ) 2 ]. (9) Příklad 2 výpočet poloměru křivosti hperbol Určete poloměr křivosti a souřadnice středu křivosti rovnoosé hperbol o rovnici =2vbodě[4;5]. 1

11 Řešení Rovnicihperbolpřepíšemenatvar = 2.Potom Pro =4dostaneme: = 2 2, = 4 3. (4)= 5 4, (4)= 5 8. Po dosazení do(5) dostaneme R= ( ) =6,56. Střed křivosti pak má souřadnice, které určíme dosazením do vztahů(8),(9): m= [ 1+ ( ) ] [ 2 5 =9,125; n= ( ) ] 2 5 =9,1. 4 Cvičení 1 1. Výpočet středu a poloměru křivosti elips Určete poloměr a střed křivosti elips o rovnici 2 2 a2+ b 2=1vbodě[;b]. 2. Výpočet poloměru a středu křivosti řetězovk Odvoďteobecnývztahprovýpočetpoloměruastředukřivostiřetězovk 1 dané rovnicí ( ) = a 2 e a +e a. 1 Tutokřivkuvtvořínapř.pružné,homogenní,neroztažitelnélanozavěšenénaobousvých koncích tak, ab konce lana nebl uchcen v téže svislé přímce. 11

12 2 Křivkaajejírovnice Nechť je křivka dána svojí geometrickou vlastností(tj. jako geometrické místo bodů). V řadě případů se ukazuje výhodné pracovat pomocí polárních souřadnic R, ϕ,aprotobudemekřivkuvšetřovatjakotrajektoriipohbubodu M,který má proměnné souřadnice R a ϕ. Potom bude muset geometrické vlastnosti, kterou je křivka určena, odpovídat analtický vztah mezi souřadnicemi R a ϕ, který je právě rovnicí křivk. V obecném případě je možno psát rovnici křivk v polárních souřadnicích ve tvaru R=f(ϕ) a uvažovat R jako funkci úhlu ϕ. Je zřejmé, že naopak funkce R=f(ϕ) se geometrick znázorní křivkou. Shrneme-li výše uvedenou úvahu, můžeme říci, že křivce dané geometrickou vlastnostíodpovídárovnice R=f(ϕ)anaopak,žerovnici R=f(ϕ)odpovídá křivka.ztohopakvznikajídvatpúloh: a) je dána křivka jako geometrické místo bodů; sestavte rovnici této křivk; b) je dána rovnice mezi souřadnicemi R a ϕ; sestrojte křivku, která je vjádřena touto rovnicí. Ukážeme si to na následujícím příkladu. Příklad 3 kardioida Kružnice o poloměru a se valí bez prokluzu po nějaké pevné kružnici téhož poloměru. a) Napište rovnici křivk kardioid, kterou opisuje bod M ležící na obvodu pohbující se kružnice(obr. 7). b) Určete tvar kardioid. S 1 S 2 M Obr. 7 Odvalování kružnice 12

13 Řešení a) Na obr. 7 je zobrazena počáteční poloha odvalující se kružnice. Polární osu apólzvolímepodleobr.7.pourčitédoběpohbusepolohabodu M změní tak,jakjeznázorněnonaobr.8. A Q ϕ P O S 1 B N M S 2 Obr. 8 Vtváření kardioid Protože dochází k odvalování pohblivé kružnice po pevné kružnici, zřejmě platí, žedélkaoblouku NAOjestejnájakodélka oblouku NBM.Nnívýšuvedenouzávislost podrobněji všetříme. Jezřejmé,žebod M padnedopólu O, kdž pohbující se kružnice obejde polovinu obvodu pevné kružnice. To ale znamená, že délka oblouku na obvodu pohbující se kružnice od bodu N, který je bodemdotkuoboukružnic,kbodu M, se rovná délce oblouku na obvodu pevné kružniceodtéhožbodu Nkpólu. Protože ale poloměr obou kružnic jsou stejné, jsou stejné i středové úhl NS 2 M= NS 1 O.Útvar OS 1 S 2 M tedtvořírovnoramennýlichoběžník,a protojsouúsečk S 1 S 2 a OM ( OM =R)rovnoběžné.Spustíme-likolmici zbodu Nnaúsečku OM,můžemepsát OP = PM, ated R=2 OP. Protože OP = OQ + QP a OQ =acosϕ, QP = S 1 N =a,dostaneme R=2(acosϕ+a)=2a(1+cosϕ). Toto je ted hledaná rovnice kardioid. b) Nalezenou rovnici použijeme k určení tvaru kardioid. Pro ϕ=je R=4a.Bod M ležínapolárníosevevzdálenosti4aodpólu (počátečnípoloha).položíme-li ϕ= π,potom R=2a.Prohodnotu ϕ=π 2 bude R=,tj.bod Msplnespólem.Prohodnotu ϕ= 3π je R=2a.Pro 2 dalšízměnúhlu ϕopíšebod M zbývajícíčástkřivk,přihodnotě ϕ=2π sevrátídopůvodnípolohadálesezačneznovupohbovatpotéžekřivce. Dále bchom ještě mohli dopočítat několik dalších hodnot R odpovídajících zvolenému úhlu ϕ. Pak sestrojíme příslušné bod a proložíme jimi souvislou křivku,jakjeznázorněnonaobr.9. 13

14 2a 2a O 2a 4a Sestrojená křivka se obecně nazývá epickloida. Při různých vztazích mezi poloměr pohblivých a pevných kružnic dostáváme různé epickloid. Kardioida ted patří mezi epickloid; je to taková epickloida, kterou dostaneme v případě rovnosti poloměrů pohbující se i pevné kružnice. Obr. 9 Kardioida Poznámka Pro vkreslování křivek pomocí počítače je velmi výhodné zadávat rovnice křivek parametrick(parametr t se zde často používá jako časová proměnná při vkreslování křivek). Pokud bchom chtěli např. rovnici kardioid napsat pomocí parametrického vjádření, lze psát =Rcosϕ=2a(1+cosϕ)cos ϕ, = Rsinϕ=2a(1+cosϕ)sinϕ (což je vlastně převod polárních souřadnic na kartézské). Nní už jen nahradíme úhel ϕ parametrem t a obdržíme(s použitím součtových vzorců) =a(1+2cost+cos2t), = a(2sint+sin2t). Cvičení 2 1. Kreslení křivek Sestrojte křivk, které jsou dán těmito rovnicemi: a) R=asinϕ,b) R=a(1 cosϕ),c) R=acos ϕ Parametrické vjádření křivek Napište parametrické rovnice křivek z předcházející úloh. 14

15 3 Délka křivk 3.1 Obecná rovnice křivk s = f() Délkukřivkurčímetak,žesicelou křivku rozdělíme na n dílčích částí, které můžeme přibližně považovat za přímk. Potom pro délku jednoho takového dílku platí O a Obr. 1 Délka křivk po úpravě dostaneme tzv. diferenciál oblouku křivk ( ) 2 d ds= 1+ d, d tj. b ( s) 2 =( ) 2 +( ) 2. Zvolíme-li dílk velmi malé, můžeme -přírůstk nahradit diferenciálem funkce, tj. (ds) 2 =(d) 2 +(d) 2, (1) ds= 1+( ) 2 d. (11) Celkovou délku křivk pak dostaneme integrací, neboli s= b a 1+( ) 2 d. (12) 3.2 Parametrické rovnice křivk Je-li křivka dána parametrick, tj. =(t), = (t), t α;β, potom můžeme psát d= d dt dt=ẋdt, =d dt dt=ẏdt. 15

16 Po dosazení do(1) dostaneme (ds) 2 =[(ẋ) 2 +(ẏ) 2 ](dt) 2, po odmocnění je diferenciál oblouku křivk dán vztahem ds= (ẋ) 2 +(ẏ) 2 dt. Celkovou délku pak určíme integrací přes celou křivku s= β α (ẋ)2 +(ẏ) 2 dt. (13) Poznámka Budeme-liparametr tpovažovatzačas,potom (ẋ) 2 +(ẏ) 2 = vvjadřuje velikost okamžité rchlosti pohbu. Potom lze psát Příklad 4 délka asteroid s= β α v(t) dt. (14) Určetedélkuasteroid 2 danéparametrickrovnicemi =acos 3 t, =asin 3 t. O Obr. 11 Asteroida 2 Asteroidajecklická křivka,kterávznikne odvalovánímkružniceopoloměru r = a 4 uvnitř kružnice o poloměru a. 16

17 Řešení Protože asteroida je smetrická vzhledem k oběma souřadnicovým osám, stačí vzítdélkujednéjejíčtvrtinv1.kvadrantu,tj. t ; π 2.Pakpodosazenído (13) dostaneme po úpravě s 4 =3a s 4 = π 2 π 2 ( 3acos 2 tsin 2 t) 2 +(3asin 2 tcos 2 t) 2 dt, costsintdt= 3a 2 π 2 Délkaceléasteroidje s=4 3a 2 =6a. sin(2t)dt= 3a 4 [ cos(2t)] π 2 =3a 2. Příklad 5 délka ckloid Určetedélkujednohoobloukuprostéckloid 3 danéparametrickrovnicemi =r(t sint), = r(1 cost). O t r 2πr Obr. 12 Prostá ckloida 3 Ckloidajecklickákřivka,kterávznikneodvalovánímkružniceopoloměru rpopřímce. 17

18 Řešení Určíme ẋ=r(1 cost), ẏ=rsintadosadímedo(13).dostaneme s=2r π (1 cost) 2 +sin 2 tdt=2 2r Dále použijeme součtový vzorec a obdržíme s=4r π 3.3 Polární rovnice křivk sin t 2 dt=4r [ 2cos t 2 π ] π 1 costdt. =8r. Je-lirovnicekřivkzadánapomocípolárníchsouřadnic,tj. =Rcosϕ, = Rsinϕ,kde ϕ α;β,musímenejprveurčitdadapotomdosaditdo(1). Dostaneme d= Rsinϕdϕ+cosϕdR, d= Rcosϕdϕ+sinϕdR, po dosazení do(1) a úpravě dostaneme (ds) 2 = R 2 (dϕ) 2 +(dr) 2. Po odmocnění a integraci je s= Příklad 6 délka kardioid β α R 2 + ( ) 2 dr dϕ. (15) dϕ Určetedélkukardioid,jejížrovnici R=2a(1+cosϕ)=d(1+cosϕ)(označíme d=2a průměrkružnic)vpolárníchsouřadnicíchjsmeodvodilivpříkladu3. Řešení K řešení použijeme vztah(15), kam dosadíme příslušné diferenciál. Dále také vužijeme, že kardioida je smetrická podle os. Dostaneme s=2 π d 2 (1+2cosϕ+cos 2 ϕ)+d 2 sin 2 ϕdϕ=2d s=4d π π cos ϕ [ 2 dϕ=4d 2sin ϕ ] π =8d. 2 2(1+cosϕ)dϕ, 18

19 Cvičení 3 Při řešení následujících cvičení je možno použít vztah pro výpočet integrálu (jehož odvození je uvedeno na CD ROMu část Matematika křivek Základní pojm Cvičení) 1+2 d= ( 2 ln + 1+ )+C Vrh šikmo vzhůru Vpočtěte délku s dráh, kterou opíše ve vakuu náboj ( vstřelený z děla počátečnírchlostíovelikosti v podelevačnímúhlem α ; π ). 2 Návod: napište parametrické rovnice pro tento druh pohbu, pak použijte vztahu pro výpočet délk křivk vjádřený pomocí parametrických souřadnic. 2. Vrh vodorovný Těleso je vrženo vodorovně z výšk H nad zemským povrchem počáteční rchlostíovelikosti v.určetedélku sdráh,kteroutototělesopřipohbuopíše kdž dopadne na povrch země. 3. Řetězovka Vpočtětedélku sřetězovk = a 2 kde a >. ( e a +e a ) vmezíchod 1 =do 2 = a, 19

20 4 Obsah oblasti 4.1 Obecná rovnice křivk Je-likřivkadánarovnicí = f(),potomobsahplochjedánvztahem S= b a f()d, (16) který je podrobněji rozebrán v učebnicích integrálního počtu nebo např. ve studijním tetu Integrální počet ve fzice. 4.2 Parametrické rovnice křivk Je-li křivka dána parametrick např. ve tvaru =ϕ(t), = ψ(t), t α;β, potommůžemepsát t=ϕ 1 (),kde ϕ 1 ()jeinverznífunkcekfunkci ϕ(). Dálepakmůžemepsát =ψ(ϕ 1 ()).Obsahplochjepakdánvztahem S= b a ψ(ϕ 1 ())d. Užitímsubstituce =ϕ(t)dostanemed= ϕ(t)dtpodosazenídovztahu(16) obdržíme S= β α ψ(t) ϕ(t)dt. (17) Příklad 7 plocha ckloid Vpočtěte obsah ploch ohraničené osou a jedním obloukem prosté ckloid (obr. 13) dané parametrick rovnicemi =r(t sint), = r(1 cost). 2

21 O 2πr Obr. 13 Obsah ploch pod obloukem prosté ckloid Řešení Kvýpočtupoužijemevztahu(17),kamdosadíme ψ(t)==r(1 cost), ϕ(t)dt=r(1 cost)dt,kde t ;2π.Dostaneme 2π S= r 2 (1 cost)(1 cost)dt=r 2 (1 2cost+cos 2 t)dt. K výpočtu integrálu použijeme součtový vzorec Potom obdržíme S= 2π ( ) 3 2 2cost+1 2 cos2t cos 2 t= 1+cos2t. 2 [ ] 2π 3 dt=r 2 2 t 2sint+1 4 sin2t =3πr Polární rovnice křivk Nechť R = f(ϕ)jespojitáfunkcenaintervalu α;β.chcemeurčitobsah oblastivmezenégrafemfunkce f apolopřímkami ϕ=αaϕ=β.budeme uvažovat,že β α 2π.Dálebudemepředpokládat,že f. 21

22 dϕ R ϕ=β f ϕ=α Oblast rozdělíme na malé výseče, které můžeme téměř považovat za trojúhelník ozákladně Rdϕavýšce R. Obsah ds jednoho trojúhelníku je dán vztahem ds= 1 2 R2 dϕ. O Obr. 14 Obsah oblasti Obsah celé oblasti pak určíme integrací β S= 1 R 2 dϕ. (18) 2 α Příklad 8 Descartův list Určete obsah smčk Descartova listu, který je dán rovnicí a O =3a. a Obr. 15 Descartův list Řešení Rovnici =3apřevedemenapolárnítvar,atotak,ževjádříme a pomocí Raϕadosadímedopůvodnírovnice,tj. =Rcosϕ, = Rsinϕ, potom zčehož R 3 (cos 3 ϕ+sin 3 ϕ)=3ar 2 cosϕsinϕ, R= 3asinϕcosϕ cos 3 ϕ+sin 3 ϕ. 22

23 Vezmeme-li v úvahu jen polovinu smčk, která je smetrická podle přímk =,dostanemeužitím(18)vztah 1 2 S=1 2 π 4 9a 2 sin 2 ϕcos 2 ϕ (cos 3 ϕ+sin 3 ϕ) 2dϕ. Dálepoužijemesubstitucitg ϕ=u,potom ϕ=arctg u, dϕ= du 1+u 2, cosϕ= 1 1+u 2, Pak dostaneme(po příslušné změně mezí) S= 1 sinϕ= u 1+u 2. 9a 2 u 2 du 1 3u 2 du (1+u 3 ) 2=3a2 (1+u 3 ) 2. Podalšísubstituci1+u 3 = vdostanemepozderivování3u 2 du=dv.totoopět dosadíme(s příslušnou změnou mezí) do výše uvedeného vztahu a obdržíme 2 S=3a 2 1 [ dv v 2 =3a2 1 ] 2 = 3 v 1 2 a2. Cvičení 4 1. Obsah ploch vmezené křivkou Jedánakřivkaorovnici R=asin2ϕvpolárníchsouřadnicích. a) Znázorněte tuto křivku grafick. b) Vpočtěte obsah S rovinné ploch ohraničené touto křivkou. 2. Bernoulliho lemniskáta Bernoulliho lemniskáta je speciálním případem tzv. Cassiniov křivk. Její rovnicevpolárníchsouřadnicíchjedánavztahem R=a 2cos2ϕ. a) Znázorněte tuto křivku grafick. b) Vpočtěte obsah S rovinné ploch ohraničené jednou smčkou Bernoulliho lemniskát. 23

24 5 Kuželosečk a Cassiniho ovál Vedle přímk jsou to asi nejčastěji se vsktující čár. Vzhledem k tomu, že kuželosečk jsou velmi podrobně popsán ve středoškolských učebnicích analtické geometrie, budou v této části uveden spíš informace rozšiřující učivo obsažené v těchto učebnicích ve vztahu k rovnicím používaných ve fzice. 5.1 Elipsa a hperbola Elipsa a hperbola jsou křivk, jejichž bod mají konstantní součet, resp. rozdíl svýchvzdáleností(průvodiče r 1, r 2 )oddvoupevnýchbodů(ohnisek F 1, F 2 ) v rovině, tj. r 1 ± r 2 =2a. p P b a e F 1 O a F 2 p b e F 1 O a F 2 P Obr. 16 Elipsa Obr. 17 Hperbola Konstanta a je u obou křivek rovna polovině součtu, resp. rozdílu průvodičů, nazývámejidélkouhlavnípolooskřivk(uelipsalemusíbýt2a >2e,naproti tomuuhperbolje2a <2e). Označíme-livzdálenostohnisek2e,pakproelipsuplatí b= a 2 e 2 a prohperbolu b= e 2 a 2,kde bjedélkavedlejšípoloos.jeteduelips e 2 = a 2 b 2,uhperbol e 2 = a 2 + b 2.Pokudbchomvztah r 1 ± r 2 =2adále upravili, dostaneme osové rovnice elips, resp. hperbol 2 2 a2+ b 2=1, resp. 2 a 2 2 b 2=1. Zavedeme-lipoměr ε= e a (tzv.číselnou(numerickou)výstřednost),dostaneme ε <1proelipsu, ε >1prohperbolu.Dálemůžemepsátproprůvodiče bodu Pnaelipsevztah r 1 + r 2 =2a, r 2 1 =(e+)2 + 2, r 2 2 =(e )2 + 2, 24

25 ated po úpravě Proto dále můžeme psát r 2 1 r2 2 =4e, (r 1 r 2 )2a=4e. r 1 = a+ε, r 2 = a ε. Výrazpro r 1 lzeupravitnatvar adálena r 1 = ε r 1 +K = ε, ) (+ a2, e a2 kde K= e. Ztohojevidět,žepoměrvzdálenostíboduelipsodohniska F 1 apřímk =K(řídícípřímk),jestálý(= ε).obdobnývztahjemožnoodvoditipro r 2. Pro hperbolu můžeme psát obdobně r 1 r 2 =2a, r 2 1 r 2 2=4e (pro větev s kladnými ) výraz r 1 = ε a, r 2 = ε+a, aproto r 1 = ε( K) ated r 1 K = ε. Jetedpoměrvzdálenostíboduhperbolodohniska r 1 apřímk =K (řídícípřímk)stálý(= ε).obdobnělzetakéodvoditvztahpro r 2 adruhou větevhperbol r 2 r 1 =2a. Parametrické rovnice elips a hperbol Elipsu a hperbolu(s osami v osách souřadnic) je možno vjádřit parametrick, a to elipsu rovnicemi =acost, = bsint, 25

26 a hperbolu rovnicemi = a, = btg t, cost kde t je v tomto případě úhel průvodiče měřený od os proti směru hodinových ručiček. Poznámka Speciálnímpřípademelipsjekružnice,pro b=aatedje e=iε=. Platí = r 2, nebo parametrick =rcost, = rsint. Speciálním případem hperbol je rovnoosá hperbola. Pro b=aje e=a 2, ε= 2aplatí 2 2 = a 2, nebo parametrick = a, = atg t. cost 5.2 Parabola p P e O F Obr. 18 Parabola Parabola je geometrické místo bodů v rovině, které mají od pevného bodu(ohniska) a pevné přímk(řídící přímk) stejné vzdálenosti. Na základě tohoto poznatku je možno odvodit vrcholovou rovnici parabol(pro polohu naobr.18)vetvaru 2 =2p. Tto rovnice jsou velmi podrobně pro různé poloh parabol popsán ve středoškolských učebnicích analtické geometrie, a proto se jimi nebudeme dále zabývat. 26

27 5.3 Polární rovnice kuželoseček Zavedeme-li polární souřadnice, pak můžeme všechn výše uvedené kuželosečk popsatjedinouohniskovourovnicí 4 R= p 1+εcosϕ, (19) kdeproelipsu ε <1,proparabolu ε=1,prohperbolu ε >1aprokružnici ε=. ε >1 ε=1 p F= O ε= ε <1 ϕ= Obr. 19 Polární rovnice kuželoseček 5.4 Zajímavosti z historie kuželoseček Elipsa Elipsu poprvé studoval Menaechmus(asi 35 let př. n. l.). Euklides psal o elipse, alesvůjnázevdostalaelipsaodapollonia.otom,žeelipsamáohnisko,uvažoval Pappus. Kepler v roce 162 považoval oběžnou dráhu Marsu za ovál, ale později objevil, že tím oválem je elipsa, jejíž ohnisko leží ve středu Slunce. Kepler používalslovoohnisko( focus )apublikovaljehoobjevvroce169.ecentricita planetárních drah je malá(elips jsou podobné kružnicím), např. pro Mars je 1 11 aprozemije 1 6. V roce 175 Halle pozoroval, že komet, které sledoval, se pohbují po eliptických drahách kolem Slunce. Ecentricita Halleov komet je,9675; tato 4 OdvozeníjepodrobněpopsánovestudijnímtetuSouřadnicevefzice. 27

28 hodnota vedla Hallee k závěru, že se kometa zřejmě pohbuje po parabole (ε = 1- odchlka od tohoto čísla bla dle Hallee způsobená nepřesností měření). Plocha elips je πab. Nelze ale napsat vztah pro délku elips pomocí elementárních funkcí, a to vedlo ke studiu eliptických funkcí. Ramanujan provedl v roce 1914 aproimaci délk elips vztahem [ π 3(a+b) ] (a+3b)(3a+b). Hperbola Speciálním případem hperbol = ab(asmptot svírají pravý úhel) se poprvé zabýval Menaechmus. Euklides a Aristaeus psali o hlavní hperbole, protože studovali pouze jednu větev hperbol. Název hperbola dostala tato kuželosečka od Apollonia, který studoval obě větve. S ohniskem hperbol uvažoval Pappus. Parabola Parabolu poprvé studoval Menaechmus, který bl žákem Platóna a Eudoa. Menaechmusřešilhledáníprůnikudvouparabol 2 = a 2 =2. Euklides psal o parabole, parabolu pojmenoval Apollonius. O ohnisku parabol uvažoval Pappus. Pascal uvažoval, že parabola vznikne projekcí kružnice. Galilei pozoroval, že parabola je trajektorie pohbu nábojů vstřelených šikmo vzhůru. Gregor a Newton znali vlastnost parabol, že parabola odráží rovnoběžné paprsk do ohniska. 5.5 Cassiniho ovál Z dnešního pohledu lze říci, že Cassiniho ovál je určitou analogií elips. V této části se proto podíváme na tento ovál z matematického hlediska. Ovšem než toto uděláme, podívejme se alespoň velmi stručně na historii vzniku těchto křivek Zajímavosti z historie Cassiniho ovál je křivka, která bla nazvána po francouzském astronomovi Giovannim Domenicu Cassinim. G. Cassini bl proslulý mnoha výsledk v as- 28

29 tronomii(např. objevil čtři Saturnov měsíce). V roce 1669 bl jmenován členem akademie věd v Paříži a ředitelem nové hvězdárn. G.Cassinipopsaloválvroce168jakodomněloudráhupohbuZeměkolem Slunce, přičemž Slunce se nachází v jednom ohnisku. Jeho výsledek uveřejnil jeho sn Jacob Cassini v Eléments d astronomie(základ astronomie) teprve roku 174. Roku 1694 Jacob Bernoulli popsal nezávisle na Cassinim ten případ, kd je konstanta rovna polovině vzdálenosti ohnisek, tj. ( ) 2 +2k 2 ( 2 2 )=, k= F 1F 2. 2 Bernoulli uvedl polární rovnice této křivk a pojmenoval ji lemniscus(z řečtin stuha). Svůj objev uveřejnil v Acta Eruditorum v roce Netušil tehd, že před 14 let Cassini popsal obecnější případ této křivk(což dnes ale není překvapivé,neboťocassinihooválupsalažjehosn)vr.174. Teprve v roce 1782 Pietro Feroni ukázal, že speciálním případem Cassiniho oválů je Bernoulliova lemniskáta. Později se lemniskátou zabývali také Euler a Gauss. jejich práce vedl k zavedení eliptických funkcí a k teorii eliptických integrálů v 19. století Cassiniho ovál z matematického pohledu k < e k > e k = e k < e F 1 F 2 Cassiniho ovál jsou definován jakomnožinavšechbodů Xvrovině takových, že součin vzdáleností od dvou pevně zvolených bodů F 1, F 2 (ohnisek) je konstantníajeroven k 2,tj.platí F 1 X F 2 X =k 2. (2) Obr. 2 Cassiniho ovál V další části odvodíme rovnici popisující Cassiniho ovál v kartézské soustavě souřadnic. Označíme-livzdálenostmezibod F 1 a F 2 (ohnisk)2e,tj. F 1 O =F 2 O = e,pakmůžemerovnici(2)přepsatnatvar (+e)2 + 2 ( e) = k 2, neboli [(+e) ] [( e) ]=k 4. 29

Křivky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Křivky. Copyright c 2006 Helena Říhová Křivky Copyright c 2006 Helena Říhová Cassiniovy křivky, lemniskáta Křivky nesou jméno francouzského matematika a astronoma Jeana Dominiquea Cassiniho (1625 1712) a jsou definovány jako množina bodů X

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Parametrický popis křivek

MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Parametrický popis křivek MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ arametrický ois křivek 1 Jedánakřivka k(t)=[t t+ ; t 3 3t], t R. Nakresletečástkřivk kro t 3 ;3.Naišterovnicetečenkřivkvbodech k( 1), k(1) a k(). Dosazením několika hodnot

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace křivky Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha V.E... gumipuk 8 bodů; průměr 4,40; řešilo 25 studentů Závaží o hmotnosti m na gumičce délk l 0 je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích = = 0 a = 0. Z os, která je horizontálně, závaží pouštíme.

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic

2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic .3.0 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =

Více

2.1.10 Lineární funkce III

2.1.10 Lineární funkce III ..0 Lineární funkce III Předpoklad: 09 Minulá hodina Lineární funkce je každá funkce, která jde zapsat ve tvaru = a + b, kde a, b R. Grafem lineární funkce je přímka (část přímk), kterou kreslíme většinou

Více

5.2.8 Zobrazení spojkou II

5.2.8 Zobrazení spojkou II 5.2.8 Zobrazení spojkou II Předpoklady: 5207 Př. 1: Najdi pomocí význačných paprsků obraz svíčky, jejíž vzdálenost od spojky je menší než její ohnisková vzdálenost. Postupujeme stejně jako v předchozích

Více

5.2.3 Duté zrcadlo I. Předpoklady: 5201, 5202

5.2.3 Duté zrcadlo I. Předpoklady: 5201, 5202 5.2.3 Duté zrcadlo I Předpoklady: 5201, 5202 Dva druhy dutých zrcadel: kulové = odrazivá plocha zrcadla je částí kulové plochy snazší výroba, ale horší zobrazení (aby se zobrazovalo přesně, musíme použít

Více

7.5.13 Rovnice paraboly

7.5.13 Rovnice paraboly 7.5.1 Rovnice arabol Předoklad: 751 Př. 1: Seiš všechn rovnice ro arabol a nakresli k nim odovídající obrázk. Na každém obrázku vznač vzdálenost. = = = = Pedagogická oznámka: Sesání arabol je důležité,

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Astronomové při sledování oblohy zaznamenávají především úhly a pozorují něco, co se nazývá nebeská sféra. Nicméně, hvězdy nejsou od Země vždy

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

8. Slovní úlohy na extrémy

8. Slovní úlohy na extrémy 8. Slovní úlohy na extrémy Vtétokapitolenaznačíme,jakřešitněkteré praktické (většinougeometrické) úlohy související s extrémy funkcí jedné proměnné. Novým prvkem bude nutnost slovně zadanou úlohu nejdříve

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Geodézie přednáška 9 Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Určování výměr určování

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více