MATEMATIKA KŘIVEK. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Ivo Volf. Úvod- proč se zabývat křivkami 4

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA KŘIVEK. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Ivo Volf. Úvod- proč se zabývat křivkami 4"

Transkript

1 MATEMATIKA KŘIVEK Studijní tet pro řešitele FO a ostatní zájemce o fziku Miroslava Jarešová Ivo Volf Obsah Úvod- proč se zabývat křivkami 4 1 Základní pojm Křivostkřivk Příklad1 výpočetkřivostikružnice Oskulačníkružniceapoloměrkřivosti Výpočetstředukřivosti Příklad2 výpočetpoloměrukřivostihperbol Cvičení Křivka a její rovnice 12 Příklad3 kardioida Cvičení Délka křivk Obecnárovnicekřivk Parametrickérovnicekřivk Příklad4 délkaasteroid Příklad5 délkackloid Polárnírovnicekřivk Příklad6 délkakardioid Cvičení Obsah oblasti Obecnárovnicekřivk Parametrickérovnicekřivk Příklad7 plochackloid Polárnírovnicekřivk Příklad8 Descartůvlist Cvičení

2 5 Kuželosečk a Cassiniho ovál Elipsaahperbola Parabola Polárnírovnicekuželoseček Zajímavostizhistoriekuželoseček Cassinihoovál Zajímavostizhistorie Cassinihooválzmatematickéhopohledu Bernoulliholemniskáta Spirál Historieaužití Matematickévjádřeníspirál Archimédovaspirála Logaritmickáspirála Hperbolickáspirála Fermatovaspirála Lituuovaspirála Sinováspirála Cklické křivk Historieckloid Ckloid Prostáckloida Příklad9 ckloidálníkvadlo Zkrácenáckloida Prodlouženáckloida Epickloidahpockloid Parametrické rovnice epickloid a hpockloid Rhodoneakřivk Evolventa Algebraické křivk Dioklovakisoida Descartůvlist Nikomédovakonchoida Pascalovazávitnice(limacon) Strofoida

3 9 Další křivk Řetězovka(catenar) Traktri Příklad1 rovnicetraktri Klotoida Výsledk cvičení 63 Literatura 64 3

4 Úvod- proč se zabývat křivkami Pojem křivka je jeden z nejdůležitějších matematických pojmů. Je také zároveň jedním z těch matematických pojmů, které se nejčastěji vsktují v aplikacích v denním životě. Přestože je tento pojem velmi důležitý, jeho objasnění se s vývojem různých vědních oborů neustále zpřesňuje. Z hlediska fzik je zajímavá např. charakterizace křivk jako trajektorie pohbujícího se bodu. Z hlediska této charakteristik je ted možno říci, že křivka je trajektorie, kterou proběhne v určitém časovém intervalu bod, který se spojitě pohbuje, neboli jinak řečeno(pojmeme-li charakteristiku křivk z hlediska matematik jako zobrazení), že křivka je spojitým obrazem úsečk. Při používání této definice křivk se ale ukázalo(z hlediska matematik), že tato definice je příliš široká. Italský matematik Peano ukázal již v roce 189, že eistuje spojité zobrazení úsečk na čtverec, jinými slov, že dráha hmotného bodu, který se spojitě pohbuje, může vplňovat celý čtverec. Toto spojité zobrazení ale není vzájemně jednoznačné, tj. pohbující se bod projde některými bod čtverce několikrát. Modernější(přesnější) definici křivk podal rakouský matematik Menger v roce 1921 a nezávisle na něm téměř současně sovětský matematik Ursohn. Jejich definici lze uvést asi takto: křivka je kontinuum, jehož libovolné dva bod se dají oddělit množinou neobsahující již žádné kontinuum. Vývoj pojmu křivka ovšem tímto zdaleka nekončí, charakteristika pojmu křivka se neustále zpřesňuje. V současné době se definice křivk provádí pomocí tzv. variet. Toto bl pouhý nástin historického vývoje tohoto pojmu, jehož počátk zasahují do starověkého Řecka. Cílem tohoto tetu ale není rozbor tohoto pojmu, ale zaměřit se spíš na konkrétní křivk, napsat jejich rovnice, podat stručnou informaciohistoriikřivek vtvořitpřírůčkuvesmslu průvodcekřivkami. Vzhledemkomezenémurozsahutetusejednávtéto papírové podoběpouze o matematický popis a přehled. Podstatně více k těmto křivkám je obsaženo na přiloženémcdromu,kdejeipřehledaplikacívefziceivpraktickémživotě, jsou zde i v podstatně větší míře řešené úloh týkající se jednotlivých křivek, na CD ROMu jsou obsažen i animace a možnost modelování jednotlivých křivek pro různé hodnot parametrů pomocí předem připravených programů. NaCDROMujsoutakédáleuvedendalšíčástiMatematikprofzikutet Funkce, Diferenciální počet, Integrální počet, Diferenciální rovnice, Vektor,skalár...aSouřadnicevefzice. 4

5 1 Základní pojm V této části si vmezíme základní pojm, se kterými budeme v dalších kapitolách dále pracovat. 1.1 Křivost křivk Křivost křivk je jedním z prvků, které charakterizují křivku. Jinak řečeno je to také zakřivení křivk v různých bodech. Připohbuodjednohobodukřivk M kedruhému M sebudesoučasnětaké α měnit poloha tečn ke křivce: tečna se bude otáčet. Toto odlišuje křivku od přímk,jejížtečnasnísplývávevšech P jejích bodech ted přímka a tečna P mají stejný směr. Čím bude větší úhel, okterýseotočítečnapřipřechoduod bodu Mdobodu M křivk,tímvícese N také bude lišit oblouk křivk od přímk, M a tím větší bude také zakřivení křivk. M Zakřivení oblouku však nelze charakterizovatjenúhlem,okterýseotočítečna křivk při přechodu z jednoho krajního bodu oblouku do druhého krajního bodu. Na obr. 1 jsou nakreslen dva oblouk PP a MM,jejichžzakřivení jsourůzná,aleúhel,okterýseotočí Obr. 1 Zakřivení křivk tečna, je stejný. Z toho vplývá, že chceme-li stanovit míru zakřivení oblouku dané křivk, jenutnéuvažovattakéjehodélku.zobr.1jepatrné,žepřistejnémúhlu, okterýseotočítečna,jezakřivenítímvětší,čímkratšíjedélkaoblouku. Ukazuje se jako přirozené definovat průměrnou křivost oblouku křivk jako poměr úhlu tečen v krajních bodech oblouku k délce oblouku, neboli jako úhel, okterýseotočítečnakřivknajednotkovédélceoblouku(úhel αjevžd v obloukové míře): průměrnákřivostoblouku MM je α MM. Ilustrujme nní výše uvedený postup na výpočtu průměrné křivosti kružnice o poloměru R. 5

6 α A A α Prokaždýobloukkružnicejeúhel αtečenkekružnici v krajních bodech oblouku roven úhlu poloměrů vdotkovýchbodech(obr.2).délkaoblouku AA je αr, takže průměrná křivost oblouku je stejná ve všech jejích částech a je rovna α αr = 1 R. Obr. 2 Průměrná křivost kružnice Dostali jsme, že průměrná křivost kružnice je převrácená hodnota poloměru, a je ted nepřímo úměrná poloměru kružnice. Na základě výše uvedených úvah můžeme ted říci, že průměrná křivost charakterizuje celkové zakřivení oblouku. V různých částech oblouku ale může být zakřivení různé, což je vidět např. naobr.1,kdječást MNoblouku MM vícezakřivenanežčást NM. Můžeme ted říci, že průměrná křivost bude tím přesněji charakterizovat zakřivení oblouku křivk v různých bodech, čím menší bude délka oblouku. Analogick, jako se provádí ve fzice přechod od rchlosti průměrné k rchlosti okamžité, lze provést limitní přechod od křivosti průměrné ke křivosti v bodě, tj. K= lim MM α MM. V dalším postupu odvodíme vzorec pro výpočet křivosti K v bodě. Předpokládejme, že křivka je dána rovnicí = f(). Budeme-li hledat křivost v bodě, musíme kromě rovnice křivk ještě znát souřadnice bodu této křivk. To znamená, že mámeli odvodit vzorec pro výpočet křivosti K, potřebujeme vjádřit limitu α lim MM MM pomocísouřadnic, bodu Mkřivk,přičemž = f(). A α M A t M α t α+ α Obr.3Křivostkřivkvbodě Předpokládejme, že M =[; ]. Zvětšíme-li o přírůstek, pak hodnotě úsečk + příslušíbod M křivk.vbodech M, M veďmetečn t, t 6

7 (obr.3).označíme-li αúhel,kterýsvírátečna tsosou vbodě M,změní sepřipřechodu M M úhel αnaúhel α+ α.přírůstek αjezároveňi úhlem,okterýseotočítečna.označíme-lioblouk AM= s,pakje MM = s. Potom platí Tento výraz můžeme dále upravit na K= lim K= lim s = α s. α s = α lim lim Pro s můžemeodvoditvztah s s = lim = lim ( )2 +( ) 2 s = α s. (1) = lim 1+ ( ) 2, s = 1+( ) 2. (2) Obdobněnníodvodímeivztahpro α.zgeometrickéhovýznamuprvníderivace víme, že =tg α. Ztohoplne,že α=arctg.pozderivovánípodle dostaneme α = Podosazení(2)a(3)do(1)dostaneme K= 1 1+( ) ( ) 2. (3) 1 1+( ) 2= 3 [1+( ) 2 ] 2. (4) Výše uvedeným postupem jsme ted odvodili vztah pro výpočet zakřivení obloukuvbodě.nakonecsiještěmusímeuvědomitposlednívěc:je-li >,pak jekřivkavpuklá;naopakvbodech,kdeje <jekřivkavdutá. Použití výše uvedených vztahů si nní budeme ilustrovat na výpočtu následujícího příkladu. Příklad 1 výpočet křivosti kružnice Jedánakružniceorovnici( 2) =4.Určetekřivostikružnicevbodě o -ové souřadnici 2. 7

8 Řešení Podmínkuzadání =2splňujídvabod: A=[2;2], B[2; 2]. Přiřešeníjenutnouvažovat,žepročást A kružnice pod osou je kružnice popsána funkcí 2 1 = 4 ( 2) 2 = 4 2, B Obr. 4 Křivost kružnice Pročástpodkružnicíjeted obdobněpročástpodosou je 2 = 4 2. = = 2, Po dosazení = (B)= =, 1 4 ( 2 ( 2) 1 ) (4 2 ) 2 4 2, = (4 2 ) (B)= Analogick bchom určili, že pro část kružnice nad osou je = 2, 4 2 tj. (A)=, = , tj. (A)= 1 2. (4 2 ) Po dosazení do(4) dostaneme K(B)= 1 2, K(A)=

9 Z výše uvedeného výpočtu je vidět, že velikost křivosti v daných bodech má stejnou velikost, ale opačné znaménko, což odpovídá situaci na obr. 4. Protože sejednáokružnici,můžemeříci,ževelikostkřivostijekonstantníajerovna 1 R. Rozdílnost znamének je způsobena tím, že vrchní, resp. spodní část půlkružnice je vdutá, resp. vpuklá. 1.2 Oskulační kružnice a poloměr křivosti A S A t M Obr. 5 Oskulační kružnice Mějmenějakoukřivku AA,kterámávbodě M křivost rovnou K (obr. 5). Sestrojme tečnu a normálu křivk v bodě M. Postupně budeme prokládat bodem M kružnice, jejichž střed budou ležet na normále ve směru, kterým je křivka vdutá. Všechn tto kružnice budoumítvbodě M společnoutečnuskřivkou AA ; vokolíbodu M jsouttokružnicevdutétýmžsměrem jako křivka. Mezi těmito kružnicemi eistuje také taková kružnice, která bude mít stejnou křivost K jako křivkavbodě M. Ze vztahu mezi křivostí a poloměrem kružnice plne, že poloměr zkoumané kružnicemusíbýtrovenabsolutníhodnotěčísla 1 K. Takto sestrojená kružnice se nazývá oskulační kružnice křivk v bodě M. Převrácenáhodnotakřivostivbodě M,tj.hodnota R= 1 K senazývápoloměr křivostiastřed Soskulačníkružnicestředemkřivostikřivkvbodě M. Podobně jako tečna charakterizuje stoupání křivk v daném bodě, oskulační kružnice dává názornou představu o zakřivení křivk v daném bodě. Můžeme ted říci, že oskulační kružnice se přimká křivce těsněji než libovolná z ostatníchkružnic,kterésedotýkajíkřivkvdanémbodě M,avmalémokolíbodu M s velkou přesností nahrazuje přibližně křivku. Vztah pro výpočet poloměru křivosti lze snadno odvodit z rovnice R= 1 K, kamza Kdosadímezevztahu(4).Potomje R= [1+( ) 2 ]. (5) 9

10 1.3 Výpočet středu křivosti Při odvozování vztahů pro výpočet souřadnic středu křivosti vjdeme z poznatků,žestředkřivosti Sležínanormále,kteráprocházíbodem M=[ ; ] kolmoktečně.provzdálenost SM platí,že SM =R. Rovnice tečn t je dána vztahem u P[ ; ] t t: = + ( ), rovnice normál u je pak dána vztahem u: = 1 ( ). S[m; n] Obr. 6 Střed křivosti poúpravěje Protožebod Sležínanormále u,můžemepsát n= 1 (m ), n= + 1 ( m). (6) Protožebod M =[ ; ]ležínaoskulačníkružnicisestředem S =[m;n], můžeme psát ( m) 2 +( n) 2 = R 2. (7) Vztah(6) a(7) představují soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Řešením této soustav dostaneme m= [1+( )2 ], (8) n= + 1 [1+( ) 2 ]. (9) Příklad 2 výpočet poloměru křivosti hperbol Určete poloměr křivosti a souřadnice středu křivosti rovnoosé hperbol o rovnici =2vbodě[4;5]. 1

11 Řešení Rovnicihperbolpřepíšemenatvar = 2.Potom Pro =4dostaneme: = 2 2, = 4 3. (4)= 5 4, (4)= 5 8. Po dosazení do(5) dostaneme R= ( ) =6,56. Střed křivosti pak má souřadnice, které určíme dosazením do vztahů(8),(9): m= [ 1+ ( ) ] [ 2 5 =9,125; n= ( ) ] 2 5 =9,1. 4 Cvičení 1 1. Výpočet středu a poloměru křivosti elips Určete poloměr a střed křivosti elips o rovnici 2 2 a2+ b 2=1vbodě[;b]. 2. Výpočet poloměru a středu křivosti řetězovk Odvoďteobecnývztahprovýpočetpoloměruastředukřivostiřetězovk 1 dané rovnicí ( ) = a 2 e a +e a. 1 Tutokřivkuvtvořínapř.pružné,homogenní,neroztažitelnélanozavěšenénaobousvých koncích tak, ab konce lana nebl uchcen v téže svislé přímce. 11

12 2 Křivkaajejírovnice Nechť je křivka dána svojí geometrickou vlastností(tj. jako geometrické místo bodů). V řadě případů se ukazuje výhodné pracovat pomocí polárních souřadnic R, ϕ,aprotobudemekřivkuvšetřovatjakotrajektoriipohbubodu M,který má proměnné souřadnice R a ϕ. Potom bude muset geometrické vlastnosti, kterou je křivka určena, odpovídat analtický vztah mezi souřadnicemi R a ϕ, který je právě rovnicí křivk. V obecném případě je možno psát rovnici křivk v polárních souřadnicích ve tvaru R=f(ϕ) a uvažovat R jako funkci úhlu ϕ. Je zřejmé, že naopak funkce R=f(ϕ) se geometrick znázorní křivkou. Shrneme-li výše uvedenou úvahu, můžeme říci, že křivce dané geometrickou vlastnostíodpovídárovnice R=f(ϕ)anaopak,žerovnici R=f(ϕ)odpovídá křivka.ztohopakvznikajídvatpúloh: a) je dána křivka jako geometrické místo bodů; sestavte rovnici této křivk; b) je dána rovnice mezi souřadnicemi R a ϕ; sestrojte křivku, která je vjádřena touto rovnicí. Ukážeme si to na následujícím příkladu. Příklad 3 kardioida Kružnice o poloměru a se valí bez prokluzu po nějaké pevné kružnici téhož poloměru. a) Napište rovnici křivk kardioid, kterou opisuje bod M ležící na obvodu pohbující se kružnice(obr. 7). b) Určete tvar kardioid. S 1 S 2 M Obr. 7 Odvalování kružnice 12

13 Řešení a) Na obr. 7 je zobrazena počáteční poloha odvalující se kružnice. Polární osu apólzvolímepodleobr.7.pourčitédoběpohbusepolohabodu M změní tak,jakjeznázorněnonaobr.8. A Q ϕ P O S 1 B N M S 2 Obr. 8 Vtváření kardioid Protože dochází k odvalování pohblivé kružnice po pevné kružnici, zřejmě platí, žedélkaoblouku NAOjestejnájakodélka oblouku NBM.Nnívýšuvedenouzávislost podrobněji všetříme. Jezřejmé,žebod M padnedopólu O, kdž pohbující se kružnice obejde polovinu obvodu pevné kružnice. To ale znamená, že délka oblouku na obvodu pohbující se kružnice od bodu N, který je bodemdotkuoboukružnic,kbodu M, se rovná délce oblouku na obvodu pevné kružniceodtéhožbodu Nkpólu. Protože ale poloměr obou kružnic jsou stejné, jsou stejné i středové úhl NS 2 M= NS 1 O.Útvar OS 1 S 2 M tedtvořírovnoramennýlichoběžník,a protojsouúsečk S 1 S 2 a OM ( OM =R)rovnoběžné.Spustíme-likolmici zbodu Nnaúsečku OM,můžemepsát OP = PM, ated R=2 OP. Protože OP = OQ + QP a OQ =acosϕ, QP = S 1 N =a,dostaneme R=2(acosϕ+a)=2a(1+cosϕ). Toto je ted hledaná rovnice kardioid. b) Nalezenou rovnici použijeme k určení tvaru kardioid. Pro ϕ=je R=4a.Bod M ležínapolárníosevevzdálenosti4aodpólu (počátečnípoloha).položíme-li ϕ= π,potom R=2a.Prohodnotu ϕ=π 2 bude R=,tj.bod Msplnespólem.Prohodnotu ϕ= 3π je R=2a.Pro 2 dalšízměnúhlu ϕopíšebod M zbývajícíčástkřivk,přihodnotě ϕ=2π sevrátídopůvodnípolohadálesezačneznovupohbovatpotéžekřivce. Dále bchom ještě mohli dopočítat několik dalších hodnot R odpovídajících zvolenému úhlu ϕ. Pak sestrojíme příslušné bod a proložíme jimi souvislou křivku,jakjeznázorněnonaobr.9. 13

14 2a 2a O 2a 4a Sestrojená křivka se obecně nazývá epickloida. Při různých vztazích mezi poloměr pohblivých a pevných kružnic dostáváme různé epickloid. Kardioida ted patří mezi epickloid; je to taková epickloida, kterou dostaneme v případě rovnosti poloměrů pohbující se i pevné kružnice. Obr. 9 Kardioida Poznámka Pro vkreslování křivek pomocí počítače je velmi výhodné zadávat rovnice křivek parametrick(parametr t se zde často používá jako časová proměnná při vkreslování křivek). Pokud bchom chtěli např. rovnici kardioid napsat pomocí parametrického vjádření, lze psát =Rcosϕ=2a(1+cosϕ)cos ϕ, = Rsinϕ=2a(1+cosϕ)sinϕ (což je vlastně převod polárních souřadnic na kartézské). Nní už jen nahradíme úhel ϕ parametrem t a obdržíme(s použitím součtových vzorců) =a(1+2cost+cos2t), = a(2sint+sin2t). Cvičení 2 1. Kreslení křivek Sestrojte křivk, které jsou dán těmito rovnicemi: a) R=asinϕ,b) R=a(1 cosϕ),c) R=acos ϕ Parametrické vjádření křivek Napište parametrické rovnice křivek z předcházející úloh. 14

15 3 Délka křivk 3.1 Obecná rovnice křivk s = f() Délkukřivkurčímetak,žesicelou křivku rozdělíme na n dílčích částí, které můžeme přibližně považovat za přímk. Potom pro délku jednoho takového dílku platí O a Obr. 1 Délka křivk po úpravě dostaneme tzv. diferenciál oblouku křivk ( ) 2 d ds= 1+ d, d tj. b ( s) 2 =( ) 2 +( ) 2. Zvolíme-li dílk velmi malé, můžeme -přírůstk nahradit diferenciálem funkce, tj. (ds) 2 =(d) 2 +(d) 2, (1) ds= 1+( ) 2 d. (11) Celkovou délku křivk pak dostaneme integrací, neboli s= b a 1+( ) 2 d. (12) 3.2 Parametrické rovnice křivk Je-li křivka dána parametrick, tj. =(t), = (t), t α;β, potom můžeme psát d= d dt dt=ẋdt, =d dt dt=ẏdt. 15

16 Po dosazení do(1) dostaneme (ds) 2 =[(ẋ) 2 +(ẏ) 2 ](dt) 2, po odmocnění je diferenciál oblouku křivk dán vztahem ds= (ẋ) 2 +(ẏ) 2 dt. Celkovou délku pak určíme integrací přes celou křivku s= β α (ẋ)2 +(ẏ) 2 dt. (13) Poznámka Budeme-liparametr tpovažovatzačas,potom (ẋ) 2 +(ẏ) 2 = vvjadřuje velikost okamžité rchlosti pohbu. Potom lze psát Příklad 4 délka asteroid s= β α v(t) dt. (14) Určetedélkuasteroid 2 danéparametrickrovnicemi =acos 3 t, =asin 3 t. O Obr. 11 Asteroida 2 Asteroidajecklická křivka,kterávznikne odvalovánímkružniceopoloměru r = a 4 uvnitř kružnice o poloměru a. 16

17 Řešení Protože asteroida je smetrická vzhledem k oběma souřadnicovým osám, stačí vzítdélkujednéjejíčtvrtinv1.kvadrantu,tj. t ; π 2.Pakpodosazenído (13) dostaneme po úpravě s 4 =3a s 4 = π 2 π 2 ( 3acos 2 tsin 2 t) 2 +(3asin 2 tcos 2 t) 2 dt, costsintdt= 3a 2 π 2 Délkaceléasteroidje s=4 3a 2 =6a. sin(2t)dt= 3a 4 [ cos(2t)] π 2 =3a 2. Příklad 5 délka ckloid Určetedélkujednohoobloukuprostéckloid 3 danéparametrickrovnicemi =r(t sint), = r(1 cost). O t r 2πr Obr. 12 Prostá ckloida 3 Ckloidajecklickákřivka,kterávznikneodvalovánímkružniceopoloměru rpopřímce. 17

18 Řešení Určíme ẋ=r(1 cost), ẏ=rsintadosadímedo(13).dostaneme s=2r π (1 cost) 2 +sin 2 tdt=2 2r Dále použijeme součtový vzorec a obdržíme s=4r π 3.3 Polární rovnice křivk sin t 2 dt=4r [ 2cos t 2 π ] π 1 costdt. =8r. Je-lirovnicekřivkzadánapomocípolárníchsouřadnic,tj. =Rcosϕ, = Rsinϕ,kde ϕ α;β,musímenejprveurčitdadapotomdosaditdo(1). Dostaneme d= Rsinϕdϕ+cosϕdR, d= Rcosϕdϕ+sinϕdR, po dosazení do(1) a úpravě dostaneme (ds) 2 = R 2 (dϕ) 2 +(dr) 2. Po odmocnění a integraci je s= Příklad 6 délka kardioid β α R 2 + ( ) 2 dr dϕ. (15) dϕ Určetedélkukardioid,jejížrovnici R=2a(1+cosϕ)=d(1+cosϕ)(označíme d=2a průměrkružnic)vpolárníchsouřadnicíchjsmeodvodilivpříkladu3. Řešení K řešení použijeme vztah(15), kam dosadíme příslušné diferenciál. Dále také vužijeme, že kardioida je smetrická podle os. Dostaneme s=2 π d 2 (1+2cosϕ+cos 2 ϕ)+d 2 sin 2 ϕdϕ=2d s=4d π π cos ϕ [ 2 dϕ=4d 2sin ϕ ] π =8d. 2 2(1+cosϕ)dϕ, 18

19 Cvičení 3 Při řešení následujících cvičení je možno použít vztah pro výpočet integrálu (jehož odvození je uvedeno na CD ROMu část Matematika křivek Základní pojm Cvičení) 1+2 d= ( 2 ln + 1+ )+C Vrh šikmo vzhůru Vpočtěte délku s dráh, kterou opíše ve vakuu náboj ( vstřelený z děla počátečnírchlostíovelikosti v podelevačnímúhlem α ; π ). 2 Návod: napište parametrické rovnice pro tento druh pohbu, pak použijte vztahu pro výpočet délk křivk vjádřený pomocí parametrických souřadnic. 2. Vrh vodorovný Těleso je vrženo vodorovně z výšk H nad zemským povrchem počáteční rchlostíovelikosti v.určetedélku sdráh,kteroutototělesopřipohbuopíše kdž dopadne na povrch země. 3. Řetězovka Vpočtětedélku sřetězovk = a 2 kde a >. ( e a +e a ) vmezíchod 1 =do 2 = a, 19

20 4 Obsah oblasti 4.1 Obecná rovnice křivk Je-likřivkadánarovnicí = f(),potomobsahplochjedánvztahem S= b a f()d, (16) který je podrobněji rozebrán v učebnicích integrálního počtu nebo např. ve studijním tetu Integrální počet ve fzice. 4.2 Parametrické rovnice křivk Je-li křivka dána parametrick např. ve tvaru =ϕ(t), = ψ(t), t α;β, potommůžemepsát t=ϕ 1 (),kde ϕ 1 ()jeinverznífunkcekfunkci ϕ(). Dálepakmůžemepsát =ψ(ϕ 1 ()).Obsahplochjepakdánvztahem S= b a ψ(ϕ 1 ())d. Užitímsubstituce =ϕ(t)dostanemed= ϕ(t)dtpodosazenídovztahu(16) obdržíme S= β α ψ(t) ϕ(t)dt. (17) Příklad 7 plocha ckloid Vpočtěte obsah ploch ohraničené osou a jedním obloukem prosté ckloid (obr. 13) dané parametrick rovnicemi =r(t sint), = r(1 cost). 2

21 O 2πr Obr. 13 Obsah ploch pod obloukem prosté ckloid Řešení Kvýpočtupoužijemevztahu(17),kamdosadíme ψ(t)==r(1 cost), ϕ(t)dt=r(1 cost)dt,kde t ;2π.Dostaneme 2π S= r 2 (1 cost)(1 cost)dt=r 2 (1 2cost+cos 2 t)dt. K výpočtu integrálu použijeme součtový vzorec Potom obdržíme S= 2π ( ) 3 2 2cost+1 2 cos2t cos 2 t= 1+cos2t. 2 [ ] 2π 3 dt=r 2 2 t 2sint+1 4 sin2t =3πr Polární rovnice křivk Nechť R = f(ϕ)jespojitáfunkcenaintervalu α;β.chcemeurčitobsah oblastivmezenégrafemfunkce f apolopřímkami ϕ=αaϕ=β.budeme uvažovat,že β α 2π.Dálebudemepředpokládat,že f. 21

22 dϕ R ϕ=β f ϕ=α Oblast rozdělíme na malé výseče, které můžeme téměř považovat za trojúhelník ozákladně Rdϕavýšce R. Obsah ds jednoho trojúhelníku je dán vztahem ds= 1 2 R2 dϕ. O Obr. 14 Obsah oblasti Obsah celé oblasti pak určíme integrací β S= 1 R 2 dϕ. (18) 2 α Příklad 8 Descartův list Určete obsah smčk Descartova listu, který je dán rovnicí a O =3a. a Obr. 15 Descartův list Řešení Rovnici =3apřevedemenapolárnítvar,atotak,ževjádříme a pomocí Raϕadosadímedopůvodnírovnice,tj. =Rcosϕ, = Rsinϕ, potom zčehož R 3 (cos 3 ϕ+sin 3 ϕ)=3ar 2 cosϕsinϕ, R= 3asinϕcosϕ cos 3 ϕ+sin 3 ϕ. 22

23 Vezmeme-li v úvahu jen polovinu smčk, která je smetrická podle přímk =,dostanemeužitím(18)vztah 1 2 S=1 2 π 4 9a 2 sin 2 ϕcos 2 ϕ (cos 3 ϕ+sin 3 ϕ) 2dϕ. Dálepoužijemesubstitucitg ϕ=u,potom ϕ=arctg u, dϕ= du 1+u 2, cosϕ= 1 1+u 2, Pak dostaneme(po příslušné změně mezí) S= 1 sinϕ= u 1+u 2. 9a 2 u 2 du 1 3u 2 du (1+u 3 ) 2=3a2 (1+u 3 ) 2. Podalšísubstituci1+u 3 = vdostanemepozderivování3u 2 du=dv.totoopět dosadíme(s příslušnou změnou mezí) do výše uvedeného vztahu a obdržíme 2 S=3a 2 1 [ dv v 2 =3a2 1 ] 2 = 3 v 1 2 a2. Cvičení 4 1. Obsah ploch vmezené křivkou Jedánakřivkaorovnici R=asin2ϕvpolárníchsouřadnicích. a) Znázorněte tuto křivku grafick. b) Vpočtěte obsah S rovinné ploch ohraničené touto křivkou. 2. Bernoulliho lemniskáta Bernoulliho lemniskáta je speciálním případem tzv. Cassiniov křivk. Její rovnicevpolárníchsouřadnicíchjedánavztahem R=a 2cos2ϕ. a) Znázorněte tuto křivku grafick. b) Vpočtěte obsah S rovinné ploch ohraničené jednou smčkou Bernoulliho lemniskát. 23

24 5 Kuželosečk a Cassiniho ovál Vedle přímk jsou to asi nejčastěji se vsktující čár. Vzhledem k tomu, že kuželosečk jsou velmi podrobně popsán ve středoškolských učebnicích analtické geometrie, budou v této části uveden spíš informace rozšiřující učivo obsažené v těchto učebnicích ve vztahu k rovnicím používaných ve fzice. 5.1 Elipsa a hperbola Elipsa a hperbola jsou křivk, jejichž bod mají konstantní součet, resp. rozdíl svýchvzdáleností(průvodiče r 1, r 2 )oddvoupevnýchbodů(ohnisek F 1, F 2 ) v rovině, tj. r 1 ± r 2 =2a. p P b a e F 1 O a F 2 p b e F 1 O a F 2 P Obr. 16 Elipsa Obr. 17 Hperbola Konstanta a je u obou křivek rovna polovině součtu, resp. rozdílu průvodičů, nazývámejidélkouhlavnípolooskřivk(uelipsalemusíbýt2a >2e,naproti tomuuhperbolje2a <2e). Označíme-livzdálenostohnisek2e,pakproelipsuplatí b= a 2 e 2 a prohperbolu b= e 2 a 2,kde bjedélkavedlejšípoloos.jeteduelips e 2 = a 2 b 2,uhperbol e 2 = a 2 + b 2.Pokudbchomvztah r 1 ± r 2 =2adále upravili, dostaneme osové rovnice elips, resp. hperbol 2 2 a2+ b 2=1, resp. 2 a 2 2 b 2=1. Zavedeme-lipoměr ε= e a (tzv.číselnou(numerickou)výstřednost),dostaneme ε <1proelipsu, ε >1prohperbolu.Dálemůžemepsátproprůvodiče bodu Pnaelipsevztah r 1 + r 2 =2a, r 2 1 =(e+)2 + 2, r 2 2 =(e )2 + 2, 24

25 ated po úpravě Proto dále můžeme psát r 2 1 r2 2 =4e, (r 1 r 2 )2a=4e. r 1 = a+ε, r 2 = a ε. Výrazpro r 1 lzeupravitnatvar adálena r 1 = ε r 1 +K = ε, ) (+ a2, e a2 kde K= e. Ztohojevidět,žepoměrvzdálenostíboduelipsodohniska F 1 apřímk =K(řídícípřímk),jestálý(= ε).obdobnývztahjemožnoodvoditipro r 2. Pro hperbolu můžeme psát obdobně r 1 r 2 =2a, r 2 1 r 2 2=4e (pro větev s kladnými ) výraz r 1 = ε a, r 2 = ε+a, aproto r 1 = ε( K) ated r 1 K = ε. Jetedpoměrvzdálenostíboduhperbolodohniska r 1 apřímk =K (řídícípřímk)stálý(= ε).obdobnělzetakéodvoditvztahpro r 2 adruhou větevhperbol r 2 r 1 =2a. Parametrické rovnice elips a hperbol Elipsu a hperbolu(s osami v osách souřadnic) je možno vjádřit parametrick, a to elipsu rovnicemi =acost, = bsint, 25

26 a hperbolu rovnicemi = a, = btg t, cost kde t je v tomto případě úhel průvodiče měřený od os proti směru hodinových ručiček. Poznámka Speciálnímpřípademelipsjekružnice,pro b=aatedje e=iε=. Platí = r 2, nebo parametrick =rcost, = rsint. Speciálním případem hperbol je rovnoosá hperbola. Pro b=aje e=a 2, ε= 2aplatí 2 2 = a 2, nebo parametrick = a, = atg t. cost 5.2 Parabola p P e O F Obr. 18 Parabola Parabola je geometrické místo bodů v rovině, které mají od pevného bodu(ohniska) a pevné přímk(řídící přímk) stejné vzdálenosti. Na základě tohoto poznatku je možno odvodit vrcholovou rovnici parabol(pro polohu naobr.18)vetvaru 2 =2p. Tto rovnice jsou velmi podrobně pro různé poloh parabol popsán ve středoškolských učebnicích analtické geometrie, a proto se jimi nebudeme dále zabývat. 26

27 5.3 Polární rovnice kuželoseček Zavedeme-li polární souřadnice, pak můžeme všechn výše uvedené kuželosečk popsatjedinouohniskovourovnicí 4 R= p 1+εcosϕ, (19) kdeproelipsu ε <1,proparabolu ε=1,prohperbolu ε >1aprokružnici ε=. ε >1 ε=1 p F= O ε= ε <1 ϕ= Obr. 19 Polární rovnice kuželoseček 5.4 Zajímavosti z historie kuželoseček Elipsa Elipsu poprvé studoval Menaechmus(asi 35 let př. n. l.). Euklides psal o elipse, alesvůjnázevdostalaelipsaodapollonia.otom,žeelipsamáohnisko,uvažoval Pappus. Kepler v roce 162 považoval oběžnou dráhu Marsu za ovál, ale později objevil, že tím oválem je elipsa, jejíž ohnisko leží ve středu Slunce. Kepler používalslovoohnisko( focus )apublikovaljehoobjevvroce169.ecentricita planetárních drah je malá(elips jsou podobné kružnicím), např. pro Mars je 1 11 aprozemije 1 6. V roce 175 Halle pozoroval, že komet, které sledoval, se pohbují po eliptických drahách kolem Slunce. Ecentricita Halleov komet je,9675; tato 4 OdvozeníjepodrobněpopsánovestudijnímtetuSouřadnicevefzice. 27

28 hodnota vedla Hallee k závěru, že se kometa zřejmě pohbuje po parabole (ε = 1- odchlka od tohoto čísla bla dle Hallee způsobená nepřesností měření). Plocha elips je πab. Nelze ale napsat vztah pro délku elips pomocí elementárních funkcí, a to vedlo ke studiu eliptických funkcí. Ramanujan provedl v roce 1914 aproimaci délk elips vztahem [ π 3(a+b) ] (a+3b)(3a+b). Hperbola Speciálním případem hperbol = ab(asmptot svírají pravý úhel) se poprvé zabýval Menaechmus. Euklides a Aristaeus psali o hlavní hperbole, protože studovali pouze jednu větev hperbol. Název hperbola dostala tato kuželosečka od Apollonia, který studoval obě větve. S ohniskem hperbol uvažoval Pappus. Parabola Parabolu poprvé studoval Menaechmus, který bl žákem Platóna a Eudoa. Menaechmusřešilhledáníprůnikudvouparabol 2 = a 2 =2. Euklides psal o parabole, parabolu pojmenoval Apollonius. O ohnisku parabol uvažoval Pappus. Pascal uvažoval, že parabola vznikne projekcí kružnice. Galilei pozoroval, že parabola je trajektorie pohbu nábojů vstřelených šikmo vzhůru. Gregor a Newton znali vlastnost parabol, že parabola odráží rovnoběžné paprsk do ohniska. 5.5 Cassiniho ovál Z dnešního pohledu lze říci, že Cassiniho ovál je určitou analogií elips. V této části se proto podíváme na tento ovál z matematického hlediska. Ovšem než toto uděláme, podívejme se alespoň velmi stručně na historii vzniku těchto křivek Zajímavosti z historie Cassiniho ovál je křivka, která bla nazvána po francouzském astronomovi Giovannim Domenicu Cassinim. G. Cassini bl proslulý mnoha výsledk v as- 28

29 tronomii(např. objevil čtři Saturnov měsíce). V roce 1669 bl jmenován členem akademie věd v Paříži a ředitelem nové hvězdárn. G.Cassinipopsaloválvroce168jakodomněloudráhupohbuZeměkolem Slunce, přičemž Slunce se nachází v jednom ohnisku. Jeho výsledek uveřejnil jeho sn Jacob Cassini v Eléments d astronomie(základ astronomie) teprve roku 174. Roku 1694 Jacob Bernoulli popsal nezávisle na Cassinim ten případ, kd je konstanta rovna polovině vzdálenosti ohnisek, tj. ( ) 2 +2k 2 ( 2 2 )=, k= F 1F 2. 2 Bernoulli uvedl polární rovnice této křivk a pojmenoval ji lemniscus(z řečtin stuha). Svůj objev uveřejnil v Acta Eruditorum v roce Netušil tehd, že před 14 let Cassini popsal obecnější případ této křivk(což dnes ale není překvapivé,neboťocassinihooválupsalažjehosn)vr.174. Teprve v roce 1782 Pietro Feroni ukázal, že speciálním případem Cassiniho oválů je Bernoulliova lemniskáta. Později se lemniskátou zabývali také Euler a Gauss. jejich práce vedl k zavedení eliptických funkcí a k teorii eliptických integrálů v 19. století Cassiniho ovál z matematického pohledu k < e k > e k = e k < e F 1 F 2 Cassiniho ovál jsou definován jakomnožinavšechbodů Xvrovině takových, že součin vzdáleností od dvou pevně zvolených bodů F 1, F 2 (ohnisek) je konstantníajeroven k 2,tj.platí F 1 X F 2 X =k 2. (2) Obr. 2 Cassiniho ovál V další části odvodíme rovnici popisující Cassiniho ovál v kartézské soustavě souřadnic. Označíme-livzdálenostmezibod F 1 a F 2 (ohnisk)2e,tj. F 1 O =F 2 O = e,pakmůžemerovnici(2)přepsatnatvar (+e)2 + 2 ( e) = k 2, neboli [(+e) ] [( e) ]=k 4. 29

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

3.2.4 Huygensův princip, odraz vlnění

3.2.4 Huygensův princip, odraz vlnění ..4 Huygensův princip, odraz vlnění Předpoklady: 0 Izotropní prostředí: prostředí, které je ve všech bodech a směrech stejné vlnění se všech směrech šíří stejnou rychlostí ve všech směrech urazí za čas

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II .1.17 Parametrické sstém lineárních funkcí II Předpoklad: 11 Pedagogická poznámka: Celá hodina vznikla na základě jednoho příkladu ze sbírk úloh od Jindr Petákové. S příkladem mělo několik generací studentů

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů Optické soustav a optická zobrazení Přímé vidění - paprsek od zobrazovaného předmětu dopadne přímo do oka Optická soustava - soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění chod paprsků Optické

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

1.6.9 Keplerovy zákony

1.6.9 Keplerovy zákony 1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více