Rovnováha soustavy hmotných bodů, princip virtuální práce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Rovnováha soustavy hmotných bodů, princip virtuální práce"

Transkript

1 K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Rovnováha soustav hmotných bodů, prncp vrtuální práce V této kaptole nepůjde o pohb, ale o statcké stuace, o to, kd je soustava hmotných bodů v rovnováze. Jak už jsme naznačl v úvodu, budeme se snažt vjadřovat věc pokud možno pomocí skalárních velčn zde konkrétně pomocí práce. Začneme tou nejjednodušší stuací: jedním hmotným bodem. Jeden hmotný bod v rovnováze Předpokládejme, že hmotný bod je v kldu. Pak je v rovnováze právě tehd, jestlže celková síla F na něj působící je nulová: F = 0. (.) Tuto podmínku vjádříme pomocí skalární velčn. Představme s, že se hmotný bod posune o δr. Kdž vztah (.) skalárně vnásobíme δr, dostaneme F δr =0. (.2) Člen na levé straně, F δr, je práce síl F př posunutí δr. Posunutí δr faktck an nemusí být skutečné. Vztah (2) nám jenom říká, jaká b bla práce, kdbchom hmotný bod nepatrně posunul. Mluvíme proto o vrtuálním posunutí a prác F δr nazýváme vrtuální práce. Posunutí δr přtom bereme jako velm malé přesněj řečeno nekonečně malé, ted nfntesmální. 2 Vztah (.2) říká, že kdž je hmotný bod v rovnováze, je vrtuální práce sl na bod působících rovna nule. A to př lbovolném vrtuálním posunutí δr. Totéž platí obráceně: Je-l F δr =0 pro lbovolné δr, musí být F = 0 a ted hmotný bod je v rovnováze. Proč je tomu tak? Rozepíšeme-l skalární součn do složek, dostaneme 0 = F δr = F δx+ F δ + F δz (.3) Posunutí x z δr může být lbovolné. Zvolme například δ =, δz= 0 0, ted δr = ( δx, 00, ), kde předpokládáme, že δ x 0. Z (.3) pak je 0= Fx δ x Fx = 0. Podobně dokážeme nulovost F a F z. Celkově ted platí, že Hmotný bod je v rovnováze F δr =0 pro lbovolná δr. Čl: Hmotný bod je v rovnováze právě tehd, kdž vrtuální práce sl na něj působících př lbovolných vrtuálních posunutích je rovna nule. Naprosto stejně můžeme postupovat v případě soustav hmotných bodů. Př čtení této kaptol budete mít nejspíš poct, že věc zcela jednoduché začínáme zaplétat a vjadřovat hrozně komplkovaně. Ale vdržte, výsledk nakonec budou zajímavé a užtečné. 2 Obrázek vpravo od textu slouží jen jako lustrace; nulový vektor F a nfntesmální vektor δr nenakreslíme.

2 K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Soustava hmotných bodů v rovnováze Soustava N hmotných bodů je v rovnováze, jestlže je v rovnováze každý její bod, ted je v kldu a síla na něj působící je nulová: F = 0, =,, N. Pokud s představíme, že -tý hmotný bod posuneme o δr (vz lustrační obrázek, kde ovšem posunutí nekreslíme nekonečně malá), je celková práce působících sl rovna N F δr. Podobně jako v případě jednoho hmotného bodu, mluvíme zde o = vrtuální prác sl působících na soustavu. Je-l soustava v rovnováze, jsou všechn síl nulové, takže celková vrtuální práce je nulová: N F δr = 0. (.4) = Platí to obráceně: Jestlže platí (.4) pro lbovolná vrtuální posunutí δr, jsou všechn síl nulové a soustava je v rovnováze. Toto bchom dokázal naprosto stejně jako výše v případě jednoho bodu: Nejprve bchom vzal všechna vrtuální posunutí nulová, až na δr = ( δx, 00, ). Ze (.4) pak plne, že F x = 0. Podobně dokážeme nulovost F a F, pak z F 2, Celkově ted platí tvrzení, jemuž se říká x prncp vrtuální práce: Soustava hmotných bodů je v rovnováze N F δr = 0 = pro lbovolná δr. Čl: Soustava hmotných bodů je v rovnováze právě tehd, kdž vrtuální práce sl na soustavu působících př lbovolných vrtuálních posunutích je rovna nule. Zatím to stále vpadá, že jsme jen jednoduchou věc (nulovost sl) vjádřl složtě. Zajímavější to začne být, pokud je pohb hmotných bodů omezen vazbam. Vazb Vazb jsou podmínk omezující pohb 3. Příkladem může být kulčka položená na desce stolu: můžeme j posouvat po stole, zvednout, ale nemůžeme j zatlačt do stolu. Vazbu v tomto případě můžeme vjádřt nerovností z 0, kde z je souřadnce kolmá na desku stolu. Jným příkladem je matematcké kvadlo. (Závěs délk l přtom bereme jako tuhou tčku, která se nemůže prodloužt an zkrátt.) Vazbu v daném případě můžeme vjádřt rovností x + = l. (Dokreslete s do obrázku příslušný pravoúhlý trojúhelník, abste jasně vděl, jak daná rovnost plne z Pthagorov vět.) Vazbou může být také například tuhá tčka spojující dva hmotné bod apod. Teď trochu názvosloví, aneb jak rozdělujeme vazb. Jednak na jednostranné a 3 V podobném smsl používáme tento termín v běžném žvotě: kdž je někdo ve vazbě, je jeho pohb také omezen. 2

3 K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 oboustranné. Příkladem jednostranné vazb bla právě kulčka na desce stolu, příkladem oboustranné vazb matematcké kvadlo. Další rozdělení zahrnuje czokrajně znějící slova vazb dělíme na: Holonomní t jsou vžd vjádřtelné algebrackým vztah (rovnostm) obsahujícím souřadnce. Příkladem je matematcké kvadlo popsané výše, vztahem je x + = l. Těmto vztahům říkáme vazbové podmínk 4. Holonomní vazb se dále dělí na: o o skleronomní reonomní 6 5 tto vazb nezávsí na čase (např. délka závěsu kvadla je konstantní) a závsí na čase (např. hmotný bod vázaný na rovnu, která se otáčí). Neholonomní nebol anholonomní. Nejsou vjádřtelné rovnostm obsahujícím souřadnce. Podstatné je přpomenout jednu důležtou skutečnost: vazb jsou dealzace. Ve skutečnost, kdž položíme kulčku na stůl, tak se stůl nepatrně prohne. V matematckém kvadle působí hmotný bod na závěs slou, závěs se v důsledku toho o malčko prodlouží. Kdž se na dané omezení pohbu díváme jako na vazb, tak tto deformace zanedbáváme. Je to dealzace (ted abstrakce), ale velm užtečná. Vazbové síl Co udrží kulčku, že nepropadne deskou stolu, kdž j gravtace táhne dolů? Stůl zjevně působí na kulčku slou. Podobně závěs působí slou na zavěšené závaží. Těmto slám říkáme vazbové síl. Jejch velkost je právě taková, že kulčka zůstane na stole, že závaží kvadla má od bodu závěsu stále délku l. Jaký je směr vazbových sl? Může například na kulčku na desce stolu působt síla škmo nahoru, jak to ukazuje obrázek? Kdb tomu tak blo, pak b složka síl rovnoběžná s deskou stolu (na obrázku vznačená červeně), kulčku podél desk stolu urchlovala. Něco takového ovšem vazbová síla nedělá! (v) Vazbová síla F ted musí být kolmá na desku stolu. Obecně říkáme, že vazbová síla je kolmá na vazbovou plochu. 8 Práce vazbových sl Kulčka se po desce stolu může pohbovat do různých směrů; vazbová síla je vůč všem těmto směrům kolmá. Z tohoto příkladu můžeme usoudt, že práce vazbových sl je nulová. To je pravda v obecném případě, jen tento výsledek musíme vjádřt trochu přesněj. 7 4 Pojem vazbová podmínka je obecnější a vztahuje se na vazb, které nejsou holonomní. M jej však praktck vžd budeme užívat jen v případě holonomních vazeb. 5 Tto vazb bchom ted mohl označt za tuhé. Pomůckou, jak s daný termín pamatovat, nám může být skleróza. To, že mají obě slova stejný kořen, není náhoda př skleróze kornatějí, ted tuhnou, stěn cév. 6 Také se píše s písmenem h jako rheonomní. 7 Takto složté případ tad nebudeme uvažovat. V následujícím textu budeme vazb vžd uvažovat jako holonomní (dík tomu půjde o vazb oboustranné) a ve většně případů za skleronomní. (Zcela jstě tak tomu bude v této kaptole, kd jde o rovnováhu, ted o statcké stuace.) 8 Například v případě matematckého kvadla je vazbovou plochou kružnce. Pokud vám přjde dvné, že vazbovou plochou je v tomto případě křvka, je to proto, že pohb kvadla jsme od začátku uvažoval jen v jedné rovně. Chcete-l postupovat pořádněj a vjít ze třírozměrného případu, můžete říc, že vazbovou plochou je sféra x + + z = l, druhou vazbovou plochou je rovna z = 0. 3

4 K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Zajímá nás vrtuální práce, ted práce sl př vrtuálních posunutích. Jelkož tato posunutí chápeme opravdu jako vrtuální (nkol reálná), mohl bchom s představt třeba posunutí kulčk dovntř desk stolu. To b ovšem narušlo vazbu (v našem případě b už pro kulčku neplatlo z 0 ). Proto se omezíme na posunutí slučtelná s vazbam 9. Navíc například v případě kulčk na stole zjevně exstují posunutí (mířící škmo (v) nahoru, vz obrázek), pro něž skalární součn F δr > 0. Proto se zavádí pojem vratná vrtuální posunutí slučtelná s vazbam. Jde o taková posunutí δr, že opačné posunutí, tj. δ r je také slučtelné s vazbam. Posunutí vedoucí škmo nahoru (nebo přímo ve směru vazbové síl) toto nesplňují opačné posunutí b kulčku zatlačovalo do stolu 0, takže b neblo slučtelné s vazbou. Jako vratná vrtuální posunutí slučtelná s vazbam ted zbývají posunutí po desce stolu (ted ta, která jsou na obrázku značena zeleně). Podobné příklad můžeme zobecnt a konstatovat, že vrtuální práce vazbových sl př vratných vrtuálních posunutích slučtelných s vazbam je rovna nule. Zobecněný prncp vrtuální práce Z čeho se skládá síla F působící na tý hmotný bod? Jednak ze sl, kterým na něj působí ostatní bod 2 a vnější slová pole 3. Takovýmto slám říkáme aktvní (v) z vazbových sl F. Je ted: F = F + F (v) 4, značt je budeme F. A dále Podle prncpu vrtuální práce je soustava bodů v rovnováze právě kdž celková vrtuální práce všech sl je nulová (vz (.4)): N F δr = 0. = Dosadíme-l sem (.5), dostáváme (pro případ vratných vrtuálních posunutí slučtelných s vazbam): ( ) N N N N N (v) (v) F δr F F δr F δr F δr F δr = = = = = (.5) 0 = = + = + =, (.6) kde jsme jž vužl toho, že vrtuální práce vazbových sl je nulová. Výsledek (.6) jž představuje zobecněný prncp vrtuální práce: 9 To znamená, že po posunutí zůstane platt vazbová podmínka. 0 Opačné posunutí provádíme z výchozí poloh kulčk položené na stole, ted ne tak, že bchom kulčku posunul o δr a pak zase zpátk. V učebncích se někd na základě příkladů konstatuje, že pro vrtuální posunutí slučtelná s vazbam (ne nutně (v) vratná) platí F δr 0. Toto se někd chápe jako nezávslý axom, resp. obecná vlastnost vazbových sl. (v) (v) Pro vratná posunutí musí totéž platt pro opačná posunutí, tj. F ( δ r) 0, čl F δr 0. Kombnací obou (v) nerovností pak už okamžtě dostáváme pro vrtuální prác vazbových sl F δr = 0. 2 Třeba prostřednctvím pružnek, gravtačního přtahování, elektrostatcké nterakce apod. 3 Například kdž jsou hmotné bod v gravtačním pol Země nebo v případě, kd b nabté hmotné bod bl třeba v elektrostatckém pol deskového kondenzátoru. 4 Používá se též název vtštěné síl. 4

5 K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Soustava hmotných bodů s vazbam je v rovnováze N F = δr = 0 pro lbovolná δr vratná, slučtelná s vazbam. Čl: Soustava hmotných bodů s vazbam je v rovnováze právě tehd, kdž vrtuální práce aktvních sl působících na soustavu př lbovolných vratných vrtuálních posunutích slučtelných s vazbam je rovna nule. Podstatné je, že se nní vůbec nemusíme starat o vazbové síl! V zobecněném prncpu vrtuální práce vstupují jen síl aktvní 5. Jak to funguje a k čemu je to dobré ukáží následující příklad. Příklad Příklad : rovnováha matematckého kvadla Pro první příklad zvolíme jeden z nejjednodušších sstémů, u něhož předem známe výsledek: matematcké kvadlo v homogenním gravtačním pol. Souřadnce x a zvolíme tak, jak to ukazuje obrázek vpravo. Vazbová podmínka vjadřuje, že závěs kvadla má konstantní délku: x + = l = konst. (.7) Jak z této podmínk spočítat směr vrtuálního posunutí δr? Vrtuální posunutí považujeme za nekonečně malá, proto s nm můžeme pracovat jako s dferencál. Totální dferencál (.7) dá 2 2xdx+ 2d= d( l ) = 0, (.8) právě proto, že pravá strana (.7) je konstantní. Vdělíme-l (.8) dvěma a místo dferencálů píšeme δr= δx, δ, dostaneme výslednou podmínku xδx+ δ =0. Odtud složk ( ) x δ = δx. (.9) Gravtační síla (jedná aktvní síla v dané stuac) má složk F = (, mg) prncpu vrtuální práce 6 je matematcké kvadlo v rovnováze právě tehd, kdž 0. Podle zobecněného mg 0 = F δr = 0 δx + mg δ = x δx. (.0) a to pro lbovolné δ x (ted obecně pro δ x 0). To lze splnt jedně tak, že x = 0. 5 Pozor: Na rozdíl od prncpu vrtuální práce pro soustav bodů bez vazeb ze zobecněného prncpu vrtuální práce neplne, že b síl v něm vstupující (ted aktvní síl) bl nulové. V rovnováze platí, že vazbové síl se nastaví tak, ab vžd právě vrovnal síl aktvní; nulový je součet aktvních a vazbových sl na každý bod. 6 Posunutí (.9) jsou vratná a slučtelná s vazbam. 5

6 K přednášce NUFY028 Teoretcká mechanka prozatímní učební text, verze 0. Prncp vrtuální práce Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 204 Odvodl jsme ted, že matematcké kvadlo je v rovnováze pro x = 0, ted kdž vsí svsle dolů 7. K výsledku můžeme doplnt dvě poznámk: ) Vdíme, že pro výpočet jsme opravdu nepotřeboval vazbové síl, ted sílu závěsu. 2) Výsledek x = 0 odpovídá případu, kd b kvadlo stálo svsle nahoru! (Závěs bereme jako tuhý, ted jako tčku, ne jako nt nebo provázek.) Poloha kvadla svsle nahoru je také rovnovážnou polohou, ale polohou lablní. Vdíme ted, že zobecněný prncp vrtuální práce nerozlšuje stablní a lablní rovnovážnou polohu. Příklad 2: matematcké kvadlo ovlvněné elektrckým polem Uvažujme ještě jeden příklad: matematcké kvadlo, na něž kromě gravtačního pole působí homogenní elektrcké pole. Hmotný bod matematckého kvadla má náboj q, ntenztu elektrckého pole budeme pro jednoduchost brát vodorovnou, tj. E = ( E,0). Aktvní síla působící na F = qe, mg. hmotný bod je ted ( ) Pro záps zobecněného prncpu vrtuální práce bchom mohl vužít vztahu (.9) svazujícího složk vrtuálního posunutí δx a δ. Ukážeme s však ještě jnou možnost, jak složk posunutí odvodt. Z obrázku je zřejmé, že pro kartézské souřadnce x a platí x = l snα = l cosα (.) Úhel α jednoznačně určuje polohu hmotného bodu, můžeme ho ted chápat jako souřadnc, bť ne kartézskou 8. Je příkladem toho, čemu říkáme zobecněné souřadnce; v následujících kaptolách je budeme používat velm často. Přírůstk souřadnc vpočteme z (.) pomocí dervací 9 : ( snα ) d l δ x = δα = lcos( α ) δα dα d( l cosα ) δ = δα = lsn( α ) δα dα Po dosazení do zobecněného prncpu vrtuální práce dostáváme 0 = F δr = qe δx + mg δ = qe l cos( α ) δα mg l sn( α ) δα = = l qe cosα mg sn α δα. ( ) (.2) Toto musí platt pro lbovolné δα, takže snα qe tg α = =. cosα mg Ze směru síl na obrázku můžeme ověřt, že toto je správný výsledek. 7 Samozřejmě můžeme ronck zvolat To je ted objevný výsledek! Ovšem jž předem jsme upozorňoval, že prncp vrtuálního práce zde lustrujeme na velm jednoduchém příkladě, kde předem známe výsledek. 8 V našem případě jde o jednu z polárních souřadnc. 9 Přírůstk souřadnc (ted složk vrtuálního posunutí) bereme jako nfntesmální, tj. nekonečně malé. 6

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky. 5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?

Více

FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Pohybová rovnice. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohybová rovnce Prof. RNDr. Vlém Mádr, CSc. Prof. Ing. Lbor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustav ocelových prutů Václav Plánčka 6..006 OBSAH ZADÁNÍ... 3 TEORETICKÁ ČÁST... 4 PRAKTICKÁ ČÁST...

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární

Více

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201

[ ] 6.2.2 Goniometrický tvar komplexních čísel I. Předpoklady: 4207, 4209, 6201 6.. Gonometrcký tvar kompleních čísel I Předpoklad: 07, 09, 60 Pedagogcká poznámka: Gonometrcký tvar kompleních čísel není pro student njak obtížný. Velm obtížné je pro student s po roce vzpomenout na

Více

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá

Více

Výslednice, rovnováha silové soustavy.

Výslednice, rovnováha silové soustavy. Výslednce, ovnováha slové soustavy. Základy mechanky, 2. přednáška Obsah přednášky : výslednce a ovnováha slové soustavy, ovnce ovnováhy, postoová slová soustava Doba studa : as 1,5 hodny Cíl přednášky

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část)

KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část) KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část) V první kaptole jsme se senáml s algebrackým tvarem komplexního čísla. Některé výpočty s komplexním čísly je však lépe provádět ve tvaru gonometrckém. Pon. V následujícím textu

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

SMR 1. Pavel Padevět

SMR 1. Pavel Padevět SMR Pavel Padevět Oganzace předmětu Přednášející Pavel Padevět, K 3, D 09 e-mal: pavel.padevet@fsv.cvut.cz Infomace k předmětu: https://mech.fsv.cvut.cz/student SMR Heslo: odné číslo bez lomítka (případně

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory Výfučtení: Vektory Abychom zcela vyjádřili veličiny jako hmotnost, teplo či náboj, stačí nám k tomu jediné číslo (s příslušnou jednotkou). Říkáme jim skalární veličiny. Běžně se však setkáváme i s veličinami,

Více

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence : Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,

Více

Soustava hmotných bodů

Soustava hmotných bodů Soustava hmotných bodů Těleso soustava hmotných bodů Tuhé těleso - pevný předmět jehož rozměr se nemění každé těleso se skládá z mnoha částc síla působící na -tou částc výsledná síla působící na předmět

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Pracovní list č. 6: Stabilita svahu. Stabilita svahu. Návrh či posouzení svahu zemního tělesa. FS s

Pracovní list č. 6: Stabilita svahu. Stabilita svahu. Návrh či posouzení svahu zemního tělesa. FS s Pracovní lst č. 6: Stablta svahu Stablta svahu 1 - máme-l násyp nebo výkop, uvntř svahu vznká smykové napětí - aktvuje se smykový odpor zemny - porušení - na celé smykové ploše se postupně dosáhne maxma

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad 1 Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Hledané složky vektoru tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníku:

Hledané složky vektoru tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníku: 7 Vektor III Předpoklad: 006 Pedagogická ponámka: Příklad, 4, 5 je možné vnechat, důležité je, ab alespoň 5 minut blo na příklad 7 Pedagogická ponámka: Úvodní příklad vužívám k prokoušení látk minulé hodin

Více

Vektory aneb když jedno číslo nestačí

Vektory aneb když jedno číslo nestačí V posledním studijním textu letošního ročníku si zopakujeme několik poznatků z předchozích sérií a doplníme je novými, abychom si následně mohli spočítat základní pohyby v homogenním tíhovém poli. Vektory

Více

Základní pojmy Přímková a rovinná soustava sil

Základní pojmy Přímková a rovinná soustava sil Stavební statka, 1.ročník bakalářského studa Základní pojmy římková a rovnná soustava sl Základní pojmy římková soustava sl ovnný svaek sl Statcký moment síly k bodu a dvojce sl v rovně Obecná rovnná soustava

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC

2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC 25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

4. Práce, výkon, energie a vrhy

4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce Těleso koná práci, jestliže působí silou na jiné těleso a posune jej po určité dráze ve směru síly. Příklad: traktor táhne přívěs, jeřáb zvedá panel Kdy se práce

Více

Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2.

Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2. Soustav rovnic Metod řešení soustav rovnic o více neznámých jsou založen na postupné eliminaci neznámých Pro dvě lineární rovnice o dvou neznámých používáme metodu sčítací (aditivní), kd vhodně vnásobíme

Více

Osově namáhaný prut základní veličiny

Osově namáhaný prut základní veličiny Pružnost a pevnost BD0 Osově namáhaný prut základní velčny ormálová síla půsoící v průřezu osově namáhaného prutu se získá ntegrací normálového napětí po ploše průřezu. da A Vzhledem k rovnoměrnému rozložení

Více

Souřadnicové výpočty. Geodézie Přednáška

Souřadnicové výpočty. Geodézie Přednáška Souřadnicové výpočt Geodézie Přednáška Souřadnicové výpočt strana 2 Souřadnicové výpočt (souřadnicová geometrie) vchází z analtické geometrie zkoumá geometrické tvar pomocí algebraických a analtických

Více

7 Úvod do kinematické geometrie v rovině

7 Úvod do kinematické geometrie v rovině 7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text 7 Úvod do knematcké geometre v rovně V této kaptole se budeme zabývat pohybem. Slovo pohyb, které jsme použl v mnulé kaptole, používáme

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

4/3.3. bodem v rovině (tvoří rovinný svazek sil), jsou vždy. rovnice z-ová. Pro rovnováhu takové soustavy

4/3.3. bodem v rovině (tvoří rovinný svazek sil), jsou vždy. rovnice z-ová. Pro rovnováhu takové soustavy STROJNICKÁ PŘÍRUČKA čá s t 4, d íl 3, k a p to la 3, str. 1 díl 3, Statka 4/3.3 ROVNOVÁHA TĚLESA Procházejí-l po uvolnění tělesa všechny síly jedním bodem v rovně (tvoří rovnný svazek sl), jsou vždy splněny

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1. Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

Statika soustavy těles v rovině

Statika soustavy těles v rovině Statka soustavy těles v rovně Zpracoval: Ing. Mroslav yrtus, Ph.. U mechancké soustavy s deálním knematckým dvojcem znázorněné na obrázku určete: počet stupňů volnost početně všechny reakce a moment M

Více

Q N v místě r. Zobecnění Coulombova zákona Q 3 Q 4 Q 1 Q 2

Q N v místě r. Zobecnění Coulombova zákona Q 3 Q 4 Q 1 Q 2 Zobecnění Coulombova zákona Uvažme nyní, jaké elektostatcké pole vytvoří ne jeden centální) bodový náboj, ale více nábojů, tzv. soustava bodových) nábojů : echť je náboj v místě v místě.... v místě Pak

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.

Kapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S. 1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

7 Ortogonální a ortonormální vektory

7 Ortogonální a ortonormální vektory 7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení

Více

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

1.1.24 Skaláry a vektory

1.1.24 Skaláry a vektory 1.1.4 Skaláry a vektory Předpoklady: 113 Př. 1: Vyřeš následující příklady: a) Na stole je položeno závaží o hmotnosti kg. Na závaží působí gravitační síla Země o velikosti 0 N a tlaková síla od stolu

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Průběh funkce II (hledání extrémů)

Průběh funkce II (hledání extrémů) .. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné

Více

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17.

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17. Obr.17. F F 1x = F.cos α1,..., Fnx = F. cos 1y = F.sin α1,..., Fny = F. sin α α n n. Původní soustava je nyní nahrazena děma soustavami sil ve směru osy x a ve směru osy y. Tutu soustavu nahradíme dvěma

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Mechanické vlastnosti materiálů.

Mechanické vlastnosti materiálů. Mechancké vastnost materáů. Obsah přednášky : tahová zkouška, zákadní mechancké vastnost materáu, prodoužení př tahu nebo taku, potencání energe, řešení statcky neurčtých úoh Doba studa : as hodna Cí přednášky

Více

Mechanika tuhého tělesa

Mechanika tuhého tělesa Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se působením libovolně velkých sil nemění Síla působící na tuhé těleso má pouze pohybové účinky Pohyby tuhého tělesa Posuvný

Více

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207 78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

VZÁJEMNÉ SILOVÉ PŮSOBENÍ VODIČŮ S PROUDEM A MAGNETICKÉ POLE

VZÁJEMNÉ SILOVÉ PŮSOBENÍ VODIČŮ S PROUDEM A MAGNETICKÉ POLE Příklady: 1A. Jakou silou působí homogenní magnetické pole na přímý vodič o délce 15 cm, kterým prochází proud 4 A, a svírá s vektorem magnetické indukce úhel 60? Velikost vektoru magnetické indukce je

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Dále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2

Dále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2 4 Markovovy řetězce se nazývá Markovův řetě- Defnce 7 Posloupnost celočíselných náhodných velčn {X n } zec (markovský řetězec), jestlže P(X n+ = j X n = n,, X 0 = 0 ) = P(X n+ = j X n = n ) (7) pro každé

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

ALGORITMUS SILOVÉ METODY

ALGORITMUS SILOVÉ METODY ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých

Více

2. ELEKTRICKÉ OBVODY STEJNOSMĚRNÉHO PROUDU

2. ELEKTRICKÉ OBVODY STEJNOSMĚRNÉHO PROUDU VŠB T Ostrava Faklta elektrotechnky a nformatky Katedra obecné elektrotechnky. ELEKTCKÉ OBVODY STEJNOSMĚNÉHO POD.. Topologe elektrckých obvodů.. Aktvní prvky elektrckého obvod.3. Pasvní prvky elektrckého

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.

1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2. . Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Rovinná a prostorová napjatost

Rovinná a prostorová napjatost Rovinná a prostorová napjatost Vdělme v bodě tělesa elementární hranolek o hranách d, d, d Vnitřní síl ve stěnách hranolku se projeví jako napětí na příslušné ploše a le je roložit do směrů souřadnicových

Více

Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí

Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí Síla Základní pojmy Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí vzájemné působení těles, které mění jejich pohybový stav nebo tvar zobrazuje se graficky jako úsečka se šipkou ve zvoleném měřítku m f je vektor,

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

SMR 1. Pavel Padevět

SMR 1. Pavel Padevět MR 1 Pvel Pdevět PŘÍHRADOVÉ KONTRUKCE REAKCE A VNITŘNÍ ÍLY PŘÍHRADOVÉ KONTRUKCE jsou prutové soustvy s kloubovým vzbm. Příhrdová konstrukce je tvořen z přímých prutů nvzájem spojených ve styčnících kloubovým

Více

MECHANIKA I. Jaromír Švígler

MECHANIKA I. Jaromír Švígler MECHNIK I Jaomí Švígle OBSH Pedmluva Rozdlení a základní pojm mechank 4 Statka Základní pojm a aom statk Síla Moment síl k bodu a k ose Slová dvojce Základní vta statk Páce a výkon síl a momentu 5 Slové

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

Sylabus 18. Stabilita svahu

Sylabus 18. Stabilita svahu Sylabus 18 Stablta svahu Stablta svahu Smykové plochy rovnná v hrubozrnných zemnách ev. u vrstevnatého ukloněného podloží válcová v jemnozrnných homogenních zemnách obecná nehomogenní podloží vč. stavebních

Více