3.3. Operace s vektory. Definice

Transkript

1 Operace s ektory.. Operace s ektory Výklad Definice... Nechť ϕ je úhel do nenloých ektorů, (obr. ). Skalárním sočinem ektorů, rozmíme číslo, které bdeme označoat. (někdy strčně ) a které definjeme roností. = cos ϕ. () Jestliže je alespoň jeden z ektorů nloý, pak definjeme. = 0. Věta... Skalární sočin do ektorů je roen nle práě tehdy, když oba ektory jso bď nenloé na sebe kolmé nebo alespoň jeden z ektorů je nloý. D ů k a z : Věta je přímým důsledkem předcházející definice. Věta... Pro liboolné da ektory = (,..., n ), = (,..., n ) platí:. = n n () D ů k a z. a) Předpokládejme nejpre, že ektory, jso lineárně nezáislé. Potom jso body A, B, C rcholy trojúhelníka (obr. ), němž platí kosinoá ěta - = + - cos ϕ, čili ( - ) + ( - ) ( n - n ) = ( ) + ( ) ( n ) + ( ) + ( ) ( n ) - (.).

2 Operace s ektory Jednodchá úpraa této ronosti nás doede ke zorci (). b) Předpokládejme, že ektory, jso lineárně záislé. V tomto případě body A, B, C leží na jedné přímce a obrat s kosinoo ěto nelze požít. Jeden z obo ektorů můžeme napsat jako sočin drhého ektor a reálného čísla k. Nechť například = k.. Předpokládejme nejpre, že k > 0. Potom můžeme psát:. = cos 0 =. k = = k = k + k k = n n n V případě, že k< 0, postpjeme analogicky, případ k = 0 je eidentní. Tím je ěta dokázána. n n Poznámka. Ze zorců (), (kap..) a () (kap..) plyne okamžitě spránost dalšího zorce pro ýpočet elikosti ektor : =.. Užijeme-li označení =., můžeme předcházející zorec napsat strčně e tar =, nebo =.. Skalární sočin ektorů, který je zobrazením V n V n R, (.) n n R, splňje následjící ztahy, jejichž spránost plyne z lastností reálných čísel:. =., (k). = k(.), ( + ). =. +., pro každé,, V n a k R.. Velikost ektor je zobrazení V n < 0, ),. R a z lastností reálných čísel yplýají přímo ztahy = 0 = o, 4

3 Operace s ektory k = k, + +, pro šechna, V n a k R. 4. Vektory,, které jso lineárně záislé, tj. = k, k R, se nazýají kolineární. Řešené úlohy Příklad Určeme úhel ektorů = (,, 0) a = (0,, ). Řešení: cosϕ =. = π = = ϕ =. 4 Definice... Nechť jso dány ektory = (,, ) a = (,, ). Vektor,,, který značíme, se nazýá ektoroý sočin ektorů a. Poznámky. Vektoroý sočin je zobrazení V V, (, ) V splňjící ztahy = -, (k) = k( ), ( + ) = +, pro šechna k R a,, V.. Vektoroý sočin ektorů, lze zapsat e tar determinant 5

4 Operace s ektory i j k =, kde i = (, 0, 0), j = (0,, 0), k = (0, 0, ) jso jednotkoé ektory e směr os kartézské sostay sořadnic. Rozojem podle prního řádk totiž dostaneme = i + j + k.. Z definice ektoroého sočin zřejmě plyne, že pro nenloé ektory, platí, že = o práě tehdy, když, jso lineárně záislé. Věta... Vektoroý sočin je ektor kolmý na ektory, V. Důkaz: Pro ektor : i j k. i. j. k. ( ) =. = = 0. = Vzhledem k tom, že skalární sočin. ( ) = 0, jso ektory a na sebe kolmé. Pro ektor je důkaz obdobný. Věta..4. Pro každé da ektory, V platí = sin ϕ, kde ϕ je úhel ektorů,. Důkaz: Dokazoaný ztah mocníme na drho. Leá strana ronosti pak je = + + = ( ) + ( ) + + ( + ) =

5 Operace s ektory Upraíme prao stran žitím ěty. sin ϕ = ( - cos ϕ) = - cos ϕ = = - (.) = ( + + )( + + ) ( + + ) = = = = Z poronání ýsledků plyne, že leá strana ronosti se roná praé. Poznámky. Při místění ektorů OX, OY je elikost ektoroého sočin rona obsah ronoběžníka O, X, Y, X+Y (obr. 4) pro 0. x X 0 Y Obr. 4 X+Y. Vektory, a = tomto pořadí toří tz. praotočio trojici (obr. 5). 7

6 Operace s ektory praotočiá trojice ektorů (,, ) leotočiá trojice ektorů (,, ) Obr. 5 Řešené úlohy Příklad Stanome obsah trojúhelníka o rcholech A = (, 0, ), B = (, -, ) a C = (,, -) (obr. 6). 8

7 Řešení: Operace s ektory C AB = B A = (,, 0) AC = C A = (0,, ). A B Obr. 6 i j k P = AB AC = 0 = i + j + k = (,, ) = 0 = + + = 4 4. Definice... Číslo.( ) se nazýá smíšený sočin ektorů,, V. Poznámky. Smíšený sočin ektorů je zobrazení V R, (,, ).( ) R.. Smíšený sočin ektorů = (,, ), = (,, ), = (,, ) lze yjádřit následjícím způsobem: (,, ). ((,, ) (,, )) = (,, ).,, = 9

8 Operace s ektory = + =.. Z lastností determinantů plyne, že jakákoli ýměna do ektorů smíšeného sočin mění jeho znaménko. Věta..5. Nechť OX, OY, OZ jso místěním lineárně nezáislých ektorů,, V. Pak.( ) je rona objem šikmého hranol (ronoběžnostěn) o rcholech O, X, Y, X+Y, Z, X+Z, Y+Z, X+Y+Z. Důkaz: X+Y X x Y X+Y+Z 0 X+Z Y+Z Z Obr. 7 Obsah ronoběžníka O, Y, Y+Z, Z je roen. Platí.( ) =. cosϕ, kde ϕ je úhel ektorů a. Výraz. cosϕ je pak elikost ýšky ažoaného hranol na stěn O, Y, Y+Z, Z. 40

9 Operace s ektory Poznámky. Z definice smíšeného sočin a z ěty 5 plyne, že pro nenloé ektory,, platí.( ) = 0 práě tehdy, když jso lineárně záislé.. Lineárně záislé ektory,, se nazýají komplanární. Řešené úlohy Příklad Stanome objem hranol rčeného rcholy (0,0,0), (,,), (,-,0), (4,0,-). Řešení: Zbýající rcholy mají sořadnice (,0,), (5,,0), (6,-,-) a (7,0,0). V = 0 = + 4+ = Kontrolní otázky. Jak je definoána zdálenost do liboolných bodů A = (a,a,a ), B = (b,b,b ) -rozměrného eklidoského prostor: a) b) ρ ( A,B) = (a + b ) + (a + b ) + (a + b ), ρ ( A,B) = (a b ) + (a b ) + (a b ), c) ρ ( A,B) = (a b ) + (a b ) + (a + b ).. Pro úhel ϕ ektorů, platí: a) ϕ < 0, π >, b) ϕ < 0, π >, π c) ϕ =. 4

10 . Platí-li pro o,k 0,k : = k, nazýáme ektory, : Operace s ektory a) kolineární, b) komplanární, c) opačné. 4. Který z následjících ýroků definje skalární sočin ektorů, : a) = sin ϕ, b) = cos ϕ, c) = tg ϕ, 5. Výraz = o platí práě tehdy, když nenloé ektory, jso: a) lineárně nezáislé, b) lineárně záislé. 6. Co je geometrickým ýznamem elikosti ektoroého sočin ektorů OX, OY : a) objem ronoběžnostěn se základno O,X,Y,X + Y, b) obsah trojúhelníka s rcholy O,X,Y, c) obsah ronoběžníka s rcholy O,X,Y,X + Y. 7. Smíšeným sočinem ektorů,, nazýáme: a) ektor ( ), b) číslo ( ), c) číslo ( ), 8. Výraz ( ) = 0 platí práě tehdy, když nenloé ektory,, jso: a) komplanární, b) nazájem kolmé. Odpoědi na kontrolní otázky. b),. a),. a), 4. b), 5. b), 6. c), 7. c), 8. a). 4

11 Operace s ektory Úlohy k samostatném řešení. Vypočtěte skalární sočin a úhel ektorů a, b, když a) a = (,, -4), b = (, -, ), b) a = (,, -), b = (, -6, 8).. Pro ektory a, b platí a = 5, b = 4 a jejich úhel ϕ = π. Určete a) a.b, b) a, b, c) (a - b).. Doplňte chybějící složky kolineárních ektorů a = (, a, a ), b = (b, 4, b ), c = (6,, -). 4. Vypočtěte a.b, jestliže a = 6i + 4j - k, b = 5i - j + k. 5. Jso dány tři body A = (-,, ), B = (,, ), C = (0, 0, 5). Dokažte, že AB AC a stanote nitřní úhel β při rchol B trojúhelník ABC. 6. Při kterých hodnotách čísel α, β jso ektory a = -5i + j + βk a b = αi - 6j + 8k kolineární? 7. Určete ektor x kolineární s ektorem a = (,, -), jestliže x.a = Vektor x je kolmý na ektory a = (6,, 0), b = (, 7, ). Určete jeho sořadnice, je-li x.c = 6, kde c = (4, -4, -). 9. Jso dány tři ektory a, b, c. Určete ektor x, platí-li a = (, -, ), b = (, -, ), c = (,, -4), x.a = -5, x.b = -5, x.c = Určete elikost praoúhlého průmět ektor b do ektor a, je-li dáno a = (-,, ), b = (-4,, ).. Vektory a, b sírají úhel ϕ π =. Určete a b, je-li a =, b = 4.. Určete a b, a b, je-li a = (,, ), b = (,, ).. Zjednodšte ýraz (i + k) (i - j + k). 4. Odoďte platnost ýraz a b tgϕ =, kde ϕ je úhel ektorů a, b. a. b 5. Jso dány ektory a = i + k, b = -i + 4j. Určete ektor c kolmý k daným ektorům. 6. Jso dány body A, B, C. Určete sořadnice bod D a obsah ronoběžníka ABCD, je-li dáno A = (8, 7, 6), B = (-, 0, 0), C = (-8,, 0). 7. Určete obsah ABC, když A = (,, 0), B = (, 0, -), C = (5,, 6). 4

12 Operace s ektory 8. Je dán ABC. Vypočtěte ýšky trojúhelníka a, b, c. A = (,, ), B = (0, -, ), C = (-,, 0). 9. Jso dány ektory a, b, c. Určete a.(b c). a) a = (,, 0), b = (-, 0, ), c = (,, ) b) a = 4i + j - k, b = -i + k, c = 4i - j. 0.Zjistěte, zda ektory a, b, c jso komplanární. a) a = (, 4, 0), b = (5, 4, -), c = (4, 8, ), b) a = (0,, -), b = (6, 4, -), c = (-,, ), c) a = 4i + j + 5k, b = -i - k, c = 8i + 6j + 0k.. Zjistěte, zda dané čtyři body leží jedné roině: A = (0, -7, ), B = (4, -, 0), C = (8, 0, -), D = (, -5, ).. Je dán ronoběžnostěn ABCD A B C D rcholy A = (0,, ), B = (5,, ), D = (-, 6, 4), A = (0,, 6). Určete sořadnice rcholů C, B,C, D a objem tělesa.. Určete objem čtyřstěn ABCD, jestliže platí V čtyřstěn = 6 V ronoběžnostěn. Vrcholy čtyřstěn: A = (,, 0), B = (7, 4, ), C = (0,, -4), D = (, 6, ). Výsledky úloh k samostatném řešení.a) a.b = -9, ϕ π = 4 π ; b) a.b = 0, ϕ = a b.. a) 0, b) 5, 6, c) a - ab + b =.. a = (; ; -,5), b = (, 4, -6). 4. a.b = 6. π 5. AB. AC = 0 AB AC, cosβ= β=. 6. α = 0, β = x = (9,, -6). 8. x = (-6,, -9). 9. x = (,, -). 0. b a = b.cosϕ = ab. a = = 4. a b = 6.. a b = (-4, 8, -4), a b = i + j -k. b ϕ b a a a. b. sin ϕ sin ϕ 4. tg ϕ = =. a. b. cosϕ cosϕ 5. c = l(-4, -, ), kde l R, l D = (, -, 6), P = 7, P = a b = 4, kde a = AB, b = AC. 44

13 Operace s ektory 8. a = a c a = 4, 7, kde a = BC, c = AB, analogicky b =,06, c =, a) 7, b) a) ano (a.(b c) = 0), b) ne, c) ano.. Body A,B,C,D leží jedné roině.. C = (4, 7, 5), B = (6,, 7), C = (5, 7, 9), D = (0, 6, 8), V = 04.. V = 4. Kontrolní test. Určete jednotkoý ektor e, který je kolmý k ektorům a= i + j k, b=+ i j k: a) e= ( i+ j + 5 k ), 5 b) e = ( i 4 j ), 5 c) e = (,0,0). π. Pro ektory a, bplatí: a =, b =, ϕ =. Určete úhel ektorů c= a+ b, d= a b. o π o a) ϕ = 5 40, b) ϕ =, c) ϕ = Vypočtěte ab + bc + ac, jso-li abc,, jednotkoé ektory a pro něž platí a + b + c = o: a), b), c). 4. Vypočtěte obsah trojúhelníka ABC, je-li A = (,, 4), B = (0,,), C = (5, 0,8). a) 8, b) 9, c) Vypočtěte obsah a ýšky ronoběžníka rčeného ektory a = j+ k, b =+ i k: P=, =, =, 5 5 a) P=, = =, 5 b) P=, = =. 5 c) 6. Zjistěte, zda ektory ab,, cjso komplanární: 45

14 a = (,,0), b = (,,), c = (5,4,). Operace s ektory a) ano, b) ne. 7. Vektory a= i+ j, b= i+ j, c= i+ j+ k je rčen ronoběžnostěn. Vypočtěte jeho objem, obsah stěny dané ektory a) V = 5, S =, = 5, b) V= 5, S= 5, =, c) V= 5, S= 5, =. ab, a délk její ýšky. Výsledky test. a),. a),. a), 4. c), 5. c), 6. a), 7. c). Průodce stdiem Pokd jste spráně odpoěděli nejméně 5 případech, pokračjte další kapitolo. V opačném případě je třeba prostdoat kapitoly..,..,.. zno. 46