Určíme průnik množin M 1 a M 2. (Můžeme využít grafické znázornění množin M 1 a M 2 na číselné ose.) Pro všechna x R { 0 } a pro všechna k Z platí:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Určíme průnik množin M 1 a M 2. (Můžeme využít grafické znázornění množin M 1 a M 2 na číselné ose.) Pro všechna x R { 0 } a pro všechna k Z platí:"

Transkript

1 idktický test idktický test obshuje úloh; u kždé z nich je uvedeno, kolik bodů z ni lze získt. elkové mimální bodové hodnocení testu je 0 bodů, přičemž hrnice úspěšnosti je %. N vyřešení testu máte celkem 0 minut. Používt můžete jen povolené pomůcky (viz s. ). Odpovědi vpisujte přímo do testu, přípdně i do záznmového rchu (ke stžení n pokyny k vyplňování njdete n s. 0 ). Komentovné řešení testu njdete n klíč k úlohám je uveden n s.. Výchozí tet obrázek k úloze 0 Jsou dány množiny M { R; > }, M { R; < }. M M M 0 Úloh 0 Vyznčte n číselné ose množinu M M M. bod M ( ; ) ( ; ) M ; ) M M M ; ) bsolutní hodnot reálného čísl udává n číselné ose vzdálenost obrzu čísl od obrzu čísl 0. Množin M je množin všech reálných čísel, jejichž obrzy n číselné ose mjí od obrzu čísl 0 vzdálenost větší než. Množinu M zpíšeme intervlem. Určíme průnik množin M M. (Můžeme využít grfické znázornění množin M M n číselné ose.) Úloh 0 Určete výrz, který musíme přičíst k výrzu + + 0, bychom dostli trojnásobek výrzu + +. bod ( ) + + ( ) Hledným výrzem je mnohočlen + 7. Hledný výrz dostneme tk, že od trojnásobku výrzu + + odečteme výrz Úloh 0 Zjednodušte výrz pro všechny hodnoty reálné proměnné y z definičního oboru výrzu. bod ( y + y ) y + + y y y y y + Pro všechn R { 0 } pro všechn k Z pltí: k k Úloh 0 Ktlogová cen krosového kol je Kč. I když obchodník nbízí kolo se slevou %, je prodejní cen o 0 % vyšší než nákupní cen, z kterou kolo koupil od výrobce. Určete nákupní cenu kol. bod Výpočet prodejní ceny kol: 00 % Kč % Kč 7 % Kč 7 00 Kč Výpočet nákupní ceny kol: 0 % Kč % Kč : 0 Kč 00 % Kč Kč Nákupní cen krosového kol je 00 Kč. Prodejní cen kol je 7 % ktlogové ceny, která činí Kč. Prodejní cen kol je 0 % nákupní ceny, tj. ceny, z kterou obchodník kolo koupil od výrobce. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0 7

2 Úloh 0 Jehln má vrcholů. Určete počet jeho hrn. bod Stnovení počtu vrcholů podstvy jehlnu: - Určení počtu hrn jehlnu: + Jehln s vrcholy má hrn. Podstvou jehlnu je úhelník. Jehln má podstvných bočních hrn, tj. celkem hrn. Úloh 0 Řešte rovnici v oboru R. Uveďte celý postup řešení. + m. body Stnovení definičního oboru rovnice: R { ; } Řešení rovnice: + + ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) K R { ; } ( + ) ( ) Jmenovtel kždého zlomku v rovnici musí být různý od nuly. V rovnici odstrníme zlomky vynásobením obou strn rovnice společným jmenovtelem všech zlomků. Při řešení rovnice využijeme ekvivlentní úprvy. Rovnice má nekonečně mnoho řešení. Řešením je celý definiční obor rovnice. Zpíšeme množinu K všech řešení rovnice. Výchozí tet obrázek k úloze 07 o kružnice k( S; cm) je vepsán čtyřúhelník tk, že jeho úhlopříčk je průměrem kružnice k cm. cm α S cm k Úloh 07 Určete velikost úhlu, který svírá úhlopříčk se strnou. bod Výpočet velikosti úhlu : : 90, cm, r cm sin α sin α sin α α 0 Úhlopříčk svírá se strnou úhel. Kružnice k kromě bodů je Thletov kružnice sestrojená nd průměrem. Trojúhelník je prvoúhlý s prvým úhlem při vrcholu. K výpočtu velikosti úhlu použijeme funkci sinus v prvoúhlém trojúhelníku. Úhlopříčk svírá se strnou úhel o velikosti 0. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0

3 Výchozí tet obrázek k úloze 0 revná část čtvercového vitrážového okn (v obrázku vyznčená šedě) je ohrničená čtyřmi shodnými čtvrtkružnicemi se středy ve vrcholech čtverce. Obvod brevné části je p metrů. Úloh 0 Vypočítejte obsh celého okn. bod Výpočet délky strny okn: o p m p d p : p d m d m Výpočet obshu okn: S S m m Obsh okn je m. Obvod brevné části okn je roven obvodu kruhu o průměru d, kde je délk strny čtverce. élku strny čtverce dosdíme do vzorce pro obsh S čtverce. Výchozí tet obrázek k úloze 09 Nádrž n solární ohřev vody má tvr rotčního válce. Pokud je nádrž ve vodorovné poloze, smáčí vod v nádrži kždé podstvy nádrže. Umístíme-li nádrž se stejným množstvím vody do svislé polohy, bude vod v nádrži sht do výšky, m. Sp, m l Úloh 09 Určete délku l nádrže. Uveďte celý postup řešení. m. body Oznčíme: l délk nádrže v výšk vody v nádrži ve svislé poloze, v, m S p obsh podstvy nádrže Vyjádření objemu V vody, pokud je nádrž ve vodorovné poloze: V Spl Vyjádření objemu V vody, pokud je nádrž ve svislé poloze: V S p v Porovnání objemů V V výpočet délky l nádrže: V V SPl SPv l v l (, ) m, m élk nádrže je, m. V obou přípdech je objem vody stejný. Sestvíme rovnici vyjádříme l. o vyjdření délky l nádrže dosdíme v, m. Protože jsme řešili slovní úlohu, zpíšeme slovní odpověď. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0 9

4 Výchozí tet obrázek k úloze 0 V krtézské soustvě souřdnic Oy jsou silnice p q znázorněny přímkmi p: + y 0 0; q: + t, y + t ; t R, křižovtk jejich průsečíkem K. p q K Úloh 0 Npište souřdnice bodu K. m. body Výpočet souřdnic průsečíku K přímek p q: ( + t)+ ( + t) t + + t 0 0 9t 9 t + t + y + t y + K [ ; ] Křižovtk je vyznčen bodem K [ ; ]. od K oznčující křižovtku je průsečíkem přímek p q. Souřdnice bodu K určíme řešením soustvy rovnic těchto přímek. Prmetrické vyjádření přímky q dosdíme do obecné rovnice přímky p. ostneme rovnici o neznámé t. Řešením rovnice je hodnot prmetru t pro průsečík K. Hodnotu prmetru t dosdíme do prmetrického vyjádření přímky q dopočítáme souřdnice bodu K. Jiný způsob řešení: Prmetrické vyjádření přímky q převedeme vyloučením prmetru t n obecnou rovnici. Obecné rovnice přímek p q tvoří soustvu dvou rovnic o dvou neznámých y. Vyřešením soustvy dostneme souřdnice průsečíku K. Výchozí tet obrázek k úloze N obrázku je grf lineární funkce f, (f) R. Průsečíky grfu funkce f se souřdnicovými osmi mjí celočíselné souřdnice. y O f Úloh oplňte tbulku funkce f y - m. body Určení předpisu funkce f : f: y + b; R { 0}, b R 0 + b 0 ( )+ b b f: y oplnění tbulky: y y ( ) + y 0 ( ) y 00 Npíšeme obecný předpis lineární funkce. Z obrázku zjistíme, že grf funkce f prochází body [ 0; ] [ ; 0]. Souřdnice těchto bodů dosdíme do předpisu lineární funkce. ostneme soustvu dvou rovnic o dvou neznámých b, kterou vyřešíme. Zpíšeme předpis funkce f. o předpisu funkce f: y dosdíme zdnou hodnotu jedné proměnné dopočítáme zbývjící proměnnou. 0 idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0

5 Výchozí tet obrázek k úloze Grf funkce f dostneme posunutím grfu funkce g: y ; R { 0 }, o jednu jednotku ve směru záporné poloosy o tři jednotky ve směru kldné poloosy y. y f S g 7 O 7 Úloh m. body ) Sestrojte grf funkce f. b) Zpište definiční obor obor hodnot funkce f. c) Určete předpis funkce f. ) Grf funkce g : y ; R { 0} (viz obrázek): Grfem funkce g je rovnoosá hyperbol se středem v počátku O. symptotmi hyperboly jsou souřdnicové osy y y Funkce f g jsou lineární lomené funkce, jejichž grfy jsou rovnoosé hyperboly s symptotmi rovnoběžnými se souřdnicovými osmi. Sestvíme tbulku pro funkci g nčrtneme grf funkce g v krtézské soustvě souřdnic Oy. Grf funkce f (viz obrázek): Grfem funkce f je rovnoosá hyperbol, jejímž středem je bod S[ ; ]. symptoty hyperboly mjí rovnice, y. b) ( f ) R { }, H( f ) R { } c) Určení předpisu funkce f: f: y k + y k y 0 ;, 0, 0 0 f: y ( ) + f: y ( + ) Grf funkce f dostneme posunutím grfu funkce g o jednu jednotku ve směru záporné poloosy o tři jednotky ve směru kldné poloosy y. efiniční obor obor hodnot funkce f stnovíme z jejího grfu. efiniční obor funkce zjišťujeme n ose, obor hodnot n ose y. Předpis funkce f určíme z posunutí grfu funkce g podél osy podél osy y. Předpis funkce f uprvíme n tvr: y + b c + d idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0

6 Výchozí tet k úloze Z jeden vstup do posilovny zpltí návštěvník 0 Kč. Fitness centrum nbízí svým stálým klientům věrnostní krtu, jejíž cen je 000 Kč která oprvňuje k šedesáti vstupům z sníženou cenu. Klient, který vlstní věrnostní krtu, zpltí při kždém vstupu Kč. Úloh m. body ) Oznčíme počet vstupů y celkovou finnční částku (v Kč), kterou zpltí klient z ( 0) vstupů, jestliže si pořídí věrnostní krtu. Npište předpis funkce f, která vyjdřuje závislost zplcené částky y n počtu vstupů. b) Určete, při jkém minimálním počtu vstupů se klientu vypltí věrnostní krt. ) počet vstupů, 0 y celková částk, kterou zpltí klient z vstupů, jestliže si pořídí věrnostní krtu Předpis funkce f: f: y ; { 0; ; ; ; 0} b) Výpočet minimálního počtu N vstupů, při kterém se vypltí věrnostní krt: < < : > 0 N Věrnostní krt se vypltí při minimálním počtu vstupů. Oznčíme proměnné podle zdání úlohy. elková částk y je rovn součtu ceny věrnostní krty částky zplcené z vstupů po Kč. elková finnční částk, kterou zpltí klient s věrnostní krtou z vstupů, musí být menší než částk, kterou zpltí z vstupů klient bez věrnostní krty. Pokud klient nemá věrnostní krtu, zpltí z vstupů 0 Kč. Sestvíme nerovnici, kterou vyřešíme. Nejmenší číslo N { 0; ; ; ; 0}, které vyhovuje nerovnici, je. Úloh Uprvte výrz stnovte, pro která 0; p ) je výrz definován. Uveďte celý postup řešení. m. body sin sin sin sin + sin sin sin cos sin tg cos ( ) Stnovení definičního oboru výrzu: sin 0 + sin 0 sin sin y Násobení výrzů ve jmenovtelích zlomků provedeme podle vzorce: ( + ) ( ) Při úprvě zdného výrzu dále využijeme: sin + cos ; tg sin cos Jmenovtelé zlomků se nesmějí rovnt nule. Zpíšeme podmínky pro. Pomocí jednotkové kružnice (viz obrázek) nebo grfu funkce sinus určíme, pro která 0; p ) obě podmínky pltí. O p p Výrz je definován pro všechn 0; p ), pro která pltí p p. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0

7 Výchozí tet k úloze Pánové dm, edřich yril zložili firmu. Pn dm vložil částku Kč, pn edřich Kč pn yril Kč. omluvili se, že pn dm dostne z řízení firmy 0 % z ročního zisku. Zbývjící část zisku si rozdělí všichni tři v poměru vloženého kpitálu. N konci roku dostl pn dm o Kč více než pn edřich pn yril dohromdy. Úloh Vypočítejte roční zisk firmy. Uveďte celý postup řešení. m. body roční zisk firmy Kč částk, kterou dostl pn dm z řízení firmy , Kč poměr vložených kpitálů : : : : celková částk, kterou dostl pn dm (, + 0, 7 ) Kč částk, kterou dostl pn edřich částk, kterou dostl pn yril , + 0, 7 0, 7 + 0, , +,, +, Roční zisk firmy byl Kč. ( ) ( ) 0, 7 Kč 0, 7 Kč Oznčíme neznámou provedeme zápis slovní úlohy. Pn dm dostl z řízení firmy 0 % zisku, tj. 0, Kč. Zbývjící část zisku (tj. 0,7 Kč) byl rozdělen mezi spoluvlstníky v poměru : :. Pn dm dostl, pn edřich pn yril z této částky. Sestvíme rovnici. Pn dm dostl o Kč více než pn edřich pn yril dohromdy. Rovnici vyřešíme pomocí ekvivlentních úprv. Řešili jsme slovní úlohu, proto zpíšeme slovní odpověď. Úloh Je dán výrz V ( m) m. Rozhodněte o kždém z následujících tvrzení (..), m + m zd je prvdivé (NO), či nikoli (NE). m. body. efiničním oborem výrzu je množin R { ; }. NO NE. Nulovým bodem výrzu je m. NO NE. Pro všechn m z definičního oboru výrzu lze výrz uprvit n tvr. NO NE m +. Hodnot výrzu pro m 0 je menší než hodnot výrzu pro m -. NO NE. NO Stnovení definičního oboru výrzu: m + m 0 ( m ) ( m + ) 0 m 0 m + 0 m m efiničním oborem výrzu je množin R { ; }.. NE Určení nulového bodu výrzu: V ( m) 0 m m m m m m + m ( + 0 ) ; + 0 m 0 m R { ; }. NO Úprv výrzu: m + ( + m ) ( ) ( + ) m m m m m +. NE Porovnání hodnot výrzu pro m 0 m -: V ( 0) 0 + V ( ) + > V ( 0)> V ( ) Jmenovtel výrzu musí být různý od nuly. Kvdrtický trojčlen rozložíme n součin. Součin je různý od nuly, právě když kždý z činitelů je různý od nuly. Nulový bod je hodnot proměnné z definičního oboru výrzu, pro kterou se hodnot výrzu rovná nule. Vyřešíme rovnici. Číslo m neptří do definičního oboru výrzu. Výrz V(m) nemá nulový bod. Čittele jmenovtele výrzu rozložíme n součin výrz zkrátíme. Určíme hodnoty výrzu pro m 0 m -. o zdného nebo uprveného výrzu postupně dosdíme m 0 m -. Hodnoty výrzu porovnáme. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0

8 Výchozí tet k úloze 7 Jsou dány čtyři nerovnice s neznámou R. I: II: > 0 III: > 0 IV: 0 0 > Úloh 7 Která z dných nerovnic nemá v oboru R řešení? body ) pouze IV ) pouze III IV ) pouze II, III IV ) pouze I, III IV E) jiné nerovnice Řešení nerovnice I: 0 : 0 K I ( ; 0 Řešení nerovnice II: > 0 < 0 < 0 K II ( ; 0) Řešení nerovnice III: > 0 < 0 K III 0 ( ) Řešení nerovnice IV: 0 0 > ; ( + ) > 0 > 0 K IV 0 Správná odpověď je ). V nerovnici odstrníme zlomek nerovnici vyřešíme. Nerovnice má v oboru R nekonečně mnoho řešení. Vyřešíme nerovnici v podílovém tvru. Nerovnice má v oboru R nekonečně mnoho řešení. V nerovnici odstrníme zlomek. Při násobení obou strn nerovnice zporným číslem změníme znk nerovnosti. Pro všechn R je 0. Nerovnice nemá v oboru R řešení. Levou strnu nerovnice uprvíme vytknutím následným krácením pro všechn R { }. Pro všechn R { } dostáváme neprvdivý výrok. Nerovnice nemá v oboru R řešení. Úloh Je dán výrz log + ; R +. Který z následujících výrzů je pro všechn R + ekvivlentní s dným výrzem? ) ( log + log ) : log ( ) ) log ( + ) : ( log ) ) log ( + ) log + log ) + log ( + ) log E) žádný z uvedených výrzů Úprv výrzu: log + log log ( + ) ( ) log ( + ) ( log + log ) log ( + ) ( log + log ) log ( + ) log log log ( + ) log Správná odpověď je ). Využijeme věty o logritmech definici logritmu. Pro všechn u, v R +, kždé z R kždé R { } pltí: log ( u v) log u + log v log u log u log v v z log u z log u Pro všechn s R + +, kždé v R kždé R { } pltí: v log s v s Odtud dostneme: log + body idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0

9 Výchozí tet grfy k úloze 9 Grfy poskytují informce o počtu žáků průměrném počtu zmeškných hodin n jednoho žák z druhé pololetí ve všech třídách třetího ročníku střední školy. Počet žáků v jednotlivých třídách III. žáků III. žáků III. žáků Zmeškné hodiny Průměrný počet zmeškných hodin n žák v jednotlivých třídách,,, III. III. Tříd III. Úloh 9 Kolik hodin (zokrouhleno n desetiny) průměrně zmeškl jeden žák třetího ročníku? body ),9 ), ),7 ), E),9 Určení průměrného počtu zmeškných hodin jednoho žák. ročníku:, +, +,, Jeden žák. ročníku zmeškl průměrně,9 hodin. Správná odpověď je E). elkový počet zmeškných hodin všech žáků. ročníku vydělíme počtem žáků. Výchozí tet k úloze 0 Kretní hr kvrteto se hrje s různými krtmi. Všech kret lze rozdělit do skupin po čtyřech krtách, do tzv. kvrtet. Kždá krt náleží pouze do jednoho kvrtet. Z promíchného blíčku dostne hráč osm kret. Úloh 0 Jká je prvděpodobnost, že hráč dostne dvě kvrtet? body ) )!!! ) 7 ) ( ) ( ) ( ) E) jiná hodnot Jev : Hráč dostne dvě kvrtet. P( ) m n n ( ) m ( ) ( ) P( ) ( ) Prvděpodobnost, že hráč dostne dvě kvrtet, je Správná odpověď je ). ( ) ( ). Prvděpodobnost P() jevu určíme jko podíl počtu m všech výsledků příznivých jevu počtu n všech možných výsledků náhodného pokusu. Počet n všech možných výsledků náhodného pokusu je roven počtu všech způsobů, kterými lze z blíčku kret vybrt skupinu kret, tj. počtu všech členných kombincí z prvků. Počet m všech výsledků příznivých jevu je roven počtu všech způsobů, kterými lze z blíčku kret vybrt skupinu osmi kret obshující dvě kvrtet. Počet těchto výběrů je roven počtu všech způsobů, kterými lze vybrt právě dvě kvrtet z osmi kvrtet, tj. počtu všech členných kombincí z osmi prvků. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0

10 Výchozí tet obrázek k úloze Vstupní brán do zámeckého prku je vytvořen z železných tyčí zkončen půlkružnicovým obloukem o poloměru, m. Vzdálenosti mezi sousedními tyčemi jsou stejné, délk nejkrtší tyče je m., m P S l v m s Úloh ), m ),90 m ),9 m ),00 m E) jiná délk Jká je délk druhé (v obrázku silně vyznčené) tyče? Tloušťku železných prutů, z nichž je brán vytvořen, znedbejte. body Oznčíme: s šířk brány v vzdálenost mezi sousedními tyčemi l délk druhé tyče Určení vzdálenosti mezi sousedními tyčemi: s, m m v ( : 0) m 0, m Výpočet P v prvoúhlém trojúhelníku SP: S r, m SP v 0, m, m P S SP P S SP Šířk brány je rovn průměru kružnice, jejíž částí je kružnicový oblouk, je rozdělen tyčemi n 0 stejných dílů. V obrázku vyznčíme prvoúhlý trojúhelník SP s prvým úhlem při vrcholu P. od S je středem kružnice, jejíž částí je kružnicový oblouk. od leží n kružnicovém oblouku oznčuje vrchol druhé tyče. K výpočtu P využijeme Pythgorovu větu pro trojúhelník SP. P P,, 0, 9 m m Stnovení délky druhé tyče: l m + 0, 9 m,9 m ruhá tyč je dlouhá,9 m. Správná odpověď je ). opočítáme délku druhé tyče. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0

11 Výchozí tet obrázek k úloze Z ppíru tvru rovnostrnného trojúhelníku o délce strny 0 cm odstřihneme tři menší trojúhelníky podle obrázku. ostneme rovnormenný lichoběžník. 0 cm 0 cm 0 0 cm cm cm cm cm Úloh ),7 cm ), cm ), cm ), cm E),7 cm Jká je délk (zokrouhlená n desetiny centimetru) rmene lichoběžníku? body V trojúhelníku pltí (viz obrázek): cm ( ) 0 Výpočet délky strny : sin 0 sin 0 sin 0 sin 0 sin 0, cm Jeden ze shodných odstřižených trojúhelníků oznčíme. élk rmene lichoběžníku je rovn délce strny trojúhelníku. Ke stnovení velikosti úhlu využijeme vlstnosti vedlejších úhlů. Velikost úhlu je rovn velikosti vnitřního úhlu rovnostrnného trojúhelníku. Velikost úhlu dopočítáme ze součtu velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku. Trojúhelník je určen podle věty usu. K výpočtu délky strny využijeme sinovou větu. élk rmene lichoběžníku je, cm. Správná odpověď je ). idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0 7

12 Úloh ) 0 7 ) 0 ) 07 ) 07 E) jiná hodnot 0 0 Součin lze zpst ve tvru k. Jká je hodnot eponentu k? 0 0 Úprv součinu vyjádření eponentu k: 0 0 k k k Stnovení počtu n sčítnců (počtu členů ritmetické posloupnosti):, n 0, d n + ( n ) d 0 + ( n ) 0 + n 00 n n 0 Výpočet eponentu k: s n n ( + n) k s 0 ( + ) ( + ) Správná odpověď je ). body Sestvíme eponenciální rovnici. Levou strnu rovnice vyjádříme jko mocninu o zákldu. Porovnáme eponenty mocnin n obou strnách rovnice vyjádříme k. Jednotlivé sčítnce jsou členy ritmetické posloupnosti s diferencí d. Ke stnovení počtu sčítnců eponentu k využijeme vzorec pro vyjádření n-tého členu ritmetické posloupnosti pomocí prvního členu. Eponent k je roven součtu 0 členů posloupnosti. o vzorce pro součet prvních n členů ritmetické posloupnosti dosdíme známé hodnoty n,, n dopočítáme s 0. Výchozí tet obrázek k úloze Z drátu určité délky bylo zhotoveno šest čtverců. Podíl délek strn kždých dvou sousedních čtverců je stejný. N vytvoření nejmenšího čtverce se spotřebovlo cm drátu, n vytvoření největšího čtverce 0 cm drátu. Úloh ) 9 cm ) 90 cm ) 9 cm ) 90 cm E) 9 cm Kolik centimetrů drátu se spotřebovlo n vytvoření všech čtverců? Spotřebu mteriálu n spoje ohyb neuvžujte. Určení prvního šestého členu geometrické posloupnosti: o cm o 0 cm Výpočet kvocientu q geometrické posloupnosti: n on o q o o q 0 q q q Určení součtu prvních šesti členů geometrické posloupnosti: s q n n ; o cm; q q s cm s 9 cm N vytvoření všech čtverců se spotřebovlo 9 cm drátu. Správná odpověď je ). body élky strn tedy i obvody čtverců tvoří geometrickou posloupnost. Obvod o nejmenšího čtverce je prvním členem posloupnosti, obvod o největšího čtverce je šestým členem posloupnosti. Vyjádříme šestý člen posloupnosti pomocí prvního členu dopočítáme kvocient q. élk drátu potřebného k vytvoření všech čtverců je rovn součtu prvních šesti členů posloupnosti. o vzorce pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti dosdíme známé hodnoty q dopočítáme s. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0

13 Výchozí tet k úloze Je dán prvidelný šestiboký hrnol EFGHIJKL. Střed dolní podstvy je oznčen S. Všechny hrny hrnolu mjí stejnou délku. Úloh Přiřďte ke kždé odchylce (..) odpovídjící velikost úhlu () F)). m. body. odchylk přímek F E L K élku hrny hrnolu oznčíme. Podstvmi prvidelného šestibokého hrnolu jsou dv shodné prvidelné šestiúhelníky. Prvidelný šestiúhelník je tvořen šesti shodnými rovnostrnnými trojúhelníky. G H p F S α S I E J q. F) Oznčíme: p F, q E Odchylk přímek p q: pq S S 90 Odchylk dvou různoběžných přímek je rovn velikosti kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky svírjí. Odchylk přímek F E je rovn velikosti úhlu, který svírjí úhlopříčky kosočtverce SEF. Protože úhlopříčky kosočtverce jsou k sobě kolmé, je odchylk přímek 90.. odchylk přímek F HK L G H I p F β S K E r J r. ) Oznčíme: p F, r HK, r E Odchylk přímek p r : b pr pr ESF 0 Odchylk mimoběžných přímek je rovn odchylce různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžných s dnými mimoběžkmi. Odchylk mimoběžných přímek F HK je tedy rovn odchylce různoběžných přímek F E, tj. velikosti vnitřního úhlu rovnostrnného trojúhelníku.. odchylk přímky KS roviny L K G H I F E J. ) Oznčíme: k KS, r, k ES Odchylk přímky k roviny r: g k ρ kk ESK 0 90 Odchylk přímky KS roviny je rovn odchylce přímky KS jejího kolmého průmětu ES do roviny, tedy velikosti úhlu ESK. Trojúhelník KSE je prvoúhlý s prvým úhlem při vrcholu E rovnormenný. opočítáme velikost úhlu při zákldně trojúhelníku. k ρ k S γ. odchylk rovin JI JH L G o s ) ) 0 ) ) 0 E) 7 F) 90 H ω F S 0 I σ δ K E J. ) Oznčíme: s JI, w JH, s JI, o JH Odchylk rovin s w: d σω so IJH Odchylk rovin JI JH je rovn odchylce průsečnic JI JH těchto rovin s rovinou HIJ kolmou k oběm rovinám. Odchylk přímek JI JH je rovn velikosti úhlu IJH. Trojúhelník HIJ je rovnormenný se zákldnou HJ. Úhel při hlvním vrcholu má velikost 0. opočítáme velikost úhlu při zákldně trojúhelníku. idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0 9

14 Úloh. strn. úhlopříčk. úhlopříčk V rovnoběžníku pltí ( ; ) b ( ; ). Přiřďte ke kždé úsečce (..) její délku () E)). m. body ) 0 ) 9 ) ) 7 E) jiná délk. ) Výpočet délky strny : élk strny je rovn velikosti vektoru ) Výpočet souřdnic vektoru u : Velikost vektoru ( ; ) určíme podle vzorce + Vektor u je součtem vektorů b.. u b u + b u ( + ( ) ; + ) ( ; ) Výpočet délky úhlopříčky : u + 9. ) Výpočet souřdnic vektoru v : élk úhlopříčky je rovn velikosti vektoru u. Vektor v je rozdílem vektorů b. v b v b v ( ; ) ( ; ) Výpočet délky úhlopříčky : v ( ) + 7 élk úhlopříčky je rovn velikosti vektoru v. 0 idktický test Mturit 0 07 z mtemtiky idktis 0

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY

1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY . ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY Zjednodušte uveďte, kdy mjí dné výrzy smysl: ) + + + ) y + + + y : y y y ) n + n n + n + n n :. n n + ) b b : +. + b b b + 5) + +. + 6) +. 7) + b b + b b. + b 8) 8

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Maturitní témata z Matematiky

Maturitní témata z Matematiky Mturitní témt z Mtemtik. Výrz jejich úprv. Lineární rovnice nerovnice, lineární rovnice s prmetrem. vdrtická rovnice nerovnice, kvdrtická rovnice s prmetrem. Rovnice nerovnice v součinovém podílovém tvru.

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

CVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 29 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Smrk má vysokou klíčivost, jen 5 % semen nevyklíčí.

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Matematika- opakování (2009)

Matematika- opakování (2009) Mtemtik- opkování (009).ZÁKLADNÍ POZNATKY Z LOGIKY A TEORIE MNOŽIN, DŮKAZY VĚT ) Určete, které zápisy jsou výroky určete jejich prvdivostní hodnotu: ) Student gymnázi. Písek je hlvní město ČR. c) 0 Dnes

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3 Cvičení.ročník rovnice, nerovnice, výrzy, funkce ) Vypočítejte: ) [0 (8. 0 7. 0 )] b) [ ( ). ( ) ( 7)]: ( ) c) (9 ): ( ) + [ 8 (0 )] d)[. ( 9 + 7) ( ). ( )]. e). 9. 9 f). 7 + 9 ) Vyjádřete jko jedinou

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN)

PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP a DN) PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP DN). Objem povrch těles. Mocnin s celým eponentem. Odmocnin, mocnin s rcionálním eponentem. Algebrické výrz. Lineární rovnice. Soustv lineárních rovnic o dvou

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

1) ČÍSLA a VÝRAZY Teorie

1) ČÍSLA a VÝRAZY Teorie 1) ČÍSLA VÝRAZY Teorie číselné obory: roztřiďte čísl podle oborů: -,8; -. 5 ; 1 ; 1,1; ; 5, sin60 ; ; - 4 7; 0; 1; ; 17;,1 ; 0,001; -1; 7 ; 0, I ) Přirozená čísl znky dělitelnosti, násobek dělitel krácení

Více

Otázky. má objem V v. Orientace

Otázky. má objem V v. Orientace Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Výroky operce s nimi vyučující:vítězslv Pěničk Účst Aleny, Báry, Cyril Dvid n koncertě skupiny PINK FLOYD je vázán těmito podmínkmi: Přijde spoň

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice Střední škol ohodu, řemesel, služe Zákldní škol, Ústí nd Lem, příspěvková orgnize Vzděláví středisko Trmie MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Mtemtik Oor vzdělání: Ekonomik podnikání Školní rok: 0/06 Tříd: EKP

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE. Součin 5 4 je roven číslu: a) 4, b), c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není správná. 5 5 5 5 + + 5 5 5 5 + + 4 9 9 4 Správná odpověď je a) Počítání

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD2C0T0 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

CVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 7 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete přirozené číslo n tak, aby platilo: 3 + 12 + 27 = n. 1 bod 2 Doplňte

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Vzdálenost rovin

Vzdálenost rovin 510 zdálenost rovin ředpokldy: 509 Kdy má cenu uvžovt o vzdálenosti dvou rovin? ouze, když jsou rovnoběžné, jink se protínjí ř 1: Nvrhni definici vzdálenosti dvou rovnoběžných rovin Z vzdálenost dvou rovnoběžných

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více