Produkty finanční matematiky. Podle standardů finanční. gramotnosti pro střední školy. Předmět matematika Praktické využití posloupností a řad

Transkript

1 N{zev školy Číslo šablony/číslo sady Gymnázium J. V. Jirsíka, Fráni Šrámka, České Budějovice VI/2/ Poř. číslo v sadě 1 Jméno autora Období vytvoření materi{lu N{zev souboru Zařazení materi{lu podle ŠVP Téma Druh výukového materi{lu Anotace Použitý zdroj RNDr. Petr Sokol 1/2013 4/2014 Produkty finanční matematiky. Podle standardů finanční gramotnosti pro střední školy. Předmět matematika Praktické využití posloupností a řad Finanční matematika Pracovní list přímá práce žáků Prezentace pro projekci pomůcka pro výklad Výukový materiál je určen ke zvládnutí základních pojmů finanční matematiky. Může být použit pro nižší i vyšní stupeň gymnázia. Radová J. a kolektiv: Finanční matematika pro každého.. aktualizované vydání, Grada Publishing a. s. Praha ISBN Bohanesová E.: Finanční matematika I. Univerzita Palackého Olomouc ISBN Dostupné na Souhrn vzorců finanční matematiky. Dostupné na

2 Základní pojmy, úrok. 1 Základní pojmy Úrok je finanční obnos, který získ{v{ věřitel od dlužníka jako odměnu za zapůjčení peněz. Z pohledu dlužníka je to cena, kterou platí za získ{ní úvěru. Úrokov{ míra úrokov{ sazba je podíl získaného úroku a zapůjčené č{stky. Zpravidla za jeden rok při jednoduchém úročení. Označuje se p. a. per annum a ud{v{ se v procentech (p) nebo jako desetinné číslo (i) i. Další možnosti jsou: pololetní, per semestre (p.s.), čtvrtletní, per quartale (p.q.), měsíční, per mensem (p.m.), Daň z úroku je č{st úroku, kter{ se nevypl{cí věřiteli a odv{dí se st{tu. Úrok placený bance se nezdaňuje. Úrokov{ doba (d) je doba, po kterou je vklad nebo úvěr úročen. Jsou zn{mé různé metody pro stanovení počtu dnů úrokové doby. o Anglick{ metoda je založena na skutečném počtu dnů úrokovacího období a délce roku res. dnů. o Francouzsk{ mezin{rodní metoda je založena opět na skutečném počtu dnů, ale délka roku se započít{v{ jako dnů. o Německ{ obchodní metoda, dnes označov{na v EU jako standard 30E/360, je založena na započít{v{ní celých měsíců jako dnů a délky roku dnů. Pro jednoduchost budeme používat tuto metodu.

3 2 Typy úročení Jednoduché úročení - vypl{cené úroky se k původnímu kapit{lu nepřičítají a d{le se neúročí. Složené úrokov{ní úroky se připisují k peněžní č{stce a spolu s ní se d{le úročí. Úročení polhůtné úroky se platí na konci úrokovaného období Úročení předlhůtné k placení úroků doch{zí na zač{tku úrokového období. 2.1 Jednoduché úročení Předpoklady pro výpočet jednoduchého úroku: Použív{ se nejčastěji uvnitř jednoho úrokovacího období. Nejčastěji v r{mci jednoho roku. Doba splatnosti býv{ obvykle kratší než jeden rok, je-li delší, počít{me pak úrok ze st{le stejného poč{tečního kapit{lu nepočít{me tedy úroky z úroku. Při stanovení počtu dnů uloženého kapit{lu se dodržuje pravidlo, že ze dnů vkladu a výběru se počít{ pouze jeden z těchto dnů. Předpokl{dejme, že den uložení počítat nebudeme a den výběru započít{vat budeme. 2.2 Výpočet jednoduchého úroku u jednoduchý úrok u = K0. i. t nebo u = K0

4 Kde K0 je poč{teční kapit{l, i je úrokov{ míra vyj{dřen{ desetinným číslem, t je doba. V rozepsaném případě je p úrokov{ míra v procentech a d je počet dnů uložení. Příklad. Jaké jsou úrokové n{klady úvěru ve výši Kč jednor{zově splatného za měsíců, je-li úrokov{ sazba,% p.a.? Řešení: K0 = 80 Kč p = 14,5 d = = 270 u = K0 = = 8 Kč Úrokové n{klady jsou Kč

5 Příklady pro samostatnou pr{ci: Příklad. Kolik Kč si může půjčit z{kazník na půl roku, jestliže ví, že bude moci na zaplacení úroků použít č{stku Kč při úrokové míře,%? Příklad. Z{kazník uložil. května na účet úročený,% p. a. jedenkr{t za rok č{stku 75 Kč. Peníze si vybral před V{nočními sv{tky. prosince. Jak{ č{stka na úrocích od banky mu n{leží? Vezměte v úvahu % daň z úroků.

6 Výsledky příkladů pro samostatnou pr{ci: Příklad. Vzorec u = K0. i. t nebo u = K0 u = 5 Kč p = 12,5 d = 180 K0 =? K0 = 89 Kč Z{kazník si může půjčit Kč. Příklad. Vzorec u = K0. 0,85 K0 = 75 Kč p = 2,15 d = = 206 u =? u =, Kč Z{kazníkovi n{leží, Kč.

7 Základní rovnice pro jednoduché úročení polhůtné K jednoduchému úročení doch{zí v r{mci jednoho úrokovacího období. Může to být nejčastěji jeden rok například u vkladních knížek nebo i jeden měsíc např. u běžných účtů. V našich příkladech budeme používat nejčastěji roční úrokovací období. Pro výši kapit{lu v čase Kt platí vztah Kt = K0 + u, kde K0 je poč{teční kapit{l, u je připočtený úrok. Po dosazení za úrok a vytknutí K0 dostaneme n{sledující výpočetní vztahy. Kt = K0. (1 + i. t) popřípadě Kt = K0 (1 + i je úrokov{ míra vyj{dřen{ desetinným číslem p úrokov{ míra v procentech) t je doba d je počet dnů uložení. Příklad 1. Jaký je stav vkladu 200 Kč za měsíců při úrokové sazbě, %? Jak{ byla výše úroku před zdaněním a po zdanění? Zdanění činí % ze získaného úroku. Řešení: i = 0,032 K0 = t = = 0,667 Kt = ,021 = 14, Kč před zdaněním Úrok u před zdaněním, činil, Kč. Po zdanění činil, Kč.

8 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Z{kazník si uložil. dubna na spořicí účet úročený úrokovou sazbou,% č{stku 15 Kč, kterou chtěl použít na v{noční d{rky. Hotovost si vybral. listopadu. Jak{ č{stka mu byla vyplacena? Daň z úroků činí %. Příklad. Kolik dní byl uložen z{kladní kapit{l K0, Jestliže se jeho hodnota změnila z hodnoty 9 Kč na č{stku 2 Kč před zdaněním, při úrokové míře, %? Příklad. Z{kazník si kr{tkodobě vypůjčil Kč. Za měsíců měl podle smlouvy zaplatit 11 Kč. V jaké výši byla půjčka úročena?

9 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad. Vzorec Kt = K0. (1 + i. t) popřípadě Kt = K0 (1 + K0 = , p = 2,35, d = = 224 Kt =? Kt = ,33 Kt před zdaněním ,33 Kč, úrok před zdaněním, Kč, po zdanění, Kč. Byla vyplacena č{stka, Kč Příklad. Vzorec Kt = K0 (1 + K0 = 9 000, Kt = 9 200, p = 2,5 d =? d = 320 Počet dní d=. Příklad. Vzorec Kt = K0. (1 + i. t) K0 = , Kt = , d = 0,75 i =? i = 0,17 Půjčka byla úročena % p. a.

10 Jednoduché úročení předlhůtné Vedle nejčastěji používaného úročení polhůtního, kdy je úrok vypl{cen na konci úrokového období, se můžeme setkat také s úročením předlhůtným. Při tomto úročení je úrok placen na zač{tku úrokovacího období. Příjemce kapit{lu nedost{v{ celou nomin{lní č{stku, ale obnos snížený o úrok. Vyplacen{ č{stka = nomin{lní hodnota kapit{lu úrok Předpokl{dejme, že doba splatnosti je jeden rok a proto předem zaplatíme úrok za jeden rok. K1 I K0 kapit{l splatný za jeden rok úrokov{ sazba v setin{ch p.a. vyplacen{ č{stka, Potom platí K0 = K1 K1. I = K1. (1 I) Chceme-li vyj{dřit hodnotu kapit{lu Kt v čase t, můžeme symbolicky ps{t Kt = K0 + K1. I. t Po dosazení za K0 dost{v{me Kt = K1 K1. I + K1. I. t = K1. (1 + (t 1). I) Příklad 1. Předpokl{dejme úvěr ve výši Kč, splatný najednou za jeden rok při úrokové sazbě % p.a. Ukažme rozdíl mezi polhůtným a předlhůtným úročením. Polhůtné úročení: K0=1 000 i=0,1 t=1 K1=? Podle vzorce pro jednoduché polhůtné úročení Kt = K0. (1 + i)= ,1=1 100 Na konci je potřeba zaplatit celkem Kč. Kč úvěru a Kč úroku. Předlhůtné úročení:

11 K1=1 000 I=0,1 t=1 K0=? Podle z{kladního vzorce pro jednoduché úročení předlhůtné K0 = K1. (1 I)= ,9=900 Při předlhůtném úročení z úvěru Kč dostaneme ve skutečnosti 9 Kč. Nomin{lní hodnota úroku zůst{v{ stejn{ Kč.

12 Příklady pro samostatnou práci: Příklad 2. Kolik dostane vyplaceno dlužník, který si vypůjčil na rok 0 Kč při % předlhůtní úrokové sazbě? Kolik splatí věřiteli, jestliže se rozhodne dluh vr{tit za 9 měsíců? Příklad 3. Klient potřebuje získat od banky úvěr Kč na jeden rok. Banka nabízí dvě možnosti splacení úvěru: 1) Úrokov{ sazba je % p.a. při splatnosti úroku na konci roku 2) Úrokov{ sazba je 9,% p.a., úrok je splatný při poskytnutí úvěru

13 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec Kt = K1 K1. I + K1. I. t = K1. (1 + (t 1). I) K1 = , I = 0,12, t = 0 Kt =? Kt = K1 = , I = 0,12, t = 0,75 Kt =? Kt = Dlužník dostane vyplaceno Kč, za 9 měsíců by vr{til 9 Kč. Příklad 3. 1) Kt = K0. (1 + i. t) popřípadě Kt = K0 (1 + K0 = , t = 1, i = 0,1 Kt =? Kt = ) Vzorec Kt = K1 K1. I + K1. I. t = K1. (1 + (t 1). I) Kt = , I = 0,095, K1 =? K1 = ,24 Z výpočtu je patrné, že výhodnější je varianta ). Z{kazník zaplatí bance méně na úrocích.

14 Jednoduchý diskont Převezme-li banka nebo jiný subjekt nějakou pohled{vku před dobou splatnosti, nevyplatí celou výši pohled{vky, ale odečte úroky za příslušnou dobu do doby splatnosti. Diskont je úrok ode dne výplaty do dne splatnosti. Ve finanční matematice rozlišujeme diskont obchodní počít{ se z nomin{lní hodnoty pohled{vky a diskont matematický počít{ se ze současné hodnoty pohled{vky. Diskont se počít{ podle vzorce pro jednoduché úročení. Uk{žeme si výpočet obchodního diskontu: Dob Kt id t obchodní diskont nomin{lní hodnota pohled{vky diskontní sazba v setin{ch čas od doby výplaty do doby splatnosti Píšeme: Dob = Kt. id. t Po odečtu obchodního diskontu se bude vypl{cet č{stka Kob rovnat Kob = Kt - Dob = Kt - Kt. id. t = Kt (1 - id. t). Příklad 1. Určete, kolik dostane vyplaceno klient, jemuž banka eskontuje směnku o nomin{lní hodnotě Kč dní před dobou splatnosti při diskontní sazbě 9% p.a. Banka neúčtuje ž{dné další provize. Kt = t = id = 0,09 Kob = Kt (1 - id. t) = (1 0,09. ) = 49, Kč

15 Příklady pro samostatnou práci: Příklad 2. Majitel se rozhodne odprodat roční st{tní dluhopis o nomin{lní hodnotě Kč dva měsíce před dobou splatnosti. Kolik za ni dostane vyplaceno, je-li diskontní sazba 7% p.a.? Příklad 3. Majitel dlužního úpisu v nomin{lní hodnotě Kč potřebuje hotovost a tak se rozhodl dlužní úpis prodat třetí osobě tři měsíce před dobou splatnosti. Kolik může dostat, jestliže je výše diskontní sazby % p. a.?

16 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec Kob = Kt - Dob = Kt - Kt. id. t = Kt (1 - id. t). Kt = , id = 0,07, t = 0,1667 Kob =? Kob = 9 883,31 Bude vyplaceno 9 883,31 Kč. Příklad 3. Vzorec Kob = Kt - Dob = Kt - Kt. id. t = Kt (1 - id. t). Kt = , id = 0,06, t = 0,25 Kob =? Kob = Majitel dlužního úpisu může požadovat Kč.

17 Složené úročení polhůtní Složené úročení vych{zí z toho, že vyplacené úroky se připočít{vají k původnímu kapit{lu a v dalším období se d{le úročí společně s původním kapit{lem. Složené úročení je možno stejně jako jednoduché úročení rozdělit podle toho, kdy se platí úrok, na složené úročení polhůtné a předlhůtné. Vzhledem k tomu, že nejsou zn{mé aplikace složeného předlhůtního útočení, nebudeme se jím zabývat. K0 původní kapit{l i úrokov{ sazba v setin{ch t doba splatnosti kapit{lu v letech Kt výše kapit{lu na konci t ho roku Pro složené úročení lze odvodit vzorec Kt = K0. Tento způsob úročení se použív{ například u dříve velmi oblíbených vkladních knížek. V průběhu roku se pak použív{ jednoduché úročení. Příklad 1. Uložili jsme č{stku Kč. Jak{ bude výše kapit{lu za let při složeném úročení polhůtném, jestliže úrokové období je roční a úrokov{ sazba je,% p.a.? K0 = i = 0,035 t = 5 Kt =? Kt = K0. = = ,29 Kč V praxi se často setk{v{me s případy, že úrokové období je kratší než jeden rok. Nejčastěji se setk{v{me, například u oblíbených běžných účtů, že úrokové období je jeden měsíc. Potom platí pro výpočet kapit{lu vztah:

18 Kt = K0. K0 původní kapit{l i úrokov{ sazba v setin{ch t doba splatnosti kapit{lu v letech m počet úrokovacích období za rok Kt výše kapit{lu na konci t ho roku V r{mci jednoho úrokovacího období se využív{ jednoduché úročení.

19 Příklady pro samostatnou práci: Příklad 2. Uložili jsme č{stku Kč. Jak{ bude výše kapit{lu za let při složeném úročení polhůtném, jestliže úrokové období je pololetní a úrokov{ sazba je,% p.a.? Příklad 3. Jak{ bude výše úroku z kapit{lu Kč za roky při úrokové sazbě,% p.a., jsou-li úroky připisov{ny čtvrtletně, ponech{ny na účtu a d{le úročeny jako vklad.

20 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec Kt = K0. K0 = i = 0,035 t = 5 m = 2 Kt =? Kt = K0. = = ,67 Výše kapit{lu bude, Kč. Příklad 3. K0 = i = 0,105 t = 3 m = 4 Kt =? Kt = K0. = = ,53 Výše úroku bude, Kč před zdaněním.

21 Kombinace jednoduchého a složeného úročení Jestliže je kapit{l uložen uprostřed úrokovacího období pro složené úročení, je nutné pro výpočet konečné č{stky kombinovat jednoduché a složené úročení. Při polhůtném úročení pak dostaneme obecný vzorec pro výpočet kapit{lu v n{sledujícím tvaru: Kt = K0. (1 + i. t1).. (1 + i. t2) Kde K0 původní kapit{l i úrokov{ sazba v setin{ch t1 doba pro jednoduché úročení v prvním období, pokud existuje t2 doba pro jednoduché úročení ve druhém období, pokud existuje n počet období složeného úročení m počet úrokovacích období za rok Kt výše kapit{lu na konci období Příklad 1. Na běžný účet úročený jedenkr{t za měsíc na konci období jsme si uložili. března 10 Kč. Č{stku včetně úroků si chceme vyzvednout na v{noční n{kupy 30. listopadu. Jakou č{stku si vybereme, je-li úrokov{ sazba,% p.a.? K0 = t1 = (jednoduché úročení použijeme v r{mci jednoho měsíce n = osm celých měsíců složeného úročení m = 12 Kt =? i = 0,025

22 Kt = K0. (1 + i. t1). = (1 + 0,025. ). = ,4 Kč

23 Příklady pro samostatnou práci: Příklad 2. Na vkladní knížku, kter{ je úročen{ jedenkr{t za rok na konci období neměnnou úrokovou sazbou,% jsme uložili. června při narození dítěte 100 Kč. Předpokl{d{me, že bude potřebovat peníze na vysokoškolsk{ studia. Peníze budeme chtít vybrat. srpna. S jakou č{stkou můžeme počítat? Příklad 3. Kolik musíme uložit, abychom za let a měsíce měli obnos Kč při úrokové sazbě,% p.a.? Úroky jsou připisov{ny jednou za rok, ponech{v{ny na účtu a d{le úročeny.

24 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec Kt = K0. (1 + i. t1).. (1 + i. t2) K0 = , i = 0,025, m = 1, n = 18, t1 = 0,58, t2 = 0,67 Kt =? Kt = ,69 Můžeme počítat s č{stkou, Kč. Příklad 3. Vzorec Kt = K0. (1 + i. t). Kt = , i = 0,096, m = 1, n = 5, t = 0,25 K0 =? K0 = ,47 Musíme uložit nejméně Kč.

25 Spoření krátkodobé předlhůtní Základní pojmy spoření Dalším produktem na finančním trhu je spoření. Spořením rozumíme pravidelné ukl{d{ní určité č{stky po dobu konečné délky. Součet všech úložek se nazýv{ částka uložená. Součet uložené č{stky a příslušných úroku se nazýv{ č{stka naspořen{. Ta býv{ obvykle cílem výpočtu v oblasti spoření. Klasifikace spoření: 1. Z hlediska počtu úrokových období spoření kr{tkodobé, spoření dlouhodobé, spoření kombinované. U kr{tkodobého spoření se doba spoření rovn{ pr{vě jednomu úrokovému období, na jehož konci se připíše úrok z úložek. V případě dlouhodobého spoření spoříme po dobu několika úrokových období, úrok z úložky je přips{n na konci období a v dalším období znovu úročen. Vznikají tedy úroky z úroku. 2. z hlediska toho, spoříme-li stanovenou částku na počátku pravidelného časového intervalu nebo na jeho konci spoření předlhůtní, č{stka se ukl{d{ na poč{tku období spoření polhůtní, č{stka se ukl{d{ na konci období N{zev je tedy odvozen od úložky, nikoliv od výpočtu úroku. Ten se připisuje vždy na konci období. Spoření krátkodobé předlhůtní Pro kr{tkodobé spoření předlhůtní se d{ odvodit vzorec

26 m 1 S x m x 1 i. 2m Předpoklady: Sx naspořen{ č{stka x hodnota pravidelně ukl{dané č{stky m počet úložek za rok i úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem Č{stka x je pravidelně ukl{dan{ vždy na zač{tku období měsíce, kvart{lu, pololetí. Pozn{mka: Všechny zde uv{děné vzorce slouží k výpočtu čistých finančních č{stek. Neobsahují v sobě % daň, kterou příjemce úroků musí odv{dět st{tu. Příklad. Jakou č{stku naspoříme během roku, ukl{d{me-li pravidelně na zač{tku měsíce č{stku Kč. Úrokov{ sazba na spořicím účtu je,% ročně. S x , Sx = 18, Kč Během roku naspoříme č{stku, Kč.

27 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Jakou č{stku musíme ukl{dat pravidelně na zač{tku měsíce, abychom za rok naspořili více jak Kč. Při roční úrokové míře,%. Příklad. Střadatel ukl{dal pravidelně na zač{tku měsíce Kč. Za rok naspořil 38 Kč. Jak{ byla v tomto roce roční úrokov{ sazba? Příklad. Kolik musíme ukl{dat poč{tkem každého čtvrtletí, abychom za rok uspořili Kč při úrokové míře % p.a.?

28 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad. Vzorec m 1 S x m x 1 i. 2m Sx = , m = 12, i = 0,0245 x = 8 224,19 Musíme spořit nejméně Kč. Příklad 3. Vzorec m 1 S x m x 1 i. 2m Sx = , x = 3 000, m = 12 i =? i = 0,1025 Roční úrokov{ sazba byla 10,25% p. a. Příklad 3. Vzorec m 1 S x m x 1 i. 2m Sx = , m = 4, i = 0,04 x =? x = 2 439,02 Musíme ukl{dat alespoň Kč.

29 Spoření krátkodobé polhůtní Č{stka x je pravidelně ukl{dan{ vždy na konci období měsíce, kvart{lu, pololetí. ' m 1 S x m x 1 i 2m Předpoklady: Sx naspořen{ č{stka x hodnota pravidelně ukl{dané č{stky m počet úložek za rok i úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem Příklad 1. Kolik uspoříme do konce roku, ukl{d{me-li koncem každého měsíce Kč při 9% úrokové sazbě. Sx =? x = m = 12 i = 0,09 ' m S x m x 1 i = , 09 = Kč 2m 24 Uspoříme č{stku 99 Kč. Příklady pro samostatnou práci: Příklad 2. Při kolika procentní úrokové sazbě uspoříme za jeden rok Kč, jestliže koncem každého čtvrtletí ukl{d{me Kč?,% ] Příklad 3.

30 Jakou č{stku musíme ukl{dat koncem každého měsíce, abychom během toku naspořili Kč při, % úrokové sazbě?

31 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec ' m 1 S x m x 1 i 2m Sx = , m = 4, x = i =? i = 0,111 Při úrokové míře,% p. a. Příklad 3. Vzorec ' m 1 S x m x 1 i 2m Sx = , m = 12, i = 0,025 x =? x = 4 449,02 Musíme ukl{dat Kč.

32 Spoření dlouhodobé předlhůtní O dlouhodobém spoření hovoříme, jestliže jde o spoření za několik úrokových období. Podle toho, zda č{stka bude uložena na poč{tku či na konci úrokovacího období, budeme opět rozlišovat spořené předlhůtní a polhůtní. Spoření dlouhodobé předlhůtní S (1 i) a ( 1 i) i n 1 S naspořen{ č{stka a hodnota pravidelně ukl{dané č{stky i úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem n počet úrokovacích období Č{stka a je pravidelně ukl{dan{ vždy na zač{tku období měsíce, kvart{lu, pololetí. Příklad. Kolik uspoříme za let, budeme-li ukl{dat na poč{tku každého roku Kč při neměnné % úrokové sazbě p.a.? S =? a = 5 Kč i = 0,12 n = 8 8 (1 0,12) 1 S 5000 (1 0,12) =, Kč 0,12

33 Za osm let uspoříme č{stku, Kč.

34 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Kolik uspoříme za deset let, spoříme-li zač{tkem každého roku 10 0 Kč při neměnné 4% úrokové sazbě? Příklad. Kolik musíme spořit poč{tkem každého roku, abychom za deset let uspořili Kč při neměnné roční úrokové sazbě 3,5%?

35 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec S (1 i) a ( 1 i) i n 1 a = , i = 0,04, n = 10 S =? S = ,51 Naspoříme č{stku, Kč. Příklad 3. Vzorec S (1 i) a ( 1 i) i n 1 S = , n = 10, i = 0,035 a =? a = ,81 Musíme ukl{dat Kč.

36 Spoření dlouhodobé polhůtní Spoření dlouhodobé polhůtní (1 i) S a i n 1 S naspořen{ č{stka a hodnota pravidelně ukl{dané č{stky i úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem n počet úrokovacích období Č{stka a je pravidelně ukl{dan{ vždy na konci období. Příklad. Jakou č{stku musíme ukl{dat koncem každého roku, abychom za let naspořili 50 Kč při neměnné úrokové sazbě % p.a.? S = Kč a =? i = 0,03 n = 10 = = 4, Kč Musíme ukl{dat č{stku Kč

37 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Otec ukl{d{ synovi od jeho narození pravidelně č{stku Kč koncem každého roku. Kolik mu naspoří do jeho let při průměrné úrokové míře,%.? Příklad. Koncem každého roku můžeme ukl{dat č{stku Kč. Jak dlouho musíme spořit, abychom naspořili č{stku Kč, při úrokové míře,%?

38 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec (1 i) S a i n 1 a = , n = 18, i = 0,035 S =? S = ,74 Bude naspořena č{stka, Kč. Příklad 2. Vzorec (1 i) S a i n 1 S = 000, a = , i = 0,0275 n =? n = 12,73, to je let a,měsíce. Musíme spořit let a měsíců.

39 Kombinace dlouhodobého a krátkodobého spoření předlhůtního Jestliže ukl{d{me č{stku pravidelně v průběhu úrokovacího období, několik úrokovacích období doch{zí ke kombinaci kr{tkodobého a dlouhodobého spoření. Dlouhodob{ složka spoření může být pouze z dlouhodobého polhůtního spoření, protože v těchto případech můžeme připisovat úroky pouze na konci období. Měnit se může pouze složka kr{tkodob{, podle toho, kdy č{stku ukl{d{me. N{zev je tedy odvozen od kr{tkodobé složky spoření. S m 1 (1 i) m x 1 i 2m i n 1 S naspořen{ č{stka x hodnota pravidelně ukl{dané č{stky na zač{tku období m počet úložek za úrokovací období i úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem n počet celých úrokovacích období Příklad. Kolik uspoříme za deset let, spoříme-li zač{tkem každého čtvrtletí Kč při neměnné % úrokové sazbě? S =? x = počet úložek za úrokovací období i = 0,08 n = 10 S 5 (1 0,08) ,08 8 0, S = 152, Kč

40 Za deset let uspoříme, Kč

41 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Kolik musíme spořit poč{tkem každého měsíce, abychom za deset let uspořili Kč, při neměnné roční úrokové sazbě %? Příklad. Prarodiče pravidelně ukl{dají vnoučeti Kč na zač{tku každého měsíce od jeho narození. Naspořené peníze mu chtějí předat při jeho. narozenin{ch. Jakou č{stku mu naspoří, jestliže počít{me se st{lou úrokovou mírou, %?

42 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec S m 1 (1 i) m x 1 i 2m i n 1 S = , m = 12, n = 10, i = 0,09 x =? x = 5 230,04 Musíme spořit alespoň Kč. Příklad 3. Vzorec S m 1 (1 i) m x 1 i 2m i n 1 x = 1 000, m = 12, n = 30, i = 0,0225 S =? S = ,23 Prarodiče naspoří č{stku, Kč.

43 Kombinace dlouhodobého a krátkodobého spoření polhůtního m 1 (1 i) S m x 1 i 2m i n 1 S naspořen{ č{stka x hodnota pravidelně ukl{dané č{stky na konci období m počet úložek za úrokovací období i úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem n počet celých úrokovacích období Příklad. Kolik uspoříme za deset let, spoříme-li koncem každého čtvrtletí Kč při neměnné % roční úrokové sazbě? S =? x = 2500 m = 4 i = 0,08 n = 10 3 (1 0,08) S ,08 8 0,08 S = 149, Kč Uspoříme č{stku, Kč. 10 1

44 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Kolik musíme spořit koncem každého měsíce, abychom za let uspořili mil. Kč při neměnné úrokové sazbě 3% p.a.? Příklad. Jak dlouho je nutno spořit koncem každého měsíce Kč, aby uspořen{ č{stka byla ve výši Kč při neměnné % roční úrokové sazbě?

45 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec m 1 (1 i) S m x 1 i 2m i n 1 S = , m = 12, n = 10, i = 0,03 x =? x = 7 170,61 Musíme spořit Kč. Příklad 3. Vzorec m 1 (1 i) S m x 1 i 2m i n 1 S = 000, m = 12, x = 500, i = 0,08 n =? n = 6,4523, to je n = 6 let 162,83 dne Musíme spořit let a dnů.

46 Problematika důchodů, důchod bezprostřední polhůtný Důchodem rozumíme pravidelné platby, které obvykle nazýv{me anuity a označujeme a. Rozlišujeme: Důchod předlhůtný anuity jsou vypl{cena na vždy na poč{tku určitého časového intervalu. Důchod polhůtný anuity jsou vypl{cena na vždy na konci určitého časového intervalu. Důchod dočasný vypl{cený jen po určitou pevně stanovenou dobu. Důchod věčný teoreticky vypl{cený neomezeně dlouho. Důchod bezprostřední začne se s výplatou okamžitě. Důchod odložený s výplatou začneme až po určitém období. D poč{teční hodnota důchodu, kter{ n{m zajišťuje výplatu anuity po určitou dobu. Pro bezprostřední důchod polhůtný roční lze odvodit vztah: kde je tzv. diskontní odúročitel, i je úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem a roční důchod n počet let Nahradíme-li roční důchod a. č{stkami vypl{cenými m kr{t do roka, podobně jako u spoření. Dostaneme z{kladní rovnici ve tvaru: n m 1 1 v D m x 1 i kde x je č{stka pravidelně vypl{cen{ na konci období 2m i m kr{t do roka. Příklad. Jak{ č{stka n{m zajistí roční bezprostřední polhůtný důchod ve výši Kč po dobu let při neměnné roční úrokové sazbě %?

47 a = n = 20 i = 0,04 v = = , Kč Potřebujeme č{stku Kč.

48 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Jak{ je poč{teční hodnota důchodu Kč, který se vypl{cí na konci každého čtvrtletí po dobu let při neměnné roční úrokové sazbě 5%? Příklad. Jak{ č{stka zajistí důchodci přilepšení ke st{tnímu důchodu ve výši Kč, kterou si nech{ vypl{cet koncem každého měsíce po dobu let? Úrokov{ sazba je,% p.a.

49 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec i v i m m x m D n m = 4, x = 6 000, n = 10, i = 0,05 = 0,952 D =? D = ,07 Potřebujeme č{stku Kč. Příklad 3. Vzorec i v i m m x m D n m = 12 x = 2 000, n = 20, i = 0,035 = 0,966 D =? D = ,61 Potřebujeme č{stku Kč.

50 Důchod bezprostřední předlhůtný Jestliže chceme, aby n{m č{stka byla vypl{cena na zač{tku období, hovoříme o důchodu předlhůtném. Pro roční důchod bezprostřední předlhůtný pak lze odvodit výpočetní vztah: - poč{teční hodnota bezprostředního předlhůtného důchodu a roční důchod n počet let i úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem - diskontní odúročitel Jestliže chceme vypl{cet č{stku několikr{t v r{mci jednoho úrokovacího období, po více období za sebou, musíme opět kombinovat kr{tkodobou a dlouhodobou složku obdobně jako u spoření. I zde z hlediska dlouhodobého použijeme vzorec pro polhůtný důchod. N{zev je tak opět odvozen od kr{tkodobé složky. Výpočetní vztah pak vypad{ n{sledovně: m 1 1 v D m x 1 i 2m i n kde v je opět a x je č{stka pravidelně vypl{cen{ na zač{tku období m kr{t do roka, i je úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem. Příklad 1. Jak{ č{stka n{m zajistí roční bezprostřední předlhůtný důchod ve výši Kč po dobu let při neměnné roční úrokové sazbě %? D =?

51 a = i = 0,04 v = = 226, Kč Potřebujeme č{stku Kč.

52 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Jak{ je poč{teční hodnota důchodu Kč, který se vypl{cí na poč{tku každého čtvrtletí po dobu let při neměnné roční úrokové sazbě %? Příklad. Jak{ č{stka zajistí důchodci přilepšení ke st{tnímu důchodu ve výši Kč, kterou si nech{ vypl{cet koncem každého měsíce po dobu let? Úrokov{ sazba je,% p.a.

53 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec i v i m m x m D n m = 4, x = 6 000, n = 10, i = 0,05 = 0,952 D =? D = ,30 Musíme mít k dispozici č{stku 327 Kč. Příklad 3. Vzorec i v i m m x m D n m = 12 x = 2 000, n = 20, i = 0,035 =.0,966 D =? D = ,29 Potřebujeme č{stku 897 Kč.

54 Důchod odložený polhůtný Jestliže nezačneme vypl{cet důchod ihned, ale až po uplynutí k let, hovoříme o důchodu odloženém. Opět rozlišujeme dvě varianty. Důchod odložený polhůtný je vždy vypl{cen na konci období. Důchod odložený předlhůtný je vždy vypl{cen na poč{tku období. Důchod odložený polhůtný roční odložený k let.: K poč{teční hodnota odloženého polhůtního důchodu a roční důchod k počet let odložení výplaty důchodu n počet let výplaty důchodu i úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem - diskontní odúročitel Důchod odložený polhůtný vypl{cen m kr{t do roka odložený k let.: Příklad. M{me č{stku 100 Kč. Touto č{stkou si chceme zajistit roční polhůtný důchod na 15 let s tím, že s jeho výplatou začneme za let. Jak vysok{ bude č{stka při neměnné roční úrokové sazbě %? Vzorec K = , n = 15, k = 10, i = 0,03, v = 0,971 a =? a = ,37 Můžeme počítat s č{stkou, Kč.

55 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. M{me k dispozici Kč. Tuto č{stku si chceme zajistit roční polhůtný důchod na 5 let s tím, že s jeho výplatou začneme za dva roky. Jak vysoké budou platby při neměnné % roční úrokové sazbě? Příklad. Jak velkou č{stku musíme dnes při neměnné roční úrokové sazbě % uložit novorozenému dítěti, aby v -ti letech mělo takový kapit{l, který by mu zabezpečoval po dobu let čtvrtletní polhůtný důchod ve výši Kč?

56 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec K = , n = 5, k = 2, i = 0,08, v = 0,926 a =? a = 8 770,05 Platba bude ve výši, Kč. Příklad 3. Vzorec m = 4, x = 1 400, i = 0,12, n = 10, k = 18, v = 0,893 K =? K = 4 308,89 Musíme uložit č{stku Kč.

57 Důchod odložený předlhůtný Důchod odložený předlhůtný roční: K poč{teční hodnota odloženého předlhůtního důchodu a roční důchod k počet let odložení výplaty důchodu n počet let výplaty důchodu i úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem - diskontní odúročitel Důchod odložený předlhůtný vypl{cený m kr{t za rok odložený k let. Při kombinaci kr{tkodobě a dlouhodobé složky opět vidíme, že dlouhodob{ složka podobně jako u spoření poch{zí z ročního polhůtního důchodu. Důvodem je opět připisov{ní úroků na konci období. Příklad. Jak{ č{stka n{m zajistí přilepšení ke starobnímu důchodu ve výši Kč po dobu 10 let, vypl{cen{ vždy na zač{tku roku, jestliže jsme schopni odložit vypl{cení o let při roční úrokové míře %? Vzorec a = , n = 10, k = 10, i = 0,03, v = 0,971 K =? K = ,01

58 Budeme potřebovat č{stku Kč.

59 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Jak{ č{stka n{m zajistí přilepšení ke starobnímu důchodu ve výši Kč měsíčně po dobu 15let, vypl{cen{ vždy na zač{tku měsíce, jestliže jsme schopni odložit vypl{cení o let při roční úrokové míře %? Příklad. Jak velkou č{stku musíme dnes uložit novorozenci, abychom zabezpečili přilepšení na studium, předpokl{dejme, že začne studovat v letech, ve výši Kč. Č{stka bude vypl{cena vždy zač{tkem měsíce při neměnné úrokové míře,%? Předpokl{dejme, že délka studia bude let.

60 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec m = 12, x = 2 000, n = 15, k = 10, i = 0,03, v = 0,971 K =? K = ,99 Potřebujeme č{stku Kč. Příklad 3. Vzorec m = 12, x = 6 000, n = 5, k = 19, i = 0,025, v = 0,9756 K =? K = ,63 Musíme uložit č{stku 112,6 Kč.

61 Důchod bezprostřední věčný předlhůtný Pro uk{zku této varianty důchodu uvedeme nejběžnější varianty důchodů vypl{cených vždy na zač{tku období m kr{t do roka. Poč{teční hodnotu D popřípadě K věčného důchodu vypočít{me jako limitu vztahu pro poč{teční hodnotu bezprostředního popřípadě odloženého důchodu předlhůtního, kde proměnn{ n se blíží nekonečnu a tudíž výraz v n se bude blížit nule. Tento typ důchodu užívají např. některé nadace, které uloží určitou č{stku a předpokl{dají, že se z ní bude vypl{cet ročně určit{ č{stka teoreticky nekonečně dlouhou dobu. Např. Nobelova cena. Pro uk{zku této varianty důchodu uvedeme nejběžnější variantu bezprostřední důchod věčný předlhůtný vypl{cený m kr{t za rok.

62 Důchod odložený věčný předlhůtný Pro důchod odložený věčný předlhůtný vypl{cený m kr{t za rok a odložený k let pak dost{v{me obdobně vztah: Příklad. Jak{ č{stka n{m a našim pozůstalým zajistí čtvrtletní předlhůtný věčný důchod ve výši Kč při neměnné roční úrokové sazbě %? Vzorec m = 4 x = i = 0,03 = ,9 Kč Potřebujeme č{stku 037 Kč.

63 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Jak vysok{, dnes složen{ č{stka, n{m zajistí výplatu věčného předlhůtného důchodu čtvtletního ve výši Kč od našeho. roku, je-li n{m dnes let a úrokov{ sazba je 4% p.a.? Příklad. V našich letech se n{m podařilo naspořit 000 Kč. V 63 letech si začneme čerpat měsíční předlhůtný důchod věčný. S jakou č{stkou můžeme počítat, je-li úrokov{ sazba, % p. a.?

64 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec m = 4, x = , k = 34, i = 0,04, v = 0,9615 K =? K = ,74 Potřebujeme č{stku 9 Kč. Příklad 3. Vzorec K = , m = 12, k = 12, i = 0,035, v = 0,966 x =? x = 4 335,16 Můžeme počítat s č{stkou, Kč.

65 Umořování dluhů, úmor dluhu nestejnými splátkami Úvěr, dluh, půjčka je důležitý finanční n{stroj. Rozumíme jím poskytnutí určité č{stky na určitou dobu za odměnu zvanou úrok. Dluh je možné z pohledu věřitele považovat za příjem důchodu. Uk{žeme si ale i některé odlišnosti. Kromě úroku se u dluhů a půjček ještě uv{dí doplňují informace, kter{ se označuje RPSN roční procentu{lní sazba n{kladů. Ud{v{ se opět v procentech a obsahuje v sobě informaci o celkových n{kladech na spl{cení úvěru. Podle doby splatnosti můžeme úvěry dělit na: - Kr{tkodobé, kdy doba splatnosti nepřesahuje jeden rok - Střednědobé, kdy je doba splatnosti od jednoho do pěti let - Dlouhodobé, kdy doba splatnosti je delší než pět let Podle způsobu umořování dluhu: - Půjčka je uzavřena na neurčitou dobu a musí být splacena najednou po výpovědi při zachov{ní výpovědní lhůty. Úroky se platí pravidelně v dohodnutých lhůt{ch. - Umořov{ní dluhu se prov{dí od zač{tku pravidelnými platbami (anuitami). Ty se skl{dají z č{stky, o kterou se snižuje dluh úmor a úroků za určité období. Tyto platby mohou být st{le stejné nebo jejich výše nemusí být stejné. Pro přehled výše spl{tek úvěru včetně úroků z hlediska jejich časové posloupnosti sestavujeme tzv. umořovací pl{ny. Umořovací plán obsahuje: Výši anuity spl{tky Výši úroku z dluhu Výši úmoru Stav dluhu po odečtení úmoru

66 Příklad. Úvěr ve výši Kč m{ být splacen polhůtními spl{tkami. První spl{tka m{ výši 10 Kč a každ{ další je o Kč vyšší. Kromě toho je nutné platit běžný úrok %. Sestavte umořovací pl{n. Umořovací pl{n období úmor úrok anuita stav dluhu Je zřejmé, že v posledním období vypočít{me výši úroku a připočít{me zbytek dlužné č{stky, čímž získ{me výši poslední spl{tky.

67 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Sestavte umořovací pl{n pro splacení dluhu Kč, který m{ být splacen polhůtními spl{tkami. Výše úmoru m{ být v každém období stejn{ ve výši Kč. Sestavte umořovací pl{n, určete výši poslední spl{tky. Určete, kolik peněz bance celkově zaplatíme. Běžný úrok je ve výši %. Příklad. Úvěr ve výši 000 Kč m{ být splacen celkem za 8 let stejně vysokým úmorem výši úmoru zaokrouhlete na celé desetitisíce. Stanovte výši jednotlivých spl{tek, sestavte umořovací pl{n a určete výši poslední spl{tky. První spl{tka bude odložena o tři roky. Úrok byl stanovený ve výši %.

68 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Umořovací pl{n období úmor úrok anuita stav dluhu Příklad 3. Umořovací pl{n období úmor úrok anuita stav dluhu , , , , , , , ,

69 , ,01 0

70 Úmor dluhu stejnými splátkami Pro umořování dluhu stejnými splátkami používáme stejný vzorec jako pro důchod bezprostřední polhůtný. Dlužník se vlastně stává z pohledu věřitele zdrojem důchodu. Kde D0 - je poč{teční hodnota dluhu a roční spl{tka n počet let i úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem - diskontní odúročitel Jestliže se rozhodneme spl{cet dluh m kr{t ročně č{stkou x, vždy na konci období použijeme analogicky vzorec. Při spl{cení dluhu na zač{tku období budeme spl{cet menší č{stku a použijeme vzorec. Příklad. Dluh Kč m{ být umořen polhůtnými ročními anuitami za let při neměnné roční % úrokové sazbě. Určeme výše anuity a sestavme umořovací pl{n. Vzorec D0 = i = 0,12 v = 0,893 n = 6

71 a =? = = 9 738,63 Musíme spl{cet, Kč.

72 Příklady pro samostatnou práci: Příklad. Dluh Kč se m{ spl{cet na konci roku ročními anuitami let. Jak{ bude výše spl{tky při % roční úrokové sazbě. Příklad. Hypotéku ve výši 000 Kč, splatnou za let, m{me spl{cet pravidelně stejně vysokými anuitami vždy zač{tkem měsíce. Jak vysok{ bude spl{tka, při hypotéční úrokové sazbě 3,75 % p. a. Kolik peněz ve skutečnosti bance zaplatíme.

73 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec D0 = , n = 12, i = 0,14, v = 0,877 a =? a = 7 944,63 Budeme spl{cet č{stku, Kč. Příklad 2. Vzorec. D0 = , m = 12, n = 20, i = 0,0375, v = 0,9638 x =? x = ,58 Celkem 2 826, Kč. Spl{tka bude ve výši, Kč a bance zaplatíme celkem 826, Kč.

74 Shrnutí, opakování Přehled použitých vzorců Jednoduchý úrok u = K0 Z{kladní rovnice pro Kt = K0 (1 + jednoduché úročení polhůtné Jednoduché úročení Kt= K1. (1 + (t 1). I) předlhůtné Jednoduchý diskont Kob = Kt (1 - id. t). obchodní Složené úročení Kt = K0. Kombinace jednoduchého a složeného úročení Kt = K0. (1 + i. t1). t2). (1 + i. Spoření kr{tkodobé předlhůtní S x m 1 m x 1 i 2m Spoření kr{tkodobé polhůtní ' m 1 S x m x 1 i 2m Spoření dlouhodobé předlhůtní (1 i) S a ( 1 i) i n 1 Spoření dlouhodobé polhůtní S a ( 1 i) i n 1 Kombinace dlouhodobého a kr{tkodobého spoření S m 1 (1 i) m x 1 i 2m i n 1 předlhůtního Kombinace dlouhodobého a kr{tkodobého spoření polhůtního m 1 (1 i) S m x 1 i 2m i n 1

75 Důchod bezprostřední polhůtný Důchod bezprostřední předlhůtný m 1 1 v D m x 1 i 2m i m 1 1 v D m x 1 i 2m i n n Důchod odložený polhůtný Důchod odložený předlhůtný Důchod bezprostřední věčný předlhůtný Důchod odložený věčný předlhůtný Úmor dluhu stejnými spl{tkami na zač{tku. období Úmor dluhu stejnými spl{tkami na konci období.

76 Příklady k samostatnému procvičení 1. Dne. března jsme si uložili na vkladní knížku, kter{ je úročen{ na konci roku roční úrokovou sazbou,%, Kč. Jakou č{stku vybereme, jestliže budeme potřebovat peníze. listopadu? 2. Kolik musíme koncem každého měsíce ukl{dat po dobu let, abychom si zajistili po dalších let čtvrtletní polhůtný důchod Kč při 3% úrokové sazbě p.a.? 3. Od svých let si pravidelně spoříme koncem měsíce Kč. V 50 letech nech{me peníze na účtu a d{le již nespoříme. Ve svých 65 letech si z této č{stky budeme na zač{tku měsíce vybírat na přilepšenou k důchodu určitou č{stku. Jak vysok{ bude tato č{stka, jestliže si chceme peníze vypl{cet let a průměrn{ úrokov{ sazba je % p. a.?

77 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 1. Vzorec: Kt = K0. (1 + i. t1).. (1 + i. t2) m = 1, K0 = , i = 0,025, t1 =, n = 24, t2 = Kt =? Kt = ,06 Budeme mít k dispozici č{stku, Kč. Příklad 2. Vzorce: n m 1 1 v D m x 1 i 2m i důchod bezprostřední polhůtný m = 4, x = 5 000, i = 0,03, n = 15, v = 0,9709 D =? D = ,45 Potřebujeme naspořit, Kč. Abychom toho dos{hli, musíme ukl{dat určitou č{stku x. n m 1 (1 i) 1 S m x 1 i 2m kombinace dlouhodobého a kr{tkodobého spoření i polhůtního m = 12, i = 0,03, n = 10, S = D x =? x = 1 730,05 Abychom si zajistili výše zmíněný důchod, musíme ukl{dat měsíčně, Kč.

78 Příklad 3. Vzorce: n m 1 (1 i) 1 S m x 1 i 2m kombinace dlouhodobého a kr{tkodobého spoření i polhůtního m = 12, x = 2 500, i = 0,03, n = 20 S =? S = ,26 = K Spořením získ{me č{stku, Kč. To bude výchozí č{stka pro n{š budoucí důchod. důchod odložený předlhůtný K = S = ,26 m = 12, n = 15, k = 15, i = 0,03 v = 0,9709 x =? x = 8 748,08 Přilepšení k důchodu bude ve výši, Kč.