Moderní numerické metody

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Moderní numerické metody"

Transkript

1 Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

2

3 Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární rovnice Metoda sečen Modifikovaná Newtonova metoda Kombinovaná metoda tečen a sečen Algebraické rovnice 21 4 Vlastní čísla 27 5 Obyčejné diferenciální rovnice Jednokrokové metody Vícekrokové metody Okrajové úlohy Metoda konečných diferencí Typ rovnice: y + f 1 (x)y + f 2 (x)y = f 3 (x) Typ rovnice: a 0 (x)y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = f(x) Typ rovnice: y + σ(x)y = f(x) Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic Eulerova metoda Metody Rungeho Kuttovy

4 2 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

5 Předmluva Tato sbírka příkladů je doplněním textu Baštinec, J., Novák, M.: Moderní numerické metody. K většině tematických celků probíraných v předmětu Moderní numerické metody v ní naleznete k procvičení vždy alespoň 10 příkladů s podrobnými výsledky. I když jsme se sbírku příkladů snažili co nejvíce očistit od překlepů, je téměř nemožné, aby všechny výsledky v takovém množství čísel byly přepsány správně. Budeme proto vděční, když nám tuto sbírku budete pomáhat vylepšovat a aktualizovat. Autoři 3

6 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

7 Jak sbírku používat Elektroinženýr se ve své praxi setkává s potřebou najít řešení reálných technických problémů. Na většinu těchto problémů lze aplikovat následující postup: 1. Reálný technický problém se vyjádří v řeči matematiky. 2. Matematický problém se vyřeší. 3. Získané výsledky se interpretují v řeči zadaného technického problému. Při řešení matematického problému lze použít různé strategie jednou z nich je hledat řešení matematického problému pomocí tzv. numerických metod. Tento postup má své výhody (zejména algoritmizovatelnost, často relativní jednoduchost) ale i mnohé nevýhody (zejména problematika přesnosti a relevantnosti získaného výsledku). Je důležité, abyste si vždy uvědomovali, že v předmětu Moderní numerické metody se nezabýváme reálnými technickými problémy, ale že si ukazujeme, jakým způsobem lze řešit různé typové matematické problémy, které jsou zápisem problémů z praxe. Např. mnoho úloh z fyziky vede na řešení lineárních diferenciálních rovnic prvního a druhého řádu. V předmětu Moderní numerické metody si proto ukazujeme, jak lze takové rovnice řešit numericky. Ukazujeme možné způsoby řešení a jejich výhody a nevýhody. Při řešení zadaného fyzikálního problému však elektroinženýr postupuje jinak: poté, co vyjádří fyzikální problém v řeči matematiky, tj. zapíše příslušnou diferenciální rovnici, se musí rozhodnout, zda ji bude řešit analyticky nebo numericky. Pokud se rozhodne pro numerické řešení (což nemusí být vždy správná ani jednodušší volba), musí na základě svých zkušeností z fyziky i matematiky rozhodnout, na jakém intervalu bude hledat řešení, jaký zvolí krok a jakou zvolí metodu. Musí také umět poznat, zda je dané řešení stabilní a musí vědět, jak dále naloží se získaným numerickým řešením a jak jej interpretuje. V předmětu Moderní numerické metody se snažíme usnadnit ta z rozhodování, která spadají do oblasti matematiky. Úvahami, které oblast matematiky překračují, se nezabýváme. V této sbírce naleznete příklady na procvičení některých numerických metod probíraných v předmětu Moderní numerické metody. Vybrány jsou ty metody, které tvoří náplň cvičení v prezenční formě předmětu. Ke každé metodě je uvedeno 10 zadání (v mnoha případech s úpravami zadání a doplňujícími otázkami). Tam, kde je to možné, jsou příklady řešeny více různými metodami, aby bylo vidět srovnání vhodnosti jednotlivých metod. Ve výsledcích jsou většinou uvedeny 5

8 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně také všechny mezivýsledky potřebné ke kontrole správnosti postupu výpočtu. Pro každou metodu je navíc zařazen jeden příklad s modelovým postupem řešení. Se sbírkou doporučujeme pracovat dvěma způsoby: nejprve si ji povrchně pročíst, srovnávat výsledky získané pomocí jednotlivých metod, resp. srovnávat rychlost konvergence, přesnost a celkovou vhodnost použití daných metod; všímat si záludností a problémů spojených s jednotlivými metodami (např. požadavek numericky řešit soustavu lineárních rovnic, která má nekonečně mnoho řešení což ovšem dopředu nevíme, nebo skutečnosti, že při řešení některých úloh potřebujeme řešit soustavu lineárních rovnic jak ji budeme řešit?) apod., několik příkladů na danou metodu (stačí dva až tři) si skutečně detailně propočítat a tím získat představu o náročnosti ručního výpočtu a o přesném významu vzorců, které jsou ve skriptech často psány v obecném tvaru. Autoři

9 Kapitola 1 Soustavy lineárních rovnic Hledání řešení soustav lineárních rovnic iteračními metodami (Jacobiho a Gauss Seidelovou) je látka, která spadá do předmětu Matematika 3. V předmětu Moderní numerické metody nově hledáme řešení pomocí tzv. relaxačních metod. Vzhledem k tomu, že požadavek řešit soustavy lineárních rovnic je součástí numerického řešení mnoha jiných úloh, budeme u následujících soustav uvádět jak řešení Jacobiho, resp. Gauss Seidelovou metodou tak i příslušnými relaxačními metodami pro různé relaxační parametry. Najděte řešení následujících soustav rovnic Jacobiho metodou a poté Gauss Seidelovou metodou. Poté najděte řešení těchto soustav relaxační Jacobiho metodou pro relaxační parametry ω = 0, 9 a ω = 1, 25. Volte vždy x (0) = (0, 0, 0) a proveďte dva kroky dané metody. Poté srovnejte získaná řešení s přesným řešením získaným nějakou přímou metodou. 1. x 1 + 5x 2 8x 3 = 6, 5 10x 1 + 4x 2 5x 3 = 1.5 x x 2 10x 3 = 2, 5 Řešení: Soustava není v iteračním tvaru, Jacobiho ani Gauss Seidelova metoda proto obecně nebude konvergovat. Přeskládáme-li rovnice v pořadí (2), (3), (1), budou obě metody konvergovat. Jacobiho metodou dostáváme x (1) = (0, 15; 0, 2083; 0, 8125) a x (2) = (0, 6396; 0, 4562; 0, 7010), resp. Gauss-Seidelovou metodou dostáváme x (1) = (0, 15; 0, 2208; 0, 6932) a x (2) = (0, 5849; 0, 3206; 1, 0860). Pro relaxační parametr ω = 0, 9 dostáváme x (1) = (0, 1350; 0, 1875; 0, 7313) a x (2) = (0, 5451; 0, 3321; 0, 7141), pro parametr ω = 1, 25 dostáváme x (1) = (0, 1875; 0, 2604; 1, 0156) a x (2) = (0, 9056; 0, 8431; 0, 5876). Přesné řešení této soustavy je x = (0, 5; 1; 1, 5). 7

10 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 2. 3x x 2 5x 3 = 8 20x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 30 x 1 x 2 + 4x 3 = 4 3. Řešení: Soustava není v iteračním tvaru, Jacobiho ani Gauss Seidelova metoda proto obecně nebude konvergovat. Přeskládáme-li rovnice v pořadí (2), (1), (3), budou obě metody konvergovat. Jacobiho metodou dostáváme x (1) = (1, 5; 0, 8; 1) a x (2) = (1, 04; 0, 85; 0, 825), resp. Gauss-Seidelovou metodou dostáváme x (1) = (1, 5; 0, 35; 0, 7125) a x (2) = (1, 2163; 0, 7914; 0, 8938). Pro relaxační parametr ω = 0, 9 dostáváme x (1) = (1, 1124; 0, 72; 0, 9) a x (2) = (1, 1124; 0, 8325; 0, 8483), pro parametr ω = 1, 25 dostáváme x (1) = (1, 8750; 1; 1, 25) a x (2) = (0, 6875; 0, 8281; 0, 6641). Přesné řešení této soustavy je x = (1; 1; 1). 3x 1 + 4x 2 5x 3 = 0, 75 4x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 13, 25 5x 1 + 4x 2 3x 3 = 7, Řešení: Soustava není v iteračním tvaru, Jacobiho ani Gauss Seidelova metoda proto obecně nebude konvergovat. Žádným přeskládáním rovnic nemůžeme docílit, aby soustava byla diagonálně dominantní, tj. abychom mohli použít Jacobiho metodu. Pokud však rovnici přepíšeme do maticového tvaru Ax = b, pak pro soustavu A T Ax = A T b, tj. 50x x x 3 = 89, 5 12x x 2 17x 3 = 32, 25 12x 1 17x x 3 = 66, 75 budeme moci použít Gauss Seidelovu metodu. Dostaneme, že x (1) = (1, 79; 0, 1889; 1, 1275) a x (2) = (1, 4741; 0, 5917; 1, 3749). Přesné řešení této soustavy je x = (1, 25; 0, 75; 1, 5). 1, 25x 1 + 4, 875x 2 + 2, 9x 3 = 9, 85 7, 35x 1 2, 875x 2 1, 25x 3 = 1, , 2x 1 + 4x 2 + 3, 3x 3 = 17, 55

11 Moderní numerické metody 9 5. Řešení: Soustava není v iteračním tvaru, Jacobiho ani Gauss Seidelova metoda proto obecně nebude konvergovat. Žádným přeskládáním rovnic nemůžeme docílit, aby soustava byla diagonálně dominantní, tj. abychom mohli použít Jacobiho metodu. Pokud však rovnici přepíšeme do maticového tvaru Ax = b, pak pro soustavu A T Ax = A T b, tj. 351, 425x , 7625x , 1975x 3 = 306, , 7625x , 03125x , 93125x 3 = 121, , 1975x , 93125x , 8625x 3 = 87, budeme moci použít Gauss Seidelovu metodu. Dostaneme, že x (1) = (0, 8715; 1, 5501; 0, 2273) a x (2) = (0, 6675; 1, 9249; 0, 2823). Metoda konverguje k řešení (0, 6024; 2, 0444; ). Soustava však má nekonečně mnoho řešení, protože třetí rovnice je dvojnásobkem součtu první a druhé rovnice. Nemá tedy smysl používat jakékoliv iterační metody. 10x 1 + 2x 2 3x 3 = 0, 6 7x 1 14x 2 3x 3 = 3, 7 x 1 + 4x x 3 = 11 Řešení: Soustava je v iteračním tvaru. Jacobiho metodou dostáváme x (1) = (0, 06; 0, 2643; 0, 3333) a x (2) = (0, 1071; 0, 2229; 0, 2995), resp. Gauss-Seidelovou metodou dostáváme x (1) = (0, 06; 0, 2943; 0, 2958) a x (2) = (0, 0899; 0, 2458; 0, 3008). Pro relaxační parametr ω = 0, 9 dostáváme x (1) = (0, 054; 0, 2379; 0, 3) a x (2) = (0, 0976; 0, 2281; 0, 3026), pro parametr ω = 1, 25 dostáváme x (1) = (0, 075; 0, 3304; 0, 4167) a x (2) = (0, 1299; 0, 1830; 0, 2596). Přesné řešení této soustavy je x = (0, 1; 0.25; 0.3). Vhodnou metodou najděte řešení následujících soustav. Pracujte s přesností ε = 0, 01 a volte x (0) = (0, 0, 0) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 589, 3 7x 1 26x 2 3x 3 = 32, 05 x 1 6x x 3 = 637, 65 Řešení: V 6. kroku Jacobiho metody získáme s danou přesností řešení x = (12, 45; 6, 35; 15, 3).

12 10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 7. 10x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 91, 3 7x 1 11x 2 3x 3 = 63, 2 x 1 6x 2 + 8x 3 = 148, Řešení: V 19. kroku Jacobiho metody získáme s danou přesností řešení x = (12, 45; 6, 35; 15, 29). Soustava přitom má stejné řešení jako předcházející soustava, tj. x 3 = 15, 3. x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 3 2x 1 3x 2 4x 3 = x 2 + 2x 3 = 2 9. Řešení: Řešení této soustavy rovnic je x = (1, 1, 0). x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2, 58 2x 1 3x 2 4x 3 = 7, x 2 + 2x 3 = 5, Řešení: Ve 38. kroku Gauss Seidelovy metody získáme s danou přesností řešení x = (3, 39; 1, 66; 1, 41). Řešení této soustavy rovnic je přitom (po zaokrouhlení) x = (3, 4571; 1, 7814; 1, 48). 7, 35x 1 2, 875x 2 1, 25x 3 = 1, 075 1, 25x 1 + 4, 875x 2 + 2, 9x 3 = 9, 85 7, 35x 1 + 2, 875x 2 + 1, 25x 3 = 3, 29 Řešení: Soustava nemá řešení.

13 Kapitola 2 Řešení jedné nelineární rovnice V této kapitole naleznete 10 rovnic. Každá z nich je řešena metodou sečen, modifikovanou Newtonovou metodou a kombinovanou metodou sečen a tečen, tj. metodami, které jsou v předmětu Moderní numerické metody nové. Číslování příkladů v jednotlivých odstavcích si odpovídá, takže můžete snadno porovnávat výsledky získané jednotlivými metodami. Sami si zkuste najít řešení zadaných rovnic metodami známými z předmětu Matematika Metoda sečen Metodou sečen najděte s přesností ɛ kořen rovnice f(x) = 0. Počáteční aproximaci volte, jak je uvedeno; požadavkem najít kořen s přesností ɛ rozumíme požadavek zastavit výpočet, pokud se následující dvě aproximace liší o méně než ɛ. 1. f(x) = e x sin x 3, a = 0, b = 1, ɛ = 0, 01 2 Řešení: Funkce f(x) je na daném intervalu spojitá, platí, že f(a)f(b) < 0, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a f (x) na daném intervalu nemění znaménko. Metodou sečen na intervalu < a, b > proto kořen nalezneme. Dále je sign f(a) sign f (x), proto x 1 = a = 0. aproximace: x 1 = 0, x 2 = 0, 5702, x 3 = 0, 7501, x 4 = 0, 7866, x 5 = 0, f(x) = e x 2 x 2 1, a = 0, 5, b = 1, 5, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na daném intervalu spojitá, platí, že f(a)f(b) < 0, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a f (x) na daném intervalu nemění znaménko. Metodou sečen na intervalu < a, b > proto kořen nalezneme. Dále je sign f(a) sign f (x), proto x 1 = a = 0, 5. aproximace: x 1 = 0, 5, x 2 = 0, 5292, x 3 = 0, 5484, x 4 = 0, 5606, x 5 = 0, 5682 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností na intervalu < 0, 5; 1 >. Řešení: Všechny podmínky jsou splněny; aproximace: x 1 = 0, 5, x 2 = 0, 5442, x 3 = 0, 5647, x 4 = 0, 5736 Otázka: Lze zvolit interval s krajním bodem x = 0? 11

14 12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Odpověď: Nelze, protože bod x = 0 je jedním z kořenů zadané rovnice. 3. f(x) = sin x 2 x2, a = 0, 3, b = 1, 3, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na daném intervalu spojitá, platí, že f(a)f(b) < 0, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a f (x) na daném intervalu nemění znaménko. Metodou sečen na intervalu < a, b > proto kořen nalezneme. Dále je sign f(a) sign f (x), proto x 1 = a = 0, 2. aproximace: x 1 = 0, 3, x 2 = 0, 3519, x 3 = 0, 3947, x 4 = 0, 4271, x 5 = 0, 4502, x 6 = 0, 4660, x 7 = 0, 4764, x 8 = 0, 4832 Otázka: Bylo by možné volit za výchozí interval jeden z intervalů < 0, 5; 0, 5 >, resp. < 0; 0, 5 >? Výpočet by jistě probíhal rychleji, protože hledaný kořen leží velmi blízko bodu x = 0, 5. Odpověď: Není možné volit žádný z těchto intervalů. Jeden z kořenů rovnice je také x = 0, což vylučuje druhý z nich. První zase nesplňuje podmínku rozdílnosti znamének krajních bodů, tj. f(a)f(b) < f(x) = e x 2 cos x 1, a = 0, 5, b = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na daném intervalu spojitá, platí, že f(a)f(b) < 0, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a f (x) na daném intervalu nemění znaménko. Metodou sečen na intervalu < a, b > proto kořen nalezneme. Dále je sign f(a) sign f (x), proto x 1 = a = 0, 5. aproximace: x 1 = 0, 5, x 2 = 0, 7687, x 3 = 0, 8468, x 4 = 0, 8615, x 5 = 0, f(x) = e x sin x 1, a = 0, b = 1, ɛ = 0, 01 2 Řešení: Funkce f(x) je na daném intervalu spojitá, platí, že f(a)f(b) < 0, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a f (x) na daném intervalu nemění znaménko. Metodou sečen na intervalu < a, b > proto kořen nalezneme. Dále je sign f(a) sign f (x), proto x 1 = a = 0. aproximace: x 1 = 0, x 2 = 0, 2186, x 3 = 0, 3077, x 4 = 0, 3402, x 5 = 0, 3515, x 6 = 0, 3553 Úprava zadání: Najděte kořen s touž přesností na intervalu < 0; 0, 5 >. Řešení: Všechny podmínky jsou splněny; aproximace: x 1 = 0, x 2 = 0, 3163, x 3 = 0, 3533, x 4 = 0, f(x) = e x2 x 4, a = 0, 5, b = 1, ɛ = 0, 01 3 Řešení: Funkce f(x) je na daném intervalu spojitá, platí, že f(a)f(b) < 0, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a f (x) na daném intervalu nemění znaménko. Metodou sečen na intervalu < a, b > proto kořen nalezneme. Dále je sign f(a) sign f (x), proto x 1 = a = 0. aproximace: x 1 = 0, 5, x 2 = 0, 7940, x 3 = 0, 8749, x 4 = 0, 8913, x 5 = 0, 8945 Úprava zadání: Najděte kořen s touž přesností na intervalu < 0, 5; 1, 5 >

15 Moderní numerické metody 13 Řešení: Všechny podmínky jsou splněny; aproximace: x 1 = 0, 5, x 2 = 0, 5763, x 3 = 0, 6427, x 4 = 0, 6986, x 5 = 0, 7444, x 6 = 0, 7808, x 7 = 0, 8093, x 8 = 0, 8093, x 9 = 0, 8312, x 10 = 0, 8477, x 11 = 0, 8602, x 12 = 0, 8694 Otázka: Jak je možné, že se výsledky tak výrazně liší? Odpověď: Výpočet u metody sečen je ošidné zastavovat v situaci, kdy se následující dvě aproximace liší o méně než přesnost. Pokud bychom počítali dále, zjistili bychom, že např. x 17 = 0, Hodnoty x 25 a x 26 se shodují již na 4 desetinná místa a je x 25. = 0, f(x) = x sin x + cos x 2x 2, a = 0, b = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na daném intervalu spojitá, platí, že f(a)f(b) < 0, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a f (x) na daném intervalu nemění znaménko. Metodou sečen na intervalu < a, b > proto kořen nalezneme. Dále je sign f(a) sign f (x), proto x 1 = a = 0. aproximace: x 1 = 0, x 2 = 0, 6180, x 3 = 0, 7701, x 4 = 0, 7929, x 5 = 0, f(x) = x cos x x 2 sin x x 2 + 1, a = 1, 5, b = 0, 5, ɛ = 0, 01 5 Řešení: Funkce f(x) je na daném intervalu spojitá, platí, že f(a)f(b) < 0, ale neplatí, že f (x) 0 pro x < a, b >. Proto metodu sečen nemůžeme použít. Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností na intervalu < 2; 1 >. Řešení: Na tomto intervalu kořen hledat nelze, protože na něm není splněna podmínka o neměnnosti znaménka druhé derivace. 9. f(x) = x sin x x 2 cos x x 3 + 1, a = 0, 2, b = 1, 2, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na daném intervalu spojitá, platí, že f(a)f(b) < 0, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a f (x) na daném intervalu nemění znaménko. Metodou sečen na intervalu < a, b > proto kořen nalezneme. Dále je sign f(a) sign f (x), proto x 1 = a = 0, 2. aproximace: x 1 = 0, 2, x 2 = 1, 0831, x 3 = 1, 1427, x 4 = 1, 1450 Otázka: Čím si vysvětlujete takový skok mezi x 1 a x 2? 10. f(x) = x 3 x 2 x + e x 2, a = 0, 5, b = 1, 5, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na daném intervalu spojitá, platí, že f(a)f(b) < 0, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a f (x) na daném intervalu nemění znaménko. Metodou sečen na intervalu < a, b > proto kořen nalezneme. Dále je sign f(a) sign f (x), proto x 1 = a = 0, 5. aproximace: x 1 = 0, 5, x 2 = 0, 8167, x 3 = 0, 9827, x 4 = 1, 0523, x 5 = 1, 0784, x 6 = 1, 0876 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností na intervalu < 0; 2 >. Odpověď: Všechny podmínky jsou splněny; aproximace: x 0 = 0, x 1 = 0, 2384, x 2 = 0, 4507, x 3 = 0, 6342, x 4 = 0, 7819, x 5 = 0, 8914, x 6 = 0, 9668, x 7 = 1, 0158, x 8 = 1, 0465, x 9 = 1, 0652, x 10 = 1, 0764, x 11 = 1, 0831

16 14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 11. f(x) = x3 1, a = 0, 5, b = 1, 5, ɛ = 0, 01 x 2 1 Řešení: Sice platí, že f(a)f(b) < 0, avšak funkce není na daném intervalu spojitá a metodu sečen tedy nemůžeme při takto formulované úloze použít. 2.2 Modifikovaná Newtonova metoda Modifikovanou Newtonovou metodou najděte s přesností ɛ kořen rovnice f(x) = 0. Počáteční aproximaci volte, jak je uvedeno; požadavkem najít kořen s přesností ɛ rozumíme požadavek zastavit výpočet, pokud se následující dvě aproximace liší o méně než ɛ. Pozn.: V textu řešení je u příkladů uvedeno, že je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0. Podle podmínek konvergence ze skript si sami určete, zda je to dostatečná informace o konvergenci a jak vypadá interval I, na němž je konvergence zaručena. 1. f(x) = e x sin x 3 2, x 0 = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 1 = 1, x 2 = 0, 8270, x 3 = 0, 8038, x 4 = 0, 7974 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 0, 5. Řešení: Podmínka konvergence zde splněna není. Pokud si tento fakt neověříme, zjistíme, že teprve hodnoty x 76 = 0, 7996 a x 77 = 0, 7898 se liší o méně než o požadovanou přesnost. I to je však jen náhoda ke kořenu bychom vůbec nemuseli dojít. 2. f(x) = e x 2 x 2 1, x 0 = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 1 = 1, x 2 = 0, 7012, x 3 = 0, 6402, x 4 = 0, 5982, x 5 = 0, 5904 Otázka: Když srovnáte získaný výsledek s výsledkem získaným pomocí metody sečen (x. = 5736 pro interval < 0, 5; 1, 5 >, resp. x. = 0, 5682 pro interval < 0, 5; 1 >), je vidět, že se poměrně značně odlišuje. Jak je to možné? Odpověď: Výpočet zastavujeme v situaci, kdy se následující dvě aproximace liší o méně než přesnost. To však nezaručuje, že kořen skutečně s danou přesností získáme. Pokud bychom pokračovali ve výpočtu dále, dostali bychom, že x 6 = 0, 5860, x 7 = 0, 5835, x 8 = 0, 5820, x 9 = 0, Nyní je vidět, že rozdíl již není tak výrazný. 3. f(x) = sin x 2 x2, x 0 = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 1 = 1, x 2 = 0, 6666, x 3 = 0, 5915, x 4 = 0, 5541, x 5 = 0, 5326, x 6 = 0, 5195, x 7 = 0, 5111

17 Moderní numerické metody 15 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 0, 5. Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 0 = 0, 5, x 1 = 0, 4950 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 1, 5. Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 0 = 1, 5, x 1 = 0, 9046, x 2 = 0, 7599, x 3 = 0, 6815, x 4 = 0, 6320, x 5 = 0, 5984, x 6 = 0, 5743, x 7 = 0, 5566, x 8 = 0, 5433, x 9 = 0, 5331, x 10 = 0, 5252 Otázka: Lze zvolit za počáteční aproximaci některý z bodů x 0 = 0, 4, x 0 = 0, 2, x 0 = 0, 2? Odpověď: Volby x 0 = 0, 4 a x 0 = 0, 2 nesplňují nutnou podmínku konvergence; bod x 0 = 0, 2 za počáteční aproximaci zvolit sice můžeme, avšak aproximace budou konvergovat k bodu x = 0, který je druhým kořenem dané rovnice. 4. f(x) = e x 2 cos x 1, x 0 = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 1 = 1, x 2 = 0, 8841, x 3 = 0, 8697, x 4 = 0, 8659 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 1, 5. Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 0 = 1, 5, x 1 = 1, 0826, x 2 = 0, 9873, x 3 = 0, 9395, x 4 = 0, 9120, x 5 = 0, 8952, x 6 = 0, 8846, x 7 = 0, 8778 Úprava zadání: Pokud řešíme tutéž úlohu metodou sečen, zjistíme, že kořen s danou přesností je x =. 0, 86. Při modifikované Newtonově metodě a volbě počáteční aproximace x 0 = 1 jsme také získali kořen x =. 0, 86. Při volbě x 0 = 1, 5 najděte další aproximace, dokud nebude x =. 0, 86. Řešení: x 8 = 0, 8733, x 9 = 0, 8703, x 10 = 0, 8684, x 11 = 0, f(x) = e x sin x 1 2, x 0 = 1, 5, ɛ = 0, 01 Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 1 = 1, 5, x 2 = 0, 6707, x 3 = 0, 5212, x 4 = 0, 4505, x 5 = 0, 4122, x 6 = 0, 3903, x 7 = 0, 3773, x 8 = 0, 3695 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 1. Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 0 = 1, x 1 = 0, 5241, x 2 = 0, 4322, x 3 = 0, 3935, x 4 = 0, 3753, x 5 = 0, 3664

18 16 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 0, 5. Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 0 = 0, 5, x 1 = 0, 3702, x 2 = 0, 3595, x 3 = 0, f(x) = e x2 x 4 3, x 0 = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 1 = 1, x 2 = 0, 9132, x 3 = 0, 9006, x 4 = 0, 8969 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 1, 5. Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 0 = 1, 5, x 1 = 1, 2577, x 2 = 1, 1749, x 3 = 1, 1215, x 4 = 1, 0828, x 5 = 1, 0532, x 6 = 1, 0297, x 7 = 1, 0106, x 8 = 0, 9948, x 9 = 0, 9816, x 10 = 0, 9705, x 11 = 0, 9610 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 2. Řešení: Tato volba počáteční aproximace sice splňuje nutnou podmínku konvergence, avšak je pro danou funkci zcela nevhodná. I když k tomu, aby se následující dvě aproximace lišily o méně než ɛ, musíme určit 22 aproximací, vůbec si nepomůžeme, protože x 21 = 1, 2487 a x 22 = 1, f(x) = x sin x + cos x 2x 2, x 0 = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 1 = 1, x 2 = 0, 8213, x 3 = 0, 8021, x 4 = 0, 7978 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 1, 5. Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 0 = 1, 5, x 1 = 1, 0024, x 2 = 0, 8961, x 3 = 0, 8483, x 4 = 0, 8243, x 5 = 0, 8116, x 6 = 0, f(x) = x cos x x 2 sin x x , x 0 = 1, 5, ɛ = 0, 01 Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 1 = 1, 5, x 2 = 1, 4440, x 3 = 1, 4436 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 1. Řešení: Takto počáteční aproximaci zvolit nemůžeme, protože f( 1)f. ( 1) = 1, 6091 < f(x) = x sin x x 2 cos x x 3 + 1, x 0 = 0, ɛ = 0, 01 Řešení: Takto nelze počáteční aproximaci volit, protože f (0) = 0.

19 Moderní numerické metody 17 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 1. Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 0 = 1, x 1 = 1, 1621, x 2 = 1, 1407, x 3 = 1, f(x) = x 3 x 2 x e x, x 0 = 1, 5, ɛ = 0, 01 Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 1 = 1, 5, x 2 = 1, 2087, x 3 = 1, 1471, x 4 = 1, 1201, x 5 = 1, 1068, x 6 = 1, 1001 Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 2. Řešení: Je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0; aproximace: x 1 = 2, x 2 = 1, 4865, x 3 = 1, 3468, x 4 = 1, 2684, x 5 = 1, 2185, x 6 = 1, 1846, x 7 = 1, 1607, x 8 = 1, 1435, x 9 = 1, 1308, x 10 = 1, f(x) = x3 x , x 0 = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) není v bodě x 0 definována, proto jej nemůžeme volit za počáteční aproximaci. Úprava zadání: Řešte tutéž úlohu s touž přesností, avšak za počáteční aproximaci zvolte x 0 = 1, 5. Řešení: Ani toto zadání není korektní, protože funkce f(x) není spojitá. Hledaný kořen leží na intervalu < 0; 1 > a v bodě x = 1 funkce není definována. Úprava zadání: Zvolte počáteční aproximaci tak, aby bylo možné najít kořen. Řešení: Za počáteční aproximaci lze volit body z intervalu (0; 1) pochopitelně ty, pro které je splněna podmínka konvergence f(x 0 )f (x 0 ) > 0. Bod x = 0 nelze volit proto, že f(0) = 0. Např. při volbě x 0 = 0, 9 máme aproximace x 0 = 0, 9, x 1 = 0, 8423, x 2 = 0, 8208; x 3 = 0, 8066, x 4 = 0, 7964, x 5 = 0, Kombinovaná metoda tečen a sečen Kombinovanou metodou tečen a sečen najděte na intervalu < a, b > s přesností ɛ kořen rovnice f(x) = 0. Požadavkem najít kořen s přesností ɛ rozumíme požadavek zastavit výpočet, pokud pro nějaké k N platí, že a k b k < ɛ. 1. f(x) = e x sin x 3, a = 0, b = 1, ɛ = 0, 01 2 Řešení: Funkce f(x) je na intervalu < a, b > spojitá, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a druhá derivace na daném intervalu nemění znaménko. Kombinovanou metodu tečen a sečen proto můžeme použít. Podmínka f(a 0 )f (a 0 ) > 0 je splněna pro x = b, proto označíme a 0 = 1, b 0 = 0. Další aproximace jsou: a 0 = 1, a 1 = 0, 8270, a 2 = 0, 7956, b 0 = 0, b 1 = 0, 7511, b 2 = 0, 7946

20 18 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 2. f(x) = e x 2 x 2 1, a = 0, 1, b = 1, 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na intervalu < a, b > spojitá, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a druhá derivace na daném intervalu nemění znaménko. Kombinovanou metodu tečen a sečen proto můžeme použít. Podmínka f(a 0 )f (a 0 ) > 0 je splněna pro x = b, proto označíme a 0 = 1, b 0 = 0, 5. Další aproximace jsou: a 0 = 1, a 1 = 0, 7012, a 2 = 0, 5976, a 3 = 0, 5805 b 0 = 0, 5, b 1 = 0, 5647, b 2 = 0, 5796, a 4 = 0, f(x) = sin x 2 x2, a = 0, 3, b = 1, 3, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na intervalu < a, b > spojitá, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a druhá derivace na daném intervalu nemění znaménko. Kombinovanou metodu tečen a sečen proto můžeme použít. Podmínka f(a 0 )f (a 0 ) > 0 je splněna pro x = b, proto označíme a 0 = 1, 3, b 0 = 0, 3. Další aproximace jsou: a 0 = 1, 3, a 1 = 0, 8073, a 2 = 0, 5831, a 3 = 0, 5066, a 4 = 0, 4952 b 0 = 0, 3, b 1 = 0, 3947, b 2 = 0, 4764, a 4 = 0, 4945, b 4 = 0, f(x) = e x 2 cos x 1, a = 0, 5, b = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na intervalu < a, b > spojitá, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a druhá derivace na daném intervalu nemění znaménko. Kombinovanou metodu tečen a sečen proto můžeme použít. Podmínka f(a 0 )f (a 0 ) > 0 je splněna pro x = b, proto označíme a 0 = 1, b 0 = 0, 5. Další aproximace jsou: a 0 = 1, a 1 = 0, 8841, a 2 = 0, 8650 b 0 = 0, 5, b 1 = 0, 8470, b 2 = 0, f(x) = e x sin x 1, a = 0, b = 1, ɛ = 0, 01 2 Řešení: Funkce f(x) je na intervalu < a, b > spojitá, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a druhá derivace na daném intervalu nemění znaménko. Kombinovanou metodu tečen a sečen proto můžeme použít. Podmínka f(a 0 )f (a 0 ) > 0 je splněna pro x = b, proto označíme a 0 = 1, b 0 = 0. Další aproximace jsou: a 0 = 1, a 1 = 0, 5241, a 2 = 0, 3745, a 3 = 0, 3575 b 0 = 0, b 1 = 0, 3100, b 2 = 0, 3567, a 4 = 0, f(x) = e x2 x 4, a = 0, 5, b = 1, ɛ = 0, 01 3 Řešení: Funkce f(x) je na intervalu < a, b > spojitá, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a druhá derivace na daném intervalu nemění znaménko. Kombinovanou metodu tečen a sečen proto můžeme použít. Podmínka f(a 0 )f (a 0 ) > 0 je splněna pro x = b, proto označíme a 0 = 1, b 0 = 0, 5. Další aproximace jsou:

21 Moderní numerické metody 19 a 0 = 1, a 1 = 0, 9132, a 2 = 0, 8958 b 0 = 0, 5, b 1 = 0, 8750, b 2 = 0, f(x) = x sin x + cos x 2x 2, a = 0, b = 1, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na intervalu < a, b > spojitá, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a druhá derivace na daném intervalu nemění znaménko. Kombinovanou metodu tečen a sečen proto můžeme použít. Podmínka f(a 0 )f (a 0 ) > 0 je splněna pro x = b, proto označíme a 0 = 1, b 0 = 0. Další aproximace jsou: a 0 = 1, a 1 = 0, 8213, a 2 = 0, 7969 b 0 = 0, b 1 = 0, 7700, b 2 = 0, f(x) = x cos x x 2 sin x x 2 + 1, a = 1, 5, b = 0, 5, ɛ = 0, 01 5 Řešení: Funkce f(x) je na intervalu < a, b > spojitá, nicméně neplatí, že pro x < a, b > je f (x) 0 a že druhá derivace na daném intervalu nemění znaménko. Kombinovanou metodu tečen a sečen proto nemůžeme použít. 9. f(x) = x sin x x 2 cos x x 3 + 1, a = 0, 2, b = 1, 2, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na intervalu < a, b > spojitá, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a druhá derivace na daném intervalu nemění znaménko. Kombinovanou metodu tečen a sečen proto můžeme použít. Podmínka f(a 0 )f (a 0 ) > 0 je splněna pro x = b, proto označíme a 0 = 1, 2, b 0 = 0, 2. Další aproximace jsou: a 0 = 1, 2, a 1 = 1, 1471 b 0 = 0, 2, b 1 = 1, f(x) = x 3 x 2 x + e x 2, a = 0, 5, b = 1, 5, ɛ = 0, 01 Řešení: Funkce f(x) je na intervalu < a, b > spojitá, pro x < a, b > platí, že f (x) 0 a druhá derivace na daném intervalu nemění znaménko. Kombinovanou metodu tečen a sečen proto můžeme použít. Podmínka f(a 0 )f (a 0 ) > 0 je splněna pro x = b, proto označíme a 0 = 1, 5, b 0 = 0, 5. Další aproximace jsou: a 0 = 1, 5, a 1 = 1, 2087, a 2 = 1, 1055, a 3 = 1, 0928 b 0 = 0, 5, b 1 = 0, 9867, b 2 = 1, 0910, a 4 = 1, 0926

22 20 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

23 Kapitola 3 Algebraické rovnice U každé z následujících rovnic určete horní a dolní odhad absolutní hodnoty kořenů, počet kladných a záporných kořenů (pomocí Descartovy věty), sestrojte Sturmovu posloupnost a podle Sturmovy věty určete počet kořenů ležících na intervalech (, 10), 10, 10, (10, ). Dále metodou Graeff-Lobačevského určete absolutní hodnoty reálných kořenů této rovnice (vycházejte z P 2 (x)). Poté si zkuste příklad vyřešit některou z metod pro nelineární rovnice. 1. x 4 8x 3 + 7x x 36 = 0 Řešení: Odhad velikosti kořenů: 1 2 x k 37 Odhad počtu kladných kořenů podle Descartovy věty: 3 nebo 1 Odhad počtu záporných kořenů podle Descartovy věty: 1 Sturmova posloupnost: M(x) = x 4 8x 3 + 7x x 36, M 1 (x) = 4x 3 24x x + 36, M 2 (x) = 8, 5x 2 34x + 18, M 3 (x) = 26, 4706x 52, 9412, M 4 (x) = 16 N( ) = 4, N( 10) = 4, N(10) = 0, N( ) = 0, proto na intervalu (, 10) neleží žádný kořen, na intervalu 10, 10 leží 4 kořeny a na intervalu (10, ) neleží žádný kořen Posloupnost polynomů pro metodu Graeff-Lobačevského: P 0 (x) = x 4 8x 3 + 7x x 36, P 1 (x) = x 4 50x x x , P 2 (x) = x x x x Absolutní hodnoty kořenů jsou: x 1 = 6, 1103, x 2 = 3, 0980, x 3 = 1, 9368, x 4 = 0, 9818 Kořeny ve skutečnosti jsou: x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 3, x 4 = 6 2. x x 4 15x 3 155x x = 0 Řešení: Odhad velikosti kořenů: 132. = 0, 66 x 199 k 265 Odhad počtu kladných kořenů podle Descartovy věty: 2 nebo 0 Odhad počtu záporných kořenů podle Descartovy věty: 3 nebo 1 Sturmova posloupnost: M(x) = x 5 +11x 4 15x 3 155x x+264, M 1 (x) = 5x x 3 45x 2 310x + 134, M 2 (x) = 25, 36x 3 73, 2x 2 243, 6x 205, 04, M 3 (x) = 82, 3172x 2 14, 4449x 373, 0610, M 4 (x) = 115, 0428x 146, 8697, 21

24 22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně M 5 (x) = 257, 3379 N( ) = 5, N( 10) = 4, N(10) = 0, N( ) = 0, proto na intervalu (, 10) leží 1 kořen, na intervalu 10, 10 leží 4 kořeny a na intervalu (10, ) neleží žádný kořen Posloupnost polynomů pro metodu Graeff-Lobačevského: P 0 (x) = x x 4 15x 3 155x x + 264, P 1 (x) = x 5 151x x x x 69696, P 2 (x) = x x x x 2 + 5, x 4, Absolutní hodnoty kořenů jsou: x 1 = 11, 0659, x 2 = 4, 3173, x 3 = 2, 9379, x 4 = 1, 9170, x 5 = 0, 9812 Kořeny ve skutečnosti jsou: x 1 = 11, x 2 = 4, x 3 = 1, x 4 = 2, x 5 = 3 3. x 5 3x 4 5x x 2 + 4x 12 = 0 Řešení: Odhad velikosti kořenů: 4 9 x k 16 Odhad počtu kladných kořenů podle Descartovy věty: 3 nebo 1 Odhad počtu záporných kořenů podle Descartovy věty: 2 nebo 0 Sturmova posloupnost: M(x) = x 5 3x 4 5x x 2 + 4x 12, M 1 (x) = 5x 4 12x 3 15x x + 4, M 2 (x) = 3, 44x 3 7, 2x 2 6, 8x + 11, 52, M 3 (x) = 8, 3288x 2 10, 2217x 9, 1401, M 4 (x) = 6, 6800x 8, 2517, M 5 (x) = 9, 0575 N( ) = 5, N( 10) = 5, N(10) = 0, N( ) = 0, proto na intervalu (, 10) neleží žádný kořen, na intervalu 10, 10 leží 5 kořenů a na intervalu (10, ) neleží žádný kořen Posloupnost polynomů pro metodu Graeff-Lobačevského: P 0 (x) = x 5 3x 4 5x x 2 + 4x 12, P 1 (x) = x 5 19x x 3 337x x 144, P 2 (x) = x 5 115x x x x Absolutní hodnoty kořenů jsou: x 1 = 3, 2747, x 2 = 2, 2740, x 3 = 1, 7141, x 4 = 1, 1367, x 5 = 0, 8270 Kořeny ve skutečnosti jsou: x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 2, x 5 = 3 4. x 3 9x x 12 = 0 Řešení: Odhad velikosti kořenů: 3 8 x k 21 Odhad počtu kladných kořenů podle Descartovy věty: 3 nebo 1 Odhad počtu záporných kořenů podle Descartovy věty: 0 Sturmova posloupnost: M(x) = x 3 9x x 12, M 1 (x) = 3x 2 18x + 20, M 2 (x) = 14 3 x 8, M 3(x) = 2, 0408 N( ) = 3, N( 10) = 3, N(10) = 0, N( ) = 0, proto na intervalu (, 10) neleží žádný kořen, na intervalu 10, 10 leží 3 kořeny a na intervalu (10, ) neleží žádný kořen Posloupnost polynomů pro metodu Graeff-Lobačevského: P 0 (x) = x 3 9x x 12, P 1 (x) = x 3 41x x 144, P 2 (x) = x x x Absolutní hodnoty kořenů jsou: x 1 = 6, 0196, x 2 = 2, 0243, x 3 = 0, 9848 Kořeny ve skutečnosti jsou: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = x 4 164x 3 240x x + 5 = 0

25 Moderní numerické metody Řešení: Odhad velikosti kořenů: = 0, 02 x 49 k 4 Odhad počtu kladných kořenů podle Descartovy věty: 2 nebo 0 Odhad počtu záporných kořenů podle Descartovy věty: 2 Sturmova posloupnost: M(x) = 80x 4 164x 3 240x x + 5, M 1 (x) = 320x 3 492x 2 480x + 13, M 2 (x) = 183, 0375x , 75x 6, 6656, M 3 (x) = 303, 6646x + 8, 2118, M 4 (x) = 7, 9312 N( ) = 4, N( 10) = 4, N(10) = 0, N( ) = 0, proto na intervalu (, 10) neleží žádný kořen, na intervalu 10, 10 leží 4 kořeny a na intervalu (10, ) neleží žádný kořen Posloupnost polynomů pro metodu Graeff-Lobačevského: P 0 (x) = 80x 4 164x 3 240x x + 5, P 1 (x) = 6400x x x x + 25, P 2 (x) = x 4 3, x 3 + 3, x x Absolutní hodnoty kořenů jsou: x 1 = 3, 0320, x 2 = 1, 0093, x 3 = 0, 1763, x 4 = 0, 1159 Kořeny ve skutečnosti jsou: x 1 = 3, 0225, x 2 = 1, 0122, x 3 = 0, 1641, x 4 = 0, x 4 48x 3 389x 2 288x + 36 = Řešení: Odhad velikosti kořenů: = 0, 09 x 425 k 409 = 20, Odhad počtu kladných kořenů podle Descartovy věty: 2 nebo 0 Odhad počtu záporných kořenů podle Descartovy věty: 2 Sturmova posloupnost: M(x) = 20x 4 48x 3 389x 2 288x + 36, M 1 (x) = 80x 3 144x 2 778x 288, M 2 (x) = 216, 1x , 7x + 7, 2, M 3 (x) = 369, 3472x + 279, 0986, M 4 (x) = 120, 8102 N( ) = 4, N( 10) = 4, N(10) = 0, N( ) = 0, proto na intervalu (, 10) neleží žádný kořen, na intervalu 10, 10 leží 4 kořeny a na intervalu (10, ) neleží žádný kořen Posloupnost polynomů pro metodu Graeff-Lobačevského: P 0 (x) = 20x 4 48x 3 389x 2 288x+36, P 1 (x) = 400x x x x+1296, P 2 (x) = x x 3 + 1, x 2 1, x Absolutní hodnoty kořenů jsou: x 1 = 6, 0827, x 2 = 2, 7029, x 3 = 1, 0063, x 4 = 0, 1088 Kořeny ve skutečnosti jsou: x 1 = 6, 0200, x 2 = 2, 7176, x 3 = 1, 0112, x 4 = 0, x x x x + 48 = Řešení: Odhad velikosti kořenů: = 0, 14 x 169 k 146 Odhad počtu kladných kořenů podle Descartovy věty: 0 Odhad počtu záporných kořenů podle Descartovy věty: 4 nebo 2 nebo 0 Sturmova posloupnost: M(x) = 2x 4 +70x x x+48, M 1 (x) = 8x x x + 160, M 2 (x) = 314, 4x , 7x + 302, M 3 (x) = 88, 2x + 13, 7, M 4 (x) = 131, 8 N( ) = 4, N( 10) = 3, N(10) = 0, N( ) = 0, proto na intervalu (, 10) leží 1 kořen, na intervalu 10, 10 leží 3 kořeny a na intervalu

26 24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně (10, ) neleží žádný kořen Posloupnost polynomů pro metodu Graeff-Lobačevského: P 0 (x) = 2x 4 +70x x x + 48, P 1 (x) = 4x x x x , P 2 (x) = 16x x 3 + 3, x x Absolutní hodnoty kořenů jsou: x 1 = 30, 3035, x 2 = 4, 1093, x 3 = 2, 2040, x 4 = 1, 5740 Kořeny ve skutečnosti jsou: x 1 = 30, 3009, x 2 = 4, 1099, x 3 = 0, , 3255j, x 4 = 0, , 3255j 8. x 3 + 9x 2 306x 3240 = 0 Řešení: Odhad velikosti kořenů: 180. = 0, 91 x 197 k 3241 Odhad počtu kladných kořenů podle Descartovy věty: 1 Odhad počtu záporných kořenů podle Descartovy věty: 2 nebo 0 Sturmova posloupnost: M(x) = x 3 +9x 2 306x 3240, M 1 (x) = 3x 2 18x 306, M 2 (x) = 222x , M 3 (x) = 199, 86 N( ) = 3, N( 10) = 1, N(10) = 1, N( ) = 0, proto na intervalu (, 10) leží 2 kořeny, na intervalu 10, 10 neleží žádný kořen a na intervalu (10, ) leží 1 kořen Posloupnost polynomů pro metodu Graeff-Lobačevského: P 0 (x) = x 3 + 9x 2 306x 3240, P 1 (x) = x 3 693x x , P 2 (x) = x x 2 + 8, x 1, Absolutní hodnoty kořenů jsou: x 1 = 20, 4921, x 2 = 14, 8351, x 3 = 10, 6578 Kořeny ve skutečnosti jsou: x 1 = 15, x 2 = 12, x 3 = x 4 96x 3 192x x + 21 = Řešení: Odhad velikosti kořenů: = 0, 08 x 277 k 7 4 Odhad počtu kladných kořenů podle Descartovy věty: 2 nebo 0 Odhad počtu záporných kořenů podle Descartovy věty: 2 nebo 0 Sturmova posloupnost: M(x) = 256x 4 96x 3 192x x + 21, M 1 (x) = 1024x 3 288x 2 384x + 46, M 2 (x) = 102, 75x 2 25, 5x 22, 078, M 3 (x) = 172, 376x 38, 722, M 4 (x) = 22, 621 N( ) = 4, N( 10) = 4, N(10) = 0, N( ) = 0, proto na intervalu (, 10) neleží žádný kořen, na intervalu 10, 10 leží 4 kořeny a na intervalu (10, ) neleží žádný kořen Posloupnost polynomů pro metodu Graeff-Lobačevského: P 0 (x) = 256x 4 96x 3 192x 2 +46x+21, P 1 (x) = 65536x x x x+441, P 2 (x) = 4, x 4 4, x 3 1, x x Absolutní hodnoty kořenů jsou: x 1 = 0, 9922, x 2 = 0, 7096, x 3 = 0, 4753, x 4 = 0, 2452 Kořeny ve skutečnosti jsou: x 1 = 0, 75, x 2 = 0, 25, x 3 = 0, 5, x 4 = 0, x 5 13x x 3 139x x 48 = Řešení: Odhad velikosti kořenů: = 0, 26 x 187 k 140 Odhad počtu kladných kořenů podle Descartovy věty: 5 nebo 3 nebo 1

27 Moderní numerické metody 25 Odhad počtu záporných kořenů podle Descartovy věty: 0 Sturmova posloupnost: M(x) = x 5 13x x 3 139x x 48, M 1 (x) = 5x 4 52x x 2 278x + 136, M 2 (x) = 1, 84x 3 14, 88x , 76x 22, 72, M 3 (x) = 1, 7013x 2 8, 5066x + 6, 8053, M 4 (x) = 0 všechny hodnoty jsou zaokrouhleny, avšak M 4 (x) musí být při přesném dělení nulový polynom. To ale znamená, že polynom nemá jen prosté kořeny, a proto nemůžeme odhad pomocí Sturmovy posloupnosti použít. Posloupnost polynomů pro metodu Graeff-Lobačevského: P 0 (x) = x 5 13x x 3 139x x 48, P 1 (x) = x 5 43x x x x 2304, P 2 (x) = x 5 595x x x x Absolutní hodnoty kořenů jsou: x 1 = 4, 9389, x 2 = 3, 6722, x 3 = 2, 6730, x 4 = 1, 1804, x 5 = 0, 8388 všimněte si, že jsme získali pět různých kořenů, přitom ve skutečnosti jsou některé kořeny násobné! Kořeny ve skutečnosti jsou: x 1,2 = 1, x 3 = 3, x 4,5 = 4 Příklad k zamyšlení: Je dána rovnice a(x 1) 6 + b(x 3) 4 1 = 0, kde a, b 1. Pro alespoň jednu volbu parametrů a, b 1 najděte alespoň jedno reálné řešení této rovnice, nebo dokažte, že zadaná rovnice pro žádnou volbu parametrů a, b 1 žádné reálné řešení nemá.

28 26 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

29 Kapitola 4 Vlastní čísla Pro následující matice najděte charakteristický polynom. Poté vhodnou metodou najděte dominantní vlastní číslo; volte x (0) = (1, 1,..., 1) T. Určete polohu ostatních vlastních čísel a pokuste se je najít. 1. A = Řešení: Charakteristický polynom je λ 4 25λ λ λ 1787 = 0. Matice je symetrická, proto pro hledání dominantního vlastního čísla použijeme metodu Rayleighova podílu. Použít bychom mohli i mocninnou metodu. Dostáváme λ (1) 1 = 11, 75, λ (2) 1 = 14, 6036, λ (3) 1 = 14, 8622, λ (4) 1 = 14, 8799, λ (5) 1 = 14, Vlastní čísla zadané matice jsou λ 1 = 14, 8812, λ 2 = 9, 4758, λ 3 = 3, 8959, λ 4 = 3, A = Řešení: Charakteristický polynom je λ 4 4λ 3 176λ λ = 0. Matice není symetrická, proto pro hledání dominantního vlastního čísla použijeme mocninnou metodu. Dostáváme λ (1) 1 = 25, λ (2) 1 = 9, 4, λ (3) 1 = 17, 8638, λ (4) 1 = 9, 9857,..., λ (29) 1 = 15, 1035, λ (30) 1 = 12, Vlastní čísla zadané matice jsou λ 1 = 13, 6114, λ 2 = 12, 6045, λ 3 = 4, 6092, λ 4 = 1, A =

30 28 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Řešení: Charakteristický polynom je λ 4 8λ λ 2 16λ + 5 = 0. Není ovšem nutné počítat ho pomocí numerických metod, protože zadaná matice je dolní trojúhelníková matice, tj. charakteristický polynom je (1 λ) 3 (5 λ) = 0. Vlastní čísla můžeme číst rovnou ze zadání: λ 1 = 1, λ 2 = A = Řešení: I když tato matice vznikla z předcházející pouhou záměnou řádků, jedná se o jiný problém vlastních čísel! Charakteristický polynom je λ 4 371λ λ λ 5 = 0. Matice není symetrická, proto pro hledání dominantního vlastního čísla použijeme mocninnou metodu. Dostáváme λ (1) 1 = 308, λ (2) 1 = 305, 8734, λ (3) 1 = 305, 6941, λ (4) 1 = 305, Vlastní čísla zadané matice jsou λ 1 = 305, 6790, λ 2 = 32, , 059j, λ 3 = 32, , 0059j, λ 4 = 1, A = Řešení: Charakteristický polynom je λ 4 13λ 3 6λ λ 348 = 0. Matice není symetrická, proto pro hledání dominantního vlastního čísla použijeme mocninnou metodu. Dostáváme λ (1) 1 = 18, λ (2) 1 = 13, 1667, λ (3) 1 = 10, 2236, λ (4) 1 = 6, 3760, λ (5) 1 = 15, 9852,..., λ (49) 1 = 11, 9827, λ (50) 1 = 8, 6693,..., λ (499) 1 = 6, 1859, λ (500) 1 = 17, Vlastní čísla zadané matice jsou totiž λ 1 = 9, , 9719j, λ 2 = 9, , 9719j, λ 3 = 7, 2991, λ 4 = 0, 3528, což způsobuje, že Jacobiho metoda neumí dominantní vlastní číslo určit A = Řešení: Charakteristický polynom je λ 4 26λ λ λ 282 = 0. Matice není symetrická, proto pro hledání dominantního vlastního čísla použijeme mocninnou metodu. Dostáváme λ (1) 1 = 21, λ (2) 1 = 11, 7619, λ (3) 1 = 11, 6154, λ (4) 1 = 14, 5769, λ (5) 1 = 16, 4538,..., λ (21) 1 = 15, 2565, λ (22) 1 = 15, Vlastní čísla zadané matice jsou λ 1 = 15, 2567, λ 2 = 5, , 6416j, λ 3 = 5, , 6416j, λ 4 = 0, A =

31 Moderní numerické metody 29 Řešení: Charakteristický polynom je λ 4 46λ 2 126λ+15 = 0. Matice není symetrická, proto pro hledání dominantního vlastního čísla použijeme mocninnou metodu. Dostáváme λ (1) 1 = 16, λ (2) 1 = 8, 3125, λ (3) 1 = 7, 5865, λ (4) 1 = 8, 0466, λ (5) 1 = 7, 7512,... λ (12) 1 = 7, 8611, λ (13) 1 = 7, Vlastní čísla zadané matice jsou λ 1 = 7, 8605, λ 2 = 3, , 8939j, λ 3 = 3, , 8939j, λ 4 = 0, A = Řešení: Charakteristický polynom je λ 4 3λ 3 65λ 2 447λ 1028 = 0. Matice není symetrická, proto pro hledání dominantního vlastního čísla použijeme mocninnou metodu. Dostáváme λ (1) 1 = 16, λ (2) 1 = 13, 5, λ (3) 1 = 10, 997, λ (4) 1 = 12, 3597, λ (5) 1 = 12, 1101,..., λ (8) 1 = 12, 0811, λ (9) 1 = 12, Vlastní čísla zadané matice jsou λ 1 = 12, 0548, λ 2 = 2, , 1173j, λ 3 = 2, , 1173j, λ 4 = 3, A = Řešení: Charakteristický polynom je λ 4 6λ 3 + 9λ 2 4λ = 0. Není však nutné jej určovat numericky, stačí si uvědomit, jak bude vypadat matice A λi. V posledním řádku bude mít samé nuly a (A λi) 44 = 4 λ. Determinant proto bude možné jednoduše rozvinout podle posledního řádku. Dostaneme A λi = ( 1) 8 (4 λ) 1 λ λ λ = (4 λ)( λ)(1 λ)2. Vlastní čísla můžeme číst rovnou: λ 1 = 4, λ 2 = 0, λ 3 = 1. Pokud bychom hledali dominantní vlastní číslo mocninnou metodou, dostáváme λ (i) 1 = 4 pro i N A = Řešení: Charakteristický polynom je λ 4 3λ 3 65λ 2 447λ 1028 = 0. Matice není symetrická, proto pro hledání dominantního vlastního čísla použijeme mocninnou metodu. Dostáváme λ (1) 1 = 14, λ (2) 1 = 10, 7857, λ (3) 1 = 10, 2980, λ (4) 1 = 9, 9871, λ (5) 1 = 9, 9096, λ (6) 1 = 9, 8761, λ (7) 1 = 9, Vlastní čísla

32 30 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně zadané matice jsou λ 1 = 9, 8572, λ 2 = 3, 6793, λ 3 = 1, , 6779j, λ 4 = 1, , 6779j.

33 Kapitola 5 Obyčejné diferenciální rovnice 5.1 Jednokrokové metody Jednokrokové metody Eulerova a její modifikace a metoda Runge-Kutty 4. řádu byly probrány v předmětu Matematika 3. Pro připomenutí těchto metod můžete použít rovnice uvedené v následujícím odstavci. Nezapomeňte však, že výsledky získané jednotlivými metodami se mohou výrazně lišit! 5.2 Vícekrokové metody Následující počáteční úlohy řešte na intervalu a, b s krokem h takto: Nejprve metodou Runge Kutty 4. řádu dopočítejte všechny potřebné hodnoty a poté najděte zbývající hodnoty pomocí Adamsovy extrapolační metody třetího, poté čtvrtého a poté pátého řádu. Dále najděte zbývající hodnoty pomocí metody prediktor korektor, kde za prediktor zvolte yn+1 0 = y n + h (55f 24 n 59f n f n 2 9f n 3 ) a za korektor yn+1 k+1 = y n + h (9f k 24 n f n 5f n 1 + f n 2 ). 1. y = x 2 y, y(0) = 1, na intervalu 0, 1 s krokem h = 0, 2 i x i 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 Runge Kutta 1 0, , , , , 6321 Adams 3. řádu 1 0, , , , , 6329 Adams 4. řádu 1 0, , , , , 6320 Adams 5. řádu 1 0, , , , , 6321 prediktor korektor 1 0, , , , , y = x 2 + 4y, y(0) = 0, na intervalu 0, 1 s krokem h = 0, 2 31

34 32 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně i x i 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 Runge Kutta 0 0, , , , , 2926 Adams 3. řádu 0 0, , , , , 0418 Adams 4. řádu 0 0, , , , , 2025 Adams 5. řádu 0 0, , , , , 2726 prediktor korektor 0 0, , , , , y = e x + y, y(0) = 1, na intervalu 0, 1 s krokem h = 0, 2 i x i 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 Runge Kutta 1 1, , , , , 4365 Adams 3. řádu 1 1, , , , , 4153 Adams 4. řádu 1 1, , , , , 4336 Adams 5. řádu 1 1, , , , , 4362 prediktor korektor 1 1, , , , , y = e x+1 2y, y(0) = 1, na intervalu 0, 1 s krokem h = 0, 2 i x i 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 Runge Kutta 1 1, , , , , 4759 Adams 3. řádu 1 1, , , , , 4734 Adams 4. řádu 1 1, , , , , 4757 Adams 5. řádu 1 1, , , , , 4757 prediktor korektor 1 1, , , , , y = e x 2 + 4y, y(0) = 0, na intervalu 0, 1 s krokem h = 0, 2 i x i 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 Runge Kutta 0 0, , , , , 0193 Adams 3. řádu 0 0, , , , , 7381 Adams 4. řádu 0 0, , , , , 2008 Adams 5. řádu 0 0, , , , , 8375 prediktor korektor 0 0, , , , , y = e x2 + y, y(0) = 1, na intervalu 0, 1 s krokem h = 0, 2

35 Moderní numerické metody 33 i x i 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 Runge Kutta 1 1, , , , , 0257 Adams 3. řádu 1 1, , , , , 9819 Adams 4. řádu 1 1, , , , , 0115 Adams 5. řádu 1 1, , , , , 0222 prediktor korektor 1 1, , , , , y = e x2 y, y(0) = 1, na intervalu 0, 1 s krokem h = 0, 2 i x i 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 Runge Kutta 1 1, , , , , 3759 Adams 3. řádu 1 1, , , , , 3646 Adams 4. řádu 1 1, , , , , 3704 Adams 5. řádu 1 1, , , , , 3741 prediktor korektor 1 1, , , , , y = x 3 4y, y(0) = 1, na intervalu 0, 1 s krokem h = 0, 2 i x i 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 Runge Kutta 1 0, , , , , 1524 Adams 3. řádu 1 0, , , , , 0814 Adams 4. řádu 1 0, , , , , 1422 Adams 5. řádu 1 0, , , , , 1382 prediktor korektor 1 0, , , , , y = 1 x + y, y(0) = 2, na intervalu 0, 1 s krokem h = 0, 2 2 i x i 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 Runge Kutta 2 2, , , , , 7956 Adams 3. řádu 2 2, , , , , 7860 Adams 4. řádu 2 2, , , , , 7945 Adams 5. řádu 2 2, , , , , 7956 prediktor korektor 2 2, , , , , 7956

Matematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 3. Sbírka příkladů z numerických metod. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 Sbírka příkladů z numerických metod RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 5 1.1 Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda......................

Více

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0. A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

úloh pro ODR jednokrokové metody

úloh pro ODR jednokrokové metody Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat

Více

Obyčejné diferenciální rovnice počáteční úloha. KMA / NGM F. Ježek

Obyčejné diferenciální rovnice počáteční úloha. KMA / NGM F. Ježek Občejné diferenciální rovnice počáteční úloha KMA / NGM F. Ježek (JEZEK@KMA.ZCU.CZ) Základní pojm Tp rovnic a podmínek, řád rovnice Počáteční úloha pro občejné diferenciální rovnice Řád metod a počet kroků

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

Numerické řešení rovnice f(x) = 0

Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Přemysl Vihan 9.10.2003 Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l. 2. ročník, PMVT-mag. Abstrakt Seminární práce se zabývá numerickým řešením

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Numerická matematika. Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou

Numerická matematika. Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou Numerická matematika Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou Václav Bubník, xbubni01, sk. 60 FIT VUT v Brně, 2004 Obsah Numerická matematika...1 1. Teorie... 3 1.1 Diferenciální

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Řešení nelineárních rovnic

Řešení nelineárních rovnic Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.

Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Obyčejné diferenciální rovnice (ODE)

Obyčejné diferenciální rovnice (ODE) Obyčejné diferenciální rovnice (ODE) Obyčejné diferenciální rovnice N tého řádu převádíme na soustavy N diferenciálních rovnic prvního řádu. V rovnici f x, y, y ', y '',, y N =gx se substituují y '=z 1,

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic

Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Pavel Klavík. Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze

Pavel Klavík. Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze Historie Motto Budeme se zabývat specifickými problémy, které se objevují při řešení soustav lineárních rovnic na

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Dělení. Demonstrační cvičení 8 INP

Dělení. Demonstrační cvičení 8 INP Dělení Demonstrační cvičení 8 INP Přístupy k dělení sekvenční s restaurací nezáporného zbytku bez restaurace nezáporného zbytku SRT kombinační obvod založen na úplné odečítačce iterační algoritmy Newtonův

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.

Algebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu. Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

Numerické metody I. Jaro Normy vektorů a matic 1. 2 Nelineární rovnice Metoda bisekce (půlení intervalu) Iterační metody...

Numerické metody I. Jaro Normy vektorů a matic 1. 2 Nelineární rovnice Metoda bisekce (půlení intervalu) Iterační metody... Poznámky k přednášce 1 Numerické metody I Jaro 2010 Tomáš Řiháček Obsah 1 Normy vektorů a matic 1 2 Nelineární rovnice 3 2.1 Metoda bisekce (půlení intervalu).............................. 3 2.2 Iterační

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojmy: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocniny neznámé x, tj. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 = 0, kde n je přirozené

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

metoda Regula Falsi 23. října 2012

metoda Regula Falsi 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda Regula Falsi Michal Čihák 23. října 2012 Metoda Regula Falsi hybridní metoda je kombinací metody sečen a metody půlení intervalů předpokladem je (podobně

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Metody pro výpočet kořenů polynomů

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Metody pro výpočet kořenů polynomů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Metody pro výpočet kořenů polynomů Vedoucí diplomové práce: RNDr. Horymír Netuka,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

8. Okrajový problém pro LODR2

8. Okrajový problém pro LODR2 8. Okrajový problém pro LODR2 A. Základní poznatky o soustavách ODR1 V kapitole 6 jsme zavedli pojem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která je pro n = 2 tvaru A 2 (x)y + A 1 (x)y + A 0 (x)y

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1 7 Soustavy ODR1 A Základní poznatky o soustavách ODR1 V inženýrské praxi se se soustavami diferenciálních rovnic setkáváme především v úlohách souvisejících s mechanikou Příkladem může být úloha popsat

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více