Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta"

Transkript

1 Uiverzit Krlov v Prze Pedgogiká fklt SEMINÁRNÍ PRÁCE Z LGERY ELEMENTY LINEÁRNÍ LGERY 999/ CIFRIK

2 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ iárí rele R iárí rele R mezi možimi moži Pro dv prvky b (prvek) je v reli R s (prvkem) b Zákldí pojmy je libovolá podmoži R krtézského soči tkové že b R iárí rele je: refleiví jestliže pltí M : R irefleiví jestliže pltí M : o R symetriká jestliže pltí y M : Ry yr y M : Ry yr trzitiví jestliže pltí y z M : Ry yrz Rz y M : Ry y yr tisymetriká jestliže pltí y koektiví jestliže pltí píšeme též Rb čteme iárí rele U možiě M se zývá (eostré) spořádáí možiě M je-li refleiví tisymetriká trzitiví ostré spořádáí možiě M je-li irefleiví tisymetriká trzitiví (ostré či eostré) lieárí spořádáí možiě M jestliže je (ostrým či eostrým) spořádáím M je ví koektiví Příkld Je dá moži ) Určeme výčtem prvků biárí reli R y b) Určeme obor biárí rele R ) Určeme výčtem prvků reli R doplňkovo k R d ) R d b) prví obor O R drhý obor O R d ) y ; y R y R ; / y y To zmeá že reli R vytvoříme z rele R záměo pořdí složek ve všeh spořádýh dvojiíh rele R Tedy R Příkld Nehť M je moži přímek v roviě Defijme reli R tkto: prq zmeá že přímk p emá společý bod s přímko q Které vlstosti má rele R? Rele R eí refleiví protože přímk p má sm se sebo dokoe ekoečě moho společýh bodů Rele R je symetriká protože zřejmě p má společý bod s q právě když q má společý bod s p Rele eí trzitiví Kdyby byl trzitiví zmelo by to že emá-li p společý bod s q sočsě emá q společý bod s r pk p emá společý bod s r Zvolme speiálě p q prq tj p q p q r p Pk zřejmě prq qrp le p eí v reli R sm se sebo wwwmtemtikwebzz

3 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Zobrzeí DefI Zobrzeí (fke) f možiy do možiy (ozčeí f : ) je jkákoli rele mezi možimi tková že pro kždé eistje právě jede prvek b tkový že b f Prvek b zýváme hodoto zobrzeí f v bodě (příp obrzem prvk při zobrzeí f ) píšeme strčě b f Prvek zýváme vzorem prvk b při zobrzeí f Defiičí obor D f ; b : b f Obor hodot D f zobrzeí f je moži H f zobrzeí f je moži H f y ; : y f DefII Zobrzeím z možiy do možiy rozmíme tkovo podmoži f možiy pro ktero pltí: )( y y ){[( y ) f ( y ) f ] y } ( y Zobrzeí f : se zývá prosté (ijeke) jestliže pro libovolá D f pltí: Je-li je f f (tj kždým dvěm růzým vzorům příslší dv růzé obrzy); (srjeke) je-li H f ; vzájemě jedozčé (bijeke) jestliže je zároveň prosté (tj D f H f f je prosté) iárí opere (iárí) operí možiě M rozmíme kždé zobrzeí (elého) krtézského soči M M do M Neí-li defiičím oborem elá moži M M hovoříme o priálí ebo též částečé operi Říkáme že opere možiě M je komttiví jestliže b M b b je soitiví jestliže b M ( b ) = ( b ) má etrálí prvek jestliže M M M M má gresiví prvek jestliže má iverzí prvek M M ke kždém prvk jestliže eistje etrálí prvek pltí Grp Grpo rozmíme spořádo dvojii (G ) kde G je eprázdá moži tzv osič grpy G je biárí opere G která je soitiví má etrálí prvek ke kždém prvk i prvek iverzí Je-li ví opere komttiví hovoříme o komttiví (eboli belově) grpě wwwmtemtikwebzz

4 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Číselé těleso Číselým tělesem rozmíme spořádo trojii T kde T je podmoži možiy kompleíh čísel C tková že T T pltí: ( y T)( y T y T) (je zvřeá sčítáí ásobeí) ( T)( ) T (je zvřeá opčé prvky) ( T)( T) (je zvřeá převráeé hodoty elovýh prvků) Obeě číselým tělesem rozmíme kždo spořádo trojii T kde T je spoň dvoprvková moži; jso opere T pltí y z T : y y y z y z ( T)( ) y y y z y z ( T )( ) ( )( T) ( )( T) y z z y z (distribtivit opere vzhledem k operi ) ritmetiký vektor Nehť T je těleso přirozeé číslo Uspořádo -tii kde i T i zveme -rozměrým ritmetikým vektorem d tělesem T Prvek i zýváme i-tým čleem ritmetikého vektor Moži všeh -rozměrýh ritmetikýh vektorů d T bdeme zčit V T Rovost dvo ritmetikýh vektorů Dv vektory y se sobě rovjí právě když Sočet dvo ritmetikýh vektorů α-ásobek Nlový ritmetiký vektor i yi i y y y y o tj všehy čley jso rovy lovém prvk těles T Lieárí kombie Nehť k jso vektory z (T ) V k prvky z T ritmetiký vektor zýváme lieárí kombií ritmetikýh vektorů k s koefiiety k triviálí lieárí kombií - zýváme lieárí kombii která má všehy koefiiety rové lovém prvk z těles T etriviálí lieárí kombii jestliže je spoň jede koefiiet růzý od lová lieárí kombie jestliže pro prvky k T vektory k V( ) pltí: o T k k k k wwwmtemtikwebzz

5 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Lieárí závislost ezávislost vektorů závislé eistje lová etriviálí lieárí kombie ezávislé eistje poze triviálí lieárí kombie Příkld Rozhoděme zd ásledjíí vektory z ritmetikého vektorového prostor R d R jso lieárě závislé ebo ezávislé v w Rozhodot zd vektory v w jso lieárě závislé resp ezávislé zmeá rozhodot zd rovie v w má elové resp poze lové řešeí Tto rovii lze přepst sostv Tto sostv má poze triviálí řešeí tkže vektory v w jso LN Poz O ezávislosti vektorů v w lze rozhodot též zákldě výpočt ermit mtie sostvy (Sostv rovi má poze triviálí řešeí právě tehdy když ermit mtie sostvy eí ) Příkld Určeme reálé číslo b tk by vektory 9 lieárě ezávislé v w z ritmetikého vektorového prostor R d R byly lieárě závislé v w b by vektory v w byly lieárě závislé msí eistovt čísl R z ihž spoň jedo je elové pltí v w Zkomáme tedy pro které hodoty prmetr b má sostv b lové řešeí Odečteím rovie od rovie dosteme b Sdo zjistíme že pro b je pro b má sostv ekoečě moho řešeí tedy pro b jso vektory v w lieárě závislé wwwmtemtikwebzz

6 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Příkld Určeme všehy hodoty R pro které je vektor v lieárí kombií vektorů v Vektor v je lieárí kombií vektorů právě tehdy když eistjí R tková že v tz když sostv rovi má spoň jedo řešeí Podle Frobeiovy věty je tto sostv řešitelá právě tehdy když je hodost mtie sostvy rov hodosti rozšířeé mtie sostvy ' Mtii ' prvíme trojúhelíkový tvr: ' Vidíme že pro je ' h h tedy sostv je řešitelá (protože hodost mtie sostvy je rov počt ezámýh je toto řešeí právě jedo) To zmeá že vektor v je lieárí kombií vektorů pro libovolé reálé Pmtjme: Neeistje i jed oblst mtemtiky to ť je jkkoli bstrktí která by se jedo edl plikovt jevy reálého svět NI Lobčevskij

7 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Mtie Nehť T je těleso Obdélíkovo tblk prvků z T sestveýh do m řádků slopů zýváme mtii typ m d tělesem T Je-li m hovoříme o čtverové mtii -tého řád Mtie přiřzje kždé dvojii i k i m k prvek z T který ozčjeme ik zýváme prvkem mtie v i-tém řádk k-tém slopi Mtii zpisjeme m m m ebo zkráeě i m ik k pokd je z tet zámo m píšeme poze ik ritmetiký vektor i i i se zývá i-tý řádek ritmetiký vektor k k mk k-tý slope mtie Digoál digoálí mtie Nehť ik je mtie typ m ritmetiký vektor rr kde r mi m se zývá (hlví) digoál mtie Prvky Mtie ii i r se zývjí digoálí prvky ik která má mimo hlví digoál smé tj ik pro i k se zývá digoálí Jedotková mtie Jedotkovo mtii -tého řád zýváme digoálí mtii E e ik -tého řád pro íž pltí e pro všeh i (Jedotková mtie stpě je čtverová mtie ii e ik E stpě mjíí v hlví digoále všde prvek všde jide prvek ) Trspoová mtie T Trspoová mtie k mtii ik typ m je mtie b typ m ktero pltí ik bik i m k (Trspoovo mtii mtie tk že vzájemě vyměíme řádky slope v mtii ) Příkld Určeme trspoové mtie k mtiím ik pro T dosteme z T T wwwmtemtikwebzz

8 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Mtie symetriká tisymetriká Mtie se zývá symetriká (tisymetriká) jestliže pltí Trojúhelíková mtie T zobeěá: právě když mtie typ m ik má poze elové řádky b jso-li vedoí prvky tkové žei r pk k s ik rs redková: právě když je zobeěé trojúhelíková mtie typ m kždý vedoí prvek je rove b d kždým vedoím prvkem jso ve slopi poze Čtverové mtie: reglárí siglárí Čtverovo mtii -tého řád zveme reglárí jestliže hod čtverovo mtii -tého řád zveme siglárí jestliže hod (Reglárí mtií zýváme čtverovo mtii -tého řád jejíž hodost je rov V opčém přípdě mlvíme o siglárí mtii) Mtie je reglárí je-li ermit K reglárí mtii eistje iverzí mtie Řádkový prostor Řádkovým prostorem mtie rozmíme podprostor vektorového prostor V (T ) geerový všemi řádky mtie Hodost mtie Hodostí mtie ik typ m T zýváme dimezi jejího řádkového prostor Elemetárí úprvy Elemetárí řádkové (slopové) úprvy: změ pořdí řádků (resp slopů) mtie b hrzeí řádk (resp slope) mtie jeho α-ásobkem kde T hrzeí řádk (resp slope) mtie jeho sočtem s α-ásobkem T jiého řádk mtie d vyeháí řádk (resp slope) který je lieárí kombií osttíh řádků (resp slopů) Dvě mtie jso ekvivletí právě když lze jed z drhé získt koečým počtem elemetáríh úprv řádků Příkld Určeme hodost mtie ik wwwmtemtikwebzz

9 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Pomoí elemetáríh řádkovýh slopovýh úprv převedeme mtii ekvivletí zobeěo trojúhelíkovo mtii: Hodost mtie je Rovost mti Mtie ik typ m b ik typ s r se sobě rovjí právě když pltí: m = r = s ik ik b pro všeh k m i Sočet mti Nehť jso dáy mtie ik b ik téhož typ m d týmž tělesem T Sočtem mti zýváme mtii ik C typ m defiovo předpisem k m i b ik ik ik Píšeme C Pltí: b C C ) ( ) ( d T T T e ik kde ik je opčý prvek k ik v tělese T je mtie opčá k mtii tj pltí (Z be plye že moži mti dého typ (m) d tělesem T tvoří komttiví grp) Příkld Sečtěme mtie

10 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz 9 α-ásobek mtie Nehť ik je mtie typ m d tělesem T Sočiem prvků T mtie zýváme mtii ik C typ m defiovo předpisem k m i ik ik Píšeme C Příkld 9 Určeme mtii D ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( D Příkld Vypočítejme mtii X z rovie X Rovie je ve tvr X bdeme ji řešit vyásobeím obo str rovie iverzí mtií zlev: X tkže X Určíme tedy mtii : 9 9 X Zkošk: X 9

11 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Soči mti Nehť je dá mtie ik typ m mtie b ik typ p obě d týmž tělesem T Sočiem mti (v tomto pořdí!) zýváme mtii C typ m p defiovo předpisem ik i b k ibk ibk ijb jk i m k p Píšeme C (Podmík pro typy mti při ásobeí si můžeme zpmtovt pomoí formálího vzth (m)(p) = (mp))!!! Násobeí mti eí komttiví!!! Příkld Určeme soči mti C j ik kde ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9 tedy 9 Záměé mtie Jso mtie pro které pltí Frobeiov vět sostv rovi je řešitelá právě tehdy když hodost mtie sostvy * * * je rov hodosti mtie rozšířeé r * * * * * * * wwwmtemtikwebzz

12 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz djgové mtie Příkld Určeme djgovo mtii dj k mtii djgovo mtii dj vypočítáme tk že kždý prvek mtie hrdíme jeho lgebrikým doplňkem tkto získo mtii trspojeme: T T dj Iverzí mtie ďte čtverové reglárí mtie stpě Řekeme že je iverzí mtie k mtii ebo že je iverzí mtií k mtii jestliže E kde E je jedotková mtie Příkld Určeme iverzí mtii - k mtii

13 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Příkld Určeme iverzí mtii - k mtii Řešeí Zjistíme ermit dé mtie mtii djgovo Je-li ermit elový pltí vzth dj vypočteme sdo pomoí Srrsov prvidl: výpočet dj je vede v předhozím příkldě proto Řešeí Pomoí jedotkové mtie: 9 Zkošk správosti lze provést ověřeím pltosti vzth E kde E je jedotková mtie

14 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Příkld Řešme sostv rovi Jedá se o sostv tří rovi o třeh ezámýh přičemž ermit mtie sostvy tkže sostv má právě jedo řešeí Řešeí Úprvo rozšířeé mtie sostvy (Gssov elimičí metod): Zov jsme se přesvědčili že sostv je řešitelá eboť ' h h (Frobeiov vět; ' je mtie rozšířeá) h ( počet ezámýh) tkže řešeí je právě jedo Z posledí prveé rovie vidíme že tkže Podobě Řešeí Užitím Crmerov prvidl: i i kde mtie i vzike z hrzeím i-tého slope prvými strmi sostvy Tkže

15 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Řešeí Pomoí iverzí mtie k mtii sostvy : Do sostv lze přepst ve tvr rovie: Řešeí této rovie rčíme tk že vyásobíme zlev obě stry rovie mtií iverzí k mtii Zámým způsobem (iverzí mtie) zjistíme že Proto po doszeí do rovie: Odsd vidíme že Pmtjme: Mtemtik je je tehdy moým ástrojem když spol s í se zvádí ěo ového když vůbe do hlobky vímá jk fyzik tk i mtemtik když žívá právě ty metody které jso pro dý přípd té Zkoší-li bezmyšlekovitě plikovt mtemtiký prát sží-li se kompezovt edosttek pohopeí podstty věi mtemtikými formlemi pk má stejě mlo prvděpodobost že se dobere výsledk jko má dítě zčíjíí mlvit že píše báseň N Krylov

16 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Permte ermity jejih žití Pořdí prvků ď přirozeé číslo Pořdím prvků rozmíme kždo spořádo -tii i i i prvků kde se kždý z prvků vyskytje právě jedo Iverze v pořdí Iverzí v pořdí i i i rozmíme kždo dvojii čísel i r is tkovo že r s zároveň i (tj větší číslo se v pořdí vyskytje před meším číslem) r i s Permte Permtí možiy rozmíme kždo bijeki možiy Permtí zpisjeme pomoí mtie typ tvr i i i j j j ve které prví řádek zýváme pořdím vzorů drhý řádek pořdím obrzů pro kždé je ( i ) j Moži všeh permtí možiy zčíme S Iverzí zobrzeí k permti zýváme iverzí permtí k permti Říkáme že permte je v zákldím tvr jestliže pořdí vzorů je Iverzí permte Iverzí permti vytvoříme výměo řádků Zméko permte π km Zmékem permte rozmíme elé číslo kde k je počet všeh iverzí v pořdí vzorů m počet všeh iverzí v pořdí obrzů Zméko permte zčíme sig Je-li sig řekeme že permte je sdá pokd sig je permte lihá Příkld Určeme zméko permte Můžeme postpovt dvěm způsoby ď rčíme počet iverzí v pořdí vzorů v pořdí obrzů () ebo ejprve zpíšeme permti v zákldím tvr (b) Tedy ) iverze v pořdí vzorů: iverze v pořdí obrzů Zméko permte je b) permte zpsá v zákldím tvr je Iverzí v pořdí vzorů je tedy v pořdí obrzů proto zméko permte je wwwmtemtikwebzz

17 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Determit mtie ď ij rozmíme prvek (číslo) Jso-li čtverová mtie -tého řád d tělesem T Determitem mtie z těles T pro který pltí: sig s s s S s s s řádkové (resp slopové) vektory mtie píšeme místo též Jik defiováo: Determitem -tého stpě mtie zýváme číslo r kk k kde se sčítá přes všehy permte k k k čísel kde r dává počet iverzí v permti k k k Determit mtie je sočet sočiů; v kždém soči se vyskytje z kždého řádk i slope právě jede prvek N drhé strě kždý prvek řádk či slope se vyskytje spoň v jedom sčíti Determit trojúhelíkové mtie je rove soči prvků digoále Vzike-li mtie ze čtverové mtie -tého řád výměo dvo řádků resp slopů potom Pltí = T Vět o sočt ermitů: i i bi i i bi Vět o vytýkáí kostty ze řádk: i i i i i i ď čtverová mtie stpě Jestliže mtie vzike z mtie vyásobeím libovolého řádk prvkem T pk Vět o soči dvo ermitů Hodot ermit se ezměí jestliže k dém řádk resp slopi přičteme libovolo lieárí kombii osttíh řádků resp slopů Determit reglárí (siglárí) mtie je vždy růzý od ly (rove le) wwwmtemtikwebzz

18 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Příkld Spočtěme ermit pátého stpě 9 9 elemetárí trsforme slopů mtie (Lpleeův) rozvoj podle prvího řádk Mior (sbermit) Miorem (sbermitem) M ij z čtverové mtie příslšým prvk ij rozmíme ermit mtie která vzike z mtie vyeháím i-tého řádk j-tého slope mtie typ ď ij m Kždo mtii která vzike z vyeháím ěkterýh (libovolýh) řádků ěkterýh slopů zýváme dílčí mtií mtie Determit kždé čtverové dílčí mtie zýváme sbermitem mtie Je-li čtverová mtie stpě pk vyeháím libovolýh k řádků k libovolýh k slopů z mtie dosteme dílčí čtverovo mtii stpě k Determit kždé tkové dílčí mtie zýváme sbermitem mtie stpě k Sbermit stpě vziklý vyeháím i-tého řádk j-tého slope ozčíme lgebrikým doplňkem prvk ij Crmerovo prvidlo M Prvek ij ij i j ij M zýváme Je-li mtie reglárí pk rozšířeá mtie má právě jedo řešeí jež se vypočítá i i kde mtie vzike z mtie hrzeím i-tého slope prvými strmi i wwwmtemtikwebzz

19 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Příkld Pomoí Crmerov prvidl řešme sostv ; Zkošk: P L P L P L P L P L P L P L P L

20 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Vektorový prostor Vektorový prostor Nehť T je těleso V moži Uspořádo trojii V kde + je vitří opere V (tj zobrzeí V V V ) vější opere V d T (tj zobrzeí T V V ) zveme vektorovým prostorem d tělesem T jestliže: V je komttiví grp b vější opere splňje tyto podmíky: T bv : ( b) b T V : ( ) T V : ( ) ( ) V : ( je jedotkový prvek z T) Ve vektorovém prostor V T pltí: V : ( je lový sklár) b T : d V : Nejjedodšším příkldem vektorového prostor je tzv triviálí ebo lový vektorový prostor skládjíí se poze z lového vektor Příkld 9 Příkldy vektorovýh prostorů Těleso T spol s operemi sčítáí ásobeí defiovými T je vektorový prostor d T Speiálě těleso reálýh čísel je vektorový prostor d R (reálý vektorový prostor) Moži P všeh kldýh reálýh čísel spol s operemi kde r v v r v P r R je reálý vektorový prostor N možiě T všeh spořádýh -ti prvků z T defijeme opere b b b b b b r r r r Moži T je pk vektorovým prostorem d T který zýváme ritmetikým vektorovým prostorem d T Vektorový podprostor Nehť W je eprázdá podmoži vektorového prostor V Uspořádo trojii W zveme (vektorovým) podprostorem prostor V T jestliže pltí: bw : bw b T W : W Průik libovolého eprázdého systém podprostorů vektorového prostor V je opět podprostorem prostor V wwwmtemtikwebzz 9

21 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Lieárí obl DefI Nehť jso vektory z vektorového prostor V (T ) Moži M ; T zýváme podprostorem (lieárím oblem) geerovým vektory zčíme O možiě říkáme že geerje moži M ebo že je to moži geerátorů podprostor M DefII ď M podmoži vektorového prostor V Průik všeh podprostorů prostor V obshjííh moži M zýváme lieárím oblem možiy M zčíme M ď M podmoži vektorového prostor V Pk pltí: je-li M je M b je-li M pk i M i Úprvy geerátorů Nehť M je moži všeh lieáríh kombií r i i kde jso vektory z vektorového prostor V T M Provedeme-li skpi vektorů i ěktero z ásledjííh změ dosteme ovo skpi vektorů která geerje stejý podprostor M : změ pořdí vektorů b hrzeí libovolého vektor z M jeho α-ásobkem kde T hrzeí libovolého vektor z M jeho sočtem s lieárí kombií osttíh vektorů z M d vyeháí vektor který je lieárí kombií osttíh vektorů e přidáí vektor který je lieárí kombií vektorů z M Steiitzov vět Nehť vektory V Nehť vektory b b bk z V T jso lieárě ezávislé Pk pltí: k b eistje k vektorů i z které spol s vektory b b bk geerjí V T geerjí vektorový prostor T Koečěrozměrý vektorový prostor Jestliže eistjí vektory V( T) koečěrozměrý áze Nehť (T ) vektorového prostor V (T ) jestliže pltí: jso lieárě ezávislé b V( ) tj geerjí V (T ) k tkové že V T) ( V je koečěrozměrý prostor Podmoži V( ) T T je teto prostor zveme bází wwwmtemtikwebzz

22 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Dimeze Nehť V (T ) je koečěrozměrý vektorový prostor Dimezí elového prostor V (T ) zýváme počet prvků ěkteré jeho báze Dimeze lového vektorového prostor je Dimeze ekoečěrozměrého vektorového prostor je Dimezi vektorového prostor V (T) zčíme dimv ( T) Sořdie vektor vzhledem k bázi Ozčme skpi vektorů v tomto pořdí ehť je báze vektorového prostor V( T) V( T) Uspořádo -tii sklárů tkovo že pltí zýváme sořdiemi vektor vzhledem k bázi Píšeme Sočet podprostorů Nehť W V T Podprostor U W zýváme lieárím sočtem podprostorů U W b Nehť U W Potom lieárí sočet U W zýváme direktím sočtem podprostorů U W píšeme U W U W b b V T U jso podprostory vektorového prostor Nehť b k jso podprostory vektorového prostor Pk pltí: U W b b b k Nehť U W jso podprostory koečěrozměrého vektorového prostor V T Pk pltí: dim U dim W dim U W dim U W Příkld Rozhoděme zd moži W tvoří podprostor vektorového prostor y V R W V R Msíme ověřit podmíky vektorového podprostor W W y y y y y y W R tedy W etvoří podprostor vektorového prostor V W wwwmtemtikwebzz

23 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ wwwmtemtikwebzz Příkld Určeme bázi dimezi vektorového prostor geerového vektory 9 z ritmetikého vektorového prostor R Nejprve zjistíme zd vektory ejso lieárě ezávislé tj zd etvoří bázi dého vektorového prostor Řešíme tedy rovii ktero lze přepst sostv 9 Užitím Gssovy elimičí metody zjistíme že tto sostv je ekvivletí se sostvo která má zřejmě ekoečě moho řešeí závislýh prmetreh Moži všeh řešeí sostvy lze zpst př ve tvr R ; To zmeá že př pro je jedím z řešeí sostvy tkže Vektory jso tedy lieárě závislé bází dého vektorového prostor etvoří Podobě i vektory jso lieárě závislé eboť Vektory jso již lieárě ezávislé protože k k právě tehdy když k k Moži je tedy bází dého vektorového prostor jeho dimeze je rov Jio bázi téhož vektorového prostor rčíme jedodšším způsobem úprvo mtie 9 Řádky mtie jso lieárě ezávislé vektory které tvoří bázi dého vektorového prostor

24 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Eklidovské vektorové prostory Eklidovský vektorový prostor Vektorový prostor E d R zýváme eklidovským vektorovým prostorem jestliže eistje zobrzeí g : E E R tkové že pro libovolé vektory b E libovolé reálé číslo pltí: g b g b b g b g g b g g d g g Zobrzeí g zýváme sklárím sočiem Úmlv: Eklidovský vektorový prostor E se sklárím sočiem g bdeme v dlším tet zčit E g V eklidovském vektorovém prostor E g pltí: b ; g b b d (Shwrtzov erovost) b b (trojúhelíková erovost) Velikost vektorů jimi sevřeého úhl Nehť E g je eklidovský vektorový prostor b E Délko (velikostí ormo) vektor zýváme reálé číslo g Velikost úhl mezi vektory b defijeme tkto: g b os pro b b os pro ebo b Jestliže pltí os zýváme vektory b kolmými (ortogoálími) píšeme b Ortogoálí doplěk Nehť E g je eklidovský vektorový prostor M podmoži E Ortogoálím doplňkem možiy M zýváme moži M E; b M : b Vektory ortogoálí ortoormálí Nehť Vektory k jso vektory z eklidovského vektorového prostor g k zýváme ortogoálími jestliže i j E pro všeh i j Vektory k zýváme ortoormálí jestliže jso vzájem ortogoálí i i k wwwmtemtikwebzz

25 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Ortogoálí (ortoormálí) báze Nehť E g je -rozměrý eklidovský vektorový prostor jeho báze Jsoli vektory vzájem ortogoálí resp ortoormálí zýváme ortogoálí resp ortoormálí bází Příkld Nehť V je podprostor ritmetikého vektorového prostor že V Určeme: ortogoálí bázi ve V která eí ortoormálí b ortogoálí doplěk V v prostor R ortoormálí bázi ve V d ortoormálí bázi ve Vektory V R se sklárím sočiem tkový které geerjí vektorový prostor V jso zřejmě lieárě ezávislé tkže moži je bází tohoto podprostor Tto báze všk eí ortogoálí eboť byhom dostli ortogoálí bázi hrdíme př vektor vektorem w V tkovým že w Protože w V msí eistovt čísl R tková že w Pltí tedy tkže K rčeí vektor w stčí jít libovolé elové řešeí této rovie Proto zvolíme př Potom ; po doszeí 9 w Hledý vektor 9 Moži w je tedy ortogoálí bází prostor V která eí ortoormálí eboť př Jio ortogoálí bází prostor V která eí ' ortoormálí je moži b Ortogoálím doplňkem V podprostor V v prostor ortogoálíh vektory V R ; Tedy Pro kždý vektor V tedy msí pltit R je moži všeh vektorů z Tto sostv má ekoečě moho řešeí závislýh jedom prmetr Moži řešeí lze zpst příkld ve tvr R Tedy V R ; R wwwmtemtikwebzz

26 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Ortoormálí bázi vektorového prostor V získáme př z báze ' w' která je poze ortogoálí tk že z vektorů w' vytvoříme vektory jedotkové: w w Moži w w w je tedy ortoormálí bází vektorového prostor V d Vzhledem k tom že dimeze vektorového prostor R je rov dimeze jejího podprostor V je rov msí být dimeze podprostor V rov To zmeá že libovolý elový vektor z V tvoří bázi V Uvžjme př bázi Tto báze zřejmě eí ortoormálí eboť Ortoormálí bázi bde tvořit jedotkový vektor z V tedy vektor Ortoormálí bází prostor V je tedy moži Pmtjme: I kdyby byl ším údělem dlohý život bylo by té šetrě si rozdělit čs by stčil ezbyté záležitosti Jké šíleství čit se zbytečosti v tk velké čsové tísi v íž jsme See wwwmtemtikwebzz

27 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ Lieárí zobrzeí isomorfisms vektorovýh prostorů Lieárí zobrzeí Nehť V (T ) V '( T) jso vektorové prostory d týmž tělesem T Zobrzeí : V V' se zývá lieárí zobrzeí jestliže pro libovolé bv T pltí: b b (zobrzeí se zývá ditiví) b (zobrzeí je homogeí) Obrz lieárí kombie vektor z V je rove lieárí kombii jejih obrzů se stejými koefiiety Jádro obrz zobrzeí ρ Nehť : V T V' T je lieárí zobrzeí Moži V; jádro zobrzeí moži b V'; V : b ker o se zývá Im se zývá obrz zobrzeí ker je podprostor prostor V (T ) Im je podprostor prostor V '( T) Nehť : V T V' T je lieárí zobrzeí V je koečě rozměrý prostor Pk pltí: dimker dimim dim V Nehť : V T V' T je lieárí zobrzeí V je koečě rozměrý prostor Pk jso ásledjíí podmíky ekvivletí: ker o ) dim (Im ) dim V ) je prosté b) Tkto lieárí lgebr rozhodě ekočí kočí je má práe Požitá litertr i L: Lieárí lgebr Prh 99 i L: Lieárí lgebr v úloháh Prh 99 Kopeký M - Emovský P: Sbírk řešeýh příkldů z lgebry Olomo 99 Liebl P: Mtiová lgebr Prh 9 Novotá J - Trh M: lgebr teoretiká ritmetik (Lieárí lgebr) Prh 99 Novotá J - Trh M: lgebr teoretiká ritmetik (Zákldy lgebry) Prh 99 wwwmtemtikwebzz

28 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ OSH ELEMENTY LINEÁRNÍ LGERY Zákldí pojmy iárí rele R Zobrzeí iárí opere Grp Číselé těleso ritmetiký vektor Rovost dvo ritmetikýh vektorů Sočet dvo ritmetikýh vektorů α-ásobek Nlový ritmetiký vektor Lieárí kombie Lieárí závislost ezávislost vektorů Mtie Digoál digoálí mtie Jedotková mtie Trspoová mtie Mtie symetriká tisymetriká Trojúhelíková mtie Čtverové mtie: reglárí siglárí Řádkový prostor Hodost mtie Elemetárí úprvy Rovost mti Sočet mti α-ásobek mtie 9 Soči mti Záměé mtie Frobeiov vět djgové mtie Iverzí mtie Permte ermity jejih žití Pořdí prvků Iverze v pořdí Permte Iverzí permte Zméko permte π Determit mtie Mior (sbermit) Crmerovo prvidlo Vektorový prostor 9 Vektorový prostor 9 Vektorový podprostor 9 Lieárí obl Úprvy geerátorů Steiitzov vět Koečěrozměrý vektorový prostor wwwmtemtikwebzz

29 PŘEHLED DEFINIC POJMŮ áze Dimeze Sořdie vektor vzhledem k bázi Sočet podprostorů Eklidovské vektorové prostory Eklidovský vektorový prostor Velikost vektorů jimi sevřeého úhl Ortogoálí doplěk Vektory ortogoálí ortoormálí Ortogoálí (ortoormálí) báze Lieárí zobrzeí isomorfisms vektorovýh prostorů Lieárí zobrzeí Jádro obrz zobrzeí ρ Požitá litertr OSH wwwmtemtikwebzz

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků: ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů 6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0).

nazveme číselným vektorem. Čísla a Definice. Vektor, jehož všechny složky se rovnají nule, se nazývá nulový vektor o r = (0, 0, 0,, 0). ČÍSELNÉ VEKTORY Defce Uspořádou -tc čísel = (,,, ) zveme číselým vektoem Čísl,,, jsou složky ebol souřdce vektou Přozeé číslo zýváme ozměem ebo tké dmezí vektou Defce Vekto, jehož všechy složky se ovjí

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

8.3.1 Pojem limita posloupnosti

8.3.1 Pojem limita posloupnosti .3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku

, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku Cvičeí z ieárí agebry 4 Vít Vodrák Cvičeí č Determiat a vastosti determiatů Výpočet determiat djgovaá a iverzí matice Cramerovo pravido Determiat Defiice: Nechť je reáá čtvercová matice řád Čtvercovo matici,

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

ANALYTICKÁ GEOMETRIE Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema

4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema 4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou

Více

GEOMETRIE I. Pavel Burda

GEOMETRIE I. Pavel Burda GEOMETRIE I Pavel Burda Obsah Úvod... 4 1. Vektorové prostory... 5. Vektorové prostory se skalárím ásobeím... 9. Afií prostory... 19 4. Afií přímka ( A 1 )... 5 5. Afií rovia (A )... 6 6. Afií prostor

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie ATEATICKÝ ÚSTAV Slezsá iverzi N Rybíč, 746 0 v DENNÍ STUDIU Alyicá geomerie Tém : Afií rosor Defiice Bdiž dá erázdá moži A, veorový rosor V d omivím ělesem T chrerisiy l oečě zobrzeí - : A A V řiřzjící

Více

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů. Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12 Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení

právě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +

Více

Lineární zobrazení. 90 ve směru od z k x a symbolem h otočení kolem osy z o. 2 n

Lineární zobrazení. 90 ve směru od z k x a symbolem h otočení kolem osy z o. 2 n ieárí zbrzeí V prstru je dá krtézský systém suřdic Oyz Ozčme symblem f tčeí klem sy 9 ve směru d y k z symblem g tčeí klem sy y 9 ve směru d z k symblem h tčeí klem sy z ) Určete suřdice bdů f ( M ) (

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzt N Rybíčku, 746 0 Opv DENNÍ STUDIUM Alytcká geoetre Té 5.: Shodá zobrzeí Defce 5.. Zobrzeí f eukldovského prostoru E do eukldovského prostoru E se zývá shodé (zoetrcké),

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Content. 1. Úvodní opakování Mocnina a logaritmus. a R. n N n > 1

Content. 1. Úvodní opakování Mocnina a logaritmus. a R. n N n > 1 Cotet Úvodí opováí Moci logritmus Goiometricé fuce Zobrzeí jeho záldí vlstosti O možiě R 4 O možiě ompleích čísel 5 Oolí bodu (v R v C 6 Číselé poslouposti 6 Záldí vlstosti 6 Limit poslouposti 6 Aritmeti

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Obr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků).

Obr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků). Učebí text k předášce UFY8 Dvojvzková tererece teké vrtvě Dvojvzková tererece teké vrtvě Předpokládejme, vl o mpltudě dvou delektrk tk, že mpltud održeé vly bude o dexu lomu bude t (vz obr. DI-1). v protředí

Více

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x

a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo

Více