MOCNINY A ODMOCNINY Eva Zummerová

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MOCNINY A ODMOCNINY Eva Zummerová"

Transkript

1 MOCNINY A ODMOCNINY Eva Zummerová

2 . Mocniny s prirodzeným exponentom Zápis a n (čítame a na n-tú ), kde a R, n N a platí : a n = a.a...a n činiteľov sa nazýva n-tá mocnina čísla a. Číslo a sa nazýva základ mocniny a číslo n sa nazýva mocniteľ, alebo exponent. Platí teda : a = a, a = a. a, a = a. a. a, a = a. a. a. a, a = a. a. a. a. a, Príklad : Vypočítajte : ; ( ) ; ; ( ) ; ( ) ; 7 ; 0 ;. =... = 6 ( ) = ( ). ( ) = 9 =. = 9 ( ) = ( ). ( ). ( ) = 8 ( ) = ( ). ( ) = 7 = = 0 = = 0 = = 9 Priamo z definície mocniny pre ľubovoľné a R, n N vyplývajú pre počítanie s mocninami tieto pravidlá : n = 0 n = 0 napr. : a r. a s = a r + s. = (.).(...) = 7 = + (a r ) s = a r. s ( ) =.. =... = 6 =. (a.b) n = a n. b n (.a) =.a..a..a =...a.a.a =.a aa bb nn = aann bb (resp. (a : nn b)n = a n : b n ) = =. =. ak r > s, tak aarr = aarr ss aass 88 = =. = = 88

3 ak a < 0, tak a n je : o kladné, ak n je párne číslo, o záporné, ak n je nepárne číslo... Vypočítajte : a.) 8 : = c.). = e.) = b.) (.0) = d.) (0,) = f.). 8. =.. Zjednodušte : a.) x. x. x 9 = c.) (aa ). a. (aa ) 6 = e.) (aa ) (aa ) = b.) 6x. x 8 = d.) y : y 6 = f.) y : (y. y ) =.. Zjednodušte : a.) (a). (a ) = c.) [(y 6 ). (y 7 ) ] : (y ) = e.) [x. (a x ) ] : (x a) = b.) xx 7.xx 9 xx.xx 8 d.) (uu ).(vv ) (0uuvv ) = f.) mm 7.kk.(mm kk ).mm (mm kk ) =. Mocniny s celočíselným exponentom aa aa = Už vieme, že ak r > s, tak aarr aa.aa.aa aa.aa.aa.aa.aa = aa.aa.aa = aa.aa.aa.aa.aa aa ak by sme použili pravidlo aarr = aa ss aarr ss, tak aa aa spojením oboch vzťahov dostávame : aa aa ss = aarr ss. Ako by to bolo, keby r < s? Čomu sa rovná aa aa? = aa = = aa aa aa Zistili sme : Ak má mocnina záporný exponent, znamená to, že sa celá mocnina preklopí do menovateľa zlomku. Môžeme teda definovať mocninu s celočíselným exponentom : Pre každé reálne číslo a 0 a každé prirodzené číslo m platí : Ako je to s a 0? aa 0 = aa = aa 0 0 nie je definovaná! aa mm = aa mm aa = aa.aa.aa aa.aa.aa = aa.aa.aa aa.aa.aa =, teda a0 =, pre všetky a R, a 0.

4 A čo sa stane, ak máme mocninu so záporným exponentom v menovateli zlomku? Preklopí sa do čitateľa a exponent sa zmení na opačné číslo. Postupujeme presne podľa definície a potom upravíme zložený zlomok : aa = aa = =.aa = aa = aa. aa Mocniny so zápornými exponentami teda presúvame z čitateľa do menovateľa a naopak. Príklad : Vypočítajte bez použitia kalkulačky : ; ( ) ; ; ;. 9.. = = 6 ( ) = = = ( ) 6 6 = = = = 6 + ( 7) + = =. = 9? mocniny najprv musíme upraviť na rovnaký základ a :.. =. =. = ( ). ( ) 6.. =. 6 =. = 8.. Vypočítajte bez použitia kalkulačky : a.) 7 c.) e.). : g.) ( ). 8 b.) d.) 6 f.) h.) 8... Vypočítajte bez použitia kalkulačky: a.). 7 0 b.) ( ).( ) 6 ( ). c.) (. ) 0 (( ).) d.) Vypočítajte bez použitia kalkulačky. (Ak treba, upravte mocniny na rovnaký základ.) : a.) ( ). ( ). c.).. e.).6 9. g.)....6 b.) (.). (.) d.)9 6. f.) h.).. 9..

5 Príklad : Zjednodušte : [(xx ) yy ]. (xxyy ) ; aa 8 : aa 6 bb. bb cc cc (aa bb ) V oboch úlohách použijeme pravidlá pre počítanie s mocninami. Pri násobení mocnín s rovnakým základom exponenty spočítame, pri delení mocnín s rovnakým základom exponenty odpočítame. [(xx ) yy ]. (xxyy ) = [ xx 6 yy ]. xx yy 8 = 6 xx 8 yy. xx yy 8 = 6 xx 8 xx yy yy 8 = = 6xx 8+( ) yy +( 8) = 6xx yy aa 8 bb cc : aa 6 bb cc (aa bb ) = aa8 bb cc aa 9 aa 6 bb = cc aa bb 6 aa8 bb cc aa 6 bbaa = cc bb 6 = aa 8 bb cc : = cc bb aa8 bb cc : aa 9 bb cc = aa 8 9 bb ( ) cc ( ) = = aa bb cc.. Zjednodušte : a.) (. xx yy zz 8 ). (xx yy zz 6 ) b.) (0 aa 6 bb 7 ) (6aa 9 bb 0 ) c.) (mm nn ). mm nn d.) (xx. xx ).8xx 7 e.) [(xx yy ) ] f.) g.) aa aaaaaa aa cc bb bb bb cc bb 0. aa cc cc h.) : aabb bb aa cc.. Zjednodušte : a.).(aaaa ) aa bb (aa bb ) aa bb d.) aa bb cc 0 cc dd : aa bb cc dd b.) aa bb 7 aabb 6 aa bb aabb e.) aa bb 7 cc 0 aa aa bb cc bb cc aa bb 7 c.) xx yy xxxx (xx yy) xxyy f.) aa bb cc dd cc : aa cc bb dd. Zápis čísla v tvare a.0 n Niekedy potrebujeme zapísať veľmi veľké číslo (napr. hmotnosť Slnka či Zeme), alebo naopak veľmi malé číslo (napr. hmotnosť čiastočky prachu). V zápise sa potom vyskytuje veľa núl, ktoré spôsobujú ťažkosti pri čítaní čísla a zaberajú veľa miesta napr. 0, Preto také čísla výhodne zapisujeme pomocou súčinu s mocninou desiatky, v tvare a. 0 n, pričom n je celé

6 číslo. Potrebujeme preto ovládať mocniny desiatky. 0 0 = 0 = 0 0 = = 0, 0 0 = 00 0 = = = 0, = = = = 0, = = = = 0, = = = = 0, = = = = 0, Platí : ak je n kladné, tak 0 n je číslo, ktoré má za číslicou n núl (napr. 0 = ) Pri násobení n tou mocninou desiatky, kde n je kladné, posúvame desatinnú čiarku doprava o n miest (napr.,9. 0 = 9 000). ak je n záporné, tak 0 n je číslo, ktoré má n desatinných miest, vrátane číslice (napr. 0 9 = 0, ) Pri násobení n tou mocninou desiatky, kde n je záporné, posúvame desatinnú čiarku doľava o n miest (napr = 0, ). Pomocou mocnín desiatky vieme jednoduchšie zapísať napr. hmotnosť Zeme,98. 0 kg, hmotnosť Slnka.0 0 kg, hmotnosť prachovej čiastočky kg. Z definície mocniny s celočíselným exponentom vieme, že deliť mocninou desiatky znamená násobiť mocninou desiatky s opačným exponentom. Napríklad,6:0 =, = 0, Vypočítajte : a.). 0 = d.), = g.), = b.) = e.),80. 0 = h.) 0, = c.) 0, = f.). 0 - = i.) =.. Doplňte správnu mocninu desiatky : a.) 7, = 0, d.) 0,08 = 8. 0 g.) 600 =,6. 0 b.) 0, = 0,. 0 e.) 0,000 0 = h.) 0,07 = c.) 00 =,. 0 f.) 9 = 0, i.) = 0,. 0 Štandardne používame taký zápis čísla v tvare a. 0 n, že číslo a, ), n Z. Potom hovoríme, že číslo n je rád čísla a.0 n. Napr. 7 zapíšeme v tvare,7. 0, lebo,7, 0) a číslo 7 má rád. Číslo,6 má rád 0, pretože,6, 0) a teda ho zapíšeme ako,

7 .. Zapíšte čísla v tvare a.0 n, kde a, 0) : a.) d.) g.) 0,000 j. ) b.) 0 e.) 0, h.) 0,07 k.) 0, c.) 0, f.) 790 i.) l.) 0, Mocniny s racionálnym exponentom. Odmocniny Poznáme už mocninu s prirodzeným aj s celočíselným exponentom. Má zmysel uvažovať aj o mocnine s racionálnym exponentom? Čo by mohlo znamenať napríklad aa? Mocniny s racionálnym exponentom súvisia s odmocninami. Vieme, že odmocnina existuje len z nezáporného čísla a že platí : ak aa = bb, tak bb = aa ak aa = bb, tak bb = aa ak aa = bb, tak bb = aa Skúsme nájsť súvis medzi mocninou a odmocninou. Vieme, že a r. a s = a r + s. Ďalej vieme, že druhá odmocnina je opačná operácia k druhej mocnine, čiže aa = aa, tiež aa = aa. () Vzťah () si rozpíšeme : aa. aa = aa, teda : Ak by sme chceli nahradiť odmocninu exponentom (ale zatiaľ nevieme akým), tak zo vzťahu () dostávame : a. a x a. a a = a Ktoré dve rovnaké čísla musíme spočítať, aby sme dostali súčet? No predsa +. Odmocninu aa teda môžeme nahradiť mocninou aa. Vieme teda definovať : x x+ x = a = a Nech a je reálne nezáporné číslo (a RR 00 + ). Potom mocninou aa nazývame aa. Podobnou úvahou sa dopracujeme k definícii mocniny s racionálnym exponentom : Nech a RR + 00, n N. Potom mocninou aa nn nn nazývame aa. Nech a RR +, n N, m Z. Potom mocninou aa mm nn nn nazývame aa mm. Príklad : a.) Prepíšte mocninu na odmocninu: 7 ; xx ; zz. 6 b.) Prepíšte odmocninu na mocninu : aa, aa. 7

8 c.) Vypočítajte : 00, 8. Vieme, že aa mm nn a.) = xx 7 = xx 7 zz = zz b.) aa 6 aa = aa nn = aa mm. To využijeme vo všetkých úlohách. = = aa 6 = aa (zlomok môžeme vykrátiť ) c.) 00 = 00 = 0 8 = 8 = 6 = Pre počítanie s odmocninami platia rovnaké pravidlá ako pre počítanie s mocninami, len podmienky sa zmenili odmocniť vieme len nezáporné čísla... Zapíšte ako odmocninu: a.) 0 c.) e.) 8 g.) tt 8 b.) rr d.) xx 9 f.) yy 6 7 h.) mm 0.. Zapíšte ako mocninu : a.) bb 7 b.) xx 8 c.) xx d.) aa 6 6 f.) yy e.) bb 7 g.) zz 9 h.) cc Príklad : Zjednodušte : xx. xx ; xx. Výsledok zapíšte ako odmocninu. Keďže aj pre mocniny s racionálnym exponentom platia rovnaké pravidlá, ako pre počítanie s mocninami, najprv spočítame exponenty dvoch mocnín v zátvorke (mocniny majú rovnaký základ) a potom celý exponent vynásobíme číslom (umocníme zátvorku). Postupovať by sme mohli aj opačne najprv každý člen v zátvorke umocniť na a potom spočítať získané exponenty. xx. xx = xx + = xx 0+ = xx = xx = xx 8

9 xx = xx = xx = xx = xx 6 (Najprv zmeníme vnútornú odmocninu na mocninu a potom aj vonkajšiu. Použijeme pravidlo pre umocnenie mocniny.).. Zapíšte pomocou jednej mocniny : a.) aa. aa c.) zz zz b.) xx. xx d.) zz. zz 6 zz 8 e.) mm. mm f.) aa. aa g.) 6 xx. xx xx h.) aa. aa aa. aa.. Zapíšte pomocou jednej mocniny : a.) aa. aa. aa 6 c.) (xx ). xx e.) zz zz. zz 0 g.) xx b.) aa 7 7. aa d.) aa : aa xx. xx 8 f.) h.) xx. xx 8. xx 7 6 xx. xx 9 xx xx. xx 6. xx. Čiastočné odmocňovanie Čiastočné odmocňovanie používame, ak číslo nevieme úplne odmocniť, ale vieme aspoň zmenšiť číslo pod odmocninou. Odmocňované číslo si budeme rozkladať na súčin menších čísel. Pri odmocňovaní využijeme to, že aa = aa, prípadne že aa = aa. Príklad : Čiastočne odmocnite : 0, 6, 0. 0 =. =. =. =. (Číslo odmocniť nevieme, ale číslo áno, tak sme ho odmocnili. Výsledok zapíšeme v správnom tvare, odmocnina je na konci. Číslo pod odmocninou sa zmenšilo z 0 na.) 6 =. =... =. =. =. (Využili sme, že odmocnia a tretia mocnina sa navzájom zrušia a teda =.) 0 =.0 =.9.0 =.9.. =.. 9 =.. 9 =.. =. 9

10 (Využili sme, že vieme odmocniť číslo 9 (už sme ho nerozkladali na.) a že druhá mocnina a druhá odmocnina nad číslom sa navzájom zrušia.).. Čiastočne odmocnite : a.) 7 d.) 7 g.) 0 j.) 980 b.) 0 e.) 96 h.) 9 k.) 8 c.) 8 f.) 8 i.) 88 l.) 86.. Čiastočne odmocnite : a.) b.) c.) 8 d.) 6 e.) f.) 0 6. Usmernenie zlomkov Väčšina odmocnín sú iracionálne čísla. Ak sa odmocnina vyskytuje v menovateli zlomku a zlomok treba vyčísliť, museli by sme deliť viacciferným deliteľom. Preto sa usilujeme odmocninu z menovateľa zlomku odstrániť. Robíme to vhodným rozšírením zlomku. Takýto postup sa volá usmerňovanie zlomkov. Vieme, že každý zlomok (resp. každé číslo) môžeme vynásobiť číslom a jeho hodnota sa nezmení. Číslo vždy zapíšeme vo vhodnom tvare, podľa toho, akú odmocninu z menovateľa potrebujeme odstrániť. Budeme teda využívať, že = = = = 6 = 6 Príklad : Usmernite zlomky :,, 8. Každý zo zlomkov vynásobíme číslom vo vhodnom tvare závisiacom od odmocniny, ktorú chceme odstrániť. V prípade, že sa dá výsledný zlomok krátiť, vykrátime ho. =. =. =.. = 8 = 8 =. =. =. =.. = 8. = 8. = 8. =.. číslo, =. =. a dostaneme potom výsledok :. tu by sme mohli ešte čiastočne odmocniť =.. =. 0

11 6.. Usmernite zlomky : a.) c.) e.) 6 g.) i.) 7 b.) 6 d.) f.) h.) 6 j.)

12 Výsledky :. Mocniny s prirodzeným exponentom.. a.) 8; b.) 7 000; c.) ; d.) 0,06; e.) 6 ; f.)... a.) x 6 ; b.) 0x ; c.) a ; d.) y 6 ; e.) a ; f.) y... a.) a 8 ; b.) x ; c.) ; d.) u v ; e.) x 6 a ; f.) k. 8. Mocniny s celočíselným exponentom.. a.) ; b.) 8; c.) 6 ; d.) ; e.) ; f.) ; g.) 9; h.). 9.. a.) ; b.) 9; c.) 8; d.) a.) ; b.) 7. ; c.) 0; d.) ; e.). ; f.) 78 = 80 8 ; g.) 7; h.)... a.) 0xxyy zz ; b.) aa 7 bb ; c.) mm nn ; d.) xx ; e.) xx yy 6 ; f.) aa bb ; g.) aa bb cc ; h.) aa 0 bb 7 cc... a.) 6aa bb ; b.) 0aa bb ; c.) xxyy ; d.) aa bb 6 cc dd ; e.) aa bb cc 60 ; f.).. Zápis čísla v tvare a.0 n.. a.) 0000; b.) 7 600; c.) 0 000; d.) ; e.) 80 00; f.) 0,0; g.) 0, ; h.) 0, 00; i.) 0, = 0, a.) ; b.) 6; c.) ; d.) ; e.) 7; f.) 9; g.) ; h.) ; i.) 8... a.) 7,8. 0 d.), g.). 0 j. ),. 0 0 b.),0. 0 e.). 0 h.),7. 0 k.) 9. 0 c.) 6,. 0 f.) 7,9. 0 i.),. 0 l.). 0 7

13 . Mocniny s racionálnym exponentom. Odmocniny.. a.) 0 b.) rr c.) 8 9 d.) xx e.) 8 7 f.) yy 6 8 g.) tt 0 h.) mm = tt = mm.. a.) bb 7 c.) xx e.) bb 7 g.) zz b.) xx 8 = xx d.) aa 6 = aa f.) yy 6 h.) cc 9.. a.) aa 7 0 c.) zz 6 e.) mm 6 g.) xx 7 0 b.) aa d.) zz 0 = zz f.) aa h.).. a.) aa 7 c.) xx 7 e.) zz 0 = zz g.) xx = xx 8 b.) aa 0 d.) aa 7 8 f.) h.) xx 8 = xx 9. Čiastočné odmocňovanie.. a.). d.) 6. g.). 0 j.). b.). 0 e.). 6 h.) 8. k.) 8. 6 c.). f.) 8. i.). l.) a.). b.). c.). d.). 7 e.) 0. f.). 6. Usmernenie zlomkov 6.. aa. ). cc. ). ee. ). gg. ). ii. ). 7 bb. ) 6 dd. ). ff. ) hh. ). 6 j.). 7

14 ZDROJE : Viera Kolbaská - Jarmila Janisková a kol., Matematika pre stredné odborné školy,. časť, SPN, 00,. vydanie Jaroslav Barták Štefan Bojtár Jiří Kepka, Matematika pre dvojročné a trojročné učebné odbory SOU, SPN, MocninySCelociselnymexponentomVyrazySMocninami.pdf MocninySRacionalnymExponentomVyrazySMocninamiAOdmocninami.pdf

Mocniny s celočíselným exponentom, výrazy s mocninami

Mocniny s celočíselným exponentom, výrazy s mocninami KrAv07-T List Mocniny s celočíselným exponentom, výrazy s mocninami RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Máš nejaké obľúbené miesto, kam rád chodievaš na výlety? Ž: Áno, sú to Vysoké Tatry. U: Je to aj moje obľúbené

Více

Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar

Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar Tomáš Szaniszlo 2010-03-24 (v.2) 1 Príklad (.(,)). (.). (,) Prevedenie z pointfree do pointwise tvaru výrazu (.(,)). (.). (,). (.(,)). (.). (,) Teraz je funkcia

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Aritmetické operácie v rôznych číselných sústavách. Ľudmila MACEKOVÁ, KEMT-FEI-TUKE, sep. 2017

Aritmetické operácie v rôznych číselných sústavách. Ľudmila MACEKOVÁ, KEMT-FEI-TUKE, sep. 2017 111010110 Aritmetické operácie v rôznych číselných +110111001 sústavách 1110001111 Ľudmila MACEKOVÁ, KEMT-FEI-TUKE, sep. 2017 Plán Prevody medzi ČS Zobrazenie informácií v ČS: - priamy kód - inverzný kód

Více

Obsah. Reprezentácia údajov v počítači. Digitalizácia číselnej informácie. Digitalizácia znakov a textovej informácie.

Obsah. Reprezentácia údajov v počítači. Digitalizácia číselnej informácie. Digitalizácia znakov a textovej informácie. Obsah Reprezentácia údajov v počítači. Digitalizácia číselnej informácie. Digitalizácia znakov a textovej informácie. Reprezentácia údajov v počítači. Počítač je stroj, ktorý na kódovanie údajov (čísla,

Více

Začínam so zadaním z NEPOUŽÍVAME ROZSAH POKIAĽ HO MUSÍME PRESKOČIŤ

Začínam so zadaním z NEPOUŽÍVAME ROZSAH POKIAĽ HO MUSÍME PRESKOČIŤ Chcela som urobiť rozumný tútoriál, netuším či to niekomu pomože, pevne verím že aspoň jeden taký sa nájde pretože keď tomu rozumiem ja tak musí aj total magor tomu rozumieť! Začínam so zadaním z 9.11.2010

Více

PODPROGRAMY. Vyčlenenie podprogramu a jeho pomenovanie robíme v deklarácii programu a aktiváciu vykonáme volaním podprogramu.

PODPROGRAMY. Vyčlenenie podprogramu a jeho pomenovanie robíme v deklarácii programu a aktiváciu vykonáme volaním podprogramu. PODPROGRAMY Podprogram je relatívne samostatný čiastočný algoritmus (čiže časť programu, ktorý má vlastnosti malého programu a hlavný program ho môže volať) Spravidla ide o postup, ktorý bude v programe

Více

NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 9, 1.časť

NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 9, 1.časť Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 9, 1.časť Stupeň vzdelávania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika a práca s informáciami

Více

KrAv02-T List 1. Polynómy. RNDr. Jana Krajčiová, PhD.

KrAv02-T List 1. Polynómy. RNDr. Jana Krajčiová, PhD. KrAv02-T List 1 Polynómy RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Povieme si niečo o polynómoch, resp. mnohočlenoch. Ž: A je medzi polynómom a mnohočlenom nejaký rozdiel? U: Práveže žiaden. Slovo polynóm je gréckeho

Více

ČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1

ČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1 ČÍSELNÉ RADY Budeme sa zaoberať výrazmi, ktoré obsahujú nekonečne veľa sčítancov. Takéto výrazy budeme nazývať nekonečné rady. V nasledujúcom príklade je ilustrované, ako môže takýto výraz vzniknúť. Príklad.

Více

Nikdy nie je na škodu vedieť urobiť si najprv s mínuskami aspoň trochu poriadok. Ak viete vypočítať nasledujúce príklady, nebude to pre vás ťažké.

Nikdy nie je na škodu vedieť urobiť si najprv s mínuskami aspoň trochu poriadok. Ak viete vypočítať nasledujúce príklady, nebude to pre vás ťažké. 12. téma: Kalkulačka I. Troška teórie a troška príkladov Pravdepodobne už teraz máte pocit, že sa bez kalkulačky nezaobídete. Priznajte sa, ste si istý, že sa na ňu skutočne môžete spoľahnúť. Viete ju

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Starogrécky filozof Demokritos ( pred n.l) Látky sú zložené z veľmi malých, ďalej nerozdeliteľných častíc - atómov

Starogrécky filozof Demokritos ( pred n.l) Látky sú zložené z veľmi malých, ďalej nerozdeliteľných častíc - atómov STAVBA ATÓMU Starogrécky filozof Demokritos (450-420 pred n.l) Látky sú zložené z veľmi malých, ďalej nerozdeliteľných častíc - atómov Starogrécky filozof Aristoteles (384-322 pred n.l) Látky možno neobmedzene

Více

Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3

Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3 Limita funkcie y 2 2 1 1 2 1 y 2 2 1 lim 3 1 1 Čo rozumieme pod blížiť sa? Porovnanie funkcií y 2 2 1 1 y 2 1 2 2 1 lim 3 1 1 1-1+ Limita funkcie lim f b a Ak ku každému číslu, eistuje také okolie bodu

Více

TC Obsahový štandard - téma Výkonový štandard - výstup

TC Obsahový štandard - téma Výkonový štandard - výstup Mocniny a odmocniny, zápis veľkých čísel Finančná matemati ka UČEBNÉ OSNOVY DEVIATY ROČNÍK TC Obsahový štandard - téma Výkonový štandard - výstup Vklad, úrok, úroková miera Dane zvládnuť základné pojmy

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Variace. Mocniny a odmocniny

Variace. Mocniny a odmocniny Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

1. Otec, mama a dcéra majú spolu 69 rokov. Koľko rokov budú mať spolu o 7 rokov? a) 76 b) 90 c) 83 d) 69

1. Otec, mama a dcéra majú spolu 69 rokov. Koľko rokov budú mať spolu o 7 rokov? a) 76 b) 90 c) 83 d) 69 Typové úlohy z matematiky - PS EGJT LM - 8-ročné bilingválne štúdium Bez použitia kalkulačky 1. Otec, mama a dcéra majú spolu 69 rokov. Koľko rokov budú mať spolu o 7 rokov? a) 76 b) 90 c) 83 d) 69 2.

Více

1. Gigabajty si hneď v prvom kroku premeníme na gigabity a postupne premieňame na bity.

1. Gigabajty si hneď v prvom kroku premeníme na gigabity a postupne premieňame na bity. 1 PRÍKLADY V INFORMATIKE: Skratky 1 : b bit B bajt kb kilobit kb kilobajt Mb megabit MB megabajt Gb gigabit GB gigabajt Tb terabit TB terabajt Tabuľka č. 1 1 B = 8 b 1 kb = 1 024 b = (1 024 : 8) B = 128

Více

1. Základné mocniny Odmocnina Tretia mocnina Tretia odmocnina a

1. Základné mocniny Odmocnina Tretia mocnina Tretia odmocnina a 1. Základné mocniny.... Odmocnina... 7. Tretia mocnina... 10. Tretia odmocnina... 1 a a 5. Umocňovanie súčinu a podielu použitím vzorcov: a b a b, b b... 16 a b a b... 1 6. Odmocňovanie súčinu použitím

Více

Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu. NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 6, 1.časť

Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu. NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 6, 1.časť Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 6, 1.časť er Mesiac Týždeň Stupeň vzdelania: Vzdelávacia oblasť: Predmet: Ročník: 6. ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie

Více

Rozklad mnohočlenov na súčin

Rozklad mnohočlenov na súčin KrAv05-T List 1 Rozklad mnohočlenov na súčin RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Teraz si ukážeme, ako môžeme rozložiť mnohočlen na súčin mnohočlenov čo najnižšieho stupňa. Napr. 3x 3xy 3xx y), alebo 3x y )

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat

Více

Základy algoritmizácie a programovania

Základy algoritmizácie a programovania Základy algoritmizácie a programovania Pojem algoritmu Algoritmus základný elementárny pojem informatiky, je prepis, návod, realizáciou ktorého získame zo zadaných vstupných údajov požadované výsledky.

Více

MANUÁL K PROGRAMU MATEMATIKA 2.0 STIAHNUTIE A INŠTALÁCIA PROGRAMU:

MANUÁL K PROGRAMU MATEMATIKA 2.0 STIAHNUTIE A INŠTALÁCIA PROGRAMU: MANUÁL K PROGRAMU MATEMATIKA 2.0 Program na precvičovanie učiva z matematiky na nájdeme na stránke http://www.slunecnice.cz/sw/4321-matematika/. STIAHNUTIE A INŠTALÁCIA PROGRAMU: Po kliknutí na Stáhnout

Více

Mgr. Stanislav Fila, psychológ CPPPaP Banská Bystrica Centrum pedagogicko-psychologického poradenstva a prevencie (bývalá KPPP) Banská Bystrica

Mgr. Stanislav Fila, psychológ CPPPaP Banská Bystrica Centrum pedagogicko-psychologického poradenstva a prevencie (bývalá KPPP) Banská Bystrica Návod 2. Prevod tlačeného textu na písané písmo fontu Abeceda.ttf. 24 9. 2016 Prevod textu s obrázkami. Príklad. Mgr. Stanislav Fila, psychológ CPPPaP Banská Bystrica Centrum pedagogicko-psychologického

Více

Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia

Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia V tomto tete sa budeme zaoberat najskôr grafickým znázornením riešenia sústav

Více

7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny

7. Relácia ekvivalencie a rozklad množiny 7 Relácia ekvivalencie a rozklad množiny V tejto časti sa budeme venovať špeciálnemu typu binárnych relácií na množine - reláciám ekvivalencie a ich súvisu s rozkladom množiny Relácia ekvivalencie na množine

Více

Súmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, "Súmernosti" 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná

Súmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, Súmernosti 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná Mgr. Zuzana Blašková, "úmernosti" 7.ročník ZŠ 1 úmernosti 7.ročník ZŠ Mgr. Zuzana Blašková 2 ZŠ taničná 13, Košice Osová súmernosť určenie základné rysovanie vlastnosti úlohy s riešeniami osovo súmerné

Více

Matematika test. Cesta trvala hodín a minút.

Matematika test. Cesta trvala hodín a minút. GJH-Prima Test-16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Súčet Matematika test Na tento papier sa nepodpisuj. Na vypracovanie tejto skúšky máš čas 20 minút. Test obsahuje 18 úloh a má 4 strany. Úlohy

Více

VECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4

VECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4 Príklad 1 Naučte korytnačku príkaz čelenka. Porozmýšľajte nad využitím príkazu plnytrojuhol60: viem plnytrojuhol60 opakuj 3 [do 60 vp 120 Riešenie: definujeme ďalšie príkazy na kreslenie trojuholníka líšiace

Více

a ar - --... Zlomek umocnime tak, že umocnime zvlášt citatele ijmenovatele.

a ar - --... Zlomek umocnime tak, že umocnime zvlášt citatele ijmenovatele. 30 4 Mocniny a odmocniny 41 Mocninv s piozeným exponentem S mocninami s piozeným exponentem jste se již sesnámili na základní škole V této kapitole si zopakujeme definici a základní pavidla po pocítání

Více

KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SÚČINU

KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SÚČINU KOMBINATORIKA MODERNÉ VZDELÁVANIE PRE VEDOMOSTNÚ SPOLOČNOSŤ/ PROJEKT JE SPOLUFINANCOVANÝ ZO ZDROJOV EÚ KÓD ITMS PROJEKTU: 26110130645 UČIŤ MODERNE, INOVATÍVNE, KREATÍVNE ZNAMENÁ OTVÁRAŤ BRÁNU DO SVETA

Více

7.1 Návrhové zobrazenie dotazu

7.1 Návrhové zobrazenie dotazu 7.1 Návrhové zobrazenie dotazu Ovládanie návrhového zobrazenia, ktoré je jedným z možností zobrazenia dotazu, je nevyhnutné pri tvorbe zložitejších dotazov, pretože v ňom môžeme definovať akýkoľvek dotaz

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

NEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P

NEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P NEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P 1. VLASTNÉ POLOVODIČE Vlastnými polovodičmi nazývame polovodiče chemicky čisté, bez prímesí iných prvkov. V súčasnosti je najpoužívanejším polovodičovým

Více

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory Určeno jako studijní materiál pro třídy učebních oborů. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie) Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie) Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Cvičenie 1 Beáta Stehlíková, FMFI UK Bratislava www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Príklad 1: Zhody

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

11. téma: Zaokrúhľovanie, práca so zaokrúhlenými číslami

11. téma: Zaokrúhľovanie, práca so zaokrúhlenými číslami 11. téma: Zaokrúhľovanie, práca so zaokrúhlenými číslami I. Úlohy na úvod 1. a) Zaokrúhlite nadol, b) zaokrúhlite nahor, c) zaokrúhlite číslo 5,47 na desatiny, číslo 483,203 na jednotky, číslo 2 996 789

Více

Šifrovanie, kódovanie, bit a byte, digitálne informácie. Kódovanie informácií v PC binárna (dvojková) číselná sústava

Šifrovanie, kódovanie, bit a byte, digitálne informácie. Kódovanie informácií v PC binárna (dvojková) číselná sústava Šifrovanie, kódovanie, bit a byte, digitálne informácie Šifry šifrovanie sa používa všade tam, kde treba utajiť obsah komunikácie. Existuje veľmi veľa metód na tajné šifrovanie (a protimetód na dešifrovanie).

Více

Riešené úlohy Testovania 9/ 2011

Riešené úlohy Testovania 9/ 2011 Riešené úlohy Testovania 9/ 2011 01. Nájdite číslo, ktoré po vydelení číslom 12 dáva podiel 57 a zvyšok 11. 57x12=684 684+11=695 Skúška: 695:12=57 95 11 01. 6 9 5 02. V sude je 1,5 hektolitra dažďovej

Více

v y d á v a m m e t o d i c k é u s m e r n e n i e:

v y d á v a m m e t o d i c k é u s m e r n e n i e: č. 6226/2013 V Bratislave dňa 7. augusta 2013 Metodické usmernenie k zmenám v povinnosti platiť školné v zmysle zákona č. 131/2002 Z.z. o vysokých školách a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení

Více

Návod na používanie súboru na vyhodnotenie testov všeobecnej pohybovej výkonnosti

Návod na používanie súboru na vyhodnotenie testov všeobecnej pohybovej výkonnosti Návod na používanie súboru na vyhodnotenie testov všeobecnej pohybovej výkonnosti Na overenie trénovanosti hráčov sa o.i. vykonávajú testy všeobecnej pohybovej výkonnosti. Z hľadiska vyhodnotenia je potrebné

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Všeobecne záväzné nariadenie Mesta Trenčianske Teplice č. x/2016 o používaní pyrotechnických výrobkov na území mesta Trenčianske Teplice

Všeobecne záväzné nariadenie Mesta Trenčianske Teplice č. x/2016 o používaní pyrotechnických výrobkov na území mesta Trenčianske Teplice Dôvodová správa S účinnosťou k 2.12.2015 došlo k zmene zákona č. 58/2014 Z. z. o výbušninách, výbušných predmetoch a munícii a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení neskorších predpisov, ktorý

Více

Matematika. VII. ročník

Matematika. VII. ročník Matematika VII. ročník Tematický výchovno-vzdelávací plán bol vypracovaný podľa učebných osnov Štátneho vzdelávacieho programu a upravený podľa Školského vzdelávacieho programu Štvorlístok. Schválené PK

Více

Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium. Adresovanie pamäte

Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium. Adresovanie pamäte Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium Pamäťový operand Adresovanie pamäte Priama nepriama a indexovaná adresa Práca s jednorozmerným poľom Praktické programovanie assemblerových funkcií Autor:

Více

Lomené algebraické výrazy

Lomené algebraické výrazy Variace 1 Lomené algebraické výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Lomené algebraické výrazy

Více

INFOMÁCIA O NAKLADANÍ S DROBNÝMI STAVEBNÝMI ODPADMI

INFOMÁCIA O NAKLADANÍ S DROBNÝMI STAVEBNÝMI ODPADMI INFOMÁCIA O NAKLADANÍ S DROBNÝMI STAVEBNÝMI ODPADMI Obec Zemné podľa 81 bod 7 písm. h) zákona č.79/2015 Z.z. o odpadoch a o zmene a doplnení niektorých zákonov (ďalej len zákon ) vydáva túto informáciu

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Diplomový projekt. Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline Matilda Drozdová

Diplomový projekt. Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline Matilda Drozdová Diplomový projekt Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline 1.7.2014 Matilda Drozdová Pojem projekt Projekt je určitá časovo dlhšia práca, ktorej výsledkom je vyriešenie nejakej úlohy Kto rieši projekt?

Více

Multiplexor a demultiplexor

Multiplexor a demultiplexor Multiplexor a demultiplexor Mux_DMux [2] Funkcia multiplexoru ako prepínača A D 1 D 0 Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 3 x NAND Ak A = 0 výstup Y = D 0 a ak A = 1 výstup

Více

Ing. Jozef Klus KOMBINAČNÉ LOGICKÉ OBVODY

Ing. Jozef Klus KOMBINAČNÉ LOGICKÉ OBVODY Ing. Jozef Klus KOMBINAČNÉ LOGICKÉ OBVODY ÚVOD U týchto obvodov je výstup určený len kombináciou vstupných veličín. Hodnoty výstupných veličín nezávisia na predchádzajúcom stave logického obvodu kombinačný

Více

ONLINE POBOČKA. pre zamestnávateľov MANUÁL

ONLINE POBOČKA. pre zamestnávateľov MANUÁL @ ONLINE POBOČKA pre zamestnávateľov @ MANUÁL Obsah Čo je online pobočka 3 Ako podať dávku 5 - Podanie mesačného výkazu 6 Postup: Už mám vytvorenú dávku 6 Postup: Nemám vytvorenú dávku 8 - Podanie hromadného

Více

Matematika test. 1. Doplň do štvorčeka číslo tak, aby platila rovnosť: (a) 9 + = (b) : 12 = 720. (c) = 151. (d) : 11 = 75 :

Matematika test. 1. Doplň do štvorčeka číslo tak, aby platila rovnosť: (a) 9 + = (b) : 12 = 720. (c) = 151. (d) : 11 = 75 : GJH-Prima 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Súčet Test-13 Matematika test Na tento papier sa nepodpisuj. Na vypracovanie tejto skúšky máš čas 20 minút. Test obsahuje 13 úloh a má 4 strany. Úlohy môžeš riešiť

Více

Je to voľne dostupný programový balík (free software), ktorý sa používa na meraniach.

Je to voľne dostupný programový balík (free software), ktorý sa používa na meraniach. Počítačový program SciDavis Je to voľne dostupný programový balík (free software), ktorý sa používa na meraniach. Zostrojenie grafu z nameraných hodnôt 1. Po otvorení programu SciDavis, do tabuľky zapíšeme

Více

Ak stlačíme OK, prebehne výpočet a v bunke B1 je výsledok.

Ak stlačíme OK, prebehne výpočet a v bunke B1 je výsledok. Hľadanie riešenia: ak poznáme očakávaný výsledok jednoduchého vzorca, ale vstupná hodnota, ktorú potrebujeme k určeniu výsledku je neznáma. Aplikácia Excel hľadá varianty hodnoty v určitej bunke, kým vzorec,

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Ďalší spôsob, akým je možné vygenerovať maticu je použitie zabudovaných funkcií na generovanie elementárnych matíc.

Ďalší spôsob, akým je možné vygenerovať maticu je použitie zabudovaných funkcií na generovanie elementárnych matíc. MATICE MATLAB poskytuje obrovskú podporu práce s maticami. Táto hodina sa bude zaoberať základmi práce s maticami. Cieľom prvej časti hodiny je objasnenie základných princípov tvorby matíc, ich editáciu

Více

Pred samotnou prácou s objednávkami odporúčame vykonať súvisiace nastavenia cez menu Firma - Nastavenie

Pred samotnou prácou s objednávkami odporúčame vykonať súvisiace nastavenia cez menu Firma - Nastavenie Objednávkový systém v programe Omega Objednávkový systém je v programe Omega priamo prepojený so skladovým hospodárstvom. Pomocou neho možno sledovať stav vybavenosti objednávky, a tiež zabezpečiť rezerváciu

Více

Vážení používatelia programu WISP.

Vážení používatelia programu WISP. Vážení používatelia programu WISP. V súvislosti s Kontrolným výkazom DPH (ďalej iba KV) sme doplnili od verzie IS WISP 165.3633 a DB 165.1414 údaje potrebné pre ďalšie spracovanie a vyhotovenie súboru

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

Názov: Osmóza. Vek žiakov: Témy a kľúčové slová: osmóza, koncentrácia, zber dát a grafické znázornenie. Čas na realizáciu: 120 minút.

Názov: Osmóza. Vek žiakov: Témy a kľúčové slová: osmóza, koncentrácia, zber dát a grafické znázornenie. Čas na realizáciu: 120 minút. Názov: Osmóza Témy a kľúčové slová: osmóza, koncentrácia, zber dát a grafické znázornenie. Čas na realizáciu: 120 minút Vek žiakov: 14 16 rokov Úrovne práce s materiálom: Úlohy majú rôznu úroveň náročnosti.

Více

Funkcionální řady. January 13, 2016

Funkcionální řady. January 13, 2016 Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine

Více

Na aute vyfarbi celé predné koleso na zeleno a pneumatiku zadného kolesa vyfarbi na červeno.

Na aute vyfarbi celé predné koleso na zeleno a pneumatiku zadného kolesa vyfarbi na červeno. Kružnica alebo kruh Aký je rozdiel medzi kružnicou a kruhom si vysvetlíme na kolese auta. Celé koleso je z tohto pohľadu kruh. Pneumatika je obvod celého kolesa obvod kruhu a obvod kruhu nazývame inak

Více

RIEŠENIE NIEKTORÝCH ÚLOH LINEÁRNEJ ALGEBRY V PROSTREDÍ MS EXCEL. 1. Zadáme prvky matice A a B do buniek pracovného hárku zošita MS Excel

RIEŠENIE NIEKTORÝCH ÚLOH LINEÁRNEJ ALGEBRY V PROSTREDÍ MS EXCEL. 1. Zadáme prvky matice A a B do buniek pracovného hárku zošita MS Excel RIEŠENIE NIEKTORÝCH ÚLOH LINEÁRNEJ ALGEBRY V PROSTREDÍ I. VÝPOČET SÚČINU MATÍC Vypočítajme súčin matíc C = A B, ak existuje, pre dané matice A a B. 1. Zadáme prvky matice A a B do buniek pracovného hárku

Více

Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice

Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice S čísly a základními operacemi, tedy se sčítáním, odčítáním, násobením a dělením, jsme se seznámili už dávno během prvních let naší školní docházky. Každý z nás

Více

Súťaž MLADÝ ELEKTROTECHNIK 2010 Peter Kopecký 9.A, ZŠ Duklianska 1. Bánovce nad Bebravou Nastaviteľný zdroj

Súťaž MLADÝ ELEKTROTECHNIK 2010 Peter Kopecký 9.A, ZŠ Duklianska 1. Bánovce nad Bebravou Nastaviteľný zdroj Súťaž MLADÝ ELEKTROTECHNIK 2010 Peter Kopecký 9.A, ZŠ Duklianska 1. Bánovce nad Bebravou zs1.bn@pbi.sk Nastaviteľný zdroj Keďže som doma pri rôznych pokusoch a experimentoch často potreboval nastaviteľné

Více

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny . Mocniny. Mocniny a odmocniny 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vyjádřete jako mocninu : a)... b) (- ). (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) c)...a.a.a.a.b.b.b.b d)..a.b e) a. a. a. a Příklad : Vyjádřete

Více

Astronomická fotografia -- kuchárka pre digitálnu fotografiu

Astronomická fotografia -- kuchárka pre digitálnu fotografiu Astronomická fotografia -- kuchárka pre digitálnu fotografiu Peter Delinčák, sekcia astronomickej fotografie SAS Úvodom S príchodom digitálnych fotoaparátov sa otvorili nové možnosti pre astronomickú fotografiu.

Více

To bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy.

To bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy. Opakuj a pomenuj Nakreslime si ovocný sad Príklad 1 Pomocou príkazového riadku skúste s korytnačkou nakresliť ovocný stromček. Vaša postupnosť príkazov sa možno podobá na nasledujúcu:? nechfp "hnedá? nechhp

Více

MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM

MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM Cvičenia na úlohy s porozumením si vieme pre žiakov vytvoriť v programe, ktorý stiahneme zo stránky http://www.education.vic.gov.au/languagesonline/games/comprehension/index.htm.

Více

Pracovné prostredie MS EXCEL 2003.

Pracovné prostredie MS EXCEL 2003. Pracovné prostredie MS EXCEL 2003. Tabuľkové kalkulátory sú veľmi praktické aplikácie pre realizáciu výpočtov, grafických prezentácií údajov, ako aj pe prácu s rôznymi údajmi ako s bázou dát. Tieto programy

Více

POSTUP GENEROVANIA ŽIADOSTI O KVALIFIKOVANÝ CERTIFIKÁT POMOCOU PROGRAMU COMFORTCHIP.

POSTUP GENEROVANIA ŽIADOSTI O KVALIFIKOVANÝ CERTIFIKÁT POMOCOU PROGRAMU COMFORTCHIP. POSTUP GENEROVANIA ŽIADOSTI O KVALIFIKOVANÝ CERTIFIKÁT POMOCOU PROGRAMU COMFORTCHIP. V prípade, že sa rozhodnete použiť ako úložisko kvalifikovaného certifikátu čipovú kartu StarCos2.3, musíte si žiadosť

Více

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára 9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára

Více

MAGISTRÁT HLAVNÉHO MESTA SLOVENSKEJ REPUBLIKY BRATISLAVY

MAGISTRÁT HLAVNÉHO MESTA SLOVENSKEJ REPUBLIKY BRATISLAVY MAGISTRÁT HLAVNÉHO MESTA SLOVENSKEJ REPUBLIKY BRATISLAVY Materiál na rokovanie Mestského zastupiteľstva hlavného mesta SR Bratislavy dňa 07. 12. 2017 Návrh na nevyhovenie protestu prokurátora proti uzneseniu

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

KOMISNÝ PREDAJ. Obr. 1

KOMISNÝ PREDAJ. Obr. 1 KOMISNÝ PREDAJ Komisný predaj sa realizuje na základe komisionárskej zmluvy, pričom ide v podstate o odložený predaj, kde práva k výrobku alebo tovaru prevedie dodávateľ (výrobca, komitent) na predajcu

Více

Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků

Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků @00. Základní poznatky Umět řešit rovnice a nerovnice je jedna ze stěžejních úloh středoškolské matematiky. Řešit bez problémů základní rovnice by měl umět každý středoškolák, který získal maturitu (jakoukoli,

Více

Tematický výchovno vzdelávací plán z matematiky pre 6. ročník

Tematický výchovno vzdelávací plán z matematiky pre 6. ročník Základná škola, Školská 389, Sačurov Tematický výchovno vzdelávací plán z matematiky pre 6. ročník Školský rok: Vyučujúci: Vypracované podľa učebných osnov ŠkVP B schválených radou školy dňa 28.8.2008

Více

30849 30849 3 30849 4 30849 5 30849 6 0473 30849 7 ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ 04735 8 30849 30849 9 04735 ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ 30849 0 0473 0473 04733 04736 3 3 04734 30849 04736 3 3 3 0479 30849 04733 30849

Více

Studentove t-testy. Metódy riešenia matematických úloh

Studentove t-testy. Metódy riešenia matematických úloh Studentove t-testy Metódy riešenia matematických úloh www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Jednovýberový t-test z prednášky Máme náhodný výber z normálneho rozdelenia s neznámymi parametrami Chceme

Více

MEP ekonomika podniku učtovníctvo 1. časť Ekonomika podniku

MEP ekonomika podniku učtovníctvo 1. časť Ekonomika podniku MEP ekonomika podniku učtovníctvo 1. časť Ekonomika podniku (časť: úvod do podvojného účtovníctva) - kolobeh hospodárských prostriedkov, - súvaha, výsledovka, - účtovníctvo, účet, - podvojná sústava účtovníctva,súvzťažné

Více

Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky

Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky Finančné riaditeľstvo Slovenskej republiky Informácia k odpočtu daňovej straty v tabuľke D tlačiva daňového priznania k dani z príjmov právnickej osoby Daňovník - právnická osoba so zdaňovacím obdobím

Více

Akciový cenník 1/2018

Akciový cenník 1/2018 Akciový cenník 1/2018 Slovanet, a.s. Bratislava (ďalej len Slovanet alebo poskytovateľ ), v zmysle zákona č. 18/1996 Z.z. o cenách v znení neskorších právnych predpisov a vyhlášky č. 87/1996 Z.z., ktorou

Více

Početní operace se zlomky

Početní operace se zlomky Početní operace se zlomky 1. Sčítání a. zlomků - upravíme zlomky na stejného jmenovatele (rozšiřováním, v některých případech krácením) hledáme společný násobek všech jmenovatelů (nejlépe nejmenší společný

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. pracovní sešit

MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. pracovní sešit MATEMATIKA Výrazy a rovnice pracovní sešit Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzentky: Mgr. Barbora Stušová; doc. RNDr. Naďa Vondrová, Ph.D. OBSAH

Více

Operačný systém Úvodná prednáška

Operačný systém Úvodná prednáška Operačný systém Úvodná prednáška Pohľad zvonka (z vyšších úrovní) Pohľad zvnútra Pojmy správy procesov Úlohy jednotlivých častí operačného systému Autor: Peter Tomcsányi, Niektoré práva vyhradené v zmysle

Více

MATURITA 2016 ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE

MATURITA 2016 ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE MATURITA 2016 ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE Organizáciu MS upravuje zákon č. 245/2008 Z. z. o výchove a vzdelávaní (školský zákon) a o zmene a doplnení niektorých zákonov v znení neskorších predpisov a vyhláška

Více

Ing. Motešický POLOVODIČE

Ing. Motešický POLOVODIČE Ing. Motešický POLOVODIČE Zopakujme si: Látky z hľadiska vedenia elektrického prúdu delíme na: 1. vodiče - kladú prechádzajúcemu el. I nízky R, majú vysokú el. vodivosť G, látka má veľké množstvo voľných

Více

Tipy na šetrenie elektrickej energie Použitie časového spínača Časť I Kuchynský bojler

Tipy na šetrenie elektrickej energie Použitie časového spínača Časť I Kuchynský bojler Tipy na šetrenie elektrickej energie Použitie časového spínača Časť I Kuchynský bojler V oboch nami monitorovaných objektoch sa kuchyne zásobujú teplou vodou z 10-litrového zásobníka s elektrickým ohrevom,

Více

IP Adresa. Marián Opiela 1.E

IP Adresa. Marián Opiela 1.E IP Adresa Marián Opiela 1.E Obsah IPv6... 3 IPv6 adresácia... 3 Zápis IPv6 adries... 3 Špeciálne adresy... 5 IPv6 paket... 5 Prečo práve IPv6... 6 Použité zdroje:... 6 Súčasný najpoužívanejší protokol

Více

Zápis predmetov do AiSu na aktuálny akademický rok

Zápis predmetov do AiSu na aktuálny akademický rok Zápis predmetov do AiSu na aktuálny akademický rok UPOZORNENIE: Návod na zápis predmetov do AiSu je vypracovaný pre akademický rok 2015/2016. Študent si ale musí zvoliť vždy aktuálny akademický rok, do

Více

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Premeňte a doplňte správne jednotky : a) 18 dm = m d) 5 m = 50... 195 l = m e) m 15 dm =...l c) 5,6 hl = dm f) 756 l = 7,56.... Vypočítajte : 1 1 1 a) + 1 0,

Více