letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
|
|
- Antonín Novák
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha
2 Náhodný vektor často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich chování společně příklad: vztah hmotnosti, tlaku a koncentrace určité látky v krvi u člověka apod. Definice Uspořádanou n-tici X náhodných veličin X,X 2,...,X n nazýváme náhodný vektor.
3 Náhodný vektor Náhodný vektor budeme značit velkým tlustým písmenem (např. X) anebo výčtem jeho složek, tj. X X =. X n nebo X = (X,...,X n ) T Většinou se omezíme na náhodné délky 2, tj. budeme uvažovat X = ( X X 2 ) anebo X = ( XY ).
4 Náhodný vektor: příklad Příklad (Děti) Uvažovali jsme rodinu, která má tři děti, a zavedli náhodnou veličinu X, která určuje počet dcer, a náhodnou veličinu Y, která říká, kolik má nejmladší sourozenec starších bratrů. zajímá nás rozdělení náhodného vektoru X = ( X Y ) odtud lze počítat tzv. sdružené pravděpodobnosti typu P(X = 0,Y = ), P(X 2,Y = 0) apod. jaký je vztah mezi X a Y? souvisí hodnoty X s hodnotami Y?
5 Další příklady Příklady náhodných vektorů: výška a hmotnost náhodně vybraného člověka teplota, množství srážek a síla větru ve vybraný den HDP, míra inflace,...(jiné ekonomické ukazatele) náhodně vybrané evropské země pohlaví a plat náhodně vybraného člověka vzdělání a politický názor náhodně vybraného člověka porodní hmotnost dítěte a věk jeho matky...
6 Rozdělení náhodného vektoru Rozdělení náhodného vektoru X = ( X Y ) rozlišujeme náhodný vektor se spojitým a diskrétním rozdělením spojité rozdělení popíšeme hustotou je ted funkcí R 2 [0, ) hodnota f X (x,y) udává, jak často náhodný vektor padá kolem bodu (x,y) má vlastnosti analogické hustotě náhodné veličiny diskrétní rozdělení popíšeme tzv. sdruženými pravděpodobnostmi P(X = x i,y = y k ) pro všechna možná x i a y k
7 f Hustota náhodného vektoru Příklad hustoty spojitého dvourozměrného rozdělení: y x
8 Hustota náhodného vektoru Obrázek: Hustota z předchozího obrázku nakreslená pomocí vrstevnic
9 Sdružené a marginální rozdělení Rozdělení náhodného vektoru X = ( X Y ) obsahuje něco navíc, než kdybychom znali jen rozdělení samotné náhodné veličiny X a samotné náhodné veličiny Y. To, co je tam navíc, je informace o vzájemném vztahu obou veličin. Terminologie Rozdělení náhodného vektoru X = ( X Y ) nazýváme sdružené rozdělení náhodných veličin X a Y. Rozdělení samotného X a samotného Y nazýváme marginální rozdělení náhodných veličin X a Y.
10 Sdružené a marginální rozdělení Interpretace: sdružené rozdělení nám říká, jak se chová (X,Y) společně (jakožto dvojice) marginální rozdělení popisuje chování jedné veličiny bez ohledu na hodnoty druhé Vztah sdruženého a marginálního rozdělení: ze sdruženého rozdělení lze vždy určit marginální opačně to obecně není možné, tj. z marginálního nelze jednoznačně určit rozdělení sdružené (k dané dvojici marginálních rozdělení dokonce existuje nekonečně mnoho odpovídajících sdružených rozdělení)
11 Diskrétní náhodný vektor: příklad Příklad (Děti viz dříve) Uvažovali jsme rodinu, která má tři děti a zavedli náhodnou veličinu X, která určuje počet dcer, a náhodnou veličinu Y, která říká, kolik má nejmladší sourozenec starších bratrů. Dostali jsme diskrétní náhodný vektor X = ( X Y ) : ω X(ω) Y(ω) SSS 0 2 SSD 2 SDS DSS DDS 2 0 DSD 2 SDD 2 DDD 3 0
12 Příklad děti Již dříve jsme zkoumali rozdělení X a Y zvlášt, tj. marginální rozdělení: x P(X = x) 3 3 y 0 2 P(Y = y) 4 Rozdělení X = ( X Y ) je dáno pravděpodobnostmi p ij = P[X = x i,y = y j ], které jsou v následující tabulce: 2 4 X\Y Jak lze ze sdruženého rozdělení spočítat marginální?
13 Příklad děti Sdružené rozdělení: X\Y
14 Příklad děti Sdružené rozdělení: Odtud X\Y P[X = 0] = P[X = 0,Y = 0]+P[X = 0,Y = ]+ +P[X = 0,Y = 2] = 0+0+ = P[X = ] = P[X =,Y = 0]+P[X =,Y = ]+ +P[X =,Y = 2] = = 3 a analogicky P(X = 2) = 3/ a P(X = 3) = /.
15 Sdružené a marginální rozdělení Věta Necht X = ( X Y ) je diskrétní náhodný vektor s rozdělením určeným pravděpodobnostmi p ij = P[X = x i,y = y j ]. Marginální rozdělení veličin X a Y pak jsou P[X = x i ] = P[Y = y j ] = j= i= ] P [X = x i,y = y j = ] P [X = x i,y = y j = p ij, j= p ij. i=
16 Sdružené a marginální rozdělení Pro spojité rozdělení platí analogie předchozího tvrzení: Věta Necht X = ( ) X Y je náhodný vektor se spojitým rozdělením se sdruženou hustotou f X (x,y). Marginální hustoty veličin X a Y pak jsou f X (x) = f Y (y) = f X (x,y)dy, f X (x,y)dx.
17 náhodných veličin Příklad v praxi nás často zajímá, zda je mezi veličinami X a Y nějaký vztah spec. se můžeme ptát, zda jsou nezávislé hodnoty jedné veličiny nezávisí na hodnotách druhé Necht X je známka z Matematické statistiky a Y je počet navštívených přednášek náhodně vybraného studenta. Jsou tyto dvě veličiny nezávislé? nezávislost známka nezávisí na počtu navštívených přednášek P(X = i Y = j) nezávisí na hodnotách j, tj. P(X = i Y = j) = P(X = i) už víme, že toto odpovídá podmínce P(X = i,y = j) = P(X = i,y = j) pro všechna i,j
18 náhodných veličin Definice veličiny X a Y nazveme nezávislé, pokud pro každé dvě množiny A,B R platí P[X A,Y B] = P[X A] P[Y B]. Nezávislé veličiny: P[X A Y B] = P[X A] tj. hodnoty jedné náhodné veličiny nejsou ovlivněny hodnotami druhé. ze znalosti hodnoty jedné veličiny nic nevíme o druhé veličině
19 Charakterizace nezávislosti Věta Diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, právě když platí P[X = x i,y = y j ] = P[X = x i ] P[Y = y j ] pro každé x i,y j, kterých X a Y nabývají. 2 Spojité náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, právě když platí f X (x,y) = f X (x) f Y (y) pro každé x,y R.
20 Příklad děti Sdružené rozdělení: X\Y Veličiny X a Y nejsou nezávislé. Zdůvodnění: např. P[X = 3,Y = 2] = 0 a P[X = 3] =, P[Y = 2] = 3. Takže 0 = P[X = 3,Y = 2] P[X = 3] P[Y = 2] = Tudíž počet dcer a počet starších bratrů nejmladšího sourozence jsou závislé veličiny.
21 poznámka definici nezávislosti lze snadno rozšířit na více než dvě náhodné veličiny platí obdobné charakterizace nezávislosti (sdružená hustota je součinem marginálních hustot apod.)
22 Střední hodnota součtu a součinu Věta Necht X = ( ) X Y, kde X, Y jsou libovolné náhodné veličiny. Platí E(X +Y) = EX +EY. 2 Pokud jsou X a Y nezávislé, pak platí EXY = (EX)(EY). střední hodnota součtu dvou (nebo více) náhodných veličin je rovna součtu jejich středních hodnot pro nezávislé náhodné veličiny je střední hodnota jejich součinu je rovna součinu jejich středních hodnot pro závislé veličiny tomu tak může, ale nemusí být
23 Kovariance Definice Jsou-li veličiny X a Y závislé budeme chtít popsat jejich závislost Uvažujme náhodný vektor X = ( X Y ). Kovariancí náhodných veličin X a Y rozumíme hodnotu cov(x,y) = E[(X EX)(Y EY)] kovariance vyjadřuje vzájemný vztah X a Y evidentně platí cov(x,y) = cov(y,x) a cov(x,x) = varx.
24 Vlastnosti kovariance Věta Kovariance může nabývat jakýchkoli reálných hodnot, ale pro dvě konkrétní veličiny musí platit cov 2 (X,Y) varx vary. 2 Platí cov(x,y) = EXY EX EY. 3 Pokud jsou X a Y nezávislé, pak cov(x,y) = 0. pozor, tvrzení 3 neplatí opačně (tj. z nulové kovariance nelze obecně nic usuzovat o nezávislosti) 3 plyne z 2, nebot pro nezávislé veličiny EXY = EXEY.
25 Interpretace kovariance cov(x,y) > 0 náhodné veličiny X a Y jsou závislé v pozitivním smyslu vyšší hodnoty X jsou svázány s vyššími hodnotami Y (a nižší hodnoty X s nižšími hodnotami Y) příklad: výška a váha člověka. cov(x,y) < 0 náhodné veličiny X a Y jsou závislé v negativním smyslu vyšší hodnoty X jsou svázány s nižšími hodnotami Y (a nižší hodnoty X s vyššími hodnotami Y) příklad: hloubka dezénu pneumatiky a brzdná dráha cov(x,y) = 0 neznamená, že by mezi X a Y nebyl nutně žádný vztah (ještě se o tom zmíníme později)
26 Kovariance: příklad Příklad (Děti) Uvažovali jsme rodinu, která má tři děti, a zavedli náhodnou veličinu X, která určuje počet dcer, a náhodnou veličinu Y, která říká, kolik má nejmladší sourozenec starších bratrů. Dostali jsme náhodný vektor X = ( X Y ) s rozdělením X\Y Spočítáme kovarianci náhodných veličin X a Y. K výpočtu použijeme vzorec cov(x,y) = EXY EXEY.
27 Příklad: Děti Víme: X nabývá hodnot 0,,2,3 s pstmi po řadě, 3, 3,, Y nabývá hodnot 0,,2 s pstmi po řadě 4, 2, 4. Z marginálních rozdělení máme EX = = =.5, EY = = 2+2 =. 4 Ze sdruženého rozdělení EXY = 0 P[X = 0 Y = 0]+ P[X =,Y = ]+ +2 (P[X =,Y = 2]+P[X = 2,Y = ]) = = = =.
28 Příklad: Děti Odtud cov(x,y) = EXY (EX)(EY) =.5 = 0.5 Takže cov(x,y) = 0.5 < 0 tj. počet dcer a počet starších bratrů nejmladšího sourozence nejsou nezávislé. Čím více je dcer, tím méně je starších bratrů.
29 Korelace Definice hodnoty kovariance se špatně interpretují z hodnoty cov(x,y) 0 poznáme, že X a Y jsou závislé a jakým směrem, ale nepoznáme, jak silně jsou závislé Uvažujme náhodný vektor X = ( X Y ). Korelací náhodných veličin X a Y rozumíme hodnotu cor(x,y) = cov(x,y) varxvary. se někdy značí (X,Y) nebo ρ XY někdy mluvíme o korelačním koeficientu.
30 Vlastnosti Věta Korelace ρ XY vždy leží mezi a a ρ XY = 0 cov(x,y) = 0. 2 Pokud jsou X a Y nezávislé, pak cor(x,y) = 0. 3 Platí ρ XY = ρ XY = právě když Y = a+bx pro nějaké a R a b > 0. právě když Y = a+bx pro nějaké a R a b < 0.
31 Interpretace měří sílu lineární závislosti mezi X a Y znaménko udává směr závislosti jsou-li X a Y silně lineárně závislé (tj. hodnoty této dvojice padají nejčastěji někde kolem přímky v R 2 s nenulovou směrnicí), pak je bĺızko nebo. nezávislé veličiny mají vždy nulovou korelaci je-li nulová, neznamená to, že X a Y jsou nutně nezávislé ( je mírou pouze lineární závislosti)
32 Interpretace ρ = 0.2 ρ = 0.5 Y Y X Y ρ = 0.9 ρ = 0.7 Y Y Y Y
33 Interpretace Je-li nulová, neznamená to, že X a Y jsou nutně nezávislé: Y = X X Příklad Má-li X rozdělení symetrické kolem 0, pak EX = 0 a EX 3 = 0. Vezmeme-li Y = X 2, pak Y a X nejsou nezávislé a zároveň cov(x,y) = 0 a tudíž i ρ XY = 0.
34 Hustota dvourozměrného rozdělení s různými mi Obrázek: Hustota dvourozměrného rozdělení, cor(x,y) =
35 Hustota dvourozměrného rozdělení s různými mi Obrázek: Hustota dvourozměrného rozdělení, cor(x, Y) =
36 Hustota dvourozměrného rozdělení s různými mi Obrázek: Hustota dvourozměrného rozdělení, cor(x, Y) =
37 Hustota dvourozměrného rozdělení s různými mi Obrázek: Hustota dvourozměrného rozdělení, cor(x, Y) =
38 Vlastnosti střední hodnoty a rozptylu Necht X,Y jsou náhodné veličiny, a,b R. Pak E(a+bX) = a+bex, 2 E(X +Y) = EX +EY, 3 var(a+bx) = b 2 varx, 4 var(x +Y) = varx +vary +2cov(X,Y) 5 pro nezávislé veličiny var(x +Y) = varx +vary
39 Vlastnosti kovariance Důkaz bodu 4: Máme var(x +Y) = E(X +Y) 2 [E(X +Y)] 2 = = E(X 2 +2XY +Y 2 ) [(EX) 2 +2EXEY +(EY) 2 ] = = EX 2 (EX) 2 +EY 2 (EY) [EXY EXEY] = = varx +vary +2cov(X,Y).
Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha veličina Definice Funkci
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Opakování populace a výběr z populace
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
Vícepopulace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.
Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom
VíceNáhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.
1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
Více5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza
5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceVícerozměrná rozdělení
Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika
VíceAKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A
AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceLineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceSTATISTICKÁ VAZBA. 1.1 Statistická vazba Charakteristiky statistické vazby dvou náhodných veličin Literatura 9
STATISTICKÁ VAZBA Obsah 1 Korelační analýza 1 1.1 Statistická vazba.................................... 1 1.2 Motivační příklady................................... 1 1.3 Sdružená distribuční funkce a nezávislost
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceStatistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
Více10. Vektorové podprostory
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VíceMATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT
8. licenční studium Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie MATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT Příklady: ) Najděte vlastní (charakteristická) čísla a vlastní
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceMalé statistické repetitorium Verze s řešením
Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceNáhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceMÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE)
zhanel@fsps.muni.cz MÍRY ZÁVISLOSTI (KORELACE A REGRESE) 2.5 MÍRY ZÁVISLOSTI 2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A KORELAČNÍ Jednorozměrné soubory - charakterizovány jednotlivými statistickými znaky
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Více7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104
7..1 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost, směr. Jak je znázornit? Jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí.
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VíceKontingenční tabulky, korelační koeficienty
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Budeme předpokládat, že X a Y jsou kvalitativní náhodné veličiny, obor hodnot X obsahuje r hodnot (kategorií,
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VícePříklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost
Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost 6. dubna 0 Instrukce: Projděte si všechny příklady. Každý příklad se snažte pochopit. Pak vymyslete a vyřešte příklad podobný. Tím se ujistíte, že příkladu
VíceJana Vránová, 3. lékařská fakulta UK
Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické
VíceCvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 3 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme základní statistiky, typy proměnných a začali analýzu kvalitativních dat Tyhle termíny by měly být známé: Histogram, krabicový graf
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Více1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
Více