Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešení: Ano. Řešení: Ne."

Transkript

1 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je term t substituovatelný do ϕ za proměnnou v v následujících případech: a) tje F(z), vje x. Řešení:Ne. b) tje F(z), vje y. Řešení:Ano. c) tje F(x), vje x. Řešení:Ano. d) tje F(c), vje y. Řešení:Ano. 2. Buď ϕ formule ( x)(( z)(z < x&y= z) z x) a dále x, y, z různé proměnné, G binární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je term t substituovatelný do ϕ za proměnnou v v následujících případech: a) tje G(c, x), vje y Řešení:Ne. b) tje G(c, y), vje y Řešení:Ano. c) tje G(c, c), vje z Řešení:Ano. d) tje G(z, x), vje z Řešení:Ne. UF.1.2. Instance. Varianty. 1.Nechť ynenívolnáve ϕajesubstituovatelnáza xdo ϕ, ϕ je ϕ(x/y).zjistěte, zda ϕ (y/x)je ϕ.zdůvodněteodpověď. Řešení:Obapředpokladydohromadyzaručují,ževolnývýskyt yve ϕ je právětam,kdejevolnývýskyt xvϕ.tedy xjesubstituovatelnéza ydo ϕ atakérovnostobouuvažovanýchformulíplatí. 2. Buďte x, y, z, u různé proměnné, Q kvantifikátor. Odpovězte a zdůvodněte, zda v následujících případech platí: ψjevarianta ϕ. a) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qz)(z < y ( z)(z= y& z z)) Řešení:Ne. znenísubstituovatelnéza xdo x < y ( z)(z= y& z x). b) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qy)(y < y ( z)(z= y& z y)) Řešení:Ne. yjevolnáve ϕ. c) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qu)(u < y ( z)(z= y& z u)) Řešení:Ano. unenívolnáve ϕajesubstituovatelnáza xdo x < y ( z)(z= y& z x). 3. Buď P unární predikátový symbol, ϕ formule( y)(y= x)&p(x), ϕ formule( y)(y= y)&p(y). a) Je( x)ϕ varianta( x)ϕ? Řešení: Ne. b) Je xsubstituovatelnédo ϕ za y? Řešení: Ano. c) Je ϕrovno ϕ (y/x)? Řešení:Ne. ϕ (y/x)je( y)(y= y)&p(x). d) Je ϕ ϕ (y/x)? Řešení:Ano.Je ( y)(y= x) ( y)(y= y),protožeoběformule zekvivalencejsoudokazatelné.odtud ( y)(y= x)&p(x) ( y)(y= y)&p(x).

2 2 Pojem modelu a splňování. Axiomatizovatelnost. UF.1.3. Platnost formule v modelu. 1.Buď ϕformule P(x) ( x)p(x),kde P jeunárnírelačnísymbol.vprávě kterýchstrukturách A, P A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž P A A. 2.Buď ϕformule x=c,kde cjekonstantnísymbol.vprávěkterýchstrukturách A, c A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž A 2. 3.Buď ϕformule P(x) ( x)r(x),kde P, Rjsourůznéunárnípredikátové symboly.vprávěkterýchstrukturách A= A, P A, R A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž P A A R A. Zřejmě totiž: A = ϕ P A ar A A, A = ϕ P A Anebo R A = A. UF.1.4. Korektnost substituce. Buď ϕformule( y)(x y)srůznýmiproměnnými x, y.buď ϕ výsledek nekorektnísubstituce ydo ϕzavolnývýskyt x.buď Astruktura.Uvažujmetvrzení: Prokaždé e:var Aje A = ϕ [e] A = ϕ[e(x/y[e])]. a)uveďte,zda( )platípro A= N,+,kde+jesčítánípřirozenýchčísel. Řešení: Ne. b)uveďte,zda( )platípro A= {0}, R,kde R={ 0,0 }. Řešení: Ano. c)právěprokterémodely A= A (teoriečistérovnosti)platí( )? Řešení: Právě pro A s A jednoprvkovým. UF.1.5. Axiomatizovatelnost. 1.BuďK={ A ;velikost Ajesudánebonekonečná}třídamodelůjazyka L čisté rovnosti. Zjistěte, zda je K axiomatizovatelná, případně najděte její axiomatiku. Řešení: T= { existujeprávě2k+1prvků ; k N}axiomatizujeK. 2.Nechť T jeteorievjazyce Lsrovnostítaková,že T mámodelakaždýjejí modeljenekonečný.buď0 < n N.Najděte L-teorii T tak,abym (T )=M (T) a T mělanějakékonečnémodely,atovšechny: a) právě n-prvkové, b) právě n-prvkové nebo 2n-prvkové. Řešení:Buď T = {ϕ ψ; ϕ T }svhodným ψ. 3.Buď0<n N.Najděteteorii T vnějakémjazycesrovností,kterámá nekonečné modely, nemá spočetný model, má konečné modely, všechny kardinality nejvýše n. Řešení:Buď L= c i ; i R skonstantnímisymboly c i a T 0 buď L-teorie {c i c j ; i, j R, i j};hledaná Tje L-teorie {ϕ existujenejvýše nprvků ; ϕ T 0 }. ( ) 4.Buď L= U srovností,přičemž Ujeunárnírelačnísymbol,0 < n Na K={ A, U A ; U A jenekonečnánebonejvýše n-prvková} je třída L-struktur. Zjistěte, zda je K axiomatizovatelná, případně najděte její axiomatiku. Řešení:Nechť T0 jeteorie L-teorie {( x 0,..., x m 1 )( i<j<m x i x j & i<m U(x i));0 < m N}. Pro L-strukturu Aplatí: A = T 0 U A ω.buď χsentence existuje nejvýše nprvků xsu(x).pak T= {ϕ χ; ϕ T 0 },axiomatizujek.

3 3 Izomorfní spektra. UF.1.6. Izomorfní spektra v jazyce U, c. Buď L= U, c,kde Ujeunárnírelačníackonstantnísymbol. 1. Popište izomorfní spektrum L-teorie T = {U(c)}. Řešení:I(κ, T)= Cn κ.modely κ, U, c, κ, U, c teorie T jsou izomorfní,právěkdyž U, κ U = U, κ U,přičemž U 1. Všechrůznýchdvojic U, κ U s U 1, U κjeprávě Cn κ. Pro κ < ωjetotiž Cn κ =κ.pro κ ωjebuď U jakékolikardinality < κ,nebo U =κapakmůžebýt κ U jakékolikardinality κ; takovýchmožnostíje Cn κ + Cn κ = Cn κ. 2. Popište izomorfní spektrum L-teorie T = {(!x)u(x)}. Řešení:I(κ, T)=1pro κ=1a2pro κ >1. UF.1.7. Izomorfní spektrum jazyka spočetně konstant. Buď L= c i i<ω,kde c i jsoukonstantnísymboly. 1.Pro L-strukturu Adefinujemeekvivalenci E A na ω: i E A j c A i = c A j. Buďte A, B dvě L-struktury téže velikosti. a) Platí: A = B E A = E B a A {c A i ; i < ω} = B {cb i ; i < ω}. (1) Speciálně je nejvýše kontinuum neizomorfních L-struktur dané kardinality. b) Jsou-li A, B konečné nebo nespočetné, platí: A = B E A = E B. (2) c)najdětespočetné A, B,prokteré(2)neplatí. 2.Pro κ 2jeI(κ, L)=2 ω. Návod: Užijte toho, že na ω je kontinuum různých ekvivalencí s λ třídami, když2 λ ω. Řešení:Buď Eekvivalencena ω, λ(e)počettříd E.Pro κ λ(e)definujme L-strukturu κ E = κ, c E i i<ωtak,abyplatilo: c E i = c E j i E j. Pak: Jsou-li E, E ekvivalencena ωtak κ E = κ E E= E. Tedy: jelikož je na ω kontinuum různých ekvivalencí s λ třídami, jakmile 2 λ ω, existuje alespoň kontinuum neizomorfních L-struktur kardinality κ( 2)adle(1)jichnenívíce. UF.1.8. TeorieDiLOdiskrétníholineárníhouspořádánímáprokaždé κ ωprávě2 κ neizomorfních modelů kardinality κ. Návod:Užijtetoho,žeprokaždé κ ωjeprávě2 κ neizomorfníchlineárních uspořádání s univerzem kardinality κ. Řešení:Proostrélineárníuspořádání A= A, < A buď A(Z)= A Z, < Le lexikografickéuspořádání.jediskrétníakardinalitymax( A, ω). Nechť B= B, < B jelineárníuspořádání.pakplatí A(Z) = B(Z) A = B.Buďtotiž hisomorfizmus A(Z)aB(Z);definujme H: A Btakto: H(a)=b a existuje j a Zsh( a,0 )= b a, j a. Paktojejasnězobrazenína Ba a < A a h( a,0 ) < B(Z) h( a,0 )amezi h( a,0 ), h( a,0 )je nekonečně prvků b a < B b a H(a) < B H(b). Jelikožna κ ωje2 κ neizomorfníchlineárníchuspořádání A,máme2 κ neizomorfníchlineárníchuspořádání A(Z)na κ Z,tedy2 κ neizomorfních diskrétních lineárních uspořádání, majících každé velikost univerza κ.

4 4 Základy dedukce. UF.1.9. Syntaktický důkaz bezespornosti teorie rovnosti v L. Nechť T je teorie rovnosti v L, tj. L-teorie s rovností bez mimologických axiomů. Buď dnovýkonstantnísymbol.pro L-formuli ϕbuď ϕ formule,kterásezískázϕ odstraněním všech kvantifikací a nahrazením každého termu konstantním symbolem d.pak ϕ jevýroknadprvovýroky d=d, R(d,..., d),kde RjerelačnísymbolzL. a)je-li ϕlogickýaxiomneboaxiomrovnosti,kroměaxiomu x=x,je ϕ tautologie. Řešení: Pro logický axiom ϕ, který není axiomem rovnosti, to je jasné. Axiomyrovnosti ϕkromě x=xpřejdouna ϕ tvaru d=d d=d (R(d,..., d) R(d,..., d)) nebo d=d d=d d=d apakovšem v(ϕ )=1. b) T ϕ v(ϕ )=1,jakmile vjeohodnoceníuvedenýchprvovýrokůtakové, žeplatí v(d=d)=1.speciálněje Tbezesporná. Návod: Užijte indukci na teorémech T. Řešení:Indukcínateorémech T.Proaxiom ϕtoplatí,neboť(x=x) je d=d.buď v(d=d)=1.nechťpro ψ, ψ ϕtoplatí.pak1= v((ψ ϕ) )=v(ψ ϕ )av(ψ )=1,tedy v(ϕ )=1.Platí-litopro ϕ,tak v((( x)ϕ) )=v(ϕ )=1. UF Dokazatelné, vyvratitelné, nezávislé a bezesporné formule. 1. Buďte P, R různé unární predikátové symboly. Zdůvodněte, zda formule ϕ je dokazatelná, vyvratitelná či nezávislá v logice, kde ϕ je a) P(x) b) P(x) R(x) c)( x, y)(p(x) (R(x) P(x))) d)( x)p(x) Řešení:a)Nezávislá. 1, = ϕ, 1,1 = ϕ.b)nezávislá. 2,,2 = ϕ, 2,2, = ϕ.c)dokazatelná,neboť P(x) (R(x) P(x))jetautologie.d)Nezávislá. 1, = ϕ, 1,1 = ϕ. 2. Najděte nějaké nezávislé sentence teorie čisté rovnosti, teorie lineárního uspořádání, teorie grup, teorie těles. 3. Nechť T ( x)ϕ(x). Co lze říci o dokazatelnosti, vyvratitelnosti, nezávislosti, konzistenci ϕ, ϕ vzhledem k T? UF Vlastnosti kvantifikátorů. 1. ( x)(ϕ ψ) ((Qx)ϕ (Qx)ψ),kde Qznačíkvantifikátor. Návod: Užijte větu o konstantách. Řešení: Buďte T logické axiomy v jazyce rozšířeném o nové konstantní symboly c i ; ϕ(x, x 1 /c 1, ) resp. ψ(x, x 1 /c 1, ) označme ϕ (x) resp. ψ (x)(konstantysubstituujemezavšechnyvolnéproměnné,kromě x). Pak T,( x)(ϕ ψ ) ϕ ψ,dlepravidladistribucekvantifikátoru i T,( x)(ϕ ψ ) (Qx)ϕ (Qx)ψ azbytekdávětaodedukcia konstantách. 2. a) ( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení:Je ( x)ϕ ϕ, ϕ(x) ( x)ϕ;odtudpomocípravidlatranzitivity implikace plyne dokazované. b) ϕ ( x)ϕ ( x)ϕ ( x)ϕ ( x) ϕ ( x)ϕ. Řešení:Prváekvivalence.Implikace : ϕ ( x)ϕ ( x)(ϕ ( x)ϕ) ( x)ϕ ( x)ϕ. Implikace : ( x)ϕ ( x)ϕ ( x)(ϕ ( x)ϕ) ϕ ( x)ϕ.užitímdemorganovýchvztahůplyne druhá ekvivalence.

5 5 3. a) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení: i) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ dává axiom substituce. ii) ( x)ϕ ( x)( x)ϕ plyne z ( x)ϕ ( x)ϕ pravidlem -zavedení. Z i), ii) plyne ihned dokazované. b) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení: i)( x)( x)ϕ ( x)ϕ dává pravidlo -zavedení. ii)( x)ϕ ( x)( x)ϕplynezplatnéhovztahu ψ ( x)ψ.zi),ii) plyne ihned dokazované. UF Vytýkání kvantifikátorů- protipříklady. 1. ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ). a P A R A A.Pak A =( x)(p(x) R(x)), A =(P(x) ( x)r(x))[a]. Tedy A =( x)(p(x) R(x)) (P(x) ( x)r(x)). 2. (ϕ ( x)ψ) ( x)(ϕ ψ). a A P A, P A R A.Pak A =(P(x) ( x)r(x))[a], A =( x)(p(x) R(x)). Tedy A =(P(x) ( x)r(x)) ( x)(p(x) R(x)). 3. ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ). a P A A, R A =.Pak A =( x)(p(x) R(x)) (protožeexistuje b A P A ), A =(P(x) ( x)r(x))[a] (protožeje a P A ). Tedy A =( x)(p(x) R(x)) (P(x) ( x)r(x)).

ŘEŠENÉ ZÁPOČTOVÉ TESTY Z VÝROKOVÉ A PREDIKÁTOVÉ LOGIKY

ŘEŠENÉ ZÁPOČTOVÉ TESTY Z VÝROKOVÉ A PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Poznámka: Tento materiál je souborem řešených zápočtových testů ze zimního semestru 2012/2013 k přednášce Výroková a predikátová logika na MFF UK v Praze. Nejedná se o oficiální materiál k přednášce, nebyl

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

Výroková a predikátová logika. J. Mlček

Výroková a predikátová logika. J. Mlček Výroková a predikátová logika J. Mlček 2012 2 Obsah 1 Úvod a předběžnosti 5 1.1 Předběžnosti................... 5 1.2 Booleovyalgebry................. 10 1.3 Olineárníchuspořádáních........... 17 1.4 Poznámky.....................

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková Klauzulární logika Znalostní báze Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 26. listopadu 2007 (Znalostní báze) Klauzulární

Více

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 Obsah Předmluva... 15 I. Objektivní pravděpodobnosti 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 1.1 Úvod... 23 1.2 Základy frekvenční interpretace... 24 1.2.1 Pravděpodobnost a hromadné jevy... 24 1.2.2

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 8. z aˇr ı 2011 1

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 8. z aˇr ı 2011 1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Obecná informatika 8. září 2011 1 Vážený študent/čitatel, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky boli vypracované študentmi

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Metody tvorby ontologií a sémantický web. Martin Malčík, Rostislav Miarka

Metody tvorby ontologií a sémantický web. Martin Malčík, Rostislav Miarka Metody tvorby ontologií a sémantický web Martin Malčík, Rostislav Miarka Obsah Reprezentace znalostí Ontologie a sémantický web Tvorba ontologií Hierarchie znalostí (D.R.Tobin) Data jakékoliv znakové řetězce

Více

ň ť Č Á ť ň ň Ú Ú Á Ň ď Ú Ů Ý É Ů Ď Č ň ď ň ň ň ň Č ň ň Ď Č ň Š ň Š Š Č ň Ú Š Š Š Ě Ú ť ď ď Á Ď ť É Č ť Ó ň ť Ď Ď Ď Ý Ď Ž Ď Ď Ý Ď Ú ň ň Ď Ď Ý Ď Ď Ď ň ť Ť Ů Ú ň ď ň Ř Ů ň Á Š ť Č ň Š Š ň ň ň ť ť ť ť ť ť

Více

Úvod. Zdroj textu - http://agora.metaphysica.skaut.org/vyplyvani.rtf

Úvod. Zdroj textu - http://agora.metaphysica.skaut.org/vyplyvani.rtf Úkoly 1) Projděte dokument a opravte jej tak, aby používal k formátování pouze styly a. Správně označte příslušné typy nadpisů b. Barevné odstavce a texty kurzívou c. Je vhodné použít pro barevné texty

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 Verze: 20121012 01MA1 2011/12 Obsah Zkouška z předmětu 01MA1.............................. 4 Literatura....................................... 4 Logika........................................

Více

LOGICISMUS A PARADOX (II)

LOGICISMUS A PARADOX (II) LOGICISMUS A PARADOX (II) Vojtěch KOLMAN LOGICISM AND PARADOX (II) This is a sequel to my article devoted to the development of Fregean logicism. The first part dealt with its rise and fall", i. e. its

Více

J. Zendulka: Databázové systémy 4 Relační model dat 1

J. Zendulka: Databázové systémy 4 Relační model dat 1 4. Relační model dat 4.1. Relační struktura dat... 3 4.2. Integritní pravidla v relačním modelu... 9 4.2.1. Primární klíč... 9 4.2.2. Cizí klíč... 11 4.2.3. Relační schéma databáze... 13 4.3. Relační algebra...

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Správa počítačových systémů. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Správa počítačových systémů. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Správa počítačových systémů študenti MFF 15. augusta 2008 1 Vážený študent/čitateľ, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky

Více

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1.

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1. 4 4 = 8 8 8 = 5 + 19 1 = 4 = 11 : 1 k > 0 k 4k x 1 x x k + (1 x) 4k = k x + 4 4x = x = x 1 x = 1 = : 1. v h h s 75 v 50 h s v v 50 s h 75 180 v h 90 v 50 h 180 90 50 = 40 s 65 v 80 60 80 80 65 v 50 s 50

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 4. z aˇr ı 2011 1

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 4. z aˇr ı 2011 1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Obecná informatika 4. září 2011 1 Vážený študent/čitatel, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky boli vypracované študentmi

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Martin Koutecký. Optimalizace na grafech s omezenou stromovou šířkou přes vlastnosti vyjádřitelné v MSOL

Martin Koutecký. Optimalizace na grafech s omezenou stromovou šířkou přes vlastnosti vyjádřitelné v MSOL Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Martin Koutecký Optimalizace na grafech s omezenou stromovou šířkou přes vlastnosti vyjádřitelné v MSOL Katedra aplikované matematiky

Více

Č š ú Í ť úď ů Í ů Í Í ú ů ú Ž Í ů ů ů Í ů ů Í Í ň Ó ň ň Í Í š ť ň ž ň ň ů Ů ů ň ů ů ů ů ň ž Ž ž Ž Ž Ž Š Š Ž ů Ž Í Ž ů Í Č Ž ž ň ň Ž ů Ž Ž ú Í ů ů Ý ň ň ň ů Ž Í ď ů ů ů ů ň Ó ů Í ů Š ú ů ú ú Í ů Í ů ů

Více

Kapitola 3: Relační model. Základní struktura. Relační schéma. Instance relace

Kapitola 3: Relační model. Základní struktura. Relační schéma. Instance relace - 3.1 - Struktura relačních databází Relační algebra n-ticový relační kalkul Doménový relační kalkul Rozšířené operace relační algebry Modifikace databáze Pohledy Kapitola 3: Relační model Základní struktura

Více

É ď ú ť ŽŽ ť ť ť Ž ď ď Ů ď ř ř ť ú Č ď Ž ú ú ú ď ť Ú ř ď Ů Č ú Ů Ú ť ú Ž Ž ÚŘ ť Ž Ž ť Ú Ú Ú Ž Ž Ý Č Ň Ř ť ť Á Č Ů Ě Ž ú Ž ř Ž Ů Ů É ď ř Ó ú ď ť Č ť Ó Č ř Ý Č Ú ď ť ď ď ď ďů Ž ř ú ť ř ť ď ť ú ř ť ř ť Č

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

úč úč ž ů ž Č Č č č ů ž úč č úč ť Ň č ú Ý č č Ú Ú ť ú č ď ů ž š úč ž úč úč ž ť ď ť ď ž ú č č úč š ž Ů č č ú úč ž ů ť úč ž ž ž Ů č ž ú č Š úč č Úč Č Č š ď š Š š Ó Ó ž ůč ú Ď ť ž ů ů č ů Č ů ž úč Ý č ž úč

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti Ing. Miroslav Valečko Zimní semestr 2014/2015 25. 11. 2014 Návrh schématu databáze Existuje mnoho způsobů, jak navrhnout schéma databáze Některá jsou lepší, jiná zase

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

č ý é ů é ý é é ž ó ž Č é ě ěš é ř ů ř ý ěž č ň č ý č é č ř ě é č é č ů č ž š ě ý ě š č ů ů é č é č ý é é ž č ě ě é ý č ě é č ů ě ů ě ý ů ě č é ř é č ď ř ě ýš č č č č č é é č ž č ě š ť ě ě ý ř é ž č ý

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

č š é ž č é č ž é é é č é š š ř š ř Č é ř š ř ů Ž ř š é š č ř ž š š č ř č Úč ř č č č č ř č Á č č é éř Š ř ř é č č Ř Á č ž é Č ř ž č ů Úč ř č Š ř ů ž Ř Ě Á č ř é ž Á č č ř č Č é č č č ř Č é č č č č é ř

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

DJ2 vyjadřovací síla slajdy k přednášce NDBI001

DJ2 vyjadřovací síla slajdy k přednášce NDBI001 DJ2 vyjadřovací síla slajdy k přednášce NDBI001 J. Pokorný MFF UK Dotazovací jazyky 1 Sémantika DRK (1) Předpoklady: výrazy dotazu {x 1,...,x k A(x 1,...,x k )}, A je formule DRK, databáze R *, dom je

Více

Diskrétní matematika. Martin Kovár

Diskrétní matematika. Martin Kovár Diskrétní matematika Martin Kovár Tento text byl vytvořen v rámci realizace projektu CZ.1.07/2.2.00/15.0156, Inovace výuky matematických předmětů v rámci studijních programů FEKT a FIT VUT v Brně, realizovaném

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

LOGICA LUDUS Jaroslav Peregrin, FLÚ AV ČR a FF UK, Praha www.cuni.cz/~peregrin

LOGICA LUDUS Jaroslav Peregrin, FLÚ AV ČR a FF UK, Praha www.cuni.cz/~peregrin LOGICA LUDUS Jaroslav Peregrin, FLÚ AV ČR a FF UK, Praha www.cuni.cz/~peregrin Vymezení logického kalkulu, či vymezení nějaké teorie vyjádřené v jeho rámci se obvykle skládá ze tří součástí: (1) Syntaktická

Více

č úč ř ú úč é š ř úč ř ář ž úč úč ř ň á č á á á ř á ř ř ř úč Č ář é úč é á á ř á č úč š ř áš á á á č úč š ř úč ř č á úč é úč á č á á š ř á č Í š ř č úč č ž á é á é š é úč ď ž č Ýé ř á é ř úč úč ř ž ď š

Více

ale třeba i výroky, kde se za modifikátorem nachází složený výrok jako

ale třeba i výroky, kde se za modifikátorem nachází složený výrok jako Modální logika Nejběžnějším výrokovým modifikátorem, se kterým se setkáváme v přirozeném jazyce je negace. Operátor negace je jedním z klíčových spojek klasické logiky. Běžně se ovšem v přirozeném jazyce

Více

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů.

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů. Modely datové Existují různé úrovně pohledu na data. Nejvyšší úroveň je úroveň, která zachycuje pouze vztahy a struktury dat samotných. Konceptuální model - E-R model. Další úrovní je logická úroveň Databázové

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Í ó ů š ú ý š ň Ž ý ů š ý Í ž ů ý ý ů Č Č š ý ž ž ý ý ý ž š š ž ý š ů ů ů ž ýú š š ů Í š ž š Ž ý ž ž š ý ý ů Ž š ú Í š š Ž ů ů ý ů Ž ů šš ý šš ý ý šš š ý Ž š Ž ýš ó š ý š ž ýý Ž Ž ú š ž ů š ž š ý š ň š

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2009 Tomáš Michek Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Program pro výuku a testování základů výrokové a

Více

5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace

5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace Obsah prvního svazku 1 Úvod 1.1 Přehled pojmů a struktur 1.1.1 Množiny, čísla a relace 1.1.2 Funkce 1.1.3 Pravděpodobnost 1.1.4 Grafy 1.2 Algebra 1.2.1 Dělitelnost, prvočíselnost a základní kombinatorické

Více

Matijasevičova věta. studijní materiál, draft verse k připomínkování, 16. 11. 2007 Michal Černý, katedra ekonometrie, VŠE Praha

Matijasevičova věta. studijní materiál, draft verse k připomínkování, 16. 11. 2007 Michal Černý, katedra ekonometrie, VŠE Praha Matijasevičova věta studijní materiál, draft verse k připomínkování, 16. 11. 2007 Michal Černý, katedra ekonometrie, VŠE Praha Cílem tohoto materiálu je podat důkaz důležitého tvrzení, známého jako Matijasevičova

Více

VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ PODMÍNKY společnosti CTS int. s.r.o., IČ: 272 10 651 se sídlem: Bradlec, Na Výsluní 370, PSČ 293 06.

VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ PODMÍNKY společnosti CTS int. s.r.o., IČ: 272 10 651 se sídlem: Bradlec, Na Výsluní 370, PSČ 293 06. VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ ODMÍNKY č CTS..r.., IČ: 272 10 651 : Brc, N Vý 370, SČ 293 06 (á VO ) 1. Vý jů M 1 1.1. y j bch č C S..r.., rc, ý37,s 293 06, IČ: 72 0 51, á ch rjř é ě ý r,, 1 4718. y j á ě ěč Č h čh

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

V metodice by měly být zahrnuty všechny režijní výdaje, které si nárokujete alikvotně, tedy např.:

V metodice by měly být zahrnuty všechny režijní výdaje, které si nárokujete alikvotně, tedy např.: Vážení příjemci, přestože většina projektů již běží naplno a samotné vykazování nákladů k proplacení v rámci předkládaných finančních zpráv je na mnohem lepší úrovni, existují stále nedostatky v oblasti

Více

23. Splnitelnost a platnost výrokových formulí, dedukce ve výrokové logice

23. Splnitelnost a platnost výrokových formulí, dedukce ve výrokové logice Okruhy otázek k přijímacím zkouškám Studijní obor: Informační studia se zaměřením na knihovnictví A. TEORETICKÉ A METODOLOGICKÉ ZÁKLADY INFORMAČNÍ VĚDY 1. Citační etika, zásady citování a porušování citační

Více

Úvod do logiky: PL Kategorický sylogismus

Úvod do logiky: PL Kategorický sylogismus Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky: PL Kategorický sylogismus doc. PhDr. Jiří Raclavský,

Více

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D. Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy?

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Kapitola 4 Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Přestože jsme se v minulé kapitole zabývali subjekty a predikáty, existuje ještě jeden typ výrazů, který může vystupovat jako podmět oznamovací

Více

Algebra blokových schémat Osnova kurzu

Algebra blokových schémat Osnova kurzu Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD 1 Osnova

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Logika pro informatiky (a příbuzné obory)

Logika pro informatiky (a příbuzné obory) VŠB Technická univerzita Ostrava Logika pro informatiky (a příbuzné obory) učební text Doc. RNDr. Marie Duží, CSc. Ostrava 2012 Vydavatelství VŠB-TU Ostrava Vydání této publikace je spolufinancováno Evropským

Více

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 14 Přednáška PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomili jsme si nejprve, že např. pro zjištění toho, zda Bílý má nějakou strategii ve hře ŠACHY, která

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

É á á á č á áž ů ů š é á á é á á é á ě á ě á á áž ů ů š é á á é á ů č á č á ů ý ě ú á á ě á č á ů ý ě ú á ů ě é č á ě ě á ě ň á č ú ě á á ě á ě ě ě é á ě ň á č ú ě á ů č č ě é á č á ý ě ě á á á á ě Č ě

Více

Ě Ý Č ř é Ž ů Á á á Ž á ů ů ž é š č š Ž é ř á é ář š č á Ž č ář é á č ů Š Ý š ř é š á é é Žďá ů á á Ž š ů ŽďáÍ á Ž á é áš š éůž š é Ž á é ž á č á ů á á é Š áž á á ů ř ř šř Č ů á ř ň ů á ů á é č é á š á

Více