Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešení: Ano. Řešení: Ne."

Transkript

1 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je term t substituovatelný do ϕ za proměnnou v v následujících případech: a) tje F(z), vje x. Řešení:Ne. b) tje F(z), vje y. Řešení:Ano. c) tje F(x), vje x. Řešení:Ano. d) tje F(c), vje y. Řešení:Ano. 2. Buď ϕ formule ( x)(( z)(z < x&y= z) z x) a dále x, y, z různé proměnné, G binární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je term t substituovatelný do ϕ za proměnnou v v následujících případech: a) tje G(c, x), vje y Řešení:Ne. b) tje G(c, y), vje y Řešení:Ano. c) tje G(c, c), vje z Řešení:Ano. d) tje G(z, x), vje z Řešení:Ne. UF.1.2. Instance. Varianty. 1.Nechť ynenívolnáve ϕajesubstituovatelnáza xdo ϕ, ϕ je ϕ(x/y).zjistěte, zda ϕ (y/x)je ϕ.zdůvodněteodpověď. Řešení:Obapředpokladydohromadyzaručují,ževolnývýskyt yve ϕ je právětam,kdejevolnývýskyt xvϕ.tedy xjesubstituovatelnéza ydo ϕ atakérovnostobouuvažovanýchformulíplatí. 2. Buďte x, y, z, u různé proměnné, Q kvantifikátor. Odpovězte a zdůvodněte, zda v následujících případech platí: ψjevarianta ϕ. a) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qz)(z < y ( z)(z= y& z z)) Řešení:Ne. znenísubstituovatelnéza xdo x < y ( z)(z= y& z x). b) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qy)(y < y ( z)(z= y& z y)) Řešení:Ne. yjevolnáve ϕ. c) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qu)(u < y ( z)(z= y& z u)) Řešení:Ano. unenívolnáve ϕajesubstituovatelnáza xdo x < y ( z)(z= y& z x). 3. Buď P unární predikátový symbol, ϕ formule( y)(y= x)&p(x), ϕ formule( y)(y= y)&p(y). a) Je( x)ϕ varianta( x)ϕ? Řešení: Ne. b) Je xsubstituovatelnédo ϕ za y? Řešení: Ano. c) Je ϕrovno ϕ (y/x)? Řešení:Ne. ϕ (y/x)je( y)(y= y)&p(x). d) Je ϕ ϕ (y/x)? Řešení:Ano.Je ( y)(y= x) ( y)(y= y),protožeoběformule zekvivalencejsoudokazatelné.odtud ( y)(y= x)&p(x) ( y)(y= y)&p(x).

2 2 Pojem modelu a splňování. Axiomatizovatelnost. UF.1.3. Platnost formule v modelu. 1.Buď ϕformule P(x) ( x)p(x),kde P jeunárnírelačnísymbol.vprávě kterýchstrukturách A, P A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž P A A. 2.Buď ϕformule x=c,kde cjekonstantnísymbol.vprávěkterýchstrukturách A, c A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž A 2. 3.Buď ϕformule P(x) ( x)r(x),kde P, Rjsourůznéunárnípredikátové symboly.vprávěkterýchstrukturách A= A, P A, R A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž P A A R A. Zřejmě totiž: A = ϕ P A ar A A, A = ϕ P A Anebo R A = A. UF.1.4. Korektnost substituce. Buď ϕformule( y)(x y)srůznýmiproměnnými x, y.buď ϕ výsledek nekorektnísubstituce ydo ϕzavolnývýskyt x.buď Astruktura.Uvažujmetvrzení: Prokaždé e:var Aje A = ϕ [e] A = ϕ[e(x/y[e])]. a)uveďte,zda( )platípro A= N,+,kde+jesčítánípřirozenýchčísel. Řešení: Ne. b)uveďte,zda( )platípro A= {0}, R,kde R={ 0,0 }. Řešení: Ano. c)právěprokterémodely A= A (teoriečistérovnosti)platí( )? Řešení: Právě pro A s A jednoprvkovým. UF.1.5. Axiomatizovatelnost. 1.BuďK={ A ;velikost Ajesudánebonekonečná}třídamodelůjazyka L čisté rovnosti. Zjistěte, zda je K axiomatizovatelná, případně najděte její axiomatiku. Řešení: T= { existujeprávě2k+1prvků ; k N}axiomatizujeK. 2.Nechť T jeteorievjazyce Lsrovnostítaková,že T mámodelakaždýjejí modeljenekonečný.buď0 < n N.Najděte L-teorii T tak,abym (T )=M (T) a T mělanějakékonečnémodely,atovšechny: a) právě n-prvkové, b) právě n-prvkové nebo 2n-prvkové. Řešení:Buď T = {ϕ ψ; ϕ T }svhodným ψ. 3.Buď0<n N.Najděteteorii T vnějakémjazycesrovností,kterámá nekonečné modely, nemá spočetný model, má konečné modely, všechny kardinality nejvýše n. Řešení:Buď L= c i ; i R skonstantnímisymboly c i a T 0 buď L-teorie {c i c j ; i, j R, i j};hledaná Tje L-teorie {ϕ existujenejvýše nprvků ; ϕ T 0 }. ( ) 4.Buď L= U srovností,přičemž Ujeunárnírelačnísymbol,0 < n Na K={ A, U A ; U A jenekonečnánebonejvýše n-prvková} je třída L-struktur. Zjistěte, zda je K axiomatizovatelná, případně najděte její axiomatiku. Řešení:Nechť T0 jeteorie L-teorie {( x 0,..., x m 1 )( i<j<m x i x j & i<m U(x i));0 < m N}. Pro L-strukturu Aplatí: A = T 0 U A ω.buď χsentence existuje nejvýše nprvků xsu(x).pak T= {ϕ χ; ϕ T 0 },axiomatizujek.

3 3 Izomorfní spektra. UF.1.6. Izomorfní spektra v jazyce U, c. Buď L= U, c,kde Ujeunárnírelačníackonstantnísymbol. 1. Popište izomorfní spektrum L-teorie T = {U(c)}. Řešení:I(κ, T)= Cn κ.modely κ, U, c, κ, U, c teorie T jsou izomorfní,právěkdyž U, κ U = U, κ U,přičemž U 1. Všechrůznýchdvojic U, κ U s U 1, U κjeprávě Cn κ. Pro κ < ωjetotiž Cn κ =κ.pro κ ωjebuď U jakékolikardinality < κ,nebo U =κapakmůžebýt κ U jakékolikardinality κ; takovýchmožnostíje Cn κ + Cn κ = Cn κ. 2. Popište izomorfní spektrum L-teorie T = {(!x)u(x)}. Řešení:I(κ, T)=1pro κ=1a2pro κ >1. UF.1.7. Izomorfní spektrum jazyka spočetně konstant. Buď L= c i i<ω,kde c i jsoukonstantnísymboly. 1.Pro L-strukturu Adefinujemeekvivalenci E A na ω: i E A j c A i = c A j. Buďte A, B dvě L-struktury téže velikosti. a) Platí: A = B E A = E B a A {c A i ; i < ω} = B {cb i ; i < ω}. (1) Speciálně je nejvýše kontinuum neizomorfních L-struktur dané kardinality. b) Jsou-li A, B konečné nebo nespočetné, platí: A = B E A = E B. (2) c)najdětespočetné A, B,prokteré(2)neplatí. 2.Pro κ 2jeI(κ, L)=2 ω. Návod: Užijte toho, že na ω je kontinuum různých ekvivalencí s λ třídami, když2 λ ω. Řešení:Buď Eekvivalencena ω, λ(e)počettříd E.Pro κ λ(e)definujme L-strukturu κ E = κ, c E i i<ωtak,abyplatilo: c E i = c E j i E j. Pak: Jsou-li E, E ekvivalencena ωtak κ E = κ E E= E. Tedy: jelikož je na ω kontinuum různých ekvivalencí s λ třídami, jakmile 2 λ ω, existuje alespoň kontinuum neizomorfních L-struktur kardinality κ( 2)adle(1)jichnenívíce. UF.1.8. TeorieDiLOdiskrétníholineárníhouspořádánímáprokaždé κ ωprávě2 κ neizomorfních modelů kardinality κ. Návod:Užijtetoho,žeprokaždé κ ωjeprávě2 κ neizomorfníchlineárních uspořádání s univerzem kardinality κ. Řešení:Proostrélineárníuspořádání A= A, < A buď A(Z)= A Z, < Le lexikografickéuspořádání.jediskrétníakardinalitymax( A, ω). Nechť B= B, < B jelineárníuspořádání.pakplatí A(Z) = B(Z) A = B.Buďtotiž hisomorfizmus A(Z)aB(Z);definujme H: A Btakto: H(a)=b a existuje j a Zsh( a,0 )= b a, j a. Paktojejasnězobrazenína Ba a < A a h( a,0 ) < B(Z) h( a,0 )amezi h( a,0 ), h( a,0 )je nekonečně prvků b a < B b a H(a) < B H(b). Jelikožna κ ωje2 κ neizomorfníchlineárníchuspořádání A,máme2 κ neizomorfníchlineárníchuspořádání A(Z)na κ Z,tedy2 κ neizomorfních diskrétních lineárních uspořádání, majících každé velikost univerza κ.

4 4 Základy dedukce. UF.1.9. Syntaktický důkaz bezespornosti teorie rovnosti v L. Nechť T je teorie rovnosti v L, tj. L-teorie s rovností bez mimologických axiomů. Buď dnovýkonstantnísymbol.pro L-formuli ϕbuď ϕ formule,kterásezískázϕ odstraněním všech kvantifikací a nahrazením každého termu konstantním symbolem d.pak ϕ jevýroknadprvovýroky d=d, R(d,..., d),kde RjerelačnísymbolzL. a)je-li ϕlogickýaxiomneboaxiomrovnosti,kroměaxiomu x=x,je ϕ tautologie. Řešení: Pro logický axiom ϕ, který není axiomem rovnosti, to je jasné. Axiomyrovnosti ϕkromě x=xpřejdouna ϕ tvaru d=d d=d (R(d,..., d) R(d,..., d)) nebo d=d d=d d=d apakovšem v(ϕ )=1. b) T ϕ v(ϕ )=1,jakmile vjeohodnoceníuvedenýchprvovýrokůtakové, žeplatí v(d=d)=1.speciálněje Tbezesporná. Návod: Užijte indukci na teorémech T. Řešení:Indukcínateorémech T.Proaxiom ϕtoplatí,neboť(x=x) je d=d.buď v(d=d)=1.nechťpro ψ, ψ ϕtoplatí.pak1= v((ψ ϕ) )=v(ψ ϕ )av(ψ )=1,tedy v(ϕ )=1.Platí-litopro ϕ,tak v((( x)ϕ) )=v(ϕ )=1. UF Dokazatelné, vyvratitelné, nezávislé a bezesporné formule. 1. Buďte P, R různé unární predikátové symboly. Zdůvodněte, zda formule ϕ je dokazatelná, vyvratitelná či nezávislá v logice, kde ϕ je a) P(x) b) P(x) R(x) c)( x, y)(p(x) (R(x) P(x))) d)( x)p(x) Řešení:a)Nezávislá. 1, = ϕ, 1,1 = ϕ.b)nezávislá. 2,,2 = ϕ, 2,2, = ϕ.c)dokazatelná,neboť P(x) (R(x) P(x))jetautologie.d)Nezávislá. 1, = ϕ, 1,1 = ϕ. 2. Najděte nějaké nezávislé sentence teorie čisté rovnosti, teorie lineárního uspořádání, teorie grup, teorie těles. 3. Nechť T ( x)ϕ(x). Co lze říci o dokazatelnosti, vyvratitelnosti, nezávislosti, konzistenci ϕ, ϕ vzhledem k T? UF Vlastnosti kvantifikátorů. 1. ( x)(ϕ ψ) ((Qx)ϕ (Qx)ψ),kde Qznačíkvantifikátor. Návod: Užijte větu o konstantách. Řešení: Buďte T logické axiomy v jazyce rozšířeném o nové konstantní symboly c i ; ϕ(x, x 1 /c 1, ) resp. ψ(x, x 1 /c 1, ) označme ϕ (x) resp. ψ (x)(konstantysubstituujemezavšechnyvolnéproměnné,kromě x). Pak T,( x)(ϕ ψ ) ϕ ψ,dlepravidladistribucekvantifikátoru i T,( x)(ϕ ψ ) (Qx)ϕ (Qx)ψ azbytekdávětaodedukcia konstantách. 2. a) ( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení:Je ( x)ϕ ϕ, ϕ(x) ( x)ϕ;odtudpomocípravidlatranzitivity implikace plyne dokazované. b) ϕ ( x)ϕ ( x)ϕ ( x)ϕ ( x) ϕ ( x)ϕ. Řešení:Prváekvivalence.Implikace : ϕ ( x)ϕ ( x)(ϕ ( x)ϕ) ( x)ϕ ( x)ϕ. Implikace : ( x)ϕ ( x)ϕ ( x)(ϕ ( x)ϕ) ϕ ( x)ϕ.užitímdemorganovýchvztahůplyne druhá ekvivalence.

5 5 3. a) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení: i) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ dává axiom substituce. ii) ( x)ϕ ( x)( x)ϕ plyne z ( x)ϕ ( x)ϕ pravidlem -zavedení. Z i), ii) plyne ihned dokazované. b) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení: i)( x)( x)ϕ ( x)ϕ dává pravidlo -zavedení. ii)( x)ϕ ( x)( x)ϕplynezplatnéhovztahu ψ ( x)ψ.zi),ii) plyne ihned dokazované. UF Vytýkání kvantifikátorů- protipříklady. 1. ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ). a P A R A A.Pak A =( x)(p(x) R(x)), A =(P(x) ( x)r(x))[a]. Tedy A =( x)(p(x) R(x)) (P(x) ( x)r(x)). 2. (ϕ ( x)ψ) ( x)(ϕ ψ). a A P A, P A R A.Pak A =(P(x) ( x)r(x))[a], A =( x)(p(x) R(x)). Tedy A =(P(x) ( x)r(x)) ( x)(p(x) R(x)). 3. ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ). a P A A, R A =.Pak A =( x)(p(x) R(x)) (protožeexistuje b A P A ), A =(P(x) ( x)r(x))[a] (protožeje a P A ). Tedy A =( x)(p(x) R(x)) (P(x) ( x)r(x)).

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující

Více

ŘEŠENÉ ZÁPOČTOVÉ TESTY Z VÝROKOVÉ A PREDIKÁTOVÉ LOGIKY

ŘEŠENÉ ZÁPOČTOVÉ TESTY Z VÝROKOVÉ A PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Poznámka: Tento materiál je souborem řešených zápočtových testů ze zimního semestru 2012/2013 k přednášce Výroková a predikátová logika na MFF UK v Praze. Nejedná se o oficiální materiál k přednášce, nebyl

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin 1 2 Proč studovat matematickou logiku a teorii množin Základy logiky a teorie množin objasnění vztahu jazyka a významu (syntaxe a sémantiky) precizace klíčových matematických pojmů: axiom, teorie, důkaz,

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin 1 Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz URL (slajdy): http://pajas.matfyz.cz/vyuka 2 Proč studovat matematickou logiku a teorii množin objasnění vztahu jazyka a významu (syntaxe a sémantiky)

Více

Klasická predikátová logika

Klasická predikátová logika Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace

Více

Úlohy - predikátová logika (přepis)

Úlohy - predikátová logika (přepis) Úlohy - predikátová logika (přepis) Martin Všetička 7. ledna 2009, 17:12 Zásadní informace pro následné čtení příkladů Tvrzení: Pravidlo tautologie (PTT) Pravidlo o rozboru případů (PR) Pravidlo konjunkce

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie

Více

Petr Glivický. slidy k přednášce Logika a teorie množin ZS 2016/17. Ke stažení na

Petr Glivický. slidy k přednášce Logika a teorie množin ZS 2016/17. Ke stažení na slidy k přednášce Logika a teorie množin ZS 2016/17 petrglivicky@gmail.com Ke stažení na www.glivicky.cz Doporučená literatura Elektronická: tyto slidy a další materiály k přednášce dostupné na mém webu

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

Predikátová(a výroková) logika

Predikátová(a výroková) logika Predikátová(a výroková) logika slidy k přednášce Logika a teorie množin(nump016, NMUE023) ZS 2012/13 Petr Glivický petrglivicky@gmail.com Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Univerzita

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Logika a logické programování

Logika a logické programování Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Predikátová logika dokončení

Predikátová logika dokončení Predikátová logika dokončení Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 1/18 Syntaktická analýza Jako ve výrokové logice (syntaktické stromy). Každý list úspěšného stromu je obsazen

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

4.2 Syntaxe predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky 36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a

Více

6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS

6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS Základy logiky Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2012 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování, tedy postupů,

Více

Materiály ke kurzu MA007

Materiály ke kurzu MA007 Výroková Matematická Materiály ke kurzu MA007 Poslední modifikace: 29. září 2009 http://www.fi.muni.cz/usr/kucera/teaching.html 2. věta o 29. září 2009 1/147 Logika. Výroková 2. věta o Bůh Lidské uvažování

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

LOGIKA A TEORIE MNOŽIN

LOGIKA A TEORIE MNOŽIN Poznámka: Tento text vzniká jako materiál k přednášce Logika a teorie množin na MFFUKvPraze.Jelikožjdeotextvefázivzniku,obsahujejistěřadunedostatků, které budou průběžně odstraňovány, stejně jako se text

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Výroková a predikátová logika. J. Mlček

Výroková a predikátová logika. J. Mlček Výroková a predikátová logika J. Mlček 2012 2 Obsah 1 Úvod a předběžnosti 5 1.1 Předběžnosti................... 5 1.2 Booleovyalgebry................. 10 1.3 Olineárníchuspořádáních........... 17 1.4 Poznámky.....................

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro

Více

Predikátová logika 1. řádu shrnutí

Predikátová logika 1. řádu shrnutí Predikátová logika 1. řádu shrnutí Symboly: Syntaxe: Logické symboly: proměnné:x Var,kdeVar = {x 0,x 1,x 2,...} logickéspojky:,,,, kvantifikátory:, závorky: ), ( symbol pro rovnost: = Mimologickésymboly

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Predikátová logika Motivace Výroková

Více

1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí

1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY

1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický

Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický čtverec

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

I. Úvodní pojmy. Obsah

I. Úvodní pojmy. Obsah I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....

Více

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz :: DISKRÉTNÍ MATEMATIKA pro obor aplikovaná informatika 1. diskrétní 1. ohleduplný, taktní 2. zachovávající tajemství 3. nespojitý, přetržitý Akademický slovník cizích slov (1998): 2. Literatura Berka, M.,

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky študenti MFF 15. augusta 2008 1 1 Základy teoretické informatiky Požadavky Logika - jazyk, formule, sémantika, tautologie

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika

Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika Vlastnosti klauzulí, negace Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 27. října 2008 Věta o transferu bázového atomu

Více

Matematicko-fyzikální fakulta UK. Predikátová logika

Matematicko-fyzikální fakulta UK. Predikátová logika Matematicko-fyzikální fakulta UK Predikátová logika Praha 2000 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Jazyk logiky.............................. 4 1.2 Formální systém logiky prvního řádu................ 10 2 Výroková logika

Více

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče. MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0. Kapitola 4 Booleovy algebry 4.1 Definice Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí x y = 1, x y = 0. Představu o

Více

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů):

I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů): I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů): 1. Všechna prvočísla větší než 2 jsou lichá. Je-li prvočíslo větší než 2, pak je liché.

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Logické programování

Logické programování 30. října 2012 Osnova Principy logického programování 1 Principy logického programování 2 3 1 Principy logického programování 2 3 Paradigmata programování Strukturované programování Procedurální programování

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 Obsah Předmluva... 15 I. Objektivní pravděpodobnosti 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 1.1 Úvod... 23 1.2 Základy frekvenční interpretace... 24 1.2.1 Pravděpodobnost a hromadné jevy... 24 1.2.2

Více

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera 1. Operace a Ω-algebry Úvod. V průběhu přednášky z algebry jsme studovali řadu algebraických struktur: grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory

Více

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho

Více

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE 2005 Jaroslav Zouhar UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE FILOZOFICKÁ FAKULTA, KATEDRA LOGIKY Obor logika Interpretace Gödelovy věty

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

Výroková a predikátová logika - I

Výroková a predikátová logika - I Výroková a predikátová logika - I Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - I ZS 2016/2017 1 / 24 Úvod Plán přednášky 1/2 Úvod 1. Trocha historie,

Více

OBSAH Gödelova nezapomenutelná práce 15 0 ÚVOD 16 0.1 Základní pojmy... 18 0.1.1 Formální systémy... 18 0.1.2 Jazyk a metajazyk... 20 0.1.3 Bezesporné aneb konzistentní teorie... 21 0.1.4 Neúplné teorie...

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4.

Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4. Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4. 1 Matematická logika - poznámky k přednáškám Radim Bělohlávek 29. května 2003 1 Co je (matematická) logika?

Více

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková Klauzulární logika Znalostní báze Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 26. listopadu 2007 (Znalostní báze) Klauzulární

Více

METODOLOGIE (LOGIKA) VĚDY

METODOLOGIE (LOGIKA) VĚDY METODOLOGIE (LOGIKA) VĚDY (kombinovaná forma doktorského studia) 1. Prof. PhDr. Vladimír Čechák, CSc., vladimir.cechak@vsfs.cz :: LITERATURA Povinná: Friedman M.: Metodologie pozitivní ekonomie. Praha:

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Úvod do logiky (PL): analýza vět přirozeného jazyka

Úvod do logiky (PL): analýza vět přirozeného jazyka Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): analýza vět přirozeného jazyka doc. PhDr.

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice patří mezi nejužívanější nástroje matematiky v aplikacích. Jsou to rovnice, kde neznámou je funkce a rovnice obsahuje i derivace této funkce. Lze očekávat,

Více

M - Výroková logika VARIACE

M - Výroková logika VARIACE M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

ú ň ň ů ý ů ů ů ň Í ů ý ů ý ý ý ň ú ý ů ú ň ý ú ý ů ú ů ý ý ů ď ď ň ú ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ý ý ó ť ý ů ý ů ý ý ý ý ý ď ý ý ý ý ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ů Í ů ď ý ý ů Ť ý ý ý ý ý ý ý ú ý ů ú ú Í Ť ú ú

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana. Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo

Více

Učitelství 2. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 2. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 2. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematická analýza I (KMD/MANA1)...2 Úvod do teorie množin (KMD/TMNZI)...4 Algebra 2 (KMD/ALGE2)...6 Konstruktivní geometrie

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 8. z aˇr ı 2011 1

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 8. z aˇr ı 2011 1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Obecná informatika 8. září 2011 1 Vážený študent/čitatel, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky boli vypracované študentmi

Více

Co člověk potřebuje, když potřebuje "logiku vyššího řádu"? Jaroslav Peregrin 1 www.cuni.cz/~peregrin

Co člověk potřebuje, když potřebuje logiku vyššího řádu? Jaroslav Peregrin 1 www.cuni.cz/~peregrin Co člověk potřebuje, když potřebuje "logiku vyššího řádu"? Jaroslav Peregrin 1 www.cuni.cz/~peregrin Predikátový počet prvního řádu Formální jazyky, které jsou médiem moderní formální logiky, se postupně

Více

text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium

text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ Pedagogická fakulta Binární relace text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium Doc. Paed

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více