Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešení: Ano. Řešení: Ne."

Transkript

1 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je term t substituovatelný do ϕ za proměnnou v v následujících případech: a) tje F(z), vje x. Řešení:Ne. b) tje F(z), vje y. Řešení:Ano. c) tje F(x), vje x. Řešení:Ano. d) tje F(c), vje y. Řešení:Ano. 2. Buď ϕ formule ( x)(( z)(z < x&y= z) z x) a dále x, y, z různé proměnné, G binární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je term t substituovatelný do ϕ za proměnnou v v následujících případech: a) tje G(c, x), vje y Řešení:Ne. b) tje G(c, y), vje y Řešení:Ano. c) tje G(c, c), vje z Řešení:Ano. d) tje G(z, x), vje z Řešení:Ne. UF.1.2. Instance. Varianty. 1.Nechť ynenívolnáve ϕajesubstituovatelnáza xdo ϕ, ϕ je ϕ(x/y).zjistěte, zda ϕ (y/x)je ϕ.zdůvodněteodpověď. Řešení:Obapředpokladydohromadyzaručují,ževolnývýskyt yve ϕ je právětam,kdejevolnývýskyt xvϕ.tedy xjesubstituovatelnéza ydo ϕ atakérovnostobouuvažovanýchformulíplatí. 2. Buďte x, y, z, u různé proměnné, Q kvantifikátor. Odpovězte a zdůvodněte, zda v následujících případech platí: ψjevarianta ϕ. a) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qz)(z < y ( z)(z= y& z z)) Řešení:Ne. znenísubstituovatelnéza xdo x < y ( z)(z= y& z x). b) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qy)(y < y ( z)(z= y& z y)) Řešení:Ne. yjevolnáve ϕ. c) ϕje(qx)(x < y ( z)(z= y& z x)) ψje(qu)(u < y ( z)(z= y& z u)) Řešení:Ano. unenívolnáve ϕajesubstituovatelnáza xdo x < y ( z)(z= y& z x). 3. Buď P unární predikátový symbol, ϕ formule( y)(y= x)&p(x), ϕ formule( y)(y= y)&p(y). a) Je( x)ϕ varianta( x)ϕ? Řešení: Ne. b) Je xsubstituovatelnédo ϕ za y? Řešení: Ano. c) Je ϕrovno ϕ (y/x)? Řešení:Ne. ϕ (y/x)je( y)(y= y)&p(x). d) Je ϕ ϕ (y/x)? Řešení:Ano.Je ( y)(y= x) ( y)(y= y),protožeoběformule zekvivalencejsoudokazatelné.odtud ( y)(y= x)&p(x) ( y)(y= y)&p(x).

2 2 Pojem modelu a splňování. Axiomatizovatelnost. UF.1.3. Platnost formule v modelu. 1.Buď ϕformule P(x) ( x)p(x),kde P jeunárnírelačnísymbol.vprávě kterýchstrukturách A, P A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž P A A. 2.Buď ϕformule x=c,kde cjekonstantnísymbol.vprávěkterýchstrukturách A, c A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž A 2. 3.Buď ϕformule P(x) ( x)r(x),kde P, Rjsourůznéunárnípredikátové symboly.vprávěkterýchstrukturách A= A, P A, R A neplatí ϕani ϕ? Řešení:Právěkdyž P A A R A. Zřejmě totiž: A = ϕ P A ar A A, A = ϕ P A Anebo R A = A. UF.1.4. Korektnost substituce. Buď ϕformule( y)(x y)srůznýmiproměnnými x, y.buď ϕ výsledek nekorektnísubstituce ydo ϕzavolnývýskyt x.buď Astruktura.Uvažujmetvrzení: Prokaždé e:var Aje A = ϕ [e] A = ϕ[e(x/y[e])]. a)uveďte,zda( )platípro A= N,+,kde+jesčítánípřirozenýchčísel. Řešení: Ne. b)uveďte,zda( )platípro A= {0}, R,kde R={ 0,0 }. Řešení: Ano. c)právěprokterémodely A= A (teoriečistérovnosti)platí( )? Řešení: Právě pro A s A jednoprvkovým. UF.1.5. Axiomatizovatelnost. 1.BuďK={ A ;velikost Ajesudánebonekonečná}třídamodelůjazyka L čisté rovnosti. Zjistěte, zda je K axiomatizovatelná, případně najděte její axiomatiku. Řešení: T= { existujeprávě2k+1prvků ; k N}axiomatizujeK. 2.Nechť T jeteorievjazyce Lsrovnostítaková,že T mámodelakaždýjejí modeljenekonečný.buď0 < n N.Najděte L-teorii T tak,abym (T )=M (T) a T mělanějakékonečnémodely,atovšechny: a) právě n-prvkové, b) právě n-prvkové nebo 2n-prvkové. Řešení:Buď T = {ϕ ψ; ϕ T }svhodným ψ. 3.Buď0<n N.Najděteteorii T vnějakémjazycesrovností,kterámá nekonečné modely, nemá spočetný model, má konečné modely, všechny kardinality nejvýše n. Řešení:Buď L= c i ; i R skonstantnímisymboly c i a T 0 buď L-teorie {c i c j ; i, j R, i j};hledaná Tje L-teorie {ϕ existujenejvýše nprvků ; ϕ T 0 }. ( ) 4.Buď L= U srovností,přičemž Ujeunárnírelačnísymbol,0 < n Na K={ A, U A ; U A jenekonečnánebonejvýše n-prvková} je třída L-struktur. Zjistěte, zda je K axiomatizovatelná, případně najděte její axiomatiku. Řešení:Nechť T0 jeteorie L-teorie {( x 0,..., x m 1 )( i<j<m x i x j & i<m U(x i));0 < m N}. Pro L-strukturu Aplatí: A = T 0 U A ω.buď χsentence existuje nejvýše nprvků xsu(x).pak T= {ϕ χ; ϕ T 0 },axiomatizujek.

3 3 Izomorfní spektra. UF.1.6. Izomorfní spektra v jazyce U, c. Buď L= U, c,kde Ujeunárnírelačníackonstantnísymbol. 1. Popište izomorfní spektrum L-teorie T = {U(c)}. Řešení:I(κ, T)= Cn κ.modely κ, U, c, κ, U, c teorie T jsou izomorfní,právěkdyž U, κ U = U, κ U,přičemž U 1. Všechrůznýchdvojic U, κ U s U 1, U κjeprávě Cn κ. Pro κ < ωjetotiž Cn κ =κ.pro κ ωjebuď U jakékolikardinality < κ,nebo U =κapakmůžebýt κ U jakékolikardinality κ; takovýchmožnostíje Cn κ + Cn κ = Cn κ. 2. Popište izomorfní spektrum L-teorie T = {(!x)u(x)}. Řešení:I(κ, T)=1pro κ=1a2pro κ >1. UF.1.7. Izomorfní spektrum jazyka spočetně konstant. Buď L= c i i<ω,kde c i jsoukonstantnísymboly. 1.Pro L-strukturu Adefinujemeekvivalenci E A na ω: i E A j c A i = c A j. Buďte A, B dvě L-struktury téže velikosti. a) Platí: A = B E A = E B a A {c A i ; i < ω} = B {cb i ; i < ω}. (1) Speciálně je nejvýše kontinuum neizomorfních L-struktur dané kardinality. b) Jsou-li A, B konečné nebo nespočetné, platí: A = B E A = E B. (2) c)najdětespočetné A, B,prokteré(2)neplatí. 2.Pro κ 2jeI(κ, L)=2 ω. Návod: Užijte toho, že na ω je kontinuum různých ekvivalencí s λ třídami, když2 λ ω. Řešení:Buď Eekvivalencena ω, λ(e)počettříd E.Pro κ λ(e)definujme L-strukturu κ E = κ, c E i i<ωtak,abyplatilo: c E i = c E j i E j. Pak: Jsou-li E, E ekvivalencena ωtak κ E = κ E E= E. Tedy: jelikož je na ω kontinuum různých ekvivalencí s λ třídami, jakmile 2 λ ω, existuje alespoň kontinuum neizomorfních L-struktur kardinality κ( 2)adle(1)jichnenívíce. UF.1.8. TeorieDiLOdiskrétníholineárníhouspořádánímáprokaždé κ ωprávě2 κ neizomorfních modelů kardinality κ. Návod:Užijtetoho,žeprokaždé κ ωjeprávě2 κ neizomorfníchlineárních uspořádání s univerzem kardinality κ. Řešení:Proostrélineárníuspořádání A= A, < A buď A(Z)= A Z, < Le lexikografickéuspořádání.jediskrétníakardinalitymax( A, ω). Nechť B= B, < B jelineárníuspořádání.pakplatí A(Z) = B(Z) A = B.Buďtotiž hisomorfizmus A(Z)aB(Z);definujme H: A Btakto: H(a)=b a existuje j a Zsh( a,0 )= b a, j a. Paktojejasnězobrazenína Ba a < A a h( a,0 ) < B(Z) h( a,0 )amezi h( a,0 ), h( a,0 )je nekonečně prvků b a < B b a H(a) < B H(b). Jelikožna κ ωje2 κ neizomorfníchlineárníchuspořádání A,máme2 κ neizomorfníchlineárníchuspořádání A(Z)na κ Z,tedy2 κ neizomorfních diskrétních lineárních uspořádání, majících každé velikost univerza κ.

4 4 Základy dedukce. UF.1.9. Syntaktický důkaz bezespornosti teorie rovnosti v L. Nechť T je teorie rovnosti v L, tj. L-teorie s rovností bez mimologických axiomů. Buď dnovýkonstantnísymbol.pro L-formuli ϕbuď ϕ formule,kterásezískázϕ odstraněním všech kvantifikací a nahrazením každého termu konstantním symbolem d.pak ϕ jevýroknadprvovýroky d=d, R(d,..., d),kde RjerelačnísymbolzL. a)je-li ϕlogickýaxiomneboaxiomrovnosti,kroměaxiomu x=x,je ϕ tautologie. Řešení: Pro logický axiom ϕ, který není axiomem rovnosti, to je jasné. Axiomyrovnosti ϕkromě x=xpřejdouna ϕ tvaru d=d d=d (R(d,..., d) R(d,..., d)) nebo d=d d=d d=d apakovšem v(ϕ )=1. b) T ϕ v(ϕ )=1,jakmile vjeohodnoceníuvedenýchprvovýrokůtakové, žeplatí v(d=d)=1.speciálněje Tbezesporná. Návod: Užijte indukci na teorémech T. Řešení:Indukcínateorémech T.Proaxiom ϕtoplatí,neboť(x=x) je d=d.buď v(d=d)=1.nechťpro ψ, ψ ϕtoplatí.pak1= v((ψ ϕ) )=v(ψ ϕ )av(ψ )=1,tedy v(ϕ )=1.Platí-litopro ϕ,tak v((( x)ϕ) )=v(ϕ )=1. UF Dokazatelné, vyvratitelné, nezávislé a bezesporné formule. 1. Buďte P, R různé unární predikátové symboly. Zdůvodněte, zda formule ϕ je dokazatelná, vyvratitelná či nezávislá v logice, kde ϕ je a) P(x) b) P(x) R(x) c)( x, y)(p(x) (R(x) P(x))) d)( x)p(x) Řešení:a)Nezávislá. 1, = ϕ, 1,1 = ϕ.b)nezávislá. 2,,2 = ϕ, 2,2, = ϕ.c)dokazatelná,neboť P(x) (R(x) P(x))jetautologie.d)Nezávislá. 1, = ϕ, 1,1 = ϕ. 2. Najděte nějaké nezávislé sentence teorie čisté rovnosti, teorie lineárního uspořádání, teorie grup, teorie těles. 3. Nechť T ( x)ϕ(x). Co lze říci o dokazatelnosti, vyvratitelnosti, nezávislosti, konzistenci ϕ, ϕ vzhledem k T? UF Vlastnosti kvantifikátorů. 1. ( x)(ϕ ψ) ((Qx)ϕ (Qx)ψ),kde Qznačíkvantifikátor. Návod: Užijte větu o konstantách. Řešení: Buďte T logické axiomy v jazyce rozšířeném o nové konstantní symboly c i ; ϕ(x, x 1 /c 1, ) resp. ψ(x, x 1 /c 1, ) označme ϕ (x) resp. ψ (x)(konstantysubstituujemezavšechnyvolnéproměnné,kromě x). Pak T,( x)(ϕ ψ ) ϕ ψ,dlepravidladistribucekvantifikátoru i T,( x)(ϕ ψ ) (Qx)ϕ (Qx)ψ azbytekdávětaodedukcia konstantách. 2. a) ( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení:Je ( x)ϕ ϕ, ϕ(x) ( x)ϕ;odtudpomocípravidlatranzitivity implikace plyne dokazované. b) ϕ ( x)ϕ ( x)ϕ ( x)ϕ ( x) ϕ ( x)ϕ. Řešení:Prváekvivalence.Implikace : ϕ ( x)ϕ ( x)(ϕ ( x)ϕ) ( x)ϕ ( x)ϕ. Implikace : ( x)ϕ ( x)ϕ ( x)(ϕ ( x)ϕ) ϕ ( x)ϕ.užitímdemorganovýchvztahůplyne druhá ekvivalence.

5 5 3. a) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení: i) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ dává axiom substituce. ii) ( x)ϕ ( x)( x)ϕ plyne z ( x)ϕ ( x)ϕ pravidlem -zavedení. Z i), ii) plyne ihned dokazované. b) ( x)( x)ϕ ( x)ϕ. Řešení: i)( x)( x)ϕ ( x)ϕ dává pravidlo -zavedení. ii)( x)ϕ ( x)( x)ϕplynezplatnéhovztahu ψ ( x)ψ.zi),ii) plyne ihned dokazované. UF Vytýkání kvantifikátorů- protipříklady. 1. ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ). a P A R A A.Pak A =( x)(p(x) R(x)), A =(P(x) ( x)r(x))[a]. Tedy A =( x)(p(x) R(x)) (P(x) ( x)r(x)). 2. (ϕ ( x)ψ) ( x)(ϕ ψ). a A P A, P A R A.Pak A =(P(x) ( x)r(x))[a], A =( x)(p(x) R(x)). Tedy A =(P(x) ( x)r(x)) ( x)(p(x) R(x)). 3. ( x)(ϕ ψ) (ϕ ( x)ψ). a P A A, R A =.Pak A =( x)(p(x) R(x)) (protožeexistuje b A P A ), A =(P(x) ( x)r(x))[a] (protožeje a P A ). Tedy A =( x)(p(x) R(x)) (P(x) ( x)r(x)).

ŘEŠENÉ ZÁPOČTOVÉ TESTY Z VÝROKOVÉ A PREDIKÁTOVÉ LOGIKY

ŘEŠENÉ ZÁPOČTOVÉ TESTY Z VÝROKOVÉ A PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Poznámka: Tento materiál je souborem řešených zápočtových testů ze zimního semestru 2012/2013 k přednášce Výroková a predikátová logika na MFF UK v Praze. Nejedná se o oficiální materiál k přednášce, nebyl

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

Klasická predikátová logika

Klasická predikátová logika Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Predikátová(a výroková) logika

Predikátová(a výroková) logika Predikátová(a výroková) logika slidy k přednášce Logika a teorie množin(nump016, NMUE023) ZS 2012/13 Petr Glivický petrglivicky@gmail.com Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Univerzita

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

LOGIKA A TEORIE MNOŽIN

LOGIKA A TEORIE MNOŽIN Poznámka: Tento text vzniká jako materiál k přednášce Logika a teorie množin na MFFUKvPraze.Jelikožjdeotextvefázivzniku,obsahujejistěřadunedostatků, které budou průběžně odstraňovány, stejně jako se text

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

Výroková a predikátová logika. J. Mlček

Výroková a predikátová logika. J. Mlček Výroková a predikátová logika J. Mlček 2012 2 Obsah 1 Úvod a předběžnosti 5 1.1 Předběžnosti................... 5 1.2 Booleovyalgebry................. 10 1.3 Olineárníchuspořádáních........... 17 1.4 Poznámky.....................

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Predikátová logika Motivace Výroková

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY

1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz :: DISKRÉTNÍ MATEMATIKA pro obor aplikovaná informatika 1. diskrétní 1. ohleduplný, taktní 2. zachovávající tajemství 3. nespojitý, přetržitý Akademický slovník cizích slov (1998): 2. Literatura Berka, M.,

Více

I. Úvodní pojmy. Obsah

I. Úvodní pojmy. Obsah I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika

Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika Vlastnosti klauzulí, negace Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 27. října 2008 Věta o transferu bázového atomu

Více

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče. MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =

Více

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

Logické programování

Logické programování 30. října 2012 Osnova Principy logického programování 1 Principy logického programování 2 3 1 Principy logického programování 2 3 Paradigmata programování Strukturované programování Procedurální programování

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 Obsah Předmluva... 15 I. Objektivní pravděpodobnosti 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 1.1 Úvod... 23 1.2 Základy frekvenční interpretace... 24 1.2.1 Pravděpodobnost a hromadné jevy... 24 1.2.2

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

OBSAH Gödelova nezapomenutelná práce 15 0 ÚVOD 16 0.1 Základní pojmy... 18 0.1.1 Formální systémy... 18 0.1.2 Jazyk a metajazyk... 20 0.1.3 Bezesporné aneb konzistentní teorie... 21 0.1.4 Neúplné teorie...

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková Klauzulární logika Znalostní báze Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 26. listopadu 2007 (Znalostní báze) Klauzulární

Více

METODOLOGIE (LOGIKA) VĚDY

METODOLOGIE (LOGIKA) VĚDY METODOLOGIE (LOGIKA) VĚDY (kombinovaná forma doktorského studia) 1. Prof. PhDr. Vladimír Čechák, CSc., vladimir.cechak@vsfs.cz :: LITERATURA Povinná: Friedman M.: Metodologie pozitivní ekonomie. Praha:

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

ú ň ň ů ý ů ů ů ň Í ů ý ů ý ý ý ň ú ý ů ú ň ý ú ý ů ú ů ý ý ů ď ď ň ú ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ý ý ó ť ý ů ý ů ý ý ý ý ý ď ý ý ý ý ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ů Í ů ď ý ý ů Ť ý ý ý ý ý ý ý ú ý ů ú ú Í Ť ú ú

Více

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana. Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium

text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ Pedagogická fakulta Binární relace text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium Doc. Paed

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Učitelství 2. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 2. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 2. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematická analýza I (KMD/MANA1)...2 Úvod do teorie množin (KMD/TMNZI)...4 Algebra 2 (KMD/ALGE2)...6 Konstruktivní geometrie

Více

Co člověk potřebuje, když potřebuje "logiku vyššího řádu"? Jaroslav Peregrin 1 www.cuni.cz/~peregrin

Co člověk potřebuje, když potřebuje logiku vyššího řádu? Jaroslav Peregrin 1 www.cuni.cz/~peregrin Co člověk potřebuje, když potřebuje "logiku vyššího řádu"? Jaroslav Peregrin 1 www.cuni.cz/~peregrin Predikátový počet prvního řádu Formální jazyky, které jsou médiem moderní formální logiky, se postupně

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 8. z aˇr ı 2011 1

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 8. z aˇr ı 2011 1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Obecná informatika 8. září 2011 1 Vážený študent/čitatel, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky boli vypracované študentmi

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Alternativní definice turingovské převeditelnosti

Alternativní definice turingovské převeditelnosti Filozofická fakulta UK Katedra logiky Ročníková práce Alternativní definice turingovské převeditelnosti František Bártík Vedoucí práce: doc. RNDr. Vítězslav Švejdar, CSc. 2007 Klíčová slova Teoretická

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Úvod. Zdroj textu - http://agora.metaphysica.skaut.org/vyplyvani.rtf

Úvod. Zdroj textu - http://agora.metaphysica.skaut.org/vyplyvani.rtf Úkoly 1) Projděte dokument a opravte jej tak, aby používal k formátování pouze styly a. Správně označte příslušné typy nadpisů b. Barevné odstavce a texty kurzívou c. Je vhodné použít pro barevné texty

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I RADIM BĚLOHLÁVEK, VILÉM VYCHODIL VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Výpočetní složitost I

Výpočetní složitost I Výpočetní složitost I prooborlogikanaffuk Petr Savický 1 Úvod Složitostí algoritmické úlohy se rozumí především její časová a paměťová náročnost při řešení na počítači. Časová náročnost se měří počtem

Více

ň ť Č Á ť ň ň Ú Ú Á Ň ď Ú Ů Ý É Ů Ď Č ň ď ň ň ň ň Č ň ň Ď Č ň Š ň Š Š Č ň Ú Š Š Š Ě Ú ť ď ď Á Ď ť É Č ť Ó ň ť Ď Ď Ď Ý Ď Ž Ď Ď Ý Ď Ú ň ň Ď Ď Ý Ď Ď Ď ň ť Ť Ů Ú ň ď ň Ř Ů ň Á Š ť Č ň Š Š ň ň ň ť ť ť ť ť ť

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

Predikátová logika. 3.1 Formule predikátové logiky

Predikátová logika. 3.1 Formule predikátové logiky 12 Kapitola 3 Predikátová logika 3.1 Formule predikátové logiky 3.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolů uvedených v textu.

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

LOGICISMUS A PARADOX (II)

LOGICISMUS A PARADOX (II) LOGICISMUS A PARADOX (II) Vojtěch KOLMAN LOGICISM AND PARADOX (II) This is a sequel to my article devoted to the development of Fregean logicism. The first part dealt with its rise and fall", i. e. its

Více

6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25

6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25 6. F U N K C E 6.1 F U N K C E Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) 181/1 190/24 25 80/1 2 82/3 6.2 D E F I N I Č N Í O B O R, O B O R H O D N

Více

Metody tvorby ontologií a sémantický web. Martin Malčík, Rostislav Miarka

Metody tvorby ontologií a sémantický web. Martin Malčík, Rostislav Miarka Metody tvorby ontologií a sémantický web Martin Malčík, Rostislav Miarka Obsah Reprezentace znalostí Ontologie a sémantický web Tvorba ontologií Hierarchie znalostí (D.R.Tobin) Data jakékoliv znakové řetězce

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

5 Inteligentní usuzování

5 Inteligentní usuzování 5 Inteligentní usuzování Jak již bylo řečeno v předcházející kapitole, způsob reprezentování znalostí a způsob jejich využívaní pro usuzování spolu úzce souvisejí. Připomeňme zde tedy ještě jednou používaná

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Matematická logika. 1

Matematická logika. 1 Matematická logika. 1 Obsah 1. Úvod... 2 2. Výroková logika... 8 2.1. Sémantický výklad výrokové logiky.... 8 Převod z přirozeného jazyka do symbolického jazyka výrokové logiky:... 10 Výrokově logická

Více

1 Základní pojmy 2. 2 Měření vzdálenosti, metrický prostor 2. 3 Okolí v metrickém prostoru 3. 4 Zobecněná koule 3

1 Základní pojmy 2. 2 Měření vzdálenosti, metrický prostor 2. 3 Okolí v metrickém prostoru 3. 4 Zobecněná koule 3 I. Metrické prostory Obsah 1 Základní pojmy 2 2 Měření vzdálenosti, metrický prostor 2 3 Okolí v metrickém prostoru 3 4 Zobecněná koule 3 5 Některé význačné body a množiny metrického prostoru 4 1 Základní

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 Verze: 20121012 01MA1 2011/12 Obsah Zkouška z předmětu 01MA1.............................. 4 Literatura....................................... 4 Logika........................................

Více

Martin Koutecký. Optimalizace na grafech s omezenou stromovou šířkou přes vlastnosti vyjádřitelné v MSOL

Martin Koutecký. Optimalizace na grafech s omezenou stromovou šířkou přes vlastnosti vyjádřitelné v MSOL Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Martin Koutecký Optimalizace na grafech s omezenou stromovou šířkou přes vlastnosti vyjádřitelné v MSOL Katedra aplikované matematiky

Více

Matematika 1. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 1. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika Obsah Úvod 0. Elementy matematické logiky......................... Výroky......................................

Více

1 Matematika jako část logiky

1 Matematika jako část logiky 1 Matematika jako část logiky Matematika, kterou jste se učili na střední škole, byla spíše matematikou praktickou. To znamená, že obsahovala hlavně návody jak počítat s čísly, jak upravovat různé výrazy

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více