INVARIANTNÍ ROZDĚLENÍ ČÁSTICOVÝCH SYSTÉMŮ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "INVARIANTNÍ ROZDĚLENÍ ČÁSTICOVÝCH SYSTÉMŮ"

Transkript

1 ROBUST 2002, c JČMF 2002 INVARIANTNÍ ROZDĚLENÍ ČÁSTICOVÝCH SYSTÉMŮ LUCIE FAJFROVÁ Abstract. In the paper we consider interacting particle system that have zero range interactions. It means we have special Markov process with uncountable state space where one state is configuration of particles on sites and interactions can occur just among particles at the same site. The natural questionareinvariantmeasuresofthismarkovprocess.wecanfindsomeofthem andinspecialcaseswecanfindjustsetofextremalinvariantmeasures.we deal with a characterization of the invariant measures in several examples. Rez me. V statьe izuqaets sistema vzaimode stvih qastic u kotoro estь specialьnye nulь-oblastnye vzaimode stva. Зto znaqitь qto u nas specialьny Markovski process s nesqetnym mnoжestvem sosto ni, gde зlement зtogo mnoжestva estь konfiguracia qastic na poloжeni h, i qasticy mogut vzaimno vli atь na seb tolьko kogda ony na tot жe samom poloжenii. Interesno vl ets problemma invariantnyh mer зtogo processa Markova. Nam bozmoжno na ti nekotorye iz nih i vo specialьnom sluqae mnoжestvo vseh зkstremalьnyh invariantnyh mer. My izuqaem harakterizaci invariantnyh mer v neskolьko primerah. 1. Definice Buď XPolskýprostoropatřenýBorelovskou σ-algebrou.označme Dprostor cadlag funkcí: D= {ϕ: R + Xzpravaspojitáaexistujívlastnílimityzlevavkaždémbodě} se σ-algebrou F, kterou definujeme jako nejmenší σ-algebru, při níž jsou měřitelné projekce π t : D X, ϕ ϕ(t), t 0.Označme(F t : t 0)soubor σ-algeber dočasu t,tzn. F t := σ(π s : 0 s t). Kanonický Markovský proces se stavy v množině X definujeme jako Markovské jádro ( P η : η X ),kde P η jsoupravděpodobnostnímíryna(d, F),jejichž projekcedočasu t=0jsoudirakovymírysoustředěnév η aoznačíme-liprokaždé η X a s 0 P η ( F s )podmíněnoupravděpodobnost odvozenouodpravděpodobnosti P η ( ),tzn. C Fje P η (C F s )náhodnáveličina na(d, F, P η )splňující P η (C B s )= P η (C F s )(ϕ) dp η (ϕ) B s F s, B s potom P η ( F s )měřímnožinu {ψ D:ψ(s+ ) A}stejně,ažnamnožinu nulovémíry P η,jakomíra P ϕ(s) množinu A. 1991MathematicsSubjectClassification. Primary82C22;Secondary60K35,37L40. Klíčová slova. Particle system, Markov process, invariant measure. Tato práce je podporována grantem GAČR 201/00/1149 a MSM

2 108 Lucie Fajfrová Definice: Soubor ( P η : η X ) pravděpodobnostníchměrna(d, F)nazveme kanonický Markovský proces se stavy v X, jestliže 1.zobrazení η P η (A) X [0,1] jeměřitelné A F 2. P η( ϕ(0)=η ) =1 3.(Markovskávlastnost) P η( ψ(s+ ) A F s ) (ϕ)=p ϕ(s) (A)pro P η -s.v. ϕ D. Poznámka 1.1. Podívejme se, že pro spočetnou množinu stavů X je tato definice konzistentní s definicíhomogenníhomarkovskéhořetězce(φ t : t 0),kterouznámevetvaru: t 0, 0 u 1... u n splatí (1) P(Φ s+t = γ Φ s = δ,φ un = δ n,...,φ u1 = δ 1,Φ 0 = η)=p(φ t = γ Φ 0 = δ). Buď X spočetná diskrétní. Vlastnost 1. je nyní splněna vždy a vlastnost 3. lze z definice podmíněné pravděpodobnosti vyjádřit jako: P η( {ψ(s+ ) A} B s ) = B s P ϕ(s) (A) P η (dϕ) B s F s, Zřejměstačíuvažovat B s = {φ:φ(s)=δ, φ(u n )=δ n,...,φ(u 1 )=δ 1 },neboť tytomnožinyprovšechna 0 u 1... u n s, n Ngenerují F s ajsou uzavřenénakonečnéprůniky.podobněstačíuvažovat A={φ:φ(t)=γ, φ(v k )= γ k,..., φ(v 1 )=γ 1 },kde 0 v 1... v k t, k N.Rovnost3.pakdostáváme ve tvaru P η( ψ(s+t)=γ, ψ(s+v k )=γ k,...,ψ(s+v 1 )=γ 1, ψ(s)=δ, ψ(u n )=δ n,..., ψ(u 1 )=δ 1 ) = P δ (ψ(t)=γ, ψ(v k )=γ k,..., ψ(v 1 )=γ 1 ) P η (ψ(s)=δ, ψ(u n )=δ n,...,ψ(u 1 )=δ 1 ) P η -s.v., 0 u 1... u n s, 0 v 1... v k t. OznačmeΦkanonickýprocesna(D, F, P)majícípodmíněnározděleníΦ Φ 0 = η zadanámírou P η prokaždé η Xtj. P(A Φ 0 = η)=p(φ A Φ 0 = η)=p η (A). Potom dostáváme rovnost ve tvaru P ( Φ s+t = γ,φ s+vk = γ k,...,φ s+v1 = γ 1 Φ s = δ,φ un = δ n,...φ u1 = δ 1, Φ 0 = η ) = P ( Φ t = γ,φ vk = γ k,...,φ v1 = γ 1 Φ 0 = δ ), což je ekvivalentní(1). Tedy Φ je homogenní Markovský proces se spočetnou stavovoumnožinou X. Definice: Označme C(X)prostorspojitýchfunkcína Xa C b (X)prostorspojitých, omezenýchfunkcí.buď ( P η : η X ) Markovskýproces.Prokaždé t 0definujme lineárníoperátor S(t)na C b (X)předpisempro f: X Rspojitou,omezenou S(t)f : X η R E η (f π t )= f ( π t (ϕ) ) P η (dϕ)= f ( ) ϕ t P η (dϕ.) D D kde π t jeprojekce D X, E η jestředníhodnotaodpravděpodobnosti P η tj.pronáhodnýproces Zscadlag trajektoriemije E η (Z)= D ZdP η existuje-li(odtudpocházípřirozeněpředpoklad uvažovat jen omezené funkce).

3 Invariantní rozdělení částicových systémů 109 UvažujmeMarkovskýproces ( P η : η X ).Označíme-li t 0P η t projekcimíry P η dočasu t,tedy P η t ( )jepravděpodobnostnímírana(x, B),je P t ( )Markovské jádrona(x, B).SpeciálněMarkovskávlastnost3.zdefinicemáprosouborMarkovskýchjader ( P t( ) ) tvar P η s+t (B)= Ps ξ(b) P η t (dξ) (Chapman-Kolmogorovarovnost). Operátory S(t) jsou potom přímo odvozené od takového souboru Markovských jader, S(t)f(η)= f(ξ)pt(dξ)ap η t(b)=s(t)i η B. Zajímavébudoutysituace,kdeplatí S(t)f C b (X).Snadnodokážeme,žetakový soubor operátorů splňuje vlastnosti t, s 0: 1) S(t)f 0 prokaždou f 0 a S(0)=I 2) t S(t)f(η) R + Xjezpravaspojitézobrazení f, η 3) S(t+s)f= S(t)S(s)f 4) S(t)1=1. Definice: Souboroperátorů ( S(t):t 0 ), S(t):C b (X) C b (X)prokaždé t 0, splňující vlastnosti 1)- 4) nazveme Markovská semigrupa. Markovská semigrupa je pro Markovský proces charakterizací v tom smyslu, že k Markovské semigrupě existuje jediný kanonický Markovský proces splňující S(t)f(η)=E η (f π t )prokaždé f C b (X), η X, t 0.Lzenaléztnapříkladv[2]. Definice: Operátor na C(X) s definičním oborem S(t)f f D(Ω)={f C(X): lim existuje} tց0 t definovaný předpisem S(t)f f Ωf=lim tց0 t se nazývá(infinitesimální) generátor Markovské semigrupy. Poznámka:limitou t ց0vdefinicimyslímelimituvmetrice C(X). Mezi Markovskou semigrupou a jejím generátorem za určitých předpokladů platí 1-1korespondence,toznamená,žeprokaždou f D(Ω)lzevyjádřit ( S(t)f= lim I t ) nf n n Ω aplatí,že S(t)f D(Ω).Potomnavícplatívztah d (2) S(t)f=Ω S(t)f= S(t)Ωf. dt Toto tvrzení bývá označováno jako Hille-Yosidova věta a jak jsem již předeslala je uváděno za určitých topologických předpokladů na prostory X, respektive C(X). Lze jej nalézt v[6],[8]. Takovým postačujícím předpokladem je například X kompaktní metrický prostor. V některých jiných případech stavového prostoru X je možné se vyhnout přímému použití H.-Y. věty a ukázat korespondenci ve smyslu(2) operátoru Ω definovaném na hustépodmnožině C(X)aMarkovskésemigrupy(S(t):t 0)definovanéna C b (X). JemožnévyjítzoperátoruΩazkonstruovatkněmusemigrupu,onížjetřeba ukázat, že odpovídá(2) a má vlastnosti Markovské semigrupy. Tuto konstrukci lze nalézt například v[4].

4 110 Lucie Fajfrová Definice: Buď P množina Borelovských pravděpodobnostních měr na X se slabou topologií.míra µ PsenazýváinvariantnívůčiMarkovskésemigrupě(S(t):t 0), jestližeprokaždou f C b (X)platí (3) S(t)fdµ= fdµ t 0. V ( této souvislosti ) označujeme µs(t) míru na X definovanou předpisem: f d µs(t) = S(t)f dµ pro každou f spojitou omezenou funkci na X. Potomlzemísto(3)psátjednoduše µs(t)=µ t 0. Definice: ZR proces(zero range process) definujeme jako Markovský proces se stavovou množinou X= N S = {η; η: S N}, kde Sjespočetnýdiskrétníprostora kde X opatříme součinovou topologií, tzn. otevřená bazeje { {η: η(x 1 )=k 1,..., η(x n )=k n }: n N +, k 1,...,k n N, x 1,..., x n S }, zadaný operátorem Ω na nějaké husté podmnožině C(X) předpisem (4) Ωf(η)= g ( η(x) ) p(x, y) ( f(η xy ) f(η) ) η X, x S y S kde gjenezápornáfunkcena N, g(0)=0, p(, ) je pravděpodobnost přechodu diskrétního Markovského řetězce na S akonfiguraci η xy Xdefinujeme z Spředpisem η(x) 1 pro z= x, η(x) >0ax y η xy (z)= η(y)+1 pro z= y, η(x) >0ax y η(z) jinak. Poznámka: Aby definice byla korektní, je potřeba ukázat existenci Markovského procesu s takto definovaným generátorem. Jak už bylo poznamenáno, stačí ukázat existenci Markovské semigrupy korespondující(ve smyslu(2)) s operátorem Ω definovanýmv(4).tutokonstrukcilzenaléztv[5],nebo[4],[3]provšechnypříklady, které budou uvedeny. První příklad bude speciálním případem, v němž vezmeme množinu pozic S konečnou, tedy stavový prostor X bude spočetný a ZR proces na X bude klasický Markovský proces se spočetně stavy definovaný intenzitami přechodů. Příklad 1. Mějmeprostorpozic S=[0, n] Z,potomstavovýprostor X= N S jespočetný. Nechťintenzitováfunkce g(k)=1 [k>0] indikujepřítomnostčástica(p(x, y):x, y S) je nerozložitelný Markovský řetězec. Funkci fna Xlzetedypsátjakovektor(f(η):η X)aoperátorΩpřepsatdo matice(ω ηζ ) η,ζ X.VýrazemΩfpotommínímenásobenímaticeavektoruΩ f. Zpředpisu(4)plyne,že(η, ζ)-týčlenmaticeωpro η ζ jeintenzitapřechodu zkonfigurace ηdokonfigurace ζ,kterájenenulovájenvpřípadě ζ= η xy pronějaká x, y Staková,že η(x) >0,avtompřípadě ω ηζ = p(x, y).diagonálníčlen ω ηη je minuscelkováintenzitastavu η,tj. ω ηη = ζ η ω ηζ,kdejenkonečněčlenůsumy je nenulových. Ω je tudíž matice intenzit Markovského řetězce se zprava spojitými trajektoriemi ařešenímzpětnékolmogorovydiferenciálnírovnice S (t)=ω S(t), S(0)=I

5 Invariantní rozdělení částicových systémů 111 získáme maticovou semigrupu(s(t), t 0), která určuje pravděpodobnosti přechodů za čas t tohoto ZR procesu. Míra µ= ( µ(η):η X ) na XjeinvariantnívzhledemkS(t)právětehdykdyž ( ) (5) S(t) f µ(η)= f(η) µ(η) t 0 η η X η X platíprokaždouomezenoufunkci fna X. Zřejměvšak(5)stačídokazovatpro f η =1 {η}, η X,protolze(5)ekvivalentně psátjako: ( S(t) ) T µ=µ t 0. Definujemenynípojemcylindrickéfunkcenasoučinovémprostorutypu X= N S,kde S je spočetný diskrétní prostor. Funkci f: X R nazveme cylindrickou, jestliže existuje K Skonečná,že η, ζ X : (η(x)=ζ(x) x K)platí f(η)=f(ζ). Pozorování: Cylindrické funkce jsou spojité a při vhodně zvolené topologii na C(X) jsouhustévc(x). Příklad 2. Jako prostor pozic, na kterém rozmístíme libovolné množství nerozlišitelných částic,sivezměmemnožinucelýchčísel.tj. S= Z.Konkrétníkonfiguracečástic η N Z, kde η(x)udávápočetčásticnapozici x S,jetedyprvekstavovéhoprostoru X = N Z.Buďopětintenzitováfunkce g(k)=1 [k>0],cožlzeinterpretovat,jakože částicena x tépozicičekajívefrontěsjednoustanicíobsluhynapřeskoknajinou pozici. NechťMarkovskýřetězec p(x, y)jenáhodnáprocházkana Z:buď0<p, q < 1 a p+q=1,potom p(x, x+1)=pap(x, x 1)=q.Pohybčásticpopozicíchje možný jen na sousední pozice. Intenzita přeskoku jedné částice z pozice x do pozice yjetudíž1 [η(x)>0] p(x, y). Generátor tohoto ZR procesu je (6) Ωf(η)= x Z 1 [η(x)>0] (p ( f(η x,x+1 ) f(η) ) + q ( f(η x,x 1 ) f(η) )) η X adefinujemejejprocylindrickéfunkce fna X. Příklad 3. Vezmeme si zobecnění předchozího příkladu v tom smyslu, že Markovský řetězec p(x, y) bude nehomogennínáhodnáprocházkana Z. Tzn. p(x, x+1) = p x a p(x, x 1)=q x,kde q x =1 p x,0<p x, q x <1 xainf p x >0, inf q x >0. Přeskok částice je tedy zase možný jen na sousední pozice, jeho intenzita však tentokrát nezávisí pouze na počtu částic na výchozí pozici a směru pohybu, ale navíc nadalšímparametrupozice p x. Všeostatnízůstávájakovpředchozímpříkladu,tj. X= N Z agenerátortohotozr procesu je (7) Ωf(η)= x Z 1 [η(x)>0] (p x ( f(η x,x+1 ) f(η) ) + q x ( f(η x,x 1 ) f(η) )) η X pro fcylindrickéfunkcena X.

6 112 Lucie Fajfrová 2. Invariantní míry Nyní se zaměříme na to, jak pro uvedené případy ZR procesů definované generátorem(7), nebo speciálně(6), nalezneme míry invariantní vůči jejich semigrupě (S(t), t 0).Invariantnímírynászajímajíztohodůvodu,žechováníprocesuvůči nim vykazuje určitou stabilitu. Je-li totiž µ invariantní vůči semigrupě Markovského procesu(ξ t : t 0),potomvezmeme-li µjakopočátečnírozdělenítohotoprocesu, budecelýprocesstriktněstacionární,tzn.(ξ t : t 0)a(ξ t+s : t 0)majístejná konečně rozměrná rozdělení pro každý čas s 0. Naopak startuje-li proces z libovolnéhorozdělení νna X,pronějžexistujelim t νs(t)=: µ,potom µjeinvariantní. To znamená, že množina invariantních měr obsahuje možné kandidáty na limitní rozdělení. Obojí není těžké ukázat. Vcelététokapitoleseomezmenasituacipopsanouvpříkladě3(speciálně2). Označme I množinu všech invariantních měr pro konkrétní ZR proces se semigrupou (S(t), t 0)agenerátoremΩtypu(7).Označme I e množinuextremálníchbodů I. Ideální situace nastává, známe-li celou množinu invariantních měr I a každému počátečnímu stavu umíme přiřadit tu invariantní míru, jež je limitním rozdělením procesu s tímto počátkem. Následující tvrzení ukazuje, že množinu invariantních měr lze popsat jejími extremálními body. Tvrzení 2.1. a) I= {µ P: µ=µs(t) t 0}jeuzavřená,konvexnípodmnožina P b) I= co I e důkaz: add a) konvexita a uzavřenost I jsou zřejmé, add b) Krein-Milmanova věta pro nekompaktní případ[7]. V některých případech ZR procesů se daří nalézt právě extremální body množiny Iatopostupem,kterýjepopsánvnásledujícívětě[1,(1.8.)].Tadáváalgoritmus, jak nalézt některé invariantní míry pro ZR proces. Z jejího tvrzení je ihned zřejmé, žepokudtímtozpůsobemnaleznemejednumíru µ π,pakcelárodinaměr µ α π,kde α Rtaková,aby µ α π P,jsouinvariantnímíry.Dokázatalespoňvkonkrétních případech, že právě tyto míry jsou extremální body I, není snadné. Větu uvádím jen v té obecnosti, kterou použijeme pro uvedené příklady. Věta 2.2.(Andjel(1982)) Buď p(x, y) irreducibilní Markovský řetězec na S. Buď π: S R +,0 < π(x) <1 x Stakové,že (8) π(x)p(x, y)=π(y) y S, x S potom ν π I,kde ν π jesoučinovámírana Xsmarginálydefinovanými x S: (9) ν π (η: η(x)=k)= ( 1 π(x) )( π(x) ) k k N. Důkazvěty2.2lzenaléztv[1].Probíhávetřechkrocích,znichžprvníjeobsahem následujícího tvrzení, z něhož vyplyne, že pro invarianci míry µ stačí dokazovat Ωfdµ=0 fcylindrickouna N S, µ-integrovatelnou.

7 Invariantní rozdělení částicových systémů 113 Druhý krok spočívá v provedení důkazu speciálně pro S konečnou. Tímto případemjsmesezabývalivpříkladě1,odkudplyne,žestačídokázatω T µ=0,cožje pro míru µ zadanou předpisem(9) snadné ukázat. Třetímkrokemjeaproximovat S= S n,kde S n jsoukonečnédosebevnořené podmnožiny S,avhodnězúžitoperátorΩnaoperátorΩ n na N Sn,takžeΩ n Ω a (Ω n Ω)(f) má µ-integrovatelnoumajorantu.z1.krokupak Ω n f dµ=0 alimitou n jedůkazdokončen. Tvrzení 2.3. NechťoperátorΩna C ( N S) jemarkovskýgenerátorzrprocesusg(k)=1 [k>0]. Nechť ( S(t) ) jekorespondující(vesmyslu(2))markovskásemigrupa.buď µmíra na N S.Paknásledujícítvrzeníjsouekvivalentní: (1) S(t)fdµ= fdµ t 0 fomezenouspojitouna N S (2) Ωfdµ=0 fcylindrickouna N S, µ-integrovatelnou. Důkaz tvrzení 2.3: Uvědomme si, že je-li funkce f cylindrická omezená, pak také S(t)f je cylindrická omezenáprokaždé t 0. Zkorespondence(2)mezi S(t)aΩplyne t ( ) ( t ) (10) S(t)f fdµ= ΩS(u)f dµ du= ΩS(u)f du dµ, 0 kde je ovšem pro druhou rovnost potřeba ověřit předpoklady pro záměnu integrálů. Nechťplatí(2).Prodůkaz(1)stačídokázatrovnost µs(t)=µ t 0probazové množiny X(viz definice ZR procesu). Tzn. stačí dokázat(1) pro cylindrické funkce. Buď f libovolná cylindrická omezená. Zpředpokladuje ΩS(t)fdµ=0prokaždé t 0atudíži ( t ΩS(u)fdµ ) 0 du=0. Pro záměnu integrálů v(10) stačí nalézt integrovatelnou majorantu pro ΩS(u)f. Protože fjeomezená,existuje N N: f(η) N ηapotom S(u)f(η) f(ξ) Pu η (dξ) N η, u 0. S(u)fjecylindrická u 0,speciálněpro S(t)fodtudexistujekonečná K S,že S(u)f(η) 0 u tzavisína ηjenpřessouřadnicezk.tudíž ΩS(u)f(η) 1 [η(x)>0] p(x, y) S(u)f(η x,y ) S(u)f(η) 2N K 2. x K y K Lzeprovéstzáměnuintegrálů,tedy S(t)f fdµ=0. Nechť platí(1). f(η) pokud f(η) N Buď fcylindrická, µ-integrovatelná.označme f N (η)= N pokud f(η) > N N pokud f(η) < N Zřejmě f N jecylindrickáaomezená,protozpředpokladuplatí S(t)f N f N dµ=0 t 0.Použitím(10)dostáváme ) t 0( S(u)ΩfN dµ du=0 t 0.Protoževnitřní integráljespojitoufunkcí u,dostáváme S(u)Ωf N dµ=0 u 0.Speciálněvolbou u=0pakplyne Ωf N dµ=0.zřejměωf N Ωfbodově. Abychom dokázali Ωfdµ = 0, stačí nalézt integrovatelnou majorantu pro Ω(f f N ).Toujekonst.*f,neboťjsmepředpokládali fintegrovatelnou. Tedy Ωfdµ Ω(f f N ) dµ N 0. 0

8 114 Lucie Fajfrová 3. Aplikace Pokusíme se nyní co nejlépe popsat množinu invariantních měr pro případ ZR procesu popsaného v příkladě 3), speciálně 2). Nejprve druhý příklad: máme ZR proces definovaný operátorem(6) odvozený od náhodné procházky na Z. Tzn.provšechna x Zje p(x, x+1)=pap(x, x 1)=q,ostatnípřechodymají pravděpodobnost nula. První krok k získání součinové invariantní míry je podle výše uvedené věty nalezení funkce πna Zřešícísoustavurovnic(8)asplňující0<π(x) <1.Vtomtonašem případě je rovnice(8) tvaru π(x)=pπ(x 1)+qπ(x+1) x Z ( avšechnajejířešeníjsou π(x) = A+B p x, q) A, B libovolnékonstanty.ovšem vzhledemkpodmínce0<π(x) <1jsouproaplikovánívěty2.2zevšechtěchto řešenívhodnájenkonstantnířešení: π(x)=a x Z,kde0<A<1.Potom dostáváme, že součinové míry s marginály ν A (η: η(x)=k)=a k (1 A) x SjsouinvariantníprotentoZRproces,kdykoliv0 < A <1. Tedy {ν A :0<A<1} I. Lze v tomto případě dokonce dokázat, že právě tyto součinové míry tvoří množinu extremálníchbodůpromnožinuinvariantníchměr,tj. {ν A :0<A<1}=I e.důkazjetechnickynáročnýalzejejnaléztv[1].vesmyslutvrzení2.1námmnožina součinovýchměr {ν A :0<A<1}dobřepopisujecelou I. Třetí příklad: máme ZR proces definovaný operátorem(7) a rozdíl od předchozího příkladu je ve zobecnění Markovského řetězce p(x, y), který už není prostorově homogenní. Abychom mohli použít větu 2.2 a nalézt k tomuto procesu invariantní míry, je nyní třeba řešit soustavu diferenčních rovnic (11) π(x)=p x π(x 1)+q x π(x+1) x Z. V této obecnosti její řešení explicitně nevyjádříme. Podívejme se alespoň na speciální případ: p x p x 0 & p x p x 1 pro0 < p p <1. Všechna řešení rovnice(11) jsou potom tvaru: ( q ) x ) x (12) π(x)=a+b x 0, π(x)=ã+ B x 1, p ( p q kde platí (13) (q p)a=( q p)ã & pb p B= qã qa. Vrámci(13)lzekoeficienty A, B, Ã, Bvolittak,abybylasplněnapodmínka (14) 0 < π(x) <1.

9 Invariantní rozdělení částicových systémů 115 Rozeberme řešení pro jednotlivé případy pravděpodobností p, p: I. II. III. IV. p 1/2, p 1/2 p 1/2, p 1/2 p >1/2, p >1/2 p <1/2, p <1/2, z nichž případ, kdy p = p, vyjmeme. Množinu všech funkcí π, splňujících(12),(13) a(14)označme R.Kdykolivje Rneprázdná,dostanemejivetvaru R={π C : c 1 < C < c 2 }. Rjetedyindexovanájednímparametremzotevřenéhointervalu(c 1, c 2 ), podobnějakovpříkladě2),stímrozdílem,že π C neníkonstantní. Množina R vždy intuitivně odpovídá představě o pohybu částic po Z v jednotlivých situacích: I. q 1/2 p 1/2 Dostávámejedině π 0tj. R=. Nastávábuď p q >1a q p >1,cožvedezpodmínky π <1 na B=0= Bazpodmínky π >0na A=0=Ã, nebo p q >1a q p =1,cožvedena Ã=0= Ba A+B=0, nebo p q =1a q p >1,cožvedena A=0=Ba Ã+ B=0. II. p 1/2 q 1/2 Dostáváme Nastávábuď p q <1a q p <1,potomzpodmínky π >0 dostaneme A=0=Ãapro B, Bvztah pb= p B, nebo p q <1a q p =1,cožvedena Ã=0a p B= 1 2 (A+B), nebo p q =1a q p <1,cožvedena A=0apB=1 2 (Ã+ B). R={π(x)=B ( q p ) x pro x 0, π(y)=b p p ( p ) ypro y 1 : 0 < B < b2 }, q kde b 2 závisí na konkrétní volbě p, p, aby platilo π < 1. Snadno zjistíme, že b 2 =min(1, q p ).Toznamená,žepůjde-li levá procházkarychleji(p > q),jetřeba B omezitshorapodílem q p.bude-lisituaceopačnáa pravá procházkapůjderychleji (p < q), stačí B omezit shora 1. Tato nesymetrie vzniká z nesymetrického rozdělení Zna Z (,0]aZ (0, ). III. p >1/2 p >1/2 Dostáváme Abyplatilo0 < π <1,jenutně B=0a0 < à <1 azpodmínky(13)plynepro A, B: A= q pã=: q p F(Ã), B= 1 q p p ( q q p )Ã=: G(Ã) (speciálněpro p > pje A > ÃaB<0). R={π(x)=F(Ã)+G(Ã)( q ) x pro x 0, π(y)= Ãpro y 1 : 0 < p à < a 2}, kde a 2 závisínakonkrétnívolbě p, p,abyplatilo π <1.Zasejejvjednotlivýchpřípadech snadno vyjádříme, výraz však bude složitější než v předchozím případě.

10 116 Lucie Fajfrová IV. q >1/2 q >1/2 Kvůli0 < π <1,jenutně B=0a0 < A <1 azpodmínky(13)plynepro Ã, B: Ã= q p q p A=: H(A), 1 q p B= p (q q p )A=: J(A) (speciálněpro q > qvyjde à < Aa B >0). Dostáváme R={π(x)=Apro x 0, π(y)=h(a)+j(a) ( p ) ypro y 1 : 0 < A < c2 }, q kde c 2 závisínakonkrétnívolbě p, p,abyplatilo π <1. Rozborem případů jsme našli všechna řešení rovnice(11) v našem speciálním případě,kterásplňují(14).označme I R množinusoučinovýchměrdanýchvětou2.2 prokaždýzpřípadůi-iv.vpřípaděije I R =.VpřípadechII-IVplynezcitované věty,že I R I.VpřípaděIIvypadámnožina I R následovně I R = ( ) ( {ν B : ν B η: η(x)=k = 1 B ( p) x )B k( p ) kx x 0 q q 0<B<b 2 k N }. = ( 1 B p p ( p )( ) x k ) kx q) p p ( p q B x 1 VpřípadechIIIaIVbudezápismnožiny I R vypadatobdobně. Otázkou v tomto příkladě zůstává, platí-li(stejně jako v příkladě 2), že jsme nalezli přímo všechny extremální body množiny invariantních měr I. Literatura [1] Andjel, E.D.: Invariant measures for the zero range proces, Ann.Probab. 10, , [2] Fremlin, D.H.: Measure Theory, Vol. 4: Topological measure spaces, in preparation. Partial drafts available via [3] Holley, R.: A Class of Interactions in Infinite Particle System, Adv. in Math. 5, , [4] Liggett, T.M., Spitzer, F.: Ergodic Theorems for Coupled Random Walks and Other Systems with Locally Interacting Components, Z. Wahrsch. Gebiete 56, 443/468, [5] Liggett, T.M.: Interacting Particle Systems, Springer-Verlag, New York, [6] Rogers, L.C.G., Williams, D.: Diffusions, Markov Processes and Martingales, Cambridge University Press, UK, Vol. 1, [7] Štěpán, J.: A noncompakt Choquet Theorem, Comment. Math. Univ. Carolinae 25,1, 73-89, [8] Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, ÚTIAAVČR,PodVodárenskouvěží4,18208Praha8

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Teorie informace: řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa

Teorie informace: řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa Teorie informace: řešené příklady 04 Tomáš Kroupa Kolik otázek je třeba v průměru položit, abychom se dozvěděli datum narození člověka (den v roce), pokud odpovědi jsou pouze ano/ne a tázaný odpovídá pravdivě?

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010 Princip výškovnice Jan Pavĺık FSI VUT v Brně 14.5.2010 Osnova přednášky 1 Motivace 2 Obecný princip 3 Příklady Světové rekordy Turnajové uspořádání Skupinové hodnocení Rozhledny 4 Geografická výškovnice

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Hlubší věty o počítání modulo

Hlubší věty o počítání modulo Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 1/17 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2 Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1 Substituce Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 2 1 Algebra termů Předpokládáme, že je dán jazyk termů. L, definovali jsme množinu jeho Zavedeme některé užitečné

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více