INVARIANTNÍ ROZDĚLENÍ ČÁSTICOVÝCH SYSTÉMŮ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "INVARIANTNÍ ROZDĚLENÍ ČÁSTICOVÝCH SYSTÉMŮ"

Transkript

1 ROBUST 2002, c JČMF 2002 INVARIANTNÍ ROZDĚLENÍ ČÁSTICOVÝCH SYSTÉMŮ LUCIE FAJFROVÁ Abstract. In the paper we consider interacting particle system that have zero range interactions. It means we have special Markov process with uncountable state space where one state is configuration of particles on sites and interactions can occur just among particles at the same site. The natural questionareinvariantmeasuresofthismarkovprocess.wecanfindsomeofthem andinspecialcaseswecanfindjustsetofextremalinvariantmeasures.we deal with a characterization of the invariant measures in several examples. Rez me. V statьe izuqaets sistema vzaimode stvih qastic u kotoro estь specialьnye nulь-oblastnye vzaimode stva. Зto znaqitь qto u nas specialьny Markovski process s nesqetnym mnoжestvem sosto ni, gde зlement зtogo mnoжestva estь konfiguracia qastic na poloжeni h, i qasticy mogut vzaimno vli atь na seb tolьko kogda ony na tot жe samom poloжenii. Interesno vl ets problemma invariantnyh mer зtogo processa Markova. Nam bozmoжno na ti nekotorye iz nih i vo specialьnom sluqae mnoжestvo vseh зkstremalьnyh invariantnyh mer. My izuqaem harakterizaci invariantnyh mer v neskolьko primerah. 1. Definice Buď XPolskýprostoropatřenýBorelovskou σ-algebrou.označme Dprostor cadlag funkcí: D= {ϕ: R + Xzpravaspojitáaexistujívlastnílimityzlevavkaždémbodě} se σ-algebrou F, kterou definujeme jako nejmenší σ-algebru, při níž jsou měřitelné projekce π t : D X, ϕ ϕ(t), t 0.Označme(F t : t 0)soubor σ-algeber dočasu t,tzn. F t := σ(π s : 0 s t). Kanonický Markovský proces se stavy v množině X definujeme jako Markovské jádro ( P η : η X ),kde P η jsoupravděpodobnostnímíryna(d, F),jejichž projekcedočasu t=0jsoudirakovymírysoustředěnév η aoznačíme-liprokaždé η X a s 0 P η ( F s )podmíněnoupravděpodobnost odvozenouodpravděpodobnosti P η ( ),tzn. C Fje P η (C F s )náhodnáveličina na(d, F, P η )splňující P η (C B s )= P η (C F s )(ϕ) dp η (ϕ) B s F s, B s potom P η ( F s )měřímnožinu {ψ D:ψ(s+ ) A}stejně,ažnamnožinu nulovémíry P η,jakomíra P ϕ(s) množinu A. 1991MathematicsSubjectClassification. Primary82C22;Secondary60K35,37L40. Klíčová slova. Particle system, Markov process, invariant measure. Tato práce je podporována grantem GAČR 201/00/1149 a MSM

2 108 Lucie Fajfrová Definice: Soubor ( P η : η X ) pravděpodobnostníchměrna(d, F)nazveme kanonický Markovský proces se stavy v X, jestliže 1.zobrazení η P η (A) X [0,1] jeměřitelné A F 2. P η( ϕ(0)=η ) =1 3.(Markovskávlastnost) P η( ψ(s+ ) A F s ) (ϕ)=p ϕ(s) (A)pro P η -s.v. ϕ D. Poznámka 1.1. Podívejme se, že pro spočetnou množinu stavů X je tato definice konzistentní s definicíhomogenníhomarkovskéhořetězce(φ t : t 0),kterouznámevetvaru: t 0, 0 u 1... u n splatí (1) P(Φ s+t = γ Φ s = δ,φ un = δ n,...,φ u1 = δ 1,Φ 0 = η)=p(φ t = γ Φ 0 = δ). Buď X spočetná diskrétní. Vlastnost 1. je nyní splněna vždy a vlastnost 3. lze z definice podmíněné pravděpodobnosti vyjádřit jako: P η( {ψ(s+ ) A} B s ) = B s P ϕ(s) (A) P η (dϕ) B s F s, Zřejměstačíuvažovat B s = {φ:φ(s)=δ, φ(u n )=δ n,...,φ(u 1 )=δ 1 },neboť tytomnožinyprovšechna 0 u 1... u n s, n Ngenerují F s ajsou uzavřenénakonečnéprůniky.podobněstačíuvažovat A={φ:φ(t)=γ, φ(v k )= γ k,..., φ(v 1 )=γ 1 },kde 0 v 1... v k t, k N.Rovnost3.pakdostáváme ve tvaru P η( ψ(s+t)=γ, ψ(s+v k )=γ k,...,ψ(s+v 1 )=γ 1, ψ(s)=δ, ψ(u n )=δ n,..., ψ(u 1 )=δ 1 ) = P δ (ψ(t)=γ, ψ(v k )=γ k,..., ψ(v 1 )=γ 1 ) P η (ψ(s)=δ, ψ(u n )=δ n,...,ψ(u 1 )=δ 1 ) P η -s.v., 0 u 1... u n s, 0 v 1... v k t. OznačmeΦkanonickýprocesna(D, F, P)majícípodmíněnározděleníΦ Φ 0 = η zadanámírou P η prokaždé η Xtj. P(A Φ 0 = η)=p(φ A Φ 0 = η)=p η (A). Potom dostáváme rovnost ve tvaru P ( Φ s+t = γ,φ s+vk = γ k,...,φ s+v1 = γ 1 Φ s = δ,φ un = δ n,...φ u1 = δ 1, Φ 0 = η ) = P ( Φ t = γ,φ vk = γ k,...,φ v1 = γ 1 Φ 0 = δ ), což je ekvivalentní(1). Tedy Φ je homogenní Markovský proces se spočetnou stavovoumnožinou X. Definice: Označme C(X)prostorspojitýchfunkcína Xa C b (X)prostorspojitých, omezenýchfunkcí.buď ( P η : η X ) Markovskýproces.Prokaždé t 0definujme lineárníoperátor S(t)na C b (X)předpisempro f: X Rspojitou,omezenou S(t)f : X η R E η (f π t )= f ( π t (ϕ) ) P η (dϕ)= f ( ) ϕ t P η (dϕ.) D D kde π t jeprojekce D X, E η jestředníhodnotaodpravděpodobnosti P η tj.pronáhodnýproces Zscadlag trajektoriemije E η (Z)= D ZdP η existuje-li(odtudpocházípřirozeněpředpoklad uvažovat jen omezené funkce).

3 Invariantní rozdělení částicových systémů 109 UvažujmeMarkovskýproces ( P η : η X ).Označíme-li t 0P η t projekcimíry P η dočasu t,tedy P η t ( )jepravděpodobnostnímírana(x, B),je P t ( )Markovské jádrona(x, B).SpeciálněMarkovskávlastnost3.zdefinicemáprosouborMarkovskýchjader ( P t( ) ) tvar P η s+t (B)= Ps ξ(b) P η t (dξ) (Chapman-Kolmogorovarovnost). Operátory S(t) jsou potom přímo odvozené od takového souboru Markovských jader, S(t)f(η)= f(ξ)pt(dξ)ap η t(b)=s(t)i η B. Zajímavébudoutysituace,kdeplatí S(t)f C b (X).Snadnodokážeme,žetakový soubor operátorů splňuje vlastnosti t, s 0: 1) S(t)f 0 prokaždou f 0 a S(0)=I 2) t S(t)f(η) R + Xjezpravaspojitézobrazení f, η 3) S(t+s)f= S(t)S(s)f 4) S(t)1=1. Definice: Souboroperátorů ( S(t):t 0 ), S(t):C b (X) C b (X)prokaždé t 0, splňující vlastnosti 1)- 4) nazveme Markovská semigrupa. Markovská semigrupa je pro Markovský proces charakterizací v tom smyslu, že k Markovské semigrupě existuje jediný kanonický Markovský proces splňující S(t)f(η)=E η (f π t )prokaždé f C b (X), η X, t 0.Lzenaléztnapříkladv[2]. Definice: Operátor na C(X) s definičním oborem S(t)f f D(Ω)={f C(X): lim existuje} tց0 t definovaný předpisem S(t)f f Ωf=lim tց0 t se nazývá(infinitesimální) generátor Markovské semigrupy. Poznámka:limitou t ց0vdefinicimyslímelimituvmetrice C(X). Mezi Markovskou semigrupou a jejím generátorem za určitých předpokladů platí 1-1korespondence,toznamená,žeprokaždou f D(Ω)lzevyjádřit ( S(t)f= lim I t ) nf n n Ω aplatí,že S(t)f D(Ω).Potomnavícplatívztah d (2) S(t)f=Ω S(t)f= S(t)Ωf. dt Toto tvrzení bývá označováno jako Hille-Yosidova věta a jak jsem již předeslala je uváděno za určitých topologických předpokladů na prostory X, respektive C(X). Lze jej nalézt v[6],[8]. Takovým postačujícím předpokladem je například X kompaktní metrický prostor. V některých jiných případech stavového prostoru X je možné se vyhnout přímému použití H.-Y. věty a ukázat korespondenci ve smyslu(2) operátoru Ω definovaném na hustépodmnožině C(X)aMarkovskésemigrupy(S(t):t 0)definovanéna C b (X). JemožnévyjítzoperátoruΩazkonstruovatkněmusemigrupu,onížjetřeba ukázat, že odpovídá(2) a má vlastnosti Markovské semigrupy. Tuto konstrukci lze nalézt například v[4].

4 110 Lucie Fajfrová Definice: Buď P množina Borelovských pravděpodobnostních měr na X se slabou topologií.míra µ PsenazýváinvariantnívůčiMarkovskésemigrupě(S(t):t 0), jestližeprokaždou f C b (X)platí (3) S(t)fdµ= fdµ t 0. V ( této souvislosti ) označujeme µs(t) míru na X definovanou předpisem: f d µs(t) = S(t)f dµ pro každou f spojitou omezenou funkci na X. Potomlzemísto(3)psátjednoduše µs(t)=µ t 0. Definice: ZR proces(zero range process) definujeme jako Markovský proces se stavovou množinou X= N S = {η; η: S N}, kde Sjespočetnýdiskrétníprostora kde X opatříme součinovou topologií, tzn. otevřená bazeje { {η: η(x 1 )=k 1,..., η(x n )=k n }: n N +, k 1,...,k n N, x 1,..., x n S }, zadaný operátorem Ω na nějaké husté podmnožině C(X) předpisem (4) Ωf(η)= g ( η(x) ) p(x, y) ( f(η xy ) f(η) ) η X, x S y S kde gjenezápornáfunkcena N, g(0)=0, p(, ) je pravděpodobnost přechodu diskrétního Markovského řetězce na S akonfiguraci η xy Xdefinujeme z Spředpisem η(x) 1 pro z= x, η(x) >0ax y η xy (z)= η(y)+1 pro z= y, η(x) >0ax y η(z) jinak. Poznámka: Aby definice byla korektní, je potřeba ukázat existenci Markovského procesu s takto definovaným generátorem. Jak už bylo poznamenáno, stačí ukázat existenci Markovské semigrupy korespondující(ve smyslu(2)) s operátorem Ω definovanýmv(4).tutokonstrukcilzenaléztv[5],nebo[4],[3]provšechnypříklady, které budou uvedeny. První příklad bude speciálním případem, v němž vezmeme množinu pozic S konečnou, tedy stavový prostor X bude spočetný a ZR proces na X bude klasický Markovský proces se spočetně stavy definovaný intenzitami přechodů. Příklad 1. Mějmeprostorpozic S=[0, n] Z,potomstavovýprostor X= N S jespočetný. Nechťintenzitováfunkce g(k)=1 [k>0] indikujepřítomnostčástica(p(x, y):x, y S) je nerozložitelný Markovský řetězec. Funkci fna Xlzetedypsátjakovektor(f(η):η X)aoperátorΩpřepsatdo matice(ω ηζ ) η,ζ X.VýrazemΩfpotommínímenásobenímaticeavektoruΩ f. Zpředpisu(4)plyne,že(η, ζ)-týčlenmaticeωpro η ζ jeintenzitapřechodu zkonfigurace ηdokonfigurace ζ,kterájenenulovájenvpřípadě ζ= η xy pronějaká x, y Staková,že η(x) >0,avtompřípadě ω ηζ = p(x, y).diagonálníčlen ω ηη je minuscelkováintenzitastavu η,tj. ω ηη = ζ η ω ηζ,kdejenkonečněčlenůsumy je nenulových. Ω je tudíž matice intenzit Markovského řetězce se zprava spojitými trajektoriemi ařešenímzpětnékolmogorovydiferenciálnírovnice S (t)=ω S(t), S(0)=I

5 Invariantní rozdělení částicových systémů 111 získáme maticovou semigrupu(s(t), t 0), která určuje pravděpodobnosti přechodů za čas t tohoto ZR procesu. Míra µ= ( µ(η):η X ) na XjeinvariantnívzhledemkS(t)právětehdykdyž ( ) (5) S(t) f µ(η)= f(η) µ(η) t 0 η η X η X platíprokaždouomezenoufunkci fna X. Zřejměvšak(5)stačídokazovatpro f η =1 {η}, η X,protolze(5)ekvivalentně psátjako: ( S(t) ) T µ=µ t 0. Definujemenynípojemcylindrickéfunkcenasoučinovémprostorutypu X= N S,kde S je spočetný diskrétní prostor. Funkci f: X R nazveme cylindrickou, jestliže existuje K Skonečná,že η, ζ X : (η(x)=ζ(x) x K)platí f(η)=f(ζ). Pozorování: Cylindrické funkce jsou spojité a při vhodně zvolené topologii na C(X) jsouhustévc(x). Příklad 2. Jako prostor pozic, na kterém rozmístíme libovolné množství nerozlišitelných částic,sivezměmemnožinucelýchčísel.tj. S= Z.Konkrétníkonfiguracečástic η N Z, kde η(x)udávápočetčásticnapozici x S,jetedyprvekstavovéhoprostoru X = N Z.Buďopětintenzitováfunkce g(k)=1 [k>0],cožlzeinterpretovat,jakože částicena x tépozicičekajívefrontěsjednoustanicíobsluhynapřeskoknajinou pozici. NechťMarkovskýřetězec p(x, y)jenáhodnáprocházkana Z:buď0<p, q < 1 a p+q=1,potom p(x, x+1)=pap(x, x 1)=q.Pohybčásticpopozicíchje možný jen na sousední pozice. Intenzita přeskoku jedné částice z pozice x do pozice yjetudíž1 [η(x)>0] p(x, y). Generátor tohoto ZR procesu je (6) Ωf(η)= x Z 1 [η(x)>0] (p ( f(η x,x+1 ) f(η) ) + q ( f(η x,x 1 ) f(η) )) η X adefinujemejejprocylindrickéfunkce fna X. Příklad 3. Vezmeme si zobecnění předchozího příkladu v tom smyslu, že Markovský řetězec p(x, y) bude nehomogennínáhodnáprocházkana Z. Tzn. p(x, x+1) = p x a p(x, x 1)=q x,kde q x =1 p x,0<p x, q x <1 xainf p x >0, inf q x >0. Přeskok částice je tedy zase možný jen na sousední pozice, jeho intenzita však tentokrát nezávisí pouze na počtu částic na výchozí pozici a směru pohybu, ale navíc nadalšímparametrupozice p x. Všeostatnízůstávájakovpředchozímpříkladu,tj. X= N Z agenerátortohotozr procesu je (7) Ωf(η)= x Z 1 [η(x)>0] (p x ( f(η x,x+1 ) f(η) ) + q x ( f(η x,x 1 ) f(η) )) η X pro fcylindrickéfunkcena X.

6 112 Lucie Fajfrová 2. Invariantní míry Nyní se zaměříme na to, jak pro uvedené případy ZR procesů definované generátorem(7), nebo speciálně(6), nalezneme míry invariantní vůči jejich semigrupě (S(t), t 0).Invariantnímírynászajímajíztohodůvodu,žechováníprocesuvůči nim vykazuje určitou stabilitu. Je-li totiž µ invariantní vůči semigrupě Markovského procesu(ξ t : t 0),potomvezmeme-li µjakopočátečnírozdělenítohotoprocesu, budecelýprocesstriktněstacionární,tzn.(ξ t : t 0)a(ξ t+s : t 0)majístejná konečně rozměrná rozdělení pro každý čas s 0. Naopak startuje-li proces z libovolnéhorozdělení νna X,pronějžexistujelim t νs(t)=: µ,potom µjeinvariantní. To znamená, že množina invariantních měr obsahuje možné kandidáty na limitní rozdělení. Obojí není těžké ukázat. Vcelététokapitoleseomezmenasituacipopsanouvpříkladě3(speciálně2). Označme I množinu všech invariantních měr pro konkrétní ZR proces se semigrupou (S(t), t 0)agenerátoremΩtypu(7).Označme I e množinuextremálníchbodů I. Ideální situace nastává, známe-li celou množinu invariantních měr I a každému počátečnímu stavu umíme přiřadit tu invariantní míru, jež je limitním rozdělením procesu s tímto počátkem. Následující tvrzení ukazuje, že množinu invariantních měr lze popsat jejími extremálními body. Tvrzení 2.1. a) I= {µ P: µ=µs(t) t 0}jeuzavřená,konvexnípodmnožina P b) I= co I e důkaz: add a) konvexita a uzavřenost I jsou zřejmé, add b) Krein-Milmanova věta pro nekompaktní případ[7]. V některých případech ZR procesů se daří nalézt právě extremální body množiny Iatopostupem,kterýjepopsánvnásledujícívětě[1,(1.8.)].Tadáváalgoritmus, jak nalézt některé invariantní míry pro ZR proces. Z jejího tvrzení je ihned zřejmé, žepokudtímtozpůsobemnaleznemejednumíru µ π,pakcelárodinaměr µ α π,kde α Rtaková,aby µ α π P,jsouinvariantnímíry.Dokázatalespoňvkonkrétních případech, že právě tyto míry jsou extremální body I, není snadné. Větu uvádím jen v té obecnosti, kterou použijeme pro uvedené příklady. Věta 2.2.(Andjel(1982)) Buď p(x, y) irreducibilní Markovský řetězec na S. Buď π: S R +,0 < π(x) <1 x Stakové,že (8) π(x)p(x, y)=π(y) y S, x S potom ν π I,kde ν π jesoučinovámírana Xsmarginálydefinovanými x S: (9) ν π (η: η(x)=k)= ( 1 π(x) )( π(x) ) k k N. Důkazvěty2.2lzenaléztv[1].Probíhávetřechkrocích,znichžprvníjeobsahem následujícího tvrzení, z něhož vyplyne, že pro invarianci míry µ stačí dokazovat Ωfdµ=0 fcylindrickouna N S, µ-integrovatelnou.

7 Invariantní rozdělení částicových systémů 113 Druhý krok spočívá v provedení důkazu speciálně pro S konečnou. Tímto případemjsmesezabývalivpříkladě1,odkudplyne,žestačídokázatω T µ=0,cožje pro míru µ zadanou předpisem(9) snadné ukázat. Třetímkrokemjeaproximovat S= S n,kde S n jsoukonečnédosebevnořené podmnožiny S,avhodnězúžitoperátorΩnaoperátorΩ n na N Sn,takžeΩ n Ω a (Ω n Ω)(f) má µ-integrovatelnoumajorantu.z1.krokupak Ω n f dµ=0 alimitou n jedůkazdokončen. Tvrzení 2.3. NechťoperátorΩna C ( N S) jemarkovskýgenerátorzrprocesusg(k)=1 [k>0]. Nechť ( S(t) ) jekorespondující(vesmyslu(2))markovskásemigrupa.buď µmíra na N S.Paknásledujícítvrzeníjsouekvivalentní: (1) S(t)fdµ= fdµ t 0 fomezenouspojitouna N S (2) Ωfdµ=0 fcylindrickouna N S, µ-integrovatelnou. Důkaz tvrzení 2.3: Uvědomme si, že je-li funkce f cylindrická omezená, pak také S(t)f je cylindrická omezenáprokaždé t 0. Zkorespondence(2)mezi S(t)aΩplyne t ( ) ( t ) (10) S(t)f fdµ= ΩS(u)f dµ du= ΩS(u)f du dµ, 0 kde je ovšem pro druhou rovnost potřeba ověřit předpoklady pro záměnu integrálů. Nechťplatí(2).Prodůkaz(1)stačídokázatrovnost µs(t)=µ t 0probazové množiny X(viz definice ZR procesu). Tzn. stačí dokázat(1) pro cylindrické funkce. Buď f libovolná cylindrická omezená. Zpředpokladuje ΩS(t)fdµ=0prokaždé t 0atudíži ( t ΩS(u)fdµ ) 0 du=0. Pro záměnu integrálů v(10) stačí nalézt integrovatelnou majorantu pro ΩS(u)f. Protože fjeomezená,existuje N N: f(η) N ηapotom S(u)f(η) f(ξ) Pu η (dξ) N η, u 0. S(u)fjecylindrická u 0,speciálněpro S(t)fodtudexistujekonečná K S,že S(u)f(η) 0 u tzavisína ηjenpřessouřadnicezk.tudíž ΩS(u)f(η) 1 [η(x)>0] p(x, y) S(u)f(η x,y ) S(u)f(η) 2N K 2. x K y K Lzeprovéstzáměnuintegrálů,tedy S(t)f fdµ=0. Nechť platí(1). f(η) pokud f(η) N Buď fcylindrická, µ-integrovatelná.označme f N (η)= N pokud f(η) > N N pokud f(η) < N Zřejmě f N jecylindrickáaomezená,protozpředpokladuplatí S(t)f N f N dµ=0 t 0.Použitím(10)dostáváme ) t 0( S(u)ΩfN dµ du=0 t 0.Protoževnitřní integráljespojitoufunkcí u,dostáváme S(u)Ωf N dµ=0 u 0.Speciálněvolbou u=0pakplyne Ωf N dµ=0.zřejměωf N Ωfbodově. Abychom dokázali Ωfdµ = 0, stačí nalézt integrovatelnou majorantu pro Ω(f f N ).Toujekonst.*f,neboťjsmepředpokládali fintegrovatelnou. Tedy Ωfdµ Ω(f f N ) dµ N 0. 0

8 114 Lucie Fajfrová 3. Aplikace Pokusíme se nyní co nejlépe popsat množinu invariantních měr pro případ ZR procesu popsaného v příkladě 3), speciálně 2). Nejprve druhý příklad: máme ZR proces definovaný operátorem(6) odvozený od náhodné procházky na Z. Tzn.provšechna x Zje p(x, x+1)=pap(x, x 1)=q,ostatnípřechodymají pravděpodobnost nula. První krok k získání součinové invariantní míry je podle výše uvedené věty nalezení funkce πna Zřešícísoustavurovnic(8)asplňující0<π(x) <1.Vtomtonašem případě je rovnice(8) tvaru π(x)=pπ(x 1)+qπ(x+1) x Z ( avšechnajejířešeníjsou π(x) = A+B p x, q) A, B libovolnékonstanty.ovšem vzhledemkpodmínce0<π(x) <1jsouproaplikovánívěty2.2zevšechtěchto řešenívhodnájenkonstantnířešení: π(x)=a x Z,kde0<A<1.Potom dostáváme, že součinové míry s marginály ν A (η: η(x)=k)=a k (1 A) x SjsouinvariantníprotentoZRproces,kdykoliv0 < A <1. Tedy {ν A :0<A<1} I. Lze v tomto případě dokonce dokázat, že právě tyto součinové míry tvoří množinu extremálníchbodůpromnožinuinvariantníchměr,tj. {ν A :0<A<1}=I e.důkazjetechnickynáročnýalzejejnaléztv[1].vesmyslutvrzení2.1námmnožina součinovýchměr {ν A :0<A<1}dobřepopisujecelou I. Třetí příklad: máme ZR proces definovaný operátorem(7) a rozdíl od předchozího příkladu je ve zobecnění Markovského řetězce p(x, y), který už není prostorově homogenní. Abychom mohli použít větu 2.2 a nalézt k tomuto procesu invariantní míry, je nyní třeba řešit soustavu diferenčních rovnic (11) π(x)=p x π(x 1)+q x π(x+1) x Z. V této obecnosti její řešení explicitně nevyjádříme. Podívejme se alespoň na speciální případ: p x p x 0 & p x p x 1 pro0 < p p <1. Všechna řešení rovnice(11) jsou potom tvaru: ( q ) x ) x (12) π(x)=a+b x 0, π(x)=ã+ B x 1, p ( p q kde platí (13) (q p)a=( q p)ã & pb p B= qã qa. Vrámci(13)lzekoeficienty A, B, Ã, Bvolittak,abybylasplněnapodmínka (14) 0 < π(x) <1.

9 Invariantní rozdělení částicových systémů 115 Rozeberme řešení pro jednotlivé případy pravděpodobností p, p: I. II. III. IV. p 1/2, p 1/2 p 1/2, p 1/2 p >1/2, p >1/2 p <1/2, p <1/2, z nichž případ, kdy p = p, vyjmeme. Množinu všech funkcí π, splňujících(12),(13) a(14)označme R.Kdykolivje Rneprázdná,dostanemejivetvaru R={π C : c 1 < C < c 2 }. Rjetedyindexovanájednímparametremzotevřenéhointervalu(c 1, c 2 ), podobnějakovpříkladě2),stímrozdílem,že π C neníkonstantní. Množina R vždy intuitivně odpovídá představě o pohybu částic po Z v jednotlivých situacích: I. q 1/2 p 1/2 Dostávámejedině π 0tj. R=. Nastávábuď p q >1a q p >1,cožvedezpodmínky π <1 na B=0= Bazpodmínky π >0na A=0=Ã, nebo p q >1a q p =1,cožvedena Ã=0= Ba A+B=0, nebo p q =1a q p >1,cožvedena A=0=Ba Ã+ B=0. II. p 1/2 q 1/2 Dostáváme Nastávábuď p q <1a q p <1,potomzpodmínky π >0 dostaneme A=0=Ãapro B, Bvztah pb= p B, nebo p q <1a q p =1,cožvedena Ã=0a p B= 1 2 (A+B), nebo p q =1a q p <1,cožvedena A=0apB=1 2 (Ã+ B). R={π(x)=B ( q p ) x pro x 0, π(y)=b p p ( p ) ypro y 1 : 0 < B < b2 }, q kde b 2 závisí na konkrétní volbě p, p, aby platilo π < 1. Snadno zjistíme, že b 2 =min(1, q p ).Toznamená,žepůjde-li levá procházkarychleji(p > q),jetřeba B omezitshorapodílem q p.bude-lisituaceopačnáa pravá procházkapůjderychleji (p < q), stačí B omezit shora 1. Tato nesymetrie vzniká z nesymetrického rozdělení Zna Z (,0]aZ (0, ). III. p >1/2 p >1/2 Dostáváme Abyplatilo0 < π <1,jenutně B=0a0 < à <1 azpodmínky(13)plynepro A, B: A= q pã=: q p F(Ã), B= 1 q p p ( q q p )Ã=: G(Ã) (speciálněpro p > pje A > ÃaB<0). R={π(x)=F(Ã)+G(Ã)( q ) x pro x 0, π(y)= Ãpro y 1 : 0 < p à < a 2}, kde a 2 závisínakonkrétnívolbě p, p,abyplatilo π <1.Zasejejvjednotlivýchpřípadech snadno vyjádříme, výraz však bude složitější než v předchozím případě.

10 116 Lucie Fajfrová IV. q >1/2 q >1/2 Kvůli0 < π <1,jenutně B=0a0 < A <1 azpodmínky(13)plynepro Ã, B: Ã= q p q p A=: H(A), 1 q p B= p (q q p )A=: J(A) (speciálněpro q > qvyjde à < Aa B >0). Dostáváme R={π(x)=Apro x 0, π(y)=h(a)+j(a) ( p ) ypro y 1 : 0 < A < c2 }, q kde c 2 závisínakonkrétnívolbě p, p,abyplatilo π <1. Rozborem případů jsme našli všechna řešení rovnice(11) v našem speciálním případě,kterásplňují(14).označme I R množinusoučinovýchměrdanýchvětou2.2 prokaždýzpřípadůi-iv.vpřípaděije I R =.VpřípadechII-IVplynezcitované věty,že I R I.VpřípaděIIvypadámnožina I R následovně I R = ( ) ( {ν B : ν B η: η(x)=k = 1 B ( p) x )B k( p ) kx x 0 q q 0<B<b 2 k N }. = ( 1 B p p ( p )( ) x k ) kx q) p p ( p q B x 1 VpřípadechIIIaIVbudezápismnožiny I R vypadatobdobně. Otázkou v tomto příkladě zůstává, platí-li(stejně jako v příkladě 2), že jsme nalezli přímo všechny extremální body množiny invariantních měr I. Literatura [1] Andjel, E.D.: Invariant measures for the zero range proces, Ann.Probab. 10, , [2] Fremlin, D.H.: Measure Theory, Vol. 4: Topological measure spaces, in preparation. Partial drafts available via [3] Holley, R.: A Class of Interactions in Infinite Particle System, Adv. in Math. 5, , [4] Liggett, T.M., Spitzer, F.: Ergodic Theorems for Coupled Random Walks and Other Systems with Locally Interacting Components, Z. Wahrsch. Gebiete 56, 443/468, [5] Liggett, T.M.: Interacting Particle Systems, Springer-Verlag, New York, [6] Rogers, L.C.G., Williams, D.: Diffusions, Markov Processes and Martingales, Cambridge University Press, UK, Vol. 1, [7] Štěpán, J.: A noncompakt Choquet Theorem, Comment. Math. Univ. Carolinae 25,1, 73-89, [8] Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, ÚTIAAVČR,PodVodárenskouvěží4,18208Praha8

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010 Princip výškovnice Jan Pavĺık FSI VUT v Brně 14.5.2010 Osnova přednášky 1 Motivace 2 Obecný princip 3 Příklady Světové rekordy Turnajové uspořádání Skupinové hodnocení Rozhledny 4 Geografická výškovnice

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Hlubší věty o počítání modulo

Hlubší věty o počítání modulo Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 1/17 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických

ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických Kvaternion 2 (2012, 83 89 83 ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI TOMÁŠ GRÍSA Abstrakt Tento článek se zabývá teoretickými principy fraktální komprese a využitím modifikovaného algoritmu fraktální

Více

1 Zdroj napětí náhradní obvod

1 Zdroj napětí náhradní obvod 1 Zdroj napětí náhradní obvod Příklad 1. Zdroj napětí má na svorkách naprázdno napětí 6 V. Při zatížení odporem 30 Ω klesne napětí na 5,7 V. Co vše můžete o tomto zdroji říci za předpokladu, že je v celém

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Frakcionální Lévyho proces

Frakcionální Lévyho proces Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BKLÁŘSKÁ PRÁCE Jan Kislinger Frakcionální Lévyho proces Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijní program:

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a

Více

Tento text vzniká jako podklad pro seminář Úvod do stochastické analýzy,

Tento text vzniká jako podklad pro seminář Úvod do stochastické analýzy, Úvodem ento text vzniká jako podklad pro seminář Úvod do stochastické analýzy, určený především (ale nejen) studentům Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze. Při sepisování textu kladu důraz

Více

Teorie informace II: obtížnější řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa

Teorie informace II: obtížnější řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa Teorie informace II: obtížnější řešené příklady 204 Tomáš Kroupa. Máme n mincí, z nichž nejvýše jedna je falešná. Pozná se podle toho, že má jinou hmotnost než ostatní mince (ty váží všechny stejně). Mince

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Náhodná procházka a její aplikace

Náhodná procházka a její aplikace MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Náhodná procházka a její aplikace Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Martin Kolář, Ph. D. Brno 2007 Michaela Bartuňková Poděkování Chtěla bych

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

1. Opakování, značení - filtrace. X : (Ω, A) (E, E), pak symbolem

1. Opakování, značení - filtrace. X : (Ω, A) (E, E), pak symbolem 1. Opakování, značení - filtrace Bud (Ω, A) měřitelný prostor. Označme L(A) = {X : (Ω, A) (R, B)} množinu všech reálných A-měřitelných náhodných veličin, kde B = B(R) značí borelovskou σ-algebru na reálné

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

I. Úvodní pojmy. Obsah

I. Úvodní pojmy. Obsah I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....

Více

2. ročník, 2012/ 2013 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks. i d 1azároveň p α i+1. i d. Konečně definujme k. L = p d/p i α i

2. ročník, 2012/ 2013 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks. i d 1azároveň p α i+1. i d. Konečně definujme k. L = p d/p i α i Řešení 2. série ÚlohaN2. Jedánopřirozenéčíslo d.dokažte,žejemožnénajíttakovékladnéreálnéčíslo c, žeprovšechnapřirozenáčísla n > dplatínerovnost [n 1,n 2,...,n d] > cn d. Hranatými závorkami značíme nejmenší

Více

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další). 0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Reziduovaná zobrazení

Reziduovaná zobrazení Reziduovaná zobrazení Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 1. března 2015 Outline 1 Reziduované zobrazení 2 Izotónní/Antitónní zobrazení Definice Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Pozorovatel, Stavová zpětná vazba

Pozorovatel, Stavová zpětná vazba Pozorovatel, Stavová zpětná vazba Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 6 Reference 8 Úvod Pozorovatel stavu slouží k pozorování (odhadování) zejména neměřitelných stavů systému.

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

DYNAMICKÉ SYSTÉMY I. Marek Lampart Michaela Mlíchová Lenka Obadalová

DYNAMICKÉ SYSTÉMY I. Marek Lampart Michaela Mlíchová Lenka Obadalová DYNAMICKÉ SYSTÉMY I Jana Dvořáková Marek Lampart Michaela Mlíchová Lenka Obadalová Předmluva Tento učební text vznikl v rámci projektu FRVŠ č. 2644/2008. Jde o učební text určený pro první semestr předmětu

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více