INVARIANTNÍ ROZDĚLENÍ ČÁSTICOVÝCH SYSTÉMŮ

Transkript

1 ROBUST 2002, c JČMF 2002 INVARIANTNÍ ROZDĚLENÍ ČÁSTICOVÝCH SYSTÉMŮ LUCIE FAJFROVÁ Abstract. In the paper we consider interacting particle system that have zero range interactions. It means we have special Markov process with uncountable state space where one state is configuration of particles on sites and interactions can occur just among particles at the same site. The natural questionareinvariantmeasuresofthismarkovprocess.wecanfindsomeofthem andinspecialcaseswecanfindjustsetofextremalinvariantmeasures.we deal with a characterization of the invariant measures in several examples. Rez me. V statьe izuqaets sistema vzaimode stvih qastic u kotoro estь specialьnye nulь-oblastnye vzaimode stva. Зto znaqitь qto u nas specialьny Markovski process s nesqetnym mnoжestvem sosto ni, gde зlement зtogo mnoжestva estь konfiguracia qastic na poloжeni h, i qasticy mogut vzaimno vli atь na seb tolьko kogda ony na tot жe samom poloжenii. Interesno vl ets problemma invariantnyh mer зtogo processa Markova. Nam bozmoжno na ti nekotorye iz nih i vo specialьnom sluqae mnoжestvo vseh зkstremalьnyh invariantnyh mer. My izuqaem harakterizaci invariantnyh mer v neskolьko primerah. 1. Definice Buď XPolskýprostoropatřenýBorelovskou σ-algebrou.označme Dprostor cadlag funkcí: D= {ϕ: R + Xzpravaspojitáaexistujívlastnílimityzlevavkaždémbodě} se σ-algebrou F, kterou definujeme jako nejmenší σ-algebru, při níž jsou měřitelné projekce π t : D X, ϕ ϕ(t), t 0.Označme(F t : t 0)soubor σ-algeber dočasu t,tzn. F t := σ(π s : 0 s t). Kanonický Markovský proces se stavy v množině X definujeme jako Markovské jádro ( P η : η X ),kde P η jsoupravděpodobnostnímíryna(d, F),jejichž projekcedočasu t=0jsoudirakovymírysoustředěnév η aoznačíme-liprokaždé η X a s 0 P η ( F s )podmíněnoupravděpodobnost odvozenouodpravděpodobnosti P η ( ),tzn. C Fje P η (C F s )náhodnáveličina na(d, F, P η )splňující P η (C B s )= P η (C F s )(ϕ) dp η (ϕ) B s F s, B s potom P η ( F s )měřímnožinu {ψ D:ψ(s+ ) A}stejně,ažnamnožinu nulovémíry P η,jakomíra P ϕ(s) množinu A. 1991MathematicsSubjectClassification. Primary82C22;Secondary60K35,37L40. Klíčová slova. Particle system, Markov process, invariant measure. Tato práce je podporována grantem GAČR 201/00/1149 a MSM

2 108 Lucie Fajfrová Definice: Soubor ( P η : η X ) pravděpodobnostníchměrna(d, F)nazveme kanonický Markovský proces se stavy v X, jestliže 1.zobrazení η P η (A) X [0,1] jeměřitelné A F 2. P η( ϕ(0)=η ) =1 3.(Markovskávlastnost) P η( ψ(s+ ) A F s ) (ϕ)=p ϕ(s) (A)pro P η -s.v. ϕ D. Poznámka 1.1. Podívejme se, že pro spočetnou množinu stavů X je tato definice konzistentní s definicíhomogenníhomarkovskéhořetězce(φ t : t 0),kterouznámevetvaru: t 0, 0 u 1... u n splatí (1) P(Φ s+t = γ Φ s = δ,φ un = δ n,...,φ u1 = δ 1,Φ 0 = η)=p(φ t = γ Φ 0 = δ). Buď X spočetná diskrétní. Vlastnost 1. je nyní splněna vždy a vlastnost 3. lze z definice podmíněné pravděpodobnosti vyjádřit jako: P η( {ψ(s+ ) A} B s ) = B s P ϕ(s) (A) P η (dϕ) B s F s, Zřejměstačíuvažovat B s = {φ:φ(s)=δ, φ(u n )=δ n,...,φ(u 1 )=δ 1 },neboť tytomnožinyprovšechna 0 u 1... u n s, n Ngenerují F s ajsou uzavřenénakonečnéprůniky.podobněstačíuvažovat A={φ:φ(t)=γ, φ(v k )= γ k,..., φ(v 1 )=γ 1 },kde 0 v 1... v k t, k N.Rovnost3.pakdostáváme ve tvaru P η( ψ(s+t)=γ, ψ(s+v k )=γ k,...,ψ(s+v 1 )=γ 1, ψ(s)=δ, ψ(u n )=δ n,..., ψ(u 1 )=δ 1 ) = P δ (ψ(t)=γ, ψ(v k )=γ k,..., ψ(v 1 )=γ 1 ) P η (ψ(s)=δ, ψ(u n )=δ n,...,ψ(u 1 )=δ 1 ) P η -s.v., 0 u 1... u n s, 0 v 1... v k t. OznačmeΦkanonickýprocesna(D, F, P)majícípodmíněnározděleníΦ Φ 0 = η zadanámírou P η prokaždé η Xtj. P(A Φ 0 = η)=p(φ A Φ 0 = η)=p η (A). Potom dostáváme rovnost ve tvaru P ( Φ s+t = γ,φ s+vk = γ k,...,φ s+v1 = γ 1 Φ s = δ,φ un = δ n,...φ u1 = δ 1, Φ 0 = η ) = P ( Φ t = γ,φ vk = γ k,...,φ v1 = γ 1 Φ 0 = δ ), což je ekvivalentní(1). Tedy Φ je homogenní Markovský proces se spočetnou stavovoumnožinou X. Definice: Označme C(X)prostorspojitýchfunkcína Xa C b (X)prostorspojitých, omezenýchfunkcí.buď ( P η : η X ) Markovskýproces.Prokaždé t 0definujme lineárníoperátor S(t)na C b (X)předpisempro f: X Rspojitou,omezenou S(t)f : X η R E η (f π t )= f ( π t (ϕ) ) P η (dϕ)= f ( ) ϕ t P η (dϕ.) D D kde π t jeprojekce D X, E η jestředníhodnotaodpravděpodobnosti P η tj.pronáhodnýproces Zscadlag trajektoriemije E η (Z)= D ZdP η existuje-li(odtudpocházípřirozeněpředpoklad uvažovat jen omezené funkce).

3 Invariantní rozdělení částicových systémů 109 UvažujmeMarkovskýproces ( P η : η X ).Označíme-li t 0P η t projekcimíry P η dočasu t,tedy P η t ( )jepravděpodobnostnímírana(x, B),je P t ( )Markovské jádrona(x, B).SpeciálněMarkovskávlastnost3.zdefinicemáprosouborMarkovskýchjader ( P t( ) ) tvar P η s+t (B)= Ps ξ(b) P η t (dξ) (Chapman-Kolmogorovarovnost). Operátory S(t) jsou potom přímo odvozené od takového souboru Markovských jader, S(t)f(η)= f(ξ)pt(dξ)ap η t(b)=s(t)i η B. Zajímavébudoutysituace,kdeplatí S(t)f C b (X).Snadnodokážeme,žetakový soubor operátorů splňuje vlastnosti t, s 0: 1) S(t)f 0 prokaždou f 0 a S(0)=I 2) t S(t)f(η) R + Xjezpravaspojitézobrazení f, η 3) S(t+s)f= S(t)S(s)f 4) S(t)1=1. Definice: Souboroperátorů ( S(t):t 0 ), S(t):C b (X) C b (X)prokaždé t 0, splňující vlastnosti 1)- 4) nazveme Markovská semigrupa. Markovská semigrupa je pro Markovský proces charakterizací v tom smyslu, že k Markovské semigrupě existuje jediný kanonický Markovský proces splňující S(t)f(η)=E η (f π t )prokaždé f C b (X), η X, t 0.Lzenaléztnapříkladv[2]. Definice: Operátor na C(X) s definičním oborem S(t)f f D(Ω)={f C(X): lim existuje} tց0 t definovaný předpisem S(t)f f Ωf=lim tց0 t se nazývá(infinitesimální) generátor Markovské semigrupy. Poznámka:limitou t ց0vdefinicimyslímelimituvmetrice C(X). Mezi Markovskou semigrupou a jejím generátorem za určitých předpokladů platí 1-1korespondence,toznamená,žeprokaždou f D(Ω)lzevyjádřit ( S(t)f= lim I t ) nf n n Ω aplatí,že S(t)f D(Ω).Potomnavícplatívztah d (2) S(t)f=Ω S(t)f= S(t)Ωf. dt Toto tvrzení bývá označováno jako Hille-Yosidova věta a jak jsem již předeslala je uváděno za určitých topologických předpokladů na prostory X, respektive C(X). Lze jej nalézt v[6],[8]. Takovým postačujícím předpokladem je například X kompaktní metrický prostor. V některých jiných případech stavového prostoru X je možné se vyhnout přímému použití H.-Y. věty a ukázat korespondenci ve smyslu(2) operátoru Ω definovaném na hustépodmnožině C(X)aMarkovskésemigrupy(S(t):t 0)definovanéna C b (X). JemožnévyjítzoperátoruΩazkonstruovatkněmusemigrupu,onížjetřeba ukázat, že odpovídá(2) a má vlastnosti Markovské semigrupy. Tuto konstrukci lze nalézt například v[4].

4 110 Lucie Fajfrová Definice: Buď P množina Borelovských pravděpodobnostních měr na X se slabou topologií.míra µ PsenazýváinvariantnívůčiMarkovskésemigrupě(S(t):t 0), jestližeprokaždou f C b (X)platí (3) S(t)fdµ= fdµ t 0. V ( této souvislosti ) označujeme µs(t) míru na X definovanou předpisem: f d µs(t) = S(t)f dµ pro každou f spojitou omezenou funkci na X. Potomlzemísto(3)psátjednoduše µs(t)=µ t 0. Definice: ZR proces(zero range process) definujeme jako Markovský proces se stavovou množinou X= N S = {η; η: S N}, kde Sjespočetnýdiskrétníprostora kde X opatříme součinovou topologií, tzn. otevřená bazeje { {η: η(x 1 )=k 1,..., η(x n )=k n }: n N +, k 1,...,k n N, x 1,..., x n S }, zadaný operátorem Ω na nějaké husté podmnožině C(X) předpisem (4) Ωf(η)= g ( η(x) ) p(x, y) ( f(η xy ) f(η) ) η X, x S y S kde gjenezápornáfunkcena N, g(0)=0, p(, ) je pravděpodobnost přechodu diskrétního Markovského řetězce na S akonfiguraci η xy Xdefinujeme z Spředpisem η(x) 1 pro z= x, η(x) >0ax y η xy (z)= η(y)+1 pro z= y, η(x) >0ax y η(z) jinak. Poznámka: Aby definice byla korektní, je potřeba ukázat existenci Markovského procesu s takto definovaným generátorem. Jak už bylo poznamenáno, stačí ukázat existenci Markovské semigrupy korespondující(ve smyslu(2)) s operátorem Ω definovanýmv(4).tutokonstrukcilzenaléztv[5],nebo[4],[3]provšechnypříklady, které budou uvedeny. První příklad bude speciálním případem, v němž vezmeme množinu pozic S konečnou, tedy stavový prostor X bude spočetný a ZR proces na X bude klasický Markovský proces se spočetně stavy definovaný intenzitami přechodů. Příklad 1. Mějmeprostorpozic S=[0, n] Z,potomstavovýprostor X= N S jespočetný. Nechťintenzitováfunkce g(k)=1 [k>0] indikujepřítomnostčástica(p(x, y):x, y S) je nerozložitelný Markovský řetězec. Funkci fna Xlzetedypsátjakovektor(f(η):η X)aoperátorΩpřepsatdo matice(ω ηζ ) η,ζ X.VýrazemΩfpotommínímenásobenímaticeavektoruΩ f. Zpředpisu(4)plyne,že(η, ζ)-týčlenmaticeωpro η ζ jeintenzitapřechodu zkonfigurace ηdokonfigurace ζ,kterájenenulovájenvpřípadě ζ= η xy pronějaká x, y Staková,že η(x) >0,avtompřípadě ω ηζ = p(x, y).diagonálníčlen ω ηη je minuscelkováintenzitastavu η,tj. ω ηη = ζ η ω ηζ,kdejenkonečněčlenůsumy je nenulových. Ω je tudíž matice intenzit Markovského řetězce se zprava spojitými trajektoriemi ařešenímzpětnékolmogorovydiferenciálnírovnice S (t)=ω S(t), S(0)=I

5 Invariantní rozdělení částicových systémů 111 získáme maticovou semigrupu(s(t), t 0), která určuje pravděpodobnosti přechodů za čas t tohoto ZR procesu. Míra µ= ( µ(η):η X ) na XjeinvariantnívzhledemkS(t)právětehdykdyž ( ) (5) S(t) f µ(η)= f(η) µ(η) t 0 η η X η X platíprokaždouomezenoufunkci fna X. Zřejměvšak(5)stačídokazovatpro f η =1 {η}, η X,protolze(5)ekvivalentně psátjako: ( S(t) ) T µ=µ t 0. Definujemenynípojemcylindrickéfunkcenasoučinovémprostorutypu X= N S,kde S je spočetný diskrétní prostor. Funkci f: X R nazveme cylindrickou, jestliže existuje K Skonečná,že η, ζ X : (η(x)=ζ(x) x K)platí f(η)=f(ζ). Pozorování: Cylindrické funkce jsou spojité a při vhodně zvolené topologii na C(X) jsouhustévc(x). Příklad 2. Jako prostor pozic, na kterém rozmístíme libovolné množství nerozlišitelných částic,sivezměmemnožinucelýchčísel.tj. S= Z.Konkrétníkonfiguracečástic η N Z, kde η(x)udávápočetčásticnapozici x S,jetedyprvekstavovéhoprostoru X = N Z.Buďopětintenzitováfunkce g(k)=1 [k>0],cožlzeinterpretovat,jakože částicena x tépozicičekajívefrontěsjednoustanicíobsluhynapřeskoknajinou pozici. NechťMarkovskýřetězec p(x, y)jenáhodnáprocházkana Z:buď0<p, q < 1 a p+q=1,potom p(x, x+1)=pap(x, x 1)=q.Pohybčásticpopozicíchje možný jen na sousední pozice. Intenzita přeskoku jedné částice z pozice x do pozice yjetudíž1 [η(x)>0] p(x, y). Generátor tohoto ZR procesu je (6) Ωf(η)= x Z 1 [η(x)>0] (p ( f(η x,x+1 ) f(η) ) + q ( f(η x,x 1 ) f(η) )) η X adefinujemejejprocylindrickéfunkce fna X. Příklad 3. Vezmeme si zobecnění předchozího příkladu v tom smyslu, že Markovský řetězec p(x, y) bude nehomogennínáhodnáprocházkana Z. Tzn. p(x, x+1) = p x a p(x, x 1)=q x,kde q x =1 p x,0<p x, q x <1 xainf p x >0, inf q x >0. Přeskok částice je tedy zase možný jen na sousední pozice, jeho intenzita však tentokrát nezávisí pouze na počtu částic na výchozí pozici a směru pohybu, ale navíc nadalšímparametrupozice p x. Všeostatnízůstávájakovpředchozímpříkladu,tj. X= N Z agenerátortohotozr procesu je (7) Ωf(η)= x Z 1 [η(x)>0] (p x ( f(η x,x+1 ) f(η) ) + q x ( f(η x,x 1 ) f(η) )) η X pro fcylindrickéfunkcena X.

6 112 Lucie Fajfrová 2. Invariantní míry Nyní se zaměříme na to, jak pro uvedené případy ZR procesů definované generátorem(7), nebo speciálně(6), nalezneme míry invariantní vůči jejich semigrupě (S(t), t 0).Invariantnímírynászajímajíztohodůvodu,žechováníprocesuvůči nim vykazuje určitou stabilitu. Je-li totiž µ invariantní vůči semigrupě Markovského procesu(ξ t : t 0),potomvezmeme-li µjakopočátečnírozdělenítohotoprocesu, budecelýprocesstriktněstacionární,tzn.(ξ t : t 0)a(ξ t+s : t 0)majístejná konečně rozměrná rozdělení pro každý čas s 0. Naopak startuje-li proces z libovolnéhorozdělení νna X,pronějžexistujelim t νs(t)=: µ,potom µjeinvariantní. To znamená, že množina invariantních měr obsahuje možné kandidáty na limitní rozdělení. Obojí není těžké ukázat. Vcelététokapitoleseomezmenasituacipopsanouvpříkladě3(speciálně2). Označme I množinu všech invariantních měr pro konkrétní ZR proces se semigrupou (S(t), t 0)agenerátoremΩtypu(7).Označme I e množinuextremálníchbodů I. Ideální situace nastává, známe-li celou množinu invariantních měr I a každému počátečnímu stavu umíme přiřadit tu invariantní míru, jež je limitním rozdělením procesu s tímto počátkem. Následující tvrzení ukazuje, že množinu invariantních měr lze popsat jejími extremálními body. Tvrzení 2.1. a) I= {µ P: µ=µs(t) t 0}jeuzavřená,konvexnípodmnožina P b) I= co I e důkaz: add a) konvexita a uzavřenost I jsou zřejmé, add b) Krein-Milmanova věta pro nekompaktní případ[7]. V některých případech ZR procesů se daří nalézt právě extremální body množiny Iatopostupem,kterýjepopsánvnásledujícívětě[1,(1.8.)].Tadáváalgoritmus, jak nalézt některé invariantní míry pro ZR proces. Z jejího tvrzení je ihned zřejmé, žepokudtímtozpůsobemnaleznemejednumíru µ π,pakcelárodinaměr µ α π,kde α Rtaková,aby µ α π P,jsouinvariantnímíry.Dokázatalespoňvkonkrétních případech, že právě tyto míry jsou extremální body I, není snadné. Větu uvádím jen v té obecnosti, kterou použijeme pro uvedené příklady. Věta 2.2.(Andjel(1982)) Buď p(x, y) irreducibilní Markovský řetězec na S. Buď π: S R +,0 < π(x) <1 x Stakové,že (8) π(x)p(x, y)=π(y) y S, x S potom ν π I,kde ν π jesoučinovámírana Xsmarginálydefinovanými x S: (9) ν π (η: η(x)=k)= ( 1 π(x) )( π(x) ) k k N. Důkazvěty2.2lzenaléztv[1].Probíhávetřechkrocích,znichžprvníjeobsahem následujícího tvrzení, z něhož vyplyne, že pro invarianci míry µ stačí dokazovat Ωfdµ=0 fcylindrickouna N S, µ-integrovatelnou.

7 Invariantní rozdělení částicových systémů 113 Druhý krok spočívá v provedení důkazu speciálně pro S konečnou. Tímto případemjsmesezabývalivpříkladě1,odkudplyne,žestačídokázatω T µ=0,cožje pro míru µ zadanou předpisem(9) snadné ukázat. Třetímkrokemjeaproximovat S= S n,kde S n jsoukonečnédosebevnořené podmnožiny S,avhodnězúžitoperátorΩnaoperátorΩ n na N Sn,takžeΩ n Ω a (Ω n Ω)(f) má µ-integrovatelnoumajorantu.z1.krokupak Ω n f dµ=0 alimitou n jedůkazdokončen. Tvrzení 2.3. NechťoperátorΩna C ( N S) jemarkovskýgenerátorzrprocesusg(k)=1 [k>0]. Nechť ( S(t) ) jekorespondující(vesmyslu(2))markovskásemigrupa.buď µmíra na N S.Paknásledujícítvrzeníjsouekvivalentní: (1) S(t)fdµ= fdµ t 0 fomezenouspojitouna N S (2) Ωfdµ=0 fcylindrickouna N S, µ-integrovatelnou. Důkaz tvrzení 2.3: Uvědomme si, že je-li funkce f cylindrická omezená, pak také S(t)f je cylindrická omezenáprokaždé t 0. Zkorespondence(2)mezi S(t)aΩplyne t ( ) ( t ) (10) S(t)f fdµ= ΩS(u)f dµ du= ΩS(u)f du dµ, 0 kde je ovšem pro druhou rovnost potřeba ověřit předpoklady pro záměnu integrálů. Nechťplatí(2).Prodůkaz(1)stačídokázatrovnost µs(t)=µ t 0probazové množiny X(viz definice ZR procesu). Tzn. stačí dokázat(1) pro cylindrické funkce. Buď f libovolná cylindrická omezená. Zpředpokladuje ΩS(t)fdµ=0prokaždé t 0atudíži ( t ΩS(u)fdµ ) 0 du=0. Pro záměnu integrálů v(10) stačí nalézt integrovatelnou majorantu pro ΩS(u)f. Protože fjeomezená,existuje N N: f(η) N ηapotom S(u)f(η) f(ξ) Pu η (dξ) N η, u 0. S(u)fjecylindrická u 0,speciálněpro S(t)fodtudexistujekonečná K S,že S(u)f(η) 0 u tzavisína ηjenpřessouřadnicezk.tudíž ΩS(u)f(η) 1 [η(x)>0] p(x, y) S(u)f(η x,y ) S(u)f(η) 2N K 2. x K y K Lzeprovéstzáměnuintegrálů,tedy S(t)f fdµ=0. Nechť platí(1). f(η) pokud f(η) N Buď fcylindrická, µ-integrovatelná.označme f N (η)= N pokud f(η) > N N pokud f(η) < N Zřejmě f N jecylindrickáaomezená,protozpředpokladuplatí S(t)f N f N dµ=0 t 0.Použitím(10)dostáváme ) t 0( S(u)ΩfN dµ du=0 t 0.Protoževnitřní integráljespojitoufunkcí u,dostáváme S(u)Ωf N dµ=0 u 0.Speciálněvolbou u=0pakplyne Ωf N dµ=0.zřejměωf N Ωfbodově. Abychom dokázali Ωfdµ = 0, stačí nalézt integrovatelnou majorantu pro Ω(f f N ).Toujekonst.*f,neboťjsmepředpokládali fintegrovatelnou. Tedy Ωfdµ Ω(f f N ) dµ N 0. 0

8 114 Lucie Fajfrová 3. Aplikace Pokusíme se nyní co nejlépe popsat množinu invariantních měr pro případ ZR procesu popsaného v příkladě 3), speciálně 2). Nejprve druhý příklad: máme ZR proces definovaný operátorem(6) odvozený od náhodné procházky na Z. Tzn.provšechna x Zje p(x, x+1)=pap(x, x 1)=q,ostatnípřechodymají pravděpodobnost nula. První krok k získání součinové invariantní míry je podle výše uvedené věty nalezení funkce πna Zřešícísoustavurovnic(8)asplňující0<π(x) <1.Vtomtonašem případě je rovnice(8) tvaru π(x)=pπ(x 1)+qπ(x+1) x Z ( avšechnajejířešeníjsou π(x) = A+B p x, q) A, B libovolnékonstanty.ovšem vzhledemkpodmínce0<π(x) <1jsouproaplikovánívěty2.2zevšechtěchto řešenívhodnájenkonstantnířešení: π(x)=a x Z,kde0<A<1.Potom dostáváme, že součinové míry s marginály ν A (η: η(x)=k)=a k (1 A) x SjsouinvariantníprotentoZRproces,kdykoliv0 < A <1. Tedy {ν A :0<A<1} I. Lze v tomto případě dokonce dokázat, že právě tyto součinové míry tvoří množinu extremálníchbodůpromnožinuinvariantníchměr,tj. {ν A :0<A<1}=I e.důkazjetechnickynáročnýalzejejnaléztv[1].vesmyslutvrzení2.1námmnožina součinovýchměr {ν A :0<A<1}dobřepopisujecelou I. Třetí příklad: máme ZR proces definovaný operátorem(7) a rozdíl od předchozího příkladu je ve zobecnění Markovského řetězce p(x, y), který už není prostorově homogenní. Abychom mohli použít větu 2.2 a nalézt k tomuto procesu invariantní míry, je nyní třeba řešit soustavu diferenčních rovnic (11) π(x)=p x π(x 1)+q x π(x+1) x Z. V této obecnosti její řešení explicitně nevyjádříme. Podívejme se alespoň na speciální případ: p x p x 0 & p x p x 1 pro0 < p p <1. Všechna řešení rovnice(11) jsou potom tvaru: ( q ) x ) x (12) π(x)=a+b x 0, π(x)=ã+ B x 1, p ( p q kde platí (13) (q p)a=( q p)ã & pb p B= qã qa. Vrámci(13)lzekoeficienty A, B, Ã, Bvolittak,abybylasplněnapodmínka (14) 0 < π(x) <1.

9 Invariantní rozdělení částicových systémů 115 Rozeberme řešení pro jednotlivé případy pravděpodobností p, p: I. II. III. IV. p 1/2, p 1/2 p 1/2, p 1/2 p >1/2, p >1/2 p <1/2, p <1/2, z nichž případ, kdy p = p, vyjmeme. Množinu všech funkcí π, splňujících(12),(13) a(14)označme R.Kdykolivje Rneprázdná,dostanemejivetvaru R={π C : c 1 < C < c 2 }. Rjetedyindexovanájednímparametremzotevřenéhointervalu(c 1, c 2 ), podobnějakovpříkladě2),stímrozdílem,že π C neníkonstantní. Množina R vždy intuitivně odpovídá představě o pohybu částic po Z v jednotlivých situacích: I. q 1/2 p 1/2 Dostávámejedině π 0tj. R=. Nastávábuď p q >1a q p >1,cožvedezpodmínky π <1 na B=0= Bazpodmínky π >0na A=0=Ã, nebo p q >1a q p =1,cožvedena Ã=0= Ba A+B=0, nebo p q =1a q p >1,cožvedena A=0=Ba Ã+ B=0. II. p 1/2 q 1/2 Dostáváme Nastávábuď p q <1a q p <1,potomzpodmínky π >0 dostaneme A=0=Ãapro B, Bvztah pb= p B, nebo p q <1a q p =1,cožvedena Ã=0a p B= 1 2 (A+B), nebo p q =1a q p <1,cožvedena A=0apB=1 2 (Ã+ B). R={π(x)=B ( q p ) x pro x 0, π(y)=b p p ( p ) ypro y 1 : 0 < B < b2 }, q kde b 2 závisí na konkrétní volbě p, p, aby platilo π < 1. Snadno zjistíme, že b 2 =min(1, q p ).Toznamená,žepůjde-li levá procházkarychleji(p > q),jetřeba B omezitshorapodílem q p.bude-lisituaceopačnáa pravá procházkapůjderychleji (p < q), stačí B omezit shora 1. Tato nesymetrie vzniká z nesymetrického rozdělení Zna Z (,0]aZ (0, ). III. p >1/2 p >1/2 Dostáváme Abyplatilo0 < π <1,jenutně B=0a0 < à <1 azpodmínky(13)plynepro A, B: A= q pã=: q p F(Ã), B= 1 q p p ( q q p )Ã=: G(Ã) (speciálněpro p > pje A > ÃaB<0). R={π(x)=F(Ã)+G(Ã)( q ) x pro x 0, π(y)= Ãpro y 1 : 0 < p à < a 2}, kde a 2 závisínakonkrétnívolbě p, p,abyplatilo π <1.Zasejejvjednotlivýchpřípadech snadno vyjádříme, výraz však bude složitější než v předchozím případě.

10 116 Lucie Fajfrová IV. q >1/2 q >1/2 Kvůli0 < π <1,jenutně B=0a0 < A <1 azpodmínky(13)plynepro Ã, B: Ã= q p q p A=: H(A), 1 q p B= p (q q p )A=: J(A) (speciálněpro q > qvyjde à < Aa B >0). Dostáváme R={π(x)=Apro x 0, π(y)=h(a)+j(a) ( p ) ypro y 1 : 0 < A < c2 }, q kde c 2 závisínakonkrétnívolbě p, p,abyplatilo π <1. Rozborem případů jsme našli všechna řešení rovnice(11) v našem speciálním případě,kterásplňují(14).označme I R množinusoučinovýchměrdanýchvětou2.2 prokaždýzpřípadůi-iv.vpřípaděije I R =.VpřípadechII-IVplynezcitované věty,že I R I.VpřípaděIIvypadámnožina I R následovně I R = ( ) ( {ν B : ν B η: η(x)=k = 1 B ( p) x )B k( p ) kx x 0 q q 0<B<b 2 k N }. = ( 1 B p p ( p )( ) x k ) kx q) p p ( p q B x 1 VpřípadechIIIaIVbudezápismnožiny I R vypadatobdobně. Otázkou v tomto příkladě zůstává, platí-li(stejně jako v příkladě 2), že jsme nalezli přímo všechny extremální body množiny invariantních měr I. Literatura [1] Andjel, E.D.: Invariant measures for the zero range proces, Ann.Probab. 10, , [2] Fremlin, D.H.: Measure Theory, Vol. 4: Topological measure spaces, in preparation. Partial drafts available via [3] Holley, R.: A Class of Interactions in Infinite Particle System, Adv. in Math. 5, , [4] Liggett, T.M., Spitzer, F.: Ergodic Theorems for Coupled Random Walks and Other Systems with Locally Interacting Components, Z. Wahrsch. Gebiete 56, 443/468, [5] Liggett, T.M.: Interacting Particle Systems, Springer-Verlag, New York, [6] Rogers, L.C.G., Williams, D.: Diffusions, Markov Processes and Martingales, Cambridge University Press, UK, Vol. 1, [7] Štěpán, J.: A noncompakt Choquet Theorem, Comment. Math. Univ. Carolinae 25,1, 73-89, [8] Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, ÚTIAAVČR,PodVodárenskouvěží4,18208Praha8 fajfrova@karlin.mff.cuni.cz