KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

Transkript

1 KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU V echanice jse se zabývai příočarý a křivočarý pohybe, nyní rozeberee třetí zákadní typ pohybu, pohyb kitavý, tedy echanické kitání. Kitající těeso (osciátor) se pohybuje stáe v okoí určitého bodu tzv. Pokud těeso prochází rovnovážnou poohou pravideně, je kitavý pohyb periodický, příkade takového pohybu je napříkad _ KMITAVÝ POHYB Co se bude dít se závaží na pružině, pokud ho vychýíe z rovnovážné poohy Zařízení, které voně, bez vnějšího působení, kitá, se nazývá Na těeso na pružině působí vždy dvě síy - _, která je způsobena a _, která vzniká při, pokud jsou obě stejně veké, nachází se těeso v, pokud pružinu siou protáhnee, je větší sía, pokud pružinu siou naopak stačíe, je větší sía Co je příčinou kitání kyvada Nejjednodušší kitavý pohybe je takový, kdy trajektorií je úsečka Závisost výchyky na čase ze znázornit v tzv. Těeso ve stejných časových intervaech neurazí vždy stejnou dráhu, protože

2 , pohyb je tedy vzhede k rychosti Kitavý pohyb je Těeso se vždy po určité době vrátí do stejného ísta, dobu za kterou toto udáost nastane nazýváe, touto procesu říkáe jeden Kity osciátoru charakterizují veičiny perioda T doba frekvence f kitočet, je rovna f = Jednotkou frekvence je 1. Co je to kitavý pohyb. Co je to perioda a frekvence, jaký je vztah ezi nii 3. Je kitavý pohyb rovnoěrný nebo nerovnoěrný 4. Odhadni frekvenci srdce HARMONICKÉ KMITÁNÍ Jak by byo ožné vyjádřit okažitou poohu kitajícího bodu jako funkci času Popíšee pohyb v kartézské soustavě souřadnic, kdy těeso kitá ve sěru osy y, v počátku je rovnovážná pooha, běhe kitání se okažitá výchyka (tedy souřadnice y) ění pode funkce Při pohybu echanického osciátoru se okažitá výchyka y periodicky ění a nabývá i hodnot, absoutní hodnota největší výchyky se nazývá, označujee ji

3 Srovnání kitavého pohybu a pohybu po kružnici Kitavéu pohybu odpovídá průět rovnoěrného pohybu po kružnici do svisé roviny se na něj v rovině, ve které se pohybuje Pokud bycho se dívai na kitající bod, neze jednoznačně určit, zda opravdu kitá, nebo se pohybuje po kružnici a díváe Odvození vztahu pro okažitou výchyku Trajektorií HB je, HB se otáčí s úhovou rychostí ω, okažitá pooha HB je určena r r, který svírá s osou x úhe ϕ V čase V čase t = s eží bod M na ose x, ϕ je tedy roven t s je ϕ = ω t Průěte okažitých výchyek je y-ová souřadnice bodu M, tedy y = r sinϕ ϕ se nazývá a jednoznačně určuje výchyku, veikost průvodiče určuje Pro okažitou výchyku těesa, které je v počáteční okažiku v rovnovážné pooze patí y = y sin ω t tento vztah se nazývá zákadní rovnice haronického kitání a popisuje nejjednodušší haronický pohyb haronické kitání POZNÁMKA V echanice jse veičinu ω označovai jako, nyní ji budee nazývat úhová frekvence, výpočet je stejný jako v echanice a to ω = πf ŘEŠENÁ ÚLOHA Zapiš rovnici haronického kitání, znáš-i apitudu y = 1, 5c a periodu kitání T =, s.

4 ŘEŠENÁ ÚLOHA π 1 ω = πf = = 1πs, y = 1,5 1 sin1π t T Kitavý pohyb je dán násedující tabukou, obsahující zázna okažité výchyky v závisosti na čase. Zakresi průběh tohoto kitání a sestav jeho rovnici. Dáe urči frekvenci kitání. t (s),5 1 1,5,5 3 3,5 4 y () 1,4 1,4-1,4 - -1,4 1. Co je to haronické kitání. Jak ze interpretovat pohyb po kružnici jako kitavý pohyb 3. Co je to apituda, fáze, úhová frekvence 4. Jak se nazývá rovnice popisující okažitou poohu kitajícího HB 5. Zapiš rovnici haronického kitání, znáš-i apitudu y = c a frekvenci kitání f = Hz Rovnice haronického kitání á tvar y = 3 1 sin 4π t, urči apitudu, frekvenci, periodu, úhovou frekvenci kitání a výchyky v časech t1 =, 1s, t =, 5s, t1 =, 5s, t1 = 1s a t1 = 5, 3s. 7. Kitavý pohyb je dán násedující tabukou, obsahující zázna okažité výchyky v závisosti na čase. Zakresi průběh tohoto kitání a sestav jeho rovnici. Dáe urči frekvenci kitání. t (s),1,,3,4,5,6,7,8 y () RYCHLOST A ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU V rovnovážné pooze je rychost HB, v bodech, kde je axiání výchyka je rychost Z echaniky víe, že rychost á vždy sěr a obvodovou rychost HB ze spočítat poocí úhové frekvence

5 Z pohybu po kružnici ze snadno odvodit, jak určíe rychost a zrychení kitavého pohybu, rychost i zrychení bude vždy průěte do osy Z definice gonioetrických funkcí ze odvodit, že, pro okažitou rychost tedy patí vztah v = Zrychení odvodíe obdobný způsobe. Pro dostředivé zrychení z echaniky znáe vztah a = ω r, zrychení á opačný sěr než výchyka usí ít tedy záporné znaénko, poocí gonioetrických funkcí odvodíe vztah, pro okažité zrychení tedy patí vztah a = protože víe, že okažitá výchyka y ze vyjádřit jako y = y sin ω t, ze zrychení spočítat také jako Zrychení haronického kitavého pohybu je přío úěrné okažité výchyce a á v každé okažiku opačný sěr veikost zrychení se tedy ění Kdy je kitavý pohyb zrychený a kdy zpoaený 1. Jak ze graficky určit veikost rychosti a zrychení kitavého pohybu. S jakýi gonioetrickýi funkcei se ění okažitá rychost a okažité zrychení 3. Jaký je vztah ezi okažitou výchykou a okažitý zrychení 1 4. Jaká bude hodnota okažitého zrychení, je-i úhová frekvence 1π rad s 5. V jakých okažicích á axiání hodnotu okažitá rychost a kdy okažité zrychení FÁZE KMITAVÉHO POHYBU Dosud jse se zabývai pouze případe, kdy byo těeso v počáteční okažiku v rovnovážné pooze. Často á ae těeso v počáteční okažiku nějakou výchyku. Jak se

6 tato zěna proítne do rovnice kitavého pohybu y Pokud bude ít těeso v počáteční okažiku kadnou výchyku, napříkad byo v rovnovážné 4 pooze dříve, v čase t, proto se rovnice vyjadřující okažitou výchyku zění násedovně: ( t ) y = y sin ω + t po úpravě získáe y = y sin( ω t + ωt ) a výraz ω t označíe jako ϕ, tuto veičinu nazvee a určuje Rovnice kitavého pohybu á pak tvar y ( ω + ) = y sin t ϕ Kdy á počáteční fáze kadné a kdy záporné znaénko V čase výchyka t = s je čen t = y ŘEŠENÁ ÚLOHA Urči počáteční fázi kitavého pohybu, jestiže v čase t = s je výchyka HB y y =. ω, v rovnici pro výchyku tedy zbude pouze y y ( ) y = po dosazení získáe y sin( ϕ ) y = vzájené vztahy ezi dvěa haronickýi kity fázový rozdí První kit á počáteční fázi ϕ 1, druhý ϕ ϕ ω ϕ ω ϕ 1 Fázový rozdí těchto kitů je tedy = ( t + ) ( t + ) = = sin ϕ, protože 1 π po úpravě získáe sinϕ = ϕ = 6 Fázový rozdí dvou haronických veičin o stejné frekvenci je určen ŘEŠENÁ ÚLOHA Jaký je fázový rozdí dvou kitavých pohybů o stejné frekvenci a apitudě, ají-i jejich

7 π π rovnice tvary y1 = y sin ωt + a y1 = y sin ωt 6 6 π π π ϕ = ωt ωt + = Jaký je fázový rozdí ezi okažitou výchykou a rychostí Význané jsou dva fázové rozdíy, fázi. kπ, kdy ají veičiny stejnou fázi a ( k +1)π, kdy ají opačnou 1. Co je to počáteční fáze kitavého pohybu. Jaký tvar á rovnice vyjadřující kitavý pohyb s nenuovou počáteční fází 3y 3. Urči počáteční fázi kitavého pohybu, jestiže v čase t = s je výchyka HB y =. 4. Jaký je fázový rozdí dvou kitavých pohybů o stejné frekvenci a apitudě, ají-i jejich rovnice 5π 13π tvary y1 = y sin ωt + a y1 = y sin ωt Kdy ají veičiny stejnou a kdy opačnou fázi SLOŽENÉ KMITÁNÍ Jak bude kitat střed vákna, který propojíe dvě různě douhá kyvada Kitání, které vzniká skádání někoika kitů se nazývá sožené, nejjednodušší etoda ho jak naézt je etoda grafická. Spočívá v to, že

8 Z echaniky znáe princip superpozice: Časový průběh závisí na apitudě, úhové frekvenci a počáteční fázi, často á sožitý průběh speciání případy Jednoduché je skádat kity o stejné apitudě a úhové frekvenci, které kitají ve stejné sěru, sožený kit á opět sinusový průběh. Pro okažitou výchyka patí vztah y = y 1 + y, pro výsednou úhovou frekvenci patí _, kitání je tedy opět haronické. Kity ze skádat také vektorově, pro časový zázna ovše tato etoda není příiš vhodná Apituda soženého kitání závisí vždy na fázové rozdíu jednotivých kitů _

9 1. Co je to sožené kitání. Jak se graficky skádají kitání 3. Kdy je průběh soženého kitání haronický DYNAMIKA KMITAVÉHO POHYBU Dynaika se zabývá příčinai pohybu, příčinai pohybu pružiny jsou dvě síy - a Z předchozích kapito víe, že zrychení ze spočítat jako a = ω y a pode. Newtonova zákona F = a, po dosazení za zrychení získáe pohybovou rovnici haronického kitavého pohybu F = ω y je nutné určit souvisost úhové frekvence s paraetry osciátoru v toto případě tedy s hotností a tuhostí pružiny k Prodouží-i se pružina z na = +, kde je déka nezatížené pružiny, působení F vnější síy F o veikosti F = k, ze tuhost pružiny vyjádřit jako k =, jednotkou tuhosti pružiny je tedy Po zavěšení závaží se pružina ustáí v nové rovnovážné pooze, ve které jsou v rovnováze síy a, které ají opačné sěry, po dosazení za tyto síy získáe, pokud je osciátor v kidu. Pokud je osciátor v pohybu, ění se sía, sía zůstává konstantní, výsedná sía působící na osciátor je tedy vektorový součte těchto dvou si r r r F = F P + F G F ( y) g = k g ky = ky = F + F = k P G na těeso echanického osciátoru působí proěnná sía F = ky, která stáe sěřuje a je příčinou kitavého pohybu Po dosazení do pohybové rovnice ky = ω y ze vyjádřit úhovou frekvenci jako ω = k Pokud závisí úhová frekvence osciátoru pouze na jeho paraetrech říkáe, že kitání je vastní, jeho frekvenci označujee ω ω = k

10 Periodu vyjádříe jako T = π k POMŮCKA PRO ZAPAMATOVÁNÍ T = π si ze zapaatovat poocí věty: Tereza zpívaa dvě písně odaa oc krásně k Frekvenci vyjádříe jako f = 1 π k 1. Čí se zabývá dynaika. Jaké paraetry charakterizují pružinu 3. Které dvě síy působí neustáe na kitající pružinu 4. Jak ze spočítat úhovou frekvenci pružiny poocí jejich paraetrů 5. Urči tuhost pružiny, která kitá s periodou s, je-i na ní zavěšeno závaží o hotnosti,kg. HISTORICKÁ POZNÁMKA KYVADLO Kyvado byo v historii vei význané pro ěření času, byo znáo, že perioda kitání kyvada je závisá na jeho déce, kyvado řídio pozvoné otáčení soustavy ozubených ko spojených s ručičkai hodin. Prací na zdokonaování hodin se zabýva hoandský fyzik Christian Huygens ( ). Kitání kyvada je haronické pouze pokud je pohyb příočarý a jei výchyka kitání aá, tj. do 5 o, poto ze obouk považovat přibižně za úsečku a všechny výpočty se značně zjednoduší. Chyba, která vznikne títo nahrazení je zanedbateně aá Příčinou pohybu je jedna sožka tíhové síy, v obrázku označená jako, z pravoúhého trojúheníka ze poocí funkce sinus vyjádřit Kyvade je Mateatické kyvado je

11 F y sin α = = = & F G y F =& F G y = g y protože i kyvado je echanický osciátore je perioda kitání T = π g T = π, k F k = = y g POMŮCKA PRO ZAPAMATOVÁNÍ T = π si ze zapaatovat poocí věty: O Terezu bojovai dva písaři oděnou bya jen g éčka a giotina Perioda kitání tedy nezávisí na hotnosti, výchyce ani na veikosti vychýení z rovnovážné poohy zavěšeného těesa, ae pouze na S kitání se pojí poje kyv, je to ŘEŠENÁ ÚLOHA Jaká usí být déka tzv. sekundového kyvada, tj. kyvada, jehož doba jednoho kyvu je 1s T = s T g T = π T = 4π = =,994 = & 1 g g 4π 1. Co je to kyvado. Jaká je charakteristika ateatického kyvada 3. Které paraetry kyvada nejsou rozhodující pro periodu kitání 4. Kyvado á na Zei periodu kitání,3s, jaká bude jeho perioda na Měsíci PŘEMĚNY ENERGIE V MECHANICKÉM OSCILÁTORU Běhe kitání se periodicky neění pouze, a, ae také energie osciátoru Prochází-i osciátor rovnovážnou poohou, je největší energie, protože, při axiání výchyce kyvada, je největší energie.

12 U pružiny je situace podobná, zavěsíe-i na ni těeso, získá zvednutí z nuové výšky kidovou potenciání energii, ta se skádá ze dvou sožek tíhové energie, dodané zvednutí těesa a energie pružnosti, způsobené deforací pružiny Energie pružnosti je rovna práci, která je spotřebována pružinou při prodoužení o Při deforaci se sía zvětšuje až na k Z echaniky víe, že práce je rovna obsahu obrazce v Fs (v toto případě Fy) diagrau. Protože sía roste ineárně, je její střední k hodnota a dráha po které sía působí. Průěrná hodnota energie pružnosti je k 1 E k ( ) PR = =. Ceková kidová energie je rovna součtu energie potenciání a energie pružnosti E 1 = gh + k( ). Odvození cekové energie pohybujícího se osciátoru najdete v učebnici, důežitý je výsedek: C = E E KM E + Při haronické kitavé pohybu se periodicky ění potenciání energie kitání v kinetickou a naopak, ceková energie osciátoru je konstantní a je rovna součtu kidové energie a energie kitání dodané osciátoru při uvedení do pohybu Tento případ je pouze teoretický a by by ožný jen pokud by nedocházeo k tuení kitání, v praxi vždy ke tuení dochází Ke ztrátá energie dochází vive tření s okoí, ve vzduchu je tato třecí sía, proto, ve vodě je třecí sía,proto

13 pružina se vive tření vždy zahřívá a tí se energie Kitá-i osciátor v prostředí s aý tření, napříkad ve vzduchu, pokud kitá v prostředí s veký tření, napříkad ve vodě Vastní kitání osciátoru je vždy tuené Tuení není způsobeno pouze odpore prostředí, ae také deforování pružiny Tuení ovivňuje i periodu kitání, čí je tuení větší, tí je perioda 1. Jak se ění energie kitajícího osciátoru. Jaká je ceková energie echanického osciátoru 3. Jaký je rozdí ezi netuený a tuený kitání 4. Čí je ovivněno tuení kitání

14 NUCENÉ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU Jak ze udržet kitavý pohyb pokud se budete houpat na houpačce Chcee-i udržet stáou apitudu kitání kyvada (tedy netuené kitání) je nutné dodávat osciátoru energii a to buď nárazy nebo vychyování těžiště. Při kitání pružiny ze tuení odstranit napříkad působící agnetický poe. Kitá-i osciátor netueně poocí vnějšího působení usí být ezi osciátore a okoí určitá, tou je osciátoru přiváděna energie. V případě dodávání energie agnetický poe není kitání zcea haronické, protože U netueného haronického kitání Pokud je osciátoru dodávána energie nepřetržitě, je kitání netuené a nazýváe ho nucené Při nucené kitání kitá osciátor s úhovou frekvencí _, títo způsobe ze rozkitat jakékoiv těeso,, vastnosti těesa ají viv pouze na Nucené kitání vzniká působení periodické, frekvence závisí na, nezávisí na. Nucené kitání je vždy. 1. Co je to nucené kitání. Jaký je rozdí ezi tuený a netuený kitání 3. Jak ze z tueného kitání uděat netuené 4. Čí je ovivněna frekvence nuceného kitání 5. Na jakou veičinu ají viv vastnosti osciátoru

15 6. Která těesa ohou nuceně kitat 7. Lze nuceně rozkitat pružinu na které není zavěšeno žádné těeso REZONANCE MECHANICKÉHO OSCILÁTORU Co se bude dít, pokud budee neustáe zvyšovat frekvenci nuceného kitání Nejvyšší hodnotě frekvence, při které osciátor kitá, říkáe Závisost apitudy kitání na frekvenci vnějšího kitání ze znázornit rezonanční křivkou Pokud á rezonanční křivka ostré axiu, je tuení, na obrázku je to křivka. Pokud á křivka éně ostré axiu, je tuení, na obrázku je to křivka. Charakteristikou rezonance je to, že při rezonanční frekvenci se apituda _, touto jevu říkáe rezonanční zesíení. I aou, periodicky působící siou, ze v osciátoru vzbudit kitání o veké apitudě. Podínkou je to, aby frekvence vnějšího kitání _, totéž patí pro periody vnějšího a vastního kitání osciátoru. Rezonance je vastně vzájené působení dvou těes. Tou, které rezonanci vzbuzuje říkáe, tou, které kitá. Rezonance se v praxi hojně využívá, u hudebních nástrojů na toto principu funguje většina, napříkad u housí

16 Podobný způsobe fungují také reproduktory, Rezonance není vždy jen žádoucí, působí dokonce destrukčně, 1. Co je to rezonance. Jak vypadá rezonanční křivka 3. Jak ze osciátor rozrezonovat 4. Uveď někoik příkadů užitečného využití rezonance. 5. Uveď někoik příkadů, kdy je rezonance nežádoucí.