Důkazy Ackermannova vzorce

Transkript

1 Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem (bez zalosti výsledku) epřišli. Jakmile ho ale použijete, hledaý vzorek se zázračě vyloupe. Důkaz 3 vyžaduje předhozí zalosti matematiky a teorie systémů, které dosud emáte. Důkaz - Kostruktiví pomoí trasformae, podle Fraklia, Apedi E, p. 853) Pro soustavu = A + Bu hledáme stavovou zpětou vazbu u = K takovou, aby výsledý harakteristiký polyom uzavřeé smyčky byl s = det ( s + ) I A BK. a) Obeá trasformae stavu do ového stavu je dáa vztahem = T s esigulárí matií T. Při í se stavové rovie změí ásledově = T = A + Bu = AT + Bu = T - AT + T - Bu = A + Bu Pokud záme staré a ové matie, ale e matii trasformačí, můžeme ji vypočítat pomoí mati řiditelosti C C B AB A B = = B AB A B které jsou spojey vztahem C = B AB A B = B AB A B = T B T ATT B T A TT B = T B T AB T A B = T B AB A B = T C z čehož plye, že esigulárí T eměí hodost matie řiditelosti a tedy řiditelost systému a dále T = CC (.) b) Ve speiálím případě převodu systému do kaoikého tvaru řiditelosti mají matie zvláští strukturu, ož ukážeme a systému 3. řádu s harakteristikým polyomem 3 a () s = s + as + as+ a :

2 a a a3 A= A =, B= B = a a a C = C = a T = CC (.) tedy matie řiditelosti v ormálím tvaru řiditelosti je horí trojúhelíková s jedičkami a hlaví diagoále. Tedy má plou hodost a z toho plye, že systém lze do tohoto tvaru převést právě, když je úplě řiditelý. Pro zajímavost je C a a a = tedy horí trojúhelíkoví Toeplitzova matie s prvím řádkem vazbu [ a a ]. ) Pro systém v kaoikém tvaru řiditelosti je ávrh stavové ZV sadý. Výsledá stavová matie uzavřeé smyčky je A = A BK a má harakteristiký polyom (stále pro 3. řád) ew, s + a + k s + a + k s+ a + k Ozačíme-li požadovaý výsledý harakteristiký polyom uzavřeé smyčky s = s + s + s+ CL () 3 3 pak z porováí koefiietů u jedotlivýh moi plye ebo vektorově a + k =, a + k =, a + k = a+ K = d) Nyí ajdeme vztahy mezi koefiiety harakteristikýh polyomů a matií A. Podle Cayley- Hamiltoovy věty každá čtverová matie vyhovuje své harakteristiké rovii. Pro matii zameá z čehož A + aa + + a A + a I = A =aa a A a I. A to

3 Nyí dosaďme matii do harakteristikého polyomu uzavřeé smyčky ( A ) = A + A + + A + I CL 3 a v tom dosaďme z předhozího za ejvyšší moiu matie A ( A ) = a + A + + a + a A + a + I (.3) CL e) Dále ukážeme, že matie A má díky své struktuře zajímavou vlastost "posuutí" : když ozačíme e = [ ], = [ ] e atd., pak zřejmě e A [ ] ( e ) [ ] = = e A A = A = e e A = = e [ ] Když tedy přeásobíme vztah (.3) [ ] e =, dostaeme = ( + ) + + ( + ) + ( + ) [ k k k ] K e ( A ) a e a e a e CL = = f) Nyí máme kompaktí řešeí, ale v kaoikém tvaru řiditelosti. Musíme proto aše K převést a hledaé K v původíh souřadiíh. Jestližeu= K, tak kde jsme použili fakt, že T = CC : K= KT = e ( A ) T CL = e = e T CL ( T AT) T CL ( A) u= KT a k k T AT = T A T. Nyí dosadíme za trasformačí matii ze (.) K = e CC CL A Ze zvláštího tvaru matie C plye, že její posledí řádek, tedy ec se rová e. Z toho koečě dostáváme Akermaův vzore K = e C CL A

4 Numeriká pozámka: Raději se vyheme ivertováí matie řiditelosti. Uděláme to tak, že řešeím soustavy rovi ZC = e vypočteme rovou Z = C a pak stavovou ZV dostaeme přímo z e 4 K = Z CL ( A ).

5 Důkaz Odvozeí Akermaova vzore pro =3 podle Ogaty (997, kap. ). Pro soustavu = A + Bu hledáme stavovou zpětou vazbu u = K takovou, aby výsledý harakteristiký polyom uzavřeé smyčky byl 5 ( si A BK ) s = det + kde () s = s + s + + s+ je dáo. Pro zjedodušeí výrazů ozačíme A A BK () ew = takže CL harakteristiký polyom je s = det ( s ) I A a harakteristiká rovie je ew ( I H) ( I A BK ) s = det s = det s + = Podle Cayley- Hamiltoovy věty z lieárí algebry každá matie vyhovuje své harakteristiké rovii, takže když dosadíme do s () za s Aew tak platí ( A ) = A + A + + A s+ I= () ew ew ew ew Dále budeme pokračovat pro zvláští případ = 3, ož zjedoduší výrazy, ale zahová myšleku důkazu. Proto má () tvar ( A ) = A + A + A s+ I =, = 3 (3) 3 ew ew ew ew Abyhom mohli ve (3) dosadit z defiie za A ew, ejprve si vypočteme potřebé moiy A = = + ew A BK A ABK BKA BK Na pravé straě, protože se to bude později hodit, zovu vytkeme BK a dosadíme Podobě, po troše počítáí, dostaeme ew ew A ew A = A BK = A ABK BKA (4) 3 Nyí už můžeme dosadit (), (4) a (5) do (3) A = A BK = A A BK ABKA BKA (5) 3 ew ew ew A A BK ABKA BKA + A ABK BKA + A A BK + I = ew ew ew ew

6 Což, po úpravě, dává ( 3 ) ( s ew ew ew ) A + A + A + I ABK BKA BK A BK ABKA BKA = 6 Čle v prví závore můžeme zkráeě apsat jako ( A) = A + A + As+ I (6) 3 Když to dosadíme do předhozího vztahu, ostatí čley převedeme zleva doprava a seřadíme je tak, aby měly vedouí koefiiety B, BA atd., dostáváme ( ew ew ) ( ew ) A = B K + KA + KA + AB K + KA + A BK Tuhle rovii můžeme také apsat matiově jako K + KAew + KA ew ( A) = B AB A B K+ KAew K Levá matie a pravé straě je zřejmě matie řiditelosti soustavy. Protože Akermaův vzore platí je pro úplě řiditelé soustavy, je matie řiditelosti ivertovatelá a výraz můžeme upravit a K + KA + KA K ew ew K+ KAew = B AB A B ( A) Koečě přeásobíme rovost zleva vektorem [ ], čímž etrahujeme hledaé K [ ] K = B AB A B A (6) Což je zřejmě Akermaův vzore ve zvláštím případě = 3. Odvozeí pro obeé, byhom provedli obdobě. Pozor, uvědomte si, že vytkeme ( A), protože ikoli matie A! je harakteristikým polyomem matie A ew a

7 Další pozámky - Matie řiditelosti v ormálím tvaru řiditelosti: Pro 4. řád je: >> A=[-a -a -a3 -a4; ; ; ], B=[;;;] A = [ -a, -a, -a3, -a4] [,,, ] [,,, ] [,,, ] 7 B = >> C=[B A*B A^*B A^3*B] C = [, -a, a^ - a, a*a - a3 + a*(a - a^)] [,, -a, a^ - a] [,,, -a] [,,, ] >> iv(c) as = [, a, a, a3] [,, a, a] [,,, a] [,,, ] Pro 5. řád >> A=[-a -a -a3 -a4 -a5; ; ; ; ], B=[;;;; ] A = [ -a, -a, -a3, -a4, -a5] [,,,, ] [,,,, ] [,,,, ] [,,,, ] B = >> C=[B A*B A^*B A^3*B A^4*B] C = [,-a,a^-a,a*a-a3+a*(a-a^),a*a3-a4+a*(a-a^)- a*(a*a - a3 + a*(a - a^))] [,, -a, a^ - a, a*a - a3 + a*(a - a^)] [,,, -a, a^ - a]

8 [,,,, -a] [,,,, ] >> iv(c) 8 as = [, a, a, a3, a4] [,, a, a, a3] [,,, a, a] [,,,, a] [,,,, ]

9 Důkaz 3 - Matematiký, podle Kailatha s. 98 a dále 9 a) Vztah mezi OL a CL harakteristikými polyomy {( si A) ( I ( si A) BK )} a ( s) = det si A + BK CL = det + ( ) ( ) det = det si A I + si A BK = a ( s)det + K si A B OL = a () s + K si A B OL, kde aposledy byl požit matiový vztah obeě pro obdélíkové matie P rozměrů ma Q rozměrů m, že det ( I PQ) = det ( I QP), v ašem případě pro m = to je ( I PQ) ( QP) det = det. Z předhozího tedy plye pro oba harakteristiké polyomy a () s a () s = a () s K si A B CL OL OL m b) Z předhozího vztahu můžeme určit K porováím koefiietů u jedotlivýh moi obou polyomů. Předtím ještě použijeme jede ze "vztahů pro resolvety" (lze dokázat přeásobeím si A ) tedy adj as () ( si A) = Is + ( A + ai ) s + + ( A + aa + + a I ) ( si A) = Is + ( A + ai ) s + + ( A + aa + + a I ) ozačíme-li a () s = s + as + + a, a () s = s + α s + + α OL CL dostaeme porováím koefiietů polyomů výše ož můžeme apsat v kompaktím tvaru a α = KB a α = kab + akb a3 α3 = ka B + akab + akb

10 kde a = CA (.4) α K T [ ], α [ α α α ], C a a a a B AB A B a = = = A je dolí trojúhelíková Toeplitzova matie s prvím sloupem [ a ] T a. Protože je A vždy esigulárí, má rovie (.) řešeí pro libovolá a, α právě když C je esigulárí. Pak můžeme stavovou ZV vypočítat z (Bass-Gurova) vzore T ) Nyí z Bass-Gurova vzore odvodíme Akermaův vzore K = aα A C (.5) K= qa CL A, kde a () s je požadovaý CL harakteristiký polyom a CL je posledí řádek matie C q [ ] = C Pokud by soustava byla v kaoikém tvaru řiditelosti, měl by Akermaův vzore tvar KC = ε a = q, α( AC) tedy posledí řádek matie α( A C )