Fotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků.

Transkript

1 FOTLOÝ MÍČ Popis aktivit ýpočt odchlek přímek a rovin v tělese, resp. velikostí úhlů, které svírají stěn a hran v mnohostěnu. Předpokládané znalosti Odchlka rovin a přímk, odchlka dvou rovin. Definice a vět o kolmosti rovin a přímek Potřebné pomůck MFF tabulk Zadání Fotbalový míč má tvar mnohostěnu složeného z pravidelných pětiúhelníků a z pravidelných šestiúhelníků. Každý vrchol je společný třem stěnám, z nichž dvě mají tvar pravidelného šestiúhelníku, třetí stěna má tvar pravidelného pětiúhelníku. σ ω 1. Jaký úhel svírá stěna tvaru pětiúhelníku s hranou mezi dvěma sousedními shodnými stěnami tvaru šestiúhelníku?. Jaký úhel svírají dvě sousední shodné stěn?. Jaký úhel svírají dvě sousední neshodné stěn a N? Úloh řešte početně. Možný postup řešení, metodické poznámk šechn hran mnohostěnu jsou stejně dlouhé, jejich délku označme smbolem. Ze tří stěn s jedním společným vrcholem oddělíme trojboký jehlan. Jeho stěnami jsou rovnoramenné trojúhelník. Právě dva z nich jsou shodné:,.

2 Úhl při vrcholu mají velikosti 180 : 5 108, 10. ýpočet délek podstavných hran jehlanu: sin sin ; sin 54 ; sin 54 sin Jaký úhel svírá stěna tvaru pětiúhelníku s hranou mezi dvěma sousedními shodnými stěnami tvaru šestiúhelníku (úhel )? elikost úhlu označme φ. Délku stran lze spočítat pomocí Pthagorov vět: ( sin 54 ); sin 54 trojúhelníku vpočteme délku stran : cos 54 elikost úhlu φ vpočteme pomocí kosinové vět: + cos φ cos φ cos 54 + ( sin 54 ) cos 54 cos φ 0,85065 φ 148, cos 54 + sin 54 cos 54 1 cos 54. Jaký úhel svírají dvě sousední shodné stěn a? K určení odchlk dvou rovin je třeba sestrojit řez rovinou kolmou k oběma daným rovinám. E e F E e σ K F P Na prvním obrázku je zobrazena ta část pláště tělesa, která obsahuje oba sousedící šestiúhelník. této části je vznačen plášť trojbokého jehlanu. Na druhém obrázku je vznačen řez jehlanu rovinou, která prochází bodem a je kolmá k oběma shodným stěnám a. Úhel σ, který svírají sousední stěn a je pak shodný s úhlem EF v rovině řezu. Za jakých podmínek bude rovina řezu EF kolmá k oběma stěnám? udou-li dvě různoběžk (E a F) rovin řezu kolmé k hraně (tj. k průsečnici obou rovin a ), potom k hraně bude kolmá i celá rovina řezu. K rovině řezu pak bude kolmá i každá rovina, v níž hrana leží. Ted rovina řezu bude kolmá k oběma stěnám a. Hledaný úhel EF má velikost σ. Polovinou rovnoramenného trojúhelníku EF je pravoúhlý

3 trojúhelník EK. Postupně určíme délk dvou jeho stran. rovnoramenném trojúhelníku má úhel při vrcholu velikost γ 1 0. pravoúhlém trojúhelníku E platí: tg 0 E ; E ; E cos 0 ; E pravoúhlém trojúhelníku je při vrcholu úhel γ, pro nějž platí: sin γ sin 54 sin 54 pravoúhlém trojúhelníku EK platí: sin γ EK EK sin 54 sin 54 ; EK ; E pravoúhlém trojúhelníku EK platí: sin σ EK sin 54 sin 54 0,94; σ 18, ,8 E. Jaký úhel svírají dvě sousední neshodné stěn a N? N M ω N M P estrojíme řez jehlanu rovinou kolmou k oběma stěnám a N. Rovina řezu obsahuje vrchol a musí být kolmá k průsečnici. Řezem je trojúhelník MN, kde M a rovněž N Hledaný úhel MN má velikost ω. udeme-li znát délk všech tří stran trojúhelníku MN, velikost úhlu při vrcholu se spočte užitím kosinové vět. Délka úsečk N v trojúhelníku. Úhel při vrcholu má velikost β N 0. Platí: N tg 0 ; N cos 0 Délka úsečk M v trojúhelníku. Úhel při vrcholu má velikost β M 6. Platí:

4 M tg 6 ; M cos 6 trojúhelníku MN resp. pro velikost úhlu β při vrcholu platí: cos β sin 54 sin 54 MN M + N M N cos β cos sin 54 cos 6 cos ω M + N MN M N tg 1 4 sin cos + 6 cos 6 tg 6 tg 6 + cos sin 54 cos 6 tg 6 cos cos 6 0, sin 7 ω 14, ,4 Doplňkové aktivit Zjistěte, zdali je možné postupovat v úloze ještě jiným početním způsobem. Jiný způsob řešení: Úsečka EF je rovnoběžná s podstavnou hranou, úsečk E a F jsou kolmé k hraně. od K je průsečík úsečk a úsečk EF. Protože úsečka K leží v kolmé rovině řezu, je kolmá k hraně. Pro potřeb výpočtu délk úsečk K určíme velikost γ úhlu. trojúhelníku platí: cos γ + + ( sin 54 ) cos 54 sin 54 sin 54 cos γ 0,9794; γ 11, ,6 Pro výpočet úhlu σ, je třeba znát délk dvou stran pravoúhlého trojúhelníku EK. ýpočet K v pravoúhlém trojúhelníku K: K 1 tg γ cos γ 1 4 ( sin 54 ) 9 K 4 sin 54 0, sin 54 ýpočet EK z podobnosti trojúhelníků EK a : EK K K ; EK

5 Pomocný výpočet K : cos γ ; K K cos γ sin 54 1, EK sin 54 sin 54 sin 54 sin 54 EK K tg σ sin 54 ; σ 18, ,8 4 sin 54 Úlohu je možné řešit i grafick (viz Fotbalový míč 4). Obrazový materiál Dílo autora