Petr Kulhánek, Milan Červenka

Transkript

1 A S T R O F Y Z I K A V P Ř Í K L A D E C H Pet Kulhánek, Milan Čevenka Paha 01 FEL ČVUT

2 OBSAH I. ZÁKLADNÍ VZTAHY 3 1. Pasek 3. Poxima Centaui 4 3. Magnituda 4 4. Pogsonova ovnice 5 5. Absolutní magnituda Slunce 5 6. Měný výkon Rigelu 6 7. Hodinový úhel Aldebaanu 6 8. Jety kvasau fiktivní nadsvětelná ychlost 7 9. Planckovy škály Vektoový součin 8 II. ELEKTROMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ Záření husté jako voda 11. Teplota Slunce z vlnové délky světla Zářivý výkon Slunce Měný výkon Slunce 1 5. Sluneční konstanta 1 6. Teplota Slunce z intenzity záření 1 7. Elektické pole slunečního záření u Země Tlak záření Teplota těles a vlnové délky záření Učení poloměu hvězdy 15 III. HVĚZDY, SLUNCE Hydodynamický čas 17. Jeansovo kitéium Rovnováha polytopní hvězdy Schwazschildova podmínka Rovnice ovnováhy polytopní hvězdy 0 6. Poovnání výkonů 1 7. Polomě Pocyonu B 8. Úbytek sluneční hmoty 9. Kytí podukce enegie gavitační kontakcí 10. Teplota sluneční skvny 3

3 IV. GRAVITACE, TÍŽE, POHYBY 4 1. Vztah mezi tíhovým a gavitačním polem 4. Pád z malé výšky difeenční schéma 5 3. Pád z velké výšky difeenční schéma 7 4. Oběh tělesa po kuhové dáze 8 5. Třetí Kepleův zákon 9 6. Gavitační působení Slunce a Země na Měsíc 9 7. Příliv a odliv Hmotnost Země Hillovy ekvipotenciály Gavitace Země a Měsíce Lagangeův bod L1 soustavy Země a Měsíc Úniková ychlost z Galaxie Cesta aketou na Poximu Centaui 34 V. ROTAČNÍ POHYBY Rotace bodu 37. Kyvadlo Hvězda měnící ozměy Zákon ploch Duhý Kepleův zákon Od Keplea k Newtonovi Volný pád Měsíce 4 8. Vzdalování Měsíce 4 9. Vzdalování Země Efektivní potenciál Země jako hamonický osciláto Pohyb elektonu v magnetickém poli Pofil hladiny kapaliny v otující nádobě Pofil víu na vodní hladině Rychlostní pofil v otující galaxii s hustým jádem Rozmě neutonové hvězdy 48 VI. SPECIÁLNÍ RELATIVITA Maticový zápis Loentzovy tansfomace 50. Deteminant LT Invezní matice k LT Úhel otace apidita Relativistický Doppleův jev 5 6. Mion 53

4 VII. GRAVITACE A OBECNÁ RELATIVITA Laplaceův výpočet Schwazschildova poloměu 54. Hustota čené díy Pohyb fotonu Kuhová obita fotonů kolem čené díy Ohyb světla Čevený posuv fotonu výpočet ze zákona zachování enegie Čevený posuv fotonu výpočet z LIS Čevený posuv fotonu výpočet z metiky Poundův Rebkův expeiment Čevené posuvy po typické hvězdy Hodiny na telekomunikační dužici 6 1. Cesta do centa Galaxie Efektivní potenciál částice v okolí čené díy Beckensteinova teplota čené díy Vypařování čené díy Zakřivení postou v okolí čené díy 70 VIII. ROZPÍNÁNÍ VESMÍRU 7 1. Objem koule 73. Objem Vesmíu Metika na povchu čtyřozměné koule Kosmologický posuv Kvasa Lineaizace kosmologického posuvu Hubbleův zákon a kosmologický pincip Pokles hustoty enegie záření s expanzí Základní řešení Einsteinovy-Fidmanovy ovnice Hoizont částic (pozoovatelného Vesmíu) Expanze při Hubblově konstantě neměnné v čase Hubblova konstanta po ůzné entity Maximální stáří Vesmíu po Fidmanovu expanzi Stáří Vesmíu tvořeného pouze hmotou Pomě enegie látky a záření ve Vesmíu Stavová ovnice expandující entity 84 IX. POHYBY ČÁSTIC V POLÍCH Náboj v elektickém poli 86. Lamoův polomě Magnetický moment nabité částice 87

5 4. Magnetická ezonance Magnetický moment jako invaiant Magnetické zcadlo Gavitační dift Bennettův pinč 90 Skiptum je doplňkem k textu Astofyzika ( Aktuální vezi skipta si můžete stáhnout na seveu v sekci Studium nebo v sekci Stáhnout. Nalezené chyby posím pošlete na adesu kulhanek@aldebaan.cz.

6 TABULKA ZÁKLADNÍCH KONSTANT G = N m kg c = m s 1 = J s = W m K 4 b = Km gavitační konstanta ychlost světla Planckova konstanta Stefanova Boltzmannova konstanta Wiennova konstanta TABULKA HODNOT VELIČIN M S = kg M Z = kg M M = M Z /81 m n = kg R ZS = km R ZM = km R S = km R Z = km P S = W b = J s v = 30 km s 1 I = 1.39 kw m hmotnost Slunce hmotnost Země hmotnost Měsíce hmotnost nukleonu vzdálenost Země - Slunce vzdálenost Země - Měsíc polomě Slunce polomě Země celkový zářivý výkon Slunce moment hybnosti Země vzhledem ke Slunci ychlost Země kolem Slunce solání konstanta (intenzita slunečního záření u Země) JEDNOTKY VZDÁLENOSTI AU = km ly = km pc = km astonomická jednotka světelný ok pasek

7 TYPICKÉ VLASTNOSTI HVĚZD polomě hmotnost hustota čená día 3 km 1 M S g/cm 3 neutonová hvězda 10 až 100 km 1 M S g/cm 3 bílý tpaslík 1000 až km 1 M S 10 6 g/m 3 Slunce km 1 M S 1,4 g/cm 3 veleob až 500 R S 1 M S 10 6 g/cm 3

8 I. ZÁKLADNÍ VZTAHY 1. Pasek AU astonomická jednotka: půměná vzdálenost Země od Slunce, km. ly světelný ok: vzdálenost, kteou světlo ulétne za jeden ok, km. pc - pasek, paalaktická sekunda: vzdálenost, ze kteé by polomě oběžné dáhy Země byl kolmo k zonému papsku vidět pod úhlem 1", km. m elativní magnituda: logaitmická mía jasnosti objektu, m =,5 log I. Tato definiční ovnice se nazývá Pogsonova ovnice. Koeficient je volen tak, aby hvězdy s ozdílem pěti magnitud měly podíl vzájemných jasností 1:100. Znaménko minus v definici je z histoických důvodů. Magnitudy takto vypočtené odpovídají histoickému dělení hvězd do šesti skupin (nula nejjasnější, 5 nejméně jasné pozoovatelné okem). Nejjasnější hvězda na sevení polokouli Vega má magnitudu ~ 0, nejjasnější hvězda noční oblohy Siius má magnitudu 1,6. Relativní magnituda vypovídá o skutečné jasnosti hvězdy na obloze, kteá komě svítivosti závisí i na vzdálenosti hvězdy. M absolutní magnituda: magnituda, kteou by hvězda měla ve vzdálenosti 10 pc. Závisí jen na skutečné svítivosti hvězdy. Každou hvězdu si představíme přestěhovanou do vzdálenosti 10 pc. Zadáváme-li vzdálenost hvězdy v pasecích, platí mezi absolutní a elativní magnitudou jednoduchý vztah M = m log. (1) deklinace: Oblouk mezi světovým ovníkem (pojekce oviny zemského ovníku na nebeskou sféu) a hvězdou. Světový ovník má = 0, sevení světový pól má = 90, jižní světový pól = 90. ektascenze: Oblouk mezi janím bodem a deklinační kužnicí hvězdy (kolmá na světový ovník) měřený ve stupních nebo hodinách. Janí bod ( = 0 = 0 h) je půsečík ekliptiky (půmět oviny oběžné dáhy Země kolem Slunce na nebeskou sféu) se světovým ovníkem v souhvězdí Ryb. Slunce se nachází v janím bodě při janí ovnodennosti. t hodinový úhel: úhel mezi místním poledníkem a objektem měřený ve směu zdánlivého pohybu hvězd, tj. od jihu k západu. Udává se v hodinách (azimut vyjádřený v hodinách). Honí kulminace: hvězda v nejvyšším bodě své dáhy (nad jihem, t = 0 h). Dolní kulminace: hvězda v nejnižším bodě své dáhy (nad seveem, t = 1 h). hvězdný čas: hodinový úhel janího bodu. Jde o ektascenzi hvězd, kteé pávě kulminují. = + t. K danému datu nalezneme hvězdný čas v hvězdářské očence. Zadání: Spočtěte vzdálenost 1 pc. Řešení: 1 pc (pasek, paalaktická sekunda) je vzdálenost, ze kteé vidíme velkou poloosu oběžné dáhy Země kolem Slunce pod úhlem = 1. Úhel 1 je tak malý, že stany VS a VZ na obázku pakticky splývají a místo pavoúhlého tojúhelníka VSZ můžeme použít definiční vztah úhlu (úhel je oblouk ku poloměu). Poto R ZS l, () 3

9 kde l je vzdálenost 1 pc v metech, R ZS je vzdálenost Země od Slunce a je úhel jedné vteřiny vyjádřený v adiánech: m m. l (3). Poxima Centaui Zadání: Najděte paalaxu Poximy Centaui, kteá je vzdálená asi 4.3 světelného oku. Řešení: Díky pohybu Země kolem Slunce se zdá, že blízké hvězdy opisují opoti vzdáleným elipsu. Úhlový polomě této elipsy se nazývá paalaxa hvězdy. Lze ji změřit jen po nejbližší hvězdy. Z definice úhlu (jako v předchozím příkladě) tedy vyplývá, že R ZS m m ad, l 4.3 ly m což je přibližně Vidíme, že i u duhé nejbližší hvězdy po Slunci není paalaxa ani celá 1. (4) 3. Magnituda Zadání: Jaký je ozdíl magnitud dvou hvězd, jejichž jasnost se liší stokát? Řešení: Magnituda je logaitmickou míou jasnosti: m.5 log J. (5) Koeficient.5 se objevuje před logaitmem z histoických důvodů, kdy nejjasnější hvězdy pozoovatelné okem měly třídu 0, nejslabší třídu 5. Znaménko "" zajišťuje, aby nižší magnitudy měly vyšší svítivost. Koeficient.5 zase zajistí, aby po pomě jasností J 1 /J = 100 byl ozdíl magnitud pávě 5: mm m.5 (log J log J ) 1 1 J1.5 log.5 log J 4 (6)

10 4. Pogsonova ovnice Zadání: Odvoďte vztah mezi absolutní magnitudou a elativní magnitudou v pasecích (tzv. Pogsonovu ovnici). Řešení: Víme, že J klesá se čtvecem vzdálenosti od zdoje (J ~ 1/ ) a tak můžeme podle definice magnitudy psát: J 1 m m1.5 log.5 log 5log. (7) J 1 1 Absolutní magnituda je magnituda hvězdy přepočítaná na jednotnou vzdálenost 10 pc od zdoje (hvězdy). Jestliže bude = 10 pc a m = M po absolutní magnitudu a 1 =, m 1 = m po elativní magnitudu, pak 10 M m5log 5(log10log ). Pogsonova ovnice má tedy tva: kde je vzdálenost zdoje v pc. M m 5 5 log, (8) 5. Absolutní magnituda Slunce Zadání: Učete absolutní magnitudu Slunce. Relativní magnituda je m = 6.6. Řešení: Nejpve převedeme vzdálenost Slunce od nás (1 AU) na paseky pc pc Nyní z Pogsonovy ovnice dostáváme M m 5 5log ( 5.3) 4.9. (10) Absolutní magnituda Slunce je tedy přibližně M 5. (9) 5

11 6. Měný výkon Rigelu Zadání: Hvězda Rigel ze souhvězdí Oionu je od Slunce vzdálena 40 pc a její elativní magnituda je 0.18 m. Hmotnost Rigelu je 17 hmotností Slunce. Učete výkon hvězdy na jednotku hmotnosti tak, že její paamety poovnáte se Sluncem. Řešení: Nejpve učíme z Pogsonovy ovnice absolutní magnitudu Rigelu Po svítivosti Slunce a Rigelu platí Po měné výkony máme MRig mrig 55log 6.7. (11) M Rig LRig MS.5 LS. (1) MRig MS LRig 10.5 L P S L L Rig Rig Rig P S S S MRig MS.5 / M / M MS M Rig. (13) Hmotnosti jsou vysázeny odlišným fontem, aby nedošlo k záměně s magnitudou. 7. Hodinový úhel Aldebaanu Zadání: Učete hodinový úhel hvězdy Aldebaan dne ve 3h 10min v centu Pahy. Souřadnice Aldebaanu: ektascenze = 4h 33min; deklinace = 16. Souřadnice centa Pahy: zem. délka: = 14 3' zem. šířka: = 50 07'. Hvězdný čas k půlnoci (z Hvězdářské očenky): = 1h min. Řešení: Nejpve učíme místní hvězdný čas (zanedbáme ozdíl mezi středním a pavým časem). Po převod úhlových a časových údajů užijeme 1 = 4min (15 = 1h), esp. 1' = 4s (15 = 1min): Dále učíme hodinový úhel hvězdy loc t0 1h min 0h58min 3h10min 5h 10min 1h 10min. (14) t loc 1h 10min 4h 33 min 0h 37 min. (15) Aldebaan se tedy nachází nad jihovýchodem, kulminovat bude za 3h 3min (bude nad jihem, t = 4h). 6

12 8. Jety kvasau fiktivní nadsvětelná ychlost Zadání: Vzdálený kvasa je zdojem dvou výtysků látky (jetů) z nichž jeden se pohybuje směem k pozoovateli pod malým úhlem téměř ychlostí světla. Učete, jakou ychlost naměří pozoovatel. Řešení: Poloha objektu je dána vztahy: x() t vt sin ; yt () y vt cos. Signál přichází k pozoovateli se zpožděním v čase 0 (16) yt () t. (17) c Rychlost, kteou zjistí pozoovatel poto bude dx d x/dt v sin csin c c v 1. (18) d d /dt v v c 1 cos 1 cos 1 (1 /) c Z výsledku je zřejmé, že pohybuje-li se jet směem k pozoovateli, tato fiktivní pozoovaná ychlost snadno převýší ychlost světla. y v y 0 a x 9. Planckovy škály Zadání: Nalezněte takové kombinace konstant c, G,, kteé dají přiozenou jednotku po délku, čas, hmotnost a enegii. 8 1 c 310 ms, G kg m s, kg m s. Řešení: Pokusíme se vytvořit výaz po délku l P, čas t P, hmotnost m P a enegii E P. Začneme délkou tak, že napíšeme součin výše uvedených tří konstant, s neznámými exponenty,, : lp (19) c G. (0) 7

13 Tato ovnice ve skutečnosti představuje čtyřnásobnou ovnost: ovnost číselnou a ovnost ozměovou v metech, kilogamech a sekundách. Napíšeme nyní ozměové části vytvořeného výazu: m kg s m s kg m s kg m s. (1) Nyní zapíšeme soustavu ovnic po exponenty u metu, kilogamu a sekundy: 1 3, 0, 0. Řešením této soustavy získáme jednoznačné řešení po exponenty 3/; 1/; 1/. Tyto exponenty jednoznačně až na násobící číselný fakto učují velikost Planckovy délky. Zcela analogickým způsobem můžeme odvodit vztahy po ostatní Planckovy veličiny. Výsledky udává následující tabulka: G 35 lp 10 m, 3 c E t m P P 5 P G s, c c 8 10 kg, G 5 c G GeV. Poznámka: Planckovy škály jsou přiozené jednotky po náš Vesmí. V Planckově čase se oddělovala gavitační inteakce od ostatních inteakcí (došlo k naušení supesymetie) a Vesmí popvé získal vlastnosti podobné dnešním vlastnostem. V tomto čase měl Vesmí komplikovanou postoovou stuktuu, jejíž základním elementem byla vlákna o ozměech Plancovy délky. Půměná pohybová hmotnost (enegie) částic v té době byla ovna Planckově hmotnosti (enegii). () (3) 10. Vektoový součin Zadání: Ukažte, že vektoový součin má tenzoový chaakte. Řešení: Pomocí klasické definice přes deteminant můžete vektoový součin zapsat jako i j k aybz azby cab det ax ay azazbx axbz. (4) b ab x by b z x y ab y x Už z tohoto zápisu je zřejmé, že se vektoový součin nemůže tansfomovat jako vekto, potože se tam vyskytují součiny původních uspořádaných tojic a a b. Obecně jde o matici C ab ab. (5) kl k l l k 8

14 Tato matice má své tansfomační vlastnosti a je to antisymetický ( Ckl C lk ) tenzo duhého řádu. Antisymetické matice mají na diagonále vždy nulu a pvky pod diagonálou lze dopočítat z pvků nad diagonálou obácením znaménka. U naší matice to vypadá takto: 0 c3 c C c3 0 c1. (6) c c1 0 Existují tedy jen tři nezávislé pvky této matice. To svádí k tomu, napsat je do tojice a intepetovat jako vekto. To ale nejde! Maximálně můžeme říci, že tvoří pseudovekto. Vaiace příkladu: Kolik nezávislých pvků má symetická a antisymetická matice ve dvou, třech a čtyřech dimenzích. 9

15 II. ELEKTROMAGNETICKÉ ZÁŘENÍ Tok enegie elektomagnetického záření je popsán elativistickým čtyřvektoem ( W, j W ). 1 1 ED HB ; j EH. (7) W Složka W se nazývá hustota enegie elektomagnetického záření a zpavidla ji označujeme symbolem u. Tři postoové složky j W se nazývají tok enegie (Poyntingův vekto) a zpavidla je označujeme symbolem S nebo jde-li jen o velikost (tzv. intenzitu) symbolem I. Velikosti postoové a časové části čtyřvektou jsou spojeny vztahem I = uc. Z čtyřvektou lze složit ovnici kontinuity W div jw je. (8) t Na pavé staně není nula, enegie elektomagnetického záření se nezachovává, převádí se na nabité částice v podobě hustoty Jouleova výkonu j E. NĚKTERÉ DŮLEŽITÉ VZTAHY W I = EH I = T 4 I = u c u = ED/ + HB/ (9) tok enegie (intenzita, velikost Poyntingova vektou) [I] = Jm s 1 = W/m (30) tok enegie Stefan Boltzmannův zákon (31) tok enegie vyjádření z hustoty enegie (3) hustota enegie výpočet z elektické i magnetické složky [u] = Jm 3 u = ED (33) hustota enegie výpočet z elektické složky u = HB u = I /c = EH/c P = u/3 E/B = c (34) hustota enegie výpočet z magnetické složky (35) hustota enegie výpočet z toku enegie (36) tlak elektomagnetického záření (37) poměy polí v elektomagnetické vlně c 1/ (38) ychlost světla max = b/t (39) Wiennův zákon (vlnová délka maxima vyzařování) 10

16 1. Záření husté jako voda Zadání: Učete při jaké fázi expanze Vesmíu (při jaké teplotě) mělo záření hustotu stejnou jako voda. Řešení: Mezi hustotou hmoty a enegie platí jednoduchý vztah plynoucí z Einsteinovy fomule W m c. (40) Hustota hmoty bude odpovídat hustotě vody. Hustotu enegie záření učíme z toku enegie, kteý je dán Stefan Boltzmannovým zákonem: I T W. (41) c c Poovnáním obou vztahů učíme teplotu Vesmíu, při kteé mělo elektomagnetické záření hustotu stejnou jako voda: m c 8 T 8 10 K. (4) Poznámka: Vesmí měl tuto teplotu asi 4 minuty po Velkém třesku a pávě se v něm začínaly tvořit pvní lehké pvky.. Teplota Slunce z vlnové délky světla Zadání: Učete povchovou teplotu Slunce, víte-li, že maximum vyzařování je na vlnové délce 500 nm. Řešení: Podle Wienova zákona je povchová teplota ovna b m K T ~ ~ 5800 K. (43) m max Poznámka: Hoké hvězdy vyzařují obecně na katší vlnové délce. Typické modé hvězdy mají povchovou teplotu přes 9000 K, žluté a zelené hvězdy okolo K, čevené hvězdy jen asi K. Wiennův zákon lze aplikovat i na podstatně chladnější tělesa. Například člověk s povchovou teplotou cca 310 K vyzařuje přibližně jako čené těleso s maximem vyzařování na vlnové délce 10 mikometů. V této oblasti musí být poto maximálně citlivá čidla po detekci osob. 3. Zářivý výkon Slunce Zadání: Nalezněte celkový zářivý výkon Slunce, znáte-li jeho povchovou teplotu T = 5800 K. Řešení: Zářivý výkon Slunce učíme ze Stefan-Boltzmanova zákona: 4 S 4 S P I S T R (710 ) W W. Poznámka: Obovská hodnota zářivého výkonu Slunce je dána je velkou hmotností. V půměu podukuje jeden kilogam sluneční hmoty výkon velmi malý. 11 (44)

17 4. Měný výkon Slunce Zadání: Jaký výkon se půměně uvolňuje v jednom kilogamu sluneční hmoty? Řešení: Měný výkon přepočítaný na kilogam je PS 4 P 10 W/kg. (45) M S Poznámka: Přestože je celkový zářivý výkon enomní a obtížně představitelný, je měný výkon zanedbatelný. Jeden kilogam sluneční hmoty by nepostačil ani k ozsvícení nejmenší žáovky. Temojadená syntéza v centu Slunce pobíhá velmi, velmi pomalu, zato však v obovských měřítkách. Ohomný výkon Slunce je tak dán jen jeho velkou hmotností, nikoliv intenzitou temojadené syntézy. 5. Sluneční konstanta Zadání: Učete intenzitu slunečního záření v okolí Země. Řešení: Sluneční konstanta je intenzita slunečního záření (enegie kolmo dopadající na jednotkovou plochu za jednotku času) nad atmosféou naší Země. Tuto veličinu můžeme spočítat jako podíl celkového výkonu Slunce a celkové plochy povchu koule pocházející Zemí se středem ve Slunci: PS I Z 1.4 kw m. (46) 4 R ZS Zemì 1m Slunce 1m I = 1,4 kw/m Poznámka: U naší Země dopadá na každý met čtveeční plochy, kolmo postavené ke Slunečnímu záření, výkon 1.4 kw. Tento ohomný výkon je přímo využíván v panelech slunečních bateií kosmických sond a ve slunečních elektánách. Při povchu Země je tento výkon snížen ozptylem v atmosféře. Komě jadené enegie pochází veškeá běžně dostupná enegie na Zemi ze sluneční enegie. Dopadající výkon slunečního záření je například částečně absobován ostlinami a pomocí fotosyntézy ukládán do enegie chemických vazeb. Po mnoha letech je tato enegie zpětně využita při spalování uhlí, nafty nebo benzínu. Dopadající záření způsobuje také odpařování vody z povchu Země a umožňuje tak vodní koloběh. Poto i enegie využívaná ve vodních elektánách má papůvod ve sluneční enegii. 6. Teplota Slunce z intenzity záření Zadání: Učete povchovou teplotu Slunce, víte-li, že u Země je tok enegie světelného záření od Slunce oven 1.4 kw/m. Řešení: Intenzita vyzařování je definována jako výkon na plochu neboli 1

18 P I Z. (47) S Zářivý výkon v kouli kolem Slunce ve vzdálenosti 1 AU (u Země) je oven S 4 ZS Z P R I. (48) Potože známe polomě Slunce R S = km, můžeme předchozí vztah přepočítat na intenzitu na povchu Slunce jako S RZS S S P IS I Z. (49) 4 R R Ze Stefan-Boltzmanova zákona nyní plyne teplota na povchu I 4 S T. (50) Po dosazení docházíme k přibližné hodnotě K na povchu Slunce. 7. Elektické pole slunečního záření u Země Zadání: Sluneční záření má v okolí Země intenzitu I = 1.4 kw/m. Nalezněte půměnou hodnotu intenzity elektického a indukce magnetického pole v slunečním záření v místě, kde se nachází Země. Řešení: Intenzita dopadající enegie je dána velikostí Poyntingova vektou: I Z = S = EH. Pomě elektické intenzity a magnetické indukce v elektomagnetické vlně je E/B = c. Tyto dva vztahy můžeme chápat jako soustavu dvou ovnic po elektické a magnetické pole: E 0 I EB ; c. B Vynásobením a vydělením obou ovnic dostaneme řešení: 0I E c0 I ; B. (5) c Výsledek: E = 76 V/m, B = T. Poznámka: Pole 76 V/m se na pvní pohled zdá být enomní. Musíme si však uvědomit, že ozdíl potenciálů 76 V je měřen na vzdálenosti 1 m. Skutečné emisní akty však tvají kátkou dobu a pozoované světlo se skládá z úseků déozměů několikanásobku vlnové délky. Na této vzdálenosti je již ozdíl potenciálů malý. 8. Tlak záření Zadání: Učete ozměy částeček pachu, u kteých je v mlhovině kolem hvězdy vyovnána gavitační síla tlakem záření. Řešení: Veličinu x chaakteizující centální hvězdu v mlhovině budeme označovat indexem x *, veličinu x chaakteizující zníčko pachu indexem x p. Po gavitační sílu působící na zníčko pachu vychází: 13

19 4 3 mpm R p pm * 3 * FG G G. (53) Sílu elektomagnetického záření učíme jako součin tlaku záření a účinné plochy zníčka. Ta závisí na tvau zníčka a jeho oientaci vzhledem k dopadajícímu záření. V pvním přiblížení ji lze považovat za půřez zníčka: 1 1 I ( ) FRAD prad S p urp Rp (54). 3 3 c Intenzitu záření na povchu hvězdy můžeme učit ze Stefan-Boltzmannova zákona Intenzita ubývá s kvadátem vzdálenosti a v místě zníčka poto bude Výsledný vztah po sílu způsobenou tlakem záření tedy bude: F 4 1 T R R * * p RAD 4 T * * 4 * * I( R ). I() T R /.. (55) 3 c Povšimněte si, že gavitační síla i síla od tlaku záření ubývají s duhou mocninou vzdálenosti od hvězdy! Budou-li po zno učité velikosti vyovnány v blízkosti hvězdy, budou také vyovnány ve větší vzdálenosti. Malá zníčka tak budou vypuzena tlakem záření a velká zníčka udžována v mlhovině gavitací nezávisle na tom, o kteou část mlhoviny jde. Poovnáním obou sil snadno učíme ozměy zníčka, po kteé jsou obě síly vyovnány: R p0 4 * * T R 1. (56) 4cG m Po ozměy zníček R p R p0 převládne tlak záření a po ozměy zníček R p R p0 převládne gavitace. * p R *, T * Hvìzda F gav pachové znko Rp mp F záø p Poznámky: Uvedené vztahy závisí jen na hustotě pachu, kteá bývá v celé mlhovině stejná. V mlhovině jsou však oblasti s malými ozměy znek a oblasti s většími ozměy. Dojde-li v mlhovině ke vzniku mladé hvězdy, jsou oblasti dobných znek vyfoukány vně mlhovinu, podobně jako je na poušti větem odvát dobný pach na úko huboznného písku. Tomuto jevu se říká fotoevapoace, zpavidla je způsobena ultafialovým světlem mladých 14

20 hvězd. Výsledkem fotoevapoace jsou chaakteistické ostře ohaničené oblasti mlhoviny, kteé odolaly agesivnímu záření mladých hvězd. Například u Olí mlhoviny obklopující hvězdokupu M 16 se těmto útvaům říká Sloupy stvoření. Obdobný jev také známe u komet. Často mívají dva ohony, jeden z hubších částeček, kteý míří blíže ke Slunci a je ovládán gavitací a duhý z dobnějších částeček, kteý míří spíše od Slunce a je ovládán tlakem záření. Vzhledem k přítomnosti odstředivé síly nejsou oba ohony na spojnici kometa-slunce. 9. Teplota těles a vlnové délky záření Zadání: Naletněte z Wiennova zákona vlnové délky vyzařování po hvězdy spektální třídy W ( K), G (6700 K), L (1700 K), člověka (310 K) a eliktního záření (,73 K). Naopak učete teplotu čené díy velikosti našeho Slunce, kteá září převážně na vlnové délce sovnatelné s Schwazchildovým poloměem (3 km). Řešení: Z Wiennova zákona max = b/t snadno nalezneme: Objekt Teplota Vlnová délka Hvězda typu W K 36 nm Hvězda typu G 6700 K 431 nm Hvězda typu L 1700 K 1.7 μm Člověk 310 K 9 μm Rel. záření,73 K 1 mm Čená día (3 km) 10 7 K 3 km Poznámky: Nejteplejší hvězdy spektální třídy W září převážně v UV oblasti na velmi kátkých vlnových délkách (Wolf-Rayetovy hvězdy). Podobné hvězdy jako Slunce mají spektální třídu G a září ve viditelné oblasti, maximum vyzařování Slunce je například na 500 nm. Lidské oko se v půběhu vývoje tomuto záření dokonale přizpůsobilo. Nejchladnější známé hvězdy typu L mají maximum vyzařování v blízké IR oblasti. Sám člověk by jako absolutně čené těleso zářil asi na 10 µm. Na této vlnové délce musí být citlivá čidla monitoující pohyb člověka (čidla na zloděje apod.). Reliktní záření z doby oddělení záření od látky, kteé postupuje celý Vesmí má vlnovou délku asi 1 mm a je tedy z adiového obou. Stejně tak jako v minulosti vyplňuje posto beze zbytku. To je dáno tím, že vlnová délka záření se zvětšuje spolu s ozpínáním Vesmíu. Do 1 m 3 se tak vejde asi miliada eliktních fotonů. Čená día velikosti Slunce by měla panepatnou teplotu a vyzařuje velmi málo. Malé čené díy ale září výazně více. 10. Učení poloměu hvězdy Zadání: Hvězda s paalaxou 0,03 a vizuální magnitudou 3,9 m má maximum vyzařování na vlnové délce 500 nm. Učete polomě této hvězdy. Řešení: Nejpve učíme z paalaxy π vzdálenost hvězdy v pasecích a poté její absolutní magnitudu M. Z poovnání se Sluncem můžeme nalézt zářivý výkon P hvězdy. Teplotu T učíme z Wienova zákona. Ze znalosti svítivosti a teploty můžeme učit polomě R hvězdy ze Stefanova- Boltzmannova zákona. Ze zadání víme: Podle výše uvedeného postupu získáme: * 15 m 0,03 ; m 3,9 ; 500 nm. (57)

21 RZS RZS 1 (pc) 33, 3 pc ; () (58) M* m* 5 5 log 1, 856. (59) Nyní učíme zářivý výkon a teplotu hvězdy Zářivý výkon je dán vztahem Odsud již snadno učíme polomě hvězdy P M * * MS,5 PS 0,4( MS M* ) 8 * PS 10 1,1 10 W ; b T* K. max P 4 * * 4 * m (60) P T R. (61) 6 R* 3, 4 10 km. 16

22 III. HVĚZDY, SLUNCE 1. Hydodynamický čas Zadání: Nalezněte hydodynamické časy po Slunce, bílého tpaslíka a neutonovou hvězdu. (Hydodynamický čas je doba šíření pouchy a je přibližně oven času, po kteý by částice s povchovým zychlením padala do centa objektu.) Řešení: Víme, že mm Wp G m g h, kde M g G. (6) R S použitím s gt / vyplývá po hydodynamický čas t hydo 3 s R R. g GM GM (63) R Po konkétní hodnoty poloměů hvězdných objektů dostáváme následující výsledky: Slunce: ~ 40 minut, bílý tpaslík: ~ 1 s, neutonová hvězda: ~ 1 ms.. Jeansovo kitéium Zadání: Odvoďte vztah po kitickou hmotnost mlhoviny, při kteé se začne vlastní gavitací houtit. Předpokládejte, že hmotnost jedné molekuly je m, znáte teplotu a hustotu mlhoviny. Řešení: V mlhovině jsou dva typické pocesy: 1) difúze způsobená tepelným pohybem, kteá mlhovinu zvětšuje. ) gavitační přitahování, kteé se snaží mlhovinu smštit. Spočtěme chaakteistické ychlosti obou pocesů: Chaotickou tepelnou ychlost učíme z ekvipatičního teoému. Půměná kinetická enegie na jeden stupeň volnosti je ovna půměné tepelné enegii na jeden stupeň volnosti 1 1 kt mv kt v tep. (64) m 17

23 Půměnou složku ychlosti odpovídající gavitaci učíme z ekvipatičního teoému po gavitační enegii 1 mm GM mv G v gav. (65) R R Nyní z podmínky po houcení v gav > v tep máme GM kt. (66) R m Spolu se vztahem po hustotu M (67) 3 R lze kitéium upavit na tva 3/ kt 1 M mg, (68) kteý je znám jako Jeansovo kitéium. Při vyšších hmotnostech než je pavá stana je mlhovina nestabilní a může dojít k samovolnému houcení. Poznámka: Řešení lze přesně odvodit standadním vyšetřováním stability v hydodynamice za pomocí pouch ovnovážného stavu. Jeansovo kitéium je hanicí za kteou se pouchy samovolně netlumí a mlhovina se stává nestabilní. Povšimněte si také, že kitická hmotnost je úměná p 3/. Kitéium popvé odvodil Jeans v oce Rovnováha polytopní hvězdy Zadání: Řešte ovnováhu gavitační a tlakové síly ve hvězdě po polytopní závislost tlaku na hustotě. Řešení: Při řešení se budeme zabývat jen závislostí na ozměech hvězdy. Gavitační síla má tva F 1. (69) R gav Tlaková síla je dána součinem tlaku p a povchu S R, tj. 3 tlak ~ ~ ~ 3 F R R R 1 R. (70) Obě síly za nomálních okolností klesají s ozměy hvězdy. Rovnováha se ustaví při ovnosti obou sil. Styl poklesu obou sil je stejný po koeficient 4. (71) 3 Diskutujme dva případy. Nejpve > 4/3. Tlaková křivka je stmější než gavitační. Jestliže hvězda zcela náhodně zvětší své ozměy, převládne gavitační síla a hvězdu opět smští. Zmenšíli hvězda své ozměy, převládne tlaková síla a nafoukne hvězdu na původní ozmě. Hvězda je stabilní a výkyvy v jejích ozměech neohozí její existenci. 18

24 V případě < 4/3 je tomu jinak. Jestliže hvězda zcela náhodně zvětší své ozměy, převládne tlaková síla a bude hvězdu nadále nutit zvětšovat ozměy. Hvězda bude nestabilní a minimálně odhodí obálku. Zmenší-li hvězda své ozměy, převládne gavitační síla a bude nutit hvězdu ke kolapsu. F > 4/3 (tlaková stmější) F < 4/3 (tlaková méně stmá) F tlak F gav F tlak F gav R 0 R 0 R + 0 R R 0 R 0 R + 0 Poznámka: Mateiál bílých tpaslíků má polytopní koeficient blízký 4/3. Polytopní koeficient se poněkud mění s hmotností tpaslíka. Při hmotnosti přibližně 1.44 M S má polytopní koeficient pávě hodnotu 4/3 a po vyšší hmotnosti je bílý tpaslík nestabilní. Této hanici se říká Chandasekhaova mez. R 4. Schwazschildova podmínka Zadání: Nalezněte podmínku po hanici mezi zářivou a konvektivní vstvou ve hvězdě. Řešení: Předpokládejme, že ve hvězdě vznikne bublina, kteá se chová adiabaticky (ychlý děj spojený s konvekcí, při kteém si bublina nestačí vyměňovat teplo s okolím). Pokud vzniklou bublinu vychýlíme směem vzhůu, bude situace stabilní (tj. bublina se vátí zpět a konvekce se neozvine), pokud v novém místě platí b * b * d d + d + d (7) d d d d d. d b * Nyní musíme učit obě deivace (adiální gadienty). V bublině platí adiabatický zákon, tj. p b b p, zatímco ve hvězdě máme ze stavové ovnice p / T p/ T. Z obou výazů vypočteme hustotu ρ a učíme deivace v poslední neovnosti (tlak v bublině i okolí je týž!): Výaz snadno upavíme na tva 1 dp d p dt (73) p d p d T d 1T dp dt 1 p d d. (74) 19

25 Neovnost vydělíme pavou stanou, kteá je v aktivní hvězdě vždy záponá (teplota klesá se vzdáleností od jáda): 1 T dt dp p d d 1 T dp p dt 1 (75) d(ln p), d(ln T ) 1 Což je Schwazschildova podmínka ovnováhy. Pokud podmínka není splněna, ozvine se ve hvězdě konvekce. Ve Slunci má hodnota výazu vlevo lokální minimum v centu Slunce, kde klesá až k 3,0. Se vzůstající vzdáleností od centa výaz pozvolna oste, maximální je v polovině Slunce, kde dosáhne až 5,. Pak následuje velice svižný pokles daný vzůstem opacity mateiálu, a to až ke kitické hodnotě,5 ve vzdálenosti 0,7 RS. Odtud až těsně pod povch platí, že d(ln p)/d(ln T) je oven,5. Znamená to, že uvedená vnější část obalu Slunce je v konvektivní ovnováze. 5. Rovnice ovnováhy polytopní hvězdy Zadání: Sestavte ovnici ovnováhy polytopní hvězdy Řešení: Nechceme-li se omezit na odhady v minulém příkladu, je třeba skutečně řešit ovnici ovnováhy. R F gav d F tlak Cílem je sestavit takové ovnice, ze kteých bude možné učit závislost tlaku p () a hustoty hvězdy () na vzdálenosti od centa. Jednou z ovnic je ovnice polytopního chování p k. (76) Duhou ovnici získáme z podmínky ovnováhy gavitační a tlakové síly na vstvu tloušťky d znázoněnou na obázku. Na tuto vstvu působí gavitační síla M() dm dfgav G ; dm 4 ( ) d. (77) 4 ( ) M( ) dfgav G d. (78) 0

26 M() je hmotnost vnitřku hvězdy pod vybanou slupkou. Tlaková síla působící na slupku je df tlak 4 Z ovnováhy obou sil máme duhou ze sady ovnic: dp () M() G d Poslední ovnici získáme ze vztahu po hmotnost M(): Difeenciací máme: 0 dp. (79) (80) M () 4 () d. (81) dm d 4 ( ). (8) Soustavu těchto tří ovnic řešíme vhodným difeenčním schématem. Počáteční podmínky ovnic jsou p(0) = p 0 a M(0) = 0. Integací se tlak směem od centa snižuje. V okamžiku, kdy p = 0, ukončíme integaci, neboť jsme došli až k povchu hvězdy. p p 0 R 6. Poovnání výkonů Zadání: Jaký je pomě zářivých výkonů bílého tpaslíka a nomální hvězdy, mají-li stejnou povchovou teplotu? Předpokládejte polomě tpaslíka R WD = 5000 km a polomě nomální hvězdy R N = km. Řešení: Mají-li hvězdy stejné teploty, mají také stejnou intenzitu vyzařování na povchu, takže 4 WD WD 4 WD 4 N N4 N P T R P T R T 4 WDRWD 4 TNRN (83) 1: Vidíme, že zářivý výkon bílého tpaslíka je řádově menší než u nomální hvězdy. 1

27 7. Polomě Pocyonu B 4 Zadání: Bílý tpaslík Pocyon B vyzařuje výkon P PS. Jeho povchová teplota je T = 9 00 K. Jaký má hvězda polomě? Řešení: Jak víme z předchozího příkladu je z čehož vyplývá polomě 4 Poc Poc Poc P R T PS RS TS, (84) PPoc TS RPoc RS PS TPoc (85) km km Úbytek sluneční hmoty Zadání: Kolik pocent sluneční hmoty se přemění v enegii za jedno tisíciletí? Řešení: Hledáme pomě hmoty, kteá se přemění na enegii (ubude) a původní hmoty Slunce, neboli 6 3 m E c PS t c PS t x M M M Mc x % Za celé tisíciletí tedy současným vyzařovaným výkonem ubude jen sedm miliadtin pocenta sluneční hmoty! 9. Kytí podukce enegie gavitační kontakcí Zadání: O kolik by se musel změnit polomě Slunce za ok, aby enegie uvolněná gavitačním smšťováním odpovídala enegii vyzařované Sluncem (R = km, M = kg, P = 10 6 W)? Jak dlouho by mohlo Slunce kýt vyzařovanou enegii z gavitačních zdojů? Řešení: V našem řešení budeme hledat jen hubý odhad a koeficienty vynecháme. M M Wp G Wp G R R R R R R W. p R P S t GM GM Za ok po dosazení v sekundách dostáváme R = 3 m. Jestliže by se tedy Slunce zmenšovalo o 3 m za ok, pak by se při poloměu km zmenšovalo nejdéle (86) (87)

28 8 710 m let. T (88) 3 m ok Slunce už ale existuje několik miliad let (což víme například z honin na Zemi), a poto nemůže být zdojem jeho enegie gavitační smšťování. 10. Teplota sluneční skvny Zadání: Odhadněte teplotu ve sluneční skvně ze znalosti magnetického tlaku ve skvně, koncentace částic a teploty okolí. Řešení:.Celkový tlak vně i uvnitř skvny musí být stejný. Ve skvně je tlak součtem tlaku látky a magnetického tlaku: pin pmag pout, (89) nkt T in in B nktout, (90) 0 0 B Tout kn. (91) Je zřejmé, že díky přítomnosti magnetického pole musí být teplota ve skvně nižší než teplota okolí. 3

29 IV. GRAVITACE, TÍŽE, POHYBY Gavitací ozumíme vzájemné přitahování dvou libovolných těles. Toto přitahování se řídí Newtonovým gavitačním zákonem. Nejjednodušší je zadat vztah po potenciální enegii (skalání veličinu). Na tělesa působí síla mířící k minimu potenciální enegie, kteou učíme ze vztahu F = W p. Síla je veličina vektoová a má tři složky. V někteých výjimečných případech postačí znát jen velikost gavitační síly, esp. její adiální složku W p /. Tíže je jen přibližný vztah ke gavitaci. Jde o lineání ozvoj potenciální enegie. Tíhové pole je použitelné v situacích, kdy se příliš nemění naše vzdálenost od centa gavitace (například na zemském povchu). Ve vztahu po potenciální enegii i sílu vystupuje součin hmotností obou přitahovaných těles. Zpavidla jde o zdoj gavitace (M) a menší testovací tělísko (m). Výhodné je zavést veličiny nezávislé na hmotnosti testovacího tělesa: potenciál (potenciální enegie dělená hmotností testovacího tělesa) a intenzitu K (síla dělená hmotností testovacího tělesa). Potenciál a intenzita závisí jen na paametech zdoje pole. Podobně se v elektostatice zavádí potenciál a intenzita elektostatického pole vydělením veličin nábojem testovacího tělesa. Gavitace mm WG G M G F K W mm G G G G G G M Tíže WT W mgh T FT h mg T gh T KT h g 1. Vztah mezi tíhovým a gavitačním polem Zadání: Ze vztahu po gavitační potenciální enegii odvoďte pomocí Tayloova ozvoje v blízkosti povchu vztah po potenciální enegii tíže. Řešení: Vyjádřeno v potenciálních enegiích je WT mgh (potenciální enegie tíhového pole), mm (potenciální enegie pole gavitačního). WG G 4

30 W T ~h W G h ~ 1/ Na pvní pohled se může zdát být divné, že v obou případech při vzdalování od centa enegie oste. Intuitivně tušíme, že by gavitační působení mělo se vzdalováním slábnout. Vysvětlení spočívá v tom, že vztah po tíhové pole platí jen v těsné blízkosti povchu, takže o vzdalování od tělesa nemůže být ani řeč. Jde o lineání přiblížení ke gavitačnímu poli. Ve vztahu po gavitační pole potenciální enegie sice se vzdalováním oste, ale k nule! V absolutní hodnotě skutečně pole slábne k nule. Wp h ~ h R R ~ 1/ Nahaďme gavitační pole tečnou v blízkosti povchu (udělejme Tayloův ozvoj do pvního řádu v 0 = R): W () W ( R) W ( R)( R). (9) G G G Potenciální enegii můžeme posunout o konstantu a na silách se to nepojeví, takže postačí mm GM WG( ) WG ( R) ( R) G ( R) m h mgh, (93) R R kde jsme zavedli tíhové zychlení vztahem GM g R. (94). Pád z malé výšky difeenční schéma Zadání: Napište difeenční schéma po pád tělesa z malé výšky (tíhové pole) a z velké výšky (gavitační pole). Po pád z velké výšky uvažujte odpo atmosféy úměný ychlosti tělesa. Pád pobíhá jen v adiálním směu. Řešení: Pohybová ovnice po malou výšku vyplývá z. Newtonova zákona s tíhovou potenciální enegií WT mgh mh mg. (95) h h 5

31 Výsledná difeenciální ovnice h g je mimořádně jednoduchá a její řešení bychom snadno mohli najít analyticky. Tvobu difeenčního schématu si poto ukážeme pávě na takto jednoduché ovnici. Stejný postup můžete aplikovat i na složitější ovnice, kteé již nemají analytické řešení. h m mg Nejpve převedeme difeenciální ovnici duhého řádu na soustavu ovnic pvního řádu (ve fyzice k tomu využijeme definice ychlosti jako pvní deivace hledané poměnné podle času): dh v, dt dv g. dt Nebudeme nyní hledat řešení v každém čase (difeenciální ovnice), ale jen v někteých časech difeenční ovnice). V paxi to znamená nahazení skutečného řešení lomenou čaou. Budou nás tedy zajímat jen hodnoty hn h( tn), (97) v v( t ). Skutečné deivace nahadíme konečnými ozdíly: hn1 h t v n n1 v t n n n v n, g. Nyní vypočteme hodnoty n + 1 pomocí hodnot n: h h v t, n1 n n v n1 v gt. n Získali jsme tak difeenční schéma, podle kteého počítáme jednotlivé hodnoty h, v h, v h, v. (99) Je zřejmé, že k numeické konstukci řešení postačí znát počáteční výšku a ychlost (počáteční podmínky), například: h0 H, (100) v 0. 0 (96) (98) 6

32 3. Pád z velké výšky difeenční schéma Zadání: Řešte pád z velké výšky za pomoci difeenčního schématu. Řešení: Při pádu z velké výšky by analytické řešení bylo velmi náočné. Numeické schéma je však stejně jednoduché jako u pádu v tíhovém poli. Předpokládejme, že na částici působí gavitační síla a odpo postředí úměný ychlosti: WG m mm G. (101) Rovnici opět pomocí ychlostní poměnné převedeme na soustavu dvou ovnic: d v, dt dv M G v. dt m (10) Po dosazení difeencí za deivace máme v n1 v t n1 n t n v M G odkud snadno získáme hledané difeenční schéma: n n, v m n, (103) v t, n1 n n M v v G t v t. n1 n n m n (104) h v ( ) ( ) t 0 t 1 t t 3 t 4 Numeické øešení - náhada lomenými èaami 7

33 4. Oběh tělesa po kuhové dáze Zadání: Dokažte, že oběh tělesa po kuhové dáze lze chápat jako složení pohybu ovnoměně přímočaého a volného pádu. Řešení: Kdyby na oběžné dáze přestalo působit centální těleso, pohyboval by se předmět nadále ovnoměně přímočaře ve směu tečny k původní dáze. Současně s tímto pohybem se skládá volný pád k centálnímu tělesu. (Jiná fomulace: Rychlost oběhu se nemění, mění se však smě ychlosti. Změna směu ychlosti míří do centa, je způsobena centálním tělesem a jde o volný pád.) O A B O A X B C S Z obázku je zřejmá podobnost tojúhelníků (předpokládáme malý posun tělesa po oběžné dáze) OAC a SOB. Poto můžeme psát: AC OB BO XS h l. l (105) Dosaďme nyní za volný pád nalezneme oběžnou ychlost h g t / a za uaženou vzdálenost l v t. Snadno Za tíhové zychlení jsme dosadili zychlení v místě oběhu tělesa. Poznámky: GM v g. (106) Jde o stejný výsledek, jaký bychom získali poovnáním odstředivé a gavitační síly. Při povchu Země činí gavitační pád těles přibližně 5 m za pvní vteřinu, na kuhové dáze těsně se přimykající povchu 5 m za každou vteřinu. Po dosazení za g lze výaz upavit na tva Gm M mv a získat tak vztah po odstředivou sílu. 8

34 5. Třetí Kepleův zákon Zadání: Odvoďte vztah mezi peiodou oběhu tělesa a poloměem dáhy po kuhovou tajektoii. Řešení: Označme polomě tajektoie a, hmotnost tělesa m, hmotnost centa M. Z ovnosti odstředivé a gavitační síly plyne mv a G mm a. (107) Použijeme-li po ychlost vztah a v, (108) T dostaneme třetí Kepleův zákon ve tvau a T 3 GM. (109) 4 a F G F O 6. Gavitační působení Slunce a Země na Měsíc Zadání: Nalezněte pomě gavitačních sil, kteými působí na Měsíc Země a Slunce. Kteá síla je větší? Řešení: SM M S / MS RMZ S ZM GMM MZ / RM Z MS Z F G M M R M F R M (110) Síla, kteou na Měsíc působí Slunce je přibližně dvakát větší než síla působící od naší Země. 9

35 7. Příliv a odliv Zadání: Pokuste se vysvětlit poč dochází k přílivu a odlivu dvakát za den. Řešení: Příliv a odliv vzniká díky slapovým silám. Jde o to, že gavitace na všechny části tělesa nepůsobí stejnou silou, na ty bližší působí silou větší. Na nohy člověka stojícího na Zemi působí větší gavitace než na hlavu. Ale po člověka na povchu Země je tento ozdíl panepatný. Měsíc působí na Zemi pokytou oceány a jeho přitažlivá síla je také po ůzné oblasti ůzná. Výsledek si můžeme představit jako složení dvou situací: a) Na honím obázku voda tažená Měsícem od Země (potože je voda na přivácené staně více přitahována). b) Na postředním obázku je Země tažená Měsícem pyč od vod (potože je Země, kteá je blíže Měsíci více přitahována). c) Na posledním obázku je skutečná situace. V místě X je voda méně přitahována než Země, v místě Y je více přitahována než Země. Díky otaci pak nastává příliv i odliv dvakát denně. 8. Hmotnost Země Zadání: Pokuste se učit hmotnost Země z paametů oběžné dáhy Měsíce (tj. oběžné doby a vzdálenosti). Řešení: Budeme postupovat obdobně jako při odvozování 3. Kepleova zákona po kuhovou obitu z ovnováhy odstředivé a dostředivé síly po Měsíc: Mv M Z ZM G v ZM R T ZM M M M M R ;. R Po dosazení ychlosti do výazu po ovnováhu sil snadno získáme výsledný vztah: M Z 3 ZM M (111) 4 R. (11) GT 30

36 Poznámka: Paamety dáhy Měsíce lze elativně snadno získat expeimentálně (oběžnou dobu a vzdálenost). K výpočtu je však třeba znát ještě gavitační konstantu. Poto se pvní snahy o její zjištění (L. V. Eötvösovy expeimenty s přitahováním koulí zavěšených na tozním vláknu) nazývaly Vážením Země. Po dosazení za známé hodnoty R ZM, T M, G dostaneme M Z = kg. 9. Hillovy ekvipotenciály Zadání: Navhněte difeenční schéma po výpočet gavitačních ekvipotenciál bináního systému. Řešení: y ( xyz,, ) m 1 L 3 M M 1 L 1 L x Ekvipotenciály dvojice otujících hvězd jsou v těžišťové soustavě otující společně s hvězdami popsány vztahem W pot Wot M1 M G G. (113) m 1 Rotační člen u kuhového oběhu jen posouvá potenciál o konstantu, ale bylo by ho možné vypočítat z třetího Kepleova zákona (poloosa peioda fekvence). Hledání ekvipotenciál znamená řešení ovnice = const, tedy M1 M G G const. x y ( x) y Napišme si nejpve nomálový a tečný vekto k hledané křivce: (114) n,, x y (115),. y x Konstukce ekvipotenciály znamená pohyb ve směu tečného vektou, difeenciální ovnice po ekvipotenciálu poto bude: 31

37 Deivace nahadíme konečnými difeencemi a odpovídající difeenční schéma je: 10. Gavitace Země a Měsíce x y n1 n1 dx, dt y (116) dy. dt x x t n y t n y x xn1 xn t, y yn1 yn t x n n n n,.. (117) (118) Zadání: Učete po soustavu Země Měsíc polohu bodu, ve kteém je na spojnici obou těles vyovnáno gavitační působení. Řešení: Vzdálenosti Země a Měsíce od hledaného bodu X označíme Z a M. Dvě základní ovnice jsou: R mm G Z M ZM mm Z G M Z M,. (119) Pvní ovnice je součet obou vzdáleností, duhá ovnice popisuje vyovnání sil. Z duhé ovnice snadno získáme M Z M 1 1. (10) M 81 9 M Z Z pvní ovnice je potom zřejmé, že řešení je: 9 1 Z RZM km, M RZM km. (11)

38 11. Lagangeův bod L1 soustavy Země a Měsíc Zadání: Učete po soustavu Země Měsíc polohu Lagangeova bodu L 1, tj. místa na spojnici obou těles, ve kteém se gavitační i odstředivé síly vyuší a těleso bude Zemi obíhat synchonně s Měsícem. Řešení: Zapišme ovnováhu gavitačních a odstředivých sil po Měsíc a po testovací tělísko v Lagangeově bodě (uvažujeme, že se Země vlivem Měsíce nepohybuje): MMM G MM( Z M) ( ) Z Z M mm mm G G mz. Z M Z M, (1) Obě tělesa (Měsíc i testovací těleso) musí mít stejnou úhlovou ychlost, kteou ze vztahů vyloučíme: Současně platí Z duhého vztahu vyloučíme Z : Označme x hledaný podíl M /R ZM : Rovnici snadno upavíme na tva Po malé x povedeme ozvoj M M M Z Z M 3 3 Z M Z M Z ( ) Z M R ZM. M M M. R ( R ) ( R ) Z Z M 3 3 ZM ZM M M ZM M M M MM. (1 x) x (1 x) Z Z M 1. 3 (1 x) x (1 x) M. M Z (13) (14) (15) (16) 33

39 1 x MM 3 MM 113x 3 x (1 x), x M M 3x Z M M 3 M 3 M x MZ 3MZ M R MZ 3 M 3M M Z km. Z (17) 1. Úniková ychlost z Galaxie Zadání: Jaká je úniková ychlost z gavitačního pole Galaxie ve Slunečním okolí, víte-li, že Slunce obíhá kolem středu Galaxie ychlostí 50 km/s. Řešení: Kuhovou ychlost učíme z ovnováhy odstředivé a gavitační síly m v G mm v GM kuh. (18) Únikovou ychlost učíme z ovnosti kinetické a potenciální enegie: Odsud vidíme, že m v mm v GM. (19) G únik v v. (130) únik Po výpočtu získáme po únikovou ychlost z Galaxie v místě našeho Slunce hodnotu 350 km/s. 13. Cesta aketou na Poximu Centaui v m u dm v+dv m-dm Je možné doletět aketou na eaktivní pohon k hvězdě, kteá je nejblíže Slunci (Poxima Centaui, l 4,3 ly )? Fyzikální pincip aketového letu se dá vysvětlit pomocí zákona zachování hybnosti. V čase t má aketa hybnost mv, potom v čase t dt vypustí zplodiny z motoů o hmotnosti dm a absolutní ychlosti u. Tím hmotnost akety klesne na hodnotu m dm a její ychlost se změní na v dv. Potože aketa spolu se zplodinami tvoří izolovanou soustavu, celková hybnost se nezmění a dostaneme tak (viz obázek) mv ( md m)( vd v) u d m. (131) Po oznásobení závoek a zkácení příslušných členů dostaneme 0 m d vv d m d m d v u d m (13) kuh malý člen Zanedbáme-li nejmenší člen dmdv a zavedeme-li ychlost zplodin vzhledem k aketě jako Uuv, můžeme poslední vztah přepsat do tvau mdv U dm. Potože s unikajícími zplodinami hmotnost akety klesá, můžeme po difeenciál její hmotnosti psát dm d m, takže z posledního vztahu dostaneme 34

40 v m dm dm m0 dv U d ln, m v U v U (133) m m v 0 m0 kde m0, v 0 jsou počáteční hmotnost a ychlost akety a m, v jsou hodnoty konečné. Rovnice (133) se nazývá Ciolkovského a znaménko minus naznačuje, že aketa je uychlována v opačném směu, než jsou vypouštěny zplodiny. Bude-li se jednat o jednoozměný pohyb s nulovou počáteční ychlostí, můžeme po velikost dosažené ychlosti akety Ciolkovského ovnici přepsat do tvau m0 v U ln. (134) m Kdyby měl let na Poximu Centaui tvat 0 let, měla by být půměná ychlost akety v 0, c kde c je ychlost světla. Při užitečné hmotnosti akety m 1000 kg a ychlosti unikání zplodin U 3 km/s dostaneme po statovací hmotnost akety 9557 m0 mexp v / U 10 kg, (135) přičemž hmotnost Vesmíu se odhaduje na technika se k cestě ke hvězdám použít nedá kg. Odtud je zřejmé, že současná aketová 35

41 V. ROTAČNÍ POHYBY Rotační pohyby jsou nejčastějšími pohyby ve Vesmíu. Rotují hvězdy, galaxie, mlhoviny. Je poto třeba těmto pohybům věnovat pozonost. Ve většině případů lze použít analogické vztahy jako u tanslačních pohybů, jen vystupující veličiny jsou jiné (místo souřadnic úhly, místo ychlostí úhlové ychlosti, atd.). Základní veličinou chaakteizující tělesa při tanslačních pohybech je setvačná hmotnost. Jde o schopnost těles bánit se změně svého pohybového stavu. Analogickou veličinou je při otačních pohybech moment setvačnosti. Mají-li působící síly otační symetii, zachovává se veličina, kteou nazýváme moment hybnosti. Jde o ústřední veličinu při otačních pohybech s velmi jednoduchou geometickou intepetací. Zákon zachování momentu hybnosti totiž není nic jiného než zákon ploch - plocha opsaná původičem tělesa za jednotku času se nemění. Tento zákon známe například u planet jako. Kepleův zákon. U otujících objektů se z expeimentálního hlediska zajímáme o ychlostní pofil v(). Jde o závislost ychlosti v závislosti na vzdálenosti od centa otace. Tři ychlostní pofily se vyskytují v astofyzice velmi často: 1) otace typu tuhé těleso: v() ~. Rychlostní pofil je důsledkem známého vztahu v =. Těleso otuje jako celek, všechny body stejnou úhlovou ychlostí, obvodová ychlost je úměná vzdálenosti od centa. Příklad: jádo Galaxie, otující tavenina skloviny při odlévání zcadla dalekohledu. ) otace typu ví: v() ~ 1/. Rychlostní pofil je důsledkem zachování momentu hybnosti m v = const. Čím dále od centa, tím je ychlost otace pomalejší. Příklad: Ví na vodní hladině. 3) Kepleovská otace: v() ~ 1/ 1/. Pofil získáme z ovnosti odstředivé a gavitační síly. Příklad: planety obíhající kolem Slunce. TRANSLACE ROTACE x(t) vzdálenost φ(t) úhel v x ychlost a x zychlení úhlová ychlost úhlové zychlení m setvačná hmotnost J m moment setvačnosti F síla M Fsin ( F, ) moment síly mx F pohybová ovnice J MF pohybová ovnice p mv hybnost b J moment hybnosti W TR = mv / tanslační enegie W ROT = J / otační enegie F 36

42 RŮZNÉ DEFINICE MOMENTU HYBNOSTI b = J analogie s tanslačním pohybem b m vyjádřený moment setvačnosti b mv pomocí ychlosti v b mv sin pomocí celkové ychlosti v bm v pomocí vektoového součinu bm v jako vekto bp jako moment hybnosti b mds / dt pomocí plošné ychlosti KEPLEROVY ZÁKONY 1. Kepleův zákon Planety obíhají kolem Slunce po elipsách. Slunce se nachází ve společném ohnisku těchto elips.. Kepleův zákon Plošná ychlost oběhu planety je konstantní. (Jiné fomulace: Plocha původiče opsaná za jednotku času se nemění. Moment hybnosti je konstantní). 3. Kepleův zákon Duhá mocnina oběžné doby je úměná třetí mocnině velké poloosy planety: a T 3 GM (136) Rotace bodu Zadání: Najděte souřadnice pootočeného bodu v ovině. Řešení: Bod si představíme buď jako uspořádanou dvojici nebo jako komplexní číslo A ( x, y) xiy. (137) 37

43 y A' A x Otočený bod bude mít souřadnice A Aexp( i ) ( xi y)(cos isin ) ( xcos ysin ) i( xsin ycos ). Oddělíme-li eálnou a imaginání část máme souřadnice nového bodu x xcos ysin, y xsin ycos. (138) (139) V maticové podobě (matice otace kolem osy z se označuje R z ) x cos sin 0x y sin cos 0 y. (140) z 0 0 1z Poznámka: Zkuste otočit bod (1,0,0) o 90. Ukažte, že deteminant otační matice je oven 1, což je po otace chaakteistické. Napište tansfomaci jako infinitezimální ( cos 1; sin ) a ozdělte opeaci na dvě části jednotkovou matici a část závislou na malém úhlu. Pomocí této matice lze například otovat snadno s obázky na monitou.. Kyvadlo Zadání: Řešte pomocí difeenčního schématu pohyb nematematického kyvadla (s obecnými ozkmity). Řešení: j l Vyjdeme z pohybové ovnice otujícího tělesa: g J M F ml mglsin sin 0. (141) l Po malé ozkmity lze funkci sinus nahadit agumentem a ovnice přejde v ovnici hamonických oscilací. po velké ozkmity nejpve ovnici převedeme na soustavu dvou ovnic pvního řádu: m mg 38

44 Deivace nahadíme konečnými difeencemi, g l n1 n n t n1 n t a vypočteme nové hodnoty pomocí staých: n1 n n sin., g sin n l t, g n1 n (sin n) t. l (14) (143) (144) Z odvozeného difeenčního schématu počítáme z hodnoty úhlu a úhlové ychlosti v čase t n nové hodnoty v čase tn1 tn t. 3. Hvězda měnící ozměy Zadání: Spočtěte otační peiodu a magnetické pole našeho Slunce, pokud by změnilo ozměy podle následující tabulky (stalo se obem, bílým tpaslíkem nebo neutonovou hvězdou). Předpokládejte, že se při hvězdném vývoji zachovává moment hybnosti a magnetický indukční tok. Polomě Peioda Mg. pole Slunce km 5 dní 10 4 T Ob 00 R S?? Bílý tpaslík km?? Neutonová hvězda 50 km?? Řešení: Ze zákona zachování momentu hybnosti učíme peiodu: R J const mr const const. (145) 5 T T Podíl kvadátu ozměů a peiody se při hvězdném vývoji zachovává. Přibližně se také zachovává magnetický indukční tok: BS const B 4 R const BR const. (146) Z posledních elací dopočteme chybějící hodnoty v tabulce: 39