Semestrální práce z předmětu KMA/MM

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Semestrální práce z předmětu KMA/MM"

Transkript

1 Semestrální práce z předmětu MA/MM Jméno: Plánička Stanislav Mail: staplan@students.zcu.cz Os. Číslo: A8N44P

2 Obsah OBSAH FYZIÁLNÍ MINIMUM 3 INEMATIA 3 Idealizace hmotným bodem 3 Zlatá rovnice kinematiky 3 DYNAMIA 4. Newtonův pohybový zákon 4 AERODYNAMIA 4 Základ mechaniky tekutin 4 Aerodynamické síly působící na křídlo 5 Mezinárodní standardní atmosféra MSA 8 ŘEŠENÍ APLIACE ZNALOSTÍ NA LETOUN 8 Hustota vzduchu, vliv gravitace 9 Vnější síly působící na letoun Sestavení pohybové rovnice a výpočet kinematických veličin ŘEŠENÍ A SIMULACE LETU LETADLA Vstupní parametry Určení aerodynamických součinitelů 3 Simulace letu letadla 3 MODIFIOVANÝ MODEL 6 Přehled výkonů letadla 8 ZÁVĚR 9 POUŽITÁ LITERATURA

3 Fyzikální minimum inematika Idealizace hmotným bodem S pojmem hmotný bod se ve fyzice a mechanice setkáváme poměrně často. Jedná se o idealizovaný objekt, který má pouze hmotnost soustředěnou do daného bodu. Jeho vnější rozměry jsou nulové. Tato idealizace má svoje opodstatnění. Hmotným bodem nahrazujeme těleso, jehož rozměry a tvar jsou pro řešení sledovaného pohybu nepodstatné. Velmi užitečná je zvláště v případech, kdy těleso koná posuvný pohyb. Polohu libovolného bodu daného tělesa lze zapsat jako vektorový součet vektoru polohy referenčního bodu (je užitečné aby tento bod byl zároveň těžištěm) a polohy tohoto bodu vůči referenčnímu r r r * R = +. () Obr.: Polohu libovolného bodu tělesa lze jednoznačně určit prostřednictvím polohy referenčního bodu a vzájemné polohy obou. * oná li těleso posuvný pohyb, je relativní vektor r v čase konstantní. Dá se snadno ukázat, že v takovém případě opisují všechny body tělesa stejné, vzájemně posunuté trajektorie. Jejich rychlosti a zrychlení (kinematické poměry) jsou totožné lze se o tom přesvědčit prostým derivováním rovnosti (). V případě posuvného pohybu tedy neztrácíme (z pohledu kinematiky) redukcí tělesa na hmotný bod žádnou podstatnou informaci. Zlatá rovnice kinematiky Vztahy mezi kinematickými veličinami si všichni jistě pamatujeme z hodin fyziky. Připomeňme, že platí: vektor rychlosti v je časovou derivací polohového vektoru r r r d v = = r &, () d t vektor zrychlení a r je časovou derivací vektoru rychlosti r r d v a = = v r &, (3) d t tyto rovnosti mechanici nazývají zlatá rovnice kinematiky a zapisují: r r r d v d a = =. (4) d t d t V kartézském souřadnicovém systému tyto vztahy s výhodou rozepisujeme po složkách. 3

4 Dynamika. Newtonův pohybový zákon Zákon síly je snad nejvýznamnější přírodní princip používaný v mechanice. Jeho diferenciální tvar formulujeme matematicky: r d p r = F, (5) dt jedná se o lokální zápis zákona bilance hybnosti. Pokud je pravá strana nulová (tzv. izolované soustavy) obdržíme matematický zápis zákona zachování hybnosti jednoho z elementárních přírodních principů. Zákon síly je pro nás důležitý, neboť nám umožňuje přechod od dynamiky ke kinematice, jak nyní ukážeme. Hybnost p r je definována vztahem p r r = m v ; (6) m značí hmotnost, kterou v klasické mechanice tuhého tělesa považujeme za konstantní. Dosazením (6) do (5) obdržíme zákon síly ve známém tvaru r r F = m a. (7) Tato jednoduchá formule dává do souvislosti F r a zrychlení a r jednoduchým vynásobením konstantou m. F r je výsledná síla, která na těleso působí, je to vektorový součet všech působících sil F r i (jejich počet označíme n ) r n r F =. (8) F i i= V případech, kdy je působící silová soustava komplikovanější, s výhodou použijeme jinou formulaci téhož tzv. d Alambertův princip, který zavádí setrvačnou sílu S r : r r S = m a (9) D Alambertův zákon tvrdí, že součet působících sil a síly setrvačné je nulový: F r + S r = r () Aerodynamika Základ mechaniky tekutin Abychom mohli porozumět vzniku aerodynamických sil působících na letadlo od obtékajícího proudu, je třeba mít správnou fyzikální představu o proudovém poli a rozložení tlaků v jeho blízkosti. tomu nám poslouží dva jednoduché vztahy, které jsou, za jistých zjednodušujících podmínek, odvozeny z fundamentálních rovnic mechaniky tekutin tzv. Naviérových Stokesových rovnic. Prvním vztahem, který představuje lokální formulaci zákona zachování hmoty, je rovnice kontinuity ρ r + div( ρ v) = () t Pro zvolenou proudovou trubici proměnného průřezu S (x), za předpokladu stacionárního proudění a nestlačitelné tekutiny ji můžeme upravit do tvaru S v = konst. () Zápis rovnice kontinuity v tomto tvaru ukazuje důležitý závěr: v místě zúžení proudové trubice je větší rychlost a naopak v místech širších rychlost klesá. Poznámka: Pokud jsme pozorní zajisté jsme se pozastavili nad nestlačitelností tekutiny. Tekutinou rozumíme v aerodynamice vzduch, který je poměrně snadno stlačitelný. Jeho stlačitelnost ovšem závisí na stavu určeném 4

5 především Machovým číslem M, definovaným jako poměr mezi velikostí rychlosti proudu v a místní rychlostí zvuku c v M =. (3) c Pokud je hodnota Machova čísla malá M <, &, 3 lze považovat vzduch s dostatečnou přesností za nestlačitelné médium. Tato podmínka je splněna u většiny běžných menších a sportovních letadel. Tím druhým významným vztahem je Bernoulliho rovnice pro proudovou trubici, která vychází z již zmíněného zákona síly (potažmo pohybových Navierových-Stokesových rovnic) s přijetím některých zjednodušujících předpokladů (proudění je stacionární, tekutina nevazká atd.). My vyjdeme ze vztahu p + ρ v = konst., (4) ve kterém první člen nazýváme statický tlak, druhý dynamický tlak. Na základě analýzy vztahu můžeme tedy tvrdit, že v místě s vyšší rychlostí proudu zaznamenáme pokles tlaku, naopak v místě zúžení statický tlak poroste. Aerodynamické síly působící na křídlo aždé těleso, pohybující se v určitém prostředí, je vystaveno působení sil vznikajících při jeho pohybu. Přitom nezáleží na tom, zda je nehybný předmět obtékán prostředím, nebo zda se pohybuje těleso v klidném prostředí (rychlostí opačného směru a stejné velikosti). Při obtékání těles symetrických ve směru proudu působí výsledná síla vzduchu, kterou nazýváme výsledná aerodynamická síla R r, ve směru proudu. Při obtékání těles nesymetrických (popř. nesymetrických vůči smyslu proudu) nepůsobí již výsledná aerodynamická síla ve směru proudu, ale je od něj odchýlena. V tomto případě rozkládáme sílu R r na dvě složky: složku působící ve směru proudu nazýváme aerodynamický odpor a značíme D r, a složku kolmou vůči směru proudu aerodynamický vztlak L r ; platí tedy r r r L + D = R (5) Aerodynamické síly působící na letadlo zkoumá aerodynamika letadla - obor, který se vyčlenil z mechaniky tekutin. Jejím úkolem je řešit proudové pole v okolí letadla, stanovit síly působící na jeho povrch (úlohy přímé), či na základě požadovaných sil, nebo proudového pole stanovit optimální tvar (nepřímá úloha). V běžných případech bývá obtékajícím prostředím vzduch zemské atmosféry. Z výsledků experimentů a numerických simulací víme, že při rovinném laminárním obtékání profilu křídla vznikne charakteristické proudové pole. Obr.: Rozložení proudnic při rovinném laminárním obtékání křídla letadla. Povšimněte si, že na horní straně křídla je větší hustota proudnic, proudové trubice jsou zúženy (oproti nerozrušenému nabíhajícímu proudu o rychlosti v r ). Na spodní straně křídla jsou proudové trubice mírně rozšířené. Zúžení trubice znamená viz rovnice kontinuity vyšší rychlost a tedy podle Bernoulliho rovnice nižší tlak. Analogickou úvahou usuzujeme 5

6 na přetlak působící ne spodní stranu křídla. Tento závěr je zcela zásadní: Při ofukování profilu proudem vzduchu vzniká na jeho horní straně oblast sníženého statického tlaku (podtlaku), na spodní straně oblast zvýšeného statického tlaku (přetlaku). Letící křídlo je tedy shora vzduchem přisáváno a zespodu tlačeno. Vzduch obtékající letadlo rychlosti v r (charakterizovaný hustotou ρ, tlakem p, T a za pohybu dynamickou viskozitou η ) vytvoří při obtékání termodynamickou teplotou křídla na jeho povrchu proměnné rozložení statického tlaku p a smykového napětí τ. (Povšimněme si, že v aplikované aerodynamice zavedená terminologie odpovídá nehybnému křídlu a proudu vzduchu, který jej obtéká rychlostí v r ). Obr.3: Rozložení tlaků působících na plochu křídla. Z rozložení tlaků na profilu vidíme, že přibližně dvě třetiny celkového rozdílu generuje podtlak nad křídlem. Sání na horní straně profilu má významný podíl na vztlaku. Na nekonečně malou plošku letadla o velikosti ds působí elementární síly df r p a df r f. První zveme tlakovou a druhá zvaná smyková (třecí). Integrací obou těchto složek po celém povrchu dostaneme výslednou aerodynamickou sílu R r. Vektor síly R r tedy obvykle rozkládáme do složek D r ve směru nabíhajícího proudu a do složky k ní kolmé L r. (Výsledná síla se alternativně rozkládá, především pro použití v pružnostářských a pevnostních výpočtech, ve směru letadla, popř. tětivy křídla a směru kolmého.) Obě tyto síly vypočítáváme empirickými vzorci: L = cl ρ S v a D = cd ρ S v, (6, 6a) kde c L a c D jsou bezrozměrné součinitele vztlaku a odporu. S je nosná plocha. Při zvyšování rychlosti dochází k tomu, že proudění vzduchu v okolí letadla ztrácí svůj hladký, laminární charakter a vyvíjí se proudění turbulentní. Tyto nepravidelnosti v proudovém poli, spojené s vířením a úplavovýmy jevy znamenají další růst odporových sil. Roste li rychlost letadla dále, nelze již přijmout platnost modelu s nestlačitelnou tekutinou. Matematický model popisující proudové pole se ovšem zahrnutím stlačitelnosti nezanedbatelně zesložiťuje. V subsonické oblasti ( M < ) se charakter proudu zásadně (kvalitativně) neodlišuje od proudění s nestlačitelnou tekutinou. Ovšem při přiblížení k této hranici dochází k bouřlivým změnám. Charakter proudění se významně mění, vznikají rázové vlny, které zvyšují odpor a negativně působí na vztlak. (Tyto děje jsou důsledkem právě stlačitelnosti!) rom toho již v subsonických oblastech dochází k tzv. odtržení proudu, které 6

7 opět snižuje aerodynamickou účinnost křídla. Tento jev je značně závislý na tvaru křídla a režimu letu letadla. Obecný matematický popis těchto jevů je tedy značně problematický. Rovnice pro výpočet odporu a vztlaku by patrně byly pouze přiblížením silně závislým na případě. Z výše uvedeného můžeme usuzovat na jejich nemonotónnost, nehladkost a dokonce nespojitost. Bohužel žádná dostupná literatura se nevěnuje ani nejmenšímu rozšíření Newtonových vztahů (6) do transsonické oblasti ( M > ), všechny publikace předpokládají jeho platnost v celém rozsahu rychlostí. I nám tedy nezbude, než se spokojit s tímto empirickým přiblížením. Obr.4: Rozložení statického tlaku v okolí obtékaného křídla porovnání rozdílu modelů s nestlačitelnou (vlevo) a stlačitelnou tekutinou (vpravo). Můžeme si všimnout podobného charakteru tlakového pole obou případů. Numerická simulace z CFD výpočtového systému Fluent. (Pozn.: simulace vlevo je při rychlosti nabíhajícího proudu v = m s -, simulace vpravo je při rychlosti nabíhajícího proudu v =& 9 m s - ) Obr.5: Rychlostní pole v okolí obtékaného křídla při rychlosti nabíhajícího proudu v = m s - (model s nestlačitelnou tekutinou). Numerická simulace z CFD výpočtového systému Fluent. Obr.6: Tlakové pole při mírně nadzvukové (transsonické) rychlosti. Všimněte si tlakové vlny utvářející se před profilem a na odtokové hraně profilu. Jedná se samozřejmě o model respektující stlačitelnost vzduchu. Numerická simulace z CFD výpočtového systému Fluent. 7

8 Mezinárodní standardní atmosféra MSA Již krátce po letu Flyeru vyvstala potřeba jakési standardní atmosféry, pomocí které by se daly vypočítávat a porovnávat výkony letadel. Tento etalon prošel pochopitelně vývojem a nyní je MSA srovnávací atmosféra dána normou ISO z roku 975. Mezi informace standardní atmosféry je třeba zařadit především geofyzikální údaje o zeměkouli. Není to přesná koule, ale zploštělé rotační těleso zvané zemský elipsoid, nebo též geoid, jež je přibližně symetrický vůči rovině zemského rovníku. Má tvar kružnice o poloměru 6378,6 km. Jeho poloosa symetrie, jež je současně osou zemské rotace, má délku 6356,77 km. Za definiční místo normálního stavu atmosférického vzduchu bylo zvoleno místo na mořské hladině o zeměpisné šířce ϕ = , kde je střední poloměr Země r = 6356, 766 km a tíhové zrychlení g = 9, 8665 m s. Vertikální vzdálenost od tohoto místa se nazývá geometrická nadmořská výška h. Střední hodnoty stavových veličin vzduchu v tomto místě jsou: termodynamická teplota T = 88, 5, tlak p = 35 Pa, 3 hustota ρ =, 55 kg m. Závislost gravitačního zrychlení na geometrické výšce stanovíme z Newtonova gravitačního zákona. Podle něj je gravitační síla mezi dvěma hmotnými body nepřímo úměrná kvadrátu jejich vzdáleností. Východiskem ke stanovení závislosti termodynamických stavových veličin atmosférického vzduchu na nadmořské výšce je sestavení diagramu středních hodnot teploty v závislosti na nadmořské výšce získaného z dostatečného počtu výškových měření. ontrolní měření tlaku ukázala, že vzduch lze ve výškovém rozsahu praktického letectví pokládat za ideální plyn. Je tedy možno použít standardní stavovou rovnici p = rt ; (7) ρ r je měrná plynová konstanta s hodnotou pro vzduch r = 87, 587 J kg - -. Stejně tak * v těchto výškách (cca h < 5km) lze hustotu vzduchu ve výšce h (což je geometrická nadmořská výška v kilometrech) vypočíst pomocí polynomu třetího stupně ρ( * * * 3 = m + n h + o h + p h ; (8) ρ m =, n =, 965 km -, o =, 35 km -, potřeba dosadit * h v kilometrech! 5 p = 3,7 km -3. Pozor, do vztahu (8) je Řešení Aplikace znalostí na letoun Nyní již víme vše potřebné. Využijeme našich znalostí a pokusíme se vytvořit model popisující aerodynamiku a mechaniku letu letadla. V úvodní kapitole jsme postupovali od obecných poznatků k detailům. V této se ale nejprve zaměříme na detaily, bez nichž by nebylo možné model sestavit a od nich pak přejdeme k určení působících sil, sestavíme pohybovou rovnici a zformulujeme závislosti kinematických veličin. Pohyb budeme uvažovat pouze v rovině, tuto rovinu nazveme výpočtová oblast Ω. Polohu letadla bude jednoznačně určovat kartézský souřadnicový systém xy. Letadlo tedy nebude zatáčet, zároveň zanedbáme vliv křivosti zemského povrchu. Dále budeme uvažovat, že tíhové pole je homogenní (ekvipotenciály jsou rovnoběžné s osou x) a termodynamické veličiny určující stav atmosféry se mění pouze ve vertikálním smyslu (pro parciální derivace všech veličin ve směru x platí A / x = ) podle vztahů MSA. 8

9 Hustota vzduchu, vliv gravitace Pro sestavení pohybové rovnice musíme znát vnější síly působící na letoun. Pro správné vyčíslení aerodynamických sil budeme potřebovat pomoc MSA, neboť určení jejich hodnot dle (6) vyžaduje znalost místní hustoty nabíhajícího proudu, která je silně závislá na geometrické výšce (letové hladině). Velikost hustoty vypočteme ze vztahu (8). Obr.7: Polynomická závislost hustoty na nadmořské výšce podle MSA. Že vliv gravitace klesá s výškou nás asi nepřekvapí. Všichni víme, že kosmonauti ve velkých výškách zažívají tzv. stav bez tíže (tento pojem je značně zavádějící). Námi uvažované výšky jsou však mnohem menší a tedy i pokles velikosti gravitačního zrychlení bude menší. Pro jednoduchost ztotožníme vektory gravitačního a tíhového zrychlení, jeho vektor má v každém místě oblasti Ω směr opačný s osou y zavedeného souřadnicového r r r r systému ( X Ω, t, T : g( X, t) konst. = (, g), g e y = g = g ). Velikost vektoru g v závislosti na výšce h určíme z Newtonova gravitačního zákona, v souladu s předpoklady přijatými v MSA viz výše. r gh = g = κ M (9) r + h r + h ( ) ( ) geom geom Obr. 8: Závislost tíhového zrychlení na nadmořské výšce podle Newtonova gravitačního zákona (popř. MSA). Z obr. 8 nebo dosazením do rovnice (9) zjistíme, že velikost tíhy klesá ve výškovém rozsahu praktického letectví jen nepatrně. Ve výšce h = 5 km (velká výška dosahovaná specializovanými výškovými vojenskými letouny) má tíhové zrychlení velikost 9

10 g 5 km = 9,73 m s -, což je rozdíl oproti referenční hodnotě g menší než %. Nebudeme tedy nadále uvažovat závislost gravitačních sil na výšce. Vektor tíhového zrychlení v celé výpočtové oblasti Ω budeme považovat za konstantní, jeho velikost udáme na g = 9, 78 m s -, čímž vnášíme chybu v řádech X, která nezhoršuje přesnost výpočtů. Vnější síly působící na letoun Na letoun působí 3 druhy vnějších sil: aerodynamické síly (vztlak a odpor), tíhová síla a hnací síla motoru. Protože předpokládáme, že letoun koná rovinný, posuvný pohyb, využijeme rozklad těchto sil do směrů x a y. Obr. 9: Síly působící na letoun. Zeleně jsou vyznačeny aerodynamické síly (L vztlak, lift; D odpor, drag), červeně tahová síla motoru (M), modře tíhová síla (G). Tlusté šedivé šipky představují setrvačné síly zavedené v opačném smyslu černých souřadnicových os x a y. Výslednice vnějších sil ve směru x je (v libovolném časovém okamžiku letu a libovolném bodě výpočtové oblasti) výsledkem součtu sil působících ve směru x: F x = M D, () analogicky výslednice sil ve směru y: F y = G + L, (a) rovnice () a () již nejsou vektorové, ale skalární. Tahová síla motoru M budeme v našem případě dosahovat pouze tří diskrétních hodnot M {, M, M F }. U reálných běžných letadel je tah motoru funkcí nastavení jeho výkonu: vypnutý motor pochopitelně neprodukuje tah; ve standardním pracovním režimu je tah spojitou, kladnou, shora i zdola omezenou, rostoucí funkcí výkonu; přídavné spalování tzv. forsáž (pouze některá vojenská letadla) umožňuje další navýšení nad % tah. Pro jednoduchost budeme uvažovat, že se tah s narůstající výškou (při jeho neměnném pracovním režimu) nemění - v reálu klesá s rostoucí výškou letu (u letadel poháněných vrtulí dosti významně). Tíhová síla se (pro t,t ) vypočte vynásobením okamžité hmotnosti ( m (t) ) tíhovým zrychlením

11 G = m g. () Při letu bude hmotnost časem klesat, protože její část letoun ztrácí spalováním paliva. Rychlost tohoto úbytku (v jednotkách kg s - ) závisí na pracovním režimu motoru a lze ji vyjádřit jako časovou derivaci celkové hmotnosti dm m = m& =. () dt V našem případě tedy bude rychlost změny hmotnosti nabývat pouze tří nekladných hodnot: m, m,. Hmotnost v čase t, T určíme jako počáteční hmotnost zmenšenou { } m F o celkový úbytek hmotnosti vlivem spalování v časovém intervalu τ, t : m = t m + m dτ. (3) čemuž dojdeme též integrací rovnice (). Poznámka: Při skládání sil v rovině je nutné tyto dvě tzv. složkové podmínky doplnit podmínkou momentovou. dyby přesně platilo schéma na obr. 9, byla by tato podmínka triviální. Je ale dobré si uvědomit některé podstatné detaily, které tento model opomíjí. Aerodynamické síly v našem modelu jsou síly již vzniklé složení dílčích aerodynamických sil (křídla, vodorovná ocasní plocha a trup). L Obr. : Skutečné rozložení sily působících na letadlo ve směru y. V ideálním případě je nositelka výsledného vztlaku totožná s nositelkou tíhové síly. Ale u opravdových letadel není obecně poloha těžiště prázdného letounu totožná s polohou těžiště paliva, resp. natankovaného letounu (o užitečné zátěži ani nemluvě). Během letu tedy dochází k posunu polohy těžiště. Případná neshoda poloh nositelek generuje nenulový moment. Obdobně můžeme přemýšlet o silách ve směru osy x. Je tedy nasnadě, že ve skutečnosti obecně nebude momentová podmínka triviální. Tento nesoulad se vyrovnává dalšími aerodynamickými silami na řídících plochách (klapky, křidélka, VOP, aerodynamické brzdy aj.), což je spojeno se změnou vztlaku (pozitivní i negativní) a růstem odporu (vždy). Pilot s těmito jevy musí počítat. U moderních letounů s digitálním systémem řízením po drátě (fly-by-wire) řeší tyto problémy řídící jednotka automaticky. Reálný model silového působení lze tedy převést na náš (na obr. 9), za cenu toho, že bude třeba dále opravovat hodnoty vztlaku a odporu. Ale jelikož výsledný moment nebývá velký a my budeme předpokládat vynikající práci konstruktérů letadel, nebudeme do modelu zahrnovat efekty plynoucí z momentové podmínky rovnováhy. Sestavení pohybové rovnice a výpočet kinematických veličin Protože náš model letu letadla předpokládá vodorovný let v celém jeho trváním (což je posuvný pohyb), použijeme zjednodušení hmotným bodem.

12 Budeme uvažovat jednoduché počáteční podmínky. V čase t = s platí: poloha letounu (který je nahrazen hmotným bodem, jehož poloha je totožná s jednotným působištěm všech sil na letoun) je totožná s počátkem souřadnicového systému hodnoty všech kinematických veličin jsou nulové Po zavedení setrvačných sil (viz obr. 9, (9)) využijeme k sestavení pohybové rovnice d Alambertův princip (). Skalární pohybová rovnice ve směru x: M D max = (4) skalární pohybová rovnice ve směru y: G + L ma = (4a) y Z těchto rovnic vyjádříme hledaná zrychlení, která se stanou vstupními veličinami do kinematických závislostí. M( t) D( v( t), ρ( h( t))) G( m( t)) + L( v( t), ρ( h( t))) a x ( t) =, a y ( t) = (5, 5a) m( t) m( t) Při hledání hodnot kinematických veličin (rychlost v r, poloha r ) dosadíme zrychlení do zlaté rovnice kinematiky, kterou rozepíšeme po složkách. Rychlosti v jednotlivých směrech v libovolném časovém okamžiku t, T v x t = t ax ( τ ) dτ, v y = a y ( τ ) dτ (6, 6a) příslušné polohy (složky polohového vektoru r r ) vypočteme v x t = t t, T : v x ( τ ) dτ, y = v y ( τ ) dτ. (7, 7a) Řešení soustavy rovnic (5), (6) a (7) není kvůli jejich složité implicitní formulaci jednoduché, nicméně by nám poskytlo kompletní informace o okamžité poloze, rychlosti a zrychlení letounu. Proto se níže pokusíme alespoň o její přibližné numerické řešení. Předtím ještě zjednodušeně zavedeme některé pojmy, pomocí nichž se výkony letounů poměřují (jejich určení samozřejmě podléhá jisté standardizaci) Dolet vzdálenost, kterou letoun bezpečně uletí Dostup maximální výška do které je schopen vystoupat při vodorovném letu Maximální rychlost Nejvyšší rychlost, jíž je schopen dosáhnout (většinou se udává v určených letových výškách) Řešení a simulace letu letadla Vstupní parametry Vzletová hmotnost letadla m = 75 kg, hmotnost letadla při přistání m T = 55 kg. Nosná plocha S = 3 m. Tah a spotřeba motoru při jednotlivých režimech: Tah Spotřeba Vypnutý motor kn Plný tah Μ = 38 m, 4 = kg s - Přídavné spalování Μ F = 58 kn m F = 3 kg s -

13 Určení aerodynamických součinitelů Hodnoty bezrozměrných aerodynamických součinitelů naladíme tak, aby určité výkonnostní parametry odpovídaly příslušným reálným hodnotám. Určení aerodynamického součinitele vztlaku: víme, že k odlepení startujícího letounu dojde při rychlosti w = m s -. V této chvíli tedy bude vztlak větší, než tíhová síla: m g < c S w odtud plyne pro hodnotu c L m L ρ g 75 9,78 c. c L = ; =, 35 ρ S w,55 3 = L & Hodnotu odporového součinitele určíme z maximální rychlosti w MAX = 5 km h -, kterou letounu naměřili ve výšce h MAX = 9 km. Nastává silová rovnováha tahu a odporu: M F 58 M F = cd ρ( hmax ) S wmax ; cd = ; c =, 4 ρ( h ) S w, ,3 = D & MAX Simulace letu letadla Soustavu rovnic, popisující let letadla budeme řešit přibližnou, numerickou iterativní metodou. (Hodnoty všech pro výpočet potřebných konstant najdeme v předchozím textu. Po celý let ponecháme motor na % tahu.). Letoun odstartuje z nulových počátečních podmínek (nultá iterace) s udanou vzletovou hmotností. Budeme iterovat v čase, s konstantním krokem t = s, výpočet zahájíme první iterací. Výpočet bude řízen následující algoritmizací: ALGORITMUS :. Přechod do další časové hladiny t = t + t. Hmotnost letounu v -té iteraci m ( t ) : m = m + m Tento vztah vyplývá z integrace vztahu (), resp. úpravě vztahu (3): Pro t τ t, t : m = m + t MAX m dτ. Provedeme integraci (úbytek hmotnosti je v průběhu časového kroku konstantní: m m + m ( t t ) = m + m t =. Díky volbě časového kroku zjednodušíme tuto rovnici pro výpočet aktuální hmotnosti částečným dosazením: m = m + m 3. Integrací rovnic (6) v časovém kroku zjistíme jednotlivé složky vektoru rychlosti; za předpokladu, že zrychlení je v každém jednotlivém iteračním kroku konstantní: v v a a v y = v y + a y = + x x x t Pro τ t, t : v = + v t = v + a ( t t ) v = + v a a dτ. Provedeme integraci v a částečné dosazení: 4. Integrací rovnic (7) za stejného předpokladu obdržíme vzorce pomocí nichž určíme okamžitou polohu letadla: x = x + vx + ax a h = h + v y + a y 3

14 Pro τ t, t : x = x + ( v a τ ) d. Provedeme integraci ( t t ) t + τ t x = x + v τ + / a a částečné dosazení: x = x + v + / a * * 5 * ρ 3 = ρ,965 h +,35h 3,7 h 5. Hustota vzduchu v -té iteraci: ( ) * nezapomeneme převést dosadit h v jednotkách km! Výpočet realizujeme prostým dosazením známé hodnoty výšky z kroku Aerodynamický odpor a vztlak v -té iteraci: L = cl ρ S vx a D = cd ρ S vx Výpočet realizujeme prostým dosazením známé hodnoty rychlosti z kroku 3 do Newtonových vzorců. Poznámka.: protože předpokládáme homogenní, rovinné obtékání s relativní rychlostí ve směru osy x, zahrnujeme ve vzorci pouze x komponentu vektoru rychlosti. Při velkých rychlostech stoupání se tedy dopouštíme chyby! M D 7. Zrychlení ve směru obou os obdržíme z pohybové rovnice (4): ax = a m a y g m = m + L 8. Nyní překontrolujeme kontakt letounu se vzletovou drahou: pokud platí, že g m > L nahradíme hodnoty y složky rychlosti a polohy nulami: v = a h =. 9. V případě, že m mt motorový let končí, v opačném případě pokračujeme další iterací od bodu.. ALGORITMUS :. Přechod do další časové hladiny t = t + t. Hmotnost letounu v -té iteraci m ( t ) : m = m + m 3. Předpokládáme li, že rychlost stoupání je malá: * * 5 * ( ),965h 3 +,35h 3,7 h ρ = ρ. 4. Aerodynamické síly: L = cl ρ S vx a D = cd ρ S vx M D g m + L 5. Zrychlení ve směru obou os z pohybové rovnice: ax =, ay = m m 6. Integrací rovnic (6) zjistíme jednotlivé složky vektoru rychlosti; za předpokladu, že zrychlení je v každém jednotlivém iteračním kroku konstantní: v = v + a a v = v + a y y y 7. x = x + vx + ax a h = h + vy + a y 8. Překontrolujeme kontakt letounu se vzletovou drahou 9. V případě, že m mt motorový let končí, v opačném případě pokračujeme další iterací od bodu.. Rozdíly mezi hodnotami vypočtené oběma algoritmy jsou minimální. y x x x 4

15 Po provedení numerického výpočtu si necháme vykreslit závislosti rychlosti, výšky a aerodynamických sil na čase: Rychlost rychlost 4 3 vx vy čas Obr. : Závislost jednotlivých komponent rychlosti v x a Výška v y [m s - ] na čase t [s]. výška čas Obr. : Závislost výšky letounu h [m] na čase t [s]. Vztlak a odpor síla čas L D Obr. 3: Závislost aerodynamického vztlaku L a odporu D [N] na čase t [s]. Podíváme li se na výsledky, zjistíme, že model nefunguje k naší spokojenosti. Ocitli jsme se mimo oblast platnosti některých důležitých předpokladů: 5

16 Velikost rychlosti stoupání je v počáteční fázi letu plně porovnatelná s velikostí dopředné rychlosti letu Neplatí polynomická závislost hustoty na výšce v celém spektru dosahovaných výšek Navíc dochází k nepředpokládaným oscilacím veličin, které zřejmě způsobuje hmotnost, resp. setrvačnost letounu. Nejvýznamnější chyba modelu ale je nezahrnutí závislosti účinnosti motoru na výšce (všechny veličiny tím rostou nadevšechny meze, odpor je v každém okamžiku menší než tah motoru). Tyto nedostatky se pokusíme odstranit v dalšími modifikovanými modely. Modifikovaný model První úprava bude zahrnovat ztrátu účinnosti motoru s rostoucí výškou. Tuto výškovou závislost účinnosti budeme uvažovat nejjednodušší možnou lineární, procházející body [m;% ] a [m;5%]. Provedeme numerický výpočet podle stejného schématu, zobrazíme výsledky: Rychlost 3 5 rychlost 5 5 vx vy čas Obr. 4: Závislost jednotlivých komponent rychlosti v x a v y [m s - ] na čase t [s]. Povšiměme si, že velikost rychlosti stoupání je po vzletu i nadále porovnatelná s dopřednou rychlostí (to nám nevyhovuje). Dobře patrný je okamžik vzletu spojený s nárůstem rychlosti stoupání. A maximální rychlost, která v tomto případě (spíše náhodou, nežli záměrem) dokonce blíží skutečnosti letoun na plný suchý (%) tah dosahuje vysokých podzvukových rychlostí. Výška výška čas Obr. 5: Závislost výšky letounu h [m] na čase t [s]. 6

17 Vztlak a odpor síla čas L D Obr. 6: Závislost aerodynamického vztlaku L a odporu D [N] na čase t [s]. Ve druhé úpravě se pokusíme reflektovat vliv vysoké rychlosti stoupání. Myšlenka je taková, že rychlost stoupání vyvolává jakousi přídavnou aerodynamickou odporovou sílu T působící proti směru rychlosti stoupání. Rovnici (4a) tedy dostáváme ve tvaru G + L T ma = Zrychlení ve směru y odtud: y g m + / cl ρ S vx / ct ρ S vy ay = ; m kde c T je příslušný aerodynamický koeficient. Protože při kolmém pohybu letounu je jeho tvar aerodynamicky nevhodný, odhadneme hodnotu c T =. Příslušným způsobem upravíme algoritmus, provedeme numerickou simulaci a zobrazíme výsledky Rychlost 3 5 rychlost 5 5 vx vy čas Obr. 7: Závislost jednotlivých komponent rychlosti v x a v y [m s - ] na čase t [s]. 7

18 Výška výška čas Obr. 8: Závislost výšky letounu h [m] na čase t [s]. Vztlak a odpor síla čas L D Obr. 9: Závislost aerodynamického vztlaku L a odporu D [N] na čase t [s]. Jak vidno zavedení přídavného odporu T ovlivňuje pozitivně i fluktuace fyzikálních veličin, přitom ale nemá žádný vliv na dosahované výkony. Přehled výkonů letadla Výkony jsou stanoveny z výstupních dat numerických simulací druhého, modifikovaného modelu. Poprvé byly data získány při letu na % tah, poté se zapnutou forsáží. doba letu dolet dostup maximální rychlost [s] [km] [m] [km h - ] plný tah forsáž

19 Závěr Při návrhu matematického modelu letu letadla a jeho následném řešení jsme narazili na jistá úskalí plynoucí buďto z nedostatku dostupných informací, nebo ze složitosti těchto jevů. Tyto kritické situace jsme se snažili vyřešit přiblíženími a zjednodušeními, některé jevy jsme (ne zcela správně) zcela pominuli. Nejvýznamnější vliv na dosahované výsledky má přijetí platnosti Newtonových vzorců (6) pro aerodynamické síly ve všech režimech letu. Tyto vzorce jsou vhodné pro malá Machova čísla. Při rychlostech blížících se rychlosti zvuku a vyšších bychom přesnějších výsledků dosáhli s formulací těchto sil respektující vliv stlačitelnosti a vznik rázových vln. Lepší vyjádření závislosti účinnosti motoru na výšce (tj. závislost reálného tahu motoru na výšce při stálém pracovním režimu motoru) by také zajisté pozitivně ovlivnilo výsledné hodnoty. Stávající výpočet aerodynamických sil (respektující pouze velikost vektoru rychlosti ve směru x) je také problematický, neboť při nenulovém kolmém pohybu již neleží vektor rychlosti nabíhajícího proudu v ose křídla (tětivě profilu). Úhel mezi těmito dvěma entitami nazýváme úhlem náběhu (viz obr.). V těchto případech se Newtonovy vzorce modifikují tak, že aerodynamické koeficienty jsou závislé na hodnotě úhlu náběhu. Pozn.: V hydromechanice bohužel nelze jednoduše použít princip superpozice a počítat tedy např. s celkovou velikostí vektoru rychlosti v nemodifikovaných Newtonových vztazích s konstantními koeficienty nepovede k lepším výsledkům. Proto je také poměrně diskutabilní zavedení přídavného odporu v druhé modifikaci matematického modelu. Spojitá funkce vázající tahovou sílu se spotřebou paliva v závislosti na režimu chodu motoru by přineslo do modelu mnoho nového. V takto sestaveném modelu by pak bylo možné kupříkladu řídit let letadla plynulým nastavováním tahu motoru tak, aby změny rychlosti stoupání ve stoupavém letu byly co nejmenší. Stanovení aerodynamických součinitelů není jednoznačné. Při výběru jiných výkonových parametrů vedou k různým hodnotám. (Tyto odlišnosti jsou ale provázány s předchozími diskutovanými zjednodušeními). Zajisté zajímavé by bylo získání hodnot koeficientů experimentálně, nebo numerickým výpočtem a coby pevné vstupní hodnoty jejich pomocí určit letounem dosahované výkony. Při řešení složité soustavy rovnic popisující pohyb letadla a síly na něj působící bylo využito primitivní numerické schéma, vnášející do výsledku další chyby. Vhodnější by bylo aplikovat náš model na malý civilní, popř. sportovní letoun létající za bezvětří malými rychlostmi v malých výškách. 9

20 Použitá literatura Jíra, R., Ticháček, J., Pokorný, V.: Aerodynamika a mechanika letu pro plachtaře. Naše vojsko, SVAZARM, v Praze, 96. Vykouk, V.: Aerodynamika a mechanika letu pro piloty závěsných kluzáků. ÚV SVAZARMu, v Praze, 98 Nožička, J., Houbová, R.: Psáno pro L+: Střípky z aerodynamiky. Časopisy Letectví a kosmonautika č. 7, 8, 9,, a /8 Dvořák, R., ozel,.: Matematické modelování v aerodynamice. Skriptum ČVUT v Praze, 996.

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

Dynamika vázaných soustav těles

Dynamika vázaných soustav těles Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

BIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D.

BIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D. BIOMECHANIKA 8, Disipativní síly II. (Hydrostatický tlak, hydrostatický vztlak, Archimédův zákon, dynamické veličiny, odporové síly, tvarový odpor, Bernoulliho rovnice, Magnusův jev) Studijní program,

Více

Hydromechanické procesy Obtékání těles

Hydromechanické procesy Obtékání těles Hydromechanické procesy Obtékání těles M. Jahoda Klasifikace těles 2 Typy externích toků dvourozměrné osově symetrické třírozměrné (s/bez osy symetrie) nebo: aerodynamické vs. neaerodynamické Odpor a vztlak

Více

Dynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině.

Dynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině. Dynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině. Přehled proudění Vazkost - nevazké - vazké (newtonské, nenewtonské) Stlačitelnost - nestlačitelné (kapaliny

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

Mechanika tekutin. Hydrostatika Hydrodynamika

Mechanika tekutin. Hydrostatika Hydrodynamika Mechanika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Hydrostatika Kapalinu považujeme za kontinuum, můžeme využít předchozí úvahy Studujeme kapalinu, která je v klidu hydrostatika Objem kapaliny bude v klidu,

Více

Výpočet stlačitelného proudění metodou konečných objemů

Výpočet stlačitelného proudění metodou konečných objemů Výpočet stlačitelného proudění metodou konečných objemů Petra Punčochářová Ústav technické matematiky, Fakulta strojní, Vysoké učení technické v Praze Vedoucí práce: Prof. RNDr. K. Kozel DrSc. Úvod V 80.

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Základy letadlové techniky Ivan Jeřábek

Základy letadlové techniky Ivan Jeřábek Základy letadlové techniky Ivan Jeřábek Ústav letadlové techniky FS ČVUT Základy letadlové techniky Základy letadlové techniky-aeromechanika Názvosloví a popis základních částí letadla Vznik vztlaku na

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Mechanika kapalin a plynů Hydrostatika - studuje podmínky rovnováhy kapalin. Aerostatika - studuje podmínky rovnováhy

Více

6. Mechanika kapalin a plynů

6. Mechanika kapalin a plynů 6. Mechanika kapalin a plynů 1. Definice tekutin 2. Tlak 3. Pascalův zákon 4. Archimedův zákon 5. Rovnice spojitosti (kontinuity) 6. Bernoulliho rovnice 7. Fyzika letu Tekutiny: jejich rozdělení, jejich

Více

Mechanika tekutin. Tekutiny = plyny a kapaliny

Mechanika tekutin. Tekutiny = plyny a kapaliny Mechanika tekutin Tekutiny = plyny a kapaliny Vlastnosti kapalin Kapaliny mění tvar, ale zachovávají objem jsou velmi málo stlačitelné Ideální kapalina: bez vnitřního tření je zcela nestlačitelná Viskozita

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

Studentská tvůrčí činnost 2009

Studentská tvůrčí činnost 2009 Studentská tvůrčí činnost 2009 Numerické řešení proudového pole v kompresorové lopatkové mříži Balcarová Lucie Vedoucí práce: Prof. Ing. P. Šafařík, CSc. a Ing. T. Hyhlík, PhD. Numerické řešení proudového

Více

Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok -

Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok - Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice - laminární tok - Základní pojmy 2 Tekutina nemá vlastní tvar působením nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do pohybu (výjimka některé

Více

F - Mechanika tuhého tělesa

F - Mechanika tuhého tělesa F - Mechanika tuhého tělesa Učební text pro studenty dálkového studia a shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem

Více

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost

Více

Diferenciální rovnice kolem nás

Diferenciální rovnice kolem nás Diferenciální rovnice kolem nás Petr Kaplický Den otevřených dveří MFF UK 2012 Praha, 29. 11. 2012 Petr Kaplický (KMA MFF UK) Diferenciální rovnice kolem nás 1 / 24 Plán 1 Let Felixe B. 2 Pád (s odporem

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství Úloha KA03/č. 5: Měření kinematiky a dynamiky pohybu osoby v prostoru pomocí ultrazvukového radaru Ing. Patrik Kutílek, Ph.., Ing.

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

ULL 1 AERODYNAMIKA A MECHANIKA LETU. Leoš Liška

ULL 1 AERODYNAMIKA A MECHANIKA LETU. Leoš Liška ULL 1 AERODYNAMIKA A MECHANIKA LETU Leoš Liška Obsah 1) Vznik aerodynamických sil při obtékání těles. 2) Proudění laminární a turbulentní. 3) Rovnice kontinuity, Bernouliho rovnice, statický, dynamický

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Pohyb tělesa po nakloněné rovině

Pohyb tělesa po nakloněné rovině Pohyb tělesa po nakloněné rovině Zadání 1 Pro vybrané těleso a materiál nakloněné roviny zjistěte závislost polohy tělesa na čase při jeho pohybu Výsledky vyneste do grafu a rozhodněte z něj, o jakou křivku

Více

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm 7. Gravitační pole a pohyb těles v něm Gravitační pole - existuje v okolí každého hmotného tělesa - představuje formu hmoty - zprostředkovává vzájemné silové působení mezi tělesy Newtonův gravitační zákon:

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Vznik vztlaku a Aerodynamika rotoru větrné elektrárny

Vznik vztlaku a Aerodynamika rotoru větrné elektrárny Vznik vztlaku a Aerodynamika rotoru větrné elektrárny Ing.Jiří Špičák ČSVE - Stránka 1 - Vznik vztlaku Abychom si mohli vysvětlit vznik vztlakové síly, musíme si připomenout fyzikální podstatu proudění.

Více

Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem

Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úloha č. 3 Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úkoly měření: 1. Určete tíhové zrychlení pomocí reverzního a matematického kyvadla. Pro stanovení tíhového zrychlení, viz bod 1, měřte

Více

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Mechanika tuhého tělesa

Mechanika tuhého tělesa Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se působením libovolně velkých sil nemění Síla působící na tuhé těleso má pouze pohybové účinky Pohyby tuhého tělesa Posuvný

Více

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník TUHÉ TĚLESO Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Tuhé těleso Tuhé těleso je ideální těleso, jehož objem ani tvar se účinkem libovolně velkých sil nemění. Pohyb tuhého tělesa: posuvný

Více

Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2

Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu

Více

Mechanika kapalin a plynů

Mechanika kapalin a plynů Mechanika kapalin a plynů Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 24. listopadu 2010 Obsah Tekutiny Tlak Tlak v kapalině vyvolaný vnější silou Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou Tlak v kapalině vyvolaný

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt SIMULAČNÍ MODEL KLIKOVÉ HŘÍDELE KOGENERAČNÍ JEDNOTKY E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze Abstrakt Crankshaft is a part of commonly produced heat engines. It is used for converting

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5.1. Zadání úlohy 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem.. Stanovte chybu měření tíhového zrychlení.

Více

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s. Řešení úloh. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů.a) Doba jízdy na prvním úseku (v 5 m s ): t v a 30 s. Konečná rychlost jízdy druhého úseku je v v + a t 3 m s. Pro rovnoměrně

Více

1141 HYA (Hydraulika)

1141 HYA (Hydraulika) ČVUT v Praze, fakulta stavební katedra hydrauliky a hydrologie (K4) Přednáškové slidy předmětu 4 HYA (Hydraulika) verze: 09/008 K4 Fv ČVUT Tato webová stránka nabízí k nahlédnutí/stažení řadu pdf souborů

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

Newtonův gravitační zákon. antigravitace

Newtonův gravitační zákon. antigravitace Newtonův gravitační zákon antigravitace O čem to bude Ukážeme si vlastnosti hypotetické látky pojmenované kavoritin, která dokáže odstínit gravitační pole. 2/47 O čem to bude Ukážeme si vlastnosti hypotetické

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

ČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov. Modelování termohydraulických jevů 3.hodina. Hydraulika. Ing. Michal Kabrhel, Ph.D.

ČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov. Modelování termohydraulických jevů 3.hodina. Hydraulika. Ing. Michal Kabrhel, Ph.D. ČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov Modelování termohydraulických jevů 3.hodina Hydraulika Ing. Michal Kabrhel, Ph.D. Letní semestr 008/009 Pracovní materiály pro výuku předmětu.

Více

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8 Obsah 1 Tuhé těleso 1 2 Moment síly 2 3 Skládání sil 3 3.1 Skládání dvou různoběžných sil................. 3 3.2 Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil......... 3 3.3 Dvojice sil.............................

Více

Výsledný tvar obecné B rce je ve žlutém rámečku

Výsledný tvar obecné B rce je ve žlutém rámečku Vychází N-S rovnice, kterou ovšem zjednodušuje zavedením určitých předpokladů omezujících předpokladů. Bernoulliova rovnice v základním tvaru je jednorozměrný model stacionárního proudění nevazké a nestlačitelné

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY

ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY Ing. Petr VAVŘIŇÁK 2013 2.1 OBECNÉ ZÁKLADY EL. POHONŮ 2. ELEKTRICKÉ POHONY Pod pojmem elektrický pohon rozumíme soubor elektromechanických vazeb a vztahů mezi elektromechanickou

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 6 6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Pohyblivost mechanické soustavy charakterizujeme počtem stupňů volnosti. Je to číslo, které udává, kolika nezávislými parametry je určena poloha jednotlivých členů soustavy

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Nechť (a) Spočtěte lim n x n. (b)

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83 Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice

Více

úloh pro ODR jednokrokové metody

úloh pro ODR jednokrokové metody Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat

Více

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení

Více

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2 Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu

Více

Propojení matematiky, fyziky a počítačů

Propojení matematiky, fyziky a počítačů Propojení matematiky, fyziky a počítačů Název projektu: Věda pro život, život pro vědu Registrační číslo: CZ..7/.3./45.9 V Ústí n. L., únor 5 Ing. Radek Honzátko, Ph.D. Propojení matematiky, fyziky a počítačů

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

FYZIKA I. Gravitační pole. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Gravitační pole. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYIKA I Gravitační pole Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová

Více

Parametrické rovnice křivky

Parametrické rovnice křivky Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou

Více

Potenciální proudění

Potenciální proudění Hydromechanické procesy Potenciální proudění + plíživé obtékání koule M. Jahoda Proudění tekutiny Pohyby elementu tekutiny 2 čas t čas t + dt obecný pohyb posunutí lineární deformace rotace úhlová deformace

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční

Více

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění )

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1 Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1. Rozšířený Hookeův zákon pro jednoosou napjatost Základním materiálovým vztahem lineární teorie pružnosti

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Studentská tvůrčí činnost 2009. 3D modelování vírových struktur v rozváděcí turbínové lopatkové mříži. David Jícha

Studentská tvůrčí činnost 2009. 3D modelování vírových struktur v rozváděcí turbínové lopatkové mříži. David Jícha Studentská tvůrčí činnost 2009 3D modelování vírových struktur v rozváděcí turbínové lopatkové mříži David Jícha Vedoucí práce : Prof.Ing.P.Šafařík,CSc. a Ing.D.Šimurda 3D modelování vírových struktur

Více

1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti.

1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti.. Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné osy rotace kvádru v souřadné soustavě dané hlavními

Více

Experimentální realizace Buquoyovy úlohy

Experimentální realizace Buquoyovy úlohy Experimentální realizace Buquoyovy úlohy ČENĚK KODEJŠKA, JAN ŘÍHA Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého, Olomouc Abstrakt Tato práce se zabývá experimentální realizací Buquoyovy úlohy. Jedná se o

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Měření momentu setrvačnosti

Měření momentu setrvačnosti Měření momentu setrvačnosti Úkol : 1. Zjistěte pro dané těleso moment setrvačnosti, prochází-li osa těžištěm. 2. Zjistěte moment setrvačnosti daného tělesa k dané ose metodou torzních kmitů. Pomůcky :

Více

Hydromechanické procesy Hydrostatika

Hydromechanické procesy Hydrostatika Hydromechanické procesy Hydrostatika M. Jahoda Hydrostatika 2 Hydrostatika se zabývá chováním tekutin, které se vzhledem k ohraničujícímu prostoru nepohybují - objem tekutiny bude v klidu, pokud výslednice

Více

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Mechanika - kinematika

Mechanika - kinematika Mechanika - kinematika Hlavní body Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu Pohyb přímočarý rovnoměrný rovnoměrně zrychlený. Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici rovnoměrný rovnoměrně zrychlený Pohyb

Více

4. Práce, výkon, energie a vrhy

4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce Těleso koná práci, jestliže působí silou na jiné těleso a posune jej po určité dráze ve směru síly. Příklad: traktor táhne přívěs, jeřáb zvedá panel Kdy se práce

Více

TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD. 9, m s.

TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD. 9, m s. TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD Soustavu souřadnic spojenou se Zemí můžeme považovat prakticky za inerciální. Jen při několika jevech vznikají odchylky, které lze vysvětlit vlastním pohybem Země vzhledem

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

Síla, vzájemné silové působení těles

Síla, vzájemné silové působení těles Síla, vzájemné silové působení těles Síla, vzájemné silové působení těles Číslo DUM v digitálním archivu školy VY_32_INOVACE_07_02_01 Vytvořeno Leden 2014 Síla, značka a jednotka síly, grafické znázornění

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.10 TĚŽIŠTĚ Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Těžiště zavádíme jako působiště

Více

CFD simulace obtékání studie studentské formule FS.03

CFD simulace obtékání studie studentské formule FS.03 CFD simulace obtékání studie studentské formule FS.03 Bc. Marek Vilím Vedoucí práce: Ing. Tomáš Hyhlík, Ph.D. Abstrakt Práce pojednává o návrhu numerické simulace obtékání studie studentské formule FS.03

Více