Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základy matematické analýzy (BI-ZMA)"

Transkript

1 Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 Úvod Tento dokument slouží k přípravě studentů na cvičení z přemětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) na FIT Každá sekce, která odpovídá jedné hodině cvičení, je uvedena stručnou anotací následovanou seznamem úloh Úlohy označené jako Příklad budou řešeny na cvičeních, studenti mají možnost si je dopředu prostudovat a připravit jejich řešení na nadcházející cvičení, za což mohou získat tzv bonusové body Úlohy značené jako Domácí cvičení slouží výhradně k samostudiu Zejména v úvodu semestru může nastat situace, že cvičení tématicky předchází přednášku V takovém případě jsou potřebné pojmy uvedeny před samotnými úlohami v odstavcích značených symbolem V první sekci jsou dokonce některé příklady výjimečně doplněny i řešením Cvičení č Sumační zápis, manipulace se sumami a produkty, důkaz matematickou indukcí, aritmetická a geometrická posloupnost, Pascalův trojúhelník, kombinační čísla Značení N přirozená čísla Z celá čísla R reálná čísla x horní celá část reálného čísla x, tj x Z : x < x x x dolní celá část reálného čísla x, tj x Z : x x < x + Mějme n, n N, čísel, označme je a, a, a 3,, a n Součet (neboli sumu) a + a + a a n zkráceně zapisujeme jako a + a + a a n =: a i, kde i je tzv sčítací index, který není pevný, ale narůstá po jedničce od dolní meze (v našem případě ) až po horní mez (v našem případě n) Podobně lze zkráceně zapsat součin n a a a 3 a n =: a i Meze lze posouvat o konstantu, odpovídajícím způsobem se potom musí posunout i sčítací index, např n+ a i = a i i=3

3 Příklad Zapište zkráceně součet a) b) c) d) e) Řešení a) 3 i, b) i= 8 4 3i = 3 4 i= i= i, c) 8 i, d) 8 ( ) i+ i, e) 4 i = i= 6 i Příklad Zapište součet c) příkladu ve tvaru? i=5? Příklad 3 Pomocí sumy tvaru? zapište součet Příklad 4 Sečtěte sumu k ( ) k k= Pravidla pro sumy se stejnými mezemi: (a i + b i ) = a i + b i α a i = α a + α a + + α a n = α(a + a + + a n ) = α a = a } + a + {{ + a } = n a n-krát a i Posloupnost čísel a, a, a 3,, a n, kde druhý a každý další člen se získá přičtením konstanty (označme ji d) ke členu předchozímu, se nazývá aritmetická posloupnost Platí tedy a i+ = a i + d, i =,, n Máme-li např a = 3, d =, potom a = 3, a =, a 3 =, a 4 = 3, a 5 = 5 a a n = 3 + (n ) Obecně platí a n = a + (n )d 3

4 Příklad 5 Sečtěte prvních n členů aritmetické posloupnosti,, 3, (tj a =, d = ) Řešení Stejně tak zjevně platí S n := n = i S n = n + (n ) + (n ) + + = (n + i) a tedy z čehož plyne S n = i + (n + i) = S n = (n + ) = n(n + ), n(n + ) () Příklad 6 S pomocí výsledku předchozího příkladu sečtěte prvních n členů aritmetické posloupnosti s koeficienty a a d Řešení s n := a + (a + d) + (a + d) + + (a + (n )d) = = a + d (i ) = n a + d n(n ) (a + (i )d) = = n a + (a + (n )d) = n a + a n Součet aritmetické posloupnosti je tedy dán násobkem počtu členů s průměrnou hodnotou prvního a posledního členu Vzoreček najde uplatnění v karbanu, chceme-li rychle sečíst hodnotu postupky! Domácí cvičení Sečtěte n i Nápověda: rozlište n liché a sudé Posloupnost čísel a, a, a 3,, a n, kde druhý a každý další člen se získá násobením předchozího členu konstantou (tzv kvocientem, označme jej q), se nazývá geometrická posloupnost Platí tedy a i+ = a i q, i =,, n Máme-li např a =, q =, potom a =, a =, a 3 =, a 4 = 4, a 5 = 8 a a n = ( ) n Obecně platí an = a q n Příklad 7 Sečtěte prvních n členů geometrické posloupnosti 4

5 Řešení V rámci řešení procvičíme i manipulaci se sumami a tedy S n := a + a q + a q + + a q n = a q i = a = a + a q + a q + + a q n + a q n a q n = n q i = a q i = = a + q(a + a q + a q + + a q n ) a q n = a + q S n a q n čili pro q a q n a = q S n S n S n = a q n q Pro příklad z úvodu, tj a =, q =, máme ) n S n = ( i=0 Příklad 8 Sečtěte n i=0 3i+ Příklad 9 Tenisového turnaje hraného obvyklým způsobem se zúčastnilo n, n N, hráčů Kolik utkání se odehrálo? Důkaz matematickou indukcí Chceme ukázat platnost výroku A(n) pro všechna n N To lze provést ve dvou krocích V prvním dokážeme platnost A() a v druhém ukážeme, že pravdivost A(n) implikuje pravdivost A(n + ) Příklad 0 Dokažte () matematickou indukcí Řešení Chceme dokázat, že k = k= n(n + ) krok Pro n = zjevně platí k = k= krok Předpokládejme platnost formule pro n Potom ( n+ ) n(n + ) k = k + n + = + n + = k= k= (n + )(n + ) 5

6 Připomeňte si vzorce : a b = (a b)(a + b) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a 4 b 4 = (a b )(a + b ) = (a b)(a 3 + a b + ab + b 3 ) Příklad Dokažte n a n b n = (a b) a i b n i i=0 Následující schéma se nazývá Pascalův trojúhelník n = 0: n = : n = : n = 3: 3 3 n = 4: Každý nehraniční prvek je součtem dvou nad ním stojících prvků, hraniční prvky jsou jedničky Označme k-tý prvek (počítáno od 0) v n-tém řádku (počítáno rovněž od 0) symbolem ( n k), k {0,,,, n} Z definice Pascalova trojúhelníku potom platí pro k {,,, n } ( n k ) = ( n k atd ) ( ) n + k Příklad Dokažte, že ( ) n = k n! k!(n k)!, tj prvky Pascalova trojúhelníku jsou kombinační čísla 6

7 Cvičení č Pojem zobrazení, definiční obor, obor hodnot, vzor a obraz množiny, prosté zobrazení, složené zobrazení, inverzní zobrazení, elementární funkce Značení f zobrazení inverzní k f f(a) obraz množiny A při zobrazení f f (A) vzor množiny A při zobrazení f f g složené zobrazení, (f g)(x) := f(g(x)) definiční obor funkce f D f H f obor hodnot funkce f f M zúžení funkce f na množinu M, tj funkce h : M D f =: D h H f taková, že h(x) = f(x), x D h Příklad Necht zobrazení f : N N je definováno předpisem n + f(n) := Je zobrazení f prosté? Je f zobrazení na celé N? Je to bijekce? Co je vzorem množiny M := {, 3, 4}? Jaký je obraz množiny M? Příklad Mějme zobrazení f : R R dané předpisem f(x) := x + x Je f prosté? Je na? Nalezněte vzor množiny, ) a obraz množiny (, ) Načrtněte graf funkce f Nalezněte inverzní funkci f Příklad 3 Mějme zobrazení f : R R dané předpisem f(x) := x + x Je f prosté? Jaký je obor hodnot H f? Co je vzorem množiny 0,? Příklad 4 Necht zobrazení f : R R je dano předpisem f(x) := 3x Určete definiční obor D f a obor hodnot H f Ověřte prostost Příklad 5 Řešte úlohu 4 pro funkci f(x) = 3 3x 7

8 Příklad 6 Necht zobrazení f : R R je dano předpisem f(x) = x + 4x + 5 Určete f ({0, }) a f({0, }) Rozhodněte zda jde o zobrazení prosté Příklad 7 Určete definiční obor funkce f(x) := ln (x + 4x + 5) Příklad 8 Nalezněte nějaké dvě funkce f a g, f g, tak, aby i f g = g f ii f g g f 8

9 Cvičení č 3 Podmnožiny reálných čísel-omezenost, horní a dolní závora, minimum a maximum, infimum a supremum Limita reálné číselné posloupnosti-definice a výpočet Značení A množina všech dolních závor množiny A A množina všech horních závor množiny A H a (v souvislosti s číselnými posloupnostmi) okolí bodu a čili interval tvaru (a ɛ, a + ɛ), kde ɛ > 0 Příklad 3 Rozhodněte o omezenosti zdola a shora následujících množin Najděte jejich infimum a supremum (v rozšířené množině reálných čísel vždy jednoznačně existují) Určete jejich minimum a maximum, existují-li Určete množinu horních a dolních závor i A = 0, ) ii A = (, 3) {4, 7} iii A = {( x) + 5 x (0, } Příklad 3 Necht A = { n, n N} Určete inf A a sup A Své tvrzení dokažte z definice Příklad 33 Rozhodněte o omezenosti množiny A = { n + n n N } Příklad 34 Necht A, B R jsou omezené Jaké vztahy (rovnost, nerovnosti) platí mezi čísly sup(a B), sup(a B), sup A, a sup B? Svá tvrzení dokažte Příklad 35 Rozhodněte o platnosti implikace sup A = sup B inf A = inf B A = B Příklad 36 Bud Určete sup A a inf A A = { x R sin(5x) 6 sin 5 x } Příklad 37 Vypočtěte následující ity: i ii n (5n3 7n + ) 5n 3 7n + n n 3 9

10 iii iv 5n 3 7n + n n 3 3 5n 3 7n + n n 4 3 Příklad 38 Vypočtěte následující itu: n Příklad 39 Spočtěte následující itu: n Příklad 30 Určete čemu se rovná: n n n+4 n+ n+ ( n + n + 3 n + n n ) ( n n + 3 n n ( )n n Příklad 3 Pomocí kvantifikátorů zapište, že n a n a Příklad 3 Které z následujících výroků jsou ekvivalentní s tím, že n a n a? i Existuje takové okolí H a bodu a, že nekonečně mnoho členů posloupnosti (a n ) v něm neleží ) ii Existuje takové okolí H a posloupnosti (a n ) bodu a, že v něm leží nejvýše konečně mnoho členů iii V žádném okolí H a bodu a neleží nekonečně mnoho členů posloupnosti (a n ) 0

11 Cvičení č 4 Limita reálné číselné posloupnosti-definice a výpočet, vybraná posloupnost Příklad 4 Určete čemu se rovná: n(n+) n ( ) n n + Příklad 4 Vypočtěte následující itu: n + n n Příklad 43 Vypočtěte následující itu: ( ) n n + n n Příklad 44 Čemu se rovná: Příklad 45 Spočtěte následující itu: n n n n n + n? ( ) n ( n 3) ( ) n + ( n 3) + Příklad 46 Bud a > 0 Vypočtěte následující ity: i n n+ a ii n n+ a Příklad 47 Spočtěte následující itu: n 4n n Nápověda: Odhadněte každý člen posloupnosti shora i zdola a použijte na přednášce odvozený vztah: n n n = Příklad 48 Spočtěte následující itu: Příklad 49 Vypočtěte následující itu: n n n n ( + n) 3n+

12 Příklad 40 Vypočtěte následující itu: n ( + 3 n) n Příklad 4 Čemu se rovná ln (n + 4n + ) n ln (3n 4 + 5) Příklad 4 Vypočtěte následující itu: ln (3 n + 5) n ln (4 n ) Příklad 43 Nalezněte pár posloupností (a n ) a (b n ) tak, aby a přitom i n (a n b n ) = 3 ii n (a n b n ) = iii n (a n b n ) = a n = b n = n n Příklad 44 Nalezněte pár posloupností (a n ) a (b n ) tak, aby? a přitom a n = 0, n b n = n i n a n b n = ii n a n b n = iii n a n b n = 0 iv n a n b n =

13 Cvičení č 5 Limita reálné funkce Značení R rozšířená množina reálných čísel Příklad 5 Vypočtěte následující itu: x 0 Příklad 5 Vypočtěte následující itu: Příklad 53 Vypočtěte následující itu: ( + x)( + x)( + 3x) x x 3 x x x 5 x x 0 Příklad 54 Vypočtěte následující itu: Příklad 55 Vypočtěte následující itu: Příklad 56 Vypočtěte následující itu: Příklad 57 Vypočtěte následující ity: Příklad 58 Vypočtěte následující ity: sin (5x) x sin (x) x 0 sin (3x) sin x x x cos x x 0 x x ± Příklad 59 Vypočtěte následující itu: x ± ex ln ( + e x ) x ln ( + e x ) x e x 3

14 Příklad 50 Vypočtěte následující itu: x 0 Příklad 5 Vypočtěte následující itu: x 0 e 3x x e 3x e 4x x Příklad 5 Vypočtěte následující jednostranné ity: Příklad 53 Vypočtěte následující itu: arctg x ± x arcsin x x + x 4

15 Cvičení č 6 Spojitost a derivace reálné funkce, tečna ke grafu funkce pro x > 0 Značení sgn funkce signum, sgn x = 0 pro x = 0 pro x < 0 Příklad 6 Načrtněte graf funkce f(x) = x Rozhodněte, kde je f spojitá, případně spojitá zleva nebo zprava Příklad 6 Načrtněte graf funkce f(x) = sgn (sin x) Rozhodněte, kde je f spojitá, případně spojitá zleva nebo zprava Příklad 63 Zderivujte následující funkce a určete jejich definiční obory, stejně tak určete definiční obory zderivovaných funkcí a) f(x) = x + x + 3 x, b) f(x) = x + x, c) (5 + x)0 (3 4x) 0 Příklad 64 Zderivujte následující funkce a) f(x) = e x, b) f(x) = x x, c) f(x) = x + x Domácí cvičení Zderivujte následující funkce a) f(x) = e ex, b) f(x) = 3 x Příklad 65 Zderivujte následující funkce a určete jejich definiční obory, stejně tak určete definiční obory zderivovaných funkcí a) f(x) = ln (sin x), b) f(x) = ln (ln (sin x)), c) arctg x 3, d) arcsin x Domácí cvičení Zderivujte funkci f(x) = sin (ln x) Příklad 66 Dokažte, že platí: x = { sgn x pro x 0 neexistuje pro x = 0 Příklad 67 Nalezněte body, ve kterých je tečna funkce rovnoběžná s osou x nebo y f(x) = x x + 3 x 5

16 Příklad 68 Určete plochu trojúhelníku, který je ohraničen tečnou ke grafu funkce f(x) = x v bodě a, a > 0, osou x a osou y Pro jakou hodnotu parametru a je tato plocha největší? Příklad 69 Spočtěte,, a 3 derivaci funkce f(x) a určete f (n) (x) pro a) f(x) = e x, b) x 3, c) x α, α N 0, d) x α, α / N 0, f) f(x) = sin x, g) f(x) = cos x 6

17 Cvičení č 7 Extrémy reálných funkcí, vyšetřování průběhů reálných funkcí Příklad 7 Určete extrémy následujících funkcí na zadaných intervalech i f(x) = x x na 0, 4 ii f(x) = x x+ na 0, 4 iii f(x) = xe x na 0, ) Příklad 7 Určete největší člen posloupnosti ( n n) n= Příklad 73 Určete, kolik kořenů má rovnice x x ln x = 0 a následně je separujte Potom diskutujte, kolik kořenů má rovnice v závislosti na parametru a x x ln x a = 0 Příklad 74 Vyšetřete průběh (tj nalezněte extrémy, určete ity v krajních bodech definičního oboru a bodech nespojitosti, vyšetřete konvexnost) funkce a načrtněte její graf f(x) = 3x x 3 Příklad 75 Vyšetřete průběh funkce (včetně asymptot) a načrtněte její graf f(x) = x + x 7

18 Cvičení č 8 L Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta a její využití k přibližným výpočtům Příklad 8 Pomocí l Hospitalova pravidla spočítejte následující ity e x e x x a), b) sin (x ) tg πx x 0 x sin x x Příklad 8 Pro funkci f(x) = x+ x+, c) x ( ln x x nalezněte 5-tý Taylorův polynom v bodě 0 Příklad 83 Pro funkci f(x) = tg x nalezněte 3-tí Taylorův polynom v bodě 0 Domácí cvičení Pro funkci f(x) = arcsin x nalezněte 3-tí Taylorův polynom v bodě 0 Domácí cvičení Pro funkci f(x) = x nalezněte 5-tý Taylorův polynom v bodě 0 ) Příklad 84 Odhadněte chybu ve výpočtu sin x = x x3 6 pro x Nápověda: Ukažte, že x x3 6 jsou první dva nenulové členy Taylorova polynomu pro funkci sin x, a rozdíl odhadněte pomocí Lagrangeova tvaru zbytku Příklad 85 Pro jaká x je absolutní hodnota chyby přibližného vyjádření cos x x menší než 0 4? Nápověda: Viz nápověda pro úlohu 84 8

19 Cvičení č 9 Primitivní funkce, věta o substituci Nápověda: V úlohách 94 až 90 použijte vhodnou substituci Příklad 9 Nalezněte primitivní funkci (tj zintegrujte) ( + x 3 ) dx Příklad 9 Nalezněte primitivní funkci ( x ) x x dx Příklad 93 Nalezněte primitivní funkci x + x dx Příklad 94 Nalezněte primitivní funkci x + 3 dx Příklad 95 Nalezněte primitivní funkci (x 3) 0 dx Příklad 96 Nalezněte primitivní funkci 5 + 4x dx Příklad 97 Nalezněte primitivní funkci cotg x dx Příklad 98 Nalezněte primitivní funkci e x dx + e x Příklad 99 Nalezněte primitivní funkci x x 4 + dx Příklad 90 Nalezněte primitivní funkci x ln x dx 9

20 Cvičení č 0 Metoda per partes, primitivní funkce k racionálním lomeným funkcím Příklad 0 Zintegrujte Nápověda: Integrujte per partes Příklad 0 Zintegrujte Nápověda: Integrujte per partes arctg x dx cos x dx Domácí cvičení Zintegrujte ln x dx Domácí cvičení Zintegrujte ln x x dx Domácí cvičení Zintegrujte e x cos x dx Příklad 03 Zintegrujte x 4 x + x dx Příklad 04 Nalezněte primitivní funkci x 5 x 4 + dx Příklad 05 Nalezněte primitivní funkci x 4 dx Příklad 06 Zintegrujte 3x + dx 0

21 Příklad 07 Zintegrujte x + x + dx Příklad 08 Nalezněte primitivní funkci x x + x + dx Příklad 09 Zintegrujte + x dx Nápověda: Vhodnou substitucí převed te na integrál z racionální lomené funkce Příklad 00 Zintegrujte + tg x dx Nápověda: Vhodnou substitucí převed te na integrál z racionální lomené funkce Domácí cvičení Zintegrujte x x + dx Domácí cvičení Nalezněte primitivní funkci 5x + 3 dx Domácí cvičení Nalezněte primitivní funkci x + x + dx Domácí cvičení Nalezněte primitivní funkci x x x dx Domácí cvičení Nalezněte primitivní funkci x 3 x x x dx

22 Cvičení č Určitý integrál, výpočet ploch Příklad Vypočtěte integrál π 0 sin x dx Příklad Vypočtěte integrál 0 arccos x dx Příklad 3 Vypočtěte integrál ln 5 0 e x dx Příklad 4 Vypočtěte itu n n k= sin πk n Nápověda: Na výraz nahlížejte jako na itu integrálního součtu Příklad 5 Vypočtěte itu p + p + 3 p + + n p n n p+, p > Nápověda: Na výraz nahlížejte jako na itu integrálního součtu Příklad 6 Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y = x, y = x Příklad 7 Určete plochu kruhové výseče příslušnou středovému úhlu α

23 Cvičení č Výpočet ploch Výpočet povrchů a objemů rotačních těles Příklad V jakém poměru dělí parabola y = x plochu kruhu x + y 8? Domácí cvičení Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y = x + 3, y = Domácí cvičení Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami y = ln x, y = ln x, x = 5 Příklad Spotěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy ohraničené křivkami kolem osy x y = x, y = x x 3 Příklad 3 Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací kruhu x + (y 3) kolem osy x Pozn: Jedná se o objem pneumatiky Příklad 4 Spočtěte povrch tělesa z úlohy 3 Domácí cvičení Odvod te vzorec pro výpočet povrchu a objemu rotačního kužele o poloměru R a výšce h 3

24 Cvičení č 3 Výpočet délky grafu funkce Zobecněný Riemannův integrál Příklad 3 Spočtěte délku části grafu funkce y = x x pro 0 x 4 Příklad 3 Vypočtěte integrál 0 ln x dx Příklad 33 Vypočtěte integrál 0 x + 3 dx Příklad 34 Vypočtěte integrál dx, α R xα Diskutujte výsledek v závislosti na volbě parametru α Příklad 35 Vypočtěte integrál dx, α R xα Diskutujte výsledek v závislosti na volbě parametru α 0 4

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 03/04 3. září 04 Předmluva ii Rozjezd

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.

RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni. KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

8. ledna Příklad 1.1 Znegujte výroky Pokud bude hezky a budu-li mít čas, půjdu si zaběhat.,

8. ledna Příklad 1.1 Znegujte výroky Pokud bude hezky a budu-li mít čas, půjdu si zaběhat., Cvičení k předmětu Matematická analýza 1 Matěj Tušek 8. ledna 2016 Pro zajímavost část příkladů pochazí z poznámek Jiřího Pytlíčka z roku 1965 ke cvičením z analýzy. Ostatní jsou převzaty ze sbírky Sbírka

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek

Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek Matematická analýza 1 Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek 2009 Obsah Obsah Seznam použitých symbolů.................................................. 2 1. Funkce Teoretické základy.................................................

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Cvičení Martina Litschmannová 2015 / 2016 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír a

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více