Matematická analýza III.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematická analýza III."

Transkript

1 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010

2 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... ) definice limity a spojitosti funkce jedné proměnné Klíčová slova kapitoly hromadný bod množiny, funkce více proměnných, graf funkce více proměnných, limita, spojitost funkce dvou proměnných Pozn.: Protože důkazy zde uvedených vět jsou analogií důkazů vět pro funkce jedné proměnné, nebudou až na výjimky uváděny.

3 Definice 1 (Intervaly a okolí) Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se nazývají omezené množiny. Okolí bodu je každá množina, která obsahuje nějaký interval s daným bodem ležícím uprostřed intervalu. Intervalem v R 2 je např. kartézský součin 1, 2 1, 3. Tato množina je okolím např. bodu (1, 2).

4 Definice 2 (Vlastnosti množin) Podmnožina A se nazývá otevřená, jestliže je okolím každého svého bodu. Podmnožina A se nazývá uzavřená, jestliže její doplněk je otevřený. Hranice množiny A je množina těch bodů, jejichž každé okolí obsahuje body z A i z doplňku A. Množinu A budeme nazývat polootevřenou, jestliže vznikne z otevřené množiny přidáním části své hranice. Množina O = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 4} je otevřená. Množina U = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 4} je uzavřená. Množina H = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 4} je hranicí množin O a U. Množina P = {(x, y) R 2 ; 1 < x 2 + y 2 4} je polootevřená.

5 Konvergence a hromadné body Následující definice využijeme při studiu limit a spojitosti funkcí více proměnných. Definice 3 Posloupnost {p n } bodů konverguje k bodu p, jestliže každé okolí bodu p obsahuje skoro všechny prvky posloupnosti. Pak p se nazývá limita posloupnosti a značí se lim p n = p nebo p n p. Definice 4 Bod P je hromadným bodem množiny A, jestliže existuje prostá posloupnost bodů z A konvergující k P (ekvivalentně, každé okolí bodu P obsahuje body A různé od P).

6 Poznámky 1 Množina A je uzavřená právě když obsahuje limity posloupností z A. 2 Množina A je uzavřená právě když obsahuje svou hranici (ekviv., všechny své hromadné body). 3 Množina je omezená právě když její projekce na osy souřadnic jsou omezené. 4 Posloupnost {p n } konverguje k bodu p právě když projekce bodů p n na osy souřadnic konvergují k projekcím bodu p. 5 Pro konvergenci platí obdobné věty jako pro konvergenci na přímce, kromě vět obsahující nerovnosti v definičním oboru.

7 Zajímavosti Úvod V euklidovských prostorech dimenze aspoň 2 neexistuje uspořádání, pomocí kterého by se daly definovat intervaly a konvergence. V euklidovských prostorech dimenze aspoň 2 lze přidat jen jedno nekonečno (nebo nekonečně mnoho). Přidání nekonečna si lze představit jako stočení roviny do koule bez horního (severního) pólu. Nekonečno je pak tento severní pól. Jeho okolí jsou množiny obsahující doplňky kruhu (nebo koulí) se středem v počátku. Rovina spolu s tímto nekonečnem se nazývá rozšířená rovina. Okolí jsou doplňky omezených množin. Lze definovat: r R, r 0 r. =, p, p ± =.

8 Definice funkce více proměnných je zobecněním definice funkce jedné proměnné. Definice 5 Zobrazení f z nějaké podmnožiny roviny nebo prostoru do reálných čísel se nazývá reálná funkce dvou, resp. tří proměnných a značí se f (x, y) nebo f (x, y, z) pro x, y, z R, nebo f (p), kde p je bod roviny nebo prostoru. Definiční obor funkce f (značí se D(f )) je množina bodů p, pro která je f (p) zadána nebo, pokud není zadána, pro která má f (p) smysl. Obor hodnot funkce f (značí se H(f )) je množina reálných čísel f (p) pro p z definičního oboru f.

9 Definice 6 Grafem funkce f dvou proměnných je množina {(x, y, f (x, y)); (x, y) D(f )} v prostoru. Podobně se definuje graf funkce tří proměnných, který leží ve čtyřrozměrném prostoru. Nakreslit graf funkcí dvou a více proměnných je daleko obtížnější než u funkcí jedné proměnné (pohybujeme se minimálně v trojrozměrném prostoru). Postup je ukázán v úlohách.

10 Úvod Funkce, která má jednobodový obor hodnot, se nazývá konstantní (tedy f (p) = f (q) pro všechna p, q D(f )). k(x, y) = 2 je konstantní funkce

11 Funkce f se nazývá sudá (resp. lichá), jestliže její definiční obor je symetrický kolem 0 (tj. p D(f ) právě když p D(f )) a f ( p) = f (p) (resp. f ( p) = f (p)) pro všechna p D(f ). f (x, y) = x 2 y 2 je sudá funkce g(x, y) = 1 je lichá funkce x

12 Říkáme, že funkce f je omezená (resp. shora omezená nebo zdola omezená), jestliže její obor hodnot má uvedenou vlastnost, tj. existuje číslo k tak, že f (p) k (resp. f (p) k, nebo f (p) k) pro všechna p D(f ). h(x, y) = sin x cos y je omezená funkce

13 Jsou-li f, g funkce, budeme značit f + g, f g, f /g funkce, které mají za hodnotu v bodě p postupně f (p) + g(p), f (p) g(p), f (p)/g(p). Složení f (g 1, g 2 ), kde f, g 1, g 2 jsou funkce dvou proměnných, definujeme jako funkci, která má v bodě (x, y) hodnotu f (g 1 (x, y), g 2 (x, y))).

14 Úvod Limitu funkcí více proměnných budeme definovat přes posloupnosti. Definice 7 Necht q je hromadný bod definičního oboru funkce f. Říkáme, že limita funkce f v bodě p se rovná r, jestliže lim f (p n ) = r pro každou prostou posloupnost {p n } D(f ) konvergující ke q. Značíme lim p q f (p) = r, nebo f (p) r pro p q.

15 Tato věta může sloužit jako alternativní definice limity funkce. Věta 2.1 ( pomocí okolí) Následující tvrzení jsou pro funkci f, hromadný bod q definičního oboru f a bod r R ekvivalentní: 1 lim p q f (p) = r; 2 Pro každé okolí U bodu r existuje okolí V bodu q takové, že f (p) U jakmile p V D(f ), p q. 3 (Jsou-li q, r vlastní.) Pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že f (p) r < ε jakmile p D(f ), 0 < p q < δ. Následuje několik vět charakterizujících limitu funkce.

16 Věta 2.2 (Vlastnosti limit) 1 Necht q D(f ) je hromadným bodem D(f ). Funkce f je spojitá v bodě q právě když lim p q f (p) = f (q). 2 Funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Věta 2.3 (Aritmetické operace) Necht q je hromadný bod definičních oborů funkce f + g. Pak platí, pokud mají pravé strany smysl: 1 lim(f (p) + g(p)) = lim f (p) + lim g(p); 2 lim(f (p) g(p)) = lim f (p) lim g(p); 3 lim f (p) lim f (p) g(p) = lim g(p).

17 Věta 2.4 ( složené funkce) Mějme reálné funkce dvou proměnných f, g 1, g 2. Necht q je hromadný bod definičního oboru funkcí f (g 1, g 2 ) a necht lim g 1(p) = a, lim g 2 (p) = b p q p q 1 Jestliže f je spojitá v bodě (a, b), pak lim (f g)(p) = f (a, b) p q 2 Jestliže jedna z limit a, b je nevlastní, pak pokud pravá strana existuje. lim (f g)(p) = lim f (x, y), P C (x,y) Podobně pro všechna další složení funkcí.

18 Věta 2.5 (Limity a uspořádání na R) Mějme funkce f, g definované na množině A a q bud hromadný bod A. 1 Jestliže lim f (p) < lim g(p), pak existuje okolí U bodu q takové, p q p q že f (p) < g(p) pro všechna p U A, p q. 2 Jestliže existuje okolí U bodu q takové, že f (p) g(p) pro všechna p U A, p q, pak lim f (p) lim g(p) (pokud p q p q existují).

19 Věta 2.6 (Dva policajti) Mějme funkce f, g, h definované na množině A, q bud hromadný bod A, U okolí q a pro p A U, p q necht f (p) g(p) h(p). Pokud existují lim f (p), lim h(p) a rovnají se, pak existuje i lim g(p) a rovná p q p q p q se oběma zbývajícím. Důsledek Necht lim p q f (p) = 0 a funkce g je omezená na nějakém okolí bodu q. Pak lim p q f (p)g(p) = 0.

20 Úvod Definice spojitosti v bodě využívá limitu funkce. Definice 8 Necht f je funkce, p D(f ), a pro jakoukoli posloupnost {p n } z D(f ) konvergující k p necht lim f (p n ) = f (p). Pak říkáme, že f je spojitá v bodě p a tento bod se nazývá bodem spojitosti funkce f. Je-li f spojitá v každém bodě množiny A, říkáme, že f je spojitá na množině A. Je-li f spojitá v každém bodě svého definičního oboru, říkáme, že f je spojitá.

21 Opět budou uvedeny některé věty týkající se spojitosti funkcí více proměnných. Věta 2.7 ( pomocí okolí) Necht f je funkce a p je bod jejího definičního oboru. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1 f je spojitá v p. 2 Pro každé okolí U bodu f (p) existuje okolí V bodu p takové, že f (q) U jakmile q V a f (q) je definováno. 3 Pro každé ε > 0 existuje δ < 0 tak, že q p < δ, q D(f ) f (q) f (p) < ε.

22 Věta 2.8 ( aritmetických operací) Jsou-li funkce f, g spojité v bodě p, jsou i funkce f + g, f g a f /g (v případě g(p) 0) spojité v bodě p. Racionální funkce jsou spojité. Věta 2.9 ( složení) Mějme reálné funkce dvou proměnných f, g 1, g 2. Jsou-li g 1, g 2 spojité v bodě (x, y) a f je spojitá v bodě (g 1 (x, y), g 2 (x, y)), je f (g 1, g 2 ) spojitá v bodě (x, y). (Stejně pro libovolná další složení.) Je-li f spojitá funkce, je i f spojitá funkce.

23 Věta 2.10 (Zachovávání souvislosti) 1 Je-li f spojitá na uzavřeném omezeném intervalu J a p, q jsou body J s hodnotami f (p) < 0 < f (q), pak existuje r J s hodnotou f (r) = 0. 2 Spojitá funkce zobrazuje interval (souvislou množinu) na bod nebo na interval. Důkaz

24 Věta 2.11 (Zachovávání kompaktnosti) 1 Spojitá funkce zobrazuje uzavřený interval (nebo uzavřenou omezenou množinu) na bod nebo na uzavřený omezený interval (nebo na uzavřenou omezenou množinu, resp.). 2 Spojitá funkce dosahuje na uzavřené omezené množině A své největší a nejmenší hodnoty, tj., existují body c, d A takové, že f (c) = sup f (p), p A f (d) = inf p A f (p).

25 Úvod Úloha 1 Určete a načrtněte definiční obor funkcí 1 f (x, y) = 1 x 2 + y g(x, y) = 1 x 2 +y h(x, y) = ln( x y) Řešení Úloha 2 Nakreslete graf funkce z = f (x, y) = x 2 + y 2. Určete vlastnosti této funkce. Řešení

26 Úloha 3 Vypočtěte následující limity: 1 2xy lim x 0 x 2 +y 2 y 0 2 x lim 3 y x 0 x 6 +y 2 y 0 Řešení

27 Úloha 4 Ukažte, že funkce g(x, y) = { xy 2 je spojitá v bodě (0, 0) x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Řešení

28 Úvod 1 : Jarník Diferenciální počet (I), kap. XIII. (základy) Jarník Diferenciální počet (II), kap. VII. (rozšíření) Kopáček Matematická analýza pro fyziky (II), kap Úlohy: Děmidovič Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, kap. VI. Pelikán, Zdráhal Matematická analýza funkce více proměnných, cvičení III., kap. 2 5

29 Důkaz věty 2.10 Úvod Důkazy Řešení a odpovědi Úsečka spojující body P a Q leží celá v I a dá se popsat jako množina {(1 t)p + tq; t [0, 1]}. Funkce g : [0, 1] R definovaná jako g(t) = f ((1 t)p + tq) je spojitá funkce jedné proměnné (ukažte to) a podle Bolzanovy věty existuje t tak, že g(t) = 0. Tedy existuje R I s hodnotou f (R) = 0. zpět

30 Řešení úlohy 1 Úvod Důkazy Řešení a odpovědi 1 Z definice druhé odmocniny plyne, že 1 x 2 0 y Úpravou první nerovnice získáme x 2 1, a proto x 1. Z druhé nerovnice plyne y 2 1, tudíž y 1. Musí tedy platit x 1, 1 y (, 1 1, + )

31 Důkazy Řešení a odpovědi 2 Vzhledem k tomu, že ve jmenovateli zlomku je odmocnina, musí platit x 2 + y 2 1 > 0, tj. x 2 + y 2 > 1. Definičním oborem funkce g(x, y) jsou všechny body vně kružnice se středem v bodě (0, 0) a poloměrem 1. 3 Z definice přirozeného logaritmu vyplývá, že x y > 0, tedy y < x. Definičním oborem funkce h(x, y) je polorovina pod přímkou y = x, ovšem bez této přímky.

32 Důkazy Řešení a odpovědi Modré oblasti znázorňují definiční obory funkcí f, g, h. D(f ) D(g) D(h) zpět

33 Řešení úlohy 2 Úvod Důkazy Řešení a odpovědi Při vyšetřování grafu funkce dvou proměnných budeme postupovat následovně. Sestrojíme průnik grafu této fukce s rovinami rovnoběžnými s rovinami xy, yz a xz, a to tak, položíme postupně z = c, x = a, y = b, a, b, c jsou reálná čísla. Tímto způsobem dostaneme funkce jedné proměnné, jejichž průběh již vyšetřit umíme. Položíme z = c, kde c je reálné číslo. Získáme rovnici x 2 + y 2 = c, která je pro c > 0 rovnicí kružnice se středem (0, 0) a poloměrem r = c (pro c < 0 rovnice nemá řešení a pro c = 0 získáme bod (0, 0)). Při postupné volbě c tedy dostaneme soustředné kružnice se středem v bodě (0, 0) a bod (0, 0) jsou průnikem grafu funkce z s rovinami rovnoběžnými s rovinou xy (viz obrázek).

34 Důkazy Řešení a odpovědi průniky v rovině xy

35 Důkazy Řešení a odpovědi Položíme x = a, kde a je reálné číslo. Dostaneme funkci jedné proměnné z = a 2 + y 2. Grafem této funkce jsou při různé volbě a paraboly, jejichž osa se shoduje s osou z. Např. pro a = 0 je z = x 2, pro a = 1 je z = x 2 + 1, a = 2 je z = x 2 + 4, pro a = 1 je z = x 2 + 1, atd. Průnikem grafu funkce z s rovinami rovnoběžnými s rovinou yz jsou tedy paraboly, posunuté ve směru osy z. Položíme y = b, kde b je reálné číslo. Získáme tak funkci jedné proměnné z = x 2 + b 2. Grafem této funkce jsou při různé volbě b paraboly, jejichž osa se shoduje s osou z. Průnikem grafu funkce z s rovinami rovnoběžnými s rovinou xz jsou opět paraboly, posunuté ve směru osy z (viz obrázky).

36 Důkazy Řešení a odpovědi průniky v rovině yz průniky v rovině xz

37 Důkazy Řešení a odpovědi Graf funkce potom vypadá takto: D(f ) = R R, H(f ) = 0, + ). Funkce f je zdola omezená a sudá. Jedná se o rotační paraboloid. zpět

38 Řešení úlohy 3 Úvod Důkazy Řešení a odpovědi 1 Postupujeme podle definice limity posloupnosti. Vezmeme posloupnost p n = {x n, y n } = { 1 n, k n }, kde k R. Tato posloupnost konverguje k bodu (0, 0). Určíme lim n f (p n ): lim f (p n) = lim n n k n + k 2 n 2 n n 1 = lim n { 2k > 0, pokud k > k 2 < 0, pokud k < 0 Při různé volbě k mají posloupnosti f (p n ) různé limity. Funkce tedy nemá limitu.

39 Důkazy Řešení a odpovědi 2 Postupujeme-li analogicky s předchozí úlohou, dojdeme k závěru, že lim f (p n) = lim n n 1 n k 2 n 6 n 2 k n Tato funkce však limitu nemá. Proč? kn 2 = lim n 1 + n 4 k 2 = 0. Vezmeme nyní posloupnost q n = { 1 n, 1 n 3 }. Tato posloupnost také konverguje k bodu (0, 0). f (q n ) je potom rovna lim f (q n) = lim n n 1 1 n 3 n = 1 2. n 6 n 6 Posloupnosti f (p n ) a f (q n ) mají různé limity a přitom p n i q n konvergují k (0, 0). zpět

40 Řešení úlohy 4 Úvod Důkazy Řešení a odpovědi Postupujeme podle definice spojitosti, máme tedy ukázat, že lim g(p n ) = g(0, 0) = 0, pokud p n (0, 0). Necht p n = {x n, y n } je libovolná prostá posloupnost, konvergující k bodu (0, 0). Označme m n = max{ x n, y n }. Potom platí: 2 0 g(p n ) = x n y n x n2 + y 2 n m n 3 m 2 = m n n Z věty 2.6 (Dva policajti) plyne, že lim g(p n ) = 0, tedy i lim g(p n ) = 0. zpět

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných 1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Exponenciální a logaritmická funkce

Exponenciální a logaritmická funkce Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální

Více

Funkce, elementární funkce.

Funkce, elementární funkce. Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

Kapitola 1. Reálné funkce více reálných proměnných. 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n

Kapitola 1. Reálné funkce více reálných proměnných. 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n Obsah 1 Reálné funkce více reálných proměnných 5 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n...................... 5 1.1.1 Algebraické vlastnosti prostoru R n.................. 5 1.1.2 Metrické vlastnosti prostoru

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Spojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení.

Spojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. funkce je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. Je důležité vědět, kdy se malá změna nějakého měření projeví málo na konečném výsledku. Zpřesňuje-li se měření, měl

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE . LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání

Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání Vztah limity k a uspořádání Miroslav Hušek UJEP Prohlížení Celý text je nejlépe čitelný v celoobrazovkovém módu. Toho docílíte stiskem kláves CTRL L. Doprovodný text V textu se užívají definice dle obvyklých

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Číselné posloupnosti

Číselné posloupnosti Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více