PŘÍKLADY Z ALGEBRY. stanovsk@karlin.mff.cuni.cz
|
|
- Jaromír Staněk
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 PŘÍKLADY Z ALGEBRY DAVID STANOVSKÝ stanovsk@karlin.mff.cuni.cz Motto: Není jiné rozumné výchovy než příkladem; když to nejde jinak, tak aspoň odstrašujícím. Albert Einstein Toto je pracovní verze sbírky příkladů k základní přednášce z obecné algebry. Sbírka pokrývá základní témata, která se vyskytují ve všech variantách kurzu: základy strukturní teorie grup a okruhů, dělitelnost v obecných oborech integrity, úvod do teorie těles. Dále jsou zařazeny různé doplňující partie: především jde o první kapitolu věnovanou obecným algebrám(hlavně pologrupám) a uspořádaným množinám, a dále různé aplikace(teorie čísel, Burnsideova věta, konstrukce pravítkem a kružítkem atd.). Jednotlivé kapitoly jsou na sobě nezávislé, lze je cvičit v libovolném pořadí. Některé sekce v rámci jednotlivých kapitolnasebenavazují.pořadíúlohneníideální,napříkladúlohyuvedenévsekcích Příkladyazákladnívlastnosti je lepší řešit až po procvičení pojmů na konkrétních příkladech. V dalších verzích sbírky to snad napravím. Každá sekce shrnuje teoretické poznatky z obecné algebry používané ve cvičeních. Většina úloh je víceméně elementárních, nicméně některé typy úloh(lineární grupy, maticové okruhy, rozšíření těles atd.) vyžadují znalosti z lineírní algebry na úrovni prvního ročníku. Hvězdičky označují vyšší obtížnost úlohy. Jednohvězdičková cvičení zpravidla vyžadují nějaký nápad nebo větší množství výpočtů, dobrý student by je však měl v dostatečném čase zvládnout. Dvojhvězdičkové úlohy pak mohou být pro dobré studenty výzvou k otestování svých znalostí. Použití návodu zpravidla úlohu o hvězdičku zjednoduší. Heslo[Ř]značí,žekúlozejenakoncisbírkyuvedenořešení.Heslo[N]značí,žekúlozejenakoncisbírkyuveden návod.heslo[?]značí,žejsemúlohuještěneřešil,atudížjemožnávadná. Opakuji,žesejednáopracovníverziařadasekcínenívideálnímstavu.Textsnejvětšípravděpodobností obsahuje chyby, nepřesnosti, neřešitelné úlohy, nefungující návody a špatná řešení:-) Jakékoliv opravy, návody, řešení i zajímavá zadání úloh velice uvítám na uvedeném u. Date: 30. září
2 Obsah I. Uspořádání 3 II. Dělitelnost v oborech integrity 5 1. Elementární teorie čísel 5 2. Základní vlastnosti oborů integrity 7 3. Oborypolynomů 9 4. Číselnéobory 13 III. Grupy Příklady a základní vlastnosti Cyklické a abelovské grupy Permutačnígrupy Maticové a geometrické grupy Působení grupy na množině Rozklady, normální podgrupy a faktorgrupy Centrum,centralizátor 32 IV. Okruhy Příklady a základní vlastnosti Podokruhy a ideály Homomorfismy Faktorokruhy 39 V. Další třídy algeber Obecnéalgebry Svazy 48 VI. Teorie těles Příklady a základní vlastnosti Rozšíření konečného stupně Kořenová a rozkladová nadtělesa, algebraický uzávěr Galoisovateorie 57 Návody 58 Řešení 60 2
3 I. Uspořádání Relaci na množině X nazýváme částečné uspořádání, pokud je (1) reflexivní,tj. x xprovšechna x, (2) tranzitivní,tj. x yay zimplikuje x z, (3) aantisymetrická,tj. x yay ximplikuje x=y. Alternativně říkáme, že(x, ) je uspořádaná množina. Uspořádání se nazývá lineární, pokud navíc pro každé x, y nastane x ynebo y x.pokud x yax y,píšeme x < y. Řekneme,žeprvek a Xjev(X, ) největší,pokudprokaždé b Xplatí b a; nejmenší,pokudprokaždé b Xplatí b a; maximální,pokudneexistuježádné b Xtakové,že b > a; minimální,pokudneexistuježádné b Xtakové,že b < a. Nechť Y X.Řekneme,žeprvek a Xje hornímezmnožiny Y,pokud a yprokaždýprvek y Y; supremummnožiny Y,pokudtojenejmenšíhornímez Y;značíse a=supy. dolnímezmnožiny Y,pokud a yprokaždýprvek y Y; infimummnožiny Y,pokudtojenejvětšídolnímez Y;značíse a=infy. Jinýmislovy,supremummnožiny Y jenejmenšíprvekmnožiny X,kterýjevětšínežvšechnyprvky Y.Podobně, infimummnožiny Y jenejvětšíprvekmnožiny X,kterýjemenšínežvšechnyprvky Y. Uspořádaná množina se nazývá svazově uspořádaná, pokud v ní existují suprema a infima všech dvouprvkových podmnožin(pak také zřejmě existují suprema a infima všech neprázdných konečných podmnožin). Nazývá se úplně svazově uspořádaná, pokud v ní existují suprema a infima všech podmnožin. Často se používá značení a b=sup{a,b} a a b=inf{a,b}. Příklad. Lineárníuspořádáníjsousvazová, a b=max(a,b), a b=min(a,b). (R, )jesvazověuspořádaná,aleneúplně,protožeinfrneexistuje. (R {± }, )jeúplnésvazovéuspořádání. Malou uspořádanou množinu(x, ) je možné zakreslit pomocí tzv. Hasseova diagramu. Jde o graf, jehož vrcholy tvořímnožina X,přičemžporovnatelnéprvkyjsounakreslenétak,žemenšíjeníže,ahranamezidvěmavrcholy a,b jenakreslenaprávětehdy,když a < baneexistuježádné csplňující a < c < b. 1. Zjistěte, zda existuje a jaký nejmenší počet prvků může mít uspořádaná množina taková, že (a) má alespoň dva maximální a alespoň jeden minimální prvek; (b) má alespoň dva maximální a alespoň jeden nejmenší prvek; (c) má alespoň dva největší, ale žádný nejmenší prvek; (d) má alespoň jeden maximální, ale žádný nejmenší prvek; (e) má alespoň jeden maximální, ale žádný minimální prvek; (f) má právě jeden maximální, ale žádný největší prvek; (g) každá podmnožina supremum, ale nejaká podmnožina nemá infimum; (h) jako(f), ale navíc je svazově uspořádaná; (k) každá její podmnožina má dolní i horní mez, ale přitom není svazově uspořádaná. Uveďte příklady![ř] 2. Rozhodněte, zda jsou následující uspořádané množiny svazově uspořádané.[ř] 3
4 3.Najdětenějakélineárníuspořádánínamnožině N Nanamnožině C. Lemma. Následující podmínky jsou ekvivalentní pro uspořádanou množinu(x, ). (1) (X, ) je úplně svazově uspořádaná. (2) V(X, ) existují infima všech množin a obsahuje největší prvek. (3) V(X, ) existují suprema všech množin a obsahuje nejmenší prvek. 4.* Dokažte předešlé lemma.[ř] 5. Buď X neprázdná množina a označme P(X) množinu všech podmnožin množiny X. Dokažte, žejep(x)=(p(x), )úplněsvazověuspořádanámnožina.[n] 6. Buď X neprázdná množina a označme Eq(X) množinu všech ekvivalencí na množině X. Dokažte, že je Eq(X) =(Eq(X), ) úplně svazově uspořádaná množina.[n] 7.NakresleteHasseůvdiagramsvazůP({0,1,2})aEq({0,1,2}). 8.Označme P fin (N)množinuvšechkonečnýchpodmnožinmnožiny N.Rozhodněte,zdajeuspořádanámnožina(P fin (N), )a)svazově,b)úplněsvazověuspořádaná.[ř] 9. Rozhodněte,zdajsouuspořádanémnožiny(N, )a(n {0}, )a)svazově,b)úplněsvazově uspořádané.relací rozumímerelacidělitelnosti(tj. a jemenšínež b,pokud adělí b);uvědomte si,že0jedělitelnájakýmkolivpřirozenýmčíslem.cojsousupainf,pokudexistují?[ř] 10.Označme F množinuvšechfunkcí R R.Pro f,g F definujme f g,pokud f(x) g(x) provšechna x R.Jeuspořádanámnožina(F, )a)svazově,b)úplněsvazověuspořádaná?jaká bybylaodpověď,kdybychomuvažovalifunkce 0,1 0,1?[Ř] 11.Definujmeuspořádánínamnožině R Rpředpisem(a 1,a 2 ) (b 1,b 2 ),pokud a 0 = b 0 a a 1 b 1. Je(R R, )uspořádanámnožina?prokterédvojicepárůexistujesupremumainfimum?[ř] 4
5 II. Dělitelnost v oborech integrity 1. Elementární teorie čísel Matematická indukce je technika pro dokazování vlastností přirozených čísel. Dokážeme-li, že (1) číslo1mávlastnost V, (2) prokaždé n,má-ličíslo nvlastnost V,pakmátutovlastnostičíslo n+1, pakmůžemededukovat,žekaždépřirozenéčíslo nmávlastnst V. 12.Dokažte,že7 n 7 n. 13.Dokažte,že9 4 n +6n Dokažte,že n= n(n+1) Dokažte,že (2n 1) 2 = n(2n 1)(2n+1) *Sečtěteřadu n 2.[N] 17.*Sečtěteřadu n 3.[N] 18.Dokažte,že ( 1) n+1 n 2 n = 1 9 (2+( 1)n+13n+2 2 n ). Věta(Bézoutova rovnost). Pro každou dvojici přirozených čísel a, b existují celá čísla u, v splňující NSD(a,b)=u a+v b. NSD i koeficienty u, v lze najít Eukleidovým algoritmem popsaným v následující sekci. 19. Spočtěte NSD(1023, 96) a NSD(168, 396). V obou případech najděte koeficienty z Bézoutovy rovnosti.[ř] Zavedeme značení a b (mod m) (čteme ajekongruentnísbmodulo m),pokud m a b,tj.pokud aabdávajístejnýzbytekpodělení m.relace býtikongruentnímodulo mjeekvivalencí,znaménkokongruencejetedymožnopoužívatpodobnějakorovnítko. Je-li a b(mod m)ac d(mod m),pak a±c b±d(mod m); a c b d(mod m); a k b k (mod m)prolibovolné k N. Pro krácení lze použít vlastnosti a b(mod m) ca cb(mod cm); jsou-li c,mnesoudělná,pak a b(mod m) ca cb(mod m). 20.Spočtěteposlednícifručísla [Ř] 21.Dokažte,že Najdětevšechna x Zsplňujícía)6x 9(mod21),b)10x 5(mod21),c)26 5 x 16 (mod11).[ř] Věta(Čínskávětaozbytcích).Nechť m 1,...,m njsoupodvounesoudělnápřirozenáčísla,označme M= m 1... m n. Pakprolibovolnáceláčísla a 1,...,a nexistujeprávějedno x {0,...,M 1},kteréřešísoustavukongruencí x a 1 (mod m 1),..., x a n 5 (mod m n).
6 První dvě úlohy se údajně vyskytují v některé ze staročínských a staroindických matematických knih. 23. Generál Chuan-wen poslal do bitvy tisíc vojáků. Po bitvě chtěl zjistit, kolik se jich vrátilo. Nechaljetedynastoupitdořadpopětiazjistil,žetřizbylistranou.Pakjenechalnastoupitdo řadpošesti,tozbylitakétři,apakještěposedmi,tozbylošest.nakonecjenechalnastoupitpo jedenácti a nezbyl žádný. Kolik vojáků přežilo bitvu?[ř] 24. Skupině třinácti pirátů se podařilo uloupit bednu zlatých mincí. Zkusili je rozdělit rovným dílemnatřinácthromádek,aledesetmincíjimzbylo.ozbylémincesestrhlarvačka,přiníž jednoho piráta propíchli. Přestali tedy bojovat a zkusili mezi sebe znovu rozdělit mince rovným dílem.tentokrátzbylytřimince,okteréopětzačalibojovat.vbojizahynuldalšípirátataksi ostatní opět zkusili mince spravedlivě rozdělit, tentokrát úspěšně. Kolik bylo nejméně mincí, které piráti ukradli?[ř] 25. Najděte všechna (celočíselná) řešení soustavy x 3(mod11), x 6(mod8), x 14 (mod15).[ř] 26.Najdětevšechnařešenísoustavy2x 1(mod3),3x 2(mod5),3x 6(mod8).[Ř] 27.Najdětevšechnařešenísoustavy2x 3(mod6),2x 1(mod5).[Ř] 28.Najdětevšechnařešenísoustavy2x 4(mod6),2x 1(mod5).[Ř] 29.*Buď a 1,...,a k, n, bpřirozenáčísla,položme d=nsd(a 1,...,a k,n).dokažte,žekongruence a 1 x a k x k b(mod n)mářešeníprávětehdy,když d b. Zavedeme Eulerovu funkci předpisem ϕ(n)= početprvkůvintervalu1,...,n 1nesoudělnýchsn. Je-li n=p k 1 1 pk pkm m prvočíselný rozklad čísla n, platí ϕ(n)=p k p k pm km 1 (p 1 1)(p 2 1)... (p m 1). 30.Najdětevšechnačísla ntaková,že ϕ(n)= *Najdětevšechnačísla ntaková,že ϕ(n) n. 32.*Sečtěte k n ϕ(k). Věta(Eulerova). Jsou-li a,nnesoudělná,pak a ϕ(n) 1(mod n). Věta(maláFermatova). Je-li pprvočísloap a,pak a p 1 1(mod p). 33.Dokažte,že [Ř] 34.Dokažte,že [Ř] 35.Spočtěte mod18a mod129.[ř] 36.Spočtěte mod Spočtěte2 l mod13,kde ljesoučasnýletopočet. 38.Spočtěte mod9.[ř] 39.Spočtěte mod28.[ř] 40.Spočtěte mod35.[ř] 41.Spočtěteposlednícifručísla [Ř] 42.Spočtěteposlednídvěcifryčísla [Ř] 43.Spočtěte a 101 mod125vzávislostina a Z.[Ř] 44.*Dokažte,žeprolibovolné nječíslo2 22n+1 +3složené.[N] 6
7 45.Dokažte,že5 n 9 +2n 7 +3n 3 +4nprokaždé n N.[Ř] 46.ŘeštevZrovnici x 6 +x+xy 1(mod7).[Ř] 47.**Nechťn=pq,kdep,qjsoulicháprvočísla.Dokažte,žeprokaždéanesoudělnésnmárovnice x 2 a(mod n)žádnéneboprávěčtyřiřešení.(jinýmislovy,existuje-linějakádruháodmocninaz amodulo n,pakjsoutytoodmocninyprávěčtyři.)[?] 48.Buď pprvočísloaa Z.Dokažte,žepokud a 2 1(mod p),pak a 1(mod p)nebo a 1 (mod p). 49.*Dokažte,žečíslo pjeprvočísloprávětehdy,když [Wilsonovo kritérium][n] (p 1)! 1 (mod p). 2. Základní vlastnosti oborů integrity Oboremintegrity rozumímekomutativníokruhsjednotkou,vekterémprokaždé a,b 0platí a b 0.(Tj. neexistují vlastní dělitelé nuly.) 50. Dokažte, že tělesa jsou obory integrity.[ř] 51.Dokažte,žeje-liRoborintegrity,paka)R[x],b)*R[[x]]takéoborintegrity.[N] 52.Prokterá njsou Z n oboryintegrity?[ř] 53.a)Zjistěte,zdajeokruh Z Zoboremintegrity.b)NechťR 1,...,R n jsouokruhy.zajakých podmínekjedirektnísoučinr 1 R n oboremintegrity?[ř] 54.Dokažte,ževoborechintegritylzekrátit,tj.pokud ab=acpronějaké a 0,pak b=c.[ř] 55. Dokažte, že konečné obory integrity jsou tělesa.[n] Řekneme,že adělí bvoborur(píšeme a b),pokudexistuje c Rtakové,že b=ac.alternativně,pokud br ar.řekneme,žeprvky aabjsouasociované(píšeme a b),pokud a bab a.alternativně,pokud ar=br. Prvek a se nazývá invertibilní, pokud a 1. Množina invertibilních prvků tvoří grupu s operací násobení, značí se R. Není těžké nahlédnout, že dva prvky a, b jsou asociované právě tehdy, když existuje invertibilní prvek q takový, že a=bq. Příklad. vtělesechjekaždýnenulovýprvekinvertibilní;tedy a bprokaždé a,b 0; vokruhu Zjsouinvertibilnípouzeprvky ±1;tedy a b a=±b; vokruhu Z[i]jsouinvertibilnípouzeprvky ±1a±i. vokruhur[x]jsouinvertibilníprávěpolynomystupně0,jejichžčlenjeinvertibilnívr;tj.r[x] =R. 56.Rozhodněte,zdajeprvek x+1invertibilnívoboru Z[[x]].[Ř] 57.*BuďTtěleso.Dokažte,žemocninnářada a i x i jevt[[x]]invertibilníprávětehdy,když a 0 0. Řekneme,že c=nsd(a,b)(největšíspolečnýdělitel),pokud c a, c baprokaždé dsvlastností d a, d b platí d c.řekneme,že c=nsn(a,b)(nejmenšíspolečnýnásobek),pokud c NSD(a,b)=a b.nsdansnnemusí existovat. Pokud existují, jsou určeny jednoznačně až na asociovanost. Neinvertibilní prvek a se nazývá ireducibilní,pokud a=bcimplikuje b 1nebo c 1; prvočinitel,pokud a bcimplikuje a bnebo a c. Prvočinitelé jsou ireducibilní, opak nemusí být pravdou. Příklad. v tělesech žádné ireducibilní prvky nejsou; voboru Zjsouireducibilníprávěprvky ±p, pprvočíslo; 7
8 v oboru C[x] jsou ireducibilní právě polynomy stupně 1; voboru R[x]jsouireducibilníprávěpolynomystupně1atypolynomystupně2,kterénemajíreálnýkořen; voboru Z[x],resp. Q[x],existujíireducibilnípolynomylibovolněvysokéhostupně,např.polynomy xp 1 x 1 pro libovolné prvočíslo p. voborech Z p[x](pprvočíslo)existujíireducibilnípolynomylibovolněvysokéhostupně. voboru Z[ 5]jeprvek2ireducibilní,alenenítoprvočinitel. [K procvičení NSD, NSN a ireducibility využijte úloh v následujících dvou sekcích.] 58.*SpočtěteNSD( i=0 ( 1)i i 2 (i 1)x i, i=0 3sin2 (πi/4)2 i+1 x i )a)voboru Q[[x]],b)voboru Z[[x]].[Ř] Obor integrity se nazývá Gaussovský, pokud každý nenulový neinvertibilní prvek lze jednoznačně rozložit na součin ireducibilních prvků. To je právě tehdy když existují NSD všech dvojic prvků a neexistuje nekonečná posloupnost vlastních dělitelů. V Gaussovských oborech jsou všechny ireducibilní prvky jsou prvočinitelé. Obor, v němž je každý ideál hlavní, nazýváme oborem integrity hlavních ideálů(zkráceně OIHI). OborintegritysenazýváEukleidovský,pokudnaněmexistujeEukleidovskánorma,tj.zobrazení ν: R N {0} splňující (0) ν(0)=0; (1) pokud a b 0,pak ν(a) ν(b); (2) prokaždé a,b 0existuje q,rtakové,že a=bq+raν(r) < ν(b). (Neformálně řečeno, v Eukleidovských oborech existuje dělení se zbytkem, ovšem podíl a zbytek nemusejí být jednoznačně určené.) Pro komutativní okruhy s jednotkou platí Eukleidovský obor = OIHI = Gaussův obor = obor integrity. V Gaussovských oborech existují NSD, v OIHI pro ně platí Bézoutova rovnost a v Eukleidovských oborech můžeme NSD i Bézoutovy koeficienty počítat pomocí Eukleidova algoritmu: VSTUP: a,b R, ν(a) ν(b). VÝSTUP:NSD(a,b)au,v RsplňujícíNSD(a,b)=ua+vb. a 0= a, u 0=1, v 0=0. a 1= b, u 1=0, v 1=1. a i+1= r, u i+1= u i 1 u iq, v i+1= v i 1 v iq,kde q,rzvolímetak,že Pokud a i+1=0,odpověz a i, u i, v i. a i 1= a iq+r a ν(r) ν(a i). (Bézoutovarovnostříkáprokaždé a,b Rexistují u,v R(Bézoutovykoeficienty)splňujícíNSD(a,b)=u a+v b.) Příklad. (1) Eukleidovské obory: libovolnétěleso,seukleidovskounormou ν(0)=0aν(a)=1prokaždé a 0; T[x]prolibovolnétělesoT,sEukleidovskounormou ν(p)=1+deg(p); Z,sEukleidovskounormou ν(a)= a ; Z[i]aněkterédalšíobory Z[ s]jsoueukleidovské,např.pro s= 1,±2,3(rozumíse 1=i),s normou ν(a+b s)= a 2 sb 2. (2) OIHI: Z[ 1+i 19 ] je OIHI, ale není Eukleidovský. 2 (3) Gaussovské obory: (Gaussovavěta)je-liRGaussovskýobor,pakR[x 1,...,x k ]jetakégaussovskýobor; Z[x]jeGaussovskýoboraneníOIHI; R[x 1,...,x k ]neníoihikdykoliv k 2. (4) Obory integrity: Je-liRoborintegrity,pakR[x 1,...,x k ]ir[[x 1,...,x k ]]jsoutakéoboryintegrity; libovolný podokruh(s jednotkou) tělesa C je obor integrity; např. Z[ 5], Z[i 3]jsouoboryintegrity,aleneGaussovské. 8
9 59.* Buď T těleso. Rozhodněte, zda je T[[x]] Gaussovský obor. Je Eukleidovský?[N][Ř] 60.** Najděte obor integrity, v kterém existují NSD všech prvků, ale přesto není Gaussovský.[N] 61.Najdětevoboru Z[x]ideál,kterýneníhlavní.[Ř] 62.BuďRoborintegrity.NajdětevoboruR[x,y]ideál,kterýneníhlavní.[Ř] 63. Buď T těleso. Dokažte, že T[x] je Eukleidovský obor. 64. Uvažujte obor Z[x]. Proč zobrazení f 1+deg f není Eukleidovská norma? Uveďte protipříklad na Bezoutovu rovnost.[ř] 65.BuďRoborintegrityaν: R N {0}zobrazenísplňující (1) ν(a)=0právětehdy,když a=0; (2)prokaždé a,b R,pokud ν(a) ν(b),pakbuď a b,neboexistují u,v Rtaková,že 0 < ν(au+bv) < ν(a). Dokažte,žeRjeOIHI. 66.**Dokažte,že Z[ 1+i 19 2 ] je OIHI. Použijte předchozí cvičení.(tento obor není eukleidovský, ale dokázat to je poměrně složité.) Poznamenejme, že sám Eukleides uvažoval problém nalezení NSD v geometrické formě, jako následující úlohu: Jsoudánydvěúsečky.Najdětenejhrubšíspolečnou měrnoujednotkutěchtoúseček.například,jsou-lidányúsečky délek 6 a 14, největší jednotkou je 2. Eukleidův algoritmus lze provést geometricky, bez jakéhokoliv použití čísel: kratšíúsečkunanesemedodelšítolikrát,kolikrátsetamvejdeavdalšímkrokuuvažujemekratšíúsečkuatocotam zbylo. Krok i: Krok i+1: 67. Nechť jsou dány dvě úsečky. Dokažte, že se Eukleidův algoritmus pro tyto úsečky zastaví právě tehdy, když je poměr jejich délek racionální. V tom případě je výsledkem jejich nejdelší společná měrnájednotka. 3. Obory polynomů 68.Zjistěte,zajakýchpodmínekvZ[x]platí x m 1 x n 1.[Ř] 69.Spočtětevoboru Z[x]zbytekpodělenípolynomů x n 1ax m 1.[Ř] 70.Spočtětevoboru Z[x]NSDpolynomů x n 1ax m 1.[Ř] 71. * Zjistěte, zda platí následující tvrzení pro libovolný obor integrity R a f R[x]: jestliže x 1 f(x n ),pak x n 1 f(x n ).[N][Ř] 72.*Dokažte,žeprožádnén >2neexistujínenulovépolynomyf,g,h Z[x]splňujícíf n +g n = h n. V řešení můžete využít Velkou Fermatovu větu, která říká, že neexistují žádná nenulová celá čísla s touto vlastností.[ř] Prvek asenazývákořenpolynomu f,pokud f(a)=0.ekvivalentně,pokud x a f. 73.Určetetakové a C,pronežmápolynom f=2x 6 x 5 11x 4 x 3 +ax 2 +2ax+8 C[x] kořen2.[ř] 74.NajdětepolynomvZ[x],mezijehožkořenyjsoučísla 1 2, ia2 i.[ř] 75.Najdětepolynom fv Z[x]stupně3splňující x 1 fa f(2)=f(3)=f(4).[ř] 76.[VOID] 77.NajdětekomutativníokruhRapolynom f R[x]stupně2svíceneždvěmakořenyvR.[Ř] 9
10 78. Uvažujte nekomutativní těleso kvaternionů H a najděte polynom f H[x] stupně 2, který má víceneždvakořeny.[ř] 79.*Spočtětedeterminantmatice A=(a ij ) n i,j=1,kde a ij= u j 1 i a u 1,...,u n R.Návod:uvažujte determinantjakopolynomnadproměnnými u 1,...,u n.[tzv.vandermondůvdeterminant][n][ř] Na zjišťování existence racionálního kořene celočíselného polynomu lze použít následující jednoduché kritérium. Tvrzení. Nechť f= n i=0 aixi Z[x], a n 0.Má-lipolynom f racionálníkořen r s čísla),pak r a 0a s a n. 80. Dokažte kritérium existence racionálního kořene.[n] 81. Najděte všechny racionální kořeny polynomů (a)2x 3 x 2 +3, (b)12x 6 +8x 5 85x 4 +15x 3 +55x 2 +x 6, (c)4x 7 16x 6 +x 5 +55x 4 35x 3 38x 2 +12x+8. [Ř] V oboru polynomů nad tělesem (1) polynomy stupně nula jsou invertibilní; (2) polynomy stupně 1 jsou vždy ireducibilní; (3) polynom stupně 2 nebo 3 je ireducibilní právě tehdy, když nemá kořen; (4) mohou existovat ireducibilní polynomy stupně 4 a více, které nemají kořen. (kde r,sjsounesoudělnácelá Polynomf= a ix i nazývámeprimitivní,pokudnsd(a 0,...,a n)=1.je-lif Z[x]primitivní,pakjeireducibilní v Z[x]právětehdy,kdyžjeireducibilnívQ[x]. Věta(Eisensteinovokritérium). Buď f= n i=0 aixi primitivnípolynomvz[x].pokudexistujeprvočíslo psplňující p a 0, p a 1,..., p a n 1a p 2 a 0,pakjepolynom fireducibilnívz[x]. 82.Jepolynom2x 3 +4ireducibilnívoborech C[x], R[x], Q[x], Z[x], Z 5 [x]?[ř] 83.Jsoupolynomy x 3 +3x 2,4x 2 1ax 7 +2ireducibilnívoboru Z[x]?[Ř] 84. Najděte všechny ireducibilní polynomy a) v C[x], b) v R[x].[Ř] 85.Najdětevšechnyireducibilnípolynomya)vZ 2 [x]stupně 5,b)vZ 3 [x]stupně *Buď pprvočíslo.dokažte,žeje-li agenerátorgrupy Z p,pakjepolynom x p x+aireducibilní v Z p [x].[?][n] 87.Zjistěte,zdaplatínásledujícítvrzeníprokaždé f Q[x]aa Q:jestliže fjeireducibilní,pak f(x+a)jeireducibilní.[ř] 88.*Dokažte,žeprokaždéprvočíslo pjepolynom xp 1 x 1 ireducibilnívz[x].[n] 89.* Dokažte Eisensteinovo kritérium.[n] 90.Rozložtepolynom x 4 x 2 2nasoučinireducibilníchprvkůvoborech C[x], R[x], Q[x], Z 5 [x], Z 3 [x].[ř] 91.Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůvoboru Z[x]následujícípolynomy: x 4 +1, x 4 +x 2 +1, x 4 +x 3 +x 2 +x+1,2x 2 +9x+10.[Ř] 92.Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůvoborech Z[x]aQ[x]následujícípolynomy:2x 3 + 4x 2 2x+4,2x 3 +3x 2 +2x+3.[Ř] 93.Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůpolynom x 5 +3x 3 +x+3voboru Z 5 [x].[ř] 94. Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůvoboru Z 3 [x]následujícípolynomy: x 3 + x 2 +2, x 5 +x 2 x+1, x 6 +1.[Ř] 95.Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůpolynom2x 5 +x 4 2x 3 x 2 4x 2voborech Z[x] a Z 5 [x].[ř] 10
11 96.*Rozložtenasoučinireducibilníchprvkůa)polynom x 15 1voboru Z 2 [x],b)polynom x 8 1 v Z 3 [x].[ř] Připomeňme, že obory T[x], T těleso, jsou Eukleidovské, pro počítání NSD a koeficientů z Bézoutovy rovnosti tedy lze použít Eukleidův algoritmus. Druhá možnost je porovnat ireducibilní rozklady obou polynomů. Máme-li neeukleidovský obor R[x](jako např. Z[x]), můžeme použít následující rovnost: NSD R[x] (f,g)=nsd R (pc(f),pc(g)) NSD Q[x] (pp(f),pp(g)). ZdeQznačípodílovétělesooboruRapro h= n i=0 aixi serozumí pc(h)=nsd(a 0,...,a n)app(h)= n i=0 a i pc(h) xi. 97.SpočtěteNSD(x 4 +2x 3 +x 2 +2x,2x 5 +x 4 +x+2)akoeficientyzbézoutovyrovnostivoboru Z 3 [x].[ř] 98.Spočtětea)NSD(x 4 +3x 2 +4x,2x 2 2x 4),b)NSD(x 4 +1,x 3 1),c)NSD(x 4 3x 2 2x+ 4,x 3 x 2 x+1)voboru Q[x].[Ř] 99.SpočtěteNSD(2x 3 +1,x 4 x 3 +2x 2 x 1)voborech Q[x]aZ 3 [x].[ř] 100.Spočtětea)NSD(x 4 2x 3 +x 2 +1,x 3 x+2),b)nsd(x 5 +x 3 +x 2 2x+2,x 6 +x 5 +2x 4 + x 3 +2x 2 2x 1)voboru Z 5 [x].[ř] 101.SpočtěteNSD(x 6 x 4 x 2 +1,x 4 +3x 3 +3x 2 +3x+2)voborech Q[x]aZ 5 [x].[ř] Derivacípolynomu f= n i=0 aixi rozumímepolynom n 1 f = (i+1)a i+1x i. Pro k 0definujeme k-touderivaciindukcíjako f (0) = fa f (k) =(f (k 1) ). 102.BuďRkomutativníokruhsjednotkou, f,g R[x]an N.Dokažte (1)(f+g) = f +g ; (2)*(f g) = f g+g f; (3)(f n ) = n f n 1 f. i=0 103.*BuďRkomutativníokruhsjednotkou, f,g R[x]an N.Dokažte(f g) (n) = n i=0( n i) f (i) g (n i) [Leibnitzovaformule].[N] Prvek a se nazývá n-násobný kořen polynomu f, pokud (x a) n p a (x a) n+1 p. Věta. BuďRoborintegritycharakteristiky n, a R,0 f R[x]apředpokládejmedegf < nnebo n=0.pak aje n-násobnýmkořenempolynomu fprávětehdy,když f (k) (a)=0provšechna k=0,...,n 1,alenikolivpro k=n. 104.Zjistětenásobnostkořene 1polynomu x 5 ax 2 ax+1 Q[x]vzávislostinaparametru a Q.[Ř] 105.Najdětevšechna a,b Qtaková,žepolynom(x 1) 2 dělívq[x]polynom ax n+1 +bx n 1. [Ř] 106.Najdětevšechna a,b Qtaková,žepolynom x 5 +ax 3 +bmádvojnásobnýkořenvq.[ř] 107. Zjistěte násobnost (a)kořene1vpolynomu x 4 +2x 3 +x 2 +3x+3 Z 5 [x]; (b)kořene6vpolynomu x 4 +3x 3 x 2 +3x 1 Z 7 [x]; (c)kořene1vpolynomu x 4 +x 3 +2x+2 Z 3 [x]. 11
12 [Ř] 108.Najdětevšechnyaspoňdvojnásobnékořenypolynomu x 6 +7x 5 +18x 4 +25x 3 +25x 2 +8x 12 v Q.[Ř] 109.Najdětevšechnyaspoňdvojnásobnékořenypolynomu x 4 x 3 x 2 +x+1vc.[ř] 110.*Najdětevšechnyaspoňdvojnásobnékořenypolynomu x 6 +6x 5 +15x 4 +20x 3 +12x 2 4v Q.[N] 111.Polynom x 4 +2ix 3 +x 2 +2ix+1 C[x]mávCdvojnásobnýkořen.Svyužitímtétovlastnosti jej rozložte na ireducibilní činitele.[?] Pomocí série cvičení si odvodíme tzv. Cardanovy vzorce na výpočet kořenů polynomů druhého, třetího a čtvrtého stupně. Všechny úlohy řešte v oboru komplexních čísel. 112.Odvoďtevzorecprokořenypolynomu ax 2 +bx+c.[n] 113.Buď f= a n x n +a n 1 x n a 0.Navrhnětesubstitucitak,abyvzniklpolynomsnulovým koeficientem u(n 1)-té mocniny.[ř] Tartagliůvpostupvýpočtukořenůpolynomu x 3 +px+q Všimněte si, že libovolná u, v splňují Dokažte, že řešením soustavy je dvojice (u v) 3 +3uv(u v)+(v 3 u 3 )=0. u= 3 3uv= p, v 3 u 3 = q q+ D q+ D, v= 3, 2 2 kde D=q p3,adedukujte,že x=u vjekořenemdanéhopolynomu. 115.Ověřte,žedruhéřešenítétosoustavy,totiždvojice u= 3 q D 2, v= 3 q D 2,dávástejný kořen x. 116.Buď ω= e 2πi 3 = ikomplexnítřetíodmocninazjedné.dokažte,že jsou právě všechny kořeny daného polynomu. x 0 = u v, x 1 = ωu ω 2 v, x 2 = ω 2 u ωv 117.Najdětekořenypolynomu x 3 6x 9.[Ř] 118.Najdětekořenypolynomu x 3 15x 4.[Ř] Ferrarihopostupvýpočtukořenůpolynomu x 4 +px 2 +qx+r Napište si rovnici ve tvaru x 4 +2ax 2 +a 2 = px 2 qx r+2ax 2 +a 2. Levástranajerovna(x 2 + a) 2.Najděte atakové,abyipravástranabylajakopolynomdruhou mocninou. Poté obě strany odmocněte a dedukujte vzorec. 120.Najdětekořenypolynomu x 4 +x 2 +4x 3.[Ř] 12
13 4. Číselné obory V této sekci bude s značit číslo, jež není dělitelné druhou mocninou prvočísla. Definujme zobrazení Prokaždé u,v Z[ s]platí (1) ν(u)=1 ujeinvertibilní; (2) ν(u v)=ν(u) ν(v). Tedypokud u v,pak ν(u) ν(v) Dokažte obě předchozí tvrzení.[ř] ν: Z[ s] N {0}, a+b s a 2 sb Spočtěteprvkygrup Z[i], Z[i 2] arozložtetytogrupynasoučincyklickýchgrup.[ř] 123.Všimnětesi,žegrupa Z[ 2] jenekonečnáanajdětevníprveknekonečnéhořádu.[ř] 124.**Jegrupa Z[ 2] konečněgenerovaná?[?][n] 125.RozložtevZ[i]nasoučinireducibilníchprvkůnásledujícíčísla:4+2i,5i,1 5i,6,11.[Ř] 126.*Dokažte,žečíslo a+bi, a,b 0,jeireducibilnívoboru Z[i]právětehdy,kdyžje a 2 +b 2 prvočíslo.[n][ř] 127.Dokažte,žepokudje pprvočísloap 3(mod4),pakjeireducibilnívoboru Z[i].[Ř] 128.**Dokažte,žepokudje pprvočísloap 1(mod4),pakneníireducibilnívoboru Z[i].[N] 129.RozložtevZ[i 2]nasoučinireducibilníchprvkůnásledujícíčísla:1+3i 2,5,2+2i 2.[Ř] 130.Ověřte,žeprvky2, 5+1, 5 1jsouireducibilnívoboruintegrity Z[ 5]aže2 5±1. Protože4=2 2=( 5+1) ( 5 1),obor Z[ 5]neníGaussovský. 131.Svyužitímpředešléúlohynajdětevoboru Z[ 5]a)ireducibilníprvek,kterýneníprvočinitel, b)prvky a,b,proněžneexistujensd(a,b).[ř] 132.Dokažte,žeobor Z[i 3]neníGaussovský.[Ř] Proněkterá sjeuvedenézobrazení νeukleidovskounormounaoboru Z[ s].např.vz[i]lzenaléztprvky q,rz podmínky(2) takto: buď z= a b C přesnýpodílvcaoznačme qnejbližšíprvek Z[i]kprvku z(tj.takový,že z q jeminimální;je-lijichvíce,pak libovolnýznich)ar=a bq. 133.Dokažte,žeprávědefinovaná q,rsplňují a=bq+ raν(r) < ν(b).(tedyže νjeskutečně Eukleidovská norma na Z[i].)[Ř] 134. Dokažte,žeobory Z[i 2]aZ[ω]jsouEukleidovské.Zde ω=e 2πi/3 značíkomplexnítřetí odmocninu z jedné.[ř] 135.*Dokažte,žeobory Z[ 2]aZ[ 3]jsouEukleidovské.[N] 136.SpočtětevZ[i]NSDaNSNčísela)3+i,4+2i,b)3+6i,12 3i,c)5+3i,13+18id) 85,1+13i.[Ř] 137.Zjistěte,zdajemnožina {a Z[i]:3+6i aa12 3i a}a)ideál,b)hlavníideáloboru Z[i]. Pokud ano, najděte generátor.[ř] 138.Zjistěte,zdajemnožina {a Z[i]:4 ν(a)a7 3i a}a)ideál,b)hlavníideáloboru Z[i]. Pokud ano, najděte generátor.[n][ř] Některé diofantické rovnice(rovnice v oboru celých čísel) lze úspěšně řešit využitím teorie dělitelnosti v oborech Z[ s]. 13
14 139.*ŘeštevZrovnici x 2 +1=y 3.Návrhpostupu:rozložte x 2 +1=(x+i)(x i)auvažujte ireducibilní rozklad tohoto čísla v oboru Z[i].[N][Ř] 140.*ŘeštevZrovnicix 2 +2=y 3 (vizpředchozícvičení;ovšemrozložtex 2 +2=(x+ 2i)(x 2i) auvažujteireducibilnírozkladtohotočíslavoboru Z[i 2]).[Ř] 141.**ŘeštevZrovnici x 2 +4=y 3.[Ř] 142.**ŘeštevZrovnici x 2 +49=y 3. 14
15 III. Grupy 1. Příklady a základní vlastnosti GrupounazývámealgebruG=(G,,,e)typu(2,1,0)splňujícíprokaždé a,b,c G (1) a (b c)=(a b) c, (2) a e=e a=a, (3) a a = a a=e. Grupasenazýváabelovská,pokudjeoperace komutativní,tj. a b=b aprokaždé a,b G.Algebry(A, )splňující podmínku(1) se nazývají pologrupy, algebry(a,, e) splňující podmínky(1) a(2) se nazývají monoidy. Zobrazení L a,r a: G Gdefinovaná L a(x)=a x, R a(x)=x asenazývajílevá apravá translaceprvku avgrupě G.Jsoutopermutacena G.Naopak,pokudalgebra(G,,e)splňujepodmínky(1)a(2)avšechnyjejí translacejsoupermutace,pakexistuje(jednoznačněurčená)operace taková,žeg=(g,,,e)jegrupa. Příklad. (1) Abelovské grupy: (Aditivní)grupacelýchčísel Z=(Z,+,,0). Cyklickégrupy Z n=({0,1,...,n 1},+ mod n, mod n,0). Pro libovolné těleso T lze uvažovat aditivnígrupu(t,+,,0)a multiplikativnígruput =(T {0},, 1,1). (Připomeňmetělesa Q,R,Cakonečnátělesa Z p.) Obecněji,prolibovolnýkomutativníokruhRlzeuvažovatgrupuinvertibilníchprvkůR. Zvlášťzajímavýmpřípademjegrupa Z nsnosnoumnožinouvšechčísel k {1,...,n 1}nesoudělných s n,operacínásobenímodulo nasjednotkovýmprvkem1.zeulerovyvětyplyne,že a = a ϕ(n) 1 mod n. Grupakomplexníchjednotek({z C: z =1},, 1,1)ajejípodgrupy.Mezinimijmenujmenapř. grupy C nsestávajícízevšechkořenůpolynomu x n 1atzv.Prüferovu p-grupu C p = k=1 C p k sestávajícízevšechkomplexníchčísel zsplňujících z pn =1pronějaké n. (2) Neabelovské grupy: Symetrická grupa S X=({g: gjepermutacena X},, 1,id), kde značískládánípermutací, 1 invertovánípermutacíaididentitu.je-li X = {1,...,n},pak místos XpíšemeS n.mezijejímipodgrupamizmiňme alternujícígrupua nvšechsudýchpermutací; dihedrálnígrupud 2nvšechsymetriípravidelného n-úhelníka; nejrůznější grupy symetrií geometrických těles, automorfismů grafů a dalších struktur,... Obecná lineární grupa GL n(t)=({a:ajeregulárnímatice n nnadtělesemt},, 1,E), kde značímaticovénásobení, 1 invertování(regulárních)maticaejednotkovoumatici.mezijejími podgrupami zmiňme např. speciálnílineárnígrupusl n(t)všechmaticsdeterminantem1; ortogonálnígrupugo n(t)všechortogonálníchmatic,tj.takových Acosplňují AA T = E. (Nad tělesem R to odpovídá maticím, jejichž řádky, resp. sloupce, jsou ortonormální vektory vzhledem k standardnímu skalárnímu součinu.) KvaternionovágrupaQ={±1,±i,±j,±k}snásobenímdaným i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij= ji=k, ik= ki= j, jk= kj= i. 15
16 Symetrické a lineární grupy jsou v jistém smyslu charakteristické příklady, neboť každou grupu lze vnořit do nějaké symetrické grupy(cayleyova reprezentace) a každou konečnou grupu lze vnořit do nějaké obecné lineární grupy nad libovolným tělesem(lineární reprezentace). n grupysnprvky 1 Z 1 2 Z 2 3 Z 3 4 Z 4, Z 2 Z 2 5 Z 5 6 Z 6, S 3=D 6 7 Z 7 8 Z 8, Z 2 Z 4, Z 2 Z 2 Z 2, D 8, Q... p Z p p 2 Z p 2, Z p Z p 2p Z 2p, D 2p Tabulka obsahuje seznam všech malých grup a několik obecných výsledků; zde p značí libovolné prvočíslo. Každá grupasnprvkyjeizomorfníprávějednézgrupuvedenýchvpravémsloupci Rozhodněte, zda pro danou množinu A a danou operaci(označme ji zatím ) existují operace akonstanta etak,aby(a,,,e)bylagrupa.kteréztěchtogrupjsouabelovské? (1) A=Q,operace. (2) A=Q,operace. (3) A=Q,operace definovaná a b= a b. (4) A=Q{0},operace definovaná a b=a bpro a >0aa b= a b (5) A=Z,operace definovaná a b=a+( 1) a b. (6) A=M n (Q),operace+. (7) A=M n (Q),operace. (8) A=GL n (Z),operace. (9) A=P(X),operace. (10) A=P(X),operace. (11) A=P(X),operace definovaná U V =(U V) (V U). Zde P(X)značímnožinuvšechpodmnožindanémnožiny X.[Ř] pro a < BuďG=(G,,,e)grupaaa G.DefinujmenovouoperacinaGpředpisem x y= x a y. Dokažte,žeexistujíoperace akonstanta utak,aby(g,,,u)bylagrupa.[ř] 145.BuďG=(G,,,e)grupaaa,b,c G.Spočtětevšechny x Gtakové,že c ((a 2 x) b )= c b 2.[Ř] 146.Dokažte,že Z njeskutečněgrupa.najdětea)prvek10 1 vgrupě Z 47,b)prvek20 1 vgrupě Z 97.[N][Ř] Řádem grupy G se rozumí velikost množiny G. Řádemprvku avgrupěgserozumínejmenší n >0takové,že a n = e,pokudtakové nexistuje;vopačném případějeřád.řádprvkuseznačí a.je-ligrupagkonečná,pakřádkaždéhojejíhoprvkudělí G. 147.Dokažte,ževkaždégrupěsudéhořáduexistujeprvekřádu Dokažte,žekaždágrupa,vekterémajívšechnyprvkyřád1nebo2,jeabelovská. 149.*BuďG=(G,,,e)grupaaajejíprvekřádu mn,kde m,njsounesoudělné.pakexistuje b,c Gtakovéže a=b ca b dělí ma c dělí n.[n][ř] 16
17 150.BuďG=(G,,,e)grupaaa,bjejíprvkykonečnéhořádusplňující a b=b a.a)dokažte, že a bjekonečnéhořádua a b dělínsn( a, b ).b)*jsou-li a, b nesoudělné,dokažte,že a b = a b. PodalgebrygrupyG=(G,,,e)senazývajípodgrupy.Jinýmislovy,je-li H Gpodmnožinaobsahujícíprvek e asplňujícíprokaždé a,b Hpodmínky a Ha a b H,pakgrupuH=(H,,,e)nazývámepodgrupougrupy G(operacemi se rozumí restrikce původních operací na množinu H); též říkáme, že množina H tvoří podgrupu grupy G.PíšemeH G.PodgrupyGa{e}nazývámenevlastní. Věta(Lagrangeova). Je-li H podgrupa konečné grupy G, pak H dělí G Dokažte,žepodmnožina H GtvořípodgrupugrupyG=(G,,,e)právětehdy,když a b Hprokaždé a,b H.[Ř] 152.Dokažte,žekonečnápodmnožina H GtvořípodgrupugrupyG=(G,,,e)právětehdy, když a b Hprokaždé a,b H Je pravda, že prvky konečného řádu vždy tvoří podgrupu dané grupy?[ř] 154. Je pravda, že prvky konečného řádu vždy tvoří podgrupu dané abelovské grupy?[ř] 155.BuďG=(G,,,e)grupaaA,Bjejípodgrupy.Dokažte,žea) A Btvořípodgrupu,b) A Btvořípodgrupuprávětehdy,když A Bnebo B A;c) AB= {a b:a A,b B}tvoří podgrupuprávětehdy,když AB= BA. 156.*BuďGkonečnágrupaaA,Bjejípodgrupy.Dokažte,že A B = A B AB. 157.BuďGgrupavelikosti p k, pprvočíslo.dokažte,žegobsahujeprvekřádu p.[ř] NejmenšípodgrupagrupyG=(G,,,e)obsahujícídanoumnožinu X Gsenazývápodgrupagenerovaná množinou Xaznačíse X G.Platí Rozumíse x k = x... x } {{ } k 158. Dokažte předchozí tvrzení. X G = {x k 1 1 x k x kn n : x 1,...,x n X, k 1,...,k n Z}. pro k >0, x k = x }... x {{ } pro k <0ax 0 = e. k 159.BuďG=(G,,,e)grupaaA,Bjejípodgrupy.Dokažte,že A B ={a 1 b 1... a n b n : a 1,...,a n A, b 1,...,b n B} Dokažte, že řád prvku je roven řádu podgrupy, kterou generuje Dokažte, že podgrupy dané grupy tvoří úplný svaz. Musí být distributivní? Musí být modulární? Pokud ano, dokažte, pokud ne, uveďte protipříklad.[ř] 162. Dokažte, že normální podgrupy dané grupy tvoří úplný svaz. Musí být distributivní? Musí být modulární? Pokud ano, dokažte, pokud ne, uveďte protipříklad.[ř] BuďG=(G,,,e)aH=(H,, 1,1)grupy.Zobrazení ϕjehomomorfismusg H,pokudprokaždé a,b G platí ϕ(a b)=ϕ(a) ϕ(b). Pojmy monomorfismus(neboli vnoření), epimorfismus, izomorfismus, endomorfismus a automorfismus se používají stejně jako pro obecné algebry. Definujeme jádro homomorfismu ϕ předpisem obraz homomorfismu ϕ předpisem Ker(ϕ)={a G:ϕ(a)=1}; Im(ϕ)={b H: b=ϕ(a)pronějaké a G}. 17
18 Jádro tvoří(normální) podgrupu grupy G a obraz tvoří(ne nutně normální) podgrupu grupy H. Homomorfismus je prostý právě tehdy, když je jeho jádro triviální. 163.BuďG,G 1,...,G n abelovskégrupyaf i :G i G, i=1,...,n,homomorfismy.dokažte,že zobrazení je také homomorfismus. f:g 1... G n G, (a 1,...,a n ) f 1 (a 1 )... f n (a n ) 164.BuďG=(G,,,e)grupa.Dokažte,žezobrazení G G G,(x,y) x y,jehomomorfismus právě tehdy, když je G abelovská. 165.Dokažte,žezobrazení x x jeautomorfismusgrupyg=(g,,,e)právětehdy,kdyžjeg abelovská. 166.Dokažte,žezobrazení x x xjeendomorfismusgrupyg=(g,,,e)právětehdy,kdyžje G abelovská. 167.BuďG=(G,,,e)grupaaψ:G Gzobrazení.Dokažte,že ψ(x y)=ψ(y) ψ(x)pro každé x,y Gprávětehdy,kdyžexistujeendomorfismus ϕgrupygtakový,že ψ(x)=ϕ(x )pro všechna x G.[N] Izomorfismem rozumíme bijektivní homomorfismus. Řekneme, že grupy G a H jsou izomorfní, značíme G H, pokud existuje izomorfismus G H. Tvrzení. BuďG=(G,, 1,1)abelovskágrupa,A,Bjejípodgrupyapředpokládejme,že A B= {e}aab= G. PakG A B Dokažte předchozí tvrzení. 169.BuďAaBnormálnípodgrupygrupyG.Dokažte,že AB= {ab:a A,b B}tvořínormální podgrupugrupyg.dáledokažte,žepokud A B= {1}aAB= G,pakG G/A G/B.Návod: Uvažujtehomomorfismus x (xa,xb).obtížnéjedokázat,žejetotozobrazenína.ktomuse hodípozorování,žeprokaždé x Gexistuje b Btakové,že xa=baaanalogickypro xb. 170.Dokažte,žegrupa Z 2 k nenícyklickáprožádné k >2.[N] Chceme-li dokázat, že dané dvě grupy nejsou izomorfní, hodí se nalézt tzv. invariant(vlastnost zachovávaná izomorfismem), který v jedné grupě platí a v druhé nikoliv viz konec úvodní kapitoly sbírky. Jedním z nejužitečnějších invariantů je v případě grup existence a počet prvků daného řádu, viz následující cvičení. 171.Nechť ϕ:g Hjeizomorfismusgrup.Dokažte,žeprokaždé a Gplatí a = ϕ(a).[n] 172. Najděte dvě neizomorfní grupy, které mají stejný počet prvků všech řádů.[ř] 173.* Najděte dvě konečné neizomorfní grupy, které mají stejný počet prvků všech řádů.[?] 174. Dokažte, že grupy uvedené v tabulce malých grup jsou navzájem neizomorfní Dokažte, že neexistují jiné dvou, tří a čtyřprvkové grupy(až na izomorfismus).[n] 176.* Dokažte, že neexistují jiné šestiprvkové grupy(až na izomorfismus).[n] 177.** Dokažte, že neexistují jiné osmi a devítiprvkové grupy(až na izomorfismus). Prvky a,bgrupyg=(g,,,e)senazývajíkonjugované,pokudexistujeprvek c Gtakový,že a=c b c. 178.Dokažte,žerelacedefinovaná x y x,yjsoukonjugované,jeekvivalencenamnožině G. Jakvypadávpřípadě,žejeGabelovská?[Ř] 18
19 2. Cyklické a abelovské grupy 179.Spočtětea)řádprvku60vgrupě Z 64,b)řádprvku18vgrupě Z 37,c)řádprvku11vgrupě Z 122,d)řádprvku7vgrupě Z 17.[Ř] 180.Určete,kolikprvkůkteréhořáduobsahujígrupya) Z 16,b) Z Určete,kolikprvkůkteréhořáduobsahujígrupya) Z 24,b) Z Prokaždé n N { }najdětevgrupě C prvekřádu n.[ř] 183.*Dokažte,žepokud k n,pakgrupa Z n obsahujeprávě ϕ(k)prvkůřádu k,kde ϕjeeulerova funkce. 184.Sečtěte k n ϕ(k).[n][ř] 185.Rozhodněte,zdamnožina {z C: z =1}tvořípodgrupugrupya) C,b) C.[Ř] 186.Rozhodněte,zdairacionálníčíslatvořípodgrupugrupya) R,b) R.[Ř] 187. Dokažte, že libovolné dvě vlastní podgrupy grupy Q mají netriviální průnik. Platí toto tvrzení iprogrupu R?[Ř] 188.Dokažte,že Q= { 1 n : n N}.Existujenějakákonečnámnožinagenerátorůtétogrupy?[Ř] 189.Spočtěteprvkypodgrup 28,63 Z a 15,18,40 Z.[Ř] 190.Spočtěteprvkypodgrup 18,33,69 Q, 3 4 Q, 3 4,2 7 Qa 2 3,2 5 Q.[Ř] 191.Spočtěteprvkygrup i C, i C a 2,i C.[Ř] 192.Dokažte,že Z n = a právětehdy,kdyžjsou a,nnesoudělné.[n] 193.*Užitímpředchozíhocvičenídokažte,žegrupa Z n obsahujeprávě ϕ(k)prvkůřádu k,pro každé k n. 194.Užitímpředchozíhocvičenísečtěteřadu k n ϕ(k).[ř] 195.* Spočtěte všechny podgrupy grupy Z. 196.Spočtětevšechnypodgrupygrup Z 8, Z 12 a Z Spočtětevšechnypodgrupygrup Z 5, Z 7 a Z Dokažte,žepodgrupa az n = {axmod n:x=0,...,n 1}grupy Z n jegenerovanáprvkem NSD(a,n).[N] 199.Užitímpředchozíhocvičenídokažte,žepodgrupygrupy Z n jsouprávě az n, a n Která z následujících zobrazení jsou homomorfismy Z Z? x 3x; x x+3; x x 3 ; x 1; x 0 [Ř] 201.Kteráznásledujícíchzobrazeníjsouhomomorfismy C R? x 3 x ; x x +3; x x 3 ; x 1; x 1/ x [Ř] 202. Která z následujících zobrazení jsou homomorfismy? Z 4 C, a i a ; Z 5 C, a i a ; Z C, a i a [Ř] 203. Která z následujících zobrazení jsou homomorfismy? [Ř] Z 3 Z 5 Z 5, (a,b) b a ; Z 3 A 4, a (124) (132) a (142) 19
20 204.Rozhodněte,prokteráceláčísla njezobrazení z z n endomorfismusgrupy Q.Prokterá n jetotozobrazeníprostéaprokterájena?[ř] 205.Rozhodněte,zdajezobrazení ϕ:z Z Z Q,(x,y,z) 2 x 3 y 12 z homomorfismus.pokud ano, spočtěte jeho jádro a obraz.[ř] 206.Najdětevšechnyhomomorfismya) Z Z,b) Z Z n,c) Z n Z.[Ř] 207.Najdětevšechnyhomomorfismya) Z 15 Z 6,b) Z 6 Z 15 c)*z m Z n.[ř] 208.Najdětevšechnyhomomorfismya) Z 2 Z 2 Z 4,b) Z 4 Z 2 Z Najděte a) všechny endomorfismy grupy Q, b) všechny spojité endomorfismy grupy R, c)* nějaký nespojitý endomorfismus grupy R.[N][Ř] 210.Existujeprostýhomomorfismus Z pprvoč. Z p?[ř] 211.Dokažte,že ϕ n : Z n C, k cos(2πk/n)+isin(2πk/n)jeprostýhomomorfismus.coje jeho obrazem?[ř] 212.Dokažte,že C R RaC R + S,kde R + značípodgrupu R sestávajícízkladných číselasznačípodgrupu C sestávajícízčíselsabsolutníhodnotou1.[ř] 213.Dokažte,žegrupy Z mn a Z m Z n jsouizomorfníprávětehdy,kdyžjsou m,nnesoudělné.[n] 214.Zjistěte,kteréznásledujícíchgrupjsouizomorfní: Z, Z Z, Q.[Ř] 215.Zjistěte,kteréznásledujícíchgrupjsouizomorfní: Q, Q, Q + (jakopodgrupa Q ).[Ř] 216.Zjistěte,kteréznásledujícíchgrupjsouizomorfní: R, R, R + (jakopodgrupa R ).[Ř] 217.*Dokažte,žegrupy Q + a(z[x],+,,0)jsouizomorfní(zde Z[x]značímnožinuvšechceločíselných polynomů).[n][ř] 218.*BuďHpodgrupagrupy Rtaková,ževkaždémomezenémintervalureálnýchčíselsenachází pouzekonečnémnožstvíprvkůgrupyh.dokažte,žeh Z.[N][Ř] GrupaGsenazývácyklická,je-ligenerovanájednímprvkem a,tj.g= a.každácyklickágrupajeizomorfní buďgrupě Z(vpřípadě a = ),nebogrupě Z n(pokud n= a < ). 219.Dokažte,ženekonečnácyklickágrupajeizomorfnígrupě Zakonečná n-prvkovágrupě Z n. 220.Rozhodněte,zdajsougrupy Z 8, Z 14, Z 16 cyklické.pokudano,najdětenějakýgenerátor Dokažte, že grupa Q není cyklická, ale každá její konečně generovaná podgrupa je cyklická. 222.Rozhodněte,zdajekaždákonečnápodgrupagrupy C cyklická.[ř] 223.Dokažte,žegrupa Z m Z n jecyklickáprávětehdy,kdyžjsou m,nnesoudělné.[n] 224.* Dokažte, že každá podgrupa cyklické grupy je cyklická.[n] 225.BuďGabelovskágrupataková,žekaždájejípodgrupajecyklická.MusíbýtGcyklická?[Ř] 226. Dokažte, že konečná n-prvková cyklická grupa má právě jednu podgrupu velikosti k pro každé k n. 227.BuďG=(G,,,e)konečná n-prvkovácyklickágrupaaa,b G.Dokažte,žepokud k a= k bpronějaké knesoudělnésn,pak a=b. 228.*BuďG=(G,,,e)= a konečná n-prvkovácyklickágrupa.dokažte,žeg= k a právě tehdy,kdyžje knesoudělnésn. 229.BuďG=(G,,,e)= a cyklickágrupa.dokažte,žea)endomorfismygrupygjsouprávě všechna zobrazení x k x, k Z; b) automorfismy grupy G jsou právě všechna zobrazení x k xtaková,žeg= k a. 20
21 Věta.BuďGalespoňdvouprvkovákonečnáabelovskágrupa.Existujíprvočísla p 1,...,p mapřirozenáčísla k 1,...,k m taková, že G Z p k 1 1 Z p k 2 2 Z p km m. Čísla p 1,...,p ma k 1,...,k mjsouurčenajednoznačněažnapořadí Dokažte Základní větu aritmetiky jako důsledek Klasifikace konečných abelovských grup. 231.BuďGkonečnáabelovskágrupaapprvočíslotakové,že p G.Dokažte,žegrupaGobsahuje prvek řádu p. 232.Rozložtenásledujícígrupynasoučincyklickýchgrup: Z 5, Z 12, Z 24, Z 25, Z 21, Z 33.[Ř] 233.Spočtětevšechnypodgrupygrup Z 11 a Z Najděte m ntaková,že Z m Z n.[ř] 235.Existuje ntakové,že Z njeizomorfnía) Z 7,b) Z 8,c) Z 9?[?] 236.*Dokažte,žepro k >1je Z 2 k Z 2 k 2 Z 2.[N][?] 237.**Využijtevlastnost Z p Z p 1 adokažte,žeproprvočíslo p >2platí Z p k Z p k 1 Z p 1. [N][?] 3. Permutační grupy Permutací na množině X rozumíme bijekci(vzájemně jednoznačné zobrazení) X X. Pro permutace π, σ na X definujemeoperace, 1, idpředpisy π σ: x π(σ(x)), π 1 : x ten(jediný)prvek ysplňující π(y)=x, id:x x. Označíme-li S X množinuvšechpermutacínamnožině X,pakS X=(S X,, 1,id)jetzv.symetrickágrupana X. Zápisem π k rozumímepermutaci π } π π {{ }. k-krát Cyklusvpermutaci πjeposloupnost x 1,...,x k navzájemrůznýchprvkůmnožiny Xsplňující π(x 1)=x 2, π(x 2)= x 3,..., π(x k )=x 1.Rozklademnacyklyserozumízápis (x 11 x x 1k1 )(x 21 x x 2k2 )...(x m1 x m2... x mkm ), kde x i1,x i2,...,x iki jsounavzájemrůznécykly, i=1,...,m.cyklydélky1sezezápisuzpravidlavynechávají. Permutace se zapisují také v maticovém tvaru ( ) x1 x 2... x n, π(x 1) π(x 2)... π(x n) kde X= {x 1,...,x n}.napříkladpermutacinamnožině ( ) {1,2,3,4,5,6}definovanoupředpisem1 3,2 6,3 4, ,5 5,6 2lzezapsat nebo(134)(26) Transpozicí rozumíme permutaci tvaru(x y), kde x, y X, x y. Každá permutace na konečné množině je složením(konečně mnoha) transpozic. Permutace se nazývá sudá, pokud se skládá ze sudého počtu transpozic, lichá v opačném případě(dá se dokázat, že tato vlastnost nezáleží na zvoleném rozkladu). Znaménko sudé permutace je 1, liché permutace 1, značí se sgn(π). Platí sgn(π σ)=sgn(π) sgn(σ) a sgn(π 1 )=sgn(π). Znaménko permutace na n-prvkové množině X lze spočítat též takto: sgn(π)=( 1) n početcyklůvπ =( 1) početinverzívπ, kdeinverzívπserozumídvojice(i,j)taková,že i < ja π(i) > π(j)(předpokládámenějakélineárníuspořádánína X). 21
22 OznačmeS n=(s n,, 1,id)grupuvšechpermutacínamnožině {1,...,n},A njejípodgrupusudýchpermutacía D 2njejípodgrupupermutací,kterézachovávajípravidelný n-úhelníksvrcholy1,...,n(tj.d 2nsestáváznotočení a nosovýchsymetrií). ( ) Rozložte na cykly permutace a(234) (125) (3617).[Ř] ŘeštevS 5 rovnici(132) π (352)(14)=(24)(15).[Ř] 240.Najdětevšechnypermutace π S 7 takové,žea) π 2 =(123)(456),b) π 4 =( ), c) π 2 =(1234).[Ř] 241.*Charakterizujtevšechnypermutace π S n takové,žeexistuje σ S n tak,aby π= σ 2.[Ř] 242.Buď(a 1 a 2... a m )a(b 1 b 2... b n )dvacykly,kterémajíspolečnýprávějedenprvek.dokažte, že jejich složení je také cyklus. 243.Buď π=(a 1 a 2... a n ) S n.najdětevšechnypermutace σtakové,že π σ= σ π. 244.*Buď π=(a 1 a 2... a m ) S n,1 m n.dokažte,žepokud π σ= σ π,pak σ= π k τ pronějaké k Napermutaci τtakovou,že τ(a i )=a i provšechna i=1,...,m *Nechť π S 26.Dokažte,žeexistujípermutace ρ,σsestávajícíztřinácticyklůdélky2 splňující π=ρ σprávětehdy,když πmásudýpočetcyklůkaždédélky.[jdeotzv.rejewského větu, užitou při řešení Enigmy; číslo 26 zde zastupuje počet písmen německé abecedy.] ( ) n 246.Označme π= a σ= n n současný letopočet.[ř] ( ).Spočtěte π r a σ r,kde rje 247.Buď π S n libovolnápermutace.popište,cojenejmenší k >0takové,že π k jeidentita(tj. řád πvgrupěs n ).[Ř] 248.Obsahujea)grupaS 8 prvekřádu15?b)grupas 9 prvekřádu16?c)grupaa 7 prvekřádu 10?d)grupaA 8 prvekřádu6?pokudano,uveďtepříklad.[ř] 249.Jakýjenejvětšímožnýřádvgrupěa)S 4,b)S 7,c)S 10?Uveďtepříkladytakovýchpermutací! [Ř] 250.Určete,kolikprvkůkteréhořáduobsahujígrupya)D 12,b)A 4,c)*D 2n.[N][Ř] 251.*ObsahujegrupaS n víceprvkůlichéhořádu,nebosudéhořádu?[?] 252.* Dokažte oba vzorce na výpočet znaménka permutace. ( ) Najděte a,btak,abypermutace byla lichá.[ř] 4 7 a 6 b Uvažujtepermutaci π S n danouvzorcem π(i)=((i+1)mod n)+1.rozložtetutopermutaci na cykly a spočtěte její znaménko pomocí obou uvedených vzorců.[ř] 255. Spočtěte znaménko permutací ( n 2 3n 1 3n a) n 1 3n 3n 2 ( n n+1 n n b) n n 1 ). ), [Ř] 22
23 256. Buď ( σ= ( τ= ( υ= Spočtětepermutace(σ 120 τ 3 ) 17 υ 23 a(υ 23 σ) 134 τ 4 aspočtěteznaménkopermutace(σ 3 τ 17 ) 18 σ 10 (υ 9 τ) Rozhodněte,zdaexistujepermutace σ S 9 taková,že(σ (123)) 2 (σ (234)) 2 =(1234). [Ř] 258.Dokažte,žejekaždápermutaceřádu20vS 10 lichá. 259.*Charakterizujteřešitelnéaneřešitelnépozicehry 15(nápověda:znaménkopermutace). Permutace π,σjsoukonjugovanévgrupěs n(tj.existujepermutace ρ S ntaková,že π=ρ σ ρ 1 )právě tehdy, když mají stejný počet cyklů každé délky. 260.Označme π=(123)(4568)aσ=(82143)(75).spočtěte π σ π 1.[Ř] 261.Označme π=(874312)(56)aσ=(134)(2957)(86).spočtěte π 2 σ π 2.[Ř] 262.Jsoupermutace(123)a(124)konjugovanévgrupěS 4?Jsoukonjugovanétakévgrupě A 4?Pokudano,naleznětepříslušnoupermutaci,kterájekonjuguje.[Ř] 263.Jsoupermutace(13)(286)(47)a(128)(37)(54)konjugovanévgrupěS 8?Jsoukonjugované takévgrupěa 7?Pokudano,naleznětepříslušnoupermutaci,kterájekonjuguje.[Ř] ( ) Napište permutaci jako složení transpozic.[ř] ( ) Napište permutaci jako složení a) transpozice, b) trojcyklů Dokažte, že každou permutaci lze rozložit na transpozice.[ř] 267. Dokažte, že každou sudou permutaci lze rozložit na součin trojcyklů.[ř] Tvrzení, že každá permutace lze napsat jako složení transpozic a každá sudá jako složení trojcyklů, lze přeložit do řečialgebrytak,žegrupas njegenerovanámnožinouvšechtranspozicagrupaa nmnožinouvšechtrojcyklů. 268.Dokažte,žeS 4 = (12),(23),(34) as n = (12),...,(n 1 n). 269.Dokažte,žeS 4 = (12),(13),(14) as n = (12),...,(1 n). 270.Dokažte,žeS 4 = (12),(1234) as n = (12),(12... n). 271.Dokažte,žeS 4 (13),(1234). 272.Dokažte,žeS n = (12... n 1),(12... n). 273.*Buď T S n množina n 1transpozic.OznačmeG T grafsmnožinouvrcholů {1,...,n}, kdevrcholy i,jspojujehranaprávětehdy,když(i j) T.Dokažte,žeS n = T právětehdy,když G T jestrom. 274.Dokažte,žeA 4 = (123),(124) aa n = (123),(124),...,(12n). 275.Dokažte,žeA n = (123),(12... n) pro nlichéaa n = (123),(23... n) pro nsudé. 276.Dokažte,žeD 10 = (12345),(14)(23) ad 2n = (12... n),π,kdeπjelibovolnázosových symetrií.(uvažujted 2n jakogrupuautomorfismů n-úhelníkasvrcholyoznačenýmipostupně1,2,..., n.)[ř] 23 ), ), ).
24 277.*Buď G= (a 1 a 2... a m a m+1 ),(a 1 a 2... a m a m+2 ),...,(a 1 a 2... a m a n ) Sn, kde1 m < n 1.Dokažte,žeG=S n pro mlichéag=a n pro msudé. 278.Obsahujegrupaa)S 4,b)A 4 šestiprvkovoupodgrupu?[ř] 279.Rozhodněte,zdaa)všechnyosovésymetrie,b)všechnaotočenítvořípodgrupugrupyD 2n. [Ř] 280.NajdětevšechnypodgrupygrupS 3,A 4,D 8 akvaternionovégrupyq.[ř] 281.Dokažte,žesgnjehomomorfismusS n Z 3.(Uvažujte 1 2(mod3).) 282.Dokažte,želibovolnýautomorfismusgrupyS n zachováváznaménkopermutace BuďG=(G,,,e)grupa.Dokažte,že ϕ:g S G, a L a jevnoření(tj.prostýhomomorfismus).zde L a : x a xznačílevoutranslaciprvku a.[tzv.cayleyovareprezentace grup.] 284.*Nechť n=2 k m, k 0, mliché.najdětevnořenía)d n D 2 k D m,b)d 2 k D n,c) D m D n.[n][?] 285.**BuďGgrupaaa G.VnořteGdonějakégrupyHtak,abyvHexistovalprvek btakový, že b 2 jerovenobrazu a.[n] 286.Dokažte,žejepodgrupa (1234)(5678),(1537)(2846) S8 izomorfníkvaternionové grupěq.[n] AutomorfismydanéstrukturyX(algebry,grafu,uspořádanémnožiny,apod.)tvořípodgrupugrupyS X,značíse Aut(X). AutomorfismemgrafuG=(V,E)rozumímepermutaci ϕ S V takovou,že {x,y} E {ϕ(x),ϕ(y)} E. AutomorfismemuspořádanémnožinyX=(X, )rozumímepermutaci ϕ S Xtakovou,že x y ϕ(x) ϕ(y). 287.Dokažte,žemnožinavšechautomorfismůdanéalgebryAskutečnětvořípodgrupugrupyS A. Analogické tvrzení dokažte pro automorfismy grafů a uspořádaných množin Vypište prvky grup automorfismů tříprvkových grafů, domečku, prasátka,* Petersenova grafu. S kterými malými grupami jsou izomorfní? 289. Vypište prvky grup automorfismů čtverce, pětiúhelníka a obecně pravidelného n-úhelníka(tj. grupyd 8,D 10,resp.D 2n ) Najděte graf na alespoň dvou vrcholech, který má triviální grupu automorfismů.[ř] 291.Vypišteprvkygrupa)Aut(N, ),b)aut(z, ).[Ř] 292.* Uvědomte si, že Aut(R, ) obsahuje právě všechny striktně rostoucí spojité reálné funkce. Spočtěte prvky grupy Aut(Q, ).[N][Ř] 293. Vypište prvky grupy všech symetrií čtyřstěnu, krychle,* osmistěnu a** dvanáctistěnu. 294.Dokažte,žegrupasymetriíčtyřstěnujeizomorfnísS 4,krychlesZ 2 S 4 a**dvanáctistěnu s Z 2 A Vypište prvky grupy všech otočení čtyřstěnu, krychle,* osmistěnu a** dvanáctistěnu. 296.Najdětevšechnyautomorfismygrupya) Z,b) Q,c) Z 2 Z 2,d) Z 4 Z 2,e)*S 3.Skterými známými grupami jsou izomorfní?[ř] 297.Dokažte,žeAut(Z n ) Z n.[ř] 24
25 298.Dokažte,žepokudjsoum,nnesoudělné,pakZ mn Z m Z n.(tototvrzenísedáinterpretovat jakoaut(z m Z n ) Aut(Z m ) Aut(Z n ).) 299.* Dokažte, že pokud jsou řády grup G, H nesoudělné, pak Aut(G H) Aut(G) Aut(H). 300.Dokažte,žeAut((Z p ) d ) GL(d,Z p ). 301.BuďG=(G,,,e)grupa, a Gaoznačme ψ a zobrazení G G, x a x a.dokažte,že je ψ a automorfismusgrupyg. Zobrazení ψ a, a G,zpředchozíhocvičenísenazývajívnitřníautomorfismy grupyg.tvořípodgrupugrupy Aut(G), značí se Inn(G) Dokažte, že Inn(G) je skutečně podgrupa grupy Aut(G). 303.NajdětevšechnyautomorfismygrupyS 4.SekterouznámougrupoujeAut(S 4 )izomorfní? [?][Ř] 304.**Dokažte,žepro n 6jsouvšechnyautomorfismyS n vnitřní.návod:???[?] 305.**Dokažte,žeS 6 máautomorfismus,kterýnenívnitřní.návod:???[?] 306.* Buď G neabelovská grupa. Dokažte, že Inn(G) nemůže být konečná cyklická.[?] 307.*BuďGgrupa.Dokažte,žeAut(G)nemůžebýtcyklickálichéhořádu.[?][N] 4. Maticové a geometrické grupy Připoměňme,žeGL n(t)značímultiplikativnígrupuregulárníchmatic n nnadtělesemta SL n(t)jejípodgrupumaticsdeterminantem1; GO n(t)jejípodgrupuortogonálníchmatic; SO n(t)=sl n(t) GO n(t). 308.BuďTtěleso.Rozhodněte,zdaa)SL n (T) GL n (T),b)GO n (T) GL n (T),c)GO n (T) SL n (T).[Ř] 309.Dokažte,žeGL 2 (Z 2 )= ( ),(01 11 ).Jetatogrupacyklická?[Ř] 310.Dokažte,žeGL n (Q)= T ij (a),e i (a): i,j=1,...,n, a Q,kdeT ij (a)jematicesjedičkami nadiagonále, anapozici ijanulamijinde,ae i (α)jematicesjedničkaminadiagonálesvyjímkou pozice ii,kdejeprvek aajindenuly. 311.*Dokažte,žeSL 2 (Z)= ( ), ( ). 312.*Dokažte,žeSL n (Z)= T ij : i,j=1,...,n,kde T ij jematicesjedičkaminadiagonálea napozici ijanulamijinde OznačmeGgrupuvšechregulárníchhorníchtrojúhelníkovýchmatic n nnad Qauvažujme zobrazení ϕ přiřazující matici A diagonální matici se stejnými prvky na diagonále. Je ϕ homomorfismusg GL n (Q)?[Ř] 314.BuďTtěleso.Dokažte,že ϕ:s n GL n (T), π ( δ i,σ(j) ) n i,j=1,kde δ u,v=1pokud u=va δ u,v =0vopačnémpřípadě,jeprostýhomomorfismus.Dokažte,žeobraztohotohomomorfismuje podgrupao n (T).[Tzv.lineárníreprezentacegrup.] 315.Najdětevnořenígrupy C dogl 2 (R).[Ř] 316.*NajdětevnořeníkvaternionovégrupyQa)doGL 2 (C),b)doGL 4 (R).Rozšiřtetatozobrazení na celou multiplikativní grupu nekomutativního tělesa kvaternionů.[n][ř] 317.Dokažte,žeGL 2 (Z 2 ) S 3. Izometrií Eukleidovskéhoprostoru R n rozumímezobrazení ϕtakové,že ϕ(x) = x.příkladyizometriíjsou otočení(rotace), posunutí(translace) a osové symetrie(reflexe). 25
PŘÍKLADY Z ALGEBRY.
PŘÍKLADY Z ALGEBRY DAVID STANOVSKÝ stanovsk@karlin.mff.cuni.cz Motto: Není jiné rozumné výchovy než příkladem; když to nejde jinak, tak aspoň odstrašujícím. Albert Einstein Toto je pracovní verze sbírky
VíceDefinujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu.
1.teorie(1bod) Formulujte princip matematické indukce. Napište základní větu aritmetiky. Napište Bézoutovu rovnost v oboru celých čísel. Definujte,coznamenázápis a b(mod n),auveďtezákladnívlastnosti. Napište
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VíceAlgebra I Cvičení. 4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále.
Algebra I Cvičení Podle následující sbírky probíhalo cvičení na PřF v semestru Jaro 2003. Příklady jsou rozděleny na ty, které jsme dělali na cvičení (označeno C), úlohy na kterých lze procvičovat probranou
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
S Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 s Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy s Doporučene zdroje Martin Panák,
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
Více2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:
Sbírka příkladů z polynomů pro předmět Cvičení z algebry I Dělení v okruzích polynomů 1. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 2x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x 3 + 10x 2 + 2x 3) : (5x 2 + 25x
Více2. Test 07/08 zimní semestr
2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:
VíceZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I
1 ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím neznáte a nechápete (aaniprozatímchápatnemůžete)jejichmatematický
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceZáklady aritmetiky a algebry I
Základy aritmetiky a algebry I Základní literatura k předmětu: [BeDla] Bečvář J., Dlab V.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016. Další literatura k předmětu: [Be] Bečvář J.: Lineární
VíceALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceZáklady aritmetiky a algebry II
Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický
Více1. Základní příklady a poznatky o monoidech a grupách
Předmět: Algebra I Semestr: Zimní 2015/2016 Přednášel: J. Žemlička Verze z: 6. ledna 2017 Díky za pomoc s řešeními příkladů: Martin Šerý, Štěpán Hojdar, Petr Houška, Péťa Pelikánová. (A určitě další, ale
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceGRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ
Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ bakalářská práce Brno 2005 Vít Musil i Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
Vícepochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor
NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceCyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceMnožinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
VíceAlgebraické struktury
Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní
VíceAlgebra II pro distanční studium
Algebra II pro distanční studium (1) Předmluva................... 3 I. Struktury s jednou binární operací........ 5 1. Základní vlastnosti grup.......... 5 2. Podgrupy................ 22 3. Grupy permutací.............
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
VíceLineární algebra Eva Ondráčková
Lineární algebra Eva Ondráčková Vektorové prostory Mnozízvásužsenejspíšsetkalispojmemvektor.Ukážemesi,ževektorynejsoujen množiny orientovaných úseček v rovině či trojrozměrném prostoru, ale něco zajímavějšího,
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceNechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace
Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceM M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje
VíceGrupy Mgr. Růžena Holubová 2010
Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 1. Úvod Cílem této práce je přehledně zpracovat elementární teorii algebraických struktur s jednou operací se zaměřením na teorii grup a sestavit sbírku řešených úloh, proto
VíceDiskrétní matematika 1. týden
Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceZÁKLADY ALGEBRY 2008/09. stanovsk@karlin.mff.cuni.cz
ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09 DAVID STANOVSKÝ stanovsk@karlin.mff.cuni.cz Toto jsou provizorní skripta k úvodnímu kurzu obecné algebry, a to jak pro studenty učitelství a finanční matematiky(skripta obsah přednášky
VíceAlgebraická teorie diskrétního lineárního řízení vznikla jako speciální obor teorie
OKRUHY POLYNOMŮ PRO DISKRÉTNÍ LINEÁRNÍ ŘÍZENÍ 0. Úvod Algebraická teorie diskrétního lineárního řízení vznikla jako speciální obor teorie řízení začátkem sedmdesátých let dvacátého století. V této době
Vícea + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
Více(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceMatematika IV - 5. přednáška Polynomy
Matematika IV - 5. přednáška Polynomy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 17. 3. 2008 Obsah přednášky O Dělitelnost a nerozložitelnost Kořeny a rozklady polynomů Polynomy více proměnných
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceSvazy. Jan Paseka. Masarykova univerzita Brno. Svazy p.1/37
Svazy Jan Paseka Masarykova univerzita Brno Svazy p.1/37 Abstrakt Zmíníme se krátce o úplných a distributivních svazech, resp. jaké vlastnosti má řetězec reálných čísel. Svazy p.2/37 Abstrakt V této kapitole
VíceMatematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup
Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,
Více8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceMatematika IV - 5. přednáška Polynomy
S Matematika IV - 5. přednáška Polynomy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 17. 3. 2008 s Obsah přednášky O Dělitelnost a nerozložitelnost Kořeny a rozklady polynomů Polynomy více proměnných
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ŘEŠITELNÉ GRUPY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Brno 2006 Martin Štoudek Prohlašuji, že tato práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracoval samostatně. Všechny
Víceα 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
VíceNOVý TEXT O GRUPÁCH DAVID STANOVSKÝ
NOVý TEXT O GRUPÁCH DAVID STANOVSKÝ 1. Pojem grupy 1.1. Definice a příklady. Motivací teorie grup je především studium nejrůznějších symetrií matematických objektů. Pojem pochází z Galoisovy teorie a původně
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
Více