Funkcionální rovnice

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Funkcionální rovnice"

Transkript

1 Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp Persistent URL: Terms of use: Ljubomir Davidov, 1977 Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 ÚLOHY K PROCVIČENÍ 1. Určete všechny funkce f(x) definované na celé číselné ose a vyhovující funkcionální rovnici f(x + y)- 2f(xy) 3f(x) + (2x 2-1) f(y) = = 2x(xy 1) 5. Odpov&d: f(x) = x Určete všechny funkce definované na intervalu (0, oo), jež jsou řešeními funkcionální rovnice /(«) = yf{x). Odpověd: f(x) = C log x. 3. Určete všechny funkce f(x), které vyhovují následujícím podmínkám: a) je-li funkce f(x) definována a spojitá v jistém bodě <x, pak existuje okolí A bodu <x tak, že f(x) je definována a spojitá pro všechna x e A; b) není-li funkce f(x) v bodě <x definována, pak existuje okolí A bodu <x tak, že funkce f(x) je definována a spojitá pro všechna x e A, x ^ a, a platí Um /(a;) = oo; 88 c) funkce f(x) je řešením funkcionální rovnice flx + v ) - /(*> + /(*> n* + V)~ 1 f(x) f(y)

3 Návod: Nejprve dokažte, že pokud funkce f(x) splňuje uvedené tři požadavky, je už nutně definována v bodě 0. Poté dokažte, že existují čísla a > 0 a c, 0 < c < j, i tak, že platí f(a) = tg c. Nakonec dokažte indukcí, že platí f(x) = tg-^-x pro každé x tvaru x = kde TI a TO S: 0 jsou celá čísla. Odpověď: f(x) = tg Ax, kde A je libovolné reálné 4. Určete všechny funkce f(x), které vyhovují následujícím podmínkám: a) je-li funkce f(x) definována a spojitá v jistém bodě «, pak existuje okolí A bodu <x tak, že funkce f(x) je definována a spojitá pro všechna x e A; b) není-li funkce f(x) v bodě <x definována, pak existuje okolí A bodu a. tak, že funkce f(x) je definována a spojitá pro všechna x e A, x ^ a, a platí lim /(x) = = oo; c) funkce f(x) je řešením funkcionální rovnice /(a! + ž/)- f(x) + f(y) Odpověď: f(x) = cotg Ax, kde A je libovolné reálné 5. Určete všechny funkce f(x), které vyhovují podmínkám a) a b) z obou předcházejících úloh a jsou řešeními funkcionální rovnice //,, i _ /(») + M ~ 2/(*) f(y) H x + y ) 1 2 f(x) f(y) 89

4 Návod: Ukažte, že funkce g{x) = 1 je řešením funkcionální rovnice alx + v)~ 9{X) 9(y) ~ 1 W + y)- g{x)+g(y) Odpovéď: f(x) = - ; r, kde A je reálné ť ' v ' 1 + cotg Ax J 6. Určete všechny funkce f(x), které vyhovují podmínkám a) a b) z úlohy 4 a jsou řešeními funkcionální rovnioe /(* + y) /(*) + M - 1 2f(x) + 2f(y) - 2f(x)f(y) - 1 Odpovéď: f(x) = ^ ^ ^ ^, kde A je reálné 7. Určete všechny funkce f(x), které vyhovují podmínkám a) a b) z úlohy 4 a jsou řešeními funkcionální rovnice /(«+ y) = /(*) + f(y) + 2/(*)/(y) i - / ( * ) / ( y ) Návod: Dokažte nejprve, že funkce f(x) je definována v bodě 0, a pak definujte f(x) pro racionální hodnoty proměnné x. Odpovéď: f{x) = l c(x \) X ' 8. Za stejných podmínek ímínek jako v předcházející úloze určete všechna řešení i funkcionální rovnice rn + f(y) - /(* + y) = 00

5 Odpověď: f(x) = Určete všechny funkce f(x), které jsou definovány a spojité na celé číselné ose a řeší funkcionální rovnici f(x + y) = f(x)f(y) - l/l-/'(z), l/l-/%). Návod: Metodou, jíž jsme řešili ďalembertovu rovnici, dokažte, že všechna řešení uvedené funkcionální rovnice jsou tvořena funkcemi f(x) = cos Ax, kde A je libovolné reálné 10. Dokažte, že všechny funkce f(x), které jsou definovány a spojité pro všechna x, řeší funkcionální rovnici t(x + y) + /(* y) = 2 f(x)f(y) a splňují podmínku f(x) Si 1 pro všechna x, mají tvar kde a je kladné reálné Návod: Využijte metody, kterou jsme řešili ďalembertovou rovnici. Dokažte nejprve, že pokud je a > 0, a ^ 1 libovolné reálné číslo, existují kladná reálná čísla c a 6 tak, že platí m = J ^ L. 11. Dokažte, že všechny funkce f(x), které jsou definovány a spojité pro všechna x a vyhovují funkcionální rovnici 01

6 /(* + y) = m f(y) + Vn*) 1 V/ 2 (y) i, mají tvar m -, kde o je kladné reálné 12. Dokažte, že všechny funkce, které jsou definovány a spojité v intervalu ( 1, 1) a řeší funkcionální rovnici f(xy _ yn=^5) = /(*) + jsou tvaru /(x) = C arccos a;, kde O je libovolné reálné 13. Určete všechny funkce /(x), jež jsou řešeními funkcionální rovnice kde a je pevné reálné f(x + y + axy) = f{x)f(y), Odpověď: f(x) = (1 + ax). 14. Určete všechny funkce, které řeší funkcionální rovnici 92» /(y&nř) = m + ny). Odpověď: f(x) = ex"; c je libovolné reálné 15. Určete všechna řešení funkcionální rovnice U- J 2 i. y J Odpověď: f(x) - const.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života

Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života Organizace JČMF In: Jiří Dolejší (editor); Jiří Rákosník (editor): Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života. (Czech).

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty

Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Výpočet objemu tělesa In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Granát Vypočítávání obsahu šikmo seříznutého kužele. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 46 (1917), No. 1, 71--74 Persistent URL:

Více

100 let Jednoty československých matematiků a fyziků

100 let Jednoty československých matematiků a fyziků 100 let Jednoty československých matematiků a fyziků Závěrečné slovo In: František Veselý (author): 100 let Jednoty československých matematiků a fyziků. (Czech). Praha: Státní pedagogické nakladatelství,

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Emanuel Čubr Poloměr setrvačnosti a centrální ellipsa Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 3 (1874), No. 3, 108--113 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123753

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Antonín Svoboda Některé speciální otázky dálkového studia fyziky na pedagogických fakultách Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 12 (1967), No. 5, 283--286

Více

Finanční matematika v českých učebnicích

Finanční matematika v českých učebnicích Finanční matematika v českých učebnicích Závěr In: Martin Melcer (author): Finanční matematika v českých učebnicích. (Od Marchetovy reformy). (Czech). Praha: Matfyzpress, vydavatelství natematicko-fyzikální

Více

Otakar Borůvka a diferenciální rovnice

Otakar Borůvka a diferenciální rovnice Otakar Borůvka a diferenciální rovnice Přílohy In: Petra Šarmanová (author): Otakar Borůvka a diferenciální rovnice. (Czech). Brno: Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, 1998. pp. 173--178. Persistent

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Tomeš I. Konstrukce os ellipsy, znám-li její středobod Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 9 (1880), No. 5, 275--279 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120887

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Ladislav Drs Použití samočinných počítačů a automatického kreslení v deskriptivní geometrii Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 17 (1972), No. 4, 199--203

Více

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Stanovy Jednoty československých matematiků a fysiků v Praze Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 51 (1922), No. 1, 61--64 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109201

Více

Otakar Borůvka. Bratislava. Terms of use:

Otakar Borůvka. Bratislava. Terms of use: Otakar Borůvka Bratislava In: Zdeněk Třešňák (author); Petra Šarmanová (author); Bedřich Půža (author): Otakar Borůvka. (Czech). Brno: Nadace Universitas Masarykiana v Brně, 1996. pp. 120--123. Persistent

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Bohumil Kučera Nová methoda k demonstraci Thomsonova effektu Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 41 (1912), No. 3-4, 400--403 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122925

Více

[Propagační materiál ke knize "O nejlepším státě"]

[Propagační materiál ke knize O nejlepším státě] [Propagační materiál ke knize "O nejlepším státě"] [Recenze Jaškova překladu knihy B. Bolzana O nejlepším státě ] In: [Propagační materiál ke knize "O nejlepším státě"]. (Czech). Praha: neznámý, 1937.

Více

O náhodě a pravděpodobnosti

O náhodě a pravděpodobnosti O náhodě a pravděpodobnosti 10. kapitola. Ještě jednou honička na šachovnici a kvočny na vejcích neboli Bernoulliovo schéma In: Adam Płocki (author); Eva Macháčková (translator); Vlastimil Macháček (illustrator):

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Augustin Pánek Život a působení p. Václava Šimerky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 17 (1888), No. 6, 253--256 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122356

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Vladimír Kořínek; Miloš Jelínek; Josef Metelka; Josef Fuka Postavení matematiky, fysiky, astronomie a deskriptivní geometrie v učebním plánu střední všeobecně vzdělávací

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Jan Vlachý Matematicko-fyzikální vědy ve Velké Británii Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 15 (1970), No. 2, 77--81 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/138233

Více

Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie

Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie Hana Vymazalová Ukázky z egyptských matematických textů In: Jindřich Bečvář (author); Martina Bečvářová (author); Hana Vymazalová (author): Matematika ve starověku.

Více

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Karel Lerl Poznámka k metodice obyčejných zlomků Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 69 (1940), No. Suppl., D118--D122 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120990

Více

Kybernetika. Pavel Nádvorník; A. Votruba; V. Houda; V. Matějíček; Vladimír Drozen Výsledky diagnostické práce na samočinném počítači LGP 30

Kybernetika. Pavel Nádvorník; A. Votruba; V. Houda; V. Matějíček; Vladimír Drozen Výsledky diagnostické práce na samočinném počítači LGP 30 Kybernetika Pavel Nádvorník; A. Votruba; V. Houda; V. Matějíček; Vladimír Drozen Výsledky diagnostické práce na samočinném počítači LGP 30 Kybernetika, Vol. 2 (1966), No. 5, (435)--439 Persistent URL:

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Posejpal Drobnosti ze školní praxe Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 40 (1911), No. 1, 108--111 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123095

Více

Eukleidovy Základy, jejich vydání a překlady

Eukleidovy Základy, jejich vydání a překlady Eukleidovy Základy, jejich vydání a překlady František Servít In: Martina Bečvářová (author): Eukleidovy Základy, jejich vydání a překlady. (Czech). Praha: Prometheus, 2002. pp. 201--205. Persistent URL:

Více

Matematika v proměnách věků. I

Matematika v proměnách věků. I Matematika v proměnách věků. I Jaroslav Drábek Démokritova atomistická metoda In: Jindřich Bečvář (editor); Eduard Fuchs (editor): Matematika v proměnách věků. I. Sborník. (Czech). Praha: Prometheus, 1998.

Více

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Vojtěch Jarník Návod ke studiu analysy pro začátečníky Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 70 (1941), No. Suppl., D109--D116 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121811

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Princip matematické indukce

Princip matematické indukce Princip matematické indukce 2. kapitola. Význam principu matematické indukce pro definice a konstrukce In: Antonín Vrba (author): Princip matematické indukce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1977. pp. 31

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Stanislav Koc Gunnův jev - příklad záporného diferenciálního odporu Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 16 (1971), No. 6, 311--314 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/137640

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Miroslav Brdička Tycho Brahe či Tycho de Brahe, Galilei či Galileo Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 43 (1998), No. 4, 320--323 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139739

Více

Základy analytické geometrie. I

Základy analytické geometrie. I Základy analytické geometrie. I Prostory vnořené do Em In: Eduard Čech (author): Základy analytické geometrie. I. (Czech). Praha: Přírodovědecké vydavatelství, 1951. pp. 50 67. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402523

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Kybernetika. František Zrcek Zařízení s reverzním čítačem jako model homogenního procesu imigrace a emigrace

Kybernetika. František Zrcek Zařízení s reverzním čítačem jako model homogenního procesu imigrace a emigrace Kybernetika František Zrcek Zařízení s reverzním čítačem jako model homogenního procesu imigrace a emigrace Kybernetika, Vol. 4 (1968), No. 2, (151)--163 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/124918 Terms

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Miroslav Brdička Vzpomínka na profesora Trkala (ke 110. výročí jeho narození) Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 43 (1998), No. 2, 156--159 Persistent

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Emil Schoenbaum K matematice pensijního pojišťování Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 50 (1921), No. 4-5, 255--264 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123796

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Wolfgang Frühwald Základní výzkum - investice do budoucnosti Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 39 (1994), No. 2, 113--116 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/138066

Více

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Karel Regner K metodice vyučování matematického Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 64 (1935), No. 4, D82--D86 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108835

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Historie matematické lingvistiky

Historie matematické lingvistiky Historie matematické lingvistiky 2.1 Stručný historický nástin In: Blanka Sedlačíková (author): Historie matematické lingvistiky. (Czech). Brno: Akademické nakladatelství CERM v Brně, 2012. pp. 15--18.

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Daniel Mayer Nová metoda zviditelnění fyzikálních polí Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 23 (1978), No. 6, 318--322 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/138536

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Milan Bednařík; Miroslava Široká Statická analýza výsledků písemné kontrolní práce z fyziky Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 15 (1970), No. 3-4, 180--193

Více

ř š ú š Č š ž ř š Š Š Í ú š ď ř š ú Š ů ú ř ř ř ř ů ř Ž š ů ú ů ř Š Š Š ř ů řň ň řň řň ů ř ř š Í ř ř ř ř ř ř ř ř Ž Ž ř ú ů ú ú š Ú ú ú Í Ž Ž ů Ž Ž Č ň Ú řš ř řš ú Ž ú ť ň Í ř ř ů ť š š ř Í řš ú Ý Í ť ú

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Břetislav Novák Vědecká práce posluchačů na katedře matematické analýzy a jejích aplikací MFF UK Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 23 (1978), No. 1,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Ivana Stulíková; Pavel Lukáč Nadace Alexandra von Humboldta Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 39 (1994), No. 5, 241--250 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/138856

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Augustin Pánek Svěcení pomníku p. Václava Šimerky v Praskačce Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 19 (1890), No. 6, [273a]--277 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122020

Více

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011 Lineární rovnice s parametrem

Více

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Miloš Neubauer O spojitých funkcích, nabývajících každé své hodnoty konečněkrát Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 63 (1934), No. 2, 1--8 Persistent

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života

Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života Jednota českých matematiků a fyziků ve 150. roce aktivního života Martina Bečvářová Jednota českých matematiků a fyziků In: Jiří Dolejší (editor); Jiří Rákosník (editor): Jednota českých matematiků a fyziků

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

České kořeny bulharské matematiky

České kořeny bulharské matematiky České kořeny bulharské matematiky Seznam publikací Vladislava Šaka In: Martina Bečvářová (author): České kořeny bulharské matematiky. (Czech). Praha: Matfyzpress, 2009. pp. 352--356. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400960

Více

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14 Funkce Definiční obor funkce, obor hodnot funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14 Obsah 1 Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Rudolf Kolomý Z historie starých měr a zavedení metrické soustavy Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 14 (1969), No. 4, 177--181 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139280

Více

ŽÁDOST O UZNÁNÍ ZAHRANIČNÍHO VYSOKOŠKOLSKÉHO VZDĚLÁNÍ A KVALIFIKACE APPLICATION FOR THE RECOGNITION OF FOREIGN EDUCATION IN THE CZECH REPUBLIC

ŽÁDOST O UZNÁNÍ ZAHRANIČNÍHO VYSOKOŠKOLSKÉHO VZDĚLÁNÍ A KVALIFIKACE APPLICATION FOR THE RECOGNITION OF FOREIGN EDUCATION IN THE CZECH REPUBLIC Otisk podacího razítka VŠE Vysoká škola ekonomická v Praze PRÁVNÍ ODDĚLENÍ nám. W. Churchilla 4 Praha 3 130 67 ŽÁDOST O UZNÁNÍ ZAHRANIČNÍHO VYSOKOŠKOLSKÉHO VZDĚLÁNÍ A KVALIFIKACE APPLICATION FOR THE RECOGNITION

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Matematika v 16. a 17. století

Matematika v 16. a 17. století Matematika v 16. a 17. století Alena Šarounová Zamyšlení nad tokem času In: Jindřich Bečvář (editor); Eduard Fuchs (editor): Matematika v 16. a 17. století. Seminář Historie matematiky III, Jevíčko, 18.8.

Více

SLOVNIK CIZICH SLOV PDF

SLOVNIK CIZICH SLOV PDF SLOVNIK CIZICH SLOV PDF ==> Download: SLOVNIK CIZICH SLOV PDF SLOVNIK CIZICH SLOV PDF - Are you searching for Slovnik Cizich Slov Books? Now, you will be happy that at this time Slovnik Cizich Slov PDF

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Princip virtuálních prací (PVP)

Princip virtuálních prací (PVP) Zatěžujme pružinu o tuhosti k silou F k ū F Princip virtuálních prací (PVP) 1 ū u Energie pružné deformace W ext (skalár) je definována jako součin konstantní síly a posunu. Protože se zde síla během posunu

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Jaroslav Šedivý Práce A. N. Kolmogorova na přestavbě školské matematiky Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 18 (1973), No. 3, 146--153 Persistent URL:

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Božena Květoňová Gaspard Monge a deskriptivní geometrie Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 41 (1996), No. 5, 256--261 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/138579

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Ů š š č É É É š É Ř š š Ř Ž É Í Ř Š šš š É É š Ž Ě É Ř É Ř š ě É É É Ď Ž Ě š č š Ř Ý Ů É č É š Ě č É Ě ž ů š š ň č É č č É č É ů É É Ř š č Ř Ť É Ř č Ů č É É Ř É č š Ě ě ů š š ě ý š č č ě ý š č Í ě ý š

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1)

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1) ZKOUŠKA ČÍSLO 1 x=linspace(0,100,20); y=sqrt(x); A=[x;y]'; save('data.txt','a','-ascii'); polyn = polyfit(x,y,3); polyv = polyval(polyn,x); plot(x,y,'r*') plot(x,polyv,'b') p1=[1 0 0 0 0 0 0-1]; k=roots(p1);

Více

ČISTICÍ PROSTŘEDEK A VAŠE RUCE

ČISTICÍ PROSTŘEDEK A VAŠE RUCE ČISTICÍ PROSTŘEDEK A VAŠE RUCE Úvod Marta žije v městě, které má tvrdou vodu - obsahuje velké množství minerálních látek. 1 Jedním z problémů při používání tvrdé vody je, že v místech, kde voda stojí,

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Finanční matematika v českých učebnicích

Finanční matematika v českých učebnicích Finanční matematika v českých učebnicích 1 Teoretické minimum finanční matematiky In: Martin Melcer (author): Finanční matematika v českých učebnicích (Od Marchetovy reformy) (Czech) Praha: Matfyzpress

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

OBCHOD S KOVOVÝM ŠROTEM (ČÁST 2)

OBCHOD S KOVOVÝM ŠROTEM (ČÁST 2) OBCHOD S KOVOVÝM ŠROTEM (ČÁST 2) Měď je rozšířený kov používaný například do počítačů, jako elektrické kabely, okapy, instalatérské prvky a všemožný spojovací materiál. Po mědi je tedy velká poptávka a

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Slatina. Nová Slatina. Retail Park Brno. zelene mesto

Slatina. Nová Slatina. Retail Park Brno. zelene mesto Nová Lokalita Brno, Řípská ulice Areál bývalých kasáren, 4 km východně od centra města. Location Brno, Řípská street Site of former barracks, 4 km from the centre of Brno. Dané území má strategickou pozici

Více

()-:=L OSVEDCENI O AKREDITACI. i;,.--{--- s^.6. Strojirenskf zkulebni ristav, s.p. se sidlem Iludcova 424156b, 621 00 Brno, IC 00001490

()-:=L OSVEDCENI O AKREDITACI. i;,.--{--- s^.6. Strojirenskf zkulebni ristav, s.p. se sidlem Iludcova 424156b, 621 00 Brno, IC 00001490 i;,.--{--- " Signatrii EA MLA Ceskf institut pro akreditaci, o.p.s. Ol5anski 54/3, 130 00 Praha 3 WdAvit v souladu s $ 16 zakona C, 22/1997 Sb., a technickich pozadavcich na vjrobky, ve zlrdui pozddjsich

Více

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky

Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jaroslav Bílek Rozvržení učebné látky z fysiky I. dílu pro vyšší třídy Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 64 (1935), No. 6, D111--D116 Persistent

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

Škola matematického modelování 2015. Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal

Škola matematického modelování 2015. Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal Počítačová cvičení Škola matematického modelování 2015 Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal Počítačová cvičení Škola matematického modelování Petr Beremlijski, Rajko

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více