Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace"

Transkript

1 RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem, býti studentem určitého ročníku, mít stejný datum narození a samozřejmě i vysloveně matematicky formulované vztahy jako býti větší než, býti podmnožinou, býti dělitelem atd. Přejděme k definici pojmu binární relace. Definice. Za binární relaci mezi množinami A a B budeme považovat každou podmnožinu kartézského součinu množin A B. Binární relací na množině A budeme rozumět každou podmnožinu kartézského součinu množin A A. Relace mezi množinami A a B může být i prázdná podmnožina nebo množina A B. Skutečnost, že dva prvky a, b jsou v relaci R A B, tj. (a, b) R budem obvykle vyjadřovat zápisem a R b. V dalším budeme místo slovo binární vynechávat a místo binární relace budeme říkat krátce jen relace. Poznamenejme také, že každé zobrazení f množiny A do množiny B je relace. Dvojice prvků a A a b B jsou v relaci f, právě tehdy, když je f(a) = b. Zobrazení je speciální případ relace. Aby relace R byla zobrazení musí platit: je li a R b a a R c, potom je nutně b = c. S relacemi můžeme provádět veškeré operace, které umíme dělat s množinami. Zavádíme i pojem podrelace. Relace S je podrelací relace R, je lis R. Jsou li R a S relace mezi A a B, pak jsou relacemi mezi A a B i množiny R S a R S. Doplnkěm relace R je relace (A B) \ R. Naříklad pro relace býti menší, býti menší nebo rovno a býti rovno na množině R platí, že býti menší je podrelací býti menší nebo rovno a býti menší nebo rovno je sjednocením relací býti menší a rovno. Ke každé relaci R mezi množinami A a B můžeme definovat inverzní relaci R 1 mezi množinami B a A takto: b R 1 a, právě tehdy, když je a R b. Uvědomme si, že z toho že relace R je zobrazení, neplyne, že relace R musí také být zobrazení. Uvažujme například zobrazení S z množiny všech reálných čísel R do R definované a S b b = a 2. Relace S 1 není zobrazení, protože je například dvojice (1, 1) a ( 1, 1) jsou obě v relaci S 1. Lze a je účelné definovat i skládání relací. Je li R A B a S B C definujeme relaci R S mezi množnami A a C takto: a R S c, právě tehdy, když existuje prvek b B takový, že je a R b a b S c. Skládaní relací je asociativní, tj. je li R A B, S B C a T C D, pak je R (S T ) = (R S) T. Skládání relací ale není komutativní, tj. nemusí platit rovnost R S = S R i když je složení v obou případech definováno. Například pokud relace R je býti sourozencem (bratrem nebo sestrou) a relace S je býti potomkem (synem nebo dcerou), je relace R S rovna R a relace S R je býti synovcem nebo neteří. Samozřejmě pokud pro všechna a, b platí: a R b b R a a a S b b S a, je R S = S R. Vidíme, že je asi vhodné zkoumat i další vlastnosti relací na množinách a jejich vztahy.

2 2 Vlastnosti relací na množině Definice. Řekneme, že relace R na množině A je 1) reflexivní, jestliže pro všechna a A platí: a R a; 2) symetrická, jestliže pro všechna a, b A platí: je li a R b, pak je b R a; 3) antisymetrická, jestliže pro všechna a, b A platí: je li a R b a b R a, pak je a = b; 4) tranzitivní, jestliže pro všechna a, b, c A platí: je li a R b a b R c, pak je nutně a R c. Uveďme si některé příklady. Relace na množině R všech reálných čísel je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická a není symetrická. Relace < na množině R není reflexivní, není symetrická a je tranzitivní a antisymetrická. Relace = na množině R je reflexivní, symetrická, tranzitivní i antisymetrická. Definujeme li na množině R relaci R předpisem x R y, právě tehdy, je li x y 1, pak máme reflexivní a symetrickou relaci, která není tranzitivní. Je li R relace na množině A, pak lze přirozeným způsobem definovat relaci na kartézském součinu A n = A A předpisem (a 1, a 2,..., a n ) R n (b 1, b 2,..., b n ), právě tehdy, když je a i R b i, pro všechna i {1, 2,..., n}. Takto definovaná relace se nazývá kartézskou mocninou relace R nebo relací indukovanou relací R. Často se pro relaci na množině a relaci indukovanou touto relací na kartézské mocnině množiny používá tentýž symbol. Ukažte, že se výše uvedené vlastnosti relací zachovávají při kartézském umocňování relací. Ekvivalence Definice. Řekneme, že relace R na množině A je ekvivalence, je li reflexivní, symetrická a tranzitivní. Ekvivalence představují velmi významný příklad relací a jsou studovány nejen v matematice, ale i všech ostatních vědách. Každá ekvivalence na množině A rozdělí množinu A na systém disjunktních podmnožin, které nazýváme třídy ekvivalence. Je li R evivalence na množině A, pak pro každý prvek a A určuje jednoznačně podmnožinu A[a] = {x A; a R x} množiny A. Přitom dva prvky a, b A určují tutéž podmnožinu, tj. je A[a] = A[b], právě tehdy, je li a R b. Je zcela evidentní, že {A[a]; a A} = A a A[a] A[b] = pro a b. Platí také opačné tvrzení. Je li množina A sjednocením disjunktních podmnožin, tj. A = {A i ; i I} a A i A j = pro i j, pak relace R definovaná předpisem a R b právě tehdy, existuje li i I, takové, že a A i a b A i je ekvivalence na množině A. Na každé množině A je možno definovat dvě triviální ekvivalence. První je identita definovaná vztahem id A = {(a, a); a A}, při které nejsou žádné dva různé prvky ekvivalentní. Druhá triviální relace je relace A A, která dává všechny prvky do jedné třídy, tedy každé dva prvky množiny A jsou ekvivalentní. Uveďme si nějaké netriviální příklady ekvivalencí. Na množině Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } všech celých čísel definujme relaci R předpisem: m R n právě tehdy, když je číslo m n sudé, tj. m n {0, ±2, ±4 ± 6,... }. Ukažte, že tato relace je skutečně reflexivní, symetrická a tranzitivní. Obdobně lze definovat pro každé přirozené číslo p na množině Z ekvivalenci R(p) předpisem: m R(p) n právě tehdy, když je číslo m n je násobkem čísla p, tj. m n = t p pro nějaké číslo t Z. Dále budeme relace R(p) označovat symbolem p a budeme říkat, že celá čísla m a n jsou ekvivalentní modulo p, je li m p n. Nechť M je konečná množina. Na množině P (M) všech podmnožin množiny M definujme relaci R takto: pro A M, B M je A R B právě tehdy, když mají obě podmnožiny

3 A a B stejný počet prvků. Ukažte, že takto definovaná relace je ekvivalence na množině P (M). Nechť M je množina všech výrokových formulí vytvořených z nějaké množiny výroků. Na této množině definujme relaci R takto: řekneme, že formule α a β jsou v relaci R právě tehdy, je li formule α β tautologií. Opět snadno ověříte, že má daná relace vlastnosti ekvivalence. Uspořádání Další velmi významný příklad relací jsou tzv. relace uspořádání, nazývané též někde částečné uspořádání. Definice. Řekneme, že relace R na množině A je uspořádání (částečné uspořádání), je li R reflexivní, antisymetrická a tranzitivní relace. Množinu A na které je definována relace uspořádání pak nazýváme uspořádanou množinou. Relace uspořádání budeme obvykle značit symboly nebo. Symbolem a < b resp. a > b budeme označovat skutečnost, že a b a a b resp. a b a a b. Relace < a > již nejsou relace uspořádání. Přesto se někdy se tyto relace nazývají ostré uspořádání. Říkáme, že dva prvky a a b z uspořádaná množiny (A, ) jsou srovnatelné, jestliže je a b nebo b a a že jsou nesrovnatelné, jestliže není ani a b ani b a. Uspořádaná množina (A, ) se nazývá úplně uspořádanou množinou, nebo řetězcem, jestliže každé dva její dva prvky jsou srovnatelné, tj. je a b nebo b a. Ověřte si, že inverzní relace k uspořádání je také uspořádání. Jako příklady úplně uspořádaných množin lze uvést množinu R všech reálných čísel, množinu Z všech celých čísel a množinu N všech přirozených čísel vzhledem ke známému přirozenému uspořádání. Jako příklad uspořádané množiny, která není úplně uspořádáná, můžeme uvést množinu uspořádanou množinu (P (M), ) všech podmnožin (včetně prázdné podmnožiny ) nějaké alespoň dvouprvkové množiny M, kde A B (pro A, B P (M)) znamená, že každý prvek z množiny A je nutně i prvkem množiny B. Jsou li a a b dva různé prvky z M, pak jednoprvkové podmnožiny {a} a {b} množiny M jsou dva nesrovnatelné prvky v uspořádané množině (P (M), ). Dalším příkladem uspořádané množiny, která není úplně uspořádanou množinou, je množina všech přirozených čísel N na které je definován relace R na základě dělitelnosti čísel, tj. m R n právě tehdy, když existuje číslo t N tak, že je n = m t. Ověřte, že takto definovaná relace je skutečně reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Je zřejmé, že je li (A, ) uspořádaná množina, pak (A n, ), kde na A n je relace indukovaná uspořádáním na A, je opět uspořádanou množinou. Je li (A, ) úplně uspořádaná množina, pak ale (A n, ) nemusí být úplně uspořádanou množinou a také jí není pokud množina A má alespoň dva prvky. Když ale například na množině A A definujeme relaci R předpisem (a 1, a 2 ) R (b 1, b 2 ), právě tehdy, jesliže je a 1 < b 1 nebo je a 1 = b 1 a zároveň a 2 b 2, pak relace R je úplné uspořádání. Ověřte si to. Takto definované relaci se říká lexikografické uspořádání. Pojem lexikografického uspořádání ještě zobecníme. Inspirujeme se při tom obecně známým postupem při kterém vytváříme různé abecedně řazené seznamy. Mějme konečnou uspořádanou množina (A, ), kterou můžeme nazývat abeceda. Označme S(A) množinu všech konečných posloupností prvků z A, tj. S(A) = A A 2 A 3 = A i. Prvky této množinu můžeme nazývat slova i N nad abecedou A). A na této množině budeme definovat tzv. lexikografické uspořádání. 3

4 4 Definice. Nechť (A, ) je konečná uspořádaná množina. Lexikografickým uspořádáním (které je indukováno uspořádáním ) na S(A) nazveme relaci definovanou takto: (x 1, x 2,..., x r ) (y 1, y 2,..., y s ), právě tehdy,když nastává jedna z následujících dvou možností: existuje k r takové, že je x i = y i pro všechna i < k a je x k < y k nebo je r s a je x i = y i pro všechna i r. Věta. Lexikografické uspořádáním (které je indukováno uspořádáním ) na S(A) je uspořádání. Pokud je navíc (A, ) úplně uspořádaná množina, je i lexikografické uspořádání úplným uspořádáním na množině S(A). Ukažme si alespoň jeden příklad. Nechť A = {a, b, c, d,..., z} je množina všech 26 písmen mezinárodní abecedy, která je abecedně uspořádána, tj. je a < b < c < z. V lexikograficky uspořádané množině slov S(A) pak platí: hora horakova, hora vlk, horak horal apod. Pokud bychom chtěli rozlišovat příjmení a jméno a chtěli, aby v lexikografickém uspořádání platilo, že hora milan horak jan (uvědomme si, že je horakjan horamilan), musíme do abecedy přidat ještě jeden znak, např a rozšířit definici relace < na množině A = {a, b, c, d,..., z} { } takto: < a < b < c < z. Potom bude v S(A) platit hora milan horak jan. Uveďme si ještě několik pojmů, které jsou pro studium uspořádaných množin důležité. Definice. Nechť (A, ) je uspořádaná množina. Řekneme, že 1) prvek a je minimálním prvkem uspořádané množiny A, jestliže v A neexistuje žádný prvek x, x < a; 2) prvek a je maximálním prvkem uspořádané množiny A, jestliže v A neexistuje žádný prvek x, x > a; 3) prvek a je nejmenším prvkem uspořádané množiny A, jestliže je a x pro každý prvek x A; 4) prvek a je největším prvkem uspořádané množiny A, jestliže je x a pro každý prvek x A; 5) prvek a je pokrýván prvkem b (nebo, že prvek b pokrývá prvek a), jestliže je a < b a neexistuje prvek x A takový, že a < x a x < b. Nejmenší prvek uspořádané množiny budeme obvykle zančit symbolem 0 a největší prvek symbolem 1. Je zřejmé, že nejmenší prvek množiny je minimálním prvkem a největší prvek je maximálním prvkem. Samozřejmě existují uspořádané množiny, které nemají ani minimální ani maximální prvky, např. množina R všech reálných čísel. Na druhou stranu každá konečná uspořádaná množina má alespoň jeden maximální a alespoň jeden minimální prvek. Skutečnost, že prvkek a je pokrýván prvkem b budeme vyjadřovat symbolem a b. Relaci budeme nazývat pokrýváním. Uspořádané konečné množiny, a to zejména ty, které nemají moc prvků, si pro větší názornost můžeme zobrazovat v tzv. diagramech uspořádaných množin. Na těchto diagramech budeme obvykle prvky zobrazovat jako kolečka (dutá nebo plná) a dále budeme znázorňovat pouze relaci pokrytí a vždy platí, že prvek a je pokrýván prvkem b, právě tehdy, když je prvek b zobrazen nad prvkem a oba prvky jsou spojeny usečkou. Z tranzitivity relace uspořádání plyne, že x < y poznáme na diagramu tak, že prvek y je zobrazen nad prvkem x a prvky jsou spojeny čarou, která se skládá z jedné či více úseček. Na Obr. 1 jsou uvedeny příklady diagramů uspořádaných množin.

5 5 Obr. 1: Diagramy uspořádaných množin Svazy V této části si uvedeme základní informace o uspořádaných množinách, které mají další speciální vlastnosti a které budeme nazývat svazy. Nechť (A, ) je uspořádaná množina a M A podmnožina množiny A. Řekneme, že prvek c A je supremum podmnožiny M v uspořádané množině (A, ), jestliže pro všechny prvky m M je m c a prvek c je nejmenší ze všech prvků s touto vlastností, tj. jestliže pro nějaký prvek x A je m x pro všechny prvky m M, pak je c x. Duálně definujeme, že prvek c A je infimum podmnožiny M v uspořádané množině (A, ), jestliže pro všechny prvky m M je c m a prvek c je největnší ze všech prvků s touto vlastností, tj. jestliže pro nějaký prvek x A je x m pro všechny prvky m M, pak je x m. Skutečnost, že prvek m je supremum nebo infimum množiny M označujeme symbolem c = sup M resp. c = inf M. Nyní si již můžeme říci, které uspořádané množiny budem nazývat svazy. Definice. Řekneme, že neprázdná uspořádaná množina (L, ) je svaz, jestliže pro každé dva prvky a, b L existuje sup {a, b} a inf {a, b} v (L, ). Za podsvaz svazu (L, ) budeme považovat každou neprázdnou podmnožinu P množiny L, která má tu vlastnost, že s každými dvěma prvky obsahuje i jejich supremumu a infimum, tj. platí, že sup {a, b} P a inf {a, b} P pro každé a, b P. Poznámka. Lze poměrně velmi snadno ukázat, že pokud existuje supremum (nebo infimum) každé dvouprvkové podmnožiny, pake existuje supremum (nebo infimum) i pro každou konečnou podmnožinu. Důsledkem toho je, že každý konečný svaz má největší a nejmenší prvek. Je evidentní, že každý podsvaz P svazu (L, ) je svazem vyhledem ke stejné relaci uspořádání. Triviálními případy podsvazu jsou celý svaz P = L a jednoprvkové podsvazy P = {a} pro libovolný prvek a L. Dále je ihned zřejmé, že pokud jsou prvky a a b srovnatelné v uspořádané množině (A, ), pak je vždy existuje infimum i supremum pomnožiny {a, b}. Navíc platí, že každá dvě tvrzení ze tří tvrzení a b, inf {a, b} = a a sup {a, b} = b jsou navzájem ekvivalentní. Věta. Nechť je uspořádaná množina (L, ) svaz. Pro každé dva prvky a, b L označme inf {a, b} = a b a sup {a, b} = a b. Potom pro každé tři prvky a, b, c L platí: (1) a a = a, a a = a; (2) a b = b a, a b = b a; (3) a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c; (4) a (a b) = a, a (a b) = a. Naopak nechť jsou na množině L definovány dvě binární operace a, které splňují zákony uvedené v bodech (1), (2), (3) a (4). Na množině L definujme relaci vztahem a b, právě tehdy, když je a b = a. Takto definovaná relace je uspořádáním na L a (L, ) je svaz, ve kterém platí: inf {a, b} = a b a sup {a, b} = a b.

6 6 Poznámka. Binární operace se nazývá průsek, binární operace se nazývá spojení. Zákony uvedené v bodech (1), (2), (3) a (4) se postupně nazývají idempotentní, komutativní, asociativní a absorbční. Na Obr. 2 jsou uvedeny diagramy všech možných svazů na jednoprvkové, dvouprvkové, tříprvkové a čtyřprvkové množině (dva svazy). Obr. 2: Svazy na maximálně čtyřprvkové množině Je velmi snadné ukázat, že v každém svazu (L,, ) platí následující vztahy: a a b, a b a, a b a c d implikuje a c b d a a c b d, a b a c b implikuje a c b a a b a a c implikuje a b c, a (b c) (a b) (a c), (a b) (a c) (a (b c). V některých svazech platí i některé další identity či vztahy. Příkladem takových svazů jsou. tzv. distributivní svazy a komplementární svazy. Uveďme si definici a ukažme některé zajímavé vlastnosti. Definice. Řekneme, že svaz (L,, ) je distributivní, jestliže pro libovolné tři prvky a, b, c L platí: a (b c) = (a b) (a c) a (a b) (a c) = (a (b c). Poznámka. Identity, které musí splňovat distributivní svazy se nazývají distributivní zákony. Je možno ukázat (pokuste se o to) že platí li v nějakém svazu jeden z distributivních zákonů, pak v něm platí i druhý. jsou možné i jiné ekvivalentní definice. Ukažme si dvě vlastnosti distributivních svazů, které by mohly být považovány i definici distributivních svazů. Připomeňme, že podsvazem svazu (L,, ) se rozumí každá neprázdná podmnožina M L pro kterou platí: jsou li a, b M, pak i a b M a a b M. Je zřejmé, že v tomto případě je (M,, ) opět svaz. Věta. Následující tvrzení jsou pro svaz (L,, ) ekvivalentní: a) (L,, ) je distributivní svaz; b) pro každé tři prvky a, b, c L platí: je li a b = a c a a b = a c, pak je b = c; c) svaz (L,, ) neobsahuje jako podsvaz ani jeden ze svazů uvedených na Obr. 3. Obr. 3: Nedistributivní svazy

7 Nejmenší prvek svazu (pokud existuje) budeme značit 0 a největší prvek svazu (pokud existuje) budeme značit 1. Svaz (L,, ) s největším a nejmenším prvkem budeme dále obvykle označovat (L,,, 0, 1). Definice. Řekneme, že svaz (L,,, 0, 1) je komplementární, jestliže ke každému prvku a L existuje prvek a L takový, že je a a = 0 a a a = 1. Distributivní a komplementární svaz, který má alespoň dva prvky, budeme nazývat Booleovou algebrou. Poznámka. Zobrazení a a je unární operace na množině L a proto budeme svazy s největším a nejmenším prvkem obvykle značit (L,,, 0, 1, ). Je zřejmé, že 0 = 1, 1 = 0 a (a ) = a. Pokud je komplementární svaz distributivní (tedy Booleova algebra), platí v něm i tzv. de Morganovy zákony, tj. pro každé dva prvky a, b L je (a b) = a b a (a b) = a b. Poznámka. Jsou li L 1, L 2,..., L n svazy, pak jejich kartézský součin L 1 L 2 L n je opět svaz. Pro operace průsek a spojení v tomto svazu platí, že (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ), (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ). Pokud svazy L 1, L 2,..., L n mají nejmenší prvky 0 1, 0 2,... 0 n, případně největší prvky 1 1, 1 2,... 1 n. nebo jsou komplementární, potom také svaz L 1 L 2 L n má nejmenší prvek 0 = (0 1, 0 2,... 0 n ), případně největší prvek = (1 1, 1 2,... 1 n ). Pokud svazy L 1, L 2,..., L n jsou komplementární resp. distributivní, potom je i svaz L 1 L 2 L n komplementární resp. distributivní. Speciálně z toho plyne, že kartézský součin Booleových algeber je opět Booleova algebra. Příklady k procvičení 1) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z všech celých čísel definované vztahy x R y právě tehdy, je li x y = 2 a x S y právě tehdy, je li x y = 2? 2) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z definované vztahy x R y právě tehdy, je li x y {0, 2, 4,... } (tj. x y je sudé číslo) a x S y právě tehdy, je li x y = {0, 2, 4,... } (tj. x y je liché číslo? 3) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z Z definované vztahy (a, b) R (c, d) právě tehdy, když a c a b d a (a, b) S (c, d) právě tehdy, když a + b c + d? Jaký je mezi nimi vztah? 4) Na množině M = {(x, y); x Z, y Z, y 0} definujeme relaci R předpisem (m, n) R (p, q)právě tehdy, je li m q = n p. Jaké vlastnosti má a co popisuje tato relace? 5) Jaké vztahy platí mezi relacemi mod(3), mod(5) a mod(15)? 6) Určete průnik relací mod(6), mod(8) a mod(10)? 7) Na následujícím obrázku Obr. 4 jsou zobrazeny diagramy uspořádaných množin A, B, C a D. Které z těchto uspořádaných množin jsou svazy? Které ze svazů jsou distributivní a které komplementární? Výsledky 1) Relace R je pouze symetrická, relace S je symetrická a reflexivní. 2) Relace R je reflexivní, symetrická a tranzitivní (tj. je ekvivalence), relace S je pouze symetrická. 3) Relace R je uspořádání, relace S je reflexivní a tranzitivní. 7

8 8 A B C D Obr. 4: Uspořádané množiny A, B, C, D 4) Relace R je ekvivalence na množině M a (m, n) R (p, q) popisuje rovnost dvou racionálních čísel m n a p q. 5) mod(3) mod(5) = mod(15). 6) mod(6) mod(8) mod(10) = mod(60). 7) Uspořádané množiny A, C a D jsou svazy, B svaz není. Distributivní svazy jsou svazy A a C. Komplementární svaz je pouze svaz D.

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu. Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

průniku podmnožin, spojení je rovno sjednocení podmnožin a komplement je doplněk Obr. 5: Booleovy algebry

průniku podmnožin, spojení je rovno sjednocení podmnožin a komplement je doplněk Obr. 5: Booleovy algebry BOOLEOVY ALGEBRY Připomeňme si, že za Booleovu algebru považujeme každou algebru (B,,, 0, 1, ) s neprázdnou množinou B, binárními operacemi průsek, spojení, s prvky 0, 1 B a unární operací komplement,

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0. Kapitola 4 Booleovy algebry 4.1 Definice Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí x y = 1, x y = 0. Představu o

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

2. Test 07/08 zimní semestr

2. Test 07/08 zimní semestr 2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

2.4. Relace typu uspořádání

2.4. Relace typu uspořádání Markl: 2.4.Relace typu uspořádání /ras24.doc/ Strana 1 2.4. Relace typu uspořádání Definice 2.4.1: na množině X je /částečné a neostré/ uspořádání, jestliže je současně refl exivní, antisymetrická a tranzitivní.

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

3 Množiny, Relace a Funkce

3 Množiny, Relace a Funkce 3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

Algebra - druhý díl. Lenka Zalabová. zima Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita

Algebra - druhý díl. Lenka Zalabová. zima Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita Algebra - druhý díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Permutace 2 Grupa permutací 3 Více o permutacích

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Analýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy

Analýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy Analýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy Analysis of internet search engines using formal concept analysis method Bc. Petr Fišnar Diplomová práce 2012 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury

Více

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

1. Pologrupy, monoidy a grupy

1. Pologrupy, monoidy a grupy Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I Fakulta pedagogická, Technická univerzita v Liberci DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I Doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc. Prof. RNDr. Bohdan Zelinka, DrSc. Liberec, 4 Obsah Kap. Základní poznatky o množinách 7. Pojem

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika študenti MFF 15. augusta 2008 1 16 Diskrétní matematika Požadavky Uspořádané množiny Množinové systémy, párování, párování v bipartitních

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Permutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17

Permutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Permutace Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Motivace Permutace jsou důležitou částí matematiky viz použití v pravděpodobnosti, algebře (např. determinanty) a mnoho dalších. Jsou

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}. 2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů):

I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů): I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů): 1. Všechna prvočísla větší než 2 jsou lichá. Je-li prvočíslo větší než 2, pak je liché.

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium

text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ Pedagogická fakulta Binární relace text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium Doc. Paed

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera 1. Operace a Ω-algebry Úvod. V průběhu přednášky z algebry jsme studovali řadu algebraických struktur: grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Diskrétní matematika. Martin Kovár

Diskrétní matematika. Martin Kovár Diskrétní matematika Martin Kovár Tento text byl vytvořen v rámci realizace projektu CZ.1.07/2.2.00/15.0156, Inovace výuky matematických předmětů v rámci studijních programů FEKT a FIT VUT v Brně, realizovaném

Více

ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I

ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I 1 ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím neznáte a nechápete (aaniprozatímchápatnemůžete)jejichmatematický

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Obsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání

Obsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání Obsah Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání lgebry lgebry s jednou operací lgebry se dvěma operacemi Svazy 2 Teorie

Více

Základy teorie grupoidů a grup

Základy teorie grupoidů a grup Základy teorie grupoidů a grup 12. Základní pojmy o grupoidech In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 94--100.

Více