Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace"

Transkript

1 RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem, býti studentem určitého ročníku, mít stejný datum narození a samozřejmě i vysloveně matematicky formulované vztahy jako býti větší než, býti podmnožinou, býti dělitelem atd. Přejděme k definici pojmu binární relace. Definice. Za binární relaci mezi množinami A a B budeme považovat každou podmnožinu kartézského součinu množin A B. Binární relací na množině A budeme rozumět každou podmnožinu kartézského součinu množin A A. Relace mezi množinami A a B může být i prázdná podmnožina nebo množina A B. Skutečnost, že dva prvky a, b jsou v relaci R A B, tj. (a, b) R budem obvykle vyjadřovat zápisem a R b. V dalším budeme místo slovo binární vynechávat a místo binární relace budeme říkat krátce jen relace. Poznamenejme také, že každé zobrazení f množiny A do množiny B je relace. Dvojice prvků a A a b B jsou v relaci f, právě tehdy, když je f(a) = b. Zobrazení je speciální případ relace. Aby relace R byla zobrazení musí platit: je li a R b a a R c, potom je nutně b = c. S relacemi můžeme provádět veškeré operace, které umíme dělat s množinami. Zavádíme i pojem podrelace. Relace S je podrelací relace R, je lis R. Jsou li R a S relace mezi A a B, pak jsou relacemi mezi A a B i množiny R S a R S. Doplnkěm relace R je relace (A B) \ R. Naříklad pro relace býti menší, býti menší nebo rovno a býti rovno na množině R platí, že býti menší je podrelací býti menší nebo rovno a býti menší nebo rovno je sjednocením relací býti menší a rovno. Ke každé relaci R mezi množinami A a B můžeme definovat inverzní relaci R 1 mezi množinami B a A takto: b R 1 a, právě tehdy, když je a R b. Uvědomme si, že z toho že relace R je zobrazení, neplyne, že relace R musí také být zobrazení. Uvažujme například zobrazení S z množiny všech reálných čísel R do R definované a S b b = a 2. Relace S 1 není zobrazení, protože je například dvojice (1, 1) a ( 1, 1) jsou obě v relaci S 1. Lze a je účelné definovat i skládání relací. Je li R A B a S B C definujeme relaci R S mezi množnami A a C takto: a R S c, právě tehdy, když existuje prvek b B takový, že je a R b a b S c. Skládaní relací je asociativní, tj. je li R A B, S B C a T C D, pak je R (S T ) = (R S) T. Skládání relací ale není komutativní, tj. nemusí platit rovnost R S = S R i když je složení v obou případech definováno. Například pokud relace R je býti sourozencem (bratrem nebo sestrou) a relace S je býti potomkem (synem nebo dcerou), je relace R S rovna R a relace S R je býti synovcem nebo neteří. Samozřejmě pokud pro všechna a, b platí: a R b b R a a a S b b S a, je R S = S R. Vidíme, že je asi vhodné zkoumat i další vlastnosti relací na množinách a jejich vztahy.

2 2 Vlastnosti relací na množině Definice. Řekneme, že relace R na množině A je 1) reflexivní, jestliže pro všechna a A platí: a R a; 2) symetrická, jestliže pro všechna a, b A platí: je li a R b, pak je b R a; 3) antisymetrická, jestliže pro všechna a, b A platí: je li a R b a b R a, pak je a = b; 4) tranzitivní, jestliže pro všechna a, b, c A platí: je li a R b a b R c, pak je nutně a R c. Uveďme si některé příklady. Relace na množině R všech reálných čísel je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická a není symetrická. Relace < na množině R není reflexivní, není symetrická a je tranzitivní a antisymetrická. Relace = na množině R je reflexivní, symetrická, tranzitivní i antisymetrická. Definujeme li na množině R relaci R předpisem x R y, právě tehdy, je li x y 1, pak máme reflexivní a symetrickou relaci, která není tranzitivní. Je li R relace na množině A, pak lze přirozeným způsobem definovat relaci na kartézském součinu A n = A A předpisem (a 1, a 2,..., a n ) R n (b 1, b 2,..., b n ), právě tehdy, když je a i R b i, pro všechna i {1, 2,..., n}. Takto definovaná relace se nazývá kartézskou mocninou relace R nebo relací indukovanou relací R. Často se pro relaci na množině a relaci indukovanou touto relací na kartézské mocnině množiny používá tentýž symbol. Ukažte, že se výše uvedené vlastnosti relací zachovávají při kartézském umocňování relací. Ekvivalence Definice. Řekneme, že relace R na množině A je ekvivalence, je li reflexivní, symetrická a tranzitivní. Ekvivalence představují velmi významný příklad relací a jsou studovány nejen v matematice, ale i všech ostatních vědách. Každá ekvivalence na množině A rozdělí množinu A na systém disjunktních podmnožin, které nazýváme třídy ekvivalence. Je li R evivalence na množině A, pak pro každý prvek a A určuje jednoznačně podmnožinu A[a] = {x A; a R x} množiny A. Přitom dva prvky a, b A určují tutéž podmnožinu, tj. je A[a] = A[b], právě tehdy, je li a R b. Je zcela evidentní, že {A[a]; a A} = A a A[a] A[b] = pro a b. Platí také opačné tvrzení. Je li množina A sjednocením disjunktních podmnožin, tj. A = {A i ; i I} a A i A j = pro i j, pak relace R definovaná předpisem a R b právě tehdy, existuje li i I, takové, že a A i a b A i je ekvivalence na množině A. Na každé množině A je možno definovat dvě triviální ekvivalence. První je identita definovaná vztahem id A = {(a, a); a A}, při které nejsou žádné dva různé prvky ekvivalentní. Druhá triviální relace je relace A A, která dává všechny prvky do jedné třídy, tedy každé dva prvky množiny A jsou ekvivalentní. Uveďme si nějaké netriviální příklady ekvivalencí. Na množině Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } všech celých čísel definujme relaci R předpisem: m R n právě tehdy, když je číslo m n sudé, tj. m n {0, ±2, ±4 ± 6,... }. Ukažte, že tato relace je skutečně reflexivní, symetrická a tranzitivní. Obdobně lze definovat pro každé přirozené číslo p na množině Z ekvivalenci R(p) předpisem: m R(p) n právě tehdy, když je číslo m n je násobkem čísla p, tj. m n = t p pro nějaké číslo t Z. Dále budeme relace R(p) označovat symbolem p a budeme říkat, že celá čísla m a n jsou ekvivalentní modulo p, je li m p n. Nechť M je konečná množina. Na množině P (M) všech podmnožin množiny M definujme relaci R takto: pro A M, B M je A R B právě tehdy, když mají obě podmnožiny

3 A a B stejný počet prvků. Ukažte, že takto definovaná relace je ekvivalence na množině P (M). Nechť M je množina všech výrokových formulí vytvořených z nějaké množiny výroků. Na této množině definujme relaci R takto: řekneme, že formule α a β jsou v relaci R právě tehdy, je li formule α β tautologií. Opět snadno ověříte, že má daná relace vlastnosti ekvivalence. Uspořádání Další velmi významný příklad relací jsou tzv. relace uspořádání, nazývané též někde částečné uspořádání. Definice. Řekneme, že relace R na množině A je uspořádání (částečné uspořádání), je li R reflexivní, antisymetrická a tranzitivní relace. Množinu A na které je definována relace uspořádání pak nazýváme uspořádanou množinou. Relace uspořádání budeme obvykle značit symboly nebo. Symbolem a < b resp. a > b budeme označovat skutečnost, že a b a a b resp. a b a a b. Relace < a > již nejsou relace uspořádání. Přesto se někdy se tyto relace nazývají ostré uspořádání. Říkáme, že dva prvky a a b z uspořádaná množiny (A, ) jsou srovnatelné, jestliže je a b nebo b a a že jsou nesrovnatelné, jestliže není ani a b ani b a. Uspořádaná množina (A, ) se nazývá úplně uspořádanou množinou, nebo řetězcem, jestliže každé dva její dva prvky jsou srovnatelné, tj. je a b nebo b a. Ověřte si, že inverzní relace k uspořádání je také uspořádání. Jako příklady úplně uspořádaných množin lze uvést množinu R všech reálných čísel, množinu Z všech celých čísel a množinu N všech přirozených čísel vzhledem ke známému přirozenému uspořádání. Jako příklad uspořádané množiny, která není úplně uspořádáná, můžeme uvést množinu uspořádanou množinu (P (M), ) všech podmnožin (včetně prázdné podmnožiny ) nějaké alespoň dvouprvkové množiny M, kde A B (pro A, B P (M)) znamená, že každý prvek z množiny A je nutně i prvkem množiny B. Jsou li a a b dva různé prvky z M, pak jednoprvkové podmnožiny {a} a {b} množiny M jsou dva nesrovnatelné prvky v uspořádané množině (P (M), ). Dalším příkladem uspořádané množiny, která není úplně uspořádanou množinou, je množina všech přirozených čísel N na které je definován relace R na základě dělitelnosti čísel, tj. m R n právě tehdy, když existuje číslo t N tak, že je n = m t. Ověřte, že takto definovaná relace je skutečně reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Je zřejmé, že je li (A, ) uspořádaná množina, pak (A n, ), kde na A n je relace indukovaná uspořádáním na A, je opět uspořádanou množinou. Je li (A, ) úplně uspořádaná množina, pak ale (A n, ) nemusí být úplně uspořádanou množinou a také jí není pokud množina A má alespoň dva prvky. Když ale například na množině A A definujeme relaci R předpisem (a 1, a 2 ) R (b 1, b 2 ), právě tehdy, jesliže je a 1 < b 1 nebo je a 1 = b 1 a zároveň a 2 b 2, pak relace R je úplné uspořádání. Ověřte si to. Takto definované relaci se říká lexikografické uspořádání. Pojem lexikografického uspořádání ještě zobecníme. Inspirujeme se při tom obecně známým postupem při kterém vytváříme různé abecedně řazené seznamy. Mějme konečnou uspořádanou množina (A, ), kterou můžeme nazývat abeceda. Označme S(A) množinu všech konečných posloupností prvků z A, tj. S(A) = A A 2 A 3 = A i. Prvky této množinu můžeme nazývat slova i N nad abecedou A). A na této množině budeme definovat tzv. lexikografické uspořádání. 3

4 4 Definice. Nechť (A, ) je konečná uspořádaná množina. Lexikografickým uspořádáním (které je indukováno uspořádáním ) na S(A) nazveme relaci definovanou takto: (x 1, x 2,..., x r ) (y 1, y 2,..., y s ), právě tehdy,když nastává jedna z následujících dvou možností: existuje k r takové, že je x i = y i pro všechna i < k a je x k < y k nebo je r s a je x i = y i pro všechna i r. Věta. Lexikografické uspořádáním (které je indukováno uspořádáním ) na S(A) je uspořádání. Pokud je navíc (A, ) úplně uspořádaná množina, je i lexikografické uspořádání úplným uspořádáním na množině S(A). Ukažme si alespoň jeden příklad. Nechť A = {a, b, c, d,..., z} je množina všech 26 písmen mezinárodní abecedy, která je abecedně uspořádána, tj. je a < b < c < z. V lexikograficky uspořádané množině slov S(A) pak platí: hora horakova, hora vlk, horak horal apod. Pokud bychom chtěli rozlišovat příjmení a jméno a chtěli, aby v lexikografickém uspořádání platilo, že hora milan horak jan (uvědomme si, že je horakjan horamilan), musíme do abecedy přidat ještě jeden znak, např a rozšířit definici relace < na množině A = {a, b, c, d,..., z} { } takto: < a < b < c < z. Potom bude v S(A) platit hora milan horak jan. Uveďme si ještě několik pojmů, které jsou pro studium uspořádaných množin důležité. Definice. Nechť (A, ) je uspořádaná množina. Řekneme, že 1) prvek a je minimálním prvkem uspořádané množiny A, jestliže v A neexistuje žádný prvek x, x < a; 2) prvek a je maximálním prvkem uspořádané množiny A, jestliže v A neexistuje žádný prvek x, x > a; 3) prvek a je nejmenším prvkem uspořádané množiny A, jestliže je a x pro každý prvek x A; 4) prvek a je největším prvkem uspořádané množiny A, jestliže je x a pro každý prvek x A; 5) prvek a je pokrýván prvkem b (nebo, že prvek b pokrývá prvek a), jestliže je a < b a neexistuje prvek x A takový, že a < x a x < b. Nejmenší prvek uspořádané množiny budeme obvykle zančit symbolem 0 a největší prvek symbolem 1. Je zřejmé, že nejmenší prvek množiny je minimálním prvkem a největší prvek je maximálním prvkem. Samozřejmě existují uspořádané množiny, které nemají ani minimální ani maximální prvky, např. množina R všech reálných čísel. Na druhou stranu každá konečná uspořádaná množina má alespoň jeden maximální a alespoň jeden minimální prvek. Skutečnost, že prvkek a je pokrýván prvkem b budeme vyjadřovat symbolem a b. Relaci budeme nazývat pokrýváním. Uspořádané konečné množiny, a to zejména ty, které nemají moc prvků, si pro větší názornost můžeme zobrazovat v tzv. diagramech uspořádaných množin. Na těchto diagramech budeme obvykle prvky zobrazovat jako kolečka (dutá nebo plná) a dále budeme znázorňovat pouze relaci pokrytí a vždy platí, že prvek a je pokrýván prvkem b, právě tehdy, když je prvek b zobrazen nad prvkem a oba prvky jsou spojeny usečkou. Z tranzitivity relace uspořádání plyne, že x < y poznáme na diagramu tak, že prvek y je zobrazen nad prvkem x a prvky jsou spojeny čarou, která se skládá z jedné či více úseček. Na Obr. 1 jsou uvedeny příklady diagramů uspořádaných množin.

5 5 Obr. 1: Diagramy uspořádaných množin Svazy V této části si uvedeme základní informace o uspořádaných množinách, které mají další speciální vlastnosti a které budeme nazývat svazy. Nechť (A, ) je uspořádaná množina a M A podmnožina množiny A. Řekneme, že prvek c A je supremum podmnožiny M v uspořádané množině (A, ), jestliže pro všechny prvky m M je m c a prvek c je nejmenší ze všech prvků s touto vlastností, tj. jestliže pro nějaký prvek x A je m x pro všechny prvky m M, pak je c x. Duálně definujeme, že prvek c A je infimum podmnožiny M v uspořádané množině (A, ), jestliže pro všechny prvky m M je c m a prvek c je největnší ze všech prvků s touto vlastností, tj. jestliže pro nějaký prvek x A je x m pro všechny prvky m M, pak je x m. Skutečnost, že prvek m je supremum nebo infimum množiny M označujeme symbolem c = sup M resp. c = inf M. Nyní si již můžeme říci, které uspořádané množiny budem nazývat svazy. Definice. Řekneme, že neprázdná uspořádaná množina (L, ) je svaz, jestliže pro každé dva prvky a, b L existuje sup {a, b} a inf {a, b} v (L, ). Za podsvaz svazu (L, ) budeme považovat každou neprázdnou podmnožinu P množiny L, která má tu vlastnost, že s každými dvěma prvky obsahuje i jejich supremumu a infimum, tj. platí, že sup {a, b} P a inf {a, b} P pro každé a, b P. Poznámka. Lze poměrně velmi snadno ukázat, že pokud existuje supremum (nebo infimum) každé dvouprvkové podmnožiny, pake existuje supremum (nebo infimum) i pro každou konečnou podmnožinu. Důsledkem toho je, že každý konečný svaz má největší a nejmenší prvek. Je evidentní, že každý podsvaz P svazu (L, ) je svazem vyhledem ke stejné relaci uspořádání. Triviálními případy podsvazu jsou celý svaz P = L a jednoprvkové podsvazy P = {a} pro libovolný prvek a L. Dále je ihned zřejmé, že pokud jsou prvky a a b srovnatelné v uspořádané množině (A, ), pak je vždy existuje infimum i supremum pomnožiny {a, b}. Navíc platí, že každá dvě tvrzení ze tří tvrzení a b, inf {a, b} = a a sup {a, b} = b jsou navzájem ekvivalentní. Věta. Nechť je uspořádaná množina (L, ) svaz. Pro každé dva prvky a, b L označme inf {a, b} = a b a sup {a, b} = a b. Potom pro každé tři prvky a, b, c L platí: (1) a a = a, a a = a; (2) a b = b a, a b = b a; (3) a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c; (4) a (a b) = a, a (a b) = a. Naopak nechť jsou na množině L definovány dvě binární operace a, které splňují zákony uvedené v bodech (1), (2), (3) a (4). Na množině L definujme relaci vztahem a b, právě tehdy, když je a b = a. Takto definovaná relace je uspořádáním na L a (L, ) je svaz, ve kterém platí: inf {a, b} = a b a sup {a, b} = a b.

6 6 Poznámka. Binární operace se nazývá průsek, binární operace se nazývá spojení. Zákony uvedené v bodech (1), (2), (3) a (4) se postupně nazývají idempotentní, komutativní, asociativní a absorbční. Na Obr. 2 jsou uvedeny diagramy všech možných svazů na jednoprvkové, dvouprvkové, tříprvkové a čtyřprvkové množině (dva svazy). Obr. 2: Svazy na maximálně čtyřprvkové množině Je velmi snadné ukázat, že v každém svazu (L,, ) platí následující vztahy: a a b, a b a, a b a c d implikuje a c b d a a c b d, a b a c b implikuje a c b a a b a a c implikuje a b c, a (b c) (a b) (a c), (a b) (a c) (a (b c). V některých svazech platí i některé další identity či vztahy. Příkladem takových svazů jsou. tzv. distributivní svazy a komplementární svazy. Uveďme si definici a ukažme některé zajímavé vlastnosti. Definice. Řekneme, že svaz (L,, ) je distributivní, jestliže pro libovolné tři prvky a, b, c L platí: a (b c) = (a b) (a c) a (a b) (a c) = (a (b c). Poznámka. Identity, které musí splňovat distributivní svazy se nazývají distributivní zákony. Je možno ukázat (pokuste se o to) že platí li v nějakém svazu jeden z distributivních zákonů, pak v něm platí i druhý. jsou možné i jiné ekvivalentní definice. Ukažme si dvě vlastnosti distributivních svazů, které by mohly být považovány i definici distributivních svazů. Připomeňme, že podsvazem svazu (L,, ) se rozumí každá neprázdná podmnožina M L pro kterou platí: jsou li a, b M, pak i a b M a a b M. Je zřejmé, že v tomto případě je (M,, ) opět svaz. Věta. Následující tvrzení jsou pro svaz (L,, ) ekvivalentní: a) (L,, ) je distributivní svaz; b) pro každé tři prvky a, b, c L platí: je li a b = a c a a b = a c, pak je b = c; c) svaz (L,, ) neobsahuje jako podsvaz ani jeden ze svazů uvedených na Obr. 3. Obr. 3: Nedistributivní svazy

7 Nejmenší prvek svazu (pokud existuje) budeme značit 0 a největší prvek svazu (pokud existuje) budeme značit 1. Svaz (L,, ) s největším a nejmenším prvkem budeme dále obvykle označovat (L,,, 0, 1). Definice. Řekneme, že svaz (L,,, 0, 1) je komplementární, jestliže ke každému prvku a L existuje prvek a L takový, že je a a = 0 a a a = 1. Distributivní a komplementární svaz, který má alespoň dva prvky, budeme nazývat Booleovou algebrou. Poznámka. Zobrazení a a je unární operace na množině L a proto budeme svazy s největším a nejmenším prvkem obvykle značit (L,,, 0, 1, ). Je zřejmé, že 0 = 1, 1 = 0 a (a ) = a. Pokud je komplementární svaz distributivní (tedy Booleova algebra), platí v něm i tzv. de Morganovy zákony, tj. pro každé dva prvky a, b L je (a b) = a b a (a b) = a b. Poznámka. Jsou li L 1, L 2,..., L n svazy, pak jejich kartézský součin L 1 L 2 L n je opět svaz. Pro operace průsek a spojení v tomto svazu platí, že (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ), (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ). Pokud svazy L 1, L 2,..., L n mají nejmenší prvky 0 1, 0 2,... 0 n, případně největší prvky 1 1, 1 2,... 1 n. nebo jsou komplementární, potom také svaz L 1 L 2 L n má nejmenší prvek 0 = (0 1, 0 2,... 0 n ), případně největší prvek = (1 1, 1 2,... 1 n ). Pokud svazy L 1, L 2,..., L n jsou komplementární resp. distributivní, potom je i svaz L 1 L 2 L n komplementární resp. distributivní. Speciálně z toho plyne, že kartézský součin Booleových algeber je opět Booleova algebra. Příklady k procvičení 1) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z všech celých čísel definované vztahy x R y právě tehdy, je li x y = 2 a x S y právě tehdy, je li x y = 2? 2) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z definované vztahy x R y právě tehdy, je li x y {0, 2, 4,... } (tj. x y je sudé číslo) a x S y právě tehdy, je li x y = {0, 2, 4,... } (tj. x y je liché číslo? 3) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z Z definované vztahy (a, b) R (c, d) právě tehdy, když a c a b d a (a, b) S (c, d) právě tehdy, když a + b c + d? Jaký je mezi nimi vztah? 4) Na množině M = {(x, y); x Z, y Z, y 0} definujeme relaci R předpisem (m, n) R (p, q)právě tehdy, je li m q = n p. Jaké vlastnosti má a co popisuje tato relace? 5) Jaké vztahy platí mezi relacemi mod(3), mod(5) a mod(15)? 6) Určete průnik relací mod(6), mod(8) a mod(10)? 7) Na následujícím obrázku Obr. 4 jsou zobrazeny diagramy uspořádaných množin A, B, C a D. Které z těchto uspořádaných množin jsou svazy? Které ze svazů jsou distributivní a které komplementární? Výsledky 1) Relace R je pouze symetrická, relace S je symetrická a reflexivní. 2) Relace R je reflexivní, symetrická a tranzitivní (tj. je ekvivalence), relace S je pouze symetrická. 3) Relace R je uspořádání, relace S je reflexivní a tranzitivní. 7

8 8 A B C D Obr. 4: Uspořádané množiny A, B, C, D 4) Relace R je ekvivalence na množině M a (m, n) R (p, q) popisuje rovnost dvou racionálních čísel m n a p q. 5) mod(3) mod(5) = mod(15). 6) mod(6) mod(8) mod(10) = mod(60). 7) Uspořádané množiny A, C a D jsou svazy, B svaz není. Distributivní svazy jsou svazy A a C. Komplementární svaz je pouze svaz D.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I Fakulta pedagogická, Technická univerzita v Liberci DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I Doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc. Prof. RNDr. Bohdan Zelinka, DrSc. Liberec, 4 Obsah Kap. Základní poznatky o množinách 7. Pojem

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium

text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ Pedagogická fakulta Binární relace text ke studiu matematiky v oboru učitelství pro první stupeň základní školy zejména jako opora pro kombinované studium Doc. Paed

Více

Diskrétní matematika. Martin Kovár

Diskrétní matematika. Martin Kovár Diskrétní matematika Martin Kovár Tento text byl vytvořen v rámci realizace projektu CZ.1.07/2.2.00/15.0156, Inovace výuky matematických předmětů v rámci studijních programů FEKT a FIT VUT v Brně, realizovaném

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz (tištěná ISBN 978-80-247-7512-8 (elektronická verze ve formátu verze) PDF) Grada Publishing, a.s. 2012 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010 Princip výškovnice Jan Pavĺık FSI VUT v Brně 14.5.2010 Osnova přednášky 1 Motivace 2 Obecný princip 3 Příklady Světové rekordy Turnajové uspořádání Skupinové hodnocení Rozhledny 4 Geografická výškovnice

Více

{ } B =. Rozhodni, které z následujících. - je relace z A do B

{ } B =. Rozhodni, které z následujících. - je relace z A do B .. Binární relace Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: Naprostá většina studentů vřeší hodinu samostatně Ti nejrchlejší potřebují tak minut. Binární relace: Jsou dán množin A, B. Binární relace R z A do

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace.

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. 12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. Logická proměnná - proměnná nesoucí logickou hodnotu Logická funkce - funkce přiřazující

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Předmluva. (ke druhému vydání) Toto skriptum odpovídá současnému obsahu předmětu Teoretická informatika pro obor

Předmluva. (ke druhému vydání) Toto skriptum odpovídá současnému obsahu předmětu Teoretická informatika pro obor 2 Předmluva (ke druhému vydání) Toto skriptum odpovídá současnému obsahu předmětu Teoretická informatika pro obor Výpočetní technika na Elektrotechnické fakultě ČVUT. Jak název napovídá, hlavním cílem

Více

2 Formální jazyky a gramatiky

2 Formální jazyky a gramatiky 2 Formální jazyky a gramatiky 2.1 Úvod Teorie formálních gramatik a jazyků je důležitou součástí informatiky. Její využití je hlavně v oblasti tvorby překladačů, kompilátorů. Vznik teorie se datuje přibližně

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

TEORIE GRAFŮ. Petr Kovář

TEORIE GRAFŮ. Petr Kovář TEORIE GRAFŮ Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita

Více

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení 6.10. Euklidův algoritmus a ekvivalence Nechť a 0 > a 1 jsou dvě přirozená čísla. Připomeňme Euklidův algoritmus hledání největšího společného dělitele (NSD)

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

1 Teorie čísel. Základní informace

1 Teorie čísel. Základní informace 1 Teorie čísel Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními termíny z teorie čísel, seznámí se s pojmy faktorizace, dělitelnost, nejmenší společný násobek. Dále se seznámí

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Reziduovaná zobrazení

Reziduovaná zobrazení Reziduovaná zobrazení Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 1. března 2015 Outline 1 Reziduované zobrazení 2 Izotónní/Antitónní zobrazení Definice Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A

Více

I. Úvodní pojmy. Obsah

I. Úvodní pojmy. Obsah I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

TEORIE GRAFŮ. Petr Kovář

TEORIE GRAFŮ. Petr Kovář TEORIE GRAFŮ Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce z matematiky Akce grupy Brno 2009 Lenka Macálková Prohlášení: Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala zcela samostatně

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Matematické základy šifrování a kódování

Matematické základy šifrování a kódování Matematické základy šifrování a kódování Permutace Pojem permutace patří mezi základní pojmy a nachází uplatnění v mnoha oblastech, např. kombinatorice, algebře apod. Definice Nechť je n-prvková množina.

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016

Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Jaromír Kuben Petra Šarmanová Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY PŘÍKLADY NA DĚLITELNOST V OBORECH INTEGRITY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stanislav Hefler Přírodovědná studia, obor

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Úvod do Teorie grafů Petr Kovář

Úvod do Teorie grafů Petr Kovář Úvod do Teorie grafů Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická

Více