ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD IVAN KŘIVÝ URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH

Transkript

1 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST OPATŘENÍ: 7. ČÍSLO OBLASTI PODPORY: 7.. INOVACE VÝUKY INFORMATICKÝCH PŘEDMĚTŮ VE STUDIJNÍCH PROGRAMECH OSTRAVSKÉ UNIVERZITY REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU: CZ..07/..00/8.045 OSTRAVA 0

2 Teno proje je spolufinancován Evropsým sociálním fondem a sáním rozpočem Česé republiy Recenzen: Prof. Ing. Josef Tošenovsý, CSc. Název: Analýza časových řad Auor: Prof. RNDr. Ing. Ivan Křivý, CSc. Vydání: první, 0 Poče sran: Jazyová oreura nebyla provedena, za jazyovou sránu odpovídá auor. Ivan Křivý Osravsá univerzia v Osravě

3 ÚVOD ZÁKLADNÍ POJMY ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD 5. Časová řada 5. Problémy analýzy časových řad 6.3 Záladní přísupy analýze časových řad 7.4 Předpovědi v časových řadách 9.5 Záladní charaerisiy časových řad 0 APROXIMACE TRENDU MATEMATICKÝMI FUNKCEMI 5. Subjeivní meody analýzy rendu 5. Aproximace rendu maemaicými funcemi 6 3 METODY KLOUZAVÝCH PRŮMĚRŮ A KLOUZAVÝCH MEDIÁNŮ 7 3. Meoda louzavých průměrů 7 3. Meoda louzavých mediánů Meoda adapivních vah 35 4 EXPONENCIÁLNÍ VYROVNÁVÁNÍ Princip meody Jednoduché exponenciální vyrovnávání Dvojié exponenciální vyrovnávání (Brownův algorimus) Trojié exponenciální vyrovnávání METODY ANALÝZY SEZÓNNÍ SLOŽKY Sezónní faory Elemenární přísup sezónní složce Regresní přísupy sezónní složce 50 6 POJMY A MATEMATICKÝ APARÁT BOXOVY JENKINSOVY METODOLOGIE Sacionaria časové řady Auoorelační funce Parciální auoorelační funce (PACF) 57 7 LINEÁRNÍ MODELY STACIONÁRNÍCH ČASOVÝCH ŘAD 6 7. Pojem lineárního procesu 6 7. Proces louzavých součů Auoregresní proces Smíšený proces 66 8 LINEÁRNÍ MODELY NESTACIONÁRNÍCH ČASOVÝCH ŘAD Proces náhodné procházy Smíšené inegrované procesy Modely volailiy 73 9 LINEÁRNÍ MODELY SEZÓNNÍCH ČASOVÝCH ŘAD Sezónní smíšené inegrované procesy SARIMA Sezónní procesy louzavých součů SMA Sezónní auoregresní modely SAR Sezónní smíšené modely SARMA 8 0 KONSTRUKCE MODELU V BOXOVĚ-JENKINSOVĚ METODOLOGII Idenifiace modelu 85

4 0. Odhad paramerů modelu Verifiace modelu Výhody a nevýhody Boxova-Jeninsova přísupu 9 VÍCEROZMĚRNÉ ČASOVÉ ŘADY A JEJICH CHARAKTERISTIKY 93. Pojem vícerozměrné časové řady 93. Teoreicé charaerisiy 94.3 Empiricé charaerisiy 96 LINEÁRNÍ MODELY VÍCEROZMĚRNÝCH ČASOVÝCH ŘAD 0. Vícerozměrný lineární proces 0. Vícerozměrné procesy louzavých součů 0. Vícerozměrné auoregresní procesy 03.3 Vícerozměrné smíšené procesy Kauzální vzahy 04.6 Koinegrace časových řad 07 3 ZÁKLADNÍ POJMY SPEKTRÁLNÍ ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD 3. Pojem úhlové frevence 3. Periodogram 3.3 Sperální husoa 3.4 Filry Odhad sperální husoy Tesy periodiciy 6 AUTOTEST 9 LITERATURA

5 ANOTACE Předládaná inovovaná disanční opora předsavuje úvod do analýzy časových řad. Je určena především posluchačům disančního a ombinovaného sudia sudijních programů Apliovaná maemaia, Apliovaná informaia a Informaia. Zahrnuje následující émaa. Deompozice časových řad: záladní pojmy analýzy časových řad, aproximace rendu maemaicými funcemi, meody louzavých průměrů a louzavých mediánů, exponenciální vyrovnávání, meody analýzy sezónní složy. Boxova-Jeninsova meodologie: pojmy a maemaicý apará Boxovy-Jeninsovy meodologie, lineární modely sacionárních časových řad, lineární modely nesacionárních časových řad, lineární modely sezónních časových řad, onsruce modelu v Boxově-Jeninspvě meodologii, vícerozměrné časové řady a jejich charaerisiy, lineární modely vícerozměrných časových řad. Sperální analýza časových řad: záladní pojmy sperální analýzy časových řad.

6

7 ÚVOD Předládaná disanční opora (modul), erá se Vám dosává do ruy, byla vyvořena inovací původní opory [7] v rámci projeu Inovace výuy informaicých předměů ve sudijních programech Osravsé univerziy, reg. číslo CZ..07/..00/ V souvislosi s inovací byly provedeny následující změny: Inovace modulu upravena sruura celé disanční opory, sávající apioly (lece) doplněny o řadu abule, obrázů a nových poznaů, nově zařazeny dvě apioly věnované analýze vícerozměrných časových řad. Inovovaná opora plně porývá požadavy učebních osnov povinně volielného předměu XANCS pro posluchače disančního a ombinovaného sudia ve sudijních programech Informaia, Apliovaná informaia a Apliovaná maemaia na Přírodovědecé faulě Osravsé univerziy. Tao opora může bý samozřejmě použia jao vhodný sudijní maeriál i pro sudeny prezenční formy sudia v rámci předměu ANCAS. Poslání modulu Cíle modulu: Po prosudování ohoo modulu pochopíe souvislos mezi eorií náhodných procesů a záladními principy analýzy časových řad, naučíe se praicy analyzova časové řady s využiím běžně používaných přísupů, zejména meod deompozice a Boxovy- Jeninsovy meodologie, naučíe se vybra vhodnou meodu pro efeivní analýzu dané časové řady, pochopíe význam analýzy časových řad pro řešení onréních úloh v praxi. Disanční opora je členěn do následujících lecí (apiol): záladní pojmy analýzy časových řad, aproximace rendu maemaicými funcemi, meody louzavých průměrů a louzavých mediánů, exponenciální vyrovnávání, meody analýzy sezónní složy, Obsah modulu

8 záladní pojmy a maemaicý apará Boxovy-Jeninsovy meodologie, lineární modely sacionárních časových řad, lineární modely nesacionárních časových řad, lineární modely sezónních časových řad, onsruce modelu v Boxově-Jeninsově meodologii, vícerozměrné časové řady a jejich charaerisiy, lineární modely vícerozměrných časových řad, záladní pojmy sperální analýzy časových řad. Jednolivé lece zpravidla obsahují: Sruura modulu formulaci cílů lece (edy oho, co by měl suden po jejím prosudování umě, zná, pochopi), líčová slova, průvodce sudiem, vlasní výlad učiva, řešené přílady, onrolní oázy procvičení učiva, orespondenční úol, pojmy zapamaování, shrnuí. Zařazené orespondenční úoly mají charaer individuální seminární práce, erá je určena ověření Vašich schopnosí apliova zísané eoreicé znalosi na analýzu onréní (Vámi vybrané) časové řady. Povinnou součásí Vašich sudijních povinnosí je vypracování dvou leorem vybraných orespondenčních úolů s využiím saisicého sofware NCSS [9] a jejich odevzdání prosřednicvím sysému Moodle. Jejich bodová hodnocení budou započena do celového hodnocení urzu. V aždé apiole je uvedeno vše pořebné pro samosané sudium, počínaje definicemi záladních pojmů a onče využiím eoreicých poznaů v praxi. V zájmu správného pochopení probírané láy jsou náročnější émaa zpravidla doplněna řešením ypových příladů. Doporučujeme čenáři, aby se nad aždým příladem důladně zamyslel. Pochopení principů řešení je oiž nezbyným předpoladem pro porozumění dalšímu výladu. Čas pořebný prosudování jednolivých lecí explicině neuvádíme, neboť z našich zušenosí vyplývá, že rychlos sudia závisí na Vašich schopnosech a sudijních návycích.

9 Předpoládáme, že si mnozí z Vás budou chí doplni a rozšíři poznay sudiem dalších lierárních pramenů (učebnic a srip), jež se zabývají ja eorií, a i apliacemi. Teoreicé zálady analýzy časových řad jsou popsány např. v monografii [] nebo sripech [0]. V éo sudijní opoře jsme vycházeli především z monografií [,3,8,9]. Ze zahraničních pramenů doporučujeme monografie [6,5,4]. Věříme, že Vám předládaný sudijní maeriál pomůže pochopi záladní principy analýzy časových řad, a přejeme Vám hodně úspěchů ve sudiu. Auor Auor děuje ouo cesou recenzenovi za pečlivé pročení ruopisu a řadu cenných připomíne směřujících e zvalinění předládaného učebního exu. 3

10 4

11 ZÁKLADNÍ POJMY ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Po prosudování éo apioly: pochopíe, co se rozumí pod pojmem časová řada a jaé jsou problémy spojené s vyvářením časové řady, poznáe záladní přísupy analýze časových řad, poznáe, ja se onsruují předpovědi v časových řadách, seznámíe se s něerými charaerisiami časových řad. Klíčová slova: časová řada, déla časové řady, rend, sezónní složa, cylicá složa, náhodná složa, předpovědi, sřední hodnoa, rozpyl, auoovarianční funce, auoorelační funce. Úvodní apiola je věnována především vymezení pojmu časové řady a objasnění něerých problémů souvisejících s její onsrucí. Dále jsou v ní sručně vysvěleny záladní přísupy analýze časových řad a onsruci předpovědí v ěcho řadách. V závěrečné čási apioly jsou definovány něeré významné charaerisiy časové řady, a o ja eoreicé, a empiricé.. Časová řada Pod pojmem časová řada rozumíme daa (výsledy pozorování), erá jsou chronologicy uspořádána, např. seismicý záznam v geofyzice, řada nejvyšších (nejnižších) denních eplo v meeorologii, vývoj oncenrace nečiso v eologii, změny poču jedinců nějaé populace v demografii, vývoj rozvodovosi v sociologii nebo vývoj cen v eonomii. Máme přiom na mysli zv. saisicé (sochasicé) řady, eré jsou zaíženy nejisoou, nioliv řady deerminisicé, jejichž chování lze jednoznačně popsa nějaým maemaicým vzorcem. Jesliže vyjdeme z eorie náhodných procesů, můžeme říci, že časová řada předsavuje onréní realizaci odpovídajícího náhodného (sochasicého) procesu. Časová řada Cílem analýzy časové řady je určení modelu (mechanismu), podle něhož jsou generována sledovaná daa. Znalos ohoo modelu umožňuje předpovída budoucí vývoj sysému a do jisé míry i řídi a opimalizova chování sysému vhodnou volbou vsupních paramerů a počáečních podmíne. 5

12 Z hisoricého hledisa se jao první sledovaly řady asronomicých a meeorologicých pozorování. V současnosi se apliace zaměřují především do eonomicé oblasi. Zpočáu převládal deerminisicý přísup analýze časových řad, erý přervával ješě během první čvriny dvacáého soleí, přesože byl časo riizován pro neschopnos vysvěli nepravidelnosi v ampliudách i ve vzdálenosech mezi loálními exrémy časových řad. Velý poro v rozvoji disciplíny předsavoval nový sochasicý přísup, zejména v pracích Yulea a Slucého, s jehož pomocí lze popsa věšinu reálných časových řad z eonomicé praxe.. Problémy analýzy časových řad Časové body pozorování Problémy s alendářem Déla časové řady Časové řady jsou vořeny výsledy pozorování (měření), erá jsou prováděna v disréních časových oamžicích. Něeré z nich jsou už disréní svou povahou (např. řady úhrnné produce nějaé zemědělsé plodiny za jednolivé roy), jiné je řeba předem disreizova. Mohou vznia něolierým způsobem: disreizací hodno spojiě se měnící veličiny (např. řada hodno ampliudy nějaého signálu v daných časových oamžicích), aumulací hodno sledované veličiny za dané časové období (např. řada denních srážových úhrnů v meeorologii), průměrováním hodno uvažované veličiny v daném časovém inervalu (např. řada průměrných denních eplo). Volba časových oamžiů pozorování. Máme-li možnos volby, pa se doporučuje voli ompromisní řešení. Velá husoa časových bodů pozorování umožňuje dobře vysihnou charaerisicé rysy časové řady, ale mohou nasa poíže při výpočech. V aždém případě se vša snížíme voli evidisanní inervaly mezi sousedními pozorováními. Při analýze eonomicých časových řad se mohou nepříznivě projevi problémy spojené s alendářem (např. různá déla alendářních měsíců, různý poče pracovních dnů v měsíci, pohyblivé sváy). V aových případech se zavádí zv. sandardní měsíc o délce 30 dnů nebo sandardní poče pracovních dnů v měsíci, nebo se pozorované údaje aumulují (např. použií varálních da namíso měsíčních). Déla časové řady se definuje jao celový poče pozorování v časové řadě, nioliv jao časově rozpěí mezi prvním a posledním pozorováním. 6

13 .3 Záladní přísupy analýze časových řad Volba přísupu analýze (výběr meody) závisí na celé řadě faorů: účelu analýzy, ypu sledované časové řady, zušenosech saisia, jaož i dosupnosi výpočení echniy a saisicého sofware. V éo čási se omezíme jen na sručnou charaerisiu čyř nejčasěji používaných přísupů analýze časových řad. Uvažujme časovou řadu Y, Y,..., Y. n A. Deompozice časové řady. Princip ohoo přísupu je velmi jednoduchý. Časová řada se rozládá na čyři záladní složy, jimiž jsou rend (Tr), sezónní složa (Sz), cylicá složa (C) a náhodná (reziduální) složa (ε). To znamená, že časovou řadu chápeme jao rend, na erý se nabalují periodicé složy (sezónní a cylicá složa) a náhodná složa (nejčasěji bílý šum). Deompozice (rozlad) časové řady je dvojího ypu: a) adiivní ve varu Y = Tr + Sz + C + ε, dy všechny složy se měří ve sejných jednoách jao Y, b) mulipliaivní ve varu Y = Tr Sz C ε, dy pouze rendová složa je měřena ve sejných jednoách jao Y a osaní složy jsou bezrozměrné veličiny. Trend reprezenuje dlouhodobé změny v průměrném chování řady (dlouhodobý růs nebo poles, popř. dlouhodobá onsanní úroveň); je způsoben faory, jež působí sysemaicy, j. ve sejném směru. Sezónní složa předsavuje periodicé změny, eré se odehrávají v průběhu rou a aždý ro se opaují. Tyo změny zpravidla souvisejí se sřídáním ročních období (jaro, léo, podzim a zima). Pro sudium sezónních vlivů se doporučuje pracova s řadami měsíčních, nejvýše varálních měření. Cylicou složu chápeme jao fluuace olem rendu, při nichž se pravidelně sřídají fáze růsu s fázemi polesu. Déla cylu i inenzia jednolivých fází se přiom mohou v průběhu času měni. Příčiny vedoucí e vzniu cylicé složy lze zpravidla jen ěžo idenifiova. Náhodná (reziduální) složa předsavuje náhodné fluuace, jež nemají sysemaicý charaer. Zahrnuje éž chyby měření, chyby ve Deompozice časové řady Adiivní deompozice Mulipliaivní deompozice Trend Sezónní složa Cylicá složa Náhodná složa 7

14 saisicém zpracování da (např. zaorouhlovací chyby). Časo se předpoládá, že má náhodná složa charaer bílého šumu, j. že je vořena hodnoami nezávislých náhodných veličin s nulovou sřední hodnoou a nějaým onsanním rozpylem. Boxova-Jeninsova meodologie Lineární faorové modely Deompoziční meody pracují pouze se sysemaicými složami (rend, sezónní a cylicá složa), přiom se zpravidla využívá meod regresní analýzy. B. Boxova-Jeninsova meodologie U ohoo přísupu se zpravidla předpoládá, že časová řada je slabě sacionární.. Záladním prvem při onsruci modelu je reziduální složa. Uvedeme dva ypicé přílady modelu: model louzavých součů. řádu ve varu Y = ε +, ε de je nějaá reálná onsana a ε reprezenuje zv. bílý šum; auoregresní model. řádu definovaný předpisem Y = ε + Y. Boxova-Jeninsova meodologie umožňuje modelova i časové řady s výrazným rendovým a/nebo sezónním charaerem, přičemž rendová i sezónní složa mohou bý (na rozdíl od deompozice) modelovány sochasicy. Boxovy-Jeninsovy modely jsou mnohem flexibilnější než modely deompoziční, což znamená, že se lépe adapují na změny v průběhu časové řady. Záladním maemaicým násrojem pro analýzu časové řady jsou v omo případě meody orelační analýzy, eré umožňují zouma závislosi mezi jednolivými pozorováními dané časové řady. C. Lineární auzální (faorové) modely Taové modely, běžné v eonomerii, jsou zpravidla onsruovány a, že se hodnoy sledované časové řady vysvělují pomocí jiných, zv. faorových časových řad. Uvedeme jednoduchý eonomericý model, převzaý z monografie [8], ve varu V uvažovaném modelu se výdaje C C X P = α + β + γ + δ + ε. C obyvaelsva na náup spořebního zboží v roce vysvělují pomocí ěcho výdajů C v roce bezprosředně předcházejícím a navíc pomocí peněžních příjmů cenového indexu X obyvaelsva a P spořebního zboží v roce. ( α, β, γ a δ jsou 8

15 paramery modelu a ε značí bílý šum.) V éo oblasi se používají především meody regresní analýzy. Faorovými modely se nebudeme v éo disanční opoře dále zabýva. D. Sperální analýza časových řad Zoumaná časová řada se považuje za neonečnou lineární ombinaci sinusových a osinusových funcí s různými ampliudami a frevencemi. Pomocí speciálních saisicých násrojů (např. periodogram) je možno zísa předsavu o inenziě zasoupení jednolivých frevencí v časové řadě. Ve sperální analýze časových řad se využívá především Fourierovy analýzy..4 Předpovědi v časových řadách Předpovědi v časových řadách mohou bý dvojího druhu: bodové a inervalové. Bodová předpověď předsavuje bodový odhad hodnoy časové řady v určiém budoucím oamžiu. Inervalová předpověď (předpovědní inerval) je analogií inervalu spolehlivosi. Vlasnosi dobrých bodových odhadů a meody onsruce inervalových odhadů jsou podrobně popsány např. v monografiích J. Anděla []. V rámci éo disanční opory se budeme zabýva pouze bodovými předpověďmi. Meody pro vyváření předpovědí jsou buď valiaivní nebo vaniaivní. Kvaliaivní meody (např. meoda Delfi) jsou založeny na názoru experů, a proo mají jen subjeivní charaer. Naproi omu meody vaniaivní vycházejí z objeivních saisicých posupů; přiom se předpoládá, že se charaer zoumané časové řady v budoucnosi nemění. Výběr předpovědní echniy závisí na celé řadě faorů, zejména na požadované formě předpovědi, časovém horizonu předpovědi, požadované přesnosi, charaeru vsupních da a jejich dosupnosi. Chyba předpovědi e v čase je definována vzahem ) e = Y Y, v němž ( ) Y značí suečně naměřenou hodnou v čase a Y ( ) předpověď éo hodnoy pořízenou v časovém oamžiu bezprosředně předcházejícím. Při posuzování valiy předpovědí v dané časové řadě je nuno vzí v úvahu všechny zonsruované předpovědi. V praxi se nejčasěji používají následující míry valiy předpovědí: ) Sperální analýza časové řady Bodová předpověď Předpovědní inerval Chyba předpovědi Míry valiy předpovědi 9

16 Míra SSE souče čvercových chyb SSE (Sum of Squared Errors) = n SSE e, = Míra MSE Míra MAD Míra MAPE Míra SMAPE průměrná čvercová chyba MSE (Mean Squared Error) n MSE = e = SSE n = n průměrná absoluní odchyla MAD (Mean Absolue Deviaion) n MAD = e a n = Průměrná absoluní procenuální chyba MAPE (Mean Absolue Percenual Error) n 00 MAPE = e. n Y Srovnáme-li všechny uvedené míry, zjisíme, že míry MSE a SSE (ve srovnání s MAD) posuzují mnohem přísněji velé chyby předpovědí než chyby malé. Všechny uvedené míry valiy předpovědí závisí na šále, v níž jsou měřeny hodnoy { Y }. Při porovnávání míry valiy předpovědí pro více časových řad je vhodnější použí symericou průměrnou absoluní chybu v procenech (SMAPE) definovanou vzahem = n+ h 00 e SMAPE =, h = n+ Y Yˆ / v němž h značí horizon předpovědi. ( + ( ) ).5 Záladní charaerisiy časových řad Sřední hodnoa Rozpyl (variance) Auoovarianční funce Auoorelační funce Předpoládejme, že je dána časová řada { } n Y = Y, Y,..., Y. Na = n počáu musíme zdůrazni, že je principiální rozdíl mezi charaerisiami eoreicými a empiricými (výběrovými). Teoreicé charaerisiy jsou (z pohledu lasicé eorie pravděpodobnosi) onsany, jejichž přesnou hodnou neznáme, zaímco empiricé charaerisiy jsou náhodné veličiny odhady charaerisi eoreicých. Záladními eoreicými charaerisiami časové řady jsou: a) sřední hodnoa µ = E ( Y ), b) rozpyl (variance) σ = var ( Y ) = E ( Y µ ) = 0, ±,... c) auoovarianční funce řádu ( ) γ = ( Y Y ) = E ( Y µ )( Y µ ), cov, + + +, d) auoorelační funce řádu ( = 0, ±,...) 0

17 cov, ρ = σ σ ( Y Y ) Uvedené vzahy se zjednoduší, omezíme-li se na zv. slabě sacionární řady, j. na řady s onsanní sřední hodnoou, onsanním rozpylem a auoovarianční funcí, erá závisí pouze na hodnoě. Pa pro uvedené eoreicé charaerisiy můžeme psá: + + a) sřední hodnoa µ = E ( Y ) pro všechna, b) rozpyl (variance) σ = ( Y ) = ( Y µ ). var E pro všechna, c) auoovarianční funce řádu ( = 0, ±,...) ( Y Y ) E ( Y )( Y ) γ = cov, + = µ + µ, d) auoorelační funce řádu ( = 0, ±,...) ( Y Y ) cov, γ ρ = =. σ + γ 0 Auoovarianční i auoorelační funce jsou funce sudé, j. γ = γ, ρ = ρ, proo se určují pouze pro 0. Graficý záznam závislosi ρ na se nazývá periodogram, přiom plaí ρ 0 = a ρ pro > 0. Odhady eoreicých charaerisi (empiricé charaerisiy) jsou: a) arimeicý průměr n Y = Y, n = S Y Y Y Y n n Y = = n = n = b) odhad rozpylu (variance) ( ) c) odhad auoovarianční funce ( = 0,,...) n n c = Y Y Y Y = YY Y ( )( + ) + n = n = d) odhad auoorelační funce ( = 0,,...) r c c = = S c Y 0.,, Arimeicý průměr Odhad rozpylu Odhad auoovarianční funce Odhad auoorelační funce Výpoče odhadů (empiricých charaerisi) má praicý význam pro n > 50, n. 4

18 Konrolní oázy. Ja se řeší problémy s alendářem?. Jaý je zásadní rozdíl mezi sezónní a cylicou složou časové řady? 3. Ja se počíá chyba předpovědi? 4. Jaá je výhoda míry valiy předpovědí SMAPE? 5. Vysvělee rozdíl mezi eoreicými a empiricými charaerisiami. Korespondenční úol Vybere si libovolnou časovou řadu obsahující minimálně 50 pozorování a spočěe pro ni hodnoy arimeicého průměru, rozpylu, auoovarianční a auoregresní funce pro =,,...,0. K výpoču použije Excel nebo dosupný saisicý sofware (např. NCSS, Mahemaica). Vaše práce by měla mí následující sruuru: ) sručný popis vybraných da (včeně původu), ) hodnoy vypočených empiricých charaerisi, 3) inerpreace výsledů. Pojmy zapamaování: časová řada (sochasicá, deerminisicá), časové body pozorování, déla časové řady, deompozice časové řady (adiivní, mulipliaivní), rend, sezónní složa, cylicá složa, náhodná (reziduální) složa, Boxova-Jeninsova meodologie, lineární faorový model, faorová (vysvělující) časová řada, sperální analýza časové řady, bodová předpověď, předpovědní inerval, chyba předpovědi, míry valiy předpovědi (míry SSE, MSE, MAD, MAPE, SMAPE), eoreicé charaerisiy časové řady (sřední hodnoa, rozpyl, auoovarianční funce, auoorelační funce), empiricé charaerisiy časové řady (arimeicý průměr, empiricý rozpyl, empiricá auoovarianční funce, empiricá auoorelační funce)

19 Shrnuí V éo apiole zavádíme pojem časová řada (realizace nějaého náhodného procesu) a něeré další pojmy související s časovými řadami (déla časové řady, chyba předpovědí, míry valiy předpovědi). Dále předládáme čenáři sručnou charaerisiu záladních přísupů analýze časových řad (deompozice čas. řady, Boxova-Jeninsova meodologie, lineární faorové modely a sperální analýza) a aé přehled nejužívanějších eoreicých i empiricých charaerisi časové řady. 3

20 4

21 APROXIMACE TRENDU MATEMATICKÝMI FUNKCEMI Záladní cíle éo apioly: pozna záladní lasicé (neadapivní) přísupy eliminaci rendové složy nauči se počía bodové odhady paramerů maemaicých funcí, eré jsou vhodné aproximaci rendové složy. Klíčová slova: vyrovnání výyvů oolo rendu, meoda průměrování cylů, meoda nejmenších čverců, onsanní funce, lineární funce, vadraicá funce, exponenciální funce, modifiovaná exponenciální funce, logisicá funce, Gomperzova funce, spline. Tao apiola je věnována lasicým přísupům (ne adapivním) analýze rendu. Zabývá se především problemaiou aproximace rendu vhodnými maemaicými funcemi. Doporučujeme čenáři, aby si před sudiem éo apioly zopaoval princip meody nejmenších čverců a způsob jejího využií pro odhadování paramerů regresních funcí. Dále považujeme za vhodné, aby si zareslil průběh jednolivých aproximačních funcí pro doporučené hodnoy jejich paramerů.. Subjeivní meody analýzy rendu Tyo meody mají věšinou jednoduchý graficý zálad. Umožňují sice časovou řadu vyrovna, ale neposyují prosředy pro onsruci předpovědí. Nejjednodušší graficá meoda (vyrovnávání dolních a horních zjevných periodicých výyvů oolo rendu) je založena na om, že se sředy vyypovaných cylů proloží poud možno hladá řiva. Přílad aového vyrovnání je na obr... Poněud objeivnější je meoda průměrování cylů. Tao meoda (viz obr..) se realizuje ve řech rocích: Vyrovnávání dolních a horních výyvů Meoda průměrování cylů nejprve se spojí lomenými čarami všechny horní body zvrau časové řady a aé všechny dolní body zvrau, 5

22 pa se pro všechny pořebné časové oamžiy vynesou do grafu sředy vzdálenosí mezi horní a dolní lomenou čarou, naonec se zareslí lomená čára spojující již zmíněné sředy. Obr..: Vyhlazování horních a dolních výyvů olem rendu [8] Obr..: Meoda průměrování cylů [8] Více podrobnosí o subjeivních meodách je uvedeno v monografii T. Cipry[8].. Aproximace rendu maemaicými funcemi Budeme předpoláda, že zoumaná časová řada má var Y = Tr + ε. 6

23 Typ nejvhodnější maemaicé funce pro danou časovou řadu se určuje na záladě předběžné analýzy řady, nejčasěji pomocí graficého záznamu řady nebo eoreicých znalosí o průběhu rendové složy. Sysemaicá ypologie funcí vhodných pro popis rendové složy je uvedena např. v monografii J. Kozáa [8]... Konsanní funce V omo případě zřejmě plaí Tr = β, =,,.., n. 0 Meodou nejmenších čverců, j. minimalizací funce ( ) dosaneme pro bodový odhad b 0 parameru β 0 vzah n b = y = y. Předpověď Y ˆT pro T 0 n = > n je rovněž onsanní, oiž Y ˆ = b. 0 T n S = Y β = 0 Meoda nejmenších čverců.. Lineární funce Je-li rend lineární, j. Tr = β + β,,,..., n, 0 dosaneme pro bodové odhady b0 a b pomocí meody nejmenších čverců sousavu dvou normálních rovnic Její řešení má var ( n + ) přičemž n nb + b = Y, 0 = = n n n 0 + = = = = b b Y. n = n n Y Y = = b0 =, b = Y b0, n n =. Pro předpovědi Y ) T budoucích hodno časové řady pa plaí Y ˆ = b. 0 + bt T V eonomericých časových řadách, de body pozorování jsou zpravidla evidisanní, je výhodnější použí modelu ( ) Vzhledem omu, že plaí ( ) zjednoduší na var Tr = γ 0 + γ, =,,..., n. n = = 0, sousava normálních rovnice se 7

24 nc 0 n = n = Y, ( ) = ( ) c Y. = = Odud pro bodové odhady c0 a c snadno dosaneme n = n n Y Y = = c =, c n 0 = Y n a pro předpovědi budoucích hodno časové řady Y = c + c ( T )..3 Kvadraicá funce ˆ. T 0 V případě vadraicé funce můžeme, sejně jao u funce lineární, použí dvou modelů: Tr = β + β + β, =,,..., n nebo 0 ( ) ( ) Tr = γ + γ + γ,..., n. 0 V obou ěcho případech dosaneme sousavu ří normálních rovnic pro bodové odhady příslušných paramerů. Předpovědi budoucích hodno časové řady se pa počíají pomocí vzahu ˆ Y = b + bt + b T, resp. T 0 ˆ T = 0 + ( ) + ( ). Y c c T c T Poznáma. Vzorce pro výpoče inervalových odhadů jsou uvedeny např. v monografii [9]...4 Exponenciální funce Uvažuje se dvouparamericá funce varu Tr = αβ, α > 0, β > 0, =,,..., n, (.) Tr erý se vyznačuje ím, že podíl dvou sousedních hodno rendu ( + ), Tr sejně jao podíl dvou sousedních prvních diferencí rendu, má onsanní hodnou rovnou β. Je-li β >, pa uvažovaná funce zřejmě exponenciálně rose, zaímco pro 0 < β < exponenciálně lesá. Pro odhad paramerů exponenciálního rendu se nejčasěji používá obyčejná meoda nejmenších čverců. Vzah (.) se nejprve převede logarimováním na var logtr = logα + log β a odhady obou paramerů se určí minimalizací výrazu 8

25 n = ( y α β ) log log log. Lepší výsledy posyuje meoda nejmenších vážených čverců, jejíž podsaa spočívá v om, že se jednolivá pozorování opařují saisicými vahami w, =,,..., n, a minimalizuje se výraz n = ( α β ) w log y log log. Saisicé váhy je vhodné voli a, aby plailo: w = Y, =,,..., n. Meoda nejmenších vážených čverců..5 Modifiovaná exponenciální funce Tao funce ve varu Tr = γ + αβ, α < 0, 0 < β <, γ >0,,,..., n je vlasně zobecněním funce exponenciální. Doporučuje se v ěch případech, dy podíl sousedních prvních diferencí řady je onsanní a řada je omezena hodnoou parameru γ. Přílad aového rendu je na obr..3. Obr..3: Modifiovaný exponenciální rend [8] Pro odhad paramerů se časo využívá následující posup. Soubor všech pozorování se (po případném vynechání jednoho nebo dvou počáečních pozorování) rozdělí na ři sejně velé čási o délce m. Sečeme-li pozorování v jednolivých čásech, dosaneme 9

26 3 3 m ( ) αβ β Tr Y = mγ +, β αβ Tr Y = mγ + αβ Tr Y = mγ + m+ m+ m ( β ) β, m ( β ) β Řešením éo sousavy pa spočeme odhady všech ří paramerů m Y 3 Y b =, Y Y b a = Y Y c = ( ) ( ) m b b m y ( )( ) ab b b m.,...6 Logisicá funce Růsová funce Logisicá funce má var Tr = γ, α >, 0 < β <, γ > 0, =,,..., n. + αβ Tao funce vyazuje inflexní bod inf = logα log β, je rosoucí a asympoicy omezena hodnoou parameru γ. Její graf (viz obr..4a) má průběh ypicý pro zv. S-řivy. Důležiou charaerisiou logisicé funce je zv. růsová funce (viz obr..4b), erou dosaneme derivováním podle času dtr ln β = Tr ( γ Tr ). (.) d γ Z uvedeného vzahu je zřejmé, že rychlos růsu rendu je přímo úměrná nejen dosažené úrovni Tr, ale i vzdálenosi éo úrovně od hladiny γ. Růsová funce je navíc symericá olem inflexního bodu. Pro odhad paramerů logisicé funce lze použí sejnou proceduru jao v případě modifiovaného exponenciálního rendu, v omo případě se odhadovací procedura apliuje na časovou řadu hodno. Y 0

27 Obr..4: Logisicý rend: a) logisicá funce, b) růsová funce [8] Alernaivní meoda odhadu vychází z řady prvních diferencí, j. z řady Y + Y, =,,..., n. Jesliže ve vzahu (.) nahradíme hodnoy rendové složy Tr hodnoami suečných pozorování Y a použijeme dy aproximace Y + Y =, de označuje řadu prvních diferenci d původní časové řady, dosaneme (po malé úpravě)

28 ln β = ln β + Y. y γ Odud už pomocí meody nejmenších čverců spočeme odhady paramerů β a γ. Pro odhad zbývajícího parameru α použijeme Rhodesova vzahu ( n ) n + ln β γ lnα = + ln. n = Y..7 Gomperzova funce Tuo funci dosaneme jednoduše ransformací modifiované exponenciální funce na var ln Tr = γ + αβ, α <, 0 < β <, =,,..., n. Gomperzova funce (viz obr..5a) má inflexi v bodě ( ) inf = log α log β, je aé rosoucí a asympoicy omezena. Její graf má aé podobu S-řivy. Příslušná růsová funce (viz obr..5b) není symericá olem indexního bodu, ale je ladně zešimená. Odhad paramerů se provádí sejně jao u modifiované exponenciální funce, ovšem odhadovací procedura se apliuje na řadu ln Y.

29 Obr..5: Gomperzův rend: a) Gomperzova funce, b) růsová funce [8]..8 Splajnové funce Namíso oho, abychom se snažili popsa rend nějaé časové řady polynomem neúměrně vysoého supně, rozdělíme časovou řadu na něoli úseů a v aždém z nich aproximujeme rend polynomem nízého supně (např. prvního nebo druhého). Výsledná funce je pa dána spojením funcí z jednolivých úseů. Přiom požadujeme, aby ao funce byla spojiá a navíc dosaečně hladá, což znamená, aby měla aé spojié derivace až do určiého řádu včeně. Přílad.. Pro řadu průměrných hearových výnosů pšenice v USA v leech 908 až 97 lze rend popsa následujícími řemi funcemi(viz [9]): Tr = 3,97, =,..., 5, ( ) ( ) Tr = 3,97 + 0,03 5, = 5,..., 54, Tr = 4,34 + 0,664 54, = 54,..., 64. V bodě = 5 se derivace. řádu zleva i zprava rovnají, zaímco v bodě = 54 se už jednosranné derivace. řádu liší. V abulce. uvádíme přehled esů používaných v praxi pro výběr vhodné funce pro aproximaci rendové řivy. 3

30 Tab..: Tesy pro výběr aproximace rendové řivy [9] Trendová funce Lineární Kvadraicá Exponenciální Logisicá Informaivní es První diference jsou přibližně onsanní Druhé diference jsou přibližně onsanní Y Podíly sousedních hodno + jsou přibližně Y onsanní Podíly Y Y + + Y + Y jsou přibližně onsanní Gomperzova Podíly ( ln Y ln Y ) ( ln Y lny ) onsanní jsou přibližně Konrolní oázy. Vysvělee princip meody nejmenších čverců.. Jaý průběh má exponenciální funce pro α > 0? 3. Čím se liší logisicá funce od Gomperzovy funce? 4. Vysvělee princip aproximace rendu pomocí splajnů. Korespondenční úol Vybere libovolnou časovou řadu a znázorněe ji graficy. Navrhněe vhodnou maemaicou funci pro aproximaci rendu éo řady a pouse se urči její paramery pomocí nějaého dosupného maemaicého sofware (lineární, popř. nelineární regrese). Doporučená sruura: ) sručný popis vybraných da (včeně původu), ) var vybrané funce pro aproximaci rendu a zdůvodnění výběru, 3) inerpreace hodno vypočených paramerů. Pojmy zapamaování: meoda vyrovnávání dolních a horních výyvů, meoda průměrování cylů, meoda nejmenších čverců, meoda nejmenších vážených čverců, funce aproximující rend: 4

31 o onsanní funce, o lineární funce, o vadraicá funce, o exponenciální funce, o modifiovaná exponenciální funce, o logisicá funce, o Gomperzova funce, o splajnové funce, růsová funce. Shrnuí V éo apiole se zabýváme lasicými, j. neadapivními, přísupy analýze rendové složy. Jsou popsány funce, eré slouží nejčasěji aproximaci rendu, a aé meody pro odhadování jejich paramerů. 5

32 6

33 3 METODY KLOUZAVÝCH PRŮMĚRŮ A KLOUZAVÝCH MEDIÁNŮ Po prosudování éo apioly: pochopíe principy meody louzavých průměrů, meody louzavých mediánů a meody adapivních vah, naučíe se, ja správně voli paramery uvedených meod, osvojíe si princip cenrování eonomericých časových řad. Klíčová slova: louzavé průměry, déla louzavých průměrů, řád louzavých průměrů, louzavé mediány, déla louzavých mediánů, adapivní váhy. V éo apiole se budeme zabýva řemi adapivními přísupy analýze rendové složy časové řady: meodě louzavých průměrů, meodě louzavých mediánů a meodě adapivních vah.. Principy ěcho meod vysvělíme na onréních příladech a, abyse je doázali správně pochopi. 3. Meoda louzavých průměrů Meoda louzavých průměrů je adapivní, což znamená, že je schopna pracova s aovými časovými řadami, jejichž rend podléhá časovým změnám. V omo případě nelze aproximova celou časovou řadu maemaicou funcí (např. polynomem) s neměnnými paramery, ale je možné použí polynomu nějaého nízého supně vyrovnání ráých úseů řady. Vychází se z předpoladu, že výchozí časová řada je očišěna od sezónních a cylicých fluuací. 3.. Princip meody louzavých průměrů Meoda louzavých průměrů je založena na vyrovnávání ráých úseů časové řady polynomicými funcemi. Má dva paramery: délu louzavých průměrů a řád louzavých průměrů. Déla louzavých průměrů udává suečnou délu vyrovnávaných úseů časové řady. Předpoládá se, že je o liché číslo ( m +, m ). Déla louzavých průměrů 7

34 Řád louzavých průměrů Řád louzavých průměrů (r) reprezenuje supeň vyrovnávacího polynomu. Při onsruci louzavých průměrů se posupuje ao. Nejprve vyrovnáme pomocí vhodného polynomu prvních m + členů časové řady, j. členy Y, Y,..., Y m +, a hodnou vyrovnávacího polynomu v prosředním bodě (v čase = m + ) považujeme za vyrovnanou ) hodnou Y m + dané řady v omo bodě. Pro zísání vyrovnané hodnoy Y ˆm + (v čase = m + ) provedeme uéž operaci s hodnoami Y, Y,..., Y +, ad. Můžeme si o předsavi a, že se podél zoumané 3 m časové řady posupně (vždy o jednu hodnou) posouvá ono o délce m + a s hodnoami, eré leží uvniř ohoo ona, se provede naznačená operace. Vyrovnané hodnoy časové řady jsou pa vořeny lineárními ombinacemi hodno původní řady s pevně určenými oeficieny. Nyní si uážeme posup na onréním příladu (viz [8]). Vyrovnejme danou časovou řadu meodou louzavých průměrů dély m + = 5 a řádu r = 3. V podsaě jde vždy o vyrovnávání pěi hodno uvažované časové řady ( +, τ =,, 0,, ) polynomem 3. supně. Y τ Koeficieny vyrovnávacího polynomu se určí meodou nejmenších čverců, j. minimalizací výrazu ( ) 3 Y + τ β0 βτ βτ β3τ τ = Odpovídající sousava normálních rovnic pro odhady β, j =,,3, 4, má var j. b j oeficienů j j j+ j+ j+ 3 Y + ττ b0 τ b τ b τ b3 τ τ = τ = τ = τ = τ = = 0. Vzhledem omu, že pro lichá j plaí obecně se podsaně zjednoduší 0 3 j τ = 0, uvedená sousava τ = 5 b + 0 b = Y, τ = 0 b + 34 b = τy, τ = + τ + τ 0 b b = τ Y + τ, τ = b + 30 b3 = τ Y + τ. τ = (3.) 8

35 V éo fázi nám sačí jen hodnoa vyrovnávacího polynomu v bodě τ = 0, j. odhad b. 0 Řešením první a řeí rovnice sousavy (3.) dosaneme = 7 5 = = ( 3Y + Y + 7Y + Y + 3 Y + ). 35 b0 35 Y + τ τ Y + τ τ = τ = Odhad b 0 předsavuje současně vyrovnanou hodnou časové řady v čase, aže Yˆ = ( 3Y + Y + 7Y + Y + 3 Y + ), 35 což se obvyle (symbolicy) zapisuje ve varu Yˆ = ( 3,,7,, 3 ) Y. 35 Z uvedeného je zřejmé, že louzavé průměry dély m + jsou lineární ombinace hodno Y m, Y m+,..., Y + m s pevně určenými oeficieny, Tyo oeficieny (racionální čísla) se nazývají váhy louzavých průměrů a jsou abelovány (např. v monografii [8]). 3.. Váhy louzavého průměru Pro váhy louzavých průměrů plaí následující vrzení. Souče vah louzavého průměru je roven. Váhy jsou symericé olem prosřední hodnoy, j. oeficieny u členů Y a Y pro j =,,..., m jsou shodné. j + j Je-li řád r louzavého průměru sudé číslo, pa louzavé průměry řádu r a r + jsou idenicé. Váhy louzavého průměru 3..3 Vyrovnání počáečních a oncových úseů časové řady Vyrovnáním časové řady, eré bylo popsáno v odsavci 3.., zísáme vyrovnané hodnoy pouze pro = m +, m +,..., n m, což znamená, že prvních m hodno, sejně jao posledních m hodno, dané řady zůsane nevyrovnáno. Proo si nyní uážeme, ja se zísají vyrovnané hodnoy na počáu a na onci časové řady, přiom budeme navazova na řešení příladu z odsavce 3... Nejprve odvodíme vzahy pro vyrovnané hodnoy Y ˆ ˆ n a Yn. Posup je založen na vyrovnání posledních pěi pozorování časové řady, j. pozorování Yn 4, Yn 3, Yn, Yn, Yn, pomocí polynomu 3. supně Y + τ = b + bτ + b τ + b τ (3.) 3 ˆn 0 3 9

36 Koncové louzavé průměry Počáeční louzavé průměry pro hodnoy τ = a τ =. K omu ovšem pořebujeme zná ješě odhady b, b a b. Řešením sousavy (3.) dosaneme τ + τ 7 τ + τ, τ = τ = b = Y Y 7 b = Y τ Y τ, 4 τ + + τ = τ = 3 5 τ + τ 7 τ + τ. τ = τ = b3 = Y Y 7 Jesliže nyní dosadíme za všechny odhady do vzahu (3.) a posupně volíme τ = a τ =, zísáme pro vyrovnané hodnoy Y ˆ ˆ n a Yn Yˆ n = (, 8,, 7, ) Yn, 35 ˆ Yn = (, 4, 6, 4,69 ) Yn. 70 Právě uvedené vzahy se nazývají oncové louzavé průměry a příslušné oeficieny (u jednolivých pozorování) jsou jejich váhy. Analogicým posupem použiým na vyrovnání prvních pěi pozorování dosaneme pro počáeční louzavé průměry vzahy Yˆ = ( 69, 4, 6, 4, ) Y, 70 Yˆ = (, 7,, 8, ) Y Predice v časové řadě Předpovědní louzavé průměry Vzahu (3.) můžeme použí i pro onsruci ráodobých předpovědí. Položíme-li τ = 3, můžeme psá de Y ( n) ˆn Yˆ ( ) n+ n = ( 4,, 4, 4,6 ) Yn, (3.3) 5 + značí předpověď hodnoy Y n + zonsruovanou v čase = n. Uvedený posup je použielný jen pro zísání ráodobých předpovědí. Obecně oiž plaí, že čím je vzdálenější horizon předpovědi, ím je jeho spolehlivos menší. Vzah (3.3) je příladem předpovědních louzavých průměrů. Váhy všech ypů louzavého průměru jsou abelovány (např. v monografii [8]). Povšimněe si dále, že souče vah oncových, počáečních i předpovědních louzavých průměrů je aé roven, ovšem symerie olem prosřední hodnoy je narušena. 30

37 3..5 Volba paramerů meody Paramery meody louzavých průměrů se zpravidla volí subjeivně na záladě posouzení charaeru experimenálních da s ím, že se preferují vyrovnávací polynomy co nejnižšího řádu a déla podle požadovaného supně vyhlazení.. Déla louzavých průměrů by měla odpovída periodě sezónních nebo cylicých fluuací, eré chceme eliminova (vyhladi). Poud omu a není, periodicé fluuace zůsanou po vyhlazování zachovány. V monografii [8] se uvádí objeivní riérium pro určení řádu louzavých průměrů. Navrhované riérium má var de V n ( Y ) = = +, ( n ) Y je řada -ých diferencí původní časové řady. Z eorie vyplývá, že pro r + předsavuje hodnoa riéria V odhad rozpylu bílého šumu. V praxi se posupně počíají hodnoy V, V,..., doud nezjisíme, že yo hodnoy začínají onvergova nějaé onsaně. Jsou-li hodnoy Vr +, Vr +,... již blízé éo onsaně, doporučuje se vybra louzavé průměry řádu r. Hodnoy V nejsou navzájem nezávislé a nemusí zjevně onvergova nějaé onsaně. V aždém případě vša uvedený posup umožňuje naléz horní hranici pro řád louzavých průměru Jednoduché louzavě průměry Výpoče louzavých průměrů se podsaně zjednoduší, jesliže zvolíme zv. jednoduché louzavé průměry. Jsou o prosé arimeicé průměry jednolivých pozorování časové řady. Např. jednoduché louzavé průměry dély 5 mají var ( ) Yˆ =,,,, Y. 5 Je zřejmé, že jednoduchý louzavý průměr liché dély m + odpovídá obyčejnému louzavému průměru řádu 0 nebo éže dély. Taé onsruce předpovědí budoucích hodno časové řady Y + τ, τ > 0, pomocí jednoduchých louzavých průměrů liché dély je velmi snadná, plaí oiž obecně Jednoduché louzavé průměry 3

38 Cenrované louzavé průměry Yˆ n+ τ = (,,...,) Yn m, m + přičemž v orouhlé závorce je právě m + jedniče. Vyrovnávání časové řady pomocí jednoduchých louzavých průměrů sudé dély není vhodné, proože vyrovnaná hodnoa pa neodpovídá žádnému oamžiu pozorování. Ale aová siuace běžně nasává u eonomicých časových řad, dy je přirozené voli délu louzavých průměrů rovnou (měsíční pozorování), resp. 4 (varální pozorování). V aových případech se doporučuje použí zv. cenrované louzavé průměry. Uvažujme např. eonomicou časovou řadu měsíčních pozorování. Apliace jednoduchých louzavých průměrů dély by sice umožnila eliminova sezónní fluuace řady, ale arimeicý průměr lednové až prosincové hodnoy za určiý ro nelze přiřadi žádnému suečnému oamžiu pozorování, proože padne právě doprosřed mezi červnové a červencové pozorování. Jesliže vša zprůměrňujeme dva aové sousední jednoduché louzavé průměry, eré odpovídají sředům inervalů červenčervenec a červenec-srpen, pa výslednou vyrovnanou hodnou můžeme přiřadi červencovému pozorování. Tao vyvoříme cenrovaný louzavý průměr dély 3 ve varu ˆ Y = ( Y 6 + Y Y + 5 ) + ( Y 5 + Y Y + 6 ) = = ( Y 6 + Y 5 + Y Y Y Y + 6 ). 4 Právě uvedený vzah umožňuje spočía vyrovnanou červencovou hodnou a, že použijeme únorové až prosincové pozorování příslušného rou s vahami a lednová pozorování uvažovaného a následujícího rou s vahami. 4 Analogicy se posupuje i v případě varálních pozorování, dy používáme cenrované louzavé průměry dély 5 ve varu ) Y = ( Y + Y + Y + Y + + Y + ) Vliv meody na složy časové řady Z eoreicých úvah vyplývají následující závěry. Meoda louzavých průměrů by neměla mí žádný významný vliv na průběh rendové složy. 3

39 Sezónní složa (periodicé fluuace vyšších frevencí) by měla bý po apliaci meody louzavých průměrů v podsaě eliminována, zaímco značný podíl cylicé složy (fluuace nízých frevencí) zůsává ve vyrovnané řadě. Bílý šum přesává mí po apliaci meody louzavých průměrů vlasnos neorelovanosi. 3. Meoda louzavých mediánů Meoda louzavých mediánů paří rovněž meodám adapivním, proože umožňuje analyzova řady s rendovou složou, erá podléhá časovým změnám. Princip éo meody, jaož i praicé zušenosi s její apliací, popisuje J. W: Tuey v monografii [3]. 3.. Princip meody louzavých mediánů Meoda je založena na vyrovnávání ráých úseů časové řady pomocí mediánu. Na rozdíl od meody louzavých průměrů má pouze jediný paramer, a o délu louzavých mediánů. Déla louzavých mediánů určuje suečnou délu vyrovnávaných úseů časové řady. Sejně jao v případě meody louzavých průměrů se doporučuje, aby déla louzavých mediánů byla rovna vhodnému lichému číslu ( m +, m ). Déla louzavých mediánů Posup při onsruci louzavých mediánů je následující. Nejprve vyrovnáme pomocí mediánu prvních m + členů časové řady, j. členy Y, Y,..., Y +, a hodnou ohoo mediánu považujeme za vyrovnanou m hodnou y ˆm+ dané řady v prosředním bodě (v čase = m + ). Pro zísání vyrovnané hodnoy Y ˆm + (v čase = m + ) provedeme uéž operaci, j. určení mediánu, s hodnoami Y, Y3,..., Y m +, ad. Můžeme si o názorně předsavi a, že se podél zoumané časové řady posupně (vždy o jednu hodnou) posouvá ono o délce m + a z hodno, eré leží uvniř ohoo ona, se spoče medián. Nyní si uážeme posup na onréním příladě (viz [5]). Přílad 3..Vyrovnáme hypoeicou časovou řadu (viz ab. 3., sloupec ) meodou louzavých mediánů dély m + = 3. Na první pohled je zřejmé, že hodnoy rozumně vyhlazené řady by měly pomalu růs od cca 5 do cca 0. Přiom nemusíme brá v úvahu odlehlou hodnou 304, i dyž ao hodnoa může bý reálná, a edy indiova nějaou významnou událos. 33

40 Ve 3. sloupci ab. 3. jsou uvedeny hodnoy vyrovnané meodou louzavých mediánů dély 3. V éo souvislosi je vhodné zdůrazni, že meodu louzavých mediánů je možno apliova na danou časovou řadu opaovaně. Výslede aové opaované (edy dvojnásobné) apliace meody je zaznamenán v posledním sloupci ab. 3.. Povšimněe si suečnosi, že další apliace meody louzavých mediánů na údaje v posledním sloupci abuly už nevede žádným změnám. Tab. 3.. Vyrovnání časové řady meodou louzavých mediánů dély 3 Čas () Výchozí řada ( Y ) Vyrovnaná řada ( Y ˆ ) Dvojnásobně vyr. řada ( Y ˆ ) 4?? 7 7? ? 5 4?? Meoda louzavých mediánů je ve srovnání s meodou louzavých průměrů podsaně jednodušší, vyrovnání dané časové řady je možno provádě zpaměi, j. bez využií násrojů výpočení echniy. Navíc uvažovaná meoda není cilivá na odlehlé (nepřiměřeně vysoé nebo nízé) hodnoy pozorování. 3.. Vyrovnávání počáečních a oncových úseů řady Posup popsaný v předcházejícím odsavci nám neumožňuje urči vyrovnané hodnoy na počáu a onci zoumané časové řady, což je 34

41 v ab. 3. vyznačeno symbolem?. Pro sanovení ěcho vyrovnaných hodno doporučuje Tuey [3] dva posupy. První z nich je velmi jednoduchý a spočívá v prosém opírování hodno počáečních a oncových pozorování do příslušných hodno vyrovnané řady. To znamená, že se ve řeím sloupci ab. 3. nahradí symboly? posupně hodnoami 4 (první vyrovnaná hodnoa) a 4 (poslední vyrovnaná hodnoa). Analogicy se posupuje i při doplňování chybějících vyrovnaných hodno v posledním sloupci uvažované abuly. Druhý doporučený posup je poněud složiější. První, resp. poslední, vyrovnaná hodnoa se určí jao medián ze ří údajů: hodnoy prvního, resp. posledního, pozorování, nejbližší vyrovnané hodnoy a výsledu lineární exrapolace dvou nejbližších vyrovnaných hodno na oamži ležící právě o jednu časovou jednou před prvním pozorováním, resp. za posledním pozorováním, zoumané řady. 3.3 Meoda adapivních vah Meoda adapivních vah je v podsaě zobecněním meody louzavých průměrů Princip meody adapivních vah Podobně jao u předcházejících meod se vychází z předpoladu, že pro zoumanou časovou řadu plaí Y = Tr + ε. Předpovědi se onsruují jao vážený průměr všech minulých hodno časové řady, přiom váhy jednolivých pozorování se posupně adapují (modifiují) vždy v oamžiu, dy se přidává výslede nového pozorování. Pro sanovení předpovědí se používá vzah M ( ) ( ) Yˆ = w Y = + i + i i= ( ) ( ) = w Y + w Y w Y, M + M v němž M označuje délu louzavých průměrů a w ( ), i =,,..., M, váhy jednolivých pozorování v čase. V oamžiu, dy máme dispozici nově pozorování y +, se váhy adapují podle vzorce ( ) ( ) w + = w + e Y, i =,,..., M, i i + + i i 35

42 Modifiační onsana de je zv. modifiační onsana a e Y Yˆ ( ) = příslušná chyba předpovědi. Počáeční hodnoy vah se nasavují a, aby plailo w i ( 0) =, i =,,..., M. M Podle auorů monografie [5] posyuje ao meoda lepší výsledy než meoda louzavých průměrů. Konrolní oázy. Jaý je princip meody louzavých průměrů?. Jaé význačné vlasnosi mají váhy louzavých průměrů? 3. Ja se určují počáeční, oncové a předpovědní louzavé průměry? 4. Kdy se používají cenrované louzavé průměry? 5. Ja ovlivňuje meoda louzavých průměru jednolivé složy časové řady? 6. Vysvělee princip meody louzavých mediánů. 7. Vysvělee princip meody adapivních vah. Korespondenční úol 3. Vybere libovolnou časovou řadu obsahující minimálně 30 pozorování a vyrovneje ji meodou jednoduchých louzavých průměrů dély 3 a meodou louzavých mediánů dély 5. Doporučená sruura:. sručný popis vybraných da (včeně původu),. vyrovnané hodnoy časové řady pomocí meody jednoduchých louzavých průměrů dély 3, 3. vyrovnané hodnoy časové řady pomocí meody louzavých mediánů dély 5, 4. porovnání účinnosi obou meod. Pojmy zapamaování: meoda louzavých průměrů, o déla louzavých průměrů, o řád louzavých průměrů, o váhy louzavých průměrů, o počáeční louzavé průměry, o oncové louzavé průměry, o předpovědní louzavé průměry, o jednoduché louzavé průměry, o cenrované louzavé průměry, meoda louzavých mediánů, o déla louzavých mediánů, 36

43 meoda adapivních vah, o modifiační onsana. Shrnuí Tao apiola je věnována řem adapivním přísupům analýze rendové složy, a o meodám louzavých průměrů, louzavých mediánů a adapivních vah. Obsahuje podrobné vysvělení záladních principů, z nichž uvedené meody vycházejí, a aé návod, ja yo meody apliova v praxi. 37

44 38

45 4 EXPONENCIÁLNÍ VYROVNÁVÁNÍ Po prosudování éo apioly: pochopíe princip meody exponenciálního vyrovnávání, naučíe se, ja opimálně voli hodnou vyrovnávací onsany, pochopíe souvislos mezi opimální hodnoou vyrovnávací onsany a mechanismy, eré generují danou časovou řadu. Klíčová slova: jednoduché exponenciální vyrovnávání, dvojié exponenciální vyrovnávání (Brownův algorimus), Holův algorimus, rojié exponenciální vyrovnávání, vyrovnávací onsany, vyrovnávací saisiy. Tao apiola se zabývá meodou exponenciálního vyrovnávání, erá předsavuje jeden z nejužívanějších přísupů analýze rendové složy časové řady. Věnuje výladu náležiou pozornos, abyse pochopili princip éo meody a naučili se jí správně využíva při analýze vlasních experimenálních da. 4. Princip meody Meoda exponenciálního vyrovnávání [7,8,9] je založena na apliaci meody vážených nejmenších čverců na všechna dosupná pozorování dané časové řady s ím, že váhy jednolivých pozorování se směrem do minulosi exponenciálně zmenšují. Vyrovnané hodnoy Y ˆ časové řady se určují a, aby minimalizovaly hodnou výrazu j= 0 ( ) j j ˆ j Y Y δ, (4.) v němž δ označuje zv. disonní onsanu splňující podmínu 0 < δ <. Uvedený výraz má var neonečného souču, přesože v praxi známe jen onečný poče pozorování Y, Y,..., Y n. Hypoeicé prodloužení časové řady do minulosi má vša rozumné oprávnění, umožňuje oiž podsaně zjednoduši vzorce pro výpoče vyrovnaných hodno a předpovědí. Princip exponenciálního vyrovnávání je po výpočení sránce velmi jednoduchý, má malé nároy na pořebný objem uchovávaných da a dovoluje snadnou onsruci předpovědí. Ve všech varianách exponenciálního vyrovnávání se předpoládá, že vyrovnávaná časová řada má var Y = Tr + ε. Vyrovnávací onsana 39

46 4. Jednoduché exponenciální vyrovnávání Jednoduché exponenciální vyrovnávání se používá v případě, že rendová složa dané časové řady je v ráých úsecích onsanní, j. plaí Tr = β Úolem je přiom naléz odhad b 0 parameru β. 0 Proože jde o adapivní 0. přísup rendové složce, bude eno odhad závislý na časovém oamžiu, ve erém se provádí. Označme symbolem b0 ( ) odhad parameru β 0 zonsruovaný v čase na záladě všech pozorování Y, Y,..., Y n, jež jsou v čase dispozici. Teno odhad zísáme minimalizací výrazu j= 0 ( Y ( )) j β0 vzhledem β 0. Apliace meody nejmenších čverců vede normální rovnici j δ j j b0 ( ) δ = δ Y j j= 0 j= 0. Vzhledem omu, že j δ =, můžeme uo rovnici upravi na var δ j= 0 Zísaný odhad b ( ) 0 j b0 ( ) = ( δ ) δ Y j. j= 0 bude předsavova nejen odhadnuou úroveň rendu v čase, ale současně i vyrovnanou hodnou Y ˆ uvažované časové řady, proo můžeme psá ˆ j Y = ( δ ) δ Y = ( δ ) Y + δy + δ Y (4.) j j= 0 Ze vzahu (4.) je zřejmé, že vyrovnané hodnoa řady v čase je váženým součem všech pozorování řady až do času včeně s exponenciálně lesajícími vahami ( ) ( ) δ, δ δ, δ δ,.... Výraz (4.) můžeme upravi na var Yˆ ( ) ˆ = δ Y + δy, erý vlasně reprezenuje reurenní předpis pro výpoče vyrovnaných hodno analyzované časové řady. Uvedený vzah se pro praicé účely přepisuje na var Yˆ ( ) ˆ = αy + α Y, (4.3) v němž α = δ se nazývá vyrovnávací onsana. Vzah (4.3) doumenuje již uvedené výhody exponenciálního vyrovnávání (jednoduchos výpoču vyrovnaných hodno, nízé nároy na 40

47 objem sladovaných da). V čase sačí uloži do paměi pouze vyrovnanou hodnou Yˆ a předcházející vyrovnané hodnoy Yˆ, ˆ Y,... lze zapomenou. 3 Pro sanovení předpovědí se používá vzahu Yˆ n Yˆ, ( ) n+ τ = což znamená, že předpovědi jsou pro všechny hodnoy τ onsanní, rovné poslednímu pozorování. Abychom mohli použí reurenního vzorce (4.3), musíme urči vyrovnanou hodnou Y ˆ 0. Pro sanovení éo hodnoy máme dvě možnosi:. určíme Ŷ 0 jao arimeicý průměr vhodného poču počáečních pozorování,. apliujeme zv. meodu baccasing založenou na exrapolaci řady směrem do minulosi. 4.. Volba vyrovnávací onsany Na záladě praicých zušenosí doporučuje Cipra [9] vybíra hodnou vyrovnávací onsany α z inervalu ( 0;0,3 ]. Přiom nízá hodnoa α odpovídá savu, dy se mechanismus generující danou časovou řadu podsaně nemění, aže se poslednímu pozorování připisuje jen malá váha. Hodnoy α se upřesňují dvěma posupy: a) pomocí empiricého vzorce α =, de m+ označuje m + nejvhodnější délu jednoduchých louzavých průměrů pro vyhlazení dané řady, b) pomocí simulace, jež spočívá v om, že se posupně volí α = 0,0; 0,0;...; 0,30 a naonec se vybere aová hodnoa α, erá posyuje nejlepší předpovědi, j. minimální hodnou riéria SSE. Z uvedeného je zřejmé, že se jednoduché exponenciální vyrovnávání v případě simulačního přísupu realizuje ve dvou fázích. V první fázi se určí opimální hodnoa vyrovnávací onsany, ve druhé se provede vyrovnání časové řady s opimální hodnoou α a spočou se předpovědi. Ve saisicém sofware NCSS se jednoduché exponenciální vyrovnávání realizuje pomocí meody Exponenial Smoohing Horizonal. n 4