ekologie Pavel Fibich Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Pavel Fibich Shrnutí Literatura

Transkript

1 emi - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 4. října 2012

2 Obsah emi emi 4 5 6

3 emi Proč povídat o ích v kurzu? ové modely se používají v populační ekologii téměř nejčastěji bude snažší porozumět práci s emi které se v přednáškách objevují

4 emi Vektor je veličina charakterizovaná velikostí a směrem, zn. x, je to uspořádaná n-tice čísel x i. Např.: x 31, y 21, z 14 3 ( ) x = a b 0, y =, z = ( ) 0 i je charakterizovaná počtem řadků a sloupců. Skládá se z vektorů. Např. A 32, E A = 1 0, E = Jednotlivé prvky e se odkazují indexy, a ij je prvek na i-tém řádku a v j-tém sloupci. Hodí se na zápis lineárního zobrazení, řešení obyčejných δr, k vyjádření soustavy lineárních rovnic,...

5 emi Typy dle velikosti vektor - počet řádků nebo sloupců je 1 čtvercová - jinak, kde počet řádků a sloupců je stejný obdélníková - jinak Typy dle prvků jednotková (E, I) - jedničky na diagonále, jinak samé nuly nulová - samé nuly

6 Vyjádření soustavy linearních rovnic, např. emi 3 x y +z = 3 x z = 2 x +8 y 2 z = 0 ově (neznámé a pravé strany jsou vektory) x y = z 0 (1) Zkrácený zápis A n = b. Když jsou pravé strany nulové, říkáme že je soustava homogenní.

7 emi a vektory emi Vektory jdou a 21 + b 21 = x 21 sčítat, jsou-li kompatibilní a 31 c = x 31 násobit skalárem, x m1 y 1n = A mn, x 1n y n1 = c násobit mezi sebou,... jdou A mn + B mn = C mn sčítat jsou-li stejných rozměrů A mn c = C mn násobit skalárem (číslem) A mn b n1 = c m1 násobit kompatibilním vektorem A mn B nk = C mk násobit mezi sebou mají-li společný rozměr (A mn ) T = A nm transponovat (převracet) A 1 invertovat (hledat opačnou i),...

8 emi emi Sčítání je komutativní. A mn + B mn = C mn = Násobení e skalárem je komutativní. A mn c = C mn =

9 emi emi Násobení e vektorem není komutativní. Pro A mn b n1 = c m1 je definováno jako c ij = n k=1 a ik b kj ( ) 2 ( 5 2 ) ( ) 10 4 = ( ) 2 ( ) = ( 2 1 ) = Násobení e vektorem je speciální případ násobení dvou. Vzorec pro výpočet zůstává stejný. tool linear matmult.html

10 Maticové normy emi Hrubá charakteristika e, využívané v pokročilejších metodách práce s emi. Řádková norma - Maximum ze součtů absolutních hodnot prvků v jednotlivých řádcích e A R = max i a ij Sloupcová norma - Maximum ze součtů absolutních hodnot prvků v jednotlivých sloupcích e A S = max j a ij Euklidova norma - Odmocnina ze součtů čtverců všech prvků e A E = aij 2 i j i j

11 Co nás u zajímá emi Determinant zn. det A, A čtvercové i n x n přiřadíme číslo (skalár), absolutně odpovídá objemu n-rozměrného rovnoběžnostěnu daného vektory a znaménko odpovídá orientaci vektorů počítá se pomocí Sarrusova pravidla (jen velikost 2x2,3x3), Leibnizovým vzorecem (libovolná) Charakteristická rovnice je dána A λ E = 0, např. ( ) 3 1 A = = A λ E = 3 λ 1 2 λ = λ2 3 λ + 2

12 Vlastní čísla a vlastní vektory emi Vlastní čísla (charakteristická čísla) jsou kořeny charakteristické rovnice, zn. λ i Vlastní vektor je vektor u který vyhovuje rovnici (A λ E) u = 0 Vlastní číslo má svůj vlastní vektor. Nebo jinak A u = λ u u 0 je vlastní vektor a λ je vlastní číslo. Vlastní vektory se v ekologii používají jako charakteristika stabilní (věkové) struktury pro danou přechodovou i.

13 Vlastní čísla a vlastní vektory emi ( ) 3 1 A = = A λ E = 3 λ 1 2 λ = λ2 3 λ + 2 Kořeny rovnice jsou λ 1 = 2, λ 2 = 1, a vlastní vektory ( ) ( ) 3 λ u 2 λ 1 = u ( ) 2 řešením je např. vektor u 1 =. Podobně je třeba 2 dopočítat vlastní vektor pro λ 2.

14 Power method emi Metoda počítající vlastní čísla a vektory bez rozkladu (nepočítá determinant). Tato metoda najde jen dominantní (největší) vlastní číslo a k němu náležící vlastní vektor. Výpočet probíhá v iteracích b k+1 = Ab k Ab k Začíná se nenulových b 0 a v každém kroku se výsledek normalizuje. Jde použít i na velké e, ale může konvergovat pomalu. Používá ji Šuspa a Google.

15 emi se skládá z řádků a sloupců S emi jdou provádět základní aritmetické operace které ale často nesplňují komutativní zákon nebo nejsou vůbec definovány kvůli nekompatibilní velikosti S emi jde lehce pracovat v matekém softu Vlastní vektory a vlastní čísla charakterizují i (v ekologii označují stabilní strukturu).

16 a odkazy emi http: // On-line výpočet en_tool linear matmult.html http: // elessonshtml/circuit/matvecmultiply.htm