Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení"

Transkript

1 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52

2 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n nazveme systém n-lineárnych rovnic s n neznámými. Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 2 / 52

3 koeficienty systému - a ij, i, j = 1, 2,..., n matice systému a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn rozšířená matice systému a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a n1 a n2... a nn b n Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 3 / 52

4 (Matice, opakování) typy matíc operace s maticemi lin. závislost, nezávislost determinanty Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 4 / 52

5 Věta (Základní věta lineární algebry) Systém lineárních rovnic má řešení hodnost matice A je stejná jako hodnost rozšířené matice systému. Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 5 / 52

6 (Cramerovo pravidlo) Ak je matica systému regulární, tak systém má jediné řešení x = A 1 b a x = D 1 D, D 2 D,... Dn D Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 6 / 52

7 Příklad (Cramerovo pravidlo) Najděte řešení soustavy rovnic: x 1 3x 2 = 7 8x 1 + x 2 = 3 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 7 / 52

8 Příklad (Cramerovo pravidlo, řešení) Soustavu rovnic upravíme na rozš. matici systému: ( ) Abychom mohli využít Cramerova pravidla, tak musí být determinant matice nenulový. Výpočet determinantu matice: D = 1 1 ( 3) 8 = = 25 0 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 8 / 52

9 Příklad (Cramerovo pravidlo, pokr.) Vypočítáme determinant D 1, který vznikl nahrazením prvního sloupce matice soustavy vektorem pravých stran. 7 3 D 1 = = 7 1 ( 3) 3 = = Můžeme vypočítat kořen x 1 soustavy rovnic: x 1 = D 1 D = Stejným způsobem vypočítáme i druhý kořen x 2 soustavy rovnic: 1 7 D 2 = = = 3 56 = 53, 8 3 x 2 = D 2 D = Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 9 / 52

10 (Numerické metody:) přímé Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda s výběrem hlavního prvku iterační Jacobiho metoda Gauss-Seidlova metoda Relaxační metoda Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 10 / 52

11 (Gaussova eliminační metoda) Příklad (GEM, zadání) Gaussovou elim. metodou najděte řešení soustavy rovnic: x + 3y 4z = 7 2x 7y + 3z = 1 3x + 4y 7z = 1 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 11 / 52

12 Příklad (GEM, řešení) Postupně provádíme elementární ekvivaletní úpravy, až dosáhneme trojúhelníkové matice: Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 12 / 52

13 Příklad (GEM, řešení) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 13 / 52

14 Příklad (GEM, řešení) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 14 / 52

15 Příklad (GEM, řešení) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 15 / 52

16 Příklad (GEM, řešení) Z matice v trojuhelníkovém tvaru vyčíslíme x, y a z: ( x ) 2 2z = 39 z = 39 2 ( y 39 ) = 4 2 y = 31 2 ( 4 39 ) 2 = 7 x = 49 2 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 16 / 52

17 (Gaussova eliminační metoda s částeč. výběrem hlavního prvku) V prvním kroku vybereme do prvního řádku tu rovnici, která má v absolutní hodnotě u x 1 největší koeficient. Pak eliminujeme x 1 v dalších rovnicích. V dalším kroku si budeme vybírat ze zbylých rovnic tu rovnici do druhého řádku, která má v absolutní hodnotě největší koeficient při x 2. Pak ze zbylých rovnic eliminujeme x 2. A tak dále... Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 17 / 52

18 Příklad (GEM s hl. prvkem) 0,14 0,24 0,84 1,11 1,07 0,83 0,56 0,48 0,64 0,43 0,38 0,83 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 18 / 52

19 Příklad (GEM s hl. prvkem) 1,07 0, , , ,14 0, , , ,00 0, , ,117 1 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 19 / 52

20 Příklad (GEM s hl. prvkem) 1,07 0, , , ,00 0, , , ,00 0, , ,467 6 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 20 / 52

21 Iterační metody Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 21 / 52

22 (Jacobiho metoda) Příklad (Jacobiho metoda, zadání) Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic. 10x 1 + x 2 x 3 = 9 x x 2 + x 3 = 42 x 1 + x x 3 = 33 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 22 / 52

23 Příklad (Jacobiho metoda, řešení) Z první rovnice si vyjádříme první neznámou, ze druhé rovnice vyjádříme druhou neznámou a ze třetí rovnice vyjádříme poslední neznámou. Toto je soustava rovnic, do které budeme v každém dalším kroku dosazovat. x 1 = 0,1( x 2 + x 3 + 9) x 2 = 0,05(x 1 x ) x 3 = 0,1( x 1 x ) (1) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 23 / 52

24 Příklad (Jacobiho metoda, řešení) Začneme počáteční aproximací x (0) = (0,9; 2,1; 3,3) a dosadíme do předchozích vztahů pro naše neznámé: x (1) 1 = 0,1( 2,1 + 3,3 + 9) = 1,02 x (1) 2 = 0,05(0,9 3,3 + 42) = 1,98 x (1) 3 = 0,1( 0,9 2,1 + 33) = 3,00 Dostali jsme další aproximaci, kterou opět dosadíme do soustavy rovnic (2). x (2) 1 = 0,1( 1,98 + 3,00 + 9) = 1,002 x (2) 2 = 0,05(1,02 3, ) = 2,001 x (2) 3 = 0,1( 1,02 1, ) = 3,000 Příklad (Jacobiho metoda, řešení) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 24 / 52

25 V tabulce jsou výsledky z dalších dvou kroků Jacobiho metody. k x (k) 1 x (k) 2 x (k) 3 0 0,9 2,1 3,3 1 1,02 1,98 3,00 2 1,002 2,001 3, , , , , , , Sledujeme rozdíly u každé neznámé ve dvou po sebe jdoucích aproximacích. Metodu ukončíme, když jsou rozdíly v absolutní hodnotě (u každé neznámé) menší než požadovaná přesnost. Příklad (Jacobiho metoda, divergence) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 25 / 52

26 Zde si ukážeme případ, kdy Jacobiho metoda diverguje. x 1 + x x 3 = 33 10x 1 + x 2 x 3 = 9 x x 2 + x 3 = 42 x 1 = x 2 10x x 2 = 10x 1 + x x 3 = x 1 20x Příklad (Jacobiho metoda, divergence) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 26 / 52

27 x 1 = 2,1 10 3, = 2,1 x 2 = 10 0,9 + 3,3 + 9 = 3,3 x 3 = 0,9 20 2, = 0,9 x 1 = 3,3 10 0, = 20,7 x 2 = 10 2,1 + 0,9 + 9 = 30,9 x 3 = 2,1 20 3, = 26,1 Příklad (Jacobiho metoda, divergence) x 1 = 30,9 10 ( 26,1) + 33 = 263,1 x 2 = 10 20,7 26,1 + 9 = 224,1 x 3 = 20, , = 555,3 Jak je vidět, tak Jacobiho metoda v tomto případě diverguje. Všimněte si, že se jedná o stejnou soustavu jako v předchozím příkladu, jen řádky soustavy jsou v jiném pořadí! Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 27 / 52

28 ( Gauss-Seidlova metoda) Příklad (Gauss-Seidlova metoda, zadání) Najděte řešení soustavy rovnic Gauss-Seidlovou metodou. 10x 1 + x 2 x 3 = 9 x x 2 + x 3 = 42 x 1 + x x 3 = 33 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 28 / 52

29 Příklad (Gauss-Seidlova metoda, řešení) Začneme s počátoční aproximaci řešení x (0) = (0,9; 2,1; 3,3). Při výpočtu x (1) 1 pracujeme s počátoční aproximací, při výpočtu x (1) 2 už využíváme hodnotu x (1) 1 a při výpočtu x (1) 3 využijeme i hodnotu x (1) 2, porovnejte si to s Jacobiho metodou! x (1) 1 = 0,1( x (0) 2 + x (0) 3 + 9) = 0,1( 2,1 + 3,3 + 9) = 1,02 x (1) 2 = 0,05(x (1) 1 x (0) ) = 0,05(1,02 3,3 + 42) = 1,986 x (1) 3 = 0,1( x (1) 1 x (1) ) = 0,1( 1,02 1, ) = 2,9994 Příklad (Gauss-Seidlova metoda, řešení) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 29 / 52

30 Tabulka výsledků do čtvrtého řádu: k x (k) 1 x (k) 2 x (k) 3 0 0,9 2,1 3,3 1 1,02 1,986 2, , , , , , , , , , Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 30 / 52

31 (Konvergence a odhad chyb) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 31 / 52

32 (Normy vektorů a matic) sloupcová norma: A 1 = max( n a ij ) j i=1 řádková norma: A = max( n a ij ) i j=1 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 32 / 52

33 (Ostře řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní matice) řádkově: n a ii > a ij pro i = 1,..., n j=1,j i sloupcově: n a jj > a ij pro j = 1,..., n i=1,i j Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 33 / 52

34 (Pozitivňe definitní matice) Symetrická matice A řádu n se nazývá pozitivně definitní, jestliže pro každý nenulový sloupcový vektor x= (x 1, x 2,...,x n ) T platí x T.A.x> 0 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 34 / 52

35 (Iterační matice, příklad na Jacobiho metodu, pokr.) x 1 = 0,1( x 2 + x 3 + 9) x 2 = 0,05(x 1 x ) x 3 = 0,1( x 1 x ) 0 0, 1 0, 1 C = 0, , 05 0, 1 0, 1 0 (2) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 35 / 52

36 (Odhad chyby Jacobiho a Gauss-Seidlovy metody) x (r) x C 1 C x(r) x (r 1) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 36 / 52

37 (odhad pro příklad na Jacobiho metodu) C = max{ 0, 1 + 0, 1 ; 0, , 05 ; 0, 1 + 0, 1 } = 0, 2. x (4) x (3) = 0, 00006; 0, 00009; 0, 0003 = = max{ 0, ; ; 0, 0003 } = 0, 0003 x (4) x 0, 2 0, 0003 = 0, , 2 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 37 / 52

38 (Pravidla) Je-li matice soustavy ostře řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní, Jacobiho aj Gauss-Seidelova metoda konvergují Je-li matice soustavy symetrická a pozitivně definitní Gauss-Seidelova metoda konverguje (Jacobiho metoda konvergovat nemusí) Vynásobíme-li libovolnou regul. čtvercovou matici zleva maticí k ní transponovanou, vzniklá matice je symetrická a pozitivně definitní. Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 38 / 52

39 Příklad Všimněte si následující soustavu rovnic: x 1 0,464x 2 = 0,536 2,047x 1 +x 2 0,464x 3 = 2,583 0,464x 1 + +x 3 = 0,536 Zkuste si, že Jacobiho metoda konverguje při řešení této soustavy. Ale Gauss-Seidlova metoda diverguje. Nechť A je symetrická a pozitivně definitní a Jacobiho metoda konverguje (když A je symetrická a pozitivně definitní, Jacobiho metoda konvergovat ještě nemusí, ale může) Gauss-Seidlova metoda konverguje dvakrát rychleji než Jacobiho metoda. [Ralston, A.: Základy numerické matematiky, 1978]. Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 39 / 52

40 ( Relaxační metoda ) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 40 / 52

41 Mějme Ax = b, det A 0. α-řešení b Aα = 0 Při řešení využijeme tzv. rezídua. Rezíduum vypočítáme pomocí následujícího vzorce: r = b Ax Složky vektoru rezíduí se snažíme zmenšovat. Jestliže rezíduum konverguje k 0 dostáváme iterační metodu: Např.: tzv. relaxační metodu. Příklad ( Relaxační metoda, zadání) Příklad. Relaxační metodou řešte soustavu rovnic. 10x 1 + x 2 + x 3 = 22 x x 2 + x 3 = 13 x 1 + x x 3 = 9 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 41 / 52

42 Příklad ( Relaxační metoda, řešení) Začneme počáteční aproximací x (0) = (0, 0, 0), vypočítáme počáteční aproximaci rezídua: r = (22 10x 1 x 2 x 3, 13 x 1 10x 2 x 3, 9 + x 1 x 2 10x 3 ) r (0) = (22; 13; 9) 22 > 13, 22 > 9 Jelikož první složka rezídua je dominantní (v absolutní hodnotě je největší ze všech složek nulté iterace rezídua), tak budeme upravovat první rovnici (zejména neznámou x 1 ) tak, aby tato první složka byla vynulována. Příklad ( Relaxační metoda, pokr.) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 42 / 52

43 (1) + (0) 10x 1 x 2 + x 3 = 22 10x (1) 1 = 22 = 2,2, r (1) 1 = 0 x (1) 1 x (1) = (2,2; 0; 0) r (1) = (0; 10,8; 11,2) Nájdeme v absolutní hodnotě největší složku první iterace rezídua a příslušnou rovnici a neznámou upravíme tak, aby se tato složka vynulovala. Největší složka je 11, 2, (třetí složka) proto si budeme všímat třetí rovnici a zejména třetí neznámou x 3. Příklad ( Relaxační metoda, pokr.) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 43 / 52

44 x (1) 1 + x (1) x (2) 3 = 9 2, x (2) 3 = 9 x (2) 3 = 1,12 x (2) = (2,2; 0; 1,12) r (2) = ( 1,12; 9,68; 0) Největší složka ve druhé iteraci rezídua je 9, 68, proto si budeme všímat příslušnou rovnici a neznámou, teda druhou rovnici a x 2. Příklad ( Relaxační metoda, pokr.) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 44 / 52

45 x (2) x (3) 2 + x (2) 3 = 13 2,2 + 10x (3) 2 + 1,12 = 13 x (3) 2 = 0,968 x (3) = (2,2; 0,968; 1,12) r (3) = ( 2,088; 0; 0,968). Po pěti dalších výpočetních krocích dostáváme x (8) = (1,9997; 1,00065; 1,99991) r (8) = (0,0241; 0,00608; 0) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 45 / 52

46 (Podmíněnost matice) Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 46 / 52

47 Číslo podmíněnosti matice Cp(A) = A 1 A Matice s velkým číslem podm. můžou výrazně zesilnit chyby. Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 47 / 52

48 Příklad Zjistěte číslo podm. matice systému x 1 + 0, 99x 2 = 1, 99 1, 01x 1 + x 2 = 2, 01 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 48 / 52

49 Příklad A = [ 1 ] 0, 99 1, 01 1 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 49 / 52

50 Příklad A 1 = [ ] Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 50 / 52

51 Příklad A = 2, 01 A 1 = CpA = Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 51 / 52

52 Příklad Jacobiho metodou zjistěte řešení systému x 1 + 0, 99x 2 = 1, 99 1, 01x 1 + x 2 = 2, 01 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 52 / 52

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Numerické řešení soustav lineárních rovnic Numerické řešení soustav lineárních rovnic irko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky elektrotechnická fakulta ČVUT, Praha http://cmpfelkcvutcz/~navara 30 11 2016 Úloha: Hledáme řešení

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0. A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojmy: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocniny neznámé x, tj. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 = 0, kde n je přirozené

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Iterační metody pro řešení systémů lineárních rovnic UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Iterační metody pro řešení systémů lineárních rovnic UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Iterační metody pro řešení systémů lineárních rovnic Vedoucí bakalářské práce:

Více

Moderní numerické metody

Moderní numerické metody Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 65 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 2 3 4 5 6 7 8 Super-relaxační 9 2 / 65 2 / 65 Budeme se zabývat mi pro řešení úlohy A x = b s regulární

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 73 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 2 3 4 5 6 7 8 Super-relaxační 9 2 / 73 2 / 73 Budeme se zabývat mi pro řešení úlohy A x = b s regulární

Více

[1] LU rozklad A = L U

[1] LU rozklad A = L U [1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,

Více

12. Soustava lineárních rovnic a determinanty

12. Soustava lineárních rovnic a determinanty @7. Soustava lineárních rovnic a determinanty Determinanty x V této lekci si ukážeme řešení soustavy lineárních rovnic (dvou rovnici pro dvě neznámé a tří rovnic pro tři neznámé) pomocí determinantů. Definice:

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNCKÁ NVEZTA V LBEC Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu čební text Josef J a n e č e k Liberec 010 Materiál vznikl v rámci projektu

Více

4. LU rozklad a jeho numerická analýza

4. LU rozklad a jeho numerická analýza 4 LU rozklad a jeho numerická analýza Petr Tichý 24 října 2012 1 Úvod Nechť A je regulární matice Řešíme Ax = b LU rozklad (Gaussova eliminace) je jeden z nejdůležitějších nástrojů pro problém řešení soustav

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.

Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Pavel Klavík. Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze

Pavel Klavík. Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze Katedra aplikované matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze Historie Motto Budeme se zabývat specifickými problémy, které se objevují při řešení soustav lineárních rovnic na

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Příklady v MATLABu Přednáška 10 30. listopadu 2009 Řídící instrukce if else C Matlab if ( podmínka ) { } else { } Podmíněný příkaz if podmínka elseif podmínka2... else

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA RELAXAČNÍ METODA

MASARYKOVA UNIVERZITA RELAXAČNÍ METODA MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce RELAXAČNÍ METODA Jakub Chalupa Vedoucí práce: prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc. Studijní program: MATEMATIKA Studijní obor: OBECNÁ MATEMATIKA

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více

(u, v) u. v. cos φ =

(u, v) u. v. cos φ = LA 3. cvičení Ortogonalita, Gramm-Schmitův ortonormalizační proces Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,2 Ortogonální systém vektorů Poznámka: Motivace - připomeňme si Kosinovu větu v obecném tvaru kde φ je úhel

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/01 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 1. Počet hodin 4 Počet hodin celkem: 136 týdně: Tento plán vychází z Rámcového vzdělávacího programu

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

předmětu MATEMATIKA B 1

předmětu MATEMATIKA B 1 Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Obecný postup při numerickém modelování (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc RNDr Eva Hrubešová, PhD Inovace

Více